เฉลยคณิต 2551

1 เฉลยขอสอบวชาคณตศาสตร โควตา ม .ขอนแกน ปการศกษา 2550 โดย พเปยก

เฉลยขอสอบโควตา ม.ขอนแกน ป 𝟐𝟓𝟓𝟎 วชา คณตศาสตร(วทย)

สอบวนท 𝟒 พฤศจกายน 𝟐𝟓𝟓𝟎 ตอนท 𝟏 ขอสอบแบบปรนยแบบ 𝟒 ตวเลอก จ านวน 𝟏𝟒 ขอ (ขอ 𝟏 − 𝟏𝟒) ขอละ 𝟐 คะแนน

𝟏. ให 𝒑 แทนประพจน "ส าหรบจ านวนจรง 𝒙 ทกตว ถา 𝒙 < 2 แลว 𝒙𝟐 < 4"

ให 𝒒 แทนประพจน "ส าหรบจ านวนจรง 𝒙 ทกตว มจ านวนจรง 𝒚 บางตวท 𝒙𝟐𝒚 = 𝒙"

ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ

[𝟏] ~𝒑 ⇒ 𝒒 𝟐 ~𝒑 ⇒ ~𝒒 [𝟑] 𝒒 ⇒ ~𝒑 𝟒 ~𝒒 ⇒ ~𝒑

เฉลย

𝑝 แทนประพจน ∀𝑥 ∈ ℝ [𝑥 < 2 ⇒ 𝑥2 < 4] เปนเทจครบ

เพราะ มจ านวนจรงบางตวท 𝑥 < 2 แลว 𝑥2 ≮ 4

เชน 𝑥 = −3 จะได −3 < 2 แต 𝑥2 = (−3)2 = 9 ≮ 4 ดงนน 𝑝 จงเปนเทจคบ

𝑞 แทนประพจน ∀𝑥∃𝑦[𝑥2𝑦 = 𝑥]

กรณ 𝑥 = 0 เราเลอก 𝑦 ตวไหนกได เพราะ 02𝑦 = 0 เสมอ

กรณ 𝑥 ≠ 0 เราเลอก 𝑦 =1

𝑥 จะท าให 𝑥2 ∙

1

𝑥= 𝑥

เชน 𝑥 = −2 เลอก 𝑦 =1

(−2) จะได (−2)2 ∙

1

(−2)= −2

ดงนนทกจ านวนจรง 𝑥 เราสามารถหา 𝑦 ไดเสมอคบ ดงนนจะได 𝑞 เปนจรง

เมอพจารณา ขอ [1] ~𝑝 ⇒ 𝑞 ≡ ~𝐹 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇

ขอ [2] ~𝑝 ⇒ ~𝑞 ≡ ~𝐹 ⇒ ~𝑇 ≡ 𝑇 ⇒ 𝐹 ≡ 𝐹

ขอ [3] 𝑞 ⇒ ~𝑝 ≡ 𝑇 ⇒ ~𝐹 ≡ 𝑇 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇

ขอ [4] ~𝑞 ⇒ ~𝑝 ≡ ~𝑇 ⇒ ~𝐹 ≡ 𝐹 ⇒ 𝑇 ≡ 𝑇

ตอบขอ [𝟐]

วเคราะห : ขอนตองการตรวจสอบเราเรองตรรกศาสตรคบ ตองเขาใจประพจนบงชปรมาณ

จะเปนจรงหรอเทจเมอไหร ไมคอยออกบอยเทาไหร แตกถอวาไมยากคบ สๆ


𝟐. ถา 𝑨 = {𝒑|𝒑 เปนจ านวนเฉพาะ และ 𝒑 หาร 𝟓𝟎𝟒 − 𝟐𝒑 𝟑 ลงตว} แลว ผลบวกของสมาชกของเซต 𝑨 คอ

ขอใดตอไปน [𝟏] 𝟗 𝟐 𝟏𝟎 [𝟑] 𝟏𝟏 𝟒 𝟏𝟐

เฉลย

ขอนเราสามารถท าแบบเลอกสมไปเรอยๆได เพราะเราเหนตวเลอกแลว มคามากสดคอ 12 เอง แสดงวาจ านวน

เฉพาะนนไมเยอะมาก เอาหละเรามาลองสมตวเลขกนด

𝑝 = 2 ; จะได [504 − 2(2)]3 = [504 − 4]3 = 5003 พบวา 𝑝|5003 วาวใชได

𝑝 = 3 ; จะได [504 − 2(3)]3 = [504 − 6]3 = 4983 พบวา 𝑝|4983 วาวใชไดอกแลว

𝑝 = 5 ; จะได [504 − 2(5)]3 = [504 − 10]3 = 4943 พบวา 𝑝 ∤ 4943 ตวนไมลงตวคบ

𝑝 = 7 ; จะได [504 − 2(7)]3 = [504 − 14]3 = 4903 พบวา 𝑝|4903 วาวใชไดอกแลว

ดงนน 𝑝 ทงหมดคอ 2, 3, 7 บวกกนได 12 คบตวเลอกขอนสดๆ แลวคบ

เนองจาก (𝐴 − 𝐵)3 = 𝐴3 − 3𝐴2𝐵 + 3𝐴𝐵2 − 𝐵3

หรอเราทองกนจนชนปากวา (หนา − หลง)3 = หนา3− 3หนา2หลง + 3หนาหลง2 − หลง3

ถายงจ ากนไมไดก น า 𝐴 − 𝐵 2 𝐴 − 𝐵 = 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2 𝐴 − 𝐵 อนนเปนก าลงสองคงคนกนนะคบ

เอาหละ คราวนเราจะมาพจารณา

504 − 2𝑝 3 = 5043 − 3 504 2 2𝑝 + 3 504 (2𝑝)2 − (2𝑝)3 เนองจาก 𝑝|3 504 22𝑝 (เพราะมตวประกอบคอ 𝑝 อยดวยคบ)

𝑝|3(504)(2𝑝)2 (เพราะมตวประกอบคอ 𝑝 อยดวยคบ)

𝑝|(2𝑝)3 (เพราะมตวประกอบคอ 𝑝 อยดวยคบ)

โดยหลกการของการหารลงตว เรามขอสงเกตอยวา

ถา 𝑎 𝑏 ± 𝑐 ± 𝑑 ± ⋯ ± 𝑦 ± 𝑧 และ 𝑎 𝑏, 𝑎 𝑐, 𝑎 𝑑, … , 𝑎|𝑦 เราสามารถสรปไดวา 𝑎|𝑧

นนคอ 𝑝|5043 จะไดวา 𝑝|504 (เนองจากวา ถา 𝑎 𝑏𝑛 แลว 𝑎 𝑏 ส าหรบทก 𝑛 ทเปนจ านวนเตมบวกคบ)

เราจงหาจ านวนเฉพาะทงหมดทหาร 504 ไดทงหมด 3 ตวคอ 2, 3, 7 โดยไดมาจากการแยกตวประกอบ

504 = 23 ⋅ 32 ⋅ 7 ตอบขอ [4]

วเคราะห : ขอนถานองคนไหนออนเรองทฤษฎจ านวนสกหนอย กแยเหมอนกน โดยเฉพาะเรองการหารลง

ตวนขอสอบขาดไมได เหนออกกนอยทกป คบ ถาไมคลองทฤษฎกไปอานมาซะนะ

วธท 1

วธท 2


𝟑. จ านวนเตมบวกจ านวนหนงมสหลก และหารดวย 𝟗𝟎 ลงตว ถาจ านวนนมตวเลขหลกพนเปน 𝟐 และหลก

รอยเปน 𝟏 แลวหลกสบคอขอใด

[𝟏] 𝟔 𝟐 𝟕 [𝟑] 𝟖 𝟒 𝟗

เฉลย จากขอมลเราสามารถเขยนจ านวนนคอ 2 1 𝑎 𝑏

แตเนองจาก 90|21𝑎𝑏 เราจะเหนไดวา 𝑏 = 0 ไดเพยงอยางเดยว

ดงนน เราจงพจารณาเพยง 9|21𝑎 โดยวธตงหารยาวเราจะได 𝑎 = 6

หลกสบจงเปน 6

ตอบขอ [1] ขอนงายจรงๆคบ ถาเปนเราสอบตองเกบคะแนนขอนใหไดนะ

วเคราะห : ขอนถอวาออกมาใหกนคะแนนฟรๆ (พะนะ !) ไมยากเลย แครจกค าวา "หารลงตว "

𝟒. เมตรกซในขอใดตอไปนมรปขนบนไดแบบแถว (𝑹𝒐𝒘 𝒆𝒄𝒉𝒆𝒍𝒐𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎)

[𝟏] 𝟏 𝟐𝟎 𝟓

𝟑 𝟒𝟔 𝟕

𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟐

𝟏 𝟐𝟎 𝟎

𝟑 𝟒𝟏 𝟐

𝟎 𝟏 𝟎 𝟔

[𝟑] 𝟏 𝟐𝟎 𝟎

𝟑 𝟒𝟏 𝟕

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟒

𝟏 𝟎𝟎 𝟎

𝟎 𝟎𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏 𝟎

เฉลย เมตรกซในรปขนบนไดแถว (𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚) คอเมตรกซทมคณสมบตดงตอไปน

1. เปนเมตรกซทมตวน าในแตละแถว เปน 1

2. สมาชกทอยหนาตวน าทกตวตองเปน 0

3. ตวน า 1 ในแตละคอลมนตองอยแบบเยองมาทางขวามอ (หามอยตรงกน) เชน

1 30 1

4 57 −1

0 0 1 −3 ,

0 10 0

3 41 1

0 0 0 1 ,

1 20 1

3 4 51 4 5

0 0 0 1 2


4. แถวทมสมาชกเปน 0 หมด (ถาม) แถวนนตองอยลางสด

เชน 1 00 1

0 10 0

0 0 0 0

จากตวเลอกของขอน เราจะไดขอ [3] เปน 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚

จรงๆแลวถาใครไมรจก 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚 กไมแปลกครบ เนอหานอยใน 𝑀𝑎𝑡𝑕𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑠 𝐼 ของคณะ

วทยาศาสตร นองๆป 1 ทกคนตองไดเรยน ครบ แตเพอเตรยมความพรอมของนอง ม . 6 จงเอามาออกสอบมงคบ

ตอบขอ [3]

วเคราะห : ขอนตองการตรวจสอบนยามของ 𝑅𝑜𝑤 𝑒𝑐𝑕𝑒𝑙𝑜𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚 ใครอานมากได ใครไมไดอานมากตว

ใครตวมนคบ เพราะนอยนกนอยหนาจะออกแบบน

𝟓. ก าหนดให 𝑻 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔 และความสมพนธ 𝒓 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑻 × 𝑻|𝒙 > 5 หรอ 𝒚 ≤ 𝟐}

และ 𝒔 = {(𝒙, 𝒚) ∈ 𝑻 × 𝑻|𝒙 ≤ 𝟓 หรอ 𝒚 > 2} ขอใดตอไปนผด

[𝟏] 𝑹𝒓 − 𝑹𝒔 = ∅ 𝟐 𝑫𝒓 ∪ 𝑫𝒔 = 𝑻 [𝟑] 𝒓 ∪ 𝒔 = 𝑻 × 𝑻 𝟒 𝒓 ∩ 𝒔 = ∅

เฉลย อยางแรกเราตองหา 𝑟 กอนนะ

แตพอยากใหนองทบทวนกอนวา 𝑇 × 𝑇 (อานวา 𝑇 ครอส 𝑇) มสมาชกกตว กมเทากบ 𝑛(𝑇) ∙ 𝑛 𝑇 ครบ

เทากบ 6 ∙ 6 = 36 ซงไดแก

{ 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 , 2, 1 , 2, 2 , … , (6, 6)}

จากโจทยโดเมนของ 𝑟 ตองมากกวา 5 ดงนนคล าดบทสอดคลอง คอ

6, 1 , 6, 2 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , 6, 6 ∈ 𝑟 ม 6 ตวใชปะ

จากเรนจของ 𝑟 ตองนอยกวาหรอเทากบ 2 ดงนนคล าดบทสอดคลอง คอ

1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 5, 1 , 5, 2 , 6, 1 , (6, 2) ∈ 𝑟

ดงนนน าสองเซตมายเนยนกน จะพบวามบางสมาชกซ ากน (ในเซตเราถอวาเอามาตวเดยวพอ)

จะได 𝑟 = { 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 4, 1 , 4, 2 , 5, 1 , 5, 2 , 6, 1 , 6, 2 ,

6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6)}

ดงนน 𝐷𝑟 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 𝑅𝑟 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (เทากนเยย)

คราวนเรามาดของ 𝑠 กนบางนะครบ


จาก 𝑠 = 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑇 × 𝑇 𝑥 ≤ 5 หรอ 𝑦 > 2}

โดเมนของ 𝑠 นอยกวาหรอเทากบ 5

จะไดคล าดบทสอดคลอง คอ 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 ,

2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , … , 2, 6 , 3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , … , 3, 6 , ⋮ ⋮ 5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , … , (5, 6) ∈ 𝑠

หรอ เรนจของ 𝑠 มากกวา 2 จะได คล าดบทสอดคลอง คอ

1, 3 , 1, 4 , 1, 5 , 1, 6 , 2, 3 , 2, 4 , 2, 5 , 2, 6 , ⋮ ⋮ 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6) ∈ 𝑠

จบสมาชกของ 𝑠 ทงหมดมารวมกนจะได จะได

𝑠 = { 1, 1 , 1, 2 , 1, 3 , … , 1, 6 , 2, 1 , 2, 2 , 2, 3 , … , 2, 6 , 3, 1 , 3, 2 , 3, 3 , … , 3, 6 , ⋮ ⋮ 5, 1 , 5, 2 , 5, 3 , … , 5, 6 , 6, 3 , 6, 4 , 6, 5 , (6, 6)}

𝐷𝑠 = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 𝑅𝑠 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ดงนนตอนนสรปวา 𝐷𝑟 = 𝑅𝑟 = 𝐷𝑠 = 𝑅𝑠 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 𝑇

พจารณาตวเลอกแตละขอคบ

1 𝑅𝑟 − 𝑅𝑠 = ∅ ถกแลวคบ 2 𝐷𝑟 ∪ 𝐷𝑠 = 𝑇 มนถกอกแลว

[3] 𝑟 ∪ 𝑠 = 𝑇 × 𝑇 ถกตองนะคาบ ลองยเนยนกนดไดครบทกตวคบ

4 𝑟 ∩ 𝑠 = ∅ ผดคบ เพราะมตงหลายตวทซ ากน เปนไปบไดดอกทจะเปนเซตวาง อยางนอยๆกม (1,1) ละเอา

จรงๆแลวตอนหาโดเมนกบเรนจ ขอนเราไมจ าเปนกระจาย จนกระจยออกมาหมดเปลอกเหมอนอยางพกไดคบ เพราะโดเมน

กบเรนจสดๆกม 6 ตว แตอยางไรกตามเรากตองหามนอยด เพราะขอ 3 , [4] เราตองรวามนมอะไรบาง

ตอบขอ [4]

วเคราะห : ขอนออกจะยาวสกหนอย แตถาไดฝกท าบอยๆ พปอ ณฐวฒ ยงเรยกพคบ มนออกจะถกสกหนอย

แตกคมเพราะมแคเรองเซต และผลคณคารทเซยน เรยนกนมาตงแต ม.𝟒 (แตกคนอาจารยไปหมดแลว)


𝟔. ถากราฟของสมการ 𝒚 = 𝒇(𝒙) เปนฟงกชนเพมและ 𝒄 เปนจ านวนจรงใดๆ แลวกราฟของสมการในขอใด

ตอไปนไมเปนฟงกชนเพม

[𝟏] 𝒚 = 𝒇(𝒙 − 𝒄) 𝟐 𝒚 = 𝒇 𝒙 + 𝒄 [𝟑] 𝒚 = 𝒇 −𝒙 − 𝒄 𝟒 𝒚 = −𝒇 −𝒙 + 𝒄

เฉลย เรามาดนยามของฟงกชนเพมและฟงกชนลดกนกอนนะครบ

ฟงกชนเพม

(จ าไววา เครองหมายเหมอนกน )

นยามของฟงกชนเพมอาจนยามไดอกแบบคอ ถา 𝑥1 < 𝑥2 แลว 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2

ฟงกชนลด

(จ าไววา เครองหมายตาง )

นยามของฟงกชนลดอาจนยามไดอกแบบคอ ถา 𝑥1 < 𝑥2 แลว 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2

ขอนขอเสนอวธเชค งายๆ โดยสมมตฟงกชนทเปนฟงกชนเพมมาสก 1 ตว

คอ 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 เราจะแสดงวา 𝑓 เปนฟงกชนเพมดงน

ให 𝑥1 > 𝑥2

บวกดวย 1 ทงสองขางอสมการ จะได 𝑥1 + 1 > 𝑥2 + 1

ดงนน 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2 (เพราะจากโจทย 𝑥1 + 1 = 𝑓(𝑥1) และ 𝑥2 + 1 = 𝑓(𝑥2) )

