zbirka resenih zadataka iz dsu_i deo_milica naumovic

Upload: sigma2104

Post on 02-Jun-2018

319 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    1/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    2/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    3/140

    Milica B. Naumovi

    ZBIRKA REENIH ZADATAKA

    IZDIGITALNIH SISTEMA UPRAVLJANJA

    I deo: Diskretni signali

    Elektronski fakultetNi, 1997.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    4/140

    dr Milica B. NaumoviZBIRKA REENIH ZADATAKAIZ DIGITALNIH SISTEMA UPRAVLJANJAI deo: Diskretni signali

    Izdava

    Recenzent

    Prof. dr MiliStoji

    Urednik

    Korice

    CIP - Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd

    Tira: 300 primeraka

    tampa

    Odlukom Nastavno-naunog vea Elektronskog fakultetau Niu, br. 1/0-05-074/96-003 od 18. juna 1996. godine,rukopis je odobren za tampu kao pomoni udbenik.

    Elektronski fakultetNi, Beogradska 14

    Prof. dr Stojan Risti

    M. B. Naumovi

    ISBN 86-80135-12-7

    681.51(075.8)(076)

    NAUMOVI, Milica B.Zbirka reenih zadataka iz digitalnih sistema upravljanja. Deo 1, Diskretni signali / Milica B.

    Naumovi. - Ni: Elektronski fakultet, 1997 (Ni : Grafika Galeb). -128 str.: ilustr.; 24 cm

    Tira 300. - Bibliografija: str. 127-128.ISBN 86-80135-12-7

    62-52(075.8)(076)a) Digitalna tehnika - Zadaci b) Sistemi automatskog upravljanja - ZadaciID=50896908

    "GRAFIKA GALEB" NI

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    5/140

    1. Uvod 11.1. Digitalni sistem upravljanja 11.2. Istorijat razvoja transformacionih metoda 6

    2. Frekvencijske karakteristike signala 9Problemi 17

    3. Proces diskretizacije signala 19Problemi 44

    4. Proces rekonstrukcije signala 47Problemi 75

    5. Z- transformacija 775.1. Definicija i osobine Z- transformacije i

    inverzna Z- transformacija 795.2. Preslikavanje iz s- u z- ravan 89

    5.3. Modifikovana Z- transformacija 995.4. Primene Z- transformacije 104

    Problemi 110

    Problemi (reenja) 113

    Literatura 127

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    6/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    7/140

    Ova knjiga je rezultat autorovog viegodinjeg

    istraivanja u teoriji sistema digitalnog upravljanja. Zbirka

    zadataka, iako nije pisana iskljuivo kao pomoni

    udbenik za odreeni predmet, ini celinu sa udbenikomM. R. Stoji: Digitalni sistemi upravljanja, Nauka,

    Beograd, 1994(tree izmenjeno i dopunjeno izdanje).

    Nivo izlaganja, izbor zadataka i nain njihovog

    reavanja je rezultat iskustva autora steenog

    dugogodinjim radom u izvoenju auditornih i

    laboratorijskih vebi, kasnije i predavanja, kao i upripremi ispita iz predmeta Teorija automatskog

    upravljanja i Projektovanje sistema automatskog

    upravljanja. Zbirka je raena prema vaeim nastavnim

    programima iz digitalnog upravljanja na elektrotehnikim

    fakultetima, mada moe da poslui i u nastavi srodnih

    oblasti gde se koriste digitalna obrada signala, digitalni

    prenos podataka i slino.

    Autor je itaocu eleo da prui polazne osnove na

    kojima se dalje zasnivaju teorijske metode analize i sinteze

    digitalnih sistema upravljanja, pa i postupci njihove

    praktine realizacije. Materija je izloena na savremen

    nain. U elji da se pomogne razumevanju fizikog

    znaenja pojedinih fenomena, primeri i verifikacija

    rezultata analitikog razmatranja najee su raeni

    simulacijom na personalnom raunaru korienjem

    raspoloivih simulacionih jezika (MATLAB sa

    SIMULINKom, CC, VISSIM). Pretpostavljajui da italac

    poznaje ove programske pakete, oni nisu posebno

    objanjavani.

    Celokupna materija izloena je u pet poglavlja. Na kraju

    svakog poglavlja formulisan je odreen broj problema iz

    odgovarajue oblasti, a njihova reenja data su na

    kraju knjige.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    8/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    9/140

    Osnovnu strukturu digitalnog upravljakog sistema definisaemo na primeru

    konkretnog servomehanizma ija je principska ema prikazana na Sl. 1.1. Dakle, razmatra se

    servopogon ruke robota sa jednim stepenom slobode.

    Podsetimo, da se sistem upravljanja smatra digitalnim ako neke njegove promenljive

    podleu diskretizaciji i po nivou i po vremenu. Pod izvesnim uslovima mogu se impulsni

    sistemi, u kojima se kvantovanje promenljivih vri po vremenu, i digitalni sistemi tretirati istim

    metodama[1]. Uoimo, da su u upravljakom delu posmatranog sistema zastupljene

    komponente koje ga upravo ine digitalnim, poto se periodino, u trenucima diskretizacije,

    registruju trenutne vrednosti upravljane promenljive ( ), da bi se na osnovu njih i zahtevane

    reference (Kn ), formirao signal greke i dalje, po nekom unapred zadatom digitalnom

    zakonu upravljanja, generisali odbirci upravljake promenljive (u). Dakle, upravljaki deo

    digitalnog sistema datog na Sl. 1.1 ini enkoder, digitalno-analogni (D/A) konvertor i digitalnikontroler.

    Sl. 1.1 Principska ema sistema sa digitalnim upravljanjem

    Inae, uoimo da je u posmatranom sistemu problem upravljanja najjednostavniji

    problem balansiranja. Zadatak regulacije bi bio obezbediti uslove balansiranja, tj. odravati

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    10/140

    2

    ugao u odreenim granicama uprkos dejstvu poremeaja (promeni momenta optereenja navratilu motora) ili promeni parametara sistema. Sloeniji zadatak bi bio zadatak praenja;

    recimo ruka se kree po krugu u vertikalnoj ravni konstantnom brzinom.

    Generalno, reenje upravljakog problema zahteva:

    Izbor senzora i izvrnog organa;

    Razvoj modela objekta, senzora i izvrnog organa;

    Projektovanje regulatora na osnovu razvijenih modela i zadatog upravljakogkriterijuma;

    Sprovoenje i verifikacija projektovanja analitiki, putem simulacija i testova na

    sistemu.

    Izvrni mehanizmi robota elektrinog tipa mogu da poseduju jednosmerne, asinhrone

    i korane motore od kojih je, sa stanovita sinteze servomehanizama, u prednosti jednosmerni

    motor, koji je odabran i u primeru razmatranog servopogona. Za detekciju ugaone pozicije

    vratila servopogona koristi se inkrementalni enkoder brojakog tipa [1]. Umesto D/A

    konvertora na Sl. 1.1 moe da se upotrebi bilo koji pretvara digitalne rei u kontinualni

    naponski signal ili u irinsko modulisani signal.

    Robot je sloen sistem kod koga su izraeni uticaji izmedju kretanja pojedinih

    zglobova celog mehanizma, to implicira sloenu proceduru projektovanja sistema upravljanja.

    Poznato je, meutim, da je nezavisno upravljanje zglobovima najjednostavniji, a sa stanovita

    realizacije i najprihvatljiviji nain upravljanja. Dinamiki model robota obuhvata dinamikimodel mehanizma kao i modele aktuatora koji pokreu pojedine njegove zglobove.

    Standardni nain za dobijanje dinamikih jednaina mehanikih sistema zasnovan je

    na Euler-Lagrangeovim jednainama oblika

    d

    d

    L L

    t

    =

    Mq q

    (1.1)

    gde je: [ ]T1 nqq =q n- dimenzionalni vektor generalisanih koordinata sistema, L - je

    razlika izmedju kinetike i potencijalne energije sistema iT

    1 nM M = M je n-

    dimenzionalni vektor generalisanih sila (momenata) ijem je dejstvu podvrgnut sistem.

    Alternativni oblik dinamikih jednaina manipulatora je

    ( ) ( , ) ( )

    + + =D q q C q q q G q M (1.2)

    gde je D q( ) n n simetrina, pozitivno definitna matrica inercija manipulatora za svako

    q , elementi matrice ( , )C q q sadre proizvode tipa2

    i , , 1,2, , ,i i jq q q i j n= i j koji

    su oznaeni kao centrifugalni i Coriolisovi lanovi, respektivno, dok je n- dimenzionalnivektor G q( ) dat u funkciji gravitacionih momenata. Izrazi u ( ), ( , ) i ( )D q C q q G q sadre

    trigonometrijske funkcije, pa su otuda jednaine kretanja (1.2) sloene i nelinearne, ali se

    mogu prevesti u linearnu formu oblika

    ( , , ) =W q q q p M . (1.3)

    Matrica ( , , )W q q q je matrica poznatih funkcija dimenzija n r , a p je r- dimenzionalni

    vektor nepoznatih ali konstantnih parametara koji su izraeni u funkciji masa, momenata

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    11/140

    3

    inercija, duina, centara mase i koeficijenata trenja odgovarajuih segmenata, a koji se mogu

    menjati povremeno sa promenom optereenja.

    Na Sl. 1.2 prikazan je objekat upravljanja koji, saglasno nezavisnom upravljanju

    zglobovima, predstavlja jednosegmentni manipulator u vertikalnoj ravni sa ravnotenim

    stanjem [ ]T T

    0 = , iji je izvrni mehanizam jednosmerni motor upravljan strujom u

    kolu rotora.Uz pretpostavku da je segment ruke robota koji vezuje aku robota sa zglobom u

    obliku valjka zanemarljivo malog poprenog preseka mase mi duine l,a da je aka robotaoptereena teretom mase M, koji emo tretirati kao materijalnu taku, jednaina ovogmanipulatora u Lagrangeovoj formi dobija se u obliku

    2 2 2 sin3 2

    m m em r m m

    l N J N F gl M NK I

    + + + = + +

    (1.4)

    gde je g-gravitaciono ubrzanje, a K Iem r pokretaki moment motora.

    Odziv razmatranog objekta upravljanja sa nultim ulazom i poetnim stanjem

    [ ]T T

    0.01 0 = prikazan je na Sl. 1.3.

