1. KOMPLEKS ƏDƏDLƏRƏdəd analyışı riyaziyyatın ilkin anlayışlarından biri olub, əvvəlcə natural

ədədlər sonra tam, rasional və irrasional ədədlər yaranmaqla həqiqi ədədlər çoxluğuna qədər gəlib çatmışdır. Qeyd edək ki, bu ədədlərin hər birinin yaranması praktiki məsələlərin həlli ilə əlaqədar olub, tarixin müəyyən dövrlərinə aiddir. Lakin kimi sadə bir tənliyin həqiqi ədədlər çoxluğunda həllinin olmaması yeni ədədlərin yaradılması zərurətini ortaya çıxardı. Bu ədədlər kompleks ədədlərdir. Kompleks ədədlərin qurulmasında gözlənilən prinsip ondan ibarətdir ki, kompleks ədədlər həqiqi ədədlər çoxluğunu da öz daxilində saxlamaqla onların malik olduğu bütün əsas xassələrə malik olsun və bu çoxluqda yuxarıda göstərilən tənliyin həlli olsun.

Nizam ilə götürülmüş bir cüt həqiqi ədədlə təyin olunan şəkilli ədədlər çoxluğuna baxaq. Bu coxluğa kompleks ədədlər çoxluğu deyilir. Tutaq ki, . və kompleks ədədləri yalnız və yalnız o zaman bərabər hesab olunur ki, olsun. Bu çoxluqda cəm və vurma əməllərini aşağıdakı qaydada təyin edək.

və kompleks ədədlərinin cəmi ədədinə, hasili isə ədədinə deyilir. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, bu iki əməl həqiqi ədədlər üzərində təyin olunmuş cəm və vurma əməllərinin malik olduğu bütün əsas xassələrə malikdir. kompleks ədədi kimi təyin olunur. Bu iki əməlin köməyilə çıxma və bölmə əməllərini də təyin etmək olar.

ədədi ilə ədədinin fərqi elə ədədinə deyilir ki, onu ilə topladıqda -ya bərabər olsun. Yəni, olsun. Onda

bərabərliyindən çıxır ki,, buradan olur.

Tutaq ki, , yəni .

kompleks ədədi elə ədədinə deyilir ki, -nı -ya vurduqda -ya bərabər olsun: . Buradan

Kompleks ədədlərin bərabərliyindən alırıq. Buradan

, .

Beləliklə, .

Əgər götürsək, olar.

Hər bir həqiqi ədədə şəklində yazılmış, kompleks ədəd kimi baxa bilərik. Asanlıqla görmək olar ki, bu şəkilli kompleks ədədlər üzərində toplama, çıxma, vurma və bölmə əməlləri həqiqi ədədlər üzərində aparılan əməllərdən yalnız yazılışı ilə fərqlənir. Məsələn, Ona görə də biz həqiqi ədədlər çoxluğuna kompleks ədədlər çoxluğunun alt çoxluğu kimi baxa bilərik.

Göstərək ki, kompleks ədədlər çoxluğunda tənliyinin həlli var. kompleks ədədinin bu tənliyin kökü olduğunu göstərək. Aydındır ki,

. Ona görə də, .

Beləliklə, baxılan tənliyin komplekslər çoxluqda həlli var. kompleks ədədinə xəyali vahid deyilir. Bundan istifadə edərək kompleks ədədini aşağıdakı şəkildə yazaq:

yazılışı kompleks ədədin cəbri şəkildə yazılışı adlanır. yazılışındakı , kompleks ədədin həqiqi hissəsi, isə xəyali hissəsi adlanır.Kompleks ədədlərin vurulma qaydasından istifadə etsək, görərik ki,

. Bundan istifadə edərək -nin ixtiyari natural qüvvətini hesablamaq olar.

Kompleks ədədlərin cəbri şəkildə yazılışı, bu ədədlər üzərində hesab əməllərini daha asan şəkildə yerinə yetirməyə imkan verir. Məsələn,

olarsa,

olar.Asanlıqla görmək olar ki, hər bir kompleks ədədinə üzərində

düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi seçilmiş müstəvinin müəyyən bir nöqtəsini qarşı qoymaq olar və bu qarşıqoyma qarşılıqlı birqiymətlidir. Belə uyğunluq yaradılmış müstəviyə kompleks müstəvi deyilir.

y

x

M

Ox

),( ba

a

ba

Tutaq ki, müstəvi üzərində düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi verilmişdir. kompleks ədədinə uyğun gələn nöqtəni bu müstəvi üzərində qeyd edək.

OX oxunun uzərinə düşməsi üçün lazım gələn və saat əqrəbinin əksinə yönəlmiş kiçik fırlanma bucağını ilə işarə edək. Onda asanlıqla görmək olar ki,

Bunları kompleks ədədinin cəbri şəkildə yazılışında nəzərə alsaq,

olar.-nın bu şəkildə yazılışı onun

triqonometrik şəkli adlanır. -ya kompleks ədədin modulu, -yə isə arqumenti deyilir və kimi işarə edilir. Aydındır ki, , .

Qeyd edək ki, müstəvi nöqtələri ilə kompleks ədədlər arasındakı birqiymətliliyi təmin etmək üçün üzərinə şərtini qoymaq olar. kompleks ədədinə kompleks ədədinin qoşması deyilir. Triqonometrik şəkildə verilmiş kompleks ədədlər üzərində vurma və bölmə əməllərini daha asan yerinə yetirmək olar.

Tutaq ki, , . Onda

Göründüyü kimi triqonometrik şəkildə verilmiş iki kompleks ədədinin hasilinin modulu onların modulları hasilinə, arqumenti isə arqumentlərin cəminə bərabərdir.xüsusi halda alırıq ki, . olduqda,

. Buradan ikiqat arqumentin düsturlarını alırıq:

,.

kompleks ədədinin modulunun -yə, arqumentinin isə -yə bərabər

olduğunu analoji qayada göstərmək olar: , .

Tutaq ki, və kompleks ədədləri verilmişdir.

Əgər olarsa (n-natural ədəddir), onda ədədinə ədədinin n dərəcədən kökü deyilir. və -nın qiymətlərini nəzərə alsaq, aşağıdakı bərabərliyi ala bilərik:

,

,

, .

Göstərmək olar ki, üçün aldığımız sonsuz sayda qiymətdən yalnız n saydası müxtəlifdir: .

Qalanları isə bu qiymətlərdən biri ilə üst-üstə düşür.Beləliklə, hər bir kompleks ədədin n dərəcədən n sayda kökü var və həmin köklər aşağıdakı düsturlarla tpılır:

, .

Xüsusi halda olarsa, olar. Onda

.

Bu ədədlərə vahidin n dərəcədən kökləri deyilir.

2. YÜKSƏK TƏRTİBLİ MATRİSLƏRƏdədlərdən düzəldilmiş sayda sətiri və sayda sütunu olan düzbucaqlı

cədvələ ölçülü matris deyilir. Matrisi əmələ gətirən ədədlərə onun elementləri deyilir. ölçülü matris

və ya

kimi işarə olunur.Çox vaxt qısa olmaq üçün matrisləri hərfləri ilə də işarə

edirlər: , , və ya , ,

Matrisin hər bir elementi iki indekslə təyin olunur. Onlardan birincisi bu elementin yerləşdiyi sətirin nömrəsini, ikincisi isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.

-nömrəli sətir, isə -nömrəli sütunun elementləridir.Əgər olarsa, belə matrisə tərtibli matris deyilir. tərtibli matris üçün

baş diaqonal elementləri, isə ikinci baş diaqonal və ya əlavə baş diaqonal elementləri adlanır. Əgər matrisin bütün elementləri sıfra bərabər olarsa, ona sıfır matris deyilir. tərtibli matrisin diaqonaldan bir tərəfdə yerləşən bütün elementləri sıfra bərabər olarsa, ona üçbucaq matris, diaqonaldan kənarda yerləşən bütün elementlər sıfra bərabər olarsa, ona diaqonal matris deyilir.

Matrislər üzərində xətti əməllər dedikdə matrislərin toplanması və matrisin ədədə vurulması əməlləri başa düşülür.

Matrislərin toplanması əməli eyni ölçülü matrislər üçün təyin olunur.Tutaq ki, , , , .

Bu iki matrisin cəmi, elementləri , ( , ) düsturu ilə təyin olunan matrisinə deyilir. kimi işarə olunur.

Matrislərin toplanması əməli yerdəyişmə və qruplaşdırma xassələrnə malikdir: 1. ,

2. Əgər , ölçülü sıfır matris olarsa, onda .Tutaq ki, matrisi verilmişdir. Bu matrisin ədədinə hasili elementləri

, ( , ) –yə bərabər olan matrisinə deyilir və kimi işarə olunur.

Matrisin ədədə vurma əməli aşağıdakı xassələrə malikdir:1. 2. 3.

Matrislər üzərində təyin olunmuş əməllərdən biri də matrislərin vurulması əməlidir. Qeyd edək ki, bu əməl ixtiyari iki matris üçün təyin edilmir.

Tutaq ki, ölçülü, isə ölçülü matrisdir. Bu halda matrisinin matrisinə hasilini təyin etmək olar.

matrisinın matrisinə hasili elementləri

bərabərliklərilətəyin olunan matrisinə deyilir və , kimi yazılır. Matrislərin vurulması əməli aşağıdakı xassələrə malikdir.1. 2. 3.Matrislərin vurulması əməli yerdəyişmə xassəsinə malik deyil:

Bu onunla izah olunur ki, olduqda matrisini -ya vurmaq mümkün deyil. Hətta olduqda belə matrisi , matrisi isə ölçülü matris olur. Ona görə də, olduqda və müxtəlif ölçülü matrislər olduğundan onların bərabərliyindən danışmaq olmaz. Qeyd edək ki, iki matris o zaman bərabər matrislər adlanır ki, onların tərtibləri eyni olmaqla, uyğun elementləri bərabər olsun. Əgər və -nin hər biri tərtibli matris olarsa, hətta bu halda da olduğunu hər zaman demək olmaz.

Məsələn, , götürsək,

,

Göründüyü kimi .Bütün diaqonal elementləri vahidə bərabər olan matrisə vahid matris deyilir:

Qeyd edək ki, diaqonal matris olduqda, yəni

olduqda, olarsa, onda bərabırliyi ödənilir. Xüsusi halda .

Əgər tərtibli sıfır matris olarsa, onda

olar. Matrislərin vurulması üçün qruplaşdırma xassəsi də doğrudur.

n -TƏRTİBLİ DETERMİNANTTutaq ki, tərtibli

matrisi verilmişdir. olduqda matrisinin determinantı ədədinə deyilir. olduqda

iki tərtibli matrisin determinantı, analitik həndəsədən məlum olduğu kimi,

ədədinə deyilir. matrisinin determinantını və ya

kimi işarə edəcəyik. Beləliklə,

.

Üç tərtibli matrisin determinantını da biz analitik həndəsədə təyin etmişdik. Göründüyü kimi baxılan halların hər birində verilmiş matrisə onun ədədi xarakteristikası olan və determinantı adlanan müəyyən bir ədədi qarşı qoyuruq.

Tutaq ki, biz artıq tərtibli determinantı təyin etmişik. tərtibli matrisinin determinantı aşağıdakı qaydada təyin olunan ədədə deyəcəyik:

(1)

burada matrisinin 1-ci sətirini və nömrəli sütununu atdıqdan sonra qalan elementlərdən düzəldilmiş tərtibli determinantdır. Göründüyü kimi biz tərtibli determinantı tərtibli determinantın köməyi ilə təyin etdik. Əvvəlki mühakimələrdən aydındır ki, ikitərtibli determinanta görə üçtərtibli, üçtərtibliyə görə dördtərtibli və bu qaydaya ilə tərtibli determinantlara görə (1) düsturundan istifadə etməklə tərtibli determinantı təyin edə bilərik. Qeyd edək ki,

iki tərtibli matris olduqda (1) düsturu ilə təyin olunan

ədədi 2 tərtibli determinanta əvvəl verdiyimiz təriflə ilə üst-üstə düşür. matrisinin ixtiyari elementini götürək. Bu elementin yerləşdiyi sətir və sütun elementlərini atdıqdan sonra qalan elementlərdən düzəldilmiş tərtibli determinantı ilə işarə edək. Bu determinanta elementinin tamamlayıcı minoru və ya sadəcə olaraq minor, ədədinə isə elementinin cəbri tamamlayıcı deyilir. Dediklərimizi nəzərə alsaq tərtibli determinanta aşağıdakı tərifi verə bilərik.

Tərif 1. tərtibli matrisinin determinantı bu matrisin birinci sətir elementlərinin öz cəbri tamamlayıcılarının hasilləri cəminə bərabərdir.

İsbat etmək olar ki, tərtibli determinantın istənilən nömrəli sətir elementləri üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

(2)

(2) düsturu tərtibli determinantın nömrəli sətir elementlərinə görə ayrılışı adlanır. (2) düsturuna analoji olaraq aşağıdakı düsturu da isbat etmək olar:

(3)

(3) düsturu tərtibli determinantın ixtiyari nömrəli sütun elementlərinə görə ayrılışı adlanır. Dediklərimizdən aydındır ki, tərtibli determinantın sətirləri və sütunları eyni hüquqludur.

3. DETERMİNANTIN BİLAVASİTƏ ELEMENTLƏRİLƏ İFADƏSİ

Yuxarıda biz tərtibli determinantı tərifini verdik və onun ixtiyari sətir və sütuna görə ayrılışının bu tərifə ekvivalent olduğunu qeyd etdik. İndi isə determinantın bilavasitə elementləri ilə ifadəsini yazaq.

Bunun üçün əvvəlcə bəzi köməkçi anlayışlarla tanış olaq. Tutaq ki, -lərdən hər biri ədədlərindən birinə bərabər olan qiymət alır və

onlar içərisində təkrar olunanı yoxdur. bu halda, ədədlərindən düzəldilmiş yerdəyişmə adlanır. Tutaq ki, hər hansı yerdəyişmədir. Bu ədədlərdən şəkilli cütləri düzəldək. Əgər cütündə olduqda olarsa, onda belə cütə nizamsız cüt deyilir. ədədlərindən düzəldilmiş bütün nizamsız cütlərin sayını ilə işarə edək.

Teorem 1. Tutaq ki, tərtibli

determinant verilmişdir Onda bu determinant üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

, (1)

burada cəmləmə bütün mümkün olan yerdəyişmələri üzrə aparılır. Qeyd edək ki, onların sayı -a bərabərdir.

İsbatı. (1) düsturunu riyazi induksiya üsulu ilə isbat edək.Tutaq ki, . Bu halda aydındır ki, iki yerdəyişməni düzəltmək olar: 1,2 və

2,1. Onda , və (1) düsturuna görə .Aydındır ki, bu 2-tərtibli determinantın tərifi ilə üst-üstə düşür.

Tutaq ki, . Fərz edək ki, biz artıq tərtibli determinantlar üçün (1) düsturunun doğru olduğunu bilirik. tərtibli determinantlar üçün də bu düsturun doğru olduğunu göstərək. Bunun üçün tərtibli determinantın birinci sütununa görə ayrılışını yazaq:

(2)

(2) bərabərliyindəki determinantlarının hər biri tərtibli olduğundan onlar üçün (1) düsturunu yaza bilərik:

(3)

(3) bərabərliyini (2) də nəzərə alsaq, aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik

(4)

Qeyd edək ki, yerdəyişməsindən və yerdəyişməsindən düzəltdiyimiz cütləri müqayisə etsək, görərik ki, birincidən düzəldilmiş cütlər ikincidən düzəldilmiş cütlərdən cütləri qədər fərqlənir. Bu cütlər içərisində isə nizamsız cütlərin sayı -ə bərabərdir. Bunu nəzərə alsaq aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik:

Bu bərabərliyi nəzərə alsaq, (4) düsturunun (1) düsturu ilə üst-üstə düşdüyünü görərik. Bununla da tərtibli determinantın bilavasitə elementləri ilə ifadəsini göstərən (1) düsturunu isbat etmiş olduq.

Tutaq ki, tərtibli determinant verilmişdir. Fərz edək ki, -dən kiçik olan ixtiyari natural ədəd, isə bərabərsizliklərini ödəyən ixtiyari sətirlərdir. Bu determinantının bərabərsizliyini ödəyən

sayda sütunlarını götürək. sətirləri ilə sütunlarının kəsişməsində yerləşən elementlərdən düzəldilmiş determinantı ilə, bu sətir və sütunları atdıqdan sonra qalan elementlərdən düzəldilmiş tərtibli determinantı isə ilə işarə edək.

Teorem2(Laplas teoremi). tərtibli determinant üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

,

(5)burada cəmləmə bərabərsizliklərini ödəyən bütün indeksləri üzrə aparılır. Qeyd edək ki, Laplas teoremi yüksək tərtib determinantları aşağı tərtib determinantlara gətirməklə hesablamağa imkan verir.

n TƏRTİBLİ DETERMİNANTIN XASSƏLƏRİTutaq ki, tərtibli determinant verilmişdir. Bu determinantın bütün sətirləri

ilə onun uyğun sütunlarının yerini dəyişdirilməsi əməliyyatı determinantın “transponirə edilməsi” adlanır. Eyni əməliyyat matrislər üzərində də aparılır. matrisini transponirə etdikdən sonra alınan matrisi və ya kimi işarə edəcəyik.

tərtibli determinanta verdiyimiz tərif və onun ixtiyari sətir və sütuna görə yazdığımız ayrılışları aşağıdakı xassələrin doğru olduğunu göstərməyə imkan verir.

I. tərtibli determinantı transponirə etdikdə onun qiyməti dəyişmir. Bu xassə onu göstərir ki, tərtibli determinantın sətirləri üçün doğru olan hər bir xassə onun sütunları üçün də doğrudur. Ona görə də, biz determinantın bütün xassələrini onun sətirləri üçün qeyd edəcəyik.

II. Determinantın ixtiyarı iki sətirinin yerini dəyişdikdə onun işarəsi əksinə dəyişmir. İsbatı. Bu xassəni isbat etmək üçün Laplas teoremindən istifadə edəcəyik.Fərz edək ki, tərtibli determinantın ixtiyari iki və nömrəli sətirlərinin yerini

dəyişmişik. tərtibli determinantın bu iki sətirinə Laplas teoremini tətbiq etsək,

(1)

Tutaq ki, determinantı verilmişdir. Asanlıqla görmək olar ki, bu

determinantın 2 sətrinin yerini dəyişdikdə onun işarəsi əksinə dəyişir:

.

Bunu nəzərə alsaq, deyə bilərik ki, və nömrəli sətirlərin yerini dəyişdikdə . determinantına gəldikdə isə və sətirləri silindiyi üçün onların işarəsinin və qiymətinin bu sətirlərdən heç bir asılılığı yoxdur. Bu isə o deməkdir ki, və nömrəli sətirlərin elementlərinin yerini dəyişdikdə determinantın işarəsi əksinə dəyişir. Tutaq ki,determinantın sətirləri

..., elementlərindən ibarətdir. Əgər bu determinantın nömrəli sətir elementləri üçün

bərabərliyi doğru olarsa, onda deyəcəyik ki, determinantın nömrəli sətiri yuxarıda göstərdiyimiz sətirlərin xətti kombinasiyasıdır.

III. Əgər tərtibli determinantının nömrəli sətiri və sətirlərinin şəkilli xətti kombinasiyası olarsa, onda bu determinantın qiyməti

belə ki, və nömrəli sətiri uyğun olaraq və olmaqla qalan bütün sətirləri detA-nın sətirləri ilə üst-üstə düşən tərtibli determinantlardır.

Bu xassəni isbat etmək üçün tərtibli determinantın nömrəli sətrinə görə ayrılışını yazmaq kifayətdir.

n tərtibli determinantın qeyd etdiyimiz bu 3 xassəsindən istifadə edərək aşağıdakı xassələri də isbat etmək olar:

IV. Determinantın iki sətiri eyni olarsa, onun qiyməti sıfra bərabərdir.İsbatı. Tutaq ki, və sətirləri eyni elementlərdən ibarətdir. Bu determinantın qiymətini ilə işarə edək. Aydındır ki. və sətirlərinin yerini dəyişsək I

xassəyə görə onun qiyməti -ya bərabər olar. Digər tərəfdən və sətirləri eyni olduğundan onun qiyməti dəyişməz. Beləliklə

, , .V. Determinantın hər hansı sətiri yalnız sıfırlardan ibarət olarsa, onun qiyməti sıfra

bərabər olar.Bu xassəni isbat etmək üçün determinantın həmin sətirə ayrılışını yazmaq

kifayətdir. VI. Determinantı hər hansı ədədinə vurmaq, onun sətirlərindən hər hansı birinin

bütün elementlərinin ədədinə vurulmasına ekvivalentdir.Bu xassənin isbatı III xassədən götürməklə alınır.

VII. Determinantın iki sətiri mütənasib olarsa, yəni bu iki sətirin uyğun elementərinin nisbəti eyni olarsa, onda determinantın qiyməti sifra bərabərdir.

Doğrudan da, əgər olarsa, onda yazıb əvvəlcə VI, sonra isə IV

xassəni tətbiq etmək kifayətdir. VIII. Determinantın hər hansı sətırinin bütün elementlərini eyni bir ədədə vurub, onun

başqa bir sətrinin uyğun elementləri üzərinə əlavə etsək, determinantın qiyməti dəyişməz.

