wykłady z fizyki - kąkol

Spis tre ci

Spis tre ci

1. Wprowadzenie ....................................................................................1-1

1.1 Istota Fizyki ................................................................................1-1 1.2 Poj!cia podstawowe....................................................................1-2 1.3 Jednostki .....................................................................................1-2 1.4 Matematyka w Fizyce.................................................................1-3 1.4.1 Modele matematyczne w fizyce........................................................... 1-3

1.4.2 Analiza wymiarowa ............................................................................. 1-4

1.4.3 Formalizm matematyczny.................................................................... 1-4

2. Ruch jednowymiarowy ......................................................................2-1

2.1 Pr!dko "......................................................................................2-1 2.1.1 Pr!dko " sta#a ...................................................................................... 2-1

2.1.2 Pr!dko " chwilowa .............................................................................. 2-1

2.1.3 Pr!dko " rednia .................................................................................. 2-2

2.2 Przyspieszenie.............................................................................2-3 2.2.1 Przyspieszenie jednostajne i chwilowe ................................................ 2-3

2.2.2 Ruch jednostajnie zmienny .................................................................. 2-3

3. Ruch na p!aszczy"nie .........................................................................3-1

3.1 Przemieszczenie, pr!dko " i przyspieszenie...............................3-1 3.2 Rzut uko ny ................................................................................3-2 3.3 Ruch jednostajny po okr!gu .......................................................3-4 4. Dynamika punktu materialnego .......................................................4-1

4.1 Wst!p ..........................................................................................4-1 4.2 Definicje......................................................................................4-1 4.2.1 Masa..................................................................................................... 4-1

4.2.2 P!d ....................................................................................................... 4-2

4.2.3 Si#a ....................................................................................................... 4-2

4.3 Zasady dynamiki Newtona .........................................................4-2 4.3.1 Pierwsza zasada dynamiki Newtona .................................................... 4-3

4.3.2 Druga zasada dynamiki Newtona ........................................................ 4-3

4.3.3 Trzecia zasada dynamiki Newtona....................................................... 4-4

5. Dynamika punktu materialnego II ...................................................5-1

5.1 Si#y kontaktowe i tarcie ..............................................................5-1 5.1.1 Si#y kontaktowe ................................................................................... 5-1

5.1.2 Tarcie ................................................................................................... 5-1

5.2 Si#y bezw#adno ci .......................................................................5-2 6. Ci#$enie powszechne (grawitacja) ....................................................6-1

6.1 Prawo powszechnego ci$%enia....................................................6-1 6.2 Do wiadczenie Cavendisha ........................................................6-3 6.2.1 Wa%enie Ziemi..................................................................................... 6-4

6.3 Prawa Keplera ruchu planet ........................................................6-5 6.4 Ci!%ar ..........................................................................................6-6 6.4.1 Ci!%ar pozorny, masa bezw#adna i masa grawitacyjna ........................ 6-6

6.5 Pole grawitacyjne........................................................................6-7 6.5.1 Pole grawitacyjne wewn$trz kuli ......................................................... 6-8

3

Spis tre ci

7. Praca i energia ....................................................................................7-1

7.1 Wst!p ..........................................................................................7-1 7.2 Praca wykonana przez sta#$ si#!..................................................7-1 7.3 Praca wykonana przez si#! zmienn$ ...........................................7-3 7.4 Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii.....................7-5 7.5 Moc .............................................................................................7-6 8. Zasada zachowania energii................................................................8-1

8.1 Wst!p ..........................................................................................8-1 8.2 Si#y zachowawcze i niezachowawcze.........................................8-1 8.3 Energia potencjalna.....................................................................8-3 8.3.1 Energia potencjalna i potencja# pola grawitacyjnego........................... 8-5

8.4 Zasada zachowania energii .........................................................8-7 9. Zasada zachowania p%du ...................................................................9-1

9.1 &rodek masy................................................................................9-1 9.2 Ruch rodka masy.......................................................................9-3 9.3 P!d uk#adu punktów materialnych..............................................9-5 9.4 Zasada zachowania p!du ............................................................9-6 10. Zasada zachowania p%du II .............................................................10-1

10.1 Uk#ady o zmiennej masie..........................................................10-1 10.2 Zderzenia ..................................................................................10-2 10.2.1 Wst!p ................................................................................................. 10-2

10.1.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej ....................................... 10-3

11. Elementy szczególnej teorii wzgl%dno ci ........................................11-1

11.1 Wst!p ........................................................................................11-1 11.1.1 Zasada wzgl!dno ci ........................................................................... 11-1

11.1.2 Transformacja Galileusza .................................................................. 11-1

11.1.3 Dylatacja czasu .................................................................................. 11-3

11.2 Transformacja Lorentza............................................................11-5 11.2.1 Jednoczesno " .................................................................................... 11-5

11.2.2 Skrócenie d#ugo ci ............................................................................. 11-6

11.2.3 Sta#o " przedzia#u czasoprzestrzennego ............................................ 11-6

11.2.4 Dodawanie pr!dko ci......................................................................... 11-7

11.2.5 Zale%no " masy od pr!dko ci ............................................................ 11-8

11.2.6 Równowa%no " masy i energii........................................................... 11-9

12. Ruch obrotowy..................................................................................12-1

12.1 Wst!p ........................................................................................12-1 12.2 Kinematyka ruchu obrotowego.................................................12-1 12.3 Dynamika ruchu obrotowego....................................................12-2 12.3.1 Moment si#y ....................................................................................... 12-2

12.3.2 Moment p!du ..................................................................................... 12-2

12.3.3 Zachowanie momentu p!du ............................................................... 12-3

12.4 Cia#a sztywne i moment bezw#adno ci .....................................12-5 12.5 Ruch post!powo-obrotowy cia#a sztywnego ............................12-6 12.6 Ruch precesyjny (b$k) ..............................................................12-8 13. Ruch drgaj#cy...................................................................................13-1

13.1 Si#a harmoniczna.......................................................................13-1

4

Spis tre ci

13.2 Okres drga'...............................................................................13-2 13.3 Wahad#a ....................................................................................13-3 13.3.1 Wahad#o proste ............................................................................................. 13-3

13.3.2 Wahad#o fizyczne.......................................................................................... 13-4

13.4 Energia ruchu harmonicznego prostego....................................13-5 13.5 Oscylator harmoniczny t#umiony..............................................13-7 13.5.1 Straty mocy, wspó#czynnik dobroci................................................... 13-9

13.6 Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego ......................13-9 13.6.1 Rezonans.......................................................................................... 13-11

13.6.2 Moc absorbowana ............................................................................ 13-12

14. Statyka i dynamika p!ynów .............................................................14-1

14.1 Ci nienie i g!sto " ....................................................................14-1 14.2 Zmiany ci nienia wewn$trz nieruchomego p#ynu ....................14-2 14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa ........................................14-3 14.4 Pomiar ci nienia (barometr)......................................................14-4 14.5 Ogólny opis przep#ywu p#ynów................................................14-4 14.6 Równanie Bernoulliego ............................................................14-6 14.6.1 Dynamiczna si#a no na ...................................................................... 14-7

15. Fale w o rodkach spr%$ystych.........................................................15-1

15.1 Fale mechaniczne......................................................................15-1 15.2 Fale rozchodz$ce si! w przestrzeni...........................................15-1 15.3 Rozchodzenie si! fal, pr!dko " fal............................................15-3 15.4 Przenoszenie energii przez fale.................................................15-4 15.5 Interferencja fal.........................................................................15-5 15.6 Fale stoj$ce ...............................................................................15-6 15.6.1 Uk#ady drgaj$ce, przyk#ad ................................................................. 15-6

15.7 Dudnienia - modulacja amplitudy.............................................15-7 15.8 Zjawisko Dopplera....................................................................15-8 16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I .................................16-1

16.1 Prawo gazów doskona#ych........................................................16-1 16.2 Temperatura ..............................................................................16-2 16.1.1 Termometry ....................................................................................... 16-3

16.3 Ekwipartycja energii .................................................................16-3 16.3.1 Zerowa zasada termodynamiki .......................................................... 16-3

16.3.2 Ekwipartycja energii .......................................................................... 16-3

16.4 Pierwsza zasada termodynamiki ...............................................16-4 16.5 Ciep#o w#a ciwe........................................................................16-5 16.5.1 Ciep#o w#a ciwe przy sta#ej obj!to ci ................................................ 16-5

16.1.2 Ciep#o w#a ciwe przy sta#ym ci nieniu .............................................. 16-6

16.6 Rozpr!%anie izotermiczne.........................................................16-7 16.7 Rozpr!%anie adiabatyczne.........................................................16-7 17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II ...............................17-1

17.1 &rednia droga swobodna...........................................................17-1 17.2 Rozk#ad pr!dko ci Maxwella....................................................17-2 17.3 Równanie Van der Waalsa........................................................17-3 17.4 Entropia i druga zasada termodynamiki ...................................17-4

5

Spis tre ci

17.4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne ................................................. 17-4

17.4.2 Cykl Carnota ...................................................................................... 17-4

17.4.3 Druga zasada termodynamiki............................................................. 17-5

17.4.4 Termodynamiczna skala temperatur .................................................. 17-6

17.4.5 Entropia.............................................................................................. 17-6

17.5 Stan równowagi, zjawiska transportu .......................................17-9 17.5.1 Stan równowagi ................................................................................. 17-9

17.5.2 Zjawiska transportu.......................................................................... 17-10

18. Si!a elektrostatyczna ........................................................................18-1

18.1 Wst!p ........................................................................................18-1 18.2 (adunek elektryczny.................................................................18-1 18.2.1 Kwantyzacja #adunku......................................................................... 18-1

18.2.2 Zachowanie #adunku .......................................................................... 18-1

18.3 Prawo Coulomba.......................................................................18-1 18.3.1 Zasada superpozycji........................................................................... 18-1

18.4 Pole elektryczne........................................................................18-2 18.4.1 Linie si# .............................................................................................. 18-3

18.5 Prawo Gaussa............................................................................18-4 19. Elektrostatyka I ................................................................................19-1

19.1 Wst!p ........................................................................................19-1 19.2 Kuliste rozk#ady #adunków .......................................................19-1 19.2.1 Jednorodnie na#adowana sfera ........................................................... 19-1

19.2.2 Jednorodnie na#adowana kula ............................................................ 19-2

19.2.3 Liniowe rozk#ady #adunków............................................................... 19-3

19.2.4 P#askie rozk#ady #adunków ................................................................ 19-4

19.2.5 Powierzchnia przewodnika ................................................................ 19-5

19.3 Potencja# elektryczny................................................................19-5 20. Elektrostatyka II ..............................................................................20-1

20.1 Obliczanie potencja#u ...............................................................20-1 20.2 Pojemno " .................................................................................20-2 20.3 Energia pola elektrycznego.......................................................20-2 20.4 Dielektryki ................................................................................20-3 20.4.1 Dielektryki, pogl$d atomistyczny ...................................................... 20-3

20.1.2 Dielektryki - rozwa%ania ilo ciowe.................................................... 20-5

20.5 Trzy wektory elektryczne .........................................................20-6 21. Pr#d elektryczny i pole magnetyczne .............................................21-1

21.1 Pr$d elektryczny .......................................................................21-1 21.2 Prawo Ohma .............................................................................21-2 21.2.1 Wyprowadzenie prawa Ohma............................................................ 21-2

21.3 Straty cieplne ............................................................................21-4 21.3.1 Si#a elektromotoryczna ...................................................................... 21-4

21.4 Obwody pr$du sta#ego ..............................................................21-5 21.4.1 Prawa Kirchoffa ................................................................................. 21-5

21.5 Pole magnetyczne .....................................................................21-6 21.5.1 Si#a magnetyczna ............................................................................... 21-6

21.5.2 Dzia#anie pola magnetycznego na obwód z pr$dem .......................... 21-7

6

Spis tre ci

21.5.3 Efekt Halla ......................................................................................... 21-9

22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna.........................22-1

22.1 Prawo Ampera ..........................................................................22-1 22.2 Strumie' magnetyczny .............................................................22-2 22.3 Przyk#adowe rozk#ady pr$dów..................................................22-2 22.3.1 Pr!t (przewodnik) .............................................................................. 22-2

22.3.2 Cewka (solenoid) ............................................................................... 22-3

22.3.3 Dwa przewodniki równoleg#e ............................................................ 22-4

22.4 Prawo Biota-Savarta .................................................................22-4 22.5 Indukcja elektromagnetyczna ...................................................22-6 22.5.1 Prawo Faradaya.................................................................................. 22-6

22.5.2 Regu#a Lenza ..................................................................................... 22-6

23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego.......23-1

23.1 Indukcyjno " .............................................................................23-1 23.1.1 Transformator .................................................................................... 23-1

23.1.2 Indukcyjno " w#asna.......................................................................... 23-1

23.1.3 Indukcja wzajemna ............................................................................ 23-2

23.2 Obwody RC i RL, sta#e czasowe ..............................................23-3 23.2.1 Obwód RC.......................................................................................... 23-3

23.2.2 Obwód RL .......................................................................................... 23-4

23.3 Energia a pole magnetyczne .....................................................23-6 23.4 G!sto " energii a pole magnetyczne.........................................23-6 24. Drgania elektromagnetyczne...........................................................24-1

24.1 Wst!p ........................................................................................24-1 24.2 Obwód LC.................................................................................24-1 24.3 Obwód szeregowy RLC............................................................24-2 24.3.1 Rezonans............................................................................................ 24-5

24.4Moc w obwodzie pr$du zmiennego........................................................ 24-6

25. Równania Maxwella.........................................................................25-1

25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu..............................25-1 25.2 Indukowane pole magnetyczne.................................................25-2 25.3 Pr$d przesuni!cia ......................................................................25-4 25.4 Równania Maxwella .................................................................25-5 26. Fale elektromagnetyczne .................................................................26-1

26.1 Równanie falowe ......................................................................26-1 26.2 Linie transmisyjne.....................................................................26-1 26.2.1 Kabel koncentryczny..................................................................................... 26-2

26.2.2 Pola i pr$dy w kablu koncentrycznym .......................................................... 26-3

26.2.3 Falowód......................................................................................................... 26-4

26.3 Wn!ki rezonansowe..................................................................26-4 26.4 Promieniowanie ........................................................................26-6 26.5 Wektor Poyntinga .....................................................................26-7 27. Optyka geometryczna i falowa........................................................27-1

27.1 Wst!p ........................................................................................27-1 27.1.1 Odbicie i za#amanie............................................................................ 27-1

27.1.2 Zasada Fermata .................................................................................. 27-1

7

Spis tre ci

27.2 Warunki stosowalno ci optyki geometrycznej .........................27-4 27.1.1 Zasada Huyghensa ........................................................................................ 27-5

28. Interferencja .....................................................................................28-1

28.1 Do wiadczenie Younga ............................................................28-1 28.2 Koherencja ................................................................................28-4 28.3 Nat!%enie w do wiadczeniu Younga ........................................28-4 28.4 Interferencja w cienkich b#onkach............................................28-7 29. Dyfrakcja...........................................................................................29-1

29.1 Pojedyncza szczelina ................................................................29-2 29.2 Pojedyncza szczelina, rozwa%ania jako ciowe .........................29-4 29.3 Pojedyncza szczelina, rozwa%ania ilo ciowe............................29-5 29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach.29-7 30. Siatki dyfrakcyjne ............................................................................30-1

30.1 Siatki dyfrakcyjne .....................................................................30-1 30.2 Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X) ...........................30-3 30.3 Prawo Bragga............................................................................30-5 31. Polaryzacja........................................................................................31-1

31.1 P#ytki polaryzuj$ce ...................................................................31-2 31.2 Polaryzacja przez odbicie .........................................................31-4 31.3 Za#amanie podwójne.................................................................31-5 32. &wiat!o a fizyka kwantowa ..............................................................32-1

32.1 )ród#a wiat#a ...........................................................................32-1 32.2 Cia#o doskonale czarne .............................................................32-2 32.3 Teoria promieniowania we wn!ce, prawo Plancka...................32-4 32.3.1 Rozwa%ania klasyczne ....................................................................... 32-4

32.3.2 Teoria Plancka promieniowania cia#a doskonale czarnego................ 32-5

32.3.3 Zastosowanie prawa promieniowania w termometrii ........................ 32-6

32.4 Zjawisko fotoelektryczne..........................................................32-7 32.5 Efekt Comptona ......................................................................32-10 33. Model atomu Bohra .........................................................................33-1

33.1 Wst!p ........................................................................................33-1 33.2 Widma atomowe .......................................................................33-2 33.3 Model Bohra atomu wodoru .....................................................33-3 34. Fale i cz#stki......................................................................................34-1

34.1 Fale materii ...............................................................................34-1 34.2 Struktura atomu i fale stoj$ce ...................................................34-3 34.3 Mechanika falowa.....................................................................34-4 34.4 Znaczenie funkcji ..................................................................34-6 34.5 Zasada odpowiednio ci.............................................................34-7 34.6 Zasada nieoznaczono ci............................................................34-8 35. Lasery ................................................................................................35-1

35.1 Emisja spontaniczna .................................................................35-1 35.2 Absorpcja ..................................................................................35-1 35.3 Emisja wymuszona ...................................................................35-1 35.4 Rozk#ad Boltzmana...................................................................35-2 35.5 Laser..........................................................................................35-5

8

Spis tre ci

36. Atomy wieloelektronowe, uk!ad okresowy pierwiastków.............36-1

36.1 Liczby kwantowe......................................................................36-1 36.2 Zasada Pauliego ........................................................................36-2 36.2.1 Spin elektronu .................................................................................... 36-2

36.3 Atomy wieloelektronowe, uk#ad okresowy pierwiastków........36-3 36.4 Promienie X ..............................................................................36-5 37. Materia skondensowana ..................................................................37-1

37.1 Wst!p ........................................................................................37-1 37.2 Rodzaje kryszta#ów (rodzaje wi$za') .......................................37-1 37.2.1 Kryszta#y cz$steczkowe ..................................................................... 37-1

37.2.2 Kryszta#y o wi$zaniach wodorowych ................................................ 37-2

37.2.3 Kryszta#y jonowe ............................................................................... 37-2

37.2.4 Kryszta#y atomowe (kowalentne) ...................................................... 37-2

37.2.5 Cia#a metaliczne................................................................................. 37-2

37.3 Pasma energetyczne..................................................................37-3 37.4 Fizyka pó#przewodników..........................................................37-5 37.4.1 Domieszkowanie pó#przewodników .................................................. 37-5

37.5 Zastosowania pó#przewodników...............................................37-6 37.5.1 Termistor............................................................................................ 37-6

37.5.2 Z#$cze p - n ........................................................................................ 37-6

37.5.3 Baterie s#oneczne ............................................................................... 37-7

37.5.4 Fotodiody........................................................................................... 37-7

37.5.5 Diody wiec$ce .................................................................................. 37-7

37.5.6 Tranzystor .......................................................................................... 37-7

37.5.7 Inne urz$dzenia .................................................................................. 37-8

37.6 W#asno ci magnetyczne cia# sta#ych.........................................37-8 37.6.1 Diamagnetyzm................................................................................... 37-9

37.6.2 Paramagnetyzm.................................................................................. 37-9

37.6.3 Ferromagnetyzm .............................................................................. 37-10

38. Fizyka j#drowa .................................................................................38-1

38.1 Wst!p ........................................................................................38-1 38.2 Rozmiary j$der..........................................................................38-1 38.3 Oddzia#ywanie nukleon-nukleon ..............................................38-2 38.4 Rozpady j$drowe i reakcje j$drowe..........................................38-4 38.4.1 Rozpad alfa ........................................................................................ 38-4

38.1.2 Promieniowanie !............................................................................... 38-6

38.1.3 Rozpad " ............................................................................................ 38-6

38.1.4 Rozszczepienie j$der atomowych ...................................................... 38-7

38.1.5 Reakcja syntezy j$drowej .................................................................. 38-8

38.5 Cykl %ycia s#o'ca ......................................................................38-9 38.5.1 Chmura .............................................................................................. 38-9

38.5.2 Globule .............................................................................................. 38-9

38.5.3 Protogwiazda ................................................................................... 38-10

38.1.4 S#o'ce .............................................................................................. 38-10

38.1.5 Czerwony olbrzym........................................................................... 38-12

38.1.6 Bia#e kar#y........................................................................................ 38-12

9

Spis tre ci

38.1.7 Czarne kar#y..................................................................................... 38-12

38.1.8 Gwiazda neutronowa ....................................................................... 38-13

38.1.9 Czarna dziura ................................................................................... 38-13

10

Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki

Wyk ad 1

1. Wprowadzenie

1.1 Istota Fizyki

G ówny cel - poszukiwanie i poznawanie podstawowych praw przyrody, od których za-le" wszystkie zjawiska fizyczne. Historia nauki - coraz g!#bsze poziomy pojmowania ale podstawowe prawa oraz teorie na kolejnych poziomach coraz prostsze i coraz ich mniej. Przyk ad 1 jak przebiega! rozwój nauki o elektryczno$ci i magnetyzmie, która ma tak fundamentalne znaczenie dla nas dzisiaj (elektronika, telekomunikacja, energetyka, in-formatyka itd.)? ! Ju" w staro"ytno$ci wiedziano o oddzia!ywaniu cia! naelektryzowanych (potarty bursztyn przyci ga! kawa!ki materii) i namagnesowanych (bry!a magnetytu przyci ga-j ca drobne kawa!ki "elaza). ! Dopiero w XVII wieku pierwsze pomiary ilo$ciowe i pierwsze prawa fizyczne (pra-wo Coulomba). ! XIX wiek - oddzia!ywanie pr du z ig! magnetyczn (Oersted), oddzia!ywanie prze-wodników z pr dem (Ampere), indukcja elektromagnetyczna (Faraday), prawo Ohma i w ko%cu jednolita teoria zjawisk elektromagnetycznych (prawa Maxwella. Prawa Maxwella ("tylko" cztery!!!) s prawami ogólnymi, które zawieraj w sobie jako przypadki szczególne nie tylko wszystkie prawa elektryczno$ci i magnetyzmu, ale tak"e wyja$niaj w!a$ciwo$ci $wiat!a jako fali elektromagnetycznej. Nie ulega w tpliwo$ci, "e zjawiskami przyrody rz dzi stosunkowo niewielka liczba praw ogólnych. Celem fizyki jest w!a$nie poznanie tych praw. Konsekwentnie, prawa fizyki b#d wyprowadzane (gdzie to tylko mo"liwe) z podsta-wowych zasad, tj. b#dzie podkre$lona ró"nica pomi#dzy zasadami podstawowymi a tym co mo"na z nich wyprowadzi&. Badania podstawowe - cz stki elementarne ich w!a$ciwo$ci i oddzia!ywania. Jak dotychczas stwierdzono tylko cztery podstawowe oddzia!ywania, z których wynika-j wszystkie si!y i oddzia!ywania zaobserwowane we Wszech$wiecie. Tab. 1.1 Cztery podstawowe oddzia!ywania.

Typ oddzia!ywa% 'ród!o Wzgl#dne

nat#"enie

Zasi#g

Grawitacyjne

S!abe

Elektromagnetyczne

J drowe

Masa

Wszystkie cz stki elementarne

(adunek elektryczny

Hadrony (protony,neutrony,mezony)

~ 10-38

~ 10-15

~ 10-2

1

D!ugi

Krótki (10-18m)

D!ugi

Krótki (10-15m)

Podstawowy charakter cz stek elementarnych i ich oddzia!ywa% przejawia si# np. w tym, "e obja$niaj one zarówno $wiat ma!ych jak i du"ych wielko$ci (gwiazdy, galaktyki). Wszystkie dzia!y nauk fizycznych i biologicznych maj swe korzenie w fizyce.

1-1


1.2 Poj!cia podstawowe

Tak jak w ka"dej dyscyplinie, w fizyce pos!ugujemy si# specyficznymi poj#ciami podstawowymi do opisu wielko$ci fizycznych czy te" w!a$ciwo$ci fizycznych obiek-tów. Poj#cia fizyczne definiujemy stosuj c pewne prawa fizyki. Bez zrozumienia tych poj#& nie jest mo"liwe opisanie zjawisk fizycznych i pos!ugiwanie si# tym opisem (mo-delami).

1.3 Jednostki

Fizyka w znacznej mierze zajmuje si# pomiarami wielko$ci fizycznych, maj cych cechy ilo$ciowe. Dlatego tak istotne jest podanie obok wielko$ci numerycznej (liczby) tak"e jednostki. Dotyczy to równie" rozwi za% zada% z fizyki (uwaga do &wicze%). Nie wolno podawa& odpowiedzi numerycznej nie podaj c jednocze$nie jednostki. Podstawowe jednostki - wiele wielko$ci fizycznych jest wspó!zale"nych. Np. pr#dko$& jest d!ugo$ci podzielon przez czas, g#sto$& mas podzielon przez obj#to$& itd. Wi#kszo$& wielko$ci fizycznych jest zwi zana z d ugo!ci" (l), czasem (t) i mas" (m). Oznacza to, "e te podstawowe wielko$ci wyznaczaj wymiar innych wielko$ci fizycz-nych. Tak wi#c pr#dko$& ma wymiar l/t (lt-1) a g#sto$& m/l3 (ml

-3). Zdecydowanie najpowszechniejszy jest uk!ad metryczny. Bardzo prosta w tym uk!adzie jest konwersja do innych jednostek. Po prostu dodaje si# przedrostek okre$laj cy odpo-wiedni pot#g# dziesi#ciu (patrz Tab 1.2). Tab. 1.2 Przedrostki jednostek metrycznych.

Przedrostek Skrót Pot#ga dziesi#ciu

tetra

giga

mega

kilo

centy

mili

mikro

nano

piko

femto

T

G

M

k

c

m

"

n

p

f

1012

109

106

103

10-2

10-3

10-6

10-9

10-12

10-15

D ugo!#, pole powierzchni, obj#to$& s zdefiniowane w geometrii Euklidesowej. Definicje 1 metra (historycznie): ! cz#$& (1/107) odleg!o$ci od bieguna do równika, ! odleg!o$& mi#dzy rysami na sztabie platynowej (Mi#dzynarodowe Biuro Miar i Wag w Sevres, Francja), ! w oparciu o d!ugo$& fal pewnej linii widmowej kryptonu 86Kr. ! jako droga, któr w pró"ni przebywa $wiat!o w czasie 1/299792458 sekundy. Czas - jest poj#ciem fizycznym, jego definicja jest zwi zana z pewnymi prawami fizyki. Np. prawa fizyki mówi , "e (a) okres obrotu Ziemi musi by& z du" dok!adno$ci sta!y; (b) okres drga% oscylatora krystalicznego (zegarek, zegar komputera) jest sta!y przy sta-

1-2


!ych warunkach zewn#trznych takich jak np. temperatura. Obecnie najdok!adniejsze ze-gary zliczaj drgania promieniowania emitowanego przez atomy izotopu cezu 133Cs. Sekund# definiuje si# jako czas trwania 919263177#109 drga% promieniowania emito-wanego przez 133Cs. Masa - równie" poj#cie fizyczne zdefiniowane przez pewne prawa fizyki. Nowoczesna definicja masy (w oparciu o prawo zachowania p#du) b#dzie podana w kolejnych wy-k!adach. Obecnie $wiatowym wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo-irydowy (Mi#dzynarodowe Biuro Miar i Wag w Sevres, Francja),

Kiedy takie poj#cia jak czas czy masa opieramy na prawach fizyki, nie mo"emy by& pewni, "e te prawa s absolutnie poprawne. Teoria fizyczna w ostateczno$ci spoczywa na fundamentach do$wiadczalnych, gdy" fizyka zajmuje si# $wiatem fizycznym. To w!a$nie obserwacje do$wiadczalne stwierdzaj ce pewne prawid!owo$ci (je"eli spe!nio-ne s dane warunki to wynik do$wiadczenia si# powtarza) le" u podstaw formu!owania praw przyrody. Do$wiadczenie weryfikuje wi#c teori# ale tylko w sensie negatywnym tj. mo"e spowodowa& odrzucenie teorii. Nie mo"e potwierdzi& "ca!kowicie" teorii ze wzgl#du na ograniczone mo"liwo$ci pomiarowe. Innymi s!owy nie mo"na wykluczy& sytuacji, "e teoria nie przejdzie kolejnego testu do$wiadczalnego.

Trzeba powiedzie&, "e takich teorii (tzw. wielkich teorii), które przewiduj w szero-kim zakresie i z bardzo du" dok!adno$ci wyniki do$wiadcze% jest niewiele np. me-chanika klasyczna Newtona, teoria wzgl#dno$ci Einsteina. Inne przyk!ady spoza fizyki to geometria Euklidesowa i teoria Darwina. Do takiej teorii pretenduje równie" mecha-nika kwantowa.

1.4 Matematyka w fizyce

1.4.1 Modele matematyczne w fizyce

W fizyce wyniki bada% podaje si# w postaci liczb i praw wyra"onych matematycz-nie. Matematyka jest wi#c j#zykiem fizyki, bez u"ycia matematyki nie mo"na opisa& zjawisk fizycznych ani z teoretycznego ani z do$wiadczalnego punktu widzenia (opis jako$ciowy, opis ilo$ciowy). Matematyka stanowi narz#dzie w pracy badawczej i s!u"y do formu!owania modeli matematycznych.

zagadnienie fizyczne rozwi¹ zanie fizyczne

zagadnienie

matematyczne

rozwi¹ zanie

matematyczne

intuicja

konstrukcja modelu

matematycznego

symulacja

matematyka

interpretacja

rozwi¹ zania

matematycznego

Stykaj c si# z okre$lon sytuacj fizyczn fizyk stara si# dokonywa& jej idealizacji

matematycznej czy, jak mówimy, symulacji, sporz dzaj c wyidealizowany model ma-tematyczny tej sytuacji wed!ug poni"szego schematu

1-3


Idealizacja polega na przyj#ciu za!o"e% upraszczaj cych np. dla wahad!a z!o"onego z kulki zawieszonej na nici: ! przyjmujemy, "e wahad!o waha si# w jednej p!aszczy)nie, ! pomijamy opór powietrza, ! zaniedbujemy tarcie w punkcie zawieszenia, ! zaniedbujemy mas# nici, ! zak!adamy, "e ni& jest nierozci gliwa, ! zak!adamy, "e ca!a masa kulki jest skupiona w jednym punkcie w jej $rodku masy.

Rozwa"ania dotycz ce metod bada% fizycznych i modeli zilustrujemy prostym przyk!adem: badanie si!y oporu powietrza Foporu dzia!aj cej na poruszaj cy si# samochód. Najpierw, jak wygl da metoda indukcyjna. Badacz analizuj cy ruch samochodu ustala najpierw wielko$ci fizyczne: pr#dko$& samochodu, g#sto$& powietrza itd. Nast#pnie stawia hipotez#, "e si!a oporu powietrza zale"y od pr#dko$ci v

(porównanie z jazd na rowerze), od g#sto$ci powietrza $ (o$rodka) i od powierzchni pola przekroju S. Do$wiadczalnie sprawdza t# hipotez#. Okazuje si#, "e dla ró"nych v, $, S otrzymuje si# ró"ne warto$ci oporu powietrza. Teraz badacz buduje model matematyczny badanego zjawiska przyjmuj c, "e pomi#dzy badanymi wielko$ciami istnieje zale"no$& funkcyjna: Foporu = f(v, $, A). Celem jest znalezienie (dopasowanie) tej funkcji. Mo"na to zrobi& na wiele sposobów. Poni"ej, omówimy jeden prosty i skuteczny sposób tzw. analiz$ wymiarow".

1.4.2 Analiza wymiarowa

To post#powanie polega, w pierwszym kroku, na sformu!owaniu uogólnionego zwi zku

Foporu ~ Ax $

y v

z

gdzie x, y, z s nieznanymi wyk!adnikami pot#gi. Teraz sprawdzamy wymiar po obu stronach równania. Wyra"amy wymiar przez podstawowe wielko$ci: mas#, d!ugo$& i czas. Otrzymujemy

mlt-2

= (l2)x·(ml

-3)y·(lt

-1)z

Z przyrównania wyk!adników otrzymujemy

y = 1 (przy m) 2x-3y+z = 1 (przy l) -z = -2 (przy t)

Rozwi zaniem s x = 1, y = 1, z = 2. Wstawiaj c to do równania wyj$ciowego otrzymujemy

Foporu ~ A$v2

Okazuje si#, "e to równanie jest poprawne z dok!adno$ci do czynnika 1/2 (sta!a pro-porcjonalno$ci). Sta! t# mo"na wyznaczy& z wyników do$wiadczalnych.

1-4


1.4.3 Formalizm matematyczny

Uwa"a si#, "e fizyka pos!uguje si# trudn matematyk wy"sz . Tak nie jest gdy cho-dzi o podstawowe prawa. W wi#kszo$ci b#dziemy u"ywa& prostej algebry, geometrii i troch# trygonometrii. Wprowadzimy elementy rachunku ró"niczkowego i ca!kowego ale w ograniczonym zakresie. Na wst#pie kilka uwag (inne w trakcie wyk!adów).

skalary i wektory

w tek!cie oznaczenia wektorów a i a s" równowa%ne Uwaga: Stosowane

, metoda geometryczna ! Dodawanie wektorów

ie wektorów, metoda analityczna ! rozk!adanie wektorów na sk!adowe i dodawan

y

x

j

i

%

a ay

ax

!adowe: ax = a cos%; ay = a sin%

d!ugo$&:

sk

yx

yx aa jia &'

aaa &'

cc ji &

to w

c = a + b

cx = ax + bx cy = ay + by

! Mno%enie wektorów

wektorów jest skalarem (liczb )

babaab &''# %cosba

dzie % jest k tem pomi#dzy wektorami a, b.

wektor:

22

analogicznie: b ' 'yx bb ji & , c yx

dodawanie wek ró

skalarne: iloczyn dwóch

yyxx

g

1-5


wektorowe: bac ('

d!ugo$& wektora c: c = ab sin%

dzie % jest k tem pomi#dzy wektorami a, b

szczyzny utworzonej przez wektory a i b, gKierunek wektora c jest prostopad!y do p!atzn. prostopad!y do tych wektorów. Zwrot wektora c wyznacza regu!a $ruby prawo-skr#tnej (rysunek poni"ej)

kierunek kciuka

kierunek palców

Funkcje i liczby (warto$ci sta!e, zmienne, warto$ci chwilowe) !

