Deerli Konuklar,Yznc Yl niversitesi ve Trk Matematik

Derneince dzenlenen 16. Ulusal MatematikSempozyumuna hofl geldiniz. Kongre sresince l-kemizde ve dnyada matematik alannda salanangeliflmeler ve bunlarn olas sonular deerlendi-rilip, tartfllacak ve ortak alflma olanaklararanacaktr. Kongreyi dzenleyenlere katklarn-dan dolay teflekkrlerimi sunuyorum ve toplant-larn matematik dnyamz iin yeni ufuklar ama-sn diliyorum.

Homo Sapiensin uzun sren geliflimindeki ilkmatematik retmeni zel bir dizilimle bir arayagelen molekllerden oluflan ifte sar-mal, baflka bir deyiflle evrimin ta ken-disidir. nsanlaflma srecinin ilk ma-tematiksel belirtisi olan sayma eyle-mi, geliflmekte olan biyolojik bir btn-ln, dil gibi, sanat gibi zorunlu yne-lifllerinden biridir. Bugnk bilgilerimi-ze gre bu geliflme Afrikada ortaya k-mfl ve buradan da btn dnyaya ya-ylmfltr. Swazilandda .. 35000e ta-rihlenen 29 entikli flebek uyluk kemiive Zaire-Uganda snrndaki Edwardgl yaknlarnda Jean de Heinzelin deBraucourt tarafndan bulunan ..20000e ait Ishango kemii gibi ok saydaki bu-luntu bu varsaym desteklemektedir.

Daha sonra dnyaya yaylmfl uygarlk ve kl-trler farkl say sistemleri gelifltirmifllerdir. Sayma,gndelik hayata veya praxise iliflkin bir konum-dan soyut simgelere uzanan bir evrim geirecektir.Tarihi boyunca insanolu, anlaflmak, doay anla-yp denetlemek, ticaret yapmak, inan sistemi ge-lifltirmek, varln anlamlandrmak ve soyut sis-

temler gelifltirmek iin saymaya baflvurmufltur. Sa-y ve sayma kavramlarnn gelifltirilmesi ve pra-xisten theoriaya geifl, genel kabul gren anlay-fln tersine Msr, Mezopotamya ve Hindistandaortaya kmfl olmaldr. Buralarda kuflaklar boyuoluflan birikim, ortaya ktktan 2000-2500 ylsonra, Bat Anadoluda yani eski adyla yonyada,daha sonra da Yunanistanda tekrar yeflerecek, Or-ta ada slam uygarl araclyla Batya yenive zgn katklarla tantlacaktr. Bat da bu biri-kimin gerek kklerini grmezden gelerek bunuyanl ve tarihi tahrif ederek pazarlayacaktr.

Eski kltrlerin farkl tabanlara gre gelifltir-dikleri say sistemleri birok adan ze-rinde durmaya deerdir. Benzer say sis-temleri kullanan toplumlarn hangi or-tak kltrden etkilendikleri ve kltreliletiflimin hangi kltrler arasnda ger-eklefltii, say sistemlerinin ait oldukla-r kltrn bir rn olduundan hare-ketle, o toplumun dflnce tarznn -zmlenmesi, matematiksel sezgileri vekavramlar, bilim tarihi, felsefe, sosyo-loji, antropoloji, arkeoloji ve tarih bili-mine yeni yeni bakfl alar, deerlen-dirmeler ve almlar kazandrabilir.

Bugn adlarn bilmesek ve elimizde-ki kantlar snrl olsa da, arafltrmalar younlafltk-a, gnmzden 5000 yl ncesinden bafllayarak so-yut matematiksel dflnceye ait kavramlar Nil bo-yunca eski Msrda, Mezopotamyann Smer veBabilinde ve Hindistann nds Vadisinde Mohen-jo Dara ve Harappa gibi merkezlerde geliflmeye bafl-lamfltr. ..1200l yllardan bafllayarak ve zellik-le Hindularn antik Sulba-Sutras kitaplarndaPythagoras ve Euclidin alflmalarnn hemen tm

64

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

Yznc Yl niversitesi Rektr Ycel Aflknn

16. Ulusal MatematikSempozyumu Alfl Konuflmas

(Eyll 2003)

Yznc Yl (Van) niversitesi rektr Prof. Dr. Ycel Aflkn, 16. Ulusal Matematik Sempozyu-munun (Eyll 2003) alfl konuflmasnda alflagelmifl normlarn dflna karak matematik tarihi asn-dan ierii zengin bir konuflma yapmfltr. Aflada Prof. Dr. Ycel Aflknn alfl konuflmasnn metni-ni bulacaksnz.