Bu xassənin də isbatı III xassədən alınır.IX. Determinantın hər hansı sətir elementlərinin öz cəbri tamamlayıcılarına hasilləri

cəmi determinantın qiymətinə, başqa bir sətirin uyğun elementlərinin cəbri tamamalayıcılarına hasilləri cəmi isə sıfra bərabərdir.Bu xassəni isbat etmək üçün tərtibli determinantın götürdüyümüz sətirə görə

ayrılışını yazmaq kifayətdir.Tutaq ki, və tərtibli matrislərdir. Bu matrislərin hasili və cəminin

determinantı üçün aşağıdakı xassələri isbat etmək olar: 1. 2. və matrislərinin cəminin determinantı, sətirlərinin bir hissəsi -nın sətirlərindən, qalanları isə -nin sətirlərindən ibarət olmaqla düzəldilməsi mümkün olan bütün tərtibli determinantların cəminə bərabərdir.

4. Tərs matris və onun tapılmasıTutaq ki, tərtibli matrisdir:

Tərif 1.Əgər tərtibli elə matrisi varsa ki, ( - tərtibli vahid matrisdir) bərabərliyi ödənilsin, onda matrisinə mateisinın sağ tərsi deyilir.

Tərif 2. Əgər tərtibli elə matrisi varsa ki, bərabərliyi ödənilsin, onda matrisinə matrisinın sol tərsi deyilir. Tutaq ki, matrisinin həm sağ, həm də sol tərsi var. Onda

Beləliklə matrisin həm sağ, həm də sol tərs varsa, onlar biri-birinə bərabərdir. Bu halda deyəcəyik ki, matrisinin tərsi var və onu kimi işarə edəcəyik.

Teorem. tərtibli matrisinin tərsinin olması üçün zəruri və kafi şərt olmasıdır.

İsbatı. Zərurilik Tutaq ki, matrisinin tərsi var. Bu o deməkdir ki, .

Matrislər hasilinin determinantınin məlum xassəsinə görə.

Digər tərəfdən olduğu üçün, olur.Kafilik. Tutaq ki, . ilə aşağıdakı matrisi işarə edək

,

burada matrisindəki elementinin cəbri tamamlayıcısıdır. Matrislərin vurulma qaydasından və determinantların cəbri IX xassəsindən istifadə etsək, asanlıqla göstərmək olar ki,

.Sonuncu bərabərliklər göstərir ki, matrisi matrisinin tərsidir. Beləliklə

biz olduqda, həm matrisinin tərsinin varlığını, həm də onun tapılma qaydasını göstərmiş olduq.

Qeyd edək ki, matrisinin tərsinin tapılması üçün ikinci bir üsul, elementar çevirmələr üsuludur.

Matrisin sətirləri (sütunları) üzərində aparılan aşağıdakı cevirmələr elementar cevirmələr adlanır:

1.İsənilən iki sətirin (sütunun) yerinin dəyişdirilməsi.2.Hər hansı sətirin (sütunun) bütün elementlərini sıfırdan farqli ədədə

vurmaq.3.Hər hansı sətir (sütun) elementlərini eyni bir ədədə vurub, başqa bir sətirin

(sütunun) uyğun elementləri üzərinə əlavə etmək.Qeyd edək ki, elementar çevirmələrin köməyilə də matrisin tərsini tapmaq

üçün elementar çevirmələrin (yalnız sətirlər və ya yalnız sütunlar üzərində aparmaqla) köməyilə verilmlş matrisi vahid matrisə gətirmək və eyni cevirmələri vahid matris üzərində aparmaq lazımdir. Sonda alınan matris verilmiş matrisin tərsi olur.

BAZİS MİNOR HAQQINDA TEOREMTutaq ki,

ölçülü matrisdir. Əgər matrisinin bütün elementləri sıfra bərabər deyilsə, onda aşağıdakı iki xassəyə malik olan natural ədədi var:

1) matrisinin tərtibli minorlarından heç olmazsa biri sıfırdan fərqlidir2) tərtibli bütün minorlar sıfra bərabərdir.

Bu şərti ödəyən ədədinə matrisinin ranqı deyilir və kimi işarə edilir. Sıfırdan fərqli həmin minor isə bazis minor adlanır. Aydındır ki, eyni bir matrisdə birdən çox sayda bazis minor ola bilər. Bazis minor haqqında teoremə keçməzdən əvvəl determinantın (matrisin) sətirlərin xətti asılılığı haqqında aşağıdakıları qeyd edək.

Tutaq ki,

……………….

sətirləri verilmişdir. Bunların hər birinə tərtibli matris kimi baxmaq olar. Matrislərin toplanması və ədədə vurulması qaydasından istifadə edərək aşağıdakı

tərtibli matrisi düzəldək

Bu sətirə ,..., sətirlərinin xətti kombinasıyası deyilir.Tutaq ki,

(1)Əgər (1) bərabərliyi ədədlərindən heç olmazsa birinin sıfırdan

fərqli qiymətində ödənilərsə, onda sətirləri xətti asılı adıanır. Əgər (1) bərabərliyi ödənərsə, onda sətirləri

xətti asılı olmayan adlanır. Analitik həndəsədə vektorlar üçün isbat etdiyimiz teoremə analoji olaraq aşağıdakı teoremi isbat etmək olar.

Teorem. sətirlərinin xətti asılı olması üçün zəruri və kafi şərt onlardan birinin qalanlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərilə bilməsidir.

Teorem (Bazis minor haqqında). Bazis minor sətirləri (sütunları) xətti asılı deyil və matrisin ixtiyari sətirini (sütunu) bazis minor sətirlərinin (sütunlarının) xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar.

İsbatı. Teoremi sətirlər üçün isbat edək.Tutaq ki, bazis minor sətirləri xətti asılıdır. Onda bu sətirlərdən birini qalanlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar. Biz həmin sətirdən bu xətti kombinasiyasını çıxsaq (determinantın xassəsinə görə) yalnız sıfırlardan ibarət olan sətir alarıq. Bildiyimiz kimi belə determinantın qiyməti sıfra bərabər olar. Bu isə bazis minorun sıfırdan fərqli olması şərtinə ziddir. Ona görə də, deyə bilərik ki, bazis minor sətirləri xətti asılı deyil. İndi isə göstərək ki, matrisinin istənilən sətirini bazis minor sətirlərinin xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar.

Ümumiliyi pozmadan hesab edəcəyik ki, bazis minor matrisində yuxarı sol küncdə yerləşir, əgər belə olmazsa, sətrilərin və sütunların yerini dəyişməklə

buna nail ola bilərik. (bu prosesdə xassəsi saxlanılır). Aşağıdakı tərtibli minora baxaq:

Aydındır ki, və ya olduqda, bu determinantın qiyməti sıfra bərabərdir. Cünki bu halda ya determinantın iki sətiri, ya da iki sütunu üst-üstə düşür. Əgər

və ya olarsa, bazis minorun tərtibi -ə bərabər olduğu üçün determinantın qiyməti sıfra bərabər olar. Beləliklə, olduqda baxılan determinantın qiyməti sıfra bərabər olar. Bu determinantın axırıncı sütuna görə ayrılışını yazsaq,

(2)olar.Asanlıqla görmək olar ki, əmsalları -dən asılı deyil. Bu əmsalları uyğun olaraq sabitləri ilə işarə edək. Qeyd edək ki, = bazis minora bərabərdir. Bunu nəzərə alıb (2) bərabərliyin hər tərəfini -ə bölsək aşağıdakı bərabərlikləri yaza bilərik:

, (3)

(3) bərabərliklərindən görünür ki, matrisinin nömrəli sətiri bazis minor sətirlərinin xətti kombinasiyasıdır.

Teorem. tərtibli determinantın sıfra bərabər olması üçün zəruri və kafi şərt onun sətirlərinin (sütunlarının) xətti asılı olmasıdır.

İsbatı. Zərurilik. Tutaq ki, . Bu, o deməkdir ki, matrisinin bazis minorunun tərtibi dən kiçikdir və onun sətirlərindən heç olmazsa biri bazis minora daxil deyil. Bazis minor haqqında teoremə görə, bu sətiri bazis minor sətirlərinin xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar. Əgər bu xətti kombinasiyaya qalan sətirləri sıfır əmsalı ilə əlavə etsək, onda götürdüyümüz sətir

matrisinin qalan bütün sətirlərinin xətti kombinasıyası olar. Bu isə o deməkdir ki, matrisinin sətirləri xətti asılıdır.

Kafilik. Tutaq ki, matrisinin sətirləri xətti asılıdır. Onda sətirlərdən heç olmazsa biri qalanlarının xətti kombinasiyasıdır. Bu sətirdən həmin xətti kombinasiyanı çıxsaq, o yalnız sıfırlardan ibarət olar. Determinantın xassəsinə görə belə determinantın qiyməti sıfra bərabərdir. Teorem isbat edildi.

Biz bazis minor haqqında teoremi, eləcə də sonuncu teoremi tərtibli determinantın sətirləri üçün isbat etdik. Determinantın sətirləri və sütunları eyni xassələrə malik olduğuna görə həmin teoremlər determinantın sütunları üçün də doğrudur.

bazis min. minor

5. XƏTTİ FƏZAMüxtəlif təbiətli elementlərindən təşkil olunmuş çoxluğu aşağıdakı

şərtləri ödədikdə həqiqi xətti fəza adlanır:I. çoxluğunun elementinə onların cəmi adlanan və kimi işarə

olunan üçüncü bir elementini qarşı qoymaq qaydası verilsin, II. coxluğunun elementi və həqiqi ədədinə, ədədinin elementinə hasili adlanan və kimi işarə olunan ikinci bir elementini qarşı qoymaq qaydası verilsin.

III. Bu iki qayda aşağıdakı xassələrə məlik olsun:( yerdəyişmə)

2) (qruplaşdırma)3) (0-sıfır elementi adlanır)

( -in əksi adlanır)

Göstərmək olar ki, həqiqi ədədlər çoxluğu ədədlərin toplanması və vurulması, fəzada sərbəst vektorlar çoxluğu vektorların toplanması və həqiqi ədədə vurulması, eləcə də parçada kəsilməz funksiyalar çoxluğu funksiyaların toplanması və ədədə vurulması əməllərinə görə xətti fəza əmələ gətirir. Eyni bir çoxluq bəzi əməllərə görə xətti fəza əmələ gətirdiyi halda, bu çoxluqda təyin olunmuş başqa bir əmələrə görə xətti fəza əmələ gətirməyə də bilər. Bu müxtəlif səbəblərdən, məsələn, cəm və ədədə vurma əməllərinin nəticəsinin həmin çoxluğa daxil olmaması və ya yuxarıda qeyd etdiyimiz səkkiz xassədən bəzilərinin ödənilməməsi səbəbindən ola bilər.

Müstəvi üzərində düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi götürək və ilə bu müstəvi üzərində yerləşən vektorlar çoxluğunu işarə edək. Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi çoxluğu vektorların toplanması və həqiqi ədədə vurulması əməllərinə görə xətti fəza əmələ gətirir. Lakin ilə müstəvidə koordinat başlanğıcından keçən hər hansı düz xətt üzərində yerləşən bütün vektorları atdıqdan sonra qalan vektorlar çoxluğunu işarə etsək, o xətti fəza olmaz. Çünki, X çoxluğuna daxil olan ixtiyari iki vektorun cəmi həmişə bu çoxluğa daxil deyil. Əgər müsbət ədədlər çoxluğunda( ) cəm və ədədə vurma əməllərini adi qaydada təyin etmək istəsək, aydındır ki, mənfi ədədə vurma əməlinin nəticəsi bu çoxluqa daxil deyil. Ona görə də, bu əməllərə görə xətti fəza əmələ gətirmir. Lakin müsbət ədədlər çoxluğunda və ədədlərinin cəmi əməlini onların adi mənada hasili kimi, ədədinin müsbət ədədinə hasilini isə kimi təyin etsək, hər iki əməlin nəticəsi müsbət ədədlər çoxluğuna daxil olar. Göstərmək olar ki, müsbət ədədlər çoxluğu bu iki əmələ görə xətti fəza əmələ gətirir.

İsbatsız olaraq aşağıdakı teoremləri verək:Teorem 1. Xətti fəzada sıfır element və hər bir elementin əksi yeganədir.Teorem 2. Xətti fəzanın sıfır elementi( ) bu fəzanın elementinin sıfır

ədədinə hasilinə, hər bir x elementinin əksi ( ) isə bu elementin ədədinə hasilinə bərabərdir. Başqa sözlə

Tutaq ki, həqiqi xətti fəzadır. Bu fəzaya daxil olan ədədlərini götürək. Bu elementləri həqiqi ədədlərinə vurub topladıqdan sonra alınan elementinə elementlərinin xətti kombinasiyası deyilir.

Aşağıdakı bərabərliyə baxaq= 0

Əgər (1) bərabərliyi ədədlərinin yalnız sıfra bərabər qiymətində ödənilərsə, onda elementləri xətti asılı olmayan adlanır.

Əgər (1) bərabərlyi ədədlərinin heç olmazsa birinin sıfırdan fərqli qiymətində ödənilərsə, onda xətti asılı adlanır.

Teorem 3. elementlərinin xətti asılı olması üçün zəruri və kafi şərt onlardan birinin qalanlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərilə bilməsidir.

İsbatı.Zərurilik. Tutaq ki, elementləri xətti asılıdır. Onda (1) bərabəliyindəki əmsallaırından heç olmazsa biri sıfırdan fərqlidir. Ümumiliyi pozmadan hesab edək ki, . Onda (1)-i aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

(2)Buradan görünür ki, elementi elementlərinin xətti kombinasiyasıdır.Kafilik. Tutaq ki, elementlərindən biri qalanlarının xətti kombinasiyasıdır. Yəni,

Bu bərabərliyi aşağıdakı şəkildə yazaq:

ədədlərindən heç olmazsa biri sıfırdan fərqli olduğu üçün vektorları xətti asılıdır.

Asanlıqla göstərmək olar ki, elementin daxil olduğu ixtiyari vektorlar sistemi xətti asılıdır. Eləcə də əgər vektorlar sisteminin müəyyən hissəsi xətti aılıdırsa, onda bu sistem bütünlükdə xətti asılıdır.

Xətti fəzaya aid gələcəkdə bizim çox istifadə edəcəyimiz daha bir misal göstərək:

ilə nizam ilə götürülmüş sayda həqiqi ədədlə təyin olunan şəkilli elementlər çoxluğunu işarə edək. Bu çoxluqdacəm

və həqiqi ədədə vurma əməllərini aşağıdakı qaydada təyin edək:

Yoxlamaq olar ki, çoxluğu bu qaydada təyin olunmuş cəm və ədədə vurma əməllərinə nəzərən xətti fəza əmələ gətirir. Başqa sözlə bu əməllər xətti fəzanın tərifindəki bütün xassələri ödəyir. Aydındır ki, əgər müstəvi üzərində düzbucaqlı Dekart koordinat sistemi götürüb hər bir vektorunun bazisində koordinatlarını və ilə işarə etsək, yəni yazsaq, onda fəzasını almış olarıq.

Qeyd edək ki, xətti fəzanın tərifində təyin etdiyimiz həqiqi ədədə vurma əməli kompleks ədədə vurma əməli ilə əvəz edilərsə, bu halda alınan xətti fəza kompleks xətti fəza adlanır

XƏTTİ FƏZADA BAZİS VƏ XƏTTİ FƏZANIN ÖLÇÜSÜX həqiqi xətti fəzasına daxil olan elementlərini götürək və

onları hər hansı ədədlərinə vurub topladəqdan sonra alınan

elementinə (vektoruna) elementlərinin xətti kombinasiyası deyilir. Tutaq ki,

(1)Əgər (1) bərabərliyi ədədlərindən heç olmazsa birinin sıfırdan

fərqli qiymətində ödənilərsə, onda vektorları xətti asıılı adlanır. Əgər (1) bərabərliyi yalnız olduqda ödənilərsə, onda

vektorları xətti asıılı olmayan adlanır. Tutaq ki, vektorları verilmişdir. Əgər bu vektorlar xətti asılı deyilsə və fəzanın istənilən vektorunu onların

xətti kombinasiyası çəklində göstərmək mümkündürsə,

onda vektorları fəzasında bazis adlanır. ədədlərinə isə vektorunun bu bazisdə koordinatları deyilir.

Göstərmək olar ki, hər bir vektorun verilmiş bazisdə koordinatları yeganə qaydada təyin olunur. Tutaq ki, vektoru üçün ikinci bir ayrılışı da mümkündür:

Bu iki ayrılışdan alırıq ki,

vektorları xətti asılı olmadığı üçün olmalıdır.Məsələn, olarsa, onda

vektorları bu fəzada bazis əmələ gətirir.Əgər xətti fəzasında sayda xətti asılı olmayan vektor varsa, və

sayda vektordan ibarət olan ixtiyari vektorlar sistemi xətti asılıdırsa, onda ölçülü xətti fəza adlanır.

Əgər xətti fəzasının ölçüsü -ə bərabərdirsə, bunu kimi işarə edəcəyik. İndi isə xətti fəzada bazis vektorlarının sayı ilə xətti fəzanın ölçüsü arasındakı əlaqəni göstərək.

Teorem 1. ölçülü xətti fəzada sayda xətti asılı olmayan vektor bazis əmələ gətirir.

İsbatı. Tutaq ki, və X fəzasına daxil olan ixtiyari vektorlar sistemidir. götürək və sisteminə baxaq. Bu vektorların sayı -ə bərabər olduğundan onlar xətti asılıdır. Onda heç olmazsa biri sıfırdan fərqli elə ədədləri var ki,

(2)Əgər (2) bərabərliyində olarsa, onda vektorları xətti asılı olmadığı üçün olar. Bu isə həmin ədədlərdən heç olmazsa birinin sıfırdan fərqli olması şərtinə ziddir. Ona görə də olmalıdır. Bunu nəzərə alsaq,

yaza bilərik. Bu isə vektorunun vektorlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərilməsi deməkdir. Ona görə bazis əmələ gətirir.

Teorem 2. Əgər xətti fəzasında sayda vektor bazis əmələ gətirirsə, onda bu fəzanın ölçüsü -ə bərabərdir.

İsabtı. Aydındır ki, teoremi isbat etmək üçün sayda vektorlardan ibarət ixtiyari sistemin xətti asılı olduğunu göstərmək kifayətdir. vektorlarını götürək və onların hər birinin bazisinə görə ayrılışını yazaq:

,,

.................

Bu ayrılışların əmsallarından aşağıdakı matrisi düzəldək:

Bu matris ölçülü olduğuna görə onun ranqı -dən böyük ola bilməz. Bu o deməkdir ki, bazis minor sətirlərinin sayı -dən böyük deyil. Deməli sətirlərdən heç olmazsa biri bazis minora daxil deyil. Ona görə də, həmin sətiri qalan sətirlərin xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar. Başqa sğzlə, vektorlarından birini qalanlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar. Bu isə həmin vektorların xətti asılı olması deməkdir.Teorem isbat olundu.

Qeyd edək ki, eyni bir bazisdə verilmiş 2 vektoru topladıqda onların uyğun koordinatları toplanır, vektoru ədədə vurduqda isə onun bütün koordinatları ədədə vurulur:

fəzasında bazisdirsə, onda üçün , . Onda

. Biz yuxarıda ölçülü xətti fəzaya misal göstərdik. ölçülü fəza dedikdə sayda xətti asılı olmayan vektoru olan və sayda vektordan ibarət istənilən sistemin xətti asılı olduğu xətti fəza başa düşülür.

Əgər xətti fəzada sayda xətti asılı olmayan vektor varsa, belə fəzaya sonsuz ölçülü xətti fəza deyilir.

Məsələn, fəzası sonsuz ölçülü xətti fəzadır. Çünki bu fəzada funksiyaları xətti asılı olmayan sistem əmələ gətirir.

6. XƏTTİ FƏZALARIN İZOMORFLUĞUTutaq ki, X və həqiqi xətti fəzaları verilib. Aşağıdakı şərtlər ödəndikdə bu iki

fəza izomorf adlanır:1. və fəzalarının elementləri arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq olsun.2. fəzasının ixtiyari və elementlərinə fəzasının uyğun olaraq və elementləri qarşı qoyulmuşdursa, onda elementinə elementi və ədədi üçün elementinə elementi qarşı qoyulsun.

Tərifdən aydındır ki, fəzasının sıfır( ) elementinə fəzasının sıfır( ) elementi qarşı durur. Doğurdan da əgər elementinə elementi qarşı qoyulmuşdursa, onda elementinə elementi qarşı durur. , olduğundan, alırıq ki, fəzasının sıfır elementinə fəzasının sıfır elementi qarşı durur.

Eləcə də, fəzasından götürülmüş elementlərinə uyğun olaraq fəzasının elementləri qarşı qoyulmuşdursa, onda həqiqi

ədədləri üçün elementinə elelementi qarşı durur. Buradan xüsusi halda alırıq ki, elementləri xətti asılı deyilsə, onda onlara qarşı qoyulmuş elementləri də xətti asılı deyil.

Teorem. Bütün ölçülü həqiqi xətti fəzalar biri-birinə izomorfdur.İsbatı.Tutaq ki, . fəzasında bazisi,

fəzasında bazisi götürək. götürüb onun bazisə görə ayrılışını yazaq:

Bu vektoruna fəzasında vektorunu qarşı qoyaq. Bazisə görə ayrılış yeganə olduğundan aydındır ki, bu qarşıqoyma qarşılıqlı birqiymətlidir. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, əgər vektoruna vektoru qarşı qoyulmuşdursa, onda vektoruna vektoru, üçün, vektoruna vektoru qarşı durur. Buna görə də, və fəzaları izomorfdur.

Qeyd edək ki, yuxarıda göstərilən bütün tərif və xassələr kompleks xətti fəzalar üçün də analoji qaydada ifadə oluna bilər.

