Тема. Аксіоми планіметрії. Тема. Аксіоми планіметрії. Система опорних фактів Система опорних фактів

курсу планіметріїкурсу планіметрії

Урок №1Урок №1

ГеометріяГеометрія — це наука про властивості — це наука про властивості геометричних фігур.геометричних фігур.

Зверни увагу: геометрична фігура — це Зверни увагу: геометрична фігура — це не тільки трикутник, коло, піраміда тощо, не тільки трикутник, коло, піраміда тощо, а й будь-яка множина точок. а й будь-яка множина точок.

Точка і прямаТочка і пряма

ТочкаТочка і і прямапряма є основними поняттями є основними поняттями планіметрії. планіметрії. Це означає, що цим поняттям не можна Це означає, що цим поняттям не можна дати точне означення. Їх можна тільки дати точне означення. Їх можна тільки уявити, спираючись на досвід та уявити, спираючись на досвід та перелічивши їхні властивості. перелічивши їхні властивості.

Аксіома, теорема, означенняАксіома, теорема, означення

Твердження, справедливість яких приймається Твердження, справедливість яких приймається без доведення, називаються без доведення, називаються аксіомамиаксіомами. . Вони містять формулювання основних Вони містять формулювання основних властивостей найпростіших фігур.властивостей найпростіших фігур.Твердження, які доводять, Твердження, які доводять, називаються називаються теоремамитеоремами..ОзначенняОзначення — це пояснення якогось поняття, — це пояснення якогось поняття, яке спирається або на основні поняття, або на яке спирається або на основні поняття, або на поняття, що визначені раніше. поняття, що визначені раніше.

Основні властивості (аксіоми) належності Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площиніточок і прямих на площині

Аксiома І.Аксiома І.1. Яка б не була пряма, існують точки, що 1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать цій прямій, і точки, що не належать їй.належать їй.2. Через будь-які дві точки можна провести 2. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну. (Треба розуміти, що пряму, і тільки одну. (Треба розуміти, що тут містяться два твердження: по-перше — тут містяться два твердження: по-перше — існування такої прямої, а по-друге — її існування такої прямої, а по-друге — її єдиність.) єдиність.)

Основні властивості (аксіоми) належності Основні властивості (аксіоми) належності точок і прямих на площиніточок і прямих на площині

Аксiома ІІ. Аксiома ІІ. Із трьох точок на прямій одна й тільки одна Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими. лежить між двома іншими.

ВідрізокВідрізок

ВідрізкомВідрізком називається частина прямої, яка називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що складається з усіх точок цієї прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці лежать між двома даними її точками. Ці точки називаютьсяточки називаютьсякінцями відрізкакінцями відрізка. На . На рисунку зображено відрізок рисунку зображено відрізок АВАВ (відрізок (відрізок позначають, записуючи його кінці).позначають, записуючи його кінці).

Основні властивості (аксіоми) вимірювання Основні властивості (аксіоми) вимірювання відрізківвідрізків

Аксiома ІІІ.Аксiома ІІІ.1. Кожний відрізок має певну довжину, 1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля.більшу від нуля.2. Довжина відрізка дорівнює сумі дов-жин 2. Довжина відрізка дорівнює сумі дов-жин частин, на які він розбивається будь-якою частин, на які він розбивається будь-якою його точкою. його точкою.

Основна властивість розміщення точок Основна властивість розміщення точок відносно прямої на площинівідносно прямої на площині

Аксiома ІV. Аксiома ІV. Пряма розбиває площину на дві Пряма розбиває площину на дві півплощини.півплощини.Це розбиття має таку властивість: якщо Це розбиття має таку властивість: якщо кінці якого-небудь відрізка належать одній кінці якого-небудь відрізка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає півплощині, то відрізок не перетинає пряму; якщо кінці відрізка належать різним пряму; якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму. півплощинам, то відрізок перетинає пряму.

Півпряма, промінь.Півпряма, промінь.

ПівпрямоюПівпрямою, або , або променемпроменем,називають частину прямої, ,називають частину прямої, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежать по один бік від даної на ній точки. Ця точка один бік від даної на ній точки. Ця точка називається називається початковою точкою променяпочатковою точкою променя. . Різні півпрямі однієї прямої зі спільною початковою Різні півпрямі однієї прямої зі спільною початковою точкою називаються точкою називаються доповняльнимидоповняльними..На рисунку подані променіНа рисунку подані промені AB AB (він (він же же ACAC), ), DADA (або (або DBDB, , DCDC), ), BCBC, , CBCB (або (або CACA, , CDCD), ), BABA (або (або BD BD),), ADAD. . Промені Промені ABAB і і AD, BCAD, BC і і BDBD — доповняльні. — доповняльні. Промені Промені BDBD і і ACAC не є доповняльними, бо у них різні не є доповняльними, бо у них різні початкові точки. початкові точки.

