ανάλυση μαθήματα από 1 έως 9 νέο

Επιµέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηµατικών

http://lisari.blogspot.com [email protected]

Μαθηµατικά Γ΄ Λυκείου

Θετική και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Α΄ Μέρος – Ανάλυση

• Ερωτήσεις θεωρίας µε κενά για απαντήσεις

• Ασκήσεις πάνω στα θέµατα θεωρίας

• Μεθοδολογία ασκήσεων

• Μαθήµατα θεωρίας

• Επαναληπτικές ασκήσεις

Αθήνα 2011 – 12



- Ανάλυση – Συνάρτηση - Κεφάλαιο 1ο Σελίδα 2

Περιεχόµενα

• Μάθηµα 1ο : Ορισµός συνάρτησης – Πεδίο ορισµού

• Μάθηµα 2ο : Γραφική παράσταση συνάρτησης

• Μάθηµα 3ο: Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων – Σύνθεση συναρτήσεων

• Μάθηµα 4ο: Μονοτονία και ακρότατα συνάρτησης

• Μάθηµα 5ο: Συνάρτηση 1 – 1 και αντίστροφη

• Μάθηµα 6ο: Όριο συνάρτησης στον πραγµατικό αριθµό χ0 (Μορφή: 0/0)

• Μάθηµα 7ο: Μη πεπερασµένο όριο στο x0 (α/0, µε απ0)

• Μάθηµα 8ο: Όρια συνάρτησης το x να τείνει στο άπειρο •

• Μάθηµα 9ο: Συνέχεια – Βασικά θεωρήµατα συνέχειας

• Επαναληπτικό µάθηµα: Επαναληπτικές ασκήσεις Κεφαλαίου 1 Ανάλυσης και µεθοδολογίες



… αφιερωµένο στους αναγνώστες του lisari.blogspot.com




ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο

– ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.2

Μάθηµα 1ο – Ορισµός συνάρτησης – Πεδίο ορισµού

Ερώτηση 1η

α) Έστω Α υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών. Τι ονοµάζουµε πραγµατική συνάρτηση f : A → R ;

β) Πως ονοµάζονται τα x, y, f, A και f(A);

γ) Έστω x1, x2 σηµεία του συνόλου Α. Αν x1 = x2 τι θα ισχύει για τα f(x1), f(x2) αν η f

i. Είναι συνάρτηση;

ii. ∆εν είναι συνάρτηση;

Απάντηση

Άσκηση 1η

Κάθε αντιστοίχηση τιµών µεταξύ δύο συνόλων είναι συνάρτηση; Πότε µια αντιστοίχηση δεν θα είναι συνάρτηση; ∆ώστε

παραδείγµατα αντιστοιχήσεων µεταξύ δύο συνόλων που να µην ορίζουν συνάρτηση.

Απάντηση

Άσκηση 2η

Εξηγήστε ποιες από τις παρακάτω ισότητες, το y δεν είναι συνάρτηση του x και δικαιολογήστε την απάντησή σας:

i. ( )3y 1 x= − ii. ( )3

y 1 x= ± − iii. 2y x 1= + iv.

x 3 x 1y

x 2 x 1

+ <=

− ≥

v. x x 2

yx 1 x 1

>=

− > − vi. 2 2y x 1= + vii. y x= viii. y x=

Απάντηση




Άσκηση 3η

∆ίνεται η συνάρτηση f τέτοια ώστε: ( ) 212 f x 3f x , x 0

x

⋅ − = ≠

Υπολογίστε: α) ( )f 1 ;= β) ( )f 2 ;= και 1

f ;2

=

Απάντηση

Άσκηση 4η

Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f(x) στις παρακάτω περιπτώσεις.

α) ( ) 2f x 1 x 3x 2, x− = − + ∈R β) ( ) 3 2f 2x 3 x , x− = ∈R

γ) ( )xf 3x , x

2

= ηµ ∈

R δ) ( )

2

x 1f 3x , x

2x 1

−= ∈

+R

Απάντηση




Ερώτηση 2η

α. Τι λέγεται πεδίο ορισµού της συνάρτησης; Πως το συµβολίζουµε και ποιος είναι ο τύπος του;

β. Πως βρίσκουµε το πεδίο ορισµού µιας συνάρτησης αν γνωρίζουµε τον τύπο της;

Αναφέρετε διάφορες µορφές συναρτήσεων.

γ. Τι πρέπει να γνωρίζουµε για να ορίσουµε µια συνάρτηση;

δ. Τι σηµαίνει ότι η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο διάστηµα ∆;

Απάντηση

Άσκηση 1η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( )2

2

x 1f x

x x

−=

+ και ( ) 1

g x 1x

= −

α) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f

β) Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g

γ) Τι παρατηρείτε;

Απάντηση




Άσκηση 2η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( ) x 1f x

x 2

−=

− και ( ) x 1

g xx 2

−=

−




Απάντηση

Άσκηση 3η

Βρείτε τα πεδία ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων:

4

2

x 12a. h(x)

x 5x 6

+=

− +

3 2b. h(x) x 5x 6= − +

2 x xc. g(x) ln(e 3e )= − ( )x 3 , x 0

d. f x x ,0 x 3

2x , x 3

− <

= ≤ < ≥

Απάντηση




Άσκηση 4η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ( ) ( )f x x 1 x 2= − − και ( )g x x 1 x 2= − ⋅ −




Απάντηση

Η άσκηση που ξεχωρίζει

Να βρεθεί ο ακέραιος κ ώστε να ορίζει συνάρτηση η σχέση ( )2

2 2

3x 1 ,x k k 3f x

x 1 ,x 2k k 2

+ ≤ − +=

+ ≥ − +

Απάντηση

Σχόλια και παρατηρήσεις για το 1ο Μάθηµα




Μάθηµα 2ο – Γραφική παράσταση συνάρτησης

Ερώτηση 1

η

α) Τι ονοµάζουµε γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f;

β) Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων (ευθεία, παραβολή, υπερβολή, κυβική παραβολή,

τριγωνοµετρικές, εκθετική, λογαριθµική κτλ.)

γ) Πως ελέγχουµε αν µια γραφική παράσταση ανήκει σε συνάρτηση; ∆ικαιολογήστε την απάντησή σας και δώστε

παραδείγµατα.

Απάντηση

Άσκηση 1η

Θεωρούµε τη συνάρτηση f µε τύπο ( )2x 5x 6

f xx 2

+ +=

+

α. Να βρείτε το πεδίο ορισµού της

β. Να απλοποιήσετε τον τύπο της

γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της f

Απάντηση




Άσκηση 2η

Σχεδιάστε τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις

α. ( )22x , x 1

f x 2, x 1

x

≤=

>

β. ( )f x 2x x 1= + −

γ. ( ) ( )x xf x e , )g x e e−= δ = −

Απάντηση

Ερώτηση 2η

α) Πότε κάνουµε κατακόρυφη ή οριζόντια µετατόπιση των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων; ∆ώστε παραδείγµατα.

β) Αν γνωρίζουµε την γραφική παράσταση της f, πως σχεδιάζουµε τις συναρτήσεις α) – f, β) f ;

γ) ∆ώστε τον ορισµό άρτιας και περιττής συνάρτησης και ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία τους.

Απάντηση




Άσκηση 1η

α) Σχεδιάστε την γραφική παράσταση των συναρτήσεων:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2

1 2 3f x x , f x x 1 , f x x 2 , f x x 3= = − = + = +

β) Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις: α) ( ) 3f x x= β) ( ) 3g x x 1= − γ) ( ) 3h x x 1= − + δ) ( ) 3r x x 1= −

Απάντηση

Άσκηση 2η

Έστω η συνάρτηση f : →ℝ ℝ η οποία για κάθε x,y∈ℝ ικανοποιεί τη σχέση: ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + .

