ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ · 2014. 11. 21. ·...

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Методические указания к выполнению

лабораторных работ

ПЕНЗА 2002

УДК 517.5

Приведена методика и даны указания для выполнения лабораторных

работ по изучению методов теории приближения функций.

Методические указания подготовлены на кафедре «Высшая

математика» и предназначены для студентов специальности «Прикладная

математика», изучающих курс «Теория приближения функций».

Составитель Н.Ю. Кудряшова

Рецензент - А. В. Гуляев, к.ф.-м.н.,

зав. каф. математического анализа ПГПУ

Введение

Почти во всех областях математики важную роль играют задачи об

аппроксимации более сложных объектов менее сложными. В настоящее

время теория приближения функций имеет дело в основном с

приближением отдельных функций и классов функций с помощью

заданных подпространств, каждое из которых состоит из функций,

являющихся в каком-то смысле более простыми, чем аппроксимируемые

функции. Чаще всего роль таких подпространств играет множество

алгебраических многочленов или же множество тригонометрических

полиномов заданного порядка n.

В вычислительной практике довольно часто приходится иметь дело

с функциями f(x), заданными таблицами их значений для некоторого

конечного множества значений x: f x f x f xn( ), ( ),..., ( )0 1 .

В процессе же решения какой-то конкретной задачи довольно часто

бывает необходимо использовать значения f(x) для промежуточных

значений аргумента. В этом случае строят некоторую функцию ϕ(x),

достаточно простую для вычисления, которая в заданных точках

x x xn0 1, ,..., принимает значения f x f x f xn( ), ( ),..., ( )0 1 , а в остальных

точках отрезка [a,b], принадлежащего области определения f(x),

приближенно представляет функцию f(x) с той или иной степенью

точности, и при решении задачи вместо функции f(x) оперируют с

функцией ϕ(x). Задача построения такой функции ϕ(x) называется задачей

интерполирования.

К интерполированию приходится иногда прибегать и в том случае,

когда для функции f(x) известно и аналитическое представление, с

помощью которого можно вычислять ее значения для любого значения x

из отрезка [a,b], в котором она определена, но вычисление каждого

значения сопряжено с большим объемом вычислений.

В практике вычислений, особенно при работе на ЭВМ, часто

приходится встречаться с многократными вычислениями значений

заданной функции f(x), например, с вычислениями значений

элементарных функций e x x xx , ln , sin , cos и т.д. Вводить в компьютер

эти функции в виде таблиц нецелесообразно, так как таблицы

загромождают память. Значительно целесообразней каждый раз вычислять

нужное значение функции с заданной точностью ε, используя какой-либо

алгоритм ее вычисления. Очень часто для этой цели заменяют

рассматриваемую функцию f(x) другой, легко вычисляемой функцией

ϕ(x), значения которой на всем рассматриваемом отрезке [a,b] изменения x

отличаются от значений f(x) не больше чем на ε, и в процессе вычислений

работают с функцией ϕ(x).

Требования к оформлению отчета о выполнении лабораторной

работы

В отчет о выполнении лабораторной работы необходимо включить

следующие пункты:

1. Тема лабораторной работы;

2. Цель работы;

3. Постановка задачи и вариант задания;

4. Математическое описание метода решения поставленной задачи;

5. Листинг программы;

6. Результаты выполнения задания;

7. Анализ результатов и выводы.

Лабораторная работа № 1

Интерполирование функций многочленами Лагранжа

Цель работы: изучение методов интерполирования функций с

помощью алгебраических многочленов на различных системах узлов

(равноотстоящие, узлы Чебышева, узлы Лежандра).

Постановка задачи. Интерполировать функцию f(x) на отрезке [a,b]

полиномами Лагранжа на указанных сетках узлов. Исследовать точность и

устойчивость интерполяции, а также влияние на точность и устойчивость

особых точек функции f(x).

Теоретическая часть

Пусть на отрезке [ ]a b, даны n+1 различных значений аргумента:

x x x xn0 1 2, , ,..., и известны для функции y=f(x) соответствующие значения:

f x y f x y f x yn n( ), , ( ) ,..., ( ) .0 0 1 1= = =

Построим полином L xn ( ) степени не выше n, имеющий в заданных

узлах x x x xn0 1 2, , ,..., те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

L x yn i i( ) ,= i=0,1,...,n.

Построим сначала фундаментальный полином такой, что

≠===

=.,,0

;,,1)(

klxx

klxxxl

l

lk

l xx x x x x x x x

x x x x x x x xkk k n

k k k k k k n

( )( )... ( )( )...( )

( )... ( )( )... ( )=

− − − −− − − −

− +

− +

0 1 1

0 1 1

, (1.1)

Введем функцию ω ( ) ( )( )...( ).x x x x x x xn= − − −0 1 Тогда

l xx

x x xkk k

( )( )

( ) ( )=

− ′ω

ω. Это справедливо, так как

′ =−−

=−

= − − ⋅→ → → −ω ω ω ω

( ) lim( ) ( )

lim( )

lim( )...( )xx x

x x

x

x xx x x xk

x x

k

kx x

kx x

kk k k

0 1

( )⋅ − − = − − − −+ − +x x x x x x x x x x x xk n k k k k k k n1 0 1 1...( ) ( )...( )( )...( ).

