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数学 NAVI テキスト
中学3年 第6章 円の性質
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レッスン
チェックテスト
まとめの学習
入試問題にチャレンジ
2
中学3年 第6章 円の性質 MAP
1.円の基本的性質
2.円周角
3.円に内接する四角形
4.四角形の内接条件 5.接 線
6.応 用
3
例題
40° 80°
A
C
D
O ・
例題1 右の図について、次の問いに答えなさい。
(ア)AB=4cm のとき、BC の長さは何 cm ですか。
(イ)AB=4cm、CD=10cm のとき、∠ COD を求めなさい。
例題2 右の図で AB=CD とすると、AB=CD となること
を証明しなさい。
B
A
CB
D
O ・
A BH
O ・
A
B C
例題3 右の図で、円 O の中心から弦 AB におろした垂線
OH は弦 AB の中点を通ります。これを証明しなさい。
例題4 △ABC の3つの頂点 A,B,C を通る円を作図しな
さい。
4
例題5 次の図で、 x∠ の大きさを求めなさい。
(ア) (イ) (ウ)
・O
140°
x
・O
120°
x
・O
x
(エ) (オ) (カ)
45°
x
20°
・O 50°x
10°
70°
x
100°
例題6 右の図で、AD//BC であるとき、AB=CD であること
を証明しなさい。
A D
B C
例題7 次の図で、4点 A,B,C,D が同一円周上にあるのはどれですか。
(a) (b) (c) A
45°
45° A D
B C
50°
80° D
B
C
20°
40° 60°
A
D
B C
30°
50°
A
D
B C
E
例題8 右の図で、∠A= BCE となることを証明しなさい。 ∠
5
例題9 次の図で、∠ x を求めなさい。
(ア) (イ)
55°
x
60°
x
(ウ) (エ)
50°
x60°
30°
x
80°
例題 10 次の図の四角形 ABCD が円に内接するものはどれですか。
(ア) (イ) (ウ)
80°
100°
A
B C
D
100°A
B C
D
E
100°
A
B C
D
E
30°
50°
例題 11 右の図で、AB//DC です。四角形 FECD は
円に内接することを証明しなさい。 A
B C
D
E
F
G
6
例題 12 次の図で、 x を求めなさい。
(ア) (イ)
・O
16cm
14cm
A
B C
D x cmH
E
F
7cmG
9cm
2cm
x 6cm
cm
例題 13 半径 cm、 cm の2つの円があり、それらの中心間の距離を cm とします。次の場合a b dに、この2円の共通接線の本数を求めなさい。
(ア) =6 =4 =12 a b d (イ) =7 =5 =12 a b d (ウ) =6 =5 =9 a b d
例題 14 次の図で、∠ x の大きさを求めなさい。ただし、TT’は接点を表しています。
(ア) (イ) B
70° x
30°
A
T
A
110°
x
B
T
(ウ) (エ)
40°
x A
T
T’
B
70°
xA
B
T 30°
C
A
B P
D
C
例題 15 右の図で、四角形 ABCD は円に内接しています。
次の問いに答えなさい。
(ア)△APB∽△CPD を証明しなさい。
(イ) AD=5cm,BC=9cm、CP=3cm のとき、DP の
長さを答えなさい。
7
例題 16 右の図で、CE は接線で BC=CD のとき、△ABC∽△CDE であることを証明しなさい。
A
B
E
D
C
例題 17 右の図で、△ABC は、AB=AC の二等辺三角形です。BD=CE のとき、△ADE は二等辺
三角形であることを証明しなさい。 A
B E
D
C
8
練習問題
練習1 右の図について、次の問いに答えなさい。 D
A
C
B
・ O
40°
100°
(ア)AB=10cm のとき、BC の長さを求めなさい。
(イ)AB=10cm,CD=15cmのとき、∠ CODの大きさを求めなさい。
練習2 右の図について、次の問いに答えなさい。
(ア)∠AOC の大きさを求めなさい。
(イ)∠OCB の大きさを求めなさい。
練習3 右の図で、AD=2AB のとき、次の問いに答えなさい。
(ア)∠AOD の大きさを求めなさい。
(イ)AB=8cm のとき、CD の長さを求めなさい。