Να αποδείξετε ότι: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, διέρχεται από την αρχή των αξόνων και

β) Η f είναι περιττή

Απάντηση




Ερώτηση 3η

α) Συµπληρώστε το σχήµα και τις σχέσεις που προκύπτουν για τις διάφορες εκφράσεις των γραφικών παραστάσεων στο

παρακάτω πίνακα.

β) Πως µέσα από την γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκουµε το πεδίο ορισµού και το σύνολο τιµών µιας

συνάρτησης; ∆ώστε σχήµα και παραδείγµατα.

Απάντηση

α)

Έκφραση Σχήµα Σχέση

Η Cf τέµνει τον

άξονα x΄x

Η Cf τέµνει τον

άξονα y΄y

Η Cf τέµνει την Cg

στο σηµείο x0 (σηµεία τοµής

δύο γρ. παραστάσεων)

Η Cf βρίσκεται υψηλότερα από

την Cg

Η Cf βρίσκεται υψηλότερα από

άξονα x΄x

Η Cf βρίσκεται χαµηλότερα από

άξονα x΄x

Η Cf βρίσκεται στο 1ο ή στο 2

ο ή

στο 3ο ή στο 4ο τεταρτηµόριο

Η Cf διέρχεται από το σηµείο

(α, β)

β)




Άσκηση 1η

α. Για ποιές τιµές του —∈x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα xx′ , όταν:

i) 2f (x) x 4x 3= − + , ii) 1 x

f (x)1 x

+=

−, iii) xf (x) e 1= − iv) ( ) ( )f x ln 2x 3ln 2= −

β. Για ποιές τιµές του —∈x η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της

συνάρτησης g, όταν:

i) 3f (x) x 2x 1= + + και g(x) x 1= + ii) 3f (x) x x 2= + − και 2g(x) x x 2= + − .

Απάντηση

Άσκηση 2η

α) Να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις:

i) | x |

f (x) 1x

= + , ii) f (x) x | x |= ,

iii) x 3 , x 1

f (x)x 1 , x 1

− + <=

+ ≥ iv) f (x) | ln x |= .

β) Και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το πεδίο ορισµού και σύνολο των τιµών της f σε καθεµιά περίπτωση.

Απάντηση




Η άσκηση που ξεχωρίζει

Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση είναι:

1

2 1 O

i) y

x

ii) 2

2 1 O

x

y

4 3

1

2 1 O

iii) y

x

Απάντηση

Σχόλια και παρατηρήσεις στο µάθηµα 2:







Μάθηµα 3ο – Ισότητα και πράξεις συναρτήσεων – Σύνθεση συναρτήσεων

Ερώτηση 1η

α) Πότε δύο συναρτήσεις f και g είναι ίσες; Πως θα συµβολίζουµε τις ίσες συναρτήσεις; Ποια είναι η γεωµετρική ερµηνεία;

β) Αν οι συναρτήσεις έχουν τον ίδιο τύπο (ίδιες τιµές για κάθε χ που ανήκει σε ένα διάστηµα) αλλά διαφέρουν τα πεδία

ορισµούς τους, τότε είναι ίσες; Ποια είναι τότε η γεωµετρική ερµηνεία;

Απάντηση

Άσκηση 1η

Βρείτε το µέγιστο υποσύνολο του R (περιορισµός συναρτήσεων σ’ ένα κοινό διάστηµα ∆) που οι παρακάτω συναρτήσεις

είναι ίσες. α. ( ) ( )2f x x , g x x= = β. ( ) ( )2

f x x , g x x= = γ) ( )2

2

1−=

+x

f xx x

και ( ) 11= −g x

x

Απάντηση




Ερώτηση 2η

α) Πως ορίζεται το άθροισµα, η διαφορά και το γινόµενο δύο συναρτήσεων;

β) Πως ορίζεται το πηλίκο f

g δύο συναρτήσεων f και g;

γ) Αν οι συναρτήσεις δεν έχουν το ίδιο πεδίο ορισµού τελικά δεν θα µπορούµε να κάνουµε πράξεις;

Απάντηση

Άσκηση 2η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ( )f x x 1, g x 4 x= − = −

α. Βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων

β. Σε ποιο διάστηµα µπορούµε να κάνουµε πρόσθεση, αφαίρεση και και πολ/σµό συναρτήσεων;

γ. Ορίστε τις συναρτήσεις: f g,f g,f g+ − ⋅

δ. Ορίστε την συνάρτηση f

g

Απάντηση




Ερώτηση 3η

α. Έστω οι συναρτήσεις g, f µε πεδία ορισµού τα σύνολα Α και Β αντίστοιχα. Ποια συνάρτηση ορίζεται ως σύνθεση της g µε

την f; Πως συµβολίζεται; ∆ώστε σχηµατική παράσταση. Παραδείγµατα

β. Ποια συνάρτηση ορίζεται ως σύνθεση της f µε την g; Πως συµβολίζεται; ∆ώστε σχηµατική παράσταση. Παραδείγµατα

γ. Σωστό ή Λάθος; gof = fog

Απάντηση

Άσκηση 2η

Έστω οι συναρτήσεις µε τύπους: ( ) ( )2f x x 1, g x x 2= + = −

α. Βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων

β. Ορίστε την συνάρτηση gof

γ. Ορίστε την συνάρτηση fog

Απάντηση




Άσκηση 3η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: f(x) =2x -1 µε πεδίο ορισµού Α=(-∞ , 4 ] και g(x)=x

x

2

3 1+

,

,

x

x

≥

<

1

1 .

Nα βρεθεί η fog.

Απάντηση

Άσκηση 4η

Οµοίως για τις συναρτήσεις f(x)=2

2

1

+

+

x

x ,

, x

x

≤

>

1

1 και g(x)= x , να βρεθεί η fog

Απάντηση




Άσκηση 5η

∆ίνονται οι συναρτήσεις : f(x)=e

e

x

x

−

+

1

1 και g(x)=ln

−+

x

x

1

1 . Να ορισθεί η gof και να αποδειχθεί ότι είναι

ταυτοτική στο R .[ Υπόδειξη: (gof)(x)=x ]

Απάντηση

Άσκηση 6η

∆ίνεται η συνάρτηση : f(x)=kx

x

− 1 . Να βρεθεί ο k∈ R ώστε η συνάρτηση fof να έχει τύπο: (fof)(x) = x

Απάντηση




Άσκηση 7η

Ποια είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης : g(x) = f (f (f(x))) , όπου ( )f x1

1 x=

− ;

Απάντηση

Άσκηση 8η

∆ίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ( ] [ )2 2g x 1 x 1, x , 1 1,+ = − ∈ −∞ − +∞∪ και

( ) [ )f x 2 x 1, x 2,− = − ∈ +∞

α) Βρείτε την συνάρτηση f

β) Βρείτε την συνάρτηση g

γ) Βρείτε την σύνθεσή τους fog, gof.

Απάντηση







Μάθηµα 4ο – Μονοτονία – Ακρότατα συνάρτησης

Ερώτηση 1η - Μονοτονία

α) Έστω µια συνάρτηση f : A →R . Πότε η συνάρτηση f λέγεται

• γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα Α;

• αύξουσα και φθίνουσα στο διάστηµα Α;

• γνησίως µονότονη στο διάστηµα Α;

β) ∆ώστε γεωµετρική ερµηνεία σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.