Интерполяционный полином Лагранжа будет иметь следующий вид

L x f x l xn k kk

n

( ) ( ) ( ).==∑

0

(1.2)

Действительно, легко проверить, что полином (1.2) имеет степень n,

и его значения совпадают со значениями интерполируемой функции в

узлах интерполяции x x xn0 1, ,..., .

Укажем схему, облегчающую вычисление коэффициентов при

f xk( ), k=0,1,...n, в формуле Лагранжа (1.2), так называемых лагранжевых

коэффициентов l xk ( ).

Для вычисления лагранжевых коэффициентов (1.1) можно

использовать следующую схему. Запишем таблицу разностей следующим

образом:

x x x x x x x xn− − − −0 0 1 0 2 0...

x x x x x x x xn1 0 1 1 2 1− − − −...

x x x x x x x xn2 0 2 1 2 2− − − −... (1.3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

x x x x x x x xn n n n− − − −0 1 2 ... .

Обозначим произведение элементов первой строки через P0 , второй

- через P1 и т.д., n-ной - через Pn . Произведение элементов главной

диагонали, как нетрудно видеть, будет ω(x). Отсюда следует, что

l xx

Pk nk

k

( )( )

, , ,..., .= =ω0 1 (1.3)

Следовательно,

L x xf x

Pnk

kk

n

( ) ( )( )

==∑ω

0

. (1.4)

Погрешность интерполяции многочленом Лагранжа (1.2)

определяется формулой

R xf

nx a bn

n

( )( )

( )!( ), [ , ].

( )

=+

∈+1

1

ξ ω ξ (1.5)

При построении интерполяционного полинома большое значение

имеет выбор узлов интерполяции. Возникает задача о наиболее

рациональном выборе узлов xk так, чтобы полином ω ( )x имел

наименьшее максимальное по модулю значение на отрезке [a,b].

Эта задача была решена П.Л. Чебышевым, который доказал, что

наилучший выбор узлов дается формулой

nkn

kababx kkk ,...,1,0,

22

12cos,

22=

++−=−++= πξξ (1.6)

- нули полинома Чебышева

T n xn+ = +1 1cos( )arccos .

В качестве узлов интерполирования можно также рассмотреть еще

один пример не равноотстоящих узлов - нули многочлена Лежандра

[ ].)1(!2

1)( 2 n

n

n

nn xdx

d

nxP −=

Для вычисления полиномов Лежандра удобно пользоваться

рекуррентной формулой

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n P x n xP x nP xn n n+ = + −+ −1 2 11 1 (1.7)

а для нахождения нулей полиномов можно пользоваться, например,

методом деления пополам.

Указания к выполнению лабораторной работы

1. Составить и отладить программу на функции, не имеющей

никаких особых точек на отрезке интерполирования.

2. При исследовании точности для каждой из систем узлов

интерполяции рассмотреть интерполирование указанной в

вариантах заданий функции на различном числе узлов

интерполяции. Сделать вывод о влиянии количества узлов на

точность интерполяции.

3. При исследовании устойчивости интерполяции считать, что

значения интерполируемой функции известны с какой-то

случайной погрешностью. Сделать вывод о том, как эта случайная

погрешность в узлах интерполяции влияет на значения полинома

Лагранжа в промежуточных точках.

4. Предположим, что функция f(x) имеет особую точку c a b∈[ , ] .

Тогда для оценки влияния особой точки c на точность и

устойчивость следует рассматривать интерполяцию функции f(x)

на интервале [ , ] [ , ]a c c b− ∪ +ε ε , ε → 0 . Оценить точность и

устойчивость интерполяции при различных значениях ε .

5. Погрешность интерполяции оценить в метрике пространства

C[a;b]. Особо внимательно исследовать отклонение

интерполяционного многочлена от функции вблизи особых точек.

Варианты заданий

1. f xx

x( ) , ( ; ];= ∈10 1

2. f xx

x( )sin

, , ;= ∈

1

02

π

3. f xx

x( )cos

, , ;= ∈

1

2

π π

4. f x tgx x( ) , ; ;= ∈

3

22

π π

5. f x ctgx x( ) , ; ;= ∈

π π3

2

6. ( ]f xx

x( ) exp , ; ;= ∈1

0 1

7. ( ]f xx

x( ) , ; ;= ∈10 1

2

8. ( ]f xx x

x( )sin

, ; ;= ∈10 1

9. f xx

xx( )

sin, ;= ∈

π π3

2;

10. ( ]f x x x( ) ln , ;= ∈ 0 1 ;

11. ( ]f xx

x( ) sin , ;= ∈1

0 1 ;

12. ;2;2

3,)(

∈= ππxtgxxf

13. ( ]f xx

x( ) , ;=−

∈1

11 2

3;

14. ( ]f xx x

x( ) exp , ;=

∈1 1

0 12

;

15. ( )f xx x

x( )( )

, ;=−

∈1

20 2 ;

16. f xx

x( )sin

, ;= ∈

1

022

π;

17. f xx

x( )cos

, ;= ∈

1

22

π π ;

18. f xx

xx( )

sin, ;= ∈

2 2

π π ;

19. f xx

x x( ) arctan , ;=−

∈

1

22ππ π ;

20. f xx

arcctgx x( ) , ;= ∈

1

02

π;

21. ( )f xx

xx( )

ln, ;= ∈ 0 1 ;

22. ( )f xx x

x( ) , ;=−

∈10 1

2;

23. f x x x( ) lnsin , ;= ∈

π π3

2;

24. f x x x( ) lncos , ;= ∈

π π2

;

25. f x x xx( ) , ;sin= ∈

1 0

2

π;

Контрольные вопросы

1. Почему в большинстве случаев интерполяция по узлам Чебышева

более точная, чем по равноотстоящим узлам?