นนคอ 𝑓 เปนฟงกชนเพมครบ

ตรวจสอบตวเลอกขอ 1 ครบ

ให 𝑐 = 1 (ใหเปนอะไรกได เพราะเปนคาคงทใดๆ)

พจารณา 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 + 1 = 𝑥

ไดฟงกชนนคอ 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 เมอตรวจสอบโดยนยามขางตนจะได 𝑓 เปนฟงกชนเพมครบ

ส าหรบทกคา 𝑥1 , 𝑥2 ทอยในโดเมนของ 𝑓 ถา 𝑥1 > 𝑥2 แลว 𝑓 𝑥1 > 𝑓 𝑥2

ส าหรบทกคา 𝑥1 , 𝑥2 ทอยในโดเมนของ 𝑓 ถา 𝑥1 > 𝑥2 แลว 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥2


ตรวจสอบขอ [2] ให 𝑐 = 1 เหมอนเดม

𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 = 𝑥 + 1 + 1 = 𝑥 + 2 จะได 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2

เมอตรวจสอบโดยนยามของฟงกชนเพมจะได 𝑓 เปนฟงกชนเพมครบ

ตรวจสอบขอ 3 ให 𝑐 = 1

𝑦 = 𝑓 −𝑥 − 𝑐 = −𝑥 + 1 − 1 = −𝑥 จะได 𝑦 = 𝑓(𝑥) = −𝑥 เปนฟงกชนลดครบ วธการพสจนเปนดงน

ให 𝑥1 > 𝑥2

คณดวย −1 ตลอดอสมการน จะได −𝑥1 < −𝑥2 นนคอ 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)

จะได 𝑓 เปนฟงกชนลดครบ

สวนขอ [4] นนเปนฟงกชนเพมครบ ลองท าดคลายๆกบตวอยางขางบนครบ

ตอบขอ [3]

วเคราะห : ขอสอบประเภทนไมคอยออกครบ แตกออกมาเพอทดสอบความรเรองนยามฟงกชนเพมฟงกชน

ลดครบ นยามกไมยากทจะจดจ าครบ เพราะฉะนนขอนกไมยากเกนไปครบ

𝟕. ก าหนดใหวงกลมอยในครอดรนตท 𝟏 มรศมเทากบ 𝟑 หนวย และสมผสแกน 𝑿 และแกน 𝒀 ทจด 𝑨 และ 𝑩

ตามล าดบ ถา 𝑳 เปนเสนตรงทตดแกน 𝑿 และแกน 𝒀 ทจด 𝑨 และ 𝑩 ตามล าดบ แลวระยะหางระหวางจด

ศนยกลางของวงกลมกบเสนตรง 𝑳 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟐

𝟐 หนวย 𝟐

𝟑 𝟐

𝟐 หนวย

[𝟑] 𝟐 𝟐 หนวย 𝟒 𝟑 𝟐 หนวย


เฉลย

จากภาพเราจะไดจดศนยวงกลมคอ (3,3)

เนองจาก ∆𝐴𝑂𝐵 เปนสามเหลยมมมฉาก

เราสามารถหาความยาว 𝐵𝐴 ไดจากทฤษฎบทปทากอรส นนคอ

𝐵𝐴 2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18

𝐵𝐴 = 18 = 3 2 เนองจาก พท.∆𝐴𝑂𝐵 คอ

1

2∙ ฐาน ∙ สง =

1

2∙ 𝐵𝐴 ∙ 𝑕 =

1

2∙ 3 2 ∙ 𝑕 ______(1)

แตเนองจาก พท.∆𝐴𝑂𝐵 (มองในทางกลบดานกนนะ)

=1

2∙ ฐาน ∙ สง =

1

2∙ 𝐵𝐴 ∙ 𝑕 =

1

2∙ 3 ∙ 3 _______(2)

ดงนน 1 = (2)

1

2∙ 3 2 ∙ 𝑕 =

1

2∙ 3 ∙ 3

ดงนน

𝑕 =3

2=

3 2

2

วธท 1


(ส าหรบคนทชนชอบเรขาคณตวเคราะห)

จากภาพเราจะหาสมการเสนตรง 𝐿 จากจดผาน 𝐴(3, 0) และ 𝐵(0, 3)

หาความชน

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1=

3 − 0

0 − 3=

3

−3= −1

เนองจากสมการทวไปของเสนตรง คอ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 เมอ 𝑥, 𝑦 คอจดผาน และ 𝑚 คอ ความชน

เราเลอกจดผานเสนตรงมา 1 จด คอ (3, 0) (อนนเราสามารถเลอก (0, 3) กได)

จะได 0 = (−1)(3) + 𝑐 นนคอ 𝑐 = 3 เราจะไดสมการเสนตรงคอ 𝑦 = −𝑥 + 3

จากสตรของระยะหางระหวางเสนตรง 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐 = 0 กบจด (𝑥1, 𝑦1) คอ

𝑑 = 𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶

𝐴2 + 𝐵2

ดงนนระยะหางระหวางเสนตรง 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 กบจด 3, 3 คอ

1 3 + 1 3 − 3

12 + 12=

3

2=

3 2

2

ตอบขอ [2]

วเคราะห : ขอสอบประเภทนถอวาไมยากเพราะเลอกท าไดตงสองวธ ใครถนดแบบไหนกท าแบบนนครบ

ถงแมวาวธทสอง จะยาวไปหนอย แตวธแรกกอาจใชไมได ถา ∆𝑨𝑩𝑶 ไมเปนสามเหลยมมมฉากในขณะท

วธทสองท าไดหมดครบ เพราะฉะนนควรฝกทงสองวธ จะไดเกงๆจรงมย ในเรองเรขาคณตวเคราะห

จ าเปนตองจ าสตรพนฐานตางๆ ใหไดหมดไมงนจะท าไมไดเลยครบ

วธท 1

การหาสมการเสนตรงท าไดอกวธคอ แทนคาในสตร 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) เมอ (𝑥1, 𝑦1) คอจดผาน เราจะ

ไดสมการเสนตรง 𝑦 − 0 = (−1)(𝑥 − 3) = −𝑥 + 3 ⟹ 𝑦 = −𝑥 + 3


𝟖. วงรรปหนงมความยาวของแกนเอกเทากบความยาวของเลตสเรกตมของพาราโบลา 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟖𝒚 +

𝟐𝟖 = 𝟎 ถาวงรนมความเยองศนยกลางเทากบ 𝟏𝟐

แลวความยาวของแกนโทของวงรน คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟐 หนวย 𝟐 𝟐 𝟑 หนวย

[𝟑] 𝟒 หนวย 𝟒 𝟒 𝟑 หนวย

เฉลย พจารณาพาราโบลา เราตองการความยาวลาตสเรกตม นนคอ 4𝑐

ขนแรกพยายามจดรปใหอยในรปมาตรฐาน คอ (𝑥 − 𝑕)2 = 4𝑐 𝑦 − 𝑘 จาก

𝑥2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 28 = 0

𝑥2 − 4𝑥 = 8𝑦 − 28

(𝑥 − 2)2 − 4 = 8𝑦 − 28

(𝑥 − 2)2 = 8𝑦 − 24

(𝑥 − 2)2 = 8(𝑦 − 3)

ดงนน 4𝑐 = 8 นนคอ 4𝑐 = 8 เปนคา เลตสเรกตม (𝐿𝑅) ดงนนความยาวแกนเอกคอ 8 นนคอ

2𝑎 = 8 จะได 𝑎 = 4 จากสตรความเยองศนยกลางของวงร คอ 𝑒 =𝑐

𝑎 (อนนตองจ าหนอยนะครบ)

ดงนน

1

2=

𝑐

𝑎=

𝑐

4⇒ 𝑐 = 2

จากความสมพนธระหวาง 𝑎, 𝑏 , 𝑐 ของวงรคอ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

( 𝑎 เปนใหญในวงร 𝑐 เปนใหญใน 𝑕𝑦𝑝𝑒𝑟 ถาใน 𝑕𝑦𝑝𝑒𝑟 จะได 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2)

ดงนน 42 = 𝑏2 + 22 จะได 𝑏 = 2 3 ดงนนความยาวแกนโทคอ 2𝑏 = 4 3


ตอบขอ [4]

วเคราะห : ขอสอบประเภทนทดสอบเรองวงรและพาราโบลาครบ ทกสมการเราตองจ าใหไดครบ

โดยเฉพาะสมการมาตรฐาน เพราะขอสอบนยมออกสอบแบบผสมผสานกนอยางมากครบ

และอยาไดคดวาจ าเรอง วงกลม พาราโบลา วงร และไฮเปอรแลวจะท าได เราตองจ าเรองเรขาคณตวเคราะห

ดวย โดยเฉพาะเรองเสนตรง และสตรตางๆ ตองหาเทคนคจ าใหได

𝟗. ก าหนดให ℝ แทนเซตของจ านวนจรงและ 𝑨 = 𝒙 ∈ ℝ 𝟓𝟗 𝟐𝒙 −𝟐 = 𝟔𝟐𝟓𝟐𝟐𝒙 } ผลบวกสมาชกของ 𝑨

คอขอใดตอไปน

[𝟏] −𝟏 𝟐 −𝟐

𝟓 [𝟑] 𝟎 𝟒

𝟏

𝟓

เฉลย การแกสมการหรออสมการ ทอยในรปเอกซโปเนนเชยล เราจ าเปนทจะตองท าฐานใหเทากนครบ

𝟓𝟗 𝟐𝒙 −𝟐 = 𝟔𝟐𝟓𝟐𝟐𝒙= (𝟓𝟒)𝟐𝟐𝒙

= (𝟓)𝟒∙𝟐𝟐𝒙= (𝟓)𝟐𝟐∙𝟐𝟐𝒙

= (𝟓)𝟐𝟐𝒙+𝟐

เมอฐานเทากนแลว เราจะน าเลขชก าลงมาเทากนครบ จะไดวา

𝟗 𝟐𝒙 − 𝟐 = 𝟐𝟐𝒙+𝟐

𝟐𝟐𝒙+𝟐 − 𝟗 𝟐𝒙 + 𝟐 = 0

𝟒 ∙ 𝟐𝟐𝒙 − 𝟗 𝟐𝒙 + 𝟐 = 0_____(1)

ตอไปให 𝐵 = 2𝑥 แทนใน (1)

4𝐵2 − 9𝐵 + 2 = 0

4𝐵 − 1 𝐵 − 2 = 0

𝐵 =1

4, 2

กรณ 𝐵 =1

4⇒ 2𝑥 =

1

4= 2−2 ⇒ 𝑥 = −2

กรณ 𝐵 = 2 ⇒ 2𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 1

ดงนนผลบวกค าตอบ คอ −2 + 1 = −1


ตอบขอ [1]

วเคราะห : ขอสอบประเภทนออกสอบทกปครบ อยทวาจะเอาค าตอบไปท าอะไรครบ เรองเอกซโปรเนยมน

ยากตรงทท าฐานใหเทากน และแปลงเปนสมการก าลงสอง แลวแยกตวประกอบออกมา หาค าตอบครบ

เรองการแยกตวประกอบกมความส าคญมากเหมอนกนครบ จ าเปนตองมพนฐานเรองนมาก

𝟏𝟎. คาของ 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 −𝟒

𝟑 คอขอใดตอไปน

[𝟏] −𝟒

𝟓 𝟐

−𝟑

𝟓 𝟑 𝟑

𝟓 𝟒

𝟒

𝟓

เฉลย อยางแรกเราตองนกถง

𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 𝑥

ดงนนเราตองหาคา 𝑦 ทท าให 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 −𝟒

𝟑 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔 𝒚

ให 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −4

3 = 𝜃 แสดงวา 𝑡𝑎𝑛𝜃 =

−4

3= −

4

3 เราจงเขยนสามเหลยมมมฉากไดสองรปดงน


สงเกตเหนวารปทงสองใหคา 𝑡𝑎𝑛𝜃 = −4

3 ทงค แตเราตองเลอกมาพจารณาเพยงรปเดยวเทานน สงจะก าหนดไดวาเรา

จะเลอกรปไหนคอ 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 −𝟒

𝟑 แต − 𝜋

2< 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 <

𝜋

2 นนคอ เรนจของ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 มคาอยระหวาง

ครอดรนตท 1 หรอ 4 เทานน แต 𝑡𝑎𝑛 𝜃 มเครองหมายลบ ท าให 𝜃 ตองอยในครอดรนตท 4 นนคอเราตองเลอกรปท 1

มาพจารณานนเอง เพราะ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =3

5 เปนบวก สอดคลองกบท 𝜃 อยในครอดรนตท 4

ถายงไมเขาใจเรองเครองหมายของคาฟงกชนเหลาน ใหไปอานในหวขอ หลกการลดทอนมมทางตรโกณมต ในหวขอถดจาก

ขอ 12

เมอไดสามเหลยมมมฉากรปท 1 มาแลว กอยาไดใหสญเปลา เราจงพจารณาไดดงน

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −4

3 = 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(

3

5)

นนคอ

𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 −4

3 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠

3

5 =

3

5

ตอบขอ [1]

วเคราะห : ขอสอบขอนอาจตองใชความรเรองโดเมนและเรนจของฟงกชน 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 มาชวย ตรงนส าคญ

มากครบ ถายงไมเขาใจ ควรท าความเขาใจใหถองแทซะ เพราะขอสอบออกบอยมากๆ แทบทกป มขอสอบ

แบบนแตเปลยนฟงกชนไปเรอยๆ อาจเปน 𝒔𝒊𝒏, 𝒄𝒐𝒔, 𝒕𝒂𝒏 มนไมยากถาหากเราใสใจมนสกนด

ทบทวน − 𝜋

2≤ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 ≤

𝜋

2 , 0 ≤ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≤ 𝜋 , −

𝜋

2< 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 <

𝜋

2 จ าไดมยเอย


𝟏𝟏. ก าหนดให 𝒖 และ 𝒗 เปนเวกเตอรซง 𝒖 + 𝒗 𝟐 + 𝒖 − 𝒗 𝟐 = 𝟐𝟐 และ 𝒖 = 𝟑 ถามมระหวาง

𝒖 และ 𝒗 เปน 𝟔𝟎° แลวคาของ 𝒖 ∙ 𝒗 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟐 𝟐 𝟔

[𝟑] 𝟏𝟐 𝟒 𝟏𝟖 เฉลย

จากสตรการดอทกนของเวกเตอร

𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃____________(1)

เมอ 𝜃 เปนมมระหวาง 𝑢 และ 𝑣

เนองจาก

𝑢 + 𝑣 2 + 𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 2 + 2 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑣 2 + 𝑢 2 − 2 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑣 2 = 2 𝑢 2 + 2 𝑣 2 = 22

ดงนนเราจะได

𝑢 2 + 𝑣 2 = 11

แต 𝑢 = 3

ดงนน 3 + 𝑣 2 = 11 ⇒ 𝑣 = 8

จาก (1)

𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 3 ∙ 8 ∙ 𝑐𝑜𝑠60° = 3 ∙ 8 ∙1

2= 6

ตอบขอ [2]

วเคราะห : ขอสอบขอนถาจ านยามของการดอท และสตรก าลงสองของเวกเตอรกท าไดแลวครบ ถอวาไม

ยาก แตกออกสอบทกปเหมอนกน


𝟏𝟐. ถา 𝒛 = 𝟏+ 𝟑𝒊

𝟏− 𝟑𝒊

𝟏𝟎

แลว ตวผกผนของการบวกของ 𝒛 คอขอใดตอไปน

[𝟏] − 𝟏

𝟐+

𝟑

𝟐𝒊 𝟐 −

𝟏

𝟐−

𝟑

𝟐𝒊

[𝟑] 𝟏𝟐

+ 𝟑

𝟐𝒊 𝟒

𝟏

𝟐−

𝟑

𝟐𝒊

เฉลย พจารณา

1 + 3𝑖 (1 + 3𝑖)

1 − 3𝑖 (1 + 3𝑖)=

1 + 2 3𝑖 + ( 3𝑖)2

1 − ( 3𝑖)2

=1 + 2 3𝑖 − 3

1 − (−3)

=1 + 2 3𝑖 − 3

4

=−2 + 2 3𝑖

4

=−1

2+

3𝑖

2

อมมม…..ตองยกก าลง 10 เชยวรเนยว จะยกยงไงไหวเนย เพราะมนตองยาวขนเรอยๆแน

เราตองเปลยนใหอยในรปเชงขวกอนถงจะงายครบ 555 + +

มาดวธท าใหอยในรปเชงขวกอนครบ (ตองจ าซะหนอยนะ) และจะชใหเหนดวยวา ถาไมคณดวยสงยค เพอจดรปกอนจะยาว

