x assal }vµv 5 -1°st244/icerik...x 1 5) 5 p(x r = 1- x=0)- x=1) = 1- 9 4 r át 4r áz 9- 9 5 r át...
TRANSCRIPT
1
İST 244 MÜHENDİSLİKTE OLASILIK DERSİ
SÜREKLİ DAĞİLİMLAR-1
PROF. DR. NİHAL ERGİNEL
X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
f(x) =
şeklinde ise x’e düzgün dağılmış rassal değişken,
f(x) ‘ e sürekli düzgün dağılım denir.
SÜREKLİ DÜZGÜN DAĞILIM
a <b ve b-a >0 olduğuna göre , f(x) >0 olur. (1)
= 1 (2)
(1) ve (2) özellik sağlanmaktadır.
f(x) =
2
F(x) =
=
F(x) =
Ortalama:
µ =
=
Varyans:
=
ÖRNEK:
X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu;
f(x) =
Dağılım fonksiyonu , ortalama ve varyansını
bulunuz.
3
F(x) =
µ =
= 20/2 = 10
=
=
= 33,3
ÇÖZÜM:
ÜSTEL DAĞILIM
X rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
>0 olmak üzere;
f(x) =
f(x) ‘ e üstel dağılım denir.
F(x) =
= 1-
F(x) =
4
µ = B[X] =
=
Değişim katsayısı (DK)=
=
, t < λ
ÖRNEK:
Parametresi λ = 2 olan üstel dağılmış x rassal
değişkenine ait aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız.
a)P(X 2)
b)P(2 X 4)
c) P(X 4/ X>2)
5
ÇÖZÜM:
a)P(X 2) =
= F(2)- F(0)
= 1- = 0,9817
b)P(2 X 4) = F(4)- F(2)
= 1- - (1- )
= 0,01798
c)P(X 4/ X>2) =
=
= 0,9825
ÖRNEK:
Bir elektriksel parçanın kullanım ömrünün
yani, hata olana kadar geçen sürenin ortalama
105 saat olmak üzere üstel dağıldığı
bilinmektedir. Bu tür elektriksel parçanın
ömründen önce bozulanların oranını bulunuz.
µ = saat
λ =
=
X üstel ( )
X: hata olana kadar geçen süre
f(x) = , x 0
P(X < ) = F(x)=1- = 0,6312
Parçaların %63’ü saatten önce bozulabilir.
ÇÖZÜM:
6
ÖRNEK:
Bir süpermarkette kasada hizmet verme süresi
ortalaması 40 sn. olarak tespit edilmiştir.
a. Hizmet verme süresi 1 dk.’dan az olanların oranını
bulunuz.
b.Hizmet verme süresinin 1 dk.’dan fazla olduğu
bilindiğinde 2 dk’dan az olanların oranını bulunuz.
ÇÖZÜM: X: hizmet verme süresi (dk.)
µ = 40 sn. = 0,667 dk.
λ =
= 1,5 dk.
P(X) = f(x) =
F(x) =
ÇÖZÜM:
a) P(X 1) = F(1) –F(0)
= 1- – (1- ) = 0,7768
b) P(X<2 / X>1) =
=
=
= 0,7769
Burada iki olasılık aynı çıkmıştır. Buna belleksizlik özelliği denir.
7
Üstel Dağılımın Belleksizlik Özelliği
İki partikül arasındaki
süre ortalaması λ=1,4
dakikadır.
30 saniye (0,5 dakika)
içinde bir partikülün
geçmesi olasılığı 0,30
dur.
Partikülün 3 dakikada
geçmediği bilindiğinde
izleyen 0,5 dakika (3,5
dakika) içinde geçmesi
olasılığı, koşullu
olasılıktır.
Bir partikülün 0,5
dakika içinde geçmesi
olasılığı, partikülün 3
dakikada geçmediği
bilindiğinde izleyen
0,5 dakika içinde
geçmesi olasılığına
eşittir.
Buna belleksizlik
özelliği denir.
8
POİSSON VE ÜSTEL DAĞILIM
ARASINDAKİ İLİŞKİ
X: belirli bir zaman aralığında ilgili olayın ortaya çıkma sayısı
iken;
X Poisson(λ)
: Başlangıçtan t anına kadar geçen sürede ilgilenilen olayın
ortaya çıkma sayısı olarak tanımlanırsa;
Poisson (λt)
P(x) =
x=0,1,2,... şeklinde olur.
