วิชาคณิตศาสตร์ 2

วิ�ชาคณิ�ตศาสตร์� 2 เร์ �อง

เมตร์�กซ์� (Matrix)

โดยอาจาร์ย�สมชาย เอ��ยมสอาด

แผนกวิ�ทยาศาสตร์� - คณิ�ตศาสตร์�

โร์งเร์�ยนเทคโนโลย�ภาคตะวิ!นออก (อ�.เทค)

เมตร์�กซ์� ค อ กล"#มต!วิเลขท��น%ามาเร์�ยงก!นอย&#ในวิงเล(บใหญ่#

a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

หร์ อ

เช#นm x n

เมตริ�กซ์� A =

m x n เอ็�มบายเอ็�น เป็�นสิ่��งที่��แสิ่ดงขนาดหริ�อ็ม�ต�ขอ็งเมตริ�กซ์� ซ์��งในที่��น��m x n แสิ่ดงว่ าเมตริ�กซ์�น!�นม�อ็ย" m แถว่ (row) และ n หล!ก (column)

แถว่ที่�� 1 แถว่ที่�� 2

หล!กที่��1หล!กที่��2

สิ่ ว่นต!ว่เลขที่��อ็ย" ในเมตริ�กซ์�แต ละต!ว่เริ�ยกว่ า สิ่มาชิ�ก (element )ขอ็งเมตริ�กซ์� ซ์��งเริาจะใชิ( aij แที่นต)าแหน งต างๆขอ็งสิ่มาชิ�กที่��อ็ย" ในเมตริ�กซ์� โดยที่�� i คื�อ็ ต)าแหน งขอ็งแถว่ และ j คื�อ็ต)าแหน งขอ็งหล!ก

เชิ น a11 คื�อ็ สิ่มาชิ�กที่��อ็ย" ในต)าแหน งแถว่ที่�� 1 หล!กที่�� 1 a12 คื�อ็ สิ่มาชิ�กที่��อ็ย" ในต)าแหน งแถว่ที่�� 1 หล!กที่�� 2 a22 คื�อ็ สิ่มาชิ�กที่��อ็ย" ในต)าแหน งแถว่ที่�� 2 หล!กที่�� 2

5 3 -4 2 -4 8

Ex1 เมตริ�กซ์� A =2 x 3

เมตริ�กซ์� A ม�ขนาด 2 x 3 2( แถว่ 3 หล!ก ) ม�จ)านว่นสิ่มาชิ�ก 2 x 3 = 6 ต!ว่a12 คื�อ็ สิ่มาชิ�กแถว่ที่�� 1 หล!กที่�� 2

= 3a23 คื�อ็ สิ่มาชิ�กแถว่ที่�� 2 หล!กที่�� 3 = 8

ชน�ดของเมตร์�กซ์� 1 เมตริ�กซ์�แถว่ (Row Matrix ) คื�อ็ เมตริ�กซ์�ที่��ม�ก��หล!กก�ได( แต ต(อ็งม�เพี�ยง 1 แถว่ เที่ าน!�น

0 4 -1 เชิ น A = 1 x 3 B = 0 3 4 -1 4 1 x 5

2. เมตริ�กซ์�หล!ก (Column Matrix ) คื�อ็ เมตริ�กซ์�ที่��ม�ก��แถว่ก�ได( แต ต(อ็งม�เพี�ยง 1 หล!กเที่ าน!�น เชิ น

A = 23-43 x 1

B =

23-454 x 1

3. เมตริ�กซ์�ศู"นย� (Zero Matrix ) คื�อ็ เมตริ�กซ์�ที่��ป็ริะกอ็บด(ว่ยสิ่มาชิ�กที่0กต!ว่เป็�น 0เชิ น A = 0 0

0 02 x 2

4 . เมตริ�กซ์�จ!ต0ริ!สิ่ (Square Matrix ) คื�อ็ เมตริ�กซ์�ที่��ม�จ)านว่นแถว่และจ)านว่นหล!กเที่ าก!นเชิ น