A
B C
・ O 20°
40°
・
B A
D
C
O
30°
練習4 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
・ O
x
・ O
x
85°
9
練習5 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
30°
30°
x
80°
練習6 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
・ O
x50°
・ O
x
120°
練習7 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
・ O x
20°
・ O
x
65°
練習8 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x55°
x
85° 80°
10
練習9 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x 80°
100°
x60°
95°
練習 10 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
35° 40° ・
O
・ x
50°
75°
O
練習 11 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
30°
x65°
・
練習 12 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
60° 110°
x
30°
70°
11
練習 13 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
75°
x
50°
練習 14 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
・ x
50°
O
・
x55°
O
練習 15 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x50°
x
70°
40°
練習 16 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
20° 30°
x
65°
・O
12
練習 17 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
50°
35°
x
65°
30°
練習 18 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x・O
・
x20°
O
練習 19 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア)AB=BC (イ)AC=CD
・ x
70° O
A
B
C
D
練習 20 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
・O 40°A B
C D
x 100° 30°
x
50°
40°
13
練習 21 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x40° 70°
x50° 65°
練習 22 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
x
30°
40°
x
30°80°
練習 23 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア)AB:BC:CA=1:2:2 (イ)AC:CD:DB=3:3:4
練習 24 次の図において、∠ x の大きさを求めなさい。
(ア)AC:CD=2:3 (イ)AB:CD=1:2
x
・O A B
C D
xA
B
C
x
A
B C
60°
D
E
x
・O A B
C D
30°
14
練習 25 次の四角形 ABCD で、円に内接するものを選びなさい。
(a) (b) (c)
80° 70°
110°
A
B C
D
80° 70°
110°A
B C
D
80°
100°
A
B C
D
練習 26 次の四角形 ABCD で、円に内接するものを選びなさい。
(a) (b) (c)
50° 40°
40° A
B C
D
35°
60°
A
B C
D
30°