2. Будет ли производная многочлена Лагранжа, интерполирующего

некоторую функцию f(x), достаточно хорошо приближать

производную ′f x( ) ?


Интерполирование периодических функций

Цель работы: изучение методов интерполирования периодических

функций тригонометрическими полиномами.

Постановка задачи. Интерполировать периодическую функцию f(x)

на интервале [a,b] тригонометрическими полиномами на различных сетках

узлов (равноотстоящие, узлы Чебышева, узлы Лежандра). Исследовать

точность и устойчивость интерполяции, оценить влияние особых точек на

точность и устойчивость.


Пусть на отрезке [a,b] задана периодическая функция f(x) с

периодом T=2π. Предположим, что заданы 2n+1 узлов [ )x x x n0 1 2 0 2, ,..., ,∈ π ,

и пусть в этих узлах известны значения функции f(x):

).(,...),(),( 221100 nn xfyxfyxfy ===

Построим тригонометрический периодический многочлен T xn ( )

порядка n такой, что в узлах x k nk , , ,..., ,= 0 1 2 его значения совпадают со

значениями функции f(x):

T x f x k nn k k( ) ( ), , ,..., .= = 0 1 2

Построим сначала для каждого k=0,1,...,2n, фундаментальный

многочлен

ψ kl

l

xx x l k

x x l k( )

, , ,

, , .=

= == ≠

1

0

В качестве такого многочлена можно взять

ψ k

k k n

k k k k k k n

x

x x x x x x x x

x x x x x x x x( )

sin sin sin sin

sin sin sin sin=

−⋅ ⋅ ⋅

−⋅

−⋅ ⋅ ⋅

−

−⋅ ⋅ ⋅

−⋅

−⋅ ⋅ ⋅

−

− +

− +

0 1 1 2

0 1 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(2.1)

Что это действительно тригонометрический многочлен,

обнаруживается простыми тригонометрическими преобразованиями.

Числитель (2.1) представляет собой произведение 2n множителей вида

sin .x xi−

2 Произведение двух таких множителей дает

sin sin cos cosx x x x x x x x x x x x

i j i j i j− ⋅−

= − −−

− − +

−

=2 2

1

2 2 2 2 2

=−

− −+

=

−−

1

2 2 2

1

2 2cos cos cos

x xx

x x x xj i j i j i

− ⋅+

− ⋅+

cos cos sin sin ,x

x xx

x xj i j i

2 2

то есть тригонометрический многочлен первого порядка. Таким образом,

нетрудно убедиться, что фундаментальный многочлен (2.1) представляет

собой тригонометрический многочлен порядка n.

Тогда многочлен

T x f x xn k kk

n

( ) ( ) ( )==∑ ψ

0

2

(2.2)

представляет собой интерполяционный тригонометрический многочлен

порядка n с периодом T=2π.

Если интерполируемая функция четная, то естественно искать

четный интерполяционный многочлен, нечетные же функции

целесообразно интерполировать нечетными интерполяционными

многочленами.

Пусть f(x) - четная функция, заданная на отрезке [-π,π]. Рассмотрим

полуотрезок [0,π). Пусть на нем заданы узлы x x xn0 1, ,..., и y y yn0 1, ,..., -

соответствующие им значения функции f(x). Построим

тригонометрический четный интерполяционный многочлен порядка n,

принимающий в точках x x xn0 1, ,..., , − − −x x xn1 2, ,..., соответственно

значения y y yn0 1, ,..., , y y yn1 2, ,..., .

Фундаментальный многочлен в этом случае будет иметь вид

( ) ( )( )( ) ( )( )ψ k

k k

k k k k k

xx x x x x x

x x x x x x( ) ( )

cos cos cos cos cos cos

cos cos cos cos cos cos1 0 1 1

0 1 1

=− ⋅ ⋅ ⋅ − − × ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ − − × ⋅ ⋅ ⋅

×− +

− +

× ⋅ ⋅ ⋅ × −⋅ ⋅ ⋅ × −

== == ≠

(cos cos )

(cos cos )

, , ,

, , .x x

x x

x x l k

x x l kn

k n

l

l

1

0 (2.3)

Интерполяционный тригонометрический многочлен будет иметь

вид:

T x f x xn k kk

n

( ) ( ) ( )( )==∑ ψ 1

0

. (2.4)

Аналогично можно построить нечетный интерполяционный

многочлен, который при x x x x xn i= ∈1 2 0, ,..., , ( , )π принимает значения

y y yn1 2, ,..., . Для этого нужно построить тригонометрический многочлен

T xn ( ) порядка n, который в точках − −x x x xn n,..., , , ,...,1 10 принимает

соответственно значения − −y y y yn n,..., , , ,..., .1 10 В этом случае

фундаментальный многочлен будет иметь вид:

( ) ( )( )( ) ( )( )ψ k

k k

k k k k k

xx x x x x x

x x x x x x( ) ( )

cos cos cos cos cos cos

cos cos cos cos cos cos2 1 1 1

1 1 1

=− ⋅ ⋅ ⋅ − − × ⋅ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ − − × ⋅ ⋅ ⋅

×− +

− +

× ⋅ ⋅ ⋅ × −⋅ ⋅ ⋅ × −

== == ≠

(cos cos )sin

(cos cos )sin

, , ,

, , .x x x

x x x

x x l k

x x l kn

k n k

l

l

1

0 (2.5)

Сам же интерполяционный тригонометрический нечетный

многочлен будет иметь вид:

T x f x xn k kk

n

( ) ( ) ( )( )==∑ ψ 2

1

. (2.6)

Если рассматривать равноотстоящие узлы интерполяции

xk

nk nk =

+=2

2 10 1 2

π, , ,..., , то в качестве интерполяционного

тригонометрического многочлена можно взять

T x f x xn k kk

n

( ) ( ) ( )( )==∑ ψ 3

0

2

, (2.7)

где фундаментальный многочлен определим как

( )ψ k

k

k

xn

nx x

x x( ) ( )

sin

sin.3 1

2 1

2 1

2

2

=+

+ −

− (2.8)


1. Программу отладить на функции, не имеющей особых точек на

отрезке интерполирования.

2. Для интерполирования четных и нечетных функций пользоваться

соответственно четными и нечетными интерполяционными

многочленами.


C[a,b].


1. Какими свойствами обладают тригонометрические

интерполяционные многочлены?

2. Обоснуйте, что многочлен (2.7) действительно является

интерполяционным тригонометрическим многочленом степени n.

3. Что такое устойчивость? Почему устойчивость интерполирования

функций представляет большое значение?


1. f xx

x( )sin

( ; );= ∈10 π

2. f xx

x( )cos

; ;= ∈ −

1

2 2

π π

3. f xx

x( )sin

; ;= ∈

1

20

2

π

4. f xx x

x( )sin cos

; ;= ∈ −

1

20

2

π

5. f x x x( ) tan ; ;= ∈ −

π2

0

6. ( )f x x x( ) cot ; ;= ∈ − π 0

7. ( )f x xx( ) ; ;sin= ∈2 01

π

8. f x xx( ) ; ;cos= ∈ −

3

2 2

1 π π

9. ( )f xx

x( )sin

; ;= ∈10

2π

10. f xx

x( )cos

; ;= ∈ −

1

2 23

π π

11. f xx

x( )cos

; ;= ∈ −

1

2 2

π π

12. ( )f xx

x( ) expsin

; ;=

∈1

0 π

13. f xx

x( ) expcos

; ;=

∈ −

1

2 2

π π

14. ( )f x x x( ) exp tan ; ;= ∈ −

π2

0

15. ( ) ( )f x x x( ) exp cot ; ;= ∈ 0 π

16. ( )f x x( ) lnsin ; ;= ∈ 0 π

17. f x x( ) lncos ; ;= ∈

0

2

π

18. ( )f xx x

x( )sin

expsin

; ;= ⋅

∈1 1

03 2

π

19. f x x x( ) ln tan ; ;= ∈

0

2

π

20. f x x x( ) lncot ; ;= ∈

0

2

π

21. ( )f xx

xx( )

cos

sin; ;= ∈2

02

π

22. ( )f xx

xx( )

sin

sin; ;= ∈3

03

π

23. ( )f xx

xx( )

cos

sin; ;= − ∈1

02

π

24. ( )f xx

xx( )

exp(sin )

sin; ;= ∈ 0 π

25. ( )f xx

xx( )

lnsin

sin; ;= ∈

20 π


Интерполирование функций двух переменных многочленами

Лагранжа

Цель работы: интерполирование функций двух переменных

многочленами Лагранжа на различных системах узлов.

Постановка задачи. Интерполировать функцию двух переменных

f(x,y) в области [a,b]×[c,d] на различных системах узлов (равноотстоящие,

узлы Чебышева, узлы Лежандра). Исследовать точность и устойчивость

интерполяции, оценить влияние особых точек функции на точность и

устойчивость.


Рассмотрим функцию двух переменных f(x,y), x∈[a;b], y∈[c;d].

Выберем две системы узлов: x x x a bn0 1, ,..., [ ; ]∈ и y y y c dn0 1, ,..., [ ; ]∈ .

Построим для функции f(x,y) интерполяционный полином сначала по

переменной x по узлам x x xn0 1, ,..., :

P x y f x y xn k kk

n

( , ) ( , ) ( ),==∑ ψ

0

(3.1)

где ψ k x( ) - фундаментальный многочлен по переменной x, определяемый

формулой (1.1).

Далее для функции (3.1) построим интерполяционный многочлен

порядка n по переменной y:

P x y f x y x ynn k l k ll

n

k

n

( , ) ( , ) ( ) ( )===∑∑ ψ ψ

00

. (3.2)


1. Программу отладить для функции, не имеющей особых точек.