Απάντηση




Βασική άσκηση 1η

- Μονοτονίας

α. Αν η f είναι (γνησίως) µονότονη να αποδείξετε την ισοδυναµία: ( ) ( )f α f β α β= ⇔ =

β. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα να αποδείξετε την ισοδυναµία: ( ) ( )α β f α f β< ⇔ <

γ. Αν η f είναι γνησίως φθίνουσα να αποδείξετε την ισοδυναµία: ( ) ( )α β f α f β< ⇔ >

δ. Αν f: γνησίως αύξουσα και g: γνησίως φθίνουσα στο R ,λύστε τα παρακάτω (εξίσωση, ανισώσεις):

( ) ( )2i)f x x f x− = ( ) ( )2ii) f x x f x− > ( )2

2iii) g g 1

x 1

< + ( )( ) ( )( )iv) fog x 1 fog 0− <

Απάντηση

Βασική άσκηση 2η - Μονοτονίας

α) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆, τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει

το πολύ µια ρίζα στο διάστηµα ∆.

β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε διάστηµα ∆, τότε να αποδείξετε ότι η fC τέµνει τον άξονα x’x το

πολύ µια φορά

Απάντηση





Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆, τότε τι συµπεραίνουµε για την συνάρτηση –f ;


Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ∆=[-α , α], τότε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν

είναι άρτια στο ∆.


Αν η συνάρτηση f, g είναι γνησίως φθίνουσες στο R , τότε να αποδείξετε ότι:

α. f + g είναι γνησίως φθίνουσα στο R

β. f g είναι γνησίως φθίνουσα στο R , αν f, g είναι θετικές στο R

γ. fog είναι γνησίως αύξουσα στο R

δ. gοf είναι γνησίως αύξουσα στο R

ε. – f είναι γνησίως αύξουσα στο R




Άσκηση 5η - Μονοτονίας

α. ∆ίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f στο R . Να διατάξετε τους παρακάτω αριθµούς:

f(3), f(-3), f(0), f(π), f(e)

β. ∆ίνεται η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f στο R . Να διατάξετε τους παραπάνω αριθµούς.

Απάντηση

Άσκηση 6η (Ορισµός – Εξίσωση – Ανίσωση µονοτονίας)

Α. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι γνησίως αύξουσες στο πεδίο ορισµούς τους.

α. ( ) 3f x x 2x 3= + − β. ( )f x 2 1 x= − − γ. ( ) xf x 1 x e= + − δ. ( )f x x 1 ln x= + +

Β. Με την βοήθεια µονοτονίας και της προφανής λύσης, λύστε τις εξισώσεις:

α. 3x 2x 3 0+ − = β. 2 1 x 0− − = γ.

x1 x e 0+ − = δ. x 1 ln x 2+ + =

Γ. Με την βοήθεια µονοτονίας και της προφανής λύσης, λύστε τις ανισώσεις:

α. 3x 2x 3 0+ − > β. 2 1 x 0− − < γ.

xe 1 x≤ + δ. 1

x ln x x ln x2

+ > +

Απάντηση




Άσκηση 7η - Μονοτονίας

Έστω οι γνησίως αύξουσες συναρτήσεις ( )f ,g : 0,→ +∞R , να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

( ) ( ) ( )( )h x ln f x g x= + είναι γνησίως αύξουσα στο R . Τι διαπιστώνουµε για την συνάρτηση – h;

Απάντηση

Ερώτηση 2η - Ακρότατα

α) Έστω µια συνάρτηση f : A → R . Πότε η συνάρτηση f έχει:

• (ολικό) µέγιστο και πότε (ολικό) ελάχιστο στο x0;

• τοπικό µέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο στο x0;

• ακρότατα;

β) ∆ώστε γεωµετρική ερµηνεία σε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.

Απάντηση




Βασική άσκηση 1η - Ακροτάτων

α. Ποια είναι τα πιθανά σηµεία ακροτάτων;

β. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο ανοικτό διάστηµα ∆ = (α, β), τότε έχει ακρότατα;

γ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο κλειστό διάστηµα ∆ = [α, β], τότε έχει ακρότατα;

Απάντηση

Βασική άσκηση 2η - Ακροτάτων

Πως λέγεται ο πίνακας που παρουσιάζει τις πληροφορίες για την µονοτονία και τα ακρότατα; ∆ώστε

παραδείγµατα

Απάντηση




Άσκηση 3η - Ακροτάτων

∆ίνεται η συνάρτηση f : →R R µε τύπο ( ) 2f x x 2x 2= + +

α. Βρείτε το πεδίο ορισµού της συνάρτησης

β. Βρείτε το ( )f 1−

γ. Να αποδείξετε ότι: ( )f x 1≥ για κάθε x∈ℝ

δ. Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

Απάντηση

Άσκηση 4η - Ακροτάτων

∆ίνεται η συνάρτηση ( ) x xf x e e−= +

α. Να αποδείξετε ότι: ( )f 0 2= και ( )f x 2≥ για κάθε x∈ℝ

β. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

Απάντηση




Εργασία 1η Μονοτονία - Ακρότατα

Να σχεδιάσετε τις βασικές γραφικές παραστάσεις από το σχολικό βιβλίο (σελ. 136 – 139) σε ένα

µεγάλο χαρτόνι έτσι ώστε:

Στην πρώτη στήλη να είναι οι γραφικές παραστάσεις, στη δεύτερη το πεδίο ορισµού, στην τρίτη το

σύνολο τιµών, στην τέταρτη και πέµπτη η µονοτονία και τα ακρότατα των συναρτήσεων και στην

τελευταία γράφουµε αν είναι άρτια ή περιττή.







Μάθηµα 5ο – Συνάρτηση «ένα προς ένα» – Αντίστροφη

Ερώτηση 1η – «Συνάρτηση 1 -1»

α) Έστω µια συνάρτηση f : A →R . Πότε η συνάρτηση f λέγεται ένα προς ένα (1 – 1) ; ∆ώστε βελοδιάγραµµα

και τύπο.

β) Αν συνάρτηση είναι 1 – 1 f : A →R , τότε να αποδείξετε την ισοδυναµία: ( ) ( )1 2 1 2f x f x x x= ⇔ =

(αντιθεταντιστροφή). Πότε χρησιµοποιούµε την παραπάνω σχέση; ∆ώστε παραδείγµατα.

γ) Πότε µια συνάρτηση f δεν θα είναι 1 – 1 ; ∆ώστε βελοδιάγραµµα, τύπο και παραδείγµατα (εφαρµογή και

ασκήσεις βιβλίου σελ. 155 – 156)

Απάντηση




Ερώτηση 2η – «Συνάρτηση 1 -1»

∆ικαιολογήστε την απάντησή σας και να δοθεί σχήµα στις παρακάτω προτάσεις:

α. Πως ελέγχουµε αν µια γραφική παράσταση συνάρτησης είναι 1 – 1 ;

β. Αν η f είναι άρτια συνάρτηση στο [-α, α], τότε είναι 1 – 1;

γ. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέµνει τον άξονα x’x τουλάχιστον 2 φορές είναι 1 – 1 ;

δ. Αν η εξίσωση f (x) =0 έχει τουλάχιστον 2 ρίζες, τότε είναι 1 – 1;

Απάντηση


– Μονοτονία και 1 – 1 συνάρτηση

α. Αν η f είναι (γνησίως) µονότονη, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1

β. Το αντίστροφο της πρότασης (α) ισχύει; ∆ώστε παράδειγµα (ασκήσεις βιβλίου σελ. 156)

γ. Αναφέρετε όλες τις προτάσεις που αποδεικνύουν µια συνάρτηση ότι είναι «ένα προς ένα»;