60° A
B C
D
練習 27 次の図の四角形 ABCD が円に内接するためには、∠ x の大きさが何度であればよいです
か。
(a) (b) 110° A
B C
D
x
70° A
B C
D
x
練習 28 右の図のように、2つの円 O,O’が2点 A,
B で交わっています。点 A を通る直線と2つの円と
の交点を C,D、また、円 B を通る直線と2つの円
との交点を E,F とします。このとき、CE//FD であ
ることを次のように証明しました。 の中に
あてはまるものを答えなさい。
・ ・O O’
A
B
C D
E
F
〔証明〕
∠ACE= (ア) (AE に対する円周角) ∠ ∠ABF=∠ (イ) (AF に対する円周角)
したがって
∠ACE= (イ) ∠ (ウ) が等しいので、CE//FD
15
練習 29 右の図のように、四角形 ABCD が円に内接し
ています。点 E は点 C における円の接線と AB の延長と
の交点です。AB//DC のとき、△ACD∽△ECB であるこ
とを次のように証明しました。
A
B
C
D
E F
の中にあてはまるものを答えなさい。
〔証明〕 △ACD と△ECB で四角形 ABCD は円に内接
しているから、
∠ADC= (ア) ‥‥‥‥‥‥‥‥① ∠ また、EC は接線だから
∠ CAD= (イ) ‥‥‥‥‥‥‥‥② ∠ AB//DC だから
∠DCF= (ウ) ‥‥‥‥‥‥‥‥③ ∠ ②,③より
∠ CAD= (ウ) ‥‥‥‥‥‥‥‥④ ∠ ①,④より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ACD∽△ECB
練習 30 次の図で、AD は接線です。 x の長さを求めなさい。
(ア) (イ)
xcm ・ 7cm
4cm
A D
B
C
x
A
B
C
D
cm
8cm
12cm
16
入試問題-標準問題
問1 次の問いに答えなさい。
a A
B C
T T’
(ア) 右の図で、直線 TT’は円の接線で、点 A はその接点です。
円周上の2点 B,C は AC=BC を満たす点で、∠ TAB= °
のとき、∠ABC の大きさを を用いて表しなさい。
aa
(都立高専)
(イ) 右の図のように、4点 A,B,C,D は円 O 上にあり、∠ CBD
=40°,∠ CDB=30°のとき、∠OBD の大きさを求めなさい。
30°
・O
40°
A
B
C
D
(東京工大附)
問2 右の図のように、円 O に内接する四角形 ABCD において、対角線
AC、BD の交点を E とします。EA=6cm,EB=3cm,EC=4cm と
するとき、線分 ED の長さを求めなさい。(宮城県)
6cm
A
B
C
DE
3cm 4cm
・ ・ dO O’
問3 大小2つの円 O,O’の半径をそれぞれ3cm,1cm とし、
中心間の距離を cm とします。d の値がどのような範囲のと
き、円 O,O’が2点で交わるか不等号を使って表しなさい。
d
(福島県)
問4 右の図のように、直角三角形 ABC に内接する円があり、
その接点をそれぞれ L,M,N とします。AN=5cm,BM
=12cm のとき、その円の半径の長さを求めなさい。
12cm
5cm
A
L
B M C
N(芝浦工大附)
17
問5 半径1の円周上に A,B,C があって、AB:BC:CA=5:3:4
であるとき、次の問いに答えなさい。
(ア)∠ABC の大きさを求めなさい。
(イ)CA の長さを求めなさい。
(土佐)
問6 次の問いに答えなさい。
(ア)右の図において、線分 AC は円 O の直
径であり、∠AEB=24°,BC=CD です。
このとき、∠ x , の大きさを求めな
さい。(広島大附)
∠ y
(イ)右の図で、AB は円の中心 O を通る直線で、AC はこの円
に引いた接線、C はその接点です。D は円周上の点で∠ BDC
=65°とするとき、 BAC の大きさを求めなさい。(城北) ∠
問7 図のように、BD を直径とする円周上に、2点 A,C があります。
AB=AD, DBC=30°のとき、次の問いに答えなさい。 ∠(ア)∠AEB の大きさを求めなさい。
(イ)面積比△ABE:△CDE を求めなさい。(近畿大附)
問8 AOB=90°であるおうぎ形 OAB があります。右の図のよ
うに、AB 上に点 P をとり、線分 OA を直径とする半円と弦 PA
との交点を Q とします。次に点 B から弦 OQ に垂線 BR を引
