МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В … › file › pdf ›...

С.В. Рыков, И.В. Кудрявцева, С.А. Рыков,В.А. Рыков

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХВ ПАКЕТЕ MATHCAD 15

Часть IVМетоды оптимизации. Тесты с ответами

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2018

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ

УНИВЕРСИТЕТ ИТМО

С.В. Рыков, И.В. Кудрявцева, С.А. Рыков,В.А. Рыков




РЕКОМЕНДОВАНО К ИСПОЛЬЗОВАНИЮ В УНИВЕРСИТЕТЕ ИТМОпо направлению 16.04.03 Холодильная, криогенная техника и системы

жизнеобеспеченияв качестве учебного пособия для реализации основных профессиональных

образовательных программ высшего образования магистратуры

Санкт-Петербург

2018

Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.А., Рыков В.А. Методы оптимизации впримерах в пакете MathCAD 15. Часть 4. Методы оптимизации. Тесты с ответами.- СПб.: Университет ИТМО, 2018. – 85 с.

Рецензент: Пронин Владимир Александрович, д.т.н., профессор,заведующий кафедрой инженерного проектирования и систем жизнеобеспеченияУниверситета ИТМО.

Пособие содержит комплекты тестовых заданий по аналитическим методаммногомерной оптимизации. Применение данного учебного пособия позволитэффективно и качественно определить уровень подготовки студента.

Миссия университета – открывать возможности для гармоничногоразвития конкурентоспособной личности и вдохновлять на решение глобальныхзадач.

© Университет ИТМО, 2018© С.В. Рыков, И.В. Кудрявцева, С.А. Рыков, В.А. Рыков, 2018

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Аналитический метод поиска экстремума многомерной функции. Общиевопросы ......................................................................................................................... 52. Аналитический метод поиска экстремума многомерной функции безограничения ................................................................................................................ 173. Аналитический метод поиска условного экстремума многомерной функции сограничениями в виде НЕ РАВЕНСТВ .................................................................... 434. Аналитический метод поиска условного экстремума многомерной функции сограничениями в виде РАВЕНСТВ........................................................................... 565. Аналитический метод поиска условного экстремума многомерной функции соСМЕШАННЫМИ ограничениями ............................................................................ 66

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

Цель настоящего пособия – оказать студентам конкретную помощь вразвитии умения решать задачи по курсу «Методы оптимизации». Каждый изразделов пособия содержит комплекс тестовых заданий по определенному методуоптимизации.

Первая часть пособия посвящена аналитическому методу поискаэкстремума многомерной функции. Общие вопросы.

Вторая часть пособия посвящена аналитическому методу поискаэкстремума многомерной функции без ограничения.

Третья часть пособия посвящена аналитическому методу поиска условногоэкстремума многомерной функции с ограничениями в виде НЕ РАВЕНСТВ.

Четвёртая часть пособия посвящена аналитическому методу поискаусловного экстремума многомерной функции с ограничениями в видеРАВЕНСТВ.

Пятая часть пособия посвящена аналитическому методу поиска условногоэкстремума многомерной функции со смешанными ограничениями.

Тестовые вопросы имеют закрытую и открытую форму выбора ответа.Для каждого тестового задания дан эталон ответа.Задания составлены с учетом терминологии и обозначений,

предусмотренных программой вуза.При пользовании пособием рекомендуется следующий порядок работы.

Сначала следует повторить теоретическую часть, которая изложена впредыдущих частях учебного пособия «Методы оптимизации». Затемознакомиться с пояснениями и решениями задач, содержащимися в предыдущихчастях учебного пособия «Методы оптимизации». И только после этого перейти квыполнению тестовых заданий.

5

1. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА ЭКСТРЕМУМАМНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИ. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

1. Функция вида 0 01

( , , ) ( ) ( )p

j jj

L x f x g xl l l l=

= × + ×å в задачах аналитической

оптимизации называется ___________ .Ответ: обобщенной функцией Лагранжа.

2. Функция вида 0 01

( , , ) ( ) ( )p

j jj

L x f x g xl l l l=


оптимизации называется:

1 Функция Лагранжа2 Классическая функция Лагранжа3 Обобщенная функция Лагранжа4 Функция Ньютона5 Классическая функция Ньютона6 Обобщенная функция Ньютона7 Не используется

Ответ: 3.

3. Функция вида 2

1( , ) ( ) ( ) 4

p

j jj

L x f x g x b acl l=

= + × -å в задачах аналитической

оптимизации называется _________ .Ответ: классической функцией Лагранжа.

4. Функция вида1

( , ) ( ) ( )p

j jj

L x f x g xl l=

= + ×å в задачах аналитической

оптимизации называется:

1 Функция Лагранжа2 Классическая функция Лагранжа3 Обобщенная функция Лагранжа4 Функция Ньютона5 Классическая функция Ньютона6 Обобщенная функция Ньютона7 Не используется

Ответ: 2.

6

5. В функции вида 0 01

( , , ) ( ) ( )p

j jj

L x f x g xl l l l=


оптимизации коэффициенты 0 1, ,......, pl l l называются _________ .Ответ: множителями Лагранжа.

6. Градиентом обобщенной функции Лагранжа по х называется вектор,состоящий из ее _______ производных _______ порядка.

Ответ: частных; первого.

7. Градиент обобщенной функции Лагранжа двух переменных в развернутомвиде имеет вид:

1.2

021

20

22

( , , )

( , , )

L xx

L xx

l l

l l

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ç ÷¶ç ÷

¶è ø

2.0

1

0

2

( , , )

( , , )

L xx

L xx

l l

l l

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

3.2

02

12

022

( , , )

( , , )

L x

L x

l ll

l ll

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ç ÷¶ç ÷

¶è ø

4.

1 2

2 1

( ) ( )

( ) ( )

f x f xx x

f x f xx x

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷

¶ ¶è ø5.

20

21

20

22

( , , )

( , , )

L x

L x

l ll

l ll

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ç ÷¶ç ÷

¶è ø

6.

0

1

0

2

( , , )

( , , )

L x

L x

l lll ll

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

7.

1

2

( , )

( , )

L xx

L xx

l

l

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

8.0

1

0

2

( , )

( , )

L xx

L xx

l

l

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

Ответ: 2.

8. Градиент классической функции Лагранжа двух переменных в развернутомвиде имеет вид:

1.2

021

20

22

( , , )

( , , )

L xx

L xx

l l

l l

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ç ÷¶ç ÷

¶è ø

2.0

1

0

2

( , , )

( , , )

L xx

L xx

l l

l l

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

3.2

02

12

022

( , , )

( , , )

L x

L x

l ll

l ll

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ç ÷¶ç ÷

¶è ø

4.

1 2

2 1

( ) ( )

( ) ( )

f x f xx x

f x f xx x

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷

¶ ¶è ø5.

20

21

20

22

( , , )

( , , )

L x

L x

l ll

l ll

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ç ÷¶ç ÷

¶è ø

6.

0

1

0

2

( , , )

( , , )

L x

L x

l lll ll

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

7.

1

2

( , )

( , )

L xx

L xx

l

l

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

8.0

1

0

2

( , )

( , )

L xx

L xx

l

l

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

Ответ: 7.

7

9. Второй дифференциал 20( , , )d L x l l обобщенной функции Лагранжа двух

переменных в развернутом виде имеет вид:

1.2

0

1 1

( , , )n n

i ji j i j

L x dx dxx xl l

= =

¶¶ ¶åå

2.0 0

1 2

0 0

2 1

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

L x L xx x

L x L xx x

l l l l

l l l l

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷

¶ ¶è ø3.

2 20 0

21 1 2

2 20 0

22 1 2

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

L x L xx x x

L x L xx x x

l l l l

l l l l

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷

¶ ¶ ¶è ø

4.2

0

1 1

( , , )n n

i ji j i j

g x dx dxx xl l

= =

¶¶ ¶åå

Ответ: 1.

10. Второй дифференциал классической функции Лагранжа двух переменных вразвернутом виде имеет вид:

1.2

1 1

( , )n n

i ji j i j

g x dx dxx x

l= =

¶¶ ¶åå

2.2 2

0 021 1 2

2 20 0

22 1 2

( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , )

L x L xx x x

L x L xx x x

l l l l

l l l l

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷

¶ ¶ ¶è ø3.

1 2

2 1

( , ) ( , )

( , ) ( , )

L x L xx x

L x L xx x

l l

l l

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷

¶ ¶è ø

4.2

1 1

( , )n n

i ji j i j

L x dx dxx x

l= =

¶¶ ¶åå

Ответ: 4.

11. Написать обобщенную функцию Лагранжа для задачи поиска условногоэкстремума функции 2 2

1 2( )f x x x= + на множестве { }22 1 3 0X x x x= - + = ,

заданном ограничением 21 2 1( ) 3 0g x x x= - + = .

Ответ: ( ) ( )2 2 20 0 1 2 1 2 1( , , ) 3L x x x x xl l l l= × + + × - + .

8

12. Написать классическую функцию Лагранжа для задачи поиска условногоэкстремума функции 2 2

1 2( )f x x x= + на множестве { }22 1 3 0X x x x= - + = ,

заданном ограничением 21 2 1( ) 3 0g x x x= - + = .

Ответ: ( )2 2 21 2 1 2 1( , ) 3L x x x x xl l= + + × - + .

13. Написать градиент 0( , , )xL x l lÑ обобщенной функции Лагранжа для задачипоиска условного экстремума функции 2 2

1 2( )f x x x= + на множестве

{ }22 1 3 0X x x x= - + = , заданном ограничением 2

1 2 1( ) 3 0g x x x= - + = .

Ответ: 0 1 1

0 2 1 2

22 2

xx xl l

l læ ö× × -ç ÷

× × + × ×è ø.

14. Написать градиент ( , )xL x lÑ классической функции Лагранжа для задачипоиска условного экстремума функции 2 2



1 2 1( ) 3 0g x x x= - + = .

Ответ: 1 1

2 1 2

22 2

xx x

ll

æ ö× -ç ÷

× + × ×è ø.

15. Написать второй дифференциал 20( , , )d L x l l обобщенной функции Лагранжа

для задачи поиска условного экстремума функции 2 21 2( )f x x x= + на

множестве { }22 1 3 0X x x x= - + = , заданном ограничением

21 2 1( ) 3 0g x x x= - + = .

Ответ: ( )2 20 1 0 1 22 2 2dx dxl l l+ + .

16. Написать второй дифференциал 2 ( , )d L x l классической функции Лагранжадля задачи поиска условного экстремума функции 2 2

1 2( )f x x x= + намножестве { }2

2 1 3 0X x x x= - + = , заданном ограничением2

1 2 1( ) 3 0g x x x= - + = .Ответ: ( )2 2

1 1 22 2 2dx dxl+ + .

17. Написать первый дифференциал 1( )dg x ограничения для задачи поискаусловного экстремума функции 2 2



1 2 1( ) 3 0g x x x= - + = .

Ответ: 1 2 22dx x dx- + × .

9

18. Написать ограничения в каноническом виде для задачи поиска условногоэкстремума функции 2

1( )f x x= на множестве { }2 1 1 21, 0, 0X x x x x x= + = ³ ³ .

Ответ: 1 2 1( ) 1 0g x x x= + - = , 1 0x- £ , 2 0x- £ .

19. Написать обобщенную функцию Лагранжа для задачи поиска условногоэкстремума функции 2


Ответ: ( ) ( ) ( )20 0 1 1 2 1 2 1 3 2( , , ) 1L x x x x x xl l l l l l= × + × + - + × - + × - .

20. Написать классическую функцию Лагранжа для задачи поиска условногоэкстремума функции 2


Ответ: ( ) ( ) ( )20 1 1 2 1 2 1 3 2( , , ) 1L x x x x x xl l l l l= + × + - + × - + × - .

21. Написать градиент 0( , , )xL x l lÑ обобщенной функции Лагранжа для задачипоиска условного экстремума функции 2

1( )f x x= на множестве

{ }2 1 1 21, 0, 0X x x x x x= + = ³ ³ .

Ответ: 0 1 1 2

1 3

2 xl l ll l

æ ö× × + -ç ÷

-è ø.

22. Написать градиент ( , )xL x lÑ классической функции Лагранжа для задачипоиска условного экстремума функции 2


{ }2 1 1 21, 0, 0X x x x x x= + = ³ ³ .

Ответ: 1 1 2

1 3

2 x l ll l

æ ö× + -ç ÷

-è ø.

23. Написать второй дифференциал 20( , , )d L x l l обобщенной функции Лагранжа

для задачи поиска условного экстремума функции 21( )f x x= на множестве

{ }2 1 1 21, 0, 0X x x x x x= + = ³ ³ .

Ответ: 20 12 dxl .

24. Написать второй дифференциал 2 ( , )d L x l классической функции Лагранжадля задачи поиска условного экстремума функции 2


{ }2 1 1 21, 0, 0X x x x x x= + = ³ ³ .

Ответ: 212dx .

10

25. Написать первый дифференциал ограничений для задачи поиска условногоэкстремума функции 2


Ответ: 1 1 2( )dg x dx dx= + , 1dx- , 2 1( )dg x dx= - , 3 2( )dg x dx= - .

26. Ограничение вида ( ) 0jg x £ для задачи поиска условного экстремуманазывается активным в точке *x , если

1. *( ) 0jg x < 2. *( ) 0jg x > 3. *( ) 0jg x = 4. Нет такогоопределения

Ответ: 3.