กวาทจดรปมากนอยแคไหน มาดกนเลย

พจารณา ให 𝑧1 = 1 + 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑏

𝑎=

3

1 ดงนน 𝜃 = 60° =

𝜋

3 (อยในครอดรนตท 1 , 𝑎 เปน + และ 𝑏 เปน+)

และ 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 = 12 + ( 3)2 = 4 = 2

ดงนน 𝑧1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2(𝑐𝑜𝑠𝜋

3+ 𝑖𝑠𝑖𝑛

𝜋

3)

การหามมถาใครยงสงสยใหไปดท หลกการหามมเพอเขยนจ านวนเชงซอนในรปเชงขว ในหวขอหลงจากขอน


ให 𝑧2 = 1 − 3𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖

𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑏

𝑎=

− 3

1 ดงนน 𝜃 = 300° =

5𝜋

3 (อยในครอดรนตท 4, 𝑎 เปน + และ 𝑏 เปน−)

และ 𝑟 = 𝑎2 + 𝑏2 = 12 + (− 3)2 = 4 = 2

ดงนน 𝑧1 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2[𝑐𝑜𝑠 5𝜋

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛

5𝜋

3 ]

จากสตรการหารจ านวนเชงซอนในรปเชงขวจะได

𝑧1

𝑧2=

𝑟1

𝑟2 𝑐𝑜𝑠 𝜃1 − 𝜃2 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 𝜃1 − 𝜃2 =

2

2 𝑐𝑜𝑠

𝜋

3−

5𝜋


𝜋

3−

5𝜋

3

= 𝑐𝑜𝑠 −4𝜋

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−

4𝜋

3)

= 𝑐𝑜𝑠 4𝜋

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−

4𝜋

3)

ตอไปหา 𝑧1

𝑧2

10

โดยสตรของเดอรมวร 𝑧𝑛 = 𝑟𝑛(𝑐𝑜𝑠( 𝑛𝜃) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜃))

ดงนน

𝑧1

𝑧2

10

= 110[𝑐𝑜𝑠 10 ∙4𝜋

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛(−10 ∙

4𝜋

3)]

= 𝑐𝑜𝑠 40𝜋

3 − 𝑖𝑠𝑖𝑛(

40𝜋

3)

เนองจาก 40𝜋

3= 13𝜋 +

𝜋

3 ตกอยในครอดรนตท 3 ดงนน 𝑐𝑜𝑠

40𝜋

3 = −

1

2 และ 𝑠𝑖𝑛

40𝜋

3 = −

3

2

ดงนน

𝑧1

𝑧2

10

= −1

2+

3

2𝑖

โจทยตองการตวผกผนการบวก ซงกคอ เมอน ามาบวกกบตวมนแลวไดเอกลกษณ คอ

ดงนนเราจงไดตวผกผนคอ 12−

3

2𝑖 ซงน ามาบวกกบ 𝑧1

𝑧2

10

แลวได 0

ตอไปนขอเสนออกวธหนงซงเกรนไวตงแตตอนแรกดวยการคณดวยสงยคของตวมนเอง

ให 𝑧′ =−1

2+

3𝑖

2 ท าใหอยในรปเชงขวแลวยกก าลง 10 เราจะไดวา


𝑎 =−1

2, 𝑏 =

3

2 , 𝑟 =

−1

2

2

+ 3

2

2

= 1, 𝜃 =2𝜋

3

ดงนน 𝑧′ = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 2𝜋


2𝜋

3

น ามายกก าลง 10 โดยใชสตรของเดอรมวรจะได

𝑧 = (𝑧′)10 = 𝑐𝑜𝑠 10 ∙2𝜋

3 + 𝑖𝑠𝑖𝑛 10 ∙

2𝜋

3 = −

1

2+

3𝑖

2

ตวผกผนการบวกของ 𝑧10 คอ 1

2−

3𝑖

2

เหนไหมละวาสงยคมประโยชนมากนะครบวธทสองงายกวาเยอะเลยครบ

ตอบขอ [4]

วเคราะห : ขอสอบขอนถอวายากครบพอแมพนองครบ เพราะตองใชความรหลายอยางเลย รวมถงตรโกณ

ดวยครบ แตถาจ าหลกการและฝกท าบอยๆ จะจ าไดเองครบ เปนอตโนมตเชยวแหละไมตองกงวล ขอนถอวา

ตองใชเวลามากพอสมควร (ถาท ามาถกวธกไมยาวหรอกครบ) แตถาไดหลกการเหลาแลว เรองตรโกณกจะ

เบาขนมากครบ

หลกการหามมเพอเขยนจ านวนเชงซอนใหอยในรปเชงขว

จาก 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ใหอยในรป 𝒛 = 𝒓(𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒊𝒏𝜽)

เนองจากเราทราบกนดแลววา เราสามารถหา 𝒓 ไดจาก 𝒓 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

แตทเปนปญหาคอ เราจะหา 𝜃 มาใสไดถกตองหรอไม

เราจะศกษาจากตวอยางตอไปน

ตวอยางท 1 จงเขยน 𝑧 = − 3 + 𝑖 ใหอยในรปเชงขว


เรมแรกเลย จากโจทย 𝑎 = − 3 , 𝑏 = 1 และ 𝑟 = (− 3)2 + 12 = 2

และจาก 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑏

𝑎=

−1

3 โดยท 𝜃 เปนมมทวดจากแกน 𝑋

และ 𝑎 เปนหนวยความยาวทวดจากแกน 𝑋 , 𝑏 เปนหนวยความยาวทวดจากแกน 𝑌 พจารณาดงภาพ

ตอไปพจารณาสามเหลยมมมฉากทเกดขนครบ เปนสามเหลยมทมความยาวดานตรงขามมม 𝜃 เปน 1 และความยาวดาน

ประชดมมเปน 3 ดงนน 𝜃 = 30° =𝜋

6 แตมมทเราจะระบในเชงขว เปนมมทวดจากแกน 𝑋 ทางบวกในทศทวนเขม

นาฬกา ตามลกศรเสนปะดงภาพ ดงนน 𝜃 ทเราจะใสในเชงขว คอ 𝜃 = 𝜋 −𝜋

6=

5𝜋

6= 150°

(𝜋 คอครงรอบวงกลม = 180° น าไปลบ 𝜃 ออก จะไดมมทตองการครบ)

ดงนน 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 2[𝑐𝑜𝑠 5𝜋


5𝜋

6 ]

ตวอยางท 2 จงเขยน 𝑧 = 3 − 3 3𝑖 ใหอยในรปเชงขว

เรมแรกเลย จากโจทย 𝑎 = 3 , 𝑏 = −3 3 และ 𝑟 = 32 + (−3 3)2 = 6

และจาก 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑏

𝑎=

−3 3

3 โดยท 𝜃 เปนมมทวดจากแกน 𝑋

และ 𝑎 เปนหนวยความยาวทวดจากแกน 𝑋 , 𝑏 เปนหนวยความยาวทวดจากแกน 𝑌 พจารณาดงภาพ


ตอไปพจารณาสามเหลยมมมฉากทเกดขนครบ เปนสามเหลยมทมความยาวดานตรงขามมม 𝜃 เปน 3 3 และความยาว

ดานประชดมมเปน 3 ดงนน 𝜃 = 60° =𝜋

3 แตมมทเราจะระบในเชงขว เปนมมทวดจากแกน 𝑋 ทางบวกในทศทวนเขม

นาฬกา ตามลกศรเสนปะดงภาพ ดงนน 𝜃 (ทเราจะใสในเชงขว)คอ 𝜃 = 2𝜋 −𝜋

3=

5𝜋

3= 300°

(2𝜋 คอรอบวงกลม 1 รอบ = 360° น าไปลบ 𝜃 ออก จะไดมมทตองการครบ)

ถาใครอานทงสองตวอยางยงไมรเรอง ผมมอกวธครบ จากตวอยางท 1 จะเขยน 𝑧 = − 3 + 𝑖 ในรปเชงขว

ขนแรกใหเรานกถง 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑏

𝑎=

1

3 (ยงไมตองคดเครองหมายใดๆทงสน) จะได 𝜃 =

𝜋

6

แตเนองจาก 𝜃 ตกอยในครอดรนตท 2 (ตอนนคดเครองหมายของ 𝑎 และ 𝑏 ท าใหได 𝜃 อยใน 𝑄2) ดงภาพ


หลงจากนนใหเราไลมมเรมจาก

หมายความวา ถามมตกอยในครอดรนตท 2 (𝑄2) เราจะไดวา 𝜃 =5𝜋

6 ครบ ถาตกอยในครอดรนตท 3 กกลายเปนมม7𝜋

6

นนเองครบ (แนะน าวาใหไล 1, 2, 3, 4, ,5, … ไปเรอยๆและดวาตวเลขตวไหนทเอาอะไรตดกบ 6 ไมได)

ตวอยางท 2(วธท 2) จงเขยน 𝑧 = 3 − 3 3𝑖 ใหอยในรปเชงขว

ขนแรกใหเรานกถง 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑏

𝑎=

−3 3

3= 3 (ยงไมตองคดเครองหมายใดๆทงสน คดแค 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 3) จะได

𝜃 =𝜋

3 แตเนองจาก 𝜃 ตกอยในครอดรนตท 4 (ตอนนคดเครองหมายของ 𝑎 และ 𝑏 ท าใหได 𝜃 อยใน 𝑄2) ดงภาพ

หลงจากนนใหเราไลมมเรมจาก

𝜋

6⟹

5𝜋

6⟹

7𝜋

6⟹

11𝜋

6

𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄3

ตวเลขทปรากฏ 1, 5, 7, 11 คอ ตวเลขเรยงถดไป และม ห.ร.ม กบ กบ 6 เปน 1

(หรอคดงายๆ ตวเลขทเอาเลขอะไรไปตดกบ 6 ไมไดนนเอง)

𝜋

3⟹

2𝜋

3⟹

4𝜋

3⟹

5𝜋

3

𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4


เราจะไดวา มมทเราตองการคอ 𝜃 =5𝜋

3

หลกการลดทอนมมทางตรโกณมต

เรมตนจากการทองวา 𝐴𝐿𝐿 ⟹ 𝑠𝑖𝑛 ⟹ 𝑡𝑎𝑛 ⟹ 𝑐𝑜𝑠 ดภาพประกอบนะครบ

ค าอธบาย : ครอดรนตท 1 𝐴𝐿𝐿 ทกฟงกชนถามมตกอยในครอดรนตน คาทไดจะมคาเปนบวกหมดครบ ไมวาจะเปน

𝑠𝑖𝑛, 𝑐𝑜𝑠, 𝑡𝑎𝑛, 𝑠𝑒𝑐, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐, 𝑐𝑜𝑡

ครอดรนตท 2 𝑠𝑖𝑛 และสวนกลบของ 𝑠𝑖𝑛 คอ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ทเปนบวก เพราะ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 =1

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃

ครอดรนตท 3 𝑡𝑎𝑛 และสวนกลบของ 𝑡𝑎𝑛 คอ 𝑐𝑜𝑡 ทเปนบวก เพราะ 𝑡𝑎𝑛 𝜃 =1

𝑠𝑖𝑛 𝜃

ครอดรนตท 4 𝑐𝑜𝑠 และสวนกลบของ 𝑐𝑜𝑠 คอ 𝑠𝑒𝑐 ทเปนบวก เพราะ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =1

𝑠𝑒𝑐 𝜃

เมอเราตองการหา 𝑐𝑜𝑠 4𝜋

3 ใหเราหากอนวา 4𝜋

3 ตกอยในครอดรนตใด

พจารณา 4

3 เราสามารถเขยนเปน 1 +

1

3

1 +1

3

เพราะ 1 คอผลหาร และ 1 คอ เศษทเกดจากการหาร


ดงนน

จากสตร

เนองจากเราพจารณา 𝑐𝑜𝑠 4𝜋

3 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 +

𝜋

3

ดงนนมมตกอยในควอดรนตท 3 𝑡𝑎𝑛 กบ 𝑐𝑜𝑡 เทานนทเปนบวก ดงนน 𝑐𝑜𝑠 4𝜋

3 = 𝑐𝑜𝑠 𝜋 +

𝜋

3 =

−𝑐𝑜𝑠 𝜋

3 =

−1

2

นอกจากนเรายงสามารถพจารณามมอนๆไดอกดวย มสตรดงตอไปน

𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑠𝑖𝑛(ราบ ± 𝜃) = ±𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝑡𝑎𝑛(ราบ ± 𝜃) = ±𝑡𝑎𝑛 𝜃

𝑐𝑜𝑡(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑡 𝜃

𝑠𝑒𝑐(ราบ ± 𝜃) = ±𝑠𝑒𝑐 𝜃

𝑐𝑒𝑠𝑒𝑐(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝜃

𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃

เครองหมาย บวกหรอลบทไดขนอยกบวามมตกอยในครอดรนตทเทาใด และมมในแนวราบในทนคอ 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, …

𝑐𝑜𝑠(ราบ ± 𝜃) = ±𝑐𝑜𝑠 𝜃 จะไดบวกหรอลบขนอยกบวามมตกอยในควอดรนตทเทาไหร

4𝜋

3= 𝜋 +

𝜋

3

มมนอยในแนวราบ

𝜋

3

𝜋


𝟏𝟑. ถาให 𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟑} และ 𝑩 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓} แลว จ านวนของฟงกชนจาก 𝑨 ไปยง 𝑩 ทเปนฟงกชน

เพมคอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐

[𝟑] 𝟏𝟒 𝟒 𝟏𝟔 เฉลย นยามของฟงกชนเพม คอ ถา 𝑥1 < 𝑥2 แลว 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)

เราสามารถแยกเปนกรณเพอพจารณาไดดงน กรณ 𝑓 1 = 1 (นนคอ ให 𝑓 สง 1 ไปท 1) จะท าให 𝑓(2) สงไปท 2 หรอ 3 หรอ 4 (สงไปท 5 ไมไดนะ เพราะจะไมเหลอคาใหสง 3 อยาลมวาเงอนไขเราตองการฟงกชนเพม) ดจากภาพ

เราไมสามารถหาตวทสงไป 3 ไปได สมมตถา 𝑓(3) = 2 จะสงผลท าใหฟงกชนทไดไมเปนฟงกชนเพมครบ เพราะ 2 < 3

แต 𝑓(2) ≮ 𝑓(3)

ตอไปพจารณาถา 𝑓(2) = 2 จะไดวา 𝑓 3 เลอกสงได 3 วธ ถาเราจะจ าแนกเปนแผนภาพกไดดงนครบ

𝑓(2) = 3 จะไดวา 𝑓 3 เลอกสงได 2 วธ ถาเราจะจ าแนกเปนแผนภาพกไดดงนครบ

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5


𝑓(2) = 4 จะไดวา 𝑓 3 เลอกสงได 1 วธ ถาเราท าเปนแผนภาพกไดดงนครบ

รวมทงหมด คอ 3 + 2 + 1 = 6 วธ

กรณ 𝑓 1 = 2 (นนคอ ให 𝑓 สง 1 ไปท 1) จะท าให 𝑓(2) สงไปท 3 หรอ 4 𝑓(2) = 3 จะไดวา 𝑓 3 เลอกสงได 2 วธ ถาเราจะจ าแนกเปนแผนภาพกไดดงนครบ

𝑓(2) = 3 จะไดวา 𝑓 3 เลอกสงได 1 วธ ถาเราจะจ าแนกเปนแผนภาพกไดดงนครบ

รวมทงหมด คอ 2 + 1 = 3 วธ

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5

1

2

3

1

2

3

4

5


กรณ 𝑓 1 = 3 จะได 𝑓 2 = 4, 𝑓 3 = 5 ท าได 1 วธถาเราจะจ าแนกเปนแผนภาพกไดดงนครบ

เราจะรวมทกกรณได 6 + 3 + 1 = 10 วธ

ตอบขอ [1]

วเคราะห : ขอสอบแนวนน าฟงกชนมาประยกตใชกบเรองการเรยงสบเปลยน และการจดหม ถอวาเปนขอสอบทแวกแนวอกแบบ แตถาเขาใจพนฐานเรองการนบเบองตนกไมนาเปนหวงหรอกครบ แคสวนใหญเรองนมกเปนไมเบอไมเมากบเดกเลยทเดยว ฮาๆๆๆ

14. ก าหนดตารางแจกแจงความถตอไปน

คะแนน ความถ 21 − 30 90 31 − 40 𝐴 41 − 50 50 51 − 60 𝐵 61 − 70 10

ถาคะแนนในต าแหนงเปอรเซนไทลท 𝟓𝟎 คอ 𝟒𝟎. 𝟓 แลวคาของ 𝑨 − 𝑩 คอขอใดตอไปน

[𝟏] −𝟒𝟎 𝟐 − 𝟑𝟎 𝟑 𝟑𝟎 𝟒 𝟒𝟎

เฉลย พจารณาตารางแจกแจงความถและความถสะสมไดดงนนะครบ

คะแนน ความถ ความถสะสม 21 − 30 90 90 31 − 40 𝐴 90 + 𝐴 41 − 50 50 140 + 𝐴 51 − 60 𝐵 140 + 𝐴 + 𝐵 61 − 70 10 150 + 𝐴 + 𝐵

