Milica B. Naumović

ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ

DIGITALNIH SISTEMA UPRAVLJANJA

I deo: Diskretni signali

Elektronski fakultet

Niš, 1997.

dr Milica B. Naumović ZBIRKA REŠENIH ZADATAKA IZ DIGITALNIH SISTEMA UPRAVLJANJA I deo: Diskretni signali Izdavač

Recenzent Prof. dr Milić Stojić Urednik

Korice

CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd

Tiraž: 300 primeraka Štampa

Odlukom Nastavno-naučnog veća Elektronskog fakulteta u Nišu, br. 1/0-05-074/96-003 od 18. juna 1996. godine, rukopis je odobren za štampu kao pomoćni udžbenik.

Elektronski fakultet Niš, Beogradska 14

Prof. dr Stojan Ristić

M. B. Naumović

ISBN 86-80135-12-7

681.51(075.8)(076) NAUMOVIĆ, Milica B. Zbirka rešenih zadataka iz digitalnih sistema upravljanja. Deo 1, Diskretni signali / Milica B. Naumović . - Niš: Elektronski fakultet, 1997 (Niš : Grafika Galeb). - 128 str.: ilustr.; 24 cm

Tiraž 300. - Bibliografija: str. 127-128. ISBN 86-80135-12-7

62-52(075.8)(076) a) Digitalna tehnika - Zadaci b) Sistemi automatskog upravljanja - Zadaci ID=50896908

"GRAFIKA GALEB" NIŠ

1. Uvod | 1 1.1. Digitalni sistem upravljanja | 1 1.2. Istorijat razvoja transformacionih metoda | 6 2. Frekvencijske karakteristike signala | 9 Problemi | 17 3. Proces diskretizacije signala | 19 Problemi | 44 4. Proces rekonstrukcije signala | 47 Problemi | 75 5. Z - transformacija | 77 5.1. Definicija i osobine Z - transformacije i inverzna Z - transformacija | 79 5.2. Preslikavanje iz s- u z- ravan | 89 5.3. Modifikovana Z - transformacija | 99 5.4. Primene Z - transformacije | 104 Problemi | 110 Problemi (rešenja) | 113 Literatura | 127

Ova knjiga je rezultat autorovog višegodišnjeg istraživanja u teoriji sistema digitalnog upravljanja. Zbirka zadataka, iako nije pisana isključivo kao pomoćni udžbenik za određeni predmet, čini celinu sa udžbenikom M. R. Stojić: Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd, 1994 (treće izmenjeno i dopunjeno izdanje). Nivo izlaganja, izbor zadataka i način njihovog rešavanja je rezultat iskustva autora stečenog dugogodišnjim radom u izvođenju auditornih i laboratorijskih vežbi, kasnije i predavanja, kao i u pripremi ispita iz predmeta Teorija automatskog upravljanja i Projektovanje sistema automatskog upravljanja. Zbirka je rađena prema važećim nastavnim programima iz digitalnog upravljanja na elektrotehničkim fakultetima, mada može da posluži i u nastavi srodnih oblasti gde se koriste digitalna obrada signala, digitalni prenos podataka i slično. Autor je čitaocu želeo da pruži polazne osnove na kojima se dalje zasnivaju teorijske metode analize i sinteze digitalnih sistema upravljanja, pa i postupci njihove praktične realizacije. Materija je izložena na savremen način. U želji da se pomogne razumevanju fizičkog značenja pojedinih fenomena, primeri i verifikacija rezultata analitičkog razmatranja najčešće su rađeni simulacijom na personalnom računaru korišćenjem raspoloživih simulacionih jezika (MATLAB sa SIMULINKom, CC, VISSIM). Pretpostavljajući da čitalac poznaje ove programske pakete, oni nisu posebno objašnjavani. Celokupna materija izložena je u pet poglavlja. Na kraju svakog poglavlja formulisan je određen broj problema iz odgovarajuće oblasti, a njihova rešenja data su na kraju knjige.

Prvo poglavlje ima uvodni karakter. U njemu se osnovna struktura digitalnog upravljačkog sistema definiše na primeru konkretnog servomehanizma, a zatim se daje rešenje formulisanog upravljačkog problema. Ukazuje se na neophodnost poznavanja procesa diskretizacije i rekonstrukcije signala kao i obrade diskretne informacije kojima su i posvećena ostala poglavlja. U drugoj glavi je posebna pažnja posvećena frekvencijskim karakteristikama kontinualnih signala, čija se diskretizacija razmatra u trećoj glavi. U njoj se detaljno, kroz primere, analiziraju proces odabiranja, kao i svi fenomeni koji ga prate (izbor periode diskretizacije, alias efekat, pojava skrivenih oscilacija i slično). Četvrta glava odnosi se na proces rekonstrukcije signala, gde su detaljno obrađena sva važnija kola za rekonstrukciju signala ukazujući pri tome i na mogućnosti njihove praktične realizacije. Budući da se pri analizi i projektovanju digitalnih sistema upravljanja, pored vremenskog, koristi i algebarsko područje, poslednja, peta glava posvećena je z- transformaciji. Polazeći od definicije i osobina z- , inverzne z- i modifikovane z- transformacije, analizirano je preslikavanje tipičnih kontura iz s- u z- ravan, a zatim su dati neki interesantni primeri primene z- transformacije. Spisak korišćene literature i rešenja postavljenih problema nalaze se na kraju rukopisa. Autor želi da izrazi posebnu zahvalnost dr Miliću Stojiću, redovnom profesoru Elektrotehničkog fakulteta Univerziteta u Beogradu, čija su nadahnuta predavanja, predivne knjige i inspirativne diskusije o različitim problemima koje su vođene tokom niza godina, pomogle autoru da ovlada teorijom digitalnih sistema upravljanja i da se osmeli da pripremi ovaj rukopis. Autor je svestan, da su, i pored savesnog rada, neizbežne u prvom izdanju greške štamparske i druge prirode, pa će otuda primiti sa zahvalnošću svaku sugestiju i eventualne primedbe od strane čitalaca.

U Nišu, maja 1996. Autor

Osnovnu strukturu digitalnog upravljačkog sistema definisaćemo na primeru konkretnog servomehanizma čija je principska šema prikazana na Sl. 1.1. Dakle, razmatra se servopogon ruke robota sa jednim stepenom slobode. Podsetimo, da se sistem upravljanja smatra digitalnim ako neke njegove promenljive podležu diskretizaciji i po nivou i po vremenu. Pod izvesnim uslovima mogu se impulsni sistemi, u kojima se kvantovanje promenljivih vrši po vremenu, i digitalni sistemi tretirati istim metodama[1]. Uočimo, da su u upravljačkom delu posmatranog sistema zastupljene komponente koje ga upravo čine digitalnim, pošto se periodično, u trenucima diskretizacije, registruju trenutne vrednosti upravljane promenljive ( θ ), da bi se na osnovu njih i zahtevane reference ( Kn

∗ ∗θ ), formirao signal greške i dalje, po nekom unapred zadatom digitalnom zakonu upravljanja, generisali odbirci upravljačke promenljive (u). Dakle, upravljački deo digitalnog sistema datog na Sl. 1.1 čini enkoder, digitalno-analogni (D/A) konvertor i digitalni kontroler.

Sl. 1.1 Principska šema sistema sa digitalnim upravljanjem

Inače, uočimo da je u posmatranom sistemu problem upravljanja najjednostavniji problem balansiranja. Zadatak regulacije bi bio obezbediti uslove balansiranja, tj. održavati

2 ugao θ u određenim granicama uprkos dejstvu poremećaja (promeni momenta opterećenja na vratilu motora) ili promeni parametara sistema. Složeniji zadatak bi bio zadatak praćenja; recimo ruka se kreće po krugu u vertikalnoj ravni konstantnom brzinom. Generalno, rešenje upravljačkog problema zahteva: Izbor senzora i izvršnog organa; Razvoj modela objekta, senzora i izvršnog organa; Projektovanje regulatora na osnovu razvijenih modela i zadatog upravljačkog

kriterijuma; Sprovođenje i verifikacija projektovanja analitički, putem simulacija i testova na

sistemu. Izvršni mehanizmi robota električnog tipa mogu da poseduju jednosmerne, asinhrone i koračne motore od kojih je, sa stanovišta sinteze servomehanizama, u prednosti jednosmerni motor, koji je odabran i u primeru razmatranog servopogona. Za detekciju ugaone pozicije vratila servopogona koristi se inkrementalni enkoder brojačkog tipa [1]. Umesto D/A konvertora na Sl. 1.1 može da se upotrebi bilo koji pretvarač digitalne reči u kontinualni naponski signal ili u širinsko modulisani signal. Robot je složen sistem kod koga su izraženi uticaji izmedju kretanja pojedinih zglobova celog mehanizma, što implicira složenu proceduru projektovanja sistema upravljanja. Poznato je, međutim, da je nezavisno upravljanje zglobovima najjednostavniji, a sa stanovišta realizacije i najprihvatljiviji način upravljanja. Dinamički model robota obuhvata dinamički model mehanizma kao i modele aktuatora koji pokreću pojedine njegove zglobove. Standardni način za dobijanje dinamičkih jednačina mehaničkih sistema zasnovan je na Euler-Lagrangeovim jednačinama oblika

dd

L Lt Σ∂ ∂

− =∂ ∂

Mq q

(1.1)

gde je: [ ]T1 nqq …=q n- dimenzionalni vektor generalisanih koordinata sistema, L - je

razlika izmedju kinetičke i potencijalne energije sistema i T1 nM MΣ = ⎡ ⎤⎣ ⎦M … je n-

dimenzionalni vektor generalisanih sila (momenata) čijem je dejstvu podvrgnut sistem. Alternativni oblik dinamičkih jednačina manipulatora je ( ) ( , ) ( ) Σ+ + =D q q C q q q G q M (1.2) gde je D q( ) n n× simetrična, pozitivno definitna matrica inercija manipulatora za svako

q , elementi matrice ( , )C q q sadrže proizvode tipa 2 i , , 1, 2, , ,i i jq q q i j n= … i j≠ koji

su označeni kao centrifugalni i Coriolisovi članovi, respektivno, dok je n- dimenzionalni vektor G q( ) dat u funkciji gravitacionih momenata. Izrazi u ( ), ( , ) i ( )D q C q q G q sadrže trigonometrijske funkcije, pa su otuda jednačine kretanja (1.2) složene i nelinearne, ali se mogu prevesti u linearnu formu oblika ( , , ) Σ=W q q q p M . (1.3) Matrica ( , , )W q q q je matrica poznatih funkcija dimenzija n r× , a p je r- dimenzionalni vektor nepoznatih ali konstantnih parametara koji su izraženi u funkciji masa, momenata

3 inercija, dužina, centara mase i koeficijenata trenja odgovarajućih segmenata, a koji se mogu menjati povremeno sa promenom opterećenja. Na Sl. 1.2 prikazan je objekat upravljanja koji, saglasno nezavisnom upravljanju zglobovima, predstavlja jednosegmentni manipulator u vertikalnoj ravni sa ravnotežnim

stanjem [ ]T T0⎡ ⎤θ θ = π⎣ ⎦ , čiji je izvršni mehanizam jednosmerni motor upravljan strujom u

kolu rotora. Uz pretpostavku da je segment ruke robota koji vezuje šaku robota sa zglobom u obliku valjka zanemarljivo malog poprečnog preseka mase m i dužine l, a da je šaka robota opterećena teretom mase M, koji ćemo tretirati kao materijalnu tačku, jednačina ovog manipulatora u Lagrangeovoj formi dobija se u obliku

2 2 2 sin3 2m m em rm mM l N J N F gl M NK I

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + θ + θ = + θ+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

(1.4)

gde je g- gravitaciono ubrzanje, a K Iem r pokretački moment motora. Odziv razmatranog objekta upravljanja sa nultim ulazom i početnim stanjem

[ ]T T0.01 0⎡ ⎤θ θ =⎣ ⎦ prikazan je na Sl. 1.3.

Sl. 1.2 Šematski dijagram jednostavnog

manipulatora

0 5 10 15 200

1

2

3

θ

t, s Sl. 1.3 Odziv objekta upravljanja

Dobro poznata strukturna šema motora jednosmerne struje prikazana je na Sl. 1.4,

Sl. 1.4. Blok dijagram servopogona

4

gde su I I Mr∗, i 0 redom primenjena referentna struja, struja rotora i moment opterećenja

sveden na osovinu motora.

U blok dijagramu usvojena je sledeća notacija:

Tr - električna vremenska konstanta ( )T L Rr r r= , Tm - mehanička vremenska konstanta T J Fm = , Rr - otpornost kola rotora, F - koeficijent viskoznog trenja, Kme - koeficijent elektromotorne sile namotaja rotora

(= koeficijent pokretačkog momenta Kem ), N - prenosni broj reduktora, Kc - naponsko pojačanje, Kr - pojačanje u strujnoj petlji,

Kn∗ - broj impulsa inkrementalnog enkodera po ugaonom pomeraju od

jednog radijana. Ako se θ izrazi u funkciji referentne struje I∗ i spoljašnjeg momenta M0 , dobija se

Θ( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )s B sA s

I s C sA s

M s= +∗1

1

1

10 (1.5)

A s T T s T K KR

T K KFR FK K

s K KR

K KFR FK K

sr m mc r

rr

em me

r c r

c r

r

em me

r c r1

3 21 1 1 1( ) = + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + +

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

B s K KR FN

em c

r1( ) = (1.6)

C sNF

K KR

sTc r

rr1

1 1( ) .= + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Od interesa je sada detaljnije formulisati problem upravljanja. Naime, on se sastoji u nalaženju podešljivih parametara digitalnog regulatora sa ciljem da se postigne željeni kvalitet ponašanja sistema u prelaznom procesu i odgovarajuća tačnost rada u stacionarnom stanju, što se u vremenskom domenu može specificirati na sledeći način: preskok u %, vreme uspona i vreme smirenja nisu veći od Π, T Tu si , respektivno. U brojnim aplikacijama, a po pravilu kod robotskih servomehanizama, zahteva se što brži odziv koji je blizak aperiodičnom. Dakle, problem upravljanja može se formulisati kao dobro poznati problem podešavanja polova. Aperiodičan karakter prelaznog procesa sa vremenima uspona i smirenja redom ne većim od 0.25 s i 1 s, može se ostvariti digitalnim PD kao i PID kontrolerom. Rezultati analitičkog projektovanja mogu se verifikovati simulacijom različitih režima rada sistema na digitalnom računaru, kako je to ilustrovano slikama 1.5 i 1.6.

5

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

θ*

θ

θ

t, s Sl. 1.5 Odziv sistema sa PD kontrolerom

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 θ*

θ

θ

t,s Sl. 1.6 Odziv sistema sa PID kontrolerom

U odzivu na Sl. 1.5 uočava se greška u stacionarnom stanju koja je vezana za dejstvo gravitacionog momenta pre i nakon udvostručenja mase tereta M u trenutku s 5=t . Ova statička greška je rezultat dejstva gravitacionog momenta koji se u ovom slučaju pojavljuje, što je inače karakteristično za robote sa zglobnom konfiguracijom, u vidu prostoperiodične funkcije upravljane promenljive (1.4) i u stacionarnom stanju poprima odgovarajuću konstantnu vrednost. Kako sistem ne poseduje astatizam u odnosu na pomenuti poremećaj, javlja se greška koju je neophodno kompenzovati. Poznato je, da se uticaj konstantnog poremećaja može potpuno eliminisati ukoliko se obezbedi integralno dejstvo između signala greške i tačke dejstva poremećaja [2], kao što je to prikazano na Sl. 1.6.

Invarijantnost sistema na dejstvo poremećaja može se postići i pomoću tzv. prenosnog kompenzatora [3], čiji je ulaz promenljiva poremećaja, koja se neposredno meri ili opservira. Odziv na Sl. 1.7 ilustruje efikasnost postupka eliminacije statičkog efekta poremećaja korišćenjem prenosnog pojačavača.

Naglasimo, medjutim, da je sinteza upravljačkog dela posmatranog digitalnog sistema rezultat analitičkog projektovanja koje ima svoju teorijsku osnovu. Sama praktična realizacija odabranog upravljačkog zakona korišćenjem savremenog digitalnog hardvera otvara čitav niz svojevrsnih problema, čije rešenje zahteva određena znanja iz drugih tehničkih disciplina, kao što su digitalna elektronika, mikroračunarska tehnika, programski jezici i slično. Uostalom, poznato je, da je nezaobilazni jaz izmedju teorije i prakse kod digitalnih sistema veći nego u drugim tehničkim disciplinama [1].

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 1

2

θ

t, s

Sl. 1.7 Odziv sistema bez (1) i sa (2) prenosnim pojačavačem

6 Za razumevanje procedure projektovanja digitalnog sistema upravljanja neophodno je detaljnije poznavanje procesa diskretizacije kontinualnog signala, obrade diskretne informacije kao i prevođenja diskretnog signala u kontinualan signal. Drugim rečima, teorijsku osnovu digitalnih sistema upravljanja, pa i digitalnih sistema uopšte, čini teorija diskretnih signala. Diskretni signali se inače mogu analizirati u vremenskom području, ali se njihove osobine mogu sagledati polazeći od njihovog kompleksnog lika koji se dobija primenom odgovarajuće transformacije. U narednom odeljku je dat izvestan broj interesantnih informacija da bi se ukazalo na hronologiju pojave i primenu nekih transformacionih metoda, koje se koriste pri analizi i projektovanju digitalnih sistema upravljanja [3].

Za vreme i nakon Drugog svetskog rata bila je jako aktuelna analiza radarskih sistema, koji su po prirodi impulsni sistemi, pošto se informacija o izmerenoj poziciji dobija jednom po obrtu antene. Poput teorije transformacija, koja je bila od velike pomoći kod kontinualnih sistema, prirodno je bilo pokušati sa razvojem slične teorije i za impulsne sisteme. Najpre je Hurewicz (1947) uveo transformaciju niza { }f kT( ) defininišući

{ } )()(0

kTfzkTfk

k∑∞

=

−=Z .

Uočimo da je ova transformacija slična funkcijama generatrisama korišćenim u brojnim granama primenjene matematike. Zatim su Ragazzini i Zadeh (1952) ovu transformaciju definisali kao z-transformaciju. Teorija transformacija razvijala se dalje nezavisno u bivšem Sovjetskom Savezu, Sjedinjenim Američkim Državama i u Velikoj Britaniji. Tsypkin (1950) nazvao je transformaciju diskretna Laplaceova transformacija pomoću koje je razvio teoriju impulsnih sistema. Nezavisno je u Engleskoj ovaj transformacioni metod razvijao Barker (1952). U Americi je transformaciju razvijao Jury u okviru svoje doktorske disertacije na Columbia Univerzitetu. Takodje je razvio i metode analize i sinteze diskretnih sistema. Osnovno ograničenje teorije zasnovane na z-transformaciji je činjenica da se ne poseduje informacija o tome šta se dešava sa sistemom izmedju trenutaka diskretizacije. To ne bi smelo da bude akademsko pitanje iz razloga mogućnosti pojave skrivenih oscilacija koje su jednake nuli u trenucima diskretizacije, a mogu da budu značajne izmedju njih. Drugi prilaz teoriji impulsnih sistema zagovarao je Linvill (1951). Kao sledbenik ideje MacColla (1945), interpretirao je odabiranje kao amplitudnu modulaciju i efikasno opisao ponašanje izmedju trenutaka odabiranja koristeći prilaz preko opisne funkcije. Drugi prilaz rešavanju ovog problema je tzv. z- transformacija sa kašnjenjem, poznata kao modifikovana z-transformacija koju su razvijali Tsypkin (1950), Barker (1952) i Jury (1956). Razvoju celokupne teorije diskretnih sistema dosta je doprinela grupa na Columbia Universitetu u Americi koju je vodio Ragazzini kod koga su radili svoje doktorske disertacije Jury, Kalman, Bertram, Zadeh, Franklin, Friedland, Kranc, Freeman, Sarachik i Sklansky.

7 Krajem pedesetih se ovladalo analizom impulsnih sistema pomoću z-transformacije pa se simultano pojavio i određeni broj knjiga: 1958. godine - Ragazzini i Franklin [12], Jury [16], Tsypkin [15] i 1959. godine Tou [14]. Ova teorija, po uzoru na teoriju linearnih, stacionarnih, kontinualnih sistema dala je dobre metode za analizu i sintezu impulsnih sistema. Do sada je iz oblasti impulsnih i digitalnih sistema publikovan veliki broj knjiga udžbeničkog ili monografskog karaktera, a one važnije, po mišljenju autora, nalaze se u spisku citirane literature. U nastavku je data bibliografija sa originalnim radovima po redosledu navođenja u prethodnom tekstu.

• W. Hurewicz, "Filters and Servo Systems with Pulsed Data", in Theory of Servomechanisms, ed. H.M. James, N.B. Nichols, R.S. Philips, McGraw-Hill, New York, 1947.

• J.R. Ragazzini, L.A. Zadeh, The Analysis of Sampled-Data Systems, AIEE Trans. , 71,Pt.II, Nov. 1952, pp. 225-34.

• Y.Z. Tsypkin, Theory of Discontinuous Control, Avtomat i Telemekh., 3(1949), 5(1949), 5(1950).

• R.H. Barker, The Pulse Transfer Function and Its Applications to Sampling Servosystems, Proc. IEE, 99, Pt. IV, 1952, pp. 302-17.

• W.K.Linvill, Sampled-data Control Systems Studied Through Comparison of Sampling with Amplitude Modulation, AIEE Trans., 70, Pt. II, 1951, 1778-88.

• L.A. MacColl, Fundamental Theory of Servomechanisms, D.Van Nostrand, New York, 1945

• E.I. Jury, Synthesis and Critical Study of Sampled-Data Control Systems, AIEE Trans., 75, Pt. II, 1956, 141-51.

Poznato je, da se u inženjerskoj praksi za opis signala potpuno ravnopravno koristi kako vremensko tako i frekvencijsko područje. Neka je f t( ) analogni signal koji je definisan za svako t u intervalu t t t1 2≤ ≤ (ne

isključuje se −∞ ≤ ≤ ∞t ). Ako sa F i 1−F označimo operatore Fourierove i inverzne Fourierove transformacije, tada je:

{ }( ) ( ) ( ) e dj tF j f t f t t∞Δ

− ω

−∞

ω = = ∫F (2.1)

i

{ }1 1( ) ( ) ( ) e d2

j tf t F j F j∞Δ

− ω

−∞

= ω = ω ωπ ∫F . (2.2)

Kompleksna funkcija realne promenljive ω , F j F j j F j( ) ( ) e arg ( )ω ω ω= , predstavlja

kontinualni frekvencijski spektar signala f t( ) , koji čine amplitudni ( )F j( )ω i fazni

( )arg ( )F jω spektri signala.

10

Ako sa f t F j( ) ( )↔ ω označimo Fourierov transformacioni par, dovoljni uslovi za njegovu egzistenciju su tzv. Dirichletovi uslovi [5]: • funkcija f t( ) treba da pripada klasi funkcija tipa početnih uslova, tj. integral

I f t t= ∫−∞∞ ( ) d treba da ima konačnu vrednost;

• funkcija f t( ) mora da ima konačan broj maksimuma i minimuma kao i konačan broj prekida u konačnom vremenskom intervalu.

Ove uslove zadovoljavaju tzv. energetski signali, za koje važi f t t2( ) d−∞∞

∫ < ∞ , za razliku od signala snage koji nemaju konačnu energiju, ali imaju konačnu snagu tj,. postoji

lim ( ) dT T

T

Tf t t

→∞ −∫1 2

22 . U narednoj tablici su date neke važne osobine Fourierove transformacije.

Tablica 2.1 Neke osobine Fourierove transformacije

1. Linearnost a f t a f t a F a F1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )+ ↔ +ω ω

2. Simetričnost F t f( ) ( )↔ −2π ω

3. Skaliranje f at

aF

a( ) ( )↔

1 ω

4. Kašnjenje f t t Fj t( ) e ( )− ↔ −0

0ω ω

5. Modulacija e ( ) ( )j t f t Fω ω ω00↔ −

6. Konvolucija originala f t f t F F1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )∗ ↔ ω ω

7. Konvolucija kompleksnih likova f t f t F F1 2 1 2

12

( ) ( ) ( ) ( )↔ ∗π

ω ω

8. Izvod originala dd

( ) ( ) ( )n

ntf t j Fn↔ ω ω

9. Integral originala f F

jF

t( ) d ( ) ( ) ( )τ τ

ωω

π δ ω−∞∫ ↔ + 0

10. Izvod kompleksnog lika − ↔jtf t F( ) d ( )

dω

ω

11. Integral kompleksnog lika f tjt

F( ) ( ) d−

↔ ′ ′∫ ω ω

12. Invertovanje f t F( ) ( )− ↔ −ω

U narednom tekstu su dati primeri nalaženja frekvencijskih karakteristika nekih jednostavnih energetskih signala.

11

Po definiciji je

F j f t t A t t

A t Aa j

j t at j t

a j t

( ) ( ) e d e h( ) e d

e d .( )

ω

ω

ω ω

ω

= = ∫∫

= ∫ =+

− − −

−∞

∞

−∞

∞

− +∞

0

Na taj način dobijaju se frekvencijske karakteristike

F j A

aF j

a

( ) ,

arg ( ) arctg .

ωω

ωω

=+

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

Na osnovu definicionog izraza je

F j f t t t

j

j t j t

j

( ) ( ) e d e d

e e sin sinc( ) .j

ω

ωτ

ωτωτ

τ ωτ

ω ω

τ

τ

ωτ ωτ

= = ⋅∫∫

=−

−= =

− −

−−∞

∞

−

1

2 2

Za frekvencijske karakteristike dobijamo:

F jF j

( ) sinc( ) ,arg ( ) sinc( )

sinc( ) .ω τ ωτ

ω ωτπ ωτ

=

= ≥<

⎧⎨⎩

20 0

0

Na osnovu definicionog izraza i primenom parcijalne integracije lako pokazujemo da je:

( )

F j f t t At A t At A t

Aj

A

j t j t j t

j j

( ) ( ) e d e d e d

( )e e sinc .

ωτ τ

τ ωτ

ωτ

ω ω

τ

ωτ

ωτ ωτ

= = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫∫ + − +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟∫

= − = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −

−−∞

∞−

0

0

22 2 2 2

2

Impulsna funkcija definiše se jednačinom:

f t t t t f t( ) ( ) d ( ) ,δ −∫ =−∞

∞

0 0

pri čemu je: Po definiciji je:

{ }( ) ( ) ( ) e d 1 .j tF j t t t∞

− ω

−∞

ω = δ = δ =∫F

Primer 1. f t A t aat( ) e h( ),= >− 0

Primer 2.

f ttt

( ) =≤>

⎧⎨⎩

10

ττ

Primer 3. f tA

tt

t( )

,=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1

0τ

τ

τ

Primer 4. f t t( ) ( )= −δ impulsna funkcija

◊ = ≠

◊ =

◊ ∫ =−∞

∞

δ

δ

δ

( )( )

( ) d

t tt t

t t

0 00

1

za je nedefinisana za

12

Na Sl. 2.1 su prikazane frekvencijske karakteristike funkcija iz drugog i tre�eg primera.