27. Если ограничение вида ( ) 0jg x £ для задачи поиска условного экстремума в

точке имеет вид *( ) 0jg x ¹ то оно называется _______ .Ответ: пассивным.

28. Классифицировать ограничение 1 2( ) 2 0jg x x x= + - £ для задачи поиска

условного экстремума в точке * 12

x æ ö= ç ÷è ø

.

Ответ: активное.Комментарий: *( ) 0jg x = , т.е. неравенство превращается в равенство.

29. Классифицировать ограничение ( ) 0jg x £ для задачи поиска условного

экстремума в точке * 20

x-æ ö

= ç ÷è ø

.

Ответ: пассивное.

Комментарий: *( ) 4jg x = - , т.е. не равно 0 и неравенство не превращается вравенство.

30. Градиенты ограничений 1 2( ), ( ), ...., ( )mg x g x g x являются линейнонезависимыми в точке *x , если равенство

* * *1 1 2 2( ) ( ) .... ( ) 0m mg x g x g xl l lÑ + Ñ + + Ñ = выполняется только если все

1 2, ,...., ml l l

1. =0 2. >0 3. <0 4. 0³ 5. 0£ 6. 0¹ 7. Не определен

Ответ: 1.

11

31. Градиенты ограничений 1 2( ), ( ), ...., ( )mg x g x g x являются линейно зависимымив точке *x , если равенство * * *

1 1 2 2( ) ( ) .... ( ) 0m mg x g x g xl l lÑ + Ñ + + Ñ =выполняется только если хотя бы некоторые 1 2, ,...., ml l l

1. =0 2. >0 3. <0 4. 0³ 5. 0£ 6. 0¹ 7. Не определен

Ответ: 6.

32. Система векторов, содержащая нулевой вектор, всегда линейно ______ .Ответ: зависима.

33. Если ранг матрицы ( )* * *1 2( ) ( ) ..... ( )mrangA rang g x g x g x m= Ñ Ñ Ñ = , то

система векторов, составленная из градиентов ограничений линейно ____.Ответ: не зависима.

34. Если ранг матрицы ( )* * *1 2( ) ( ) ..... ( )mrangA rang g x g x g x m= Ñ Ñ Ñ < , то

система векторов, составленная из градиентов ограничений линейно ____.Ответ: зависима.

35. Если ранг матрицы ( )* * *1 2( ) ( ) ..... ( )mrangA rang g x g x g x m= Ñ Ñ Ñ > , то

система векторов, составленная из градиентов ограничений:

1. Линейнозависима

2. Линейно независима

3. Не линейнозависима

4. Не имеетсмысла

Ответ: 4.36. Классифицировать ограничения 1 1( ) 0g x x=- £ , 2 2( ) 0g x x=- £ ,

( )33 2 1( ) 1 0g x x x=- - - £ для задачи поиска условного экстремума в точке

* 10

x æ ö= ç ÷è ø

.

1. *1( )g x 2. *

2 ( )g x 3. *3( )g x 4. Не имеет

смысла1.1. Активно1.2. Пассивно

2.1. Активно2.2. Пассивно


Ответ: 1. *1( )g x – 1.2 пассивно, *

2 ( )g x – 2.1 активно, *3( )g x – 3.1 активно.

Комментарий: *1( )g x = – 1 т.е. не ноль, *

2 ( )g x =0, *3( )g x =0.

12

37. Классифицировать ограничения 1 1( ) 0g x x=- £ , 2 2( ) 0g x x=- £ ,

( )33 2 1( ) 1 0g x x x=- - - £ для задачи поиска условного экстремума в точке

* 00

x æ ö= ç ÷è ø

.

1. *1( )g x 2. *

2 ( )g x 3. *3( )g x 4. Не имеет

смысла1.1. Активно1.2. Пассивно



Ответ: 1. *1( )g x –1.1 активно, *

2 ( )g x – 2.1 активно, *3( )g x – 3.2 пассивно.

Комментарий: *1( )g x =0, *

2 ( )g x =0, *3( )g x = – 1 т.е. не ноль.

38. Исследовать градиенты активных ограничений в точке * 10

x æ ö= ç ÷è ø

для

ограничений 1 1( ) 0g x x=- £ , 2 2( ) 0g x x=- £ , ( )33 2 1( ) 1 0g x x x=- - - £ для

задачи поиска условного экстремума (определить какие ограничения активныи их зависимость др. от др.)

Ответ: 1. Ограничения *2 ( )g x и *

3( )g x активны и линейно зависимы.Комментарий: *

1( )g x = – 1 т.е. не ноль, *2 ( )g x =0, *

3( )g x =0, градиенты активных

ограничений *2

0( )

1g x æ ö

Ñ = ç ÷-è ø, *

3

0( )

1g x æ ö

Ñ = ç ÷è ø

,

( )* *2 3

0 0( ) ( ) 1 2

1 1rang g x g x rang æ ö

Ñ Ñ = = <ç ÷-è ø, т.к. определитель матрицы

0 00

1 1=

-, следовательно, ( )* *

2 3( ) ( )rang g x g xÑ Ñ <2<m, один из миноров 1 1= >0

его размер 1х1, следовательно, ( )* *2 3( ) ( ) 1rang g x g xÑ Ñ = , кроме того

2 3

0 00

1 1l læ ö æ ö

+ =ç ÷ ç ÷-è ø è ø, например, при 1 1l = и 3 1l = .

39. Исследовать градиенты активных ограничений в точке * 00

x æ ö= ç ÷è ø

для

ограничений 1 1( ) 0g x x=- £ , 2 2( ) 0g x x=- £ , ( )33 2 1( ) 1 0g x x x=- - - £ для

задачи поиска условного экстремума (определить какие ограничения активныи их зависимость др. от др.)

Ответ: 1. Ограничения *1( )g x и *

2 ( )g x активны и линейно не зависимы.

13

Комментарий: *3( )g x = – 1 т.е. не ноль, *

1( )g x =0, *2 ( )g x =0, градиенты активных

ограничений *1

1( )

0g x

-æ öÑ = ç ÷

è ø, *

2

0( )

1g x æ ö

Ñ = ç ÷-è ø,

( )* *2 3

1 0( ) ( ) 2

0 1rang g x g x rang

-æ öÑ Ñ = =ç ÷-è ø

=m, т.к. определитель матрицы

не равен нулю.

40. Заданы ограничения 1 1( ) 0g x x=- £ , 2 2( ) 0g x x=- £ , ( )33 2 1( ) 1 0g x x x=- - - £

(см. рисунок). В каких точках ( * * *1 2 3, ,x x x ) ограничения линейно зависимы?

2x

1x

*1x

*2x

*3x

0

1

1

1 1( ) 0g x x= - =

2 2( ) 0g x x= - =

( )33 2 1( ) 1 0g x x x= - - =

*1 3( )g xÑ *

3 3( )g xÑ

*1 1( )g xÑ

*2 1( )g xÑ

*3 2( )g xÑ

*2 2( )g xÑ

Ответ: *2x , *

3x .

14

41. Заданы ограничения 1 1( ) 0g x x=- £ , 2 2( ) 0g x x=- £ , ( )33 2 1( ) 1 0g x x x=- - - £

(см. рисунок). В каких точках ( * * *1 2 3, ,x x x ) ограничения линейно НЕ зависимы?

2x

1x

*1x

*2x

*3x

0

1

1

1 1( ) 0g x x= - =

2 2( ) 0g x x= - =

( )33 2 1( ) 1 0g x x x= - - =

*1 3( )g xÑ *

3 3( )g xÑ

*1 1( )g xÑ

*2 1( )g xÑ

*3 2( )g xÑ

*2 2( )g xÑ

Ответ: *1x .

42. Ограничения 1 1( ) 0g x x=- £ , 2 2( ) 0g x x=- £ , ( )33 2 1( ) 1 0g x x x=- - - £ (см.

рисунок). В каких точках ( * * *1 2 3, ,x x x ) ограничения линейно НЕ зависимы?

1.

2x

1x

*1x

*2x

*3x

0

1

1

1 1( ) 0g x x= - =

2 2( ) 0g x x= - =

( )33 2 1( ) 1 0g x x x= - - =

*1 3( )g xÑ *

3 3( )g xÑ

*1 1( )g xÑ

*2 1( )g xÑ

*3 2( )g xÑ

*2 2( )g xÑ

15

2.

2x

1x

*1x

*2x

*3x

0

1

1

1 1( ) 0g x x= - =

2 2( ) 0g x x= - =

( )33 2 1( ) 1 0g x x x= - - =

*1 3( )g xÑ *

3 3( )g xÑ

*1 1( )g xÑ

*2 1( )g xÑ

*3 2( )g xÑ

*2 2( )g xÑ

3.

2x

1x

*1x

*2x

*3x

0

1

1

1 1( ) 0g x x= - =

2 2( ) 0g x x= - =

( )33 2 1( ) 1 0g x x x= - - =

*1 3( )g xÑ

*3 3( )g xÑ

*1 1( )g xÑ

*2 1( )g xÑ

*3 2( )g xÑ

*2 2( )g xÑ

16

4.

2x

1x

*1x

*2x

*3x

0

1

1

1 1( ) 0g x x= - =

2 2( ) 0g x x= - =

( )33 2 1( ) 1 0g x x x= - - =

*1 3( )g xÑ

*3 3( )g xÑ

*1 1( )g xÑ

*2 1( )g xÑ

*3 2( )g xÑ

*2 2( )g xÑ

Ответ: 2.

Комментарий: надо рассчитать градиенты в точках: *1

00

x æ ö= ç ÷è ø

*1 1

1( )

0g x

-æ öÑ = ç ÷

è ø,

*2 1

0( )

1g x æ ö

Ñ = ç ÷-è ø; *

2

10

x æ ö= ç ÷è ø

*2 2

0( )

1g x æ ö

Ñ = ç ÷-è ø, *

3 2

0( )

1g x æ ö

Ñ = ç ÷è ø

, *3

01

x æ ö= ç ÷è ø

*1 3

3( )

1g x æ ö

Ñ = ç ÷è ø

, *3 3

0( )

1g x æ ö

Ñ = ç ÷è ø

.

17

2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА ЭКСТРЕМУМАМНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ

1. При аналитическом поиске минимума многомерной функции1 2 3( ), , , ... ,..i nf x x x x x x x= размерности n, если *x является точной локального

минимума и ( )f x дифференцируема в точке *x , то градиент функции ( )f x вточке *x – *( )f xÑ :

1. =0 2. >0 3. <0 4. Не определенОтвет: 1.

2. Необходимое условие экстремума в точке *x первого порядка длянахождения минимума многомерной функции аналитическим методом безограничения имеет вид:

1. *( ) 0f xÑ > 2. *( ) 0f xÑ = 3. *( ) 0f xÑ < 4. *( ) 0f xÑ ³Ответ: 2.

3. Градиент функции ( )f xÑ двух переменных в развернутом виде имеет вид:1.

1

2

( )

( )

f xx

f xx

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

2.2

21

2

22

( )

( )

f xx

f xx

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ç ÷¶ç ÷

¶è ø

3.2 2

21 1 2

2 2

22 1 2

( ) ( )

( ) ( )

f x f xx x x

f x f xx x x

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶è ø

4.

1 2

2 1

( ) ( )

( ) ( )

f x f xx x

f x f xx x

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷

¶ ¶è øОтвет: 1.

4. Градиент функции ( )f xÑ n переменных это:1. Векторразмером nx1

2. Матрица nxn 3. Строкаразмером 1xn

4. Не имеетсмысла

Ответ: 1.

5. Точка *x удовлетворяющая условию *( ) 0f xÑ = называется __________.1. Нестационарной

2. Экстремум 3.Стационарной 4. Минимум

Ответ: 3.

6. Необходимое условие экстремума первого порядка в стационарной точке *xпри аналитическом поиске минимума многомерной функции ( )f x безограничения определяется из условия:

1. *( ) 0f xÑ = 2. *( ) 0H x ³ 3. *( ) 0H x = 4. * *( ) 0 ( ( ) 0)H x H x³ £Ответ: 1.

18

7. Если точка *x является стационарной точкой при аналитическом поискеминимума многомерной функции ( )f x без ограничения, то должнывыполнятся условия:

1. Необходимыеусловияэкстремумавторого порядкастационарной

2. Необходимыеусловияэкстремумапервого порядкастационарной

3. Достаточныеусловияэкстремумавторого порядкастационарной

4. Необходимыеусловияэкстремумапервого ивторого порядкастационарнойодновременно

Ответ: 2.

8. Является точка *

111

xæ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø

стационарной точкой для функции

3 2 21 2 3 1 3 1 2( ) 3 3 6 2f x x x x x x x x= × + - + × - × - × + ?

1. Да 2. Нет 3. Требуютсядополнительныеисследования

4. Такоготермина несуществует

Ответ: 2.

Комментарий:

*

1

*

2

3

( )

7( )( ) 4

1( )

x x

f xx

f xf xx

f xx

=

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ æ öç ÷¶ ç ÷Ñ = = -ç ÷ ç ÷¶ ç ÷ç ÷ -è øç ÷¶ç ÷¶è ø

, т.к. градиент функции в точке не

равен нулю.


0.754

0.675x

æ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø


3 2 21 2 3 1 3 1 2( ) 3 3 6 2f x x x x x x x x= × + - + × - × - × + ?



Ответ: 2.