!adniczego

prezentacja graficzna (wykresy)

! Zapis formalny ;wielko$ci >> 1 i znacznie << 1 konieczno$& zapisu wyknp. masa elektronu 9.1·10-31 kg. Korzystne jest to, "e przy mno"eniu wyk!adniki dodaje si#. ! Re ! Cyfry znacz ce w obliczeniach Przyk ad 2

pr#dko$ci: mierzymy drog# linijk z dok!adno$ci 1%, oraz czas zegarem z d

v = s/t = 1/3 = 0.3333333 m/s

ytanie: ile cyfr po znaku dziesi#tnym ? uwa"ana za pewn . Poniewa" odleg!o$& zmie-

v = 0.333 ) 0.003 m/s

znacza to, "e warto$& v le"y w przedziale mi#dzy 0.330 a 0.336 m/s. Wida&, "e dwie

odstawowe podr#czniki: izyka, t.I i II, PWN, Warszawa,

ne, Warszawa. Warszawa

Pomiar ok!adno$ci 0.01%. Wyniki pomiarów s = 1 m, t = 3 s, wi#c

PUmowa: przedostatnia podana cyfra jest rzona z dok!adno$ci 1% (pomiar czasu bardziej dok!adny) wi#c wynik powinien by& podany jako

Opierwsze trójki s pewne a trzecia jest nieco niepewna. Nie nale"y podawa& wyniku w postaci v = 0.3 m/s ani v = 0.3333 m/s bo jest to myl ce i niepotrzebne. PD. Halliday, R. Resnick, FJ. Orear, Fizyka, t. I i II, Wydawnictwo Naukowo TechniczCz. Bobrowski, Fizyka – krótki kurs, Wydawnictwo Naukowo Techniczne,

1-6


Wyk ad 2

2. Ruch jednowymiarowy

Zajmiemy si" opisem ruchu rozumianym jako zmiany po o!enia jednych cia

wzgl"dem innych, które nazywamy uk adem odniesienia. Zwró# uwag", $e to samo cia!o

mo$e porusza# si" wzgl"dem jednego uk!adu odniesienia a spoczywa# wzgl"dem inne-

go. Oznacza to, $e ruch jest poj"ciem wzgl"dnym.

2.1 Pr dko!"

Pr"dko#$ jest zmian% odleg o#ci w jednostce czasu.

2.1.1 Pr!dko"# sta a

Je$eli cia!o, które w pewnej chwili t0 znajdowa!o si" w po!o$eniu x0, porusza si"

ze sta! pr"dko%ci v to po czasie t znajdzie si" w po!o$eniu x danym zwi zkiem

x-x0 = v(t t0)

czyli

0

0

tt

xx

!v (2.1)

2 4 6 8 1

-2

0

2

4

6

8

0

x

t

Interpretacja graficzna: pr"dko%# to nachylenie prostej x(t) (ró$ne nachylenia wykresów

x(t) odpowiadaj ró$nym pr"dko%ciom).

Wielko%# v (wektor) mo$e by# dodatnia albo ujemna, jej znak wskazuje kierunek ru-

chu !!! Wektor v ujemny to ruch w kierunku malej cych x.

2.1.2 Pr!dko"# chwilowa

Je$eli obiekt przyspiesza lub zwalnia to wskazania szybko%ciomierza nie zgadzaj

si" z wyra$eniem (2.1) chyba, $e we&miemy bardzo ma!e warto%ci x x0 ("x) czyli rów-

nie$ bardzo ma!e t - t0 ("t). St d pr"dko%# chwilowa:

2-1


t

x

t "

"!

#" 0limv

Tak definiuje si" pierwsz pochodn , wi"c

td

d x!v (2.2)

Prezentacja graficzna

0 2 4 60

20

40

60

80

Pr"dko%# chwilowa przej%cie od siecznej do stycznej. Nachylenie stycznej to pr"d-

ko%# chwilowa (w chwili t odpowiadaj cej punktowi styczno%ci).

2.1.3 Pr!dko"# "rednia

'rednia matematyczna. Znaczenie %redniej - przyk!ady. Przyk!ady rozk!adów nie-

jednostajnych - czynniki wagowe.

Przyk ad 1

Samochód przeje$d$a odcinek 20 km z pr"dko%ci 40 km/h a potem, przez nast"pne

20 km, jedzie z pr"dko%ci 80 km/h. Oblicz pr"dko%# %redni .

t1 = x1/v1 = 20/40 = 0.5 h

t2 = x2/v2 = 20/80 = 0.25 h

2

21

21

21

1vvv

tt

t

tt

t

$$

$! = 53.33 km/h

a nie 60 km/h; (wagi statystyczne). Poniewa$ viti = xi wi"c

t

xx 0 !v (2.3)

przesuni"cie wypadkowe/czas ca!kowity.

2-2


Przyk ad 2

Korzystamy z warto%ci %redniej do obliczenia drogi hamowania samochodu, który

jedzie z pr"dko%ci 25 m/s (90 km/h). Czas hamowania 5 sekund. Pr"dko%# maleje jed-

nostajnie (sta!a si!a hamowania). Pr"dko%# %rednia 12.5 m/s (45 km/h).

Z równania (2.3) x - x0 = 12.5·5 = 62.5 m.

To najkrótsza droga hamowania. Warto%# %rednia daje praktyczne wyniki. Ten przyk!ad

wprowadza nas do omówienia przyspieszenia.

2.2 Przyspieszenie

Przyspieszenie to tempo zmian pr"dko#ci.

2.2.1 Przyspieszenie jednostajne i chwilowe

Pr"dko%# zmienia si" jednostajnie z czasem czyli przyspieszenie

t

0vv !a (2.4)

jest sta e.

Gdy przyspieszenie zmienia si" z czasem musimy wtedy ograniczy# si" do pomiaru

zmian pr"dko%ci "v w bardzo krótkim czasie "t (analogicznie do pr"dko%ci chwilowej).

Odpowiada to pierwszej pochodnej v wzgl"dem t.

td

dv!a (2.5)

2.2.2 Ruch jednostajnie zmienny

Cz"sto chcemy zna# zarówno po!o$enie cia!a jak i jego pr"dko%#. Ze wzoru (2.4)

mamy v = v0 + at. Natomiast do policzenia po!o$enia skorzystamy ze wzoru (2.3).

txx v$! 0

Poniewa$ w ruchu jednostajnie przyspieszonym pr"dko%# ro%nie jednostajnie od v0 do v

wi"c pr"dko%# %rednia wynosi

v = (v0 + v)/2

( cz c otrzymujemy

x = x0 + (1/2) (v0 + v)t

gdzie za v mo$emy podstawi# v0 + at. Wtedy

x = x0 + (1/2) [v0 + (v0 +at)] t

wi"c ostatecznie

2

2

00

attxx $$! v (2.6)

2-3


Dyskutuj c ruch po linii prostej mo$emy operowa# liczbami, a nie wektorami bo mamy

do czynienia z wektorami równoleg!ymi. Jednak trzeba sobie przy opisie zjawisk (roz-

wi zywaniu zada)) u%wiadamia#, $e mamy do czynienia z wektorami.

Przyk ad 3

Dwa identyczne cia!a rzucono pionowo do góry z pr"dko%ci pocz tkow v0 w od-

st"pie czasu "t jedno po drugim. na jakiej wysoko%ci spotkaj si" te cia!a?

Dane: v0, "t, g - przyspieszenie ziemskie.

Mo$emy rozwi za# to zadanie obliczaj c odcinki dróg

przebytych przez te cia!a: H

h

v0

1) 2

2

0

ggtH !v , v = v0 - gtg, v = 0

2)2

2

dgthH !

3)2

2

0

gtth !v , tg + td = t + "t

Trzeba teraz rozwi za# uk!ad tych równa).

Mo$na inaczej: h - to po!o$enie czyli wektor (nie odcinek). Podobnie v0t i (1/2)gt2.

W dowolnej chwili h jest sum dwóch pozosta!ych wektorów. Opis wi"c jest ten sam

w czasie ca!ego ruchu (zarówno w gór" jak i w dó!). Sprawd&my np. dla v0 = 50 m/s, g = 10 m/s

2; wi"c równanie ma posta#: h = 50t-5t

2.

Wykonujemy obliczenia przebytej drogi i wysoko%ci w funkcji czasu i zapisujemy w

tabeli poni$ej

czas [s] po!o$enie (wysoko%#) droga [m]

0 0 0

1 45 45

2 80 80

3 105 105

4 120 120

5 125 125

6 1 w dó! 120 130 5 (w dó!) 7 2 105 145 20

8 3 80 170 45

9 4 45 205 80

10 5 0 250 125

Opis matematyczny musi odzwierciedla# sytuacj" fizyczn . Na tej samej wysoko%ci h

cia!o w trakcie ruchu przebywa 2 razy (w dwóch ró$nych chwilach; pierwszy raz przy

wznoszeniu, drugi przy opadaniu). Równanie musi by# wi"c kwadratowe

(2 rozwi zania). Rozwi zaniem równania (1/2)gt2 - v0t + h = 0 s w!a%nie te dwa czasy

t1 i t2.

Z warunku zadania wynika, $e t1 t2 = "t. Rozwi zanie: 8

)(

2

22

0 gt

gh

" !

v

Pami"tanie o tym, $e liczymy na wektorach jest bardzo istotne. Szczególnie to wida#

przy rozpatrywaniu ruchu na p!aszczy&nie.

2-4


Wyk ad 3

3. Ruch na p aszczy!nie

Ruch w dwóch wymiarach b"dziemy opisywa# w uk!adzie wspó!rz"dnych x i y.

Np. y - wysoko$#, x - odleg!o$# w kierunku poziomym. Poka%emy, %e taki ruch mo%na

traktowa# jak dwa niezale%ne ruchy jednowymiarowe.

3.1 Przemieszczenie, pr dko!" i przyspieszenie.

Po o!enie punktu w chwili t przedstawia wektor r; pr"dko#$ wektor v; przyspiesze-

nie wektor a. Wektory r, v, a s wzajemnie zale%ne od siebie i dadz si" przedstawi#

(za pomoc wersorów i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci

yx

yx

yx

aattt

t

y

t

x

t

yx

jijia

jijir

jir

! !!

! !!

!

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

vv

vv

v

v

Czy trzeba stosowa# rozk!adanie wektorów na sk!adowe?

Przyk ad 1

&aglówka p!yn ca pod wiatr (pod k tem 45" do kierunku wiatru). Si!a, któr wiatr dzia-

!a na %agiel, popycha !ódk" prostopadle do p!aszczyzny %agla. Ze wzgl"du na kil (i ster)

!ód' mo%e porusza# si" wzd!u% osi kila. Sk!adowa si!y w tym kierunku (Fx) ma zwrot

w kierunku ruchu.

o kila

!agiel

Fx

wiatr

Ruch ze sta ym przyspieszeniem oznacza, %e nie zmienia si" kierunek ani warto#$ przy-

spieszenia tzn. nie zmieniaj si" równie% sk!adowe przyspieszenia.

Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszaj cego si" wzd!u% krzywej

le% cej na p!aszczy'nie.

Rozpoczniemy od napisania równa( dla ruchu jednostajnie przyspieszonego

3-1


a = const

v = v0 + at

r = r0 + v0t + (1/2) at2

Prze$led'my teraz dodawanie wektorów na wykresie. Przyk!adowo punkt porusza si" z

przyspieszeniem a = [2,1], pr"dko$# pocz tkowa v0 = [1,2], a po!o%enie pocz tkowe, r0

= [1,1]. Szukamy po!o%enia cia!a np. po t = 1s i t = 3s dodaj c odpowiednie wektory tak

jak na rysunku obok.

Powy%sze równania wektorowe s równowa%ne równaniom w postaci skalarnej:

Równania opisuj ce ruch wzd!u%

osi x

Równania opisuj ce ruch wzd!u%

osi y

ax = const

vx = vx0t + axt

x = x0 + vx0t + (1/2) axt2

ay = const

vy = vy0t + ayt

y = y0 + vy0t + (1/2) ayt2

Przyk!adem na którym prze$ledzimy ruch krzywoliniowy ze sta!ym przyspieszeniem

jest rzut uko$ny.

3.2 Rzut uko!ny

Rzut uko$ny to ruch ze sta!ym przyspieszeniem g [0, -g] skierowanym w dó!. Jest

opisywany przez równania podane powy%ej w tabeli. Przyjmijmy, %e pocz tek uk!adu

wspó!rz"dnych pokrywa si" z punktem, z którego wylatuje cia!o tzn. r0 = 0.

#

v0

v0cos#

v0sin#

Pr"dko$# w chwili pocz tkowej t = 0 jest równa v0 i tworzy z k t # z dodatnim kierun-

kiem osi x. Zadaniem naszym jest: znale'# pr"dko$# i po!o%enie cia!a w dowolnej chwi-

3-2


li, opisa# tor, znale'# zasi"g. Sk!adowe pr"dko#ci pocz%tkowej (zgodnie z rysunkiem)

wynosz odpowiednio

vx0 = v0 cos# i vy0 = v0 sin#

Pr"dko#$ w kierunku x (poziomym)

vx = vx0 + axt

poniewa% ax = 0 wi"c: vx = v0 cos#, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (sk!adowa

x pr"dko$ci jest sta!a)

W kierunku y (pionowym)

vy = vy0 + ayt

poniewa% gy = -g wi"c

vy = v0 sin# – gt

Warto$# wektora wypadkowego pr"dko$ci w dowolnej chwili wynosi

22

yx vvv !

wi"c

22

0

2

0 sin2 tggt $! #vvv (3.1)

Teraz obliczamy po!o%enie cia!a

x = v0xt

czyli

x = v0 cos# t (3.2)

y = v0yt+(1/2)ayt2

czyli

y = v0 sin# t – (1/2)gt2 (3.3)

D!ugo$# wektora po!o%enia r mo%na teraz obliczy# dla dowolnej chwili t z zale%no$ci

22 yxr !

Sprawd'my po jakim torze porusza si" nasz obiekt tzn. znajd'my równanie krzywej

y(x). Mamy równania x(t) i y(t). Równanie y(x) obliczymy eliminuj c t z równa( (3.2) i

(3.3). Z równania (3.2)

t = x/v0 cos#

wi"c równanie (3.3) przyjmuje posta#

3-3


2

2

0 )cos(2)(tg x

gxy

##

v$! (3.4)

Otrzymali$my równanie paraboli (ramionami w dó!). Z równania paraboli obliczamy zasi"g Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania

(3.3) wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekszta!ceniach dwa miejsca ze-

rowe

Z = 0

oraz

###

2sincossin2 2

0

2

0

ggZ

vv!! (3.5)

Z równania (3.4) wynika, %e zasi"g jest maksymalny gdy # = 45".

Zauwa%my, %e omawiany ruch odbywa si" po linii krzywej.

W poprzednich wyk!adach mówili$my o przyspieszeniu zmieniaj cym warto$# pr"dko-

$ci, a nie jej kierunek (zwrot). Mówili$my o przyspieszeniu stycznym.

Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy warto#$ pr"dko$ci si" nie zmienia a zmienia si" kieru-

nek.

3.3 Ruch jednostajny po okr gu

Rozwa%my zamieszczony obok rysunek. Punkt P - po!o%enie punktu materialnego w

chwili t, a P' - po!o%enie w chwili t + %t. Wektory v, v' maj jednakowe d!ugo$ci ale

ró%ni si" kierunkiem; s styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.

#

rO

P

P'

v

v'

v

v'%v

#

Przerysujmy wektory v i v' zaznaczaj c zmian" pr"dko$ci %v. Zauwa%my, %e k t po-

mi"dzy tymi wektorami jest taki sam jak k t na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójk -

ty s podobne wi"c :r

l!

%

v

v, gdzie l jest d!ugo$ci !uku (pod warunkiem, %e l jest bar-

dzo ma!e (l&0)). St d

%v = vl/r.

a poniewa%

l = v %t

wi"c

%v = v2 %t/r

Ostatecznie

a = %v/%t

3-4


wi"c

r

a2

v! (3.6)

To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odró%nieniu od styczne-

go) bo jest prostopad!e do toru. W przypadku ruchu po okr"gu kierunek prostopad!y do

toru jest skierowany do $rodka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy równie% przy-

spieszeniem do#rodkowym. Przyspieszenie normalne zmienia kierunek pr"dko$ci.

Cz"sto wyra%a si" to przyspieszenie przez okres T. Poniewa%

v = 2'r/T

wi"c

a = 4'2r/T

2

Przyk ad 2

przyspieszenia do$rodkowego, wynikaj cego z obrotu Ziemi, doznaje cia!o

b"d

a = 0.0034 m/s2.

tanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s2.

niejsza (np. !atwiej pobi#

yk!ad, w którym zmienia si" i warto#$ i kierunek pr"dko$ci.

Wr

ieszenia stycznego i normalnego (jako

Jakiego

ce na równiku? RZ = 6370 103 m, T = 8.64 10

4 sec.

S

Przy za!o%eniu, %e Ziemia jest kul waga na równiku jest m

rekord w skoku wzwy%).

Prze$led'my teraz prz

acamy do rzutu uko$nego. Przyspieszenie g (jedyne) jest odpowiedzialne za zmian"

zarówno warto$ci pr"dko$ci jak i jej kierunku.

Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przysp

sk!adowych g) jest przedstawiona poni%ej.

g

as

ar

y obie sk!adowe przyspieszenia. Teraz obliczym

a) Przyspieszenie styczne

tas

d!

dv

rzypomnijmy, %e zale%no$# v(t) w rzucie uko$nym jest dana równaniem (3.1)

(

P22

0

2

0 sin2 tggt $! #vvv ).

3-5


St d

aS ! gtggt

gt22

0

2

0

0

sin2

sin

$

$

#

#

vv

v

b) Przyspieszenie do$rodkowe

k wynika z rysunku Ja

22

sr aga $!

b lu

ra

2v

! ale trzeba umie# obliczy# %dym punkcie toru. promie( krzywizny w ka

3-6


Wyk ad 4

4. Dynamika punktu materialnego

4.1 Wst p

Dotychczas starali"my si# opisywa$ ruch za pomoc wektorów r, v, oraz a. By!y to

rozwa%ania geometryczne. Teraz omówimy przyczyny ruchu, zajmiemy si# dynamik .

Nasze rozwa%ania ograniczymy do przypadku du%ych cia! poruszaj cych si# z ma!ymi

(w porównaniu z pr#dko"ci "wiat!a w pró%ni) pr#dko"ciami tzn. zajmujemy si# mecha-

nik klasyczn .

Podstawowy problem mechaniki klasycznej:

! mamy cia!o (zachowuj ce si# jak punkt materialny) o znanych w!a"ciwo"ciach (ma-

sa, !adunek itd.),

! umieszczamy to cia!o, nadaj c mu pr#dko"$ pocz tkow , w otoczeniu, które znamy,

! pytanie: jaki b#dzie ruch cia!a?

Aby bada$ ruch cia!a wywo!any si! na nie dzia!aj c trzeba wiedzie$ jakiego rodzaju

jest to si!a i sk d si# bierze. Teraz zajmiemy si# ogólnymi skutkami si! a dalej b#dziemy

rozwa%a$ specjalne w!asno"ci si! grawitacyjnych, elektromagnetycznych, s!abych i j -

drowych.

W dzisiejszym rozumieniu mechaniki klasycznej w celu rozwi zania naszego problemu

musimy:

! wprowadzi$ poj#cie si!y F,

! ustali$ sposób przypisania masy m aby opisa$ fakt, %e ró%ne cia!a wykonane z tego

samego materia!u, w tym samym otoczeniu uzyskuj ró%ne przyspieszenia (np. pchamy

z ca! si! dwa ro%ne pojazdy i uzyskuj ró%ne a),

! szukamy sposobu obliczenia si! dzia!aj cych na cia!o na podstawie w!a"ciwo"ci tego

cia!a i otoczenia - szukamy praw rz dz cych oddzia!ywaniami ("teorii").

4.2 Definicje

4.2.1 Masa

Definicja o charakterze operacyjnym (recepta na post#powanie). Nieznan mas# m

porównujemy ze wzorcem masy 1 kg. Umieszczamy pomi#dzy nimi spr#%yn# i zwal-

niamy j . Masy, które pocz tkowo spoczywa!y polec w przeciwnych kierunkach z

pr#dko"ciami v0 i v.

m0 mv0 v

4-1


Nieznan mas# m definiujemy jako

v

v00mm " (4.1)

4.2.2 P!d

P#d cia!a definiujemy jako iloczyn jego masy i jego pr#dko"ci wektorowej.

vm#p (4.2)

(Intuicyjnie, ta wielko"$ ma istotne znaczenie np. przy opisie zderze& gdzie liczy si#

zarówno pr#dko"$ jak i masa.)

4.2.3 Si a

Je%eli na cia!o o masie m dzia!a pojedyncza si!a F1, to definiujemy j jako zmian# w

czasie p#du cia!a.

td

d1

pF " (4.3a)

po rozwini#ciu

tm

t

m

t

m

d

d

d

d

d

)d(1

vv

v$#"F

Dla cia!a o sta!ej masie

aF mt

m ##d

d1

v (4.3b)

Przyk!ady uk!adów o sta!ej i zmiennej masie.

4.3 Zasady dynamiki Newtona

Aby przewidzie$ ruch pod wp!ywem si!y musimy mie$ "teori#". Czy teoria jest do-

bra czy nie mo%na stwierdzi$ tylko poprzez do"wiadczenie.

Podstawowa teoria, która pozwala nam przewidywa$ ruch cia!, sk!ada si# z trzech

równa&, które nazywaj si# zasadami dynamiki Newtona.

Najpierw podamy sformu!owanie, a potem dyskusja i rozwini#cie.

Sformu!owanie pierwszej zasady dynamiki Newtona

Cia!o pozostaje w stanie spoczynku lub w stanie sta!ej pr#dko"ci (zerowe przyspie-

szenie) gdy jest pozostawione samo sobie (dzia!aj ca na nie si!a wypadkowa jest równa

zero).

a = 0, gdy Fwypadkowa = 0

gdzie Fwypadkowa jest sum wektorow wszystkich si! dzia!aj cych na cia!o.

Uwaga: a = 0, oznacza, %e nie zmienia si# ani warto"$ ani kierunek tzn. cia!o jest w

spoczynku lub porusza si# ze sta! co do warto"ci pr#dko"ci po linii prostej (sta!y kie-

runek).

4-2


Sformu!owanie drugiej zasady dynamiki Newtona

Tempo zmiany p#du cia!a jest równe sile wypadkowej dzia!aj cej na to cia!o.

aFp

F mt

wypwyp ## czyli,d

d (4.4)

Zwró$my uwag#, %e w definicji F mówimy o pojedynczej sile, a tu mamy do czynienia

z si! wypadkow .

Sformu!owanie trzeciej zasady dynamiki Newtona

Gdy dwa cia!a oddzia!uj wzajemnie, to si!a wywierana przez cia!o drugie na cia!o

pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do si!y, jak cia!o pierwsze dzia!a na dru-

gie

FA%B = - FB%A

4.3.1 Pierwsza zasada dynamiki Newtona

Pierwsza zasada wydaje si# by$ szczególnym przypadkiem drugiej. Przypisujemy jej

jednak wielk wag# ze wzgl#dów historycznych (prze!amanie dogmatu Arystotelow-

skiego, %e wszystkie cia!a musz si# zatrzyma$ gdy nie ma si! zewn#trznych) oraz dla-

tego, %e zawiera wa%ne prawid!o fizyczne: istnienie inercjalnego uk!adu odniesienia.

Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, %e je%eli na cia!o nie dzia!aj si!y zewn#trzne

i

k!ady iner-

cja

niesienia (obser-

wa

y cia!a-

mi

a zasada dynamiki Newtona

e y obserwator znajduje si# w uk!adzie iner-

cjalnym. Si!a w drugiej zasadzie dynamiki jest si! wypadkow (trzeba bra$ sum# wek-

toro

to stnieje taki uk!ad odniesienia, w którym to cia!o spoczywa lub porusza si" ruchem

jednostajnym prostoliniowym. Taki uk!ad nazywamy uk!adem inercjalnym.

Ka%dy ruch musi by$ opisany wzgl#dem pewnego uk!adu odniesienia. U

lne s tak istotne bo we wszystkich takich uk!adach ruchami cia! rz dz dok!adnie te

sama prawa. Wi#kszo"$ omawianych zagadnie& b#dziemy rozwi zywa$ w!a"nie w in-

ercjalnych uk!adach odniesienia. Zazwyczaj przyjmuje si#, %e s to uk!ady, które spo-

czywaj wzgl#dem gwiazd sta!ych ale uk!ad odniesienia zwi zany z Ziemi w wi#kszo-

"ci zagadnie& jest dobrym przybli%eniem uk!adu inercjalnego.

Poniewa% przyspieszenie cia!a zale%y od przyspieszenia uk!adu od

tora), w którym jest mierzone wi#c druga zasada dynamiki jest s!uszna tylko, gdy

obserwator znajduje si# w uk!adzie inercjalnym. Inaczej mówi c, prawa strona równa-

nia F = ma zmienia!aby si# w zale%no"ci od przyspieszenia obserwatora.

Zauwa%my, %e pierwsza zasada nie wprowadza %adnego rozró%nienia mi#dz

spoczywaj cymi i poruszaj cymi si# ze sta! pr#dko"ci . Ka%dy z tych stanów mo%e

by$ naturalnym stanem cia!a gdy nie ma %adnych si!. Nie ma ró%nicy pomi#dzy sytuacj

gdy nie dzia!a %adna si!a i przypadkiem gdy wypadkowa wszystkich si! jest równa zeru.

4.3.2 Drug

Wi my ju%, %e ta zasada jest s!uszna gd

w wszystkich si!).

Zastanówmy si# jaka jest ró%nica mi#dzy definicj si!y, a drug zasad dynamiki?

4-3


Czy F = ma nie powinno by$ prawdziwe z definicji, a nie dlatego, %e jest to podstawo-

(4.3b) i (4.4) polega na tym, %e w tym drugim wyst#puje

4.3.3 Trzecia zasada dynamiki Newtona

Za!ó%my, %e mamy uk!ad, który sk!ada si# z mA i mB. Wtedy jedynymi si!ami b#d

si!y

ania mi#dzy dwoma cia!ami

we prawo przyrody?

Ró%nica pomi#dzy równaniami

si!a wypadkowa. To jest wa%na ró%nica!!! Oznacza to, %e w tym równaniu jest zawarta

dodatkowa informacja (któr trzeba sprawdzi$ do"wiadczalnie), a mianowicie addytyw-

no"$ masy i wektorowe dodawanie si!. Chocia% wydaje si# to banalne, %e po! czenie

mas m1 i m2 daje przedmiot o masie m = m1 + m2 to jak ka%de twierdzenie w przyrodzie

musi by$ sprawdzone do"wiadczalnie. Istniej wielko"ci fizyczne, które nie s addy-

tywne np. k ty (nieprzemienne dodawanie) czy obj#to"ci mieszanin (np. woda i alko-

hol).

oddzia!ywania mi#dzy tymi cia!ami np. grawitacyjne.

Trzecia zasada stwierdza, %e w przypadku si! oddzia!yw

FA = - FB .

Przyk!ad 1

Rozwa%my uk!ad trzech cia! o masach 3m, 2m i m po! czonych nitkami tak jak na

rysunku. Uk!ad jest ci gni#ty zewn#trzn si! F. Szukamy przyspieszenia uk!adu i na-

pr#%e& nici. Si!y przenoszone s przez sznurki (zak!adamy, %e ich masy s zaniedby-

walne).

F

3mg

R1

2mg

R2R3

mg

N1 -N1N2 -N2

y II zasad# dynamiki dla ka%dego cia!a osobno Piszem

F - N1 = 3ma

odaj c stronami otrzymujemy

F = (3m + 2m + m)a

st d

a = F/6m, N1 = F/2, N2 = F/6

dnostki si!y i masy

(N) 1N = 1kg·1m/s2

N1 -N2 = 2ma

N2 = ma

D

Je

W uk!adzie SI: niuton

4-4


Wyk ad 5

5. Dynamika punktu materialnego II

5.1 Si y kontaktowe i tarcie

5.1.1 Si y kontaktowe

Gdy dwa cia!a s dociskane do siebie to wyst"puj mi"dzy nimi si y kontaktowe. #ród!em tych si! jest odpychanie pomi"dzy atomami. Przy dostatecznie ma!ej odleg!o$ci wyst"puje przekrywanie chmur elektronowych i ich odpychanie rosn ce wraz z malej -c odleg!o$ci . To jest si!a elektromagnetyczna i mo%e by& bardzo du%a w porównanie z si!ami grawitacyjnymi. Je%eli si!a ci"%ko$ci pcha blok w dó! si! Fg to powstaje druga si!a - si!a kontaktowa F1. Si!a wypadkowa Fwyp = 0. We wszystkich przypadkach stosowania drugiej zasady dynamiki Newtona jest bardzo istotne, %eby obliczy& si ! wypadkow". Przyk ad 1

Rozwa%my dwa klocki m1 i m2 na g!adkiej powierzchni. Do klocka m1 przy!o%o-no si!" F. Czy si!a F jest przenoszona poprzez klocek 1 na klocek 2? Gdyby tak by!o to zgodnie z trzeci zasad dynamiki Newtona klocek 2 dzia!a!by na klocek 1 si! równ i przeciwnie skierowan . Wtedy Fwyp równa!aby si" zero!!!!, czyli, %e nie mo%na by by!o poruszy& cia!a 1 bez wzgl"du na to jak du%a jest si!a F.

F Fk -Fk

m2 m1

Zasada Newtona nie mówi, %e si!a F jest przenoszona przez klocek 1 na klocek 2; po-

winno si! przyj"# si ! kontaktow" Fk o dowolnej warto$ci. Ogólnie: powinno si" stoso-wa& drug zasad" dynamiki oddzielnie do ka%dego cia a. Dla klocka 1 otrzymujemy wtedy F - Fk = m1a Dla klocka 2 Fk = m2a St d przyspieszenie a = F/(m1 + m2) Zauwa%my, %e ten wynik mo%na otrzyma& gdy traktujemy te dwa klocki jak jedn mas" m = m1 + m2.

5.1.2 Tarcie

Si!y kontaktowe, o których mówili$my s normalne (prostopad!e) do powierzchni. Istnieje jednak sk!adowa si!y kontaktowej le% ca w p!aszczy'nie powierzchni. Je%eli cia!o pchniemy wzd!u% sto!u to po pewnym czasie cia!o to zatrzyma si". Z drugiej zasa-dy dynamiki wiemy, %e je%eli cia!o porusza si" z przyspieszeniem to musi dzia!a& si!a. Tak si!" nazywamy si! tarcia.

5-1


Rozwa%my np. klocek, do którego przyk!adamy "ma! " si!" F tak, %e klocek nie po-rusza si". Oznacza to, %e sile F przeciwstawia si" si!a tarcia T. Mamy wi"c: T = -F. Zwi"kszamy stopniowo si!" F a% klocek zaczyna si" porusza&. Im g!adsza powierzchnia tym szybciej to nast pi. Oznacza to, %e si!a tarcia zmienia si" od warto$ci zero do pew-nej warto$ci krytycznej w miar" wzrostu si!y F. Oznaczmy t" krytyczn si!" Ts (s-statyczna). To jest maksymalna si a tarcia statycznego. Ts (dla pary powierzchni suchych) spe!nia dwa prawa empiryczne: ! Jest w przybli%eniu niezale%na od powierzchni zetkni!cia (w szerokim zakresie), ! Jest proporcjonalna do si y normalnej (prostopad!ej) z jak" jedna powierzchnia na-

ciska na drug". Stosunek si!y Ts do nacisku FN nazywamy wspó czynnikiem tarcia statycznego "s

N

ss

F

T#" (5.1)

Uwaga: Mówimy tylko o warto$ciach tych si! bo s one do siebie prostopad!e. Je%eli F jest wi"ksze od Ts to klocek poruszy si", ale b"dzie istnia!a si!a tarcia Tk (k - kinetycz-na) przeciwstawiaj ca si" ruchowi. Si!a Tk spe!nia trzy prawa empiryczne: ! Jest w przybli%eniu niezale%na od powierzchni zetkni!cia (w szerokim zakresie), ! Jest proporcjonalna do si y normalnej (prostopad!ej) z jak" jedna powierzchnia na-

ciska na drug", ! Nie zale%y od pr!dko$ci wzgl!dnej poruszania si! powierzchni. Istnieje odpowiedni wspó czynnik tarcia kinetycznego "k

N

kk

F

T#" (5.2)

Dla wi"kszo$ci materia!ów "k jest nieco mniejszy od "s. Np. "k $ 1 dla opon na jezdni betonowej.

Tarcie jest bardzo z!o%onym zjawiskiem i wyja$nienie go wymaga znajomo$ci od-dzia!ywa( atomów na powierzchni. Nie b"dziemy si" tym zajmowa&. Ograniczmy si" do zauwa%enia, %e tarcie odgrywa bardzo istotn rol" w %yciu codziennym. W samo-chodzie np. na pokonanie si!y tarcia zu%ywa si" oko!o 20% mocy silnika. Tarcie powo-duje zu%ywanie poruszaj cych si" cz"$ci maszyn. Staramy si" je zwalcza&. Z drugiej strony bez tarcia nie mogliby$my chodzi&, je'dzi& samochodami, trzyma& o!ówka, kre-dy, czy te% nimi pisa&.

5.2 Si y bezw adno!ci

We wst"pie wyszczególnione zosta!y cztery rodzaje si! wyst"puj cych w przyrodzie. Wszystkie te si!y nazywamy si ami rzeczywistymi, poniewa% mo%emy je zawsze zwi -za& z jakim$ konkretnym cia!em, mo%emy poda& ich pochodzenie. Czy to samo mo%e-my powiedzie& np. o takich si!ach jakich dzia!ania "doznajemy" np. przy przyspiesza-niu, hamowaniu czy zakr"caniu samochodu?

5-2


Przyk ad 2 Dwaj obserwatorzy opisuj ruch kulki w sytuacji pokazanej na rysunku poni%ej. Jeden z obserwatorów znajduje si" w wózku a drugi stoi na Ziemi. Wózek pocz tkowo porusza si" ze sta! pr"dko$ci po linii prostej (rys. 1), nast"pnie hamuje ze sta!ym opó'nieniem a (rys. 2). Mi"dzy kulk a wózkiem nie ma tarcia.

v(1) (2)vk=0, F=0

vk=const, F=0vk=const, F=0

- a a

F1=-ma

Gdy wózek jedzie ze sta! pr"dko$ci to obydwaj obserwatorzy stwierdzaj zgodnie na podstawie pierwszej zasady dynamiki, %e na kulk" nie dzia!a %adna si!a. Zwró&my uwa-g", %e obserwatorzy znajduj si" w inercjalnych uk!adach odniesienia. Sytuacja zmienia si" gdy wózek zaczyna hamowa& (rys. 2). Obserwator zwi zany z Ziemi dalej twierdzi, %e kulka porusza si" ze sta! pr"dko$ci , a tylko pod!oga wózka przesuwa si" pod nim. Natomiast obserwator w wózku stwierdza, %e kulka zaczyna si" porusza& si" z przyspie-szeniem –a w stron" przedniej $ciany wózka. Dochodzi do wniosku, %e na kulk" o ma-sie mk zacz"!a dzia!a& si!a

F1 = - mka ale nie mo%e wskaza& %adnego cia!a, b"d cego 'ród!em tej si!y. Mówili$my ju%, %e dru-ga zasada dynamiki jest s!uszna tylko w inercjalnym uk!adzie odniesienia. Zauwa%my, %e obserwator w wózku znajduje si" teraz w uk!adzie nieinercjalnym. Wida&, %e jest w b!"dzie; nie istnieje rzeczywista si!a F1. Jest to tak zwana pozorna si a bezw adno$ci.