stndeki entiklerdensay saymaya yarad

anlalan shangokemii.

izlerine rastlanmaktadr. Barrow, Hint sayma siste-minin gezegenimizde bugne dek yaplmfl en bafla-rl zihinsel yenilik olduunu yazar ve Pythagorasnkendi adn taflyan teorinin zgn mucidi olmad-n, bunu muhtemelen daha nce deindiim mer-kezlere yapt seyahatlerde rendiini ileri srer.

nds-Nil-Mezopotamya genindeki mate-matiksel birikim, saymadan soyut kavramlara ya-ni sayya geifli getirecektir. Bundan sonras artkbugn anladmz anlamda matematiin inflas s-recidir. Bu bakmdan ikinci byk atlm gn-mzden 2500 yl nce Anadoludan Arche soru-nunu dflnen Doa Filozoflarndan, Thales, Ana-ximenes ve Anaximendrosdan gelir. Bunu Yunanyarmadasnda Pythagoras ve Euclid gibi baflkalarda izleyecektir.

Euclid Elementlerinde boyutlu bir geomet-ri infla eder. Pythagoras ise mistik bir anlayflla sa-ylarn evrenine dalar. Kendisi ve mridleri iin do-al saylar artk tanryla zdefltirler. Oluflturduutarikat 2nin kesirli say olmadn aklayanHippasusu boarak ldrr. Heraklitos gnm-ze kalan fragmannda Pythagoras ok sivri birdille elefltirmektedir:

Dzenbazlarn flahyd Pythagorasveya

ona grekendi bilgeliiok fley bilenbir muzrn sanatyd

veyaok bilmekretmez akll olmayretseHeriodosla1 Pythagorasa retirdibir de Ksenophanesle2 Hekaitosa3

der.Matematiin evriminde nc byk adm

Ortaada yine Hindistandan ve slam uygarl-ndan gelecektir. M.S. 500lerde Brahmagupta s-frla blmeden szeder, 1100lerde ise Bhaskara s-frla blerek sonsuzluu anlatr.

slam Uygarl ayn inanca sahip farkl top-lumlar olan Araplar, ranllar, Trkleri ve di-

er kk etnik gruplar, ayn inanca sahip ol-mayan baz kk topluluklarla bir araya geti-rir. Anlan dnemde sadece matematik deil tmbilimlerde byk bir atlm gereklefltirilir. D-nemin bilim adamlar ayn zamanda ok iyi e-virmenlerdir ve eski kaynaklar orijinal dillerin-den Arapaya evrilir.

Mansur ve Harun Reflid gibi Abbasi Halifeleri-nin matematie destekleriyle Badatta Bait-al-Hikma (Bilimevi) kurulur. Burada el-Harezmi(780-850), Hint say sistemini ve matematiini in-celeyerek cebiri gelifltirir. Harezminin yapt dahasonra Hint say sistemi ve Arap cebirini Batya ta-flyan temel eser olacaktr. ranl Cemflit-el-Kafli(1380-1429) ise in kaynaklarndan yararlanaraktrigonometrik yntemlerle nc derecedendenklemler zerinde alflr.

Rubaiyat yazar Hayyam (1038-1123), Ce-birinde nc dereceden denklemleri inceler, ce-birle geometriyi kaynafltrmay dener ve slam tak-viminde dzeltme yapt iin muhtemelen elefltiri-lir ve hemen cevap verir:

Ah, diyorlar ki benim hesaplamalarmYl insan pusulasna uydurdu.Eer yleyse takvimdenDomamfl yarn ve l dn koparalm.1256da Moollarn Badat yakp ykmas-

nn ardndan Hulagu, Nasrettin Tusi (1201-1274) iin Meragada bir gzlemevi kurar. Struik[Ksa Matematik Tarihi, Sarmal Y. 1996], bura-da tm Dou biliminin Yunan bilimiyle boy l-flebilecei bir kurumsallaflmann gereklefltiinisyler. Tusinin yapt en nemli katklardan bi-ri trigonometriyi astronomiden ayrp zel biralan olarak grmesidir.

Bu dnemde inde de nemli geliflmeler izle-necektir. M.S. 3. yzyldan bafllayarak 13. yzylakadar Liu Hui, Hsiao Tung, Chiu Shao ve YangHui gibi matematikilerin alflmalar dnemleri-nin Hintli ve Arapa yazan matematikileriyle ay-n dzeyde ve zgn alflmalardr.