A = 2 -25 12 x 2

B = 4 2 -45 3 61 -2 33 x 3

5 . เมตริ�กซ์�ที่แยงม0ม (Diagonal Matrix )คื�อ็ เมตริ�กซ์�จ!ต0ริ!สิ่ที่��ม�สิ่มาชิ�กที่0กต!ว่เป็�น 0 (ศู"นย� )หมด ยกเว่(น สิ่มาชิ�กในแนว่เสิ่(นที่แยงม0มหล!ก ต(อ็งเป็�นเลขจ)านว่นใดๆที่��แตกต างก!นเชิ น

A = 2 00 12 x 2

B = 4 0 00 3 00 0 -13 x 3

6 . เมตริ�กซ์�สิ่เกลาริ� (Scalar Matrix ) คื�อ็ เมตริ�กซ์�ที่แยงม0มที่��ม�สิ่มาชิ�กในแนว่เสิ่(นที่แยงม0มหล!กเป็�นเลขจ)านว่นใดๆที่��เที่ าก!นหมด (ยกเว่(น 1)เชิ น A = 4 0

0 42 x 2 B =

2 0 00 2 00 0 23 x 3

7 . เมตริ�กซ์�เอ็กล!กษณ์� (Identity Matrix )คื�อ็ เมตริ�กซ์�สิ่เกลาริ�ที่��ม�สิ่มาชิ�กในแนว่เสิ่(นที่แยงม0มหล!กเป็�น 1 ที่0กต!ว่ ซ์��งสิ่ามาริถใชิ(สิ่!ญล!กษณ์� I แที่นได(เชิ น

I = 1 00 12 x 2

I = 1 0 00 1 00 0 13 x 3

8. เมตริ�กซ์�สิ่ามเหล��ยมบน (Upper Triangular Matrix ) คื�อ็ เมตริ�กซ์�จ!ต0ริ!สิ่ที่��ม�สิ่มาชิ�กที่��อ็ย" ใต(เสิ่(นที่แยงม0มหล!ก ม�คื าเป็�นศู"นย�หมดที่0กต!ว่เชิ น A =

1 -4 70 2 50 0 -33 x 3

“ ”คืว่ามริ" (เป็�นเสิ่ม�อ็นหน!งสิ่�อ็ที่��ไม ม�หน(าสิ่0ดที่(าย

9 . เมตริ�กซ์�สิ่ามเหล��ยมล าง (Lower Triangular Matrix ) คื�อ็ เมตริ�กซ์�จ!ต0ริ!สิ่ที่��ม�สิ่มาชิ�กที่��อ็ย" เหน�อ็เสิ่(นที่แยงม0มหล!ก ม�คื าเป็�นศู"นย�หมดที่0กต!ว่เชิ น A =

1 0 03 2 0

-4 1 -33 x 3

“ แกงขาดเกล�อ็จ�งกริ อ็ยด(อ็ยริสิ่ชิาต� ชิ�ว่�ตขาดอ็0ป็สิ่ริริคืจ!กด(อ็ยคื า อ็0ป็สิ่ริริคืศู!ตริ"ชิ"ชิ�ว่า ให(แกล(ว่กล(าเข(ม

”แข�งแกริ งกว่ าเด�ม“ ”คืริ" เป็�นผู้"(ที่��เป็5ดป็ริะต" แต น!กเริ�ยนต(อ็งเด�นเข(าไป็เอ็ง

การ์เท#าก!นของเมตร์�กซ์�น�ยาม เมตริ�กซ์� 2 เมตริ�กซ์� จะเที่ าก!นได(ต(อ็งม�หล!กเกณ์ฑ์� ด!งน��

1. เมตริ�กซ์�ที่!�งสิ่อ็งต(อ็งเป็�นเมตริ�กซ์�ที่��ม�ขนาดเที่ าก!น2. สิ่มาชิ�กขอ็งเมตริ�กซ์�ที่!�งสิ่อ็งที่��ต)าแหน งเด�ยว่ก!นจะต(อ็งเที่ าก!นเที่ าก!น