Powstaje wi"c pytanie jak post"powa& gdy musimy rozwi za& problem w uk!adzie nieinercjalnym. W tym celu rozpatrzmy dalszy ruch kulki. Gdy dotrze ona do przedniej $cianki to wówczas wed!ug obserwatora na Ziemi (uk!ad inercjalny) b"dzie porusza& si" z przyspieszeniem a (takim jak wózek) bo dzia!a na ni si!a Fs spr"%ysto$ci przedniej $ciany wózka równa

Fs = mka

Natomiast obserwator w wózku stwierdza, %e kulka przesta!a si" porusza&; spoczywa wzgl"dem niego. Jego zdaniem si!a spr"%ysto$ci $ciany Fs równowa%y si!" F1, tak %e si!a wypadkowa jest równa zeru i kulka nie porusza si"

Fs + F1 = 0 co po podstawieniu za F1 = - mka daje

5-3


Fs = mka

Okazuje si", %e wynik otrzymany przez obserwatora w uk!adzie nieinercjalnym jest taki sam jak dla obserwatora zwi zanego z Ziemi ale pod warunkiem uwzgl"dnienia si po-

zornych. Si!y te "znikaj " je$li rozpatrujemy ruch z punktu widzenia uk!adu inercjalne-go. Wprowadzenie ich pozwala po prostu na stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarze( w uk!adach poruszaj cych si" z przyspieszeniem. W takim uk!adzie uwzgl"d-niamy, %e na ka%de cia!o dzia!a si!a wprost proporcjonalna do masy tego cia!a, do przy-spieszenia uk!adu a i jest skierowana przeciwnie do a. Przyk ad 3

Winda porusza si" ruchem jednostajnie zmiennym. Czas spadania cia!a puszczonego swobodnie w tej windzie, na drodze od sufitu do pod!ogi, jest o 25% wi"kszy ni% w windzie stoj cej. Obliczy& przyspieszenie windy. Dane jest przyspieszenie ziemskie g. Rozwi zujemy zadanie w uk!adzie inercjalnym i nieinercjalnym tzn. obserwator w jed-nym przypadku znajduje si" na zewn trz windy, a w drugim jest pasa%erem tej windy.

H

h

W przypadku pierwszym obserwator "widzi" (mierzy), %e cia!o przebywa d!u%sz drog"

gdy winda jest w ruchu. Dla windy stoj cej

2

21gt

H #

Dla windy w ruchu

2

22gt

hH #%

oraz

2

22at

h #

przy czym

12 t45

t #

Rozwi zanie tego uk!adu równa( daje wynik ga25

9#

5-4


Drugi obserwator za ka%dym razem widzi, %e cia!o przebywa t" sam drog" H od sufitu do pod!ogi ale w ró%nych czasach. Wniosek: w obu przypadkach jest ró%ne przyspie-szenie. Obserwator wprowadza do oblicze( dodatkow si!" nadaj c przyspieszenie –a. Odpowiednie równania wygl daj teraz: Dla windy stoj cej

2

21gt

H #

Dla windy w ruchu

2

)( 22tag

H&

#

Uwzgl"dniaj c, %e

12 4

5tt #

otrzymujemy ga25

9# .

Tak wi"c uwzgl!dnienie si bezw adno$ci jest konieczne je%eli chcemy stosowa# zasady

dynamiki w uk adach nieinercjalnych. W takim uk!adzie uwzgl"dniamy, %e na ka%de cia!o dzia!a si!a wprost proporcjonalna do masy tego cia!a, do przyspieszenia uk!adu a i jest skierowana przeciwnie do a.

Inny przyk!ad stanowi uk!ady nieinercjalne poruszaj ce si" ruchem obrotowym. Np. obserwator w satelicie kr % cym wokó! Ziemi obserwuj c cia!o spoczywaj ce w tym satelicie stwierdza, %e si!a wypadkowa dzia!aj ca na ten obiekt jest równa zeru. Musi wi"c istnie&, wed!ug niego, si!a która równowa%y si!" grawitacji (do$rodkow ). Si!" t" nazywamy si " od$rodkow" i jest to si a pozorna.

Na zako(czenie rozpatrzmy ruch post"powy cia!a w obracaj cym si" uk!adzie od-niesienia. Przyk!adem mo%e by& cz!owiek poruszaj cy si" po linii prostej (radialnie) od $rodka do brzegu karuzeli obracaj cej si" z pr"dko$ci k tow '. Na rysunku poni%ej pokazana jest zmiana pr"dko$ci cz!owieka.

()!

vr

vr vs

vs

r

r+(r!A

A'

'!

vr

vr

(vr

()

Linia (promie() wzd!u% której porusza si" cz!owiek zmienia swój kierunek (karuzela obraca si") o k t ()!w czasie (t, cz!owiek zmienia swoje po!o%enie z punktu A do A'. Obliczymy teraz zmian" jego pr"dko$ci radialnej vr i stycznej vs. Pr"dko$& radialna zmienia swój kierunek.

5-5


Pr"dko$& styczna natomiast zmienia zarówno kierunek (przyspieszenie do$rodkowe) ale równie% warto$& bo cz!owiek oddala si" od $rodka (ro$nie r). Najpierw rozpatrzmy ró%nic" pr"dko$ci vr w punktach A i A' pokazan na powy%szym rysunku po prawej stronie. Dla ma!ego k ta () (tzn. ma!ego (t) mo%emy napisa&

(vr = vr ()!

Je%eli obustronnie podzielimy równanie przez (t to w granicy (t 0 otrzymamy

')

rrr

tta v

dv

v###

d

d

d1 !

Zmienia si" równie% pr"dko$& styczna bo cz!owiek porusza si" wzd!u% promienia. W punkcie A pr"dko$& styczna vs = 'r, a w punkcie A' vs' = '(r+(r). Zmiana pr"dko$ci stycznej wynosi wi"c

(vs = '(r+(r) - 'r = '(r!

!

Je%eli obustronnie podzielimy równanie przez (t to w granicy (t 0 otrzymamy

rs

t

r

ta v

v'' ###

d

d

d

d2

Przyspieszenia a1 i a2 maj ten sam kierunek (równoleg!y do vs) wi"c przyspieszenie ca!kowite wynosi a = a1 + a2 = 2'vr (5.3) Przyspieszenie to jest nazywane przyspieszeniem Coriolisa. Pochodzi ono st d, %e na-wet przy sta!ej pr"dko$ci k towej ' ro$nie pr"dko$& liniowa cz!owieka bo ro$nie r. Gdyby cz!owiek sta! na karuzeli to obserwator stoj"cy na ziemi mierzy!by tylko przy-spieszenie do$rodkowe ('2

r) skierowane do $rodka wzd!u% promienia. Natomiast gdy cz!owiek idzie na zewn trz to obserwator rejestruje tak%e przyspieszenie Coriolisa (o kierunku równoleg!ym do vs). Oczywi$cie musi istnie& si!a dzia!aj ca w tym kierunku. Jest ni w tym przypadku si!a tarcia mi"dzy pod!og i butami id cego cz!owieka. Jednak obserwator zwi zany z karuzel nie widzi ani przyspieszenia do$rodkowego ani

ruszaj ce si" ruchem post"powym z pr"dko$ci v w ob-

Fc = 2mv*'!! (5.4)

przyspieszenia Coriolisa, cz!owiek poruszaj cy si" wzd!u% promienia jest w stanie rów-nowagi w uk!adzie karuzeli. A przecie% istnieje realnie odczuwalna (rzeczywista) si!a tarcia. )eby wyeliminowa& t" rozbie%no$& obserwator stoj cy na karuzeli wprowadza dwie si!y pozorne równowa% ce si!" tarcia. Jedna to si a od$rodkowa, a druga to si a

Coriolisa. Si!a od$rodkowa dzia!a radialnie na zewn trz, a si!a Coriolisa stycznie ale przeciwnie do vs. Ogólnie, na cia!o o masie m poracaj cym si" uk!adzie odniesienia dzia!a si!a bezw!adno$ci zwana si! Coriolisa Fc

5-6


Wprowadzenie si! pozornych (nie umiemy pokaza& ich 'ród!a) jest konieczne aby móc

iruje. W wyniku tego ob-rotu

stosowa& mechanik" klasyczn w uk!adach nieinercjalnych. Ziemia nie jest idealnym uk!adem inercjalnym poniewa% w w zjawiskach zachodz cych na Ziemi obserwujemy si!" Coriolisa. Przyk!adowo,

rzeki p!yn ce na pó!kuli pó!nocnej podmywaj silniej prawy brzeg. Równie% cia!a spa-daj ce swobodnie odchylaj si" od pionu pod dzia!aniem tej si!y. W wi"kszo$ci rozpa-trywanych przez nas zjawisk mo%na jednak zaniedba& wp!yw ruchu Ziemi na ich prze-bieg.

5-7


Wyk ad 6

6. Ci!"enie powszechne (grawitacja)

6.1 Prawo powszechnego ci !enia

Newton - 1665 spadanie cia!. Skoro istnieje si!a przyci gania pomi"dzy dowolnym

cia!em i Ziemi , to musi istnie# si!a mi"dzy ka$dymi dwoma masami m1 i m2. Skoro si!a

jest proporcjonalna do masy cia!a to musi by# proporcjonalna do ka$dej z mas m1 i m2

oddzielnie czyli:

F m1m2

Newton zastanawia! si" równie$, czy si!a dzia!aj ca na cia!a b"dzie mala!a wraz ze

wzrostem odleg!o%ci. Doszed! do wniosku, $e gdyby cia!o znalaz!o si" w odleg!o%ci ta-

kiej jak Ksi"$yc to b"dzie ono mia!o takie samo przyspieszenie jak Ksi"$yc bowiem

natura si!y grawitacyjnej pomi"dzy Ziemi i Ksi"$ycem jest taka sama jak pomi"dzy

Ziemi i ka$dym cia!em.

Przyk ad 1

Obliczmy jakie jest przyspieszenie Ksi"$yca i jaki jest stosunek przyspieszenia

Ksi"$yca do przyspieszenia grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi?

Zastosujemy równanie na przyspieszenie do%rodkowe (wyk!ad 3 - ruch jednostajny po

okr"gu). Wówczas:

2

22

2 4

T

RR

Ra K

K

K

!" ###

v

gdzie RK jest odleg!o%ci od Ziemi do Ksi"$yca. Ta odleg!o%# wynosi 3.86·105 km,

a okres obiegu Ksi"$yca T = 27.3 dnia. Otrzymujemy wi"c

a = 2.73·10-3

m/s2

W pobli$u powierzchni Ziemi przyspieszenie wynosi 9.8 m/s2. St d stosunek przyspie-

sze& wynosi:

a/g = 1/3590 $ (1/60)2

W granicach b!"du a/g = . 22 / KZ RR

Newton wykona! takie obliczenia i wyci gn ! wniosek, $e si!a przyci gania mi"dzy

dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odleg!o%ci mi"dzy nimi

(odleg!o%# mi"dzy %rodkami mas). Sformu!owa! wi"c prawo powszechnego ci $enia

2

21~r

mmF

Sta! proporcjonalno%ci oznacza si" G, wi"c

6-1


2

21

r

mmGF # (6.1)

Newton oszacowa! warto%# sta!ej G zak!adaj c %redni g"sto%# Ziemi % = 5·103 kg/m

3

(porówna# to z g"sto%ci pierwiastków z uk!adu okresowego np. %Si = 2.8·103 kg/m

3,

%Fe = 7.9·103 kg/m

3).

Punktem wyj%cia jest równanie:

2

21

r

mmGF #

Je$eli we'miemy r = RZ to otrzymamy:

2

21

ZR

mmGF #

Zgodnie z II zasad Newtona F = ma, gdzie a = g.

St d

mgR

mmG

Z

#2

21

wi"c

Z

Z

M

gRG

2

#

Wiemy, $e MZ = %VZ wi"c

ZZ

Z

R

g

R

gRG

!%!% 4

3

3

4 3

2

##

Uwzgl"dniaj c RZ = 6.37·106 m otrzymamy G = 7.35·10

-11 Nm

2/kg

2 co jest warto%ci

tylko o 10% wi"ksz ni$ ogólnie przyj"ta warto%# 6.67·10-11

Nm2/kg

2.

Porównuj c przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Ksi"$yca i na powierzchni Ziemi,

Newton zak!ada!, $e Ziemia zachowuje si" tak jakby jej ca!a masa by!a skupiona w

%rodku. Zgadywa!, $e tak ma by# ale dowód matematyczny przeprowadzi! dopiero 20

lat pó'niej (wtedy te$ sformu!owa! rachunek ca!kowy).

Równanie (6.1) nazywa si! prawem powszechnego ci"#enia, poniewa# dok adnie to sa-

mo prawo stosuje si! do wszystkich si grawitacyjnych. To samo prawo wyja%nia spada-

nie cia! na Ziemi", t!umaczy ruch planet, pozwala obliczy# ich masy i okresy obiegu.

Przyk ad 2

Jaki by! okres obiegu Ksi"$yca przez modu! statku Apollo?

F = ma

6-2


2R

mMGF K#

gdzie MK jest mas Ksi"$yca, a R promieniem orbity po jakiej kr $y modu! o masie m.

Poniewa$ przyspieszenie

2

24

T

Ra

!#

wi"c

&&'

())*

+#

2

2

2

4

T

Rm

R

mMG K !

KGM

RT

322 4!#

KGM

RT

3

2!#

Podstawiaj c warto%ci liczbowe: promie& Ksi"$yca R = 1740 km, mas" MK = 7.35·1022

kg i G = 6.67·10-11

Nm2/kg

2, otrzymamy T = 6.5·10

3 s czyli 108 minut.

6.2 Do"wiadczenie Cavendisha

Newton obliczy! warto%# sta!ej G na podstawie przyj"tego za!o$enia o %redniej war-

to%ci g"sto%ci Ziemi. Gdyby Ziemia mia!a tak jak gwiazdy j dro o super wielkiej g"sto-

%ci to wynik uzyskany przez Newtona by!by obarczony du$ym b!"dem. Czy mo$na wy-

znaczy# sta! G w laboratorium niezale$nie od masy Ziemi i tym samym unikn # b!"du

zwi zanego z szacowaniem g"sto%ci Ziemi?

W tym celu trzeba zmierzy# si!" oddzia!ywania dwóch mas m1 i m2 umieszczonych

w odleg!o%ci x (rysunek).

x

m1 m2

F F

Wówczas si!a

F = Gm1m2/x2

czyli

21

2

mm

FxG #

6-3


Zauwa$my, $e dla mas ka$da po 1 kg oddalonych od siebie o 10 cm si!a F ma warto%#

F = 6.67·10-9

N tj. 109 razy mniej ni$ ci"$ar 1 kg i jest za ma!a by j wykry# (dok!adnie)

zwyk!ymi metodami.

Problem ten rozwi za! Henry Cavendish w 1797 r. Wykorzysta! on fakt, $e si!a po-

trzebna do skr"cenia d!ugiego, cienkiego w!ókna kwarcowego o kilka stopni jest bardzo

ma!a. Cavendish najpierw wykalibrowa! w!ókna, a nast"pnie zawiesi! na nich pr"t z

dwiema ma!ymi kulkami o!owianymi na ko&cach (rysunek a). Nast"pnie w pobli$u ka$-

dej z kulek umie%ci! wi"ksz kul" o!owian i zmierzy! precyzyjnie k t o jaki obróci! si"

pr"t (rysunek b). Pomiar wykonane metod Cavendisha daj warto%# G = 6.67·10-11

Nm2/kg

2.

m

m

M

M

,

a) b)

6.2.1 Wa"enie Ziemi

Maj c ju$ godn zaufania warto%# G, Cavendish wyznaczy! MZ z równania:

G

gRM Z

Z

2

#

Wynik pomiaru jest równie dok!adny jak wyznaczenia sta!ej G. Cavendish wyznaczy! te$ mas" S!o&ca, Jowisza i innych planet, których satelity zosta!y zaobserwowane. Np.

na rysunku poni$ej niech M b"dzie mas S!o&ca, a m mas planety kr $ cej wokó! S!o&ca np. Ziemi.

6-4


R M

m

Wtedy

F = GMm/R2

Poniewa$ przyspieszenie

a = 4!2R/T

to z równania F = ma otrzymujemy

&&'

())*

+#

2

2

2

4

T

Rm

R

MmG

!

czyli

2

324

GT

RM

!#

Je$eli R jest odleg!o%ci Ziemia - S!o&ce, T = 1 rok, to M jest mas S!o&ca. Podobne

obliczenia mo$na przeprowadzi# dla innych planet.

6.3 Prawa Keplera ruchu planet

Zanim Newton zapostulowa! prawo powszechnego ci $enia, Johannes Kepler

stwierdzi!, $e ruch planet stosuje si" do trzech prostych praw. Prawa Keplera wzmocni-

!y hipotez" Kopernika. Praca Keplera (1609 - 1619) by!a wielkim odkryciem i aktem

odwagi zw!aszcza po tym jak w 1600 roku spalono na stosie Giordana Bruno zwolenni-

ka systemu heliocentrycznego. Przypomnijmy, $e nawet Galileusz zosta! zmuszony do

publicznego odwo!ania swoich pogl dów (1633 r) mimo, $e papie$ by! jego przyjacie-

lem.

Dogmatem wtedy by! pogl d, $e planety poruszaj si" wokó! Ziemi po skomplikowa-

nych torach, które s z!o$eniem pewnej liczby okr"gów. Np. do opisania orbity Marsa

trzeba by!o oko!o 12 okr"gów ró$nej wielko%ci.

Kepler poszukiwa! nieskomplikowanej geometrycznie orbity, $eby udowodni# $e Mars

i Ziemia musz obraca# si" wokó! S!o&ca. Po latach pracy odkry! trzy proste prawa,

które zgadza!y si" z wynikami pomiarowymi pozycji planet z bardzo du$ dok!adno-

%ci . Te prawa stosuj si" te$ do satelitów okr $aj cych jak % planet".

6-5


-. Pierwsze prawo Keplera

Ka#da planeta kr"#y po orbicie eliptycznej, ze S o$cem w jednym z ognisk tej elipsy.

-. Drugie prawo Keplera (prawo równych pól)

Linia "cz"ca S o$ce i planet! zakre%la równe pola w równych odst!pach czasu.

-. Trzecie prawo Keplera

Sze%ciany pó osi wielkich orbit dowolnych dwóch planet maj" si! do siebie jak kwadra-

ty ich okresów obiegu. (Pó!o% wielka jest po!ow najd!u$szej ci"ciwy elipsy).

Dla orbit ko!owych 2

2

2

1

3

2

3

1

T

T

R

R#

Newton rozwijaj c swoj teori" potrafi! dowie%#, $e tylko wtedy, gdy si!a jest odwrotnie

proporcjonalna do kwadratu odleg!o%ci, orbita dowolnej planety jest elips ze S!o&cem

w jednym z ognisk oraz, $e 2

2

2

1

3

2

3

1

T

T

R

R# . Newton wyprowadzi! prawa Keplera z zasad dy-

namiki. Przyk!adowo wyprowad'my III prawo Keplera dla planet poruszaj cych si" po

orbitach ko!owych.

Korzystaj c z otrzymanego uprzednio wzoru na mas" S!o&ca otrzymamy dla pierwszej

planety:

2

1

3

1

24

GT

RM

!#

a dla drugiej

2

2

3

2

24

GT

RM

!#

Porównuj c otrzymamy

2

2

2

1

3

2

3

1

2

2

3

2

2

1

3

1 czyliT

T

R

R

T

R

T

R##

Drugie prawo Keplera wynika z zasady zachowania p"du (dowód mo$na pomin #).

6.4 Ci#!ar

Ci!#ar zazwyczaj definiujemy jako si ! ci"#enia dzia aj"c" na cia o. W pobli$u po-

wierzchni Ziemi dla cia!a o masie m b"dzie ona równa mg. Na Ksi"$ycu ci"$ar jest

mniejszy w porównaniu z ci"$arem na Ziemi oko!o sze%# razy.

165.02

2

2

2

###KZ

ZK

Z

Z

K

K

Z

K

RM

RM

R

mMG

R

mMG

F

F

Definicja ci"$aru mo$e by# myl ca. Np. astronauta pomimo, $e dzia!a na niego jeszcze

si!a ci $enia uwa$a, $e jest w stanie niewa$ko%ci. Fizjologiczne odczucie ci"$aru czyli

ile si!y trzeba w!o$y# np. do podniesienia r"ki.

6-6


6.4.1 Ci#"ar pozorny, masa bezw adna i masa grawitacyjna

Wa$n konsekwencj tego, $e si!a grawitacyjna dzia!aj ca na cia!o jest proporcjo-

nalna do jego masy, jest mo$liwo%# pomiaru masy za pomoc mierzenia si!y grawita-

cyjnej. Mo$na to zrobi# u$ywaj c wagi spr"$ynowej albo porównuj c si!y grawitacyjne

dzia!aj ce na mas" znan (wzorzec) i na mas" nieznan innymi s!owy wa$ c cia!o na

wadze. Powstaje pytanie czy w obu metodach mierzymy t" sam w!a%ciwo%#. Np. gdy

spróbujemy pchn # klocek po idealnie g!adkiej poziomej powierzchni to wymaga to

pewnego wysi!ku, a przecie$ ci $enie nie pojawia si" tu w ogóle. Konieczno%# przy!o-

$enia si!y jest zwi zana z mas . Ta masa wyst"puje we wzorze F = ma. Nazywamy j

mas" bezw adn" m. W innej sytuacji utrzymujemy ten klocek uniesiony w gór" w stanie

spoczynku. Bezw!adno%# nie odgrywa tu $adnej roli bo cia!o nie przyspiesza, jest w

spoczynku. Ale musimy u$ywa# si!y o warto%ci równej przyci ganiu grawitacyjnemu

mi"dzy cia!em i Ziemi , $eby cia!o nie spad!o. Odgrywa tu rol" ta w!a%ciwo%# cia!a,

która powoduje jego przyci ganie przez inne obiekty takie jak Ziemia i si!a jest tu dana

wzorem

2

'

Z

Z

R

MmGF #

gdzie m' jest mas" grawitacyjn". Czy m i m' cia!a s sobie równe?

Masa bezw!adna m spadaj c swobodnie w pobli$u powierzchni Ziemi ma przyspiesze-

nie a1, przy czym 1

2

111

'

Z

Z

R

MmGam #

je$eli inna masa m2 uzyskuje inne przyspieszenie a2 to

2

222

'

Z

Z

R

MmGam #

Dziel c te równania przez siebie otrzymamy

'

'

2

1

22

11

m

m

am

am#

Widzimy, $e je$eli wszystkie cia!a spadaj z tym samym przyspieszeniem a1 = a2 = g to

stosunek mas bezw!adnych jest równy stosunkowi mas grawitacyjnych. Je$eli dla jednej

substancji ustalimy, $e masa bezw!adna jest równa masie grawitacyjnej to prawdziwe to

b"dzie dla wszystkich substancji. Aktualnie jeste%my w stanie stwierdzi#, $e a1 = a2 z

dok!adno%ci 10-10

. Te wyniki sugeruj , $e masa bezw!adna jest równa masie grawita-

cyjnej. To stwierdzenie nazywa si" zasad" równowa#no%ci.

Konsekwencj jest to, $e nie mo$na rozró$ni# mi"dzy przyspieszeniem uk!adu (labora-

torium), a przyspieszeniem grawitacyjnym. Ta zasada jest punktem wyj%cia ogólnej teo-

rii wzgl"dno%ci Einsteina.

6-7


6.5 Pole grawitacyjne

Na przyk!adzie si! grawitacyjnych omówimy wa$ne w fizyce poj"cie pola. Nasze

rozwa$ania rozpoczynamy od umieszczenia masy M w pocz tku uk!adu. W punkcie

przestrzeni opisanym wektorem r znajduje si" natomiast masa m. Wektor r opisuje po-

!o$enie masy m wzgl"dem masy M wi"c si!" oddzia!ywania grawitacyjnego mi"dzy ty-

mi masami (równanie 6.1) mo$emy zapisa# w postaci wektorowej

rr

F32 r

MmG

rr

MmG /#/# (6.2)

Zwró#my uwag", $e si!" t" mo$emy potraktowa# jako iloczyn masy m i wektora 0(r)

przy czym

rF

r3

)(r

MG

m/##0 (6.3)

Je$eli w punkcie r umie%ciliby%my inn mas" np. m' to ponownie mogliby%my zapisa#

si!" jako iloczyn masy m' i tego samego wektora 0(r)

)('' r0mF #

Widzimy, $e wektor 0(r) nie zale$y od obiektu na który dzia!a si!a (masy m) ale zale$y

od 'ród!a si!y (masa M) i charakteryzuje przestrze& otaczaj c 'ród!o (wektor r). Ozna-

cza to, $e masa M stwarza w punkcie r takie warunki, $e umieszczona w nim masa m

odczuje dzia!anie si!y. Inaczej mówi c masie M przypisujemy obszar wp ywu (dzia a-

nia), czyli pole.

Zwró#my uwag", $e rozdzielili%my si!" na dwie cz"%ci. Stwierdzamy, $e jedna masa

wytwarza pole, a nast"pnie to pole dzia a na drug" mas!. Taki opis pozwala uniezale$-

ni# si" od obiektu (masy m) wprowadzanego do pola.

Z poj"cia pola korzysta si" nie tylko w zwi zku z grawitacj . Jest ono bardzo u$y-

teczne równie$ przy opisie zjawisk elektrycznych i magnetycznych. (ród!ami i obiek-

tami dzia!ania pola elektrycznego s !adunki w spoczynku, a pola magnetycznego !a-

dunki w ruchu. W!a%ciwo%ci pól wytwarzanych przez !adunki elektryczne omówimy w

dalszych rozdzia!ach.

Chocia$ pole jest poj"ciem abstrakcyjnym jest bardzo u$yteczne i znacznie uprasz-

cza opis wielu zjawisk. Na przyk!ad gdy mamy do czynienia z wieloma masami, mo-

$emy najpierw obliczy# w punkcie r pole pochodz ce od tych mas, a dopiero potem si!"

dzia!aj c na mas" umieszczon w tym punkcie.

Z polem si! wi $e si" nie tylko przestrzenny rozk!ad wektora nat"$enia pola, ale

równie$ przestrzenny rozk!ad energii. W!a%nie zagadnieniom dotycz cym pracy

i energii s po%wiecone nast"pne rozdzia!y.

6.5.1 Pole grawitacyjne wewn!trz kuli

Rozpatrzmy teraz pole czaszy kulistej o masie m i promieniu R. Dla r > R pole jest

równe Gm/r2 tj. tak jakby ca!a masa by!a skupiona w %rodku kuli (przyk!ad z satelit ).

Jakie jest jednak pole wewn trz czaszy?

6-8


Rozwa$my przyczynki od dwóch le$ cych naprzeciwko siebie powierzchni A1 i A2

w punkcie P wewn trz czaszy (rysunek poni$ej). Fragment A1 czaszy jest 'ród!em si!y

F1 ~ A1/(r1)2 ci gn cej w lewo. Powierzchnia A2 jest 'ród!em si!y ci gn cej w prawo F2

~ A2/(r2)2 .

A1 A2

Pr1 r2

Mamy wi"c

2

1

2

2

2

1

2

1

r

r

A

A

F

F#

Z rozwa$a& geometrycznych wida#, $e

2

2

2

1

2

1

r

r

A

A#

(pola powierzchni sto$ków ~ do kwadratu wymiarów liniowych)

Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy

12

1 #F

F

Tak wi"c wk!ady wnoszone przez A1 i A2 znosz si". Mo$na w ten sposób podzieli# ca!

czasz" i uzyska# si!" wypadkow równ zero. Tak wi"c wewn trz czaszy pole grawita-

cyjne jest równe zeru. Pole wewn trz czaszy maj cej skorup" dowolnej grubo%ci te$ jest

zero bo mo$emy podzieli# t" skorup" na szereg cienkich warstw koncentrycznych.

Na rysunku poni$ej przedstawiono pe!n kul" o promieniu R i masie M.

P

R

r

W punkcie P pole pochodz ce od zewn"trznej warstwy jest zerem. Pole pochodzi wi"c

tylko od kuli o promieniu r czyli

a = Gm/r2 lub a = G%V/r

2

6-9


Dla kuli V = 4!r3/3. G"sto%#

3

3

4R

M

!% # wi"c pole w punkcie P wynosi r

R

MGa

3#

Widzimy, $e pole zmienia si" liniowo z r.

a

g

r RZ

~r ~1/r2

6-10


Wyk ad 7

7. Praca i energia

7.1 Wst p

Podstawowym zagadnieniem dynamiki jest okre"lenie ruchu punktu, je#eli znana jest si!a dzia!aj ca na ten punkt. W pierwszym kroku wyznaczamy przyspieszenie

a = F/m Gdy m i F sta!e to a te# jest sta!e i wtedy mo#emy prosto obliczy$ pr%dko"$

v = v0 + at

i po!o#enie x = v0t + at

2/2 Zagadnienie jest bardziej z!o#one gdy F nie jest sta!a. Trzeba pos!ugiwa$ si% bardziej skomplikowan matematyk (ca!kowanie). Mamy cz%sto do czynienia z takimi si!ami np. si!a grawitacji mi%dzy dwoma cia!ami zale#y od ich odleg!o"ci, si!a wywierana przez rozci gni%t spr%#yn% zale#y od stopnia rozci gni%cia. Post%powanie pozwalaj ce okre"li$ ruch punktu prowadzi nas do poj%cia pracy, energii i twierdzenia o pracy i energii. Zagadnienia zwi zane z energi s tak istotne (szeroko rozumiana ekonomia, ekologia, zasoby energii itd.), #e ich znajomo"$ jest konieczna dla wszelkich rozwa#a& zarówno ekonomicznych, technologicznych jak i spo!ecznych. Pro-blemy energii (jej ró#ne formy ich konwersja itd.) b%d odt d przewija$ si% stale przez wyk!ady. Z energi zwi zana jest najwa#niejsza chyba zasada ca!ej fizyki - zasada za-

chowania energii. Nak!ada ona sztywne granice na przetwarzanie energii i jej wykorzy-stanie. B%dzie ona centralnym tematem wi%kszo"ci dzia!ów fizyki omawianych na wyk!adach. W mechanice zasada zachowania energii pozwala oblicza$ w bardzo prosty sposób ruch cia! bez konieczno"ci korzystania z zasad dynamiki Newtona.

7.2 Praca wykonana przez sta!" si!

W najprostszym przypadku, si!a F jest sta!a, a punkt porusza si% w kierunku dzia!a-nia si!y. Wtedy W = F·s = Fs cos (7.1) (Iloczyn dwóch wektorów daje liczb%). Zastanówmy si% czy k t mo#e by$ ró#ny od zera? Odpowied' jest twierdz ca, bo sta-!a si!a nie musi mie$ kierunku zgodnego z kierunkiem ruchu punktu materialnego. Oczywi"cie musz dzia!a$ jeszcze inne si!y (np. ci%#ar, tarcie). Gdyby dzia!a!a tylko jedna to i tak cia!o nie musia!oby porusza$ si% w kierunku jej dzia!ania np. rzut uko"ny (tylko grawitacja). Wzór Fs cos okre"la jedynie prac% wykonan przy przemieszczaniu punktu przez jed-n si!%. Prac% wykonan przez inne nale#y obliczy$ oddzielnie i potem je zsumowa$.

7-1


Zwró$my uwag%, #e gdy = 0 otrzymujemy pierwszy wzór Fs. Gdy = 90! to z rów-nania wynika, #e W = 0. Przyk ady

(a) i (b) W = 0 bo = 90!, (c) i (d) bo przesuni%cie s = 0. Jednostk pracy jest w uk!adzie SI d!ul (J), 1J = 1N·1m.

Q

R

F

v=const

Q

N

Q

R1 R2

a) b) c) d)

Cz%sto u#ywa si% jednostki elektronowolt 1eV = 1.6·10-19 J. Przyk ad 2

Sanki o masie 5 kg s ci gni%te ze sta " pr#dko$ci" po poziomej powierzchni (rysunek). Jaka praca zostanie wykonana na drodze s = 9 m, je"li wspó!czynnik tarcia kinetyczne-go wynosi 0.2, a sznurek, za który ci gniemy tworzy k t 45! z poziomem?

mg

F

T

R

Prac% obliczamy z zale#no"ci:

W = Fs cos Aby obliczy$ prac% musimy znale'$ F. Z warunku sta!ej pr%dko"ci (w kierunku pozio-mym)

Fcos - T = 0 a dla kierunku pionowego

Fsin +R - mg = 0 Nacisk na pod!o#e (równy reakcji pod!o#a) wynosi mg - Fsin , wi%c si!a tarcia wynosi

7-2


T = " (mg - Fsin )

Te równania pozwalaj wyliczy$ F (eliminuj c T).

F = "mg/(cos +"sin ) wi%c praca

W = Fs cos = "mgs cos /(cos +"sin )

7.3 Praca wykonana przez si! zmienn"

Rozwa#my teraz si!% b%d c funkcj po!o#enia F(x), której kierunek jest zgodny z osi x. Szukamy pracy jak wykona ta si!a przy przesuwaniu cia!a od po!o#enia x1 do po!o#enia x2. Jak skorzysta$ ze wzoru W = Fs cos czyli co podstawi$ za F, skoro war-to"$ jej zmienia si% (rysunki poni#ej)?

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

20

25

30

35

40

45

50

F (

x)

X

Zaczynamy od przybli#enia. Dzielimy ca!kowite przemieszczenie na n jednakowych odcinków #x (rysunek poni#ej). Wewn trz takiego przedzia!u przyjmujemy (to jest to przybli#enie), #e si!a jest sta!a (prawie) i mo#emy teraz policzy$ prac% na tym odcinku #x: #Wi = Fi#x, gdzie Fi jest warto"ci si!y na tym odcinku. Zwró$my uwag%, #e od strony czysto formalnej (geometria) liczenie pracy jest równowa#ne liczeniu sumy po-wierzchni prostok tów o szeroko"ci #x i wysoko"ci Fi. Nast%pnie mo#emy zsumowa$ prace na kolejnych odcinkach (zsumowa$ pola prostok tów) i otrzyma$ prac% ca!kowi-t .