XƏTTİ ALT FƏZALAR Tutaq ki, xətti fəza, isə onun alt çoxluğudur. Aşağıdakı iki xassə ödəndikdə

çoxluğuna xətti fəzasının xətti alt fəzası və ya sadəcə olaraq alt fəzası deyilir:1. üçün ,2. ədədi üçün

Asanlıqla yoxlamaq olar ki, çoxluğu fəzasında təyin olunmuş cəm və ədədə vurma əməllərinə görə xətti fəza əmələ gətirir. alt çoxluğunun xətti alt fəza adlandırılması da bununla izah olunur. Alt fəzaya ən sadə misal olaraq yalnız sıfır elementdən ibarət olan alt çoxluğu və fəzasının özünü göstərmək olar.

xətti fəzasının, sonlu sayda, ixtiyari

x

ix

jx

x

y

L

OxX

elementlərini götürək. Bu elementlərin bütün xətti kombinasiyaları çoxluğunu ilə işarə edək. Qeyd edək ki, həqiqi (kompleks) xətti fəza olduqda həqiqi (kompleks) xətti kombinasiyalar çoxluğu kimi başa düşülür. Bu çoxluğa elementlərinin xətti örtüyü deyilir. Yoxlamaq olar ki,

-in alt fəzasıdır. alt fəza olduğundan onun ölçüsündən danışmaq olar. Əvvəlcə qeyd edək ki, fəzası ilə üst-üstə düşmürsə, onda onun ölçüsü -in ölçüsündən kiçikdir. Çünki bu alt fəzada xətti asılı olmayan vektorlar fəzasının da xətti asılı olmayan vektorlarıdır. Hətta fəzasının bazis vektorları ümumiyyətlə alt fəzasına daxil olmaya da bilər. Lakin -də götürülmüş hər bir bazisi fəzasında bazisə qədər tamamlamaq olar.

Tutaq ki, , . -də bazisi götürək. olduğundan onda -ə daxil olan elə var ki, . Ona görə də,

vektorları xətti asılı deyil. Əgər olarsa, onda var ki, o xətti örtüyünə daxil deyil. Bunu da həmin sistemə daxil etsək, vektorunu alarıq. Prosesi bu qaydada davam etdirsək, sonlu sayda addımdan sonra fəzasında vektordan ibarət bazis almış olarıq.

Göstərək ki, xətti örtüyünün ölçüsü vektorları içərisində xətti asılı olmayanların maksimal sayına bərabərdir. Tutaq ki, bu vektorlar içərisində xətti asılı olmayanların maksimal sayı -ya bərabərdir. Həmin vektorları ilə işarə edək. Aydındır ki, vektorlarından hər biri bu vektorların xətti kombinasiyası şəklində göstərilə bilər. xətti örtüyünə daxil olan hər bir vektor vektorlarının xətti kombinasiyası olduğundan, xətti örtüyün hər bir vektorunun da vektorlarının xətti kombinasiyası olduğunu deyə bilərik. Bu isə o deməkdir ki, vektorları

-də bazis əmələ gətirir. Onda məlum teoremə görə xətti örtüyün ölçüsü -ya bərabər olar. Xətti örtüyün ölçüsü haqqında bu dediklərimizi nəzərə alaraq

matrisin ranqına aşağıdakı tərifi də vermək olar:Tərif. ölçülü ixtiyari matrisinin ranqı bu matrisin xətti asılı olmayan

sətirlərinin maksimal sayına bərabərdir. Doğurdan da matrisin hər bir sətirinə fəzasının bir elementi kimi baxsaq,

bu elementlərin xətti örtüyünün ölçüsü onlar içərisində xətti asılı olmayanların maksimal sayına bərabər olar. Digər tərəfdən bazis minor haqqında teoremə görə bazis minor sətirləri xətti asılı olmadığından və ixtiyari sətiri bazis minor sətirlərinin xətti kombinasiyası şəklində göstərmək mümkün olduğundan matrisinin sətirlərinin xətti örtüyü bazis minor sətirlərinin xətti örtüyü ilə üst-üstə düşər. Bazis minor sətirlərinin sayı matrisin ranqına bərabər olduğundan deyə bilərik ki, matrisinin ranqı da onun xətti asılı olmayan sətirlərinin maksimal sayına bərabərdir.

Qeyd edək ki, eyni tərifi sütunlar üçün də vermək olar.

ALT FƏZALARIN CƏMİ VƏ KƏSİŞMƏSİTutaq ki, xətti fəza, və isə onun alt fəzalarıdır.

Tərif1. fəzasının , olmaqla kimi göstərilə bilən bütün elementlərindən ibarət çoxluğa və alt fəzalarının cəmi deyilir və kimi işarəedilir.

Tərif2. fəzasının eyni zamanda həm -ə, həm -yə daxil olan bütün elementlərindən ibarət çoxluğa və alt fəzalarının kəsişməsi deyilir və kimi işarə edilir.

Göstərmək olar ki, və çoxluqları da fəzasının alt fəzalarıdır.Teorem. və alt fəzalarının ölçüləri cəmi onların cəminin ölçüsü ilə

kəsişməsinin ölçüsü cəminə bərabərdir.İsbatı. Tutaq ki, , , . və -nin kəsişməsini

ilə işarə edək və -da bazisi götürək. Aydındır ki, olar. Bu vektorları vektorları ilə -də,

vektorları ilə -də bazisə qədər tamamlayaq. Göstərək ki, vektorları -də bazis əmələ gətirir. Bunun

üçün əvvəlcə bu vektorların xətti asılı olmadığını isbat edək. Onların “0”-a bərabər olan xətti kombinasiyasını götürək:

(1)(1) bərabərliyini aşağıdakı şəkildə yazaq:

Bu bərabərliyin sol tərəfindəki vektor alt fəzasına, sağ tərəfindəki vektor isə alt fəzasına daxildir. Buradan belə bir nəticəyə gəlirik ki, bərabərliyin sağ tərəfindəki vektor və -nin kəsişməsinə də daxildir. Ona görə də, həmin vektoru -da bazis əmələ gətirən vektorlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar:

Buradan alırıq ki,

vektorları alt fəzasında bazis əmələ gətirdiyinə görə xətti asılı deyil. Ona görə də, . Bunları (1)-də nəzərə alıb, vektorlarının -də bazis əmələ gətirməsindən istifadə etsək, , olduğunu deyə bilərik. Yəni, (1) bərabərliynin bütün əmsalları sıfıra bərabərdir. Ona görə də, götürdüyümüz vektorlar sistemi xətti asılı deyil. götürsək, , yaza bilərik. vektorunun alt fəzasındakı, vektorunun isə alt fəzasındakı bazisə görə ayrılışını yazsaq, x vektoru vektorlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərilmiş olar. Ona görə də, həmin vektorlar -də bazis əmələ gətirir. Bu isə o deməkdir ki,

və ya.

7. ALT FƏZALARIN DÜZ CƏMİTutaq ki, və fəzasının alt fəzalarıdır. Əgər -ə daxil olan

elementini , şəklində göstərmək mümükündürsə, və bu ayrılış yeganədirsə, onda deyəcəyik ki, xətti fəzası və alt fəzalarının düz cəmi şəklində göstərilmişdir. Əgər fəzası və alt fəzalarının düz cəmi

şəklində göstərilmişdirsə, onda bunu və ya kimi işarə edəcəyik.

Teorem: fəzasının və alt fəzalarının düz cəmi şəklində göstərilə bilməsi üçün kafi şərt və alt fəzalarının kəsişməsinin yalnız sıfır elementdən ibarət olması və və alt fəzalarının ölçüləri cəminin fəzasının ölçüsünə bərabər olmasıdır.Yəni,

, olmasıdır.İsbatı. Tutaq ki, . -də hər hansı

bazisi, -də hər hansı bazisi götürək. Göstərək ki, , vektorları fəzasında bazis əmələ gətirir. Əvvəlcə bu vektorların xətti

asılı olmadığını isbat edək. Bunun üçün onların sıfra bərabər olan xətti kombinasiyasına baxaq:

(2)Bu bərabərliy aşağıdakı şəkildə yazaq:

Bərabərliyin sol tərəfindəki vektor -ə, sağ tərəfindəki vektor isə -yə daxildir.

və alt fəzalarının kəsişməsinin yalnız sıfır vektordan ibarət olduğunu nəzərə alsaq, bu vektorların hər birinin sıfra bərabər olduğunu deyə bilərik.

, vektorları -də, vektorları -də bazis əmələ gətirdiyindən

bu vektorlar xətti asılı deyil. Ona görə də, birinci bərabərlikdən , ikinci bərabərlikdən isə alarıq. Bu isə

götürdüyümüz vektorlar sisteminin xətti asılı olmadığını göstərir. və alt fəzalarının ölçüləri cəmi fəzasının ölçüsünə bərabər olduğundan ,

vektorları fəzasında bazis əmələ gətirir. götürək,və bu vektorun bazisə görə ayrılışını yazaq:

işarə etsək, ( ) yaza bilərik. Beləliklə fəzasının elementini biri -dən, digər -dən olan iki elementin cəmi şəklində göstərmiş oluruq. Göstərərk ki, bu ayrılış yeganədir.

Tutaq ki, vektoru üçün ikinci bir ayrılış da yazmaq mümkündür. Yəni,,

üçün yazdığımız bu iki ayrılışdan alırıq ki, və ya .

ilə -nin kəsişməsi yalnız sıfır vektordan ibarət olduğu üçün

olur. Deməli, ayrılış yeganədir. Ona görə də deyə bilərik, fəzası və alt fəzalarının düz cəminə bərabərdir: .Teorem isbat olundu.

XƏTTİ FƏZADA BAZİS DƏYİŞDİKDƏ KOORDINATLARIN DƏYİŞMƏSİTutaq ki, ölçülü xətti fəzadır. fəzasında ixtiyari iki və

bazısl’rini götürək. Onda aydındır ki, ikinci bazisin hər bir vektorunun birinci bazisə görə ayrılışını yazmaq olar:

(1)

Bu ayrılışın əmsallarından aşağıdakı matrisi düzəldək:

matrisinə birinci bazisdən ikinci bazisə keçid matrisi deyilir. İndi isə bu matrisin köməyi ilə ikinci bazisdən birinci bazisə keçid matrisini tapaq. matirisinin elementinin cəbri tamamlayıcısını ilə işarə edək. (1) bərabərliyklərindən birincisini -yə, ikincisini -yə,..., sonuncusunu -yə vurub tərəf-tərəfə toplasaq, aşağıdakı bərabərliyi alarıq:

n tərtibli determinantın cəbri tamamlayıcılar üşün olan xassəsindən istifadə etsək, deyə bilərik ki, sonuncu bərabərliyin sağ tərəfində, olduqda bütün hədlər sıfra,

olduqda isə həddinin əmsalı matrisinin determinantına bərabərdir. Ona görə də, aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik:

Buradan

, (2)

olur. Bu bərabərlikləri -nin bütün qiymətləri üçün yazsaq,

(3)

(3) düsturları birrinci bazis vektorlarının ikinci bazis vektorlarına görə ayrılışını verir. Əgər bu ayrılışın əmsallarından matris düzəltsək, görərik ki, o matrisinin tərsinə bərabərdir. Beləliklə, ikinici bazisdən birinci bazisə keçid matrisi birinci bazisdən ikinci bazisə keçid matrisinin tərsinə bərabərdir.

İndi fəzasının ixtiyari elementinin bu iki bazisdəki koordinatları arasındakı əlaqəni tapaq.

götürək və bu vektorun həm birinci, həm də ikinci bazisə görə ayrılışını yazaq:

vektorlarının bazisinə görə yuxarıda yazdığımız (2) ayrılışlarını nəzərə alsaq, aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik:

Bazisə görə ayrılış yeganə olduğundan alırıq ki,

(3)

Bu ayrılışın əmsallarından aşağıdakı matrisi düzəldək:

Göründüyü kimi bu matris matrisinin tərsinin transponirə edilmişidir. Ona görə də deyə bilərik ki, vektorunun ikinci bazisdəki koordinatları onun birinci bazisdəki koordinatları ilə matrisinin tərsinin transponirə edilmişi vasitəsi ilə ifadə olunur.

8. XƏTTİ TƏNLİKLƏR SİSTEMİAşağıdakı tənliklər sisteminə məchullu xətti tənliklər sistemi deyilir:

(1)burada axtarılan məchullar, məchulların əmsalları,

isə sərbəst hədlər adlanırlar. Əgər olarsa, (1) sisteminə xətti bircins tənliklər sistemi deyilir. olduqda (1) sistemi kvadrat sistem adlanır. (1) sisteminin həlli məchullarının elə

qiymətlərinə deyilir ki, bu qiymətləri (1) sisteminin hər bir tənliyində uyğun məchulların yerinə yazdıqda onu doğru ədədi bərabərliyə çevirsin. Əgər (1) sisteminin həlli varsa, ona uyuşan sistem, yoxdursa uyuşmayan sistem deyilir. Uyuşan sistemin yeganə həlli varsa ona müəyyən sistem, birdən çox

sayda həlli varsa, ona qeyri-müəyyən sistem deyilir. (1) ilə əlaqədar olaraq aşağıdakı məsələləri öyrənəcəyik:

1) sistemin uyuşan olub-olmadığını,2) uyuşan sistemin müəyyən və ya qeyri-müəyyən olduğunu,3) müəyyən sistemin yeganə həllinin, qeyri-müəyyən sistemin isə bütün

həllərinin tapılmasını.(1) sisteminin məchullarının əmsallarından, məchullarından və sərbəst hədlərindən aşağıdakı matrisləri düzəldək:

, ,

Qeyd edək ki, məchulların əmsallarından düzəldilmiş matris sistemin əsas matrisi deyilir.Bu matrislərin köməyi ilə (1) sistemini aşağıdakı matris tənlik şəklində yazmaq olar:

(2)Tutaq ki, matrisinin sağ tərsi var. Onu ilə işarə edək. Onda

matrisi (2)-nin həllidir. Çünki

İndi isə fərz edək ki, matrisinin sol tərsi var, onu ilə işarə edək. Titaq ki, (2)-nin həlli var. Bu həlli tənlikdə yerinə yazıb alınan bərabərliyin hər iki tərəfini -ə vuraq. Onda,

, , , .Yəni, matrisinın sol tərsi olduqda (2) sisteminin həlli varsa, o yeganədir. Beləliklə, -nın sağ tərsinin olması bu tənliyin uyuşan olmasını, sol tərsinin olması isə sistem uyuşan olduqda onun müəyyənliyini təmin edir. Əgər -nın həm sol, həm də sağ tərsi olarsa, onda (2)-nin yeganə həlli var və düsturu ilə tapılır.

Aşağıdakı bircins sistemə baxaq:

(3) Aydındır ki, bu sistemin həllidir.

(3) sisteminin hansı halda sıfırdan fərqli həllinin olduğunu müəyyən edək.Teorem. Bircins sistemin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün zəruri və kafi

şərt məchulların əmsallarından düzəldilmiş matrisin ranqının məchulların sayından kiçik olmasıdır.

İsbatı.Zərurilik. Tutaq ki, (3) sisteminin sıfırdan fərqli həlli var. Bu həlli ilə işarə işarə edək. Bu həlli (3) sisteminin hər bir tənliyində uyğun

məchulların yerinə yazaq. Onda, alınan bərabərliklər göstərir ki, heş olmazsa biri sıfırdan fərqli elə ədədləri var ki, onları matrisinin uyğun olaraq birinci, ikinci və -ci sütununa vurub topladıda, cəmi sıfra bərabər olur. Başqa sözlə matrisinin sütunları xətti asılıdır. Bu o deməkdir ki, matrisindəki bazis minorun tərtibi -dən kiçikdir yəni, .

Kafilik. İndi isə fərz edək ki, matrisinin ranqı -dən kiçikdir. Onda bazis minor haqqında teoremə görə matrisinin sütunlarından heç olmazsa biri bazis minora daxil deyil və onu bazis minor sütunlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar. Bazis minora daxil olmayan qalan sütunları sıfır əmsalı ilə bu xətti kombinasiyaya əlavə etsək, deyə bilərik ki, matrisinin sütunları xətti asılıdır. Ona görə də, heç olmazsa biri sıfırdan fərqli elə ədədləri var ki, (3) bərabərliyi doğrudur. Başqa sözlə ədədləri bircins sistemin həllidir.

Əgər (3) kvadrat sistem olarsa, yəni olarsa, onda bu teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.

Nəticə. Kvadrat sistemin sıfırdan fərqli həllinin olması üçün zəruri və kafi şərt onun əsas matrisinin determinantının sıfra bərabər olmasıdır.

İndi isə ümumi sistemin, yəni (1) sisteminin uyuşan olmasını araşdıraq. Bu sistemin məchullarının əmsallarından və sərbəst hədlərindən aşağıdakı matrisi düzəldək:

matrisinə (1) sisteminin genişlənmiş matrisi deyilir.Teorem (Kroneker-Kapelli). (1) ssiteminin uyuşan olması üçün zəruri və

kafi şərt, onun əsas matrisinin ranqının genişlənmiş matrisinin ranqına bəzrabər olmasıdır.

İsbatı.Zərurilik. Tutaq ki, (1) sistemi uyuşandır. Onda, elə ədədləlri var ki, aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:

(4)Tutaq ki, . matrisinin sütunlarının xətti örtüyünü ilə işarə edək.

matrisinin ranqı -ə bərabər olduğundan, bazis minorun tərtibi də, matrisin xətti asılı olmayan sütunların maksimal sayı da -ə bərabərdir. Ona görə alt fəzasının ölçüsü də -ə bərabərdir. (4) bərabərliklərindən görünür ki, matrisinin sonuncu sütunu da xətti örtüyünə daxildir. Ona görə də, matrisinin sütunlarının xətti örtüyü də alt fəzası ilə üst-üstə düşür. Deməli, matrisinin xətti asılı olmayan sütunlarının maksimal sayı da -ə bərabərdir. Yəni, .

Kafilik. Tutaq ki, . matrisindəki bazis minor matrisi üçün də bazis minordur. Ona görə də. matrisinin hər bir sütununu və xüsusi halda sonuncu sütununu bazis minor sütunlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar. Bu xətti kombinasiyaya matrisinin bazis minora daxil olmayan sütunlarını da sıfır əmsalı ilə əlavə etsək, matrisinin sonuncu sütunu onun əvvəlki sütunlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərilmiş olar. Bu isə o deməkdir ki, elə ədədləri var ki, (4) bərabərlikləri doğrudur. Yəni, bu ədədlər (1) sisteminin həllidir. Başqa sözlə (1) sistemi uyuşandır.

Beləliklə, biz xətti tənliklər sistemi ilə əlaqədar olan birinci məsələni tam həll etmiş olduq.

9. SISTEMİN BÜTÜN HƏLLƏRİNIN TAPILMASITutaq ki. məchullu xətti tənliklər sistemi verilmişdir:

(1)Bu sistemin əsas matrisinin determinantını

Ilə işarə edək. -ya sistemin baş determinantı deyilir. determinantında nömrəli sütunu sərbəst hədlərdən ibarət sütunla əvəz etdikdən sonra alınan determinantı

ilə işarəedək. Bu determinantlara köməkçi determinantlar deyilir. Əvvəlcə göstərk ki, olduqda (1) sisteminin həlli varsa, o yeganədir.

Tutaq ki, ədədləri (1) sisteminin həllidir. Bu ədədləri sistemin hər bir tənliyində uyğun məchulların yerinə yazsaq və alınan bərabərliklərdən birincini -yə, ikincini -yə,..., sonuncusunu -yə vurub tərəf-tərəfə toplasaq (burada sistemin əsas matrisinidəki elementinin cəbri tamamlayıcılarıdır) aşağıdakı bərabərliyi alarıq:

(2)

Determinantın cəbri tamalayıcılara aid olan xassəsindən istifadə etsək, deyə bilərik ki, (2) bərabərliyinin sol tərəfində olduqda bütün hədlər sıfra, olduqda isə

-ya bərabərdir. Bərabərliyin sağ tərəfinə gəldikdə isə asanlıqla görmək olar ki, o determinantına bərabərdir. Dediklərimizi nəzərə alsaq, (2) bərabərliyini aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:

(3) olduğunu nəzərə alsaq,

. (4)

Beləliklə, olduqda (1) sisteminin həlli varsa, bu həll (4) düsturları vasitəsilə yeganə qaydada təyin olunnur. Bu düsturlara Kramer düsturları deyilir.

İndi isə olduqda (1) sisteminin uyuşan olduğunu göstərək. Bunun üçün sistemin genişlənmiş matrisinə baxaq:

Bu matrisin tərtibi -ə bərabər olduğuna görə onun ranqı -dən böyük ola bilməz. olmasından alırıq ki, . Onda Kroneker-Kapelli teoreminə görə (1) sistemi uyuşandır. Beləliklə olduqda (1) sisteminin yeganə həlli var və bu həll Kramer düsturları ilə tapılır.

Bununla da biz, kvadrat sistem üçün yuxarıda qeyd etdiyimi bütün məsələləri həll etmiş olduq.

olduqda (1) sisteminin müəyyən və ya qeyri-müəyyən olduğunu, eləcə də onun həllərinin tapılmasını ümumi halda öyrənəcəyik

məchullu xətti tənliklər sistemi uyuşan olduqda, onun bütün həllərini tapaq. Fərz edək ki, əsas matrisdə bazis minor yuxarı sol küncdə yerləşir (əgər belə olmazsa, tənlliklərin yerini dəyişməklə və məchulları yenidən nömrələməklə həmişə buna nail olmaq olar) və . Matrisin ixtiyari sətiri bazis minor sətirlərinin xətti kombinasiyası olduğundan deyə bilrik ki, bazis minora daxil olmayan hər bir sətirə uyğun tənlik, bazis minor sətirlərinə uyğun tənliyiklərin xətti kombinasiyasıdır. Ona görə də, belə tənlikləri sistemdən atmaqla onu aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

(5)Göründüyü kimi (5) sistemi məchullarına nəzərən məchullu xətti tənliklər sistemidir. Bu sistemin baş determinantı sıfırdan fərqli olduğu üçün

məchullarının hər bir qiymətində onun yeganə həlli var və bu həlli Kramer düsturları vasitəsilə tapıla bilər.Qeyd edək ki, məchulları ixtiyari ədədi qiymətlər ala bildiyindən onlara sərbəst məchullar deyilir.