-2 0 2 40

1

2

t-3 -2 0 2 3

f(t)

-4 -2 0 2 40

2

4

ω

|F(j ω)|

00

1

2

f(t)

t-1 1

-20 -10 0 10 20

0.0

0.5

1.0|F(jω)|

ω Sl. 2.1 Frekvencijske karakteristike pravougaonog i trougaonog impulsa

Na osnovu dobijenog transformacionog para δ( )t ↔ 1 kao i nekih osobina Fourierove transformacije, lako se sukcesivno dobijaju slede�i transformacioni parovi: Tablica 2.2 Neki Fourierovi transformacioni parovi

osobina f t F j( ) ( )↔ ω

ka{njenja • δ ω( ) et t j t− ↔ −0

0

simetričnosti • 1 2↔ πδ ω( ) simetričnosti • e ( )j tω πδ ω ω0 2 0↔ −

linearnosti • [ ]cos ( ) ( )ω π δ ω ω δ ω ω0 0 0t ↔ − + +

linearnosti • [ ]sin ( ) ( )ω π δ ω ω δ ω ω0 0 0t j↔ + − −

linearnosti • a ak

k

n j tk

k

nk

k

= =∑ ↔ ∑ −

1 12e ( )ω π δ ω ω

periodičnosti

• δ ω δ ω ω

ωπ

( ) ( ) ,t kT k

T

k k−∑ ↔ −∑

==−∞

∞

=−∞

∞

0 0 0

00

2

13

Očigledno je da osobine Fourierove transformacije znatno olakšavaju postupak određivanja frekvencijskih karakteristika složenijih signala. Tako na primer, polazeći od transformacionog para dobijenog rešavanjem trećeg problema

f tA

tt

tF j A( )

,( ) sinc=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

↔ = ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

02

2ττ

τω τ

ωτ ,

i saglasno osobini simetričnosti, direktno se dobija transformacioni par

F t t f( ) sinc ( ),

= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

↔ − =−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

αβ

π ωπ

αβ

ωβ

ω β

ω β

2

22

2 1

0 . (2.3)

Pošto jedinična odskočana funkcija nije apsolutno integrabilna, celishodno je izraziti je na način

h( ) sgn( ) ,t t= +12

12

gde je

1 0 2sgn( ) 0 0 .

1 0

tt t

jt

− <⎧⎪= =⎨ω>⎪⎩

↔

Ovaj Fourierov transformacioni par lako se dobija na osnovu osobine diferenciranja po vremenu

{ }d sgn( ) 2 ( ) sgn( ) .d

t t j tt

= δ ↔ ωF

Otuda je

{ } { }1 1 1h( ) sgn( ) ( ) .2 2

t tj

⎧ ⎫= + = πδ ω +⎨ ⎬ ω⎩ ⎭F F F

Primeri funkcija koje ne pripadaju klasi funkcija tipa početnih uslova

Primer 5. JEDINIČNA ODSKOČNA FUNKCIJA

h( ) ( )tj

↔ +πδ ωω1

14

0 1 20.0

0.5

1.0

e-α t

t

α =3

α =2

α =1

a.

-10 -5 0 5 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

α=3

α=2

α=1

|F(j ω)|

ω

b.

-10 -5 0 5 10-100

-50

0

50

100

α=3 α=2α=1

argF(j ω)

ω

c.

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0h(t)

t

d.

-4 -2 0 2 410-3

100

105

1010

1015

|F(j ω)|

ω e.

-4 -2 0 2 4

100

150

200

250

300

argF(j ω)

ω f.

0 2 4 6 8 10-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

sinω0t h(t)

t

ω =20

g.

-4 -2 0 2 410-3

1010

1015

10 5

|F(j ω)|

ω

100

h.

-4 -2 0 2 4150

200

250

300

350 argF(j ω)

ω

i.

0 2 4 6 8 10-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5cosω

0t h(t)

t

ω =20

j.

-4 -2 0 2 410-3

100

105

1010

1015

|F(j ω)|

ω k.

-4 -2 0 2 4

100

150

200

250

300

argF(jω)

ω l.

Sl. 2.2 Amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike nekih tipičnih signala

15

Saglasno osobini konvolucije u frekvencijskom području lako se dobija:

{ } { } { }0 0 0 01 1 1cos h( ) cos h( ) ( ) ( ) ( )

2 2t t t t

j⎡ ⎤

ω ⋅ = ω ∗ = πδ ω − ω + πδ ω + ω ∗ πδ ω +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦π π ω⎣ ⎦F F F

pa je

{ }0 0 0

0 00 0

0 0 2 20

1 1cos h( ) ( ) ( ) ( ) d2 ( )

1 1 1( ) ( )2 2

( ) ( ) .2

t t u u u uj u

jj

∞

−∞

⎡ ⎤ω ⋅ = πδ − ω + πδ + ω ⋅ πδ ω − +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦π ω −⎣ ⎦

⎡ ⎤π= δ ω − ω + δ ω + ω + +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ω − ω ω + ω⎣ ⎦

π ω= δ ω − ω + δ ω + ω +⎡ ⎤⎣ ⎦

ω − ω

∫F

Do ovog transformacionog para moguće je doći i na sledeći način:

{ } { } { }0 0j j0

0 00 0

0 00 0

00 0 2 2

0

1 1sin h( ) h( ) e h( ) e2 21 1 1 1( ) ( )2 ( ) 2 ( )

1 1 1( ) ( )2 2

( ) ( ) .2

t tt t t tj j

j j j j

j

j

ω − ωω ⋅ = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= πδ ω − ω + − πδ ω + ω +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ω − ω ω + ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤π= δ ω + ω − δ ω − ω − −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ω − ω ω + ω⎣ ⎦

ωπ= δ ω + ω − δ ω − ω +⎡ ⎤⎣ ⎦

ω − ω

F F F

Na Sl. 2.2 prikazane su amplitudne i fazne frekvencijske karakteristike signala koji ne pripadaju klasi funkcija tipa početnih uslova.

Primer 6.

[ ]f t t t j( ) cos h( ) ( ) ( )= ⋅ ↔ − + + +−

ωπ

δ ω ω δ ω ωω

ω ω0 0 002 22

Primer 7.

[ ]f t t t j( ) sin h( ) ( ) ( )= ⋅ ↔ + − − +−

ωπ

δ ω ω δ ω ωω

ω ω0 0 00

02 22

16

Periodični signal f t f t T T( ) ( ) ,= + −0 0 osnovni period se može razviti u Fourierov red na način:

.,2,1,0,de)(1

2,e)(

0

0

0

0

2

20

00

…±±==

==

−

−

∞

−∞=

∫

∑

nttfT

F

TFtf

tjnwT

Tn

n

tjnwn

πω

(2.4)

Koristeći transformacioni par iz Tablice 2.2, pokazuje se da je frekvencijski spektar periodičnog signala

{ } { }0 0 0 00

2( ) e e 2 ( ) , .jnw t jnw tn n n

n n nf t F F F n

T

∞ ∞ ∞

=−∞ =−∞ =−∞

⎧ ⎫ π⎪ ⎪= = = π δ ω− ω ω =⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑ ∑F F F (2.5)

Na osnovu (2.4) dobijamo:

FT

f t tT

A t AT jn n T

n d AdT

n dTn

T

Tjnw t

d

djnw t

jn t

d

d

= ∫ = ∫ =−

= =⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

−

−

−−

−

1 1 220 2

2

0 2

2

0 0 2

2

0 0

0

0 00

00 0

0

( ) e d e d e sin sincω

ωπ

ωω π

pa je saglasno (2.5)

{ } 00 0

2( ) sinc ( ) .n

Ad n df t nT T

∞

=−∞

⎛ ⎞π π= δ ω− ω⎜ ⎟

⎝ ⎠∑F

Frekvencijske karakteristike periodičnih funkcija

Primer 8.

d

... ...

t

f(t)

-T 0 T 2T0 0 0

A

Primer 9.

0

i(t)

-2T0 -T0 t0T 02T

... ...(1)

17

Kako je i t t nTn( ) ( )= −∑ =−∞∞ δ periodična funkcija, razvojem u Fourierov red

dobija se:

{ }

0 0

0 0

0 0

2 2

0 0 02 2

0 00 0

1 1 1( ) e d ( )e d ,

2 2( ) ( ) , .

T Tjnw t jnw t

nT T

n

F i t t t tT T T

i t nT T

− −

− −

∞

=−∞

= = δ =

π π= δ ω− ω ω =

∫ ∫

∑F

Uočimo, da je na ovaj način dobijen transformacioni par iz Tablice 2.2.

P2-1. Odrediti frekvencijske spektre sledećih signala:

f(t)

A

-3π -2π -π 0 π 2π 3π t a.

0 π 2π 3π

...

t

1

π π-2π-3π--4

...

f(t)

sint

b.

P2-2. Naći funkciju g t( ) na osnovu zadatog frekvencijskog spektra G j( )ω .

G(jω )

-ω0 ω0ω

A2a2a

a.

4a 4a

ω0

ω0

- ω

G(jω )

A

b.

18

-ω 0 ω 0ω 0ω0 +2a-2a0

G(jω )

ω

A

c.

Napomena. Pri rešavanju ovog zadatka koristiti osobine Fourierove transforma-cije.

P2-3. Naći frekvencijski spektar signala na izlazu sistema koji vrši modulaciju ulaznog signala na način kako je to prikazano na slici. .

SISTEMx(t) y(t)=x2 (t)

a. x t t( ) cos= ω0 b. X ( ) ( )ω δ ω ω= + ≤ ≤⎧⎨⎩1 2 40 inace(

P2-4. Skicirati frekvencijski spektar signala y t f t m t( ) ( ) ( )= ⋅ , ako je f t t t m t t( ) cos cos ( ) cos= + =2 10 4 20 200 i .

P2-5. Ako je f t F( ) ( )↔ ≠ω i F(0) 0 , pokazati da je

fj

F Ft ( ) d ( ) ( ) ( ) .τ τω

ω π δ ω−∞∫ = +1 0

Napomena. Neka je g t f g t Gt( ) ( ) d= ∫ ↔−∞ τ τ ω i ( ) ( ) . Uslov egzistencije G( )ω je apsolutna integrabilnost funkcije originala, a nešto stroži uslov je lim ( )

tg t

→∞= 0 , tj.

f t t( ) d =∫−∞∞ 0 , što je, s obzirom da je F f t t( ) ( ) dω ω= −∞

∞= ∫0 , ekvivalentno sa uslovom F( )0 0= . Ako je F( )0 0≠ , tada g t( ) nije više energetska funkcija i pokazuje se da njena transformacija sadrži impulsnu funkciju.

0 T 2T 3T Diskretizacija signala po vremenu se vrši odabiračem koji se može tretirati kao jedna vrsta impulsnog modulatora. Kao što je prikazano na Sl. 3.1a, na ulaz impulsnog modulatora se dovodi kontinualni signal f t( ) , a na izlazu se dobija povorka impulsa - odbiraka f t∗( ) . Odbirci su jednaki vrednostima ulaznog signala u trenucima odabiranja 0, , 2 ,T T … - gde je T perioda odabiranja, tj.:

f t f nT t nTt nT f t f kT t kT

k

∗ ∗

=

∞= =

≠⎧⎨⎩

= −∑( ) ( ),, , ( ) ( ) ( ) .0 0

odnosno δ

IMPULSNIMODULATOR

f*

(t)

t

-T 0 T t

i(t)

... ...

t

f(t)

f *(t)=f(t)i(t)

a.

T

f(t) f*(t)

b. Sl. 3.1 Odabirač kao impulsni modulator i njegova simbolička oznaka

20 3-1. ZADATAK

U zadatku se razmatra problem usvajanja periode sa kojom se vrši diskretizacija posmatranog signala. Poznato je da postoji ograničenje u pogledu minimalne brzine diskretizacije pri kojoj je moguće rekonstruisati signal na osnovu njegovih vrednosti u trenucima odabiranja [1].

Svojevrsne formulacije teoreme odabiranja mogu se naći u radovima autora C.E. Shannona (1949) i Kotelnikova (1933) [1], [3]. Precizna formulacija teoreme odabiranja glasi:

Na Sl. 3.2 prikazan je signal x t( ) koji se diskretizuje sa periodom T , kao i njegov amplitudni frekvencijski spektar za čiju graničnu učestanost možemo praktično da usvojimo vrednost ω0 200= rad s . Otuda se dobija T ≤ =π ω0 0 0157. s . U posmatranom slučaju se razmatra izbor periode diskretizacije sa stanovišta tačanosti opisivanja posmatrane funkcije x t( ) .

Posmatra se kauzalni signal x t t( ) e= −4 koji se diskretizuje sa periodom diskretizacije T . a) Izabrati periodu diskretizacije tako da se pri opisivanju date funkcije x t( ) vrednostima u ekvidistantnim tačkama t kT= , 0,1, 2,k = … ne pravi greška veća od 5% od početne vrednosti signala.

b) Izabrati periodu diskretizacije tako da se, pri linearnoj interpolaciji date funkcije x t( ) , u tačkama 2, 2 1, 0,1,2,t k T k n n= = + = … ne pravi greška veća od 5% od početne vrednosti signala.

Ako kontinualni signal ne sadrži harmonike van područja učestanosti ( )−ω ω0 0, , on se može kompletno okarakterisati svojim vrednostima u

ekvidistantnim tačkama ako je učestanost odabiranja ω πs T=

2 veća od 2 0ω .

Kontinualni signal se tada može izračunati primenom interpolacione formule

( )[ ]

( )f t f kT

t kTt kTs

sk( ) ( )

sin.=

−

−∑=−∞

∞ ω

ω

22

(3.1)

0 T 2T 3T 21

0.0 0.5 1.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x(t)=e -4t

x

t a.

-200 -100 0 100 2000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25 |X(jω)|

ω

b.

Sl. 3.2 Kontinualni signal x t( ) i njegov frekvencijski spektar

0.00 0.250.25

0.50

0.75

1.00

x

tT 2T 3T 4T ...

} Δx

a.

0.0 0.2 0.4 0.6

0.5

1.0

t

x

T2 T 2T ...

e-4T

xsr

Δx

b.

Sl. 3.3 Različiti načini opisivanja funkcije x t( )

a) Signal x t∗( ) se opisuje povorkom odbiraka x t∗( ) gde je

{ ( ) ,( ) , 0,1, 2,0 ,x nT t nTx t nt nT

∗ == =≠ … ,

pri čemu se pravi greška koja je jednaka razlici vrednosti signala u dvema susednim tačkama diskretizacije. Svakako da je najveća greška na mestu najveće strmine, tj.

[ ]max ( 1) ( ) max ( )n n

x x n T x nT T x tΔ = + − = , kako je to prikazano na Sl. 3.3a. Prema uslovu

zadatka treba da važi Δx T= − ≤−1 0 054e . ; dakle dobija se T ≤ 0 0128. s , što odgovara i uslovu teoreme odabiranja. b) Pri linearnoj interpolaciji funkcije x t∗( ) najveća greška se pravi u sredini intervala diskretizacije i to za t T= 2 . Naime, na Sl. 3.3b vidi se da je

( )Δx x x T T T= − = + − ≤− −sr 2 05 1 0 054 2. ( e ) e . ,

22

što se svodi na e e .− −− + ≤4 22 0 9 0T T , odnosno 0 6838 131622. e .≤ ≤− T . Kako je perioda diskretizacije T po prirodi pozitivna, dobija se T ≤ 019. s , što odgovara zahtevu za znatno manjom brzinom odabiranja pri linearnoj interpolaciji funkcije x t∗( ) . 3-2. ZADATAK

Pošto je [ ]sin( ) sin( ) sin ( )ω ω π ωt t t l= + = +2 , to je l = 2π ω osnovni period periodične funkcije sin( )ωt . U razmatranom slučaju je ω π= 3 , pa je period l = 2 s3 . Perioda diskretizacije T mora da zadovolji uslov teoreme odabiranja, odnosno T f f≤ =1 2 150 0, . Hz - je granična učestanost spektra signala koji se diskretizuje. Otuda se dobija T ≤ 1 3 s . Lako se može ustanoviti da je i nakon diskretizacije očuvana periodičnost signala ako je 2 3 2 3 s , 1, 2, .kT T k k= ⇒ = = … Medjutim, kako je Tmax = 1 3, to je kmin = 2 . Dakle, periodu diskretizacije treba birati prema relaciji

2 s , 2,3,3

T kk

= = … . (3.2)

Na Sl. 3.4 prikazan je signal i dve periodične povorke odbiraka dobijene njegovom diskretizacijom u skladu sa prethodnom relacijom.

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

T7

T3

f

f*(t); T=2/21 s

f*(t); T=2/9 s

f(t)=sin(3π t)

f(t),f*(t)

t, s

Sinusoidalni signal f t t( ) sin( )= 3π diskretizuje se sa periodom T pri čemu se u procesu diskretizacije ne gubi informacija koju kontinualni signal f t( ) nosi. Odrediti periodu diskretizacije T tako da i diskretizovani signal

bude periodičan.

0 T 2T 3T 23

Sl. 3.4 Kontinualni signal i povorke odbiraka 3-3. ZADATAK

Poznato je, da se Laplaceova transformacija diskretizovanog signala f t∗( ) u oznaci

F s∗( ) može odrediti na tri različita načina [1]: Ukoliko se znaju vrednosti signala u trenucima odabiranja, kompleksni lik povorke

odbiraka se dobija u obliku

{ }0

( ) ( ) ( ) e kTs

kF s f t f kT

∞∗ ∗ −

== = ∑L . (3.3)

Poznavanje Laplaceove transformacije signala koji se diskretizuje omogućava sračunavanje kompleksnog lika povorke odbiraka po formuli

F s F p F p P pQ pT s p

i

n∗− −

==

−∑ =( ) Res ( )

e( ) ( )

( )( )11 u polovima funkcije . (3.4)

Ostatak funkcije F p( ) u polu pi određuje se na način

Res ( ) Res ( )( ) ( )

( )( )p p p p i

i

ii i

F p P pp p Q p

P pQ p= =

=−

=′1

- ukoliko je pol prost,

odnosno, u slučaju višestrukog pola reda k,

( )Res ( ) Res ( )( ) ( ) ( )!

lim dd

( ) ( )p p p p i

k p p

k

k ik

i i i

F p P pp p Q p k p

p p F p= = →

−

−=−

=−

−2

1

11

1.

Kompleksni lik povorke odbiraka se može dobiti svojevrsnom superpozicijom

kompleksnih likova kontinualnog signala f t( ) , koji se diskretizuje, na način

F sT

F s jn fTs

ks

∗ +

=−∞

∞= + +∑ =( ) ( ) ( )1 1

20 2

ω ωπ, . (3.5)

a)

U slučaju diskretizacije signala f t A t t( ) cos( ) h( )= ω za povorku odbiraka dobijamo

Kružna učestanost odabirača kojim se diskretizuje kauzalni signal f t t t( ) cos( ) h( )= 4 10 je 50 rad s .

a) Odrediti kompleksni lik F s∗( ) dobijene povorke odbiraka f t∗( ) .

b) U s-ravni nacrtati konfiguraciju polova i nula funkcije F s∗( ) .

24

f t A kT t kTk

∗

=

∞= −∑( ) cos( ) ( ) ,ω δ

0

a izraz (3.3) može se prepisati u obliku

[ ]F s A Aj kT j kTkTs kT s j kT s j

kk

∗−

− − − − +

=

∞

=

∞=

+= −∑∑( ) e e e e e( ) ( )

ω ωω ω

2 2 00

odnosno u zatvorenoj formi pod pretpostavkom da je e ( )− ± <T s jω 1

F s AT s j T s j

∗− + − −=

−+

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( )e e( ) ( )2

11

11ω ω . (3.6)

Konačno se za funkciju F s∗( ) dobija:

F s A A TT

Ts j T j T

Ts j T j T Ts

Ts Ts

Ts Ts∗

− −

− − −=− +

− + +=

−− +

( ) e (e e )e (e e ) e

e (e cos )e e cos2

21 2 12 2

ω ω

ω ωωω

. (3.7)

Pošto Laplaceova transformacija signala F p App

P pQ p

( ) ( )( )

=+

=2 2ω ima proste polove

p j1 2, = ± ω , kompleksni lik povorke odbiraka može se dobiti polazeći od formule (3.4)

F s P pQ p

Ajj

i

iiT s p T s j T s ji

∗

=− − − + − −=

′∑

−=

−+

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( ) ( )( ) e e e( ) ( ) ( )

1

2 11 2

11

11

ωω ω ω

što je istovetno sa izrazom (3.6).

Primena izraza (3.5) daje posle većeg broja matematičkih transformacija isti rezultat [21]. Tako se u ovom slučaju za kompleksni lik dobija

F s AT

A s jks jk

AT

s jks jk

s jks jk

ss

A

s

sk

s

s

s

sk

∗

=−∞

∞

=

∞

=+

+ +∑

=+

+ +−

− +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

+∑

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+

( ) ( )( )

( ) ( )

ωω ω

ωω ω

ωω ω ω

2 2

2 2 2 2 2 21 2

+ A2

+ +

F s AT s j jk s j jk s j

s j jk s j jk s jA

s sk

s sk

∗

=

∞

=

∞

=+ + + −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

∑⎧⎨⎪

⎩⎪

+− + − −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

∑⎫⎬⎪

⎭⎪+

( )( ) ( )

( ) ( )

12

1 1 1

12

1 1 12

1

1

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

+ + 12

+ + 12

što je ekvivalentno sa

0 T 2T 3T 25

F s As j

s j ks j

s j

s j ks j

As

ss

k

s

ss

k

∗

=

∞

=

∞=

+

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

+∑

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

+

−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

−∑

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

+( ) .2

12

21

21

2221

221π

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

+ +

Važi sledeća jednakost S x xx k xk

x

x( ) ee

=+

+∑ =+−=

∞ −

−2 1 1

12 21

2

2ππ

π [20]. Stoga se

prethodni izraz može prepisati u obliku

F s A S s j S s j A A

s s

T s j

T s j

T s j

T s j∗

− +

− +

− −

− −=+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+ =

+−

+ ++−

+⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

( ) ee

ee

( )

( )

( )

( )4 2 411

1 11

1π

ωω

ωω

ω

ω

ω

ω

odakle se posle sredjivanja dobija konačan izraz (3.7). b) Kontinualan signal f t A( ) ( , )= =4 10ω rad s i povorka odbiraka koja odgovara brzini odabiranja od ωs = 50rad s prikazani su na Sl. 3.3a.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-4

-2

0

2

4

f(t),f*(t)

t

jω

σ0

s

j10

-j10

a.

b.

-15 -10 -5 0 5

0

j50

j100

j150

-j50

-j100

-j150

jω

σ

Komplementarnipojasevi

s-ravan

Komplementarnipojasevi

Nyquistovo podru~je u~estanosti

c.

Sl. 3.3 a. Kontinualni signal i povorka odbiraka, b. Spektar kritičnih učestanosti kompleksnog lika F s( ) c. Spektar kritičnih učestanosti kompleksnog lika F s∗( )

26

Polovi kompleksnog lika F s∗( ) , ( ) (50 10), 0, 1, 2,n sp j n j n n= ω ±ω = ± = ± ± … su koreni jednačine 2 (2 )e 2e cos 1 0 odnosno e e , n=0, 1, 2, Ts Ts Ts j n TT π ±ω− ω + = = ± ± … .

Nule kompleksnog lika F s∗( ) , 1 ln cos 9.345 50 , 0, 1, 2,n sz T jn j n nT

= ω ± ω = − ± = ± ± … su

koreni jednačine e cosTs T= ω . 3-4. ZADATAK

a) Uočimo da će sračunavanje kompleksnih likova povorki odbiraka dva signala po formuli (3.3) dati isti rezultat ukoliko su vrednosti tih signala u trenucima odabiranja iste. Na Sl. 3.6 pokazano je da je upravo to slučaj sa signalima e t e t1 2( ) ( ) i pri periodi diskretizacije T = 05. s .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

e1(t),e

1*(t)

t

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

e2(t),e *

2(t)

t

Sl. 3.6 Kontinualni signali e t e t1 2( ) ( ) i i odgovarajuće povorke odbiraka b) Saglasno izrazu (3.7) kompleksni likovi povorki odbiraka dobijenih diskretizacijom signala e tn ( ) , su

E s TTn

Tsn

Tsn

Ts∗

−

− −=−

− +( ) e cos

e cos e,1

1 2 2ω

ω odnosno, kako je T = 05. s

( )E s nn

Ts

Ts

∗−

−=

−

−=( ) e

e, , .1

11 22

Ako je perioda diskretizacije T = 05. s , naći kompleksne likove povorki odbiraka signala e t t e t t1 24 8( ) cos( ) ( ) cos( )= =π π i . Objasniti zašto su dobijeni kompleksni likovi jednaki i to: a) posmatrajući funkcije u vremenskom domenu; b) na osnovu rasporeda polova i nula kompleksnih likova u s-domenu.

0 T 2T 3T 27

Kompleksni lik E sn∗( ) poseduje nule i dvostruke polove u

2 , 4 , 0, 1, 2, .k s ss j k T jk k= π = ω ω = π = ± ± … Multiplikacija spektra kritičnih

učestanosti kompleksnog lika E sn∗( ) je pokazana na sl. 3.7 u oba slučaja.

j ω

σ0

j4 π

πj8

j4 π-

π- j8

s

a.

j ω

σ0

j4 π

πj8

j4 π-

π- j8

s

b.

-15 -10 -5 0 5

0

jω

σ

s-ravan

j4π

πj8

πj12

j4π-

π-j8

-j12 π

c.

Sl. 3.7 Spektri kritičnih učestanosti kompleksnih likova

a. E s1( ) ; b. E s2( ) ; c. E s nn∗ =( ), ,1 2

3-5. ZADATAK

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4

x(t)

t, s a.

0 1 2 3 4 5 6 7 80

1

2

3

4x*(t)

t, s b.

Sl. 3.8 Signali x t( ) i x t∗( )

Signal x t( ) prikazan na Sl. 3.8a diskretizuje se počev od trenutka t = 0 sa periodom diskretizacije od 05. s . a) Napisati izraz za dobijenu povorku odbiraka x t∗( ) . b) Naći kompleksni lik povorke odbiraka x t∗( ) .

28 a) Diskretizacijom signala x t( ) po vremenu dobija se povorka odbiraka

x t x kT t kT Tk

∗

=

∞= −∑ −( ) ( ) ( )δ

0, perioda diskretizacije,

tj.

x t t t t t tt t t t

∗ = − + − + − + − + −+ − + − + − + −

( ) ( . ) ( ) ( . ) ( . ) ( )( . ) . ( . ) ( ) . ( . )

2 05 4 1 2 15 2 5 2 335 05 4 5 5 05 55

δ δ δ δ δδ δ δ δ

,

koja je prikazana na Sl. 3.8b. b) Kompleksni lik povorke odbiraka signala x t( ) dobija se na osnovu (3.3) kao:

X s x kT

k

kTs s s s s s s

s s s

∗

=

∞ − − − − − − −

− − −

= ∑ = + + + + +

+ + +

( ) ( ) e e e e e e e

. e e . e

. . . .

. .0

0 5 15 2 5 3 3 5

4 5 5 5 5

2 4 2 2

05 05,

odnosno

( )( )X s s s s s∗ − − − −= + + +( ) e e . e e. .0 5 2 4 0 5 22 05 1 .