$%

#%n

i

i xFW1

(eby poprawi$ to przybli#enie dzielimy przedzia! (x1, x2) na wi%cej (mniejszych) odcin-ków #x (patrz kolejny rysunek).

7-3


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

20

30

40

50

F (

x)

X

I teraz znowu powtarzamy procedur% sumowania. Przybli#enie jest lepsze bo si!a ma prawie sta! warto"$ wewn trz "ma!ych" przedzia!ów #x (pola powierzchni prostok -tów bardziej pokrywaj si% z polem pod krzyw ).

Wida$, #e rozwi zaniem problemu jest przej"cie (w granicy) #x & 0.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

F (

x)

X

Stosujemy t% sam procedur% obliczaj c

$ '%#%&#

2

1

2

1

dlim0

x

x

x

xx

xFxFW (7.2)

To jest definicja ca!ki. Liczbowo odpowiada to liczeniu pola powierzchni pod krzyw (w zadanym przedziale - granicach). Odpowiada to te# z definicji liczeniu warto"ci "redniej co zgadza si% z intuicyjnym podej"ciem: W = F$rednia(x2 – x1)

Trzeba wi%c albo umie$ rozwi za$ ca!k% (albo poszuka$ w tablicach) lub umie$ obli-

czy$ pole powierzchni pod krzyw co mo#e by$ czasem !atwe.

Np. rozwa#my spr%#yn% zamocowan jednym ko&cem do "ciany i rozci gan si! F tak,

#e jej koniec przemieszcza si% o x.

7-4


F

Si!a wywierana przez spr%#yn% jest si! przywracaj c równowag% i wynosi F = -k x.

Aby rozci gn $ spr%#yn% musimy przy!o#y$ si!% równ co do warto"ci lecz przeciwnie

skierowan . Tak wi%c F = k x.

Teraz obliczmy prac%

' ' %%%%x x x

kxkxxkxxFW

0 0

2

0

2

22d)(d

Mo#emy te# wprost obliczy$ pole pod wykresem F(x). F(x)

x

F=kx

kx

x

Pole powierzchni jest polem trójk ta i wynosi

P = (1/2) x·kx = (1/2) kx2

i zgadza si% z wynikiem uzyskanym z obliczenia ca!ki.

To by! przypadek jednowymiarowy. Przypadek 2 i 3-wymiarowy s w zasadzie swej

rozpatrywane podobnie ale matematycznie trudniejsze.

7.4 Energia kinetyczna i twierdzenie o pracy i energii

W przyk!adzie z sankami mieli"my do czynienia z ruchem bez przyspieszenia.

Oznacza!o to, #e wypadkowa si!a dzia!aj ca na cia!o wynosi zero. Teraz rozwa#my

przypadek gdy cia!o porusza si% pod wp!ywem niezrównowa#onej si!y. Najprostszy

przypadek to sta!a si!a czyli ruch ze sta!ym przyspieszeniem. Jak prac% wykonuje ta

si!a przy przemieszczeniu cia!a na odleg!o"$ x?

Zak!adamy, #e kierunek si!y F i przyspieszenia a pokrywa si% z kierunkiem osi x. Dla

sta!ego przyspieszenia mamy

7-5


2

2

0

attx (% v

oraz

taat 0

0

vvvv

)%*(%

co w po! czeniu daje

tx2

0vv (%

Wykonana praca jest równa

222

2

02

00 vvvvvv mmt

tmxmaFxW )%+

,

-./

0 (+,

-./

0 )%%% (7.3)

Po!ow% iloczynu masy cia!a i kwadratu pr%dko"ci nazywamy energi" kinetyczn".

Praca wykonana przez wypadkow" si # F dzia aj"c" na punkt materialny jest równa

zmianie energii kinetycznej tego punktu.

W = Ek – Ek0 (7.4)

To jest twierdzenie o pracy i energii.

Gdy nie ma zmiany warto"ci pr%dko"ci to nie ma zmiany energii kinetycznej tzn. nie

jest wykonywana praca (np. si!a do"rodkowa). Z twierdzenia powy#szego wynika, #e

jednostki pracy i energii s takie same.

7.5 Moc

Rozwa#my czas w jakim wykonywana jest praca. Cz%sto interesuje nas szybko$%

wykonania pracy a nie jej warto"$. To jest w!a"nie moc.

Moc "rednia: P$rednia = W/t

Moc chwilowa: P = dW/dt

Oczywi"cie gdy moc jest sta!a w czasie to P$rednia = P.

Jednostk mocy jest wat. 1W = 1J/1s.

Dla celów praktycznych u#ywa si% kW (kilowatów) lub KM (koni mechanicznych przy

czym 1 KM 1 (3/4) kW.

7-6


Wyk ad 8

8. Zasada zachowania energii

8.1 Wst p

Korzystaj c z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazali"my, #e

W = Ek

Cz$sto na punkt materialny dzia!a kilka si!, których suma wektorowa jest si! wypad-

kow : F = F1 + F2 + F3 +.......+ Fn. Wtedy praca jest sum algebraiczn prac wykona-

nych przez poszczególne si!y: W = W1 + W2 + W3 +...........+ Wn.

Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy posta%

W1 + W2 + W3 +...........+ Wn = Ek

B$dziemy w!a"nie rozpatrywa% uk!ady, w których dzia!aj ró#ne si!y, pozwoli to na de-

finiowanie ró#nych rodzajów energii.

8.2 Si!y zachowawcze i niezachowawcze

Zaczynamy od rozwa#my przyk!adów dwóch rodzajów si!: si zachowawczych i si nie-

zachowawczych.

V

Najpierw rozpatrzmy spr$#yn$ jak w przyk!adzie z poprzedniego wyk!adu.

Przesuwamy cia!o o masie m z pr$dko"ci v w kierunku spr$#yny, tak jak na rysunku.

Za!o#enia:

!" ruch na p!aszczy&nie odbywa si$ bez tarcia,

!" spr$#yna jest idealna tzn. spe!nia ona prawo Hooke'a: F = -kx, gdzie F jest si! wy-

wieran przez spr$#yn$ kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odleg!o"% x,

!" masa spr$#yny jest zaniedbywalnie ma!a w porównaniu z mas cia!a, wi$c ca!a ener-

a maleje

a#

gia kinetyczna w uk!adzie spr$#yna + cia!o jest zgromadzona w tym ciele.

Przy "ciskaniu spr$#yny, pr$dko"% cia!a, a wobec tego i energia kinetyczn

do zatrzymania cia!a. Nast$pnie cia!o porusza si$ w przeciwnym kierunku pod

wp!ywem spr$#yny. Pr$dko"% i energia kinetyczna rosn a# do warto"ci jak cia!o mia!o

pocz tkowo. Interpretowali"my energi$ kinetyczn jako zdolno"% cia!a do wykonania

pracy kosztem jego ruchu (kosztem Ek). Po przebyciu zamkni$tej drogi (cyklu) zdolno"%

cia!a do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana. Si!a spr$#ysta wywiera-

na przez idealn spr$#yn$ jest zachowawcza. Inne si!y, dzia!aj tak#e w ten sposób, np.

8-1


si!a grawitacji. Cia!o rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z t

sam pr$dko"ci i energi kinetyczn .

Je#eli jednak cia!o, na które dzia!a jedna lub wi$cej si! powraca do po!o#enia pocz tko-

alnie g!adka,

#e

a% zachowawczy charakter si! analizuj c prac$ jak wykonuje

ta s

z tarcia) praca wykonana przez si!$ spr$#yst , gdy

spr

y tarcie). Praca wykonywana przez si!$ tarcia

jest

m mate-

si!ami niezachowawczy-

WAB,1 + WBA,2 = 0

o droga zamkni$ta. Mo#emy to zapisa% inaczej

WAB,1 = - WBA,2

le gdyby odwróci% kierunek ruchu i przej"% z A do B po drugiej drodze to, poniewa#

wego i ma inn energi$ kinetyczn ni# na pocz tku to oznacza, #e po przebyciu drogi

zamkni$tej zdolno"% tego cia!a do wykonania pracy nie zosta!a zachowana. Oznacza to,

#e przynajmniej jedn z dzia!aj cych si! okre"la si$ jako niezachowawcz!.

Aby zilustrowa% ten przypadek, za!ó#my, #e powierzchnia nie jest ide

mamy do czynienia z tarciem. Ta si!a tarcia przeciwstawia si$ ruchowi bez wzgl$du

w którym kierunku porusza si$ cia!o (nie tak jak si!a spr$#ysto"ci czy grawitacji) i cia!o

wraca z mniejsz energi kinetyczn . Mówimy, #e si!a tarcia (i inne dzia!aj ce podob-

nie) s niezachowawcze.

Mo#emy przeanalizow

i!a nad punktem materialnym.

W pierwszym przyk!adzie (be

$#yna ulega "ciskaniu, jest ujemna (si!a jest skierowana przeciwnie do przemiesz-

czenia, cos180# = -1). Gdy spr$#yna rozpr$# si$ praca jest dodatnia (si!a i przemiesz-

czenie jednakowo skierowane). Podczas pe!nego cyklu praca wykonana przez si!$ spr$-

#yst (si!$ wypadkow ) jest równa zero.

W drugim przyk!adzie (uwzgl$dniam

ujemna dla ka#dej cz$"ci cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia si$ ruchowi).

Ogólnie: Si a jest zachowawcza, je"eli praca wykonana przez t# si # nad punkte

rialnym, który porusza si# po dowolnej drodze zamkni#tej jest równa zeru. Si a jest nie-

zachowawcza je"eli praca wykonana przez t# si # nad punktem materialnym, który po-

rusza si# po dowolnej drodze zamkni#tej nie jest równa zeru.

Mo#emy jeszcze trzecim sposobem rozwa#y% ró#nic$ mi$dzy

A

B

1

2

A

B

1

2

mi i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z

B do A po innej (2) (patrz rysunek).

Je#eli si!a jest zachowawcza to

b

A

8-2


zmieniamy tylko kierunek to

WAB,2 = -WBA,2

Sk d otrzymujemy

WAB,1 = WAB,2

ida% z tego, #e praca wykonana przez si!$ zachowawcz! przy przemieszczaniu od A

cz! je"eli praca wykonana przez ni! nad punktem mate-

ria

równowa#ne.

8.3 Energia potencjalna

Skupimy si$ teraz na odosobnionym uk!adzie cia!o + spr$#yna. Zamiast mówi% cia!o

si$

kinetyczna maleje a potem ro-

"ni

Ek + Ep = 0

nymi s!owy, ka#da zmiana energii kinetycznej Ek jest równowa#ona przez równ co

Ek + Ep. = const. (8.1)

W

do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mog mie% dowolny kszta t byleby tylko

! czy!y te same punkt A i B.

Si # nazywamy zachowaw

lnym poruszaj!cym si# mi#dzy dwoma punktami zale"y tylko od tych punktów, a nie

od !cz!cej je drogi. Si # nazywamy niezachowawcz! je"eli praca wykonana przez ni!

nad punktem materialnym poruszaj!cym si# mi#dzy dwoma punktami zale"y od drogi

!cz!cej te punkty.

Przedstawione definicje s

porusza b$dziemy mówi%: stan uk adu si# zmienia.

Widzieli"my, #e gdy nie wyst$puje tarcie to energia

e tak, #e wraca do pocz tkowej warto"ci w cyklu zamkni$tym. W tej sytuacji (gdy

dzia!aj si!y zachowawcze) staje si$ celowe wprowadzenie poj$cia energii stanu lub

energii potencjalnej Ep. Mówimy, #e je#eli energia kinetyczna uk!adu zmieni si$ o war-

to"% Ek to tym samym zmieni! si$ stan uk!adu to energia potencjalna Ep (stanu) tego

uk!adu musi si$ zmieni% o warto"% równ co do warto"ci bezwzgl$dnej, lecz przeciwn

co do znaku, tak #e suma tych zmian jest równa zeru

In

do warto"ci, a przeciwn co do znaku zmian$ energii potencjalnej Ep uk!adu, tak #e ich

suma pozostaje przez ca!y czas sta!a

Energia potencjalna przedstawia form$ nagromadzonej energii, która mo#e by% ca!ko-

rcia) energia kinetyczna cia!a pocz tkowo maleje,

a zl

W = Ek

i$c dla zachowawczej si!y F

W = Ek = - Ep

wicie odzyskana i zamieniona na energi$ kinetyczn . Nie mo#na wi$c wi za% energii

potencjalnej z si! niezachowawcz .

W przyk!adzie ze spr$#yn (bez ta

okalizowana w spr$#ynie energia potencjalna ro"nie. Z twierdzenia o pracy i energii

w

8-3


St d

x

$%&%& x

p xxFWE

0

d)( (8.2)

o#emy wi$c zapisa% zale#no"% mi$dzy si! i energi potencjaln

M

xxF

p

d)( %&

xE )(d (8.3)

rzeba zwróci% uwag$, #e naprawd$ potrafimy tylko policzy% Ep a nie Ep sam . Po-

x

unkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), #eby

T

niewa# Ep = EpB – EpA. 'eby znale&% EpB trzeba nie tylko zna% si!$ ale jeszcze warto"%

EpA

pA

x

pAppB ExxFEEE '%&' & $0

d)(

P

Ep by!o równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencja!em elektrycznym).

Przyk ady energii potencjalnej dla jednowymiarowych si zachowawczych

F(y) = -mg

jest sta!a. Przyjmujemy, #e dla y = 0, Ep(0) = 0.

y y

Sprawdzenie

!" grawitacyjna energia potencjalna (w pobli#u powierzchni Ziemi)

Ruch wzd!u# osi y

F

Wtedy

$ $ &%%&'%& pp mgyymgEyyFyE0 0

d)()0(d)()(

mgyy

Fp

%&%&%&dd

mgyyE )(d)(d

" energia potencjalna spr$#yny

F(x) = -kx

rzyjmujemy dla x = 0, Ep(0) = 0.

!Ruch wzd!u# osi x

P

Wtedy

8-4


2d)(

2

0

kxxkxE

x

p &%%& $

Sprawdzenie:

kxx

kx

x

xEF

p%&

(()

*++,

-

%&%&d

2d

d

)(d

2

8.3.1 Energia potencjalna i potencja pola grawitacyjnego

W przyk!adzie powy#ej obliczyli"my energi$ potencjaln zwi zan z si! grawita-

cyjn w pobli#u powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowali"my, #e si!a grawitacji jest sta!a.

Teraz zajmiemy si$ zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energi$ potencjaln

masy m znajduj cej si$ w dowolnym punkcie nad powierzchni Ziemi odleg!ym o r od

"rodka Ziemi.

Dla si! zachowawczych zmian$ energii potencjalnej cia!a przy przej"ciu ze stanu A

do stanu B mo#emy zapisa% jako

ABpApBp WEEE %&%&

sk d

pBABpB EWE '%&

'eby policzy% energi$ potencjaln w punkcie B musimy zna% energi$ potencjaln w

punkcie odniesienia A i policzy% prac$ WAB.

Dla masy m znajduj cej si$ w pewnym punkcie nad powierzchni Ziemi odleg!ym o

r od "rodka Ziemi stan odniesienia wybiera si$ tak, #e Ziemia i masa m znajduj si$ od

siebie w niesko(czonej odleg!o"ci. Temu po!o#eniu (r .) przypisujemy zerow ener-

gi$ potencjaln , EpA = 0. Zwró%my uwag$, #e stan zerowej energii jest równie# stanem

zerowej si!y. Si!a grawitacji jest si! zachowawcz wi$c dla wybranego punktu odnie-

sienia

0)( '%& .rp WrE

Musimy teraz obliczy% prac$ . Poniewa# znamy si!$ rW.%

2r

mMGF Z%&

to mo#emy obliczy% prac$ i w konsekwencji energi$ potencjaln (znak minus wskazuje

kierunek dzia!ania si!y do "rodka Ziemi; si!a przyci gaj ca)

8-5


r

MmG

r

MmG

rr

MmGrFWrE

r

rr

rp

%&%

&()

*+,

-%%&%&%&

.

..

. $$ dd)(2

(8.4)

Energia potencjalna ma warto"% równo zeru w niesko(czono"ci (punkt odniesienia)

i maleje w miar$ zmniejszania si$ r. Oznacza to, #e si!a jest przyci gaj ca. Wzór ten jest

prawdziwy bez wzgl$du na wybór drogi po jakiej punkt porusza si$ z niesko(czono"ci

do r.

Widzimy, #e z polem si y grawitacji wi!"e si# przestrzenny rozk ad energii E(r) da-

ny równaniem (8.4).

Omawiaj c na Wyk!adzie 6 pole grawitacyjne przedstawiali"my si!$ dzia!aj c na

umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn nat#"enia pola i masy tego obiektu.

Stwierdzili"my, #e jedna masa wytwarza pole, a nast$pnie to pole dzia!a na drug mas$.

Inaczej mówi c rozdzielili"my si!$ na dwie cz$"ci i w ten sposób uniezale#nili"my nasz

opis od masy obiektu wprowadzanego do pola.

Podobnie mo#emy post pi% z energi potencjaln . Zauwa#my, #e zgodnie z wyra#e-

niem (8.4) mo#emy j przedstawi% jako iloczyn masy m i pewnej funkcji V(r)

)()( rmVrE p & (8.5)

Funkcj# V(r) nazywamy potencja em pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek

grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do warto$ci tej masy

r

MG

m

rErV

p%&&

)()( (8.6)

Jak ju# wspominali"my z poj$cia pola korzysta si$ nie tylko w zwi zku z grawitacj .

Przy opisie zjawisk elektrycznych równie# b$dziemy si$ pos!ugiwali poj$ciem pola

(elektrycznego), jego nat$#enia i potencja!u.

Przyk ad 1

Skorzystajmy teraz z wyra#enia na grawitacyjn energi$ potencjaln , #eby znale&%

pr$dko"% jak nale#y nada% obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby wzniós! si$ on na

wysoko"% h nad powierzchni$ Ziemi Stosuj c zasad$ zachowania energii otrzymujemy

)()( hREREE ZpZpk '&'

czyli

hR

mMG

R

mMG

m

Z

Z

Z

Z

'%&%

2

2v

a po przekszta!ceniach

(()

*++,

-

'%&

hRRGM

ZZ

112v

8-6


Je#eli na powierzchni Ziemi dostarczymy cia!u dostatecznie du#ej energii kinetycz-

nej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Jego energia kinetyczna b$dzie mala!a w

trakcie oddalania si$, a potencjalna ros!a.

Przyk ad 2

Teraz spróbujemy obliczy% jak pr$dko"% nale#y nada% obiektowi na Ziemi aby

uciek! on z Ziemi na zawsze.

Praca potrzebna na przeniesieni cia!a o masie m z powierzchni Ziemi do niesko(czono-

"ci wynosi

Ep(RZ) = -GMZm/RZ

Je#eli na powierzchni Ziemi dostarczymy cia!u energii kinetycznej wi$kszej wtedy

ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Energia kinetyczna b$dzie mala!a w trakcie oddala-

nia si$ cia!a, a potencjalna ros!a. Krytyczna pr$dko"% pocz tkowa v0 (pr$dko"% uciecz-

ki) dana jest wzorem

skmR

MGczyli

R

mMGm

Z

Z

Z

Z 2.112,2

10

2

0 /&& vv

Oczywi"cie pomin$li"my inne si!y jak si!y grawitacyjne wywierane przez Ksi$#yc czy

S!o(ce itp. Ta pr$dko"% ucieczki nosi nazw$ drugiej pr#dko$ci kosmicznej. Natomiast

pierwsz! pr#dko$ci! kosmiczn! nazywamy najmniejsz! mo#liw pr$dko"% jak musi

mie% punkt materialny swobodnie kr # cy po orbicie wokó! Ziemi.

Na poruszaj cy si$ po orbicie obiekt dzia!aj dwie si!y; si!a grawitacji i si!a od"rodko-

wa. Si!y te maj przeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równowa# si$

2r

mMG

r

m Z&2

v

i st d znajdujemy

r

GM Z&v

Pierwszej pr$dko"ci kosmicznej odpowiada orbita o promieniu r równym w przybli#e-

niu promieniowi Ziemi R. Dla r = R otrzymujemy warto"% v = 7.9 km/s.

8.4 Zasada zachowania energii

Gdy dzia!aj si!y zachowawcze to

W = Ek = EkB – EkA

oraz

W = - Ep = - (EpB – EpA)

wi$c

- (EpB – EpA) = EkB – EkA

czyli

EkA + EpA = EkB + EpB (8.7)

8-7


Równania (8.1, 8.4) nazywa si$ zasad! zachowania energii mechanicznej.

Mówi ona, #e dla cia a podlegaj!cego dzia aniu si y zachowawczej, którego energia

potencjalna jest równa Ep, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest sta a (o ile nie

dzia!aj inne si!y).

Przyk ad 3

Asekuracja wspinacza w górach. Wspinacz dobiera sobie lin$, której wytrzyma!o"% na

zerwanie jest 25 razy wi$ksza ni# jego w!asny ci$#ar (Fliny = 25mg). Lina (nylonowa)

podlega prawu Hooke'a a# do zerwania, które nast$puje gdy lina wyd!u#y si$ o 25%

w stosunku do d!ugo"ci pocz tkowej. Czy wyposa#ony w tak lin$ wspinacz prze#yje

spadek (niezale#nie od wysoko"ci)?

pnkt. ubezpieczenia

ubezpieczaj¹ cy

wspinacz

l

h

W

S

Poniewa#

Fliny = k(0.25l)

wi$c

25mg = k(0.25l)

sk d

k = 25mg/0.25l

czyli

k = 100mg/l

Przed spadkiem (punkt W)

Epw = mg(h + l)

Po spadku (punkt S)

Eps = mg(h - l - y) + ky2/2

8-8


Poniewa# w punktach W i S energia kinetyczna wspinacza jest równa zeru, wi$c

Epw = Eps

czyli

mg(h + l) = mg(h - l - y) +ky2/2

Uwzgl$dniaj c k = 100 mg/l otrzymujemy

mgl = -mgl - mgy + (1/2)(100mg/l)y2

co daje

50y2 – ly - 2l

2 = 0

Rozwi zanie fizyczne: y = 0.21l mie"ci si$ w granicy wytrzyma!o"ci 0.25l.

Oszacujmy teraz maksymalne przyspieszenie

Fwyp = ky - mg

wi$c

ma = ky - mg

sk d

a = ky/m - g = 20g

Du#e ale lina musi by% spr$#ysta #eby "z!agodzi%" hamowanie.

A co z zachowaniem energii w przypadku gdy dzia a si a niezachowawcza?

Dla si! zachowawczych

0& Zk WE

lub

0 & ' 0pk EE

Wielko"% po lewej stronie to po prostu zmiana ca!kowitej energii mechanicznej E. Za-

tem równanie to ma posta% E = 0.

Je#eli oprócz kilku si! zachowawczych dzia!a si!a niezachowawcza (np. tarcie) to wtedy

0 &' kZNZ EWW

czyli

0 & ' NZpk WEE

co jest równowa#ne

NZWE &

Wida%, #e si!a tarcia zmienia energi$ mechaniczn uk!adu (zmniejsza j bo tarcie jest

si! rozpraszaj c czyli dysypatywn ).

Co sta o si# ze "stracon!" energi! mechaniczn!?

Zostaje ona przekszta!cona na energi# wewn#trzn! U, która objawia si$ wzrostem tem-

peratury. U jest równa rozproszonej energii mechanicznej. Wi$cej o energii wewn$trz-

nej powiemy w dalszych rozdzia!ach. Uogólnijmy nasz dyskusj$

8-9


Fwyp = Fzew + FZ + FNZ

Z twierdzenia o pracy i energii wynika, #e praca wykonana przez si!$ wypadkow jest

równa zmianie energii kinetycznej.

kNZZzew EWWW &''

co jest równowa#ne

Wzew - Ep - U = Ek

czyli

Wzew = Ek + Ep + U (8.8)

Z równania (8.5) wynika, #e ka"da praca wykonana na ciele przez czynnik zewn#trzny

równa si# wzrostowi energii kinetycznej plus wzrost energii potencjalnej plus wzrost

energii wewn#trznej. Ca a energia zosta a zarejestrowana. Mamy obejmuj!ce wszystko

zachowanie energii (ca kowitej).

Wynika z niego, #e energia mo"e by% przekszta cona z jednej formy w inn!, ale nie mo-

"e by% wytwarzana ani niszczona; energia ca!kowita jest wielko"ci sta! .

Przyk ad 4

Energia i biologia.

Przyk!adowo, na wyk!adzie z fizyki osoby "pi ce zu#ywaj energi$ w tempie oko!o

80 J/s, a osoby uwa#aj ce ok. 150W. )agodne %wiczenia 500 W intensywne 1000 W ale

tylko 100 W na zewn trz cia!a jako energia mechaniczna (Cz!owiek mo#e wykonywa%

prac$ mechaniczn tylko z moc 100 W).

Jak d!ugo trzeba %wiczy% (np. gimnastyka !agodna 500W) aby straci% (spali%) 500 g

t!uszczu?

T!uszcz zawiera ok. 40000 J/g. St d 500 g t!uszczu zawiera 2·107 J. Poniewa# P = E/t

wi$c t = E/P = 2·107 J/ 500W = 11 h

Ile kalorii musi zawiera% po#ywienie aby utrzyma% si$ przy #yciu?

Minimalna moc 80 W (sen), 150 W gdy si$ nie "pi, "rednio 110 W.

E = Pt = 110W·24·3600s = 9.5·106 J

Poniewa# 1 kilokaloria = 4180 J wi$c E = 2260 kcal (cz$sto mylona z cal).

Przyk ad 5

Energia i samochód.

Samochód jedzie z pr$dko"ci 100 km/h i zu#ywa 8 litrów benzyny na 100 km. Jaka

moc jest potrzebna do utrzymania tej sta!ej pr$dko"ci?

1 litr benzyny - 3.7·107 J wi$c P = (8·3.7·10

7 J)/(3600s) = 7·10

4 W = 70 kW.

Dla porównania w mieszkaniu zu#ywamy oko!o 1 - 1.5 kW energii elektrycznej.

Samochód zu#ywa kilkadziesi t razy wi$cej.

8-10


Wyk ad 9

9. Zasada zachowania p!du

9.1 rodek masy

Dotychczas przedmioty traktowali"my jak punkty materialne, tzn. cz steczki bez-

wymiarowe (obj#to"$ = 0) obdarzone mas co wystarcza!o w przypadku ruchu post#-

powego bo ruch jednego punktu odzwierciedla! ruch ca!ego cia!a.

W ogólnym przypadku ruch uk!adu cz steczek mo%e by$ bardzo skomplikowany np.

! cia!o mo%e wirowa$ lub drga$.

! w trakcie ruchu cz steczki mog zmienia$ swoje wzajemne po!o%enie.

Przyk!ad cia!a wiruj cego jest pokazany na rysunku poni%ej.

Zauwa%my, %e istnieje w tym uk!adzie jeden punkt, który porusza si# po linii prostej

ze sta! pr#dko"ci . &aden inny punkt nie porusza si# w ten sposób. Ten punkt to rodek

masy. Zajmiemy si# ruchem tego punktu.

Zacznijmy od przypomnienia poj#cia redniej wa!onej. W tym celu rozwa%my prosty

uk!ad, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawieraj cymi np. jab!ka

o ró%nej masie. W jednej mamy n1 jab!ek, ka%de o masie m1, w drugiej n2, ka%de o ma-

sie m2. Spróbujmy policzy$ jaka jest "rednia masa jab!ka.

2

21

21

21

1"red. m

nn

nm

nn

nm

""

"#

czyli

21

2211"red.

nn

mnmnm

"

"#

To jest rednia wa!ona (wagami s u!amki ilo"ci jab!ek w skrzynce). Uwzgl#dniamy

w ten sposób fakt, %e liczby jab!ek nie s równe.

Natomiast rodek masy jest po prostu rednim po"o!eniem przy czym masa jest czyn-

nikiem wa!#cym przy tworzeniu redniej.

Np. dla dwóch ró%nych mas m1 i m2

9-1


xœrm

m1 m2

x1

x2 x

y

2

21

21

21

1 xmm

mx

mm

mx rm

""

"#

czyli

21

2211

mm

xmxmx rm

"

"#

Dla n mas le% cych wzd!u% linii prostej otrzymamy

$

$

#

##"""

"""#

n

i

i

n

i

ii

n

nn rm

m

xm

mmm

xmxmxmx

1

1

21

2211

.....

.....

poniewa% suma jest ca!kowit mas uk!adu to mo%emy zapisa$ Mmn

i

i #$#1

$#

#n

i

ii rm xmMx1

Gdyby punkty nie le%a!y na jednej prostej to wówczas "rodek masy znajdziemy post#-

puj c dla ka%dej ze wspó!rz#dnych analogicznie jak powy%ej.

Otrzymamy wi#c

$

$

#

##"""

"""#

n

i

i

n

i

ii

n

nn rm

m

xm

mmm

xmxmxmx

1

1

21

2211

.....

.....

oraz

$

$

#

##"""

"""#

n

i

i

n

i

ii

n

nn rm

m

ym

mmm

ymymymy

1

1

21

2211

.....

.....

9-2


Zwró$my uwag#, %e uk!ad dwóch równa' skalarnych mo%na zast pi$ przez jedno zwi#-

z!e równanie wektorowe

M

mn

i

ii

rm

$## 1

r

r (9.1)

Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.

Zauwa%my, %e rodek masy uk"adu punktów materialnych zale!y tylko od mas tych

punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia (nie zale%y od wyboru uk!adu odniesie-

nia).

Przyk"ad 1

Znale($ "rodek masy uk!adu trzech cz stek o masach m1 = 1kg, m2 = 2kg i m3 = 3kg,

umieszczonych w rogach równobocznego trójk ta o boku 1m.

Poniewa% wynik nie zale%y od wyboru uk!adu odniesienia to mo%emy przyj $ uk!ad tak

jak na rysunku.

m1 m2 x

m3 3

2

½

x rm = (m1x1 + m2x2 + m3x3)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m

y rm = (m1y1 + m2y2 + m3y3)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·3

2m)/6kg =

3

4m

Uwaga: po!o%enie "rodka masy nie pokrywa si# z geometrycznym "rodkiem.

Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie "rodka masy.

9.2 Ruch !rodka masy

Rozwa%my uk!ad punktów materialnych o masach m1, m2, m3 ..., mn i o sta ej ca!-kowitej masie M. Na podstawie równania (9.1) mo%emy napisa$

Mr rm = m1r1 + m2r2 +.......+ mnrn

gdzie r rm jest "rodkiem masy w okre"lonym uk!adzie odniesienia. Ró%niczkuj c (wzgl#-

dem czasu) powy%sze równanie otrzymamy

tm

tm

tm

tM n

n rm

d

d......

d

d

d

d

d

d 22

11

rrrr"""#

9-3


lub

Mv rm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn

Je%eli ponownie zró%niczkujemy otrzymane powy%ej równanie to otrzymamy

tm

tm

tm

tM n

n rm

d

d......

d

d

d

d

d

d 22

11

vvvv"""#

lub

Ma rm = m1a1 + m2a2 + .......+ mnan

czyli

Ma rm = F1 + F2 + ...........+ Fn

Wobec tego mo%emy napisa$

Ma rm = Fzew (9.2)

Z równania (9.2) wynika, %e rodek masy uk"adu punktów materialnych porusza si$ w

taki sposób, jakby ca"a masa uk"adu by"a skupiona w rodku masy i jakby wszystkie si"y

zewn$trzne na% dzia"a"y.

To twierdzenie obowi zuje dla ka%dego uk!adu punktów materialnych.

! Uk!ad mo%e by$ cia!em sztywnym (punkty maj sta!e po!o%enia wzgl#dem siebie).

Wtedy przy obliczeniach "rodka masy sumowanie zast#pujemy ca!kowaniem.

! Uk!ad mo%e by$ zbiorem cz steczek, w którym wyst#puj wszystkie rodzaje ruchu

wewn#trznego.

Uwaga:

Gdy si! zewn#trzn jest si!a ci#%ko"ci to wtedy dzia!a ona na rodek ci$!ko ci. W roz-

wa%anych przypadkach te dwa "rodki si# pokrywaj .

Poj#cie "rodka masy jest bardzo u%yteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Ob-

liczmy Ek mierzone w uk!adzie "rodka masy.

2

)()(

2

,,

,

$$ ""##

wzgi rmwzgi rmii

calkowitak

mmE

vvvv2

iv

gdzie vwzgl jest pr#dko"ci mierzon w uk!adzie "rodka masy. Wykonuj c mno%enie

skalarne otrzymamy

$$$

""#22

2

,

,

2

,

wzgii

wzgii rm rm

i

calkowitak

mm

mE

v

vvv

Poniewa% (jak pokazali"my wcze"niej) wyraz drugi równa si# iloczynowi M razy pr#d-

ko"$ "rodka masy (Mv rm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn). W uk!adzie "rodka masy, w któ-

rym mierzymy, v rm = 0 wi#c drugi wyraz znika.

Zatem

'2

2k

rmkcalkowita E

ME "#

v

9-4


gdzie Ek' jest energi kinetyczn mierzon w uk!adzie "rodka masy. Dla cia! sztywnych

to równanie przyjmuje posta$

'2

2rot

rmkcalkowita E

ME "#

v

gdy% w uk!adzie "rodka masy cia!o sztywne mo%e mie$ tylko energi# rotacyjn (obro-

tow ).

Przyk"ad 2

Obr#cz o masie m toczy si# po p!aszczy(nie tak, %e "rodek obr#czy ma pr#dko"$ v.

v

Jaka jest energia kinetyczna obr#czy ?

22

2

,2

wzgrot

kcalkowita

mmE

vv"#

gdzie vrot,wzg to pr#dko"$ obr#czy w uk!adzie "rodka masy. Poniewa% obserwator

w uk!adzie "rodka masy widzi obr#cz obracaj c si# z pr#dko"ci v wi#c vrot,wzg = v.

St d

222

22v

vvm

mmEkcalkowita #"#

Zauwa%my, %e obr#cz ma energi# dwa razy wi#ksz od cia!a o masie m poruszaj cego

si# z t sam pr#dko"ci v (ale nie obracaj cego si#).