Απάντηση




Βασική Άσκηση 2η – Συνάρτηση 1 – 1

Αν η συνάρτηση f και g είναι 1 – 1 τότε να δείξετε ότι και οι επόµενες συναρτήσεις είναι 1 – 1 :

α. fog β.gof γ. fof δ. gog ε. – f

Απάντηση

Βασική άσκηση 3η – Συνάρτηση 1 – 1

Έστω οι συναρτήσεις f ,g : →R R τέτοιες ώστε η σύνθεση fog είναι 1 – 1. Να αποδείξετε ότι και η g είναι 1 – 1

Άσκηση 4η – Συνάρτηση 1 – 1 (εξίσωση)

Έστω η συνάρτηση f : →R R , η οποία για κάθε x ∈R ικανοποιεί τη σχέση: ( )( )fof x 4x 3= +

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1

β. Να λύσετε την εξίσωση: f(2x) = f (x+1)




Άσκηση 5η – Συνάρτηση όχι 1 – 1

Εξετάστε αν υπάρχουν 1 – 1 συναρτήσεις f ,g : →R R τέτοιες ώστε:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 28f x f x 16, g x g x g 1 x− ≥ ≤ − για κάθε x ∈R

Ερώτηση 3η – Αντίστροφη συνάρτηση

α) Τι λέγεται αντίστροφη συνάρτηση; ∆ώστε συµβολισµό, τύπο και βελοδιάγραµµα.

β) Πότε δεν ορίζεται αντίστροφη συνάρτηση;

γ) ∆ώστε τα βήµατα που ακολουθούµε στις ασκήσεις για να βρούµε την αντίστροφη µιας «ένας προς ένα»

συνάρτησης f (µε γνωστό τύπο).

Απάντηση





α. Πως βρίσκουµε το σύνολο ορισµού της συνάρτησης f, αν γνωρίζουµε το τύπο της;

β. Βρείτε το σύνολο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων

1. ( ) 3f x 1 x= − 2. ( ) ( )xg x ln e 1= − 3. ( )h x 2 4 x= − −

Απάντηση


α. Ποιες ιδιότητες έχει η αντίστροφη συνάρτηση, µιας συνάρτησης f;

β. Ποια είναι η σχηµατική ερµηνεία µεταξύ των γραφικών παραστάσεων 1f , f

− ; Πως θα το εφαρµόζουµε;

Απάντηση




Βασική άσκηση 4η – Αντίστροφη συνάρτηση (κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f − )

α. Όταν µια συνάρτηση f : A →R είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση ( ) ( )1f x f x− = είναι ισοδύναµη µε την

εξίσωση ………………

β. Ισχύει το ίδιο όταν η f : A →R είναι γνησίως φθίνουσα;

γ. Έστω η συνάρτηση f : →R R µε τύπο: ( ) 3f x x 3x 3= + −

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη

β. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των f και 1f −

Απάντηση

Βασική άσκηση 5η – Αντίστροφη συνάρτηση

Να αποδείξετε ότι για την συνάρτηση f : →R R

α. Αν είναι 1 – 1 τότε και η αντίστροφη συνάρτηση είναι 1 – 1

β. Αν είναι γνησίως αύξουσα στο R και η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R

γ. Αν είναι γνησίως φθίνουσα στο R και η αντίστροφη συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο R

Απάντηση




Άσκηση 6η – Αντίστροφη συνάρτηση

Θεωρούµε την συνάρτηση ( ) 3f x 2x 3x 6= + −

α. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται

β. Να λύσετε τις εξισώσεις: 1. ( )f x 11= − και 2. ( )1f x 2− =

γ. Να λύσετε την ανίσωση: 1. ( )f x 1> − και 2. ( )1f x 2− < −

Απάντηση


∆ίνεται η συνάρτηση ( ) xf x 2 x 8, x= + − ∈R

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιµη

β. Να λύσετε την εξίσωση ( )f x x=

γ. Να βρείτε τα κοινά σηµεία των γραφικών παραστάσεων των 1f , f

−

Απάντηση





Έστω η συνάρτηση ( ) 3f x x x 1, x= + − ∈R

α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο R

β. Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της f και να βρείτε τον αριθµό ( )1f 1− −

γ. Να λύσετε την εξίσωση: ( ) ( )1f x f x−=

δ. Να λύσετε την ανίσωση: ( )( )fof x 1<

Απάντηση


Έστω η συνάρτηση f : →R R , οποία για κάθε x ∈R ικανοποιεί τη σχέση ( )( )f f x 1 x− =

Να αποδείξετε ότι:

α. Η f είναι 1 – 1

β. Το σύνολο τιµών της f είναι το R

γ. ( ) ( )1f x f x 1− = − για κάθε x ∈R

Απάντηση





Έστω οι συναρτήσεις ( ) ( )f x x 4, g x 1 x= − = +

α. Βρείτε το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων f, g

β. Να ορίσετε τις συναρτήσεις: 1. 1g− 2. 1fog − και 3. f

g

Απάντηση

Ένα ιδιαίτερο θέµα από 1 – 1 και αντίστροφη συνάρτηση

Έστω η συνάρτηση ( ) xf x

1 x=

+

α. Βρείτε το πεδίο ορισµού της f

β. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1 – 1

γ. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f

δ. Βρείτε την συνάρτηση: 2011

fofo...of

Απάντηση

Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Καθηγητής Μαθηματικών

http://lisari.blogspot.com 1o Λύκειο Ζακύνθου

Κεφάλαιο 1ο – Ανάλυση – Συναρτήσεις Σελίδα 38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο – ΑΝΑΛΥΣΗΣ


Μάθημα 6ο – Όριο συνάρτησης στον πραγματικό αριθμό χ0 (Μορφή: 0/0)

Ερώτηση 1η – «Όριο συνάρτησης»

α) Τι ονομάζουμε όριο της f(x) όταν το χ τείνει στο χ0; Να δώσετε διατύπωση, συμβολισμό και σχήμα.

β) Τι ονομάζουμε πλευρικά όρια της f στο χ0; Να δώσετε διατύπωση, συμβολισμό και σχήμα.

γ) Πότε υπάρχει το όριο της f(x) όταν το χ τείνει στο χ0 και πότε δεν υπάρχει; Δώστε τύπο και παραδείγματα και

στις δύο περιπτώσεις.

Απάντηση

Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες ορίων»

Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των ορίων και δώστε παραδείγματα στο καθένα ξεχωριστά.

Απάντηση





– Ύπαρξη ορίων

Σημειώστε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ). Στην περίπτωση που είναι Σωστή, να

γίνει απόδειξη της πρότασης και αν είναι Λάθος δώστε αντιπαράδειγμα.

α. Αν τα όρια o o

x x x x

f x , g xlim lim

υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί τότε πάντα και το o

x x

f x g xlim

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

β. Αν το o

x x

f x g xlim

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός τότε πάντα και τα όρια o o

x x x x

f x , g xlim lim

υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί

γ. Αν το o

x x

f xlim

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός και το o

x x

g xlim

δεν υπάρχει, τότε πάντα και το

o

x x

f x g xlim

δεν υπάρχει.

δ. Αν τα o

x x

f xlim

, o

x x

g xlim

δεν υπάρχουν, τότε πάντα και το o

x x

f x g xlim

δεν υπάρχει.