3-6. ZADATAK

a) Na osnovu (3.3) dobija se

F s akT kTs

k

kT s a

kT s a

T s a∗ − −

=

∞ − +

=

∞

− +− += =∑ ∑ =

−<( ) e e e

e, e .( )

( )( )

0 0

11

1

Saglasno relaciji (3.4) je

( )F s p ap ap a T s p T s a

∗

→− − − − += ++ −

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

−( ) lim

e e.( ) ( )

1 11

11

Izraz (3.5) daje isti rezultat; naime

[ ]F sT

F s jk F s jk F s f

Ts a

s a k s a

s a

s a ks a

s sk

sk

s

ss

k

∗

=

∞ +

=

∞

=

∞

= + + − +∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭+

=+

+ ++

+∑

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭+ =

+

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

+ +∑

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪

⎭

⎪⎪

+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

1 12

0

1 2 1 12

12

21 1

2

1

2 2 21

221

ω ω

ω πω

ω ω

Odrediti kompleksni lik F s∗( ) diskretnog signala f t∗( ) koji je dobijen diskretizacijom kontinualnog kauzalnog signala f t( ) idealnim odabiračem periode odabiranja T . a) f t at( ) e= − ; b) f t t( ) h( )= .

0 T 2T 3T 29

pa je

F sT s a

T s a T s a∗

− +

− + − +=+−

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

−( ) e

e e.

( )

( ) ( )12

11

1 11

b) F s kTs

ksT

sT∗ −

=

∞

−−= =∑

−<( ) e

e, e ;

0

11

1

F s ppp T s p sT

∗

→ − − −=−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭=

−( ) lim

e e;( )0

1 11

11

F sT s jk s jk s T

ss k ss sk sk

∗

=

∞

=

∞=

++

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +∑

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+ =

++∑

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭+( ) 1 1 1 1 1

21 2 1 1

212 2 2

1ω ω ω

( )

F s ss k s

s

sk s

sT

sT sT∗

=

∞ −

− −=+

∑ +⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪+ =

+−

+ =−

( ) ee e

.12

2 1 12

12

11

12

112 21π

ω

ω ω ππ

3-7. ZADATAK

Primenom teoreme Laplaceove transformacije o čistom vremenskom kašnjenju signala e t( ) dobija se E s E skTs

1( ) e ( )= − . Ako je E s∗( ) kompleksni lik povorke odbiraka

signala e t( ) , kompleksni lik povorke e t1∗( ) je tada E s E skTs

1∗ − ∗=( ) e ( ) .

Na osnovu rezultata prethodnog zadatka dobija se

( )

( )( )E s s s

s

s s∗

− − +

− −

− − +=

−−

−=

−

− −( )

e e

e e

e e,. . ( )

. .

. . ( )1

11

1

1

1 10 5 0 5 1

0 5 0 5

0 5 0 5 1

pa je

( )

( )( )E ss

s s1

0 5 15

0 5 0 5 1

1

1 1∗

− −

− − +=

−

− −( )

e e

e e.

. .

. . ( )

3-8. ZADATAK

Izraziti kompleksni lik povorke odbiraka signala e t e t kT t kT k1( ) ( ) h( ),= − − − ceo broj pomoću kompleksnog lika povorke

odbiraka signala e t( ) . Naći E s1∗( ) , ako je [ ]e t tt

111 1( ) e h( )( )= − −− − i T = 05. s .

Naći sve harmonike u frekvencijskom spektru povorke odbiraka dobijene diskretizacijom kauzalnog signala f t( ) odabiračem sa periodom odabiranja T = π 6 s . a) f t t( ) h( )= ; b) f t t( ) sin= 2 5 .

30

Prema relaciji (3.5) frekvencijski spektar F j∗( )ω pored osnovne komponente

F j( )ω sadrži više harmonike ili komplementarne komponente F j jn Ts s( ),ω ω ω π+ = 2 . a)

( )2 2 22

1 1 1 1 1 1 1( )2 2 2

1 1 2 2 122

s s s s

s s

F sT s s j s j s j s j

s sT s s s

∗ ⎡ ⎤= + + + + + +⎢ ⎥+ ω − ω + ω − ω⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= + + + +⎢ ⎥+ ω + ω⎣ ⎦

…

…

Dakle, saglasno Sl. 2.2e i prethodnoj diskusiji, harmonik na učestanosti ω = 0 multipliciran je u beskonačno komplementarnih harmonika na učestanostima

12; 24; 36;sn± ω = ± ± ± … , kako je to prikazano na Sl. 3.9b. b) Frekvencijski spektar povorke odbiraka prikazane na Sl. 3.9c sadrži saglasno Sl. 2.2h osnovni harmonik na učestanosti ω = ±5 , kao i beskonačno komplementarnih harmonika na učestanostima 7; 17; 19; 29; 31; 41;snω± ω = ± ± ± ± ± ± … , kako je to dato na Sl. 3.9d.

0.0 2.5 5.0

0

1

h(t)

t a.

*|F (j ω)|

-40 -20 0 20 40

100

105

1010

1015

ω b.

0 1 2 3 4 5

-2

0

2

2sin5t

t c.

|F*(jω)|

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

100

105

1010

1015

ω d.

Sl. 3.9 Signali, povorke odbiraka i frekvencijski spektri

0 T 2T 3T 31

3-9. ZADATAK

Kako je f fs0 2 1= = Hz i Hz , u izlaznom diskretizovanom signalu prisutne su

učestanosti 0 , 0,1, 2,sf kf k± ± = … , tj. ( )0,1,2, ,9 Hz 10 Hzf = <… , što odgovara frekvencijskom spektru prikazanom na Sl. 3.10. Dakle, primenjeni postupak diskretizacije nije u skladu sa teoremom odabiranja; dolazi do preklapanja spektralnih komponenti diskretizovanog signala, pa se učestanosti ne mogu razlikovati od svojih aliasa.

0 2 4 6 8 1010-16

1015

|F*(jω)|

f, Hz

Sl. 3.10 Aliasi učestanosti f0 2= Hz za učestanost odabiranja fs = 1 Hz

Osnovni alias za kružnu učestanost ω ω1 2> s određuje se prema relaciji [3]

( )ω ωω

ωω

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1 2 2s

ssmod ,

a u posmatranom slučaju to je ω = 0 .

Napomena. Budući da je frekvencijski spektar povorke odbiraka, dobijene diskretizacijom u skladu sa teoremom odabiranja, svojevrsna multiplikacija frekvencijskog spektra kontinualnog signala, proces odabiranja prati pojava tzv. alias efekta. Naime, učestanost ω predstavlja alias učestanosti ω ω+ n s , odnosno, kako je uobičajeno razmatrati samo pozitivne učestanosti, , , 2 , 2 ,s s s sω −ω ω +ω ω −ω ω +ω… gde je 0 2≤ <ω ωs . Posledice alias efekta, međutim, mogu biti jako neprijatne. Naime, visokofrekventni poremećaj se posle odabiranja može pojaviti kao signal niske učestanosti. Pretpostavimo, na primer, da je saglasno teoremi odabiranja i ostalim preporukama usvojena perioda odabiranja od T = 18 ms . Eventualni prostoperiodični poremećaj od 50 Hz bi se nakon odabiranja pojavio kao signal na učestanosti od samo

f fT

fs − = − = − ≅0 01 1

0 01850 56

.. Hz .

Vrši se diskretizacija prostoperiodičnog signala učestanosti 2 Hz . Kružna učestanost odabiranja je 2π rad / s . Navesti sve učestanosti manje od 10 Hz prisutne u diskretizovanom signalu. Šta se može reći o primenjenom postupku diskretizacije?

32 3-10. ZADATAK

Lako se pokazuje, da dva prostoperiodična signala različitih učestanosti ω1 i ω ω ω2 1= −k ks ( - ceo broj) imaju identične odbirke, pa se na osnovu istih ne mogu međusobno razlikovati. To je upravo slučaj kod signala e t e t1 2( ) i ( ) (videti Sl. 3.11a) pri

čemu je k = 1 , pa je e t1∗( ) alias signala e t2

∗( ) .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

t

e2(t)e1(t)

a.

Na Sl. 3.11b i Sl. 3.11c date su amplitudne frekvencijske karakteristike signala e t e t1 2∗ ∗( ) ( ) i , respektivno. Primetimo da su one

identične, što je rezultat alias efekta. Naime, u amplitudnim frekvencijskim spektrima signala e t e t1 2∗ ∗( ) ( ) i prisutne su učestanosti ( )ω > 0 :

1 1 1 1 1, , , 2 , 2 ,s s s sω −ω +ω ω +ω −ω + ω ω + ω … , odnosno

2 2 2 2 2, , 2 , , 3 ,s s s s−ω +ω ω −ω + ω ω +ω −ω + ω … Uočimo da su ovi nizovi učestanosti identični.

-40 -20 0 20 40

100

1015

|E1*(jω)|

ω

b.

-40 -20 0 20 4010-3

100

1015

*|E2(j ω)|

c. Sl. 3.11 Alias efekti u vremenskom i frekvencijskom području

Posledica alias efekta je teorema odabiranja ( )ω ωs ≥ 2 0 koja je samo u slučaju signala e t1( ) ispoštovana.

Signali e t t e t t1 25 15( ) cos ( ) cos= = i diskretizuju se odabiračem čija je kružna učestanost odabiranja ωs = 20 rad / s . Navesti učestanosti prisutne u frekvencijskim spektrima oba diskretizovana signala. Komentarisati dobijene rezultate.

Fenomen aliasa može se pojasniti u vremenskom domenu.

0 T 2T 3T 33

U anglosaksonskoj literaturi se za efekat preklapanja komponenti amplitudnog frekvencijskog spektra diskretizovanog signala koriste ravnopravno dva termina: aliasing i folding. Naime, signali viših učestanosti se pri procesu diskretizacije ( )ω ω0 2> s preslikavaju u interval 0 2≤ <ω ωs , što se grafički može interpretirati svijevrsnim savijanjem frekvencijskog spektra kontinualnog signala [3]. Na Sl. 3.12a prikazan je papir sa nacrtanim tipičnim spektrom kontinualnog signala čija je granična učestanost ( )ω ω0 2> s . Papir je zatim presavijen na mestima sa apscisama jednakim (2 1) 2, 0,1,2,sn n± + ω = … , kako je to za n = 0 prikazano na Sl. 3.12b. Nakon toga se spektar diskretizovanog signala dobija superpozicijom delova posmatranog spektra sa odgovarajućom fazom.

-ωs/2 ωs/20 a.

b.

c.

Sl. 3.12 Folding učestanosti

Otuda se kružna učestanost ω πs T2 = naziva Nyquistova ili folding učestanost.

34 3-11. ZADATAK

Na Sl. 3.13 prikazani su redom kontinualni signal f t( ) kao i povorke odbiraka dobijene diskretizacijom različitim brzinama od 50 20 10, rad si . Na osnovu već dobijenog transformacionog para (2.3), pokazuje se da amplitudna frekvencijska karakteristika signala f t( ) ima oblik kao na slici i da je granična učestanost spektra ω0 10= rad s .

-2

-1

0

1

2 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

c.

b.

a.

f

f(t), f*(t)

t

Sl. 3.13 Signali f t f t( ) ( ) i ∗

a) Kružna učestanost odabiranja je ω ωs > 2 0 . Osnovni spektar F j( )ω je u celosti sačuvan unutar Nyquistovog područja učestanosti u frekvencijskom spektru povorke odbiraka (Sl. 3.14a), koji je nacrtan prema relaciji (3.5) i prethodnoj diskusiji. b) Kružna učestanost odabiranja je ω ωs = 2 0 , što predstavlja teorijski minimum. Na Sl.3.14b vidi se da je

r e k o n s t r u k c i j a

100

50

0

-50

-1000

1

2

3

4

5

b.

c.

a.

|F*(jω)|

ω

Sl. 3.14 Amplitudne frekvencijske karakteristike

signala f t∗( )

kontinualnog signala f t( ) na osnovu

njegove povorke odbiraka f t∗( ) (Sl.3.13b ) još uvek moguća. c) Kružna učestanost odabiranja je ω ωs < 2 0 , pa se osnovni i

komplementarni spektri u F j∗( )ω

međusobno preklapaju. Na osnovu Sl. 3.14c vidi se da je informacija signala f t( ) u postupku diskretizacije (Sl. 3.13c) definitivno izgubljena.

Diskretizacija signala f t t( ) sinc ( )= 2 5 vrši se različitom brzinom. Neka je perioda diskretizacije: a) T = 2 50π s ; b) T = 2 20π s ; c) T = 2 10π s . Komentarisati proces diskretizacije u sva tri slučaja i nacrtati amplitudne frekvencijske karakteristike diskretizovanih signala.

-10 0 10 ω

|F (jω )|

π /5

0 T 2T 3T 35

3-12. ZADATAK

Saglasno teoremi odabiranja, učestanost diskretizacije treba da je f fs > 2 1 . Zbog multiplikacije frekvencijskog spektra kontinualnog signala, prisutni poremećaj se može pojaviti kao signal niske učestanosti unutar opsega učestanosti f f≤ 1 . Naime, ± f2 je alias učestanosti 2 , 1, 2,sf nf n± ± = … . Da bi se to izbeglo, učestanost odabiranja treba izabrati na način: ( ) ( )− + < − ∨− + > ∧ > ∀ ∈5 5 21 1 1 1 1f nf f f nf f f f ns s s za N , ili

( )fn

f fn

f f f ns s s< ∨ >⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∧ > ∀ ∈

4 6 21 1 1 za N .

Lako se pokazuje, da već za n ≥ 3 , prethodni uslovi postaju identični ili pak kontradiktorni osnovnom zahtevu f fs > 2 1 . Dakle, relevantne nejednakosti su:

( )( )

n f f f fn f f f f

s s

s s

= < ∨ >

= < ∨ >

1 4 62 2 3

1 1

1 1 ,

pa je skup dozvoljenih vrednosti učestanosti odabiranja odredjen sa [ ] [ )f f f fs ∈ ∪ ∞3 4 61 1 1, , , (3.8)

odnosno, skup dozvoljenih vrednosti periode diskretizacije sa

Tf f f

∈⎛

⎝⎜

⎤

⎦⎥∪

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0 1

61

4 11

31 1, , .

Učestanost f fs = 15 1. ne pripada skupu dozvoljenih vrednosti učestanosti odabiranja (3.8). Osnovni alias za učestanost poremećaja f f2 15= je u tom slučaju

f f f f fss

s2 12 2

05+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− =mod( ) . .

Na slici je prikazan amplitudni frekvencijski spektar signala čija je granična učestanost f1 . Zna se da je signal poremećaja prostoperiodičan učestanosti f f2 15≈ . Razmotriti izbor periode odabiranja. Nacrtati frekvencijski spektar signala dobijenog diskretizacijom sa kružnom učestanošću odabiranja od 15 1. f .

|F*(j f )|

''''-5f1 -f

1 1f

' ' ' '

1f5

A

f

36 Amplitudni frekvencijski spektar diskretizovanog signala je rezultat superpozicije frekvencijskih karakteristika povorki odbiraka dobijenih diskretizacijom osnovnog signala i signala poremećaja koje su prikazane na Sl. 3.15.

Sl. 3.15 Amplitudne frekvencijske karakteristike

3-13. ZADATAK

-3 -2 -1 0 1 2 3

|F(jf)|

0.0

f(f 1 )

1.5Af1

11.0Af

0.5Af1

a.

-3 -2 -1 0 1 2 3

100

105

1010

1015

|sin(5f1)|

f(f1) b.

Analogni signal sastoji se iz signala pravougaonog talasnog oblika amplitude ±1 i periode od 30 s kome je superponiran sinusoidalni poremećaj učestanosti 0 9. Hz , kao što je prikazano na slici . Vrši se njegova diskretizacija odabiračem učestanosti fs = 1 Hz . Komentarisati efekat prefiltracije filtrom drugog reda čija je realizacija data na slici .

0 15 30 45 60-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

f(t)

t, s

0 T 2T 3T 37

Kako ne postoji fizički signal sa strogo određenom graničnom učestanošću frekvencijskog spektra, harmonici viših učestanosti, mada obično znatno potisnuti, zbog alias efekta mogu se javiti kao niskofrekventni signali. Problem je utoliko ozbiljniji, ukoliko su visokofrekventne komponente signala periodične. Rešenje problema je analogna filtracija signala pre diskretizacije, kako bi se uklonile sve komponente signala sa frekvencijama iznad polovine frekvencije odabiranja. Ovakav analogni prefiltar naziva se antialiasing filtar. Napomenimo, da svi analogni senzori poseduju izvesne filtarske sposobnosti. Najjednostavniji je analogni RC filtar frekvencijske funkcije prenosa

G jj

RCf

f( ) , .ωωτ

τ=+

=1

1

Ako zahtevamo da prefiltar unosi slabljenje signala najmanje sa faktorom 10 na polovini učestanosti odabiranja, vremenska konstanta RC filtra mora da iznosi bar

ωτ τs

f f T2

100 3182

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≅ ⇒ = . .

Uočimo, međutim, da primenjeni filtar unosi slabljenje i korisnog signala. Ako je ω ωs = 10 0 , gde je ω0 granična učestanost frekvencijskog spektra signala, tada je slabljenje

G jf

( )ωω τ

002 2

1

1

12

3=+

= =−Δ

dB

i ono je svakako manje za signale niže učestanosti. U primeni su kompleksniji filtri višeg reda sa boljim filtarskim karakteristikama koji se dobijaju kaskadnim povezivanjem sekcija prvog i drugog reda. Koristi se Besselov, Butterworthov kao i tzv. ITAE (Integral Time Apsolute Error) filtar [3].

U razmatranom primeru je Nyquistova učestanost 0.5 Hz, pa poremećaj na učestanosti 0.9 Hz ima osnovni alias od 0.1 Hz, što znači da je značajno zastupljen u diskretizovanom signalu, kako je to prikazano na Sl. 3.16c. Butterworthov filtar drugog reda, koji je inače uobičajeni antialiasing filtar, efikasno uklanja sve komponente signala na frekvencijama iznad Nyquistove, kako je to prikazano na Sl. 3.16b i d. Uočavamo da je amplituda poremećaja značajno redukovana. Funkcija prenosa G s E s E si( ) ( ) ( )= 0 filtra prikazanog na Sl. 3.17 sračunava se u obliku Š2, Glava XIII - Analogna računska tehnikaĆ:

G s EE

ZZ Z ZZ Z

Z ZZ

Z ZZ

Z ZZ

Zf

i( ) ,= = −

+ + + +

0 4

1 3 4

2 5

3 4

5

1 3

5

1 4

51

a za zadate vrednosti impedansi postaje

38

( )( )

G sRC

s s RC RCf ( ) .= −

+ +

1

2 1

2

2 2ζ

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

f(t)

t, s a.

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

ff(t)

t, s b.

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

f*(t)

t, s c.

0 5 10 15 20 25 30-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

ff*(t)

t, s d.

Sl. 3.16 Rezultat primene prefiltra

a. Signal sa sinusoidalnim poremećajem; b. Filtrirani signal; c. Diskretizovani signal pod a. d. Diskretizovani signal pod b.

Sl. 3.17 Aktivni filtar drugog reda

Z Z Z R

ZCs

ZCs

1 3 4

2 52

33

2

= = =

= =

,

,ζζ

0 T 2T 3T 39

Prefiltar je, dakle, Buterworthov filtar drugog reda funkcije prenosa

G ss s RC

f

f ff( ) , , .=

+ += =

ω

ζω ωω ζ

2

2 221 1

2

0.1 1 100.01

0.1

1

|G(jω)|

ωb

ωs

bω f

0.1 1 10-200

-150

-100

-50

0argG(jω)

ω

Sl. 3.18 Dijagrami slabljenja i faze Butterworthovog filtra drugog reda

Ako je ω0 granična učestanost spektra signala koji se diskretizuje, filtar na toj učestanosti unosi fazno kašnjenje od

αζω ω

ω ωζωω

ω ω=−

≈ ⟩⟩arctg .2 20

202

00

f

f ff ako je

Slabljenje filtra na Nyquistovoj učestanosti je, međutim:

nG j s

s

f

s

f= = +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≈

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

12

12 2

4 2

( ).

ωωω

ωω

Eliminacijom ω f iz prethodne dve jednačine dobija se

ω ωζαs

n= 0

4 . (3.9)

Prema tome, za ( )α = 01 57. . rad o i n = 10 , na osnovu (3.9) zaključuje se da kružna

učestanost odabiranja treba da je 90 puta veća od granične učestanosti spektra signala koji se diskretizje. Napomenimo, da bi za manje brzine odabiranja, koje bi bile i realnije, trebalo uzeti u razmatranje i dinamiku samog prefiltra. U posmatranom slučaju je ω π πs sf= =2 2 rad s , pa se prelomna učestanost filtra

bira kao ω ωf s= = ≅2 10 0 9935 1. rad s .

40 3-14. ZADATAK

Nedostatak analize signala u diskretnom domenu je upravo činjenica da se o signalu sudi samo na osnovu njegovih vrednosti u trenucima odabiranja. Čak i u slučaju signala ograničenog frekvencijskog spektra od π T rad s , što garantuje korektnu diskretizaciju, signal može da poseduje značajne oscilacije čija je vrednost u trenucima odabiranja jednaka nuli. To je poznati fenomen tzv. skrivenih (hidden) oscilacija [3], [12]. U razmatranom primeru je r t t( ) h( )= . Odziv sistema može se naći i primenom programskog paketa CC [17]. kako je to prikazano u daljem tekstu.

Na Sl. 3.19 je prikazano kako se na osnovu povorke odbiraka c t∗( ) oscilacije u odzivu c t( ) i ne naslućuju. Naravno, sve ovo je rezultat alias efekta primenjene diskretizacije signala. Na Sl. 3.20 dati su logaritamski dijagrami slabljenja i faze za funkciju prenosa G j( )ω . Uočimo da perioda diskretizacije T nije odabrana u skladu sa teoremom odabiranja.

Od interesa je ukazati na prisustvo oscilatorne komponente u kontinualnom sistemu čijoj učestanosti upravo odgovara usvojena perioda odabiranja. Isto tako, saglasno izrazu (3.4) dobija se kompleksni lik povorke odbiraka izlaznog signala c t∗( ) u obliku

( )( )

( )( ) ( ) ( )C s

Ts Ts Ts

Ts Ts Ts

∗

−=

− −

− − − + ⋅⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

( ). e e . e .

e e . e . ..

0877 0 949 0 961

1 0135 0 961 1346 102 6 2

Očigledno je prisutno skraćivanje polova i nula u funkciji C s∗( ) , što ukazuje na mogućnost pojavljivanja skrivenih oscilacija, a isto tako upućuje na način da se, proverom očuvanja opservabilnosti sistema pri diskretizaciji, ista mogućnost eliminiše.

Razmatra se proces opisan funkcijom prenosa

( )G s C s

R s s s( ) ( )

( ) ..= =

++

+ +

11 0 02 2 2

π

π

Izlaz procesa diskretizuje se sa periodom T . Odrediti normalni jedinični odskočni odziv posmatranog procesa. Na osnovu vrednosti odziva u trenucima diskretizacije , 0,1, 2,kT k = … , za T = 2 s , komentarisati uočeni fenomen.

0 T 2T 3T 41

0 4 8 12 16 200.0

0.5

1.0

1.5

c(t),c*(t)

t, s Sl. 3.19 Normalni jedinični odskočni odziv procesa

i povorka odbiraka dobijena diskretizacijom sa T = 2 s

0.1 1 10

-20

-10

0

10

20

30

|G(jω)|, dB

ω(log)

argG(j ω )

0.1 1 10-200

-150

-100

-50

0

ω(log)

Sl. 3.20 Logaritamski dijagrami slabljenja i faze

funkcije prenosa G j( )ω

42 3-15. ZADATAK

Pošto se skrivene oscilacije mogu pojaviti upravo usled prisustva oscilatorne komponente u kontinualnom sistemu, čijoj učestanosti odgovara učestanost odabiranja, moguće je zaključiti da se oscilacije ne mogu detektovati u izlaznom signalu ako je T = τ , gde je

τπ

ω ζ=

−=

2

16 3148

2n

. s perioda oscilacija [2]

Takođe, koristeći rezultat iz prethodnog zadatka, možemo potražiti kompleksni lik

povorke odbiraka izlaznog signala c t∗( ) ako je r t t( ) h( )= . Lako se pokazuje, [1], [2], da ako je

( )f t b b t

a abb

at( ) e

arctg ,

= − +

=+ −

− sec cos 0θ ω θ

θωω

202

0

tada je

{ }( )2 2

0

2 20

( )( ) ( )

( )

a s bF s f t

s s a

+ω += =

⎡ ⎤+ +ω⎣ ⎦

L

i

{ } 02 2

0

e e e sec cos( )e( ) ( ) .e 1 e 2e e cos e

Ts Ts aTTs

Ts Ts Ts aT aT

b TbF s f tT

−∗ ∗

− −

⎡ ⎤− θ ω + θ⎣ ⎦= = −− − ω +

L

Tako se u našem slučaju ( a b= = =01 1 0 9950. , , .ω ) dobija

[ ]

C sT T

T

Ts

Ts

Ts Ts T T

Ts Ts T T∗

− −

− −=−

−− +

− +( ) e

e

e e e cos( . ) . e sin( . )

e e e cos( . ) e,

. .

. .1

0 995 0 9045 0 995

2 0 995

0 1 0 1

2 0 1 0 2

Neka je funkcija prenosa sistema, čiji se izlaz diskretizuje sa periodom T , data sa:

G s C sR s z

s zs s

z

n

n n

n

( ) ( )( ). , .

= =+

+ += = =

ωζω ω

ζ ω

2

1

12 2

1

201 1 1i

Odrediti pri kojim su vrednostima periode odabiranja prisutne skrivene oscilacije u odskočnom odzivu razmatranog sistema. Zaključak verifikovati simulacijom.

0 T 2T 3T 43

a da bismo proverili da li u funkciji C s∗( ) pri nekoj vrednosti periode odabiranja T dolazi do skraćivanja polova i nula istim faktorom, podelimo imenilac drugog sabirka u prethodnom izrazu brojiocem. Na osnovu rezultata deljenja vidi se da je skraćivanje moguće ukoliko je

[ ]{ }e cos( . ) . sin( . ) ;.− − + =0 2 21 0 995 0 9045 0 995 0T T T

ako usvojimo 0.995 2 , 1, 2, ,T m m= π = … prethodna jednakost jeste ispunjena. Dakle, oscilacije u izlaznom signalu ne mogu se sagledati u trenucima odabiranja ako je 6.3148 , 1, 2, .T m m= = … Slika 3.21 potvrđuje ovaj rezultat.