КутКут

КутКут — це фігура, яка складається з точки — — це фігура, яка складається з точки — вершини вершини кута кута і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,і двох різних півпрямих, що виходять із цієї точки,— — сторін кутасторін кута..

Кут, поданий на рисунку, можна позначити так:Кут, поданий на рисунку, можна позначити так:<<AOB, <0, AOB, <0,

<(ab).<(ab).

Якщо сторони кута є доповняльними півпрямими, кут

називають розгорнутим:

Основні властивості вимірювання кутівОсновні властивості вимірювання кутів

Аксiома V.Аксiома V.1. Кожний кут має певну градусну міру, 1. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180дорівнює 180оо . .2. Градусна міра кута дорівнює сумі 2. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між будь-яким променем, що проходить між його сторонами. його сторонами.

Основні властивості відкладання відрізків і Основні властивості відкладання відрізків і кутівкутів

Аксiома VІ. Аксiома VІ. На будь-якій півпрямій від її початкової На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної точки можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.довжини, і тільки один.Аксiома VІІ. Аксiома VІІ. Від будь-якої півпрямої у дану півплощину Від будь-якої півпрямої у дану півплощину можна відкласти кут з даною градусною можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою за , і тільки один. мірою, меншою за , і тільки один.

ТрикутникТрикутник

ТрикутникомТрикутником називається фігура, яка називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. ці точки. Точки називаються Точки називаються вершинами трикутникавершинами трикутника, а , а відрізки — його відрізки — його сторонамисторонами. .

Основна властивість існування рівних Основна властивість існування рівних трикутниківтрикутників

Аксiома VІІІ. Аксiома VІІІ. Який би не був трикутник, існує трикутник, Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщенні що дорівнює йому в заданому розміщенні відносно даної півпрямої. відносно даної півпрямої.

ПаралельнПаралельні пряміі прямі

Прямі називаються Прямі називаються паралельнимипаралельними, якщо , якщо вони не перетинаються.вони не перетинаються.Паралельні прямі, зображені на рисунку, Паралельні прямі, зображені на рисунку, можна позначити так: можна позначити так: aaIIIIbb..

Аксіома паралельних прямихАксіома паралельних прямих

Аксiома ІХ. Аксiома ІХ. Через точку, що не лежить на даній прямій, Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.одну пряму, паралельну даній.

Зверніть увагу: аксіома стверджує єдиність Зверніть увагу: аксіома стверджує єдиність такої прямої, але не стверджує її існування. такої прямої, але не стверджує її існування.

Суміжні кутиСуміжні кути

Два кути називаються Два кути називаються суміжнимисуміжними, якщо в них одна сторона спільна, , якщо в них одна сторона спільна, а інші сторони є доповняльними півпрямими.а інші сторони є доповняльними півпрямими.

На рисунку На рисунку αα і і ββ — суміжні. — суміжні.

Властивості суміжних кутів

Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює 180°. Теорема 2. Коли два кути рівні, то суміжні з ними кути теж рівні.Теорема 3. Кут, суміжний із прямим -кутом, є прямий кут.Теорема 4. Кут, суміжний із гострим -кутом, — тупий.Теорема 5. Кут, суміжний із тупим кутом, — гострий.

Вертикальні кутиВертикальні кути

Два кути називаються Два кути називаються вертикальнимивертикальними, якщо сторони одного кута є , якщо сторони одного кута є

доповняльними півпрямими сторін другого.доповняльними півпрямими сторін другого.

Властивості вертикальних кутів

Теорема 1. Вертикальні кути рівні.(Але не всі рівні кути вертикальні.)Теорема 2. Кути, вертикальні рівним, - рівні.