ε. Αν για τις συναρτήσεις f,g :RR και α πραγματικό αριθμό ισχύει ότι: x

f x g x 0lim

και

x

f x g x 0lim

τότε πάντα θα ισχύει: x x

f x g x 0lim lim

Απάντηση




Ερώτηση 3η – Κριτήριο παρεμβολής

Διατυπώστε και δώστε σχήμα για το κριτήριο παρεμβολής. Πότε και πως θα το εφαρμόζουμε;

Απάντηση

Ερώτηση 4η – Τριγωνομετρικά όρια

α. Να αποδείξετε ότι: o

x x0x xlim

β. Αναφέρετε άλλα 3 βασικά τριγωνομετρικά όρια που πρέπει να γνωρίζουμε

γ. Σωστό ή Λάθος: ημx x , για κάθε x

Απάντηση




Ερώτηση 5η – Όριο σύνθετης συνάρτησης – Αλλαγή μεταβλητής

Α) Πως βρίσκουμε το όριο μιας σύνθετης συνάρτησης; Να δοθεί ο τύπος, τα βήματα και να λυθούν τα επόμενα

παραδείγματα.

Β) Παραδείγματα

Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια:

1) x 1

ημ x 1lim

2) 3 x

x 3elim

3) Αν

x 0

f x2

xlim

υπολογίστε τα όρια: α)

x 1

f x 1

x 1lim

και β)

x 0

f 2x

xlim

Απάντηση




Μεθοδολογία 1η – Πολλαπλού τύπου εύρεση ορίων

Α) Πως βρίσκουμε τα όρια σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου;


Βρείτε τα παρακάτω όρια, αν υπάρχουν:

1)

2

x 0 x 2 x 1

x 1,x 1

f x ; f x ; f x ; αν f x x 1

ln x ,x 1

lim lim lim

2)

4

3

x 2

x 16,x 2

x 8f x ; αν f x

x 7 3,x 2

x 2

lim

3)

3

x 1

x x 2,x 1

f x ; αν f x x 1

4 ,x 1

lim

Απάντηση




Μεθοδολογία 2η – Απροσδιόριστη μορφή 0/0

Α) Ποια βήματα ακολουθούμε όταν το όριο είναι της μορφής 0/0;


Βρείτε τα παρακάτω όρια, αν υπάρχουν:

1)

3 2

2x 1

x 5x 3x 1

x x 2lim

2)

x 1

x 3 2

x 1lim

Απάντηση




Μεθοδολογία 3η – Απόλυτη τιμή

Α) Τι κάνουμε όταν στο όριο που θέλουμε να υπολογίσουμε υπάρχει απόλυτη τιμή;


Βρείτε τα παρακάτω όρια:

1)

2

x 1

x 2 3 x 3

2x 3 1lim

2) x 0

x

xlim

3) x 1

x 1

x 1lim

4)

2

x 1

x 1 x 1 3 x x 4

x 5 2lim

Απάντηση




Μεθοδολογία 4η – Τριγωνομετρικά όρια

Α) Πως υπολογίζουμε όρια που περιέχουν τριγωνομετρικούς αριθμούς;


Υπολογίστε τα παρακάτω όρια:

1) x 0

ημx x συνx

xlim

2)

x 0

συνx 1

ημxlim

3)

2011

x 0

ημ x

xlim

4) (Αλλαγή μεταβλητής – τριγωνομετρικά όρια)

x 0

ημ αx, α 0

xlim

5)

x 1

ημ πx

x 1lim

6) (Απόλυτη τιμή – Κριτήριο παρεμβολής και τριγωνομετρικά όρια )

0 0x x x x

f x ημx f x, όπου 0

g x g xlim lim

7) v *

x 0

1x ημ , v

xlim

Απάντηση




Μεθοδολογία 5η – Βοηθητική συνάρτηση

Α) Όταν γνωρίζουμε ένα όριο και αναζητούμε κάποιο άλλο τι κάνουμε;

Β) Παράδειγμα

Αν για την συνάρτηση f : ισχύει x 1

2f (x) x

limx 1

να βρεθούν τα εξής όρια:

α) x 1

f xlim

β)

x 1

f x x

f x 1lim

γ)

2

2x 1

f (x) f (x) 2lim

f (x) 3 2x

Απάντηση




Μεθοδολογία 6η – Παραμετρικά όρια

Α) Ποια όρια ονομάζουμε παραμετρικά;


1) Αν για την συνάρτηση f : όπου ax 3 ,x 1

f x2ax 3 x 1

γνωρίζουμε ότι το

x 1

f xlim

υπάρχει να

βρεθούν α) Ο πραγματικός αριθμός a και β) Το x 1

f xlim

2) Αν για την συνάρτηση f : όπου ax b ,x 1

f x2ax 3b 1 x 1

γνωρίζουμε ότι

x 1

f x 4lim

να

βρεθούν τα οι πραγματικοί αριθμοί a,b.

3) Αν

4 3

2x 1

x ax 2b1

x 1lim

βρείτε τα a,b

4) Δίνονται οι συναρτήσεις

2

2

(λ 1)x x 2f (x)

x 1

και

2x 2x μg(x)

x

. Να βρείτε τις τιμές των

, για τις οποίες υπάρχουν στο τα όρια x 1 x 0limf (x) και limg(x)

.

Απάντηση


http://lisari.blogspot.com Δ/βάθμιας Εκπαίδευσης

Α΄ μέρος Ανάλυση: Όρια – Μορφή a/0 Σελίδα 48



Μάθημα 7ο – Μη πεπερασμένο όριο στο x0 (α/0, με α0)

Ερώτηση 1η – « Μη πεπερασμένο όριο »

α) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει στο x0 όριο το + ή -; Να δοθεί και σχήμα

β) Αν o

x x

f xlim

+ ή - τότε το όριο υπάρχει στο x0 ;

Απάντηση

Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες μη πεπερασμένων ορίων»

Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των μη πεπερασμένων ορίων και δώστε παραδείγματα στο καθένα

ξεχωριστά.

Απάντηση

http://lisari.blogspot.com/




Ερώτηση 3η

– «Απροσδιόριστη μορφή»

α. Τι ονομάζουμε απροσδιόριστη μορφή (ΑΜ);

β. Τι κάνουμε όταν σ’ ένα όριο προκύψει απροσδιόριστη μορφή;

γ. Αναφέρεται τις κυριότερες απροσδιόριστες μορφές

Απάντηση

Ερώτηση 4η –«Άθροισμα - διαφορά μη πεπερασμένων ορίων»

Αν γνωρίζουμε ότι τα όρια o o

x x x x

f x , g xlim lim

υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί ή άπειρο τότε τι ισχύει για

τα όρια: α) o

x x

f x g xlim

β) o

x x

f x g xlim

;

Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα.

Ερώτηση 5η – «Γινόμενο – πηλίκο – δύναμη μη πεπερασμένων ορίων»

Αν γνωρίζουμε ότι τα όρια o o

x x x x

f x , g xlim lim

υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί ή άπειρο τότε τι ισχύει για

τα όρια: α) o

x x

f x g xlim

β)

ox x

f x

g xlim

γ) o

x x

f xlim

;

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα.