19


*

1

*

2

3

( )

2.737( )( ) 2

0.6( )

x x

f xx

f xf xx

f xx

=

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ æ öç ÷¶ ç ÷Ñ = =ç ÷ ç ÷¶ ç ÷ç ÷ -è øç ÷¶ç ÷¶è ø




0.553

0.275x



3 2 21 2 3 1 3 1 2( ) 3 3 6 2f x x x x x x x x= × + - + × - × - × + ?



Ответ: 1.


*

1

*

2

3

( )

0( )( ) 0

0( )

x x

f xx

f xf xx

f xx

=

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ æ öç ÷¶ ç ÷Ñ = =ç ÷ ç ÷¶ ç ÷ç ÷ è øç ÷¶ç ÷¶è ø

, т.к. градиент функции в точке равен

нулю.

11.Является точка * 12

x æ ö= ç ÷-è ø


2 21 2 1 2 1( ) 4 3 4f x x x x x x= × + × - × + ?



Ответ: 2.

Комментарий: т.к.

*

1*

2

( )17

( )( ) 16

x x

f xx

f xf xx

=

¶æ öç ÷¶ æ öç ÷Ñ = = ç ÷¶ -ç ÷ è øç ÷¶è ø

градиент функции в точке не


20

12. Является точка * 0.380.725

x-æ ö

= ç ÷-è ø стационарной точкой для функции

2 21 2 1 2 1( ) 4 3 4f x x x x x x= × + × - × + ?



Ответ: 2.


*

1*

2

( )0.86

( )( ) 2.83

x x

f xx

f xf xx

=

¶æ öç ÷¶ æ öç ÷Ñ = = ç ÷¶ -ç ÷ è øç ÷¶è ø



13. Является точка * 0.18750.125

x-æ ö

= ç ÷-è ø стационарной точкой для функции

2 21 2 1 2 1( ) 4 3 4f x x x x x x= × + × - × + ?



Ответ: 1.


*

1*

2

( )0

( )( ) 0

x x

f xx

f xf xx

=

¶æ öç ÷¶ æ öç ÷Ñ = = ç ÷¶ç ÷ è øç ÷¶è ø

, т.к. градиент функции в точке равен

нулю.

14. Определить стационарную точку для функции2 21 2 1 2 1( ) 4 3 4f x x x x x x= × + × - × + .

Ответ: * 0.18750.125

x-æ ö

= ç ÷-è ø.

Комментарий:2

1 1 2

2 0

2

( )8 4 1

( )( ) 6 4

f xx x x

f xf x x xx

¶æ öç ÷¶ æ ö× - × +ç ÷Ñ = =ç ÷¶ç ÷ × - ×è øç ÷¶è ø

, решая систему уравнений

21 2

2 0

8 4 1 06 4 0

x xx x

ì × - × + =í

× - × =î находим стационарную точку.

21

15.Определить стационарную точку для функции3 2 21 2 3 1 3 1 2( ) 3 3 6 2f x x x x x x x x= × + - + × - × - × + .

Ответ: *

0.553

0.275x


.


211 3

22

1 3

3

( )

9 3( )( ) 2 6

2( )

f xx x x

f xf x xx

x xf xx

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ æ ö× + -ç ÷¶ ç ÷

Ñ = = × -ç ÷ ç ÷¶ç ÷ ç ÷- ×è øç ÷¶ç ÷¶è ø

, решая систему уравнений

21 3

2

1 3

9 3 02 6 0

2 0

x xx

x x

ì × + - =ï

× - =íï - × =î

, находим стационарную точку.

16. Необходимое условие экстремума второго порядка в стационарной точке *xпри аналитическом поиске минимума многомерной функции ( )f x безограничения определяется из условия:

1. *( ) 0f xÑ = 2. *( ) 0H x ³ 3. *( ) 0H x = 4. * *( ) 0 ( ( ) 0)H x H x³ £

Ответ: 4.

17. Матрица Гессе используется в методе аналитической оптимизациимногомерной функции без ограничения?

1. Да2. Нет3. В некоторых случаях4. Вопрос не имеет смысла

Ответ: 1.18. Матрица Гессе ( )H x двух переменных в развернутом виде имеет вид:

1.

1

2

( )

( )

f xx

f xx

¶æ öç ÷¶ç ÷¶ç ÷

ç ÷¶è ø

2.2

21

2

22

( )

( )

f xx

f xx

æ ö¶ç ÷¶ç ÷ç ÷¶ç ÷

¶è ø

3.2 2

21 1 2

2 2

22 1 2

( ) ( )

( ) ( )

f x f xx x x

f x f xx x x

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶è ø

4.

1 2

2 1

( ) ( )

( ) ( )

f x f xx x

f x f xx x

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ç ÷

¶ ¶è ø

Ответ: 3.

22

19. Рассчитать матрицу Гессе ( )H x трех переменных для функции3 2 21 2 3 2 3 1 2( ) 3 6 2f x x x x x x x x= + + + × - × + × + .

Ответ:16 0 0

0 2 10 1 2

x×æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø

.


2 2 2

21 1 2 1 3

2 2 2

22 1 2 2 3

2 2 2

23 1 3 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

f x f x f xx x x x x

f x f x f xH xx x x x x


æ ö¶ ¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶

= ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç ÷

ç ÷¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

.

20. Рассчитать матрицу Гессе ( )H x трех переменных для функции3 2 21 2 3 1 3 1 2( ) 3 3 6 2f x x x x x x x x= × + - + × - × - × + .

Ответ:118 0 0

0 2 10 1 2

x×æ öç ÷ç ÷ç ÷-è ø

.


2 2 2

21 1 2 1 3

2 2 2

22 1 2 2 3

2 2 2

23 1 3 2 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )


f x f x f xH xx x x x x


æ ö¶ ¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶

= ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç ÷

ç ÷¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

.

21. Как называется матрица ( )H x , используемая в методе аналитическойоптимизации многомерной функции без ограничения?

1. Ньютона2. Гессе3. Маркварда4. Вопрос не имеет смысла

Ответ: 2.

23

22. Если матрица *( ) 0H x ³ , то стационарная точка *x функции *( )f x в методеаналитической оптимизации многомерной функции без ограничения можетбыть точкой ________.

1. Минимума 2. Максимума 3. Экстремума 4. Седловой

Ответ: 1.

23. Если матрица *( ) 0H x £ , то стационарная точка *x функции *( )f x в методеаналитической оптимизации многомерной функции без ограничения можетбыть точкой _______.

1. Минимума 2. Максимума 3. Экстремума 4. Седловой

Ответ: 2.

24. Если необходимые условия экстремума второго порядка выполняются вметоде аналитической оптимизации многомерной функции без ограничения,то стационарная точка является точкой _________.

1. Минимума функции2. Экстремума функции3. Требуются дополнительныеисследования экстремума4. Максимума функции5. Нет экстремума функции

Ответ: 3.

25. Если необходимые условия экстремума второго порядка в стационарнойточке не выполняются в методе аналитической оптимизации многомернойфункции без ограничения, то_______.

1. Найден минимум функции2. Найден экстремум функции3. Требуются дополнительныеисследования экстремума4. Найден максимум функции5. Нет экстремума функции

Ответ: 5.

24

26. Если необходимые условия экстремума первого порядка в точке невыполняются в методе аналитической оптимизации многомерной функциибез ограничения, то__________.

1. Найден минимум функции2. Найден экстремум функции3. Требуются дополнительныеисследования экстремума

4. Найден максимум функции5. Нет экстремума функции6. Точка не стационарная

Ответ: 5, 6.

27. Если матрица *( ) 0H x > , то стационарная точка *x функции *( )f x в методеаналитической оптимизации многомерной функции без ограничения_________.

1. Может быть точкой минимума2. Является точкой минимума

3. Может быть точкой максимума4. Является точкой максимума5. Может быть точкой экстремума

6. Является точкой экстремума

Ответ: 2.

28.Если матрица *( ) 0H x £ , то стационарная точка *x функции *( )f x в методеаналитической оптимизации многомерной функции без ограничения, то________.

1. Может быть точкой минимума2. Является точкой минимума3. Может быть точкой максимума4. Является точкой максимума5. Может быть точкой экстремума6. Является точкой экстремума

Ответ: 4.

25

29. Если достаточные условия экстремума второго порядка выполняются вметоде аналитической оптимизации многомерной функции без ограничения,то стационарная точка является точкой _______.

1. Минимума функции2. Экстремума функции3. Требуются дополнительныеисследования экстремума4. Максимума функции5. Нет экстремума функции

Ответ: 2.

30. Если достаточные условия экстремума второго порядка в стационарнойточке не выполняются в методе аналитической оптимизации многомернойфункции без ограничения, то_______.

1. Найден минимум функции

2. Найден экстремум функции

3. Требуются дополнительныеисследования экстремума

4. Найден максимум функции5. Нет экстремума функции

Ответ: 3.

31. Рассчитать определители угловых миноров матрицы8 00 0æ öç ÷è ø

.

Ответ: 8, 0.

Комментарий: 1 2

8 08 8, 0

0 0D = = D = = .

32. Рассчитать определители угловых миноров матрицы6 0 0

0 2 10 1 2

-æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø

.

Ответ: – 6, – 12, – 18.

Комментарий: 1 2 3

6 0 06 0

6 6, 12, 0 2 1 180 2

0 1 2

--

D = - = - D = = - D = = - .

26

33.Угловыми матрицами матрицы Гессе11 12 13

*21 22 23

31 32 33

det ( )h h h

H x h h hh h h

= являются:

1.11 12 13

12 131 13 2 3 21 22 23

22 2331 32 33

, ,h h h

h hh h h h

h hh h h

D = D = D =

2.11 12 13

11 131 11 2 3 21 22 23

31 3331 32 33

, ,h h h

h hh h h h

h hh h h

D = D = D =

3.11 12 13

11 121 11 2 3 21 22 23

21 2231 32 33

, ,h h h

h hh h h h

h hh h h

D = D = D =

4.11 12 13

22 231 33 2 3 21 22 23

32 3331 32 33

, ,h h h

h hh h h h

h hh h h

D = D = D =

5. Нет такого термина

Ответ: 3.

34. Рассчитать определители угловых миноров матрицы6 0 00 2 10 1 2

æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø

.

Ответ: 6, 12, 18.

Комментарий: 1 2 3

6 0 06 0

6 6, 12, 0 2 1 180 2

0 1 2D = = D = = D = = .

35. Определители m-го порядка ( m n£ ), получающиеся из определителяматрицы Гессе ( )H x (размером nxn) вычеркиванием каких-либо (n-m) строки (n-m) столбцов с одними и теми же номерами, называются ____.

Ответ: главными минорами.

27

36. Рассчитать определители угловых миноров матрицы8 00 0æ öç ÷è ø

.

Ответ: 8, 0.


8 08 8, 0

0 0D = = D = = .

37. Выписать главные миноры первого порядка матрицы6 0 00 2 10 1 2


.

Ответ: ( ) ( ) ( )6 , 2 , 2 .Комментарий: k=n–m, k – количество строк и столбцов, которые надо вычесть,n – размер матрицы, m – порядок минора, т.е. k=2.

38. Выписать главные миноры второго порядка матрицы6 0 00 2 10 1 2


.

Ответ:2 1 6 0 6 0

, ,1 2 0 2 0 2æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

.

Комментарий: k=n–m, k – количество строк и столбцов, которые надо вычесть,n – размер матрицы, m – порядок минора, т.е. k=1.

39. Выписать главные миноры третьего порядка матрицы6 0 00 2 10 1 2


.

Ответ:6 0 00 2 10 1 2


.


40. Выписать главные миноры первого порядка матрицы6 0 0

0 2 10 1 2


.

Ответ: ( ) ( ) ( )6 , 2 , 2- .Комментарий: k=n–m, k – количество строк и столбцов, которые надо вычесть,n – размер матрицы, m – порядок минора, т.е. k=2.

28

41. Выписать главные миноры второго порядка матрицы6 0 0

0 2 10 1 2


.

Ответ:2 1 6 0 6 0

, ,1 2 0 2 0 2

- -æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

.


42. Выписать главные миноры третьего порядка матрицы6 0 0

0 2 10 1 2


.

Ответ:6 0 0

0 2 10 1 2


.


43. Рассчитать определители главных миноров первого порядка матрицы6 0 00 2 10 1 2


.

Ответ: 6, 2, 2.Комментарий: ( ) ( ) ( )6 , 2 , 2 – главные миноры 1-го порядка, k k=n–m, k –количество строк и столбцов, которые надо вычесть, n – размер матрицы,m – порядок минора, т.е. k=2.

44. Вычислить определители главных миноров второго порядка матрицы6 0 00 2 10 1 2


.

Ответ: 3, 12, 12.

Комментарий:2 1 6 0 6 0

, ,1 2 0 2 0 2æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

– главные миноры 2-го порядка, k=n–m,

k – количество строк и столбцов, которые надо вычесть, n – размер матрицы, m –порядок минора, т.е. k=1.

29

45. Выписать главные миноры третьего порядка матрицы6 0 00 2 10 1 2


.

Ответ: 18.

Комментарий:6 0 00 2 10 1 2


– главный минор 3-го порядка, k=n–m, k – количество

строк и столбцов, которые надо вычесть, n – размер матрицы, m – порядокминора, т.е. k=0.

46. Рассчитать определители главных миноров первого порядка6 0 0

0 2 10 1 2


.