EX2 . A = 1 0 -3-2 4 12 x 3

B =1 0 -3

-2 4 1-1 0 53 x 3

C =0 4 1-2 6 92 x 3

D = 0 22 1 -2 6 (-3)2

2 x 31. เมตริ�กซ์� A ม�ขนาด 2 x 3 และ เมตริ�กซ์� B ม�ขนาด 3 x 3 ด!งน!�น เมตริ�กซ์� A ≠ เมตริ�กซ์� B 2. เมตริ�กซ์� C ม�ขนาด 2 x 3 และ เมตริ�กซ์� D ม�ขนาด 2 x 3 สิ่มาชิ�กขอ็ง A และ B ที่��ต)าแหน งเด�ยว่ก!น ม�คื าเที่ าก!น ด!งน!�น เมตริ�กซ์� A = เมตริ�กซ์� B

2 x 2 = 4

- 3( ) x (-3) = 9

การ์บวิกและลบเมตร์�กซ์�น�ยาม ก)าหนดให(เมตริ�กซ์� 2 เมตริ�กซ์� ใดๆ คื�อ็ A = [aij]mxn และ B = [bij]mxn สิ่ามาริถน)ามาบว่กและลบก!นได( ต(อ็งเป็�นเมตริ�กซ์�ที่��ม�ขนาดเที่ าก!นเที่ าน!�น

ซ์��งจะได(ว่ าA±B = [aij±bij]mxn

เม��อ็ i และ j คื�อ็ต)าแหน งขอ็งสิ่มาชิ�กที่��อ็ย" ณ์ ต)าแหน งเด�ยว่ก!นขอ็งเมตริ�กซ์�ที่!�ง 2Ex3 จงหา A - B + C เม��อ็ก)าหนดให(

A = 2 1 0 5 2 x 2

B =0 -1 -3 -2 2 x 2

C =0 -5 6 -1 2 x 2“ ”จงเริ��มว่!นใหม ด(ว่ยคืว่ามม!�นใจว่ าเป็�นว่!นด�

วิ�ธี�ท%า A-B =2 1 0 5 2 x 2

- 0 -1 -3 -2 2 x 2

A-B =2-0 1-(-1)0-(-3) 5-(-2)2 x 2

A-B = 2 2 3 7 2 x 2

A - B + C = 2 2 3 7 2 x 2

+ 0 -5 6 -1 2 x 2

A - B + C =

2 -3 9 6 2 x 2

2 + 0 2 + (-5)3 + 6 7 + (-1)2 x 2

A - B + C = ตอ็บ

การ์ค&ณิเมตร์�กซ์�ด-วิยจ%านวินจร์�งน�ยาม ก)าหนดให(เมตริ�กซ์� A คื�อ็ A = [aij]mxn และ จ)านว่นจริ�ง คื�อ็ k แล(ว่ ผู้ลคื"ณ์ขอ็ง kA คื�อ็ การิน)า k คื"ณ์ สิ่มาชิ�กที่0กต!ว่ขอ็งเมตริ�กซ์� A ด!งน!�นจะได(ว่ า

kA = [kaij]mxn

Ex4 จงหา 3A เม��อ็ก)าหนดให(A =1 -1 -2

0 5 32 -3 43 x 3

วิ�ธี�ท%า3A = 3

3 x 3

1 -1 -20 5 32 -3 4

3A = 1x3 -1x3 -2x30x3 5x3 3x32x3 -3x3 4x33 x 3

= 3 -3 -60 15 96 -9 123 x 3

การ์ค&ณิเมตร์�กซ์�ด-วิยเมตร์�กซ์� ก)าหนดให(เมตริ�กซ์� 2 เมตริ�กซ์� ใดๆ คื�อ็ A = [aij] m x n และ B = [bij] k x l เมตริ�กซ์� A จะคื"ณ์ก!บเมตริ�กซ์� B ได(ก�ต อ็เม��อ็ n = k และผู้ลคื"ณ์ขอ็ง AB จะม�ขนาด m x lน!�นคื�อ็ A x B = C = [cij]m x l