T: poisson dağılmış bir rassal değişkenin biri diğerini izleyen iki
olay arasındaki süre olarak tanımlanırsa T’nin dağılım fonksiyonu:
P(T t) = F(t) olup
P(T> t) = 1- F(t) ‘dir.
P(T>t) : Biri diğerini izleyen iki olay arasında geçen sürenin (t) ‘den
büyük olması demek, bu arada ilgili olayın hiç ortaya çıkmaması ,
yani P(X=0) olması demektir.
P(T>t) = P(X=0) =
= = 1- F(t)
F(t) = 1- ( üstel dağılımın dağılım fonksiyonu )
f(t) = λ. , t 0 üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu
olur.
Görüldüğü gibi x, ortalaması λt olan bir poisson dağılmış rassal
değişken iken, “gelişlerarası süre” olarak tanımlanan T rassal
değişkenin dağılımı üstel dağılım olur.
9
ÖRNEK:
Bir petrol istasyonuna her 15 dakikada
ortalama 3 müşteri gelmektedir. Bu petrol
istasyonuna gelen müşteriler arası geçen
sürenin dağılımı nedir?
X: 15 dk. içinde gelen müşteri sayısı
λ =3 müşteri/15 dk. = 0,2 müşteri/ dk.
X
P(x) =
µ=
=
= 5 dk/müşteri
ÇÖZÜM:
T: müşteriler arası geçen süre iken T Üstel
Müşteriler arası geçen sürenin dağılımı;
f(t) = 0,2 , t 0 olur.
F(t) = 1-
Müşteriler arası geçen sürenin 8 dk. veya daha fazla
çıkması olasılığı nedir?
P(T 8) = 1 – P(T<8) = 1- F(8) = 1- (1- ) = 0,20
ÇÖZÜM:
10
Bir hamburgerciye öğle saatlerinde her 5 dakikada ortalama 4
müşterinin kuyruğa girdiği bilinmektedir.
a-) Kuyruğa girenler arasında geçen sürenin olasılık yoğunluk
fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu belirleyiniz.
b-) 5 dk. içerisinde hiç müşteri gelmeme olasılığını bulunuz.
c-) Birbirini izleyen 2 müşteri arasında en fazla 2 dk. geçme
olasılığını bulunuz.
d-) İki müşteri arasında geçen sürenin 3 dk. veya daha fazla olma
olasılığını bulunuz.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:X: 1 dk. da geçen müşteri sayısı
λ=
= 0,8 müşteri / dk.
P(X) =
; x: 0,1,2... iken
a) T: iki müşteri arasında geçen süre(dk.)
f(t) =
F(x) =
b) X: 5 dk. içerisinde gelen müşteri
sayısı
λ= 4 müşteri/ 5 dk.
p(x) =
iken
P(X=0)=
= 0,0183
ÇÖZÜM:
11
c) T: iki müşteri arasında geçen süre (dk)
P(T ) =
= F(2)= 1-
= 0,7981
d) P(T 3) = 1 –P(T<3)
= 1- F(3)= 1-(1- )
=0,0907
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
Bir kafeteryada müşterilere hizmet verme
süresi ortalaması 4 dk. dır. Bu kişinin 6 gün
içinde en az 4 gününde 3 dk. dan az bir
sürede hizmet verme olasılığını bulunuz.
T: hizmet için geçen süre
µ=4 dk
λ=
f(t) =
P(T<3) = F(3 ) = 1- = 0,47
ÇÖZÜM:
12
X: 6 gün içinde 3 dk.dan az bir sürede hizmet görülen gün sayısı
X B(0,47;6)
p= 0,47 , n=6
P(X 4) = P(X=4)+ P(X=5)+ P(X=6)
= +
+
= 0,40
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:
Belirli bir parça için hatalar arası geçen sürenin
ortalaması 5 yıldır. Eğer bu parçalardan 5 tanesi farklı
bir sisteme kurulmuş olsaydı, 8. Yılın sonunda en az 2
tanesinin hala çalışıyor olması olasılığını bulunuz.
T: hatalar arası süre
µ=4
λ=
f(t) =
Verilen bir parçanın 8 yıl sonunda hala çalışıyor olması
olasılığı
P(T>8) = 1- F(t)= 1-(1- ) = 0,2
ÇÖZÜM:
13
ÇÖZÜM:
X: 8 yıl sonra da çalışan parça sayısı
X B(0,2;5)
p= 0,2 , n=5
P(X 2) = 1- P(X=0)- P(X=1)
= 1- -
= 0,263
ERLANG DAĞILIMI
• Üstel rassal değişken Poisson sürecindeki ilk olay
meydana gelene kadarki uzunluğu tarif eder.