    S

    l. 1.2 ematski dijagram jednostavnogmanipulatora

    0 5 10 15 20

    0

    1

    2

    3

    t, s

    Sl. 1.3 Odziv objekta upravljanjaDobro poznata strukturna ema motora jednosmerne struje prikazana je na Sl. 1.4,

    Sl. 1.4. Blok dijagram servopogona

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    12/140

    4

    gde su I I Mr, i 0 redom primenjena referentna struja, struja rotora i moment optereenja

    sveden na osovinu motora.

    U blok dijagramu usvojena je sledea notacija:

    Tr - elektrina vremenska konstanta ( )T L Rr r r= ,

    Tm - mehanika vremenska konstanta T J Fm = ,Rr - otpornost kola rotora,

    F- koeficijent viskoznog trenja,Kme - koeficijent elektromotorne sile namotaja rotora

    (= koeficijent pokretakog momenta Kem ),

    - prenosni broj reduktora,

    Kc - naponsko pojaanje,

    Kr - pojaanje u strujnoj petlji,

    Kn - broj impulsa inkrementalnog enkodera po ugaonom pomeraju od

    jednog radijana.

    Ako se izrazi u funkciji referentne struje I

    i spoljanjeg momenta M0 , dobija se

    ( )( )

    ( )( )

    ( )

    ( )( )s

    B s

    A sI s

    C s

    A sM s= +1

    1

    1

    10 (1.5)

    A s T T s TK K

    RT

    K K

    FR FK Ks

    K K

    R

    K K

    FR FK Ksr m m

    c r

    rr

    em me

    r c r

    c r

    r

    em me

    r c r1

    3 21 1 1 1( )= + +

    + +

    +

    + +

    +

    +

    B sK K

    R FNem c

    r1( )= (1.6)

    C sNF

    K K

    RsTc r

    rr1

    11( ) .= + +

    Od interesa je sada detaljnije formulisati problem upravljanja. Naime, on se sastoji u

    nalaenju podeljivih parametara digitalnog regulatora sa ciljem da se postigne eljeni kvalitet

    ponaanja sistema u prelaznom procesu i odgovarajua tanost rada u stacionarnom stanju, to

    se u vremenskom domenu moe specificirati na sledei nain: preskok u %, vreme uspona i

    vreme smirenja nisu vei od , T Tu s

    i , respektivno. U brojnim aplikacijama, a po pravilu

    kod robotskih servomehanizama, zahteva se to bri odziv koji je blizak aperiodinom. Dakle,

    problem upravljanja moe se formulisati kao dobro poznati problem podeavanja polova.

    Aperiodian karakter prelaznog procesa sa vremenima uspona i smirenja redom ne

    veim od 0.25 s i 1 s, moe se ostvariti digitalnim PD kao i PID kontrolerom. Rezultati

    analitikog projektovanja mogu se verifikovati simulacijom razliitih reima rada sistema na

    digitalnom raunaru, kako je to ilustrovano slikama 1.5 i 1.6.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    13/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    14/140

    6

    Za razumevanje procedure projektovanja digitalnog sistema upravljanja neophodno je

    detaljnije poznavanje procesa diskretizacije kontinualnog signala, obrade diskretne informacije

    kao i prevoenja diskretnog signala u kontinualan signal. Drugim reima, teorijsku osnovu

    digitalnih sistema upravljanja, pa i digitalnih sistema uopte, ini teorija diskretnih signala.

    Diskretni signali se inae mogu analizirati u vremenskom podruju, ali se njihove osobine

    mogu sagledati polazei od njihovog kompleksnog lika koji se dobija primenom odgovarajue

    transformacije.U narednom odeljku je dat izvestan broj interesantnih informacija da bi se ukazalo na

    hronologiju pojave i primenu nekih transformacionih metoda, koje se koriste pri analizi i

    projektovanju digitalnih sistema upravljanja [3].

    Za vreme i nakon Drugog svetskog rata bila je jako aktuelna analiza radarskih

    sistema, koji su po prirodi impulsni sistemi, poto se informacija o izmerenoj poziciji dobija

    jednom po obrtu antene. Poput teorije transformacija, koja je bila od velike pomoi kod

    kontinualnih sistema, prirodno je bilo pokuati sa razvojem sline teorije i za impulsne sisteme.

    Najpre je Hurewicz (1947) uveo transformaciju niza { }f kT( ) defininiui

    { } )()(0

    kTfzkTfk

    k

    =

    =Z .

    Uoimo da je ova transformacija slina funkcijama generatrisama korienim u brojnim

    granama primenjene matematike. Zatim su Ragazzini i Zadeh (1952) ovu transformaciju

    definisali kao z-transformaciju. Teorija transformacija razvijala se dalje nezavisno u bivem

    Sovjetskom Savezu, Sjedinjenim Amerikim Dravama i u Velikoj Britaniji. Tsypkin (1950)

    nazvao je transformaciju diskretna Laplaceova transformacija pomou koje je razvio teoriju

    impulsnih sistema. Nezavisno je u Engleskoj ovaj transformacioni metod razvijao Barker

    (1952). U Americi je transformaciju razvijao Jury u okviru svoje doktorske disertacije na

    Columbia Univerzitetu. Takodje je razvio i metode analize i sinteze diskretnih sistema.

    Osnovno ogranienje teorije zasnovane na z-transformaciji je injenica da se ne posedujeinformacija o tome ta se deava sa sistemom izmedju trenutaka diskretizacije. To ne bi smelo

    da bude akademsko pitanje iz razloga mogunosti pojave skrivenih oscilacija koje su jednake

    nuli u trenucima diskretizacije, a mogu da budu znaajne izmedju njih.

    Drugi prilaz teoriji impulsnih sistema zagovarao je Linvill (1951). Kao sledbenik

    ideje MacColla (1945), interpretirao je odabiranje kao amplitudnu modulaciju i efikasno

    opisao ponaanje izmedju trenutaka odabiranja koristei prilaz preko opisne funkcije. Drugi

    prilaz reavanju ovog problema je tzv. z- transformacija sa kanjenjem, poznata kao

    modifikovana z-transformacija koju su razvijali Tsypkin (1950), Barker (1952) i Jury (1956).

    Razvoju celokupne teorije diskretnih sistema dosta je doprinela grupa na Columbia

    Universitetu u Americi koju je vodio Ragazzini kod koga su radili svoje doktorske disertacije

    Jury, Kalman, Bertram, Zadeh, Franklin, Friedland, Kranc, Freeman, Sarachik i Sklansky.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    15/140

    7

    Krajem pedesetih se ovladalo analizom impulsnih sistema pomou z-transformacije

    pa se simultano pojavio i odreeni broj knjiga: 1958. godine - Ragazzini i Franklin [12],

    Jury [16],Tsypkin [15] i 1959. godine Tou [14]. Ova teorija, po uzoru na teoriju linearnih,

    stacionarnih, kontinualnih sistema dala je dobre metode za analizu i sintezu impulsnih sistema.

    Do sada je iz oblasti impulsnih i digitalnih sistema publikovan veliki broj knjiga udbenikog

    ili monografskog karaktera, a one vanije, po miljenju autora, nalaze se u spisku citirane

    literature.U nastavku je data bibliografija sa originalnim radovima po redosledu navoenja u

    prethodnom tekstu.

    W. Hurewicz, "Filters and Servo Systems with Pulsed Data", in Theory ofServomechanisms, ed. H.M. James, N.B. Nichols, R.S. Philips, McGraw-Hill, New York,1947.

    J.R. Ragazzini, L.A. Zadeh, The Analysis of Sampled-Data Systems, AIEE Trans. ,71,Pt.II, Nov. 1952, pp. 225-34.

    Y.Z. Tsypkin, Theory of Discontinuous Control, Avtomat i Telemekh., 3(1949), 5(1949),5(1950).

    R.H. Barker, The Pulse Transfer Function and Its Applications to Sampling Servosystems,Proc. IEE, 99, Pt. IV, 1952, pp. 302-17.

    W.K.Linvill, Sampled-data Control Systems Studied Through Comparison of Samplingwith Amplitude Modulation, AIEE Trans., 70, Pt. II, 1951, 1778-88. L.A. MacColl, Fundamental Theory of Servomechanisms, D.Van Nostrand, New York,

    1945

    E.I. Jury, Synthesis and Critical Study of Sampled-Data Control Systems, AIEE Trans.,75, Pt. II, 1956, 141-51.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    16/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    17/140

    Poznato je, da se u inenjerskoj praksi za opis signala potpuno ravnopravno koristi

    kako vremensko tako i frekvencijsko podruje.

    Neka je f t( ) analogni signal koji je definisan za svako t u intervalu t t t1 2 (ne

    iskljuuje se t ). Ako sa F i 1F oznaimo operatore Fourierove i inverzne

    Fourierove transformacije, tada je:

    { }( ) ( ) ( )e dj tF j f t f t t

    = = F (2.1)

    i

    { }11

    ( ) ( ) ( )e d2

    j tf t F j F j

    = = F . (2.2)

    Kompleksna funkcija realne promenljive , F j F j j F j( ) ( ) e arg ( ) = , predstavlja

    kontinualni frekvencijski spektar signala f t( ) , koji ine amplitudni ( )F j( ) i fazni

    ( )arg ( )F j spektri signala.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    18/140

    10

    Ako sa f t F j( ) ( ) oznaimo Fourierov transformacioni par, dovoljni uslovi za

    njegovu egzistenciju su tzv. Dirichletovi uslovi [5]:

    funkcija f t( ) treba da pripada klasi funkcija tipa poetnih uslova, tj. integral

    I f t t=

    ( ) d treba da ima konanu vrednost;

    funkcija f t( ) mora da ima konaan broj maksimuma i minimuma kao i konaan

    broj prekida u konanom vremenskom intervalu.