0 10 20 30 40 50 600.0

0.5

1.0

1.5

2.0

c(t )

t , s

Sl. 3.21 Simulacioni blok dijagram, normalni

jedinični odskočni odziv procesa i povorka odbiraka

0 10 20 30 40 50 600.0

0.5

1.0

1.5

2.0

c*(t)

t, s

44

P3-1. Naći kompleksni lik E s∗( ) signala datih sa:

e t t Ta t T( ) e h( )= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− − 2

2

( )( )

E ss s

( ) =+ +

11 2

( )( )

E s ss s

( ) =+ +1 2

( )( )

E ss s

Ts( ) e

=+ +

−

1 2

( )

( )( )E s

s s

T s

( ) e=

+ +

− 2

1 2

( ) ( )

E s ss s

( ) =+ +

2

21 2

E s ss s

( ) =+

+ +1

2 262

( )( )

E s ss s

( ) =+

− +2

1 1

( )( )( )

E sss s

Ts( )

e=

+− +

−21 1

2

P3-2. Naći kompleksni lik E s∗( ) ako je

( )( )( )

E ss

s sT( )

. e

., .

. s

=+ −

+=

−1 05 1

05 105

0 5 2

2 s .

P3-3. Uporediti spektre kritičnih učestanosti (polova i nula) kompleksnih likova E s E s( ) ( ) i ∗ u s - ravni za svaki slučaj iz problema 3.1. Koji se zaključak izvodi?

P3-4. Kompleksni lik vremenske funkcije e t( ) je

( )( )E s

ss s s

( ) =+

+ +

10 22 22

.

Na osnovu teoreme odabiranja odrediti maksimalnu vrednost periode diskretizacije koja će garantovati da je informacija sadržana u signalu e t( ) verno sačuvana u dobijenoj povorci odbiraka e t∗( ) .

0 T 2T 3T 45

P3-5. Diskretizacija signala, čiji je amplitudni frekvencijski spektar dat na slici, vrši se različitom brzinom: a) ωs = 120 rad s ; b) ωs = 240 rad s . Nacrtati amplitudne frekvencijske karakteristike diskretizovanih signala i komentarisati proces diskretizacije u oba slučaja.

ω

A

F(j ω)| |

||-100 100

20 20

(rad/s)

P3-6. U slučaju zadatka 3-12. razmotriti izbor prefiltra kao i odgovarajuće periode diskretizacije.

4-1. ZADATAK

Neka se kontinualni signal f t F j( ) ( )↔ ω koji ne sadrži harmonike van područja učestanosti ( )−ω ω0 0, diskretizuje odabiračem kružne učestanosti ω ωs ≥ 2 0 tako da se dobija

povorka odbiraka f t F j∗ ∗↔( ) ( )ω . Saglasno relaciji (3.5) je

F jTF j s

s( )

( )ω

ω ωω

ωω=

≤

>

⎧

⎨⎪

⎩⎪

∗

20

2

.

Polazeći od definicionog izraza za inverznu Fourierovu transformaciju (2.2) i zamenom F j( )ω prema prethodnoj relaciji kao i F j∗( )ω prema (3.3), dobija se:

Pokazati da se kontinualni signal f t( ) može rekonstruisati na osnovu povorke njegovih vrednosti ( ), 0, 1, 2,f kT k = ± ± … tzv. Shannonovom rekonstrukcijom, tj. po formuli (3.1).

48

f t F j T F j f kTj t j t

s

j t jk T

ks

s

s

s

( ) ( ) e d ( ) e d e ( ) e d= =∫ ∫ = ∫ ∑⎡⎣⎢

⎤⎦⎥−∞

∞∗

− −

−

=−∞

∞12 2

12

2

2

2

πω ω

πω ω

ωωω

ω

ωω ω

ω

ωω

pa je

f t f kT f kTj t kTs k

j t kT

s k

j t kT

s

s

s

s

( ) ( ) e d ( ) e( )

( )( )

= ∑ ∫ = ∑−=−∞

∞ −

− =−∞

∞ −

−

1 12

2

2

2

ωω

ωω

ω

ω ω

ω

ω

.

Otuda je [ ]f t f kTt kT

t kT Tk

s

s( ) ( )

sin ( )( )

= ∑−

−=

=−∞

∞ ωω

ωπ2

22 , s . (4.1)

Dobijenom formulom definiše se procedura koja je inverzna procesu odabiranja, a koja se može smatrati linearnim operatorom pri čemu funkcija [ ]sinc ( )ωs t kT− 2 predstavlja interpolacionu funkciju. Uočimo da se ne radi o kauzalnom operatoru, pošto se vrednost f u trenutku t sračunava na osnovu kako prethodnih { }f kT k t T( ): ≤ , tako i narednih odbiraka

{ }f kT k t T( ): > , gde je k- ceo broj. Ovo isključuje primenu Shannonove rekonstrukcije u upravljačkim aplikacijama, dok je sa stanovišta komunikacija ona ipak prihvatljiva. Grafička interpretacija relacije (3.1) data je na narednim slikama. Radi jednostavnosti, posmatra se kauzalni signal f t( ) koji se diskretizuje sa periodom T = 2.5 s . Signali f t( ) i deo povorke njegovih vrednosti prikazani su na Sl. 4.1. Prema relaciji (4.1) svaki odbirak je pomnožen odgovarajućom interpolacionom sinc funkcijom, centriranom u odnosu na odbirak, kako je to prikazano na Sl. 4.2 za k = 0 1 2 3 4, , , , . Suma ovih krivih daje funkciju f tr ( ) kojom se rekonstruiše originalni signal f t( ) . Slaganje izmedju ova dva signala zavisi od izabrane periode diskretizacije. Na Sl. 4.3

prikazani su rezultati Shannonove rekonstrukcije za različite periode diskretizacije. Uočava se, da je pri 25 puta bržoj diskretizaciji (Sl. 4.3d) od prvobitno usvojene (Sl. 4.3a), kvalitet rekonstrukcije zadovoljavajući.

0 2 4 6 8 101.2

1.4

1.6

1.8

2.0f(t)

t

a.

0 5 101.2

1.4

1.6

1.8

2.0f*(t)

t

b. Sl. 4.1 Signali f t f t( ) ( ) i ∗

49

0 5 10

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

k=0k=1k=2k=3k=4

f(kT)sinc[0.4π(t-kT)]

t Sl. 4.2 Neke interpolacione funkcije

0 5 101.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2 T=2.5 s

f(t)fr (t)

f(t)

t a.

0 5 101.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

T=0.5 s f(t)fr (t)

f(t)

t b.

0 5 101.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

T=0.2 sf(t)fr (t)

f(t)

t c.

0 5 101.2

1.4

1.6

1.8

2.0 T=0.1 s f(t)fr (t)

f(t)

t d.

Sl. 4.3 Neki rezultati Shannonove rekonstrukcije signala f t( )

50

Dakle, uređaj za rekonstrukciju signala (Sl. 4.4) čija je praktična realizacija

moguća, treba na osnovu povorke brojnih vrednosti 1 1(0), ( ), , ( ), ( ), ( ),k k k kf f t f t f t f t− +… … da rekonstruiše originalni signal. Najčešće korišćeni metod pri rekonstrukciji signala je polinomna ekstrapolacija. Otuda je procena signala f t( ) u intervalu t t tk k≤ < +1 moguća polazeći od razvoja funkcije u Taylorov red u posmatranom intervalu

(2)

(1) 2( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ,

2!k

k k k k kf t

f t f t f t t t t t= + − + − +… (4.2)

gde je sa …,2,1),()( =itf ki označen i-ti izvod od f t( ) u t tk= ; dakle,

f t f t t t tk k k( ) ( ),≅ ≤ < +1 . Kako je signal f t( ) nepoznat, njegovi izvodi mogu se aproksimirati redom na način:

{ }

( ){ }

(1)1

1(2)

1 221

1( ) ( ) ( )

1( ) ( ) 2 ( ) ( )

k k kk k

k k k kk k

f t f t f tt t

f t f t f t f tt t

−−

− −−

≅ −−

≅ − +−

pa je za aproksimaciju izvoda f tnk

( ) ( ) potrebno 1+n odbiraka posmatranog signala.

Sl. 4.4 Rekonstrukcija signala f t( )

Najjednostavnija kauzalna rekonstrukcija analognog signala f t( ) na osnovu povorke odbiraka definisana je prvim članom Taylorovog reda (4.2) 1( ) ( ), , 0,1,2, .h k k kf t f t t t t k+= ≤ < = … (4.3) Dakle, rekonstruisani analigni signal je u delovima konstantna funkcija, neprekidna sa desne strane i jednaka diskretizovanom signalu u trenucima odabiranja. Kolo koje na svom izlazu generiše stepenasti signal konstantne vrednosti u svakom od vremenskih intervala naziva se kolom zadrške nultog reda. Kauzalna polinomna ekstrapolacija prvog reda može se izraziti pomoću prva dva člana Taylorovog reda (4.2)

1 11

( ) ( ) ( ) ( ) , , 0,1,2, . (4.4)kh k k k k k

k k

t tf t f t f t f t t t t k

t t − +−

−= + − ≤ < =⎡ ⎤⎣ ⎦−

…

Kolo zadrške prvog reda je uređaj za rekonstrukciju signala koji na svom izlazu daje ovakav u delovima linearan signal sa nagibom koji je u intervalu t t tk k≤ < +1 određen vrednostima odbiraka f t f tk k( ) ( )−1 i

51

Uočimo da je izloženi metod rekonstrukcije primenljiv i u slučaju neperiodičnog kvantovanja signala po vremenu, što nije bio slučaj sa Shannonovom rekonstrukcijom.

Nadalje ćemo razmatrati proces rekonstrukcije signala u slučajevima periodičnog odabiranja t kT kk = =, , , ,...,0 1 2 T - perioda odabiranja .

4-2. ZADATAK

a) Kolo odabiranja i zadrške nultog reda na svom izlazu daje signal koji ima konstantne vrednosti izmedju dva sukcesivna trenutka odabiranja. Dakle,

[ ] [ ]

[ ] . )3h()2h()2()2h()h()()h()h()0()(0

…+−−−+

−−−+−−=

TtTtTfTtTtTfTttftf h

Laplaceova transformacija signala f th0( ) je

2 2 3

0

2

0

1 e e e e e ( ) (0) ( ) (2 )

1 e (0) ( )e (2 )e

1 e ( ) e

Ts Ts Ts Ts Ts

h

TsTs Ts

kTs

k

F s f f T f Ts s s s s s

f f T f Ts

f kT

− − − − −

−− −

∞−

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤ −= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∑

…

…

1 e( ) .Ts Ts

F ss s

− −Δ∗ −

=

(4.5)

Kako drugi član u proizvodu (4.5) ne zavisi od ulaznog signala, on može predstavljati kolo zadrške nultog reda; dakle, funkcija prenosa kola zadrške nultog reda je po definiciji

Na slici prikazano je kolo odabiranja i zadrške nultog reda. Perioda odabiranja je T s . a) Pokazati da se razmatrano kolo može opisati blok dijagramom datim na slici . b) Naći impulsni odziv kola zadrške nultog reda. c) Odrediti frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda. d) Kako se kolo odabiranja i zadrške nultog reda može fizički realizovati?

52

G s F sF s sh

hTs

00 1( ) ( )( )

e= =

−∗

−

, (4.6)

pa se kolo odabiranja i zadrške može predstaviti blok dijagramom prikazanim na slici .

b) Odziv kola zadrške nultog reda na jediničnu impulsnu pobudu u trenutku t = 0 je g t t t Th0( ) h( ) h( );= − − (4.7)

Laplaceova tarnsformacija normalnog impulsnog odziva (početni uslovi jednaki su nuli) g th0( ) je, po definiciji, funkcija prenosa kola zadrške nultog reda

{ }0 01 e( ) ( ) .

Ts

h hG s g ts

−−= =L

Koristeći programske pakete VisSim i MATLAB sa SIMULINKom snimljeni su normalni impulsni odzivi kola zadrške nultog reda ( T = 1 s ) i prikazani na narednim slikama. Odzivi na Sl. 4.4 i 4.5 verifikuju poslednju relaciju.

Sl. 4.4 Snimanje normalnog impulsnog odziva kola zadrške nultog reda

primenom programskog paketa VisSim

c) Frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda dobijamo na način

( )G j G sj

Th h s j

j T

s

s

s

j

s

s0 0

1 2 2( ) ( ) e sineω

ωπω

πω ωπω ω

πωω

ωπω ω= =

−= ==

−− , .

53

1

PulseGenerator

+-

Zero-OrderHold1

0 0.5 1 1.5 2-0.5

0

0.5

1

t, s

gh0

(t)

Sl. 4.5 Snimanje normalnog impulsnog odziva kola zadrške nultog reda

primenom programskog paketa MATLAB sa SIMULINKom

Frekvencijske karakteristike (amplitudna i fazna) kola zadrške nultog reda date su sa

( )G jhs

s

s0

2( )sin

ωπω

πω ωπω ω

= ,

(4.8)

arg ( ) ; sin( )sin( )G jh

s

ss

00 0

0ω πωω

θ θ πω ωπ πω ω= − + = ≥

<⎧⎨⎩

.

Na Sl. 4.6 prikazane su frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda ( T = 0 2. s ).

0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

ωs

|Gh0(jω)|

ω

argGh0 (jω)

0 20 40 60 80 100-200

-150

-100

-50

0

ωωs

Sl. 4.6 Frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda

d) Praktična realizacija kola odabiranja i zadrške nultog reda prikazana je na Sl. 4.7. Kada je prekidač zatvoren, kondenzator se puni do ulaznog napona. Napon na kondenzatoru nakon otvaranja prekidača ne bi trebalo da se promeni do njegovog narednog zatvaranja.

Sl. 4.7 Realizacija kola zadrške nultog reda

54 4-3. ZADATAK

*Model odabiranja i zadrške razvijen je u Laboratoriji za automatiku Elektronskog fakulteta u Nišu sa ciljem ilustracije praktičnih aspekata procesa odabiranja i rekonstrukcije signala [22]. Za proveru performansi realizovanog modela korišćen je 3042A AUTOMATIC NETWORK ANALYZER-HEWLETT-PACKARD.

Analizirati način rada laboratorijskog modela odabiranja i zadrške čiji je logički dijagram prikazan na slici * . Rezultati eksperimentalne provere njegovog rada dati su na slikama i . Uporediti snimljene frekvencijske karakteristike realizovanog kola odabiranja i zadrške na slici sa odgovarajućim karakteristikama prikazanim na Sl. 4.6 i prokomentarisati postojeću razliku. Razmotriti rezultate ilustrovane slikom .

a. Amplitudni spektar signala f(t)

b. Amplitudni spektar signala fh0

(t)

55

Laboratorijski model odabiranja i rekonstrukcije signala realizovan je pomoću standardnih linearnih i digitalnih integrisanih kola [22]. Upotrebljeno je komercijalno integrisano kolo odabiranja i zadrške AD582 [23]. U konfiguraciji primenjenog kola odabiranja i zadrške kondenzator zadrške CH je element povratne sprege. Izlaz iz tajmera 555 je logički signal

koji se kao upravljački signal vodi na logički ulaz kola odabiranja i zadrške. Nivo ovog signala definiše režim rada primenjenog kola - odabiranje ili zadrška. Trajanje oba režima rada kola AD582 moguće je podešavati kontinualnom promenom otpornosti ( R1 ) i diskretnom promenom kapacitivnosti ( C1 ili C2 ) parametara odgovarajuće RC mreže na ulazu tajmera 555, saglasno relacijama:

T R R CT R C

1 1 2

2 2

110 69

= +=

. ( ). .

Promenom kapacitivnosti kondenzatora zadrške ( C CH1 H2 ili ) moguće je uticati na tačnost rada primenjenog kola; u slučaju manjih vrednosti kapacitivnosti mogu se očekivati veća izobličenja u izlaznom signalu, tj. uočavaju se eksponencijalna slabljenja impulsa u toku periode diskretizacije.

Uočimo da impulsno-modulisani signal f t∗( ) nije dostupan merenju u fizički realizovanom modelu procesa odabiranja i zadrške (slika ), ali se javlja pri matematičkom tretiranju problema odabiranja i zadrške (videti zadatak 4-2. slika ).

Snimljene frekvencijske karakteristike prikazane na slici odgovaraju frekvencijskim karakteristikama kola zadrške nultog reda u slučaju periode diskretizacije T = 0 0002. s . Uočavaju se poremećaji u vidu uskih impulsa na učestanostima

2, 1, 2,skf k = … . Pojava ovih impulsa zaslužuje posebnu pažnju.

Poznato je, da se proces odabiranja može tretirati kao oblik impulsne modulacije gde je noseći signal povorka jediničnih impulsa

i t t kTk

( ) ( ) ,= −∑=−∞

∞δ

a f t( ) je modulišući signal [1]. Periodični signal i t( ) može se razviti u Fourierov red na način

i t A AT

i t tT Tk

jk tk

k

jk t

T

T

ss s( ) e , ( ) e d , .= =∑ ∫ = =

=−∞

∞ −

−

ω ω ωπ1 1 2

2

2

Dakle,

56

( ) ( )

i tT T

T Tk t

jk t

k

jk t

k

jk t

k

jk t jk t

ks

k

s s s

s s

( ) e e e

e e cos .

= ∑ = ∑ + + ∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= + +∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= + ∑

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=−∞

∞

=−∞

−

=

∞

−

=

∞

=

∞

1 1 1

1 1 1 1 2

1

1

1 1

ω ω ω

ω ω ω

Ako na ulaz kola odabiranja i zadrške dovedemo prostoperiodičan signal kružne učestanosti ω i faze ϕ ( ) [ ]f t t j t( ) sin e ,( )= + = +ω ϕ ω ϕI m (4.9)

povorka odbiraka na izlazu idealnog odabirača data je sa

( )

[ ]

f tT

t k t t

Tt k t t k t t

sk

s sk

∗

=

∞

=

∞

= + + ∑ +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= + + + + − − −∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

( ) sin( ) cos sin( )

sin( ) sin( ) sin( ) .

1 2

11

1

ω ϕ ω ω ϕ

ω ϕ ω ω ϕ ω ω ϕ (4.10)

Dakle, signal f t∗( ) sadrži osnovnu komponentu na učestanosti ulaznog signala ω. Ona je pomnožena sa 1 T što predstavlja stacionarno pojačanje odabirača. Signal sadrži takođe i komplementarne komponente koje odgovaraju učestanostima k sω ω± (uporediti sa alias efektom razmatranim u prethodnoj glavi). Izlazni signal kola odabiranja i zadrške dobija se linearnim filtriranjem signala f t∗( ) [1]. • Za ω ω ω≠ k s s2 2, - je Nyquistova učestanost, osnovna komponenta izlaza je*

( )0 0

1( ) ( ) e ;j th hf t Im G j

Tω +ϕ⎡ ⎤= ω⎣ ⎦ (4.11)

• za ω ω= k s 2 dolazi do superpozicije harmonika na učestanosti ω ω ω i k s − ; tako se za k = 1 dobija komponenta

{ }

( ){ }

0 ( ) ( )0 0 0

j2 ( ) ( )2

0 0

1( ) ( )e ( )e

1 11 e ( )e 2e sin ( )e .

j t j th h h

j j t j th h

f t Im G j G jT

Im G j Im G jT T

ω +ϕ ω −ϕ

π⎛ ⎞−ϕ⎜ ⎟− ϕ ω +ϕ ω +ϕ⎝ ⎠

= ω − ω

⎧ ⎫⎪ ⎪= − ω = ϕ ω⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(4.12) Dakle, prenos osnovne učestanosti okarakterisan je sa

0

00 ( )

20

1 ( ) 2( ) 1, 2, .

2 ( ) e sin 2

h s

h jh s

G j kTG j k

G j kT

π−ϕ

⎧ ω ω ≠ ω⎪⎪ω = =⎨⎪ ω ϕ ω = ω⎪⎩

… (4.13)

*Kada je linearan, stacionaran sistem sa koncentrisanim parametrima pobuđen prostoperiodičnim signalom, njegov izlaz je takođe prostoperiodičan signal učestanosti kao i ulazni signal, ali različite amplitude i faze [2].

57

Za ω ω≠ k s 2 prenos osnovne komponente signala određen je funkcijom prenosa kola; uočimo, međutim, da on na Nyquistovoj učestanosti ωs 2 kritično zavisi od ϕ - tj. od same sinhronizacije ulaznog prostoperiodičnog signala u odnosu na trenutke diskretizacije. Svakako da, zbog prisutne diskretizacije u kolu, postoje komponente izlaznog signala i na drugim učestanostima. U praktičnim realizacijama posebno je važno efikasno izvršiti odgovarajuće filtriranje viših harmonika; štaviše, čak i u slučaju savršenog filtriranja, prisutni su pomenuti problemi na Nyquistovoj učestanosti. Pojava impulsa na frekvencijskim karakteristikama na slici je u saglasnosti sa razmatranim fenomenom prenosa signala koji je iskazan relacijama (4.9) i (4.13), pošto odgovarajuća sinhronizacija između početka procesa odabiranja u modelu i snimanja frekvencijskih karakteristika nije ostvarena. Uočava se, takođe, da je snimljena karakteristika faze prekidna funkcija za vrednosti argumenta , 1, 2,sf kf k= = … i da leži unutar opsega ( 0 150,− o). Od interesa je bilo snimiti i amplitudni spektar izlaznog signala kada je ulazni signal realizovanog modela prostoperiodična funkcija vremena. Na slici dati su amplitudni spektri ulaznog i izlaznog signala. Pošto se eksperimentisalo sa nedovoljno savršenim izvorom prostoperiodičnog signala, u amplitudnom spektru ulaznog signala su, pored osnovnog harmonika na f = 1 kHz , prisutni i oslabljeni viši harmonici. Amplitudni spektar izlaznog signala sadrži pored osnovnog harmonika na učestanosti f = 1 kHz i više harmonike na učestanostima , 1,2,skf f k± = … pri čemu je f kHzs = 5 , što jasno ilustruje multiplikaciju spektra ulaznog signala duž frekvencijske ose kao posledicu diskretizacije izvedene u skladu sa Shannonovom teoremom odabiranja. 4-4. ZADATAK

a) Na Sl. 4.8 prikazani su signali na izlazu kola odabiranja i zadrške nultog reda koji su dobijeni diskretizacijom signala

( )

2 2( ) e sa periodom s .sj t

se t Re T

ω+θ⎡ ⎤ π⎢ ⎥= =

⎢ ⎥ ω⎣ ⎦

Njihova amplituda očigledno zavisi od faznog ugla θ = 0 2 4, i rad .

Pretpostavimo da se signal

e t ts( ) cos= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ωθ

2

dovodi na idealni odabirač i kolo zadrške nultog reda. a) Nacrtati vremenski promenljivi signal koji se dobija na izlazu iz kola zadrške nultog reda i pokazati da je njegova amplituda funkcija faznog ugla θ .

b) Razvojem signala u Fourierov red pokazati da je komponenta signala na izlazu kola zadrške na učestanosti ω ω= s 2 funkcija faznog ugla θ .

58

0 2 4

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 θ=0 θ=2 θ=4

e(t)=cos[π t+θ]

t, s 0 2 4

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

θ=0eh0(t), T=1 s

e(t)

t, s

0 2 4

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

θ=2 rad

eh0(t), T=1 s

e(t)

t, s

0 2 4

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 θ=4 rad

eh0(t), T=1 s

e(t)

t, s Sl. 4.8 Kontinualni signali na ulazu i izlazu kola odabiranja i zadrške nultog reda

b) Slično kao i u prethodnom zadatku, za povorku odbiraka na izlazu idealnog

odabirača dobijamo:

( )e t

Tt k t t

Tt k t t k t t

ss

k

s

ss

ss

s

k

∗

=

∞

=

∞

= + + ∑ +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= + + + + + − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∑⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

( ) cos( ) cos cos( )

cos( ) cos( ) cos( ) .

12

22

12 2 2

1

1

ωθ ω

ωθ

ωθ ω

ωθ ω

ωθ

Uočimo da na učestanosti ωs 2 ( k = 1 ) dolazi do superpozicije harmonika tako da se dobija komponenta signala

( ) ( )0 2 20 0 0

( )20

1( ) ( ) e ( )e

1 2e cos ( )e ,

s s

s

j t j th h h

j tjh

e t Re G j G jT

Re G jT

ω ω+θ −θ

ω+θ− θ

⎧ ⎫⎪ ⎪= ω + ω⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫⎪ ⎪= θ ω⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

čija je amplituda funkcija faznog ugla θ.

59

4-5. ZADATAK

a) Odziv razmatranog kola zadrške na jediničnu impulsnu pobudu u trenutku t = 0 ima oblik prikazan na Sl. 4.9, gde je g t t t Th( ) h( ) h( ).= − − 2

0 100 2000

1

t

jedini~ni impuls

0 T/2

0 100 2000

1

t

gh(t)

0 T/2 Sl. 4.9 Jedinična impulsna pobuda i normalni

impulsni odziv kola zadrške

Dakle, funkcija prenosa kola zadrške je

{ }21 e( ) ( ) .

T s

h hG s g ts

−−

= =L

b) Frekvencijske karakteristike kola zadrške dobijamo na način

( )G j G sj

T TTh h s j

j Tj T( ) ( ) e sin

eωω

ωωω

ωω= =

−=

=

−−1

24

4

24 ;

frekvencijske karakteristike kola zadrške (amplitudna i fazna) date su izrazima

Na slici je prikazan izlaz iz kola zadrške koje služi za rekonstrukciju diskretizovanog signala. U toku prve polovine periode odabiranja izlaz zadržava vrednost ulaznog signala u trenutku odabiranja, dok se u toku druge polovine periode odabiranja vraća na nulu. a) Odrediti funkciju prenosa ovog kola zadrške. b) Nacrtati frekvencijske karakteristike razmatranog kola. c) Uporediti frekvencijske karakteristike kola sa karakteristikama kola zadrške nultog reda i izvesti zaključak pomoću kojeg kola je rekonstrukcija podataka uspešnija.

0 200 400 600 800

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0analogni signal

3T 7T/2 ...

T/2 T 3T/2 2T 5T/2

izlaz iz kola zadr{ke

60

( )G jhs

s

ss( )

sinω

πω

πω ωπω ω

ωπ

=2

2 , = 2

T

arg ( ) ; sin( )sin( )G jh

s

s

sω π

ωω

θ θ πω ωπ πω ω= − + = ≥

<⎧⎨⎩2

0 2 02 0 .

Na Sl. 4.10 prikazane su frekvencijske karakteristike razmatranog kola zajedno sa karakteristikama kola zadrške nultog reda ( T = 0 2. s ).

0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20IDEALAN NF FILTAR

|G(jω)|

ω

KOLO ZADR[KE

KOLO ZADR[KE NULTOG REDA

ωs ω

s2

0 20 40 60 80 100-200

-150

-100

-50

0 argG h(jω )

argG h0(jω )

argG(j ω)

ω Sl. 4.10 Frekvencijske karakteristike kola zadrške nultog reda i razmatranog kola

c) Na prvoj prethodnoj slici prikazane su amplitudne frekvencijske karakteristike razmatranog kola zadrške, kola zadrške nultog reda i idealnog NF filtra. Razmatrano kolo zadrške unosi značajno (dvostruko) slabljenje u području učestanosti osnovnog spektra ω ω≤ s 2 ; harmonike iz svih komplementarnih spektara povorke odbiraka ovo kolo zadrške

propušta uz manje slabljenje od kola zadrške nultog reda. Dakle, kolo zadrške nultog reda poseduje bolje karakteristike. Uostalom, na osnovu Sl. 4.11b može se konstatovati da je, stepenasti signal koji generiše posmatrano kolo mnogo gora aproksimacija kontinualnog signala od signala sličnog talasnog oblika koji na svom izlazu daje kolo zadrške nultog reda.

fh(t)

fh0(t)

Gra

0.1

+-

PulseGenerator

0

Switch

f(t)

Sine WaveZero-Order

Hold1

a.