Ответ: – 6, 2, 2.Комментарий: ( ) ( ) ( )6 , 2 , 2- – главные миноры 1-го порядка, k=n–m,k – количество строк и столбцов, которые надо вычесть, n – размер матрицы,m – порядок минора, т.е. k=2.

47. Рассчитать определители главных миноров второго порядка матрицы6 0 0

0 2 10 1 2


.

Ответ: 3, – 12, – 12.

Комментарий:2 1 6 0 6 0

, ,1 2 0 2 0 2

- -æ ö æ ö æ öç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø

– главные миноры 2-го порядка,

k=n–m, k – количество строк и столбцов, которые надо вычесть, n – размерматрицы, m – порядок минора, т.е. k=1.

48. Рассчитать определители главных миноров третьего порядка матрицы6 0 0

0 2 10 1 2


.

Ответ: – 18.

Комментарий:6 0 0

0 2 10 1 2


– главный минор 3-го порядка, k=n–m, k – количество

строк и столбцов, которые надо вычесть, n – размер матрицы, m – порядокминора, т.е. k=0.

30

49. Градиент функции используется в методе аналитической оптимизациимногомерной функции без ограничения?

1. Да 2. Нет 3. В некоторыхслучаях

4. Вопрос неимеет смысла

Ответ: 1.

50. Какой критерий используется для проверки достаточных условий экстремумапри аналитическом поиске у многомерных функций?

1. Ньютона2. Сильвестра3. Гессе4. Лагранжа

5. Вопрос не имеет смысла

Ответ: 2.

51. По критерию проверки достаточных условий экстремума при аналитическомпоиске у многомерных функций, какой оператор матрицы Гессеиспользуется?

1. Ранг матрицы2. След матрицы3. Угловые миноры4. Главные миноры


Ответ: 3.

52. Для того, чтобы матрица Гессе *( )H x была положительно определенанеобходимо и достаточно, чтобы определители угловых миноров имелизнаки:

1. Строго положительны2. Не отрицательны3. Чередующиеся начиная сотрицательного4. Чередующиеся начиная сположительного5. Строго отрицательны6. Не положительны7. Не имеет значения

Ответ: 1.

31

53. Для того, чтобы точка *x являлась точкой локального минимума необходимои достаточно, чтобы определители угловых миноров имели знаки:

1. Строго положительны 5. Строго отрицательны2. Не отрицательны 6. Не положительны3. Чередующиеся начиная сотрицательного

7. Не имеет значения

4. Чередующиеся начиная сположительного

Ответ: 1.

54. Для того, чтобы матрица Гессе *( )H x была отрицательно определеннойнеобходимо и достаточно, чтобы определители угловых миноров имелизнаки:




Ответ: 3.

55. Для того, чтобы точка *x являлась точкой локального максимуманеобходимо и достаточно, чтобы определители угловых миноров имелизнаки:




Ответ: 3.

32

56. Если в точке *x определители угловых миноров матрицы Гессе *( )H x имеютзначения 2, 20, 4, то функция *( )f x имеет в точке *x :

1. Локальный максимум2. Седловую точку3. Локальный минимум4. Не имеет экстремума5. Имеет экстремум

Ответ: 3.57. Если в точке *x определители угловых миноров матрицы Гессе *( )H x имеют

значения – 2, – 20, – 4, то функция *( )f x имеет в точке *x :1. Локальный максимум2. Седловую точку3. Локальный минимум4. Не имеет экстремума5. Имеет экстремум

Ответ: 4.

58. Если в точке *x определители угловых миноров матрицы Гессе *( )H x имеютзначения 2, – 20, 4, то функция *( )f x имеет в точке *x :


Ответ: 4.

59. Если в точке *x определители угловых миноров матрицы Гессе *( )H x имеютзначения – 2, 20, – 4, то функция *( )f x имеет в точке *x :


Ответ: 1.

33

60.По критерию проверки необходимых условий экстремума при аналитическомпоиске у многомерных функций, какой оператор матрицы Гессеиспользуется?

1. Ранг матрицы2. След матрицы3. Угловые миноры4. Главные миноры


Ответ: 4.

61. Для того, чтобы матрица Гессе *( )H x была положительно полуопределенанеобходимо и достаточно, чтобы определители главных миноров имелизнаки:




Ответ: 2.

62. Для того, чтобы точка *x могла быть точкой локального минимуманеобходимо, чтобы определители главных миноров имели знаки:

1. Все строго положительны 5. Для миноров нечетного порядка неотрицательны.Для миноров четного порядка неположительны

2. Все неотрицательны 6. Строго отрицательны3. Для миноров четного порядка неотрицательны.Для миноров нечетного порядка неположительны

7. Не положительны

4. Знаки для миноров четного порядкадолжны чередоваться начиная сположительного.Знаки для миноров нечетного порядкадолжны чередоваться начиная сотрицательного

8. Знак для миноров не имеет значения

Ответ: 2.

34

63. Для того, чтобы матрица Гессе *( )H x была отрицательно полуопределенанеобходимо, чтобы определители главных миноров имели знаки:






Ответ: 3.

64. Для того, чтобы точка *x может быть являлась точкой локального максимуманеобходимо , чтобы определители главных миноров имели знаки:






Ответ: 4.

35

65. Если в точке *x определители главных миноров матрицы Гессе *( )H x имеютзначения 1-го порядка – 2, 20, 4; 2-го порядка – 4, 35, – 36; 3-го порядка 70,то функция *( )f x может иметь в точке *x :


Ответ: 4.

66. Если в точке *x определители главных миноров матрицы Гессе *( )H x имеютзначения 1-го порядка 2, 0, 4; 2-го порядка 4, 35, 0; 3-го порядка 70,то функция *( )f x может иметь в точке *x :

1. Локальный максимум2. Седловую точку3. Локальный минимум4. Не имеет экстремума

5. Имеет экстремум

Ответ: 3.

67. Если в точке *x определители главных миноров матрицы Гессе *( )H x имеютзначения 1-го порядка 2, 1, 4; 2-го порядка 4, 35, 8; 3-го порядка 70,то функция *( )f x может иметь в точке *x :


Ответ: 3.

36

68. Если в точке *x определители главных миноров матрицы Гессе *( )H x имеютзначения 1-го порядка – 2, – 1, 0; 2-го порядка 4, 35, 8; 3-го порядка – 70,то функция *( )f x может иметь в точке *x :


Ответ: 1.

69. Если в точке *x определители главных миноров матрицы Гессе *( )H x имеютзначения 1-го порядка 2, 1, 0; 2-го порядка – 4, – 35, – 8; 3-го порядка 70,то функция *( )f x может иметь в точке *x :


Ответ: 4.

70. Для определения локального максимума в точке *x функции *( )f x могутиспользоваться матричные операторы (выбрать один или несколько).

1. Собственные значения2. Ранг матрицы3. Главные миноры4. Алгебраические дополнения5. След матрицы6. Угловые миноры7. Таких операторов нет

Ответ: 1, 3, 6.

37

71. Какое матричное выражение используется для нахождения собственныхзначений в стационарной точке?

1. *( )H x El × +

2. *( )H x El- ×

3. *( )H x El × -

4. *( )H x E l× -

5. *( )H x El+ ×

6. *( )H x E l× +

7. Такого выражения нет

Ответ: 2.

72. Какой вид имеет характеристическое уравнение для нахождениясобственных значений в стационарной точке?

1. *( )H x El × +

2. *( )H x E l× +

3. *( )H x El × -

4. *( )H x El- ×

5. *( )H x El+ ×

6. *( )H x El- ×

7. Такого выражения нет

Ответ: 6.

73. Какая матричная операция применяется к матричному выражению дляполучения характеристического уравнения для нахождения собственныхзначений в стационарной точке?

1. Транспонирование матрицы2. Вычисление обратной матрицы3. Вычисление определителя4. Такого выражения нет

Ответ: 3.

38

74. Какой размер имеет матрица Е в матричном выражении для нахождениясобственных значений в стационарной точке, если размер матрицы *( )H xравен хn n ?

1. ( 1)х ( 1)n n- -

2. 1хn3. х1n4. хn n5. Такого выражения нет

Ответ: 4.

75. Матрица Е в матричном выражении для нахождения собственных значений встационарной точке называется ______.

Ответ: единичная.

76. Если собственные значения матрицы Гессе *( )H x строго положительны, то встационарной точке *x находится:

1. Может находиться локальныймаксимум2. Локальный максимум3. Может находиться локальныйминимум4. Локальный минимум5. Нет экстремума6. Вопрос не корректен

Ответ: 4.

77. Если собственные значения матрицы Гессе *( )H x строго отрицательны, то встационарной точке *x находится:

1. Может находиться локальныймаксимум2. Локальный максимум3. Может находиться локальныйминимум4. Локальный минимум5. Нет экстремума

6. Вопрос не корректен

Ответ: 2.

39

78. Если собственные значения матрицы Гессе *( )H x строго отрицательные, то встационарной точке *x находится:


Ответ: 2.

79. Если собственные значения матрицы Гессе *( )H x неотрицательные, то встационарной точке *x находится:


Ответ: 3.

80. Если собственные значения матрицы Гессе *( )H x неположительные, то встационарной точке *x находится:


Ответ: 3.

40

81. Получить алгебраическое уравнение для расчета собственных значенийматрицы Гессе для выражения 3 2 2

1 2 3 2 3 1 2( ) 3 6 2f x x x x x x x x= + + + × - × + × +

в стационарной точке *

14

2x

-æ öç ÷= -ç ÷ç ÷è ø

.

Ответ: 270 5 18l l l+ × - × - .Комментарий: ищутся корни алгебраического уравнения *( ) 0H x El- × = ,

где*

2 2 2

21 1 2 1 3

12 2 2*

22 1 2 2 3

2 2 2

23 1 3 2 3

( ) ( ) ( )

18 0 1 18 0 1( ) ( ) ( )( ) 0 2 0 0 2 0

1 0 2 1 0 2( ) ( ) ( ) x x


xf x f x f xH x

x x x x x


=

æ ö¶ ¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç ÷ × -æ ö æ öç ÷¶ ¶ ¶ ç ÷ ç ÷= = =ç ÷ ç ÷ ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶ç ÷ ç ÷ ç ÷- -è ø è øç ÷¶ ¶ ¶ç ÷ç ÷¶ ¶ ¶ ¶ ¶è ø

,

1 0 00 1 00 0 1

Eæ öç ÷= ç ÷ç ÷è ø

, уравнение получается при расчете определителя матрицы

* 2 3( ) 70 5 18H x El l l l- × = + × - × - .

82. Решить алгебраическое уравнение 2 370 5 18 0l l l+ × - × - = :1) рассчитать собственных значений матрицы Гессе;2) классифицировать стационарную точку.

Ответ: ( )18.06 1.94 2l = - - , экстремума в точке нет, т.к. собственныезначения знакопеременны.

83. Получить алгебраическое уравнение для расчета собственных значенийматрицы Гессе для выражения 2 2

1 2 1 2 1( ) 4 3 4f x x x x x x= × + × - × × + в

стационарной точке * 12

x æ ö= ç ÷-è ø

.

Ответ: 28 l l× + .Комментарий: ищутся корни алгебраического уравнения *( ) 0H x El- × = ,

где*

2 2

21 1 2*

2 2

22 1 2

( ) ( )8 0 8 0

( )0 0 0 0( ) ( ) x x

f x f xx x x

H xf x f x

x x x=

æ ö¶ ¶ç ÷¶ ¶ ¶ æ ö æ öç ÷= = =ç ÷ ç ÷ç ÷¶ ¶ è ø è øç ÷¶ ¶ ¶è ø

,1 00 1

E æ ö= ç ÷è ø

, уравнение

получается при расчете определителя матрицы * 2( ) 8H x El l l- × = × + .

41

84. Решить алгебраическое уравнение 28 0l l× + = :1) рассчитать собственных значений матрицы Гессе;2) классифицировать стационарную точку.

Ответ: ( )0 8l = , в стационарной точке может быть локальный минимум, т.к.собственные значения не отрицательны.

85. Алгоритм нахождения экстремума функции нескольких переменных безограничения аналитическим способом приведен на рисунке:1.

Необходимые условияэкстремума первого порядка

Достаточные условияэкстремума

Нет экстремума

Необходимые условия экстремума второго порядка

Вычислить значение функции в точке

Нет экстремумаПродолжить исследования

2.


Достаточные условияэкстремума

Нет экстремумаНеобходимые условия

экстремума второго порядка



42

3.


Достаточные условияэкстремума Нет экстремума

Необходимые условия экстремума второго порядка



4.Необходимые условия

экстремума второго порядка

Достаточные условияэкстремума Нет экстремума

Необходимые условия экстремума первого порядка



5. Такого алгоритма нетОтвет: 3.

43

3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА УСЛОВНОГОЭКСТРЕМУМА МНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИ СОГРАНИЧЕНИЯМИ В ВИДЕ НЕ РАВЕНСТВ

1. Для задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виде неравенств,если точка *x есть точка локального экстремума, то найдутся такие числа

* * *1 2, ,...., ml l l :

1. Равные нулюодновременно

3. Не отрицательные 5. Не положительные

2. Не равные нулюодновременно

4. Нет такогоопределения

Ответ: 2.

2. Для задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виде неравенствесли точка *x есть точка локального экстремума, то *

0l должна быть:

1. 0 2. Не равнанулю

3. Неотрицательна

4. Нет такогоопределения

5. Неположительна

Ответ: 3.