Кути, утворені при перетині прямихКути, утворені при перетині прямих

Внутрішні різносторонні: Внутрішні різносторонні: <1 <1 і і <<6, 6, <<3 і 3 і <<8.8.((<1<1==<<6, 6, <<3=3=<<8)8)Внутрішні односторонні: Внутрішні односторонні: <1 <1 і і <<8, 8, <<3 і 3 і <<6.6.((<1<1++<<8=1808=180°°, , <<3+3+<<6=1806=180°°))..Відповідні: Відповідні: <1 <1 і і <<2, 2, <<3 і 3 і <<4, 4, <<55 і і <<6, 6, <<7 і 7 і <<8.8.((<1<1==<<2, 2, <<3=3=<<4, 4, <<5=5=<<6, 6, <<7=7=<<8)8)

Кути в трикутникуКути в трикутнику

<1<1, , <<2, 2, <<3 – внутрішні кути трикутника.3 – внутрішні кути трикутника.<1<1++<<2+2+<<3=1803=180°°

<<4 – зовнішній кут трикутника при вершині 4 – зовнішній кут трикутника при вершині АА<<4=4=<1<1++<<2, 2, <<4+4+<<5+5+<<6=360 6=360 °°..

Кути, вписані в колоКути, вписані в колоКут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин Кут розбиває площину на дві частини. Кожна із цих частин називається називається плоским кутомплоским кутом. . Плоскі кути із спільними сторонами називаються Плоскі кути із спільними сторонами називаються доповняльнимидоповняльними. . Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градусною мірою Якщо плоский кут є частиною півплощини, то його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими самими сторонами.називається градусна міра звичайного кута з тими самими сторонами.

Центральним кутомЦентральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною у у колі називається плоский кут з вершиною у його центрі -кола.його центрі -кола.Частина кола, розміщена всередині плоского кута, Частина кола, розміщена всередині плоского кута, називається називається дугою коладугою кола, що відповідає цьому центральному , що відповідає цьому центральному куту. куту. Градусною міроюдуги кола Градусною міроюдуги кола називається градусна міра називається градусна міра відповідного центрального кута.відповідного центрального кута.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається називається вписаним у коловписаним у коло. Точки, у яких сторони вписаного . Точки, у яких сторони вписаного кута перетинають коло, розбивають коло на дві дуги. кута перетинають коло, розбивають коло на дві дуги. Центральний кут, що відповідає тій із цих дуг, що не містить вершину Центральний кут, що відповідає тій із цих дуг, що не містить вершину кута, називається кута, називається центральним кутомцентральним кутом, , який відповідає даному який відповідає даному вписаному кутувписаному куту..

Центральний кутЦентральний кут

<<АОСАОС центральний; центральний; точка 0 — центр кола; точка 0 — центр кола; AMC AMC — дуга; — дуга; ANCANC — дуга— дуга

Кути, вписані в колоКути, вписані в коло

<ABC <ABC вписаний, спи-рається на дугувписаний, спи-рається на дугу АКС АКС (хорду АС); (хорду АС); <AFC <AFC == <ABC<ABC (спираються на ту саму дугу);(спираються на ту саму дугу);

Паралельні пряміПаралельні пряміВластивості паралельних прямихВластивості паралельних прямихТеорема 1. Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то:Теорема 1. Якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою прямою, то:1) внутрішні різносторонні кути рівні;1) внутрішні різносторонні кути рівні;2) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 1802) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°°;;3) зовнішні різносторонні кути рівні;3) зовнішні різносторонні кути рівні;4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 1804) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180°°;;5) відповідні кути рівні.5) відповідні кути рівні.

Теорема 2. Якщо пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.Теорема 3. Через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній.Об’єднуючи це твердження з аксіомою IX, отримуємо: через точку, що не лежить на прямій, можна провести пряму, паралельну даній, причому тільки одну.

Паралельні пряміПаралельні пряміОзнаки паралельності прямихОзнаки паралельності прямихТеорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча Теорема 1. Якщо при перетині двох прямих третьою виконується хоча б одна з таких умов:б одна з таких умов:а) внутрішні різносторонні кути рівні;а) внутрішні різносторонні кути рівні;б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює б) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180180°°;;в) зовнішні різносторонні кути рівні;в) зовнішні різносторонні кути рівні;г) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює г) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180180°°;;д) відповідні кути рівні,— то прямі паралельні.д) відповідні кути рівні,— то прямі паралельні.Теорема 2. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.Теорема 2. Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.Теорема 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні одна Теорема 3. Дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні одна одній.одній.

Теорема ФалесаТеорема ФалесаТеорема 1 Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають Теорема 1 Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні.другій його стороні. Теорема 2 (про пропорційні відрізки). Паралельні прямі, які перетинають Теорема 2 (про пропорційні відрізки). Паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.сторони кута, відтинають від сторін кута пропорційні відрізки.

Якщо А1В1\\А2В2\\А3В3... і

CA1=А1А2=А2А3=…, то

СВ1=В1В2=В2В3=…

Якщо m \\ l \\ k, тоd

b

c

a =