• X1,X2, … Xn Üstel dağılmış rassal değişkenler iken;
X=X1+X2+…+Xr parametresi λ ve r olan Erlang
dağılmıştır.
• X ~ Erl (λ, r)
• r olay meydana gelene kadar geçen süre veya uzunluk ile
ilgilenildiğinde Erlang Dağılımı olur.
Örnek:
• Büyük bir merkezi bilgisayar sisteminde saatte meydana gelen hata sayısı
0,0001’dir. Sistemde 4 hata olana kadar 40.000 saat geçmesi olasılığını
bulunuz.
• X: Sistemde 4 hata olana kadar geçen süre (saat)
14
Örnek:
• Dakikada 6 müşterinin aradığı bir çağrı merkezinde, 3 müşteri arayana kadar en az 1 dakika geçmesi olasılığı nedir?
• ÇÖZÜM:
• Bir Poisson sürecinde, r aramaları arası geçen süre parametreleri Erlangdağılır.
• λ = 6 müşteri /dk µ= 1/6 dakika/ müşteri (müşteriler arası geçen süre)
• µ= 1/18 dakika/ 3 müşteri ise λ= 1/µ ‘den λ=18
• X: 3 müşteri arayana kadar geçen süre
• X parametreleri λ=18 ve r=3 olan Erlang dağılır.
15
GAMMA DAĞILIMIX > 0 , >0 , > 0 olmak üzere x sürekli rassal değişken olsun.
f(x) fonksiyonuna gamma dağılımı denir.
Burada ;
=
gamma fonksiyonunu verir.
f(x) =
ve ’ ya göre farklılık gösterir.
ÖZELLİKLERİ
1) >1 iken = ( ).
2) 2 iken = ( ).
=( ). ( ).
=( ). ( )... ise;
= ( )! .
ÖZELLİKLERİ
3) =1 iken = = 0! =
1’dir.
= ( )! Olur.
16
GAMMA DAĞILIMININ ARİTMETİK
ORTALAMASIµ =
=
=
.
=
; t<
= 1 iken üstel dağılım olur.
=
. , x 0
= . , x 0 (üstel dağılım)
Üstel dağılım gamma fonksiyonunun özel bir
türüdür.
ÖRNEK:1) Bir ampülün ortalama çalışma süresi 1/2 yıl olarak tespit
edilmiştir. Bir sistemde bu ampullerden 2 adedi birbirlerine
paralel bağlanmışlardır. Bu ampüllerin çalışma süreleri
birbirinden bağımsızdır. Bu sistemin en az 2 yıl çalışması
olasılığını bulunuz.
17
Eğer sistemler birbirinden bağımsız çalışsalardı;
• = 1 için; µ = ½ yıl; =
= 2
• : j. ünitenin ortalama çalışma süresi
• exp(2)
• f(x) =
• = 2 için; Gamma Dağılımı;
• f(x) =
• f(x) =
• = ( )! =1
• f(x) =
+ = 5
18
ÖRNEK:Bir geçici sistem şekilde görüldüğü gibi birbirine bağlanmıştır.
Başlangıçta 1. ünite çalışır konumda, diğer üniteler standby
konumundadır. 1. bozulduğunda 2. ünite, o da bozulursa 3.
ünite devreye girmektedir. Sistem x = + + şeklinde
ifade edilmektedir. Sistemlerin birbirinden bağımsız çalışması
durumunda, her bir sistem ortalaması 100 saat olacak şekilde
çalışacaktır.
Buna göre;
a) Sistemin olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
b) Sistemin en az x saat çalışması fonksiyonunu bulunuz.
c) Sistemin en az 300 saat çalışması olasılığını bulunuz.
ÖRNEK:
a) Eğer sistemler birbirinden bağımsız çalışsalardı;
= 1 için;
µ = 100 saat
=
= 0,01
: j. ünitenin ortalama çalışma süresi
exp(0,01)
f(x) =
ÇÖZÜM:
19
a) Burada 3 sistem olduğuna göre;
= 3 için;
=
= 0,01
f(x) =
f(x) =
= ( )! =2
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
b) Sistemin en az X saat çalışması durumu
P(X x) = 1- P(X< x) = 1- F(x) = R(x) (reliability function)
Belirli bir zaman aralığında k adet bağımsız sistemin çalışması;
Poisson Dağılımı:
R(x) =
= . [1+(0,01x)+
]
c) Sistemin en az 300 saat çalışma olasılığı
P(X 300) = . [1+(0,01.300)+
]
= 0,4232