9.3 P"d uk#adu punktów materialnych

Zdefiniowali"my ju% p#d punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i pr#dko"ci

v. Pokazali"my równie%, %e II zasada dynamiki Newtona ma posta$

td

dpF #

Przypu"$my jednak, %e zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z uk!adem n

punktów materialnych o masach m1, ......, mn. Zak!adamy, %e masa uk!adu (M) pozostaje

sta!a. Ka%dy punkt b#dzie mia! pewn pr#dko"$ i pewien p#d. Uk!ad jako ca!o"$ b#dzie

mia! ca!kowity p#d P w okre"lonym uk!adzie odniesienia b#d cy sum geometryczn

p#dów poszczególnych punktów w tym uk!adzie odniesienia

9-5


P = p1 + p2 + ......... + pn

Je%eli porównamy t# zale%no"$ z równaniem

Mv rm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn

to otrzymujemy

P = Mv rm

Tre"$ tego równania mo%na wyrazi$ nast#puj co: Ca"kowity p$d uk"adu punktów mate-

rialnych jest równy iloczynowi ca"kowitej masy uk"adu i pr$dko ci jego rodka masy.

Poniewa% Fzew = Ma rm, to II zasada dynamiki Newtona dla uk!adu punktów material-

nych przyjmuje posta$

t

zewd

dPF # (9.3)

bo

srmsrm Mt

Mt

aP

##d

d

d

d v

9.4 Zasada zachowania p"du

Przypu"$my, %e suma si! zewn#trznych dzia!aj cych na uk!ad jest równa zeru. Wtedy na

podstawie równania (9.3)

.constalbo0d

d## P

P

t

Zasada zachowania p#du: Je!eli wypadkowa si" zewn$trznych dzia"aj#cych na uk"ad jest

równa zeru, ca"kowity wektor p$du uk"adu pozostaje sta"y.

Zobaczymy jak ta zasada stosuje si# do ró%nych sytuacji fizycznych. Omówimy teraz

poj#cie si! zewn#trznych dla danego uk!adu - jak wybra$ uk!ad i jak stosowa$ zasad#

zachowania p#du.

Przyk"ad 3

Rozwa%my dwa cia!a o masach mA i mB po! czone niewa%k spr#%yn umieszczone

na doskonale g!adkim stole. Odci gamy od siebie te cia!a na pewn odleg!o"$, a nast#p-

nie puszczamy swobodnie (rysunek).

Spróbujmy opisa$ ruch tych cia!.

Najpierw ustalamy z czego sk!ada si# rozwa%any uk!ad. Przyjmujemy, %e tworz go

obie masy + spr#%yna. Je%eli tak to nie dzia!a %adna si!a zewn#trzna (dzia!aj si!y po-

9-6


mi#dzy elementami uk!adu czyli si!y wewn#trzne). Mo%emy teraz zastosowa$ zasad#

zachowania p#du. Przed zwolnieniem cia! p#d uk!adu (w odniesieniu do sto!u) by! rów-

ny zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chocia% cia!a poruszaj si# ich p#d mo%e

by$ równy zeru, poniewa% p#d b#d cy wielko"ci wektorow jest sum dodatniego p#-

du cia!a A (porusza si# w kierunku +x) i ujemnego p#du cia!a B (porusza si# w kierunku

-x). Z zasady zachowania p#du

p#d pocz tkowy = p#d ko'cowy

0 = mAvA + mBvB

Zatem

mBvB = - mAvA

lub

vA = – mBvB/mA

Np. gdy mA = 2kg i mB = 1kg to vA jest równa po!owie vB i ma zwrot przeciwny.

Przyk"ad 4

Ta sama zasada obowi zuje w fizyce j drowej i atomowej. Jako przyk!ad rozpatrzmy

rozpad promieniotwórczy. Cz stka % (j dro atomu helu) emitowana jest z pr#dko"ci

1.4·107 m/s i z energi kinetyczn 4.1 MeV przez j dro uranu 238, pozostaj ce pocz t-

kowo w spoczynku. Znale($ pr#dko"$ odrzutu powsta!ego j dra toru 234.

Jako uk!ad rozpatrujemy j dro toru 234 + cz stk# % (przed rozpadem po prostu j dro

uranu 238). Ze wzgl#du na nieobecno"$ si! zewn#trznych p#d uk!adu, który przed roz-

padem by! równy zeru po rozpadzie pozostaje niezmieniony.

p#d pocz tkowy = p#d ko'cowy

0 = M%v% + MThvTh

wi#c

vTh = - M%v%/MTh = - 4·1.4·107/234 = -2.4·10

5 m/s

9-7


Wyk ad 10

10. Zasada zachowania p!du II

10.1 Uk ady o zmiennej masie

Dotychczas zajmowali"my si# uk!adami o sta!ej masie. Obecnie zajmiemy si# uk!a-

dami, których masa zmienia si# podczas obserwacji.

Przyk!adem niech b#dzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gor cy gaz z du$

pr#dko"ci , zmniejszaj c w ten sposób swoj mas# i zwi#kszaj c pr#dko"% (rysunek po-

ni$ej).

m

v vs

dms

Spaliny opuszczaj silnik rakiety ze sta! pr#dko"ci vs wzgl#dem Ziemi. Pr#dko"%

chwilowa rakiety wzgl#dem Ziemi jest równa v, zatem pr#dko"% spalin wzgl#dem ra-

kiety vwzg. jest dana zale$no"ci

vwzgl = vs – v (10.1)

Je$eli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dms z pr#d-

ko"ci v0 to masa rakiety maleje o dm a jej pr#dko"% ro"nie o dv, przy czym

t

m

t

ms

d

d

d

d!" (10.2)

Obliczmy teraz ca!kowit szybko"% zmian p#du P uk!adu

ttt

spalinrakiety

d

d

d

d

d

d ppP#"

t

m

t

m

t

ss

d

d

d

)d(

d

dv

v#"

P

t

m

t

m

tm

t

ss

d

d

d

d

d

d

d

dvv

v##"

P (10.3)

Równanie to uwzgl#dnia fakt, $e w przypadku rakiety zmienia si# zarówno jej masa jak

i pr#dko"% podczas gdy spaliny s wyrzucane ze sta! pr#dko"ci . Zmiana p#du uk!adu

jest zgodnie z II zasad dynamiki Newtona równa sile zewn#trznej dzia!aj cej na uk!ad.

10-1


Uwzgl#dniaj c zale$no"ci (10.1) i (10.2) mo$emy przekszta!ci% równanie (10.3) do po-

staci

t

m

tm

t

swzglzew

d

d

d

d

d

dv

v#""

pF (10.4)

Ostatni wyraz w równaniu (10.4) mo$e by% interpretowany jako si!a wywierana na

uk!ad przez substancj# (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona

nazw# si y ci!gu.

Je$eli ruch rakiety odbywa si# w przestrzeni kosmicznej to si!y zewn#trzne Fzew s

do zaniedbania i wtedy zmiana p#du rakiety jest równa sile ci gu. Je$eli jednak ruch

odbywa si# w pobli$u Ziemi (np. tu$ po starcie) to wówczas Fzew reprezentuje ci#$ar

rakiety i si!# oporu atmosfery i trzeba j uwzgl#dni%. Konstruktorzy rakiet staraj si#

uzyska% jak najwi#ksz si!# ci gu aby przezwyci#$y% Fzew. Np. rakieta Saturn 5 o masie

ponad 3 mln kg wytwarza!a przy starcie ci g 40 MN.

Obliczmy si!# ci gu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa wa$y 5000

kg. Szybko"% spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a pr#dko"% wyrzucania gazów wzgl#-

dem rakiety jest równa 1500 m/s.

t

MF wzgl

d

dv"

wi#c

F = 1500 m/s·150 kg/s = 2.25·105 N

Zwró%my uwag#, $e pocz tkowo (rakieta z paliwem) si!a dzia!aj ca na rakiet# skiero-

wana ku górze jest równa sile ci gu 2.25·105 N minus ci#$ar rakiety (1.5·10

5 N). Po zu-

$yciu paliwa wynosi 2.25·105 N - 0.5·10

5 N = 1.75·10

5 N.

10.2 Zderzenia

10.2.1 Wst!p

Co rozumiemy poprzez zderzenie?

Si!y dzia!aj ce przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji uk!adu nazy-

wamy si ami impulsowymi. Takie si!y dzia!aj w czasie zderze& np. uderzenie pi!ki o

"cian# czy zderzenie kul bilardowych. Cia!a w trakcie zderzenia nie musz si# "doty-

ka%", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cz stki alfa (4He) z j drem jakiego"

pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym.

Pod zderzenia mo$emy podci gn % równie$ reakcje. Proton w trakcie zderzenia z j -

drem mo$e wnikn % do niego. Wreszcie mo$emy rozszerzy% definicj# zderze& o rozpa-

dy cz stek np. cz stka sigma rozpada si# na pion i neutron: $ = %- + n.

Wszystkie te "zdarzenia" posiadaj cechy charakterystyczne dla zderze&:

o procesach na

& mo$na wyra'nie rozró$ni% czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"

& prawa zachowania p#du i energii pozwalaj zdoby% wiele informacji

podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, $e niewiele wie-

my o si!ach "podczas" zderzenia.

10-2


10.2.2 Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej

Wprawdzie cz#sto nie znamy si! dzia!aj cych podczas zderzenia ale wiemy, $e musi

by% spe!niona zasada zachowania p#du (si!y zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii

ca!kowitej. Wobec tego nawet nie znaj!c szczegó ów oddzia ywania mo"na w wielu

przypadkach stosuj c te zasady przewidzie# wynik zderzenia.

Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zacho-

wana podczas zderzenia czy te$ nie. Je$eli tak to zderzenie nazywamy spr$"ystym, je$e-

li nie to niespr$"ystym.

Jedyne prawdziwe zderzenia spr#$yste (chocia$ nie zawsze) to zderzenia mi#dzy

atomami, j drami i cz steczkami elementarnymi. Zderzenia mi#dzy cia!ami s zawsze

w pewnym stopniu niespr#$yste chocia$ czasami mo$emy je traktowa% w przybli$eniu

jako spr#$yste. Kiedy dwa cia!a po zderzeniu ! cz si# mówimy, $e zderzenie jest ca -

kowicie niespr$"yste. Np. zderzenie mi#dzy pociskiem i drewnianym klockiem gdy po-

cisk wbija si# w klocek.

Rozpatrzmy teraz zderzenie spr#$yste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobra'my

sobie dwie g!adkie nie wiruj ce kule, poruszaj ce si# wzd!u$ linii ! cz cej ich "rodki.

Masy kul m1 i m2, pr#dko"ci przed zderzeniem v1 i v2 a po zderzeniu u1 i u2 tak jak na

rysunku poni$ej.

m1 u1 m1 v1 m2 u2 m2 v2

Z zasady zachowania p#du otrzymujemy

m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 (10.5)

Poniewa$ zderzenie jest spr#$yste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z de-

finicj ). Otrzymujemy wi#c

2222

2

22

2

11

2

22

2

11 umummm#"#

vv (10.6)

Przepisujemy równanie (10.5) w postaci

m1(v1 - u1) = m2(u2 - v1) (10.7)

a równanie (10.6) w postaci

)()( 2

2

2

22

2

1

2

11 vv !"! umum (10.8)

10-3


Dziel c równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy za!o$eniu

v1 ' u1 i v2 ' u2)

v1 + u1 = v2 + u2

a po uporz dkowaniu

v1 - v2 = u2 - u1 (10.9)

Równanie to mówi nam, $e w opisanym zderzeniu wzgl#dna pr#dko"% zbli$ania si# cz -

stek przed zderzeniem jest równa wzgl#dnej pr#dko"ci ich oddalania si# po zderzeniu.

Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znale'% u1 i u2.

Wystarcz wi#c dowolne dwa. Bior c dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy

2

21

21

21

211

2vv ((

)

*++,

-

##((

)

*++,

-

#

!"

mm

m

mm

mmu (10.10)

oraz

2

21

121

21

12

2vv ((

)

*++,

-

#

!#((

)

*++,

-

#"

mm

mm

mm

mu (10.11)

Rozpatrzmy kilka interesuj cych przypadków:

& m1 = m2

wtedy u1 = v2 oraz u2 = v1

czyli cz stki wymieni!y si# pr#dko"ciami.

& v2 = 0

wtedy

1

21

211 v((

)

*++,

-

#

!"

mm

mmu oraz 1

21

12

2v((

)

*++,

-

#"

mm

mu

& je$eli jeszcze dodatkowo m1 = m2

wtedy u1 = 0 oraz u2 = v1 (wymiana pr#dko"ci)

& natomiast gdy m2 >> m1 to wtedy:

u1 . – v1 oraz u2 . 0

Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cz stki lekkiej z bardzo ci#$k (spoczywaj -

c ) np. pi!ka uderza o "cian#.

& wreszcie sytuacja odwrotna m2 << m1.

Wtedy u1 . v1 oraz u2 . 2v1.

Pr#dko"% cz stki ci#$kiej (padaj cej) prawie si# nie zmienia.

Np. Neutrony w reaktorze musz by% spowalniane aby podtrzyma% proces rozszczepie-

nia. W tym celu zderzamy je z spr#$y"cie z j drami (spoczywaj cymi) spowalniacza.

Gdyby w spowalniaczu by!y ci#$kie j dra to neutrony zderzaj c si# "odbija!yby" si# nie

10-4


trac c nic z pr#dko"ci. Gdyby natomiast spowalniaczem by!y cz stki lekkie np. elektro-

ny to neutrony porusza!yby si# w"ród nich praktycznie bez zmiany pr#dko"ci. Zatem

trzeba wybra% moderator (spowalniacz) o masie j der porównywalnej z mas neutro-

nów.

Przy zderzeniach niespr$"ystych energia kinetyczna nie jest zachowana.

Ró$nica pomi#dzy energi kinetyczn pocz tkow i ko&cow przechodzi np. w ciep!o

lub energi# potencjaln deformacji.

Przyk ad 1

Jak cz#"% swej energii kinetycznej traci neutron (m1) w zderzeniu centralnym z j drem

atomowym (m2) b#d cym w spoczynku?

Pocz tkowa energia kinetyczna: 2

2

111

vmEk "

Ko&cowa energia kinetyczna: 2

2

112

umEk "

Wzgl#dne zmniejszenie energii kinetycznej:

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

21 1vv

v uu

E

EE

k

kk !"!

"!

Poniewa$ dla takiego zderzenia:

1

21

211 v((

)

*++,

-

#

!"

mm

mmu

wi#c

2

21

21

2

21

21

1

21

)(

41

mm

mm

mm

mm

E

EE

k

kk

#"((

)

*++,

-

#

!!"

!

& dla o!owiu m2 = 206 m1 wi#c %)2(02.01

21 "!

k

kk

E

EE

& dla w#gla m2 = 12 m1 wi#c %)28(82.01

21 "!

k

kk

E

EE

& dla wodoru m2 = m1 wi#c %)100(11

21 "!

k

kk

E

EE

Wyniki te wyja"niaj dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowal-

niaczem (a nie o!ów).

Przyk ad 2

Wahad!o balistyczne.

S!u$y do pomiaru pr#dko"ci pocisków. Sk!ada si# z bloku drewnianego o masie M, wi-

sz cego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m, maj cy pr#dko"% poziom v,

wbija si# w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahad!o (tzn. blok z tkwi cym w

nim pociskiem) wychyla si# i podnosi na maksymaln wysoko"% h.

10-5


m v

M

h

Z zasady zachowania p#du otrzymujemy

mv = (m + M)u

Z zasady zachowania energii (po zderzeniu):

ghMmuMm

)(2

)( 2

#"#

Po rozwi zaniu tych dwóch równa& otrzymujemy:

ghm

Mm2

#"v

Wystarczy wi#c zmierzy% wysoko"% h oraz masy m i M aby móc wyznaczy% pr#dko"%

pocisku v.

Na zako&czenie sprawd'my jaka cz#"% pocz tkowej energii zostaje zachowana w

tym zderzeniu. W tym celu obliczamy stosunek energii kinetycznej uk!adu klocek – po-

cisk, zaraz po zderzeniu, do energii kinetycznej pocisku przed zderzeniem. Otrzymuje-

my

Mm

m

ghm

Mmm

ghMm

m

uMm

#"

()

*+,

- #

#"

#

22

1

)(

2

1

)(2

1

22

2

v

Dla typowej masy pocisku m = 5 g i klocka o masie M = 2 kg otrzymujemy stosunek

m/(m+M) . 0.025. Oznacza to, $e zachowane zostaje tylko 0.25% pocz tkowej energii

kinetycznej, a 99.75% ulega zmianie w inne formy energii.

10-6


Wyk ad 11

11. Elementy szczególnej teorii wzgl!dno"ci

11.1 Wst p

Mechanika klasyczna oparta na zasadach dynamiki Newtona poprawnie opisuje zja-

wiska, w których pr"dko#ci cia! s ma!e w porównaniu z pr"dko#ci #wiat!a. Jednak

w zjawiskach atomowych, j drowych i w astrofizyce spotykamy si" z pr"dko#ciami

zbli$onymi do pr"dko#ci #wiat!a i wtedy zamiast mechaniki klasycznej musimy stoso-

wa% mechanik relatywistyczn! opart na szczególnej teorii wzgl dno"ci opracowanej

przez Einsteina. Mechanika klasyczna nie jest sprzeczna z mechanik relatywistyczn ,

a stanowi jej szczególny przypadek (dla ma!ych pr"dko#ci).

11.1.1 Zasada wzgl!dno"ci

Wiemy ju$, $e gdy uk!ad porusza si" ze sta! pr"dko#ci po linii prostej to ka$de do-

#wiadczenie przebiega tak samo jakby#my si" nie poruszali. Jednocze#nie jakakolwiek

zmiana pr"dko#ci natychmiast jest przez nas zauwa$ana.

Narzuca si" wniosek, poparty przez niezliczone obserwacje, $e $adne do#wiadczenie nie

pozwala nam stwierdzi%, $e si" poruszamy (v = const). Inaczej mówi c:

Prawa przyrody (w szczególno"ci fizyki) s! takie same bez wzgl du na to, czy obserwu-

jemy je z uk#adu nie poruszaj!cego si , czy z ruchomego, ale poruszaj!cego si bez

przy"pieszenia (czyli uk#adu inercjalnego)

Ten wniosek, nazywany obecnie zasad! wzgl dno"ci: sformu!owano jeszcze za czasów

Galileusza.

11.1.2 Transformacja Galileusza

Omawiaj c zasady dynamiki Newtona stwierdzili#my, $e prawa przyrody (w szcze-

gólno#ci fizyki) s takie same bez wzgl"du na to, czy obserwujemy je z uk!adu nie po-

ruszaj cego si", czy z ruchomego, ale poruszaj cego si" bez przy#pieszenia (uk!ady in-

ercjalne).

Spróbujemy teraz opisa% zjawiska widziane z dwóch ró$nych inercjalnych uk!adów

odniesienia, poruszaj cych si" wzgl"dem siebie (rysunek). W tym celu wyobra&my so-

bie, obserwatora na ziemi, który rejestruje dwa wybuchy na pewnej, jednakowej wyso-

ko#ci. Odleg!o#% mi"dzy miejscami wybuchów wynosi, (wed!ug ziemskiego obserwato-

ra) x, natomiast czas mi"dzy wybuchami t. Te same dwa zdarzenia obserwowane s

przez pasa$era samolotu lec cego z pr"dko#ci V po linii prostej ! cz cej miejsca wy-

buchów. Wzgl"dem lokalnego uk!adu odniesienia zwi zanego z lec cym samolotem

ró$nica po!o$e' wybuchów wynosi x’, a ró$nica czasu t’. Porównajmy teraz spostrze$enia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to

np. z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisa% to co widz pasa$erowie sa-molotu.

11-1


Je$eli, pierwszy wybuch nast pi! w punkcie x1’ (wzgl"dem samolotu), a drugi po

czasie t, to w tym czasie samolot przelecia! drog" V t (wzgl"dem obserwatora na Ziemi) i drugi wybuch zosta! zaobserwowany w punkcie

Vtxxx ! "# '' 12

czyli Vtxxxx ! #!# ''' 12

Jednocze#nie, poniewa$ samolot leci wzd!u$ linii ! cz cej wybuchy, to y’ = z’ = 0. Oczywistym wydaje si" te$, $e t’ = t. Otrzymali#my wi"c wzory przek#adaj!ce wyniki obserwacji jednego obserwatora na

spostrze$enia drugiego

tt

zz

yy

Vtxx

#

#

#

!#

'

'

'

'

(11.1)

Te równania nosz nazw" transformacji Galileusza Sprawd&my, czy stosuj c powy$sze wzory do opisu do#wiadcze', otrzymamy takie sa-me wyniki, niezale$nie od uk!adu w którym to do#wiadczenie opisujemy. Jako przyk!ad wybierzmy cia!o poruszaj ce wzd!u$ osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przy-spieszeniem a. W uk!adzie nieruchomym pr"dko#% chwilowa cia!a wynosi

t

xu

#

Jego przyspieszenie jest sta!e i równe a. Natomiast obserwator w poje&dzie poruszaj -cym si" wzd!u$ osi x ze sta! pr"dko#ci V rejestruje, $e w czasie t’ cia!o przebywa odleg!o#% x’. Zatem pr"dko#% chwilowa cia!a zmierzonego przez tego obserwatora wynosi

11-2


'

''

t

xu

#

Zgodnie z transformacj Galileusza x' = x ! V t, oraz t' = t, wi"c

Vut

tVx

t

xu !#

!

#

#'

''

Otrzymali#my pr"dko#% wzgl"dn jednego obiektu wzgl"dem drugiego co jest wyni-kiem intuicyjnie oczywistym. Natomiast przy#pieszenie w uk!adzie poruszaj cym si" wynosi

at

u

t

Vu

t

ua #

# !

#

#)(

'

''

Wida%, $e w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik zgodny z do#wiadczeniem. Jednak nie jest to prawd w ka$dym przypadku. Miedzy in-nymi stwierdzono, $e ta transformacja zastosowana do równa' Maxwella nie daje tych samych wyników dla omawianych uk!adów inercjalnych. W szczególno#ci z praw Maxwella wynika, $e pr dko"% "wiat#a jest podstawow! sta#! przyrody i powinna by%

taka sama w ka$dym uk#adzie odniesienia. Oznacza to na przyk!ad, $e gdy impuls #wiat!a rozchodz cy si" w pró$ni w kierunku x jest obserwowany przez dwóch obserwatorów (patrz na tekst i rysunek powy$ej) to za-równo obserwator nieruchomy jak poruszaj cy si" z pr"dko#ci V (wzgl"dem pierwsze-go) zmierz identyczn pr"dko#% impulsu c = 2.998$108 m/s. Tymczasem zgodnie z transformacj Galileusza i ze zdrowym rozs dkiem powinni#my otrzyma% warto#% c – V. WMaxwella, a w szczególno#ci próbowano pokaza%, $e pr"dko#% #wiat!a, tak jak pr"dko#% d&wi"ku zale$y od uk!adu odniesienia (stosuje si" do transformacji Galileusza). Naj-s!awniejsze z nich, to do#wiadczenie Michelsona-Morleya maj ce na celu wykrycie wp!ywu ruchu orbitalnego Ziemi na pr"dko#% #wiat!a poprzez pomiar pr"dko#ci #wiat!a w kierunku prostopad!ym i równoleg!ym do ruchu Ziemi. Wszystkie te do#wiadczenia da!y wynik negatywny i musimy uzna%, $e pr"dko#% #wiat!a w pró$ni jest jednakowa we wszystkich inercjalnych uk!adach odniesienia. Pr dko"% "wiat#a c = 2.988$108 m/s we wszystkich u

ykonano szereg do#wiadcze', w których próbowano podwa$y% równania

k#adach odniesienia.

!a.

11.1.3 Dylatacja czasu

Za!ó$my, $e w rakiecie znajduje si" przyrz d wysy!aj cy impuls #wiat!a z punktu A, któ

dzy wys!aniem #wiat!a, a jego zarejestrowaniem przez obser-

#wiat!a z punktu A do zwierciad!a i z powrotem do A.

Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikaj ce ze sta!o#ci pr"dko#ci #wiat

ry nast"pnie odbity przez lustro Z, odleg!e od A o d powraca do punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek). Czas t' jaki up!ywa mi"watora b"d cego w rakiecie jest oczywi#cie równy t' = 2d/c (rysunek po lewej stronie). Teraz to samo zjawisko opisujemy z uk!adu nieruchomego, wzgl"dem którego rakieta porusza si" w prawo z pr"dko#ci V. Chcemy, w tym uk!adzie, znale&% czas t przelotu

11-3


na rysunku (po prawej stronie) #wiat!o przechodz c od punktu

porusza si" po linii o d!ugo#ci S Jak wida% A do zwier-ciad!a Z

% 22

dt

VS "&'

(

#

Zatem czas potrzebny na przebycie drogi (tj. dwóch odcinków S) wynosi

2 )*

AZA

ct

22

)*#

2d

dV 2"&(

lub po przekszta!ceniu

t2'%

2

2

2

2

11c

V

c

Vt

!

#

!

# (11.2)

Widzimy, $e warunek sta!o# nych uk!adach odniesienia mo$e

y% spe!niony tylko wtedy gdy, czas pomi"dzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi

y s w ruchu. Dotyczy to równie$ reakcji chemicznych,

#ci bliskiej pr"dko#ci #wiat!a i mierzono zmian"

ci pr"dko#ci #wiat!a w ró$

'tc

bi mierzonymi z ró$nych uk!adów odniesienia jest ró$ny. W konsekwencji, ka$dy obserwator stwierdzi, $e poruszaj!cy si zegar idzie wolniej ni$

identyczny zegar w spoczynku. To zjawisko dylatacji czasu jest w!asno#ci samego czasu i dlatego spowolnieniu ulega-j wszystkie procesy fizyczne gdwi"c i np. biologicznego starzenia si". Dylatacj" czasu zaobserwowano do#wiadczalnie min. za pomoc nietrwa!ych cz stek. Cz stki takie przyspieszano do pr"dkoich czasu po!owicznego zaniku.

11-4


11.2 Transformacja Lorentza

Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przek!ada-j cych spostrze$enia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znale&% transformacj" wspó!rz"dnych ale tak , w której obiekt poruszaj cy si" z pr"dko#ci równ c w uk!adzie nieruchomym (x, y, z, t), równie$ w uk!adzie (x', y', z', t') poruszaj -cym si" z pr"dko#ci V wzd!u$ osi x b"dzie porusza% si" z pr"dko#ci c.

Transformacja wspó#rz dnych, która uwzgl dnia niezale$no"% pr dko"ci "wiat#a od

uk#adu odniesienia ma posta%

2

2

2

2

2

2

2

2

11

'

'

'

11

'

+

+

!

!#

!

!#

#

#

!

!#

!

!#

xc

Vt

c

V

xc

Vt

t

zz

yy

Vtx

c

V

Vtxx

(11.3)

gdzie + = V/c. Te równania nosz nazw" transformacji Lorentza. Omówimy teraz niektóre wnioski wynikaj ce z transformacji Lorentza.

11.2.1 Jednoczesno"#

Przyjmijmy, $e wed!ug obserwatora w rakiecie poruszaj cej si" wzd!u$ osi x' (czyli tak$e wzd!u$ osi x, bo zak!adamy, $e te osie s równoleg!e) pewne dwa zdarzenia za-chodz równocze#nie t' = t2' - t1' = 0, ale w ro$nych miejscach x2' - x1' = x' , 0. Sprawd&my, czy te same zdarzanie s równie$ jednoczesne dla obserwatora w spoczyn-ku. Z transformacji Lorentza wynika, $e

2

2

1'

+!

! #

xc

Vt

t

tVxx "! # 21' +

( cz c oba powy$sze równania otrzymujemy zwi zek

'1'2

2 xc

Vtt !! # + (11.4)

Je$eli teraz uwzgl"dnimy fakt, $e zdarzenia w uk!adzie zwi zanym z rakiet s jedno-czesne t' = 0 to otrzymamy ostatecznie

11-5


'1 2

2

xc

V

t !

# +

(11.5)

Widzimy, $e równoczesno#% zdarze' nie jest bezwzgl"dna, w uk!adzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie s jednoczesne.

11.2.2 Skrócenie d ugo"ci

Teraz rozpatrzmy inny przyk!ad. W rakiecie poruszaj cej si" z pr"dko#ci V, wzd!u$ osi x' le$y pr"t o d!ugo#ci L'. Sprawd&my jak d!ugo#% tego pr"ta zaobserwuje obserwa-tor w uk!adzie nieruchomym.

Pomiar d!ugo#ci pr"ta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodz cych rów-nocze#nie na ko'cach pr"ta (np. zapalenie si" $arówek). Poniewa$ $arówki zapalaj si" na ko'cach pr"ta to x' = L'. Ponadto $arówki zapalaj si" w tym samym czasie (dla ob-serwatora w uk!adzie spoczywaj cym ) to dodatkowo t = 0. Uwzgl"dniaj c te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza

xL !

#21

1'

+

x jest d!ugo#ci pr"ta L w uk!adzie nieruchomym wi"c

21' +!## LLx (11.6)

Okazuje si", $e pr"t ma mniejsz d!ugo#%, jest krótszy.

11.2.3 Sta o"# przedzia u czasoprzestrzennego

Pomimo, $e powy$szy opis k!óci si" ze zdrowym rozs dkiem i do#wiadczeniem $y-cia codziennego to jednak po bli$szej analizie transformacja Lorentza mo$e ju$ nie wy-dawa% si" a$ tak dziwna. Wyobra&my sobie pr"t o d!. np. .20m. umieszczony w uk!adzie wspó!rz"dnych w taki sposób, $e rzut tego odcinka na o# x wynosi x, a na o# y y.

y' y

x'

x

-

Je#li teraz kto# znajdzie si" w drugim uk!adzie wspó!rz"dnych, obróconym wzgl"dem pierwszego o k t , to spogl daj c na ten odcinek z tego uk!adu mierzy jego wspó!-rz"dne jako x

’ i y’

-. Czy jest to dla nas dziwne? Oczywi#cie nie. Mo$emy tak$e prze-

t!umaczy% opis w jednym uk!adzie na opis w drugim (znale&% transformacj")

11-6


x

’ = x cos- + y sin-

y’=- x sin- + y cos-

Poszczególne wyniki obserwacji x i y dla jednego cz!owieka, oraz, odpowiednio, x' i y' dla drugiego s ró$ne, lecz suma ich kwadratów tj. d#ugo"% pr ta jest taka sama. Zwi zek mi"dzy x i y, a x' i y' jest dany przez liniow! kombinacj podobnie jak w transformacji Lorentza. Tylko, $e tutaj wiemy, $e x i y to odleg!o#ci, a tam x i t to wielko#ci innego rodzaju.

Szczególna teoria wzgl"dno#ci dowodzi, $e czas jest "ci"le powi!zany z odleg#o"ci!

i naprawd $yjemy w 4-wymiarowej przestrzeni; czasoprzestrzeni. Co wi"cej, podobna wielko#% jak odleg!o#% w naszym przyk!adzie te$ istnieje: jest ni przedzia# czasoprze-

strzenny ( x)2-(c t)2, który jest niezmiennikiem transformacji Lorenzta, czyli jest taki sam w dwóch uk!adach ( x)2-(c t)2=( x’)2-(c t’)2 (11.7)

11.2.4 Dodawanie pr!dko"ci

Uprzednio rozwa$ali#my obiekt spoczywaj cy w rakiecie. Teraz zajmiemy si" przy-padkiem gdy obiekt ma ju$ pewn pr"dko#% Ux' w ruchomym uk!adzie odniesienia (tj. wzgl"dem rakiety). Sprawdzimy jak pr"dko#% Ux zarejestruje nieruchomy obserwator, w uk!adzie którego rakieta porusza si" z pr"dko#ci V wzd!u$ osi x. Z transformacji Lo-rentza wynika, $e

21'

+!

! #

tVxx

2

2

1'

+!

! #

xc

Vt

t

Dziel c te równania przez siebie otrzymujemy

t

x

c

V

Vt

x

xc

Vt

tVx

t

x

!

!

# !

! #

221'

'

a po podstawieniu

'

''

t

xU x

# i

t

xx

#U

11-7


21

'

c

VU

VUU

x

xx

!

!# (11.8a)

Równanie (11.8a) mo$na rozwi za% ze wzgl"du na Ux

2

'1

'

c

VU

VUU

x

xx

"

"# (11.8b)

W ogólno#ci, je#li obiekt przesuwa si" z pr"dko#ci ' , wzgl"dem ob-

serwatora w rakiecie (poruszaj cej si" z pr"dko#ci U wzd!u$ osi x) to pr"dko#% tego przedmiotu zarejestrowana w nieruchomym uk!adzie wyniesie

'' yx VVV ji "#

yx VVV ji "#

2

'1

'

c

UV

VUV

x

xx

"

"# (11.9a)

Vy = Vy' (11.9b) Przyk#ad 1

Dwa nadd&wi"kowe samoloty odrzutowe lec ku sobie na kursie kolizyjnym. Ich pr"dko#ci wzgl"dem Ziemi wynosz odpowiednio: samolot 1 Vx = 1500km/h, samolot 2 U = 3000km/h. Jak warto#% pr"dko#ci pierwszego samolotu zmierzy obserwator w sa-molocie drugim? Samolot 2 jest uk!adem, wzgl"dem którego pr"dko#% obiektu (czyli samolotu 1) chcemy obliczy%, przy znanej pr"dko#ci w uk!adzie zwi zanym z Ziemi . Poniewa$ Vx = 1500 km/h, U = - 3000 km/h (bo przeciwny kierunek). st d na podstawie równania (11.9a) Vx' = 4497.77 km/h.

11.2.5 Zale$no"# masy od pr!dko"ci

Dotychczas zajmowali#my si" kinematyk ruchu cia!a obserwowanego z dwóch uk!adów odniesienia poruszaj cych si" wzgl"dem siebie ze sta! pr"dko#ci . Teraz chcemy odpowiedzie% na pytanie jak mo$na opisa% zachowanie cia!a pod wp!ywem si! w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, czy druga zasada dynamiki Newtona F = dp/dt mo$e by% stosowana i czy zasada za-chowania p"du ma tak sam posta% we wszystkich uk!adach inercjalnych.

Okazuje si", $e warunkiem zachowania p"du przy transformacji z jednego uk!adu odniesienia do innego jest uwzgl"dnienie zale$no#% masy cia!a m od jego pr"dko#ci V, danej nast"puj cym wyra$eniem

2

2

0

1

)(

c

V

mVm

!

# (11.10)

11-8


w którym m0 oznacza mas spoczynkow!, czyli mas" nieruchomego cia!a. Zauwa$my ponadto, $e masa cz stki ro#nie wraz z pr"dko#ci i zmierza do niesko'czono#ci gdy V c.

Rozpatrzmy teraz ruch cia!a pod wp!ywem sta!ej si!y F dzia!aj cej równolegle do kierunku ruchu. Zale$no#% pr"dko#ci cia!a od czasu obliczamy na podstawie drugiej za-sad dynamiki Newtona. Uwzgl"dniaj c zale$no#% masy od pr"dko#ci (11.10) otrzymu-jemy

2

0

0

1

)(

&)'

(*%"

#

cmFt

mFt

tV

Porównanie zale$no#% pr"dko#ci cia!a od czasu dzia!ania si!y w mechanice klasycznej i relatywistycznej jest pokazane na rysunku poni$ej.