    Ove uslove zadovoljavaju tzv. energetski signali, za koje vai f t t2( ) d

    < , za

    razliku od signala snage koji nemaju konanu energiju, ali imaju konanu snagu tj,. postoji

    lim ( ) dT

    T

    T

    Tf t t

    1 22

    2. U narednoj tablici su date neke vane osobine Fourierove transformacije.

    Tablica 2.1 Neke osobine Fourierove transformacije

    1. Linearnost a f t a f t a F a F 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )+ +

    2. Simetrinost F t f( ) ( ) 2

    3. Skaliranjef at

    aF

    a( ) ( ) 1

    4. Kanjenje f t t Fj t( ) e ( ) 0 0

    5. Modulacija e ( ) ( )j tf t F 0 0

    6. Konvolucija originala f t f t F F1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )

    7. Konvolucija kompleksnih

    likovaf t f t F F1 2 1 2

    1

    2( ) ( ) ( ) ( )

    8. Izvod originala d

    d( ) ( ) ( )

    n

    ntf t j Fn

    9. Integral originalaf F

    jF

    t

    ( ) d ( ) ( ) ( ) +0

    10. Izvod kompleksnog lika jtf t

    F( )

    d ( )

    d

    11. Integral kompleksnog lika f t

    jtF

    ( )( )d

    12. Invertovanje f t F( ) ( )

    U narednom tekstu su dati primeri nalaenja frekvencijskih karakteristika nekih

    jednostavnih energetskih signala.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    19/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    20/140

    12

    Na Sl. 2.1 su prikazane frekvencijske karakteristike funkcija iz drugog i tre eg

    primera.

    -2 0 2 4

    0

    1

    2

    -3

    2

    f t)

    -4 -2 0 2 4

    0

    2

    4

    |F(j)|

    0

    0

    1

    2

    f t)

    t

    -1 1

    -20 -10 0 10 20

    0.0

    0.5

    1.0

    |F(j)|

    Sl. 2.1 Frekvencijske karakteristike pravougaonog i trougaonog impulsa

    Na osnovu dobijenog transformacionog para ( )t 1 kao i nekih osobinaFourierove transformacije, lako se sukcesivno dobijaju slede i transformacioni parovi:

    Tablica 2.2 Neki Fourierovi transformacioni parovi

    osobina f t F j( ) ( )

    ka{njenja ( ) et t j t 0 0

    simetri nosti 1 2 ( )

    simetri nosti e ( )j t 0 2 0

    linearnosti [ ]cos ( ) ( ) 0 0 0t + + linearnosti [ ]sin ( ) ( ) 0 0 0t j + linearnosti

    a akk

    nj t

    kk

    n

    kk

    = =

    1 1

    2e ( )

    periodi nosti

    ( ) ( ) ,t kT k

    T

    k k

    ==

    =

    0 0 0

    00

    2

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    21/140

    13

    Oigledno je da osobine Fourierove transformacije znatno olakavaju postupak

    odreivanja frekvencijskih karakteristika sloenijih signala. Tako na primer, polazei od

    transformacionog para dobijenog reavanjem treeg problema

    f t A

    tt

    t

    F j A( ),

    ( ) sinc=

    >

    =

    1

    0 2

    2

    ,

    i saglasno osobini simetrinosti, direktno se dobija transformacioni par

    F t t

    f( ) sinc ( ),

    =

    =

    >

    2

    22

    2 1

    0

    . (2.3)

    Poto jedinina odskoana funkcija nije apsolutno integrabilna, celishodno je izraziti

    je na nain

    h( ) sgn( ) ,t t= +1

    2

    1

    2

    gde je 1 0 2sgn( ) 0 0 .

    1 0

    tt t

    jt

    Ovaj Fourierov transformacioni par lako se dobija na osnovu osobine diferenciranja po

    vremenu

    { }d

    sgn( ) 2 ( ) sgn( ) .d

    t t j t t

    = F

    Otuda je

    { } { }1 1 1

    h( ) sgn( ) ( ) .2 2

    t tj

    = + = +

    F F F

    Primeri funkcija koje ne pripadaju klasi funkcija tipa poetnih uslova

    Primer 5.

    JEDININA ODSKONA FUNKCIJA

    h( ) ( )tj

    + 1

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    22/140

    14

    0 1 2

    0.0

    0.5

    1.0

    e

    - t

    t

    =3

    =2

    =1

    a.

    -10 -5 0 5 10

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    =3

    =2

    =1

    |F(j )|

    b.

    -10 -5 0 5 10

    -100

    -50

    0

    50

    100

    =3=2

    =1

    argF j

    )

    c.

    0 2 4 6 8 10

    0.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    h t)

    t

    d.

    -4 -2 0 2 4

    10

    -3

    10

    0

    10

    5

    10

    10

    10

    15

    |F(j )|

    e.

    -4 -2 0 2 4

    100

    150

    200

    250

    300

    argF j )

    f.

    0 2 4 6 8 10

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    sin

    0

    t h t)

    t

    =

    0

    g.

    -4 -2 0 2 4

    10

    -3

    10

    10

    10

    15

    10

    5

    |F(j )|

    10

    0

    h.

    -4 -2 0 2 4

    150

    200

    250

    300

    350

    argF j

    )

    i.

    0 2 4 6 8 10

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    cos

    0

    t h t)

    t

    =

    0

    j.

    -4 -2 0 2 4

    10

    -3

    10

    0

    10

    5

    10

    10

    10

    15

    |F(j )|

    k.

    -4 -2 0 2 4

    100

    150

    200

    250

    300

    argF(j)

    l.

    Sl. 2.2 Amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike nekih tipinih signala

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    23/140

    15

    Saglasno osobini konvolucije u frekvencijskom podruju lako se dobija:

    { } { } { }0 0 0 01 1 1

    cos h( ) cos h( ) ( ) ( ) ( )2 2

    t t t t j

    = = + + +

    F F F

    pa je

    { }0 0 0

    0 00 0

    0 0 2 20

    1 1cos h( ) ( ) ( ) ( ) d

    2 ( )

    1 1 1( ) ( )

    2 2

    ( ) ( ) .2

    t t u u u uj u

    j

    j

    = + + +

    = + + + + +

    = + + +

    F

    Do ovog transformacionog para mogue je doi i na sledei nain:

    { } { } { }0 0j j0

    0 00 0

    0 00 0

    00 0 2 2

    0

    1 1sin h( ) h( ) e h( ) e

    2 2

    1 1 1 1( ) ( )2 ( ) 2 ( )

    1 1 1( ) ( )

    2 2

    ( ) ( ) .2

    t tt t t t

    j j

    j j j j

    j

    j

    =

    = + + + +

    = + +

    = + +

    F F F

    Na Sl. 2.2 prikazane su amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike signala koji ne

    pripadaju klasi funkcija tipa poetnih uslova.

    Primer 6.

    [ ]f t t t j

    ( ) cos h( ) ( ) ( )= + + +

    0 0 0

    02 22

    Primer 7.

    [ ]f t t t j( ) sin h( ) ( ) ( )= + +

    0 0 0

    0

    02 22

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    24/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    25/140

    17

    Kako je i t t nT n( ) ( )= = periodina funkcija, razvojem u Fourierov red

    dobija se:

    { }

    0 0

    0 0

    0 0

    2 2

    0 0 02 2

    0 00 0

    1 1 1( )e d ( )e d ,

    2 2( ) ( ) , .

    T Tjnw t jnw t

    n T T

    n

    F i t t t t T T T

    i t nT T

    =

    = = =

    = =

    F

    Uoimo, da je na ovaj nain dobijen transformacioni par iz Tablice 2.2.

    P2-1. Odrediti frekvencijske spektre sledeih signala:

    f t

    A

    -3 -2 - 0 2 3

    t a.

    0 2 3

    ...

    t

    1

    4

    ...

    f t

    sint

    b.

    P2-2. Nai funkciju g t( ) na osnovu zadatog frekvencijskog spektra G j( ) .

    G j

    -

    0

    0

    A

    2aa

    a.

    4a 4a

    0

    0

    -

    G j

    A

    b.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    26/140

    18

    -

    0

    000

    +2a-2a

    G j

    A

    c.

    Napomena. Pri reavanju ovog zadatka

    koristiti osobine Fourierove transforma-cije.

    P2-3. Nai frekvencijski spektar signala na izlazu sistema koji vri modulaciju

    ulaznog signala na nain kako je to prikazano na slici. .

    SISTEM

    x t y t =x

    2

    t

    a. x t t( ) cos= 0 b. X( ) ( )

    = +

    1 2 4

    0 inace(

    P2-4. Skicirati frekvencijski spektar signala y t f t m t( ) ( ) ( )= , ako je

    f t t t m t t( ) cos cos ( ) cos= + =2 10 4 20 200 i .

    P2-5. Ako je f t F( ) ( ) i F(0) 0 , pokazati da je

    fj

    F Ft

    ( ) d ( ) ( ) ( ) .

    = +1

    0

    Napomena. Neka je g t f g t Gt

    ( ) ( ) d= i ( ) ( ) . Uslov egzistencije G( ) je

    apsolutna integrabilnost funkcije originala, a neto stroi uslov je lim ( )t

    g t

    = 0 , tj.

    f t t( ) d =

    0 , to je, s obzirom da je F f t t ( ) ( ) d=

    =0 , ekvivalentno sa uslovom

    F( )0 0= . Ako je F( )0 0 , tada g t( ) nije vie energetska funkcija i pokazuje se da njena

    transformacija sadri impulsnu funkciju.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    27/140

    0 T 2T 3T

    Diskretizacija signala po vremenu se vri odabiraem koji se moe tretirati kao jednavrsta impulsnog modulatora. Kao to je prikazano na Sl. 3.1a, na ulaz impulsnog modulatora se

    dovodi kontinualni signal f t( ) , a na izlazu se dobija povorka impulsa - odbiraka f t( ) .Odbirci su jednaki vrednostima ulaznog signala u trenucima odabiranja 0, , 2 ,T T - gde je T

    perioda odabiranja, tj.:

    f tf nT t nT

    t nTf t f kT t kT

    k

    =

    = =

    = ( )( ),

    , , ( ) ( ) ( ) .0 0odnosno

    IMPULSNI

    MODULATOR

    f*

    (t)

    t

    -T 0 T t

    i(t)

    ... ...

    t

    f(t)

    f*(t)=f(t)i(t)

    a.

    T

    f(t) f *(t)

    b.Sl. 3.1 Odabirakao impulsni modulator i njegova simbolika oznaka

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    28/140

    20

    3-1.ZADATAK

    U zadatku se razmatra problem usvajanja periode sa kojom se vri diskretizacijaposmatranog signala. Poznato je da postoji ogranienje u pogledu minimalne brzinediskretizacije pri kojoj je mogue rekonstruisati signal na osnovu njegovih vrednosti utrenucima odabiranja [1].