Αν στο x0R,

το όριο της f είναι: α>0 α<0 α>0 α<0 0 0 + + - - + -

και το όριο της g είναι: + + - - + - + - + - 0 0

τότε το όριο της f·g είναι:

το όριο της f / g είναι:

το όριο της f n, n∈N

*

- - -

Αν στο x0R

το όριο της f είναι: αR αR - -

και το όριο της g είναι: - - -

τότε το όριο της f + g είναι:

τότε το όριο της f – g είναι:





Κατηγορία 1η Ασκήσεων α/0 «σχήμα»

Βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) o o

x x x x+ -f x , f xlim lim

, στα παρακάτω σχήματα

α. x0 = 0

β. x0 = 0 γ) x0

y

x

12

O x

y

Κατηγορία 2η Ασκήσεων α/0 – «Σταθερό πρόσημο παρονομαστή κοντά στο x0»

Βρείτε τα παρακάτω όρια: α. x

x 5x 6

x 1

2

1lim β.

x 3

x

x 3

2

3 2lim

( )

γ. x 0

x

4 2

e 5 x

x 2011xlim

δ.

x 0

4

2x 3

4 (x 1) xlim

ε.

x 0

x 1

xlim

Απάντηση

O x0 x x

f (x)

x

y

O x

y

α>0

O

x

y

α<0





Κατηγορία 3η Ασκήσεων α/0 – «Μη σταθερό πρόσημο παρονομαστή κοντά στο x0»

Βρείτε τα παρακάτω όρια: α. x 1

x x 2

x 1lim

2

β. x 1

2

3 4

1 x x 1lim

γ.

x 0

2

3

1x 2

xlim

Απάντηση

Κατηγορία 4η Ασκήσεων α/0 – «Τριγωνομετρικά όρια»

Βρείτε τα όρια: α. x 0

x 1

xlim

β.

x2

x 2

xlim

γ.

x 0

x 1

x 1lim

δ.

x2

xlim ε.

x 0

xlim

στ. x

3

2

x 1

x 1lim

Απάντηση





Κατηγορία 5η Ασκήσεων α/0 – «Παραμετρικά όρια»

Βρείτε τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιμές των πραγματικών αριθμών λ και μ:

α. x 1

4

x

x 1lim

β.

x 1

2x 1

x 1lim

γ.

x 1

x

x 1lim

ε.

x 12

x

x 1lim

Απάντηση

Άσκηση 2η – Παραμετρικά όρια

Δίνονται οι συναρτήσεις 1

2)1()(

2

2

x

xxλxf και

x

μxxxg

2)(

2

α. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού λ, αν υπάρχει το όριο )(lim1

xfx

β. Να βρείτε την τιμή του πραγματικού αριθμού μ, αν υπάρχει το όριο )(lim0

xgx

γ. Στη συνέχεια να υπολογίσετε τα παραπάνω όρια

Απάντηση





Κατηγορία 6η Ασκήσεων α/0 – «Βοηθητική συνάρτηση»

Να βρείτε το )(lim1

xfx

, όταν:

α. 3

x 1

x 2lim

f (x)

β.

x 1

f (x) 3lim

x 1

γ. 3

x 1lim[f (x)(3x 5)]

Απάντηση




Α΄ μέρος Ανάλυση: Όρια συνάρτησης στο άπειρο Σελίδα 54



Μάθημα 8ο – Όρια συνάρτησης στο άπειρο

Ερώτηση 1η – « Όρια συνάρτησης στο άπειρο »

α) Έστω συνάρτηση f, οποία είναι ορισμένη στο διάστημα , . Πότε θα λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο:

1. R 2. 3. όταν το χ τείνει ;

β) Διατυπώστε τα ανάλογα συμπεράσματα όταν το χ τείνει στο

Απάντηση

Ερώτηση 2η – «Ιδιότητες ορίων όταν το χ τείνει στο άπειρο»

Γράψτε και περιγράψτε τις ιδιότητες των ορίων όταν το χ τείνει στο άπειρο και δώστε παραδείγματα για το

καθένα χωριστά.

Απάντηση




Κατηγορία 1η (σχήμα)

Βρείτε τα όρια (αν υπάρχουν) x x

f x , f xlim lim

, στα παρακάτω σχήματα

xfy

O x

y

Cf

f (x)

(a)

O

+ x x

y

O x

y

y=f (x)

f (x)

(α)

O

x x

y

Cf

O x

y

α>0

O

x

y

α<0




Κατηγορία 2η ( Πολυωνυμική συνάρτηση)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι πολυωνυμική; Δώστε το τύπο και αποδείξτε το.

Β. Βρείτε τα όρια: α. 2

xx 5x 3

lim β. 4

x1 x x

lim

γ. x

3 2x 5 x 6 x 2011 , , , Rlim

δ. x

2x x 1 , Rlim

Απάντηση




Κατηγορία 3η (Ρητή συνάρτηση)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι ρητή; Δώστε τον τύπο και αποδείξτε το.

Β. Βρείτε τα όρια:

α. x

x x 2

x 1lim

2

β. x

2

4x 3

x x 1lim

γ.

x

5

3 5

3x x 2

1 x xlim

Γ. Βασική άσκηση: Έστω οι πολυωνυμικές συναρτήσεις P(x), Q(x) με βαθμό ν, μ αντίστοιχα, τότε να αποδείξτε

τα εξής: 1.

x

*

0 ,P x

,Q x

,

lim

2.

x

P x ,

,Q xlim

Απάντηση




Κατηγορία 4η (απόλυτη τιμή)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση έχει απόλυτες τιμές;


α. x

xlim

β. x

x 1 2 x 3 7lim

γ. x

x 1 2 x 3 7lim

δ 2

2x

| x 5x | xlim

x x 2

ε.

2

x

| x x | 3lim

x 2011

Απάντηση




Κατηγορία 5η (άρρητες συναρτήσεις)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι άρρητη; Δικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά όρια

1. x

xlim

και 2. x

xlim


α. 2

xlim 4x x 1

β. 2

xlim 9 10x x

γ. 2 2

xlim x 1 x x( )

δ. 2 2

xlim x 1 x x( )

ε. 2

xlim ( x 5 x)

στ. 2

x

x 12x 1lim

x 3

ζ.

2

2x

x x 1lim

x x 1

η.

2

2x

x x 1lim

x x 1

θ.

2

2x

x 1 5 xlim

3x 1 2x

Απάντηση




Κατηγορία 6η (Πολλαπλού τύπου)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι πολλαπλού τύπου;

Β. Βρείτε τα όρια στο άπειρο για τις παρακάτω συναρτήσεις:

α.

1,5

1,)(

2

xx

xxxf β.

1,1

1,2)(

2 xx

xxxf γ.

x 3,x 2

f x x 2

1 ,x 2

Απάντηση




Κατηγορία 7η (εκθετικές συναρτήσεις)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι εκθετική; Δικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά

όρια

1. x x

x x, 0lim lim

για α > 1 και 2. x x

x x0,lim lim

για 0 < α < 1

Β. Βρείτε τα όρια: α. x

xlim 3

β. x

xlim 3

γ. x

xlim e

δ. x

xlim e

ε.

x

x

2lim

e

στ. x x

x xx

3 4lim

3 4

ζ.

x x

x xx

3 4lim

3 4

Απάντηση




Κατηγορία 8η (λογαριθμικές συναρτήσεις)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι λογαριθμική; Εξηγήστε τα παρακάτω όρια:

1. x x

ln x , logxlim lim

και 2. x 0 x 0

ln x , logxlim lim

Γιατί δεν υπάρχουν τα όρια στο ;Δικαιολογήστε την απάντησή σας.


α. x

1lim

ln x 2 β.

x

1lim

ln x γ.

x

2ln x 1lim

ln x 1

Απάντηση




Κατηγορία 9η (Τριγωνομετρικά όρια) – (σε συνδυασμό με τις κατηγορίες 11 και 12)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση είναι τριγωνομετρική; Δικαιολογήστε γεωμετρικά

γιατί τα όρια x

xlim

και x

xlim

δεν υπάρχουν.


