第 12 课 一次函数及其图象

1. 概念： 形如函数 叫做一次函数，其中

x 是自变量．特别地，当 b＝ 0 时，则把函数 叫做正比例函数．

2. 正比例函数 y＝ kx 的图象： 过 两点的一条直线．

要点梳理

y＝ kx＋ b(k、 b 都是常数，且 k≠0)

y＝ kx

(0,0)， (1,k)

3. 正比例函数 y＝ kx 的性质： (1)当 k>0 时， ； (2)当 k<0 时， ．4. 一次函数 y＝ kx＋ b 的图象：

y随 x 的增大而增大y随 x 的增大而减小

5. 一次函数 y＝ kx＋ b 的性质：

过 的一条直线． (1) ； (2) ．

(0,b) ，

－bk，0

当 k>0 时， y随 x 的增大而增大当 k<0 时， y随 x 的增大而减小

1. 正确理解正比例函数与一次函数之间的关系 从解析式上看，对于一次函数的一般形式 y＝ kx＋ b(k、 b 为

常数， k≠0) ，当 b＝ 0 时，即可得到正比例函数的解析式 y＝

kx

(k 为常数， k≠0) ．正比例函数是一次函数，而一次函数不全是正比例函数．例如：函数 y＝ 2x＋ 3 是一次函数，但不是正比例函数；而函数 y＝ 2x 是正比例函数，也是一次函数．即一次函数包含正比例函数，二者不能并列；从函数图象上看，正比例函数 y＝ kx 的图象与 y 轴交于原点 (0, 0) ，一次函数 y＝ kx＋ b

的图象与 y 轴交于 (0, b) 点，由此可知，直线 y＝ kx 通过适当的平移可得到直线 y＝ kx＋ b.

[ 难点正本 疑点清源 ]

2. 用函数观点看一次函数与一次方程 (组 ) 、不等式的内在联系 用一次函数图象来解方程或不等式未必简单，但是从函数角度看问题，能发现一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系：由于任何一元一次方程都可以转化为 ax＋ b＝ 0(a、 b 为常数，a≠0) 的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量 x 的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ ax＋ b ，确定它与 x 轴交点的横坐标；一元一次不等式都可以转化为 ax＋ b>0或 ax＋ b<0 的形式，解一元一次不等式可以看做当一次函数的函数值 y 大于或小于 0 时，求自变量 x 相应的取值范围．从图象上看，一次函数 y＝ ax＋ b 的图象在 x 轴上的部分对应y>0 ，这时对应的自变量 x 的所有取值为不等式 ax＋ b>0 的解集，同理，一次函数图象在 x 轴下方的部分对应的 x 的所有取值为 ax＋b<0 的解集．利用一次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要．

一般地，每个二元一次方程组，也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标． 方程 (组 ) 、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．

1． (2011· 潼南 ) 目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出 100 滴水，每滴水约 0.05 毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开 x 分钟后，水龙头滴出 y 毫升的水，请写出 y与 x 之间的函数关系式是 ( 　　 )

A． y＝ 0.05x B. y＝ 5x

C． y＝ 100x D． y＝ 0.05x＋ 100

解析： y＝ (100×0.05)x＝ 5x.

基础自测

B

2． (2011· 杭州 ) 一个矩形被直线分成面积为 x、 y 的两部分，则y与 x 之间的函数关系只可能是 ( 　　 )

解析：设矩形的面积为 S ，则 x＋ y＝ S， y ＝－ x＋ S ，其中 0<x<S.

故选 A.

A

3． (2011· 江西 ) 已知一次函数 y＝ x＋ b 的图象经过一、二、三象限，则 b 的值可以是 ( 　　 )

A ．－ 2 B ．－ 1 C． 0 D． 2

解析：因为直线过第一、二、三象限，所以 x＝1>0， b>0 ，故选 D.

D

4． (2011· 泰安 ) 知一次函数 y＝ mx＋ n－ 2 的图象如图所示，则 m、 n 的取值 ( 　　 )

A． m＞ 0， n＜ 2

B． m＞ 0， n＞ 2

C． m＜ 0， n＜ 2

D． m＜ 0， n＞ 2 　

解析：由直线位置得 ∴ 故选 D.

D

m＜ 0 ，n－ 2＞ 0 ，

m＜ 0 ，n＞ 2 ，

5． (2011·苏州 ) 如图，已知 A 点坐标为 (5,0) ，直线 y＝ x＋b(b>0)与 y 轴交于点 B ，连接 AB ，∠ a＝ 75° ，则 b 的值为 ( 　　 )

A． 3 B.

C． 4 D.