0

1

Pr dko!" relatywistyczna

Pr dko!" klasyczna

Przedzia# mechaniki klasycznej

V/c

t

W przeciwie'stwie do opisu klasycznego, z powy$szej zale$no#ci wynika, $e cz stki nie da si" przyspiesza% w niesko'czono#% dzia!aj c sta! si! . Zmiana masy z pr"dko#ci zosta!a potwierdzona wieloma do#wiadczeniami prze-prowadzonymi dla cz stek elementarnych.

11.2.6 Równowa$no"# masy i energii

Einstein pokaza!, $e zasada zachowania energii jest spe!niona w mechanice relaty-wistycznej pod warunkiem, $e pomi"dzy mas i ca!kowit energi cia!a zachodzi zwi -zek

2mcE # (11.11)

11-9


gdzie m zale$y od pr"dko#ci cia!a V zgodnie zrównaniem (11.10). To znane powszech-nie równanie Einsteina opisuje równowa$no#% masy i energii. Wynika z niego, $e cia!o w spoczynku ma zawsze pewn energi" zwi zan z jego masa spoczynkow

200 cmE #

Energi" kinetyczn cia!a poruszaj cego si" z pr"dko#ci V obliczamy odejmuj c od

energii ca!kowitej energi" spoczynkow (nie zwi zan z ruchem)

20

20

20 )( cmmcmmcEEEk !#!#!#

Widzimy, $e mechanika relatywistyczna wi $e energi" kinetyczn z przyrostem masy cia!a. Na zako'czenie zobaczmy jak warto#% przyjmuje energia ca!kowita, je#li pr"d-ko#% V jest ma!a. Dla ma!ego V równanie (11.10) mo$na przybli$y% (rozwijaj c w sze-reg) do postaci

&&)

'((*

%".

!

#2

2

0

2

2

0

21

1

)(c

Vm

c

V

mVm

Podstawiaj c t" warto#% do wyra$enia na energi" ca!kowit otrzymujemy

2)(

202

02 Vm

cmcVmE ".#

Pierwszy wyraz jest energi! zwi!zan! z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa) natomiast drugi jest klasyczn! energi! kinetyczn! zwi!zan! z ruchem cia#a. Otrzymali-#my rozwi zanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla ma!ych pr"dko#ci) rozwi za-nia relatywistycznego.

St d o krok ju$ by!o do stwierdzenia, $e je$eli masa spoczynkowa cz stki zostanie zmniejszona o m, to nast pi wyzwolenie energii E = mc

2. Te wnioski zosta!y po-twierdzone do#wiadczalnie i omówimy je na dalszych wyk!adach.

11-10


Wyk ad 12

12. Ruch obrotowy

12.1 Wst p

Mówi c o "rodku masy wspominali"my o ruchu obrotowym oraz o toczeniu si# cia!.

Du$ym u!atwieniem w analizie uk!adów cz stek jest mo$liwo"% rozpatrywania oddziel-

nego ruchu post#powego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzi% to uproszczenie zdefi-

niujemy dwie nowe wielko"ci: moment p du i moment si!y. Zasada zachowania momen-

tu p#du jest równie istotna jak zasada zachowania p#du i zasada zachowania energii.

12.2 Kinematyka ruchu obrotowego

Musi w pierwszym kroku wypracowa% uj#cie matematyczne dla ruchu obrotowego.

Dla ruchu obrotowego wielko"ci analogiczn do przesuni#cia jest przesuni cie k"to-

we . K t okre"la po!o$enie punktu wzgl#dem uk!adu odniesienia. Dla ruchu po okr#-

gu, z definicji miary !ukowej k ta = S/R. (w radianach).

R S

K tow analogi pr#dko"ci v = dx/dt jest pr dko#$ k"towa !.

td

d ! " (12.1)

Dla ruchu po okr#gu v = ! R.

W przypadku ruchu jednostajnego po okr#gu ! jest nazywane cz sto#ci" k"tow" i jest

zwi zana z cz#stotliwo"ci f relacj

! = 2#f

Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = dv/dt zosta!o zdefiniowane przyspieszenie k -

towe $.

td

d!$ " (12.2)

12-1


Dla ruchu po okr#gu zwi zek pomi#dzy a i $ jest analogiczny do zwi zku pomi#dzy v

i ! tzn. a = $R. Mo$emy teraz np. poda% opis ruchu obrotowego ze sta!ym przyspiesze-

niem $ poprzez analogi# do ruchu post#powego jednostajnie zmiennego.

Ruch post#powy Ruch obrotowy

a = const

v = v0 + at

s = s0 + v0t + (1/2)at2

$ = const

! = !0 + $t

= 0 + !0t + (1/2)$t2

Kierunek i zwrot wektorów pr#dko"ci k towej ! i przyspieszenia k towego $%w ruchu

obrotowym przyspieszonym (1) i opó&nionym (2) s pokazane na rysunku poni$ej.

!%

$%

!%

$%

1) 2)

12.3 Dynamika ruchu obrotowego

12.3.1 Moment si y

W ruchu post#powym si!# wi $emy z liniowym przyspieszeniem cia!a. Jak wiel-

ko"% b#dziemy wi za% z przyspieszeniem k towym?

Nie mo$e by% to tylko si!a bo jak pokazuje do"wiadczenie np. z otwieraniem drzwi

przyspieszenie k towe zale$y od tego gdzie i pod jakim k tem jest przy!o$ona si!a. W

szczególno"ci si!a przy!o$ona w miejscu zawiasów zarówno wzd!u$ jak i prostopadle

do nich nie wytwarza $adnego przyspieszenia. Natomiast si!a przy!o$ona do drzwi na

ich zewn#trznej kraw#dzi i pod k tem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.

Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem si!y w ruchu post#powym jest moment si!y

(tzw. moment obrotowy) &. Je$eli si!a F dzia!a na cz stk# to moment si!y jest definiowany jako

Fr! '" (12.3)

gdzie wektor r reprezentuje po!o$enie cz stki wzgl#dem wybranego inercjalnego uk!a-

du odniesienia. Moment si!y jest wielko"ci wektorow , której warto"% bezwzgl#dna

12-2


wynosi: & = rFsin (iloczyn wektorowy). Wielko"% r nazywamy ramieniem si!y (wida%,

$e bierzemy albo r( albo F().

12.3.2 Moment p!du

Zdefiniujmy teraz wielko"%, która w ruchu obrotowym odgrywa rol# analogiczn do

p#du. Wielko"% L b#dziemy nazywa% momentem p du i definiujemy j

prL '" (12.4)

gdzie p jest p#dem cz stki, a r reprezentuje po!o$enie cz stki wzgl#dem wybranego in-

ercjalnego uk!adu odniesienia. Warto"% L wynosi rpsin i analogicznie do momentu si!y

wielko"% rsin nazywamy ramieniem p#du.

Istnieje bezpo"rednia zale$no"% pomi#dzy momentem si!y i momentem p#du. Zacznij-

my od znanej zale$no"ci, $e si!a F = dp/dt (dla pojedynczej cz stki). Mno$ c wektoro-

wo obie strony przez r otrzymujemy

td

d prFr '"'

Fr ' jest momentem si!y & wi#c

td

d pr! '" (12.5)

Teraz przechodzimy do równania na moment p#du L = r'p i ró$niczkujemy je obu-

stronnie wzgl#dem czasu, otrzymuj c

tttt d

d

d

d

d

)d(

d

d prp

rprL')'"

'"

poniewa$ dr/dt = v wi#c

tm

t d

d)(

d

d pr

L')'" vv

Wiemy, $e v = 0 (z definicji iloczynu wektorowego), wi#c vm'

tt d

d

d

d pr

L'" (12.6)

Porównanie równa' (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, $e

td

d L! " (12.7)

12-3


Widzimy, $e wypadkowy moment si!y dzia!aj cy na cz stk# jest równy pr#dko"ci

zmian momentu p#du tej cz stki.

12.3.3 Zachowanie momentu p!du

Dla uk!adu n cz stek mo$emy zsumowa% równanie (12.7) po wszystkich cz stkach

tt

wypadkowy

i i

iid

d

d

d LL! "*+

,-.

/"0 0 (12.8)

Zauwa$my, $e je$eli na uk!ad nie dzia!a zewn#trzny moment si!y (lub suma = 0) to

moment p#du uk!adu pozostaje sta!y.

.const0d

d"1" wypadkowy

wypadkowy

tL

L

Przyk!ad 1

Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu r#kach trzyma hantle, maj c roz!o$one

ramiona. Popychamy j , tak aby obraca!a si# z cz#stotliwo"ci f1 = 0.5 obrotów na se-

kund#. Wtedy osoba zgina ramiona, przyci gaj c hantle do tu!owia. Jaka jest cz#stotli-

wo"% jej obrotów? Za!ó$my, $e hantle pocz tkowo znajduj ce si# 80 cm od osi obrotu,

zostaj "ci gni#te do odleg!o"ci 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, $e obracaj ca si#

osoba ma taki sam moment p#du jak hantle w odleg!o"ci 80 cm od osi obrotu.

Pocz tkowo moment p#du hantli wynosi

Lh1 = R1mv1 = R1m(!1R1) = m!1(R1)2

dzie m jest mas pary hantli. Moment p#du uk!adu osoba-hantle wynosi wi#c

L1 = Lo1 + m!1(R1)2

oniewa$ Lo1 = Lh1 wi#c Lo1 = m!1(R1)2.

k!adu wynosi

L2 = Lo2 + m!2(R2)2

tosuj c zasad# zachowania p#du otrzymujemy

L1 = L2

czyli:

Lo1 + m!1(R1)2 = Lo2 + m!2(R2)

2

ami#taj c, $e Lo2 = Lo1!2/!1 poniewa$ L 2 ! rozwi zujemy to równanie wzgl#dem !2

g

P

Dla hantli w odleg!o"ci R2 moment p#du u

S

P

12-4


2

2

2

1

2

112

2

RR

R

)"!!

!2 = 1.97 !1

Pr#dko"% obrotów ro"nie dwukrotnie.

Przyk!ad 2

Rower jedzie ze sta! pr#dko"ci gdy si!a dzia!aj ca pomi#dzy nawierzchni i ko!em

F2 = 4 N. Z jak si! F1 !a'cuch musi ci gn % z#batk# je$eli stosunek R2/R1 = 10?

R1

R2

F1

F2

Poniewa$ pr#dko"% k towa jest sta!a wi#c dL/dt = 0 i co za tym idzie

&wypadkowy = (&1 - &2) = 0

czyli

&1 = &2

St d

R1F1 = R2F2

wi#c

F1 = (R2/R1)F2 = 40N

12.4 Cia"a sztywne i moment bezw"adno#ci

Wi#kszo"% mas w przyrodzie to nie cz stki tylko rozci g!e cia!a sta!e, które mog

wykonywa% zarówno ruch post#powy jak i obrotowy. Przez cia!a sta!e, sztywne, rozu-

miemy cia!a, w których odleg!o"% mi#dzy dwoma wybranymi elementami pozostaje sta-

!a.

Przeanalizujmy ruch takiej bry!y obracaj cej si# ze sta! pr#dko"ci k towa ! wokó!

sta!ej osi w uk!adzie "rodka masy (rysunek). Zauwa$my, $e ró$ne cz#"ci cia!a maj ró$-

n pr#dko"% liniow v chocia$ t sam k tow !. Dla potrzeb opisu cia!o mo$emy po-

dzieli% na elementy o masie 3mi odleg!e od osi obrotu o ri. Wtedy pr#dko"% takiego

elementu wynosi vi = ri!.

12-5


3mi

ri

vi

!

Warto"% momentu p#du L tego cia!a mo$na obliczy%

!! *+

,-.

/3"3"3" 00 0

i

iii

i i

iiiii mrrmrmrL 2)(v

Wielko"% w nawiasie nazywamy momentem bezw!adno#ci I, który definiujemy jako

0 3"i

mrI ii

2

a dla ci g!ego rozk!adu masy mamy

4" mrI d2 (12.9)

Zwró%my uwag#, $e I zale$y od osi obrotu. Mo$emy teraz zapisa% moment p#du

L = I! (12.10)

a poniewa$ & = dL/dt wi#c

$!

& It

I ""d

d (12.11)

Energia kinetyczna w uk!adzie "rodka masy

2222

2

1)(

2

1

2

1!!0 00 *+

,-.

/3"3"3"

i i

iiii

i

iik rmrmmE v

wi#c

12-6


2

2

1!IEk " (12.12)

Zestawmy teraz obliczone wielko"ci z ich odpowiednikami dla ruchu post#powego.

Ruch post#powy Ruch obrotowy

p = mv

F = ma

Ek = (1/2) mv2

L= I!

& = I$

Ek = (1/2)I!2

Teraz widzimy, $e moment bezw!adno"ci I jest analogiczn wielko"ci do masy m w

ruchu post#powym. Chocia$ masa cia!a nie zale$y od jego po!o$enia to moment bez-

w!adno"ci zale$y od osi, wokó! której obraca si# cia!o. Momenty bezw!adno"ci niektó-

rych cia! s podane w tabeli.

Cia!o I

Obr#cz, pier"cie' wzgl#dem osi ( przez "rodek

Kr $ek, walec wzgl#dem osi ( przez "rodek

Pr#t wokó! osi ( przez "rodek

Pr#t wokó! osi ( przez koniec

Pe!na kula wokó! osi przez "rodek

Czasza kulista wokó! osi przez "rodek

mR2

mR2/2

ml2/12

ml2/3

2mR2/5

2mR2/3

Cz#sto do obliczania momentu bezw!adno"ci wygodnie jest pos!u$y% si# twierdze-

niem Steinera. Podaje ono zale$no"% pomi#dzy momentem bezw!adno"ci I cia!a wzgl#-

dem danej osi, a momentem bezw!adno"ci I#r.m. tego cia!a wzgl#dem osi przechodz cej

przez jego "rodek masy i równoleg!ej do danej.

I = I#r.m. + md2 (12.13)

gdzie m jest mas cia!a, a d odleg!o"ci pomi#dzy osiami.

12.5 Ruch post powo-obrotowy cia"a sztywnego

Rozpatrywali"my ruch obrotowy cia!a wzgl#dem osi nieruchomych. Jednak$e gdy

cia!o si# toczy to wykonuje zarówno ruch post#powy, jak i obrotowy. Dlatego te$ to-

czenie mo$emy traktowa% jako z!o$enie ruchu post#powego i obrotowego tak jak poka-

zano to na rysunku poni$ej dla tocz cego si# walca.

W ruchu post#powym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszaj si# z takimi samymi

pr#dko"ciami, natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwleg!e punkty poru-

szaj si# z przeciwnymi pr#dko"ciami, a "rodek jest nieruchomy. Na rysunku (c) poka-

zano wynik z!o$enia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).

12-7


Zwró%my uwag#, $e podstawa walca (punkt P styczno"ci z pod!o$em na rysunku poni-

$ej) w ka$dej chwili spoczywa (v = 0). Natomiast pr#dko"% liniowa ka$dego innego

punktu jest w ka$dej chwili prostopad!a do linii ! cz cej ten punkt z podstaw P i pro-

porcjonalna do odleg!o"ci tego punktu od P. Oznacza to, $e walec obraca si wokó!

punktu P. Oznacza to, $e mo$emy toczenie opisywa% równie$ jako "czysty" ruch obro-

towy ale wzgl#dem osi przechodz cej przez punkt P styczno"ci z powierzchni , po któ-

rej toczy si# cia!o.

Przyk!ad 3

Kr $ek i kula o masach m i promieniach R staczaj si# po równi pochy!ej o wysoko"ci h

Obliczy% ich pr#dko"ci u do!u równi.

Z zasady zachowania energii

mgh = (1/2)mv2 + (1/2)I!2

Poniewa$ ! = v/R wi#c

mgh = (1/2)mv2 + (1/2)I(v/R)

2

Przekszta!caj c

12-8


2

2 2

R

Im

mgh

)"v

Dla kr $ka I = mR2/2 wi#c

gh3

4"v

podczas gdy dla kuli I = 2mR2/5 wi#c

gh7

10"v

Zauwa$my, $e odpowied& nie zale$y od masy i promienia ale zale%y tylko od kszta!tu.

Gdyby te cia!a zsuwa!y si# (bez tarcia) to gh2"v dla obu bry!.

Ten sam przyk!ad mo$emy rozwi za% traktuj c toczenie wy! cznie jako ruch obrotowy

ale wtedy musimy skorzysta% z twierdzenia Steinera, $eby obliczy% moment bezw!ad-

no"ci wzgl#dem osi przechodz cej przez punkt styczno"ci z powierzchni .

12.6 Ruch precesyjny (b$k)

Inny przyk!adem ruchu obrotowego, w którym o" obrotu nie jest nieruchom w in-

ercjalnym uk!adzie odniesienia jest b k wiruj cy dooko!a pewnej osi symetrii. Punkt

podparcia b ka znajduje si# w pocz tku inercjalnego uk!adu odniesienia. Z do"wiad-

czenia wiemy, $e o" wiruj cego b ka porusza si# dooko!a osi pionowej, zakre"laj c po-

wierzchni# sto$ka. Taki ruch nazywamy precesj .

W sytuacji przedstawionej na rysunku poni ej b!k ma pr"dko#$ k!tow! dooko!a

swej osi. Ma równie moment p"du L wzgl"dem tej osi, która tworzy k!t ! z osi! pio-

now!.

L

mg

r

!!

"

x

y

z

y

z

x"

L+#LL

#L#$

p

!

12-9

Z. K!kol-Notatki do Wyk%adu z Fizyki

Na b!k dzia%aj! dwie si%y: si%a w punkcie podparcia dzia%a w gór" i si%a ci" ko#ci przy-

%o ona do #rodka masy dzia%a w dó%. Si%a reakcji dzia%aj!ca w gór" ma zerowy moment

bo ma zerowe rami" (wzgl"dem punktu podparcia). Ci" ar mg wytwarza jednak mo-

ment si%y wzgl"dem punktu podparcia:

" = r%F = r%mg

gdzie r okre#la po%o enie #rodka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, e " jest pro-

stopad%e do r i do mg.

Zauwa my, e ", L i r wiruj! doko%a osi pionowej z cz"sto#ci! precesji p.

Obliczymy teraz k!tow! precesj" p.

tp

#

#&

$

Poniewa #L << L, to mamy

#$ ' #L/Lsin!

Z równania (12.5) wynika, e

#L = "#t

wi"c

#$ ' "#t/Lsin!

Otrzymujemy wi"c

p = #$/#t = "/Lsin! (12.14)

Moment si%y jest równy

" = rmg sin(180°-!) = rmg sin!

wi"c ostatecznie

p = rmg/L (12.15)

Zwró$my uwag", e pr"dko#$ precesji nie zale%y od k ta ! i jest odwrotnie proporcjo-

nalna do warto#ci momentu p"du.

Równanie (12.14) mo na zapisa$ w postaci wektorowej. Najpierw przepisujemy je do

postaci

" = pL sin!

Wida$, e po prawej stronie równania otrzymali#my warto#$ iloczynu wektorowego

p%L. Tak wi"c ostatecznie wyra enie wi! !ce pr"dko#$ k!tow! precesji z momentem

si%y i momentem p"du ma posta$

12-10


L ! %& p (12.16)

Zjawisko precesji momentu magnetycznego (spinu) jest podstaw! ró nych technik do-

#wiadczalnych (NMR, EPR), które znalaz%y szerokie zastosowanie w badaniach, techni-

ce i medycynie.

12-11


Wyk ad 13

13. Ruch drgaj!cy

Ruch, który powtarza si" w regularnych odst"pach czasu, nazywamy ruchem okre-

sowym (periodycznym). Przemieszczenie cz stki w ruchu periodycznym mo#na wyrazi$

za pomoc funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechn form ruchu ob-

serwowan w #yciu codziennym i dlatego jest wa#nym przedmiotem fizyki.

13.1 Si a harmoniczna

Dzia!aj c na cia!o si!", która jest proporcjonalna do przesuni"cia cia!a od pocz tku

uk!adu i która jest skierowana ku pocz tkowi uk!adu, nazywamy si ! harmoniczn! lub

si ! spr"#ysto$ci. Je#eli obierzemy o% x wzd!u# przesuni"cia, to si!a harmoniczna jest

wyra#ona równaniem

F = – kx (13.1)

gdzie x jest przesuni"ciem od po!o#enia równowagi. To równanie opisuje si!" wywiera-

n przez rozci gni"t spr"#yn" o ile tylko spr"#yna nie zosta!a rozci gni"ta poza granic"

spr"#ysto%ci. To jest prawo Hooke'a.

Je#eli spr"#yna zostanie rozci gni"ta tak aby masa m (zaczepiona do spr"#yny) zna-

laz!a si" w po!o#eniu x = A, a nast"pnie w chwili t = 0 zosta!a zwolniona, to po!o#enie

masy w funkcji czasu b"dzie dane równaniem

x = Acos t

Sprawd&my czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza si" z za!o#e-

niami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, #e

– kx = ma

czyli

– kx = m(dv/dt)

wreszcie

– kx = m(d2x/dt

2) (13.2)

Równanie takie nazywa si" równaniem ró#niczkowym drugiego rz"du. Staramy si"

"odgadn $" rozwi zanie i nast"pnie sprawdzi$ nasze przypuszczenia. Zwró$my uwag",

#e rozwi zaniem jest funkcja x(t), która ma t" w!a%ciwo%$, #e jej druga pochodna jest

równa funkcji ale ze znakiem "–". Zgadujemy, #e mo#e to by$ funkcja x = Acos t

i sprawdzamy

dx/dt = v = – A sin t (13.3)

d2x/dt

2 = a = – A 2

cos t (13.4)

13-1


Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)

(– kAcos t) = m(– A 2cos t)

i otrzymujemy

2 = k/m (13.5)

Widzimy, #e x = Acos t jest rozwi zaniem równania (13.2) ale tylko gdy mk /! .

Zwró$my uwag", #e funkcja x = Asin t jest równie# rozwi zaniem równania ale nie

spe!nia warunku pocz tkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).

Najogólniejszym rozwi zaniem jest

x = Asin( t + ") (13.6)

gdzie " jest dowoln sta! fazow . Sta!e A i " s okre%lone przez warunki pocz tkowe.

Warto$ci maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielko%ci wynosz :

#$ dla wychylenia A

#$ dla pr"dko%ci A (wyst"puje gdy x = 0)

#$ dla przyspieszenia 2A (wyst"puje gdy x = A)

13.2 Okres drga!

Funkcja cos t lub sin t powtarza si" po czasie T dla którego T = 2%. Ta szczegól-

na warto%$ czasu jest zdefiniowana jako okres T

T = 2%/ (13.7)

Liczba drga' w czasie t jest równa

n = t/T

Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczb" drga' w jednostce czasu

Tt

n 1!

Lewa strona równania jest z definicji cz"stotliwo%ci drga' f

Tf

1!

Dla ruchu harmonicznego ! k m/ wi"c otrzymujemy

k

mT %2! (13.8)

13-2


Jest to okres drga' masy m przyczepionej do ko'ca spr"#yny o sta!ej spr"#ysto%ci k.

Przyk ad 1

Dwie masy, m1 i m2, s przyczepione do przeciwnych ko'ców spr"#yny. Jaki b"dzie

okres drga', gdy rozci gniemy spr"#yn", a nast"pnie zwolnimy obie masy jednocze-

%nie? Sta!a spr"#yny wynosi k.

Niech x1 b"dzie przesuni"ciem masy m1 od po!o#enia równowagi, a x2 odpowiednim

przesuni"ciem masy m2. Zauwa#my, #e %rodek masy musi pozostawa$ nieruchomy.

Zatem

m1x1 = – m2x2, czyli 2

1

21 x

m

mx &!

Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m2 równanie Fwypadkowa = ma. Si! wypadkow ,

dzia!aj c na m2 jest si!a F = – k (x2 – x1) gdzie (x2 – x1) jest wypadkowym rozci gni"-

ciem spr"#yny.

2

2

2

212d

d)(

t

xmxxk !&&

Podstawiamy teraz 2

1

21 x

m

mx &! zamiast x1 i otrzymujemy

2

2

2

22

1

22

d

d

t

xmx

m

mxk !'

(

)*+

,--.

/001

2&&&

czyli

2

21

21

2

2

2 )(

d

dx

mm

mmk

t

x 3&!

wi"c

22

2

2

d

dx

k

t

x

4&!

gdzie 4 = m1m2/(m1 + m2) jest z definicji mas! zredukowan!. To jest równanie jakie ju#

rozwi zywali%my, w którym zamiast x jest x2 a zamiast m jest 4.

Tak wi"c 4 /k! czyli

kT

4%2!

Zwró$my uwag", #e okres drga% harmonicznych T jest niezale#ny od amplitudy drga% A

(o ile jest spe!nione prawo Hooke'a). T" w!a%ciwo%$ drga' harmonicznych prostych za-

uwa#y! Galileusz i wykorzysta! j do skonstruowania zegara wahad!owego.

13-3


13.3 Wahad a

13.3.1 Wahad o proste

Wahad!o proste jest to wyidealizowane cia!o o masie punktowej, zawieszone na

cienkiej, niewa#kiej, nierozci gliwej nici. Kiedy cia!o wytr cimy z równowagi to za-

czyna si" ono waha$ w p!aszczy&nie poziomej pod wp!ywem si!y ci"#ko%ci. Jest to ruch

okresowy. Znajd&my okres tego ruchu.

5

lN

mg

mgcos5mgsin5

x=l55

m

Rysunek przedstawia wahad!o o d!ugo%ci l i masie m, odchylone o k t 5 od pionu.

Na mas" m dzia!aj : si!a przyci gania grawitacyjnego mg i napr"#enia nici N. Si!" mg

rozk!adamy na sk!adow radialn i styczn . Sk!adowa styczna jest si! przywracaj c

równowag" uk!adu i sprowadza mas" m do po!o#enia równowagi. Si!a ta wynosi

F = mgsin5

Podkre%lmy, #e si!a jest proporcjonalna do sin5, a nie do 5, wi"c nie jest to ruch prosty

harmoniczny. Je#eli jednak k t 5 jest ma!y (mniejszy ni# 106) to sin5 jest bardzo bliski

5 (ró#nica mniejsza ni# 0.5%). Przemieszczenie wzd!u# !uku (z miary !ukowej k ta)

wynosi x = l5. Przyjmuj c zatem, #e sin5 7 5 otrzymujemy

xl

mg

l

xmgmgF &!&!&! 5

F jest wi"c proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "–"). Jest to kryterium ru-

chu harmonicznego. Sta!a mg/l okre%la sta! k w równaniu F = – kx. Przy ma!ej ampli-

tudzie okres wahad!a prostego wynosi wi"c

g

l

k

mT %% 22 !! (13.9)

Zauwa#my, #e okres wahad!a nie zale#y od amplitudy i od masy wahad!a.

13-4


13.3.2 Wahad o fizyczne

Dowolne cia!o sztywne zawieszone tak, #e mo#e si" waha$ wokó! pewnej osi prze-

chodz cej przez to cia!o nazywamy wahad!em fizycznym.

l

mg

P

S

5

P jest punktem zawieszenia cia!a, a punkt S, znajduj cy si" w odleg!o%ci l od punkt P,

jest %rodkiem masy. Moment si!y 8 dzia!aj cy na cia!o wynosi

8 = – mglsin5

Korzystaj c ze zwi zku

8 = I9 =I(d25 /dt

2)

otrzymujemy

2

2

d

dsin

tImgl

55 !&

Dla ma!ych wychyle', dla których sin5 7 5 dostajemy równanie

55

-.

/01

2&!I

mgl

t 2

2

d

d

To równanie ma t" sam posta$ co równanie dla ruchu harmonicznego wi"c

I

mgl!

lub

mgl

IT %2! (13.10)

Jako przypadek szczególny rozpatrzmy mas" punktow zawieszon na nici o d!ugo%ci l.

Wówczas I = ml2 i otrzymujemy znany wzór dla wahad!a prostego

13-5


g

lT %2!

Wahad!o fizyczne stosuje si" do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.

13.4 Energia ruchu harmonicznego prostego

Energi potencjaln spr"#yny zajmowali%my si" na wyk!adzie 6 przy okazji dyskusji

o pracy wykonywanej przez si!y zmienne. Pokazali%my wtedy, #e energia potencjalna

(nagromadzona) spr"#yny

2

2kxE p ! (13.11)

Je#eli mas" przymocowan do spr"#yny poci gniemy na odleg!o%$ x = A to energia

uk!adu (nagromadzona w uk!adzie) jest równa (1/2)kA2 (Ek = 0). Je#eli teraz zwolnimy

spr"#yn", to przy za!o#eniu, #e nie ma tarcia ani si! oporu, zgodnie z zasad zachowania

energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej i potencjalnej równa si" (1/2)kA2

222

2

1

2

1

2

1kAkxm !3v (13.12)

st d

: ;222 xAm

k&!v

Poniewa# k/m = 2 wi"c

22 xA &! v

Obliczmy teraz warto%ci %rednie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Warto%ci

%rednie oznaczamy kresk umieszczon ponad symbolem.)

2

2

1xkE p !

czyli

tkAE p 22 cos2

1!

Natomiast

2

2

1vmEk !

czyli

tkAtAk

Ek

222

2sin

2

1)sin(

2

1!&-

.

/01

2!

13-6


Warto%$ %rednia t 2sin jest taka sama jak t 2cos i wynosi 1/2. Oba wykresy s takie

same (tylko przesuni"te). Poza tym sin2 t + cos

2 t = 1 i %rednia ka#dego sk!adnika jest

taka sama. Wida$, #e

kp EE !

(Wa#ne gdy b"dziemy omawia$ ciep!o w!a%ciwe.)

Przyk ad 2

Obliczmy jak cz"%$ energii ca!kowitej stanowi energia potencjalna, a jak energia ki-

netyczna cia!a, kiedy znajduje si" ono w po!owie drogi mi"dzy po!o#eniem pocz tko-

wym, a po!o#eniem równowagi?

x = A/2

wi"c

Ep = kx2/2 = kA

2/8

Poniewa# energia ca!kowita

E = kA2/2

wi"c

Ep/E = 1/4

Poniewa#

E = Ep + Ek

wi"c

Ek/E = 3/4

13.5 Oscylator harmoniczny t umiony

Dotychczas pomijali%my fakt ewentualnego t!umienia oscylatora tzn. strat energii

uk!adu oscylatora.

W przypadku drga' mechanicznych si! hamuj c (t!umi c ) ruch cz stki jest si!a oporu

Fop o%rodka. Si!a oporu ma zwrot przeciwny do pr"dko%ci i w najprostszej postaci jest

wprost proporcjonalna do pr"dko%ci Fop < v czyli

Fop = = dx/dt (13.13)

Gdy dzia!a tylko si!a t!umienia to

t

x

t

xM

d

d

d

d2

2

=&!

lub

13-7


vv

=&!t

Md

d

Je#eli wprowadzimy zmienn (o wymiarze czasu)

8 = M/= to otrzymamy równanie

dv/dt = – (1/8)v

co mo#na przepisa$ w postaci

dv/v = – dt/8

Ca!kujemy to równanie obustronnie

>> &!tv

v

t0

d1d

08v

v

Sk d otrzymujemy

lnv - lnv0 = – (t/8) lub

ln(v/v0) = – (t/8)

a po przekszta!ceniu

(13.14) 8/0)( tet &! vv

Pr"dko%$ maleje wyk!adniczo z czasem czyli pr"dko%$ jest t!umiona ze sta! czasow 8 (rysunek).

v

t

Je#eli w! czymy si!" hamuj c do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie po-

sta$

t

xkx

t

xM

d

d

d

d2

2

=&&!

Wprowadzaj c 8 = M/= oraz oznaczaj c cz"sto$& drga% niet umionych 02 = (k/M)

otrzymujemy

13-8


0d

d1

d

d 2

02

2

!33 xt

x

t

x

8 (13.15)

Szukamy rozwi zania w postaci drga' okresowo zmiennych t!umionych np.

teAx t ? cos&! (13.16)

Rozwi zanie zawiera czynnik oscylacyjny (cos t) i t!umi cy (exp(-?t)) i jest pokazane

na rysunku poni#ej. Wspó!czynnik ? = 1/28 okre%laj cy wielko%$ t!umienia nazywamy

wspó!czynnikiem t!umienia.

Teraz obliczamy odpowiednie pochodne (13.16) i podstawiamy do równania

(13.15). W wyniku rozwi zania dostajemy warunek na cz"sto%$ drga' t!umionych

22

0 ? &! (13.17)

Opór zmniejsza wi"c (oprócz amplitudy) równie# i cz"sto%$

Funkcja (13.16) jest rozwi zaniem równania opisuj cego ruch harmoniczny t!umio-

ny przy warunku (13.17). Widzimy, #e opór zmniejsza zarówno amplitud" jak i cz"sto%$

drga', czyli powoduje spowolnienie ruchu. Wielko%$ t!umienia okre%la wspó!czynnik

t!umienia ? (lub sta!a czasowa 8). Wykres ruchu harmonicznego t!umionego w zale#no-

%ci od czasu jest pokazany na rysunku

0

-Ae-? t

Ae-? t

Ae-? t

cos t

-A

A

t

x

Powy#sze rozwa#ania dotycz sytuacji "s!abego t!umienia" tj. ? < 0. Gdy t!umienie

wzro%nie powy#ej pewnej krytycznej warto%ci (? = 0) ruch nie jest ruchem drgaj cym

ale obserwujemy, #e cia!o wychylone z po!o#enia równowagi powraca do niego asymp-

totycznie. Takich ruch nazywamy ruchem pe zaj!cym (aperiodycznym). Zale#no%ci wy-

13-9


chylenia od czasu dla ruchu t!umionego krytycznie (? = 0) i ruchu pe!zaj cego

(? > 0) s pokazane na wykresie poni#ej.

? = 0

? > 0

t

X

13.5.1 Straty mocy, wspó czynnik dobroci

Wspó!czynnik dobroci Q jest definiowany jako

%%//

221 P

E

vP

E

E

EQ

okresiewstracona

anazmagazynow !!! (13.18)

gdzie P jest %redni strat mocy, a v cz"stotliwo%ci .

Dla przypadku s!abo t!umionego oscylatora harmonicznego (?$<< 0) wspó!czynnik

Q ma w przybli#eniu warto%$ 0/2?.