1

2

3

1

2

3

4

5


ทบทวนกอนนะครบ ต าแหนงเปอรเซนไทลท 𝑘 คอ 𝑃𝑘 =𝑘𝑁

100

ต าแหนงเดไซล ท 𝑘 คอ 𝐷𝑘 =𝑘𝑁

10 (เพมใหนะครบ แตอยาลมวาเปนต าแหนงของขอมลทมการแจกแจงความถแลวเทานน

นะ ถาขอมลยงไมแจกแจงความถ เราตองใชอกสตร ลองกลบไปทบทวนดวามนเปนอยางไรนะ)

ต าแหนงคลอไทลท 𝑘 คอ 𝑄𝑘 =𝑘𝑁

4 ตอไปเปนสตรค านวณหาเปอรเซนไทล เดไซล และคลอไทล นะครบ

𝑃𝑘 = 𝐿 +𝐼

𝑘𝑁100 − 𝐹𝑃

𝑓𝑃

𝐷𝑘 = 𝐿 +𝐼

𝑘𝑁10 − 𝐹𝐷

𝑓𝐷

𝑄𝑘 = 𝐿 +𝐼

𝑘𝑁4

− 𝐹𝑄

𝑓𝑄

เมอ 𝑃𝑘 , 𝐷𝑘 , และ 𝑄𝑘 คอ คาของเปอรเซนไทล เดไซล และ คลอไทล ตามล าดบ 𝐿 คอ ขอบลางของชนทม 𝑃𝑘 , 𝐷𝑘 , และ 𝑄𝑘 ทงนเราจะรเมอหาต าแหนงออกมาแลวนะครบ 𝐼 คอ ความกวางอนตรภาคชน

𝑘𝑁

100,𝑘𝑁

10,𝑘𝑁

4 คอต าแหนงของเปอรเซนไทล เดไซล และคลอไทลตามล าดบ

𝐹𝑃 , 𝐹𝐷 , 𝐹𝑄 คอ ความถสะสมของอนตรภาคชนทมคาต ากวาอนตรภาคชนทมเปอรเซนไทล เดไซล และคลอไทล อยตามล าดบ 𝑓𝑝 คอ ความถในชนทม 𝑃𝑘 , 𝐷𝑘 , และ 𝑄𝑘 อยตามล าดบ

𝑁 คอจ านวนขอมลทงหมดทม เราอาจเอามาจากความถสะสมในชนสดทายกไดนะ

จากโจทย ต าแหนงเปอรเซนไทลท 50 คอ 𝑃50 =50 150+𝐴+𝐵

100=

150+𝐴+𝐵

2

ดงนน

𝑃50 = 40.5 = 40.5 +𝐼

𝑘𝑁100 − 𝐹𝑃

𝑓𝑃

= 40.5 +10

150 + 𝐴 + 𝐵2 − (90 + 𝐴)

50


= 40.5 +

150 + 𝐴 + 𝐵 − 2(90 + 𝐴)2

5

= 40.5 +150 + 𝐴 + 𝐵 − 180 − 2𝐴)

2

= 40.5 +(−30 − 𝐴 + 𝐵)

2

ดงนน

40.5 = 40.5 +(−30 − 𝐴 + 𝐵)

2===≫ −30 − 𝐴 + 𝐵 = 0 ===≫ 𝐴 − 𝐵 = −30

ตอบขอ [2]

วเคราะห : ขอสอบแนวนจ าสตรไดกไดแหละครบกญแจส าคญอยทสตร เพราะมนเยอะซะจนปวดหวไปหมดพยายามจ าแบบมหลกการ แลวแยกแยะใหดระหวางขอมลทแจกแจงและไมแจกแจงความถ เพราะสตรบางอยางไมเหมอนกนครบ

ตอนท 2 ขอสอบแบบปรนยแบบ 4 ตวเลอก จ านวน 14 ขอ (ขอ 15-28) ขอละ 3 คะแนน

15. ให 𝒑, 𝒒, 𝒓 และ 𝒔 เปนประพจนใดๆ

พจารณาขอความตอไปน

ก) ถา ~𝒑 ↔ 𝒔 ∧ ∼ 𝒓 → 𝒒 → (𝒓 ∨∼ 𝒔) มคาความจรงเปนเทจ แลวคาความจรงของ

ให 𝒑, 𝒒, 𝒓 และ 𝒔 เปนจรง เทจ เทจ และ จรงตามล าดบ

ข) ถา (𝒑 →∼ 𝒒) ∨ 𝒓 มคาความจรงเปนเทจ แลว 𝒑 ↔ 𝒓 → (𝒒 ∨ 𝒔) มคาความจรงเปนจรง

ขอใดตอไปนถก

[𝟏] ก) ถก และ ข) ถก 𝟐 ก) ถก และ ข) ผด

[𝟑] ก) ผด และ ข) ถก 𝟒 ก) ผด และ ข) ผด

เฉลย เรองนมหวใจอยทคาความจรงการเชอมประพจน ของ ∧, , →, ↔, ∼ ครบ เราอาจเหนเปนตารางใหดตาราง

เทยบกนหลกการจ าตอไปน คอ

∧ เปนจรง เพยงกรณเดยว คอ 𝑇 ∧ 𝑇 นอกนนเปนเทจหมด ไมวาจะเปน 𝐹 ∧ 𝑇, 𝑇 ∧ 𝐹, 𝐹 ∧ 𝐹 เชอมกนเปนเทจ

หมด เราจงจ าเปนตองจ าใหไดเพยงกรณเดยวพอครบ เพราะนอกนนกจ าวามนเปนเทจหมดครบ

∨ เปนเทจ เพยงกรณเดยวคอ 𝐹 ∨ 𝐹 นอกนนอก 3 กรณทเหลอเปนจรงหมดครบ นองลองคดเอานะวามอะไรบาง

→ เปนเทจ กรณเดยว คอ 𝑇 → 𝐹 นอกนนเปนจรงหมด


↔ เปนจรง 2 กรณเมอคาความจรงเหมอนกน ไดแก 𝑇 ↔ 𝑇, 𝐹 ↔ 𝐹 เปนจรงเพยง 2 กรณน ถาตางกนกเปนเทจนนเอง

จากโจทยเราจะไดวา

จากแผนภาพขางบนอธบายไดวา เนองจากการเชอมดวย → เปนเทจกรณเดยวคอ 𝑇 → 𝐹 ใส 𝑇 และ 𝐹 ในบรรทดทสอง

ดงภาพ พจารณา ขวามอ การเชอมดวย ∨ เปนเทจกรณเดยวคอ 𝐹 ∨ 𝐹 ดงนน 𝑟 ≡ 𝐹 (อานวา 𝑟 เปน เทจนะ) และจะ

ได ∼ 𝑠 ≡ 𝐹 ดวย ดงนน 𝑠 ≡ 𝑇 พจารณาซายมอ การเชอมดวย ∧ เปนจรงไดเมอเชอมดวย 𝑇 ∧ 𝑇 น าคาความจรงท

ไดจากขวามอมาใสทางซายมอ จะได ∼ 𝑟 ≡ 𝑇 (เพราะ 𝑟 ≡ 𝐹 มากอนครบ) แตการเชอมกนดวย ∧ เปนจรงไดเพยงกรณ

เดยวดงนน 𝑞 ≡ 𝑇 น าคาความจรงของ 𝑠 จากฝงขวามอมาใส แตเนองจากการเชอมกนดวย ↔ เปนจรงไดเมอเชอมกน

ดวยคาความจรงทเหมอนกน ดงนนจะได ∼ 𝑝 ≡ 𝑇 นนคอ 𝑝 ≡ 𝐹

ตอนนเราไดคาความจรงของประพจนแตละตวหมดแลวนะครบ พบวาขอความ ก) ไมเปนจรงเพราะ 𝑞 ≡ 𝑇 ครบ

พจารณาขอ ข) (𝑝 →∼ 𝑞) ∨ 𝑟

ดงนน 𝑝 ≡ 𝑇, 𝑞 ≡ 𝑇, 𝑟 ≡ 𝐹 น าคาความจรงไปแทนใน 𝑝 ↔ 𝑟 → 𝑞 ∨ 𝑠 จะไดดงน

(𝑝 →∼ 𝑞) ∨ 𝑟

𝑇

𝐹 𝑇

𝐹 𝐹

𝐹


ถงแมวาจะไมรคาความจรงของ 𝑠 แตเราตองสามารถสรปไดวา การเชอมดวย ∨ ถาม 𝑇 อยขางใดขางหนงเมอเชอมแลวจะ

ไดจรงเสมอนะครบ ดงนน ข) เปนจรงครบ

ตอบขอ [3]

วเคราะห : ขอสอบขอนหวใจอยทคาความจรงของการเชอมประพจนอยางทบอกแตแรกครบ และ

ตรรกศาสตรเกอบทงบทใชพนฐานนอยางมากเลย เพราะฉะนนถามตวเองกอนวาจ าคาความจรงของการ

เชอมประพจนไดหรอยง ถายง… กท าความเขาใจซะ กอนทจะสายไป

𝟏𝟕. ก าหนดให 𝒙 เปนจ านวนเตมบวกทมคามากทสดทหาร 𝟏𝟔, 𝟒𝟎 และ 𝟏𝟎𝟎 แลวมเศษเหลอเทากน และ 𝒚

เปนจ านวนเตมบวกทนอยทสดทหารดวย 𝟏𝟔, 𝟒𝟎 และ 𝟏𝟎𝟎 แลวมเศษเหลอเปน 𝟏 คาของ 𝒚 − 𝒙 คอขอใด

[𝟏] 𝟑𝟖𝟗 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟑 𝟒𝟖𝟗 𝟒 𝟓𝟎𝟎

เฉลย ให 𝑥 เปนจ านวนเตมทหาร 16, 40 และ 100 แลวมเศษเหลอเทากน ดงนนเราสามารถเขยนสมการไดวา

(สมการนเราตองเขยนเปนนะครบเวลาโจทยใหมา)

16 = 𝑥𝑘1 + 𝑟__________(1)

40 = 𝑥𝑘2 + 𝑟__________(2)

100 = 𝑥𝑘3 + 𝑟__________(3)

ส าหรบบางจ านวนเตม 𝑘1, 𝑘2 , 𝑘3 พจารณาการลบกนของสมการเปนคๆดงน

(2) − (1); 24 = 𝑥(𝑘2 − 𝑘1)

(3) − (2); 60 = 𝑥(𝑘3 − 𝑘2)

(3) − (1); 84 = 𝑥(𝑘3 − 𝑘1)


จะไดวา 𝑥|24, 𝑥|60, 𝑥|84 (อานวา 𝑥 หาร 24 ลงตว, 𝑥 หาร 60 ลงตว , 𝑥 หาร 84 ลงตว)

คา 𝑥 ทมากทสดคอ ห.ร.ม ของ 24, 60, 84 ซงกคอ 12

ให 𝑦 เปนจ านวนเตมทหารดวย 16, 40 และ 100 แลวมเศษเหลอ 1 ดงนนเราสามารถเขยนสมการไดดงน

𝑦 = 16𝑘1 + 1__________(4)

𝑦 = 40𝑘2 + 1__________(5)

𝑦 = 100𝑘3 + 1__________(6)

ส าหรบบางจ านวนเตม 𝑘1, 𝑘2 , 𝑘3 ดงนนเราจะไดวา

𝑦 − 1 = 16𝑘1

𝑦 − 1 = 40𝑘2

𝑦 − 1 = 100𝑘3

ดงนน 16|𝑦 − 1, 40|𝑦 − 1, 100|𝑦 − 1

𝑦 − 1 ทนอยทสดคอ ค.ร.น ของ 16, 40 และ 100 ซงกคอ 400 ดงนน 𝑦 − 1 = 400 นนคอ 𝑦 = 401

โจทยตองการหา 𝑦 − 𝑥 = 401 − 12 = 389

ตอบขอ [1]

วเคราะห : ขอสอบขอนเกยวกบเรองทฤษฎจ านวน โดยเฉพราะเรอง การหาร , ค.ร.น, ห.ร.ม เพราะฉะนนถา

ยงไมเขาใจเรองดงกลาวควรทบทวนดวนแลวนะครบ เพราะขอสอบออกไมยากเลย เกบคะแนนไดงายๆ

𝟏𝟖. โดยกระบวนการด าเนนการตามแถว พบวา

~

𝑥 2 −32 𝑦 04 −2 𝑧

1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

−5 4 −310 −7 69 −6 5


คาของ 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 คอขอใดตอไปน

[𝟏] −𝟗 𝟐 − 𝟕 𝟑 𝟓 𝟒 𝟖

เฉลย เพอความสะดวกเราจะท าจากขวามอมาเปนซายมอ โดยมขอก าหนดเบองตนวา ถาเขยน

−1

5𝑅1 → 𝑅1 หมายถง เอา − 1

5 คณกบเมตรกซในแถวท 1 แลวเกบคาทไดไปไวในแถวท 1

−10𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2 หมายถง เอา −10 คณกบเมตรกซในแถวท 1 บวกกบเมตรกซในแถวท 2 แลวเกบคาทไดไปไวใน

แถวท 2

จากโจทย

−1

5𝑅1 → 𝑅1

−10𝑅1 + 𝑅2 → 𝑅2

−8𝑅1 + 𝑅3 → 𝑅3

2𝑅3 + 𝑅1 → 𝑅1

−2

5𝑅2 + 𝑅3 → 𝑅3

5𝑅3 → 𝑅3

1 0 00 1 00 0 1

−5 4 −310 −7 68 −6 5

−

1

50 0

0 1 00 0 1

1 −

4

5

3

5

10 −7 68 −6 5

−

1

50 0

2 1 00 0 1

1 −

4

5

3

5

0 1 08 −6 5

−1

50 0

2 1 08

50 1

1 −4

5

3

5

0 1 0

02

5

1

5

3 0 22 1 08

50 1

1 0 10 1 0

02

5

1

5

3 0 22 1 04

5−

2

51

1 0 10 1 0

0 01

5

3 0 22 1 04 −2 5

1 0 10 1 00 0 1


−𝑅3 + 𝑅1 → 𝑅1

ดงนนจะได 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 + 1 + 5 = 5

ตอบขอ [3]

วเคราะห : ขอสอบประมาณนไมคอยเหนมากนก แตในชดนมขอสอบประเภทนถงสองขอดวยกน แสดงให

เหนวา ทางมหาลยอยากจะเนนการโอเปอเรชนทางแถวอยางมาก เพราะการโอเปอเรชนทางแถวจดไดวาอย

ในเนอหาของ Math I และ Numerical Analysis I ทใชเมตรกซเปนพนฐาน เอาเปนวา ยงไงเรากหนมนไมพน ถาหนตอนนกไดเจอกนตอนหนาในอนาคตกแลวกนครบ

𝟏𝟗. ก าหนดให 𝒇(𝒏) คอ เศษทเกดจากการหาร 𝒏 ดวย 𝟒 และ 𝒈(𝒏) = 𝒏𝟐 + 𝟏

คาของ 𝒇𝒐𝒈 𝒏 𝟐𝟓𝟓𝟎𝒏=𝟏 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟐𝟓𝟓𝟎 𝟐 𝟑𝟖𝟐𝟓 𝟑 𝟓𝟏𝟎𝟎 𝟒 𝟔𝟐𝟕𝟓

เฉลย โดยคณสมบตของการคอมโพสทฟงกชนเราจะไดวา

𝑓𝑜𝑔(𝑛) = 𝑓(𝑔(𝑛)) = 𝑓(𝑛2 + 1)

แต 𝑓(𝑛2 + 1) คอเศษทเกดจากการหาร (𝑛2 + 1) ดวย 4 พจารณาอนกรมตอไปน

𝑓𝑜𝑔 𝑛 2550

𝑛=1= 𝑓𝑜𝑔(1) + 𝑓𝑜𝑔(2) + ⋯ + 𝑓𝑜𝑔(2550)

= 𝑓(12 + 1) + 𝑓(22 + 1) + ⋯ + 𝑓(25502 + 1)

= 𝑓(2) + 𝑓(5) + 𝑓(10) + 𝑓(17) … + 𝑓(25502 + 1)

= 2 + 1 + 2 + 1 + 2 + ⋯ + 2 + 1 (คดดนะครบ ท าไมตวสดทายถงเปน 1)

สงเกตวา ม 2 ทงหมด 1275 ตว และ ม 1 ทงหมด 1275 ตว ดงนนผลรวมจะไดดงน

𝑓𝑜𝑔 𝑛 2550

𝑛=1= 2(1275) + 1275 = 3825

−1 2 −32 1 04 −2 5

1 0 00 1 00 0 1


ตอบขอ [2]

วเคราะห : โจทยขอนเปนการประยกตระหวางทฤษฎจ านวนกบเรองอนกรม แตกอนกรมกถอไดวาไมยาก

เกดไป และใชการสงเกตอกนดหนอย ขอสอบแตละขอมแนวของมน ถาเราไดฝกท าบอยๆ จะมองออกเองวา

จะท าไปอยางไร โดยบางทเราไมรตวเสยดวยซ า อนนเปนเรองจรงครบ ส าหรบใครทฝกท าโจทยนอยมากควร

พจารณาตวเองไดแลวนะครบ

𝟐𝟎. ให 𝑳𝟏เปนเสน 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎 ทตดแกน 𝑿 และแกน 𝒀 ทจด 𝑨 และ 𝑩 ตามล าดบ ถา 𝑪

เปนจดกงกลางระหวางจด 𝑨 และ 𝑩 และ 𝑳𝟐 เปนเสนตรงทตงฉากกบ 𝑳𝟏 ทจด 𝑪 และตดแกน 𝑿 ทจด 𝑫 แลว

พนทของสามเหลยม 𝑨𝑪𝑫 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟏𝟑

𝟏𝟐 ตารางหนวย 𝟐

𝟏𝟑

𝟖 ตารางหนวย

[𝟑] 𝟏𝟑

𝟔 ตารางหนวย 𝟒

𝟏𝟑

𝟒 ตารางหนวย

เฉลย การหาจดตดของเสนตรงบนแกน สามารถหาไดอยางงายๆ และเปนวธทนยมหาเพอเขยนกราฟอยางคราวๆ ไดอก

ดวย โดย

แทน 𝑥 = 0 จะไดจดตดบนแกน 𝑌

แทน 𝑦 = 0 จะไดจดตดบนแกน 𝑋 (เปนอยางไรครบ พอไหวมย ?)