0 2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

f(t) fh0(t)

fh(t)

t, s

b. Sl. 4.11 Način rada kola zadrške:

a. Simulacija korišćenjem programskog paketa MATLAB sa SIMULINKom, b. Kontinualni signali na ulazu i izlazu kola zadrške

61

4-6. ZADATAK

a) Kolo zadrške prvog reda daje na svom izlazu signal koji je u delovima linearna funkcija prema relaciji (4.4), gde je , 0,1,2,kt kT k= = … . Dakle, normalni impulsni odziv kola zadrške prvog reda g th1( ) , koji se dobija pobudom kola jediničnim impulsom u trenutku t = 0 , ima oblik prikazan na Sl. 4.12, gde je

20

.11

01

)(1

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

=−

=+

=

k

kTt

kTt

tg h (4.14)

0 100 2000

1

T0 t, s

JEDINI^NI ULAZ

0 2 4

-1

0

1

2

2TT0

gh1

(t)

t, s Sl. 4.12 Jedinična impulsna pobuda i normalni impulsni odziv kola zadrške prvog reda

Posle primene Laplaceove transformacije, nalazi se funkcija prenosa kola zadrške prvog reda

{ } .de1de1de)()()(2

00111 t

Ttt

TtttgtgsG st

T

T

stT

sthhh

−−−∞

∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=== L

Parcijalnom integracijom i nakon sređivanja dobija se

( )G s TsTsh1 2

21 1( ) e .Ts=+

− − (4.15)

Uočimo da se izraz (4.14) formalno može prepisati u obiku

a) Izvesti funkciju prenosa kola zadrške prvog reda. b) Pokazati da se pomoću kola prikazanog na slici može realizovati kolo zadrške prvog reda. c) Odrediti frekvencijske karakteristike kola zadrške prvog reda.

62

g t tT

t t TT

t T t TT

t Th1 1 2 1 1 2 2( ) h( ) h( ) h( ) ,= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

− + +−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−

pa je

( )G ss s s Ts

TsT sh

Ts TsTs Ts

Ts

1

2

22

21 2 1 1 2 1 1( ) e e e e e .= − + + − + =

+ −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− −− −

−

b) Izlaz c t( ) , sistema sa slike , je kontinualan. U sistemu važe relacije:

[ ]C s G s G s E sTs

sh( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,= + ∗0

1 i G(s) = Gh0 (4.16)

gde je E s∗( ) Laplaceova transformacija povorke odbiraka signala greške. Ako je G s∗( ) Laplaceova transformacija povorke odbiraka koja bi se dobila diskretizacijom normalnog impulsnog odziva g t( ) dela posmatranog sistema funkcije prenosa G s( ) , primenom osnovne teoreme algebre funkcija diskretnog prenosa [1] dobija se:

E s R s G s E s E s R sG s

∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗

∗= − =+

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

. ili 1

Primenom obrasca (3.4) nalazi se

G s G p

p

T pp

p

Ts

p

Ts

Ts

∗− −

−

→ − −

−

−

=− =

=−

−−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

−

( ) Res ( )e

e lim dd

( )e

ee

.

T(s p)

T(s p)

1 0

1 0 1 11 10

22

u dvostrukom polu

Otuda je ( )E s R s Ts∗ ∗ −= −( ) ( ) e ,1

pa se smenom u izraz (4.16) za C s( ) dobija

( )

C sTs

TsR s Ts

TG s R s

Ts

h( )e ( )

( ) ( ) ( ) .=− +

=+

−∗ ∗

1 1 12

2 02

c) Smenom s j= ω u (4.15) nalazi se

( )G j j TT j

j TT

TT

Th

j Tj T

1

22

21 1 1 2

2( ) e e

sin.ω

ωω

ω ωω

ωω=

+ −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+ ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

−−

Frekvencijske karakteristike kola zadrške prvog reda date su sa:

( )G j T T T

T

G j T T TT

h

h

12

2

1

1 22

2 0 2 02 0

( ) sin( ,

arg ( ) arctg( ) , sin( )sin( ) .

ω ωω

ω

ω ω ω θ θ ωπ ω

= +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= − + = ≥<

⎧⎨⎩

63

Na Sl. 4.13 prikazane su frekvencijske karakteristike kola zadrške prvog i nultog reda ( T = 0 2. s ).

0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

|Gh0(jω)|

|Gh1(jω)|

ωs

|Gh(jω)|

ω

0.000 15.708

-100

0

|| ωs/2

arctgG h1(jω)

arctgG h0(jω)

arctgG h (jω)

ω

Sl. 4.13 Frekvencijske karakteristike kola zadrške prvog reda

Od interesa je uočiti da je nagib fazne frekvencijske karakteristike kola zadrške prvog reda veći, jer je veće i integralno dejstvo sadržano u funkciji prenosa kola zadrške prvog reda u odnosu na kolo zadrške nultog reda; dakle njegova primena u sistemu sa zatvorenom povratnom spregom smanjuje pretek faze. Na narednim slikama date su frekvencijske karakteristike kola zadrške prvog reda snimljene korišćenjem programskog paketa CC zajedno sa procedurom njihovog dobijanja.

Sl. 4.14 Rezultati primene programskog paketa CC

64 4-7. ZADATAK

Uočimo da je rekonstrukcija signala pomoću kola zadrške nultog reda, čiji je način rada prikazan na Sl. 4.15, egzaktna inverzija procesu odabiranja samo u slučaju signala koji su neprekidni zdesna i u delovima konstantni izmedju trenutaka odabiranja. U svim ostalim slučajevima rekonstrukcija je praćena greškom [3], čija je najveća vrednost za periodično diskretizovan signal sa glatkim prvim izvodom, f t(1) ( ) , data sa

ε0 = − ≤max ( ) ( ) max ( )(1)k t

f t f kT T f t . (4.17)

0 200 400 600 800 1000

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

fh0(t)

f(t)

f(0)

t0 T 2T 3T 4T ...

0 200 400 600 800 1000

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 f(t)

fh0(t)

f(0)

t12T 13T0 1T

Sl. 4.15 Način rada kola zadrške nultog reda; T T1 3=

0 200 400 600 800 1000-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

fh1(t)

f(t)f(T)

f(0)

t0 T 2T 3T 4T ...

1000

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

fh1(t)

f(t)

f(T 1)f(0)

t

0 0 1T 12T 13T

Sl. 4.16 Način rada kola zadrške prvog reda; T T1 3=

Razmotriti problem izbora periode odabiranja sa gledišta minimizacije greške rekonstrukcije diskretizovanog signala pomoću kola zadrške nultog i prvog reda. Rezultate analize ilustrovati primerom odredjivanja maksimalne greške ( ε ε0 1max max ili ) koja se čini pri diskretizaciji i rekonstrukciji prostoperiodičnog signala učestanosti ω .

65

Na Sl. 4.16 pokazano je kako kolo zadrške prvog reda vrši ekstrapolaciju povorke odbiraka u kontinualni signal. Može se uočiti da je ekstrapolacija u pojedinim intervalima lošija od rezultata rekonstrukcije signala kolom zadrške nultog reda. Najveća greška rekonstrukcije odredjena je sa

[ ]{ }ε1 1= − −−

− −max max ( ) ( ) ( ) ( )k t

f t f kT t kTT

f kT f k T (4.18)

i može se u slučaju signala sa glatkim drugim izvodom , f t( ) ( )2 , proceniti pomoću

ε1

22

2≤

T f tt

max ( ) .( ) (4.19)

Inače, slika 4.13 pokazuje da kolo zadrške nultog reda na učestanostima bliskim nuli daje bolju aproksimaciju idealnog niskopropusnog filtra; na osnovu slika 4.15 i 4.16 kao i relacija (4.17) i (4.19) može se zaključiti da tačnost rekonstrukcije direktno zavisi od izabrane periode odabiranja T . Pretpostavimo da se diskretizuje prostoperiodičan signal f t t( ) sin= ω ; perioda

diskretizacije može se izraziti sa TN

=2πω

, gde je N broj odbiraka sinusoidalnog signala u

toku jedne njegove periode. Polazeći od izraza (4.17) i (4.19), a pošto je f t t(1) ( ) cos= ω ω i

f t t( ) ( ) sin2 2= −ω ω , maksimalne greške načinjene pri rekonstrukciji sinusoidalnog signala pomoću kola zadrške nultog i prvog reda nalaze se na način

ε ωπ

εω π

0 1

2 2

22

22

max max= =TN

TN

i = ( ) = . (4.20)

Na slikama 4.15 i 4.16 uočavamo da je diskretizacija signala izvršena različitim brzinama; dobijeno je N = 7 odbiraka (odnosno 3 odbirka) u jednoj periodi sinusoidalnog signala. Odgovarajuće maksimalne greške izračunate su korišćenjem relacija (4.20) i sređene u tablici 4.1. Kao što se vidi, rekonstrukcija signala pomoću kola zadrške prvog reda pri manjoj brzini diskretizacije je nešto lošija od rekonstrukcije pomoću kola zadrške nultog reda; pri tri puta većoj brzini diskretizacije ona je mnogo bolja.

Tablica 4.1 Greške pri diskretizaciji i rekonstrukciji sinusoidalnog signala za različite periode diskretizacije

N ε0 max ε1max

3 2.094 2.193 7 0.898 0.403

66 4-8. ZADATAK

a) Uočili smo, da na opsegu učestanosti ω ωπ

< =s T2 , kolo zadrške nultog

reda pri ekstrapolaciji odbiraka u kontinualni signal, unosi veliko slabljenje, za razliku od kola zadrške prvog reda čija amplitudna frekvencijska karakteristika tada ima preskok. Greška pri ekstrapolaciji može se redukovati na taj način, što se za nagib izlaznog signala posmatranog kola zadrške izmedju dva sukcesivna trenutka odabiranja, uzima da je konstantan i da se nalazi u granicama vrednosti nagiba izlaznih signala kola zadrške nultog i prvog reda. Prema tome, odziv ovog kola na jediničnu impulsnu pobudu u trenutku t = 0 ima oblik prikazan na prethodnoj slici, gde je

g t

tT

t T

tT

T t T

t Th ( ) ,=

+ ≤ <

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≤ ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

1 0

1 2

0 2

α

α

a čija se Laplaceova transformacija, koja je po definiciji funkcija prenosa kola zadrške, dobija u obliku

{ }0

( )( ) ( ) ( )e .

( )sth

h h hF s

G s g t g t dtF s

∞−

∗= = = ∫L

Otuda nalazimo

a) Pokazati da se funkcija prenosa kola zadrške razlomljenog reda, koje je zajedno sa normalnim impulsnim odzivom kola g th ( ) prikazano na narednim slikama, dobija u obliku

( )G s G sT

G shTs

h h( ) e ( ) ( )= − +− ≤ ≤1 0 02 0 1α

α α , gde je .

b) Skicirati amplitudnu i faznu frekvencijsku karakteristiku kola zadrške razlomljenog reda ako je α = 0 2 0 3 05. ; . ; . .

67

[ ] [ ]

G s tT

dt tT

dt

s Ts

hst

T

TTst

Ts Ts Ts Ts Ts

( ) e e

e e e e e

= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫∫

= − − + + + − +

− −

− − − − −

1 1

1 1 1 2

2

0

22

2

α α

α αα

,

odnosno

( )( ) ( )( )

G ss Ts

G sT

G s

hTs Ts Ts

Tsh h

( ) e e e

e ( ) ( ) .

= − − + −

= − +

− − −

−

1 1 1 1

1

2

2

0 02

αα

αα

Uočimo da se zamenom α = 0 dobija G s G sh h( ) ( )= 0 ; odnosno za α = 1 G s G sh h( ) ( )= 1 .

b) Od interesa je proučiti frekvencijske karakteristike ovog kola. One su prikazane

0 20 40 60 80 1000.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

ωs

α

α=0 α=0.2 α=0.3 α=0.5 α=1

|Gh(jω)|

ω

0 20-150

-100

-50

0α

α=0 α=0.2 α=0.3 α=0.5 α=1

argGh(jω)

ω Sl. 4.17 Frekvencijske karakteristike kola zadrške

razlomljenog reda

68 na Sl. 4.17 za različite vrednosti parametra α ∈( , . , . , . , )0 0 2 0 3 05 1 i za usvojenu periodu diskretizacije T = 0 2. s . Kao što se vidi, ekstrapolacija povorke odbiraka u kontinualni signal je najuspešnija za α = 0 2. . S druge strane, dobijena funkcija prenosa sadrži dvostruko integralno dejstvo, što negativno utiče na stabilnost upravljačkog sistema sa povratnom spregom, gde bi kolo zadrške moglo da nadje primenu. Štaviše, i sama funkcija prenosa zahteva relativno složenu fizičku realizaciju, pa ne postoji interes za praktičnom primenom ovog kola zadrške razlomljenog reda u digitalnim sistemima automatskog upravljanja.

4-9. ZADATAK

Ovaj način rekonstrukcije diskretizovanog signala sreće se u literaturi i pod nazivima trougaona zadrška ili pravolinijsko povezivanje tačaka. Odziv kola poligonalne zadrške na jediničnu pobudu u trenutku t = 0 ima oblik prikazan na Sl. 4.18, gde je

g t tT

t T tT

t t

tT

T t

tT

t Tph ph( ) h( ) h( ) ( ) .= +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ − =+ − ≤ ≤

− ≤ ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

1 2 1 0

1 0 ili g

0 1000

1

T0 t, s

JEDINI^NI IMPULS

0 1000

1g

hp(t)

1

T0-T t Sl.4.18 Jedinična impulsna pobuda i normalni

impulsni odziv kola poligonalne zadrške

Na slici je prikazan način rada kola poligonalne zadrške.

9 17 25 33 41 49 57 65-0.8

-0.4

0.0

...5T4T3T2TT0 t

Pokazati da je funkcija prenosa ovog kola ( )

G sTsph

Ts Ts

( )e e

.=− −1

2

2

Da li se kolo poligonalne zadrške može fizički realizovati?

69

Funkcija prenosa kola poligonalne zadrške dobija se u obliku

{ }0

0( ) ( ) 1 e 1 e .

Tst st

ph phT

t tG s g t dt dtT T

− −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫L

Parcijalnom integracijom i nakon sredjivanja dobija se

( ) ( )G s

Ts TsphTs Ts

Ts Ts

( ) e ee e

.= + − =−

−−

1 21

2

2

2

Kolo sa ovakvom funkcijom prenosa nije fizički ostvarljivo pošto postoji impulsni odziv na izlazu kola pre pojave signala na njegovom ulazu. 4-10. ZADATAK

Odziv kola zadrške, čiji je način rada ilustrovan prethodnom slikom, na jediničnu pobudu u trenutku t = 0 ima oblik prikazan na Sl. 4.19, gde je

g t tT

t tT

t T t

tT

t T

tT

T t Tph ph1 1

2 0

2 2( ) h( ) h( ) ( ) .= − − =

≤ ≤

− ≤ ≤

⎧

⎨⎪

⎩⎪

ili g

0 1000

1

T0 t, s

JEDINI^NI IMPULS

0 50 100 1500

1

2TT0 t

ghp

(t)1

Sl.4.19 Jedinična impulsna pobuda i normalni

impulsni odziv kola zadrške

Na slici je prikazan način rada kola za rekonstrukciju diskretizovanog signala pravolinijskom aproksimacijom. Uočimo da je ovo kolo u stvari kolo poligonalne zadrške sa kašnjenjem od jedne periode diskretizacije T . Odrediti funkciju prenosa ovog kola. Da li je kolo moguće fizički realizovati?

8 16 24 32 40 48 56 64-0.8

-0.4

0.0

t...5T4T3T2TT0

70 Funkcija prenosa razmatranog kola zadrške dobija se u obliku

{ }2

1 10

( ) ( ) e 2 e .T T

st stph ph

T

t tG s g t dt dtT T

− −⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫L

Parcijalnom integracijom i nakon sredjivanja dobija se

( )G sTs Ts Ts Tsph

Ts Ts Ts1 2

22 2 2

21 2 1 1 1( ) e e e .= − + = −− − − (4.21)

Kolo sa ovakvom funkcijom prenosa može se realizovati.

Od interesa je uočiti da se u biblioteci programskog paketa MATLAB sa SIMULINKom nalazi diskretini blok označen kao FIRST-ORDER HOLD. Analiza načina njegovog rada, koji je prikazan na Sl. 4.20, pokazuje da je ponuđeno kolo u stvari kolo poligonalne zadrške sa kašnjenjem od jedne periode diskretizacije.

0 5 10 15 20

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0 fh(t)

f(t)

t , s

Sl.4.20 Način rada kola FIRST-ORDER HOLD

4-11. ZADATAK Na slikama i prikazan je način rada dva kola trougaone zadrške. Nacrtati normalne impulsne odzive i odrediti funkcije prenosa ovih kola. Da li je kola moguće fizički realizovati? Pokazati da se njihovom kombinacijom može dobiti kolo poligonalne zadrške.

0 100 200 300 400 5000

2

4

fth1(t)

f(t)

...5T4T2T0 Tt

0 100 200 300 400 5000

2

4

fth2 (t)

f(t)

5T4T2T ...T0 t

71

Normalni impulsni odzivi datih kola trougaone zadrške imaju redom oblik

g t tT

t T tT

t g t tT

t tT

t Tth th1 21 1 1 1( ) h( ) h( ) ( ) h( ) h( )= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− i ;

njihove funkcije prenosa date su sa

G s TsTs

G s TsTsth

Ts

th

Ts

1 2 2 21 1( ) e ( ) e

=− + −

=+ −−

i .

Očigledno je, da se superpozicijom izlaza iz ova dva kola trougaone zadrške dobija signal kakav bi generisalo i kolo poligonalne zadrške. Ovu superpoziciju ilustruje slika 4.21; uostalom lako se pokazuje da je G s G s G sph th th( ) ( ) ( )= +1 2 . Podsetimo da je kolo poligonalne zadrške nemoguće fizički realizovati; prvo kolo trougaone zadrške je takođe samo fiktivno kolo.

0 100 200 300 400 5000

2

4

fph(t)

f(t)

fth2 (t)

fth1 (t)

...5T4T2TT0

t Sl. 4.21 Dobijanje kola poligonalne zadrške kombinacijom

kola trougaone zadrške

4-12. ZADATAK Signal e t t( ) sin= 5 4 dovodi se na ulaz kola odabiranja i zadrške nultog reda. Perioda diskretizacije je T = π 6 s . a) Navesti sve učestanosti ( ≤ 45 rad s ) koje su prisutne u izlaznom signalu. b) Skicirati amplitudne frekvencijske karakteristike ulaznog i izlaznog signala. c) Naći odnos amplituda harmonika na kružnim učestanostima ω1 8= rad s i ω2 16= rad s . Odrediti faze ovih harmonika.

72

a) Na Sl. 4.22a prikazani su talasni oblici ulaznog signala e t t( ) sin= 5 4 i

signala na izlazu kola odabiranja i zadrške nultog reda e th0( ) . Podsetimo da impulsno-

modulisani signal e t∗( ) u fizičkom kolu odabiranja i zadrške nultog reda nije dostupan merenju već je od koristi pri matematičkom tretiranju procesa odabiranja i rekonstrukcije signala. Odabrana perioda diskretizacije ( T = π 6 s ) zadovoljava uslov teoreme odabiranja; T f f≤ =1 2 20 0, π - je granična učestanost spektra signala koji se diskretizuje. Prema

relaciji (3.5) frekvencijski spektar povorke odbiraka E j∗( )ω pored osnovne komponente na učestanosti ω0 4= ± sadrži i beskonačno mnogo komplementarnih harmonika na učestanostima ω ω ω π0 2± =n Ts s, . Dakle u izlaznom signalu prisutni su harmonici na sledećim učestanostima ( ≤ 45 rad s ): ω ω ω ω ω ω ω ω ω0 0 0 0 02 3 4 4 8 16 20 28 32 40 44, , , , ; , , , , , , , .s s s s± ± ± − odnosno

0 1 2 3 4 5-6

-4

-2

0

2

4

6

eh0

(t)

e(t)

t, s a.

-8 -4 0 4 8

100

105

1010

1015

|E(jω)|

ω b.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

5x1014

1x1015

|E h0 (jω)|

ω

c.

Sl. 4.22 Princip rada kola zadrške nultog reda b) Na Sl. 4.22b i c prikazane su amplitudne frekvencijske karakteristike ulaznog i izlaznog signala. One ilustruju prethodnu diskusiju.

73

c) Odnos amplituda harmonika na kružnim učestanostima ω ω1 16= 8 i 2 = dat je sa

αωω

ωω

πω ωπω ω

= = =G jG j

h

h

s

s

0 1

0 2

2

1

1

22

( )( )

sin( )sin( )

.

Faze razmatranih harmonika su

ϕ π ππ

ϕ π π ππ

1 28 812

0 53

16 1612

43

( ) ( ) .j j= − − + = − = − − + = − i

4-13. ZADATAK

a) Normalni impulsni odziv g th2( ) dobija se pobudom kola jediničnim impulsom u trenutku t = 0 ; za k = 0 iz (4.2) se dobija

f t f f f TT

t f f T f TT

t t T0 220 0 0 2 2

20( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!, .= +

− −+

− − + −≤ <

Kako je f T f T f( ) ( ) ( )− = − = =2 0 0 1 i , normalni impulsni odziv kola u intervalu 0 ≤ <t T ima oblik

g t f t tT

tTh2 0

2

212

( ) ( )= = + + . (4.22)

Iz (4.2) može se dobiti odziv u intervalu T t T≤ < 2 za k = 1 ; tako je

( ) ( )f t f T f T fT

t T f T f f TT

t T1 220 2 0

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!.= +

−− +

− + −−

Pošto je f T( ) = 0 , normalni impulsni odziv kola u intervalu T t T≤ < 2 je

g t f t tT

tTh2 1

2

2( ) ( )= = − . (4.23)

Na slici je prikazano kolo odabiranja i zadrške drugog reda. Perioda odabiranja je T s .

a) Odrediti i nacrtati normalni impulsni odziv kola zadrške drugog reda. b) Koja je bitna mana ovog kola zadrške?

74

Za k = 2 iz (4.2) se dobija

( ) ( )f t f T f T f TT

t T f T f T fT

t T2 222 2 2 2 2 0

22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!.= +

−− +

− +−

S obzirom da je f kT k( ) ,= ≥0 2 , odziv u intervalu 2 3T t T≤ < postaje

g t f t tT

tTh2 2

2

22 22

( ) ( )= = − + . (4.24)

Normalni impulsni odziv g th2( ) je za t T≥ 3 identički jednak nuli. Saglasno tome i na osnovu (4.22), (4.23) i (4.24) ovaj odziv ima oblik prikazan na Sl. 4.23.

0 100 2000

1

T0 t, s

JEDINI^NI IMPULS

0 2 4 6 8 10

-2

-1

0

1

2

3

4T3T2TT0

gh2

(t)

t, s

Sl. 4.23 Jedinična impulsna pobuda i normalni impulsni odziv kola zadrške drugog reda

b) Kolo zadrške drugog reda u svakom intervalu odabiranja zahteva informaciju o tri prethodna odbirka, što usložnjava njegovu fizičku realizaciju. Takođe, u sistemu sa povratnom spregom njegova primena može biti kritična sa stanovišta stabilnosti.

75

P4-1. Na slici je prikazana povorka odbiraka na ulazima kola zadrške nultog i prvog reda. Nacrtati signale na njihovim izlazima.

0 2 4 6 8 10

-5

0

5

10

5T 6T 7T 8T

3T 4T

x*(t)

t0 T 2T

P4-2. Odrediti odnos amplitudnih frekvencijskih karakteristika α ω( ) (izražen u decibelima) kao i odnos faza φ ω( ) kola poligonalne zadrške čiji je način rada opisan u zadacima 4.9 i 4.10. Na osnovu faznih karakteristika verifikovati zaključak o mogućnostima njihove fizičke ostvarljivosti. P4-3. Pokazati da se pomoću kola prikazanog na slici može realizovati kolo poligonalne zadrške sa kašnjenjem od jedne periode diskretizacije čija je funkcija prenosa data sa (4.21).

P4-4. Nacrtati normalne odskočne odzive c t( ) sistema iz problema P4-3. za K = 05 1. , i 2 . P4-5. Signal f t a t a t( ) sin( ) sin( )= +1 22 20π dovodi se na ulaz kola odabiranja i zadrške nultog reda. Perioda odabiranja je T = 0 2. s . a) Navesti sve učestanosti prisutne u izlaznom signalu koje su manje od 20 Hz . b) Skicirati amplitudne frekvencijske karakteristike ulaznog i izlaznog signala. c) Šta se može reći o primenjenom postupku diskretizacije i rekonstrukcije signala?

Smenom z sT= e u (3.3) i (3.4) dobijaju se z- kompleksni likovi povorke odbiraka f t∗( ) , u oznaci { }( ) ( )F z f t∗= Z , koja je dobijena diskretizacijom kauzalnog signala f t( )

sa periodom T :

F z f kT z z rk

k( ) ( ) ,= ∑ >−

=

∞

00 (5.1)

i

F z F p zz

F pTpi

n( ) Res ( )

e=

−∑=1

u polovima funkcije ( ). (5.2)

Z- transformaciju možemo definisati i za nekauzalne signale na način [6]:

F z f kT z r z Rk

k( ) ( ) , .= ∑ < <−

=−∞

∞

0 0 (5.3)

Ako je F z( ) dato u vidu realne racionalne funkcije po z i konvergira kada z →∞ ,

moguće je odrediti original { }1( ) ( )f t F z−∗ = Z razvojem F z( ) u potencijalni red po z−1 ili razlaganjem F z( ) u zbir parcijalnih razlomaka [1].

78 Primena definicionog konturnog integrala inverzne z- transformacije je opšti postupak određivanja originala f t∗( ) ; tako je

f kTj

F z z zk( ) ( ) d ,= ∫ −12

1

π Γ (5.4)

gde kontura Γ leži u z- ravni unutar oblasti konvergencije funkcije F z( ) ; ako je f t∗( ) kauzalan signal , tada je oblast konvergencije van kruga najmanjeg poluprečnika koji obuhvata sve polove funkcije F z( ). Poznato je, da se konturni integral (5.4) može sračunati primenom teoreme o ostacima

f kT F z z F zk( ) Res= ∑ − ( ) u polovima funkcije ( ). 1 (5.5)

U Tablici 5.1 date su neke osobine z- transformacije koje olakšavaju njeno nalaženje i primenu [1].

Tablica 5.1 Neke osobine z- transformacije

osobina

Ako je { } { }1 1 2 2( ) ( ) i ( ) ( )F z f t F z f t= =Z Z , tada je:

linearnosti princip aditivnosti

princip homogenostiRST

{ }1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ;f t f t F z F z• + = +Z

{ }{ }

Ako je ( )= ( ) , tada je ( ) ( ), const .