3. Необходимые условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств состоят из условий_________ (перечислить).

Ответ: 1. Условие стационарности обобщенной функции Лагранжа.2. Условие допустимости решения.3. Условие неотрицательности (неположительности) для условногоминимума (максимума).4. Условие дополняющей нежесткости.

4. Условие стационарности обобщенной функции Лагранжа для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств описываетсяформулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=.

7.* *

1 3( ( )... ( ))mrang g x g xm

Ñ Ñ ==

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -

9.Нет выражения

Ответ: 2.

44

5. Условие допустимости решения для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств описывается формулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m£ =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m³

=7.

* *1 3( ( )... ( ))mrang g x g x

mÑ Ñ =

=

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


10.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml = =

11.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

12.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml >

=

Ответ: 5.

6. Условие неотрицательности для условия минимума для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств описываетсяформулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4. *( ) 0, 1,...,jg x j m= = 5. *( ) 0, 1,...,jg x j m< = 6.*( ) 0, 1,...,jg x j m> =

7.* 0jl >

8.* 0jl ³

9.* 0jl <

10.* 0jl £

11.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


13.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml = =

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml >

=

Ответ: 8.

45

7. Условие неположительности для условия минимума для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств описываетсяформулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0,

1,...,jg x

j m=

=

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0, 1,...,jg x j m> =

7.* 0jl >

8.* 0jl ³

9.* 0jl <

10.* 0jl £

11.* *

1 3( ( )... ( )) 1mrang g x g x mÑ Ñ = -12.Нет выражения

13.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml =

=

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml > =

Ответ: 10.

8. Условие дополнительной нежесткости для задачи поиска условногоэкстремума с ограничениями в виде неравенств описывается формулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=7.

* 0jl >8.

* 0jl ³9.

* 0jl <10.

* 0jl £11.

* *1 3( ( )... ( ))

1mrang g x g x

mÑ Ñ =

= -


13.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml = =

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml >

=

Ответ: 13.

46

9. Необходимые условия экстремума первого порядка для поиска точкилокального минимума в задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств описываются следующими выражениями(выбрать из таблицы):

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m£ =

6.*( ) 0, 1,...,jg x j m³ =

7.* 0jl >

8.* 0jl ³

9.* 0jl £

10.* 0jl £

11.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


13.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml =

=

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml > =

Ответ: 2, 5, 8, 13.

10. Необходимые условия экстремума первого порядка для поиска точкилокального максимума для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств описываются следующими выражениями(выбрать из таблицы):

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0,

1,...,jg x

j m=

=

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m£ =

6.*( ) 0, 1,...,jg x j m³ =

7.* 0jl >

8.* 0jl ³

9.* 0jl £

10.* 0jl £

11.* *

1 3( ( )... ( )) 1mrang g x g x mÑ Ñ = -12.Нет выражения

13.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml =

=

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml > =

Ответ: 2, 5, 9, 13.

47

11. Необходимые условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств формируются_______ для максимума и минимума.

Ответ: отдельно.

12. Необходимые условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств для *

0 0l ¹ былидоказаны (один или несколько).

1. Марквард 2. Рафсон 3. Гомори4. Кун 5. Ньютон 6. Данциг7. Лагранж 8. Таккер 9. Зойтендейк10. Пауэлл 11. Гаусс 12. Нет авторов

Ответ: 4, 8.

13. Если ограничения записаны в форме *( ) 0, 1,...,jg x j m³ = для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств, то их надопереписать в виде ______(привести правильный вид ограничения).

Ответ: *( ) 0, 1,...,jg x j m- £ = .

14. Если ограничения записаны в форме 22 1 0x x- ³ для задачи поиска условного

экстремума с ограничениями в виде неравенств, то их надо переписать в виде__________ (привести правильный вид ограничения).

Ответ: ( )22 1 0x x- - £ .

15. Точки *x , удовлетворяющие необходимым условиям экстремума первогопорядка для задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виденеравенств при *

0 0l ¹ называются ______.Ответ: регулярными.

16. Точки *x , удовлетворяющие необходимым условиям экстремума первогопорядка для задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виденеравенств при *

0 0l = называются _______.Ответ: нерегулярными.

17. В регулярной точке минимума *x для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств антиградиент целевой является ______комбинацией градиентов функций, образующих ________ограниченияв точке *x .

Ответ: неотрицательной; активные.

48

18. В регулярной точке максимума *x для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств антиградиент целевой является_______комбинацией градиентов функций, образующих ________ограничения в точке *x .

Ответ: неположительной; активные.

19. Если ограничение в точке *x пассивное для задачи поиска условногоэкстремума с ограничениями в виде неравенств, то *

jl :

1. =0 2. >0 3. <0 4. 0³ 5. 0£ 6. Нет выраженияОтвет: 1.

20. Если ограничение в точке *x активное для задачи поиска условногоэкстремума с ограничениями в виде неравенств, то *

jl для максимума:


21. Если ограничение в точке *x активное для задачи поиска условногоэкстремума с ограничениями в виде неравенств, то *

jl для минимума:

1. =0 2. >0 3. <0 4. 0³ 5. 0£ 6. Нет выражения

Ответ: 4.

22. Для задачи поиска условного минимума с ограничениями в виде неравенствиспользуются достаточные условия минимума первого порядка?

1. Да 2. Нет 3. В некоторых случаях 4. Нет такого терминаОтвет: 1.

23. Для задачи поиска условного максимума с ограничениями в виде неравенствиспользуются достаточные условия минимума первого порядка?


24. В необходимых условиях экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств условиенеотрицательности (неположительности) минимума (максимума)используются?


49

25. В необходимых условиях экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде равенств условиенеотрицательности (неположительности) минимума (максимума)используются?

1. Да 2. Нет 3. В некоторых случаях 4. Нет такого термина

Ответ: 2.

26. В необходимых условиях экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств условиедополняющей нежесткости используются?


Ответ: 1.

27. В необходимых условиях экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде равенств условиедополняющей нежесткости используются?


Ответ: 2.

28. В выражении ( )* 0,j adg x при j J= Î для задачи поиска условногомаксимума с ограничениями в виде неравенств символ aJ означаетмножество индексов ______.

1. Ограничений, активных в точке *x2. Ограничений, пассивных в точке *x3. Всех ограничений в точке *x4. Такого термина нет

Ответ: 1.

29. Для того чтобы выполнялось достаточное условие экстремума первогопорядка для задачи поиска условного максимума с ограничениями в виденеравенств необходимо, чтобы при *

0 0l ¹ число активных ограниченийв точке *x _______ с числом n переменных (размерностью вектора *x ).

Ответ: совпадало (равно).

50

30. Какие выражения используются при проверке необходимых условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств если регулярная точка *x являетсяминимумом?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l £

3.( )2 * *, 0d L x l ³

4.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

=

Î <

5.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

=

Î >

6.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

>

Î <7.

( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

<

Î =

8.( )* *0, , 0j a jdg x j J l> Î =

9.( )* *0, , 0j a jdg x j J l£ Î =


Ответ: 3, 5, 9.

31. Какие выражения используются при проверке необходимых условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств если регулярная точка *x являетсямаксимумом?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l £

3.( )2 * *, 0d L x l ³

4.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

=

Î <

5.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

=

Î >

6.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

>

Î <7.

( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

<

Î =

8.( )* *0, , 0j a jdg x j J l> Î =

9.( )* *0, , 0j a jdg x j J l£ Î =


Ответ: 2, 4, 9.

51

32. Какие выражения используются при проверке достаточных условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств если регулярная точка *x являетсяминимумом?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l <

3.( )2 * *, 0d L x l >

4.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

=

Î <

5.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

=

Î >

6.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

>

Î <7.

( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

<

Î =

8.( )* *0, , 0j a jdg x j J l> Î =

9.( )* *0, , 0j a jdg x j J l£ Î =


Ответ: 3, 5, 9.

33. Какие выражения используются при проверке достаточных условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде неравенств если регулярная точка *x является точкоймаксимума?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l <

3.( )2 * *, 0d L x l >

4.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

=

Î <

5.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

=

Î >

6.( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

>

Î <7.

( )*

*

0,

, 0j

a j

dg x

j J l

<

Î =

8.( )* *0, , 0j a jdg x j J l> Î =

9.( )* *0, , 0j a jdg x j J l£ Î =


Ответ: 2, 4, 9.

52

34. Если достаточные условия экстремума второго порядка для задачи поискаусловного экстремума выполняются в точке *x надо:

1. Проверять необходимые условия2. Проводить дополнительные исследования3. Завершить исследования4. Термин не корректен

Ответ: 3.

35. Если достаточные условия экстремума второго порядка для задачи поискаусловного экстремума не выполняются в точке *x надо:


Ответ: 3.

36. Если необходимые условия экстремума второго порядка для задачи поискаусловного экстремума выполняются в точке *x надо:


Ответ: 2.

37. Если необходимые условия экстремума второго порядка для задачи поискаусловного экстремума не выполняются в точке *x надо:


Ответ: 1.

38. Если достаточные условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств НЕ выполняютсяв точке *x надо:

1. Проверять необходимые условия2. Проводить дополнительные исследования3. Завершить исследования4. Термин не корректен5. Проверять необходимые условия экстремума второго порядка

Ответ: 1.

53

39. Если достаточные условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде неравенств выполняютсяв точке *x надо:

1. Проверять необходимые условия2. Проводить дополнительные исследования3. Завершить исследования4. Термин не корректен5. Проверять необходимые условия экстремума второго порядка

Ответ: 3.

40. Для поиска экстремума функции 2 21 2( )f x x x= + с ограничением

1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ выписать необходимые условия экстремума первогопорядка.

Ответ:1. Условие стационарности обобщенной функции Лагранжа

0 10 1 1

1

( , , ) 2 0L x xxl l l l¶

= + =¶

, 0 10 2 1

2

( , , ) 2 0L x xxl l l l¶

= + =¶

;

2. Условие допустимости решения 1 2 2 0x x+ - £ ;3. Условие неотрицательности (неположительности) для условногоминимума (максимума) 1 0l ³ (для минимумов), 1 0l £ (для максимумов);4. Условие дополняющей нежесткости ( )1 1 2 2 0x xl + - = .

41. Найти условно-стационарные точки для целевой функции 2 21 2( )f x x x= +

с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ для случая 0 0l = .Ответ: условно-стационарной точки нет.Комментарий: из первого уравнения условия стационарности обобщенной

функции 0 10 1 1

1

( , , ) 2 0L x xxl l l l¶

= + =¶

, 0 10 2 1

2

( , , ) 2 0L x xxl l l l¶

= + =¶

следует, что

1 0l = . Это противоречит требованию о существования ненулевого вектора 0

1

ll

æ öç ÷è ø

.

42.Проверить выполнение достаточных условий экстремума первого порядка

для условно-стационарной точки *1 0

0, 0, 1

0x l l

æ ö= = =ç ÷è ø

для целевой функции

2 21 2( )f x x x= + с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .

Ответ: не выполняются.

Комментарий: ограничение 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ в точке * 00

x æ ö= ç ÷è ø

не активное,

так как *1( ) 2 0g x = - £ .

54


с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ для случая 0 0l ¹ , 1 0l = .

Ответ: *1 0

0, 0, 1

0x l l

æ ö= = =ç ÷è ø

– условно-стационарная точка.

Комментарий: если 1 0l = решается задача поиска безусловного экстремума. При0 1l = обобщенная функция Лагранжа заменяется на классическую

11 1

1

( , ) 2 0L x xxl l¶

= + =¶

, 10 2 1

2

( , ) 2 0L x xxl l l¶

= + =¶

если 1 0l = ,

то *1 0

0, 0, 1

0x l l

æ ö= = =ç ÷è ø

и условие допустимости решения 1 2 2 0x x+ - £

выполняется, это может быть локальный минимум или максимум.


с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ для случая 0 0l ¹ , 1 0l ¹ .

Ответ: *1 0

1, 2, 1

1x l l

æ ö= = - =ç ÷è ø

– условно-стационарная точка.

Комментарий: если 1 0l ¹ , то из условия дополняющей нежесткости( )1 1 2 2 0x xl + - = получим 1 2 2 0x x+ - = . При 0 1l = обобщенная функция

Лагранжа заменяется на классическую 11 1

1

( , ) 2 0L x xxl l¶

= + =¶

,

10 2 1

2

( , ) 2 0L x xxl l l¶

= + =¶

. Решая три уравнения получим *1 0

1, 2, 1

1x l l

æ ö= = - =ç ÷è ø

.

Так как 1 2 0l = - < , то необходимые условия максимума выполняются.

45. Проверить выполнение достаточных условий экстремума второго порядка и

классифицировать условно-стационарную точку *1 0

0, 0, 1

0x l l

æ ö= = =ç ÷è ø

для

целевой функции 2 21 2( )f x x x= + с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .

Ответ: выполняются. В точке *1 0

0, 0, 1

0x l l

æ ö= = =ç ÷è ø

регулярный локальный

условный минимум.Комментарий: 2 * * 2 2

1 1 2( , ) 2 2 0d L x dx dxl = + > при 0dx ¹ .