解析：因为直线 y＝ x＋ b与 x 轴成 45° 角， 又∠ a＝ 75° ，所以∠ BAO＝ 30° ， 在 Rt△AOB 中， OA＝ 5 ，

则由 tan30° ＝ ，得 OB ＝ ，即 b ＝ .

5 33

5 34

B

OB5

53 3

5 33

题型一　一次函数 y ＝ kx＋ b 对图象及性质的影响【例 1 】 (1) 一次函数 y＝ x＋ 2 的图象不经过 ( 　　 ) 　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

解析：直线 y＝ x 经过第一、三象限，向上平移 2 个单位得直线 y＝ x＋ 2 ，而直线 y＝ x＋ 2 经过第一、二、三象限，不经过第四象限，应选 D.

题型分类 深度剖析

D

(2) 一次函数的图象过点 (0,2) ，且函数 y 的值随自变量 x 的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式 ．　

解析：设 y＝ kx＋ 2 ，又 y随 x 的增大而增大，所以 k>0 ， ∴符合条件的有： y＝ x＋ 2( 只需 k>0 即可 ) ．

探究提高　 根据一次函数的性质，若已知系数 k 的符号就可以直接说出函数 y 的值随 x 增大的增减情况 ( 即增减性 ) ；反之，若知道一次函数的增减性，就能推断系数 k 的符号；一次函数的图象直线 y＝kx＋ b与 y 轴交点 (0,b) ，根据交点的位置，就能推断 b 的符号．

y＝ x＋ 2( 只需 k>0 即可 )

知能迁移 1 (1)(2011·衡阳 ) 如图，一次函数 y＝ kx＋ b 的图象与 x 轴的交点坐标为 (2,0) ，则下列说法：① y随 x 的增大而减小；② b>0 ；③关于 x 的方程 kx＋ b＝ 0 的解

为 x＝ 2. 其中说法正确的有 ( 把你认为说法正确的序号都填上 ) ；

①②③

(2) 已知一次函数 y＝ 3x＋ m－ 2 的图象不经过第二象限，则m 的取值范围是 ．

解析： m－ 2<0， m<2.

m<2

题型二　待定系数法求一次函数的解析式【例 2 】 如图，直线 l1、 l2 相交于点 A(2,3) ，直线 l1与 x 轴的交

点坐标为 (－ 1,0) ，直线 l2与 y 轴的交点坐标为 (0,－ 2) ，结合图象解答下列问题：

(1) 求直线 l1、 l2 的解析式； (2) 求直线 l1、 l2与 y 轴围成 的三角形的面积．

解： (1) 设直线 l1 的解析式为 y1＝ k1x＋ b1 ，有

得 ∴ y1＝ x＋ 1.

同理：直线 l2 的解析式为 y2 ＝ x－ 2.

(2) 直线 l1： y1＝ x＋ 1与 y 轴交于点 (0,1) ；

直线 l2： y2 ＝ x－ 2与 y 轴交于点 (0,－ 2) ．

∴ 三角形的面积＝ ×[1－ (－ 2)]×2＝ 3.

探究提高　 k、 b 是一次函数 y＝ kx＋ b 的未知系数，这种先设待求函数关系式，再根据条件列出方程或方程组，求出未知数，从而得出所求结果的方法，就是待定系数法．

3＝ 2k1＋ b1,

0 ＝－ k1＋ b1,k1＝ 1,

b1＝ 1,52

52

12

知能迁移 2 (2011·福州 ) 如图，在平面直角坐标系中， A、 B均在边长为 1 的正方形网格格点上．

(1) 求线段 AB 所在直线的函数解析式，并写出当 0≤y≤2 时，自变量 x 的取值范围；

(2)将线段 AB绕点 B逆时针旋转 90° ，得到线段 BC ，请画出线段 BC.若直线 BC 的函数解析式为 y＝ mx＋ n ，则 y随x 的增大而

(填“增大”或“减小” ) ．

解： (1) 设直线 AB 的函数解析式为 y＝ kx＋ b ， 依题意，得 A(1,0)， B(0,2) ，

∴ 解得 ∴ 直线 AB 的函数解析式为 y ＝－ 2x＋ 2.

当 0≤y≤2 时，自变量 x 的取值范围是 0≤x≤1.

(2) 线段 BC 即为所求．

答案： 增大．

0＝ k＋ b ，2＝ 0＋ b ，

k ＝－ 2 ，b＝ 2 ，

题型三　一次函数与一次方程、一次不等式综合问题【例 3 】 (1) 已知一次函数 y＝ ax＋ b(a≠0) 中， x、 y 的部分

对应值如下表，那么关于 x 的方程 ax＋ b＝ 0 的解是________ ．答案　 x＝ 2

解析　观察表格，可得当 x＝ 2 时， y＝ 0 ，所以方程 ax＋ b

＝ 0 的解是 x＝ 2.