α. x

xlim

x

β.

x

xlim

x

γ.

x

xlim

x

δ.

x

xlim

x

ε. 2x

x x 1lim

x x

Απάντηση




Κατηγορία 10η (παραμετρικά όρια)

Α. Πως βρίσκουμε τα όρια στο άπειρο όταν η συνάρτηση έχει παραμέτρους; Δικαιολογήστε τα παρακάτω βασικά

όρια

1. x

, 0

x . , 0

, 0

lim

και 2. x

, 0

x . , 0

, 0

lim


α. 2

xlim ( x x 3 x)

β. 3 2

2x

( 1)x 2 x 10x 3lim

x 5x 6

γ. 2

xlim ( x 5x 7 x)

Γ. Αν βxαx

xxf

1

1)(

2

να βρείτε τις τιμές των βα, , για τις οποίες ισχύει 0)(lim

xfx

Δ. Να προσδιορίσετε το λ , ώστε το 2

xlim ( x 5x 10 x 1)

να υπάρχει στο . Στη συνέχεια να

βρείτε και το όριο.

Ε. Για α, β πραγματικούς αριθμού να βρείτε τα όρια x x

f x , f xlim lim

όπου

3,3

3,2)(

xβxα

xβxαxf

Απάντηση




Κατηγορία 11η (αλλαγή μεταβλητή)

Α. Πως αλλάζουμε μεταβλητή στα όρια όταν το χ τείνει στο άπειρο;


α. x

1lim x

x

β.

xlim x 1 x , x 0

γ. 2x x

xlim e

δ. 2

xlim ln x x

ε. 2x

xlim ln x 1 ln

x 1

στ. 2

xlim ln x ln x 1

Απάντηση




Κατηγορία 12η (Κριτήριο παρεμβολής)

Α. Ισχύει το κριτήριο παρεμβολής στα όρια όταν το χ τείνει στο άπειρο; Δώστε τον τύπο. Σε ποια κατηγορία

ασκήσεων θα το εφαρμόζουμε κυρίως;

Β. Δίνεται συνάρτηση 2

x xf x , x

x 1

α. Να αποδείξετε ότι: 2 2

x xf x

x 1 x 1

για κάθε x

β. Βρείτε το όριο: xlim f x

και x

f xlim

γ. Βρείτε το όριο

x

f xlim

x

Γ. Έστω η συνάρτηση f :R R με 2 2f x x 1 x x

α. Να αποδείξετε ότι: 2

1f x

x 1 x

β. Να υπολογίσετε το όριο:

x

f xlim

Απάντηση




Κατηγορία 13η (Βοηθητική συνάρτηση)

Α. Πότε παίρνουμε βοηθητική συνάρτηση; Ποια συνάρτηση θέτουμε ;

Β. Έστω η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει x

2f x x 1 1lim

. Να υπολογίσετε τα όρια:

α. x

f xlim

β.

x

f x

xlim

γ.

x

2f x x

f x 3xlim

Απάντηση



Α΄ μέρος Ανάλυση: Συνέχεια συνάρτησης Σελίδα 68



Μάθημα 9ο – Συνέχεια – Βασικά θεωρήματα συνέχειας

Ερώτηση 1η – « Ορισμός συνέχειας στο x0»

α) Έστω συνάρτηση f : A R , πότε θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο 0x του πεδίου ορισμού της;

β) Θα αναζητάμε συνέχεια σε σημεία εκτός του πεδίου ορισμού της;

γ) Πότε μια συνάρτηση f : A R δεν θα είναι συνεχής στο 0x A ;

Απάντηση

Ερώτηση 2η – «Συνεχής συνάρτησης – βασικές συνεχείς συναρτήσεις»

α) Πότε μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής;

β) Αναφέρεται βασικές συναρτήσεις που είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της

Απάντηση




Ερώτηση 3η – «Συνέχεια σε διάστημα»

α) Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ανοικτό διάστημα (α, β) ;

β) Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β];

Απάντηση

Ερώτηση 4η – «Πράξεις συνεχών συναρτήσεων – Σύνθεση συνεχών συναρτήσεων»

α) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο 0x τότε γράψτε και ποιες πράξεις των f, g είναι συνεχείς στο

0x ;

Με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το 0x .

β) Πότε θα λέμε ότι η συνάρτηση g o f είναι συνεχής στο 0x ;

Απάντηση




Άσκηση 1η

Δίνεται η συνάρτηση

x x 1,0 x 1

x 1f x

x 2 2x 1

x 1

α)Βρείτε το όριο x 1

f xlim

β) Βρείτε την τιμή f 1 και εξετάστε αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0x 1

γ) Εξετάστε αν η συνάρτησης f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της

Απάντηση

Άσκηση 2η




Απάντηση




Άσκηση 3η

Απάντηση




Άσκηση 4η

Απάντηση

Άσκηση 5η

Απάντηση




Άσκηση 6η

Απάντηση




Άσκηση 7η

Απάντηση




Άσκηση 8η

Απάντηση




Ερώτηση 5η – « Θεώρημα Bolzano»

α) Να διατυπώσετε το Θεώρημα Bolzano. Δώστε την γεωμετρική ερμηνεία.

β) Το θεώρημα Bolzano είναι θεώρημα ύπαρξης ή εύρεσης ρίζας εξίσωσης; Πόσες ρίζες μας εξασφαλίζει;

γ) Γράψτε ισοδύναμες εκφράσεις που μας παραπέμπουν στο Θεώρημα Bolzano

δ) Το αντίστροφο του Θεωρήματος Bolzano ισχύει;

ε) Ανέκδοτο: Πόσα παιδιά έχει ο Βοlzano?

Απάντηση




Κατηγορία 1η – « Μία τουλάχιστον λύση στο (α, β) - [α, β]»

α) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση στο (α, β) ποια βήματα

ακολουθούμε;

πχ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : , , ώστε: f f f f . Να αποδείξετε ότι:

1. f f 0 2. Η εξίσωση f x x έχει μία τουλάχιστον λύση στο ,

β) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση στο [α, β] ποια βήματα


πχ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f x f x 1 για κάθε x .

Να αποδείξετε ότι: 1. f 0 f 1 1 2. Η εξίσωση f x x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο 0,1

Απάντηση




Κατηγορία 2η – « Μία το πολύ λύση – Μία ακριβώς λύση στο (α, β)»

α) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία το πολύ λύση στο (α, β) ποια βήματα ακολουθούμε;

β) Βασική άσκηση: Έστω συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0

έχει μία το πολύ λύση στο (α, β).

πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = x5 +3x +1 έχει μία το πολύ λύση στο R.

γ) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει μία ακριβώς λύση στο (α, β) ή [α, β] ποια βήματα


πχ. Δίνεται η συνάρτηση 3f x x 3x με x όπου λ πραγματικός αριθμός τέτοιος ώστε: 4 . Να

αποδείξετε ότι, η εξίσωση f x 0 έχει μία ακριβώς λύση στο διάστημα 1,1

Απάντηση




Κατηγορία 3η – « Δύο τουλάχιστον ή το πολύ ή ακριβώς λύσεις στο (α, β)»

α) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο (α, β) ποια βήματα


πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x x x x έχει δύο τουλάχιστον λύσεις στο ,

β) Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει δύο το πολύ λύσεις στο (α, β) τότε τι κάνουμε;

πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x x x x x 0 όπου α, β, γ, λ, μ, ν

πραγματικοί αριθμοί, έχει το πολύ δύο λύσεις.

γ) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (α, β) ποια βήματα ακολουθούμε;

πχ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x x x x x x 0

όπου α, β, γ > 0 και λ < μ < ν έχει δύο ακριβώς άνισες λύσεις στο διάστημα (λ, ν)

Απάντηση




Κατηγορία 4η – « Διατηρεί σταθερό πρόσημο»

α) Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο ποια μέθοδο ακολουθούμε και

ποιο Θεώρημα;

β) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και f x 0 για κάθε x , τότε η f διατηρεί σταθερό

πρόσημο στο διάστημα Δ.