55

46.Проверить выполнение достаточных условий экстремума первого порядка

для условно-стационарной точки *1 0

1, 2, 1

1x l l

æ ö= = - =ç ÷è ø

для целевой функции

2 21 2( )f x x x= + с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .

Ответ: не выполняются.


x æ ö= ç ÷è ø

является

активным 1( ) 0g x = , однако количество ограничений в точке * 11

x æ ö= ç ÷è ø

(одно

ограничение) меньше количества неизвестных (размера вектора) (два неизвестных*

* 1*2

xx

xæ ö

= ç ÷è ø

), 1 2l n= < = .

47. Проверить выполнение необходимых условий экстремума второго порядка иклассифицировать условно-стационарную точку для условно-стационарной

точки *1 0

1, 2, 1

1x l l

æ ö= = - =ç ÷è ø

для целевой функции 2 21 2( )f x x x= + с

ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .Ответ: не выполняются. Точки экстремума нет.Комментарий: 2 * * 2 2

1 1 2( , ) 2 2d L x dx dxl = + , *1 1 2( ) 0dg x dx dx= + = откуда 1 2dx dx= - ,

следовательно, 2 * * 21 2( , ) 4 0d L x dxl = ³ при любых 2

2dx . Так как 1 2 0l = - < , то вточке может быть только максимум, тогда должно выполняться неравенство

2 * *1( , ) 0d L x l £ . Оно не выполняется, следовательно, необходимые условия

экстремума второго порядка не выполняются.

48. Проверить выполнение достаточных условий экстремума второго порядка иклассифицировать условно-стационарную точку для условно-стационарной

точки *1 0

1, 2, 1

1x l l

æ ö= = - =ç ÷è ø

для целевой функции 2 21 2( )f x x x= + с

ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .Ответ: не выполняются. Точка не классифицирована.Комментарий: 2 * * 2 2

1 1 2( , ) 2 2d L x dx dxl = + , *1 1 2( ) 0dg x dx dx= + = откуда 1 2dx dx= - ,

следовательно, 2 * * 21 2( , ) 4 0d L x dxl = > при 2

2 0dx ¹ . Так как 1 2 0l = - < , то в точкеможет быть только максимум, тогда должно выполняться неравенство

2 * *1( , ) 0d L x l < . Оно не выполняется, следовательно, достаточные условия

экстремума второго порядка не выполняются.

56

4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА УСЛОВНОГОЭКСТРЕМУМА МНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИС ОГРАНИЧЕНИЯМИ В ВИДЕ РАВЕНСТВ

1. Для задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виде равенств,если точка *x есть точка локального экстремума, то найдутся такие числа

* * * *0 1 2, , ,...., ml l l l :

1. Равныенулюодновременно

2. Не равныенулюодновременно

3. Неотрицательные

4. Нетакогоопределения

5. Неположительные

Ответ: 2.

2. Необходимые условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде равенств состоят из условий______ (перечислить).

Ответ: 1. Условие стационарности обобщенной функции Лагранжа;2. Условие допустимости решения;3. Условие регулярности.

3. Условие стационарности обобщенной функции Лагранжа для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде равенств описываетсяформулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5. *( ) 0, 1,...,jg x j m< = 6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=7.

* *1 3( ( )... ( ))mrang g x g x

mÑ Ñ =

=

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


Ответ: 2.

57

4. Условие допустимости решения для задачи поиска условного экстремума сограничениями в виде равенств описывается формулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=7.

* *1 3( ( )... ( ))mrang g x g x

mÑ Ñ =

=

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


Ответ: 4.

5. Условие регулярности для задачи поиска условного экстремума сограничениями в виде равенств описывается формулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=7.

* *1 3( ( )... ( ))mrang g x g x

mÑ Ñ =

=

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


Ответ: 7.

6. Необходимые условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями в виде равенств описываютсяследующими выражениями (выбрать из таблицы):1.

( )* *, 0xL x lÑ =2.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ =

3.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=7.

* *1 3( ( )... ( ))mrang g x g x

mÑ Ñ =

=

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


Ответ: 2, 4, 7.

58

7. Сколько неизвестных необходимо определить в необходимых условияхэкстремума первого порядка для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде равенств?

1.n+m 2. m–n 3. n+m+14. n+m–1 5. n–m 6. Нет выражения

Ответ: 3.

8. Сколько уравнений содержат необходимые условия экстремума первогопорядка для задачи поиска условного экстремума с ограничениями в видеравенств?

1. n+m 2. m–n 3. n+m+14. n+m–1 5. n–m 6. Нет выражения

Ответ: 1.

9. Точки *x , удовлетворяющие необходимым условиям экстремума первогопорядка для задачи поиска условного экстремума с ограничениями в видеравенств называются:

Ответ: условно-стационарными.

10. На практике, какие случаи рассматриваются при рассмотрениистационарности обобщенной функции Лагранжа для задачи поиска условногоэкстремума с ограничениями в виде равенств?

1. ( )* *, 0xL x lÑ = 2. ( )* * *0, , 0xL x l lÑ = 3. ( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =

при 0 1l =

4. ( )* * *0, , 0xL x l lÑ =

при 0 1l >

5. ( )* * *0, , 0xL x l lÑ =

при 0 1l <

6. Нет выражения

Ответ: 1, 3.

11. Антиградиент целевой функции в регулярной точке экстремума *x длязадачи поиска условного экстремума с ограничениями в виде равенствявляется линейной комбинацией ________ .

Ответ: градиентов ограничений.

12. Точка экстремума *x удовлетворяющая необходимому условию экстремумапервого порядка при *

0 0l ¹ для задачи поиска условного экстремума сограничениями в виде равенств называется ___________.

Ответ: регулярной.

13. Точка экстремума *x удовлетворяющая необходимому условию экстремумапервого порядка при *

0 0l = для задачи поиска условного экстремума сограничениями в виде равенств называется ___________.

Ответ: не регулярной.

59

14. Какие выражения используются при проверке необходимых условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумас ограничениями в виде равенств?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l >

3.( )2 * *, 0d L x l ³

4.

( ) ( )**

10

nj

j ii i

g xdg x dx

x=

¶= =

¶å

5.

( ) ( )**

10

nj

j ii i

g xdg x dx

x=

¶= >

¶å

6.

( ) ( )**

10

nj

j ii i

g xdg x dx

x=

¶= ³

¶å


Ответ: 3, 4.

15. Требуются ли дополнительные исследования, если в регулярной точкеэкстремума выполняются необходимые условия второго порядка для задачипоиска условного экстремума с ограничениями в виде равенств?

1. Да

2. Нет

3. В некоторых случаях ДА

4. В некоторых случаях НЕТ


Ответ: 1.

16. Какие выражения используются при проверке достаточных условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремума сограничениями в виде равенств?

1. ( )2 * *, 0d L x l = 2. ( )2 * *, 0d L x l > 3. ( )2 * *, 0d L x l ³

4.

( ) ( )**

1

nj

j ii i

g xdg x dx

x=

¶= =

¶å

5.

( ) ( )**

1

nj

j ii i

g xdg x dx

x=

¶= >

¶å

6.

( ) ( )**

1

nj

j ii i

g xdg x dx

x=

¶= ³

¶å

7. Нет выражения

Ответ: 2, 4.

60

17. Для того, чтобы достаточные условия второго порядка выполнялисьдля задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виде равенств

выражение ( ) ( )**

10

nj

j ii i

g xdg x dx

x=

¶= =

¶å выполнялось для всех dx :

1. Положительных 2. Отрицательных 3. Не нулевых4. Не положительных 5. Любых 6. Нет термина

Ответ: 3.

18. Требуются ли дополнительные исследования, если в регулярной точкеэкстремума выполняются достаточные условия второго порядка для задачипоиска условного экстремума с ограничениями в виде равенств?

1. Да

2. Нет

3. В некоторых случаях ДА

4. В некоторых случаях НЕТ


Ответ: 2.

19. Какие точки на рисунке соответствуют локальным максимумам?

Ответ: 1, 4, 6.Комментарий: исследование функции в этих точках по стрелкам показало, что

при приближении к данным точкам функция возрастает, а затем убывает.

61

20. Какие точки на рисунке соответствуют локальным минимумам?

Ответ: 2,5.Комментарий: исследование функции в этих точках по стрелкам показало, что

при приближении к данным точкам функция убывает, а затем возрастает.

21. Если условие линейной независимости градиентов ограничений выполнено,то для задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виде равенствиспользуется _________ функция Лагранжа.

Ответ: классическая.

22. Если условие линейной независимости градиентов ограничений выполненодля задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виде равенств,то для проверки условия экстремума первого порядка используются (выбратьиз списка):

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=7.

* *1 3( ( )... ( ))mrang g x g x

mÑ Ñ =

=

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


Ответ: 1, 4.

62

23. Если условие линейной независимости градиентов ограничений выполненодля задачи поиска условного экстремума с ограничениями в виде равенств,то рассматривается ли при проверке условия экстремума первого порядкасистема уравнений с *

0 0l = ?1. Да 2. Нет 3. В некоторых

случаях4. Вопрос некорректен

Ответ: 2.

24. Выполняется ли условие линейной независимости градиентов ограниченийдля ограничения 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - = ?


4. Вопрос некорректен

Ответ: 1.

Комментарий: 1

1( ) 0

1g x æ ö

Ñ = ¹ç ÷è ø

для любых 1x и 2x , следовательно, линейной

независимости градиентов ограничения выполняется.

25. Написать функцию Лагранжа, которая используется для поиска экстремумафункции 2 2

1 2( )f x x x= + с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - = .Ответ: ( )2 2

1 1 2 1 1 2( , ) 2L x x x x xl l= + + + - .

Комментарий: используется классическая функция Лагранжа т.к. 1

1( ) 0

1g x æ ö

Ñ = ¹ç ÷è ø

для любых 1x и 2x , следовательно, градиенты ограничения линейно независимы.

26.Для поиска экстремума функции 2 21 2( )f x x x= + с ограничением

1 1 2( ) 2 0g x x x= + - = используется _________ функция Лагранжа.Ответ: классическая.Комментарий: используется классическая функция Лагранжа

( )2 21 1 2 1 1 2( , ) 2L x x x x xl l= + + + - , т.к. 1

1( ) 0

1g x æ ö

Ñ = ¹ç ÷è ø

для любых 1x и 2x ,

следовательно, градиенты ограничения линейно независимы.

27. Найти условно-стационарные точки для целевой функции 2 21 2( )f x x x= + с

ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - = .Ответ: *

1x = 22x =1, 1l =1.

Комментарий: решение находится из системы уравнений 11 1

1

( , ) 2 0L x xxl l¶

= + =¶

,

12 1

2

( , ) 2 0L x xxl l¶

= + =¶

, 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - = .

63

28. Выписать уравнения для проверки для условно-стационарной точки *xдостаточных условий экстремума для целевой функции 2 2

1 2( )f x x x= +с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - = .

Ответ: 2 * * 2 21 1 2( , ) 2 2d L x dx dxl = + , *

1 1 2( ) 0dg x dx dx= + = .

Комментарий:2 2

1 12 21 2

( , ) ( , ) 2L x L xx xl l¶ ¶

= =¶ ¶

,2 2

1 1

1 2 2 1

( , ) ( , ) 0L x L xx x x x

l l¶ ¶= =

¶ ¶ ¶ ¶.

29. Классифицировать условно-стационарную точку * 11

x æ ö= ç ÷è ø

, 1l =1, полученную

для целевой функции 2 21 2( )f x x x= + с ограничением 1 1 2( ) 2 0g x x x= + - = .

Ответ: Точка11

x æ ö= ç ÷è ø

– регулярный условный локальный минимум.

Комментарий: решение находится из системы уравнений2 * * 2 2

1 1 2( , ) 2 2d L x dx dxl = + , *1 1 2( )dg x dx dx= + , т.к. второй дифференциал

2 * *1( , )d L x l >0 при 0 1 0l = ¹ при любых 0dx ¹ , и первый дифференциал *

1( )dg x =0при 0dx ¹ .

30. Выполняется ли условие линейной независимости градиентов ограниченийдля ограничения 2 3

1 2 1( ) 0g x x x= - = ?


4. Вопрос некорректен

Ответ: 2.

Комментарий:21

12

3( ) 0

2x

g xx

æ ö-Ñ = =ç ÷

è ø в точке 1x =0 и 2x =0, следовательно, линейной

независимости градиентов ограничения НЕ выполняется.

31. Написать функцию Лагранжа, которая используется для поиска экстремумафункции 1( )f x x= с ограничением 2 3

1 2 1( ) 0g x x x= - = .

Ответ: ( )2 2 30 1 0 1 2 1 2 1( , , )L x x x x xl l l l= + + - .

Комментарий: используется обобщенная функция Лагранжа, т.к21

12

3( ) 0

2x

g xx

æ ö-Ñ = =ç ÷

è ø в точке 1x =0 и 2x =0, следовательно, линейной независимости

градиентов ограничения НЕ выполняется.

64

32. Для поиска экстремума функции 1( )f x x= с ограничением 2 31 2 1( ) 0g x x x= - =

используется _______ функция Лагранжа.Ответ: обобщенная.Комментарий: используется обобщенная функция Лагранжа

( )2 2 30 1 0 1 2 1 2 1( , , )L x x x x xl l l l= + + - , т.к

21

12

3( ) 0

2x

g xx

æ ö-Ñ = =ç ÷

è ø в точке 1x =0 и 2x =0,

следовательно, линейной независимости градиентов ограничения НЕвыполняется.