F z f taf t aF z a

•= =

Z

Z

pomeranja

u vremenskom domenu

{ }

{ }1

0

( ) ( ) i

( ) ( ) ( )

n

nn i

i

f t nT z F z

f t nT z F z f iT z

−

−−

=

− =⎡ ⎤•

+ = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

Z

Z

pomeranja kompleksnog lika

{ } ( ) e eat aTF z ±• =∓Z

parcijalni izvod ( , ) ( , )f t a F z a

a a∂ ∂⎧ ⎫• =⎨ ⎬∂ ∂⎩ ⎭

Z

konvolucija originala

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=• ∑=

n

mmTnTfmTfzFzF

02121 )()()()( Z

početna i krajnja vrednost originala

( )•

= =

= −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

→ →∞

→∞ →

−

f f kT F z

f kT z F z

k z

k z

( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim ( )

0

1

0

11

79

5-1. ZADATAK

Smenjujući dato f k( ) u (5.1), dobija se

F z z zz

zz

zz

zz

z z z zz z

z z

z

k

k

k

k( ) ( ) ( )

( )( ).

= ∑ + ∑ =−

+−

=−

+−

=+ − −− −

< ∪ <

⇒ >

−

=

∞ −

=

∞ +−

−

−

− −

5 2 11 25

21 4

252

42 4 50

25 45 1 2 1

5

1

0

2 1

0

2 12

1

2

2

2 2

4 3 2

2 21 1 za

Kako je { } 1( ) !n nF p t n p += =L , smenom u (5.2) dobijamo

Odrediti z- kompleksne likove povorki odbiraka:

a) 2 1,3,5,( )5 0, 2, 4,

kk

kf kk

⎧ == ⎨=⎩

……

;

b) Povorka je dobijena diskretizacijom kauzalnog signala f t tn( ) = ;

c) Povorka je dobijena diskretizacijom signala f t t Tt T( ) e h( )( )= −− −5 5 , gde je h( )t Hevisajdov signal.

d) Z- transformacija povorke { } { }2( ) 1, , ,x k a a= … je X z z z a( ) ( )= − ,

az− <1 1 [1]. Naći z- transformaciju povorke { } { }2 31( ) 0, , 2 ,3 ,x k a a a= … .

e) Uopštiti rezultat iz prethodnog primera, odnosno naći { }{ }.)()( kxkzX nZ=

f) Povorka odbiraka dobijena je diskretizacijom prostoperiodičnog signala f t A t( ) cos= ω . Perioda diskretizacije je T = 0 2. s . Z- kompleksni lik

dobijene povorke je

F z z zz z

( ) ( . ).

.=−

− +3 0 6967

13934 12

Odrediti A i ω .

a)

b)

80

F z np

zz p n

n pp n

pz

z

n Tp

p

n

nn

n Tp

( ) Res !e .

!lim d

d( ) !

e.

=−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= +

−−

+

→

++= ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

1

01

1

0 11 0

u polu koji je reda

Otuda je

F zp

zz

n

n Tpp

( ) dd e

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=0

.

Poznato je [1], da je { }ee

ataT

zz

−−

=−

Z . Na osnovu osobine z- transformacije o

pomeranju u vremenskom području dobijamo

{ } .e

)()( 5Tz

zztfzF−

−∗

−== Z

Od interesa je dokazati sledeće: Ako je { }x k X z( ) ( )↔ transformacioni par, tada je

i { }kx k zz

X z( ) dd

( )↔ − . Dokaz je jednostavan:

{ }{ } ( ) ( )

.)(dd)(

dd

dd)()()()(

0

00

1

0

zXz

zzkxz

z

zz

kxzkzkxzzkkxkkx

k

k

k

k

k

k

k

k

−=−=

−===

∑

∑∑∑∞

=

−

∞

=

−∞

=

−−∞

=

−Z

Otuda je:

X z zz

X z zz

zz a

az a

az1 21 1( ) d

d( ) d

d ( ), .= − = −

−=

−<−

Lako se pokazuje, smenom z = 1, da je

X aa

a X ka aa

ak

k

k

k( ) , ( )

( ), .1 1

11 1

11

01 2

0= =

−∑ < = =

−∑ <

=

∞

=

∞ i

Proverimo:

za i ; n f t t F z zz

= = =−

01

, ( ) h( ) ( )

za i ; n f t t F z Tzz

= = =−

11 2, ( ) ( )

( )

za i . n f t t F z T z zz

= = =+

−2 1

12

2

3, ( ) ( ) ( )( )

c)

d)

81

Potražimo najpre z- transformaciju povorke x k k x k22( ) ( )= na način:

{ }{ } .)(dd

dd)1()(

dd)()()( 2

10

10

22 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=== ∑∑

∞

=

−∞

=

− zXz

zz

zzXz

zzkkxzkxkkxkk

k

k

kZ

Otuda je

{ }{ } .)(dd)1()(

dd

dd

dd)1()( zX

zzzX

zz

zz

zzkxk

nnnn

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ……Z

Povorka odbiraka, čiji se z- kompleksni lik traži, može se predstaviti u obliku

f t A kT t kT A t kTk

jwkT jwkT

k

∗

=

∞ −

=

∞= ∑ − =

+∑ −( ) cos ( ) e e ( ) ,ω δ δ

0 0 2

pa je na osnovu (3.3)

F s A AjwkT jwkT

k

kTsT s j T s j

T s j∗−

=

∞ −− − − +

− ±=+

∑ =−

+−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

<( ) e e ee e

e .( ) ( )( )

2 21

11

11

0ω ω

ω za

Otuda je

F z A z Tz z T

A z z Tz z T

( ) coscos

( cos )cos

.=−− +

=−

− +

−

− −1

2 1 2 1

1

2 1 2ωω

ωω

Kako je { } ωω

ω jppDpN

p

AptApF ±==+

== 2,122 i

)()(cos)( L , lako se nalazi

prema (5.2)

F z F p z

zp

N pD p

zz

A zz

zz

Az z Tz z T

iTp

i

iiTp j T j Ti

( ) Res ( )e

( )( ) e e e

( cos )cos

.

,= ∑−

=′

∑−

=−

+−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

−− +

=

=−

1

21 2

1

2

22 2 1

u polovima

ω ωωω

Tražena amplituda i učestanost nalaze se kao AT

s= = =3 1 0 6967 4 i radω arccos . .

5-2. ZADATAK

a) Pri nalaženju z- kompleksnog lika, obično se s- kompleksni lik razlaže u zbir parcijalnih razlomaka, pa se zatim za svaki razlomak određuje z- kompleksni lik [1]:

e)

f)

Date su Laplaceove transformacije signala čijom se diskretizacijom sa periodom T dobijaju povorke odbiraka. Odrediti njihove z- transformacije.

a) E ss s

( )( )

=+1

1 2

b) E s ss s

( ) ( )( )

=++

10 24 2

82

E ss s s s s

( )( ) ( )

=+

= −+

−+

11

1 11

112 2 , pa je

E z zz

zz

Tzz

T z T zz zT

T

T

T T T T T

T( )e

e( e )

( e e ) (e e e )( )( e )

;=−

−−

−−

=− − + − +

− −−

−

−

− − − − −

−11

12

2 2

2

b) Naravno, moguće je sračunati z- kompleksni lik i primenom definicionog obrasca (5.2)

E z E p zz

zz p

p pp p

zz

Tpp p

p Tp

( ) Res ( )e

!lim d

d( ) ( )

( ) e

,

=−

∑

=−

+ +++ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

= =−

→−

1 2 30 4

42

22016 1

11

4 10 24

i

.

Otuda se sređivanjem dobija

( )( ) ( )

( )E z z

zz z T

z

T z T z

z z

T

T

T T T T

T( ) ( ) e

e

e e e e

( ) e.=

−+

− + +

−=

− + − + −

− −

−

−

− − − −

−

2016 1

10 2 2 8

16

58

2 2 8 2 8 2

1

4

4 2

4 4 2 4 4

4 2

5-3. ZADATAK

a) Periodičnost odbiraka iskazana je relacijom

.,2,1,0),()( …=+= knTkTfkTf

Pomnožimo prethodnu diferencnu jednačinu sa z k− f kT z f kT nT zk k( ) ( ) ,− −= +

a) Odrediti z- transformaciju povorke odbiraka f t∗( ) koja je periodična sa periodom nT n, − ceo broj, T − je perioda diskretizacije. b) Odrediti z- kompleksne likove povorki odbiraka koje su prikazane na narednim slikama.

-1

0

1

...

k

r(k)

1

3

2

4 5

6 7 8

9 10 11

12 13 14

0

1

2

...

c(k)

k1 2 3 4 5 6 7 8 10 14

83

a pošto ova jednačina važi za svako k ≥ 0 , može se pisati

f kT z f kT nT zk

k

k

k( ) ( ) .−

=

∞ −

=

∞∑ = +∑

0 0

Na osnovu relacije (5.1) i osobine z- transformacije o pomeranju u vremenskom domenu dobija se

F z z F z f iT zn i

i

n( ) ( ) ( ) ,= − ∑

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−

=

−

0

1

odnosno rešavanjem po F(z) nalazi se

z F z F z f iT zn i

i

n− −

=

−= − ∑( ) ( ) ( )

0

1 i

F zf iT z

z

i

i

n

n( )( )

=∑

−

−

=

−

−0

1

1 . (5.6)

b) U slučaju periodične povorke date na slici je n = 6 , pa je:

R z z z z z z

zz z z z z z

zz z z z z z

z zz z z

z

( )

( ) ( )( )( )

( ) .

=+ + − − −

−=

+ + − − −−

=+ + − + +

+ −=

+ ++

− − − − −

−1

1 11 11 1

11

1 2 3 4 5

6

6 5 4 3 2

6

4 2 2

3 3

2

3

U slučaju periodične povorke date na slici je n = 4 , pa na osnovu (5.6) nalazimo da je

C z z z zz

z z zz

z z zz z

z zz z

( ) ( )( )( )

( )( )( )

.=+ +−

=+ +

−=

+ ++ −

=+

− +

− − −

−

1 2 3

4

3 2

4

2

2 2 22

12

12 1

1 11

1 1

5-4. ZADATAK

Kako bismo odredili z- transformaciju zadate povorke odbiraka podsetimo da je:

• { } { } ;1; 1az

aaz

za kk−

=−

= −ZZ

• ∂∂

2 1

231 2a

ak k a

kk

−−= − −( )( ) , a na osnovu osobine z- transformacije o

parcijalnom diferenciranju

Odrediti z- transformaciju povorke odbiraka koja je opisana sa

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−

<= − .

,2,1,0 za 2

)2)(1(0 za 0

)( 3…kakk

kkf k

84

• { }32

23

)(

21)2)(1(azaza

akk k

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=−

∂

∂--Z .

Uočimo da je na ovaj način određen z- kompleksni lik povorke odbiraka

{ } .)(

1)(,3 za0

3 za2

)2)(1()(

31

3

1az

kfk

kakkkf

k

−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥−−

=−

Z

Dakle, povorku f k( ) treba dopuniti redom odbircima f a( ) ,0 1 3= f f( ) ( )1 2 0= = , kako bi se dobila povorka odbiraka f k1( ) . Na taj način, nalazi se da je

traženi z- kompleksni lik

{ } { }

.)(

33

)(

)(

)(

11

)()2()1()0()(

33

223

33

33

33

121

aza

zaazz

aza

aaz

aza

kfzfzffkf

−

+−=

−

+−=

−+=

+= −− ZZ ++

Za proveru rezultata poslužiće nam programski paket CC. Usvojimo a = 2 .

5-5. ZADATAK

Od interesa je odrediti z- transformacije za sledeće dve povorke odbiraka.

1

f1(k)=h(k)

k1 2 3 4 5 ...-1-2-3

{f k k kk1

1 00 0( ) h( )= = ≥

<

F z zz

zz

zk

k1

01

111 1

1( ) , .= ∑ =−

=−

<−

=

∞

−−

Razmotriti ulogu oblasti konvergencije z- kompleksnog lika pri određivanju originala f t∗( ) pomoću konturnog integrala (5.4).

85

...

2f (k)

k0 1 2 3 4 5 ...

-1

-2-3 -1

{f k kk2

1 00 0( ) = − <

≥

F z z z zz

zk

k

k

k2

1

01 1

11( ) ( ) , .= −∑ = − −∑

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=

−<−

=−∞

−

=

∞

Uočimo da su nađene transformacije identične, uz napomenu da prva konvergira van, a druga unutar jediničnog kruga. Koliko je poznavanje oblasti konvergencije funkcije F z( ) bitno pri određivanju povorke odbiraka, biće ilustrovano na primeru upravo kompleksnog lika F z z z( ) ( )= −1 . Neka je T = 1. Pretpostavimo da je oblast konvergencije z > 1 . U tom slučaju se primenom definicionog obrasca (5.4) dobija

,d12

1)(1

11 ∫

>=

−

−=

Rz

k zzz

zj

kfπ

gde je kontura Γ krug čiji je poluprečnik veći od 1.

• Neka je k < 0 . U tom slučaju podintegralna funkcija ima dva pola unutar konture, z z= =1 0 i , pa se lako mogu sračunati ostaci u njima:

z zz

z zz

z zz k z

z zz

z

z

k

z

k

zk

k

z

k

kk

kk k

z

=−

= −−

=

=−

=−

−−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭= − − = −

=

−

→

−

=−

−

→

−

−

−−

=

11

11

1

01

11

01

1 1 1

1 1

0 0

1

11

0

; Res lim( ) ,

; Res( )!

lim dd

( ) ( ) ( ) .tog reda

Dakle, suma ostataka je nula, pa je f k k1 0 0( ) = < za . • Za k ≥ 0 , podintegralna funkcija ima samo pol u z = 1 i ostatak u njemu

je 1. Dakle, f k k1 1 0( ) = ≥ za . Prema tome, traženi original je

,)h(1

)( 11 k

zzkf =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= -Z u slučaju da z

z −1 konvergira za z > 1 .

Pretpostavimo da je oblast konvergencije z < 1 . Kontura Γ je dakle krug unutar jediničnog kruga.

• Neka je k ≥ 0 . Unutar konture Γ ne nalazi se nijedan pol podintegralne funkcije u (5.4), pa je f k k2 0 0( ) = ≥ za .

• Za k < 0 , unutar konture je pol u koordinatnom početku i ostatak u njemu je -1, tako da je f k k2 1 0( ) = − < za .

86 Prema tome, traženi original je

12 ( ) h( ) 1 ,

1zf k k

z− ⎧ ⎫= = −⎨ ⎬−⎩ ⎭

Z u slučaju da zz −1

konvergira za z < 1 .

5-6. ZADATAK

Razvoj F z( ) u potencijalni red po z−1

2 1 2 3 4 5

1

1

1 2

1 2

1 2 3

2 3

2 3 4

3 4

3 2 3 7 15 31( 3 2 )

3 2(3 9 6 )

7 6(7 21 14 )

15 14(15 45 30 )

31 30

z z z z z z z zz z

zz z

z zz z z

z zz z z

z z

− − − − −

−

−

− −

− −

− − −

− −

− − −

− −

− + = + + + + +− − +

−− − +

−− − +

−− − +

−

…:

Razlaganje u zbir parcijalnih razlomaka

F z zz z

zz z

( )( )( )

=− +

=− −2 3 2 1 2

; F zz z z( )

= −−

+−

11

12

F z zz

zz

f kT k( ) ( ) .= −−

+−

↔ = − +1 2

1 2

Ilustrovati postupke inverzne z- transformacije na primerima kompleksnih likova:

a) F z zz z

T( ) ;=− +

=2 3 21 s

b)

F z z zz z z

z T

( )

,

=− +− + −

> =

34 5 2

2 1

3 2

3 2

a s ;

c)

F z z zz z z

T

( ) ( . )( )( . . )

,=−

− − +=

0 251 08 0 25

1

2

s .

razvoj u potencijalni red; razlaganje u zbir parcijalnih

razlomaka; definicioni konturni integral; konvolucija originala.

a)

12)(

1231)5(

1215)4(

127)3(

123)2(

121)(

0)0(

5

4

3

2

1

−=

−==

−==

−==

−==

−==

=

kkTf

Tf

Tf

Tf

Tf

Tf

f

87

Definicioni konturni integral inverzne z- transformacije

f kT zz z

z N zD z

zk

i

i

iik

iz z( ) Res

( )( )( )( )

;=− −

∑ =′

∑− −

== =1 21

1 2

1

1

2

1 2u polovima i

f kT zz z

zz z

kk k( ) .=

− −= − +

=+

=

1

11

2

21

2 3 2 31 2

1 2

Konvolucija originala; izrazimo F z( ) na način:

1 2 1 2 2 31 2 1 2

1( ) ( ) ( ), ( ) 1 i ( ) 2 2 ;1 2

zF z F z F z F z z z F z z z zz z

− − − − −= = = + + + = = + +− −

… …

Na osnovu osobine z- transformacije (osobina , Tablica 5.1) dobijamo na primer

f T f mT f T mT

f f T f T f T f T f T f T fm

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .

3 3

0 3 2 2 3 01 2 1 2 1 1 1 0 7

1 20

3

1 2 1 2 1 2 1 22

= −∑

= + + +

= + + + =

=

3 2 3 2 1 2 3

3 2

2

2 1

1

1 2

1 2

( 3 ) ( 4 5 2) 3 11 29 67( 3 12 15 6)

11 15 6( 11 44 55 22 )

29 49 22( 29 116 145 58 )

67 123 58

z z z z z z z zz z z

z zz z z

z zz z z

z z

− − −

−

−

− −

− −

− + − + − = − − − − −− − + − +

− + −− − + − +

− + −− − + − +

− + −

…:

Uočimo, da nije baš lako u ovom slučaju, na osnovu nekoliko rezultata prethodnog deljenja, odrediti vrednost signala u nekom trenutku t k= , tj. napisati da je

f k k nn

k( ) ,= + − ⋅ ≥

<⎧⎨⎩2 7 10 2 0

0 0za za

što se direktno dobija na osnovu Hevisajdovog razvoja za funkciju F z z( ) :

F zz

z zz z z z z z

( )( )

,=− +− + −

= −−

+−

+−

34 5 2

102

71

21

2

3 2 2 odnosno

F z zz

zz

zz

( )( )

.= −−

+−

+−

102

71

21 2

b)

88 Deljenjem polinoma u brojiocu polinomom u imeniocu dobija se

2 3 2 1 2 3

2 1

1

1 2

1 2

( 0.25 ) ( 1.8 1.05 0.25) 1.55 1.74( 1.8 1.05 0.25 )

1.55 1.05 0.25(1.55 2.79 1.6275 0.3875 )

1.74 1.3775 0.3875

z z z z z z z zz z z

z zz z z

z z

− − −

−

−

− −

− −

− − + − = + + −− − + −

− +− − + −

− +

…:

U ovom slučaju je očigledan nedostatak ovog postupka; da bi se odredila vrednost signala f t( ) u nekom trenutku t kT= , potrebno je odrediti vrednosti prethodnih odbiraka do trenutka t kT= . Postupak razlaganja F z( ) u zbir parcijalnih razlomaka je efikasniji. Hevisajdov razvoj za funkciju F z z( ) je

F zz

zz

zz

( )( . ) .

,=−

−−

− +53 1

13

5 20 4 0 32 2 pa je

F z zz

z zz z

( ) .. .

.=−

−−

− +53 1

53

0 408 0 25

2

2

Za dobijene parcijalne razlomke mogu se u tablici z- tarnsformacije lako pronaći odgovarajući originali [1]. Tako nalazimo

f kT kT T

T T

akT aT aT

aT

( ) e cos , , e . e . ,

e cos . . ,

= − = = ⇒ =

= ⇒ =

− − −

−

53

1 0 25 05

2 08 0 6435

02

0 0

ω

ω ω rad s

f k k kk

k( ) . . ( . ) cos( . ) .= − ≥

<⎧⎨⎩16667 16667 05 0 6435 1

0 1za

za

Za rešavanje ovakvih problema može da posluži programski paket MATLAB na način:

» help residuez RESIDUEZ Z-transform partial-fraction expansion. [R,P,K]= RESIDUEZ(B,A) finds the residues, poles and direct terms of a partial-

�fraction expansion of B(z)/A(z)

B(z) r(1) r(n) ---- = ---------- +... ---------- + k(1) + k(2)z^-1 A(z) 1-p(1)z^-1 1-p(n)z^-1

B: numerator polynomial coefficients A: denominator coeffs (in ascending powers of z^-1) R: the residues (in a column vector) P: the poles (column vector) K: the direct terms (ROW vector) MULTIPLE POLES (order of residues): residue for 1st power pole, then 2nd power, etc. see also RESIDUE, PRONY

» [r,p,k]=residuez([0 1 -0.25], [1 -1.8 1.05 -0.25]) r = 1.6667 -0.8333 + 0.0000i -0.8333 - 0.0000i p = 1.0000 0.4000 + 0.3000i 0.4000 - 0.3000i k = []

c)

89

5-7. ZADATAK

Kontinualni signal može se okarakterisati u vremenskom području sa f t( ) , odnosno u kompleksnom području sa F s( ) , tačnije spektrom kritičnih učestanosti (polova i nula) u s-ravni. Neka je kontinualni signal zadat kompleksnim likom

( )F ss s s

n

n n

( ) ,=+ +

ω

ζω ω

2

2 22

gde je ζ - faktor relativnog prigušenja i ωn - neprigušena prirodna učestanost. Oscilatorni karakter signala f t( ) uslovljen je prisustvom konjugovano kompleksnih polova kompleksnog

lika F s( ) s jn n1 221, .= − ± −ζω ω ζ Stepen oscilatornosti (veličina amplitude i vreme

trajanja oscilacija) signala f t( ) zavisi od ζ kako je to prikazano na Sl. 5.1a. Karakteristična osobina signala u vremenskom domenu je i vreme uspona koje je obrnuto srazmerno neprigušenoj prirodnoj učestanosti ωn . A kako brzina odziva zavisi donekle i od ζ, na Sl. 5.1b, kojom je ilustrovana zavisnost vremena uspona od ωn , usvojena je konstantna vrednost za faktor relativnog prigušenja ζ = 0 6. .

0 5 10 15

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0 ζ=

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

f(t)

t, s

a.

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

ωn=

10. 8. 6. 4. 2. 1.

f(t)

t,s

b. Sl. 5.1 Izgled signala f t( ) pri

a. različitim vrednostima ζ i ωn = 1; b. različitim vrednostima ωn i ζ = 0 6.

Pokazati da se krive

z n nT j T= =− −e e , constζω ω ζ ζ1 2

i

z Tn nT j Tn= =− −e e , constζω ω ζ ω1 2

seku pod pravim uglom.

90 Dakle, na osnovu položaja konjugovano kompleksnih polova kompleksnog lika F s( ) u s-ravni, koristeći familije krivih ζ = const i ωn = const (Sl. 5.2), moguće je proceniti neke osobine signala u vremenskom domenu kao što su stepen oscilatornosti i brzina reagovanja. Slično se na osnovu položaja kritičnih učestanosti kompleksnog lika F z( ) u z-ravni mogu proceniti i osobine povorke odbiraka signala f t( ) . Otuda je od interesa ustanoviti preslikavanje kontura sa Sl. 5.2 iz s- u z- ravan. Poznato je, da se segment ζ-prave, koji pripada Nyquistovom području učestanosti u s- ravni, preslikava u z-ravan u deo spirale određene sa [1]:

,1

0,ee2

1 2

ζ

πωζωζω

−<<= −−

Tz n

TjT nn

koji počinje u tački ( , )1 0j na realnoj osi, a završava se na negativnom delu realne ose u tački

e ,− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

πζ ζ1 20j . Familija logaritamskih spirala data je na Sl. 5.3.

Krive u z- ravni, koje odgovaraju konstantnoj neprigušenoj učestanosti ωn , su linije koje pod pravim uglom seku ζ- spirale, kako to ilustruje Sl. 5.3.

Označimo Decartove pravougle koordinate jedne tačke u z- ravni sa

x T T

y T T

z nT

n

z nT

n

n

n

( , ) e cos

( , ) e sin ,

ζ ω ω ζ

ζ ω ω ζ

ζω

ζω

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

−

1

1

2

2

što je parametarski oblik funkcije y xz z= g( ) . Potražimo izvod ove funkcije u slučajevima

ζ = const i ωn = const . Neka je α ω ζ= −nT 1 2 . ζ = const

′ =′′

=− + −

− − −=− + −

− − −

− −

− −g ( ) ( )

( )e sin e cos

e cos e sin

sin cos

cos sin;1

2

2

2

2

1

1

1

1x y T

x Tzz n

z n

T T

T T

n n

n n

ωω

ζ α ζ α

ζ α ζ α

ζ α ζ α

ζ α ζ α

ζω ζω

ζω ζω

ωnT = const

′ =′′

=

− +−

−

− −−

−

=− − −

− −

− −

− −g ( ) ( )

( )

e sin e cos

e cos e sin

cos sin

sin cos.2

2

2

2

2

1

1

1

1x y

x

T T

T Tzz

z

nT T n

nT T n

n n

n n

ζζ

ω α αζω

ζ

ω α αζω

ζ

ζ α ζ α

ζ α ζ α

ζω ζω

ζω ζω

U tački preseka ( )x yz z, je ′ ′ = −g ( ) g ( )1 2 1x xz z , što potvrđuje ortogonalnost posmatranih familija krivih datih na Sl. 5.3. Uostalom, prav ugao pod kojim se seku linije ζ = const i ωn = const u s- ravni zadržava se pri preslikavanju z sT= e , što je i osobina konformnog preslikavanja.

91

-30 -20 -10 0 10-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

σ

jω s - ravan

ζ =1

0.8

0.6

0.40.2 ζ =0

ωn

=10

ωn

=1

ωn

=5

Sl. 5.2 Familije krivih ζ = const i ωn = const u s- ravni

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Rez

j Imz z - ravan

ζ =1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.40.3

0.2

0.1

ζ =0

9π 10T/

ωn

= π /T

π /4 5T

π 10T/7

π /5T3ω

n= π / T2

π 10T/

π 10T/3

π /5T

Sl. 5.3 Familije krivih ζ = const i ωnT = const u z- ravni

92 5-8. ZADATAK

a) Sva preslikavanja iz s - ravni u z - ravan vrše se po funkciji z sT= e . Način preslikavanja naznačenih kontura dat je u narednoj tablici, a dobijene konture u z - ravni prikazane su na Sl. 5.4.

s - ravan simbol z - ravan s j= ω

xxx z = 1

s = ≥σ 0 z r rT= = ≥e ,σ 1 s = ≤σ 0 z r rT= = ≤ ≤e ,σ 0 1 s j T= − ±σ π

∼∼∼ z r rT j T= = − = − ≤ ≤− ± −e e e ;σ π σ 0 1

s jn n= − − −ζω ω ζ1 2 ΔΔΔ

z r

r T

j

Tn

n

=

= = −

−

−

e

e ,

θ

ζω θ ω ζ1 2

a) Na slici prikazane su karakteristične linije u s-ravni. Koristeći isto označavanje nacrtati odgovarajuće linije u z-ravni ako je T usvojena perioda diskretizacije. b) Na slici dat je raspored polova i nula kompleksnog lika signala f t( )

F z z z z zz p z a z a

( ) ( )( )( )( )

.=− −

− − +1 2

12

1 2

Odrediti z z p a a1 2 1 1 2, , , i .