(5) sisteminin baş determinantını ilə, onun nömrəli sütununu ədədləri ilə əvəz etdikdən sonra alınan determinantı isə ilə

işarə etsək, (5) sisteminin həllərini aşağıdakı düsturlarla tapmaq olar:

Əgər xüsusi halda sistem bircins olarsa, onda bircins sistemin həlləri aşağıdakı düsturlarla tapılır:

BİRCİNS SİSTEMİN HƏLLƏRİNİN XASSƏLƏRİTutaq ki, məchullu xətti bircins tənliklər sistemi verilmişdir. Bildiyimiz

kimi belə sistem həmişə uyuşandır. Bu sistemin bütün həllər çoxluğunu ilə işarə edək. Aydındır ki, bu sistemin hər bir həllinə eyni zamanda fəzasının elementi kimi də baxa bilərik. Ona görə də, çoxluğu fəzasının müəyyən bir alt çoxluğudur. Gostərək ki, həmçinin fəzasının alt fəzasıdır. Bunun üçün -ə daxil olan ixtiyari iki elementin cəminin və hər bir elementin ədədinə hasilinin də çoxluğuna daxil olduğunu göstərmək kifayətdir. Başqa sözlə, bircins sistemin ixtiyari iki həllinin cəminin və hər bir həllinin ədədinə hasilinin də bu sistemin həlli olduğunu göstərmək kifayətdir.

Tutaq ki, və bircins sistemin ixtiyari iki həllidir. Onda sistemin nömrəli tənliyi üçün aşağıdakı bərabərliklər doğrudur

, .

Onda,

Yəni, . Digər tərəfdən,

Ona görə də, çoxluğu fəzasının alt fəzasıdır. alt fəza olduğundan, aydındır ki, onun ölçüsündən danışmaq olar.İsbat edək ki, sistemin əsas matrisinin ranqı -ə bərabərdirsə, onda bircins sistemin həllərinin əmələ gətirdiyi alt fəzası fəzasına izomorfdur.

Bircins sistemin həlləri düsturunda yazsaq, (1)

Fərz edək ki. bircins sistemin hər hansısa həllidir. Bu həllə fəzasında elementini qarşı qoyaq. ədədləri ixtiyari həqiqi ədədlər olduğundan və bu ədədlərə görə sistemin həlli (1) düsturları vasitəsilə yeganə qaydada tapıldığından, bu qarşıqoyma qarşılıqlı birqiymətlıdir. Digər tərəfdən, fəzasının və elementlərinə fəzasının uyğun olaraq və elementləri qarşı qoyulmuşdursa, onda fəzasından götürdüyümüz bu iki elementin cəminə fəzasında onlara qarşı qoyulan elementlərin cəmi, fəzasından götürdüyümüz hər bir həllin həqiqi ədədinə hasilinə fəzasında ona qarşı qoyulan elementin ədədinə hasili qarşı durur.Buradan alırıq ki, həllər fəzası fəzasına izomorfdur. İzomorf xətti fəzaların ölçüləri bərabər olduğundan deyə bilrək ki, .

Əgər fəzasında ixtiyari bazis götürsək, fəzasında bu bazis vektorlara uyğun gələn həllər -də bazis əmələ gətirər. fəzasında bazis əmələ gətirən hər bir belə həllər sistemi bircins sistemin fundamental həllər sistemiadlanır. Xüsusi halda, fəzasından götürülmüş

bazisinə uyğun gələn həllər sistemi bircins sistemin normal fundamental həllər sistemi adlanır. matrisinin ranqı və bazis minorun yerləşməsi haqqındakı şərtlər daxilində bircins sistemin normal fundamental həllər sistemi aşağıdakı kimidir:

həlləri, bircins sistemin bütün həlləri çoxluğunda bazis əmələ gətirdiyinə görə, bircins sistemin ixtiyari həllini bu vektorların xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar:

(3)Bu həll bircins sistemin bütün həllərini özündə saxladığına görə ona bircins sistemin ümumi həlli deyilir.

İndi isə bircins sistemin həlləri ilə uyğun qeyri-bircins sistemin həlləri arasındakı əlaqələri göstərək:

1. Qeyri-bircins sistemin ixtiyari iki həllinin fərqi uyğun bircins sistemin həllidir.

Tutaq ki, və bircins sistemin ixtiyari iki həllidir. Onda qeyri-bircins sistemin nömrəli tənliyi üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

və

Ona görə də, bircins sistemin nömrəli tənliyi üçün

.

Bununla birinci xassə isbat olunur.2. Bircins sistemin ixtiyari həlli ilə uyğun qeyri-bircins sistemin hər hansı

həllinin cəmi də qeyri-bircins sistemin həllidir.Tutaq ki, qeyri-bircins sistemin hər hansı həlli,

isə bircins sistemin ixtiyari həllidir. Onda,

və .

Bunları nəzərə alsaq, qeyri-bircins sistemin ixtiyari nömrəli tənliyi üçün

olar. Bu isə, ikinci xassənin isbatı deməkdir.Qeyri-bircins sistemin hər hansı həllini -la işarə edək. Göstərək ki,

(4)qeyri-bircins sistemin ümumi həllidir, burada ixtiyari sabitlərdir.Yəni, bu həlldən qeyri-bircins sistemin ixtiyari həllini almaq olar.

Tutaq ki, X qeyri-bircins sistemin hər hansı həllidir. da qeyri-bircins sistemin həlli olduğundan, yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, bu iki həllin fərqi

uyğun bircins sistemin həlli olar. Onda həllinin normal fundamental həllər sisteminə görə ayrılışını yazmaq olar. Yəni, elə ədədləri var ki,

Buradan, alınır. Beləliklə, (4) düsturu qeyri-bircins sistemin ümumi həlli olur.

8. XƏTTİ TƏNLİKLƏR SİSTEMİNİN QAUS ÜSULU İLƏ HƏLLİTutaq ki, məchullu xətti tənliklər sistemi verilmişdir:

(1)Qaus üsulunun tətbiqi ilə biz (1) sisteminin uyuşan olub-olmadığını, uyuşan

sistemin müəyyən və ya qeyri-müəyyənliyini, eləcə də müəyyən sistemin yeganə həllini, qeyri-müəyyən sistemin isə bütün həllərini tapa bilərik. Başqa sözlə desək, Qaus üsulu xətti tənliklər sistemi ilə əlaqədar olaraq bütün suallara cavab tapmağa imkan verir..

Bu üsulun mahiyyəti, sistemin tənliklərindən məchulları ardıcıl olaraq yox etməklə, verilmiş sistemin həllini tapmaqdır. Qaus üsulunu tətbiq etmək üçün,ümumiliyi pozmadan hesab edəcəyik ki, (1) sistemindəki . Əgər belə olmazsa, tənliklərin yerini dəyişməklə və ya məchulları yenidən nömrələməklə buna həmişə nail olmaq olar. Qeyd edək ki, tənliklərin hər hansı birində məchulunun əmsalı 1-ə bərabər olarsa, sonrakı hesablamaları asanlaşdırmaq üçün onu birinci yerdə yazmaq məqsədə uyğundur.

olduğunu nəzərə alıb, birinci tənliyi -ə vurub ikinci tənlik üzərinə,

-ə vurub üçüncü tənlik üzərinə, bu qayda ilə davam edərək, nəhayət -ə

vurub sonuncu tənlik üzərinə əlavə etsək, ikinci tənlikdən başlayaraq qalan bütün hədlərdən məchulunu yox etmiş olarıq. Bu əməliyyat nəticəsində aşağıdakı iki hala rast gəlmək olar:

I. Alınan tənliklərdən hər hansı birinin sol tərəfində sıfır, sağ tərəfində sıfırdan fərqli ədəd alınsın. Bu halda (1) sisteminin həlli yoxdur.

II. Tənliklərdən hər hansı birinin və ya bir neçəsinin həm sol, həm də sağ tərəfində sıfır alınsın. Belə olan halda, həmin bərabərliklərin hamısını sistemdən atırıq.

Əgər məchulunu yox etdikdən sonra birinci halla rast gəlməsək, onda aldığımız yeni tənliklər sistemində birinci tənliyi olduğu kimi saxlamaqla yuxarıda göstərdiyimiz qaydanı ikincidən başlayaraq qalan bütün tənliklərin əmələ gətirdiyi sistemə tətbiq edirik. Yəni, ikinci tənlikdə məchulunun əmsalını sıfırdan fərqli götürməklə, üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən məchulunu yox edirik. Bu qayda ilə davam edərək, hər dəfə ikinci hala rast gəlməmək şərtilə, sonda, üçbucaq :

və ya trapesiya

şəkilli sistem alırıq.Əgər sonda üçbucaq şəkilli sistem alınmışdırsa, axırıncı tənlikdən

məchulunun qiymətini tapıb, özündən əvvəlki tənlikdə nəzərə almaqla, məchulunun və bu qayda ilə davam etməklə, nəhayət birinci tənlikdən məchulunun qiymətini tapırıq.

Əgər sonda trapesiya şəkilli sistem alınmışdırsa, bu sistemdə məchullarını sistemin hər bir həllində bərabərliyin sağ tərəfinə keçirməklə onu üçbucaq şəkilli sıstemə gətiririk. Bu sistemi yuxarıda göstərdiyimiz qaydada həll etməklə (1) sisteminin bütün həllərini tapırıq.

Aydındır ki, üçbucaq şəkilli sistem alındıqda (1) sisteminin yeganə həlli var. Qeyd edək ki, trapesiya şəkilli sistem alındıqda bərabərliyin sağ tərəfinə keçirdiyimiz məchullara sərbəst məchullar deyilir. Onlar ixtiyari ədədi qiymətlər ala bildiyindən, sistemin sonsuz sayda həlləri var.

HƏQİQİ EVKLİD FƏZASITərif 1. həqiqi xətti fəzası aşağıdakı şərtləri ödədikdə həqiqi Evklid fəzası

adlanır:I. fəzasının ixtiyari iki və elementinə, onların skalyar hasili adlanan və

kimi işarə olunan bir həqiqi ədədi qarşı qoymaq qaydası verilsin,II. bu qayda aşağıdakı xassələrə malik olsun

1.2.3. , həqiqi ədədi üçün4. və .

Qeyd edək ki, analitik həndəsədə vektorlar üçün qaydası ilə təyin etdiyimiz skalyar hasil yuxarıda qeyd etdiyimiz bütün xassələri ödəyir. Həqiqi xətti fəzalarda isə skalyar hasil, bundan fərqli olaraq, aksiomatik qaydada təyin edilir. Burada həmçinin fəzası da hər hansı konkret xətti fəza olmayıb, mücərrəd həqiqi xətti fəzadır.

Həqiqi Evklid fəzasına bəzi misallar göstərək:1) parçasında təyin olunmuş həqiqi qiymətli kəsilməz funksiyalar

fəzasında ( ) skalyar hasili

düsturu ilə təyin etsək, bu qayda skalyar hasilin bütün xassələrini ödəyər.2) fəzasında elementlərinin skalyar

hasilini düsturu ilə təyin etsək, bu qayda da skalyar hasilin

bütün xassələrini ödəyər.Beləliklə, baxılan xətti fəzaların hər biri həqiqi Evklid fəzasıdır.

Tərif 2. həqiqi xətti fəzası aşağıdakı şərtləri ödədikdə normalaşmış və ya normalı xətti fəza adlanır:

I. fəzasının elementinə bu elementin norması (uzunluğu) adlanan və kimi işarə olunan bir həqiqi ədədi qarşı qoymaq qaydası verilsin,II. bu qayda aşağıdadkı xassələrə malik olsun:

1. və , 2. , -həqiqi ədədi və üçün ,

3. .Sonuncu bərabərsizlik üçbucaq və ya Minkovski bərabərsizliyi adlanır.

Qeyd edək ki, həqiqi ədədin mütləq qiyməti normanın bütün xassələrini ödəyir.

Teorem 1. həqiqi Evklid fəzasının elementləri üçün aşağıdakı bərabərsizlik doğrudur:

(1) İsbatı. Bu bərabərsizliyi isbat etmək üçün və həqiqi ədədi götürək. Onda skalyar hasilin 4-cü xassəsinə görə aşağıdakı bərabərsizliyi yaza bilərik:

0),( yxyx (2)Skalyar hasilin digər xassələrindən istifadə edərək, (2) bərabərsizliyini aşağıdakı kimi yazmaq olar:

(3)Göründüyü kimi (3) bərabərsizliyinin sol tərəfi -ya nəzərən həqiqi əmsallı kvadrat üçhədlidir. Belə kvadrat üçhədlinin sıfırdan böyük bərabər olması üçün zəruri və kafi şərt

bərabərsizliyinin ödənməsidir. Buradan isə (1) bərabərsizliyi alınır. Qeyd edək ki, (1) bərabərsizliyinə Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyi deyilir. İndi isə göstərək ki, hər bir həqiqi Evklid fəzasını

təyin etməklə normalı fəza etmək olar. Aydındır ki, bunun üçün təyin etdiyimiz bu qaydanın normanın bütün üç xassəsini ödədiyini yoxlamaq kifayətdir.

Normanın 1-ci xassəsinin ödənməsi skalyar hasilin 4-cü xassəsindən alınır. 2-ci xassə bərabərliyindən çıxır. 3-cq xassəni Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyinin köməyi ilə yoxlayaq:

Misallar. və həqiqi Evklid fəzalarında Koşi-Bunyakovski və Minkovski bərabərsizliklərini yazaq

1. fəzasında , olduğu üçün

Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyi ,

Minkovski bərabərsizliyi isə

kimi olur.

2. fəzasında , olduğu üçün

Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyi ,

Minkovski bərabərsizliyi isə

kimi olur.

9. ORTONORMAL BAZİS VƏ ORTOQONALLAŞDIRMA ÜSULUTutaq ki, həqiqi Evklid fəzasıdır. Bu fəzaya daxil olan və elementləri

üçün olarsa, onlara ortoqanal elementlər deyilir. Əgər və ortoqanaldırsa, onda bu elementlər üçün

, (1)bərabərliyi ödənir. Doğurdan da

(olduğu üçün )(1) bərabərliyi Pifaqor teoremi adlanır. Qeyd edək ki, Pifaqor teoremi cüt-cüt ortoqonal olan ixtiyari n sayda vektor üçün də doğrudur. Yəni, vektorları üçün şərtləri ödənilərsə, onda

Tutaq ki, ölçülü həqiqi Evklid fəzasına daxil olan vektorları üçün

şərtləri ödənilir. Bu şərtləri ödəyən vektorlarına fəzasında ortonormal bazis deyilir. Göstərək ki, onlar doğurdan da bazis əmələ gətirir. Həmin vektorların sıfra bərabər olan xətti kombinasiyasını götürək:

(2)(2) bərabərliyinin hər iki tərəfini vektoruna skalyar vursaq,

alarıq. olduğu üçün olur. Beləliklə xətti kombinasiyanın bütün əmsalları sıfra bərabərdir. Ona görə də, vektorları xətti asılı deyil. Bu vektorların sayı fəzanın ölçüsünə bərabər olduğundan məlum teoremə görə onlar fəzasında bazis əmələ gətirir.

İndi isə göstərək ki, hər bir ölçülü həqiqi Evklid fəzasında ortonormal bazis var. Bunu riyazi induksiya metodunun köməyilə isbat edək.

Tutaq ki, .Onda fəzasında sayda vektordan ibarət bazis var.

-lə bu fəzada hər hansı bazisi işarə edək. olduqda

götürək. Aydındır ki, və . Ona görə də, vektoru birölçülü fəzasında ortonormal bazis əmələ gətirir. Tutaq ki, olduqda

vektorlarına görə ortonormal sistemini artıq qurmuşuq. olduqda vektorlarına görə ortonormal sistemini quraq.

Bunun üçün(3)

götürək. Aydındır ki, olduqda . Çünki olarsa, onda (3) bərabərliyindən çıxır ki, vektoru vektorlarının xətti kombinasiyasıdır. Bu vektorların hər biri vektorlarının xətti kombinasiyası olduğundan alırıq ki, vektoru da vektorlarının xətti kombinasiyasıdır. Bu isə vektorlarının xətti asılı olmaması şərtinə ziddir. Ona görə də, olduqda olmalıdır. Asanlıqla görmək olar ki,

vektoru vektorlarının hər birinə ortoqonaldır. Bunun üçün (3) bərabərliyinin hər iki tərəfini növbə ilə vektorlarına skalyar vurmaq kifayətdir:

Aldığımız sisteminin ortonormal olması üçün (3) bərabərliyindəki ədədini vektorunun

normasının tərs qiymətinə bərabər götürmək kifayətdir. Dediklərimizi nəzərə alsaq, bazisinə görə ortonormal bazisini aşağıdakı şəkildə qurmaq

olar:

,

, ,

, ,

............................................................................

, .

Beləliklə biz, ölçülü Evklid fəzasında həm ortonormal bazisin varlığını, həm də verilmiş bazisə görə onun qurulma qaydasını göstərmiş olduq.

Qeyd edək ki, xətti fəzada sonsuz sayda bazis olduğundan deyə bilərik ki, həqiqi Evklid fəzasında sonsuz sayda ortonormal bazis var.

Tutaq ki, Evklid fəzasında ortonormal bazisdir. Onda üçün və ayrılışlarını yaza

bilərik. Bu iki vektorun skalyar hasilini tapaq:

Göründüyü kimi, ortonormal bazisdə iki vektorun skalyar hasili onların uyğun koordinatlarının hasilləri cəminə bərabərdir.

İndi isə fəzasında hər hansı bazisi götürək. Onda aydındır ki, vektorlarından hər birinin bu bazisə görə ayrılışlarını yaza bilərik:

Bu iki vektorun skalyar hasilini tapsaq:

(3)

olar, burada .(3) bərabərliyindən görünür ki, və vektorlarının skalyar hasilinin uyğun koordinatların hasilləri cəminə bərabər olması üçün

Olmalıdır. Başqa sözlə, ortonormal bazis olmalıdır. Beləliklə, yalnız və yalnız ortonormal bazisdə iki vektorun skalyar hasili onların uyğun koordinatlarının hasilləri cəminə bərabər olur.

KOMPLEKS EVKLİD FƏZASI kompleks xətti fəzası aşağıdakı şərtləri ödədikdə kompleks Evklid fəzası

adlanır:I. fəzasının ixtiyari iki və elementinə onların skalyar hasili adlanan və

kimi işarə olunan bi kompleks ədədi qarşı qoymaq qaydası verilsin,II. bu qayda aşağıdakı xassələrə malik olsun

1. , burada , kompleks ədədinin qoşmasıdır,2. ,3. , kompleks ədədi üçün,4. həqiqi ədədddir, və .

Qeyd edək ki, bu xassələrin köməyilə skalyar hasilin aşağıdakı xassələrini də göstərmək olar:

1. ,2. .Misallar.

1. parçasında kəsilməz olan kompleks qiymətli funksiyalar fəzasında

qaydası ilə skalyar hasili təyin etsək, alınan fəza kompleks Evklid fəzası olar. 2. sayda, nizam ilə götürülmüş kompleks ədədlə təyin olunan şəkilli elementlər çoxluğunda (burada -lər kompleks ədədlərdir) cəm və ədədə vurma əməllərini

, , -kompleks ədəddir,

kimi təyin etməklə alınan xətti fəzada skalyar hasili

qaydasıilə təyin etsək o, kompleks xətti fəza olar. Qeyd edfək ki, kompleks Evklid fəzasında da Koşi-Bunyakovski

bərabərsizliyi doğrudur. Bu bərabərsizlik aşağıdakı şəkildə yazılır:, , (1)

burada . Bu bərabərsizliyi isbat etmək üçün və kompleks ədədi üçün

doğru olan aşağıdakı bərabərsizliyə baxaq:

Skalyar hasilin xassələrindən istifadə edərək bu bərabərsizliyi aşağıdakı şəkildə yaza bilərik:

.Buradan alırıq ki,

.( x,y ) ədədini triqonometrik şəkildə yazsaq, olar. Tutaq ki, , . Bunları sonuncu bərabərlikdə nəzərə alsaq,

və ya(2)

Göründüyü kimi (2)-nin sol tərəfi t-yə nəzərən həqiqi əmsallı kvadrat üçhədlidir. Ona görə də, bu bərabərsizliyin t-nin ixtiyari qiymətində ödənilməsi üçün onun diskriminantı aşağıdakı bərabərsizliyi ödəməlidir:

Buradan Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyi alınır. Kompleks Evklid fəzasında da həqiqi Evklid fəzasında olduğu kimi

təyin etməklə onu normalı fəzaya çevirmək olar. Tutaq ki, n ölçülü kompleks Evklid fəzasıdır. Bu fəzada da, həqiqi fəzaya analoji olaraq, ortonormal bazisə tərif vermək olar. Həqiqi Evklid fəzasında olduğu kimi burada da, ortonormal bazisin varlığını və qurulma qaydasını göstərmək olar. Tutaq ki, ortonormal bazisdir. Onda, vektorları üçün

, ayrılışlarını yazmaq olar. Kompleks Evklid fəzasında verilmiş ortonormal bazisdə bu iki vektorun skalyar hasiliaşağıdakı düsturla tapılır.:

.