きます。このとき、次の問いに答えなさい。
∠
(ア)△AOQ と△OBR は合同であることを証明しなさい。
(イ)AP:PB=4:1のとき AQ と QO の長さの比を求めな
さい。(埼玉県)
・
x
24°O
A
BC
D
y E
・
・ ・
A
B
C
・
65°
O
A
B
C
D
30° E
A
B
C
D
AO
BP
Q
R
18
問9 図において、線分 AB は円 O の直径、∠AOC=72°です。また
直線 は線分 BC に平行で点 P において円と接しています。このと
き、 PAB の大きさを求めなさい。(中央大附)
l
∠
問10 図Ⅰのように、円 O の外の点 A から、その円に2つの接線が
引かれています。接点を P、Q とするとき、次の問いに答えなさ
い。(鳥取県)
(ア)図Ⅰに、線分 OA,OP,OQ を書き加えて、AP=AQ であ
ることを証明しなさい。
さらに図Ⅱのように、円 O は△ABC に内接し、辺 AB,BC,
CA の接点をそれぞれ P,Q,R とし、AB=15cm,BC=13cm,
CA=14cm のとき、
(イ)線分 AP の長さを求めなさい。
(ウ)△ABC の面積は 84cm2 になります。このとき、内接円 O
の半径を求めなさい。
・ 72° O A B
C
P
l
・ A
P
Q
図Ⅰ
図Ⅱ
14cm
15cm 13cm P Q
R A
B
C
30°
A
B C
E
・・
× ×
D
問11 図のように AB>AC,∠ B=30°の三角形 ABC があり
ます。 A, C のそれぞれの外角の二等分線の交点を D
とするとき、次の問いに答えなさい。(大教大・平野)
∠ ∠
(ア) ∠ADC の大きさを求めなさい。
(イ) AD の延長と外接円との交点を E とするとき、△
EBC は二等辺三角形であることを証明しなさい。
問12 右の図のように、AB=AC の二等辺三角形 ABC の外接
円の AB のうち、小さい方の AB 上に点 D をとります。ま
た点 B におけるこの外接円の接線と直線 AD との交点を E
とします。辺 AB と弦 CD の交点を F とするとき、次の問
いに答えなさい。(神奈川県)
A
B
C
E
D
F
(ア)△AEB と△CFB は相似であることを証明しなさい。
(イ)CD が外接円の直径とするとき、ADB 上の AD と DBC
上の BC の長さの比 AD:BC を最も簡単な整数の比で
表しなさい。
19
20
問13 右の図Ⅰのように AB=8cm,AC=6cm,∠ BAC=90°
である直角三角形 ABC があります。辺 AC 上に AD=1cm
となる点 D をとり、D から辺 BC に垂線を引き、その交点を
E とします。このとき、次の問いに答えなさい。(秋田県)
(ア) 次の の中に適する数やことばを書きなさい。 B C
8cm 6cm 1cm
A
D
E
図Ⅰ
△ABC は直角三角形であるから BC= ① cm である。
△ABC と△EDC は ② という条件より相似であり、その相似比は ③ である。
また四角形 ABED は ④ であるから円に内接する四角形である。
(イ) 図Ⅱは図Ⅰの A と E,B と D を結び、その交点を F
としたものです。このとき三角形 ABF の面積を求めなさ
い。
A
B C
D
E
図Ⅱ
F
問14 右の図において円 O の半径は7cm、円 O’の半径は3cm、OO’
=1cm です。また点 A,B,C,D は直線 OO’と円 O,円 O’と
の交点であり、弦 AE は点 F で円 O’に接しています。このとき
次の問いに答えなさい。(東京学芸大附)
(ア)線分 FE の長さを求めなさい。
(イ)図の の部分 ADF の面積を求めなさい。
(ウ)図の の部分 DBEF の面積を求めなさい。
問 15 右図の正三角形 ABC は、半径 r の円 O に内接しています。
AB を直径とする円を描くとき、斜線部分の面積は
243 πba + r 2 となります。 a , の値を求めなさい。ただし
円周率は
b
π とします。(中央大杉並)
入試問題-発展問題
問1 次の問いに答えなさい。
B
A
C D
E102°
(ア) 右の図で、点 A,C は大小2つの円の交点で
AB,CB は小さい円の接線、AD,CE は大きい
円の接線です。また点 B は大きい円の周上にあ
ります。∠ BAD=102°のとき、∠ ECD の大き
さを求めなさい。(市川)