ซ์.�ง C เป็0นเมตร์�กซ์� ท��เก�ดจาก A x B ด!งน!1นจะสร์"ป็ได-วิ#า

เมตร์�กซ์� A จะค&ณิก!บเมตร์�กซ์� B ได- ก(ต#อเม �อ จ%านวินหล!กของเมตร์�กซ์� Aเท#าก!บจ%านวินแถวิของเมตร์�กซ์� B และ ผลค&ณิท��ได-จะเป็0นเมตร์�กซ์� C ซ์.�งม�จ%านวินแถวิเท#าก!บจ%านวินแถวิของ A และม�จ%านวินหล!กเท#าก!บจ%านวินหล!กของ B

“ ”การิเริ�ยนริ" (เป็�นไป็ได(ยาก ถ(าจะที่)าให(ใคืริสิ่!กคืนเริ�ยนในสิ่��งที่��ตนคื�ดว่ าริ" (แล(ว่

Ex. 5 จงพี�จาริณ์าว่ าเมตริ�กซ์� 2 เมตริ�กซ์� ในข(อ็ใดที่��คื"ณ์ก!นได( และถ(าคื"ณ์ก!นได(ผู้ลคื"ณ์จะเป็�นเมตริ�กซ์�ที่��ม�ขนาดเที่ าใด

1. A = [aij] 1 x 3 , B = [bij] 1 x 3

2. A = [aij] 2 x 3 , B = [bij] 3 x 4

3. A = [aij] 3 x 5 , B = [bij] 3 x 4

4. A = [aij] 2 x 2 , B = [bij] 3 x 3

5. A = [aij] 1 x 3 , B = [bij] 3 x 1

คื"ณ์ไม ได( หล!ก A (3) ไม เที่ า แถว่ B (1)



คื"ณ์ได( หล!ก A (3) เที่ าก!บ แถว่ B (3) ได(เมตริ�กซ์� คื�อ็ C = [cij] 2 x 4

คื"ณ์ได( หล!ก A (3) เที่ าก!บ แถว่ B (3) ได(เมตริ�กซ์� คื�อ็ C = [cij] 1 x 1

“ ”ถ(าเริาถามอ็าจจะด"โง แคื ชิ!�ว่คืริ" แต ถ(าไม ถาม จะโง ไป็ชิ!�ว่ชิ�ว่�ต

1. จงหาผู้ลคื"ณ์ขอ็งเมตริ�กซ์�ต อ็ไป็น��A = 1 2 1 3 2 x 2

B =4 -3 -1 -2 2 x 2

C =1 0

3 2 -4 53 x 2

D =2 1 51 x 3

ก. A x B ข. C x D คื. A x D

ก. A x B = 1 2

1 3 2 x 2x

4 -3 -1 -2 2 x 2

(1)(4) + (2)(-1) (1)(-3) + (2)(-2)(1)(4) + (3)(-1) (1)(-3) + (3)(-2)=

2 x 2= 2 -1 1 9 2 x 2

ตอ็บ

ข. C x D

C x D =

1 03 2 -4 53 x 2

x2 1 51 x 3

หล!กขอ็ง C เที่ าก!บ แถว่ขอ็ง D

ผู้ลล!พีธ์�ที่��ได( คื�อ็ แถว่ขอ็ง C และ หล!กขอ็ง D

C x D = 2 1 51 03 2

-4 5=

(2)(1)+(-4)(3) - - +(5 )( 4 ) (2 )(0 )+( 4 )(2 )+(5 )(5 )=

x a11 a121 x 2

1 x 2= -30 17

1 x 2 ตอ็บ

คื. A x D

A x D =1 2 1 3 2 x 2

1 03 2 -4 53 x 2

x

หล!กขอ็ง A ไม เที่ าก!บ แถว่ขอ็ง D

ด!งน!�น A x D จ�งไม สิ่ามาริถคื"ณ์ก!นได( สร์"ป็ หล!กขอ็งต!ว่ต!�งต(อ็งเที่ าก!บแถว่ขอ็งต!ว่คื"ณ์เที่ าน!�นและผู้ลคื"ณ์ที่��ได(ก�คื�อ็ แถว่ขอ็งต!ว่ต!�งและหล!กขอ็งต!ว่คื"ณ์