10. HƏQİQİ EVKLİD FƏZALARININ İZOMORFLUĞUTutaq ki, və həqiqi Evklid fəzalarıdır. Aşağıdakı şərtlər ödəndikdə bu

iki Evklid fəzası biri-biriniə izomorf adlanır: 1. və fəzaları həqiqi xətti fəza kimi bir-birinə izomorfdur.2. elementlərinə uyğun olaraq elementləri qarşı

qoyulmuşdursa, onda ,

burada və ilə uyğun olaraq və fəzasında skalyar hasil işarə edilmişdir.

Teorem. Bütün n ölçülü həqiqi Evklid fəzaları biri-birinə izomorfdur.İsbatı. Teoremi isbat etmək üçün n ölçülü həqiqi Evklid fəzasının

( ) skalyar hasilli fəzasına izomorf olduğunu göstərmək kifayətdir.

fəzasında ixtiyari ortonormal bazisi götürək və vektorlarının bu bazisə görə ayrılışını yazaq:

,

x vektoruna fəzasının elementini, vektoruna isə elementini qarşı qoyaq. Bazisə görə atrılış yeganə olduğuna görə

bu qarşıqoyma qarşılıqlı birqiymətlidir. Eyni bazisdə verilmiş iki vektorun toplanması və ədədə vurulması əməllərinin xassələrindən istifadə etsək, asanlıqla görmək olar ki, vektoruna , vektoruna isə vektoru qarşı qoyulur. Yəni, və fəzaları həqiqi xətti fəza kimi bir-birinə izomorfdur.

Ortonormal bazisdə

olduğunu nəzərə alsaq və bu bərabərliyin sağ tərəfinin -ə bərabər olduğunu nəzərə alsaq, və fəzalarının Evklid fəzası kimi izomorf olduğunu deyə bilərik. Bununla da teorem isbat olundu.

Analoji qaydada bütün n ölçülü kompleks evklid fəzalarının da izomorf oduğunu isbat etmək olar.

XƏTTİ OPERATORLARTutaq ki, və uyğun olaraq m və n ölçülü xətti fəzalardır. Əgər

fəzasının hər bir x elementinə fəzasının müəyyən bir y elementini qarşı qoymaq qaydası verilmişdirsə, onda deyəcəyik ki, fəzasından fəzasına təsir edən operator verilmişdir və bunu və ya kimi işarə edəcəyik.

Tutaq ki, və eyni zamanda həqiqi və ya kompleks xətti fəzalardır. -dən -ə təsir edən operatoru aşağıdakı şərtləri ödədikdə xətti operator adlanır:

1. ,2. , və ədədi üçün.

Qeyd edək ki, bu fəzalar həqiqi olduqda həqiqi, kompleks olduqda isə kompleks hesab olunur.

fəzasından fəzasına təsir edən xətti operatorlar çoxluğunu -lə işarə edək. Bu çoxluqda üçün aşağıdakı qaydada cəm və ədədə vurma əməlləri təyin edək:

, üçün,, ədədi və üçün.

X fəzasının hər bir elementinə Y fəzasının sıfır elementini qarşı qoyan operatoru sıfır operator adlandırıb O hərfi ilə işarə edəcəyik:

, .Hər bir A operatorunun əksini ilə iıarə edib, aşağıdakı kimi təyin edəcəyik:

, .Yoxlamaq olar ki, çoxluğu təyin etdiyimiz cəm və ədədə vurma əməllərinə görə, yuxarıda təyin etdiyimiz sıfır və əks operatorlarla birlikdə xətti fəza əmələ gətirir.

xətti fəzasına misal olaraq, fəzasında təyin olunmuş tərtibli matrislər çoxluğunu göstərmək olar. Bu xətti fəzanın ölçüsü -na bərabərdir.İndi isə xətti fəzasından fəzasına təsir edən xətti operatorlar çoxluğuna baxaq. Bu fəzanı əvəzinə ilə işarə edəcəyik.

qaydası ilə təsir edən operatoruna vahid operator deyilir. fəzasında iki operatorlarınin hasili aşağıdakı qaydada təyin edilir:

, üçün.Qeyd edək ki, ümumuyyətlə

Bu əməl aşağıdakı xassələrə malikdir: 1. ,

2. ,3. ,

4. .1-ci xassə operatorun ədədə vurulması əməlinin tərifindən alınır.2-ci xassə üçün aşağıdakı bərabərliklərdən alınır:

Buradan, .

Analoji qaydada digər xassələri də göstərmək olar.Qeyd edək ki, operatorların hasili əməlini ixtiyari sonlu sayda operator üçün

də təyin etmək olar. Xüsusi halda, operatorunu =

düsturu ilə təyin edirlər. Aydındır ki, aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

Tərif. Əgər operatoru üçün

olarsa, onda operatoruna operatorunun tərsi deyilir. operatorunun tərsini adətən ilə işarə edirlər. Aydındır ki, üçün

. Qeyd edək ki, əgər -nın tərsi varsa və , onda . Tutaq ki, . Əgər üçün olduqda olarsa,

onda deyəcəyik ki, operatoru fəzasında qarşılıqlı birqiymətli təsir edir. Göstərək ki, əgər operatoru fəzasında qarşılıqlı birqiymətli təsir edirsə, onda bu operator fəzasını bütün fəzasına köçürür. Başqa sözlə, üçün elə

var ki, . Bunu isbat etmək üçün fəzasında hər hansı bazisi götürək. Onda üçün

ayrılışını yaza bilərik. vektorlarına baxaq. Göstərək ki, bu vektorlar xətti asılı deyil. Bunun üçün onların sıfra bərabər olan xətti kombinasiyasını götürək:

. xətti operator olduğundan bu bərabərliyi aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:

. qarşılıqlı birqiymətli təsir etdiyindən bu bərabərlikdən alırıq ki,

vektorları xətti asılı olmadığından olmalıdır.

Beləliklə vektorları xətti asılı deyil. Onların sayı fəzasının ölçüsünə bərabər olduğundan, bu vektorlar bazis əmələ gətirir. götürək. Onda, bazisə görə aşağıdakı ayrılışı yaza bilərik:

Beləliklə, üşün vektoru var ki, . Yəni, operatoru fəzasını bütün fəzasına köçürür.

Aşağıdakı teorem doğrudur. Teorem. operatorunun tərsinin olması üçün zəruri və kafi şərt onun

fəzasında qarşılıqlı birqiymətli təsir etməsidir.İsbatı. Zərurilik. Tutaq ki, operatorunun tərsi var, lakin qarşılıqlı

birqiymətli təsir etmir.Yəni, elə və elementləri var ki, . Buradan alırıq ki, , və A-nın tərsi olduğu üşün Bu isə olmasına ziddir. Ona görə də, olmalıdır.

Kafilik. Tutaq ki, operatoru fəzasında qarşılıqlı birqiymətli təsir edir. götürək. Onda, elə elementi var ki, . Götürdüyümüz bu

elementinə elementini qarşı qoyan operatoru ilə işarə edək. Onda . Yoxlamaq olar ki, operatoru fəzasında təyin edilmiş xətti operatordur və

. Tərifə görə operatoru operatorunun tərsidir. Tutaq ki, ölçülü xətti fəzadır. götürək və aşağıdakı iki çoxluğu

təyin edək:

çoxluğuna operatorunın nüvəsi, çoxluğuna isə obrazı deyilir. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, operatorunun həm nüvəsi, həm də obrazı fəzasının alt fəzalarıdır.

Bu alt fəzaların ölçüləri arasındakı əlaqəni göstərən aşağıdakı teoremləri isbat edək.

Teorem1. ölçülü xətti fəzasında təsir edən xətti operatorunun nüvəsinin ölçüsü ilə obrazının ölçüsü cəmi fəzasının ölçüsünə bərabərdir. Yəni,

.İsbatı. Tutaq ki, operatorunun nüvəsində hər hansı

bazisi götürək və bu bazisi vektorları ilə xətti fəzasında bazisə qədər tamalayaq. Aydındır ki, vektorları operatorunun obrazına daxildir. Bu vektorların sayı -ya bərabər olduğuna görə, teoremi isbat etmək üçün onların -da bazis əmələ gətirdiyini göstərmək kifayətdir. Əvvəlcə bu vektorların xətti asılı olmadığını göstərək. Onların sıfra bərabər xətti kombinasiyasını götürək:

,A xətti operator olduğundan

.Sonuncu bərabərlikdən görünür ki, . Ona görə də, həmin vektoru bazis vektorlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olur. Lakin vektorları fəzasında bazis əmələ gətirdiyindən bu xətti kombinasiyanın bütün əmsalları sıfra bərabər olmalıdır. O cümlədən,

olmalıdır. Beləliklə, vektorları xətti asılı deyil.

götürək. Onda, elə vektoru var ki, vektorunun bazisə görə ayrılışını yazıb bərabərliyin hər iki tərəfinə A operatoru ilə təsir etsək:

,

bərabərliyini alarıq. Bu göstərir ki, obrazdan götürülmüş vektorunu vektorlarının xətti kombinasiyası şəklində göstərmək olar. Ona

görə, də bu vektorlar operatorunun obrazında bazis əmələ gətirir. Bazis vektorların sayı xətti fəzanın ölçüsünə bərabər olduğundan obrazın ölçüsü -ya bərabərdir.

Teorem2. Tutaq ki, ölçülü xətti fəza, və isə onun alt fəzalarıdır. Belə ki, . Onda elə operatoru var ki, bu operatorun nüvəsi, isə onun obrazıdır.

İsbatı. Tutaq ki, . Onda, dim = olar. alt fəzasında hər hansı bazisi götürək və bu bazisi fəzasında bazisə qədər tamamlayaq:

.Sonra isə alt fəzasında hər hansı bazisi götürərək, aşağıdakı qaydada operatoru təyin edək:

X fəzasının ixtiyari vektoru üçün,.

Asanlıqla yoxlamaq olar ki, bu qaydada təyin olunmuş operatoru xətti operatordur. Aydındır ki, bu operatorun nüvəsi, isə onun obrazıdır.

Bu teoremlərdən aşağıdakı nəticələr çıxır:1. operatorunun tərsinin olması üçün zəruri və kafi şərt olmasıdır.2 operatorunun tərsinin olması üçün zəruri və kafi şərt

olmasıdır.

11. XƏTTİ OPERATORUN MATRİSİTutaq ki, ölçülü xətti fəza, isə bu fəzada təsir edən operatordur.

fəzasında hər hansı bazisi götürək. Onda vektoru üçün bazisə görə aşağıdakı

(1)

ayrılışı yaza bilərik. Bu bərabərliyin hər iki tərəfinə A operatoru ilə təsir etsək,

(2)

olar. elementlərinin hər biri fəzasına daxil olduğundan onların da götürdüyümüz bazisə görə ayrılışını yaza bilərik:

(3)

Bu ayrılışın əmsallarından düzəldilmiş matrisinə xətti operatorunun bazisində matrisi deyilir. Əgər xüsusi halda operatoru sıfır operator

olarsa, onda tərtibli sıfır matris, vahid operator olarsa, tərtibli vahid matris olur.

(3) ayrılışlarını (2)-də nzərə alsaq, aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik:

(4)

işarə etsək, elementinin bazisində koordinatları olar

belə ki, . Beləliklə biz ölçülü xətti fəzada təsir edən hər bir

xətti operatoruna qarşı müəyyən bir tərtibli matrisini qarşı qoymuş olduq. İndi isə fərz edək ki, hər hansı matrisi və bazisi vardır. Göstərək ki, onda fəzasında təsir edən elə yeganə xətti operatoru var ki, onun bu bazisdə matrisi –dir. Bunun üçün operatorunu bazis vektorlar üzərində (3) bərabərliyi ilə, (1) bərabərliyi ilə təyin olunan vektoru üzərində isə (4) bərabərliyi ilə təyin edək. Bu qayda ilə təyin olunan operatoru xətti operatordur və asanlıqla göstərmək olar ki, onun bazisində matrisi –dir. Bu operatorun yeganəliyi isə bazisə görə ayrılışın yeganə olmasından alınır. Beləliklə, biz ölçülü xətti fəzada təsir edən xətti operatorlar çoxluğu ilə tərtibli matrislər çoxluğu arasında qarşılıqlı birqiymətli uyğunluq yaratmış olduq.

İndi isə xətti operatorun müxtəlif bazisdəki matrisləri arasında əlaqəni tapaq. Bunun üçün fəzasında iki müxtəlif və bazislərini götürək. xətti operatorunun birinci bazisdəki matrisini , ikinci

bazisdəki matrisini işarə edək. Onda

(3) və (5)

birinci bazisdən ikinci bazisə keçid matrisini ilə işarə edək. Onda

. (6)

(6) bərabərliyinin hər iki tərəfinə operatoru ilə təsir edək və (3) bərabərliyini nəzərə alaq,onda

. (7)

(6) ayrılışlarını (5)-də nəzərə alsaq,

(8)

(7) və (8) bərabərliklərinin sol tərəfləri bir-birinə bərabərdir. Ona görə də, onların sağ tərəflərini müqayisə etsək və matrislərin vurulma qaydasını yada salsaq, aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik:

.Buradan alırıq ki,

və ya (9)

(9) bərabərlikləri xətti operatorunun götürdüyümüz iki müxtəlif bazisdəki matrisləri arasındakı əlaqəni göstərir.

Tutaq ki, və tərtibli matrislərdir. xətti fəzasında hər hansı bazisi götürək. Tutaq ki, matrisinə operatoru, matrisinə isə

operatoru uyğun gəlir. Onda asanlıqla göstərmək olar ki, matrisinə operatoru uyğun gəlir. (9) bərabərliklərindən istifadə etsək, fəzasında götürülmüş bazisində və operatorlarının matrislərini və ilə işarə etsək, onda ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

operatorlarının bu iki bazisdəki matrisləri arasında əlaqə aşağıdakı kimi olar:

.Qeyd edək ki, (9) bərabərliklərinə matrislər hasilinin determinantı

haqqındakı məlum qaydanı tətbiq etsək, alarıq ki, . Bu bərabərlik göstərir ki, xətti operatorun matrisinin determinantı bazisin seçilməsindən asılı deyil. Ona görə də, xətti operatorun hər hansı bazisdəki matrisinin determinantına bu xətti operatorun determinantı deyilir. xətti operatorunun determinantını kimi işarə edəcəyik. Aydındır ki, operatorunun determinantı ( vahid operatordur) –dan asılı dərəcəli çoxhədlidir. Bu çoxhədliyə operatorunun xarakteristik çoxhədlisi deyilir. operatorunun bazisində matrisi ( ) olduğundan operatorunun matrisi, yəni -nın xarakteristik çoxhədlisi aşağıdakı şəkildə olar:

Əgər bu determinantı açsaq, onu aşağıdakı şəkildə yazmaq olar

.

Aydındır ki, yəni, -in dərəcəsinin əmsalı diaqonal elementlərinin cəminə bərabərdir. Bu ədədlərə operatorunun izi deyilir və

Aydındır ki, operatorunun xarakteristik çoxhədlisi bazisin dəyişməsindən asılı deyil. Başqa sözlə, bazisin dəyişməsinə nəzərən invariantdır.

tənliyinə operatorunun xarakteristik tənliyi deyilir.

XƏTTİ OPERATORUN RANQITutaq ki, ölçülü xətti fəza, isə bu fəzada təsir edən xətti operatordur. Tərif. operatorunun obrazının ölçüsünə bu operatorun ranqı deyilir və

kimi işarə edilir. Teorem1. Əgər olarsa, onda

İsbatı. Birinci bərabərsizliyi isbat etmək üçün, qeyd edək ki, . Ona görə də, dim dim .Yəni, .

İndi isə ikinci bərabərsizliyi isbat edək. Aydındır ki, . Ona görə də, . Bu bərabərliyin hər iki tərəfini (-1)-ə vurub, alınan bərabərsizliyin hər iki tərəfinə əlavə etsək , aşağıdakı bərabərsizliyi alarıq:

dimX dimX .Teorem 1-ə görə sonuncu bərabərsizlikdən alırıq ki,

Bu isə ikinci bərabərsizliyin isbatı deməkdir.İsbatsız olaraq aşağıdakı teoremi qeyd edək.Teorem 2. Əgər olarsa, onda

Qeyd etdiyimiz bu iki teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır:Nəticə. Əgər olarsa, onda =

Başqa sözlə desək, operatoruınun ranqı fəzanın ölçüsünə bərabər olarsa, onda hasilinin ranqı B operatorların ranqına bərabərdir. Göstərək ki, xətti operatorun ranqı onun hər hansı bazisdəki matrisinin ranqına

bərabərdir. Tutaq ki, operatorunun bazisində matrisi -dir. Onda

işarə etsək, olar.

Aydındır ki, operatorunun obrazı vektorlarının xətti örtüyü ilə üst-üstə düşür. Bildiyimiz kimi xətti örtüyün ölçüsü xətti asılı olmayan vektorların maksimal sayına bərabərdir. Sonuncu bərabərlik göstərir ki, xətti asılı olımayan vektorların sayı matrisinin ranqına bərabərdir.

12. XƏTTİ OPERATORUN MƏXSUSİ ƏDƏDİ VƏ MƏXSUSİ VEKTOR

Tutaq ki, ölçülü xətti fəza, isə bu fəzada təsir edən xətti operatordur. alt fəzasını götürək. Tərif 1. Əgər üçün olarsa, onda ə A operatorunun invariant

alt fəzası deyilır.

İnvariant alt fəzaya ən sadə misal olaraq A operatorunun nüvəsini və obrazını misal göstərmək olar.

Tərif 2. Əgər ədədi üçün sıfırdan fərqli elə vektoru varsa ki,

bərabərliyi ödənsin, onda -ya A operatorunun məxsusi ədədi, x-ə isə bu məxsusi ədədə uyğun məxsusi vektoru deyilir.

Eyni bir ədədinə uyğun iki məxsusi vektorların cəmi və sıfırdan fərqli ixtiyari ədədə hasili də -ya uyğun məxsusi vektordur. Ona görə də, eyni bir məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektorların xətti örtüyü də A operatoru üçün invariant alt fəzadır.

Teorem 1. ədədinin operatorunun məxsusi ədədi olması üçün zəruri və kafi şərt -nın xarakteristik çoxhədlinin kökü olmasıdır.

İsbatı. Zərurilik. Tutaq ki, operatorunun məxsusi ədədidir. Onda sıfırdan fərqli elə vektoru var ki, . Buradan alırıq ki,

. Yəni, operatorunun nüvəsində sıfırdan fərqli vektor var. Ona görə də, . Xətti operatorun obrazı və nüvəsinin ölçüləri haqqındakı teoremə görə deyə bilərik ki, . Bu isə o deməkdir ki,

operatorunun ranqı -dən kiçikdir: . xətti operatorunun ranqı onun hər hans bazisdəki matrisinin ranqına bərabər olduğundan sonuncu bərabərsizlikdən alırıq ki, . Yəni, xarakteristik çoxhədlinin köküdür.

Kafilik. Tutaq ki, xarakteristik çoxhədlinin köküdür. Onda . Bu, o deməkdir ki, operatorunun matrisinin ranqı -dən kiçikdir. Ona görə operatorunun obrazının ölçüsü də -dən kiçik olar. Obraz və nüvənin ölçüsü haqqında teoremə görə operatorunun nüvəsinin ölçüsü 1-dən kiçik deyil. Yəni,

.Deməli, operatorunun nüvəsində sıfırdan fərqli heç olmazsa bir elementi var. Onda və ya . Yəni, operatorunun məxsusi ədədinə uyğun məxsusi vektorudur. Ona görə də, xarakteristik çoxhədlinin hər bir kökü operatorunun məxsusi ədədidir.

Qeyd edək ki, xətti operatorun məxsusi ədədi haqqında isbat etdiyimiz bu teorem kompleks xətti fəzalarda doğrudur. Həqiqi xətti fəzalarda isə xarakteristik çoxhədlinin hər bir kökünün məxsusi ədəd olduğunu ümumiyyətlə demək olmaz.

Teorem(Cəbrin əsas teoremi)2. Dərəcəsi birdən kiçik olmayan həqiqi və ya kompleks əmsallı hər bir çoxhədlinin kompleks ədədlər çoxluğunda heç olmazsa bir kökü var.

Bu teorem cəbrin əsas teoremi adlanır və onun isbatı kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsində veriləcəkdir.

Xətti operatorun xarakteristik çoxhədlisinə bu teoremi tətbiq etsək, deyə bilərik ki, n ölçülü kompleks xətti fəzada təsir edən hər bir xətti operatorun heç olmazsa bir məxsusi ədədi var.

Teorem3. xətti operatorunun verilmiş bazisdə matrisinin diaqonal şəklində olması üçün zəruri və kafi şərt bazis vektorların A operatorun məxsusi vektorları olmasıdır.

İsbatı. Zərurilik. Tutaq ki, bazisində xətti operatorunun matrisi diaqonal şəklindədir:

Onda aydındır ki,

Buradan görünür ki, vektorları məxsusi ədədlərinə uyğun məxsusi vektorlardır.

Kafilik. Tutaq ki, vektorları məxsusi ədədlərinə uyğun məxsusi vektorlardır. Onda

yaza bilərik. Bu ayrılışın əmsallarından matris düzəltsək onun diaqonal şəklində olduğunu görərik.

Teorem4. xətti operatorunun müxtəlif məxsusi ədədlərinə uyğun məxsusi vektorları xətti asılı deyil.