C[a,b]×[c;d].


1. Дайте теоретическую оценку погрешности интерполяции функции

двух переменных. Как соотносятся между собой теоретическая

погрешность и реально полученная погрешность в метрике C[a;b]?

2. Укажите основные свойства интерполяционного полинома

Лагранжа для функции двух переменных.


1. ( ] ( ]f x yx y

x y( , ) exp , ; , ; ;= −+

∈ ∈1

0 1 0 12 2

2. ( ] ( ]f x yx y

x y( , ) sin , ; , ; ;=+

∈ ∈1

0 1 0 1

3. f x y x y x y( , ) cot , ; , ; ;= ∈

∈

3 0

20

2

π π

4. ( ] ( ]f x y xy x y( , ) ln , ; , ; ;= ∈ ∈0 1 0 1

5. f x yx y

x y( , )sin cos

, ; , ; ;=+

∈

∈

10

20

2

π π

6. f x yx y

xyx y( , )

sin( ), ; , ; ;= + ∈

∈

3 2

02

02

π π

7. f x yx

x yx y( , ) cot , ; , ; ;=

+∈

∈

0

20

2

π π

8. f x yx y

xyx y( , )

cos ( ), ; , ; ;= + ∈

∈

2

20

20

2

π π

9. f x yxy

x y( , ) cos , ; , ; ;= ∈

∈

1

02

02

π π

10. f x yxy

x y( , )sin

, ; , ; ;= ∈

∈

1

02

02

π π

11. f x y x y x y( , ) tan( ) ; , ; ;= + ∈

∈

π π π π2 2

12. f x yxy

x y( , ) sin , ; , ; ;= ∈

∈

1

02

022

π π

13. ( ] ( ]f x yx y

x y( , ) exp exp , ; , ; ;= −

+

∈ ∈1 1

0 1 0 1

14. ( ] ( ]f x yx y

x y( , ) expsin sin

, ; , ; ;= −+

∈ ∈1

0 1 0 1

15. ( ] ( ]f x yx y

x y( , ) , ; , ; ;= ∈ ∈10 1 0 1

2 2

16. ( ] ( ]f x y xy x y( , ) ln sin , ; , ; ;= ∈ ∈0 1 0 1

17. f x y xy x y( , ) ln cos , ; , ; ;= ∈

∈

π π π π2 2

18. f x yy x

x y( , )sin

, ; , ; ;= ∈

∈

1

02

022

π π

19. f x yxy

x y( , ) expsin

, ; , ; ;=

∈

∈

1

02

02

π π

20. f x yx y

x y( , ) expsin( )

, ; , ; ;=+

∈

∈

1

02

022

π π

21. ( )f x y x y x y( , ) tan , ; , ; ;= + ∈

∈

π π π π2 2

22. ( ] ( ]f x yx y

x y( , ) exp , ; , ; ;=+

∈ ∈1

0 1 0 12 2

23. f x yx y

xyx y( , ) exp

sin, ; , ; ;= +

∈

∈

0

20

2

π π

24. ( ] ( ]f x y x yx y( , ) , ; , ; ;( )= ∈ ∈+2 0 1 0 11

25. ( ] ( ]f x y x yx y( , ) , ; , ; ;(sin )= ∈ ∈+10 0 1 0 11


Методы суммирования рядов Фурье

Цель работы: изучение методов суммирования рядов Фурье;

исследование сходимости последовательности полиномов, построенных с

помощью методов суммирования рядов Фурье для периодических

функций, к приближаемым функциям.

Постановка задачи. Заданную функцию f(x) разложить в ряд Фурье.

Просуммировать ряды Фурье различными линейными методами

суммирования (методом частных сумм, методами Фейера, Валле - Пуссена

и Бернштейна - Рогозинского). Исследовать точность и устойчивость

различных методов суммирования. Оценить влияние особых точек на

точность и устойчивость.


Наиболее естественным аппаратом приближения периодических

функций f(x) являются частные суммы );( xfSn их ряда Фурье. Однако

последовательности );( xfSn не являются равномерно сходящимися на

всем классе непрерывных функций. Тем не менее, исходя из частных сумм

Фурье, можно построить последовательности полиномов );( xfUn

(полиномы Фейера, Джексона, Валле - Пуссена, Бернштейна -

Рогозинского и др.), которые равномерно сходятся для любой

непрерывной периодической функции.

Одним из наиболее общих способов построения таких полиномов

является суммирование рядов Фурье, сущность которого заключается в

том, что с помощью заданных двух треугольных матриц чисел { })(nkλ=Λ и

{ })(nkµ=Μ , где n=0,1,2,... и k=0,1,...,n, каждой 2π - периодической функции

f(x) ставится в соответствие полином ),;;( ΜΛxfUn вида

+=ΜΛ2

),;;()(

00n

nλa

xfU

( ) ( )[ ],sincossincos1

)()(∑=

+−+++n

k

kkn

kkkn

k kxakxbµkxbkxaλ (4.1)

где ka и kb - коэффициенты Фурье функции f(x). Таким образом, каждой

парой матриц Λ и Μ определяется конкретный линейный метод U(Λ,Μ)

суммирования рядов Фурье.