“ ”คืว่ามด� เป็�นการิลงที่0นป็ริะเภที่เด�ยว่ที่��ไม เคืยที่)าให(ใคืริล(มละลาย

เมตร์�กซ์�สล!บเป็ล��ยน (Transpose of a Matrix) เมตริ�กซ์� สิ่ล!บเป็ล��ยน ขอ็งเมตริ�กซ์� A คื�อ็ เมตริ�กซ์�ที่��ได(จากการิสิ่ล!บเป็ล��ยนขอ็งแถว่และหล!ก เริาใชิ( AT (อ็ านว่ า เอ็ ที่ริานสิ่โพีสิ่) แที่นเมตริ�กซ์� สิ่ล!บเป็ล��ยน ขอ็ง A คื�อ็เชิ น

A =1 0

3 2 -4 53 x 2

AT =

แถว่ที่�� 1 สิ่ล!บไป็ หล!กที่�� 1 แถว่ที่�� 2 สิ่ล!บไป็ หล!กที่�� 2

1 3 -40 2 52 x 3

หมายเหต0 (AB)T = BTAT

“ ”คืว่ามริ!ก ไม ใชิ งานเล��ยง ฉะน!�นอ็ย าได(ม�ว่!นเล�กริา

ด�เทอร์�ม�แนนต� (Determinants)ด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�หริ�อ็ต!ว่ก)าหนด เป็�นจ)านว่นจริ�งที่��อ็ย" คื" ก!บ เมตริ�กซ์�จ!ต0ริ!สิ่ ที่0กเมตริ�กซ์�ด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�ขอ็งเมตริ�กซ์� A เข�ยนแที่นด(ว่ย det.A หริ�อ็ |A| สิ่)าหริ!บด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�ขอ็ง เมตริ�กซ์�จ!ต0ริ!สิ่ n x n เริาเริ�ยกว่ า ด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�อ็!นด!บ n เชิ น

1. ถ(า A= [4] เริ�ยก det.A ว่ าด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�อ็!นด!บ 12. ถ(า B = เริ�ยก det.B ว่ าด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�อ็!นด!บ 2-1 3

5 8ต!ว่อ็ย าง 1. A = [3] det.A = 32. A = [-5] det.A = -5

3. A = [-2.5] det.A = -2.5

การิหาด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�อ็!นด!บ 2 ข��นไป็ ม�ว่�ธ์�การิด!งน��

การ์หาค#าด�เทอร์�ม�แนนต� โดยการ์ค&ณิทะแยง การิหาคื าด�เที่อ็ริ�ม�แนนต� โดยการิคื"ณ์ที่แยงจะหาคื าด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�อ็!นด!บ 2 และ 3 เที่ าน!�น

ก)าหนด A = a11 a12

a21 a22

det.A = a11 a12

a21 a22

+

-

= a11a22 – a21a12

* คื"ณ์ลงเป็�น +(บว่ก ) คื"ณ์ข��นเป็�น – (ลบ)

เชิ น A = 3 5

4 -2= - 3 2 4 5( )( ) – ( )( ) = -6 – 20 = -26

B = 1 -2-3 4= - - 1 4 3 2( )( ) – ( )( ) = 4 – 6 = -2

การิหาด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�อ็!นด!บ 3

ก)าหนด A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

หา det.A สิ่ามาริถหาได(โดยการิน)าหล!กที่�� 1 และ หล!กที่�� 2มาเข�ยนเพี��มที่(ายหล!กที่�� 3 จะได(

det.A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11

a21

a31

a12

a22

a32

+ + +

- - - – คื"ณ์ข��น คื�ด (ลบ)

คื"ณ์ลง คื�ด + (บว่ก)