İsbatı. Tutaq ki, operatorunun müxtəlif məxsusi ədədləridir. Bu məxsusi ədədlərə uyğun məxsusi vektorları ilə işarə edək. Teoremi riyazi induksiya metodu ilə isbat edək.

olduqda, olduğu üçün vektoru xətti asılı deyil. Tutaq ki, olduqda vektorları xətti asılı deyil. üçün

vektorunun xətti asılı olmadığını göstərək. Bu vektorun sıfra bərabər olan xətti kombinasiyasına baxaq:

(1)(1) bərabərliyinin hər iki tərəfinə operatoru ilə təsir edib, vektorlarının məxsusi vektorlar olduğunu nəzərə alaq,

(2)yaza bilərik. (1) bərabərliyinin hər iki tərəfini -ə vurub (2) bərabərliyindən çıxaq ( olduqda), aşağıdakı bərabərliyi alarıq:

.

vektorları xətti asılı olmadığından bu bərabərliyin əmsalları sıfra bərabər olmalıdır:

Məxsusi ədədlər müxtəlif olduğundan bu bərabərliklərdən alırıq ki, .

Bunları (1)-də yerinə yazsaq, alarıq. Buradan olur. Beləliklə (1) bərabərliyindəki bütün əmsalların sıfra bərabər olduğunu göstərdik.

Bu teoremdən belə bir nəticə çıxır ki, əgər xətti operatorunun bütün məxsusi ədədləri müxtəlifdirsə, onda bu məxsusi ədədlərə uyğun məxsusi vektorlar bazis əmələ gətirir. Ona görə də, həmin bazisdə xətti operatorun matrisi dioqanal şəklində olur.

XƏTTİ VƏ BİXƏTTİ FORMALARTutaq ki, kompleks (həqiqi) xətti fəza, isə kompleks (həqiqi) ədədlər

çoxluğudur. fəzasından coxluğuna təsir edən xətti operatora xətti forma və ya xətti funksional deyilir.

Tutaq ki, kompleks Evklid fəzası, - kompleks ədədlər çoxluğudur.Teorem1. fəzasından çoxluğuna təsir edən hər bir xətti funksionalı

üçün elə yeganə elementi var ki, , burada , fəzasında skalyar hasildir.

İsbatı1. fəzasında hər hansı ortonormal bazisi götürək. Onda üçün (1)

ayrılışını yazmaq olar. xətti funksional olduğundan (2)

işarə edək, burada , kompleks ədədinin qoşmasıdır. Kompleks Evklid fəzasında ortonormal bazisin xassəsindın istifadı etsək və

olduğunu nəzərə alsaq (2) bərabərliyini aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:

(3)Göstərək ki, bərabərliyini ödəyən bu elementi yeganədir.

Tutaq ki, elə elementi də var ki, . Onda, son iki bərabərlikdən alırıq ki, . götürsək, onda olar. Buradan isə skalyar hasilin tərifinə görə, alarıq.

Bu teorem Riss teoremi adlanır. Çox vaxt ona, ölçülü kompleks Evklid fəzasında xətti funksionalın ümumi şəkili haqqında teorem də deyilir.

Qeyd edək ki, bu teorem -həqiqi Evklid fəzası, isə həqiqi ədədlər çoxluğu olduqda da doğrudur.

Tutaq ki, kompleks xətti fəza, isə fəzasından götürülmüş hər bir və -ə bir kompleks ədədi qarşı qoyan funksiyadır (inikasdır). aşağıdakı şərtləri ödədikdə II növ bixətti forma adlanır:

1.2.3.4.Əgər həqiqi xətti fəza, isə həqiqi qiymətlidirsə, onda bu 4 şərti

ödəyən funksiya I növ bixətti forma adlanır. Biz hələlik II növ bixətti formaları öyrənəcəyik.

Teorem 2. ölçülü kompleks Evklid fəzasında təyin olunmuş II növ bixətti forması üçün elə operatoru var ki,

(4)İsbatı. Aydındır ki, hər bir qeyd olunmuş elementi üçün x-ə nəzərən

xətti formadır.Onda Riss teoreminə görə, elə yeganə elementi var ki,

Bu elementinə elementini qarşı qoyan operatoru ilə işarə edək: . Onda . Asanlıqla yoxlamaq olar ki, xətti operatordur. Göstərək ki, (4) bərabərliyini ödəyən operatoru yeganədir. Tutaq ki, ikinci bir xətti operatoru da var ki, . Bunu (4)-də nəzərə alsaq:

. götürsək, .

Skalyar hasilin dördüncü xassəsinə görə alarıq ki, və ya .Bu teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.Nəticə. Hər bir II növ bixətti forması üçün elə operatoru

var ki, .Bu bərabərliyi isbat etmək üçün işarə edək. Asanlıqla

görmək olar ki, II növ bixətti formadır və isbat etdiyimiz Teorem 2-yə görə elə xətti operatoru var ki, .Ona görə də,

. fəzasında hər hansı bazisi götürək. Onda ixtiyari

vektorları üçün

ayrılışlarını yazmaq olar. bixətti formasının bu vektorlarda qiymətini tapaq:

.

ədədlərindən düzəldilmiş matrisinə bixətti formasının bazisində matrisi deyilir. Biz yuxarıda isbat

etdik ki, hər bir II növ bixətt forma üçün elə operatoru var ki, . Tutaq ki, ortonormal bazisdir. Bu bazisdə xətti

operatorunun matrisini ilə işarə edək. Bu o deməkdir ki, . bixətt formasının matrisi ilə xətti operatorunun

matrisi arasında əlaqəni tapaq:

Beləliklə . Eyni qayda ilə göstərmək olar ki, şərtini ödəyən xətti operatorunun matrisi ilə bixətti formasının matrisi arasında aşağıdakı əlaqə var:

Qeyd edək ki, bu əlaqə ortonormal bazis olduqda bu şəkildədir. Ortonormal olmayan bazisdə bu əlaqə daha mürəkkəb şəkildə ifadə olunur.

13. QOŞMA OPERATOR VƏ XASSƏLƏRİTutaq ki, ölçülü kompleks Evklid fəzası, isə bu fəzaya təsir edən xətti

operatordur. Əgər operatoru varsa ki, üçün

(1)bərabərliyi ödənilsin, onda operatoruna operatorunun qoşması deyilir. Göstərək ki, operatorunun qoşması da (əgər varsa) xətti operatordur.

və kompleks ədədləri götürək. Onda üçün

(2)

yaza bilərik. Digər tərəfdən, (3)

(2) və (3)-dən alırıq ki,.

Bu isə -un xətti operator olması deməkdir.İndi isə göstərək ki, hər bir operatorunun yeganə qoşması var. Tutaq ki, . Onda skalyar hasilin xassələrindən istifadə etməklə

asanlıqla yoxlamaq olar ki, II növ bixətti formadır. Onda isbat etdiyimiz teoremə görə operatoru var ki,

Ona görə də, operatoru operatorunun qoşnasıdır. Qoşma operatorun aşağıdakı xassələri var:

1. 2. 3. 4. 5.

Bu xassələr qoşma operatorun tərifindən istifadə etməklə isbat olunur. Məsələ, 5-ci xassəni isbat edək:

, Qoşma operatorun tərifinə görə,

Əgər xüsusi halda olarsa. onda öz-özünə qoşma operator adlanır. Öz-özünə qoşma operatorun köməyilə hər bir xətti operatoru üçün xüsusi şəkilli ayrılış yazmaq mümkündür. Tutaq ki, . Aşağıdakı iki operatoru təyin edək:

,

Asanlıqla göstərmək olar ki, bu operatorların hər biri öz-özünə qoşmadır və , burada və uyğun olaraq operatorunun həqiqi və xəyali

hissələridir. Teorem1. Tutaq ki, və öz-özünə qoşma operatorlardır. Onda

hasilinin öz-özünə qoşma olması üçün zəruri və kafi şərt olmasıdır. İsbatı.Zərurilik.Tutaq ki, öz-özünə qoşma operatordur: .

Onda .Kafilik. Tutaq ki, . Onda . Yəni, öz-özünə

qoşmadır.Teorem 2. Əgər öz-özünə qoşma operator olarsa, onda üçün həqiqi ədəddir. İsbatı. öz-özünə qoşma operator olduğundan, üçün

. Bu bərabərlikdə götürsək, . Bu isə o deməkdir ki, həqiqi ədəddir.

Teorem 3. Öz-özünə qoşma operatorun bütün məxsusi ədədləri həqiqidir.İsbatı. Tutaq ki, və , operatorunun məxsusi ədədidir. Onda

var ki, . Buradan alırıq ki, .

olduğundan

Bu kəsrin həm sürəti, həm də məxrəci həqiqi ədəd olduğundan da həqiqidir.Teorem4. Öz-özünə qoşma operatorun müxtəlif məxsusi ədədlərinə uyğun

məxsusi vektorları ortoqonaldır.İsbatı. Tutaq ki, və operatorunun müxtəlif məxsusi ədədləridir.

Onda vektorları var ki, . Buradan alırıq ki,

Bu iki bərabərlikdən alırıq ki, , olduğu üçün . Bu isə və vektorlarınin ortoqonal olması deməkdir.

XƏTTİ OPERATORUN NORMASITutaq ki, xətti fəza, isə bu fəzada təsir edən xətti operatordur. Aşağıdakı

qaydada təyin olunan ədədə operatorunun norması deyilir. (1)

Yoxlamaq olar ki, bu qayda normanın bütün xassələrini ödəyir. Göstərək ki, üçün

(2)

Doğurdan da yazsaq, olduğundan alarıq ki,

İndi isə fərz edək ki, ölçülü kompleks Evklid fəzasıdır.Teorem1. Əgər , fəzasında təsir edən öz-özünə qoşma xətti

operatordursa, onda . (3)

İsbatı. Koşi-Bunyakovski bərabərsizliyindən istifadə etsək, aşağıdakı bərabərsizliyi yaza bilərik

, .

Buradan, alırıq. Ona görə də, olur.

işarə edək. Onda sonuncu bərabərlikdən görünür ki, (4)

Digər tərəfdən, yuxarıda göstərdiyimiz kimi,

(5)

Aşağıdakı bərabərsizliyə baxaq:

Tutaq ki, . Onda aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik:(6)

götürək. Bunu (6)-da nəzərə alsaq,

Bu o deməkdir ki, Buradan, (7)(4) və (7) bərabərliklərindən çıxır ki, və Beləliklə öz-özünə qoşma operatorun normasını (3) düsturu ilə də təyin etmək olar.

Teorem 2. xətti operatorunun öz-özünə qoşma olması üçün zəruri və kafi şərt olmasıdır.

İsbatı. Bildiyimiz kimi hər bir xətti operatorunu aşağıdakı şəkildə göstərmək olar:

,belə ki, və öz-özünə qoşma operatorlardır. Onda, üçün

. və öz-özünə qoşma operator olduğundan və ədədləri

həqiqidir. Ona görə də, .Sonuncu bərabərlikdən istifadə edərək əvvəlcə teoremin zəruriliyini isbat edək.

Tutaq ki, öz-özünə qoşma operatordur. Onda, həqiqi ədəd olduğundan, olar.

Tutaq ki, . Onda . Teorem 1-ə görə

Buradan alırıq ki, və deməli . öz-özünə qoşma operator olduğu üçün da öz-özünə qoşma operatordur.

Teorem3. Əgər öz-özünə qoşma operatorunun məxsusi ədədirsə, onda operatorunun bu məxsusi ədədə uyğun norması 1-ə bərabər olan məxsusi

vektoru var.

İsbatı. məxsusi ədəd olduğundan sıfırdan fərqli elə vektoru var ki,

. Buradan alırıq ki, . işarə etsək, aydıındır ki, və

. Teorem isbat olundu.

14. ÖZ-ÖZÜNƏ QOŞMA OPERATORUN MƏXSUSİ ƏDƏDLƏRİNİN XASSƏLƏRİ

Tutaq ki, ölçülü kompleks Evklid fəzası, isə bu fəzada təsir edən öz-özünə qoşma operatordur.

, işarə edək. Öz-özünə qoşma operator üçün olduqda həqiqi ədəd olduğundan, və ədədləri də həqiqidir.

Digər tərəfdən funksiyası -ə nəzərən kəsilməz olduğundan qapalı məhdud çoxluğunda özünün ən böyük və ən kiçik qiymətlərini alır.

Tutaq ki, , operatorunun məxsusi ədədidir. Onda yuxarıda isbat etdiyimiz Teorem 3-ə görə norması 1-ə bərabər olan elə vektoru var ki,

. Buradan alırıq ki, . Ona görə də, deyə bilərik ki, . Başqa sözlə operatorunun məxsusi ədədləri və ədədləri arasında yerləşir.

üçün olarsa, onda A müsbət (müsbət müəyyən) operator adlanır .

Teorem. Tutaq ki, öz-özünə qoşma müsbət operatordur. Onda ədədi operatorunun ən böyük məxsusi ədədidir.

İsbatı. Öz-özünə qoşma operatorun norması haqqında isbat etdiyimiz teoremə görə

Digər tərəfdən funksiyası, çoxluğunda özünün ən böyük qiymətini aldığından, elə vektoru var ki, Asanlıqla göstərmək olar ki, . Onda alırıq ki,

.Beləliklə, ( və ya Teorem isbat olundu.

Bu teoremdən istifadə edərək göstərək ki, və ədədləri öz-özünə qoşma operatorunun məxsusi ədədləridir. işarə edək. Onda aydındır ki, öz-

özünə qoşma operatordur və üçün.

götürsək, alarıq ki, .Buradan alırıq ki, üçün . Onda operatoruna yuxarıda isbat etdiyimiz teoremi tətbiq etsək, deyə bilərik ki,

ədədi operatorunun ən böyük məxusi ədədidir. Digər tərəfdən.

Beləliklə ədədi operatorunun məxsusi ədədidir. Ona görə elementi var ki, və ya

.Buradan gırünür ki, ədədi operatorunun məxsusi ədədidir. İndi isə işarə edək. Asanlıqla görmək olar ki,

Deməli ədədi operatorunun məxsusi ədədidir və . Yəni, ədədi operatorunun məxsusi ədədidir:

ÖZ-ÖZÜNƏ QOŞMA OPERATORUN MƏXSUSİ VEKTORLARININ VƏ ƏDƏDLƏRİNİN BƏZİ XASSƏLƏRİ

Teorem. ölçülü kompleks Evklid fəzasında, təsir edən öz-özünə qoşma xətti operatorunun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazis var.

İsbatı. Bildiyimiz kimi operatorunun ən böyük məxsusi ədədi var və o aşağıdakı bərabərliklə təyin olunur:

məxsusi ədədinə uyğun və norması vahidə bərabər olan məxsusi vektoru ilə işarə edək. fəzasının vektoruna ortoqanal olan ölçülü alt fəzasını - lə işarə edək. Göstərək ki, operatoru üçün invariant (yəni, əgər olarsa, onda ) alt fəzadır. götürək. Onda,

.Başqa sözlə, alt fəzası operatoru üçün invariant alt fəzadır. Ona görə də, operatoruna fəzasında öz-özünə qoşma operator kimi baxa bilərik. fəzasında da operatorunun ən böyük məxsusi ədədi var. Həmin məxsusi ədədi

ilə, ona uyğun norması vahidə bərabər olan məxsusi vektoru isə ilə işarə edək. fəzasının vektoruna ortoqonal olan ölçülü alt fəzanı ilə işarə edək.

Asanlıqla göstərmək olar ki, də operatoru üçün invariant alt fəzadır. Bu alt fəzada -nın ən böyük məxsusi ədədini ilə, ona uyğun norması vahidə bərabər olan məxsusi vektorunu isə ilə işarə edərək və prosesi bu qayda ilə davam etdirsək, ölçülü fəza olduğundan, sonlu sayda addımdan sonra operatorunun

məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazis almış olarıq. Teorem isbat edildi.

Qeyd edək ki, bu məxsusi vektorlara uyğun məxsusi ədədləri bundan sonra, təkrarlananları da nəzərə almaqla, artmayan sırası ilə düzülmüş hesab edəcəyik. Yuxarıda isbat etdiyimiz teoremdən aydındır ki, operatorunun ( )-inci məxsusi ədədini aşağıdakı bərabərliklə təyin etmək olar:

Doğurddan da, olduğundan elementinin norması

vahidə bərabər olduğundanəvvəlki bərabərlik alınır. Öz-özünə qoşma operatorunun məxsusi vektorlarının xətti

örtüyünü ilə, fəzasının ölçülü alt fəzaları çoxluğunu isə ilə işarə edək. Aydındır ki, . Göstərək ki, -ci məxsusi ədədi aşağıdakı bərabərlikdən təyin etmək olar:

(1)

Əvvəlcə qeyd edək ki, olduqda, olduğunu

yuxarıda göstərmişdik. Başqa sözlə, (1) bərabərliyini isbat etmək üçün üçün

bərabərsizliyini göstərmək kifayətdir. alt fəzasının -ə qədər ortoqonal tamamlayıcısını ilə işarə edək.

və olduğuna görə olur. Alt fəzalarım ölçülərinin cəmi

haqqında teoremə görə deyə bilərik ki, və alt fəzalarının kəsişməsinin ölçüsü 1-dən kiçik deyil ona görə də sıfırdan fərqli elementi özündə saxlayır. Ümumiliyi pozmadan hesab edəcəyik ki, həmin elementin norması vahidə bərabərdir. Bu elementi ilə işarə edək. Aydındır ki, .

olduğu üçün və olduğu üçün bu vektorun bazisinə görə ayrılışını yazmaq olar:

olduğu üçün,

bərabərliyindən alırıq ki, .

Digər tərəfdən bərabərliyini və məxsusi

ədədlərinin bərabərsizliklərini ödədiyini nəzərə alsaq,

yaza bilərik. Beləliklə, . Bu isə (1) bərabərliyinin isbatı

deməkdir. Qeyd edək ki, (1) bərabərliyi öz-özünə qoşma operatorun məxsusi

ədədlərinin minimaks xassəsi adlanır.

15. ÖZ-ÖZÜNƏ QOŞMA OPERATORUN SPEKTRAL AYRILIŞITutaq ki, ölçülü Evklid fəzası, isə bu fəzada təsir edən öz-özünə

qoşma operatordur. Onda isbat etdiyimiz teoremə görə operatorunun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazis var. Bu bazisi -lə, onlara uyğun məxsusi ədədləri isə ilə işarə edək. vektorunun bu bazisə görə ayrılışını yazaq:

.

( olduğuna görə

. (1)

Aşağıdakı operatoru təyin edək: , .Skalyar hasilin xassəsindən istifadə edərək, asanlıqla göstərmək olar ki, k-

nın hər bir qiymətində xətti öz-özünə qoşma operatordur. Bu operatora məxsusi vektorunun əmələ gətirdiyi məxsusi alt fəzaya proyeksiyalayan operator deyilir. Göstərək ki, operatorları üçün .

Aşağıdakı bərabərliyə baxaq:

Bu isə yuxarıda qeyd etdiyimiz bərabərliklərin isbatı deməkdir. (1) bərabərliyinin hər iki tərəfinə operatoru ilə təsir etsək,

. (3)

Qeyd edək ki, (1) və (3) bərabərliklərini aşağıdakı şəkildə də yazmaq olar:

(4)

(5)

və ya (6)

(7)

(6) bərabərliyinə vahid operatorun, (7)-yə isə öz-özünə qoşma operatorunun spektral ayrılışı deyilir.

Tutaq ki, çoxhədlisi verilmişdir. operatorunu

təyin edək, burada işarə edilmişdir. Asanlıqla göstərmək olar ki, ( -müsbət tam ədəddir) operatorunun spektral ayrılışı

(8)

şəklindədir.Məsələn, .

(8) bərabərliyini çoxhədlisinin ifadəsində nəzərə alsaq, aşağıdakı bərabərliyi alarıq:

və ya

. (9)

Qeyd edək ki, olaraq xüsusi halda operatorunun xarakteristik çoxhədlisini də götürmək olar. Onda aşağıdakı teorem doğrudur.

Teorem(Hamelton-Kelli). Hər bir öz-özünə qoşma operator öz xarakteristik çoxhədlisinin köküdür.Yəni, .

İsbatı. Tutaq ki, . Bildiyimiz kimi -nın məxsusi ədəd olması ümün zəruri və kafi şərt onun xarakteristik çoxhədlinin kökü olmasıdır. Ona görə də, xarakteristik çoxhədli olduqda . Bunu (9)-da nəzərə alsaq, olar.

KVADRATİK FORMALARIN KANONİK ŞƏKİLƏ GƏTİRİLMƏSİTutaq ki, ölçülü kompleks Evklid fəzası, isə bu fəzada təyin

olunmuş ikinci növ bixətti formadır. Əgər üçün olarsa, onda ermit bixətti forma adlanır.

Bildiyimiz kimi hər bir ikinci növ bixətti forma üçün elə operatoru var ki,

(1)Teorem. bixətti formasının ermit bixətti forması olamsı üçün zəruri

və kafi şərt (1) bərabərliyindəki xətti operatorunun öz-özünə qoşma olmasıdır.İsbatı. Zərurilik. Tutaq ki, ermit bixətti formadır. Onun üçün (1)

bərabərliyini yazsaq, aşağıdakı bərabərliyi alarıq:

Beləliklə, üçün . (2)

Bu isə o deməkdir ki, .Kafilik. Tutaq ki, (1) bərabərliyindəki xətti operatoru öz-özünə qoşmadır.

Onda (2) bərabərliyi doğrudur. Bunu nəzərə alsaq,.

Yəni (1) bərabərliyi doğrudur. Teorem isbat olundu. Bildiyimiz kimi operatorunun öz-özünə qoşma olması üçün zəruri və kafi

şərt üçün -in həqiqi olmasıdır. Bunu nəzərə alsaq, isbat etdiyimiz teoremdən aşağıdakı nəticə çıxır.

Nəticə. bixətti formasının ermit bixətti forma olması üçün zəruri və kafi şərt -in həqiqi olmasıdır.

Tutaq ki, ikinci növ ermit bixətti formadır. götürməklə alınan funksiyasına bixətti formasına uyğun kvadratik forma deyilir.