Будем считать, что 1,0 )(0

)( ≡≡ nnk λµ и );;()0,;;( Λ=Λ xfUxfU nn .

Рассмотрим некоторые конкретные примеры линейных методов

суммирования.

А) Метод частных сумм );( xfSn ряда Фурье. Он получается при

1)( ≡nkλ . В этом случае

).;();;( xfSxfU nn =Λ (4.2)

Б) Метод средних арифметических );( xfσn (метод Фейера)

получается при ).1,...,1(1)( −=−= nkn

kλ n

k Тогда

∑−

=

==Λ1

0

).;(1

);();;(n

k

knn xfSn

xfσxfU (4.3)

В) Метод Валле - Пуссена получим, полагая

+−=+

+−−

−== .,...,1,

11

;,...,1,0,1)(

npnkприp

pnkpnkпри

λ nk

В этом случае

∑−=

−− +==Λ

n

pnk

kn

pnn xfSp

xfVxfU ).;(1

1);();;( 1 (4.4)

Г) В случае, когда ,1,...,1,0,2

cos)( −== nkn

πkλ n

k получаем метод

Рогозинского );( xfRn . Тогда

.2

;2

;21

);();;(

−+

+==Λn

πxfS

n

πxfSxfRxfU nnnn (4.5)


1. Отладить программу для функции, не имеющей никаких особых

точек.

2. Приблизить функцию с помощью всех выше указанных методов.

Результаты приближения сравнить.

3. Погрешность приближения оценить в метрике пространства

],[2 baL .


1. Для чего нужны методы суммирования рядов Фурье?

2. Каковы достаточные условия существования ряда Фурье для

функции f(x)?


1. ( );;0,sin

1)( πx

xxf ∈=

2. ;2

;2

,cos

1)(

−∈= ππx

xxf

3. ( );;0,sinln

1)( πx

xxf ∈=

4. ( );;0,sin

1exp)( πx

xxf ∈

=

5. ( );;0,

sin1

exp

1)( πx

x

xf ∈

=

6. ;2

;2

,cosln

1)(

−∈= ππx

xxf

7. ;2

;2

,cos

1exp)(

−∈

= ππx

xxf

8. ;2

;2

,

cos1

exp

1)(

−∈

= ππ

x

x

xf

9. ( );;0,sinln)( πxxxf ∈=

10. ;2

;2

,cosln)(

−∈= ππxxxf

11. ( );;0,cotln)( πxxxf ∈=

12. ;2

;2

,tanln)(

−∈= ππxxxf

13. ( );;0,sin

1)( 2 πx

xxf ∈=

14. ;2

;2

,cos

1)( 2

−∈= ππx

xxf

15. ;0;2

,sincos

1)(

−∈⋅

= πx

xxxf

16. ( ) ( );;0,cotexp)( πxxxf ∈=

17. ( ) ;2

;2

,tanexp)(

−∈= ππxxxf

18. ( );;0,sin

1)( 3 πx

xxf ∈=

19. ;2

;2

,cos

1)( 3

−∈= ππx

xxf

20. ( );;0,sin

sin1

exp)( 2 πx

xxxf ∈

=

21. ( );;0,sin

1expsin)( πx

xxxf ∈

⋅=

22. ;2

;2

,cos

sin)( 2

−∈= ππx

x

xxf

23.

∈

−

−=2

;4

,

4sin

cossin)(

2

ππx

πx

xxxf ;

24. ;2

;2

,cos

cos1

exp)(

−∈

= ππx

xxxf

25. .2

;2

,cos

1expcos)( 2

2

−∈

⋅= ππx

xxxf


Разложение функций в ряд по ортогональным многочленам

Цель работы: исследование приближения функций посредством их

разложения в ряды по ортогональным многочленам.

Постановка задачи. Приблизить функцию f(x), разложив ее в ряд

Фурье - Чебышева первого и второго рода, а также в ряд Фурье -

Лежандра. Исследовать точность и устойчивость разложений, оценить

влияние особых точек функции на устойчивость и точность.


Рассмотрим многочлены Чебышева первого рода

).arccoscos()( xnxTn = (5.1)

Для многочленов (5.1) справедливо рекуррентное соотношение

).()(2)( 11 xTxxTxT nnn −+ −= (5.2)

Многочлены Чебышева (5.1) ортогональны на сегменте [-1,1] с

весовой функцией 21

1)(

xxh

−= . Справедливо соотношение

∫−

==

>=

≠

=−

=1

12

.0,

,0,2

,,0

1)()(

mnπ

mnπ

mn

x

dxxTxTJ nmmn (5.3)

Следовательно, ортонормированные многочлены Чебышева первого

рода выражаются через многочлены (5.1) следующим образом:

,1),arccoscos(2

)(2

)(ˆ ≥== nxnπ

xTπ

xT nn

.1

)(1

)(ˆ00

πxT

πxT == (5.4)

Если функция f(x) задана на сегменте [-1,1] и интегрируема с весом

21

1)(

tth

−= , то, определяя коэффициенты Фурье - Чебышева

∫−

−=

1

12

,1

)(ˆ)(t

dttTtfa nn (5.5)

этой функции, поставим в соответствие ряд Фурье по многочленам

Чебышева первого рода

∑∞

=0

).(ˆ

k

kk xTa (5.6)

Многочлены Чебышева второго рода определяются формулой

[ ].