    Svojevrsne formulacije teoreme odabiranja mogu se nai u radovima autoraC.E. Shannona (1949) i Kotelnikova (1933) [1], [3]. Precizna formulacija teoreme odabiranjaglasi:

    Na Sl. 3.2 prikazan je signal x t( ) koji se diskretizuje sa periodom T, kao i njegov

    amplitudni frekvencijski spektar za iju graninu uestanost moemo praktino da usvojimovrednost 0 200= rad s . Otuda se dobija T = 0 00157. s .

    U posmatranom sluaju se razmatra izbor periode diskretizacije sa stanovitataanosti opisivanja posmatrane funkcije x t( ) .

    Posmatra se kauzalni signal x t t( ) e= 4 koji se diskretizuje sa periodomdiskretizacije T.

    a) Izabrati periodu diskretizacije tako da se pri opisivanju date

    funkcije x t( ) vrednostima u ekvidistantnim ta

    kama t kT= , 0,1,2,k=

    nepravi greka vea od 5% od poetne vrednosti signala.

    b) Izabrati periodu diskretizacije tako da se, pri linearnoj interpolacijidate funkcije x t( ) , u takama 2, 2 1, 0,1, 2,t k T k n n= = + = ne pravi greka

    vea od 5% od poetne vrednosti signala.

    Ako kontinualni signal ne sadri harmonike van podruja uestanosti

    ( ) 0 0, , on se moe kompletno okarakterisati svojim vrednostima u

    ekvidistantnim takama ako je uestanost odabiranja

    sT

    =2

    vea od 2 0 .

    Kontinualni signal se tada moe izraunati primenom interpolacione formule

    ( )[ ]( )f t f kT t kT

    t kTs

    sk( ) ( ) sin .=

    =

    22

    (3.1)

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    29/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    30/140

    22

    to se svodi na e e . + 4 22 0 9 0T T , odnosno 0 6838 131622. e . T . Kako je periodadiskretizacije Tpo prirodi pozitivna, dobija se T 019. s , to odgovara zahtevu za znatnomanjom brzinom odabiranja pri linearnoj interpolaciji funkcije x t( ) .

    3-2.ZADATAK

    Poto je [ ]sin( ) sin( ) sin ( ) t t t l = + = +2 , to je l= 2 osnovni

    period periodine funkcije sin( )t . U razmatranom sluaju je = 3 , pa je periodl= 2 s3 . Perioda diskretizacije T mora da zadovolji uslov teoreme odabiranja, odnosno

    T f f =1 2 150 0, . Hz - je granina uestanost spektra signala koji se diskretizuje. Otuda se

    dobija T 1 3 s . Lako se moe ustanoviti da je i nakon diskretizacije ouvana periodinostsignala ako je 2 3 2 3 s , 1, 2, .kT T k k = = = Medjutim, kako je Tmax= 1 3, to je

    kmin= 2 . Dakle, periodu diskretizacije treba birati prema relaciji

    2s , 2,3,

    3T k

    k= = . (3.2)

    Na Sl. 3.4 prikazan je signal i dve periodine povorke odbiraka dobijene njegovomdiskretizacijom u skladu sa prethodnom relacijom.

    2.0

    1.5

    1.0

    0.5

    0.0

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    T7

    T3

    f

    f

    *

    (t); T=2/21 s

    f

    *

    (t); T=2/9 s

    f(t)=sin(3

    t)

    f(t),f*(t)

    t, s

    Sinusoidalni signal f t t( ) sin( )= 3 diskretizuje se sa periodom Tpriemu se u procesu diskretizacije ne gubi informacija koju kontinualni signalf t( ) nosi. Odrediti periodu diskretizacije T tako da i diskretizovani signal

    bude periodian.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    31/140

    0 T 2T 3T 23

    Sl. 3.4 Kontinualni signal i povorke odbiraka

    3-3.ZADATAK

    Poznato je, da se Laplaceova transformacija diskretizovanog signala f t( ) u oznaci

    F s( ) moe odrediti na tri razliita naina [1]:Ukoliko se znaju vrednosti signala u trenucima odabiranja, kompleksni lik povorkeodbiraka se dobija u obliku

    { } 0( ) ( ) ( )e kTs

    k

    F s f t f kT

    =

    = =

    L . (3.3)

    Poznavanje Laplaceove transformacije signala koji se diskretizuje omoguavasraunavanje kompleksnog lika povorke odbiraka po formuli

    F sF p

    F pP p

    Q pT s pi

    n

    =

    =

    =( ) Res( )

    e( )

    ( )

    ( )( )11 u polovima funkcije . (3.4)

    Ostatak funkcije F p( ) u polu pi odreuje se na nain

    Res ( ) Res( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )p p p p i

    i

    ii i

    F pP p

    p p Q p

    P p

    Q p= ==

    =

    1 - ukoliko je pol prost,

    odnosno, u sluaju viestrukog pola reda k,

    ( )Res ( ) Res( )

    ( ) ( ) ( )! lim

    d

    d ( ) ( )p p p p i k p p

    k

    k i

    k

    i i iF p

    P p

    p p Q p k p p p F p= =

    = = 2

    1

    1

    1

    1 .

    Kompleksni lik povorke odbiraka se moe dobiti svojevrsnom superpozicijomkompleksnih likova kontinualnog signala f t( ) , koji se diskretizuje, na nain

    F sT

    F s jn fT

    sk

    s +

    =

    = + + =( ) ( ) ( )

    1 1

    20

    2

    , . (3.5)

    a)

    U sluaju diskretizacije signala f t A t t( ) cos( ) h( )= za povorku odbiraka

    dobijamo

    Kruna uestanost odabiraa kojim se diskretizuje kauzalni signalf t t t( ) cos( ) h( )= 4 10 je 50 rad s .

    a) Odrediti kompleksni lik F s

    ( ) dobijene povorke odbiraka f t

    ( ) .b) U s-ravni nacrtati konfiguraciju polova i nula funkcije F s( ) .

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    32/140

    24

    f t A kT t kTk

    =

    = ( ) cos( ) ( ) ,

    0

    a izraz (3.3) moe se prepisati u obliku

    [ ]F s AAj kT j kT kTs kT s j kT s j

    kk

    +

    =

    =

    =

    += ( )

    e ee e e( ) ( )

    2 2 00

    odnosno u zatvorenoj formi pod pretpostavkom da je e ( )

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    33/140

    0 T 2T 3T 25

    F sA

    s j

    s jk

    s j

    s j

    s jk

    s j

    As

    ss

    k

    s

    ss

    k

    =

    =

    =

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    +( ) .2

    1

    2

    21

    21

    222

    12

    21

    + +

    Vai sledea jednakost S x xx k xk

    x

    x( ) e

    e=

    + + = +

    =

    2 1 1

    12 2122

    [20]. Stoga se

    prethodni izraz moe prepisati u obliku

    F sA

    Ss j

    Ss j A A

    s s

    T s j

    T s j

    T s j

    T s j

    +

    +

    = +

    +

    + =

    +

    + +

    +

    +

    ( )e

    e

    e

    e

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )4 2 4

    1

    11

    1

    11

    odakle se posle sredjivanja dobija konaan izraz (3.7).

    b)Kontinualan signal f t A( ) ( , )= =4 10 rad s i povorka odbiraka koja odgovara

    brzini odabiranja od s= 50rad s prikazani su na Sl. 3.3a.

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

    -4

    -2

    0

    2

    4

    f(t),f

    *

    (t)

    t

    j

    s

    j10

    -j10

    b

    -15 -10 -5 0 5

    0

    j50

    j100

    j150

    -j50

    -j100

    -j150

    j

    Komplementarnipojasevi

    s-ravan

    Komplementarnipojasevi

    Nyquistovo p odru~jeu~estanosti

    c.

    Sl. 3.3 a. Kontinualni signal i povorka odbiraka,b. Spektar kritinih uestanosti kompleksnog lika F s( )

    c. Spektar kritinih uestanosti kompleksnog lika F s( )

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    34/140

    26

    Polovi kompleksnog lika F s( ) , ( ) (50 10), 0, 1, 2,n sp j n j n n= = = su koreni

    jednaine2 (2 )e 2e cos 1 0 odnosno e e , n=0, 1, 2,Ts Ts Ts j n T T + = = .

    Nule kompleksnog lika F s( ) ,1

    ln cos 9.345 50 , 0, 1, 2,n sz T jn j n nT

    = = = su

    koreni jednaine e cosTs T= .

    3-4.ZADATAK

    a) Uoimo da e sraunavanje kompleksnih likova povorki odbiraka dva signala poformuli (3.3) dati isti rezultat ukoliko su vrednosti tih signala u trenucima odabiranja iste. NaSl. 3.6 pokazano je da je upravo to sluaj sa signalima e t e t 1 2( ) ( )i pri periodi

    diskretizacije T= 05. s .

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    e

    1

    (t),e

    1

    *

    (t)

    t

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    e

    2

    (t),e

    *

    2

    (t)

    t

    Sl. 3.6 Kontinualni signali e t e t 1 2( ) ( )i i odgovarajue povorke odbiraka

    b) Saglasno izrazu (3.7) kompleksni likovi povorki odbiraka dobijenihdiskretizacijom signala e tn( ) , su

    E sT

    Tn

    Tsn

    Tsn

    Ts

    =

    +( )

    e cos

    e cos e,

    1

    1 2 2

    odnosno, kako je T= 05. s

    ( )E s nn

    Ts

    Ts

    =

    =( )

    e

    e, , .

    1

    11 22

    Ako je perioda diskretizacije T= 05. s , nai kompleksne likove povorkiodbiraka signala e t t e t t 1 24 8( ) cos( ) ( ) cos( )= = i . Objasniti zato su dobijeni

    kompleksni likovi jednaki i to:a) posmatrajui funkcije u vremenskom domenu;b) na osnovu rasporeda polova i nula kompleksnih likova u s-domenu.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    35/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    36/140

    28

    a) Diskretizacijom signala x t( ) po vremenu dobija se povorka odbiraka

    x t x kT t kT Tk

    =

    = ( ) ( ) ( )

    0, perioda diskretizacije,

    tj.

    x t t t t t t

    t t t t

    = + + + + + + + +

    ( ) ( . ) ( ) ( . ) ( . ) ( )

    ( . ) . ( . ) ( ) . ( . )

    2 05 4 1 2 15 2 5 2 3

    35 05 4 5 5 0 5 55

    ,

    koja je prikazana na Sl. 3.8b.

    b) Kompleksni lik povorke odbiraka signala x t( ) dobija se na osnovu (3.3) kao:

    X s x kTk

    kTs s s s s s s

    s s s

    =

    = = + + + + +

    + + +

    ( ) ( ) e e e e e e e

    . e e . e

    . . . .