Kilka typowych warto%ci Q podano w tabeli

Oscylator Q

Ziemia dla fali sejsmicznej

Struna fortepianu lub skrzypiec

Atom wzbudzony

J dro wzbudzone

250-400

1000

107

1012

13.6 Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego

Je#eli oprócz tarcia istnieje si!a zewn"trzna F(t) (która ma za zadanie podtrzymywa$

gasn ce drgania) przy!o#ona do oscylatora to równanie ruchu ma posta$

)(d

d

d

d2

2

tFkxt

x

t

xM !33 = (13.19)

albo po podstawieniu

8 = M/= oraz 02 = k/M

13-10


otrzymujemy

M

tFx

t

x

t

x )(

d

d1

d

d 2

02

2

!33 8

(2.20)

Ponownie 0 jest cz"sto%ci w!asn uk!adu, to jest cz"sto%ci drga' swobodnych gdy

nie dzia!a si!a zewn"trzna i nie ma tarcia ani innych si! oporu, a 8 sta! czasow zwi za-

n ze wspó!czynnikiem t!umienia ? relacj ? = 1/28. Zauwa#my ponadto, #e uk!ad jest

zasilany z cz"sto%ci ró#n od cz"sto%ci w!asnej 0.

Gdy uk!ad jest zasilany cz"sto$ci! ró#n! od 0 wówczas drgania b"d! odbywa y

si" z cz"sto$ci! si y zewn"trznej a nie z cz"sto$ci! w asn!. Si!" tak nazywamy si ! wy-

muszaj!c!.

Za!ó#my, #e si!a wymuszaj ca ma posta$

tM

tF

M

tF 9

sin

sin)(0

0 !! (13.21)

gdzie 90 = F0/M.

Mamy teraz w równaniu dwie wielko%ci okresowo zmienne po!o#enie x oraz si!"

wymuszaj c F. W najogólniejszym przypadku suma (z!o#enie) dwóch funkcji okreso-

wych daje w wyniku te# funkcj" okresow (rysunek).

A1cos t + A

2sin t

A2sin tA

1cos t

A1cos t + A2sin t = Asin( t + ")

Szukamy wi"c rozwi zania postaci Asin( t + ").

Musimy znale&$ amplitud" A oraz przesuni"cie fazowe ".

Najpierw zdefiniujmy jednak przesuni"cie fazowe ". Zarówno si!a wymuszaj ca jak

i wychylenie zmieniaj si" cyklicznie (harmonicznie) tzn. pe!ny cykl np. od maksimum

do maksimum obejmuje 3606 czyli 2%.

Przesuni"cie fazowe " mówi nam o jaki k!t maksimum przemieszczenia wyprzedza mak-

simum si y (o ile przesuni"te s wykresy x(t) i F(t)).

Np. si!a osi ga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i ro%nie w kie-

runku dodatnim). Oznacza to, #e x opó&nia si" wzgl"dem si!y o %/2.

Poszukiwanie rozwi zania zaczynamy od obliczenia pochodnych

13-11


dx/dt= Acos( t + "), oraz d2x/dt

2 = - 2

Asin( t + ")

Równanie ruchu ma teraz posta$

( 02 - 2

) Asin( t + ") + ( /8)Acos( t + ") = 90sin t

Równanie to przekszta!camy korzystaj c ze zwi zków

sin( t + ") = sin t cos" + cos t sin"

cos( t + ") = cos t cos" & sin t sin"

Wtedy otrzymujemy

[( 02 & 2

)cos" & ( /8)sin"] Asin t + [( 02 & 2

)sin" & ( /8)cos"] Acos t = 90sin t

Równanie to mo#e by$ tylko spe!nione gdy czynniki przy sin t b"d sobie równe,

a czynnik przy cos t b"dzie równy zeru. Ten ostatni warunek mo#na zapisa$ jako

22

0

22

0

2/

cos

sin

?

8

"""

&!

&!! tg (13.22)

Z tego warunku znam ju# ". Teraz mo#emy wyznaczy$ amplitud"

2/122222

0

0

2/12222

0

0

]4)[(])/()[( ? 9

8 9

3&!

3&!A (13.23)

gdzie ju# podstawiono za cos" i sin". ( cz c wzory (13.22) i (13.23) otrzymujemy

rozwi zanie

--.

/001

2

&3

3&!

22

0

2/122222

0

0 2sin

]4)[( ?

?

9arctgtx (13.24)

(Wygl da skomplikowanie ale to jest rozwi zanie postaci x = Asin( t + ")).

13.6.1 Rezonans

Zauwa my, e chocia drgania odbywaj! si" z cz"sto#ci! w si$y wymuszaj!cej to

amplituda i faza zale ! od relacji pomi"dzy cz"sto#ci! wymuszaj!c! , a cz"sto#ci!

w$asn! 0. W szczególno#ci gdy cz"sto#% si$y wymuszaj!cej osi!gnie odpowiedni! cz"-

stotliwo#%, to amplituda drga& mo e wzrosn!% gwa$townie nawet przy niewielkiej war-

to#ci si$y wymuszaj!cej. Zjawisko to nazywamy rezonansem.

Wykres przedstawiaj!cy rezonansowy wzrost amplitudy drga& w funkcji cz"sto#ci si$y

wymuszaj!cej pokazany jest na rysunku poni ej dla ró nych warto#ci wspó$czynnika

t$umienia ! (!0<!1<!2<!3<!4).

13-12

Z. K!kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki

"

A

!4

!3

!2

!1

!0 = 0

Cz"sto#% rezonansow! r i amplitud" rezonansow! Ar mo emy obliczy% z warunku na

maksimum amplitudy drga& danej wzorem (13.23). Funkcja A( ) osi!ga maksimum

22

0

0

2 ! !

#

$%A

dla cz"sto#ci rezonansowej

22

0 2! $%r

Wida%, e im mniejsze t$umienie ! (d$u szy czas &) tym wi"ksza amplituda A. Je eli

t$umienie jest s$abe (! << 0) to wówczas maksymalna amplituda odpowiada cz"sto#ci

drga& w$asnych r = 0. Jednocze#nie, ten warunek odpowiada przesuni"ciu fazowemu

' = (/2 pomi"dzy si$! a wychyleniem. Si$a nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Za-

uwa my jednak, e moc poch$aniana przez oscylator zasilany si$! wymuszaj!c! F zale-

y od pr"dko#ci

P = Fv

Trzeba wi"c, eby to pr"dko#% (a nie wychylenie) by$a zgodna w fazie z si$!, a to ozna-

cza, e si$a musi wyprzedza% wychylenie o (/2. Gdy x = 0 to v = vmax i wtedy si$a te

ma by% maksymalna. W punktach zwrotnych, gdzie pr"dko#% zmienia swój kierunek,

si$a te musi zmieni% swój kierunek (si$a dzia$a ca$y czas to nie s! impulsy tak jak np.

przy popychaniu hu#tawki).

Skutki rezonansu mog! by% zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony

staramy si" wyeliminowa% przenoszenie drga& np. z silnika na elementy nadwozia w

samochodzie, a z drugiej strony dzia$anie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest

13-13

Z. K!kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki

mo liwe dzi"ki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajaj!c odbiornik do cz"-

sto#ci nadajnika spe$niamy w$a#nie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo

rozpowszechnione w przyrodzie.

13.6.2 Moc absorbowana

'rednia moc absorbowana jest dana wyra eniem

t

xFFPd

dv %%

Korzystaj!c ze wzoru (13.21), (13.22) i (13.24) otrzymujemy

2222

0

22

0)2()(

2

2

1

!

! #

)$% MP (13.25)

Zale no#% mocy absorbowanej od cz"sto#ci drga& wymuszaj!cych jest przedstawiona

na rysunku poni ej.

0 1 2 3 4 5 60.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

/ 0

P/P

max

Dla rezonansu P = (1/2) M#02& . Natomiast dobro% Q = 0/2! jest miar! dostrojenia

uk$adu do cz"sto#ci wymuszaj!cej.

13-14


Wyk ad 14

14. Statyka i dynamika p ynów

Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyj"ty jest podzia! materii na

cia!a sta!e i p!yny. Pod poj"ciem substancji, która mo#e p!yn $ rozumiemy ciecze i ga-

zy. Dla cia! sztywnych, maj cych okre%lony rozmiar i kszta!t, sformu!owali%my mecha-

nik" cia! sztywnych. Do rozwi zywania zagadnie& z mechaniki p!ynów musimy wpro-

wadzi$ nowy formalizm poniewa# p!yny !atwo zmieniaj kszta!t, a w przypadku gazów

przyjmuj obj"to%$ równ obj"to%ci naczynia. Wygodnym jest w zwi zku z tym sformu-

!owanie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisuj cymi si!y w szczególny spo-

sób.

14.1 Ci nienie i g!sto "

Ró#nica w dzia!aniu si!y powierzchniowej na p!yn i na cia!o sta!e polega na tym, #e

dla cieczy si!a powierzchniowa musi by$ zawsze prostopad!a do powierzchni p!ynu

podczas gdy w ciele sta!ym mo#e mie$ dowolny kierunek. Spoczywaj cy p!yn nie mo#e

równowa#y$ si! stycznych (warstwy p!ynu %lizga!yby si" po sobie) i dlatego mo#e

zmienia$ kszta!t i p!yn $. Wygodnie jest wi"c opisywa$ si!" dzia!aj c na p!yn za po-

moc ci nienia p zdefiniowanego jako warto ! si"y prostopad"ej dzia"aj#cej na jednost-

k$ powierzchni. Ci%nienie jest przekazywane na sztywne %cianki naczynia, a tak#e na

dowolne przekroje p!ynów prostopadle do tych %cianek i przekrojów w ka#dym punk-

cie. Ci%nienie jest wielko%ci skalarn .

W uk!adzie SI jednostk jest (pascal), 1 Pa = 1 N/m2. Innymi jednostkami s bar (1 bar

= 105 Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm).

P!yn znajduj cy si" pod ci%nieniem wywiera si!" na ka#d powierzchni" b"d c z

nim w kontakcie. Rozwa#my zamkni"t powierzchni" zawieraj c p!yn (rysunek).

S

S

Dowolny element powierzchni jest reprezentowany przez wektor S (d!ugo%$ równa po-

wierzchni, kierunek prostopad!y, zwrot na zewn trz). Wtedy si!a F wywierana przez

p!yn na ten element powierzchni wynosi

F = pS (14.1a)

Poniewa# F i S maj ten sam kierunek wi"c ci%nienie p mo#na zapisa$

14-1


p = F/S (14.1b)

Do opisu p!ynów stosujemy poj"cie g$sto ci :

= m/V (14.2)

G"sto%$ zale#y od wielu czynników takich jak temperatura, ci%nienie. W tabeli przed-

stawiony jest zakres warto%ci g"sto%ci spotykanych w przyrodzie.

Materia! (kg/m3)

przestrze& mi"dzygwiezdna

najlepsza pró#nia laboratoryjna

powietrze (1 atm 0 !C)

powietrze (50 atm 0 !C)

Ziemia: warto%$ %rednia

rdze&

skorupa

Bia!e kar!y

j dro uranu

10-18

- 10-21

10-17

1.3

6.5

5.52·103

9.5·103

2.8·103

108 - 10

15

1017

14.2 Zmiany ci nienia wewn#trz nieruchomego p$ynu

Gdy p!yn znajduje si" w równowadze to jego ka#da cz"%$ jest w równowadze. Roz-

patrzmy element w kszta!cie cienkiego dysku znajduj cego si" w odleg!o%ci y od po-

ziomu odniesienia. Grubo%$ dysku wynosi dy, a powierzchnia ka#dej strony wynosi S.

Masa takiego elementu wynosi Sdy, a jego ci"#ar gSdy. Przypominam, #e si!y dzia!a-

j ce na element s w ka#dym punkcie prostopad!e do powierzchni (rysunek).

(p+dp)S

pS

poziom odniesienia y=0

y

Si!y poziome wywo!ane jedynie przez ci%nienie p!ynu równowa# si". Si!y pionowe s

wywo!ywane nie tylko przez ci%nienie p!ynu ale te# przez jego ci"#ar. Element p!ynu

nie jest przyspieszany wi"c wypadkowa si!a dzia!aj ca na& musi by$ zerem. Dla zacho-

wania równowagi w pionie trzeba wi"c by:

14-2


pS = (p+dp)S + gSdy

a st d

gy

p "#

d

d

Równanie to pokazuje, #e ci%nienie zmienia si" ze zmian wysoko%ci ponad pewien po-

ziom odniesienia. Gdy wysoko%$ ro%nie tzn. dy > 0 wtedy dp < 0 tzn. ci%nienie maleje.

Powodem jest ci"#ar warstwy p!ynu le# cej pomi"dzy punktami, dla których mierzymy

ró#nic" ci%nie&. Dla cieczy zazwyczaj jest sta!e (ciecze s praktycznie nie%ci%liwe),

ró#nice w wysoko%ci nie s na tyle du#e #eby uwzgl"dnia$ zmiany g wi"c mo#emy dla

jednorodnej cieczy zapisa$ powy#sze równanie w postaci:

gy

p "#

$$

st d

(p2 " p1) = - g(y2 " y1)

Je#eli powierzchnia cieczy jest swobodna to stanowi naturalny poziom odniesienia. Aby

przenie%$ poziom odniesienia na powierzchni" przyjmujemy y2 równe wzniesieniu tej

powierzchni. Wtedy ci%nienie p2 (na powierzchni) jest równe ci%nieniu atmosferyczne-

mu p0. Teraz y1 opisuje po!o#enie (wysoko%$) pewnego poziomu w cieczy. Ci%nienie na

tym poziomie oznaczmy p. Wtedy

p0 " p = - g(y2 " y1)

Poniewa# y2 - y1 jest g!"boko%ci h poni#ej poziomu cieczy wi"c

p = p0 + gh (14.3)

Zwi zek ten nie tylko pokazuje, #e ci%nienie ro%nie wraz z g!"boko%ci ale te#, #e jest

jednakowe dla punktów o tej samej g!"boko%ci.

Dla gazów jest ma!e i ró#nica ci%nie& w dwóch punktach jest zazwyczaj do pomini"-

cia i dlatego mo#na przyjmowa$, #e ci%nienie gazu w naczyniu jest wsz"dzie jednako-

we. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczn ró#nic wysoko-

%ci (gdy wznosimy si" w atmosferze). Ci%nienie zmienia si" wtedy znacznie, zmienia si"

te# . Np. na wysoko%ci oko!o 6 km ci%nienie wynosi 0.5 atm. Dla porównania 6 km w

g! b morza wynosi 600 atm.

14-3


14.3 Prawo Pascala i prawo Archimedesa

Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkni"tym t!okiem, na który mo#emy dzia-

!a$ ci%nieniem zewn"trznym p0.

A

h

p0

W ka#dym punkcie A znajduj cym si" na g!"boko%ci h od górnej powierzchni cieczy,

ci%nienie jest dane wyra#eniem

p = p0 + gh

Mo#emy powi"kszy$ ci%nienie zewn"trzne o warto%$ $p0. Po

p = p0 +$p0+ gh

ynik ten zosta! sformu!owany przez Blaise Pascala i nazywa si" prawem Pascala.

o Archimedesa.

niewa# ciecze s nie%ci-

%liwe wi"c g"sto%$ pozostaje praktycznie bez zmian i dlatego ci%nienie teraz wynosi

W

Prawo to formu!uje si" nast"puj co: ci nienie wywierane na zamkni$ty p"yn jest przeka-

zywane niezmienione na ka%d# cz$ ! p"ynu oraz na cianki naczynia.

Prawo to jest konsekwencj praw mechaniki p!ynów podobnie jak praw

Kiedy cia!o jest zanurzone w ca!o%ci lub cz"%ciowo w spoczywaj cym p!ynie (cieczy

lub gazie) to p!yn ten wywiera ci%nienie na ka#d , b"d c z nim w kontakcie, cz"%$ po-

wierzchni cia!a. Wypadkowa si!a jest skierowana ku górze i zwie si" si"# wyporu.

oniewa# ci%nienie wywierane na cia!o nie zale#y od materia!u, z którego zrobiono cia-P

!o wi"c zast pmy w naszym rozumowaniu rozpatrywane cia!o przez ten sam p!yn co

p!yn otoczenia. Na ten p!yn b"dzie dzia!a!o to samo ci%nienie co na cia!o, które zast pi!.

14-4


Poza tym p!yn b"dzie nieruchomy. St d dzia!aj ca na& si!a b"dzie równa ci"#arowi p!y-

nu i skierowana ku górze tak, #eby ten ci"#ar zrównowa#y$. Otrzymujemy prawo Ar-

chimedesa: cia"o w ca"o ci lub cz$ ciowo zanurzone w p"ynie jest wypierane ku górze

si"# równ# ci$%arowi wypartego przez to cia"o p"ynu. Tak wi"c

Fwyporu = mwypartego p"ynu g = Vg (14.4)

gdzie jest g"sto%ci p!ynu, a V obj"to%ci cz"%ci zanurzonej cia!a.

14.4 Pomiar ci nienia (barometr)

Evangelista Torricelli wynalaz! w 1643 r barometr rt"ciowy i tym samym poda! spo-

sób pomiaru ci%nienia atmosferycznego. Barometr Torricellego sk!ada si" z rurki wy-

pe!nionej rt"ci ( = 13.6·103 kg/m

3), któr odwracamy nad naczyniem z rt"ci tak jak

na rysunku.

p=0

B A

h

Ci%nienia w punktach A i B musz by$ jednakowe bo punkty te s na jednakowej

wy

pA = gh

podczas gdy

pB = patm

oniewa# pA = pB wi"c

gh = patm

soko%ci. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozwa#aniami

P

gh atm

#

p = 0.76 m

ierz c wysoko%$ s!upa rt"ci mierzymy wielko%$ ci%nienia atmosferycznego. M

Przejdziemy teraz do opisu ruchu p!ynu (dynamika p!ynów).

14-5


14.5 Ogólny opis przep$ywu p$ynów

Znane s dwa podej%cia do opisu ruchu p!ynu. Pierwsze wymaga "podzielenia" p!y-

nu na niesko&czenie ma!e cz stki (elementy obj"to%ci) i %ledzenie tych elementów.

Oznacza to, #e dla ka#dej cz stki mamy wspó!rz"dne x, y, z i ich zale#no%$ od czasu. W

ten sposób skonstruowa$ mo#na opis ruchu p!ynu (Joseph Louis Lagrange koniec XVIII

w).

Drugie podej%cie zaproponowane przez Leonharda Eulera jest bardziej wygodne.

Zamiast opisywa$ histori" ka#dej z cz stek okre%lamy g"sto%$ p!ynu i jego pr"dko%$

w ka#dym punkcie przestrzeni i w ka#dej chwili czasu. Czyli podajemy (x,y,z,t) oraz

v(x,y,z,t). Oznacza to, #e koncentrujemy si" na wybranym punkcie przestrzeni w pew-

nym czasie.

Na wst"pie rozpatrzmy pewne ogólne w!a%ciwo%ci charakteryzuj ce przep!yw.

%& Przep!yw mo#e by$ ustalony (laminarny) lub nieustalony. Ruch p!ynu jest ustalony,

kiedy pr"dko%$ p!ynu v jest w dowolnie wybranym punkcie sta!a w czasie tzn. ka#da

cz stka przechodz ca przez dany punkt zachowuje si" tak samo. Warunki takie osi ga

si" przy niskich pr"dko%ciach.

%& Przep!yw mo#e by$ wirowy lub bezwirowy. Przep!yw jest bezwirowy, gdy w #adnym

punkcie cz stka nie ma wypadkowej pr"dko%ci k towej wzgl"dem tego punktu. Mo#na

sobie wyobrazi$ ma!e kó!ko z !opatkami zanurzone w przep!ywaj cym p!ynie. Je#eli

kó!ko nie obraca si" to przep!yw jest bezwirowy, w przeciwnym razie ruch jest wirowy.

%& Przep!yw mo#e by$ ci liwy lub nie ci liwy. Zazwyczaj przep!yw cieczy jest nie%ci-

%liwy (sta!a ). Przep!yw gazu te# mo#e by$ nie%ci%liwy tzn. zmiany g"sto%ci s nie-

znaczne. Np. ruch powietrza wzgl"dem skrzyde! samolotu podczas lotu z pr"dko%ci

mniejsz od pr"dko%ci g!osu.

%& Przep!yw mo#e by$ lepki lub nielepki. Lepko%$ w ruchu p!ynów jest odpowiedni-

kiem tarcia w ruchu cia! sta!ych (lepko%$ smarów).

W naszych rozwa#aniach ograniczymy si" do przep!ywów ustalonych, bezwirowych,

nie ci liwych i nielepkich. To znacznie upraszcza matematyk".

Nasze rozwa#ania rozpoczniemy od wprowadzenia poj"cia linii pr#du.

vP

P Q

R

VQ

vR

W przep!ywie ustalonym v jest sta!a w czasie w danym punkcie. Rozwa#my punkt P

wewn trz p!ynu. Ka#da cz stka ma tam tak sam pr"dko%$. To samo dla punktów Q

i R. Je#eli prze%ledzimy tor jednej cz stki to prze%ledzili%my zarazem tor ka#dej cz stki

przechodz cej przez P. Tor tej cz stki nazywamy lini pr du. Linia pr du jest równole-

g!a do pr"dko%ci p!ynu. 'adne linie pr du nie mog si" przecina$ bo istnia!a by niejed-

noznaczno%$ w wyborze drogi przez cz stk" (a przep!yw jest ustalony).

Je#eli wybierzemy pewn sko&czon liczb" linii pr du to tak wi zk" nazywamy strug#

pr#du. Brzegi sk!adaj si" z linii pr du wi"c p"yn nie mo%e przep"ywa! przez brzegi

strugi. P!yn wchodz cy jednym ko&cem strugi musi opu%ci$ j drugim.

14-6


A1

P, v1

A2

Q, v2

Na rysunku obok pr"dko%$ cz stek w punkcie P wynosi v1 a pole przekroju strugi A1.

W punkcie Q odpowiednio v2 i A2. W czasie $t element p!ynu prze-bywa odleg!o%$

v$t. Masa p!ynu przechodz cego przez A1 w czasie $t wynosi

$m1 = 1A1v1$t

bo A1v1$t stanowi obj"to%$ elementu p!ynu. Wprowadzamy strumie& masy jako $m/$t.

Wtedy otrzymujemy dla punktów P i Q odpowiednio

$m1/$t = 1A1v1

oraz

$m2/$t = 2A2v2

Poniewa# nie ma po drodze (mi"dzy P i Q) #adnych "(róde!" ani "%cieków" wi"c

strumienie mas musz by$ sobie równe.

1A1v1 = 2A2v2

Je#eli p!yn jest nie%ci%liwy to 1 = 2 i wtedy

A1v1 = A2v2

czyli

Av = const.

Z równania powy#szego wynika, #e pr"dko%$ p!ynu nie%ci%liwego przy ustalonym prze-

p!ywie jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju. Linie pr du musz si" zag"sz-

cza$ w w"#szej cz"%ci, a rozrzedza$ w szerszej. Tzn. rzadko rozmieszczone linie ozna-

czaj obszary niskiej pr"dko%ci, linie rozmieszczone g"sto obszary wysokiej pr"dko%ci.

Ponadto warto zauwa#y$, #e skoro cz stki zwalniaj przep!ywaj c z P do Q (v1 > v2) to

tam gdzie pr"dko%$ najmniejsza (w przep!ywie ustalonym).

poruszaj si" ruchem jednostajnie opó(nionym. Opó(nienie to mo#e by$ wywo!ane

grawitacj lub ró#nic ci%nie&, ale wystarczy wzi $ jako przyk!ad strug" poziom , w

której grawitacja si" nie zmienia, aby doj%$ do wniosku, #e ci%nienie jest najwi"ksze

14-7


14.6 Równanie Bernoulliego

Rozwa#my nielepki, ustalony, nie%ci%liwy przep!yw p!ynu przez rur" (rysunek poni-

ron" praw . W czasie $t powierzchnia S1 przemiesz-

cza si" o odcinek v1$t do po!o#enia S1'. Analogicznie powierzchnia S2 przemieszcza si"

o o

#ej). Ciecz na rysunku p!ynie w st

dcinek v2$t do po!o#enia S2'. Na powierzchni" S1 dzia!a si!a F1 = p1S1 a na po-

wierzchni" S2 si!a F2 = p2S2. Zwró$my uwag", #e efekt sumaryczny przep!ywu p!ynu

przez rurk" polega na przeniesieniu pewnej obj"to%ci V p!ynu ograniczonej powierzch-

niami S1S1' do po!o#enia S2S2'.

Twierdzenie o pracy i energii mówi, #e praca wykonana przez wypadkow ianie energii uk!adu. Si!ami, które wykonuj prac" s F1 i F2. Obliczam

si!" jest

równa zm y wi"c

rac"

ian"

p

VpptSptSptFtFW )( 121112221122 "#$"$#$"$# vvvv

oraz zm energii strugi

''(

)**+

,-"''

(

)**+

,-# 1

2

12

2

2

22mgh

mmgh

m vv

Poniewa#

to przy za!o#eniu nie%ci%liwo%ci p!ynu ( )

$E

W = $E

= const

''(

)**+

,-

(

)

+

,1

2

1

2

"''** -#" 22

2mgh

mm vv

Zwi zek ten mo#

122

)( mghVpp

na przekszta!ci$ do postaci

14-8


2

2

2211 ghpghp

--#--

v

czyli

2

1 v22

const.#-- gyp 21v

2 (14.5)

Równanie to nosi nazw" !ywu ustalonego, nielepkiego

nie%ci%liwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki p!ynów. Mo#e by$ stosowane

o si!a jaka dzia!a na np. skrzyd!o samolotu, nart" wod-

n , %mig!o helikoptera, i wywo!ana jest ruchem tych cia! w p!ynie w odró#nieniu od sta-

tyc

Analizuj t natar-

. Tak wi"c

równania Bernoulliego dla przep

i

do wyznaczenia pr"dko%ci p!ynu na podstawie pomiarów ci%nienia (rurka Venturiego,

rurka Pitota). Mo#na te# w oparciu o nie wyznaczy$ dynamiczn si!" no%n .

14.6.1 Dynamiczna si a no!na

Dynamiczna si"a no na jest t

znej si"y no nej, która jest si!a wyporu dzia!aj c np. na balon czy statek zgodnie z

prawem Archimedesa. Na rysunku poni#ej pokazane s schematycznie linie pr du wo-

kó! skrzyd!a samolotu.

c te linie pr du zauwa#ymy, #e ze wzgl"du na ustawienie skrzyd!a (k

cia) linie pr du nad skrzyd!em s rozmieszczone g"%ciej ni# pod skrzyd!em

vg ponad skrzyd!em jest wi"ksza ni# pod skrzyd!em vd a to oznacza zgodnie z prawem

Bernoulliego, #e ci%nienie nad skrzyd!em jest mniejsze od ci%nienia pod skrzyd!em i

otrzymujemy wypadkow si!" no%n F skierowan ku górze. Wynika to równie# z trze-

ciej zasady dynamiki Newtona. Pr"dko%$ v0 powietrza zbli#aj cego si" do skrzyd!a jest

pozioma podczas gdy powietrze za skrzyd!em jest skierowane na ukos w dó! (sk!adowa

pionowa). Oznacza to, #e skrzyd!o pchn"!o powietrze w dó! wi"c w reakcji powietrze

pchn"!o skrzyd!o do góry.

14-9


Wyk ad 15

15. Fale w o!rodkach spr"#ystych

15.1 Fale mechaniczne

Fale powstaj ce w o"rodkach spr#$ystych (np. fale d%wi#kowe) nazywamy falami

mechanicznymi. Powstaj w wyniku wychylenia jakiego" fragmentu o"rodka z po!o$e-nia równowagi co w nast#pstwie powoduje drgania fragmentu wokó! tego po!o$enia. Drgania te (dzi#ki w!a"ciwo"ciom spr#$ystym o"rodka) s przekazywane na kolejne cz#"ci o"rodka. Sam o"rodek nie przesuwa si#, a jedynie jego elementy wykonuj drga-nia w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty p!ywaj ce wykonuj ruch drgaj cy natomiast same fale poruszaj si# ruchem jednostaj-nym. Fala dobiegaj ce do danego przedmiotu wprawiaj go w ruch drgaj cy przekazu-j c mu energi#. Mo$na za pomoc fal przekazywa& wi#c energi# na du$e odleg!o"ci. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cz stek o"rodka. Cech charakterystyczn fal jest to, !e przenosz energi" poprzez materi" dzi"ki prze-

suwaniu si" zaburzenia w materii a nie dzi"ki ruchowi post"powemu samej materii. Do rozchodzenia si# fal mechanicznych potrzebny jest o#rodek. To w!a"ciwo"ci spr#$y-ste o"rodka decyduj o pr#dko"ci rozchodzenia si# fali. Ze wzgl#du na kierunek drga' cz stek wzgl#dem kierunku rozchodzenia si# fali ! fale poprzeczne (np. lina) ! fale pod!u$ne (np. spr#$yna, g!os) Ze wzgl#du na czo!o fali (powierzchnia ! cz ca punkty o jednakowych zaburzeniach w danej chwili) wyró$niamy ! fale p!askie (w jednym kierunku) ! fale kuliste

15.2 Fale rozchodz ce si! w przestrzeni

Rozwa$my d!ugi sznur naci gni#ty w kierunku x, wzd!u$ którego biegnie fala po-przeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kszta!t sznura mo$na opisa& funkcj

y = f(x), t = 0 y – przemieszczenie cz steczek sznura sznura.

W miar# up!ywu czasu fala biegnie wzd!u$ sznura bez zmiany kszta!tu. Po czasie t fala

przesuwa si# o vt w prawo (v - pr#dko"& fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma

posta&

y = f(x " vt), t

Oznacza to, $e w chwili t w punkcie x = vt, kszta!t jest taki sam jak w chwili t = 0

w punkcie x = 0. Mamy wi#c równanie fali tylko trzeba okre"li& funkcj# f.

Je$eli "ledzimy wybran cz#"& fali (czyli okre"lon faz#) to musimy zbada& jak zmienia

si# w czasie okre"lona warto"& y (np. maksimum - amplituda). Chcemy $eby y by!o ca!y

15-1


czas takie samo, wi#c argument x "- vt musi by& taki sam, a to oznacza, $e gdy czas ro-

"nie to musi te$ rosn & x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma wi#c równanie

y = f(x+vt). Podsumowuj c, dla wybranej fazy mamy

x " vt = const.

Ró$niczkuj c wzgl#dem czasu otrzymujemy

0d

d#"v

t

x

czyli

v#t

x

d

d

To jest pr"dko#$ fazowa. Zauwa$my, $e dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego

miejsca sznura x mamy równanie f(t).

Rozwa$my teraz fale o szczególnym kszta!cie. Za!ó$my, $e w chwili t = 0 kszta!t sznura

jest opisany funkcj

xAy$%2

sin#

gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauwa$my, $e wychylenie jest takie samo

w punktach x, x + $, x + 2$, x + 3$ itd. Wielko"& $ nazywamy d!ugo"ci fali (odleg!o"&

mi#dzy punktami o tej samej fazie). Je$eli fala biegnie w prawo to po czasie t

)(2

sin txAy v"#$%

To jest równanie fali biegn cej.

Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odleg!o"& równ $ wi#c:

$ = vT

st d

&'

()*

+ "#T

txAy

$%2sin (15.1)

Wida&, $e w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x + $, x + 2$, x + 3$ itd.,

oraz, $e w danym miejscu faza powtarza si# w chwilach t, t + T, t +2T, itd.

Cz#sto wprowadza si# dwie nowe wielko"ci: liczb# falow k = 2%/$ i cz#sto"& , = 2%/T.

Wówczas y = Asin(kx-,t) lub y = Asin(kx+,t) dla fal biegn cych w prawo i lewo.

Wida&, $e pr#dko"& fazowa fali v jest dana wzorem

v = $/T = ,/k (15.2)

oraz, $e dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.

15-2


15.3 Rozchodzenie si! fal, pr!dko"# fal

Je$eli chcemy zmierzy& pr#dko"& fali v to "ledzimy jak przemieszcza si# w czasie

wybrana cz"#$ fali czyli okre#lona faza.

Wiemy, $e pr#dko"& fali zale$y od spr#$ysto"ci o"rodka i jego bezw!adno"ci. Spr#-

$ysto"& dla sznura jest okre"lona poprzez napinaj c go si!# F (np. im wi#ksza si!a tym

szybciej wychylone elementy sznura wracaj do po!o$enia równowagi). Natomiast

bezw!adno"& jest zwi zana z mas sznura m oraz jego d!ugo"ci l. Spróbujemy teraz

wyprowadzi& wzór na zale$no"& pr#dko"ci v fali od si!y F i od - = m/l tj. masy przypa-

daj cej na jednostk# d!ugo"ci sznura. W tym celu rozpatrzmy ma!y wycinek sznura

o d!ugo"ci dx pokazany na rysunku.

Ko'ce wycinka sznura tworz z osi x ma!e k ty .1 i .2. Dla ma!ych k tów

. / sin. / dy/dx. Wypadkowa pionowa si!a tj. si!a wychylaj ca sznur w kierunku y wy-

nosi

1212 .... FFFFFwyp "#"# sinsin

Zgodnie z zasad dynamiki si!a wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka

dm = -0dx i jego przyspieszenia. St d

212 )()(t

ydx

tdxFFF

y

wyp 1

1#

1

1#"#

2

--..v

lub

2

2

t

y

Fx 11-.

#11

(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cz stkowe oznaczane symbolem 1y bo wy-

chylenie y jest funkcj dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno

wzgl#dem zmiennej x jak i zmiennej t). Uwzgl#dniaj , $e . = 1y/1x otrzymujemy

2

2

2

2

t

y

Fx

y

11-

11

# (15.3)

15-3


Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpo-

wiednie pochodne funkcji )sin(),f( txkAtxy ,"##

)sin( txkAt

y,,

11

""# 2

2

2

oraz

)sin( txkAkx

y,

11

""# 2

2

2

W wyniku podstawienia otrzymujemy

22 ,-F

k #

sk d mo$emy obliczy& pr#dko"& fali

-

, F

k##v (15.4)

Zwró&my uwag#, $e sinusoidalna fala mo$e by& przenoszona wzd!u$ struny z pr#dko-

"ci niezale$n od amplitudy i cz#stotliwo"ci.

Je$eli teraz przepiszemy równanie struny w postaci

2

2

22

2 1

t

y

x

y

11

11

v# (15.5)

to otrzymamy równanie falowe, które stosuje si# do wszystkich rodzajów rozchodz -

cych si# fal, takich jak fale d%wi#kowe czy elektromagnetyczne.

15.4 Przenoszenie energii przez fale

Szybko"& przenoszenia energii wyznaczymy obliczaj c si!# F jaka dzia!a na koniec

struny (porusza strun w gór# i w dó! w kierunku y).