0

ΔΔΔ

Δ

ΔΔ

ΔΔ

x

11111111111111111

11111111111111111

σ

j ω

jπT

jπT

-

s-ravan

xxxxxx

xx

x

x

x

xx

x

-0.5 0 0.51-1

-1

-0.5

0.5

1

0.2

θ=18o

ζ =0.5

z-ravan

Rez

j Imz

93

-1

1

-1 102222222222222222222222

xxxxxx x x

xxxxxx x

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

x

xxx

xx

ΔΔ

ΔΔ ΔΔΔ Δ Δ

ΔΔ Δ Rez

j Imz

z-ravan

Sl. 5.4 Konture dobijene preslikavanjem iz s - u z - ravan

b) Na osnovu slike lako se odredjuju polovi i nule funkcije F s( ) :

z z p1 2 10 0 2 1= = =, . , ,

p r

T T

r

n

n

T T

n n

T

2 31

22

1

2

2

11

,j je e e ,

,

e e ;

n= ⋅ =

= − ⇒ =−

= =

− ± − ±

− − −

ζω ω ζ θ

ζω θζ ζ

θ ω ζ ωθ

ζgde je

pa je otuda je:

p jj2 3

1 20 793 0 258, e e . . ;= ⋅ = ±− − ±θζ ζ θ

prema tome, dobijamo: a p pa p p

1 2 3

2 2 3

15860 695

= + == =

.. .

5-9. ZADATAK

a) Na osnovu spektra polova u z- ravni (Sl. 5.5a) nalazi se kompleksni lik signala G z70( ) koji se može razložiti u zbir prostijih parcijalnih razlomaka, da bi se potom primenom

Signal f t( ) diskretizuje se sa periodom T . Na osnovu položaja polova kompleksnog lika F z( ) u z-ravni (slike i ) proceniti osobine povorke odbiraka dobijenih diskretizacijom signala f t( ) . Pri tome posmatrati komponente signala usled prisustva svakog realnog pola ili para konjugovano kompleksnih polova ponaosob.

a)

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Rez

j Imzz-ravan

b)

-1 0 1 2

-1

-0.5

0.5

1

Rez

j Imz

z-ravan

94 programskog paketa CC našla inverzna z- transformacija ( G n70( ) ), odnosno povorka odbiraka f n( ) data na Sl. 5.5b.

Komponente f n1 2, ( ) i f n3 4, ( ) koje se javljaju u povorci odbiraka usled prisustva parova konjugovano kompleksnih polova unutar jediničnog kruga su pseudoperiodične prigušene povorke odbiraka, kao što je prikazano na Sl. 5.5c i d; što je moduo polova veći, prigušenje je manje. Njihovim superponiranjem dobija se impulsna povorka signala f n( ) .

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Rez

j Imzz-ravan

3,4p1,2

p

a.

0 1 2 3 4

5

6

7 8

9

10

-2

-1

0

1

2

f(n)

n

b.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4

-2

0

2

4

6)

n

f (n1,2

c.

1

2

3

4 5 6 7 8 9 10

-6

-4

-2

0

2

4

n

)nf (3,4

d. Sl. 5.5 Spektar polova kompleksnog lika signala i povorke odbiraka

95

b) Slika 5.6 ilustruje uticaj tri realna i para konjugovano kompleksnih polova kompleksnog lika signala F z( ) na osobine povorke njegovih odbiraka [1].

-1 0 1 2

-1

-0.5

0.5

1

Rez

j Imz

z-ravan

p1p

2

p3,4

p5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

0

10

20

30

40

50

60

f(n)

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

20

40

60

f1(n)

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-3

-2

-1

0

1

f2(n)

n

1 2 3

4 5 6

7 8 9 100

1

f3,4(n)

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0.0

0.2

0.4f5(n)

n

Sl. 5.6 Spektar polova kompleksnog lika signala i povorke odbiraka

96 5-10. ZADATAK

a)

-5 0

-6

-4

-2

2

4

6

ζ=0.5

σ

j ω

s

-1 0 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Rez

j Imzz

ζ=0.5

ωnT=π /2

b)

-2

-2

-1

0

1

2

ζ=0.707

σ

j ω

s

0 1-1

-1

1

ζ=0.707

ωn

T=π /5

Rez

j Imz

z

c)

-5 0

-4

-2

2

4

ζ=0.5

σ

j ω

s

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

ζ=0.5

ωnT = π /5

ωnT = π /52

Rez

j Imz z

Prikazati oblast u s- ravni kao i oblast u z- ravni, dobijenu preslikavanjem po funkciji z sT= e , u kojoj treba da se nalaze svi polovi odgovarajućeg kompleksnog lika signala f t( ) prema uslovima: a) ω ζ ωs n= ≤ ≤ ≤20 0 05 5rad s, rad s. , ; b) ω ζ ωs n= ≥ ≥20 0 707 2rad s, rad s. , ; c) ω ζ ωs n= ≥ ≤ ≤20 05 2 4rad s, rad s rad s. , .

97

Šrafirane oblasti u s- i z- ravni odgovaraju postavljenim zahtevima zadatka.

5-11. ZADATAK

-2 -1.5 -1 -0.5 0

-0.5

0.5

σ

j ωs

a.

Ako je s ji n n= − + −ζω ω ζ1 2 , odgovarajuće vrednosti u z- ravni mogu se izraziti na način:

z j Ti z z zT

nn= + = −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−σ ω σ ω ζζω, e cos 1 2

i ,ω ω ζζωz

Tn

n T= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−e sin 1 2

odnosno , z r riTn= ∠θ = −e ζω

i θ ω ζ= −nT 1 2 [1].

0 0.2 0.4 0.6 0.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.7

0.8

0.9

1

1

0.5

0.6

ζ=0.707

ωnT =2

ωnT =0.707

ωnT =0.1414

ωnT =0.2

Rez

j Imz

z

b.

0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

1

Rez

j Im z

z

ζ=0.707

ωnT=0.707

nω T=0.0707

c. Sl. 5.7 Preslikavanje spektra tačaka iz s- u z- ravan

Rezultat svih preslikavanja dat je pregledno u narednim tablicama.

z ji z z= +σ ω , i = 1 2 3 4, , ,

T = 1 s T = 01. s T = 0 01. s T = 0 001. s s j1 0 5 0 5= − +. . 05323 0 2908. .+ j 0 9500 0 0475. .+ j 0 995 0 00498. .+ j 0 9995 0 0005. .+ j s j2 0 1 0 1= − +. . 0 9003 0 0903. .+ j 0 9900 0 0099. .+ j 0 999 0 000999. .+ j 0 9999 0 0001. .+ j s3 0 2= − . 08187. 0 9802. 0 9980. 0 9998. s4 2= − . 01353. 08187. 0 9802. 0 9980.

Analizirati preslikavanje vrednosti si iz s- u z- ravan za T = 1 01 0 01 0 001, . , . . i s . Vrednosti u z- ravni izraziti u pravouglim i polarnim koordinatama. s j1 05 05= − +. . ; s j2 01 01= − +. . ; s3 0 2= − . ; s4 2= − .

98

z ri = ∠θo, i = 1 2 3 4, , ,

1. 01. 0 01. 0 001. s1 0 6066 28 65. .∠ o 0 9512 2 862. .∠ o 0 9950 0 2868. .∠ o 0 9995 0 0287. .∠ o s2 0 9048 573. .∠ o 0 99005 0573. .∠ o 0 99900 0 0573. .∠ o 0 99990 0 00573. .∠ o

s3 08187 0. ∠ o 0 9802 0. ∠ o 0 9980 0. ∠ o 0 9998 0. ∠ o s4 01353 0. ∠ o 08187 0. ∠ o 0 9802 0. ∠ o 0 9980 0. ∠ o

Na Sl. 5.7a prikazan je spektar tačaka u s- ravni, dok Sl. 5.7b ilustruje taj isti spektar preslikan u z- ravan za T = 1 s . Na Sl. 5.7c dat je rezultat preslikavanja tačke s1 iz osnovnog pojasa s- ravni u z- ravan pri različitim vrednostima periode odabiranja T ; uočimo da se sa širenjem Nyquistovog područja učestanosti, s1 preslikava u tačku blisku tački z = 1 unutar jediničnog kruga [1].

5-12. ZADATAK

0 1 2 3 4 5

-0.5

0.0

0.5

1.0

t, s

f(t)

1 2 3 4 5

-1

0

1

2

n

)nf(

-6

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 2 σ

j ω

s

-1 0 1

-1

1

Rez

j Imz

z

Sl. 5.8 Karakterizacija signala u vremenskom i kompleksnom području

Povorka odbiraka dobijena je diskretizacijom signala ( )f t tt

d d( ) e cos ,= = =−σ ω σ ω π rad s1 2 . Usvojena je perioda odabiranja T = 05. s . Nacrtati i komentarisati spektre kritičnih učestanosti komleksnih likova F s( ) i F z( ) .

99

Lako se nalaze kompleksni likovi signala f t( ) i njegove povorke odbiraka [1]. Rezultat se može proveriti korišćenjem programskog paketa CC čijom se primenom dobijaju redom likovi u s- i z- domenu

.)(81)( i )(80)( zGzFsGsF ==

Uočimo da se pri usvojenoj periodi odabiranja T = 05. s , par konjugovano kompleksnih polova kompleksnog lika s j1 2 1 2, = − ± π , nalazi na granici primarnog pojasa i da se preslikava u dvostruki pol na negativnom delu realne ose unutar jediničnog kruga; u istoj lokaciji nalazi se i nula kompleksnog lika F z( ) , pa dolazi do njenog skraćivanja sa jednim polom i odgovarajuće redukcije reda.

5-13. ZADATAK

U zadatku 5-1. f) je pokazano da

je G z z zz z

( ) ( . ).

=−

− +3 0 6967067

1393413 12 z-

kompleksni lik povorke odbiraka g t∗( ) koja je dobijena diskretizacijom signala g t t( ) cos= 3 4 sa periodom T = 0 2. s . Podsetimo, da je kompleksni lik G z( ) jednoznačno određen originalom g t( ) ili povorkom g t∗( ) [1]; i

povorka g t∗( ) jeste jednoznačno određena kompleksnim likom G z( ) , odnosno, ako potražimo inverznu z- transformaciju, nalazimo:

Objasniti značaj i primenu modifikovane z- transformacije u analizi diskretnih signala.

100

Međutim, signal g t( ) nije jednoznačno određen originalom G z( ) ; kontinualni signal, koji dobijamo na osnovu g n n t T g t t( ) ( ) cosza = ⇒ = 3 4 , samo je jedan iz neograničenog skupa različitih kontinualnih signala čijom diskretizacijom se dobija ista povorka odbiraka. Na Sl. 5.9 su pored signala g t t( ) cos= 3 4 prikazana još dva signala čijom se diskretizacijom sa periodom T = 0 2. s dobija ista povorka odbiraka.

0.4 0.8

1.2 1.6

2.0

-4

-2

0

2

4

t, s

g*(t) ,g(t)

Sl. 5.9 Neki signali koji imaju istu

povorku odbiraka Ovaj problem nejednoznačnosti može se izbeći primenom modifikovane z- transformacije koja je definisana na način:

{ } [ ]{ }( , ) ( ) (1 ) , 0 1

,1 e ( )( , ) d2 e

mmpT

pTC

F z m f t f t m T mF pF z m p

j z

= = − − ≤ <

=π −∫

Z Z

(5.7)

gde kontura C obuhvata sve polove funkcije { })()( tfpF L= [1]. Očigledno se primenom inverzne modifikovane z- transformacije dobijaju vrednosti signala f t( ) izmedju trenutaka odabiranja

[ ] { }

[ ]

1

1

( 1) ( , ) za svako celobrojno i 0 11 ,( 1) ( , )d

2

mn

f n m T F z m n m

f n m T z F z m zj

−

−

Γ

+ − = ≤ <

+ − =π ∫

Z (5.8)

gde kontura Г obuhvata sve polove funkcije F z m( , ) u z- ravni. Napomenimo da je signal f t( ) kauzalan.

Modifikovana z- transformacija signala g t t( ) cos= 3 4 može se očitati iz tablice sa transformacijama [1].:

{ } 2

2

cos cos(1 )( , ) cos2 cos 1

.cos 0.8 cos 0.8(1 )( , ) 3

1.3934 1

mz m T m TG z m A t A

z z T

z m mG z mz z

ω − − ω= ω =

− ω +

− −=

− +

Z

Deljenjem polinoma u brojiocu polinomom u imeniocu izraza G z m( , ) dobija se

101

[ ][ ]

.)1(8.0cos18024.48.0cos82475.2

)1(8.0cos38.0cos18024.4

8.0cos3),(

3

2

1

…+−−+

−−+

=

−

−

−

zmm

zmm

mzmzG

Vrednosti signala g t( ) između trenutaka odabiranja za 0 1≤ <m su:

[ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−=−−==

=−+

……………3)1(8.0cos18024.48.0cos82475.22)1(8.0cos38.0cos18024.418.0cos300

)1(nmmnmmnmn

Tmng

Izračunate su vrednosti signala g t( ) u trenucima diskretizacije i na sredinama perioda odabiranja, sređene u Tablici 5.2 i prikazane na Sl. 5.10. Tablica 5.2 Diskretne vrednosti signala g t( )

[ ] g n m T( )+ − 1

n mO 0.5 1 1 3. 2.763183 2 2.090120 1.087073 3 -0.087599 -1.248489

5-14. ZADATAK

a) Na osnovu definicionog obrasca (5.7) nalazimo da je

F z m np z n p

p np zn

mpT

pT

n

nn

n

mpT

pTp

( , ) Res ! ee !

dd

! ee

,p

=−

=−= +

++

=0 1

11

0

1

odnosno

-3

-2

-1

0

1

2

3

4g[(n+m-1)T], g(t)

tTT/2 3T/2 2T

5T/2 3T

Sl. 5.10 Signal g t( ) i njegovi

odbirci izračunati primenom 1-mZ

Odrediti modifikovane z- transformacije sledećih funkcija:

a) F s nsn( ) !

= +1 ; b) F s ss

( ) = ++

1252 .

102

F z mp z

n

n

mpT

pTp

( , ) dd

ee

.=−

=0

za n f t t= =1, ( ) ;

F z mp z

T mz z

mpT

pTp

( , ) dd

ee ( )

=−

=−

+−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=021

11

za n f t t= =2 2, ( ) ;

F z mp z

T mz

mz

zz

mpT

pTp

( , ) dd

ee

( ) ( )

=−

=−

+−

++−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=

2

20

22

2 312

111

.

(5.9) b) Na osnovu definicionog obrasca (5.7) nalazimo da je

{ }

;1cos2

)1sin(sin

)1cos2(2

)e(e)e(e

ee

ee

2e

eRessin

22

2

122

+−

−+=

+−

−−−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

−=

−+=

−−

−

−

=∑

Tzz

TmTmzA

Tzzj

zzA

zzjA

zpAtA

TjTjmTjTjm

Tj

Tjm

Tj

Tjm

Tp

Tmp

i im

i

i

ω

ωω

ω

ω

ωω

ωωωω

ω

ω

ω

ωZ

na sličan način nalazimo da je

{ } ;1cos2

)1cos(cos

e

eRescos2

2

122 +−

−−=

−+=∑

= Tzz

TmTmzAzp

AptA

Tp

Tmp

i i

im

i

i

ω

ωω

ωωZ

otuda je [ ] [ ]

.15cos2

)1(5cos)1(5sin2.05sin2.05cos

251),(

22 +−

−−−++=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

+=

Tzz

TmTmmTmTz

ssmzF mZ

(5.10)

Proverimo: kako je F z zF z( ) ( , )= 0 , nalazimo da je:

[ ]F zz T T

z z T( , )

. sin coscos

,00 2 5 5

2 5 12=+ −

− +pa je

[ ]

F z ss

zz T T

z z Tz z

z z

T

T

( )

. sin coscos

( . ).

,

=++

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=+ −

− +

=−

− +

=

=

Z 125

0 2 5 52 5 1

0 47545056732 1

21

21

2

za s

za s

što se dobija i primenom programskog paketa CC.

103

5-15. ZADATAK

a) Pošto je modifikovana z- transformacija signala definisana kao z- transformacija istog signala zakašnjenog vremenski za ( ) ( )1 0− ≤ <m T m T [1], smenom mT T= 0 7. u izraz (5.9) dobija se traženi kompleksni lik

F z T z zz

( ) . . .( )

.=+ +−

22

30 49 142 0 09

1

b) Smenom m = 0 9. u izraz (5.10) dobija se

{ } [ ] [ ]

.15.4cos2

)2sin2cos2.0(5.2sin215cos2

)1(5cos)1(5sin2.05sin2.05cos)(

2

9.02

+−

−=

+−

−−−++=

=

Tzz

TTTzTzz

TmTmmTmTztf

mZ

5-16. ZADATAK

Smenjujući dato F z m( , ) u (5.8) i rešavajući konturni integral primenom teoreme o ostacima, dobija se

[ ]f n m T z

z z

zz z

zz z

n Tm n

TT

Tm n

TT

T n m T n m

( ) Res Resee e

Resee e

e e .( ) ( )

+ − =− =

−− =

+− =

= − +

− − −

−−

− −

−−

− + − − + −

1 13 1 1

12

16

13

12

16

1 1 3 1

33

1 3 1

Vrednost f t( ) u trenutku t T= 125. dobija se posle zamene n m= =2 0 25 i . u prethodni izraz, pa je:

f T e eT T( . ) .. .125 13

12

16

1 25 3 75= − +− −

Koristeći rezultate iz prethodnog zadatka, naći z--- transformacije sledećih signala:

a)

f t t T t T( ) ( . ) h( . )= − −0 3 0 32 ;

b)

[ ]f t

t T t T( )

cos ( . ) . sin (t . T) h( . )=− + − −5 01 0 2 5 01 01

Naći vrednost signala f t( ) u trenutku t T= 125. ako je poznata njegova modifikovana transformacija

( ) ( )F z mz z z

Tm

T

Tm

T( , )

( )e

ee

e.=

−−

−+

−

−

−

−

−

13 1 2 6

3

3

104

5-17. ZADATAK

Da bismo postavili diferencnu jednačinu i rešili ovaj problem, pretpostavimo da igrač A ima k novčića, a sa pk označimo verovatnoću da on završava igru kao pobednik. Igrač A može da pobedi na dva načina: • može da izgubi jedan novčić (verovatnoća p ) i eventualno tada da pobedi

(verovatnoća pk−1 ); verovatnoća ovog događaja je dakle ppk−1 ; • slično, može da dobije novčić (verovatnoća 1− p ) i tada eventualno da pobedi

(verovatnoća pk+1 ); verovatnoća ovog događaja je ( )1 1− +p pk . Dakle , možemo da napišemo sledeću diferencnu jednačinu p p p ppk k k= − ++ −( )1 1 1 , (5.11) pri čemu je p = 1 2 , verovatnoća svakog događaja ukoliko je novčić pravilnog oblika. Granični uslovi za (5.11) su p pn m0 0 1= =+ i . Jednačina (5.11) može se prepisati u obliku 2 1 2p p pk k k+ += + , a zatim se nakon primene z- transformacije dobija [ ] [ ]2 0

20 1

1z P z p z P z p p z P z( ) ( ) ( ) .− = − − +−

Posle smene početnog uslova p0 , za P z( ) se dobija

P z p zz z

p zz

pz

pz

( )( ) ( )

.=− +

=−

=−

+−

12

12

1 122 1 1 1 1

Uočimo da je: { }

;00

,2,1)(

je tada,1)( i 0)0( je ako i

)0()()1(

11

11

111

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

−==

−=+

−

kkakx

azzXx

zxzzXkx

k …

Z

.00

,2,1)1()(

je pa,)(

1)()(

21

211

⎪⎩

⎪⎨⎧

==−=

−==

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

kkakkx

a

azzX

akx

a

k …∂∂

∂∂

∂∂

Z

Dva igrača započela su igru bacanja novčića i to igrač A sa m i igrač B sa n novčića. Verovatnoća da se pojavi glava, kada A gubi novčić, je p , inače ga u slučaju pisma dobija sa verovatnoćom 1− p . Igra je završena kada jedan od igrača zaradi sve novčiće. Koja je verovatnoća da to bude igrač A?

105

Kako je a = 1, dobijamo: p p p k kk

k k= + − =− −1

11

21 1 1 1 2 3( ) ( )( ) , , , , K odnosno p p k kpk = + − =1 11 1( ) . (5.12)

Primenom drugog graničnog uslova pn m+ = 1 , iz jednačine (5.12) nalazimo p1 . Tako je

p pn m n m

p kn m

n mk1

1=

+=

+=

++ , odnosno .

5-18. ZADATAK

a) Polazeći od diferencne jednačine , nakon primene z- transformacije i osobine o pomeranju u vremenskom domenu, dobija se

[ ] [ ]z F z f z f F z z F z f20

11 0( ) ( ) ( ) ,− − = + −−

a posle smene početnih uslova nalazi se

F z zz z

z

z

z

z( ) , .=

− −− −

−− +

2 115 1

25

2

15 1

25

2

odnosno F(z) = (5.13)

Kako je { }ta z z a= −Z , traženi k-ti član Fibonaccijevog niza je

a) Uopšteni Fibonaccijev niz je niz realnih brojeva { }an koji zadovoljavaju diferencnu jednačinu

a a a nn n n+ += + ≥2 1 0, .

Klasični Fibonaccijev niz { }fn zadovoljava diferencnu jednačinu sa f0 0 1= = i f1 . Polazeći od jednačine naći k-ti član Fibonaccijevog niza fk .

b) Pokazati da je granična vrednost limk

k

k

ff→∞ +1

konačna i

jednaka zlatnom preseku ( )( )5 1 2− .

c) Uočiti da se niz { }fn može generisati pomoću:

x Ax

x x A

n n

nn

nn

n

ff

xx

+

+

=

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = ⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

1

1

2 001

0 11 1

, gde je dvodimenzionalni vektor

i , .

Rešavajući jednačinu odrediti k-ti član Fibonaccijevog niza.

106

f kk

k k

=+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪≥

15

1 52

1 52

0, .

b) Lako se pokazuje da je tražena graničana vrednost

lim lim .k→∞ + →∞ + +

=

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

+⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ −

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=+

=−f

fk

k k

k k

k k1

1 1

15

1 52

1 52

15

1 52

1 52

21 5

5 12

c) Očigledno se jednačina može prepisati u vektorskoj formi na način

ff

ff

n

n

n

n

+

+ +

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= ⎡⎣⎢

⎤⎦⎥⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1

2 1

0 11 1 , odakle dobijamo vektorsku diferencnu jednačinu . Ako se

na primeni z- transformacija, dobija se

z z z zX x AX( ) ( ) ( ) .− =0

Rešenje prethodne jednačine po X( )z daje

[ ]X I A x x( ) ( ) ( ) .z z z zz z

zz

zz z

zz z

= − =− −

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − −

− −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

−12

22

2

01

1 11 0 1

1

Inverzna z- transformacija od nađenog X( )z je prema (5.13)

{ } .)(1

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

+

−

k

kk f

fzXx Z

5-19. ZADATAK

Označimo sa Rin ulaznu otpornost mreže prikazane na Sl. 5.11. U slučaju k + 2. konture primenom metode konturnih struja dobijamo ( ) ( )R i i Ri R i ik k k k k− = + −+ + + +1 1 1 2 ,

Razmatra se lestvičasta otporna mreža beskonačne dužine koja je prikazana na slici. Odrediti ulaznu otpornost i struje u svim granama mreže.

107

odnosno − + − =+ +i i ik k k3 01 2 . (5.14) Jednačina (5.14) važi za k = 0 1 2, , ,K . Za nalaženje njenog rešenja potrebno je definisati granične uslove:

i VR

iin

0 0= =∞, (inače bi naponski ulaz trebalo da je beskonačan) i i i VR1 02= − .

Sl. 5.11 Beskonačna otporna mreža

Primenom z- transformacije na (5.14) kao i osobine pomeranja u vremenskom domenu nalazi se [ ] [ ]− + − − − − =−I z z I z i z I z i i z( ) ( ) ( ) .3 00

20 1

1

Zamenom graničnih uslova za I z( ) se dobija

I z Vz z

z zR

zR

Vz z

zR

zR

Vz z z z

zR

zR

in

in

in

( ) ( )

( )( ),

=− + −

−−

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=− +

− ′⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

=− −

− ′⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

2

2

2

1 2

2

3 11

3 1

gde je ( )′ = +R R R RRin in , a z1 2, su nule polinoma u imeniocu date sa z1 2 3 5 2, ( )= ± .

Nakon razlaganja I z( ) u zbir parcijalnih razlomaka, dobija se

I z Vz z

R zR

zz z

Vz z

R zR

zz zin in

( ) .=−

− ′ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

+−

− ′ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −1 2

1

1 2 1

2

2

Kako je { } nTtaz

za Tt =−

= ,Z , lako se zaključuje da je

i Vz z

R zR

z Vz z

R zR

znin

n

in

n=−

− ′ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

−− ′ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1 2

11

2 1

22 . (5.15)

Ako dopustimo da u prethodnom izrazu n →∞ , i prvi sabirak →∞ pošto je z1 1> . Dakle, saglasno definisanom graničnom uslovu i∞ = 0 , iz (5.15) dobijamo

108

Vz z

R zR

zR

R RRRin in

in

in1 2

1 10−

− ′ +⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = =

+ ili .

Otuda je

R Rin =+1 52

, a konturna struja u n +1. konturi je i VRn

in

n

=−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

3 52

.

Na narednoj slici moguće je uočiti kojom brzinom veličina konturnih struja opada i teži nuli (V R= =1 1 V; Ω ).

0 1 2 3 4 6 7 8 9 1010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

n

in ( A)

Sl. 5.12 Konturne struje u prvih jedanaest kontura

5-20. ZADATAK

Ukupni iznos hemikalije A u k- tom ciklusu je prema tome jednak zbiru količine hemikalije A dodate u k- tom ciklusu i iznosu hemikalije A u prethodnom ciklusu, tj. .,2,1,9001000 1 …=+= − kxyy kkk Pošto je xk = 50 , dobijamo: y yk k+ − =1 0 9 0 05. . .

Razmatra se hemijski proces u čijem se svakom ciklusu xk litara hemikalije A i 100− xk litara hemikalije B , gde je

…,3,2,1;1000 =≤≤ kxk , dodaje količini od 900 litara mešavine koja se nalazi u jednom velikom sudu. Sadržaj suda se zatim dobro promeša i izdvoji 100 litara mešavine. Neka je yk frakciona koncentracija hemikalije A u izdvojenoj mešavini; tj. 1000yk je iznos hemikalije A u mešavini. Naći yk uz pretpostavku da u svakom koraku dodajemo obe hemikalije u jednakim količinama.

109

Posle primene z- transformacuije dobija se

Y z zyz

( ) ..

,=+−

0 0 050 9

a kako je

{ } ,9.0

)9.005.0()( 001 −+=−=+ z

zyzyzzYykZ

to je ,,2,1,0,)9.0)(9.005.0( 0 …=+= kyy k

k odnosno

⎪⎩

⎪⎨⎧

==+= .