    . .0

    0 5 15 2 5 3 3 5

    4 5 5 5 5

    2 4 2 2

    05 05

    ,

    odnosno

    ( )( )X s s s s s = + + +( ) e e . e e. .0 5 2 4 0 52

    2 05 1 .

    3-6.ZADATAK

    a) Na osnovu (3.3) dobija se

    F s akT kTs

    k

    kT s a

    kT s a

    T s a

    =

    +

    =

    + += = =

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    37/140

    0 T 2T 3T 29

    pa je

    F sT s a

    T s a T s a

    +

    + += +

    +

    =

    ( )

    e

    e e.

    ( )

    ( ) ( )

    1

    2

    1

    11

    1

    1

    b) F s kTsk

    sT

    sT

    =

    = =

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    38/140

    30

    Prema relaciji (3.5) frekvencijski spektar F j( ) pored osnovne komponenteF j( ) sadri vie harmonike ili komplementarne komponente F j jn Ts s( ), + = 2 .

    a)

    ( )2 2 22

    1 1 1 1 1 1 1( ) 2 2 2

    1 1 2 2 1

    22

    s s s s

    s s

    F s T s s j s j s j s j

    s s

    T s s s

    = + + + + + + + +

    = + + + + + +

    Dakle, saglasno Sl. 2.2e i prethodnoj diskusiji, harmonik na uestanosti = 0multipliciran je u beskonano komplementarnih harmonika na uestanostima

    12; 24; 36;sn = , kako je to prikazano na Sl. 3.9b.

    b) Frekvencijski spektar povorke odbiraka prikazane na Sl. 3.9c sadri saglasnoSl. 2.2h osnovni harmonik na uestanosti = 5 , kao i beskonano komplementarnihharmonika na uestanostima 7; 17; 19; 29; 31; 41;sn = , kako je to

    dato na Sl. 3.9d.

    0.0 2.5 5.0

    0

    1

    h(t)

    t a.

    *|F(j)|

    -40 -20 0 20 40

    10

    0

    10

    5

    10

    10

    10

    15

    b.

    0 1 2 3 4 5

    -2

    0

    2

    2sin5t

    t c.

    |F*(j)|

    -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

    10

    0

    10

    5

    10

    10

    10

    15

    d.

    Sl. 3.9 Signali, povorke odbiraka i frekvencijski spektri

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    39/140

    0 T 2T 3T 31

    3-9.ZADATAK

    Kako je f fs0 2 1= =Hz i Hz , u izlaznom diskretizovanom signalu prisutne suuestanosti 0 , 0,1, 2,sf kf k = , tj. ( )0,1,2, ,9 Hz 10 Hzf = s odreuje se prema relaciji [3]

    ( )

    = +

    1 2 2

    ss

    smod ,

    a u posmatranom sluaju to je = 0 .

    Napomena. Budui da je frekvencijski spektar povorke odbiraka, dobijenediskretizacijom u skladu sa teoremom odabiranja, svojevrsna multiplikacijafrekvencijskog spektra kontinualnog signala, proces odabiranja prati pojava tzv. aliasefekta. Naime, uestanost predstavlja alias uestanosti + n s , odnosno, kako je

    uobiajeno razmatrati samo pozitivne uestanosti, , , 2 , 2 ,s s s s + +

    gde je 0 2

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    40/140

    32

    3-10.ZADATAK

    Lako se pokazuje, da dva prostoperiodina signala razliitih uestanosti 1 i

    2 1= k ks ( - ceo broj) imaju identine odbirke, pa se na osnovu istih ne mogu

    meusobno razlikovati. To je upravo sluaj kod signala e t e t 1 2( ) i ( ) (videti Sl. 3.11a) pri

    emu je k= 1 , pa je e t1( ) alias signala e t2

    ( ) .

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    t

    e

    2

    (t)

    e

    1

    (t)

    a.

    Na Sl. 3.11b i Sl. 3.11c date su amplitudnefrekvencijske karakteristike signala

    e t e t 1 2 ( ) ( )i , respektivno. Primetimo da su one

    identine, to je rezultat alias efekta. Naime, u

    amplitudnim frekvencijskim spektrima signalae t e t 1 2

    ( ) ( )i prisutne su uestanosti ( ) > 0 :

    1 1 1 1 1, , , 2 , 2 ,s s s s + + + + ,

    odnosno

    2 2 2 2 2, , 2 , , 3 ,s s s s + + + + Uoimo da su ovi nizovi uestanosti identini.

    -40 -20 0 20 40

    10

    0

    10

    15

    |E1*(j)|

    b.-40 -20 0 20 40

    10

    -3

    10

    0

    10

    15

    *|E2(j)|

    c.

    Sl. 3.11 Alias efekti u vremenskom i frekvencijskom podruju

    Posledica alias efekta je teorema odabiranja ( ) s 2 0 koja je samo u sluajusignala e t1( ) ispotovana.

    Signali e t t e t t 1 25 15( ) cos ( ) cos= = i diskretizuju se odabiraem ija je

    kruna uestanost odabiranja s= 20 rad / s . Navesti uestanosti prisutne u

    frekvencijskim spektrima oba diskretizovana signala. Komentarisati dobijenerezultate.

    Fenomen aliasa moe se pojasniti u vremenskom domenu.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    41/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    42/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    43/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    44/140

    36

    Amplitudni frekvencijski spektar diskretizovanog signala je rezultat superpozicijefrekvencijskih karakteristika povorki odbiraka dobijenih diskretizacijom osnovnog signala isignala poremeaja koje su prikazane na Sl. 3.15.

    Sl. 3.15 Amplitudne frekvencijske karakteristike

    3-13.ZADATAK

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    |F(jf)|

    0.0

    f(f

    1

    )

    1.5Af

    1

    1

    .0Af

    0.5Af

    1

    a.

    -3 -2 -1 0 1 2 3

    10

    0

    10

    5

    10

    10

    10

    15

    |sin(5f1)|

    f(f1

    ) b.

    Analogni signal sastoji se iz signala pravougaonog talasnog oblikaamplitude 1 i periode od 30 s kome je superponiran sinusoidalni poremeajuestanosti 0 9. Hz , kao to je prikazano na slici . Vri se njegova diskretizacijaodabiraem uestanosti fs= 1 Hz . Komentarisati efekat prefiltracije filtrom

    drugog reda ija je realizacija data na slici .

    0 15 30 45 60

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    f(t)

    t, s

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    45/140

    0 T 2T 3T 37

    Kako ne postoji fiziki signal sa strogo odreenom graninom uestanoufrekvencijskog spektra, harmonici viih uestanosti, mada obino znatno potisnuti, zbog aliasefekta mogu se javiti kao niskofrekventni signali. Problem je utoliko ozbiljniji, ukoliko suvisokofrekventne komponente signala periodine. Reenje problema je analogna filtracija

    signala pre diskretizacije, kako bi se uklonile sve komponente signala sa frekvencijama iznadpolovine frekvencije odabiranja. Ovakav analogni prefiltar naziva se antialiasing filtar.Napomenimo, da svi analogni senzori poseduju izvesne filtarske sposobnosti.

    Najjednostavniji je analogni RC filtar frekvencijske funkcije prenosa

    G jj

    RCf

    f( ) , . =

    + =

    1

    1

    Ako zahtevamo da prefiltar unosi slabljenje signala najmanje sa faktorom 10 na poloviniuestanosti odabiranja, vremenska konstanta RC filtra mora da iznosi bar

    s f f T2

    100 3182

    = . .

    Uoimo, meutim, da primenjeni filtar unosi slabljenje i korisnog signala. Ako je

    s= 10 0 , gde je 0 granina u

    estanost frekvencijskog spektra signala, tada je slabljenje

    G j

    f

    ( )

    0

    02 2

    1

    1

    1

    23=

    += =

    dB

    i ono je svakako manje za signale nie uestanosti.U primeni su kompleksniji filtri vieg reda sa boljim filtarskim karakteristikama koji

    se dobijaju kaskadnim povezivanjem sekcija prvog i drugog reda. Koristi se Besselov,Butterworthov kao i tzv. ITAE (Integral Time Apsolute Error) filtar [3].

    U razmatranom primeru je Nyquistova uestanost 0.5 Hz, pa poremeaj nauestanosti 0.9 Hz ima osnovni alias od 0.1 Hz, to znai da je znaajno zastupljen udiskretizovanom signalu, kako je to prikazano na Sl. 3.16c.

    Butterworthov filtar drugog reda, koji je inae uobiajeni antialiasing filtar, efikasnouklanja sve komponente signala na frekvencijama iznad Nyquistove, kako je to prikazano naSl. 3.16b i d. Uoavamo da je amplituda poremeaja znaajno redukovana.

    Funkcija prenosa G s E s E si( ) ( ) ( )= 0 filtra prikazanog na Sl. 3.17 sraunava se u

    obliku 2, Glava XIII - Analogna raunska tehnika:

    G sE

    E

    Z

    Z Z Z

    Z Z

    Z Z

    Z

    Z Z

    Z

    Z Z

    ZZ

    fi

    ( ) ,= = + + + +

    0 4

    1 3 4

    2 5

    3 4

    5

    1 3

    5

    1 4

    51

    a za zadate vrednosti impedansi postaje

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    46/140

    38

    ( )

    ( )G s

    RC

    s s RC RCf( ) .=

    + +

    1

    2 1

    2

    2 2

    0 5 10 15 20 25 30

    1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    f(t)

    t, s a.

    0 5 10 15 20 25 30

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    f

    f

    (t)

    t, s b.

    0 5 10 15 20 25 30

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    f

    *

    (t)

    t, s c.

    0 5 10 15 20 25 30

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    f

    f

    *

    (t)

    t, s d.

    Sl. 3.16 Rezultat primene prefiltraa. Signal sa sinusoidalnim poremeajem;b.Filtrirani signal;c.Diskretizovani signal poda.d. Diskretizovani signal podb.