Ortaadan bafllayarak tm eski dnyann veDounun matematiksel bilgi birikimi Avrupayaaktarlmaya bafllanacak ve bu birikim pek grl-medik bir biimde dier bilimlerle birlikte gelifltiri-lecektir. Bundan sonra eski dnyadan Ramanujangibi bir mucize hari tutulursa kk melodiler d-flnda hemen hibir ses gelmeyecektir.

Daha sonra drdnc admda artk sz Avru-

65

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

1 M 700lerde yaflamfl Yunan flairi. Didaktik (retici) fliirinyaratcs olarak bilinir.

2 M 570-475 yllar arasnda yaflamfl, Pisagorun (569-475) rencisi olmufl ve Pisagorun okulunda retmenlikyapmfl Yunan flair ve filozofu.

3 Yunan filozof ve tarihisi.

panndr. slam uygarl araclyla daha eski d-nemi ve zellikle Yunan matematiini tanyan Batbundan sonra bayra gnmze kadar hep elindetutacaktr. Kendisinden nceki dnemde de olduugibi bu atlmda eviri byk rol oynayacaktr; bukez Arapadan Latinceye.

Ortaadan bafllayarak birok matematiki vedflnr matematii srekli gelifltirir ve yeni alanlarortaya kar. Descartes (1596-1650) La Gomet-riede analitik geometriyi gelifltirir. Newton Prin-cipiada hareketi ve yerekimini analiz eder. New-tonun adafl Leibniz (1646-1716) ise tm insandflncesini matematiksel ve evrensel bir dile, Lin-gua characteristicaya evirmeye kalkflr. kilininalflmalarnn sonucu Calculustr. Ayn zaman-da Leibnizin yntemi ve yaklaflm ok daha sonra-lar Gdel tarafndan da kullanlmfl, ayrca Russellve Whiteheadin matematii manta indirgeme a-lflmalarnn esin kaynan oluflturmufltur.

Abel (1802-1829), Galois (1811-1832), Euler(1707-1783), Gauss (1777-1855), Lobachevsky(1793-1856), Riemann (1826-1866), Boole (1815-1864), Lagrange (1736-1813), Cauchy (1789-1857), Cantor (1845-1918), Dedekind (1831-1936), Frege (1848-1925), Poincar (1854-1912),Hilbert (1862-1943), Russell (1872-1970), White-head (1861-1947), Gdel (1906-1978), von Ne-umann (1903-1957), Turing (1912-1954) gibi birok dehann gelifltirerek gnmze getirdikleri ma-tematik artk evrenin daha gerek bir fotorafnekmede en uygun dildir. Newtonun mekanii,Maxwellin elektromanyetizmas, Einsteinn 1916genel grecelii ve geen yzyln baflnda gelifltiril-meye bafllanan kuantum mekaniinde kullanlandil hep matematiktir. Yirminci yzylda artk gr-dmz nesnelerin ardnda gz nnde canland-rlamayan baflka bir dnya vardr ve bu dnyayaancak matematikle ulafllabilir.

Ancak matematik birok kiflinin zannettii gi-bi yaln, soyut, souk, mekanik, kaba ve estetiktenyoksun ifllemler dizisi deildir. Aksine fleylerdekiveya durumlardaki estetii, eer derinlemesine ba-kabiliyorsak, matematik daha ok ortaya karr.Hardy, matematikle yalnzca yaratc bir sanat da-l olduu iin ilgilendiini yazar ve bu anlayflndaha ileri gtrr (1940): Yunan matematii kal-c, hatta Yunan edebiyatndan bile daha kalcdr.Aeschylus unutulsa bile Archimedes hatrlanacak-tr; nk konuflma dilleri lr, ama matematiksel

dflnceler kalcdr. lmszlk sama bir szckolabilir; ancak anlam ne olursa olsun, ona eriflmekiin en flansl olanlar matematikilerdir.

Bu bakmdan flairle matematiki ayn soydan-drlar. On dokuz ve yirminci yzyllar parlak gelifl-melere sahne olduklar kadar yeni tartflmalarn vebunalmlarn da yzyllardr.

Bu bunalmlardan biri yzyllarca geerliliinikorumufl, Kantn a priori bilgiye rnek verdii,Newtonun tm alflmalarnn temelini oluflturanklid geometrisinin Gauss, Riemann, Lobachevskive Bolyai tarafndan sadece olaslklardan biri ol-duunun fark edilmesi ve daha sonra fraktal ge-ometriye kadar birok yeni geometrinin ortaya k-masdr.