พจารณาเสนตรง 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎

แทน 𝑥 = 0 ⟹ 2(0) − 3(𝑦) − 6 = 0 ⟹ 3𝑦 = −6 ⟹ 𝑦 = −2 ⟹ ตดแกน 𝑌 ทจด (0, −2)

แทน 𝑦 = 0 ⟹ 2𝑥 − 3(0) − 6 = 0 ⟹ 2𝑥 = 6 ⟹ 𝑥 = 3 ⟹ ตดแกน 𝑋 ทจด (3, 0)


ดภาพประกอบเลยนะครบ เรมแรกเราจะหาจด 𝐶 จากสตรการหาจดกงกลางระหวางจดสองจดดงน

พจารณา 𝑥 =3+0

2=

3

2 , 𝑦 =

0+(−2)

2= −1

ตอไปพจารณา สมการเสนตรง 𝐿1; 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 ⇒ −3𝑦 = −2𝑥 + 6 ⇒ 𝑦 =−2

−3𝑥 +

6

−3=

2

3𝑥 − 2

เปรยบเทยบสมการ 𝑦 =2

3𝑥 − 2 กบสมการรปทวไปของเสนตรง คอ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

เราจะได 𝑚 =2

3 นนคอ ความชนของ 𝐿1 คอ 2

3 แตเนองจากเสนตรงทตงฉากกนคณกนมคาเทากบ −1

ให 𝑚2 เปนความชนของ 𝐿2 จะได 𝑚 ∙ 𝑚2 = −1 ⇒2

3∙ 𝑚2 = −1 ⇒ 𝑚2 =

−3

2

เนองจากเราตองการหาสมการของ 𝐿2 ซงสามารถหาไดจากสตร 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 เมอ (𝑥1, 𝑦1) และ 𝑚 คอ

จดผาน และความชนตามล าดบ เราจะแทนจดผาน (𝑥1, 𝑦1) = (3

2 , −1) และความชน 𝑚 =

−3

2 จะไดสมการคอ

𝑦 − (−1) = −3

2 𝑥 −

3

2

𝑦 + 1 = −3

2𝑥 +

9

4

𝑦 +3

2𝑥 −

5

4 = 0

𝑥 =𝑥1 + 𝑥2

2

𝑦 =𝑦1 + 𝑦2

2

จดศนยกลางระหวาง

𝑥1, 𝑥2 และ (𝑦1, 𝑦2) คอ (𝑥 , 𝑦 )


ตอไปหาจดตดของ 𝐿2 บนแกน 𝑋 โดยให 𝑦 = 0

0 +3

2𝑥 −

5

4= 0 ⟹

3

2𝑥 =

5

4⟹ 𝑥 =

5

4∙

2

3=

5

6

ดงนน จด 𝐷 คอ 5

6 , 0

ตอไปเราจะหาพนท ∆𝐴𝐶𝐷 ซงสามารถหาได 2 วธ

พจารณาจากภาพดวยนะครบ เรมจากหาความยาว 𝐷𝐴 จากการน าคา 𝑥 มาลบกน (ท าไม ?) ดงน

3 −5

6=

13

6

และความสงของ ∆𝐴𝐶𝐷 คอ 1 (ดจากคาของ 𝑦 ของจด 𝐶 ลองหาเหตผลซวาท าไม)

ดงนน พนท ∆𝐴𝐶𝐷 =1

2⋅ ฐาน ⋅ สง =

1

2⋅

13

6 ⋅ 1 =

13

12

วธนเปนการหาพนทรป 𝑛 เหลยมใดๆ เลยทเดยว และไมวารปนนจะอยในลกษณะใดกหาไดทงหมด (เพราะ

บางทเราอาจหา ฐาน และสงของสามเหลยมไมได) โดยพจารณาจดยอดของรป 𝑛 เหลยมใดๆบนระนาบ 𝑋𝑌 ในทนกคอรป

สามเหลยม จะพจารณาวนทวนเขมหรอตามเขมกได (ตามใจชอบครบ) ในทนผมขอวนทวนเขมนะครบ เปน

𝐴 𝑥1, 𝑦1 ⟶ 𝐶 𝑥2, 𝑦2 ⟶ 𝐷 𝑥3, 𝑦3 ⟶ 𝐴 𝑥1, 𝑦1 สามารถเลอกจดเรมตนใดกได แตตองวนกลบมา ณ จด

เดมเสมอ สตรการหาพนท

∆𝐴𝐶𝐷 =1

2 𝑥1 𝑥2 𝑥3

𝑦1 𝑦2 𝑦3

𝑥1

𝑦1

แลวน า 12

(ลาง − บน) นนคอ

∆𝐴𝐶𝐷 =1

2 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦1 − (𝑥2𝑦1 + 𝑥3𝑦2 + 𝑥1𝑦3)

อยาลม 12 นะครบ ไมวาจะเปนรป 𝑛 เหลยมใดๆ กตองมนะครบ ซงจากขอมลหาพนทไดดงน

=1

2 3 3/2 5/60 −1 0

30

พนท ∆𝐴𝐶𝐷 =1

2 −3 − −

5

6 =

1

2 −3 +

5

6 =

1

2 −

13

6 =

1

2

13

6 =

13

12

วธท 1

วธท 2

0 + −5

6 + 0

−3 + 0 + 0

𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦1

𝑥2𝑦1 + 𝑥3𝑦2 + 𝑥1𝑦3


ตอบขอ [1]

วเคราะห : โจทยขอนเปนเรองเรขาคณตวเคราะห กวเคราะหสมชอครบ ผทจะท าโจทยประเภทนไดด ตอง

จ าสตรส าคญๆ ไดหมด เปนตนวา ระยะหางระหวางจด สมการเสนตรง วงกลม วงร พาราโบลา ไฮเพอรโบลา

จดกงกลางระหวางจดสองจด ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง ระยะหางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน

หรอแมกระทงสตรการหาพนท 𝒏 เหลยมใดๆ ทผมใหไว ณ ขอนกตองท าความเขาใจ สตรทกสตรส าค ญไม

นอยกวากนเลย เพราะตองท าเปนขนเปนตอน และสงทขาดไมไดคอ ประสบการณจากการท าโจทยประเภท

นจะท าใหคณมองออกไดวาจะท าไปในทศทางใด

𝟐𝟏. ไฮเปอรโบลารปหนงมจดโฟกสอยท 𝟑, 𝟎 และ −𝟑, 𝟎 และผานจด 𝟓, 𝟒 พนทของสเหลยมมมฉาก

ศนยกลาง คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟐 𝟓 ตารางหนวย 𝟐 𝟒 𝟓 ตารางหนวย

[𝟑] 𝟖 𝟓 ตารางหนวย 𝟒 𝟏𝟔 𝟓 ตารางหนวย

พจารณารปตามเลยนะครบ เราอยากหาพนท “สเหลยมมมฉากศนยกลาง” ดงทระบายส แตเนองจาก ความยาวของ

สเหลยมมคาเปนความยาวแกนตามขวาง (2𝑎) และ ความกวางของสเหลยม เปนความยาวแกนสงยค (2𝑏) ของไฮเปอร

โบลา ดงนนตอนนเราตองการหาคา 2𝑎 ⋅ 2𝑏 (ตามสตรกวางคณยาว)


เรมแรกพจารณาจากสงทโจทยใหมา คอ จดโฟกส 3, 0 และ −3, 0 จงท าใหเรารไดเลยวา เปนไฮเปอรโบลาทมแกน

ตามขวาง (แกนยาว) ขนานแกน 𝑋 และจดศนยกลาง (𝑕, 𝑘) = (0, 0) สมการของไฮเปอรโบลาคอ

อนนเราตองจ าเองนะ แตพมขอแนะน าคอ จ าใหไดวา ในไฮเปอรกอนไหนเปนบวก แกนทางยาวขนานแกนนน

เชน ในทน เนองจากเรารแลววา แกนทางยาว (แกนตามขวาง) ขนานแกน 𝑋 ท าใหกอน 𝑥−𝑕 2

𝑎2 มคาเปนบวกนนเอง สวน

อกกอนกตองเปนลบไป เพราะไฮเปอรตองมกอนทเปนบวกกบกอนทเปนลบเสมอ แลวมคนสงกะสยวา แลว จะรไดไงวาจะ

ใส 𝑎 หรอ 𝑏 ด ในกอนทบวก ไมตองสงสยเลยครบ เพราะมนจะเปน 𝑎 เสมอ และอกในกอนกจะเปน 𝑏 ไปโดยปรตา เอย!

ปรยายครบ ค าวา 𝑎 หรอ 𝑏 ของผมในทนคอ 𝑎2 หรอ 𝑏2 นะครบ แตผมอธบายใหสนลง เฉยๆนะ

เราจงไดสมการไฮเปอรออกมาวา

𝑥 − 0 2

𝑎2−

𝑦 − 0 2

𝑏2= 1

𝑥2

𝑎2−

𝑦2

𝑏2= 1

แตเนองจากความสมพนธ ของ 𝑎 , 𝑏 และ 𝑐 ในไฮเปอรคอ 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 จะสงเกตเหนวา 𝑐 จะมคามากสด ผดกบวงร

ทเปนสมการ 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 สองพนองสมการนท าเอาหลายคนจ าสบกนอยบอยครง ผมจะเสนอวธการทองวา

"𝒂 เปนใหญในวงร 𝒄 เปนใหญในไฮเปอร" (ค าวาเปนใหญคงรกนนะครบ วาผมหมายถงอะไร)

เอาหละครบ มาตอกนทสมการเลยนะ เนองจากสมการของไฮเปอรผานจด (5, 4) แสดงวาแทนในสมตองเปนจรง ดงนน

เราจงไดวา

52

𝑎2−

42

𝑏2= 1

25

𝑎2−

16

𝑏2= 1

25𝑏2 − 16𝑎2 = 𝑎2𝑏2_______(∗) เนองจาก 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 และรวา ระยะหางจดศนยกลางถง โฟกส มระยะเปน 𝑐 ดงนนจะได 𝑐 = 3

แทนคา 32 = 𝑎2 + 𝑏2 ==≫ 9 = 𝑎2 + 𝑏2 ==≫ 𝑎2 = 9 − 𝑏2 แทนในสมการ (* ) จะได

25𝑏2 − 16(9 − 𝑏2) = (9 − 𝑏2)𝑏2 25𝑏2 − 144 + 16𝑏2 = 9𝑏2 − 𝑏4

𝑏4 + 32𝑏2 − 144 = 0

วธการหาคา 𝑏 ท าไดหลายวธ วธทงายในทนคอ แยกตวประกอบใหคลายกบสมการก าลงสอง ดงน

𝑏2 − 4 𝑏2 + 36 = 0 ดงนน 𝑏 = 2, −2 สวน 𝑏2 + 36 ค าตอบเปนจ านวนเชงซอนเรากไมตองสน และเราเลอก 𝑏 = 2

𝑥 − 𝑕 2

𝑎2−

𝑦 − 𝑘 2

𝑏2= 1


เพราะคา 𝑎, 𝑏 และ 𝑐 ทงในไฮเปอร และวงร มคาเปนบวกทงหมด เพราะเปนหนวยความยาว

แทนคา 𝑏 = 2 ในสมการ 𝑎2 = 9 − 𝑏2 ==≫ 𝑎 = 5

ดงนนพนทสเหลยมมมฉากทเราตองการคอ 2𝑎 ⋅ 2𝑏 = 2 5 ⋅ 2(2) = 8 5

ตอบขอ [3]

วเคราะห : โจทยขอนเปนเรองเรขาคณตวเคราะหอกแลวครบพนอง แตเขามาเลนกบไฮเปอรโบลาลก

หนอย ถาจบจดไดไมยากครบ แตผมอธบายแบบคอยเปนคอยไปอยางมาก กเลยดยาวไป ความจรงท าไมถง

𝟐 นาทดวยซ าไป ถาท าคลองนะครบ กแลวแตประสบการณ แตยงไงกยนยนค าเดม เรองสตรตองแมนครบ

𝟐𝟐. คาของ 𝟐𝟓𝟏

𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟓 + 𝟗𝒍𝒐𝒈𝟐𝟕 𝟔𝟒 + 𝟐𝟒

𝒍𝒐𝒈𝟑 𝟏𝟔 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟔 𝟑 𝟐𝟕 𝟒 𝟐𝟖

เฉลย

251

𝑙𝑜𝑔3 5 + 9𝑙𝑜𝑔27 64 + 24

𝑙𝑜𝑔3 16

= 25𝑙𝑜𝑔5 3 + 9𝑙𝑜𝑔27 64 + 24𝑙𝑜𝑔16 3 (จากสตร 1

𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏)

= 52 𝑙𝑜𝑔5 3 + 32 𝑙𝑜𝑔33 43

+ 24𝑙𝑜𝑔24 3

= 5𝑙𝑜𝑔5 32+ 3𝑙𝑜𝑔3 42

+ 2𝑙𝑜𝑔2 3 = 32 + 42 + 3 = 9 + 16 + 3 = 28 (จากสตร 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑏)

ตอบขอ [4]

วเคราะห : เรองลอกาลทม ท าเอาหลายคน ทมกนไปเลยนะครบ เพราะสตรจกจกเหลอเกน ไมเพยงแตตอง

จ าสตรใหได แตตองใชใหเปนดวยนะครบ เพราะฉะนน จ าเปนตองเจอกบมนบอยๆ โดยเรองนสวนใหญจะ

มากบ เอกซโปเนนเชยล ครบ ขอนถอวาไมยาก ถาพลกแพลงและจ าสตรได กนาจะไดคะแนนแลวครบ

𝟐𝟑. ก าหนดให 𝑨 = {𝜽 ∈ [𝟎, 𝝅] | 𝒄𝒐𝒕 𝜽 (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝜽) =𝟏−𝟑𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽

𝒔𝒊𝒏𝜽} ผลบวกของสมาชกของ 𝑨 คอขอใด

ตอไปน

[𝟏] 𝝅𝟑

𝟐 𝟐𝝅

𝟑 𝟑 𝝅 𝟒 𝟒𝝅

𝟑

เฉลย พจารณา

𝑐𝑜𝑠 𝜃

𝑠𝑖𝑛 𝜃(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃) =

1 − 3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃

𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1 − 3 𝑐𝑜𝑠2 𝜃


2 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1 = 0

2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 1 = 0

จะได 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =1

2 , −1

กรณ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 =1

2==≫ 𝜃 =

𝜋

3

กรณ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = −1 ==≫ 𝜃 = 𝜋

อยาลมคามมทไดตองพจารณาภายในชวง [0, 𝜋] ดงนนผลบวกค าตอบคอ 𝜋3

+ 𝜋 =4𝜋

3

หลายคนโดนหลอก ตอบ 4𝜋

3 และในตวเลอกกมซะดวยครบ หารไมวา ทเราตด 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ออกตงแตเรมท าบรรทดแรกจะได

𝑠𝑖𝑛 𝜃 ≠ 0 ==≫ 𝜃 ≠ 𝜋 (เพราะสวนเปนศนยไมไดนะครบ) ดงนนค าตอบทแทจรงมค าตอบเดยวคอ 𝜋3

ตอบขอ [1]