γ) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα Δ και 1 2, διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0, τότε η

συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα 1 2, .

πχ. Έστω η συνεχής συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 2 2f x 2f x x για κάθε x και είναι

f 0 2 .

Α) 1. Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο 2. Να βρείτε το πρόσημο της f

Β) Έστω η συνάρτηση g x f x 1 ,x τότε

1. Να αποδείξετε ότι g x 0 για κάθε x 2. Βρείτε το πρόσημο της g

3. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f και g.

πχ. Έστω η συνάρτηση f : με f x 0 για κάθε x και ισχύει f α f β f γ 0 για

οποιοσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α , β, γ. Να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο

β) Πως βρίσκουμε το πλήθος ριζών μιας εξίσωσης f(x) = 0 και πως την μελετάμε ως προς τα πρόσημα;

πχ. Έστω συνάρτηση f x 2x 2 x, x 0,2

1) Να λύσετε την εξίσωση f x 0 2) Να μελετήσετε το πρόσημο της συνάρτησης f

Απάντηση




Άσκηση 9η

Έστω ο μιγαδικός z i με , R και η συνάρτηση f x z xi , x R της οποίας η γραφική της

παράσταση διέρχεται από το σημείο Α (1, 2).

Α. Να αποδείξετε ότι 1 z 3 . Για ποιες τιμές του z ισχύουν οι ισότητες;

Β. Να αποδείξετε ότι: Η εξίσωση f x 2 z x , έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (-1, 1) .

Απάντηση

Άσκηση 10η

Έστω η συνάρτηση 2

2

x 2x 1 , 1 x 1f x

3x 6x 1 ,1 x 2

Α. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο διάστημα [-1, 2]

Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει δύο ακριβώς λύσεις στο (-1, 2)

Απάντηση




Άσκηση 11η

Έστω f: , συνεχής συνάρτηση και οι μιγαδικοί αριθμοί z = α + βi, z1 = α+if(α), z2 = β+if(β).

Αν ισχύει 2 2

1 23 z z 4izz 4i Re z z , να δειχθεί ότι η Cf έχει ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με

τον άξονα x΄x.

Απάντηση

Άσκηση 12η

Έστω η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f 2(x) + x

2= 5x για κάθε xΔ = (0,5).

Να αποδείξετε ότι η f:

α) Δεν έχει ρίζες στο διάστημα Δ

β) Έχει σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ

γ) Να βρεθεί ο τύπος της f στο Δ, αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι f (1 ) = - 2.

Απάντηση




Ερώτηση 6η – « Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών (Θ.Ε.Τ)»

α) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών.

β) Δώστε την γεωμετρική ερμηνεία

γ) Ποια είναι η σχέση του με το Θεώρημα του Bolzano;

δ) Αν ισχύει το Θ.Ε.Τ για την συνάρτηση f στο διάστημα [α, β] και είναι γνησίως μονότονη σ’ αυτό τότε τι

συμπεραίνουμε;

ε) Αν στο Θ.Ε.Τ ισχύει f ,f τότε η ρίζα x0 τέτοια ώστε f(x0) = η, ανήκει στο κλειστό διάστημα [α, β];

στ) Ποια είναι τα συμπεράσματα του Θ.Ε.Τ; Δηλαδή,

α) Τι ισχύει για την εικόνα μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης;

β) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής και 1 – 1 τι συμπεραίνουμε;

πχ. Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [α, β] με f (α) =0 και f (β) =1. Να αποδείξετε ότι:

1) f ln 2 f 2) Υπάρχει ένα τουλάχιστον 0x , ώστε 0f x ln 2

πχ. Έστω συνάρτηση f : ώστε να είναι f 1 1 και f 2 2 . Να αποδείξετε ότι:

1) f 1 2 f 2 2) Η f δεν είναι συνεχής

Απάντηση




Ερώτηση 7η – « Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής»

α) Να διατυπώσετε και το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής.

β) Δώστε την γεωμετρική ερμηνεία

γ) Με ποιο θεώρημα «συνεργάζεται» καλύτερα; Δείτε την βασική άσκηση

δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], τότε ποιο είναι το σύνολο τιμών της; Δώστε

γεωμετρική ερμηνεία.

Βασική άσκηση: Έστω η συνεχής συνάρτηση f : , R με 0 . Αν m η ελάχιστη τιμή και Μ η

μέγιστη τιμή της f, να αποδείξετε ότι:

1) f f

m

2) Υπάρχει ένα τουλάχιστον , τέτοιο ώστε: f f

f

Απάντηση




Ερώτηση 8η – « Σύνολο τιμών συνεχούς συνάρτηση – Εύρεση σύνολο τιμών (Γ’ μέθοδος)»

α) Αν μια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β] τότε ποιο είναι σύνολο τιμών της;

β) Αν μια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο [α, β] τότε ποιο είναι σύνολο τιμών της;

γ) Αν μια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) τότε ποιο είναι σύνολο τιμών της;

δ) Αν μια συνεχής συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β) τότε ποιο είναι σύνολο τιμών της;

ε) Τελικά πως βρίσκουμε το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων;

Να δοθούν σχήματα

πχ. Να βρείτε το σύνολο τιμών για τις παρακάτω συναρτήσεις:

1) 2f x x x 1 στο 0,2

2) xf x e x στο 0,2

3) 2f x x xln x 1 στο 1, 4) f x ln 1 ln x στο πεδίο ορισμού της

Απάντηση




Άσκηση 13η

Έστω η συνάρτηση 2 2

2

2

x 5x,x 0

f x Rx

25 ,x 0

Α. Να βρεθούν τα όρια x

f xlim

και x

f xlim

Β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο R.

Γ. Αν επί πλέον για κάθε x R ισχύει f(x) ≤ 10α , τότε:

i. Αποδείξετε ότι α = 5 .

ii. Βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x x’ και y’y (αν υπάρχει).

iii. Βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f και

iv. Αποδείξτε ότι η εξίσωση f(x) = 49 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο 0,2

Απάντηση




Άσκηση 14η

Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση f : για την οποία ισχύουν:

f (x) f (3 x), ά x και x

f (x) ,lim

α. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 0x 0,3 τέτοιο ώστε: 0f (x ) 0

β. Να δείξετε ότι 0

γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

Απάντηση




Άσκηση 15η

Δίνεται η συνάρτηση, 2f (x) ln x x 1 ln (1 )x κα0 x 0ι

Α. Για τις διάφορες τιμές του α , να βρείτε x

f (x)lim

Β. Έστω ότι α = 0

α. Να μελετήσετε την συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f

γ. Να ορίσετε την αντίστροφή της

Απάντηση




Άσκηση 16η

Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : ,για την οποία ισχύει x 0

f (x) 2lim 0

x

Α. α. Να βρείτε το f(0) .

β. Να βρείτε το όριο: 2

2x 0

x f (x)lim

x

Β. Αν επιπλέον για την f ισχύει 2 x 2xf (x) e f (x) e 1, x

α. Να δείξετε ότι: x xf (x) e e , x

β. Να υπολογίσετε τα όρια x x

f (x), f xlim lim

γ. Να χρησιμοποιήσετε δεδομένο ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ,0 και γνησίως αύξουσα

στο 0, για να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = k έχει δύο ακριβώς ρίζες για κάθε τιμή του k με k > 2 .

Απάντηση

ανάλυση μαθήματα από 1 έως 9 νέο

Documents

mac190604gmail

ln

lim ln

ln

ln 2

bolzano

lim

lim 3