Bunu, yine Batda yzyllarca mutlak dorukabul edilmifl, nc halin olmazlna iliflkinkural da ieren Aristo mantnn dflnda, baflkatutarl mantklarn da olabileceinin gsterilmesiizlemifltir. Her nerme iin doru veya yanlfl gibiiki deil yedi kategori kabul eden Hintli Caynac-lar hafzalardan silinmifl olsa da 1920lerde Luca-siewicz, Tarski ve Post (1897-1954) gibi mantk-lar iki deerli olmayan tutarl mantklarn olabile-ceini gstermifllerdir. Barrow, ats altna aldtm olas mantklar zel ya da snrl vakalar ola-rak gsteren bir sper mantk yok gibi grnmek-tedir demektedir.

Ayn durum deindiim geliflmelere paralel fle-kilde grecelik kuramnda ve kuantum fiziinde deizlenir. Ama geometride ortaya kan bunalmEinstein iin yeni bir almdr ve buradan aldkavram ve sembollerle drt boyutlu bir uzay-za-man infla ederek evrenin snrlarna yelken aar.Newton artk yerel kalmfltr.

Bohrun, Heisenbergin, Planckn, Diracn, deBroglienin ve Schrdingerin ikili ve belirsizlikler-le dolu dnyalar ise klasik mantk ve geometrinintesindedir. Heisenberg bu durumu flyle deerlen-dirir: Bir insann Newton fiziinin aksiyomatiin-den farkl ama tutarl bir flemaya gereksinimi oldu-unu tam olarak ne zaman idrak ettiini syleye-mem. Bu o kadar basit deil. Sanrm, elinizde tu-tarl bir fleyler olmadan doay hemen hemen hitanmlayamayacamz ve eski klasik fizikten ta-mamen farkl bir aksiyomatik sistemi ve yine eski-sinden farkl bir mantk sistemini kullanmak zo-runda kalabileceimiz fikri birok fizikinin bey-ninde ancak yavafl yavafl olgunlaflt. Ancak bu ol-

66

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

gunlaflan fikir yeni fiziin nn aacaktr. Artka, Diracn deifliyle, denklemlerin sahiplerindendaha akll olduu bir adr.

1900lerde paradokslar matematikileri mefl-gul eder ve nihayet Alfred Tarski, mantk-sal olarak tutarl olan bir dilin semantik(anlamsal) ynden zorunlu btnsellie sa-hip olamayacan gsterir ve metadil kav-ramn ortaya atar. Russell ve Whitehead,Principiada matematii paradokslardanarnmfl bir mantk zerine temellendirme-ye alflrlar. Hilbert ise daha kapsaml birproje tasarlayarak aksiyomlarn ve bunlar-dan karlabilecek tm sonularn tutarllklarnnkantlanmasna alflr, iddial bir ifadeyle flyleseslenir: flte problem! zmn ara. Saf dfln-ceyle bulabilirsiniz onu, nk matematikte bilin-mez diye bir fley yoktur! Bilmek zorundayz. Bile-ceiz. Son cmlesi Wir mssen wissen, wir werdenwissen bugn mezar taflna yazldr, amatasar 1931de Kurt Gdelin 25 sayfalkbir makalesiyle sona erer: Hilbertin ama-larna hibir zaman ulafllamayacaktr.

Nihayet 1976da Appel ve Haken, te-orem kantlamada bilgisayarlardan yarar-lanma yolunu aarlar. Bu yntem sadecematematikiler deil felsefeciler arasndada genifl tartflmalara yol aar. King gibi ba-zlar byle bir gelecei hofl karfllamazlar;kendi deyifliyle: Bu zerafetten yoksun, ar-pk bir matematik olur, doruluk byle bir dnya-da yaflamay seebilir, ancak gzellik bunu istemez.Orada matematiin sanatsal yn, Prosperonunruhlar gibi uar gider. yle bir Brave NewWorldde sihirbazlar parmaklarn flkrdatrlar;matematikiler de flair olmaktan kp ma-rangozluk yaparlar.

Gnmzde, snrl olduu anlafllanancak ierdii potansiyel gle belki kendisnrlarn da sonsuza dek geniflletebilecekdevasa bir matematiksel yap ellerimizdedurmaktadr. Bu yapnn yannda Msr pi-ramitleri bile ldeki kum taneleri gibi kal-maktadrlar. Paradokslarna, zmszproblemlerine, konstrktif matematik sa-vunucularnn sezgicilerle kavgalarna,mantk ve semantik sorunlarna ramen matema-tik hl yolumuzu aydnlatmakta ve amaktadr.Yaflammz kolaylafltran veya zorlafltran teknolo-

jik geliflmeler hep matematikle mmkndr.Matematiin bu gizil gc muhtemelen niteli-

inden kaynaklanmaktadr. Ancak bu bakmdanmatematikiler ve felsefeciler arasnda bir uzlaflma