วเคราะห : ขอนเปนเรองทตองระวงอยางทบอกไวครบ เพราะการแกอะไรกแลวแต เงอนไขทส าคญลกษณะ

นจะลมไมได ลมเปนผด เพราะจะมตวเลอกมาหลอกเสมอครบ และอกอยางเรองตรโกณถอวาเปนเรอง

ส าคญอกเรองครบ นองหลายคนกลวเรองนมาก จนท าใหไมอยากท า สวนคนทใจสกจะไดคะแนนไปครบ

และในแตละปกจะมตรโกณออกมาเยอะเหมอนกน เพราะฉะนนเรองนจงขาดเสยมได ในฟสกสกตองใช

ครบ ดงนนอยาเพงถอยตงแตตอนยงไมไดสนะครบ


𝟐𝟒. พกดของจดในขอตอไปนเปนจดมมของทรงสเหลยมมมฉากทมจดมมคอ

(𝟏, 𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟐, 𝟒), (𝟐, 𝟐, 𝟑), (𝟏, 𝟑, 𝟑) [𝟏] (𝟑, 𝟏, 𝟐) 𝟐 (𝟑, 𝟐, 𝟒) 𝟑 (𝟐, 𝟑, 𝟒) 𝟒 (𝟐, 𝟒, 𝟑)

เมอพจารณารปออกมาคราวๆ จะดงรปนะครบ ดงนนจดมมทเหลออก 4 คอจดมมดงในภาพตอไปน

x

y

A(1, 2, 3)

B(1, 2, 4)

C(1, 3, 3)

D(2, 2, 3)


เราตองการหาจดพกด 𝐻, 𝐸, 𝐹 และ 𝐺 (ความจรงแลว ถาเราหาจดใดไดแลวมในตวเลอก กไมตองหาจดอนอก)

ในทนจะหาใหดทกจด เรมจากจด 𝐻 (อนนบางคนกดรปแลวตอบไดเลยนะครบ แตผมจะใชเทคนคการดเปนฝา)

ฝาในทน เปนดานทประกอบดวยจด 4 จด(รวมเปนสเหลยมผนผา) เชน ฝา 𝐴𝐵𝐻𝐶 เปนฝาทตงฉากกบแกน 𝑋

ดงนนจด 𝐴, 𝐵, 𝐶 และ 𝐻 จะมพกดของ 𝑥 เหมอนกนทกจด จะไดจด 𝐻 คอ (1, … , … )

ตอไปดทฝา 𝐹𝐶𝐻𝐺 ซงฝานตงฉากกบแกน 𝑌 จงมพกด 𝑦 เหมอนกน จะได พกดแตละจดคอ

𝐹(… ,3, … ), 𝐶(1, 3, 3), 𝐻(1, 3, … ), 𝐺(… , 3, … )

ตอไปพจาณา ฝาลาง 𝐴𝐶𝐹𝐷 ตงฉากกบแกน 𝑍 ท าใหจด 𝐴, 𝐶, 𝐹 และ 𝐷 มพกด 𝑧 เทากน นนคอจะได 𝐹(… , 3, 3)

พจารณาท านองเดยวกนน ทฝา 𝐷𝐹𝐺𝐸 ไดจด 𝐺(2, 3, … ) , 𝐸(2, . . , … )

ฝา 𝐸𝐵𝐻𝐺 ไดจด 𝐸(2, … ,4), 𝐺(2, 3, 4), 𝐷(1, 3, 4)

ฝา 𝐸𝐵𝐴𝐷 ไดจด 𝐸(2, 2, 4)

ไดครบทกจดครบ ซงเปนจดมมของทรงสเหลยมมมฉาก เทคนคนใชไดตลอดกบทรงสเหลยมมมฉากใดๆนะครบ หรอแผน

ระนาบใดๆเรองนเปนเทคนคทผมคดขนเองครบ เพอหาวธการใหเดกคนหนงมองรปสามมตไดงายขน โดยพจาณาเปนฝา

ทตงฉาก มหลกการวา


จดทปรากฏในตวเลอกคอ จด 𝐸(2, 3, 4) ครบ

ตอบขอ [1]

วเคราะห : ขอสอบแบบนเพงเคยท าครบ ไมคอยไดเหนกนนก แตกเหนบางในเวกเตอรครบ สรปคอ เราตอง

รกอนวาโจทยตองการหาอะไร อยางขอนตองการจดอกจดทเปนจดมมของรปทรงสเหลยมมมฉากครบ โดย

พลอทจดคราวๆเหมอนรปแรก หลงจากนนกสรางรปทรงสเหลยมขนมาทมจดเดมเปนจดมมตามโจทยและ

กหาจดทเหลอใหไดครบ ไมยากใชมยละ

𝟐𝟓. ถา 𝒛𝟏 และ 𝒛𝟐 เปนจ านวนเชงซอนท (𝟐 − 𝒊) + (𝟏 + 𝒊)𝒛𝟏 = 𝟑 + 𝟐𝒊 และ

𝒛𝟏𝒛 𝟐 + (𝟏 − 𝟐𝒊)𝒛 𝟐 − 𝟐 = 𝟎 แลวคาของ 𝒛𝟐−𝟏 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟑𝟐

𝟐 𝟑 𝟐

𝟐

[𝟑] 𝟑 𝟒 𝟑 𝟐

เฉลย ให 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖

(เราตองการหา 𝑧2 ใหได นนคอ 𝑐 และ 𝑑 คออะไร

โดยนยามของสงยคเราจะไดวา 𝑧1 = 𝑎 − 𝑏𝑖

ตอไปพจารณา

(2 − 𝑖) + (1 + 𝑖)𝑧1 = 3 + 2𝑖 (2 − 𝑖) + (1 + 𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 3 + 2𝑖 (2 − 𝑖) + 𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 − 𝑏𝑖2 = 3 + 2𝑖

ฝาทตงฉากกบแกน 𝑿 จดทอยบนฝานนจะมพกด 𝒙 เหมอนกนทกจด

ฝาทตงฉากกบแกน 𝒀 จดทอยบนฝานนจะมพกด 𝒚 เหมอนกนทกจด

ฝาทตงฉากกบแกน 𝒁 จดทอยบนฝานนจะมพกด 𝒛 เหมอนกนทกจด

หรอจะทองสนๆวา

ฉาก 𝑿 --->𝒙 เหมอน

ฉาก 𝒀 --->𝒚 เหมอน

ฉาก 𝒁 --->𝒛 เหมอน

คณตศาสตรงายเปลาเพอน ยากโคตะระ!!


(2 − 𝑖) + 𝑎 − 𝑏𝑖 + 𝑎𝑖 + 𝑏 = 3 + 2𝑖

2 + 𝑎 + 𝑏 + (𝑎 − 𝑏 − 1)𝑖 = 3 + 2𝑖 เมอเราเทยบสมประสทธจะไดวา

2 + 𝑎 + 𝑏 = 3_____(1) 𝑎 − 𝑏 − 1 = 2______(2)

น า (1) + (2) ; 2𝑎 + 1 = 5 ==> 𝑎 = 2

แทน 𝑎 = 2 ใน (1) ; 2 + 2 + 𝑏 = 3 ==≫ 𝑏 = −1

ดงนน 𝑧1 = 2 − 𝑖 ตอไปพจารณา

𝑧1𝑧2 + (1 − 2𝑖)𝑧2 − 2 = 0 (2 − 𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) + (1 − 2𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖) − 2 = 0

(𝑐 − 𝑑𝑖)[2 − 𝑖 + 1 − 2𝑖] − 2 = 0 (𝑐 − 𝑑𝑖)[3 − 3𝑖] − 2 = 0 3𝑐 − 3𝑐𝑖 − 3𝑑𝑖 + 3𝑑𝑖2 − 2 = 0 3𝑐 − 3𝑐𝑖 − 3𝑑𝑖 − 3𝑑 − 2 = 0

3𝑐 − 3𝑑 − 2 + (−3𝑐 − 3𝑑)𝑖 = 0 = 0 + 0𝑖

เมอเราเทยบสมประสทธจะไดวา

3𝑐 − 3𝑑 − 2 = 0______(3) 3𝑐 − 3𝑑 = 0______(4)

น า (3) + (4) ; −6𝑑 − 2 = 0 ⟹ 6𝑑 = −2 ⟹ 𝑑 =−1

3

แทน 𝑑 ใน (4) ; −3𝑐 − 3(−1

3) = 0 ⟹ −3𝑐 + 1 = 0 ⟹ 𝑐 =

−1

−3=

1

3

ดงนน 𝑧2 = 𝑐 + 𝑑𝑖 =1

3−

1

3𝑖

*** เราจะหาอนเวอรสของ 𝑧2จากสตร

พจารณา 𝑐2 + 𝑑2 = 1

3

2

+ −1

3

2

=1

9+

1

9=

2

9

ดงนน

𝑧2−1 =

𝑐

𝑐2 + 𝑑2−

𝑑

𝑐2 + 𝑑2𝑖 =

13

29

− −

13

29

𝑖 = 1

3

9

2 − −

1

3

9

2 𝑖 =

3

2+

3

2𝑖

ตอไปเราจะหา 𝑧2−1 จากสตร

อนเวอรสการคณของ 𝑎 + 𝑏𝑖 คอ 𝑎

𝑎2+𝑏2 −𝑏

𝑎2+𝑏2 𝑖

ให 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 คาสมบรณของ 𝑧 หรอ ขนาดของ 𝑧 เขยนแทนดวย 𝑧 คอ 𝑎2 + 𝑏2


ดงนน 𝑧2−1 =

3

2

2

+ 3

2

2

= 9

4+

9

4=

18

4=

9

2=

9

2=

3

2=

3

2⋅

2

2=

3 2

2

จากบรรทด *** เราสามารถท าไดอกวธทงายกวา โดยเราตองรจกสตรนกอน

เนองจากเราหา 𝑧2 = 1

3

2

+ −1

3

2

= 2

3 ดงนน

𝑧2−1 = 𝑧2 −1 =

1

𝑧2 =

3

2 =

3 2

2

ไดค าตอบเทากนครบ

ตอบขอ [2]

วเคราะห : ขอสอบขอนทบทวนเรองจ านวนเชงซอนไดเกอบทงหมดครบ แตกไมวายจะตองแกสมการเชง

เสนสองตวแปรตงสองครง ซงเปนพนฐานหลก ทเรยนกนมาแตออนแตเอาะ ดงนนถาใครยงขาดพนฐานสวน

ไหนควรเรงแกไขดวน หามอายเดดขาด กอนทจะสายเกนแก และขอสอบขอนกตบทายดวยเรองอนเวอรส

ซงกคงจะไมยากมากมายนก (ถาจ าสตรไดนะ ออ)

𝟐𝟔. กลองใบหนงมบตร 𝟗 ใบ โดยบตรแตละใบจะมหมายเลข และมเลข 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝟗 ตามล าดบ ถาสม

หยบบตรขนมาสองใบ แลวความนาจะเปนทผลรวมของหมายเลขทงสองบตรมากกวา 𝟏𝟎 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟏𝟑

𝟐 𝟏𝟑

𝟑𝟔

[𝟑] 𝟓

𝟏𝟐 𝟒

𝟒

𝟗

𝑧−1 = 𝑧 −1 =1

𝑧

เอย ! อยาเพงนอน

อาน math ตอ

ออมม … .

ขออก 5 นาท


เฉลย ใหบตรทงหมดเปนดงน

ผลรวมของทงสองบตรรวมกนมากกวา 𝟏𝟎 แสดงวาผลรวมทเปนไปได คอ 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑, 𝟏𝟒, 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟕

หลกการหาความนาจะเปน คอ

เราจะหา 𝑛(𝑆) (แซมเปลสเปซ)กอน ในการสมหยบไพ 𝟐 ใบขนเหตการณทเปนไปไดทงหมด คอ

𝑃(𝐸) =𝑛(𝐸)

𝑛(𝑆)

( 6 เหตการณ )


𝟏 𝟗

𝟏 𝟐 𝟏 𝟑 𝟏 𝟒 𝟏 𝟓

𝟏 𝟔 𝟏 𝟕 𝟏 𝟖

𝟐 𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟓 𝟐 𝟔

𝟐 𝟕 𝟐 𝟖 𝟐 𝟗

𝟕 𝟖 𝟕 𝟗

𝟔 𝟗

𝟒 𝟓 𝟒 𝟔 𝟒 𝟕 𝟒 𝟖

𝟒 𝟗

𝟓 𝟔 𝟓 𝟕 𝟓 𝟖 𝟓 𝟗

𝟔 𝟕 𝟔 𝟖

𝟑 𝟒 𝟑 𝟓 𝟑 𝟔 𝟑 𝟕

𝟑 𝟖 𝟑 𝟗

𝟖 𝟗







𝟐 𝟑 𝟒 𝟏 𝟓 𝟔 𝟕 𝟖 𝟗


*หมายเหต การสมหยบได หรอ ถอเปนเหตการณเดยวกน นบเปนหนงนะครบ กรณอนก

เชนเดยวกน เชน หรอ เราสามารถรวมเหตการณทงหมดได 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 +

2 + 1 = 36 การแจกแจงทงหมดอาจพจารณาสตรการเลอกของ 2 สงจากของทแตกตางกนทงหมด 9 สงท าได

92 =

9!

(9 − 2)! 2!=

9!

7! 2!=

9 × 8 × 7!

7! × 2!= 9 × 4 = 36

ตอไปพจารณาหา 𝑛(𝐸) เหตการณในการสมหยบบตร 2 ใบแลวมผลรวมมากกวา 10 คอ

รวมเหตการณทงหมดได 16 เหตการณ ดงนนความนาจะเปนทจะหยบไดผลรวมมากกวา 10 คอ 𝑛(𝐸)

𝑛(𝑆)=

16

36=

4

9

𝟐 𝟗

𝟕 𝟖 𝟕 𝟗

𝟔 𝟗

𝟒 𝟕 𝟒 𝟖 𝟒 𝟗

𝟓 𝟔 𝟓 𝟕 𝟓 𝟖 𝟓 𝟗

𝟔 𝟕 𝟔 𝟖

𝟑 𝟖 𝟑 𝟗

𝟖 𝟗

𝟐 𝟏 𝟏 𝟐

𝟑 𝟐 𝟐 𝟑


ตอบขอ [4]

วเคราะห : เรองความนาจะเปนถาโจทยเปนลกษณะนกถอวาไมยากนก แตเชอมยละวา โจทยความนาจะ

เปนเนยแหละครบทนากลวมาก เพราะค าตอบทเราหาไดมกจะมในตวเลอกเสมอ เปนตวลวงทดมาก เรา

ความนาจะเปนมวธคดหลายวธ และถาไมแมนจรงๆสวนใหญกโดนหลอกครบ เพราะฉะนนวธเดยวทจะท า

ไดคอ … “ท าใจครบ ” ลอเลน ท าโจทยครบ

𝟐𝟕. ถา 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, 𝒙𝟒 เปนขอมลชดหนง ทมฐานนยม และมธยฐานคอ 𝟎 มพสยคอ 𝟏𝟐 และมคาเฉลยเลข

คณตคอ 𝟏 แลว คาของ (𝒙𝒊 − 𝟏)𝟐 𝟒𝒊=𝟏 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟕𝟔 𝟐 𝟕𝟖

[𝟑] 𝟖𝟎 𝟒 𝟖𝟐

เฉลย สมมตให 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , 𝑥4 เปนขอมลทเรยงจากนอยไปหามาก จากสมบตของคามธยฐานของขอมล จะได 𝑥2 + 𝑥3

2= 0

ดงนน 𝑥2 + 𝑥3 = 0

จากสมบตของพสยจะไดวา 𝑥4 − 𝑥1 = 12___________(1)

และคาเฉลยเลขคณต 𝑥1+𝑥2+𝑥3+𝑥4

4= 1 ดงนน 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 = 4 แต 𝑥2 + 𝑥3 = 0

ดงนน 𝑥1 + 𝑥4 = 4_____________(2)

น า (1) + (2); 2𝑥4 = 16 ⟹ 𝑥4 = 8 แทน 𝑥4 = 8 ใน (2) จะได 𝑥1 + 8 = 4 ⟹ 𝑥1 = −4

พจารณา −4, 𝑥2 , 𝑥3 , 8 เหลอแตคา 𝑥2 , 𝑥3 ซงเรารวา 𝑥2 + 𝑥3 = 0 ดงนนคาทเปนไปไดของ 𝑥2, 𝑥3 คอ

𝑥2 = −4, 𝑥3 = 4 หรอ 𝑥2 = −3, 𝑥3 = 3 หรอ 𝑥2 = −2, 𝑥3 = 2 หรอ 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 0 หรอ …. เยอะแยะมากมาย แตจะมคเดยวเทานนทใชไดคอ 𝑥2 = 0, 𝑥3 = 0 (ท าไม ?ค าใบอยในโจทยนะครบ)

ดงนนเมอเราไดครบทกคา จะได

(𝑥𝑖 − 1)2 4𝑖=1 = (−4 − 1)2 + (0 − 1)2 + (0 − 1)2 + (8 − 1)2 = 76

เมอไหรจะอานเสรจเนย อานมา

3 เดอนแยววว….วยรนเซง….