0,2,1)9.0)(9.005.0(

0

0ky

kyyk

k…

5-21. ZADATAK

Posle primene z- transformacije kao i na osnovu osobine o pomeranju u vremenskom domenu dobijamo

[ ][ ] [ ]

[ ]

z F z f f z f z f z

z F z f f z f z z F z f f z

z F z f F z zz

4 1 2 3

3 1 2 2 1

0 1 2 3

14 0 1 2 71 0 1

154 0 1201

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

− − − −

− − − − + − −

− − + =−

− − −

− − −

Nakon smene početnih uslova, nalazi se

[ ]F z z z z z zz

z( ) ,4 3 214 71 154 1201

− + − + =−

+

odnosno

( )F z zz z z z z

zz z z z z

( )( ) ( )( )( )( )( )

.=− − + − +

=− − − − −

2

4 3 2

2

1 14 71 154 120 1 2 3 4 5

Hevisajdov razvoj za funkciju F z z( ) daje F z

z z z z z z( ) ,=

−−

−+

−−

−+

−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

124

11

82

183

164

55

pa je

F z zz

zz

zz

zz

zz

( ) .=−

−−

+−

−−

+−

124 1

13 2

34 3

23 4

524 5

Rešiti diferencnu jednačinu f k f k f k f k f k h k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ − + + + − + + =1 14 3 71 2 154 1 120

gde je { }h k( ) niz odbiraka ulaznog odskočnog signala, a početni uslovi su f f f f( ) ( ) ( ) ( ) .0 1 2 0 3 1= = = = i

110

Prema tome, traženo rešenje diferencne jednačine je

f k k

k

k k k k( ) , .= − + − + ≥

<

⎧⎨⎪

⎩⎪

14

13

2 34

3 23

4 524

5 3

0 3

za

za

P5-1. Date su Laplaceove transformacije signala. Odrediti z- transformacije povorki odbiraka koje se dobijaju diskretizacijom signala sa periodom T .

a) ( )

G sK

s s sT

sT

1 2

1

1 201( )

e

( )( ), .=

−

+ +=

−

s b) G s ss s

T2

2

21 201( )

( ) ( ), .=

+ += s

c) G s ss

T3 2125

0 02( ) , .=++

= s d) G ss s

T4 21

105( )

( ), .=

+= s

P5-2. Naći z- kompleksne likove sledećih povorki odbiraka:

-2

-1

0

1

2

...

fa(k)

k

1 2 3

4 5 6 7

8 9 10 11 12

14

a. 0

1

2

3

fc(k)

k

...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

c.

-2

-1

0

1

2

...

fb(k)

k1 2 3 4

5 6 7

8 9 10

b. -1

0

1

2

fd(k)

k

...

1 2 3

4

5 6 7 8 9 10

d. P5-3. Signali u kT u kT1 2( ) ( ) i su dati svojim z- transformacijama:

U z T z zz z

z1 21

05 11( ) ( )

( . )( )=

+− −

(oblast konvergencije - > )

111

i

U z zz z

z2 1 22( )

( )( )=

− −(oblast konvergencije - > ) .

a) Odrediti u u1 2( ) ( )∞ ∞ i primenom osobine z- transformacije o krajnjoj vrednosti originala. b) Postupkom inverzne z- transformacije odrediti originale u t u t1 2

∗ ∗( ) ( ) i i na osnovu njih sračunati krajnje vrednosti. c) Komentarisati rezultate dobijene pod a) i b).

P5-4. Odrediti originale kompleksnih likova datih sa:

a) G z zz z1

051 0 6

( ) .( )( . )

=− −

b) G zz z2

051 0 6

( ) .( )( . )

=− −

c) G z zz z3

05 11 0 6

( ) . ( )( )( . )

=+

− − d) G z z z

z z40 7

1 0 6( ) ( . )

( )( . )=

−− −

Uporediti vrednosti odbiraka g k i ki ( ), , , , , , ,= =1 2 3 4 0 1 2 3 za . P5-5. Komentarisati razliku izmedju pozicija tačaka z z1 2 i koje su u slučaju zadatka 5-11 dobijene preslikavanjem tačaka s s1 2 i iz s- u z- ravan za T = 0 001. s ; analizu izvršiti u delu z- ravni sa mrežom ζ ω= =const. i const.n P5-6. Odrediti početnu i krajnju vrednost signala ( )c t c c( ), ( ) ( ) ,0 i ∞ na osnovu kompleksnih likova:

a) C z m zz z

m m m m( , ) (e e ) ( . e . e )

. .;=

− + −− +

− − − −2 2

20 368 013505 0 05

b) [ ]

C z mz

z z

m m

( , ). ( e ) ( e . )

. ..=

− + −

− +

− −0 25 2 1 2 0 736

1368 0 3682

P5-7. Data je modifikovana z- transformacija signala c t( ) :

C z m z zz z z

Tm m

( , ) ( e ) . ( . e )( )( . . )

, .=− − −

− − +=

− −1 0 368 1 2 7181 0 736 0 368

12

2 s

Odrediti vrednosti signala c t( ) u trenucima t = 0 25 175. .s i t = s .

112

P5-8. Neka je { }fn Fibonaccijev niz. Pokazati da je:

a) f f f fn n n n+ + +− =22

12

3 ;

b) Proveriti sledeći trik. Kolonu od zadata prva dva broja dopuniti sa još osam brojeva na taj način što se svaki sledeći broj dobija sukcesivnim sabiranjem dva prethodna broja. Zbir brojeva u koloni može se brzo naći kao jedanaestostruki sedmi broj. P5-9. U mnogim primerima (otporna mreža ili igra bacanja novčića) pojavljuje se diferencna jednačina drugog reda

y ay yk k k+ −− + =1 12 0 . Za različite vrednosti parametra a analizirati njeno rešenje dobijeno a) na klasičan način; b) primenom z- transformacije. P5-10. Uopštiti problem, definisan u zadatku 5-17, na sledeći način. Novčić nije pravilnog oblika, pa je verovatnoća da ga igrač A izgubi p( )≠ 1 2 , odnosno da ga dobije 1− p . Igra je završena kada jedan od igrača ima l novčića. Koja je verovatnoća da pobedi igrač A? P5-11. Odrediti original kompleksnog lika

X z z zz

( ) ( )( )

.=−

+2 1

1

2

2 2

P2-1. a. Perioda signala je T0 = π , pa se na osnovu (2.4) dobija

{ } ∑∞

−∞=

−==n

n nn

jAtfn

AjF )(1)(;2 0ωωδπ

F .

b. Perioda signala je T0 2= π ; pokazuje se da je ( )( )F

nn

n

=+ −

−

1 12 1 2π

.

P2-2. Uočimo, da je g t( ) signal dobijen modulacijom nekog signala f t( ) signalom cosω0t , tj.:

{ } { },e)(21e)(

21

2ee)()( 00

00 jj tttjtj

tftftfjG ωωωω

ω −−

+=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +

= FFF

pa se na osnovu osobine pomeranja kompleksnog lika (modulacije) dobija

[ ]G j F F( ) ( ) ( ) .ω ω ω ω ω= − + +12 0 0

a. Koristeći osobinu simetričnosti i rešenje primera 2., dobijamo da je

f t Aa at t Aa at ta a( ) sinc( ) ( ) sinc( ) cos .= = ⋅2 2

0π πω, pa je g

b. Polazeći od transformacionog para (2.3), lako se pokazuje da je

f t Aa at t Aa at tb b( ) sinc ( ) ( ) sinc ( ) cos .= = ⋅2 22 2

0π πω i g

114

c. ( )gc bt G f t t( ) ( ) cos .= + ⋅ ω0 Impulsi prisutni u frekvencijskom spektru predstavljaju noseći signal G tcosω0 .

Na narednim slikama su prikazani odgovarajući signali g t g t g ta b c( ), ( ) ( ) i .

-10 -5 0 5 10-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

a=A= ω0=1ga(t)

t -4 -2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a=A=ω0=1gb(t)

t

-10 -5 0 5 10

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

t

a=A=G=ω0=1gc(t)

P2-3. Ako je x t X j( ) ( )↔ ω , tada je y t X j X j( ) ( ) ( )↔ ∗1

2πω ω .

a. Kako je [ ]cos ( ) ( )ω π δ ω ω δ ω ω0 0 0t ↔ − + + i

{ } { } { }tjtj ttt 00 ecos21ecos

21cos 000

2 ωω ωωω −⋅+⋅= FFF , za frekvencijski spektar izlaznog

signala dobija se Y j( ) ( ) ( ) ( )ω πδ ωπδ ω ω

πδ ω ω= + − + +

22

220 0 .

b. x t t t t t22

2 21 14

4 2 3 16 2 3( ) sinc( ) cos sinc ( ) cos= + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥π

.

Korisno je pokazati, da ako je f t F( ) ( )↔ ω , tada je

[ ]f t t F F( ) cos ( ) ( )ω ω ω ω ω0 0 012

↔ + + − , odnosno

115

f t t F F F( ) cos ( ) ( ) ( ) .20 0 0

12

14

2 14

2ω ω ω ω ω ω↔ + + + −

P2-5. Uočimo da g t( ) možemo da izrazimo preko konvolucije funkcija

f t t( ) h( ) i , tj.: g t f t t f t ft( ) ( ) h( ) ( ) h( ) d ( ) d= ∗ = − =∫ ∫−∞∞

−∞τ τ τ τ τ , pa je { } { } { })h()()h()()( ttfttfG FFF ⋅=∗=ω . Saglasno primeru 5. pokazujemo

G Fj j

F F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .ω ω πδ ωω ω

ω π δ ω= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

1 1 0

P3-1.

E sT s a

T s a1

2

1∗

− +

− +=−

( ) ee

( )

( ) ( )

( )( )E sT T Ts

T s T s2

2

1 21 1∗

− − −

− + − +=

−

− −( )

e e e

e e( ) ( )

( )( )( )E s

T T Ts

T s T s3

2

1 2

1 2

1 1∗

− − −

− + − +=

+ −

− −( )

e e e

e e( ) ( )

E s ETs

42

2∗ − ∗=( ) e

( )( )E sT s T s5 1 2

11 1

∗− + − +

=− −

×( )e e( ) ( )

( )[{( ) ]}

e e e

e e e

− − −

− − −

−

+ −

Ts T T

T T Ts

2

2 21

( ) ( )E s

T s T s6

1 2 2

1

1 1∗

− + − +=

− −×( )

e e( ) ( )

[ ]{[ ]}

1 3 5

4 3

2

2 3

+ + −

+ − +

− − −

− −

e e ( ) e

e ( ) e

Ts T T

T T

T

T

E s7∗ =( )

1 51 2 5

1

1 2 1−

− +

− +

− + − +e cos

e cos e

( )

( ) ( )

T s

T s T sT

T

E s8∗ =( )

( )1

1 2 2

− −

− +

− −

− −

e sinh e

e cosh e

Ts T

Ts Ts

T

T

E s E sTs

92

8∗ − ∗=( ) e ( )

P3-2. Uočimo da je ( )E s E s E ss s s

s( ) ( ) e ( ).= − = − ++

−1

0 5 21 21 2 1 1

1 i . Tada je

( )

( ) ( )E s

T TE sTs

T T T Ts

Ts T s

s s

s1 2 1

0 5 0 5

0 5

2 1 1 2

1 1

0 6065 1 0 35131 0 6065

∗ −− − − −

− − +

∗− −

−=+ − + − −

− −=

−−

( ) ee ( e e ) e

e e; ( ) . e ( . e )

. e.

( )

. .

.

116 P3-4. Na narednim slikama prikazana je amplitudna frekvencijska karakteristika signala e t( ) , signal e t( ) kao i povorka odbiraka dobijena njegovom diskretizacijom. Kao i svi fizički signali i e t( ) poseduje harmonike u širem području učestanosti, ali imajući u vidu značajan faktor slabljenja, možemo da usvojimo za granicu frekvencijskog spektra ω π0 5 5 0 628= ⇒ ≤ = rad s sT . . Povorka odbiraka e t∗( ) , prikazana na slici, odgovara teorijskom maksimumu Tmax .

|E(jω)|, dB

0.1 1 10-20

0

20

40

ω(log) 0 2 4 6

0

2

4

6

8

10

12e(t), e*(t)

t, s

T=0.628 s

P3-5. Na osnovu rešenja problema P2-2.b. lako se pokazuje da je signal, čija se

diskretizacija vrši, dat sa f t A t t( ) sinc ( ) cos=10 5 1002

π. Amplitudne frekvencijske

karakteristike povorki odbiraka dobijenih diskretizacijom redom sa 120 240 rad s i rad s date su na narednim slikama.

|F*(jω )|

,, ,,,ω100 200 300-100-200-300 0

A/T

,

a. Osnovni alias za ω ω1 100 2= > s je ( ) ( )100 60 120 60 20+ = rad smod − ; proces diskretizacije nije u skladu sa teoremom odabiranja.

|F*(jω)|

,, ,,,ω100 200 300-100-200-300 0

,,-400-500

, ,400 500

A/T

,

b. ω ωs > 2 0 , što znači da je ispoštovana teorema odabiranja.

117

P4-1. U slučaju zadate povorke odbiraka x t∗( ) na narednim slikama prikazan je način rada kola zadrške nultog i prvog reda.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-5

0

5

10

xh0(t)

t

0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

-20

-10

0

10

20

xh1(t)

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T

P4-2. Na osnovu rezultata analize sprovedene u zadacima 4.9 i 4.10 lako se nalazi

α ωω

ωω ωω( ) log

( )( )

log e= = =20 20 01

G jG j

f Tph

ph

j T i ( ) = .

Kolo poligonalne zadrške koje je opisano funkcijom prenosa G sph ( ) je matematički model; kao nekauzalan sistem [2] on "može da predvidi" trenutak dovođenja pobude i u skladu sa tim da unapred počne da generiše svoj izlaz što se zaključuje i na osnovu faznog prednjačenja.

P4-3. U sistemu prikazanom na slici važe relacije

C s G s E s G s KTs

G s E s R sG sh( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )= = =

+∗ ∗

∗

∗ i ; gde je 0 1 Laplaceova

transformacija povorke odbiraka signala greške. Primenom obrasca (3.4) nalazi se

( ) ( )G s K E s

R s

kC sR s

KTs k

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts

Ts∗

−

−∗

∗ −

− ∗

−

−=−

=−

=−

( ) ee

( )( ) e

e( )( )

e

e1

1

1 1

1

1 12

2

, pa je + ( - )

. Otuda je + ( - )

.

Za k = 1 prethodni izraz postaje funkcija prenosa kola poligonalne zadrške sa kašnjenjem od jedne periode odabiranja (4.21).

P4-4. Na narednoj slici prikazani su normalni odskočni odzivi razmatranog sistema.

118

0 2 4 6 8 10 120.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

5T4T3T2TT0

T=2 s K=0.5 K=1 K=2

t

P4-5. a. Na slici prikazani su talasni oblici ulaznog f t( ) i izlaznog signala f th0( ) . Izabrana je perioda odabiranja T = 0 2. s ; otuda je f Ts = =1 5 Hz . Označimo sa

i rad / s Hz rad / s Hz .

1ω πω

= ⇒ == ⇒ =

2 120 3183

1

2 2

ff .

Prema relaciji (3.5) frekvencijski spektar povorke odbiraka pored osnovnih komponenti na učestanostima f f1 2 i sadrži beskonačno mnogo komplementarnih harmonika na učestanostima (< 20 Hz):

f f f f f f f f f f f f f f f f f fs s s s s s s s1 1 1 1 1 2 2 2 2 22 3 4 2 3 4, , , , , , , ,± ± ± − ± ± ± − i ; odnosno

1; 1.817; 3.183; 4; 6; 6.817; 8.183; 9; 11; 11.817; 13.183; 14; 16; 16.817; 18.183; 19 Hz.

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0

-3

-2

-1

0

1

2

3fh0(t)

f(t)

t, s

-20 -10 0 10 20

10-4

100

105

1010

1015

1020

|F(j ω)|

ω =2πf

-20 -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 200

4x1013

8x1013

|Fh0(jω)|

f, Hz

119

b. Na slikama i prikazane su amplitudne frekvencijske karakteristike ulaznog i izlaznog signala kola zadrške nultog reda. c. Vrednost T f= 1 2 0 , gde je f0 - granica frekvencijskog spektra signala koji se diskretizuje, predstavlja teorijski maksimum. U našem slučaju je

Tf fmax min , .=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

12

12

01571 2

s.

Očigledno je da perioda diskretizacije nije odabrana u skladu sa teoremom odabiranja.

P5-1.

a)

[ ]{ } { })()1()()( 11

11

11 sGzKsGzG ZLZ −− −==

[]{ } {} [ ] . 1 saglasno . oznaka koristi . umesto se gde 1 ZLZ −

b)

c)

d)

120 P5-2.

a. F z z zza ( ) ( )

=++11

2

4

c. F z z z z zzc( ) ( )( )

=+ + + +4 3 2

52 1 1

b. F z z zzb( ) ( )( )

=− +4 2

71 1

d. F z z z zzd ( ) = + + −4 3 2

42 1

P5-3. a) Direktnom primenom osobine z- transformacije o krajnjoj vrednosti originala dobijamo:

( )( )

u z U z zz

T z zz z

T

u z U z zz

zz z

z z

z z

1 11

1 1

2 11

2 1

1 12

105 1

2

1 11 2

1

( ) lim ( ) lim ( )( . )( )

,

( ) lim ( ) lim( )( )

.

∞ = − =− +

− −=

∞ = − =−

− −= −

→

−

→

→

−

→

b) Lako se dobija

U z Tzz

T zz

u kT T k u kT Tk k1 1 12

132 05

05 4 32

0 2( ).

( ) . , , lim ( ) ;=−

−−

⇒ = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

≥ =→∞

i prema rešenju zadatka 5-6a),

u kT kk u kT

k2 2

1 2 10 0( ) lim ( ) .

k= − + ≥

< ⇒⎧⎨⎩

→ ∞→∞

c) Uočimo neslaganje rezultata dobijenih za signal u t2( ) . Naime, u

slučaju signala u t2( ) nije ispunjen uslov da funkcija ( )1 12− −z U z( ) nema polova na ili

121

van jediničnog kruga sa centrom u koordinatnom početku z- ravni [1], pa tzv. drugu graničnu teoremu z- transformacije nije moguće primeniti. P5-4. Povorke diskretnih vrednosti dobijene su pomoću programskog paketa CC.

a)

b)

c)

d)

Odbirci signala prikazani su na narednoj slici.

1 2 3

0

1

2

3

4 g1(n)

g2(n)

g3(n)

g4(n) gi(n)

n0

122

P5-5. Uvećani deo z- ravni oko tačke z = 1 sa mrežom ζ ω= =const, constn i naznačenim tačkama z z1 2 i prikazan je na narednoj slici.

0.9995 10

1

2

3

4

5

6

x 10-4

Rez

j Imzz

ζ=0.707

nω =0.707

ωn =0.1414

T=0.001 s

P5-6. Kako je C z zC z( ) ( , )= 0 , prva i druga granična teorema z- transformacije mogu se prepisati u pogodnoj formi:

[ ]c zC z

c z C z

( ) lim ( , )

( ) lim ( ) ( , ).

z

z

0 0

1 01

=

∞ = −

→∞

→

i

Otuda je a)

c c( ) , ( ) .0 0 0= ∞ =

b)

c c( ) , ( ) . .0 0 05= ∞ =

P5-7. Deljenjem polinoma u brojiocu polinomom u imeniocu izraza C z m( , ) dobija se

( ) 1 2 3( , ) 1 e (1.736 ) (1.9097 1.736 ) ,mC z m z z z− − − −⎡ ⎤= − + −α + − α +⎣ ⎦…

gde je α =−−

−

−

Δ 0 368 1 2 7181

. ( . e )e

.m

m Otuda sledi:

123

( ) ( )( ) ( )

0 011 e

1.736 1 e 0.368 1 2.718 e 2( 1) .

1.9097 1 e 0.6388 1 2.718 e 3

m

m m

m m

nnnc n m

n

−

− −

− −

⎧ =⎪

=−⎪⎪ − − − =+ − = ⎨⎪

− − − =⎪⎪⎩…………

Tražene vrednosti signala su: c c( . ) . ( . ) .0 25 0 2212 175 10204= = i . P5-8. a) Lako se pokazuje da je

( )( ) ( )

f f f f f f f ff f f f f f f f f

n n n n n n n n

n n n n n n n n n

+ + + + +

+ + + + +

− = + − = +

= + + = + =2

21

21

21

2 21

1 1 1 2 3

2.

b) Formirana je tablica od deset brojeva a ii , , ... ,= 0 9 , a a0 1 i je dato,

a0 dok je 9,,2,12 …=+= −− iaaa iii . Lako se pokazuje da je a1 …,3,2,101 =+= − iafafa iii , gde je a2 { } { }0,1,1, 2, 3, 5,8,13, 21, 34,kf = … Fibonaccijev niz.

a3 Prema tome, tražena suma je a4 ( )S a a a f a f aii i ii= ∑ = + + +∑= −=0

90 1 1 0 12

9

a5 = + + +∑ ∑−= =a a a f a fii ii0 1 0 1 129

29

a6 = + + + = +a a a a a a0 1 0 1 0 154 87 55 88 a7 ( )= + =11 5 8 110 1 6a a a

a8 a9

a aii

=∑=

11 60

9

P5-9. a) Formirajmo karakterističnu jednačinu f r r a r( ) = − + =−2 01

koja se može prepisati na način r ar2 2 1 0− + = . Koreni prethodne jednačine su

r a a r a a12

121 1= + − = − − i ,

koji za različite vrednosti a mogu biti prosti i realni, konjugovano kompleksni ili dvostruki. Razmotrimo sve slučajeve.

124

• Ako je a > 1 , koreni su realni i različiti, a rešenje se dobija u obliku

( ) ( )y c r c r c a a c a akk k k k

= + = + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1 1 2 2 1

22

21 1 .

• Ako je a < 1 , koreni su konjugovano kompleksni, pa je rešenje

( ) ( )y c r c r c a j a c a j akk k k k

= + = + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟1 1 2 2 1

22

21 1 .

Neka je a = cosφ ; tada je

( )1 2 1 1 2 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆcos sin , , .ky c k c k c c c c j c c= φ+ φ = + = −

• Ako je a = 1, karakteristična jednačina ( )r r r2 22 1 1 0− + = − = ima dvostruki koren u r = 1, pa je rešenje

y c c kk = +1 2 .

• Ako je a = −1 , karakteristična jednačina ( )r r r2 22 1 1 0+ + = + = ima dvostruki koren u r = −1 , pa je rešenje

y c c k c c kkk k k= − + − = + −1 2 1 21 1 1( ) ( ) ( )( ) .

b) Nakon primene z- transformacije i na osnovu osobine o pomeranju u vremenskom domenu dobija se

[ ]z Y z z y zy az Y z y Y z2 20 1 02 0( ) ( ) ( ) ,− − − − + =

što se može prepisati na način

Y z z y z y ayz az

( ) ( ) .=+ −− +

20 1 0

22

2 1

Ako je a a< =1 i cosφ , lako se zaključuje da je

( )

y c k c k

c y c ay ak = +

= − −

1 2

1 0 2 021

cos sin ,

.

φ φ

gde je i = y1

P5-10. Diferencnu jednačinu (5.11) možemo da prepišemo na način

pp

p pp

pk k k+ −−−

+−

=1 11

1 10 .

Karakteristična jednačina je oblika

rp

r pp

r pp

r21 2

11 1

01

1−−

+−

= =−

= sa korenima i ,

pa je rešenje diferencne jednačine

125

p c pp

c p pk

kk

l=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + = =1 2 01

1 0 1, , i

odnosno

p c pp

c pp pk

k l

l l=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

−− −1 11

1 11

, ( )( )

.

P5-11.

Razlaganjem u zbir parcijalnih razlomaka dobijamo

X z zz j

zz j

z

z

z

zj j

( )( ) ( )

e e

=+

+−

=

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−2 2

2

2

2

2π π .

X z( ) prepišimo na način

X z z

z

z

z

jj

j

jj

j

( ) e e

e

e e

e

,=

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

+

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−

−

−π

π

π

ππ

π2

2

2

22

2

2

2

odakle se dobija

x kT k kj j j j

( ) e e e e= +− −

π π π π2 2 2 2 , za T = 1 s ,

odnosno

( ) 2 sin za 0,1, 2, .2kx kT k kπ

= = …

Pomoću definicionog konturnog integrala (5.4) koji se može sračunati primenom teoreme o ostacima (5.5) dobija se x kT X z zk

n( ) Res ( )= ∑ − 1 u polovima X z( ) , a to su dvostruki polovi z j z j= = − i ;

odnosno

2 22 1 2 1

2 2 2 2

2 2

2 ( 1) 2 ( 1)d d( ) lim ( ) lim ( )d d( ) ( ) ( ) ( )

e e 2 sin , 0,1, 2, .2

k k

z j z j

j k j k

z z z zx kT z j z z j z

z zz j z j z j z j

kjk jk k k

− −

→ →−

π π−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬+ − + −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

π= − + = = …

LITERATURA [1] Stojić M.R., Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd, 1994.

[2] Stojić M.R., Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd, 1994. [3] Åström K.J., Wittenmark B., Computer controlled systems: Theory and design,

Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1984.

[4] Åström K.J. , Hägglund T., Automatic Tuning of PID Controllers, Instrument Society of America, 1988.

[5] Gabel R.A., Roberts R.A. , Signals and Linear Systems, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1973.

[6] Franklin G.F., Powell J.D., Digital Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley Publishing Company, Reading, 1980.

[7] Phillips C.L., Nagle H.T., Digital Control System Analysis and Design, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1984.

[8] Houpis C.H., Lamont G.B., Digital Control Systems - Theory, Hardware, Software, McGraw-Hill Book Company, New York, 1985.

[9] Katz P., Digital Control using Microprocessors, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1981.

128 [10] Kovačević B.D., Đurović Ž.M., Sistemi automatskog upravljanja - Zbornik rešenih

zadataka, Nauka, Beograd, 1992.

[11] Petrović T.B. , Sistemi automatskog upravljanja - Zbirka rešenih zadataka II, Zavod za udžbenike, Beograd, 1989.

[12] Ragazzini J.R., Franklin G.F., Sampled-Data Control Systems, McGraw-Hill Book Company, New York, 1958.

[13] Kuo B.C., Discrete-Data Control Systems, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, 1970.

[14] Tou J.T., Digital and Sampled-Data Control Systems, McGraw-Hill Book Company, New York, 1959.

[15] Cipkin Â.Z., Teori® impul†snìh sistem, Gosudarstvenoe izdatelÍstvo fizičko-matematičeskoy literaturì, Moskva, 1958.

[16] Jury E.I., Sampled-Data Control Systems, John Wiley, New York, 1958.

[17] Unklesbay K., Pittman R., Program CC - Survival Kit, University of Missouri - Columbia, 1987.

[18] MATLAB - User's Guide, The MathWorks Inc., 1994

[19] VisSim- User's Tutorial - Help.

[20] Mitrinović D. S., Predavanja o redovima, Građevinska knjiga, Beograd, 1980.

[21] Petrović T.B., Beleške sa predavanja iz Teorije automatskog upravljanja na Elektronskom fakultetu u Nišu, školske 1990/91.

[22] Naumović M. B., Laboratorijski model procesa odabiranja i rekonstrukcije signala, Zbornik radova JUREMA 31, Zagreb, 1986, 133-136.

[23] Data Acquisition Components and Subsystems Catalog, Analog Devices, 1980.