zależności funkcyjne

Zależności funkcyjne

Schemat semantyczny

Warunki integralności stanowią zbiór ograniczeń

narzuconych na dane.

Definicja 1.

Niech W oznacza zbiór warunków integralności

dotyczących relacji R o schemacie SCH.

Para = (SCH, W) jest definiowana jako schemat

semantyczny relacji.

Schemat semantyczny

Definicja 2.

Niech będzie dany zbiór schematów semantycznych

relacji: = {1, 2, …, 2} . Niech oznacza

zbiór zależności semantycznych dotyczących więcej

niż jednego schematu.

Para = {, } jest definiowana jako schemat

semantyczny bazy danych.


Zależności funkcyjne między atrybutami są rodzajem

warunków integralności.

Definicja 3. Niech będzie dany zbiór atrybutów

SCH oraz jego podzbiory X i Y. Mówimy, że Y jest

funkcyjnie zależny od X, co zapisujemy X Y, wtedy

i tylko wtedy, gdy dla każdej relacji R rozpiętej na

schemacie SCH i dla każdych dwóch krotek t1, t2 R

jest spełniony warunek:

t1(X) = t2(X) t1(Y) = t2(Y).


Dla zależności funkcyjnych sformułowano zbiór reguł

wnioskowania, które pozwalają na wyprowadzenie

nowych zależności na podstawie istniejących.

Nazywamy je aksjomatami Armstronga.

AKSJOMATY ARMSTRONGA

A1. Y X X Y (zwrotność)

A2. X Y Z W XW YZ (powiększenie)

A3. X Y Y Z X Z (przechodniość)


Dowód

A1.

t1 (X) = t2 (X) Y X t1 (Y) = t2 (Y)

Zależności wynikające z aksjomatu zwrotności są

często nazywane trywialnymi.


A2.Dowód przez zaprzeczenie.

Załóżmy, że : t1 (XW) = t2 (XW) t1 (YZ) t2 (YZ).

t1 (XW) = t2 (XW) Z W t1 (XZ) = t2 (XZ)

t1 (X) = t2 (X) t1 (Z) = t2 (Z)

t1 (Z) = t2 (Z) t1 (YZ) t2 (YZ) t1 (Y) t2 (Y)

Otrzymaliśmy: t1 (X) = t2 (X) t1 (Y) t2 (Y) , co jest sprzeczne z założeniem.


A3.

( t1 (X) = t2 (X) t1 (Y) = t2 (Y))

(t1 (Y) = t2 (Y) t1 (Z) = t2 (Z))

(t1 (X) = t2 (X) t1 (Z) = t2 (Z))

REGUŁY ARMSTRONGA

Z aksjomatów Armstronga wynikają następujące

reguły:

D1. X Y X Z X YZ (suma)

D2. X Y WY Z XW Z (pseudoprzechodniość)

D3. X Y Z Y X Z (rozkład)

REGUŁY ARMSTRONGA

Dowód

D1.

X Y X YX (aksjomat A2)

X Z XY ZY (aksjomat A2)

X YX XY ZY X YZ (aksjomat A3)

REGUŁY ARMSTRONGA

Dowód

D2.

X Y XW YW (aksjomat A2)

XW YW YW Z XW Z (aksjomat A3)

REGUŁY ARMSTRONGA

Dowód

D3.

Z Y Y Z (aksjomat A1)

X Y Y Z X Z (aksjomat A3)

REGUŁY ARMSTRONGA

Zbiór reguł wnioskowania jest zupełny (sound)

i kompletny (complete). Oznacza to, że wszystkie

wyprowadzone zależności są poprawne oraz że można

wyprowadzić wszystkie zależności istniejące

w danym schemacie relacji.

Konsekwencja logiczna

Oznaczmy przez F zbiór zależności funkcyjnych

między atrybutami schematu SCH.

Zależność funkcyjna f jest konsekwencją logiczną F,

co zapisujemy F = f, jeśli f jest spełnione dla

wszystkich relacji o schemacie SCH.

Domknięcie zbioru zależności funkcyjnych F+

Jest to zbiór zależności funkcyjnych będących

konsekwencjami logicznymi F

Nasycenie atrybutu X+

Zbiór F+ zawiera zazwyczaj wiele elementów, nawet

jeśli F nie jest zbiorem dużym. Za pomocą reguł

wnioskowania można bowiem wyprowadzić wiele

zależności. Wyznaczanie F+ jest więc procesem

czasochłonnym. Znacznie łatwiej można wyznaczyć

nasycenie atrybutu X+ .

Nasycenie atrybutu X+

Jest to zbiór atrybutów prostych A takich, że zależność

XA można wyprowadzić zgodnie z regułami

wnioskowania.