ตอบขอ [1]

วเคราะห : ขอสอบขอนเกยวกบสถตครบ จะพบวาทดสอบนยามเราเกอบหมดทเดยวไมวาจะเปน พสย ฐาน

นยม มธยฐาน คาเฉลยเลขคณต แตทไมยากเพราะยงไมเปนขอมลทมการแจกแจงอนตรภาคชนครบ จงให

อยากใหเตรยมตวในสวนนนดวย สตรกเยอะอกแลวครบเรองน ถาเราคอยๆอาน คอยเปนคอยไป พวาคงไม

เหลอบากวาแรงทจะท าเรองนใหเปนเรองงายไดครบ

𝟐𝟖. ก าหนดขอมลดงตอไปน

ถาขอมลชดน มสมการทใชประมาณคา 𝒚 คอ 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 แลวคาของ 𝒔 คอขอใดตอไปน

[𝟏] 𝟑. 𝟓 𝟐 𝟒

[𝟑] 𝟒. 𝟓 𝟒 𝟓

เฉลย พจารณา 𝑦 = 2𝑥 + 1 _______(∗) จากคณสมบตของ Summation

𝑦𝑖 =4

𝑖=1 (2𝑥𝑖 + 1) = 2 𝑥𝑖 + 1

4

𝑖=1

4

𝑖=1

4

𝑖=1

พจารณาจากตารางจะไดวา 𝑦𝑖 =4𝑖=1 1 + 𝑟 + 𝑠 + 7.5 = 𝑟 + 𝑠 + 8.5 ,

2 𝑥𝑖 = 2(0 + 1 + 2 + 3) = 124𝑖=1 และ 14

𝑖=1 = 4

ดงนน 𝑟 + 𝑠 + 8.5 = 12 + 4 = 16 ⟹ 𝑟 + 𝑠 = 7.5 ____________(1)

น า 𝑥 คณ (∗) จะไดวา 𝑦𝑥 = 2𝑥2 + 𝑥 จากสมบตของ Summation จะไดวา

𝒙 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝒚 𝟏 𝒓 𝒔 𝟕. 𝟓

ฮออ…ฮอมม…อานยงไงกไมทนอะ จะ

สอบแลว เครยด

อานไมทน อานไมทน อาน

ไมทน….ๆๆๆๆๆ

คอยๆอานซ มสมาธหนอย ตงสต แลวเรมอานไดแลว มวแต

รอง มวแตหวชนฝา เมอไหรจะไดอาน


𝑦𝑖𝑥𝑖 =4

𝑖=1 (2𝑥𝑖

2 + 𝑥𝑖) = 2 𝑥𝑖2 + 𝑥𝑖

4

𝑖=1

4

𝑖=1

4

𝑖=1

พจารณา 𝑦𝑖𝑥𝑖 = 1 ⋅ 0 + 𝑟 ⋅ 1 + 𝑠 ⋅ 2 + 7.5 ⋅ 3 = 𝑟4𝑖=1 + 2𝑠 + 22.5

2 𝑥𝑖2 + 𝑥𝑖

4𝑖=1

4𝑖=1 = 2(02 + 12 + 22 + 32) + 6 = 28 + 6 = 34

ดงนน 𝑟 + 2𝑠 + 22.5 = 34 ⟹ 𝑟 + 2𝑠 = 11.5 ____________(2)

จาก (1) และ (2) แกสมการหา 𝑟 และ 𝑠 โดย (2) − (1); 𝑠 = 4 (เราไมจ าเปนตองหา 𝑟 กไดเพราะโจทยไมตองการ)

ตอบขอ [2]

วเคราะห : ขอสอบขอนเปนเรองการประมาณคา ซงเปนขอทไมคอยพบเหนกนมากนก โดยขอนไดรบความ

ชวยเหลอจาก ธนต เพอนทเรยนดวยกน ตองขอบคณอยางมาก ทชวยเหลอ เพราะลมเนอหาสวนนไปแลว

ตอนแรกกคดอยวาจะท ายงไง ถาจะแทน 𝟐 ลงในตว 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟏 ได 𝒙 = 𝟓 กนกอยวาโจทยจะให

𝒓 มาเพอ....จงตงขอสนนษฐานวา มนนาจะมอะไรแนๆ สดทายกไมไดงายอยางทคดอยางทเหนครบ

จงเปนบทเรยนจากโจทยวา การทโจทยใหขอมลเรามาแตไมไดใช มนนาจะมอะไรแนๆ ใหคดไวกอน เพราะบาง

ทกอาจจะไมไดใชจรงๆกเปนได แตสวนใหญจะใชขอมลจนครบครบ ถงจะแกโจทยขอนนออก

ตอนท 𝟑 ขอสอบอตนยแบบเตมค าตอบ จ านวน 𝟏𝟎 ขอ ขอ 𝟑 คะแนน

𝟏. ก าหนดให 𝒙 เปนจ านวนเตมบวก ทประกอบดวยเลขโดด 𝟒 หลก ถา 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟏𝟑 และ

𝟏𝟓 หาร 𝒙 ลงตว แลวจงหาคาของ 𝒙

เฉลย เรมจากเราจะหา ค.ร.น. ของ 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 15 เราสามารถตดตวเลขบางตวออกไดถาหารกนลง

ตว เพราะ ค.ร.น. จะเปนตวมาก เชน ระหวาง 3, 5, 15 ตด 3, 5 ทงเหลอไวแค 15 (เพราะทงค หาร 15 ลงตว)

2, 4, 6, 12 ตด 2, 4, 6 ทงเหลอไวแค 12 (เพราะทงสาม หาร 12 ลงตว)

ตอนนเราจะเหลอแค 10, 11, 12, 13, 15

ค.ร.น. 10, 12, 15 คอ 60 (อนนเราสามารถเลอกหา ค.ร.น.ระหวางตวไหนกอนกได)

ค.ร.น. 60, 11, 13 คอ 8580 ดงนน 𝑥 = 8580

ขอสงเกต ถาเราน า 8580 ⋅ 2 = 17180 คอตวเลขถดไปทหารดวย 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 15 ลงตวแต

ไมใชตวเลข 4 หลกตามทเราตองการ เพราะฉะนน 𝑥 = 8580 เพยงตวเดยว

เหนอยนก กฟงเพลงทคณชอบ

แลวจะพบวา คลายเครยดดออก


ตอบ 𝑥 = 8580

วเคราะห : ขอสอบขอนเปนเรอง ค.ร.น ทอยในเรองทฤษฎจ านวนทดเหมอนเปนบทเลกๆ แตกเลกพรกขหน

นะครบ เพราะน ามาออกขอสอบไดหลากหลายรปแบบ แตถาเราเจอโจทยประเภทนบอยๆจากการท าโจทย

เรากจะพบวา ไมยากเกนความสามารถหรอกครบ

2. ก าหนดให 𝐴 = 1 20 1

จงหาคาของ 𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋅⋅⋅ +𝐴50)

เฉลย พจารณา 1 20 1

ดงนน 𝐴 ⋅ 𝐴 = 𝐴2 = 1 20 1

1 20 1

= 1 40 1

เสนอวธการคณของเมตรกซดงตอไปน

ตง 𝐴2 = 𝐴 ⋅ 𝐴 ไวดงภาพ

ดงนน 1 20 1

1 20 1

= 1 40 1

เปนอยางไรบางครบ งายขนมย

โดยการพจารณาการคณเชนเดยวกนจะไดวา 𝐴3 = 𝐴2 ⋅ 𝐴 = 0 10 4

1 20 1

= 1 60 1

𝐴4 = 𝐴3 ⋅ 𝐴 = 1 60 1

1 20 1

= 1 80 1

𝐴5 = 𝐴4 ⋅ 𝐴 = 1 80 1

1 20 1

= 1 100 1

และเราสงเกตวา 𝐴𝑛 = 𝐴𝑛−1 ⋅ 𝐴 = 1 2𝑛0 1

ดงนน 𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋅⋅⋅ +𝐴50 = 1 20 1

+ 1 40 1

+ 1 60 1

+ 1 80 1

+ ∙∙∙ + 1 1000 1

= 50 2550∗

0 50

จาก * เราพจารณาจาก

เลข 1 มาจาก น า (1 × 1) + (2 × 0) = 1 เลข 4 มาจาก น า (1 × 2) + (2 × 1) = 1

เลข 0 มาจาก น า (0 × 1) + (1 × 0) = 0 เลข 1 มาจาก น า (0 × 2) + (1 × 1) = 1


2 + 4 + 6 + 8 + ∙∙∙ +100 = 2(1 + 2 + 3 + 4 + ∙∙∙ +50) =2 1 + 50 50

2= 2550

(จากสตรผลรวม 𝑖 = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +𝑛 = 1+𝑛 𝑛

2 𝑛

𝑖=1 ) หรอ ทองวา “ตนบวกปลาย คณปลาย หารสอง”

ดงนน 𝑑𝑒𝑡(𝐴 + 𝐴2 + 𝐴3 +⋅⋅⋅ +𝐴50) = 𝑑𝑒𝑡 50 25500 50

= (50 × 50) − (0 × 2550) = 2500

ตอบ 2500

วเคราะห : ขอสอบขอนเปนเรองเมตรกซผสมกบอนกรมเลกนอยครบถอวาไมยากสมกบคะแนน

เพราะฉะนนไมไดคะแนนกนาเสยดายแย เพราะใชแคการคณเมตรกซ และหาดเทอรมเนนท และผลรวม

แบบงายๆ

𝟑. ให [𝒙] หมายถง จ านวนเตมบวกทมากทสดทนอยกวาหรอเทากบ 𝒙 ถา 𝒇(𝒙) = 𝟏𝟎(𝒙 − [𝒙]) และ

𝒚 = (𝒇𝒐𝒇𝒐𝒇)(𝟏𝟐. 𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕) แลว จงหาคาของ [𝒚]

เฉลย เนองจากคณสมบตของคอมโพสทฟงกชน (𝑓𝑜𝑓𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥

พจารณา 𝑓(𝑥) = 10(𝑥 − [𝑥]) ⟹ 𝑓(12.34567) = 10(12.34567 − [12.34567])

= 10(12.34567 − 12) = 10(0.34567) = 3.4567

พจารณา 𝑓 𝑓 12.34567 = 𝑓(3.4567) = 10(3.4567 − [3.4567])

= 10(3.4567 − 3) = 10(0.4567) = 4.567

ขนสดทายแลวครบ 𝑓 𝑓 𝑓 12.34567 = 𝑓(4.567) = 10(4.567 − [4.567])

= 10(4.567 − 4)

ธรรมศาสตร จฬา มหดล

เอาอะไรดนอ ?

ขอนแกน

ขอนแกน ขอนแกน


= 10(0.567) = 5.67

ตอบ 5.67

วเคราะห : ขอนกคอนขางงายมากอกแลวครบ แคเขาใจแบรงคเกต [ ] วาเปนจ านวนเตมบวกทมากทสดท

นอยกวาคาทอยใน [ ] เชน [𝟑. 𝟐] = 𝟑, [𝟒. 𝟔𝟕𝟖𝟗] = 𝟒 และเขาใจเรองคอมโพสทฟงกชนนดหนอยกได

คะแนนแลวบางทงายกวาขอละ 𝟐 คะแนนดวยซ า ไมควรพลาดนะครบขอน

𝟒. ให 𝑨(𝟒, 𝟓) เปนจดบนพาราโบลา 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ซงมจด 𝑽 เปนจดยอดและ 𝑭 เปนจด

โฟกส ถา 𝑳𝟏 เปนเสนตรงทผานจด 𝑨 และ 𝑭 𝑳𝟐 เปนเสนตรงทผานจด 𝑽 และขนานกบ 𝑳𝟏 จงหาระยะหาง

ระหวางเสนตรง 𝑳𝟏 และ 𝑳𝟐

เฉลย พจารณาสมการพาราโบลา 𝑦2 − 2𝑦 − 4𝑥 + 1 = 0 ดงน

𝑦2 − 2𝑦 = 4𝑥 − 1

𝑦2 − 2𝑦 + 12 = 4𝑥 − 1 + 12 = 4𝑥 − 1 + 1 = 4𝑥(ดแนวคดจากขอ 8 ตอนท 1) (𝑦 − 1)2 = 4(𝑥 − 0)

เมอเทยบกบรปมาตรฐานของสมการพาราโบลา (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑐(𝑥 − 𝑕)

จะได (𝑕, 𝑘) = (0, 1), 4𝐶 = 4 ⟹ 𝐶 = 1

เรามาทบทวนเกยวกบรปแบบมาตรฐานของพาลาโบลากนกอนดกวา

𝑥 − 𝑕 2 = 4𝑐(𝑦 − 𝑘) ⟹ 𝑦 ก าลงเดยว แกนสมมาตรขนานแกน 𝑦

𝑐 > 0 ⟹ กราฟหงาย , 𝑐 < 0 ⟹ กราฟคว า

𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑐(𝑥 − 𝑕) ⟹ 𝑥 ก าลงเดยว แกนสมมาตรขนานแกน 𝑥

𝑐 > 0 ⟹ กราฟตะแคงขวา , 𝑐 < 0 ⟹ กราฟตะแคงซาย

มสม 5 ผลอยในกลอง 1 ใบ จะแบงสมใหคน 5 คน อยางไร เพอใหแตละคน

ไดสมไปคนละผล แตมสม 1 ผลอยในกลอง และหามฉกสมตอนแบง

_______


จากสมการมาตรฐาน (𝑦 − 1)2 = 4(𝑥 − 0) ม 𝑥 ก าลงเดยว (ดกรหนงครบ) จะไดแกนสมมาตรขนานแกน 𝑥 และ

𝑐 > 0 ท าใหเราทราบวากราฟตะแคงขวา เราพจารณาวาดกราฟคราวๆไดดงน

และเนองจากจด โฟกสของพาราโบลา อยหางจากจดยอด (𝑕, 𝑘) = (0, 1) เปนระยะ 𝑐 = 1 = 1 เสมอจะได จด

โฟกสคอ 𝐹(1, 1) ตอไปพจารณา 𝐿1 เปนเสนตรงทผาน 𝐴(4, 5) และ 𝐹(1, 1) ดงภาพ และ 𝐿2 เปนเสนตรงทผานจด

(0, 1) และขนาน 𝐿1 ดงภาพ เราตองการหาระยะหางระหวางเสนตรง 𝐿1 และ 𝐿2 ใหเปนระยะ 𝑑 ดงภาพ การหา

ระยะหางระหวางจดสองจดเราจ าเปนตองหาสมการของเสนตรงทงสองเสนเสยกอน

พจารณา 𝐿1 มความชน 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 เมอรจดผานสองจดคอ (𝑥1, 𝑦1) และ (𝑥2 , 𝑦2)

จะได 𝑚 =5−1

4−1 =

4

3 ดงนนสมการเสนตรง 𝐿1 คอ 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) เมอ (𝑥1, 𝑦1) คอจดผานเสนตรง

หาสมการเสนตรง 𝐿1 ไดดงน

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 5 =4

3(𝑥 − 4)

3𝑦 − 15 = 4𝑥 − 16


0 = 4𝑥 − 3𝑦 − 1 นนคอ 𝐿1: 4𝑥 − 3𝑦 − 1 = 0

ตอไปหาสมการ 𝐿2 เนองจาก 𝐿1//𝐿2 ดงนนความชน 𝐿2 และ 𝐿1 เทากน

สมการ 𝐿2 คอ

𝑦 − 1 =4

3(𝑥 − 0)

3𝑦 − 3 = 4𝑥 0 = 4𝑥 − 3𝑦 + 3 นนคอ 𝐿2: 4𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0

สตรระยะหางระหวางเสนตรง 𝐿1: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐1 = 0 กบ 𝐿2: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑐2 = 0 คอ

ดงนน

𝑑 = −1 − 3

42 + (−3)2=

−4

5=

4

5

ตอบ 0.8

วเคราะห : ขอนเชนเคยครบนองๆ เรองเรขาคณตวเคราะห ตองท ายาวกนหนอย เพราะตองวเคราะหอยาง

ละเอยดและท าเปนขนเปนตอน ทส าคญคอสตรแหละครบ ทขาดไมไดเลย ฝกท าแลวตองจ าสตรใหไดดวย

นะครบ

𝑑 = 𝑐1 − 𝑐2

𝐴2 + 𝐵2

ถา ผชาย 4 คน ขดหลม 4 หลม ใช

เวลา 8 วน แลวผชายคนเดยวขดหลมครงหลมใช

เวลากวน ?