    Sl. 3.17 Aktivni filtar drugog reda

    Z Z Z R

    ZCs

    ZCs

    1 3 4

    2 52

    33

    2

    = = =

    = =

    ,

    ,

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    47/140

    0 T 2T 3T 39

    Prefiltar je, dakle, Buterworthov filtar drugog reda funkcije prenosa

    G ss s RC

    f

    f f

    f( ) , , .= + + = =

    2

    2 22

    1 1

    2

    0.1 1 10

    0.01

    0.1

    1

    |G(j)|

    b

    s

    b

    f

    0.1 1 10

    -200

    -150

    -100

    -50

    0

    argG(j)

    Sl. 3.18 Dijagrami slabljenja i faze Butterworthovog filtra drugog reda

    Ako je 0 granina u

    estanost spektra signala koji se diskretizuje, filtar na tojuestanosti unosi fazno kanjenje od

    =

    arctg .2 20

    202

    00

    f

    f ff ako je

    Slabljenje filtra na Nyquistovoj uestanosti je, meutim:

    nG j s

    s

    f

    s

    f

    = = +

    1

    21

    2 2

    4 2

    ( ).

    Eliminacijom f iz prethodne dve jednaine dobija se

    sn

    = 04

    . (3.9)

    Prema tome, za ( ) = 01 57. .rad o i n= 10 , na osnovu (3.9) zakljuuje se da krunauestanost odabiranja treba da je 90 puta vea od granine uestanosti spektra signala koji sediskretizje. Napomenimo, da bi za manje brzine odabiranja, koje bi bile i realnije, trebalo uzetiu razmatranje i dinamiku samog prefiltra.

    U posmatranom sluaju je s sf= =2 2 rad s , pa se prelomna uestanost filtra

    bira kao f s= = 2 10 0 9935 1. rad s .

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    48/140

    40

    3-14.ZADATAK

    Nedostatak analize signala u diskretnom domenu je upravo injenica da se osignalu sudi samo na osnovu njegovih vrednosti u trenucima odabiranja. ak i u sluajusignala ogranienog frekvencijskog spektra od T rad s , to garantuje korektnu

    diskretizaciju, signal moe da poseduje znaajne oscilacije ija je vrednost u trenucimaodabiranja jednaka nuli. To je poznati fenomen tzv.skrivenih (hidden) oscilacija [3], [12].

    U razmatranom primeru je r t t( ) h( )= . Odziv sistema moe se nai i primenomprogramskog paketa CC[17]. kako je to prikazano u daljem tekstu.

    Na Sl. 3.19 je prikazano kako se na osnovu povorke odbiraka c t( ) oscilacije uodzivu c t( ) i ne nasluuju. Naravno, sve ovo je rezultat alias efekta primenjene diskretizacijesignala. Na Sl. 3.20 dati su logaritamski dijagrami slabljenja i faze za funkciju prenosaG j( ) . Uoimo da perioda diskretizacije T nije odabrana u skladu sa teoremom odabiranja.

    Od interesa je ukazati na prisustvo oscilatorne komponente u kontinualnom sistemuijoj uestanosti upravo odgovara usvojena perioda odabiranja.

    Isto tako, saglasno izrazu (3.4) dobija se kompleksni lik povorke odbiraka izlaznogsignala c t( ) u obliku

    ( )( )

    ( )( ) ( ) ( )C s

    Ts Ts Ts

    Ts Ts Ts

    =

    +

    ( ). e e . e .

    e e . e . ..

    0877 0 949 0 961

    1 0135 0 961 1346 102 6 2

    Oigledno je prisutno skraivanje polova i nula u funkciji C s( ) , to ukazuje na mogunostpojavljivanja skrivenih oscilacija, a isto tako upuuje na nain da se, proverom ouvanjaopservabilnosti sistema pri diskretizaciji, ista mogunost eliminie.

    Razmatra se proces opisan funkcijom prenosa

    ( )G s

    C s

    R s s s( )

    ( )

    ( ) ..= =

    + +

    + +

    1

    1 0 022 2

    Izlaz procesa diskretizuje se sa periodom T. Odrediti normalni jedini

    niodskoni odziv posmatranog procesa. Na osnovu vrednosti odziva u trenucimadiskretizacije , 0,1, 2,kT k= , za T= 2 s , komentarisati uoeni fenomen.

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    49/140

    0 T 2T 3T 41

    0 4 8 12 16 20

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    c(t),c

    *

    (t)

    t, s Sl. 3.19Normalni jedinini odskoni odziv procesa

    i povorka odbiraka dobijena diskretizacijom sa T= 2 s

    0.1 1 10

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    |G(j)|, dB

    (log)

    argG(j

    )

    0.1 1 10

    -200

    -150

    -100

    -50

    0

    (log)

    Sl. 3.20 Logaritamski dijagrami slabljenja i faze

    funkcije prenosa G j( )

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    50/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    51/140

    0 T 2T 3T 43

    a da bismo proverili da li u funkciji C s( ) pri nekoj vrednosti periode odabiranja T dolazido skraivanja polova i nula istim faktorom, podelimo imenilac drugog sabirka u prethodnomizrazu brojiocem. Na osnovu rezultata deljenja vidi se da je skraivanje mogue ukoliko je

    [ ]{ }e cos( . ) . sin( . ) ;. + =0 2 21 0 995 0 9045 0 995 0T T T

    ako usvojimo 0.995 2 , 1, 2, ,T m m= = prethodna jednakost jeste ispunjena.

    Dakle, oscilacije u izlaznom signalu ne mogu se sagledati u trenucima odabiranja akoje 6.3148 , 1, 2, .T m m= = Slika 3.21 potvruje ovaj rezultat.

    0 10 20 30 40 50 60

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    c(t)

    t, s

    Sl. 3.21Simulacioni blok dijagram, normalni

    jedinini odskoni odziv procesa

    i povorka odbiraka0 10 20 30 40 50 60

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    c

    *

    (t)

    t, s

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    52/140

    44

    P3-1. Nai kompleksni lik E s( ) signala datih sa:

    e t t Ta t T( ) e h( )=

    2

    2

    ( )( )E s

    s s( )=

    + +

    1

    1 2

    ( )( )E s

    s

    s s( )=

    + +1 2

    ( )( )

    E ss s

    Ts

    ( )e

    =+ +

    1 2

    ( )

    ( )( )E s

    s s

    T s

    ( )e

    =+ +

    2

    1 2

    ( ) ( )E s

    s

    s s

    ( )=+ +

    2

    21 2

    E s

    s

    s s( )=

    +

    + +

    1

    2 262

    ( )( )E s

    s

    s s( )=

    +

    +

    2

    1 1

    ( )( )( )E s

    s

    s s

    Ts

    ( )

    e

    =

    +

    +

    2

    1 1

    2

    P3-2. Nai kompleksni lik E s( ) ako je

    ( )( )( )

    E s

    s

    s sT( )

    . e

    ., .

    . s

    = +

    + =

    1 05 1

    05 105

    0 52

    2s .

    P3-3. Uporediti spektre kritinih uestanosti (polova i nula) kompleksnih likova

    E s E s( ) ( )i u s - ravni za svaki sluaj iz problema 3.1. Koji se zakljuak izvodi?

    P3-4. Kompleksni lik vremenske funkcije e t( ) je

    ( )

    ( )E s

    s

    s s s

    ( )= +

    + +

    10 2

    2 22.

    Na osnovu teoreme odabiranja odrediti maksimalnu vrednost periode diskretizacije koja e

    garantovati da je informacija sadrana u signalu e t( ) verno sauvana u dobijenoj povorci

    odbiraka e t( ) .

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    53/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    54/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    55/140

    4-1.ZADATAK

    Neka se kontinualni signal f t F j( ) ( ) koji ne sadri harmonike van podrujauestanosti ( ) 0 0, diskretizuje odabiraem krune uestanosti s 2 0 tako da se dobija

    povorka odbiraka f t F j ( ) ( ) . Saglasno relaciji (3.5) je

    F jTF j s

    s( )

    ( )

    =

    >

    2

    02

    .

    Polazei od definicionog izraza za inverznu Fourierovu transformaciju (2.2) i

    zamenom F j( ) prema prethodnoj relaciji kao i F j( ) prema (3.3), dobija se:

    Pokazati da se kontinualni signal f t( ) moe rekonstruisati na osnovu

    povorke njegovih vrednosti ( ), 0, 1, 2,f kT k= tzv. Shannonovom

    rekonstrukcijom, tj. po formuli (3.1).

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    56/140

    48

    f t F jT

    F j f kTj t j t

    s

    j t jk T

    ks

    s

    s

    s

    ( ) ( ) e d ( ) e d e ( ) e d= = =

    =

    1

    2 2

    1

    2

    2

    2

    2

    pa je

    f t f kT f kT

    j t kTs k

    j t kT

    s k

    j t kT

    s

    s

    s

    s

    ( ) ( ) e d ( )e

    ( )

    ( )( )

    = =

    =

    =

    1 1

    2

    2

    2

    2

    .

    Otuda je

    [ ]f t f kT

    t kT

    t kT T k

    s

    s

    ( ) ( )sin ( )

    ( )=

    =

    =

    2

    2

    2 , s . (4.1)

    Dobijenom formulom definie se procedura koja je inverzna procesu odabiranja, akoja se moe smatrati linearnim operatorom pri emu funkcija [ ]sinc ( )s t kT 2 predstavljainterpolacionu funkciju. Uoimo da se ne radi o kauzalnom operatoru, poto se vrednost f u

    trenutku t sraunava na osnovu kako prethodnih { }f kT k t T( ): , tako i narednih odbiraka

    { }f kT k t T( ): > , gde je k- ceo broj. Ovo iskljuuje primenu Shannonove rekonstrukcije u

    upravljakim aplikacijama, dok je sa stanovita komunikacija ona ipak prihvatljiva.Grafika interpretacija relacije (3.1) data je na narednim slikama.Radi jednostavnosti, posmatra se kauzalni signal f t( ) koji se diskretizuje sa

    periodom T= 2.5 s . Signali f t( ) i deo povorke njegovih vrednosti prikazani su na Sl. 4.1.