1

arccos)1(sin)(

2x

xnxUn

−+= (5.7)

Рекуррентное соотношение для многочленов Чебышева второго

рода имеет вид

).()(2)( 11 xUxxUxU nnn −+ −= (5.8)

Многочлены (5.6) ортогональны на сегменте [-1,1] с весом

.1)( 2xxh −= Справедливо соотношение

=

≠=−= ∫

−.,

2

,,01)()(

1

1

2

mnπ

mndxxxUxUJ nmmn

Следовательно, ортонормированные многочлены Чебышева второго

рода выразятся по формуле

[ ],...2,1,0,

1

arccos)1(sin2)(

2)(ˆ

2=

−+== n

x

xn

πxU

πxU nn (5.9)

Пусть на сегменте [-1,1] задана функция f(x), интегрируемая с весом

.1)( 2xxh −= Тогда, определяя коэффициенты Фурье по формуле

[ ]∫∫−−

=+=−=1

1

1

1

2 arccos)1(sin)(2

1)(ˆ)( dttntfπ

dtttUtfa nn

∫ =+=π

nτdττnτfπ

0

,...2,1,0,sin)1sin()(cos2

, (5.10)

поставим в соответствие функции f(x) ее ряд Фурье по многочленам

Чебышева второго рода

∑∞

=0

).(ˆ

k

kk xUa (5.11)

Многочлены Лежандра определяются формулой Родрига

[ ] .)1(2!

1)(

)(2 nnnn x

nxP −= (5.12)

Многочлены Лежандра ортогональны на сегменте [-1,1] с весом

h(x)=1. Справедливо соотношение

∫−

=+

≠==

1

1.,

122

,,0)()(

mnn

mndxxPxPJ nmmn

Следовательно, ортонормированные многочлены Лежандра имеют

следующий вид

).(2

12)(ˆ xP

nxP nn

+= (5.13)

Если функция f(x) интегрируема на сегменте [-1,1], то можно

определить коэффициенты Фурье по многочленам Лежандра

∫−

=1

1

)(ˆ)( dttPtfa nn (5.14)

и поставить этой функции в соответствие ряд Фурье - Лежандра

∑∞

=0

).(ˆ

k

kk xPa (5.15)


1. Исследовать точность приближения заданной функции с

помощью разложения в ряды по ортонормированным

многочленам, рассматривая n-тые частные суммы разложений

вида (5.6), (5.11) и (5.15).

2. Значения многочленов Лежандра вычислять по рекуррентной

формуле (1.7).

3. Погрешность оценить в метрике ],[2 baL .


1. При выполнении каких условий, налагаемых на приближаемую

функцию f(x), ряды Фурье - Чебышева и Фурье - Лежандра будут

сходиться к f(x)?

2. Что такое ортогональная и ортонормированная система функций?

3. Обоснуйте справедливость формул (5.5), (5.10) и (5.14),

определяющих коэффициенты разложения функции в ряд по

ортонормированным многочленам.


1. ]( ;1;0,1

)( ∈= xx

xf

2. ( );;0,sin

1)( πx

xxf ∈=

3. ]( ;1;0,1

)( 2 ∈= xx

xf

4. ]( ;1;0,1

exp)( ∈

= xx

xf

5. ]( ;1;0,)(1

∈= xxxf x

6. ]( ;1;0,1

exp)( 2 ∈

= xx

xf

7. ]( ;1;0,sin

)( ∈= xx

xxf

8. ]( ;1;0,sin

1)( ∈= x

xxxf

9. ]( ;1;0,ln1

)( ∈= xxx

xf

10. ]( ;1;0,ln)( ∈= xxxf

11. ;2

;0,cosln)(

∈= πxxxf

12. ( );;0,sin

exp)( πxx

xxf ∈

=

13. ]( ;1;0,)(2

sin

∈= xxxf xx

14. ( );;0,sin

1exp)( πx

xxxf ∈

=

15. ;2

;0,tan)( 2

∈= πxxxf

16. );1;0(,)1(

1)( ∈

−= x

xxxf

17. ;2

;0,arctan)(

∈= πxxxf

18. ;2

;0,cos

1)(

∈= πx

xxxf

19. );;0(,cot)( πxxxf ∈=

20. )[ ;1;0,1

1)( ∈

−= x

xxf

21. ;2

;0,sin

1)(

∈= πx

xxf

22. );1;0(,)(1

∈= xxxf x

23. );1;0(,ln

1exp)( ∈

= xx

xf

24. );;0(,cot)( 2 πxxarcxf ∈=

25. .2

;4

,

4cos

sincos)(

∈

+

−= ππx

πx

xxxf


Приближение функций локальными сплайнами

Цель работы: исследование приближения функций одной

переменной с помощью локальных сплайнов.

Постановка задачи. Аппроксимировать функцию f(x) локальными

сплайнами. Исследовать точность и устойчивость приближения. Оценить

влияние особых точек функции на точность и устойчивость.