(イ)右の図で、O は2つの半円の中心で、BC
は小さい半円と点 D で接しています。
AOC=76°のとき、 OEB の大きさを
求めなさい。(桐朋)
∠ ∠
問2 右の図のように AB を直径とする半円があり
ます。この半円の弧上に点 C があって、AC の
延長上に AC=CP となるように点 P をとり、点
P から弧に接線を引き、その接点を T とします。
また AB CD となるように、AB 上に点 D をと
ります。いま CD=4cm,BD=2cm とすると
き、次の問いに答えなさい。(法政大第一)
⊥
(ア)AB の長さを求めなさい。
(イ)PT の長さを求めなさい。
(ウ)CT の長さをa cm とするとき、BT の長さを を用いて表しなさい。 a
・ 76° O
BA
C
D
E
4
2 B A D
C T
P
・
A
B
C
D
E
O
問3 A=90°の直角三角形 ABC に点 D,E,F で内接す
る半径4cm の円 O があります。この直角三角形 ABC の
2辺の比が、AB:AC=4:3であるとき、次の問いに
答えなさい。(同志社香里)
∠
(ア)CF= x cm とするとき BD を x の式で表しなさい。
(イ)△ABC の外接円の半径を求めなさい。
(ウ)DE の長さを求めなさい。
21
問4 右の図のように、OA=12cm,∠AOB=120°であるおう
ぎ形 OAB があり、弦 AB と弧 AB とで囲まれた弓形に内接
する2つの円 C,D があります。円 C は弓形に内接する円
のうち半径が最大のものであり、点 G で円 D と外接してい
ます。このとき、次の問いに答えなさい。(広島大附)
12cm
120°
O
A
BH
I C
D
GJ
E
F
(ア)点 D を通り、線分 OE に垂直な直線が、線分 OE と
交わる点を I とします。点 D の半径を r として I2 を r で表しなさい。
(イ) r の値を求めなさい。
(ウ)△EFH と△FGH の面積をそれぞれ S 1,S 2 として、面積の比 S 1:S 2 を簡単な整数比で表し
なさい。
問5 右の図のように円 O の周上に4点 A,B,
C,D があります。点 P は点 A におけるこ
の円の接線と弦 BC の延長線との交点です。
また接点 A から弦 BC に垂線を引き、その
交点を H とします。また AD はこの円の直
径です。AB=6cm,AP= 25 cm,CP=5cm のとき、次の問いに答えなさい。
・ 5
256
A
OH
D
BC P
(駒沢大学)
(ア)BC:CA=2:1、 ABC= °の
とき、 APC を a を用いて表しなさい。
∠ a∠
(イ)弦 AC の長さを求めなさい。
(ウ)△ABC の面積を5 cmx 2 とするとき、垂線 AH の長さおよび円 O の直径 AD を x を用いて表
しなさい。
問6 右の図のように AB=8,BC=9,CA=7の△ABC の
内接円の中心を I、その半径を r とし、この内接円と辺
AB,BC,CA の接点をそれぞれ D,E,F とします。ま
た、辺 BA の延長、辺 BC の延長および辺 CA に接する円
の中心を I’、その半径を r ’とし接線をそれぞれ G,H,J
とします。△ABC の面積を 512 とするとき、次の問い
に答えなさい。(早大本庄)
・
・
I
I’
C ・
・
・・
H
G
J F D
B
A
E9
8 7
(ア) r の大きさを求めなさい。
(イ)AD,BH の長さをそれぞれ求めなさい。
(ウ) r ’の大きさを求めなさい。
22
問7 長さ 10cm の線分 AB を直径とする半円の弧上
に点 C をとり、弧 AC の中点を D、AD と BC の
延長線の交点を R とします。また、AC と BD の
交点を P とし、点 P から AB に引いた垂線を PQ
とするとき、次の問いに答えなさい。(青雲)
R
M
C
D P
QA B
(ア)∠ CAB=50°のとき DQC の大きさを求
めなさい。
∠
(イ)弧 AB の中点を M とします。点 C が弧 AB
上を点 A から点 M まで、動くとき、点 R が
描く曲線の長さを求めなさい。ただし、点 C
が点 A と重なるときは、点 R は点 A にある
ものとします。
・
・・
A
B E
D
F
C
問8 右図のように半径 15cm の円が直線 AD と D において接してい
ます。点 A から円の中心を通る直線をひき、円との交点を B,C