Twierdzenie 1

Zależność XY można otrzymać na podstawie reguł

wnioskowania Y X+

Twierdzenie 1

Dowód

Załóżmy, że Y = {Ai, A2, …, An}

1. Y X+.

Zgodnie z definicją X+ jest zbiorem atrybutów Ai,

takich, że prawdziwa jest zależność X Ai. Na

podstawie reguły sumy X X+.

Y X+ X+ Y (aksjomat A1

X X+ X+ Y X Y (aksjomat A3)

2. X Y

X Y X Ai. (D6)

Oznacza to, że Ai X+ Y X+

Twierdzenie 1

1. Przyjmujemy X0 = X

2. W każdym następnym kroku powiększamy Xi ,

Xi+1 = Xi S, o atrybuty należące do następującego

zbioru S: S = {A: Y Z Y Xi A Z}.

Ze względu na to, że Xi Xi+1 … U wnioskujemy,

że metoda jest zbieżna.

Proces wyznaczania X+ kończymy, gdy Xi = Xi+1 .

WYZNACZANIE NASYCENIA ATRYBUTU

AB C, D EG, C A, BE C, BC D,

CG BD, ACD B, CE AG

X = BD X+ = ?

WYZNACZANIE NASYCENIA ATRYBUTU - PRZYKŁAD

1. X0 = BD

2. Tylko jedna zależność spełnia warunek Y Xi . Jest to D EG. Lewa strona tylko tej zależności jest podzbiorem X0 . Powiększamy X0 o {E,G}. Tak więc X1 = {BDEG}.

Postępując podobnie otrzymujemy w czwartym kroku X3 = {ABCDEG}, czyli zbiór wszystkich atrybutów.

WYZNACZANIE NASYCENIA ATRYBUTU - PRZYKŁAD

Zbiory zależności F i G są równoważne, jeśli F+ = G+.

Mówimy, że F pokrywa G ( i G pokrywa F).

Zbiory są równoważne każda zależność z F należy

do G+ i każda zależność z G należy do F+ .

Twierdzenie 2

Każdy zbiór zależności funkcyjnych F jest pokryty

zbiorem zależności G, w którym nie istnieje prawa

strona o więcej niż jednym atrybucie.

POKRYCIA ZBIORÓW ZALEŻNOŚCI

Dowód:

Niech X Y F, Y = {A1, A2 ,…, An}.

Niech G będzie zbiorem zależności postaci X Ai .

Atrybuty Ai odpowiadają zależnościom X Y F.

Na podstawie D6 X Y X Ai G F+ .

Na podstawie D4 X A1 X A2 … X An

X Y F G+

POKRYCIA ZBIORÓW ZALEŻNOŚCI

Wyznaczenie F+ nie jest konieczne. Wystarczy

wyznaczyć zbiór minimalny, czyli taki z którego

wynikają wszystkie zależności należące do F+ .

ZBIÓR MINIMALNY

Zbiór zależności F jest minimalny jeśli:

1. Prawa strona każdej zależności w F jest pojedynczym atrybutem

2. Zbiór F – {XA} nie jest równoważny F

3. Zbiór F – {XA} {ZA}, gdzie Z X

nie jest równoważny F.

ZBIÓR MINIMALNY

Warunek 2 oznacza, że zbiór F nie zawiera zależności

redundantnych.

Warunek 3 oznacza, że zbiór F nie zawiera zależności

z atrybutami nadmiarowymi po lewej stronie.

ZBIÓR MINIMALNY

AB, BA,

AC, CA,

BC

Co można wyeliminować?

ZBIÓR MINIMALNY - PRZYKŁAD

1. BA i AC

BC CA BA , AB BC AC

2. BC

BA AC BC

Nie można wyeliminować wszystkich trzech

zależności. Wynik zależy od kolejności analizowania

poszczególnych zależności


ABC , AB, BA

Co można wyeliminować?


ABC , AB, BA

AB ABC AC

BA ABC BC

Można wyeliminować A albo B. Nie można

wyeliminować A i B

Na wynik ma wpływ kolejność.