𝟓. ก าหนดให 𝒂, 𝒃 เปนค าตอบสมการ 𝒍𝒐𝒈𝟓 𝒙 + 𝟐 𝒍𝒐𝒈𝒙 𝟓 = 𝟑 โดยท 𝒂 < 𝑏 ถา 𝑰+ แทนเซตของจ านวน

เตมบวก และ 𝑨 = {𝒙 ∈ 𝑰+|𝒙 ∈ [𝒂, 𝒃] และ 𝟑 หาร 𝒙 ลงตว} แลวจงหาจ านวนสมาชกของเซต 𝑨

เฉลย

𝑙𝑜𝑔5𝑥 + 2𝑙𝑜𝑔𝑥5 = 3

𝑙𝑜𝑔5𝑥 +2

𝑙𝑜𝑔5𝑥= 3 (จาก 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =

1

𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎)

ให 𝐴 = 𝑙𝑜𝑔5𝑥 จะไดวา

𝐴 +2

𝐴= 3

𝐴2 + 2 = 3𝐴 𝐴2 − 3𝐴 + 2 = 0

(𝐴 − 2)(𝐴 − 1) = 0 𝐴 = 2, 𝐴 = 1

ดงนน 𝑙𝑜𝑔5𝑥 = 2 ⟹ 𝑥 = 52 ⟹ 𝑥 = 25 (จาก 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑏 ⟹ 𝑥 = 𝑎𝑏 )

จาก 𝑙𝑜𝑔5𝑥 = 1 ⟹ 𝑥 = 51 ⟹ 𝑥 = 5 แสดงวา 𝑎 = 5, 𝑏 = 25 (โจทยให 𝑎 < 𝑏)

ตอไปพจารณาเซต 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐼+|𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] และ 3 หาร 𝑥 ลงตว}

พจารณา 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] = [5, 25] ⟹ 𝑥 = 5, 6, 7, 8, … , 25 และ 3 หาร 𝑥 ลงตวจะได 𝑥 ทงหมดคอ

𝑥 = 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 จ านวนสมาชกของ 𝐴 คอ 7

ตอบ 7

วเคราะห : ไมยากครบขอนไดคะแนนเนนๆแบบงายๆ ไมยงยากซบซอนเทาใดนก และเรองลอการทมและ

เอกซโปเนนเชยลตองแมนซกหนอยนะครบ ถาท าบอยกคงไมมปญหาครบ

มคนรกอยไกลเอาใจยาก

แฟนเขามากเราไมรดไมเหน

ความรกเขาเปรยบเสมอนสายลมเยน

เมอไมเหนหนาเราเขากลม

แฟนเขามากเราไมรดไมเหน

ความรกเขาเปรยบเสมอนสายลมวามรกเขาเปรยบเสมอนสายลมเยน

เมอไมเหนหนาเราเขา


𝟔. ให 𝑨𝑩𝑪𝑫 เปนสเหลยมดานขนาน 𝑴 และ 𝑵 เปนจดบนดาน 𝑩𝑪 และ 𝑪𝑫 ตามล าดบโดยท อตราสวน

𝑩𝑴: 𝑴𝑪 = 𝑫𝑵: 𝑵𝑪 = 𝟏: 𝟐 ถา 𝑨𝑪 = 𝜶𝑨𝑴 + 𝜷𝑨𝑵 แลวจงหาคา 𝜶 + 𝜷

เฉลย

ดภาพประกอบเลยนะครบ

ตอนแรกเราตองท าความเขาใจเกยวกบเวกเตอรเลกนอย เมอกลาวถง 𝐴𝐵 หมายถง เวกเตอรทมจดเรมตนทจด 𝐴 และมจด

ปลายท 𝐵 เวกเตอรจะเทากนกตอเมอ มทศทางเดยวกน และขนานกนดวย

ในภาพเราจะสงเกตเหนวา 𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 และสงเกตไดอกวา 𝐵𝑀 =1

3𝐵𝐶 เพราะ 𝐵𝑀: 𝑀𝐶 = 1: 2 จงแบง 𝐵𝐶

ออกเปนสามสวนเทาๆกน และ 𝐵𝑀 กจะเปนหนงในสามของทงหมดนนเอง

ตอนนเราจะเรมหาแลวนะครบ

เนองจาก 𝐴𝑀 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝑀 = 𝐴𝐵 +1

3𝐵𝐶 และ 𝐴𝑁 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝑁 = 𝐵𝐶 +

1

3 𝐷𝐶 = 𝐵𝐶 +

1

3 𝐴𝐵

ดงนน 𝐴𝑀 + 𝐴𝑁 = 𝐴𝐵 +1

3𝐵𝐶 + 𝐵𝐶 +

1

3 𝐴𝐵 =

4

3 𝐴𝐵 +

4

3 𝐵𝐶 =

4

3( 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 ) =

4

3 𝐴𝐶

นนคอ 𝐴𝐶 =3

4 𝐴𝑀 +

3

4 𝐴𝑁 จะได 𝛼 =

3

4 , 𝛽 =

3

4⟹ 𝛼 + 𝛽 =

3

4 +

3

4 =

6

4=

3

2

ตอบ 1.5

วเคราะห : เรองเวกเตอรทออกประมาณนกเหนเยอะเหมอนกนครบ แตถาเราท าไมถกทางกงมอยนาน

เหมอนกน ท าใหเสยเวลาเยอะ เพราะโจทยประเภทนท าไดหลากหลายทางแตจะไดค าตอบเดยวกน และสวน

ใหญกจะไปไมถงฝงกนครบ เพราะฉะนนมหนทางเดยวทจะพชตโจทยประเภทนไดคอ ท าบอยๆครบ

รกคนบานไกลเอาใจยาก แฟนเขามากเราไมรดไมเหน เขารกเราเขากรกคนอนเปน เขาไมเหนหนาเราเขากลม

𝑁

𝑀

𝐷 𝐶

𝐵 𝐴


𝟕. ให 𝑨 = {𝒛|𝒛𝟐 − (𝟐 − 𝒊)𝒛 − 𝟐𝒊 = 𝟎} และ 𝑩 = {𝒛|𝒛𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐𝒊} ถา 𝑪 = { 𝒛 𝟐|𝒛 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩}

แลวจงหาคาผลบวกของสมาชกของ 𝑪

เฉลย พจารณาหาค าตอบของสมการ 𝑧2 − (2 − 𝑖)𝑧 − 2𝑖 = 0

จากสตร

𝑧 =−𝑏 ± 𝑏 − 4𝑎𝑐

2𝑎

จากสมการจะได 𝑎 = 1, 𝑏 = −(2 − 𝑖), 𝑐 = −2𝑖

ดงนน

𝑧 =2 − 𝑖 ± −(2 − 𝑖) 2 − 4(1)(−2𝑖)

2(1)

=2 − 𝑖 ± 4 − 4𝑖 + 𝑖2 + 8𝑖

2

𝑧 =2 − 𝑖 ± 4𝑖 + 3

2________(∗)

พจารณารากของสมการ 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 คอ

โดย 𝑟 = 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2

ดงนนเราจะหา 3 + 4𝑖 จากสตร

𝑧 = 𝑟 + 𝑎

2+

𝑟 − 𝑎

2𝑖 (ท าไมตองเปนคาบวกคดหนอยนะ)

𝑧 = 5 + 3

2+

5 − 3

2𝑖 = 2 − 𝑖

จาก (∗) จะไดวา

𝑧 =2 − 𝑖 ± (2 − 𝑖)

2 ค าตอบมสองคาคอ 𝑧 =

2 − 𝑖 + 2 + 𝑖

2 และ 𝑧 =

2 − 𝑖 − 2 − 𝑖

2= −𝑖

พจารณา 𝐵 = {𝑧|𝑧2 = 5 − 12𝑖} พจารณาค าตอบของ 𝑧2 = 5 − 12𝑖 ดงน

𝑧 = ± 𝑟 + 𝑎

2+

𝑟 − 𝑎

2𝑖


𝑧 = ± 𝑟 + 𝑎

2+

𝑟 − 𝑎

2𝑖

= ± 13 + 5

2+

13 − 5

2𝑖

= ±(3 + 2𝑖) 𝑧 = 3 + 2𝑖, 𝑧 = −3 − 2𝑖

ดงนน 𝐴 ∪ 𝐵 = {2, −𝑖, 3 + 2𝑖, −3 − 2𝑖}

พจารณา 𝐶 = { 𝑧 2|𝑧 ∈ 𝐴 ∪ 𝐵}

ถา 𝑧 = 2 ⟹ 𝑧 = 22 + 02 = 2 ⟹ 𝑧 2 = 22 = 4

ถา 𝑧 = −𝑖 ⟹ 𝑧 = 02 + (−1)2 = 1 ⟹ 𝑧 2 = 1

ถา 𝑧 = 3 + 2𝑖 ⟹ 𝑧 = 32 + 22 = 13 ⟹ 𝑧 2 = 3 2

= 13

ถา 𝑧 = −3 − 2𝑖 ⟹ 𝑧 = −3 2 + −2 2 = 13 ⟹ 𝑧 2 = 3 2

= 13

ดงนน 𝐶 = {4, 1, 13}

ผลบวกของสมาชกในเซต 𝐶 คอ 4 + 1 = 13 = 18

ตอบ 18

วเคราะห : เรองจ านวนเชงซอนเปนเรองใหญพอสมควรแตสงเกตเหนไหมวาในขอน ใชสตรหาค าตอบ

เหมอนเรองจ านวนจรงถาเราจ าไดตงแตเรองจ านวนจรงกไมจ าเปนตองทองอก และเรองจ านวนเชงซอนยง

มหวขออนทน ามาออกขอสอบบอยเชน รากของจ านวนเชงซอน การยกก าลงของจ านวนเชงซอน ค าตอบ

ของสมการ เปนตน

หวกระโหลกก าลงมแทงปอด ตดวยนอตฟาดดวยชามตามดวยไห หนบดวยคบจมดวยเกลอลนดวยไฟ

ท าอยางไรกไมหายคดถงเธอ

𝟖. ให 𝑮 เปนกราฟทมเซตของจดยอดเทากบเซตของจ านวนเฉพาะหกตวแรก โดยทจดยอด 𝒊 และ 𝒋 มเสนเชอม

ระหวางสองจดยอดนกตอเมอ 𝒊 ≠ 𝒋 และ 𝒊 + 𝒋 < 10 จงหาจ านวนเสนทนอยทสดทสามารถเพมใหกบ 𝑮 เพอ

ท าให 𝑮 เปนกราฟออยเลอร

เฉลย จากเงอนไขของโจทยถาลองวาดกราฟอยางคราวๆ โดยการลงจดและลงเสน และเงอนไข 𝑖 ≠ 𝑗 และ 𝑖 + 𝑗 < 10

เราจะไดดงภาพ

2 3 5 7 11 13


เนองจากกราฟออยเลอรคอกราฟทเราสามารถลากจากจดเรมตน(จดใดกได) ไปยงจดสดทายโดยทซ าจดเดมไดแตหามซ า

เสนและตองกลบมา ณ จดเรมตนเสมอ เราจะอาศยทฤษฎบทหนงทส าคญมากๆเกยวกบกราฟออยเลอรนนคอ

ดงนนเราจะตองเพมเสนเชอมใหนอยทสดเพอทกจดมดกรเปนคนนเอง ท าไดหลายวธแตใชอยางนอยทสดคอ 3 เสนดงภาพ

ตอบ 3

วเคราะห : เรองกราฟอาจเปนเรองใหมส าหรบทกคน เพราะเพงเพมเขามาในหลกสตรเมอไมกปทผานมา

ตอนพเรยนมธยมกไมเคยไดเรยนเลย เพมมาเรยนตอนเรยนปรญญาตรนเอง เรองกราฟถาสงเกตแลวก

ไมใชเรองใหญอะไร อานแปบเดยวกนาจะเสรจ และขอสอบกเลอกทจะออกไมยากนก สวนใหญกวนอยกบ

กราฟออยเลอรเนยแหละครบ แตอยาลมทกสวนกมความส าคญไมนอยเหมอนกน

ไมอยากเปนบกเเอสเลนของสง

ไมอยากเปนเเคลชทถามหาไออนรก

ไมอยากเปนไอนาทอกหก

เเคอยากเปนคนทถกรกเหมอนบอดสเเลม

𝟗. ก าหนดจด 𝟗 จดบนเสนรอบวงกลมวงหนง ถา 𝒙 และ 𝒚 เปนจ านวนรปหลายเหลยมทบรรจภายในวงกลม

โดยใชจดเหลานเปนจดยอดมมและมจ านวนเหลยมเปนค และคตามล าดบแลวจงหาคา 𝒙 − 𝒚

เฉลย เมอวาดรปวงกลมและมจด 9 จดเปนจดบนเสนรอบวงดงภาพ

2 3 5 7 11 13

กราฟจะเปนกราฟออยเลอรไดกตอเมอดกรทกจดในกราฟเปนคหมด


ให 𝑥 เปนจ านวนรปหลายเหลยมทมจ านวนเหลยมเปนค มความเปนไปไดคอ 3, 5, 7, 9 เหลยม

กรณ 3 เหลยมมไดทงหมด 93 = 84 รป




ดงนน 𝑥 = 84 + 126 + 36 + 1 = 247

ให 𝑦 เปนจ านวนรปหลายเหลยมทมจ านวนเหลยมเปนค มความเปนไปไดคอ 4, 6, 8 เหลยม




ดงนน 𝑦 = 21 + 84 + 9 = 144

ดงนน 𝑥 − 𝑦 = 247 − 144 = 133


ตอบ 133

วเคราะห : เรองนเราประยกตใชกบการเลอก ซงถาเคยท าขอประมาณนกคดไมยากเลยครบ คดเลขนดเดยว

กไดคะแนนตง 𝟑 คะแนนแลว อยางนตองฝกท าโจทยประเภทนบอยๆนะครบ

เทอคบคายรกคายฉนมายวา

แตอยามาควงแขนหยฉานเหง

ฉานมายชายมนษยทจายเยน

ถาฉานเหงถบกระเดนทงคไมรตว

𝟏𝟎. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรและภาษาไทยมการแจกแจงแบบปกตและมมธฐานเทากน เดกหญงดาว

พบวาคะแนนในวชาคณตศาสตรของตนอยเปอรเซนไทลท 𝟕𝟖. 𝟖𝟏 ซงเทากบเปอรเซนไทลของคะแนน

ภาษาไทยทไดพอด แตคะแนนคณตศาสตรนนมากกวาคะแนนภาษาไทยอย 𝟐𝟎 คะแนน ถา 𝑨 และ 𝑩 เปนสวน

เบยงเบนมาตราฐานของคะแนนวชาคณตศาสตรและภาษาไทยตามล าดบ แลว จงหาคาของ 𝑨 − 𝑩

𝒛 𝟎. 𝟕𝟎 𝟎. 𝟖𝟎 𝟎. 𝟗𝟎

พนทใตเสนโคง 𝟎. 𝟐𝟓𝟖𝟎 𝟎. 𝟐𝟖𝟖𝟏 𝟎. 𝟑𝟏𝟓𝟗

เฉลย เนองจากทงสองวชามการแจกแจงปกต และมธยฐานเทากน ดงนน จงมคาเฉลยเลขคณตเทากนดวย

เนองจากคะแนนวชาคณตศาสตรอยเปอรเซนไทลท 78.81 คดเปนพนทใตเสนโคงปกต 0.7881 ดงภาพ

พจารณาคะแนนคณตศาสตร

จากสตร 𝑧 =𝑥−𝜇

𝜎⟹ 𝑧 =

𝑥−𝜇

𝐴⟹ 𝐴 =

𝑥−𝜇

𝑧______(1)

พจารณาคะแนนภาษาไทย

จากสตร 𝑧 =𝑥−𝜇

𝜎⟹ 𝑧 =

𝑦−𝜇

𝐵=

𝑥−20−𝜇

𝐵⟹ 𝐵 =

𝑥−20−𝜇

𝑧_________(2)


จากโจทยตองการหาคา 𝐴 − 𝐵 เราจะหาจาก (1) − (2)

𝐴 − 𝐵 =20

𝑧=

20

0.8= 25

ตอบ 25

วเคราะห : เรองนกยากส าหรบผมครบเพราะผมไมคอยชอบเรองนเปนทกเดมอยแลว แตถาไดทบทวนกคด

วาไมเกนความสามารถหรอกครบ นองๆกเหมอนเรองสถตเปนเรองส าคญมากๆ เพราะเรยนตงแตม . 𝟑 ยน

ม.𝟔 กนเลยทเดยว และออกขอสอบหลายขอเลยทเดยวเรองนอาจจ าเปนตองทองสตรสกหนอยแตถาขยน

อานขยนทองกไมเกนความสามารถหรอกครบ I love you คฟาสตารดบ

The sun ลบขอบฟาหมดราศ

and the moon สนแสงแหงราตร

But for me I love you รหรอยง

พหวงวาทกคนคงไดอะไรบางจากการอานเอกสารเลมน ถามอะไรผดพลาด กขออภยดวย หวงวาโอกาสหนาคงไดปรบปรงตวใหมและ

ทาใหดกวาน ถามอะไรทอยากแนะนา กรณาเมลลมาท [email protected] ขอบคณคราบ

mailto:[email protected]

เฉลยคณิต 2551

Documents