33. Найти условно-стационарные точки для целевой функции 1( )f x x=с ограничением 2 3

1 2 1( ) 0g x x x= - = для случая 0 0l = .

Ответ: * 00

x æ ö= ç ÷è ø

, *0 0l = .

Комментарий: если 0 0l = , то 1 0l ¹ по определению, все множители Лагранжа

одновременно не могут равняться нулю. Отсюда * 00

x æ ö= ç ÷è ø

, *0 0l = .

34. Выписать уравнения для функции 1( )f x x= с ограничением2 3

1 2 1( ) 0g x x x= - = для поиска условно-стационарных точек для случая 0 0l ¹ .Ответ: 2

1 11 3 0xl- = , 1 22 0xl = , 2 32 1 0x x- = .


1

( , ) 1 3 0L x xxl l¶

= - =¶

, 11 2

2

( , ) 2 0L x xxl l¶

= =¶

, 2 31 2 1( ) 0g x x x= - = .

35. Найти условно-стационарные точки для целевой функции 1( )f x x=с ограничением 2 3

1 2 1( ) 0g x x x= - = для случая 0 0l ¹ .Ответ: нет условно-стационарной точки для 0 0l ¹ .Комментарий: условно-стационарная точка находится из решения системы

уравнений 211 1

1

( , ) 1 3 0L x xxl l¶

= - =¶

, 11 2

2

( , ) 2 0L x xxl l¶

= =¶

, 2 31 2 1( ) 0g x x x= - = .

Из второго уравнения: если 1 0l = , то из первого уравнения 1=0, т.е. системане совместна. Если 2 0x = (из 2-го уравнения), то 1 0x = тоже (из 3-го уравнения).Следовательно, система не совместна и нет условно-стационарной точки.

65

36. Классифицировать единственную условно-стационарную точку * 00

x æ ö= ç ÷è ø

,

*0 0l = , полученную для целевой функции 1( )f x x= с ограничением

2 31 2 1( ) 0g x x x= - = .

Ответ: точка * 00

x æ ö= ç ÷è ø

, *0 0l = – не регулярного локального и глобального

минимума.Комментарий: при *

0 0l = достаточные условия экстремума не проверяются.

(Из графика на рисунке в точке в точке* 0

0x æ ö= ç ÷è ø

глобальный минимум).

66

5. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОИСКА УСЛОВНОГОЭКСТРЕМУМА МНОГОМЕРНОЙ ФУНКЦИИ СО

СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

1. Для задачи поиска условного экстремума со СМЕШАННЫМИограничениями целевая функция должна быть _____________.

1. Гладкая2. Непрерывная3. Непрерывно дифференцируемая один раз4. Непрерывно дифференцируемая два раза5. Непрерывно дифференцируемая три раза6. Любая7. Вопрос не имеет смысла8. Нет такого определения

Ответ: 4.

2. Для задачи поиска условного экстремума со смешанными ограничениямиограничения должна быть ____________.

1. Гладкая2. Непрерывная3. Непрерывно дифференцируемыми один раз4. Непрерывно дифференцируемыми два раза5. Непрерывно дифференцируемыми три раза6. Любыми7. Вопрос не имеет смысла8. Нет такого определения

Ответ: 4.

3. Для задачи поиска условного экстремума со смешанными ограничениями,если точка *x есть точка локального экстремума, то найдутся такие числа

* * *1 2, ,...., ml l l :

1. Равные нулю одновременно2. Не равные нулю одновременно3. Неотрицательные4. Нет такого определения5. Неположительные

Ответ: 2.

67

4. Для задачи поиска условного экстремума со СМЕШАННЫМИограничениями, если точка *x есть точка локального экстремума, то число

*0l должна быть:

1. 02. Не равна нулю3. Неотрицательна4. Нет такого определения5. Неположительна

Ответ: 3.

5. Необходимые условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями состоят изусловий __________ (перечислить).

Ответ: 1. Условие стационарности обобщенной функции Лагранжа;2. Условие допустимости решения;3. Условие неотрицательности для условного минимума или условиенеположительности для условного максимума;4. Условие дополняющей нежесткости.

6. Если в задаче поиска условного экстремума со СМЕШАННЫМИограничениями выполняются необходимые условия экстремума первогопорядка, и при этом градиенты активных ограничений-неравенстви ограничений - равенств в точка *x линейно независимы, то число

*0l равно:

1. 02. Не равно нулю3. Неотрицательно4. Нет такого определения5. Неположительно6. Положительно

Ответ: 6.

68

7. Условие стационарности обобщенной функции Лагранжа для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями описываетсяформулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=

7.* *

1 3( ( )... ( ))mrang g x g xm

Ñ Ñ =

=

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


Ответ: 2.

8. Условие допустимости решения для задачи поиска условного экстремума соСМЕШАННЫМИ ограничениями описывается формулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =*( ) 0, 1,...,jg x j m p£ = +

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m£ =

* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m³

=

7.* *

1 3( ( )... ( ))mrang g x g xm

Ñ Ñ =

=

8.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


10.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml = =

11.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml > =

12.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml >

=

Ответ: 4.

69

9. Условие неотрицательности для условия минимума для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями описываетсяформулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m>

=7.

* 0jl >8.

* 0, 1,...,j j m pl ³ = +9.

* 0jl <10.

* 0jl £11.

* *1 3( ( )... ( ))

1mrang g x g x

mÑ Ñ =

= -


13.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml =

=

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml >

=

Ответ: 8.

10. Условие неположительности для условия минимума для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями описываетсяформулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0,

1,...,jg x

j m=

=

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0, 1,...,jg x j m> =

7.* 0jl >

8.* 0jl ³

9.* 0jl <

10.* 0, 1,...,j j m pl £ = +

11.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


13.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml =

=

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml > =

Ответ: 10.

70

11. Условие дополнительной нежесткости для задачи поиска условногоэкстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями описывается формулой:

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0xL x l lÑ =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0,

1,...,jg x

j m=

=

5.*( ) 0, 1,...,jg x j m< =

6.*( ) 0, 1,...,jg x j m> =

7.* 0jl >

8.* 0jl ³

9.* 0jl <

10.* 0jl £

11.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


13.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j m pl =

= +

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml > =

Ответ: 13.

12. Необходимые условия экстремума первого порядка для поиска точкилокального минимума в задачи поиска условного экстремумасо СМЕШАННЫМИ ограничениями описываются следующимивыражениями (выбрать из таблицы):

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0, 1..xL x i nl lÑ = =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =*( ) 0, 1,...,jg x j m³ =

5.*

*

( ) 0, 1,...,

( ) 0, 1,...,j

j

g x j m

g x j m p

= =

£ = +

6.*( ) 0,

1,...,jg x

j m³

=

7.*( ) 0, 1,...,jg x j m³ =

* 0jl >

8.* 0, 1,...,j j m pl ³ = +

9.* 0jl £

10.* 0jl £

* *1 3( ( )... ( ))

1mrang g x g x

mÑ Ñ =

= -

11.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


13.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j m pl =

= +

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml >

=

Ответ: 2, 5, 8, 13.

71

13. Необходимые условия экстремума первого порядка для поиска точкилокального максимума в задаче поиска условного экстремумасо СМЕШАННЫМИ ограничениями описываются следующимивыражениями (выбрать из таблицы):

1.( )* *, 0xL x lÑ =

2.( )* * *

0, , 0, 1..xL x i nl lÑ = =3.

( )* * *0, , 0xL x l lÑ >

4.*( ) 0, 1,...,jg x j m= =

5.*

*

( ) 0, 1,...,

( ) 0, 1,...,j

j

g x j m

g x j m p

= =

£ = +

6.*( ) 0, 1,...,jg x j m³ =

7.*( ) 0, 1,...,jg x j m³ =

* 0jl >

8.* 0, 1,...,j j m pl ³ = +

9.* 0, 1,...,j j m pl £ = +

10.* 0jl £

11.* *

1 3( ( )... ( ))1

mrang g x g xm

Ñ Ñ =

= -


13.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j m pl =

= +

14.* *( ) 0, 1,...,j jg x j ml < =

15.* *( ) 0,

1,...,j jg x

j ml >

=

Ответ: 2, 5, 9,13.

14. Необходимые условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями формируются_________ для максимума и минимума.

Ответ: отдельно.

15. Если ограничения-неравенства записаны в форме *( ) 0, 1,...,jg x j m p³ = +для задачи поиска условного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениямито их надо переписать в виде _______ (привести правильный вид ограниченияв виде формулы).

Ответ: *( ) 0, 1,...,jg x j m p- £ = + .

16. Если ограничение-неравенство записано в форме 22 1 0x x- ³ для задачи

поиска условного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями то егонадо переписать в виде ______ (привести правильный вид ограничения в видеформулы).

Ответ: ( )22 1 0x x- - £ .

72

17. Точки *x , удовлетворяющие необходимым условиям экстремума первогопорядка для задачи поиска условного экстремума со СМЕШАННЫМИограничениями при *

0 0l ¹ называются _______ .Ответ: регулярными.

18. Точки *x , удовлетворяющие необходимым условиям экстремума первогопорядка для задачи поиска условного экстремума со СМЕШАННЫМИограничениями при *

0 0l = называются ________ .Ответ: нерегулярными.

19. В регулярной точке минимума *x для задачи поиска условного экстремумасо СМЕШАННЫМИ ограничениями антиградиент целевой является ______комбинацией градиентов функций, образующих ______ ограниченияв точке *x .

Ответ: неотрицательной; активные.

20. В регулярной точке максимума *x для задачи поиска условного экстремумасо СМЕШАННЫМИ ограничениями антиградиент целевой является ______комбинацией градиентов функций, образующих _______ ограниченияв точке *x .

Ответ: неположительной; активные.

21. Если ограничение в точке *x пассивное для задачи поиска условногоэкстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями то *

jl :


22. Если ограничение в точке *x активное для задачи поиска условногоэкстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями, то *

jl для максимума:

1. =0 2. >0 3. <0 4. 0³ 5. 0£ 6. Нет выражения

Ответ: 5.

23. Если ограничение в точке *x активное для задачи поиска условногоэкстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями, то *

jl для минимума:


73

24. Для задачи поиска условного минимума со СМЕШАННЫМИ ограничениямииспользуются достаточные условия минимума первого порядка?


Ответ: 1.

25. Для задачи поиска условного максимума со СМЕШАННЫМИограничениями используются достаточные условия минимума первогопорядка?


26. В необходимых условиях экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями условиенеотрицательности (неположительности) минимума (максимума)используется?


27. В необходимых условиях экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями условиедополняющей нежесткости используется?


28. В выражении ( )* 0,j adg x при j J= Î для задачи поиска условногомаксимума со СМЕШАННЫМИ ограничениями символ aJ означаетмножество индексов _______.

1. Ограничений, активных в точке *x2. Ограничений, пассивных в точке *x3. Всех ограничений в точке *x4. Такого термина нет

Ответ: 1.

29. Для того чтобы выполнялось достаточное условие экстремума первогопорядка (при выполнении необходимых условий первого порядка) для задачипоиска условного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограниченияминеобходимо чтобы при *

0 0l ¹ суммарное число активных ограничений-равенств и ограничений - неравенств в точке *x _______ с числомn переменных (размерностью вектора *x ).

Ответ: совпадало (равно).

74

30. При выполнении достаточных условий первого порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями и если

* 0,j aj Jl > Î , то точка *x – ________ .Ответ: условного локального минимума.

31. При выполнении достаточных условий первого порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями и если

* 0,j aj Jl < Î , то точка *x – _________ .Ответ: условного локального максимума.

32. Если достаточные условия первого порядка для задачи поиска условногоэкстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями выполняются, то:

1. Исследования завершаются, и точка локального экстремума определена2. Необходимо провести дополнительные исследования3. Стационарная точка является точкой перегиба4. Стационарная точка не является точкой экстремума5. Точка может быть условным локальным экстремумом6. Вопрос не корректен

Ответ: 1.

33. Если необходимые условия первого порядка для задачи поиска условногоэкстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями выполняются, то:

1. Исследования завершаются, и точка локального экстремума определена2. Необходимо провести дополнительные исследования3. Стационарная точка является точкой перегиба4. Стационарная точка не является точкой экстремума5. Точка может быть условным локальным экстремумом, продолжитьисследования6. Вопрос не корректен

Ответ: 5.

75

34. Какие выражения используются при проверке необходимых условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумасо СМЕШАННЫМИ ограничениями если регулярная точка *x являетсяминимумом?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l £

3.( )2 * *, 0d L x l ³

4.( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

= Î

<

5.( )*

*

0, 1... , ,

0j a

j

dg x j m j J

l

= = Î

>

6.( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

> Î

<7.

( )* *0, , 0j a jdg x j J l< Î =8.

( )* *0, , 0j a jdg x j J l> Î =9.

( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

£ Î

=10.Нет выражения

Ответ: 3, 5, 9.

35. Какие выражения используются при проверке необходимых условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумасо СМЕШАННЫМИ ограничениями если регулярная точка *x являетсямаксимумом?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l £

3.( )2 * *, 0d L x l ³

4.( )*

*

0, 1... ,

, 0j

a j

dg x j m

j J l

= =

Î <

5.( )* *0, , 0j a jdg x j J l= Î >

6.( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

> Î

<7.