题型三　一次函数与一次方程、一次不等式综合问题【例 3 】 (1) 已知一次函数 y＝ ax＋ b(a≠0) 中， x、 y 的部

分对应值如下表，那么关于 x 的方程 ax＋ b＝ 0 的解是 ．

解析：观察表格，可得当 x＝ 2 时， y＝ 0 ，所以方程 ax

＋ b＝ 0 的解是 x＝ 2.

x － 1 0 1 2 3 4

y 6 4 2 0 － 2 － 4

x＝ 2

(2)若直线 y ＝－ x＋ b与 x 轴交于点 (2,0) ，则关于 x 的不等式－x＋ b>0

的解集是 ．

解析：直线 y ＝－ x＋ b与 x 轴交于 (2,0) ，可知 x＝ 2时 y＝ 0 ， 所以不等式－ x＋ b>0 的解是 x<2.

探究提高　 进一步熟悉函数图象的作法，通过图象体会一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的内在联系，提高识图能力，一次函数y＝ kx＋ b ，当 y＝ 0 ，则 kx＋ b＝ 0 ，得到一元一次方程，当y>0 ，则有 kx＋ b>0 ，得到一元一次不等式．

x<2

知能迁移 3 (1) 如图，直线 y＝ kx＋ b 经过 A(2,1)、 B(－ 1,

－ 2) 两点，则不等式 x>kx＋ b>－ 2 的解集为 ________ ．答案　 2<x<2

解析　画直线 y＝ x ，及直线 y ＝－ 2 ，即得解集．

12

(2) 如图直线 l1： y＝ x＋ 1 与直线 l2： y＝ mx＋ n 相交于点 P(1，

b) ． ①求 b 的值；

②不解关于 x、 y 的方程组 ，请直接写出它的解；

③直线 l3： y＝ nx＋ m 是否经过点 P？请说明理由．

y＝ x＋ 1

y＝ mx＋ n

解：①当 x＝ 1 时， y＝ x＋ 1＝ 1＋ 1＝ 2.

∴P(1,2)， b＝ 2.

② 方程组的解为

③∵点 (1,2) 在直线 l2： y＝ mx＋ n 上， ∴2＝ m＋ n. 　 当 x＝ 1 时， l3： y＝ n＋ m＝ 2.

∴点 P在 l3： y＝ nx＋ m 上， 即直线 y＝ nx＋ m 经过点 P.

x＝ 1

y＝ 2

题型四　方案优化问题【例 4 】 在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为 x(张 ) ，总费用为 y(元 ) ．现有两种购买方案：

方案一：若单位赞助广告费 10000 元，则该单位所购门票的价格为每张 60元 (总费用＝广告赞助费＋门票费 ) ；

方案二：购买门票方式如图所示． 解答下列问题： (1) 方案一中， y与 x 的函数关系式 为 ；方案二中， 当 0≤x≤100 时， y与 x 的函数关系 式为 ； 当 x＞ 100 时， y与 x 的函数关系式为 ；

(2) 如果购买本场足球赛门票超过 100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；(3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700张，花去总费用计 58000 元．求甲、乙两单位各购买门票多少张．

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！解： (1)y＝ 60x＋ 10000 ； [1分 ]

当 0≤x≤100 时， y＝ 100x ； [2分 ]

当 x>100 时， y＝ 80x＋ 2000. [3

分 ]

(2)100<x<400 时，选方案二购买； x＝ 400 时，两种方案都可以； x>400 时，选方案一购买． [6分 ]

(3) 设甲、乙单位购买本次足球赛门票分别是 a张、 b张 ,

∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球赛门票 ,

∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况 b≤100或 b>100.

①当 b≤100 时，

解得 不合题意，舍去． [8分 ]

②当 b>100 ，

解得 符合题意．

故甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为 500张， 200张 .[10

分 ]

a＋ b＝ 700,

(60a＋ 10000)＋ 100b＝ 58000,a＝ 500,

b＝ 150a＋ b＝ 700,

(60a＋ 10000)＋ (80b＋ 2000) ＝ 58000,a＝ 500,

b＝ 200

探究提高　 1. 数形结合，把数式和图形结合起来进行思考，互相解释、互相补充．　 2. 认真审题，理解题意，看懂坐标轴及图象上的点所表示的实际意义，是解决这类问题的关键，注意分段函数是由自变量的取值决定的．

知能迁移 4 (2012·巴中 )“保护环境，人人有责．”为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买 A、 B 两型治水处理设备，共 10台，其信息如下表：

(1) 设购买 A型设备 x台，所需资金共为 W万元，每月处理污水总量为 y吨，试写出 W与 x， y与 x 的函数关系式；

(2) 经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过 106万元，月处理污水量不低于 2040吨，请你举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？

单价 (万元 /台 )

每台处理污水量 (吨 /月 )

A型 12 240

B型 10 200

解： (1)W＝ 12x＋ 10(10－ x)＝ 2x＋ 100 ， y＝ 240x＋ 200(10－ x)＝ 40x＋ 2000.