    Prema relaciji (4.1) svaki odbirak je pomnoen odgovarajuom interpolacionomsinc funkcijom, centriranom u odnosu na odbirak, kako je to prikazano na Sl. 4.2 zak= 0 1 2 3 4, , , , . Suma ovih krivih daje funkciju f tr( ) kojom se rekonstruie originalni signal

    f t( ) . Slaganje izmedju ova dva signala zavisi od izabrane periode diskretizacije. Na Sl. 4.3

    prikazani su rezultati Shannonove rekonstrukcije za razliite periode diskretizacije. Uoava se,da je pri 25 puta broj diskretizaciji (Sl. 4.3d) od prvobitno usvojene (Sl. 4.3a), kvalitetrekonstrukcije zadovoljavajui.

    0 2 4 6 8 10

    .2

    1.4

    1.6

    1.8

    2.0

    t)

    t

    a.

    0 5 10

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2.0

    f

    *

    t)

    t

    b.

    Sl. 4.1 Signali f t f t( ) ( )i

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    57/140

    49

    0 5 10

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    2.5

    k=0

    k=1

    k=2

    k=3

    k=4

    f(kT)sinc[0.4(t-kT)]

    t Sl. 4.2 Neke interpolacione funkcije

    0 5 10

    .2

    1.4

    1.6

    1.8

    2.0

    2.2 T=2.5 s

    f t)

    f

    r

    t)

    f t)

    t a.

    0 5 10

    .2

    1.4

    1.6

    1.8

    2.0

    2.2

    2.4

    T=0.5 s

    f t)

    f

    r

    t)

    f t)

    t b.

    0 5 10

    .2

    1.4

    1.6

    1.8

    2.0

    2.2

    2.4

    T=0.2 s

    f t)

    f

    r

    t)

    f t)

    t c.

    0 5 10

    .2

    1.4

    1.6

    1.8

    2.0

    T=0.1 s

    f t)

    f

    r

    t)

    f t)

    t d.

    Sl. 4.3 Neki rezultati Shannonove rekonstrukcije signala f t( )

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    58/140

    50

    Dakle, ureaj za rekonstrukciju signala (Sl. 4.4) ija je praktina realizacijamogua, treba na osnovu povorke brojnih vrednosti 1 1(0), ( ), , ( ), ( ), ( ),k k k k f f t f t f t f t +

    da rekonstruie originalni signal. Najee korieni metod pri rekonstrukciji signala jepolinomna ekstrapolacija. Otuda je procena signala f t( ) u intervalu t t tk k < +1 mogua

    polazei od razvoja funkcije u Taylorov red u posmatranom intervalu(2)

    (1) 2( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ,2!

    kk k k k k

    f tf t f t f t t t t t= + + + (4.2)

    gde je sa ,2,1),()( =itf ki oznaen i-ti izvod od f t( ) u t tk= ; dakle,

    f t f t t t tk k k( ) ( ), < +1 .

    Kako je signal f t( ) nepoznat, njegovi izvodi mogu se aproksimirati redom na nain:

    { }

    ( ){ }

    (1)1

    1

    (2)1 22

    1

    1( ) ( ) ( )

    1( ) ( ) 2 ( ) ( )

    k k kk k

    k k k k

    k k

    f t f t f tt t

    f t f t f t f tt t

    +

    pa je za aproksimaciju izvoda f tn k( ) ( ) potrebno 1+n odbiraka posmatranog signala.

    Sl. 4.4 Rekonstrukcija signala f t( )

    Najjednostavnija kauzalna rekonstrukcija analognog signala f t( ) na osnovu

    povorke odbiraka definisana je prvim lanom Taylorovog reda (4.2)

    1( ) ( ), , 0,1,2, .h k k k f t f t t t t k+= < = (4.3)

    Dakle, rekonstruisani analigni signal je u delovima konstantna funkcija, neprekidna sa desnestrane i jednaka diskretizovanom signalu u trenucima odabiranja. Kolo koje na svom izlazugenerie stepenasti signal konstantne vrednosti u svakom od vremenskih intervala naziva sekolom zadrke nultog reda.

    Kauzalna polinomna ekstrapolacija prvog reda moe se izraziti pomou prva dvalana Taylorovog reda (4.2)

    1 11

    ( ) ( ) ( ) ( ) , , 0,1,2, . (4.4)kh k k k k k k k

    t tf t f t f t f t t t t k

    t t +

    = + < =

    Kolo zadrke prvog redaje ureaj za rekonstrukciju signala koji na svom izlazu daje ovakav udelovima linearan signal sa nagibom koji je u intervalu t t tk k < +1 odreen vrednostima

    odbiraka f t f tk k( ) ( )1 i

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    59/140

    51

    Uoimo da je izloeni metod rekonstrukcije primenljiv i u sluaju neperiodinogkvantovanja signala po vremenu, to nije bio sluaj sa Shannonovom rekonstrukcijom.

    Nadalje emo razmatrati proces rekonstrukcije signala u sluajevima periodinogodabiranja t kT k k= =, , , ,...,0 1 2 T - perioda odabiranja .

    4-2.ZADATAK

    a) Kolo odabiranja i zadrke nultog reda na svom izlazu daje signal koji imakonstantne vrednosti izmedju dva sukcesivna trenutka odabiranja. Dakle,

    [ ] [ ][ ] .)3h()2h()2(

    )2h()h()()h()h()0()(0++

    +=

    TtTtTf

    TtTtTfTttftfh

    Laplaceova transformacija signala f th0( ) je

    2 2 3

    0

    2

    0

    1 e e e e e ( ) (0) ( ) (2 )

    1 e (0) ( )e (2 )e

    1 e ( ) e

    Ts Ts Ts Ts Ts

    h

    TsTs Ts

    kTs

    k

    F s f f T f Ts s s s s s

    f f T f Ts

    f kT

    =

    = + + +

    = + + +

    =

    1 e( ) .

    Ts Ts

    F ss s

    =

    (4.5)

    Kako drugi lan u proizvodu (4.5) ne zavisi od ulaznog signala, on moe predstavljati kolozadrke nultog reda; dakle, funkcija prenosa kola zadrke nultog reda je po definiciji

    Na slici prikazano je kolo odabiranja i zadrke nultog reda. Perioda

    odabiranja je Ts .a) Pokazati da se razmatrano kolo moe opisati blok dijagramom datim

    na slici .b) Nai impulsni odziv kola zadrke nultog reda.

    c) Odrediti frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda.

    d) Kako se kolo odabiranja i zadrke nultog reda moe fiziki

    realizovati?

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    60/140

    52

    G sF s

    F s sh

    hTs

    00 1( )( )

    ( )

    e= =

    , (4.6)

    pa se kolo odabiranja i zadrke moe predstaviti blok dijagramom prikazanim na slici.

    b)Odziv kola zadrke nultog reda na jedininu impulsnu pobudu u trenutku t= 0 jeg t t t Th0( ) h( ) h( );= (4.7)

    Laplaceova tarnsformacija normalnog impulsnog odziva (poetni uslovi jednaki su nuli)g th0( ) je, po definiciji, funkcija prenosa kola zadrke nultog reda

    { }0 01 e

    ( ) ( ) .Ts

    h hG s g t s

    = =L

    Koristei programske pakete VisSimi MATLABsa SIMULINKomsnimljeni sunormalni impulsni odzivi kola zadrke nultog reda ( T= 1 s ) i prikazani na narednim slikama.Odzivi na Sl. 4.4 i 4.5 verifikuju poslednju relaciju.

    Sl. 4.4 Snimanje normalnog impulsnog odziva kola zadrke nultog redaprimenom programskog paketaVisSim

    c) Frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda dobijamo na nain

    ( )G j G s

    jTh h s j

    j T

    s

    s

    s

    j

    s

    s0 0

    1 2 2( ) ( )

    e sine

    = =

    = =

    =

    , .

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    61/140

    53

    1

    PulseGenerator

    +-

    Zero-OrderHold1

    0 0.5 1 1.5 2-0.5

    0

    0.5

    1

    t, s

    g

    h0(t)

    Sl. 4.5 Snimanje normalnog impulsnog odziva kola zadrke nultog reda

    primenom programskog paketaMATLABsa SIMULINKom

    Frekvencijske karakteristike (amplitudna i fazna) kola zadrke nultog reda date su sa

    ( )G jh

    s

    s

    s0

    2( )

    sin

    = ,

    (4.8)

    arg ( ) ;sin( )sin( )G jh s

    s

    s0

    0 00

    = + =

    < .

    Na Sl. 4.6 prikazane su frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda (T= 0 2. s ).

    0 20 40 60 80 100

    .00

    0.05

    0.10

    0.15

    0.20

    s

    |Gh0(j)|

    argG

    h0

    j

    )

    0 20 40 60 80 100

    200

    -150

    -100

    -50

    0

    s

    Sl. 4.6 Frekvencijske karakteristike kola zadrke nultog reda

    d) Praktina realizacija kola odabiranjai zadrke nultog reda prikazana je naSl. 4.7. Kada je prekida zatvoren,kondenzator se puni do ulaznog napona.Napon na kondenzatoru nakon otvaranjaprekidaa ne bi trebalo da se promeni donjegovog narednog zatvaranja.

    Sl. 4.7 Realizacija kola zadrke nultog reda

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    62/140

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    63/140

    55

    Laboratorijski model odabiranja irekonstrukcije signala realizovan je pomoustandardnih linearnih i digitalnih integrisanihkola [22]. Upotrebljeno je komercijalnointegrisano kolo odabiranja i zadrke AD582[23]. U konfiguraciji primenjenog kola

    odabiranja i zadrke kondenzator zadrkeCH je element povratne sprege.

    Izlaz iz tajmera 555 je logiki signalkoji se kao upravljaki signal vodi na logiki ulaz kola odabiranja i zadrke. Nivo ovog signaladefinie reim rada primenjenog kola - odabiranje ili zadrka. Trajanje oba reima rada kolaAD582 mogue je podeavati kontinualnom promenom otpornosti (R1 ) i diskretnom

    promenom kapacitivnosti ( C1 ili C2 ) parametara odgovarajue RC mree na ulazu tajmera

    555, saglasno relacijama:

    T R R C

    T R C1 1 2

    2 2

    11

    0 69

    = +=

    . ( )

    . .

    Promenom kapacitivnosti kondenzatora zadrke ( C CH1 H2ili ) mogue je uticati natanost rada primenjenog kola; u sluaju manjih vrednosti kapacitivnosti mogu se oekivativea izoblienja u izlaznom signalu, tj. uoavaju se eksponencijalna slabljenja impulsa u tokuperiode diskretizacije.