( )* *0, , 0j a jdg x j J l< Î =8.

( )* *0, , 0j a jdg x j J l> Î =9.

( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

£ Î

=10.Нет выражения

Ответ: 2, 4, 9.

76

36. Какие выражения используются при проверке достаточных условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумасо СМЕШАННЫМИ ограничениями если регулярная точка *x являетсяминимумом?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l <

3.( )2 * *, 0d L x l ³

4.( )* *0, , 0j a jdg x j J l= Î <

5.( )*

*

0, 1... ,

, 0j

a j

dg x j m

j J l

= =

Î >

6.( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

> Î

<7.

( )* *0, , 0j a jdg x j J l< Î =8.

( )* *0, , 0j a jdg x j J l> Î =9.

( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

£ Î

=10. Нет выражения

Ответ: 3, 5, 9.

37. Какие выражения используются при проверке достаточных условийэкстремума второго порядка для задачи поиска условного экстремумасо СМЕШАННЫМИ ограничениями если регулярной точкой *x являетсяточка максимума?

1.( )2 * *, 0d L x l =

2.( )2 * *, 0d L x l £

3.( )2 * *, 0d L x l >

4.( )*

*

0, 1....

, 0j

a j

dg x j m

j J l

= =

Î <

5.( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

= Î

>

6.( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

> Î

<7.

( )*

*

0, ,

0j a

j

dg x j J

l

< Î

=

8.( )* *0, , 0j a jdg x j J l> Î =

9.( )* *0, , 0j a jdg x j J l£ Î =

10. Нет выраженияОтвет: 2, 4, 9.

38. Если достаточные условия экстремума второго порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями выполняютсяв точке *x надо:

1. Проверятьнеобходимые условия

2. Проводитьдополнительныеисследования

3. Завершитьисследования

4. Термин не корректенОтвет: 3.Комментарий: точка *x является точкой локального условного экстремума.

77

39. Если достаточные условия экстремума второго порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями НЕ выполняютсяв точке *x надо:




4. Термин не корректен

Ответ: 3.Комментарий: точка 4 НЕ является точкой локального условного экстремума.

40. Если необходимые условия экстремума второго порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями выполняютсяв точке *x надо:





Ответ: 2.

41. Если необходимые условия экстремума второго порядка для задачи поискаусловного экстремума со СМЕШАННЫМИ ограничениями НЕ выполняютсяв точке *x надо:

1. Проверять необходимыеусловия второго порядка




Ответ: 1.

42. Если достаточные условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного экстремума с ограничениями со СМЕШАННЫМИ ограничениямив виде неравенств НЕ выполняются в точке *x надо:

1. Проверять достаточныеусловия экстремумавторого порядка



4. Термин не корректен 5. Проверять необходимыеусловия экстремума второгопорядка

Ответ: 1.

78

43. Если достаточные условия экстремума первого порядка для задачи поискаусловного со СМЕШАННЫМИ ограничениями экстремума с ограничениямив виде неравенств выполняются в точке *x надо:

1. Проверять достаточныеусловия экстремумавторого порядка



4. Термин не корректен 5. Проверять необходимыеусловия экстремума второгопорядка

.

Ответ: 3.Комментарий: точка *x является точкой локального условного экстремума.


1 1( ) 1 0g x x= - = , 2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ выписать обобщенную функциюЛагранжа.

Ответ: 0 1 2 0 1 1 2 2( , , , ) ( ) ( ) ( ) 0L x f x g x g xl l l l l l= + + = .


1 1( ) 1 0g x x= - = , 2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ выписать необходимые условияэкстремума первого порядка.

Ответ: 1. Условие стационарности обобщенной функции Лагранжа0 1 2

1 2 0 11

( , , , ) 2 0L x xx

l l l l l l¶= + + =

¶, 0 1 2

0 2 22

( , , , ) 2 0L x xxl l l l l¶

= + =¶

;

2. Условие допустимости решения 1 1 0x - = , 1 2 2 0x x+ - £ ;3. Условие неотрицательности (неположительности) для условногоминимума (максимума) 1 0l ³ (для минимумов), 1 0l £ (для максимумов);4. Условие дополняющей нежесткости ( )2 1 2 2 0x xl + - = .


с ограничениями 1 1( ) 1 0g x x= - = , 2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ для случая 0 0l =Ответ: условно-стационарной точки нет.Комментарий: из 1 уравнения условия стационарности обобщенной функции

Лагранжа 0 1 21 2 0 1

1

( , , , ) 2 0L x xx

l l l l l l¶= + + =

¶, 0 1 2

0 2 22

( , , , ) 2 0L x xxl l l l l¶

= + =¶

следует, что система уравнений имеет решение при 1 2 0l l= = , это противоречит

требованию о существования ненулевого вектора0

1

2

lll


.

79


с ограничениями 1 1( ) 1 0g x x= - = , 2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ для случая 0 0l ¹ ,2 0l = .

Ответ: *1 2

1, 2, 0

0x l l

æ ö= = - =ç ÷è ø

– условно-стационарная точка, в которой

удовлетворяются необходимые условия как максимума, так и минимума.Комментарий: при 0 0l ¹ . Поделить уравнения системы

0 1 21 2 0 1

1

( , , , ) 2 0L x xx

l l l l l l¶= + + =

¶, 0 1 2

0 2 22

( , , , ) 2 0L x xxl l l l l¶

= + =¶

, на 0l , заменяя

1

0

ll

на 1l и 2

0

ll

на 2l . Тогда получим 1 1 21

( , ) 2 0L x xxl l l¶

= + + =¶

,

2 22

( , ) 2 0L x xxl l¶

= + =¶

.

Если 2 0l = то 2 0x = (из выражения 0 1 20 2 2

2

( , , , ) 2 0L x xxl l l l l¶

= + =¶

).

Из ограничения 1 1( ) 1 0g x x= - = следует, что 1 1x = , а из выражения

1 1 21

( , ) 2 0L x xxl l l¶

= + + =¶

находим 1 2l = - .

48. Найти условно-стационарные точки для целевой функции 2 21 2( )f x x x= + с

ограничениями 1 1( ) 1 0g x x= - = , 2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ для случая 0 0l ¹ ,2 0l ¹ .

Ответ: *1 2

1, 0, 2 0

1x l l

æ ö= = = - <ç ÷è ø

– условно-стационарная точка, в которой

удовлетворяются необходимые условия максимума, т.к. 0jl £ .Комментарий: при 0 0l ¹ . Поделить уравнения системы

0 1 21 2 0 1

1

( , , , ) 2 0L x xx

l l l l l l¶= + + =

¶, 0 1 2

0 2 22

( , , , ) 2 0L x xxl l l l l¶

= + =¶

, на 0l , заменяя

1

0

ll

на 1l и 2

0

ll

на 2l . Тогда получим 1 1 21

( , ) 2 0L x xxl l l¶

= + + =¶

,

2 22

( , ) 2 0L x xxl l¶

= + =¶

. Из решения системы уравнений

1 1 2

2 2

1 2

1

2 0;2 0;

2 0;1 0.

xx

x xx

l ll

+ + =ìï + =ïí + - =ïï - =î

находим *1 2

1, 0, 2 0

1x l l

æ ö= = = - <ç ÷è ø

.

80

49. Проверить ВЫПОЛНЕНИЕ достаточных условий экстремума первого

порядка для условно-стационарной точки *0 1 2

1, 1, 2, 0

0x l l l

æ ö= = = - =ç ÷è ø

для

целевой функции 2 21 2( )f x x x= + с ограничениями 1 1( ) 1 0g x x= - = ,

2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .Ответ: не выполняются.


x æ ö= ç ÷è ø

НЕ является

активным 2 ( ) 0g x* ¹ , количество активных ограничений в точке * 10

x æ ö= ç ÷è ø

(одно

ограничение) меньше количества неизвестных (размера вектора) (дванеизвестных), 1 2l n= < = и достаточные условия первого порядкане выполняются.

50. Проверить ВЫПОЛНЕНИЕ необходимых условий экстремума второгопорядка и классифицировать условно-стационарную точку

*0 1 2

1, 1, 2, 0

0x l l l

æ ö= = = - =ç ÷è ø

для целевой функции 2 21 2( )f x x x= +

с ограничениями 1 1( ) 1 0g x x= - = , 2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .Ответ: выполняются.


x æ ö= ç ÷è ø

НЕ является

активным 2 ( ) 0g x* ¹ , следовательно *1 1( ) 0dg x dx= = , 2 * 2

2( ) 2 0d L x dx= > при

2 0dx ¹ . Точка *x - условный локальный минимум.

51. Проверить ВЫПОЛНЕНИЕ достаточных условий экстремума первого

порядка для условно-стационарной точки *1 2

1, 0, 2 0

1x l l

æ ö= = = - <ç ÷è ø

для

целевой функции 2 21 2( )f x x x= + с ограничениями 1 1( ) 1 0g x x= - = ,

2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .Ответ: выполняются.


x æ ö= ç ÷è ø

является

активным 2 ( ) 0g x* = , количество активных ограничений в точке * 11

x æ ö= ç ÷è ø

(два

ограничения) равно количеству неизвестных (размера вектора) (два неизвестных),2l n= = , т.к. 2 2 0l = - < , то в точке выполняются достаточные условия

максимума первого порядка).

81

52. Проверить ВЫПОЛНЕНИЕ достаточные условий экстремума второгопорядка и классифицировать условно-стационарную точку

*1 2

1, 0, 2 0

1x l l

æ ö= = = - <ç ÷è ø

для целевой функции 2 21 2( )f x x x= +

с ограничениями 1 1( ) 1 0g x x= - = , 2 1 2( ) 2 0g x x x= + - £ .Ответ: НЕ известно.

Комментарий: ограничения в точке * 11

x æ ö= ç ÷è ø

активные, т.е. 1( ) 0g x* = , 2 ( ) 0g x* = .

Второй дифференциал функции Лагранжа 2 * 2 21 2( ) 2 2d L x dx dx= + . Первые

дифференциалы ограничений равен нулю: *1 1( ) 0dg x dx= = , *

2 1 2( ) 0dg x dx dx= + = .Следовательно, 1 2 0dx dx= = и 2 * 2 2

1 2( ) 2 2 0d L x dx dx= + = . Поэтому требуютсядополнительные исследования.

82

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Васильков Ю.В. Компьютерные технологии вычислений вматематическом моделировании: Учебное пособие / Ю.В. Васильков, Н.Н.Василькова. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 256 с.

2. Дьяконов В.П. MathCad 11/12/13 в математике. Справочник. – М.:Горячая линия – Телеком, 2007. – 958 с.

3. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MathCAD: Учебноепособие / В.А. Охорзин. - 2-е изд. испр. и доп. – СПб.: Издательство «Лань»,2008. – 352 с.

4. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебноепособие / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – 2-е изд., исправл. – М.: Высш. шк.,2005. – 544 с.

5. Пантелеев А.В. Методы оптимизации. Практический курс: учебноепособие с мультимедиа сопровождением / А.В. Пантелеев, Т.А. Летова. – М.:Логос, 2011. – 424 с.

6. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: в 2-х кн. Кн. 1 / Г. Реклейтис, А.Рейвиндран, К. Рэгстел. – М.: Мир, 1986. – 349 с.

7. Рыхлов В.С., Корнев В.В., Курдюмов В.П. Прикладные методыоптимизации. – Саратов: УЦ «Новые технологии в образовании», 2004. – 172 с.

8. Хаммельблау Д. Прикланое нелинейное программирование. М.: Изд.«МИР», 1975. – 534 с.

9. Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.А., Рыков В.А. Методыоптимизации в примерах в пакете MathCad 15. Ч. II. – 2015.

10. Рыков С.В., Кудрявцева И.В., Рыков С.А., Рыков В.А. Практикум поработе в математическом пакете MathCAD. – 2015.

11. Кудрявцева И.В., Рыков В.А., Старков А.С., Рыков С.А., Рыков С.В.Математика. Теория и примеры в MathCAD. – 2011.

12. Кудрявцева И.В., Рыков В.А., Рыков С.А., Рыков С.В. ИспользованиеMathCAD в теории матриц. – 2011.

13. Кудрявцева И.В., Рыков В.А., Рыков С.А., Рыков С.В. Практическиезанятия в пакете MathCAD по исследованию систем линейных алгебраическихуравнений. – 2009.

83

Миссия университета – открывать возможности для гармоничногоразвития конкурентоспособной личности и вдохновлять на решениеглобальных задач.

Кафедра «Теплофизики и теоретических основ тепло- и хладотхники»На кафедре реализуется магистерская программа по направлению 16.04.03«Холодильная, криогенная техника и системы жизнеобеспечения», профиль«Компьютерное моделирование в термодинамике»

Цели программы: реализация энергетической стратегии РоссийскойФедерации, как приоритета в создании инновационных информационныхтехнологий для создания энерго- и экологически эффективныхтермодинамических циклов и процессов тепломассообмена в системахгенерации теплоты и холода

84

Рыков Сергей ВладимировичКудрявцева Ирина Владимировна

Рыков Сергей АлексеевичРыков Владимир Алексеевич




В авторской редакцииРедакционно-издательский отдел Университета ИТМОЗав. РИО Н.Ф. ГусароваПодписано к печатиЗаказ №ТиражОтпечатано на ризографе

Редакционно-издательский отделУниверситета ИТМО197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В ПРИМЕРАХ В … › file › pdf ›...

Documents