(2) ∵ ∴

∴整数 x取 1或 2或 3.

有三种购买方案： ①A型 1台， B型 9台； ②A型 2台， B型 8台； ③A型 3台， B型 7台． ∵W＝ 2x＋ 100，W随 x 的增大而增大． ∴x＝ 1 时， W 有最小值， W＝ 1×2＋ 100＝ 102.

答：方案①最省钱，需要 102万元．

W≤106 ，y≥2040 ，

2x＋ 100≤106 ，40x＋ 2000≥2040 ，

x≤3 ，y≥1 ，

8. 一次函数错例分析试题　如图所示， O 为矩形 ABCD 的中心，将直角三角板顶点与 O 重合，转动三角板使两直角边始终与 BC、 AB 相交，交点分别为 M、 N ，如果 AB＝ 4， AD＝ 6， OM＝x， ON＝ y.则 y与 x 的关系式是 ( 　　 )

A． y ＝ x B． y ＝

C． y＝ x D． y ＝ x

学生答案展示 B

易错警示

23

6x

32

剖析　此题看起来有些无从下手，易估计直角三角形顶点与矩形ABCD 的中心 O 重合时，转动三角板，与矩形重合的面积不变，

即 S 矩形 OMBN ＝ ×4×6( 即取直角三角板的特殊情形 ) ，则易错误地

得到 x·y＝ 6 ，即 y ＝ . 但实际上，过点 O作 AB、 BC 的垂线， 垂足分别为 E、 F ，如图所示．由于∠ EON＋∠ EOM＝ 90° ，

所以∠ EON ＝∠ FOM ，又∠ OEN ＝∠ OFM＝ 90° ，因此

△OEN∽△FOM ，则 ＝ ＝ ，即 y＝ x ，此时，可看出

S△OEN∶S△OFM＝ (OE∶OF)2＝ 9 4∶ ，所以，直角三角板与矩形 ABCD

重合部分面积并非定值 6.

正解　 D

14

6x

ONOM

OEOF

32

批阅笔记　 不可以偏概全，用特殊位置、特殊值来考虑一般情形；再者，本题中转动直角三角板，与矩形重合部分的图形会随之而改变．

方法与技巧 1. 能用待定系数法求一次函数的关系式，用两点法准确画出一次函数的图象，借助图象深刻理解一次函数的性质，渗透数形结合的思想，会利用图象判断 k、 b 的取值范围． 2. 对于实际问题，要根据等量关系写出函数关系式，体现用函数思想解决实际问题能力． 3. 注重综合题、应用题、阅读题的训练，提高函数建模能力和阅读能力． 4. 关于函数的分类讨论要求，从图象上反映为折线，有其丰富的实际背景．

思想方法 感悟提高

5. 解有关一次函数 y＝ kx＋ b 的图象与性质的问题时，应注意以下三点： (1) 一次函数图象分布特征与 k、 b 的符号之间的关系； (2) 一次函数图象的增减性与 k 的符号之间的关系； (3) 一次函数图象与两坐标轴的交点及围成的图形的面积．

失误与防范 1 ．一次函数 y＝ kx＋ b(k≠0， k、 b 为常数 ) ，等号的右边是自变量 x 的一次式，当 k＝ 0 时，得 y＝ b ，这就不是一次函数了，而是一个常函数，不论 x 取何值时，对应的 y 的值总是 b ，它的图象是一条平行于 x 轴的直线． 2 ．从以上知道，一次函数的图象是一条直线，但直线并不一定是一次函数的图象．

例：已知直线 y＝ (m＋ 3)x＋m2－ 9 经过点 (1,0) ，求 m 的值．解答：当 x＝ 1 时， y＝ 0 ，即 m2＋m－ 6＝ 0. 解得 m＝ 2或m

＝－ 3.

很多同学误以为 m＋ 3≠0，m≠－ 3 ，舍去m ＝－ 3 ，故 m＝ 2.

其实，当 m ＝－ 3 时，此直线变为 y＝ 0 ，而 y＝ 0就是 x 轴，又因为点 (1,0)在 x 轴上，即 x 轴经过点 (1,0) ，所以 m ＝－ 3 也符合题意，不能舍去．所求的 m 的值为－ 3或 2.

如果把本题中的“已知直线”改为“一次函数”，还是应考虑m＋ 3≠0 这个限制条件的，要予以区分．

完成考点跟踪训练 12