    Uoimo da impulsno-modulisani signal f t( ) nije dostupan merenju u fiziki

    realizovanom modelu procesa odabiranja i zadrke (slika ), ali se javlja pri matematikomtretiranju problema odabiranja i zadrke (videti zadatak 4-2. slika ).

    Snimljene frekvencijske karakteristike prikazane na slici odgovarajufrekvencijskim karakteristikama kola zadrke nultog reda u sluaju periode diskretizacijeT= 00002. s . Uoavaju se poremeaji u vidu uskih impulsa na uestanostima

    2, 1, 2,skf k= . Pojava ovih impulsa zasluuje posebnu panju.

    Poznato je, da se proces odabiranja moe tretirati kao oblik impulsnemodulacije gde je nosei signal povorka jedininih impulsa

    i t t kT k

    ( ) ( ) ,= =

    a f t( ) je moduliui signal [1]. Periodini signal i t( ) moe se razviti u Fourierov red na

    nain

    i t A AT

    i t tT T

    kjk t

    kk

    jk t

    T

    T

    ss s( ) e , ( ) e d , .= = = =

    =

    1 1 2

    2

    2

    Dakle,

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    64/140

    56

    ( ) ( )

    i tT T

    T Tk t

    jk t

    k

    jk t

    k

    jk t

    k

    jk t jk t

    ks

    k

    s s s

    s s

    ( ) e e e

    e e cos .

    = = + +

    = + +

    = +

    =

    =

    =

    =

    =

    1 11

    11

    11 2

    1

    1

    1 1

    Ako na ulaz kola odabiranja i zadrke dovedemo prostoperiodian signal krune uestanosti

    i faze ( ) [ ]f t t j t( ) sin e ,( )= + = + I m (4.9)

    povorka odbiraka na izlazu idealnog odabiraa data je sa

    ( )

    [ ]

    f tT

    t k t t

    Tt k t t k t t

    sk

    s sk

    =

    =

    = + + +

    = + + + +

    ( ) sin( ) cos sin( )

    sin( ) sin( ) sin( ) .

    12

    11

    1

    (4.10)

    Dakle, signal f t( ) sadri osnovnu komponentu na uestanosti ulaznog signala .

    Ona je pomnoena sa 1 T to predstavlja stacionarno pojaanje odabiraa. Signal sadri

    takoe i komplementarne komponente koje odgovaraju uestanostima k s (uporediti sa

    alias efektom razmatranim u prethodnoj glavi). Izlazni signal kola odabiranja i zadrke dobijase linearnim filtriranjem signala f t( ) [1].

    Za k s s2 2, - je Nyquistova uestanost, osnovna komponenta izlaza je*

    ( )0 0

    1( ) ( )e ;j th hf t Im G j

    T

    + =

    (4.11)

    za = k s 2 dolazi do superpozicije harmonika na uestanosti i k s ;

    tako se za k= 1 dobija komponenta

    { }

    ( ){ }

    0 ( ) ( )0 0 0

    j2 ( ) ( )2

    0 0

    1( ) ( )e ( )e

    1 1

    1 e ( )e 2e sin ( )e .

    j t j th h h

    j j t j t

    h h

    f t Im G j G jT

    Im G j Im G jT T

    +

    + +

    =

    = =

    (4.12)Dakle, prenos osnovne uestanosti okarakterisan je sa

    000 ( )

    20

    1( ) 2

    ( ) 1,2, .2

    ( ) e sin 2

    h s

    h j

    h s

    G j kT

    G j k

    G j kT

    = = =

    (4.13)

    *Kada je linearan, stacionaran sistem sa koncentrisanim parametrima pobuen prostoperiodinimsignalom, njegov izlaz je takoe prostoperiodian signal uestanosti kao i ulazni signal, ali razliite

    amplitude i faze [2].

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    65/140

    57

    Za k s 2 prenos osnovne komponente signala odreen je funkcijom prenosa

    kola; uoimo, meutim, da on na Nyquistovoj uestanosti s 2 kritino zavisi od - tj. od

    same sinhronizacije ulaznog prostoperiodinog signala u odnosu na trenutke diskretizacije.Svakako da, zbog prisutne diskretizacije u kolu, postoje komponente izlaznog signala i nadrugim uestanostima. U praktinim realizacijama posebno je vano efikasno izvritiodgovarajue filtriranje viih harmonika; tavie, ak i u sluaju savrenog filtriranja, prisutnisu pomenuti problemi na Nyquistovoj uestanosti.

    Pojava impulsa na frekvencijskim karakteristikama na slici je u saglasnosti sarazmatranim fenomenom prenosa signala koji je iskazan relacijama (4.9) i (4.13), potoodgovarajua sinhronizacija izmeu poetka procesa odabiranja u modelu i snimanjafrekvencijskih karakteristika nije ostvarena.

    Uoava se, takoe, da je snimljena karakteristika faze prekidna funkcija za vrednosti

    argumenta , 1, 2,sf kf k= = i da lei unutar opsega ( 0 150, o).

    Od interesa je bilo snimiti i amplitudni spektar izlaznog signala kada je ulazni signalrealizovanog modela prostoperiodina funkcija vremena. Na slici dati su amplitudni spektriulaznog i izlaznog signala. Poto se eksperimentisalo sa nedovoljno savrenim izvoromprostoperiodinog signala, u amplitudnom spektru ulaznog signala su, pored osnovnogharmonika na f = 1 kHz , prisutni i oslabljeni vii harmonici. Amplitudni spektar izlaznog

    signala sadri pored osnovnog harmonika na uestanosti f = 1 kHz i vie harmonike na

    uestanostima , 1, 2,skf f k = pri emu je f kHzs= 5 , to jasno ilustruje multiplikaciju

    spektra ulaznog signala du frekvencijske ose kao posledicu diskretizacije izvedene u skladusa Shannonovom teoremom odabiranja.

    4-4.ZADATAK

    a)Na Sl. 4.8 prikazani su signali na izlazu kola odabiranja i zadrke nultog reda kojisu dobijeni diskretizacijom signala

    ( )2 2( ) e sa periodom s .

    sj t

    s

    e t Re T

    + = =

    Njihova amplituda oigledno zavisi od faznog ugla = 0 2 4, i rad .

    Pretpostavimo da se signal

    e t ts( ) cos= +

    2

    dovodi na idealni odabirai kolo zadrke nultog reda.

    a) Nacrtati vremenski promenljivi signal koji se dobija na izlazu iz kola

    zadrke nultog reda i pokazati da je njegova amplituda funkcija faznog ugla .b) Razvojem signala u Fourierov red pokazati da je komponenta signala

    na izlazu kola zadrke na uestanosti = s 2 funkcija faznog ugla .

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    66/140

    58

    0 2 4

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    =0

    =2

    =4

    e(t)=cos[t+]

    t, s 0 2 4

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    =0

    e

    h0

    t), T=1 s

    e t)

    t, s

    0 2 4

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    =2 rad

    e

    h0

    t), T=1 s

    e t)

    t, s

    0 2 4

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    =4 rad

    e

    h0

    t), T=1 s

    e t)

    t, s

    Sl. 4.8 Kontinualni signali na ulazu i izlazu kola odabiranja i zadrke nultog reda

    b) Slino kao i u prethodnom zadatku, za povorku odbiraka na izlazu idealnogodabiraa dobijamo:

    ( )e tT

    t k t t

    Tt k t t k t t

    ss

    k

    s

    ss

    ss

    s

    k

    =

    =

    = + + +

    = + + + + +

    ( ) cos( ) cos cos( )

    cos( ) cos( ) cos( ) .

    1

    22

    2

    12 2 2

    1

    1

    Uoimo da na uestanosti s 2 ( k= 1 ) dolazi do superpozicije harmonika tako da se dobija

    komponenta signala

    ( ) ( )0 2 20 0 0

    ( )2

    0

    1( ) ( ) e ( )e

    12e cos ( )e ,

    s s

    s

    j t j t

    h h h

    j tj

    h

    e t Re G j G jT

    Re G jT

    +

    +

    = +

    =

    ija je amplituda funkcija faznog ugla .

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    67/140

    59

    4-5.ZADATAK

    a)Odziv razmatranog kola zadrke na jedininu impulsnu pobudu u trenutku t= 0 ima oblik prikazan na Sl. 4.9, gde je

    g t t t Th( ) h( ) h( ).= 2

    0 100 2000

    1

    t

    jedini~ni impuls

    0 T/2

    0 100 2000

    1

    t

    g

    h

    t)

    0 T/2

    Sl. 4.9 Jedinina impulsna pobuda i normalni

    impulsni odziv kola zadrke

    Dakle, funkcija prenosa kola zadrke je

    { }21 e

    ( ) ( ) .

    Ts

    h hG s g t s

    = =L

    b) Frekvencijske karakteristike kola zadrke dobijamo na nain

    ( )G j G s

    j

    T T

    Th h s j

    j Tj T( ) ( )

    e sine

    = =

    =

    =

    1

    2

    4

    4

    24 ;

    frekvencijske karakteristike kola zadrke (amplitudna i fazna) date su izrazima

    Na slici je prikazan izlaz iz kola zadrke koje slui za rekonstrukciju

    diskretizovanog signala. U toku prve polovine periode odabiranja izlaz zadrava

    vrednost ulaznog signala u trenutku odabiranja, dok se u toku druge polovine

    periode odabiranja vraa na nulu.

    a) Odrediti funkciju prenosa ovog kola zadrke.b) Nacrtati frekvencijske karakteristike razmatranog kola.c) Uporediti frekvencijske karakteristike kola sa karakteristikama kola

    zadrke nultog reda i izvesti zakljuak pomou kojeg kola je rekonstrukcija

    podataka uspenija.

    0 200 400 600 800

    -1.0

    -0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    analogni signal

    3T 7T/2 ...

    T/2 T 3T/2 2T 5T/2

    izlaz iz kola

    zadr{ke

  • 8/10/2019 Zbirka Resenih Zadataka Iz Dsu_i Deo_milica Naumovic

    68/140

    60

    ( )G jh

    s

    s

    ss( )

    sin

    =

    2

    2 , =

    2

    T

    arg ( ) ;sin( )sin( )

    G jhs

    s

    s

    = + =