AB C, D EG, C A, BE C, BC D,

CG BD, ACD B, CE AG

Wyznaczyć zbiór minimalny


Na podstawie D6 otrzymujemy zależności z

pojedynczymi atrybutami po prawej stronie:

AB C, D E, D G

C A, BE C, BC D,

CG B, CG D ACD B,

CE A, CE G


AB C, D E, D G

C A, BE C, BC D,

CG B, CG D ACD B,

CE A, CE G

1. C A CE A CE A do usunięcia


1. C A ACD B CD B

do usunięcia A z ACD B

2. CG D CD B CG B

CG B do usunięcia

Rozwiązanie I

AB C, D E, D G,

C A, BE C, BC D,

CG D, CD B, CE G

ZBIÓR MINIMALNY – PRZYKŁAD – ROZWIĄZANIE I

1. CG B BC D CG D

CG D do usunięcia

2. D G CG B CD B ACD B

ACD B do usunięcia

Rozwiązanie II

AB C, D E, D G,

C A, BE C, BC D,

CG B, CE G

ZBIÓR MINIMALNY – PRZYKŁAD – ROZWIAZANIE II

WYZNACZANIE KLUCZA

Twierdzenie 3

Niech R oznacza relację o schemacie SCH.

Niech F oznacza zbiór zależności funkcyjnych

między atrybutami schematu SCH.

X A F+ SCH – {A} SCH F+

Dowód:

(SCH – {A}) X (SCH – {A}) A F+ (aksjomat A2)

WYZNACZANIE KLUCZA

Przy wyznaczaniu klucza wykorzystujemy

twierdzenie 3. Jako pierwsze przybliżenie

przyjmujemy zbiór wszystkich atrybutów: K = SCH.

Następnie usuwamy poszczególne atrybuty

sprawdzając czy K – {A} SCH F+.

Algorytm kończy się, gdy nie istnieje możliwość

usunięcia żadnego atrybutu.

Otrzymany wynik zależy od kolejności w jakiej

rozpatrujemy poszczególne atrybuty.

WYZNACZANIE KLUCZA - PRZYKŁAD

P-profesor, G-godzina, N-sala, Y-klasa, T-przedmiot

Profesor P wykładający przedmiot T prowadzi zajecia

o godzinie G w sali N z klasą Y

Zbiór zależności:

F = {PT, PGY , GNP, GYN}


K = PGNYT

PT PGNYPGNYT K = PGNY

PGY PGNPGNY K = PGN

GNP GNPGN K = GN

Kluczem jest GN.

Można zauważyć, że nie jest to jedyny klucz.

Przy innej kolejności usuwania atrybutów

otrzymalibyśmy klucze PG lub GY.

WYZNACZANIE KLUCZA – UWAGI DODATKOWE

Przy wyznaczaniu kluczy można wykorzystać następujące

własności:

1. Każdy klucz kandydujący zawiera wszystkie atrybuty

występujące tylko po lewej stronie zależności funkcyjnych

2. Nie istnieje klucz kandydujący zawierający atrybuty

występujące tylko po prawej stronie zależności funkcyjnych

3. Jeżeli zbiór atrybutów występujących tylko po lewej stronie

zależności funkcyjnych identyfikuje pozostałe atrybuty,

to tworzy on jedyny klucz relacji.


Wyznaczmy klucz schematu R(K, G, N, S, U, O) z następującymi zależnościami:GUS, GSK, KN, KUO Atrybutami występującymi tylko po lewej stronie są Na podstawie reguł Armstronga otrzymujemy:GUS GSK GUK GUK KN GUN GUK KUO GUOGU identyfikuje pozostałe atrybuty, co oznacza, że jest to jedyny klucz schematu.

ROZKŁAD do 3NF

Algorytm zapewniający uzyskanie rozkładu

bezstratnego i zachowującego zależności do postaci

3NF.

1. Wyznaczyć zbiór minimalny zależności

2. Dla zależności postaci X Ai utworzyć schemat

{X, A1 , A2 , …, An }

3. Jeżeli żaden ze schematów nie zawiera klucza, utworzyć schemat, do którego należą atrybuty kluczowe

ROZKŁAD do 3NFPRZYKŁAD

Rozpatrzmy następujące rozkłady schematu

R(A, B, C, D) ze zbiorem zależności:

F = {A C, C B}

• R1(A, C), R3(A, B, D)

• R2(B, C), R4(A, C, D)

• R1(A, C), R2(B, C), R5(A, D)

PRZYKŁAD

1. R1(A, C), R3(A, B, D) –

brak zależności B C, rozkład odwracalny,

R1 w BCNF, R3 w 1NF

2. R2(B, C), R4(A, C, D) –

rozkład odwracalny, zależności zachowane,

R2 w BCNF, R4 w 1NF

3. R1(A, C), R2(B, C), R5(A, D) –

rozkład odwracalny, zależności zachowane,

relacje w BCNF

PRZYKŁAD

Zauważmy, że zbiór zależności F = {A C, C B}

jest zbiorem minimalnym oraz że kluczem schematu

jest AD.

Przedstawiony algorytm prowadzi do rozkładu

R1(A, C), R2(B, C), R5(A, D).

zależności funkcyjne

Documents