olduunu sylemek zordur. Bu duruma ilifl-kin olarak Hardy flu deerlendirmeleri yap-maktadr: Matematiksel gerein nitelii [...]bazlarna gre zihinseldir ve onu bir bak-ma biz yaratrz; dierleri ise bizim dflmz-da ve bizden bamsz olduu kansndadr.Matematiksel gerein ne olduunu, inand-rc bir biimde aklayabilecek bir kimsemetafiziin en zor problemlerinin ounu

zmfl olurdu. Eer bu aklamann iine bir de fi-ziksel gerei katabilseydi, yantlanmamfl soru kal-mazd... Benim inancma gre, matematiksel gerek-lik bizim dflmzdadr; bizim ifllerimiz onu bulup -karmak ya da gzlemlemektir; ispatladmz ya datumturakl szlerle yarattmz sylediimiz te-

oremler; gzlemlerimizden kardmz so-nulardan ibarettir... Bir iskemle veya yldzhi de grnd gibi deildir; zerlerindene kadar ok dflnrsek, grntleri de,duyularmzdan kaynaklanan bir sis iinde,o lde netliini kaybeder, bulanklaflr.Buna karfllk 2 veya 317nin duyularla biriliflkisi yoktur; yakndan incelediiniz ldezellikleri daha da berraklaflr. Modern fizi-in idealist felsefe erevesine ok daha iyiuyduu sylenebilir. Ben o kanda deilim,

ama yle olduunu syleyen nl fizikiler de var-dr. te yandan pr matematik, tm idealizmin ar-pp batt kayadr. 317 bir asaldr, biz yle dfln-yoruz diye veya kafa yapmz flu ya da bu flekilde ol-duu iin deil; nk yledir, nk matematiksel

gerein yaps budur.Matematiksel gerein nitelii her ne

olursa olsun, evrensel bir dil, belki de biraznceki alntdan aktardm flekliyle evre-nin dili olmasnn sonucu olarak ortaya -kan byk baflars matematikiyi, zelliklede pr matematikiyi, yaptn ve kendiniyceltmeye kadar gtrr. Bunun en tipikrneklerinden biri Hardydir, flyle yazar:

Sonuta iki tr matematik vardr: ger-ek matematikilerin gerek matematii ve

daha iyi bir szck bulamadm iin nemsizdediim matematik, nemsiz matematik Hog-benin ve onun ekolnden olan dier yazarlarn

67

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

Alfred Tarski

Whitehead

Kurt Gdel

hofllandklar tr tartflmalarla savunulabilir. Ger-ek matematik iin ise byle bir savunma szkonu-su deildir; o savunulacaksa ancak bir gzel sanatolarak savunulabilir... Sradan kiflilerce kullanla-bilen matematik nemsenmeye demez; ekono-mistler veya sosyologlar tarafndan kullanlan ma-tematik ise bilim dzeyine pek ulaflmaz. Whitehe-adn matematii astronomi ve fizii derinden, fel-sefeyi de bir hayli etkileyebilir, ama baflka herhan-gi bir fleye en ufak etkisi yoktur. Onun muazzametkisi genelde insanlar zerinde deil, Whitehe-adn kendisine benzeyen insanlar zerindedir.

Matematik yirminci yz-ylda sadece dier bilim alan-larn ve felsefeyi etkilemeklekalmamfl, grecelik ve kuan-tum teorilerinin de katlmy-la tm adafl dfln dnya-sn ve sanat da etkilemifltir.Mzikte Webern, Ligeti, Va-

rese; edebiyatta Hinton, Calvino, Stanislaw Lem;resimde Kandisky, Klee, Matisse, Picasso, Escher

ve daha pek oklar Euclid tesi geometrilerin, G-delin, Heisenbergin, Schrdingerin evrenlerindenetkilenmifl ve bu evrenlere kendi alanlarndan derinsondajlar gereklefltirmifllerdir.

Kuflkusuz matematiin dnyasna girmek b-yk sabr, aba ve yetenek ister. Yzyllar nceEuclidin dedii gibi Geometriye giden bir kraliyetyolu yoktur. Ancak bu aba, nmzde aacaufuklar dflnlrse, buna deecektir.

Matematiksiz lke Trkiyede, Trkiyeyi yne-ten ve bilim politikalarn flekillendirenlerin bir gnmatematiin anlamn kavrayacaklarn umuyorum.

Sayglarmla.

68

Matematik Dnyas, 2004 Yaz

Escherden bir yapt

Escherin bir yapt