จะได( det.A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12

“ ”สิ่!นดาน เป็ริ�ยบเสิ่ม�อ็นเต�ยงนอ็นแสิ่นสิ่บายที่��ลงไป็นอ็นง าย แต ล0กข��นยาก

Ex.6 จงหา det.A เม��อ็ก)าหนดให( A = 1 2 1 3 2 3 4 2 2

det.A = 1 2 13 2 3 4 2 2

1 2

3 2

4 2

det.A = - 1 2 2 2 3 4 1 3 2 4 2 1 2 3 1 2 3 2( )( )( ) + ( )( )( ) + ( )( )( ) ( )( )( ) – ( )( )( ) – ( )( )( )

det.A = 4 + 24 + 6 - 8 – 6 - 12

det.A = 34 – 26 = 8 ตอ็บ

* การิคื"ณ์เคืริ��อ็งหมาย - - ( )( ) = + และ (+)(+) = + - ( )(+) = - และ (+)(-) = -

(เหม�อ็นก!นเป็�นบว่ก)(ต างก!นเป็�นลบ)

3 x 3

การ์หาด�เทอร์�ม�แนนต�โดยวิ�ธี�การ์กร์ะจายโคแฟกเตอร์� การิหาคื าด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�โดยการิกริะจายโคืแฟกเตอ็ริ� เป็�นว่�ธ์�ที่��ใชิ(ได(กว่(างขว่างเน��อ็งจาก ใชิ(หาคื าด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�ต!�งแต อ็!นด!บ 2 ข��นไป็ ซ์��งก อ็นอ็��นต(อ็งม�คืว่ามริ" (เริ��อ็งการิหา ไมเนอ็ริ� (Minor ) และโคืแฟกเตอ็ริ� (Cofactor ) ก อ็น

ไมเนอร์� (Minor) ไมเนอ็ริ� (Minor ) หริ�อ็ Mij คื�อ็ ด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�ขอ็งเมตริ�กซ์� ที่��เก�ดจากการิต!ดแถว่ที่�� i และหล!กที่�� j ที่��งไป็เชิ น A = 3 5

4 -2M11 = การิต!ดแถว่ที่�� 1 หล!กที่�� 1 จะได(

3 54 -2

M21 = การิต!ดแถว่ที่�� 2 หล!กที่�� 1 จะได(3 5

4 -2

= -2

= 5

Ex7.ก)าหนดให( A = -1 2 3 0 -2 -1 1 2 2 3 x 3

จงหา M11 , M23 และ M32

ว่�ธ์�ที่)าM11 = =

-1 2 3 0 -2 -1 1 2 2

-2 -1 2 2

= -4 – (-2) = -2 ตอ็บ

M23 = =-1 2 3 0 -2 -1 1 2 2

-1 2 1 2

= -2 – (2) = -4 ตอ็บ

M32 = =-1 2 3 0 -2 -1 1 2 2

-1 3 0 -1

= 1 – 0 = 1 ตอ็บ

โคแฟกเตอร์� (Cofactor)

โคืแฟกเตอ็ริ� (Cofactor ) หริ�อ็ Cij โดยที่�� Cij = (-1)i + j . Mij

Ex7.ก)าหนดให( A = -1 2 3 0 -2 -1 1 2 2 3 x 3

จงหา C11 และ C23

C11 = (-1)1 + 1. M11 = (-1)2 . -2 -1 2 2

= 1 . (-2) = -2 ตอ็บ

C23 = (-1)2 + 3. M23 = (-1)5 . = -1 . (-4) = -2 ตอ็บ-1 2

1 2ข(อ็สิ่!งเกต เน��อ็งจาก Cij = (-1)i + j . Mij

ถ(า i + j เป็�นเลขคื" จะที่)าให( -1( )i+j = 1 จะได( Cij = Mij

ถ(า i + j เป็�นเลขคื�� จะที่)าให( -1( )i+j = -1 จะได( Cij = -Mij

การ์หาค#าด�เทอร์�ม�แนนต�โดยวิ�ธี�การ์กร์ะจายโคแฟกเตอร์�

ด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�ขอ็ง A หริ�อ็ det.A จะสิ่ามาริถหาได( 2 ว่�ธ์� คื�อ็ 1. การิเล�อ็กแถว่ คื�อ็ การิเล�อ็กแถว่ใดแถว่หน��งขอ็งเมตริ�กซ์�เพี�ยงแถว่เด�ยว่เที่ าน!�นหล!งจากน!�นจ�งที่)าการิหาด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�

เล�อ็กแถว่ที่�� 1 จะได( det.A = a11C11+ a12C12+ a13C13

ก)าหนดให( A = 2 -1 34 2 2

5 4 4 3 x 3

= 2C11+ (-1)C12 + 3C13

= 2(0) + (-1)(-6) + 3(6)= 0 + 6 + 18

= 24 ตอ็บ“ อ็ย ากล!ว่ที่��จะก(าว่ชิ(าๆ ”แต จงกล!ว่ที่��จะอ็ย" เฉยๆ

2. การิเล�อ็กหล!ก คื�อ็ การิเล�อ็กหล!กใดหล!กหน��งขอ็งเมตริ�กซ์�เพี�ยงหล!กเด�ยว่เที่ าน!�นหล!งจากน!�นจ�งที่)าการิหาด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�

เล�อ็กหล!กที่�� 1 จะได( det.A = a11C11+ a21C21+ a31C31

ก)าหนดให( A = 2 -1 34 2 2 5 4 4 3 x 3

= 2C11+ (4)C21 + 5C31

= 2(0) + (4)(16) + 5(-8)= 0 + 64 - 40

= 24 ตอ็บข-อส!งเกต ไม ว่ าจะหาด�เที่อ็ริ�ม�แนนต�โดยการิกริะจายโคืแฟกเตอ็ริ�แถว่หริ�อ็ว่ าหล!กไหนก�ตามจะม�คื าเที่ าก!นเสิ่มอ็

1. จงหา det.A เม��อ็ก)าหนดให(A = 4 3 2

2 -5 -3 2 0 0 3 x 3

หา det.A โดยการิกริะจายโคืแฟกเตอ็ริ� เล�อ็กกริะจายแถว่ที่�� 3det.A = a31C31 + a32C32 + a33C33

= 2C31 + 0C32 + 0C33= 2C31

หา C31 = (-1)3+1.M31

C31 = 1. 3 2-5 -3= (3)(-3) – (-5)(2) = -9 + 10 = 1

แที่นคื า C31 ใน det.A = 2(1) = 2 det.A = 2 ตอ็บ

* การิเล�อ็กกริะจายแถว่หริ�อ็หล!กไหนคืว่ริเล�อ็กที่��ม�คื า 0 อ็ย"

จงหา det.A (แสิ่ดงว่�ธ์�ที่)าอ็ย างละเอ็�ยด )

แบบฝึ6กห!ดก)าหนดให( A =

2 4 -2 0 -1 0 2 0 3 1 5 2

- 1 4 2 3 4 x 4

ข-อตกลงให(น!กศู�กษาสิ่ งงานในริ"ป็แบบ แนบไฟล�สิ่ งที่าง E-mail หริ�อ็เข�ยนสิ่ งในริ"ป็ขอ็งกริะดาษ A4 เล�อ็กอ็ย างใดอ็ย างหน��ง * สิ่ ง ก อ็นว่!นที่�� 1 ก.คื 2549

E-mail : [email protected] หริ�อ็ [email protected] หริ�อ็ สิ่ งการิบ(าน online ขอ็งเว่ป็ อ็�.เที่คื

“ ”คืว่ามสิ่ามาริถที่)าให(คื0ณ์ไป็ถ�งจ0ดสิ่"งสิ่0ด แต คืว่ามอ็ อ็นน(อ็มที่)าให(คื0ณ์อ็ย" จ0ดน!�นได(นานที่��สิ่0ด จบเน��อ็หาเริ��อ็งเมตริ�กซ์�แคื น��นะคืริ!บ .... ต!�งใจมากๆล ะ

วิชาคณิตศาสตร์ 2

Documents