(A に近い方を B)とし、 BAD の二等分線と、BD,CD の交
点をそれぞれ E,F とします。BD:CD=1:2であるとき、次
の問いに答えなさい。(同志社)
∠
(ア)AB の長さを求めなさい。
(イ)CF:FD を求めなさい。
(ウ)△DEF の面積を求めなさい。
問9 右の図のように線分 AB に点 C で接し、AB を直径とする
円に点 D で内接する円をかくと、AC=10、CB=15 になり
ました。このとき、次の問いに答えなさい。(早大学院)
10 15 A BC
D
E (ア)内接円の半径を求めなさい。
内接円が BD と交わる点を E とすれば、
(イ)線分 CE の長さを求めなさい。
(エ)△CED の面積を求めなさい。
23
問10 半径2の円 O の外部の点 P から、2本の線を
引きます。円との交点を右の図のように A,B,C,
D とすると APB=30°, AOD=120°,
BOC=60°です。このとき、次の問いに答えな
さい。
∠ ∠∠
・O 60°
120° 30°
AP
B
C
D
x
(駿台甲府)
(ア)∠ x ( DOC)の大きさを求めなさい。 ∠ (イ)弦 CD の長さを求めなさい。
(ウ)四角形 ABCD の面積を求めなさい。
問11 右の図のように円 O と円 O’が点 A で内接し、線分 OC は点
Bで円O’に接しています。直線ABと円Oとの交点をD,∠AOC
=30°,円 O’の半径を とするとき、次の問いに答えなさい。 a
・・30°
O O’ A
C
D
B (愛光)
(ア) 線分 AB の長さを求めなさい。
(イ) △BCD の面積を求めなさい。
問12 右図のように△ABCに外接する円Oがあります。AB=6,
BC=5,CA=4、∠A の二等分線と円 O との交点を D、BC
との交点を F とします。また D において、円 O の接線をひ
き、AB の延長線との交点を E とするときに、次の問いに答
えなさい。(東海大浦安・改)
・
・・
A
B
ED
F
O
C(ア)∠ BAC= x °とするとき、∠ BDE を x を用いて表し
なさい。
(イ)BD= とするとき、AD の長さを a の一次式で表しな
さい。
a
(ウ) DE の長さを求めなさい
問13 右の図で、直線 ST は点 A における大小2つの円に共
通な接線です。点 A から直線をひき、2つの円の交点を B,
C とします。CE は小さい方の円に D で接し、F は EA と
小さい方の円との交点とします。 TAB=30°,∠ ∠ CDA
=75°,AB=3cm のとき次の問いに答えなさい。
75°
A S T
C
D F
E
30°
B 3
(早稲田実業)
(ア)∠ FAS の大きさを求めなさい。
(イ)AD の長さを求めなさい。
(ウ)大きい方の円の直径を求めなさい。
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問14 右図のように線分 AB を直径とする円 O の円周
上に点 C,D があり、線分 AD の延長線と線分 BC
の延長線との交点を E とします。また弧 CD 上に
AF=BF となる点 F をとり、線分 AF と線分 BD の
交点を P、線分AFの延長線との線分BEの交点をQ、
線分 BF の延長線と線分 AE の交点を R とします。
AEB=50°, AQB=65°,BF=∠ ∠ 13 + ,FR
= 13 − のとき次の問いに答えなさい。
・
50°65° EQ C B
O
A
D
R P
F
(共立女子)
(ア) ∠ PAD の大きさを求めなさい。
(イ) 弧 BC の長さと弧 CD の長さの比を求めなさい。
(ウ) △APD の面積を求めなさい。
問15 AB=AC の二等辺三角形 ABC がありま
す。 B の二等分線と AC の交点を P、△
ABC の外接円との交点を Qとし、さらに AQ
の延長と BC の延長との交点を R としたと
き、AR=30cm,BR=25cm となりました。
次の問いに答えなさい。(東大寺学園)
∠
・・
A
B C
P
Q
R(ア) ∠ BAC= °とするとき、a ∠ ARB
の大きさを を用いて表しなさい。 a(イ) QR の長さは AB の長さの何倍か求
めなさい。
(ウ) AB の長さを求めなさい。
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