Teorem. ölçülü kompleks Evklid fəzasında təyin olunmuş kvadratik forması üçün elə ortonormal bazisi və həqiqi ədədləri var ki, aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

(3)

burada vektorunun bazisində koordinatlarıdır. İsbatı. ermit bixətti forma olduğundan elə operatoru var

ki, . A operatorunun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazisi ilə, bu məxsusi vektorlara uyğun məxsusi ədədləri isə ilə işarə etsək olar. vektorunun bu bazisə görə ayrılışını yazıb,

bərabərliyin hər iki tərəfinə A operatoru ilə təsir etsək:

.

Buradan alarıq.

Teorem isbat olundu.Teorem. Tutaq ki, ölçülü kompleks xətti fəza, və isə bu

fəzada təyin olunmuş ermit bixətti formalarıdır. Belə ki, . Onda fəzasında elə ortonormal bazisi və həqiqi ədədləri var ki, aşağıdakı bərabərliklər doğrudur:

(4)

(5)

İsbatı. ermit bixətti forma olduğu üçün , olduqda olduğunu nəzərə alsaq, bu bixətti formanın köməyilə fəzasında aşağıdakı qaydada skalyar hasil təyin edə bilərik:

(6)Beləliklə, biz xətti fəzasını Evklid fəzasına çevirmiş olduq. ermit bixətti forma olduğundan yuxarıda isbat etdiyimiz teorem görə elə ortonormal bazisi və həqiqi ədədləri var ki, (4) bərabərliyi doğrudur. vektorunun bu bazisə görə ayrılışını yazıb, onu bəraəbərliyində nəzərə alsaq, (5)bərabərliyinin də doğru olduğunu görərik.

Beləliklə, biz bir cüt kvadratik formanı eyni zamanda kanonik şəkilə gətirmiş olduq.

16. UNİTAR VƏ NORMAL OPERATORLARTərif 1. ölçülü kompleks Evklid fəzasında təsir edən xətti operatoru

üçün (1)

olarsa, onda unitar operator adlanır.

Əgər (1) bərabərliyində götürsək, alarıq. Bu bərabərlikdən görünür ki, unitar operator elementin normasını dəyişmir. Bundan əlavə, əgər fəzasında hər hansı ortonormal bazisi götürsək, onda (1) bərabərliyindən çıxır ki, də ortonormal bazisdir. Başqa sözlə, unitar operator ortonormal bazisi ortonormal bazisə çevirir.

Tutaq ki, unitar operatorunun məxsusi ədədidir. Onda norması vahidə bərabər olan elə vektoru var ki, . Buradan

. olduğundan alırıq ki, və ya . Ona görə də, deyə

bilərik ki, unitar operatorun məxsusi ədədləri kompleks müstəvidə mərkəzi koordinat başlanğıcında, radiusu vahidə bərabər olan çevrənin üzərində yerləşir.

Teorem1. operatorunun unitar operator olması üçün zəruri və kafi şərt

(2) olmasıdır.

İsbatı. Zərurilik. Tutaq ki, unitar operatordur. Onda . Sonuncu

bərabərlikdə götürsək, alarıq ki, və ya (3)

Eyni qayda ilə göstərmək olar ki, . Bu iki bərabərlik göstərir ki, Kafilik. Tutaq ki, (2) bərabərliyi doğrudur. Onda, ,

bərabərlikləri doğru olar. Bunu nəzərə alsaq,

Başqa sözlə unitar operatordur.Tərif 2. operatoru üçün olarsa, onda normal operator

adlanır. Aydındır ki, hər bir unitar operator həm də normal operatordur.Lemma. və operatorlarının ortaq məxsusi vektoru var və isə

onda .İsbatı. Bildiyimiz kimi ölçülü X kompleks Evklid fəzasında təsir edən

xətti operatorunun heç olmazsa bir məxsusi ədədi var. Bu məxsusi ədədi ilə, ona uyğun məxsusi vektoru isə ilə işarə edək. çoxluğuna baxaq. Aydındır ki, Göstərək ki, çoxluğu operatoru üçün invariant alt fəzadır. Yəni, . Aşağıdakı bərabərliyə baxaq

. Buradan görünür ki, . Ona görə də, -a fəzasında təsir edən xətti operator kimi baxa bilərik. Aydındır ki, bu operatorun da fəzasında heç olmazsa bir məxsusi ədədi var. Bu məxsusi ədədə uyğun məxsusi vektoru ilə işarə edək. Aşağıdakı bərabərliyi yaza bilərik: , Bu iki bərabərlikdən alırıq ki,

,.

olduğundan alırıq ki, . olduğundan olur.Teorem2. normal operatorunun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal

bazis var.

İsbatı. Yuxarıda isbat etdiyimiz lemmaya görə və və operatorlarının ortaq məxsusi vektoru var. Ümumiliyi pozmadan bu məxsusi vektorun uzunluğunu vahidə bərabər hesab edəcəyik. -ə uyğun məxsusi ədədi ilə işarə edək. Onda, olur. fəzasının -ə ortoqonal olan bütün elementləri çoxluğunu ilə işarə edək. Göstərək ki, həm , həm də operatorları üçün invariant alt fəzadır. götürək, onda

Deməli, Eyni qayda ilə göstərə bilərik ki, . Yəni, hər iki operator üçün invariant alt fəzadır. Ona görə və -a fəzasında xətti operator kimi baxsaq, bu fəzada isbat etdiyimiz lemmaya görə və operatorlarının ortaq məxsusi vektoru olar. Həmin vektoru ( ) ilə, ona uyğun məxsusi ədədi isə

ilə işarə edək. fəzasının –yə ortoqonal olan bütün elementləri çoxluğunu ilə işarə etsək, -nin də və operatorları üçün invariant alt fəza olduğunu göstərmək olar. Bu alt fəzada da və operatorlarınıın ortaq məxsusi vektoru var. Prosesi yuxarıdaki qaydada davam etdirsək, və operatorlarının ortaq məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazisini almış olarıq. İsbat etdiyimiz teoremdən aşağıdakı nəticələr çıxır:

Nəticə 1. Əgər normal operatordursa, onda fəzasında elə bazis var ki, bu bazisdə operatorunun matrisi diaqonal şəklindədir

Nəticə 2. Unitar operatorun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazis var.

Teorem3. ölçülü kompleks Evklid fəzasında təsir edən xətti operatorunun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazis varsa, onda normal operatordur.

İsbatı. Tutaq ki, ölçülü Evklid fəzası, isə bu fəzada təsir edən xətti operatordur. operatorunun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazisi

ilə işarə edək. Onda

(1)

yaza bilərik. Buradan alırıq ki,

(2)

ilə aşağıdakı qaydada təsir edən operatoru təyin edək:

, (3)

burada , ədədinin kompleks qoşmasıdır. Skalyar hasilin xassələrindən istifadə etməklə asanlıqla yoxlamaq olar ki, xətti operatordur. Göstərək ki, həm də operatorunun qoşmasıdır. Bunun üçün olduqda və

skalyar hasillərini tapaq. Tutaq ki, . Onda

(4)

(4) və (5) bərabərliklərinin sağ tərəfləri bərabər olduğundan sol tərəfləri də bərabərdir. Bu isə operatorunun operatorunun qoşması olması deməkdir. İndi

isə göstərək ki, normal operatordur. Yəni, . Bunun üçün (2) bərabərliyinin hər iki tərəfinə , (3) bərabərliyinin hər iki tərəfinə isə operatoru ilə təsir edək. Onda

,

.

Sonuncu bərabərlikdə götürsək, üçün alarıq.Bu isə -nın normal operator olması deməkdir.

17.XƏTTİ OPERATOR MATRİSİNİN NORMAL ŞƏKLİMəlumdur ki, ölçülü kompleks Evklid fəzasında təsir edən öz-özünə qoşma

operatorun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazis var və bu bazisdə operatorunun matrisi diaqonal şəklinədir. Biz isbat etdik ki, əgər normal operatordursa, onda bu operatorun da məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazis var. Ona görə həmin bazisdə normal operatorunun da matrisi diaqonal şəklindədir. Əgər hər hansı xətti operator olarsa, onda bu operatorun məxsusi vektorlarının bazis əmələ gətirdiyini ümumiyyətlə söyləmək olmaz. Lakin bu operatorun məxsusi vektorları bazis əmələ gətirirsə, onda xətti operatorunun matrisi diaqonal şəklində olar. Xətti operatorun müxtəlif məxsusi ədədlərinə uyğun məxsusi vektorları xətti asılı olmadığından deyə bilərik ki, xətti operatorunun məxsusi ədədləri müxtəlifdirsə, onda elə bazis var ki, bu bazisdə xətti operatorun matrisi yenə də diaqonal şəklindədir. İndi isə fərz edək ki, xətti operatorunun məxsusu ədədləri içərisində təkrar olunanı var. Bu zaman 2 hal mümkündür:

1. Bu operatorun məxsusi ədədlərinə uyğun məxsusi vektorları bazis əmələ gətirir. Bu halda aydındır ki, xətti operatorun həmin bazisində matrisi diaqonal şəklində olar.

2.Məxsusi ədədlərə uyğun məxsusi vektorlar bazis əmələ gətirmir. Bu o deməkdir ki, təkrarlanan məxsusi ədədlərə uyğun məxsusi vektorların sayı məxsusi ədədin təkrarlanma tərtibindən kiçikdir. Bu halda artıq xətti operatorun matrisi diaqonal şəklində olmaz.

Beləliklə, ixtiyari xətti operator üçün ümumiyyətlə elə bazisin varlığını söyləmək olmaz ki, bu bazisdə xətti operatorun matrisi diaqonal şəklində olsun. Ona görə də, xətti fəzasında elə bazis seçməyə çalışırlar ki, bu bazisdə xətti operatorun matrisi ən sadə şəkildə olsun. Xətti operator matrisinin bu şəkli onun normal və ya Jordan şəkli adlanır. Hər bir xətti operator üçün belə bazisin olması aşağıda qeyd edəcəyimiz teoremdən alınır.

Tutaq ki, ölçülü kompleks xətti fəzasında təsir edən xətti operatordur. Sıfırdan fərqli vektoru üçün elə natural ədədi varsa ki,

bərabərlikləri ödənilsin, onda -ə operatorunun məxsusi ədədinə uyğun tərtibdən qoşma elementi deyilir. ədədi elementinin qoşmalıq tərtibi aadlanır. Asanlıqla görmək olar ki, əgər vektoru operatorunun

məxsusi ədədinə uyğun tərtibdən qoşma elementidirsə, onda elementi operatorunun məxsusi ədədinə uyğun vektorudur.

Teorem. ölçülü kompleks Evklid fəzasında təsir edən hər bir xətti operatoru üçün elə ) bazisi var ki, bu bazisdə xətti operatoru aşağıdakı qaydada təsir edir:

Aydındır ki, xətti operatorunun bazisində matrisi aşağıdakı şəkildədir:

burada -ların hər biri tərtibli matrisdir. Yazılmayan elementlər isə sıfırlardan ibarət olan müvafiq tərtibli matrislərdir. matrislərinin hər biri isə aşağıdakı səkildədir:

HƏQİQİ XƏTTİ FƏZALARDA XƏTTİ OPERATORLAR Tutaq ki, ölçülü həqiqi xətti fəza, isə bu fəzada təsir edən operatordur.

operatoru aşağıdakı şərtləri ödədikdə xətti operator adlanır: 1. , 2. və həqiqi ədədi üçün .

Həqiqi xətti fəzada da məxsusi ədəd və məxsusi vektorun tərifi kompleks fəzadakı tərifə analoji qaydada verilir. Kompleks xətti fəzada isbat etdik ki, -nın

xətti operatorunun məxsusi ədədi olması üçün zəruri və kafi şərt -nın xarakteristik çoxhədlinin kökü olmasıdır. Həqiqi xətti fəzada da hər bir məxsusi ədədin xarakteristik çoxhədlinin kökü olduğunu isbat etmək olar. Lakin xarakteristik çoxhədlinin hər bir kökünün məxsusi ədəd olduğunu bu ədəd yalnız həqiqi ədəd olduqda söyləmək olar. Kompleks Evklid fəzasında öz-özünə qoşma operatorun bütün məxsusi ədədlərinin həqiqi olduğunu isbat etmişdik. Həqiqi Evklid fəzasında da xarakteristik çoxhədlisinin bütün kökləri həqiqi olan müəyyən sininf operatorları təyin edəcəyik.Göstərəcəyik ki, bu sinif, öz-özünə qoşma operatorlardan ibarətdir. Əvvəlcə X həqiqi Evklid fəzasında qoşma operatora tərif verək.

Tutaq ki, , fəzasında təsir edən xətti operatordur. Əgər bu fəzada təsir edən elə xətti operatoru varsa ki,

,

bərabərliyi ödənsin, onda operatorua 0peratorunın qoşması deyilir. Kompleks fəzada qoşma operatorun varlığını və yeganəliyini biz Riss teoremi və ikinci növ bixətti formanın köməyilə isbat etmişdik. Qeyd edək ki, Riss teoremi həqiqi Evklid fəzasında da doğrudur. Yəni, həqiqi Evklid fəzasında təsir edən hər bir xətti funksionalı üçün elə yeganə elementi var ki, .

üçün həqiqi qiymətli funksiyası aşağıdakı şərtləri ödədikdə birinci növ bixətti forma və ya sadəcə olaraq bixətti forma adlanır: 1. ,

2. , 3. .

Kompleks Evklid fəzasında olduğu kimi isbat etmək olar ki, hər bir bixətti forma üçün elə yeganə xətti opeatoru var ki, və elə operatoru var ki, .

Həqiqi Evklid fəzasında ermit bixətti formaının analoqu simmetrik bixətti formadır.

Əgər üçün olarsa, onda simmetrik bixətti forma adlanır.

Əgər olarsa, onda çəp simmetrik bixətti forma adlanır. Tutaq ki, bixətti forması verilib. Onun köməyilə aşağıdakı iki bixətti formanı təyin edək:

Asanlıqla yoxlamaq olar ki, simmetrik, isə çəp simmetrik bixətti formadır və . Beləliklə, hər bir birinci növ bixətti formanı simmetrik və çəp simmetrik bixətti formanın cəmi şəklində göstərmək olar. Yuxarıda qeyd etdik ki, hər bir bixətti forma üçün həqiqi Evklid fəzasında elə

xətti operatoru var ki, .Göstərək ki, bixətti formasının simmetrik oması üçün zəruri və kafi

şərt operatorunun öz-özünə qoşma olmasıdır. Doğrudan da, simmetrik bixətti olarsa, onda . Bu isə o deməkdir ki, öz-özünə qoşma operatordur. İndi isə fərz edək ki, öz-özünə qoşma operatordur. Onda, . Ona görə də simmetrik bixətti formadır.

18. Həqiqi xətti fəzada öz-özünə qoşma operatorun məxsusi ədədləri

Tutaq ki, ölçülü həqiqi xətti fəzasında təsir edən xətti operatoru verilmişdir. Bu fəzada hər hansı bazisi götürək. Onda üçün

ayrılışını yaza bilərik. Aydındır ki, belə ayrılışı vektorları üçün də yazmaq olar:

Ayrılışın əmsallarından (onlar həqiqidir) düzəldilmlş matrisinə xətti operatorunun bazisində matrisi deyilir. Qeyd edək ki, , xətti operatorunun xarakteristik çoxhədlisi adlanır.

Teorem. n ölçülü həqiqi Evklid fəzasında təsir edən öz-özünə qoşma operatorunun xarakteristik çoxhədlisinin bütün kökləri həqiqidir.

İsbatı. Tutaq ki, xarakteristik çoxhıdlinin köküdür. məchullu aşağıdakı xətti tənliklər sisteminə baxaq:

(1)

Asanlıqla görmək olar ki, sistemin baş determinantı operatorunun xarakteristik çoxhədlisidir. xarakteristik çoxhədlinin kökü olduğundan deyə bilərik ki, bu sistemin baş determinantı sıfra bərabərdir. Sistem bircins olduğundan, aydındır ki, onun sıfırdan fərqli həlli var, burada -lar həqiqi ədədlərdir. Bunları (1) sisteminin sol və sağ tərəflərində nəzərə alıb həqiqi və xəyali hissələrini ayırsaq, 2 məchullu, sayda tənlikdən ibarət olan aşağıdakı sistemi alarıq:

(2)

bazisində koordinatları uyğun olaraq, və olan vektorları və -lə işarə edək. Asanlıqla görmək olar ki, bu sistemi aşağıdakı şəkildə də yazmaq olar:

(3)

öz-özünə qoşma operator olduğundan bu iki bərabərlikdən alırıq ki,

. (4)

(1) sistemin sıfırdan fərqli həllini axtardığımız üçün və vektorlarından heç olmazsa biri sıfırdan fərqlidir. Bu isə o deməkdir ki, . Ona görə də, (4) bərabərliyinin ödənilməsi üçün olmalıdır. Bunu bərabərliyində nəzərə alsaq, deyə bilərik ki, həqiqi ədəddir. Beləliklə öz-özünə qoşma operatorun xarakteristik çoxhədlisinin bütün kökləri həqiqidir. ona görə də xarakteristik çoxhədlinin hər bir kökü öz-özünə qoşma operatorun məxsusi ədədidir.

Kompleks Evklid fəzasında olduğu kimi həqiqi Evklid fəzasında da öz-özünə qoşma operatorun məxsusi vektorlarından ibarət ortonormal bazisin olduğunu göstərmək olar. Bu xassə kompleks Evklid fəzasındakı isbat etdiyimiz

teoremə analoji qaydada isbat olunur. Kompleks Evklid fəzasında öyrəndiyimiz unitar operatorun həqiqi Evklid fəzasında analoqu ortoqonal operatordur.

Tutaq ki, ölçülü həqiqi Evklid fəzası, P isə bu fəzada təsir edən xətti operatordur.

Əgər üçün

olarsa, onda ortoqonal operator adlanır. fəzasında hər hansı ortonormal bazisi götürək. Onda aydındır

ki,

Bu bərabərliklərdən görünür ki, ortoqonal operator ortonormal bazisi ortonormal bazisə çevirir.

Tutaq ki, , tərtibli matris isə -nin transponirə edilmişidir. Əgər (vahid matris) olarsa, onda ortoqonal matris adlanır. Asanlıqla

görmək olar ki, ortoqonal matrisdirsə, onda onun elementləri üçün aşağıdakı münasibət doğrudur:

Göstərmək olar ki, P xətti operatorunun ortonormal bazisdə matrisinin ortoqonal olması üçün zəruri və kafi şərt bu operatorun ortoqonal olmasıdır.

İndi isə bir və ikiölçülü fəzalarda ortoqonal operatorları öyrənək. Tutaq ki, birölçülü həqiqi Evklid fəzasıdır. Bu fəzada və bazis vektorunu götürək. Onda aydındır ki, bu fəzanın hər bir vektorunu şəklində göstərmək olar. Bu fəzada təsir edən ortoqonal operatoruna baxaq. Tutaq ki,

onda, buradan alırıq ki, və ya

və işarə edək. Beləliklə, bir ölçülü həqiqi Evklid fəzasında iki ortoqonal operator var:

və İndi isə fərz edək ki, iki ölçülü həqiqi Evklid fəzasıdır. Tutaq ki, bu

fəzada təsir edən ortoqonal operatordur. fəzasında ortonormal bazisini

götürək. operatorunun bu bazisdə matrisini ilə işarə edək. ortoqonal

operator olduğundan onun matrisi də ortoqonal matris olar. Ona görə də, bərabərliklərindən

alırıq. işarə etsək, Beləliklə, aşağıdakı ikitərtibli ortoqonal matrisləri almış oluruq:

və

Beləliklə, iki ölçülü fəzada ortoqonal operatorunun iki müxtəlif matrisini almış olduq. Bu o deməkdir ki, ikiölçülü fəzada iki ortoqonal operator var. Bunlardan birinci matrisə uyğun operatoru ilə, ikinci matrisə uyğun operatoru isə işarə edək. operatorunun bazisindəki matrisindən görünür ki, bu operator müstəvisini bucağı qədər fırladan operatordur. operatoru isə

müstəvisini bucağı qədər fırladan və sonra 1800 əks etdirən operatordur. Əgər ölçülü həqiqi Evklid fəzası, isə bu fəzada təsir edən ortoqonal operatordursa, onda elə ortonormal bazisi var ki, bu bazisdə operatorun matrisi aşağıdakı şəkildədir:

Bu matrisdə yazılmayan bütün elementlət sıfra bərabərdir.

19. BİXƏTTİ FORMALARBixətti forma anlayışı ilə müxtəlif xətti fəzalarda tanış olsaq da, həqiqi xətti

fəzada bixətti formalar haqqındakı əsas məlumatları bir daha qeyd edək.Tutaq ki, ölçülü həqiqi xətti fəzadır. Bu fəzada təyin olunmuş və

dəyişənlərindən asılı həqiqi qiymətli funksiyası aşağıdakı şərtləri ödədikdə bixətti forma adlanır:

1. .2.3. və həqiqi ədədi üçün

Əgər üçün olarsa, simmetrik, olarsa, çəp simmetrik bixətti forma adlanır. fəzasında hər

hansı bazisi götürək. Onda, vektorları üçün bazisə görə aşağıdakı ayrılışları yaza bilərik:

, .

bixətti formasının və vektorlarında qiymətini tapaq:

.

elementlərindən düzəldilmiş

matrisinə bixətti formasının bazisində matrisi deyilir. Aydındır ki,

. (1)Beləliklə, hər bir bixətti formaya verilmiş bazisdə müəyyən bir tərtibli

matris uyğun gəlir.İndi isə fərz edək ki, tərtibli matrisi verilmişdir. Bu

matrisin köməyilə, bazisində funksiyasını (1) düsturu ilə təyin edək, burada və uyğun olaraq və vektorlarının

bazisində koordinatlardır. Asanlıqla yoxlamaq olar ki, bixətti formadır və bu bixətti formanın bazisində matrisi –dır. Beləliklə hər bir tərtibli matrisə də verilmiş bazisdə müəyyən bir bixətti forması qarşı qoymaq olar. (1) ayrılışının yeganəliyini göstərmək üçün (1)-də götürmək kifayətdir. Göstərmək olar ki, bixətti forması yalnız və yalnız o zaman simmetrik (çəp simmetrik) olur ki, onun verilmiş bazisdə matrisi simmetrik (çəp simmetrik) olsun. Qeyd edək ki, olduqda ( ) simmetrik, olduqda isə ( ) çəp simmetrik adlanır.