Сплайнами называют функции, «склеенные» из «кусков»

многочленов. Функция s(t), заданная и непрерывная на отрезке [a,b],

называется сплайном порядка m с узлами t i ni , , ,..., ;= 1 2

a t t t bn< < < < <1 2 ... , если на каждом из промежутков

[ ] [ ] [ ]a t t t i n t b s ti i n, , , , , ,..., , , ( )1 1 1 2 1+ = − представляет собой

алгебраический многочлен степени, не превосходящей m, т.е.

s t a t tki

ik

k

m

( ) ( )= −=∑

0

для [ ]t t t i ni i∈ = −+, , , ,..., ,1 0 1 1 (6.1)

а в каждой из точек ti некоторые производные s t m( ) ( ), ,ν ν1≤ ≤ могут

иметь разрыв.

Сплайн s(t) порядка m имеет дефект ki в узле ti , 1≤ ≤k mi , если в

точке ti непрерывны функции s t s t s tm ki( ), ( ),..., ( ),( )′ − а производная

s tm ki( ) ( )− +1 в точке ti терпит разрыв. Число k ki n

i=≤ ≤

max1

называется дефектом

сплайна s(t).

В качестве простейшего сплайна порядка m можно рассмотреть

функцию, построенную следующим образом.

На сегменте [-1,1] рассмотрим узлы ξk k m, , ,..., ,= 0 1 многочлена

Чебышева T xm+1( ) . Отобразим их на каждый из сегментов [ ]t ti i, +1 , причем

таким образом, что узел ξ0 переходит в точку ti , а узел ξm - в точку ti+1 . По

полученным узлам ξki k m i n( ) , , ,..., , , ,..., ,= =0 1 1 2 на каждом сегменте

[ ]t ti i, +1 построим многочлен Лагранжа порядка m. За счет выше

указанного выбора узлов мы как бы склеиваем полиномы. В результате

получим непрерывную функцию - сплайн.


1. На отрезках, близких к особым точкам функции, при построении

локального сплайна целесообразно строить алгебраические

многочлены более высокого порядка, по сравнению с остальными

участками, с целью улучшения точности аппроксимации.

2. Отладить программу для функций, не имеющих никаких особых

точек на отрезке приближения.

3. Сравнить точность приближения функций локальными сплайнами

и обычными алгебраическими многочленами.


1. Что такое сплайн? В чем его отличие от обычных алгебраических

многочленов?

2. В чем преимущество приближения функций локальными

сплайнами по сравнению с приближением с помощью обычных

алгебраических многочленов?


1. ( ]f xx

x( ) , ; ;= ∈10 1

2. ( ]f xx

x( ) , ; ;= ∈10 1

2

3. ( ]f xx

x( )arcsin

, ; ;= ∈10 1

4. ( ]f xx

x( ) exp , ; ;= ∈1

0 1

5. ( ]f xx

x( ) sin , ; ;= ∈1

0 1

6. f xx

x( )cos

, ; ;= ∈

1

2

π π

7. ( ]f x x x( ) ln , ; ;= ∈ 0 1

8. ( ]f xx

xx( )

sin, ; ;= ∈

20 1

9. f xx x

x( )sin

, ; ;= ∈

1

02

π

10. ( ]f xx x

x( ) expsin

, ; ;=

∈1 1

0 1

11. f x x x( ) arctan , ; ;= ∈

π π2

12. f xx

x( )arccos

, ; ;= ∈

1

21

π

13. f x x x( ) tan , ; ;= ∈

π π2

14. ( ]f x x x( ) cot , ; ;= ∈ 0 1

15. ( )f xx x

x( )( )

, ; ;=−

∈1

10 1

16. ( ]f xx

x( ) , ; ;= ∈10 1

3

17. ( ]f xx

x( ) , ; ;=−

∈1

11 2

2

18. ( ]f xx

x( ) exp , ; ;=

∈1

0 13

19. f x xx( ) , ; ;sin= ∈

3 0

2

1 π

20. ( ]f xx

x( ) exp , ; ;= −

∈1

0 1

21. ( ]f xx

xx( )

arcsin, ; ;= ∈

20 1

22. f xx

x( )sin

, ; ;= ∈

1

20

2

π

23. f xx

x( )cos

, ; ;= ∈

1

22

π π

24. ( ]f x x xx( ) , ; ;arcsin= ∈1

0 1

25. ( ]f x x xx( ) , ; ;arctan= ∈ 0 1

Литература

1. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений.-Т. 1, М., 1962,

464с.

2. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения

функций полиномами.-М.: Наука, 1977, 512с.

3. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы

сплайн-функций.-М: Наука, 1980, 352с.

4. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения.-М: Наука,

1984, 352с.

5. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены.-М: Наука,

1976, 328с.

Содержание

Введение...................................................................................

Лабораторная работа № 1.

Интерполирование функций многочленами Лагранжа..........


Интерполирование периодических функций...........................


Интерполирование функций двух переменных

многочленами

Лагранжа..................................................................................


Методы суммирования рядов Фурье.......................................


Разложение функций в ряд по ортогональным

многочленам...............................................................................


Приближение функций локальными сплайнами......................

Список литературы.................................................................

3

5

11

16

19

24

29

34

ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ · 2014. 11. 21. ·...

Documents