İndi isə bixətti formanın müxtəlif bazislərdəki matrisləri arasında əlaqəni göstərək.

Tutaq ki, ölçülü həqiqi xətti fəzasında və bazisləri verilmişdir. kvadratik formasının bazisində matrisini

ilə, bazisində matrisini isə ilə işarə edək. Onda

və

bərabərliklərini yaza bilərik. Burada vektorunun birinci bazisdə, isə ikinci bazisdə koordinatlarıdır. Aydındır ki,

birinci bazisdən ikinci bazisə keçid matrisini ilə işarə edək. Onda

(4)

Aşağıdakı bərabərliyə baxaq:

burada = . işarə etsək və matrislər hsilinin tərifindən istifadə etsək, (6)

olduğunu görərik. (6) bərabərliyi bixətti formasının iki müxtəlif bazisdəki matrisləri arasında əlaqəni göstərir.

Bir bazisdən digər bazisə keçid matrisi qeyri-məxsusi matris olduğundan (6) düsturundan alırıq ki, və matrislərinin ranqı bir-birinə bərabərdir. Başqa sözlə bixətti formanın matrisinin ranqı bazisin seçilməsindən asılı deyil. Ona görə də, bixətti formanın hər hansı bazisdəki matrisinin ranqı bu bixətti formanın özünün ranqı adlanır.

Əgər bixətti formanın matrisinin ranqı fəzanın ölçüsünə bərabər olarsa, ona qeyri-məxsusi və ya cırlaşmayan bixətti forma, əks halda isə məxsusi və ya cırlaşan bixətti forma deyilır.

20. Kvadratik formalar

Tutaq ki, simmetrik bixətti forması verilmişdir. götürməklə alınan funksiyasına bixətti formasına uyğun kvadratik forma deyilir. Əgər verilmiş bazisdə

(2)olarsa , onda

(3)

olar. Qeyd edək ki, bixətti formasının verilmiş bazisdə matrisi həmçinin kvadratik formasının da matrisi adlanır.

Hər bir simmetrik bixətti formanı öz kvadratik forması vasitəsilə bərpa etmək mümkündür. Doğurdan da,

bərabərliyində olduğunu nəzərə alsaq, sonuncu bərabərlikdən

alarıq.Əgər üçün simmetrik bixətti forma olarsa, onda uyğun

kvadratik formanı şəklində yazmaq olar. Aydındır ki, sonuncu

yazılış kvadratik formasının müəyyən bir bazisdə yazılışıdır. bixətti formasının verilmiş bazisdə matrisi kvadratik

formasının da həmin bazisdə matrisi adlanır. Bu matris simmetrik olmaqla, onun ranqı bazisin seçilməsindən asılı deyil. Ona görə də, kvadratik formanın hər hansı bazisdə matrisinin ranqına bu kvadratik formanın özünün ranqı deyilir. Əgər kvadratik formanın matrisinin ranqı fəzanın ölçüsünə bərabər olarsa, ona qeyri-məxsusi və ya cırlaşmayan kvadratik forma, əks halda isə məxsusi və ya cırlaşan kvadratik forma deyilır.

İndi isə kvadratik formaların aşağıdakı təsnifatını verək.Tutaq ki, kvadratik forması verilmişdir.

1. Əgər və üçün olarsa, müsbət müəyyən (mənfi müəyyən) kvadratik forma adlanır. Müsbət müəyyən, mənfi müəyyən kvadratik formalara müəyyənişarəli kvadratik formalar deyilir.

2. Əgər elə varsa ki, , bərabərsizlikləri ödənsin, onda işarəsini dəyişən kvadratik forma adlanır.

3. Əgər üçün və ya ( ), lakin elə vektoru varsa ki, olsun, onda kvazimüəyyən işarəli kvadratik forma deyilir.Tutaq ki, simmetrik bixətti forma, isə ona uyğun müsbət

müəyyən kvadratik formadır. Onda X xətti fəzasında bu bixətti formanın köməyilə skalyar hasilini təyin etmək olar. Bu bərabərliklə təyin olunan

qaydanin skalyar hasilin malik olduğu bütün xassələri ödədiyini asanlıqla yoxlamaq olar.

KVADRATİK FORMANIN KANONİK ŞƏKİLƏ GƏTİRİLMƏSİ

Məlumdur ki n ölçülü həqiqi xətti fəzasında təyin olunmuş hər bir kvadratik formasını verilmiş bazisdə

şəklində yazmaq olar. Lakin, elə bazis ola bilər ki, bu bazisdə kvadratik forması aşağıdakı səkildə yazılsın:

burada vektorunun həmin bazisdə koordinatlarıdır. kvadratik formasının bu şəkildə yazılışı onun kanonik şəkili, həmin bazis isə kanonik bazis adlanır. Beləliklə, kvadratik formanı kanonik şəkilə gətirmək üçün verilmiş bazisdən elə bir bazisə keçmək lazımdır ki, bu bazisdə kvadratik forma kanonik şəkildə yazılsın. Biz həqiqi xətti fəzada kvadratik formasının kanonik şəkilə gətirilməsi üçün müxtəlif üsullar göstərəcəyik.

1.Laqranj üsulu. Tutaq ki, kvadratik forması bazisində aşağıdakı şəkildədir:

(1)

burada vektorunun bazisində koordinatlarıdır. Biz hesab edəcəyik ki, . Bu şərt daxilində aydındır ki, əmsallarından heç olmazsa biri sıfırdan fərqlidir. Biz hesab edəcəyik ki, . Əgər olduqda

əmsallarından heç olmazsa biri sıfırdan fərqli olarsa, onda bazis vektorlarını yenidən nömrələməklə həmişə əmsalını sıfırdan fərqli etmək olar. Əgər bütün əmsalları sıfra bərabər olarsa, onda müəyyən əvəzləmə vasitəsilə yenə də əmsalını sıfırdan fərqli etmək olar. Məsələn, olarsa, onda

əvəzləməsini aparmaqla qalan koordinatları dəyişməsək -in əmsalını sıfırdan fərqli etmək olar.

Beləliklə, ümumiliyi pozmadan hesab edəcəyik ki, . Bunu nəzərə alıb kvadratik formasını aşağıdakı şəkildə yazarıq:

(2)

Bu bərabərliyin sağ tərəfindəki cəmləmə işarəsindən kənarda olan hədləri tam kvadrat şəklində yazaq:

(3)

Beləliklə, kvadratik formasını

(4)

şəkilndə yazmaq olar.Aşağıdakı şəkildə əvəzləmə aparaq:

(5)

Göründüyü kimi bu çevirmənin matrisi qeyri-məxsusi matrisdir. Bu o deməkdir ki, bazisindən elə bir yeni bazisə keçmişik ki, həmin bazisdə vektorunun

koordinatları (5) düsturları vasitəsilə təyin olunur. Beləliklə yeni bazisdə

(6)

Əgər (6) ifadəsində bütün əmsalları sıfra bərabər olarsa, onda aydındır ki, kvadratik forması kanonik şəkilə gətirilmiş olur. Əgər onlardan heç

olmazsa biri sıfırdan fərqli olarsa, onda yuxarıda tətbiq etdiyimiz qaydanı

kvadratik formasına tətbiq etsək və prosesi bu qayda ilə davam etdirsək,

sonlu sayda addımdan sonra kvadratik formasını kanonik şəklə gətirmiş olarıq.

Göründüyü kimi Laqranj üsulu ilə kvadratik formanı kanonik şəkilə gətirərkən, biz hər dəfə qeyri-məxsusi koordinat çevrilməsi aparırıq. Bu isə öz növbəsində bir bazisdən digərinə keçmək deməkdir. Apardığımız qeyri-məxsusi çevrilmələri ardıcıl olaraq tətbiq etməklə sonda vektorunun kanonik formadakı

bazisə uyğun koordinatlarını tapa bilərik. Qeyd edək ki, kvadratik formanın kanonik şəkildə yazıldığı bazis kanonik bazisdir

21. Yakobi üsulu

Kvadratik formanı Yakobi üsulu ilə kanonik şəkilə gətirməzdən əvvəl bazis vektorların üçbucaq çevirməsi ilə tanış olaq.

Tutaq ki, ölçülü həqiqi xətti fəzasında bazisi verilmişdir. Bu vektorların köməyilə aşağıdakı vektorları təyin edək:

(1)

(1) bərabərlyindən görünür ki, bu çevirmənin əmsallarından düzəldilmiş matris qeyri-məxsusidir. Ona görə vektorları da fəzasında bazis əmələ gətirir. bazis vektorlarının bu qeyri-məxsusi çevrilməsi üçbucaq çevirməsi adlanır. Göstərək ki, hər bir kvadratik forması üçün ( -də verilmiş) bazis vektorların elə üçbucaq çevirməsi var ki, bu çevirmə nəticəsində alınan yeni bazisdə kvadratik forması kanonik şəkildə yazılır. Tutaq ki,

kvadratik forması bazisində aşağıdakı bərabərliklə təyin olunur

(2)

( ) əmsallarından aşağıdakı determinantları düzəldək:

Teorem. Əgər bazisində verilmiş kvadratik forması üçün

olarsa, onda bu bazis vektorlarının elə üçbucaq çevirməsi var ki, alınmış yeni bazisdə kvadratik forması kanonik şəkildə yazılır.

İsbatı. Bildiyimiz kimi kvadratik formasının bazisindəmatrisinin əmsalları bərabərlikləri ilə təyin olunur.Yeni

bazisində işarə edək. Bu bazisdə kvadratik forma kanonikşəkildə olduğundan olduqda Sonuncu bərabərlik o deməkdir ki,

Asanlıqla görmək olar ki, bu bərabərliklərin ödənməsi (3)

bərabərlyinin ödənməsi deməkdir. Qeyd edək ki, (3) bərabərliklərindən aşağıdakı bərabərliklər alınır:

, (4)

Eləcə də, vektorları üçün yazılmış ifadələrdən və kvadratik formasının hər bir arqumentinə nəzərən xətti olmasından istifadə edərək, (4)bərabərliklərindən (3) bərabərliklərini alınaq olar.

olduğunu nəzərə alıb, -yə qiymətlər verməklə (4) bərabərliklərini açıq şəkildə yazsaq, əmsallarına görə aşağıdakı xətti tənliklər sistemini alarıq:

(5)Göründüyü kimi (5) sisteminin baş determinantı -ə bərabərdir. Teoremin şərtinə görə bu determinatlar sıfırdan fərqlidirlər. Ona görə də, (5) sisteminin yeganə həlli var. Bu isə o deməkdir ki, kvadratik formasını kanonik şəklə gətirmək üçün vektorlarının yeganə üçbucaq çevirməsi var. İndi siə bu üçbucaq çevirməsinin əmsallarını təyin edək.

ilə ( ) matrisinin nömrəli sətirləri ilə nömrəli sütunlarının kəsişməsində yerləşən elementlərindən düzəldilmiş determinantı işarə edək. Onda Kramer qaydasına görə əmsallarını təyin etmək üçün aşağıdakı düsturları yaza bilərik:

(6)

İndi isə kvadratik formasını kanonik şəklə gətirdikdən sonra kanonik formanın əmsallarını təyin edək. Kanonik əmsalları ilə işarə edib (4) düsturlarından istifadə etsək,

Beləliklə,(7)

(7) düsturunun sağ tərəfində əmsalları üçün tapdığımız (6) qiymətlərini nəzərə alsaq, aşağıdakını yaza bilərik:

sonuncu kəsrin sürəti determinntının nömrəli sətir elementlərinə görə ayrılışıdır. Ona görə də,

Beləliklə, kvadratik formasını üçbucaq çevirməsilə kanonik şəkilə gətirdikdən sonra kanonik formanın əmsalları aşağıdakı düsturlarla tapılır:

. (8)

KVADRATİK FORMALAR ÜÇÜN ƏTALƏT QANUNU Tutaq ki, kvadratik forması hər hansı yolla kanonik şəkilə

gətirilmişdir. Yəni,

Aşağıdakı şəkildə əvəzləmə aparaq:

Bu qeyri-məxsusi çevirmədən sonra kvadratik formasını aşağıdakı şəkildə yazmaq olar:

. kvadratik formasının bu şəkildə yazılışı onun normal şəkli adlanır.

Beləliklə müəyyən bir qeyri məxsusi çevirmə vasitəsilə, kvadratik formanı normal şəkilə gətirmək olar. Teorem(Kvadratik formalar üçün ətalət qanunu). Kvadratik formanın hansı yolla normal şəkilə gətirilməsindən asılı olmayaraq, onun normal şəkilindəki müsbət və mənfi işarəli hədlərin sayı dəyişmir.

İsbatı. Tutaq ki, kvadratik forması bazisində aşağıdakı bərabərlik vasitəsilə verilmişdir:

,

vektorunun bazisində koordinatlarıdır. Bu kvadratik normanı iki müxtəlif yolla normal şəkilə gətirdikdən sonra onu aşağıdakı kimi yazmaq olar:

. (2)

(3)(2) və (3) bərabərliklərindən görünür ki, birinci halda kvadratik formanın müsbət işarəli hədlərinin sayı -yə, ikincidə isə -yə bərabərdir. Göstərək ki, . Tutaq ki, Bu halda isbat edək ki, sıfırdan fərqli elə vektoru var ki, onun (2) və(3) normal şəkillərinə uyğun bazislərdəki aşağıdakı koordinatları sıfra bərabərdir:

. (4)Qeyd edək ki, və koordinatları koordinatlarının uyğun olaraq,

və şəkilli qeyri məxsusi xətti çevirmələri vasitəsilə alınmışdır. Ona görə də, (4) münasibətlərini sistem şəklində yazsaq, olduğu üçün məchullarına nəzərən, dən az sayda xətti bircins tənliklər sistemi alarıq. Bildiyimiz kimi belə sistemin həmişə sıfırdan fərqli həlli var. Başqa sözlə sıfırdan fərqli elə vektoru var ki, onun koordinatları üçün (4) bərabərlikləri doğrudur. Bu bərabərlikləri (2) və(3)-də nəzərə alsaq,

.Sonuncu bərabərlik yalnız olduqda ödənilə bilər. Bu bərabərlikləri (4) ilə birlikdə götürsək,

alarıq. Başqa sözlə, vektorunun müəyyən bazisdə bütün koordinatları sıfra bərabərdir. Alınan ziddiyyət göstərir ki, fərziyyəmiz doğru deyil. Yəni, ola bilməz. Eyni qayda ilə isbat etmək olar ki,

ola bilməz. Deməli olmalıdır. Teorem isbat edildi.

22. KVADRATİK FORMALARIN TƏSNİFATITutaq ki, n ölçülü X xətti fəzasında kvadratik forması verilmişdir. Ətalət

qanununa görə bu kvadratik formanın hansı yolla normal şəkilə gətirilməsindən asılı olmayaraq, normal şəkildəki müsbət və mənfi işarəli hədlərin sayı dəyişmir. Kvadratik formanin normal şəklindəki sıfırdan fərqli hədlərin sayı onun ətalət indeksi adlanır. Müsbət işarəli hədlərin sayına onun müsbət indeksi, mənfi işarəli hədlərin sayına isə mənfi indeksi deyilir. Müsbət və mənfi indekslərin cəmi kvadratik formanın ranqına bərabərdir. kvadratik formasının ətalət indeksini k, müsbət indeksini p, mənfi indeksini isə q ilə işarə edəcəyik.

Məlumdur ki, kvadratik formalar aşağıdakı üç sinifə bölünürlər: müəyyən işarəli kvadratik formalar işarəsini dəyişən kvadratik formalar kvazi müəyyən işarəli kvadratik formalar

kvadratik formasının normal şəklindən istifadə edərək, onun bu üç növdən hansına aid olduğunu müəyyən etməyə imkan verən aşağıdakı teoremləri qeyd edək.

Teorem1. kvadratik formasının müəyyən işarəli olması üçün zəruri və kafi şərt onun müsbət indeksinin (p) və ya mənfi indeksinin (q) fəzanın ölçüsünə (n) bərabər olmasıdır.

Daha dəqiq desək, müsbət müəyyən olması üçün , mənfi müəyyən olması üçün olmasıdır.

İsbatı. Tutaq ki, (1)

Teoremi müsbət müəyyən kvadratik forma üçün isbat edəcəyik, mənfi müəyyən kvadratik forma üçün isbat analojidir.

Zərurilik. Tutaq ki, müsbət müəyyəndir. Göstərək ki, Tutaq ki, . Onda sıfırdan fərqli vektoru üçün

. Bu usə kvadratik formanın müsbət müəyyən olması şrtinə ziddir.

Kafilik. Tutaq ki, . Onda (1) kvadratik forması

şəklində olar. Aydındır ki, , belə ki, əgər olarsa, onda , yəni x vektoru sıfra bərabərdir. Bu isə kvadratik

formasının müsbət müəyyən olması deməkdir.

Teorem2. kvadratik formasının işarəsini dəyişən olması üçün zəruri və kafi şərt onun həm müsbət, həm də mənfi indeksinin sıfırdan fərqli olmasıdır.

İsbatı. Zərurilik. Tutaq ki, işarəsini dəyişən kvadratik formadır. Onda həm müsbət, həm də mənfi işarəli qiymətlər alar. Ona görə də, bu kvadratik formanın normal şəklində həm müsbət, həm də mənfi işarəli hədlər iştirak etməlidir. Beləliklə, kvadratik formasının həm müsbət, həm də mənfi indeksi sıfırdan fərqli olmalıdır.

Kafilik. Tutaq ki, kvadratik formasının həm müsbət, həm də mənfi indeksi sıfırdan fərqlidir. Yəni o aşağıdakı şəkildədir:

Aydındır ki, vektoru üçün, , vektoru üçün .

Yəni kvadratik forması işarəsini dəyişəndir.Teorem3. kvadratik formasının kvazimüsbət (kvazimənfi) işarəli

olması üçün zəruri və kafi şərt, onun müsbət (mənfi) indeksinin fəzanın ölçüsündən kiçik, mənfi (müsbət) indeksinin isə sıfra bərabər olmasıdır.

Teoremi kvazimüsbət kvadratik forma üçün isbat edək. kvazimənfi kvadratik forma üçün analoji qaydada isbat olunur.

İsbatı. Zərurilik. Tutaq ki, kvazimüsbət işarəli kvadratik formadır. Onda aydındır ki, olmalıdır, çünki olarsa, onda kvadratik forma müsbət müəyyən olardı.

Kafilik. Tutaq ki, . Onda aydındır ki, və sıfırdan fərqli , vektoru üçün

.Yəni kvazimüsbət işarəli kvadratik formadır.

SİLVESTR ƏLAMƏTİTutaq ki, kvadratik formasının bazisindəki matrisi

–dir. Bu matrisin baş diaqonal minorlarını ilə işarə edək.Teorem. kvadratik formasının müsbət müəyyən olması üçün zəruri

və kafi şərt mənfi müəyyən olması üçün zəruri və kafi şərt –lərin isə işarəsini növbə ilə dəyişən olmasıdır.İsbatı. Zərurilik. Əvvəlcə göstərk ki, əgər kvadratik forması

müəyyən işarəlidirsə, onda .Tutaq ki, hər hansı . Aşağıdakı xətti bircins tənliklər sisteminə baxaq:

(1)bu sistemin baş determinantı olduğu üçün onun sıfırdan fərqli həlli var. Bu həlli (1) sisteminin hər bir tənliyində uyğun məchulların yerinə yazıb həmin həllə uyğun vektoru ilə işarə edək.

(1) bərabərliklərindən birincisini , ikincisini ,... axırıncısını –ya vurub tərəf-tərəfə toplasaq,

bərabərliyini alarıq.

Asanlıqla görmək olar ki, bu bərabərliyin sol tərəfi kvadratik formasının sıfırdan fərqli x vektorlarundakı qiymətinə bərabərdir. Yəni vektorunda olur. Bu isə kvadratik formanın müəyyən işarəli olması şərtinə ziddir.

Beləliklə, . Ona görə də, Yakobi üsulunu tətbiq etməklə kvadratik formanı kanonik şəkilə gətirmək olar və bu halda kanonik əmsallar

(20

düsturları ilə tapılır. Bu düsturlardan görünür ki, müsbət müəyyən olduqda, bütün olduğu üçün olmalıdır. mənfi müəyyən olduqda bütün kanonik əmsallar mənfi olduğu üçün ( ), ,

-lər isə işarəsini növbə ilə dəyişən olmalıdırdir.Kafilik. Teoremin şərtindən çıxır ki, bütün ( . Onda, yenə də

Yakobi üsulu ilə kvadratik formanı kanonik şəkilə gətirmək olar. olduqda (2) düsturlarından olması, yəni

kvadratik formasının müsbət müəyyən olması alınır.Əgər , -lər işarəsini növbə ilə dəyişən olarsa, onda (2) düsturlarından olması yəni, kvadratik formasının mənfi müəyyən olması

alınır. Teorem isbat edildi.