15-4


W tym celu pos!u$ymy si# zale$no"ci

P = Fyvy

Jak wida& z rysunku pr#dko"& poprzeczna równa jest vy = 1y/1t, a sk!adowa si!y F w

kierunku y wynosi Fsin. . Podstawiaj c do wzoru na moc otrzymujemy

.11

sint

yFP #

Dla ma!ych k tów . mo$emy przyj & sin. / – 1y/1x (znak minus wynika z ujemnego

nachylenia struny). St d

x

y

t

yFP

11

11

"#

Obliczamy teraz pochodne funkcji )sin(),f( txkAtxy ,"##

)cos( tkxAt

y,,

11

""#

)cos( tkxkAx

y,

11

"#

i podstawiamy do wyra$enia na moc

)(cos txkkFAP ,, "# 22 (15.6)

Zauwa$my, $e moc czyli szybko"& przep!ywu energii oscyluje w czasie. Korzystaj c

z tego, $e k = , /v, , = 2%f oraz, $e -/F#v otrzymujemy

)(cos4 2222 tkxfAP ,-% "# v (15.7)

Widzimy, $e szybko"& przep!ywu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy

i kwadratu cz#stotliwo"ci. Ta zale$no"& jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.

15.5 Interferencja fal

Rozwa$my dwie fale o równych cz#stotliwo"ciach i amplitudach ale o fazach ró$-

ni cych si# o 2. Równania tych fal s nast#puj ce

y1 = Asin(kx – ,t – 2)

y2 = Asin(kx – ,t)

15-5


Znajd%my teraz fal# wypadkow (zasada superpozycji) jako sum# y = y1 + y2.

Korzystaj c ze wzoru na sum# sinusów otrzymujemy

y = 2Acos(2/2)sin(kx – ,t – 2/2) (15.8)

co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(2/2). Dla 2 = 0 fale spotykaj

si# zgodnie w fazie (wzmacniaj ), a dla 2 = 180 wygaszaj .

15.6 Fale stoj ce

Rozwa$my teraz dwa ci gi falowe biegn ce w przeciwnych kierunkach tzn.

y1 = Asin(kx – ,t)

y2 = Asin(kx + ,t)

np. fal# padaj c i odbit .

Fal# wypadkow mo$na zapisa& jako

y = y1 + y2 = 2Asinkxcos,t (15.9)

To jest równanie fali stoj cej. Zauwa$my, $e cz stki drgaj ruchem harmonicznym pro-

stym. Cz stki maj t# sam cz#sto"& ale ró!n amplitud" zale$n od po!o$enia cz stki x.

Punkty kx = %/2, 3%/2, 5%/2, itd. czyli x = $/4, 3$/4, 5$/4 itd. maj ce maksymaln am-

plitud# nazywamy strza%kami a punkty kx = %, 2%, 3% itd. czyli x = $/2, $, 3$/2 itd. ma-

j ce zerow amplitud# nazywamy w"z%ami.

Zwró&my uwag# na jeszcze jedn istotn ró$nic#. Energia nie jest przenoszona wzd!u$

sznura bo nie mo$e ona przep!yn & przez w#z!y, jest na sta!e zmagazynowana w po-

szczególnych elementach sznura.

15.6.1 Uk ady drgaj$ce, przyk ad

Je$eli struna zamocowana na obu ko'cach zostanie najpierw wygi#ta a nast#pnie

puszczona, to wzd!u$ struny rozchodz si# drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijaj

si# od zamocowanych ko'ców i w wyniku interferencji powstaje fala stoj ca. Zwró&my

uwag#, $e drgania struny wytwarzaj w otaczaj cym strun# powietrzu d%wi#kowe fale

pod!u$ne (fale akustyczne). Poniewa$ jedynym warunkiem, jaki musi by& spe!niony,

jest nieruchomo"& obu ko'ców struny, czyli istnienie w#z!ów fali stoj cej na tych ko'-

cach, to mog powsta& w tej strunie fale stoj ce o ró$nej d!ugo"ci. Pierwsze cztery ro-

dzaje drga' jakie powstaj w strunie o d!ugo"ci L zamocowanej na ko'cach s pokazane

na rysunku poni$ej. Takie fale stoj ce nazywamy rezonansami.

Widzimy, $e d!ugo"ci fal spe!niaj zwi zek

n

Ln

2#$ (15.10)

15-6


L

$4 = L/2

$3 = 2L/3

$2 = L

$1 = 2L

Korzystaj c z tego, $e pr#dko"& fali vT $$ ##v oraz podstawiaj c wyra$enie (15.4)

mo$emy obliczy& cz#stotliwo"& rezonansów

-F

L

n

L

nf n

22## v (15.11)

Najni$sz cz#sto"& nazywamy cz"sto#ci podstawow a pozosta!e wy!szymi harmonicz-

nymi czyli alikwotami.

Zazwyczaj w drganiach wyst#puj , oprócz drgania podstawowego, równie$ drgania

harmoniczne, a d%wi#ki jakie odbieramy s wynikiem nak!adania si# tych drga'. O ja-

ko"ci instrumentu (jego barwie) decyduje w!a"nie to ile alikwotów jest zawarte w

d%wi#ku i jakie s ich nat#$enia. Przyk!adowo, drganie wypadkowe struny b#d ce z!o-

$eniem tonu podstawowego (n = 1) i wy$szych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o ró$nych

amplitudach jest pokazane na rysunku poni$ej.

drganie wypadkowe

n = 7

n = 5n = 3

n = 1

t

Zwró&my uwag#, $e wypadkowe drganie (chocia$ okresowe) nie jest harmoniczne (nie

daje si# opisa& funkcj sinus lub cosinus).

15-7


15.7 Dudnienia - modulacja amplitudy

Mówili"my ju$ o superpozycji fal, interferencji w przestrzeni (dodawanie fal o tej

samej cz#sto"ci). Rozpatrzmy teraz przypadek interferencji w czasie. Pojawia si# ona

gdy przez dany punkt w przestrzeni przebiegaj w tym samym kierunku fale o troch#

ró$nych cz#stotliwo"ciach. Wychylenie wywo!ane przez jedn fal# ma posta&

y1 = Acos2%v1t

y2 = Acos2%v2t

wi#c

y = y1 + y2 = A(cos2%v1t + cos2%v2t)

Ze wzoru na sum# cosinusów

tvv

tvv

Ay &'

()*

+ 345

678

9 "#

22cos

22cos2 2121 %% (15.12)

Drgania wypadkowe mo$na wi#c uwa$a& za drgania o cz#sto"ci

vsrednie = (v1 + v2)/2

która jest "redni dwóch fal, i o amplitudzie (wyra$enie w nawiasie kwadratowym)

zmieniaj cej si# w czasie z cz#sto"ci

vamp = (v1 – v2)/2

Je$eli cz#stotliwo"ci v1 i v2 s bliskie siebie to amplituda zmienia si# powoli. Mówimy,

$e mamy do czynienia z modulacj amplitudy AM (stosowana np. w odbiornikach ra-

diowych). Dla fal d%wi#kowych AM przejawia si# jako zmiana g!o"no"ci nazywana

dudnieniami (rysunek).

y

y

t

t

15-8


15.8 Zjawisko Dopplera

Austriak, Christian Doppler w pracy z 1842 r zwróci! uwag#, $e barwa "wiec cego

cia!a (cz#stotliwo"&) musi si# zmienia& z powodu ruchu wzgl#dnego obserwatora lub

%ród!a. Zjawisko Dopplera wyst#puje dla wszystkich fal. Obecnie rozwa$ymy je dla fal

d%wi#kowych. Zajmiemy si# przypadkiem ruchu %ród!a i obserwatora wzd!u$ ! cz cej

ich prostej.

(ród!o d%wi#ku spoczywa, a obserwator porusza si# w kierunku %ród!a z pr#dko"ci vo.

Nieruchomy obserwator odbiera! by vt/$ fal w czasie t. Teraz odbiera jeszcze dodatko-

wo vot/$ fal. Cz#sto"& s!yszana przez obserwatora

v

t

tt

v oo

o

v

vvvv

vv

3#

3#

3#

$$$'

Ostatecznie

v

vv ovv3

#'

Studiuj c pozosta!e przypadki otrzymujemy ogóln zale$no"&

&&'

())*

+ :#

z

ovvvv

vv

' (15.12)

gdzie v' - cz#sto"& odbierana przez obserwatora, v - cz#sto"& %ród!a, v - pr#dko"& fali, vo

- pr#dko"& obserwatora, vz - pr#dko"& %ród!a.

Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadaj zbli$aniu si#, a znaki dolne odda-

laniu si# obserwatora i %ród!a.

15-9


Wyk ad 16

16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I

16.1 Prawo gazów doskona ych

Gaz doskona!y:

! obj"to#$ cz steczek gazu jest o wiele mniejsza ni% obj"to#$ zajmowana przez gaz,

! zasi"g si! dzia!aj cych mi"dzy dwoma cz stkami jest o wiele mniejszy ni% #rednia

odleg!o#$ mi"dzycz steczkowa.

W wyprowadzeniu prawa gazów doskona!ych b"dziemy traktowa$ cz steczki gazu jako

N ma!ych, twardych kulek zamkni"tych w pude!ku o obj"to#ci V. Kulki s twarde tzn.

b"d zderza!y si" spr"%y#cie ze #ciankami naczynia. Rozwa%my jedn cz steczk", która

zderza si" z lew #ciank naczynia (rysunek).

x

y

-vx

vx

&rednia si!a jak cz steczka wywiera na #ciank" w czasie "t wynosi

t

pF x

d

d#

Zmiana p"du spowodowana zderzeniem ze #ciank wynosi

"px = mvx - ( - mvx) = 2mvx

Poniewa% czas pomi"dzy kolejnymi zderzeniami z t #ciank wynosi

"t = 2l/vx

gdzie l jest odleg!o#ci mi"dzy #ciankami, to

l

m

l

mF x

x

x

2

2

)2( v

v

v##

jest #redni si! dzia!aj c na #ciank" (na jedn cz stk").

16-1


Dla N cz stek ca!kowita si!a wynosi

l

mNF x

2v

#

gdzie 2

xv jest to v u#rednione po wszystkich cz steczkach (#rednia kwadratu). Dziel c

obie strony równania przez pole powierzchni #cianki S otrzymujemy ci#nienie

2

x

V

mN

Sl

mNP xx

22vv

##

czyli

2

xNmpV v# (16.1)

Jak wida$ iloczyn pV jest sta!y tak d!ugo jak d!ugo jest sta!a energia kinetyczna cz stek

(prawo Boyle'a - Mariotta).

Zauwa%my, %e 2222

zyx vvvv $$#

Ponadto, poniewa% cz stki zderzaj si" w taki sam sposób ze wszystkimi sze#cioma

#ciankami naczynia wi"c

222

zyx vvv ##

wi"c

3,3

2222 v

vvv ## xx czyli

Teraz otrzymujemy równanie wyra%one przez v, a nie przez vx

3

2v

NmpV # (16.2)

Poniewa% Nm = M (masa gazu), oraz M/V = % wi"c równanie powy%sze mo%na przepi-

sa$ w postaci

%

%p

p kwsr

3,

3

2

..

2

### vvv

czyli (16.3)

16.2 Temperatura

Zdefiniujmy temperatur" bezwzgl"dn jako wielko#$ wprost proporcjonaln do

#redniej energii kinetycznej cz stek

16-2


23

2 2vm

kT &

'

()*

+# (16.4)

gdzie k jest sta! Boltzmana k = 1.38·10-23

J/K.

Eliminuj c 2v z równa' (16.2) i (16.4) otrzymujemy

pV = NkT

lub

pV = nRT (16.5)

gdzie n jest liczb moli (R = kNAV). Przypomnijmy, %e sta!a Avogadra NAv = 6.023·1023

1/mol, okre#la liczb" cz steczek w jednym molu.

Wyra%enie (16.5) przedstawia równanie stanu gazu doskona ego.

Równanie stanu gazu doskona!ego zosta!o sformu!owane w XIX w. przez Clapeyro-

na na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcze#niej przez innych badaczy:

! Prawo Boyle'a-Mariotte'a stwierdza, %e w sta!ej temperaturze iloczyn ci#nienia i ob-

j"to#ci danej masy gazu jest sta!y pV = const.

! Prawo Charlesa mówi, %e przy sta!ej obj"to#ci gazu stosunek ci#nienia i temperatury

danej masy gazu jest sta!y p/T = const.

! Prawo Gay-Lussaca stwierdza, %e dla sta!ego ci#nienia stosunek obj"to#ci do tempe-

ratury danej masy gazu jest sta!y V/T = const.

16.2.1 Termometry

Aby zmierzy$ temperatur" trzeba wyznaczy$ energi" kinetyczn cz steczek gazu co jest

bardzo trudne. Ale mo%emy si" pos!u%y$ równaniem stanu gazu doskona!ego. (atwo

jest zmierzy$ iloczyn pV np. dla uk!adu o sta!ym ci#nieniu.

16.3 Ekwipartycja energii

16.3.1 Zerowa zasada termodynamiki

Je%eli dwa cia!a o ró%nych temperaturach zetkniemy ze sob (i odizolujemy od in-

nych) to po dostatecznie d!ugim czasie ich temperatury wyrównaj si". Powiemy, %e te

cia!a s w równowadze termicznej ze sob .

Je!eli cia a 1 i 2 s" w równowadze termicznej i cia a 2 i 3 s" w równowadze termicznej

to cia a 1 i 3 s" w tej samej równowadze termicznej.

To jest zerowa zasada termodynamiki. Z zasad dynamiki Newtona mo!na pokaza#, !e

$rednie energie kinetyczne ruchu post%powego (na cz"steczk%) dla dwu kontaktuj"cych

si% gazów s" równe.

16.3.2 Ekwipartycja energii

Wiemy ju%, %e w równowadze termodynamicznej energie kinetyczne ruchu post"-

powego wszystkich cz steczek s równe. Ale co z ruchem obrotowym i drganiami? Czy

cz steczka mo%e gromadzi$ energi" w innej postaci ni% energia ruchu post"powego?

16-3


Je%eli tylko cz stka nie ma kszta!tu kuli (1 atomowa) a ma pewn struktur" wewn"trzn

to mo%e wirowa$ i drga$. Np. dwuatomowa w kszta!cie hantli zacznie si" obraca$ po

zderzeniu. Na podstawie mechaniki statystycznej mo%na pokaza$, %e gdy liczba punk-

tów materialnych jest bardzo du!a i obowi"zuje mechanika Newtonowska to dost%pna

energia rozk ada si% w równych porcjach na wszystkie niezale!ne sposoby, w jakie cz"-

steczka mo!e j" absorbowa#. Ka%dy z tych sposobów absorpcji energii nazywa si" stop-

niem swobody i jest równy liczbie niezale%nych wspó!rz"dnych potrzebnych do okre#le-

nie po!o%enia cia!a w przestrzeni.

Innymi s!owy: $rednia energia kinetyczna na ka!dy stopie& swobody jest taka sama dla

wszystkich cz"steczek. Ten wynik nazywamy zasad ekwipartycji energii.

&rednia energia kinetyczna ruchu post"powego (z równania definiuj cego T) wynosi

kTm2

3

2

1 2 #v

Odpowiada to trzem stopniom swobody (wspó!rz"dne x, y, z). St d $rednia energia na

stopie& swobody wynosi (1/2)kT na cz steczk" (zale!y tylko od T).

Dla cz stek obracaj cych si" potrzeba 3 dodatkowych wspó!rz"dnych do opisania ruchu

(obrót wzgl"dem trzech osi) wi"c mamy dodatkowe 3 stopnie swobody.

O ile dla N cz steczek nie obracaj cych si" ca!kowita energia (wewn"trzna) U b"dzie

energi kinetyczn ruchu post"powego U = 3/2(NkT) to dla cz stek, które mog obraca$

si" swobodnie we wszystkich kierunkach (wieloatomowe)

U = (3/2)(NkT) + (3/2)(NkT) = 3NkT

Natomiast dla cz stki dwuatomowej (g!adkiej)

U = 3/2(NkT) + (2/2)(NkT) = (5/2)(NkT)

bo nie ma obrotu wokó! osi hantli.

Zwró$my uwag", %e mówimy tu o energii "ukrytej" (wewn"trznej) cz stek a nie o ener-

gii makroskopowej (zwi zanej z ruchem masy). O tej energii mówili#my przy zasadzie

zachowania energii (energia indywidualnych cz stek nie zawarta w energii kinetycznej

czy potencjalnej cia!a jako ca!o#ci). Energi" wewn"trzn oznacza si" zazwyczaj przez U

i takie oznaczenie b"dziemy dalej stosowa$.

16.4 Pierwsza zasada termodynamiki

To jest po prostu inna wersja zasady zachowania energii, w której mamy rozdzielon

energi" cia!a na cz"#$ makroskopow i mikroskopow . Makroskopowa to energia ruchu

masy (energia mechaniczna). Mikroskopowa to "ukryta" energia cz stek (energia we-

wn"trzna).

Gdy dwa uk!ady (cia!a) o ró%nych temperaturach zetkniemy ze sob to ciep!o "Q

przep!ywa z cia!a cieplejszego do ch!odniejszego. Zgodnie z zasad zachowania energii,

ciep!o pobrane przez uk!ad musi by$ równe wzrostowi energii wewn"trznej uk!adu plus

pracy wykonanej przez uk!ad nad otoczeniem zewn"trznym czyli

16-4


"Q = "U + "W (16.6a)

To jest sformu!owanie I zasady termodynamiki.

Zasada ta pracuje "w obie strony" tzn., gdy nad uk!adem zostanie wykonana praca to

uk!ad mo%e oddawa$ ciep!o. To równanie bardzo cz"sto przybiera posta$

dU = dQ – dW (16.6b)

Je%eli rozpatrujemy uk!ad jak na rysunku poni%ej

F

V

dl

S

dW = Fdl = (F/S)(Sdl) = pdV (16.7)

i wtedy

dU = dQ – pdV

16.5 Ciep o w a!ciwe

Ciep o w a$ciwe definiujemy jako dQ/dT na gram lub mol substancji (ciep!o wago-

we lub molowe).

16.5.1 Ciep o w a!ciwe przy sta ej obj"to!ci

Poniewa% dV = 0 wi"c dU = dQ a st d

cv

= dQ/dT = dU/dT

Dla gazu jednoatomowego (dla jednego mola) U = (3/2)NAVkT = (3/2)RT.

Zatem

cv

= (3/2)R

Dla cz steczki dwuatomowej spodziewamy si" wi"c

cv

= (5/2)R

a dla wieloatomowej

cv = 3R

Niedoskona!o#ci modelu opartego na mechanice klasycznej jest to, %e przewiduje cie-

p!o w!a#ciwe niezale%ne od temperatury, a badania pokazuj , %e jest to prawdziwe tylko

dla gazów jednoatomowych. Dla pozosta!ych cv ro#nie z temperatur .

16-5


Na rysunku poni%ej przedstawiono cV dla wodoru (H2) w funkcji temperatury (w skali

logarytmicznej).

10 100 1000 10000

2

4

6

8

(3/2) R

(5/2) R

(7/2) R

Cv

ca

l/m

ol K

Temperatra (K)

W temperaturach ni%szych od 100 K, c

v = (3/2)R co wskazuje, %e w tak niskich tempera-

turach nie ma rotacyjnych stopni swobody. Rotacja staje si" mo%liwa dopiero w tempe-

raturach wy%szych (cv = (5/2)R). Ale w temperaturach powy%ej 2000 K, c

v osi ga war-

to#$ (7/2)R.

Wyt!umaczenie tych zjawisk nie jest mo%liwe na gruncie mechaniki klasycznej. Dopie-

ro mechanika kwantowa daje wyja#nienie tych zmian. Gdyby cz stka mia!a moment

p"du to musia! by on by$ równy co najmniej Lmin = h/2, - 10-34

kg m2 s

-1 (analogia do

modelu Bohra atomu wodoru). Energia kinetyczna ruchu obrotowego dana jest wyra%e-

niem

I

LIErot

22

22

##.

Dla cz steczki H2 m=1.67·10-27

kg, a R - 5·10-11

m, wi"c I = 2mR2 - 8.3·10

-48 kg m

2.

Poniewa% na jeden stopie' swobody przypada energia kT/2 wi"c

kT/2 = L2/2I

czyli

T = L2/kI

St d dla Lmin otrzymujemy Tmin - 90 K.

Dla ni%szych temperatur energia jest za ma!a aby wzbudzi$ rotacje co wymaga pewnej

minimalnej energii. Podobnie jest dla ruchu drgaj cego, który tak%e jest skwantowany.

Edrg,min = hv. Dla typowej cz steczkowej cz"stotliwo#ci drga' 1014

Hz (zakres widzial-

ny) otrzymujemy energi" drga' - 6·10-20

J co odpowiada temperaturze oko!o 4000 K.

Tak wi"c z zasady ekwipartycji energii wynika, %e w tak wysokich temperaturach #red-

nia energia drga' Edrg = kT/2. Oprócz energii kinetycznej tego ruchu istnieje jeszcze je-

go energia potencjalna. Zatem #rednia energia wewn"trzna na cz steczk" wynosi

U = E$r,kin,post + E$r,kin,rot + E$r,kin,drg + E$r,pot,drg

U = (3/2)kT + (2/2)kT + (1/2)kT + (1/2)kT = (7/2)kT

16-6


la 1 mola

U = (7/2)RT wi"c cv = (7/2)R

16.5.2 Ciep o w a!ciwe przy sta ym ci!nieniu

Z I zasady termodynamiki mamy

dQ = dU + pdV

oniewa% U zale%y tylko od T wi"c mamy dU = cvdT wi"c

dQ = cvdT + pdV

la gazu doskona!ego (1 mola) dV = RdT/p, wi"c

dQ = cvdT + RdT

sk d

dQ/dT = cv + R

Ostatecznie wi"c

cp = cv + R

olowe ciep!a w!a#ciwe ró%nych rodzajów gazów doskona!ych (teoretyczne) s zesta-

Typ gazu cv cp cp/cv

D

P

D

M

wione w tabeli poni%ej.

Jednoatomowy

rotacja

drgania

')

(3/2)R (5/2)R

Dwuatomowy +

Dwuatomowy + rotacja +

Wieloatomowy + rotacja (bez drga

(5/2)R

(7/2)R

(6/2)R

(7/2)R

(9/2)R

(8/2)R

5/3

7/5

9/7

4/3

16.6 Rozpr"#anie izotermiczne

Dzia!anie silnika opiera si" o rozpr"%anie zapalonej mieszanki gazowej.

Zw

ym trzeba utrzymywa$ sta! temperatur" #cian cylindra,

U = 0, a st d dQ = dW

ykle dwa przypadki

! rozpr"%anie izotermiczne

! rozpr"%anie adiabatyczne

Przy rozpr"%aniu izotermiczn

czyli t!ok musi porusza$ si" wolno, %eby gaz móg! pozostawa$ w równowadze termicz-

nej ze #ciankami cylindra.

Poniewa% T = const. wi"c d

&&'

())*

+##&

'

()*

+##"#" ///1

2

1

lnd

dd22

1

2

1V

VNkT

v V

VNkTV

V

NkTVpWQ

VV

V

V

V

(16.8)

16-7


16.7 Rozpr

Zwykle w silnikach t!ok porusza si" bardzo szybko wi"c nie ma do#$ czasu na prze-

i cylindra. Wtedy dQ = 0 i otrzymujemy

o%emy to przepisa$ w postaci

cvdT + pdV = 0

Z równania stanu gazu doskona!ego otrzymujemy ró%niczkuj c

pdV + Vdp = RdT

"#anie adiabatyczne

p!yw ciep!a pomi"dzy gazem, a #cianam

dU + pdV = 0

M

na 1 mol.

St d obliczmy dT i wstawiamy do poprzedniego równania

0dd #$&'

()*

+ $p

R

VcVp

R

Rcvv

p i otrzymujemy

0d #$&'

)*

$ VpRR

cv

dd (pVV+ p

Zast"pujemy teraz cv + R = c

0dd

#pV

gdzie 0 = cp/cv.

Ca!kuj c to równanie otrzymamy

$pV

0

.constlnln #$ pV0

kowania.

0dd

#$/ / p

p

V

V

gdzie const. oznacza sta! ca!

Mamy wi"c

ln(pV0) = const.

pV0 = const. (16.9)

0

czyli

%na zapisa$: co mo

p1V10 = p2V2

0

16-8


Przyk ad 1

Silnik benzynowy ma stopie' spr"%u peratury

azów wydechowych do temperatury spalania?

la gazu doskona!ego

/

otrzymujemy

T2/T1 = (V1/V2)0-1

owietrze jest g!ównie dwuatomowe wi"c 0 = 1.4. St d otrzymujemy T2/T1 = 0.415

9 tzn. V2/V1 = 9. Jaki jest stosunek tem

g

p1V10 = p2V2

0 wi"c p2/p1 = (V1

0/V2

0)

D

p2/p1 = (V1T2) (V2T1)

Porównuj te równania

P

16-9


Wyk ad 17

17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II

17.1 rednia droga swobodna

rednia droga swobodna to inaczej !rednia odleg"o!# mi$dzy miejscami kolejnych

zderze%. Zale"y od rozmiarów cz steczek i od ich liczby w jednostce obj#to$ci.

Rozpatrujemy cz stk# kulist o $rednicy d. Zderzenie b#dzie mia!o miejsce gdy odle-

g!o$% mi#dzy $rodkami b#dzie mniejsza ni" d. Inaczej mówi c cz steczka jest "tarcz " o

powierzchni

= !d2

Ta powierzchnia nosi nazw# ca"kowitego przekroju czynnego.

W czasie t cz steczka poruszaj ca si# z pr#dko$ci v "przemiata" obj#to$% walca vt .

Je"eli n jest liczb cz steczek w jednostce obj#to$ci to w tym walcu nasza cz stka napo-

tka (zderzy si# z)

nz = vt n

cz stek.

&rednia droga swobodna to $rednia odleg!o$% pomi#dzy punktami kolejnych zderze'.

Jest ona równa ca!kowitej odleg!o$ci przebywanej przez cz stk# podzielonej przez licz-

b# zderze'

ndnnt

t2

11

! " ###

v

v (17.1)

To równanie wyprowadzono w oparciu o za!o"enie, "e cz stka zderza si# z nierucho-

mymi obiektami. W rzeczywisto$ci cz steczki uderzaj w poruszaj cy si# cel. Cz#sto$%

zderze' jest wi#ksza, a $rednia droga swobodna mniejsza

nd 22

1

!" # (17.2)

Zwró%my uwag#, "e wtedy w równaniu (17.1) dwie wyst#puj ce tam pr#dko$ci s ró"-

ne: pr#dko$% w liczniku to pr#dko$% $rednia v cz steczek wzgl#dem naczynia, a pr#d-

ko$% w mianowniku to $rednia pr#dko$% wzgl#dna wzglv w stosunku do innych cz ste-

czek. Mo"na si# przekona% jako$ciowo, "e

wzglv > v

Np. gdy cz stki biegn naprzeciw siebie to wzglv = 2v , gdy pod k tem prostym to

vv 2#wzgl , a gdy w t# sam stron# to wzglv = 0. Uwzgl#dniaj c rzeczywisty rozk!ad

pr#dko$ci otrzymujemy v2#wzglv .

Przyk"ad 1

17-1


Cz stki powietrza w temperaturze 273 K i pod ci$nieniem 1 atm.

d = 2·10-8

cm, v = 105 cm/s, n = 3·10

19/cm

3.

Wówczas $rednia droga swobodna jest równa 2·10-5

cm (oko!o 1000d).

Odpowiednia cz#sto$% zderze' wynosi 5·109/s.

17.2 Rozk!ad pr"dko#ci Maxwella

Na poprzednim wyk!adzie omawiali$my pr#dko$% $redni kwadratow cz steczek

gazu. Jednak ka"dy gaz ma charakterystyczny rozk!ad pr#dko$ci, który zale"y od tem-

peratury (cz stki nie mog mie% takich samych pr#dko$ci bo pr#dko$ci zmieniaj si# w

wyniku zderze').

Clerk Maxwell poda! prawo rozk!adu pr#dko$ci cz steczek, które dla gazu zawieraj ce-

go N cz steczek ma posta%

kT

m

ekT

mNN 22

2

3 2

24)(

v

vv

$

%&

'()

*#!

! (17.3)

W równaniu tym N(v)dv jest liczb cz stek o pr#dko$ciach z przedzia!u od v do v +

dv. T - temperatura bezwzgl#dna, k - sta!a Boltzmana, m - masa cz steczki.

Ca!kowit liczb# cz steczek mo"na zatem obliczy% dodaj c (ca!kuj c) liczby dla po-

szczególnych ró"niczkowych przedzia!ów pr#dko$ci

+,

#0

d)( vvNN

Na rysunku przedstawiony jest rozk!ad Maxwella dla dwóch ró"nych temperatur.

0.000 200.000 400.000 600.000 800.000 1000.000

__

_ v

v2

vp

v (m/s)

N(v

)

T=300 K

T=70 K

gdzie -v pr#dko$% $rednia, 2v - pr#dko$% $rednia kwadratowa, vp – pr#dko$% najbar-

dziej prawdopodobna.

17-2


Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny nie-

sko'czono$ci. Ze wzrostem temperatury ro$nie pr#dko$% $rednia kwadratowa. Obszar

pr#dko$ci jest teraz wi#kszy. Poniewa" liczba cz stek (pole pod krzyw ) jest sta!a wi#c

rozk!ad si# "rozp!aszcza". Wzrost, wraz z temperatur , liczby cz stek o pr#dko$ciach

wi#kszych od danej t!umaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybko$ci reakcji

chemicznych towarzysz cych zwi#kszeniu temperatury. Z równania wida%, "e rozk!ad

pr#dko$ci zale"y od masy cz steczek. Im mniejsza masa tym wi#cej szybkich cz ste-

czek (w danej temperaturze). Dlatego wodór !atwiej ucieka z górnych warstw atmosfery

ni" tlen czy azot.

17.3 Równanie Van der Waalsa

Równanie stanu gazu doskona!ego

pV = nRT

dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy ma!ych g#sto$ciach. Przy wi#kszych g#sto-

$ciach nie mo"na pomin % faktu, "e cz stki zajmuj cz#$% obj#to$ci dost#pnej dla gazu

oraz "e zasi#g si! mi#dzycz steczkowych mo"e by% wi#kszy ni" odleg!o$ci mi#dzycz -

steczkowe.

J.D. Van der Waals wprowadzi! zmienione równanie stanu gazu, które uwzgl#dnia

te czynniki. Je"eli cz stki posiadaj sko'czon obj#to$% to rzeczywista obj#to$% dost#p-

na dla cz stek jest mniejsza od obj#to$ci naczynia. "Obj#to$% swobodna" jest mniejsza

od obj#to$ci naczynia o "obj#to$% w!asn " cz steczek b. Je"eli oznaczymy przez v obj#-

to$% przypadaj c na jeden mol v = V/n to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu

gazu

p(v – b) = RT

Mo"na równie" prosto uwzgl#dni% efekt si! mi#dzycz steczkowych. Si!y przyci gania

pomi#dzy n cz steczkami (na jednostk# obj#to$ci) "po lewej" z n cz steczkami (na jed-

nostk# obj#to$ci) "po prawej" jest proporcjonalna do n2 czyli proporcjonalna do 1/v

2.

Si!a przyci gaj ca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ci$nieniu, które zo-

sta!o uwzgl#dnione w równaniu Van der Waalsa

RTba

p #$%&

'()

* - )(2

v

v (17.4)

gdzie sta!e a i b wyznaczamy do$wiadczalnie. (Równanie Van der Waalsa te" bywa za-

wodne ale nie jest znana prosta formu!a, która stosowa!aby si# do ró"nych gazów w

ró"nych warunkach).

Na rysunku poni"ej porównano zachowanie si# gazu doskona!ego (rysunek po lewej)

w sta!ej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).

17-3


2 0

300

350

400

17.4 Entropia i druga zasada termodynamiki

17.4.1 Procesy odwracalne i nieodwracalne

Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego spr#"anie gazu.

1. T!ok przesuwamy bardzo szybko i czekamy a" ustali si# równowaga z otoczeniem.

W czasie takiego procesu ci$nienie i temperatura gazu nie s dobrze okre$lone bo

nie s jednakowe w ca!ej obj#to$ci.

2. T!ok przesuwamy bardzo powoli, tak "e ci$nienie i temperatura gazu s w ka"dej

chwili dobrze okre$lone. Poniewa" zmiana jest niewielka to gaz szybko osi ga no-

wy stan równowagi. Mo"emy z!o"y% ca!y proces z ci gu takich ma!ych przesuni#%

t!oka i wtedy podczas ca!ego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Je"eli b#-

dziemy zmniejsza% nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w

którym wszystkie stany po$rednie (pomi#dzy pocz tkowym i ko'cowym) s stana-

mi równowagi.

Proces typu (1) nazywamy procesem nieodwracalnym a proces typu (2) procesem

odwracalnym.

Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomoc& bardzo ma"ej (ró'niczkowej) zmiany

otoczenia mo'na wywo"a# proces odwrotny do niego tzn. przebiegaj&cy po tej samej

drodze w przeciwnym kierunku.

17.4.2 Cykl Carnota

Bardzo wa"nym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granic#

naszych mo"liwo$ci zamiany ciep!a na prac#.

1) Gaz znajduje si# w stanie p1, V1, T1 (punkt A). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciep!a

i pozwalamy, "eby gaz rozpr#"y! si# izotermicznie do stanu p2, V2, T1 (punkt B). Gaz

pobiera ciep!o Q1.

2) Cylinder stawiamy na izoluj cej podstawce i pozwalamy na dalsze rozpr#"anie adia-

batyczne gazu (np. zmniejszaj c obci "enie t!oka) do stanu p3, V3, T2 (punkt C). Gaz

wykonuje prac# przy podnoszeniu t!oka i jego temperatura spada do T2.

17-4


3) Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku (T2) i spr#"amy gaz izotermicznie do

stanu p4, V4, T2 (punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciep!o Q2.

4) Cylinder stawiamy na izoluj cej podstawce i spr#"amy adiabatycznie do stanu p1, V1,

T1 (punkt A). Si!y zewn#trzne wykonuj prac# i temperatura gazu podnosi si# do T1.

A

B

CD

Q1

Q2

WT1

T2

V

p

Wypadkowa praca W wykonana przez uk!ad w czasie pe!nego cyklu jest opisana

przez powierzchni# zawart wewn trz krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa ilo$% ciep!a pobra-

na przez uk!ad podczas jednego cyklu wynosi Q1 - Q2. Wypadkowa zmiana energii we-

wn#trznej wynosi zero bo stan ko'cowy pokrywa si# z pocz tkowym. Z pierwszej zasa-

dy termodynamiki mamy wi#c

W = Q1 – Q2

Sprawno$% silnika wynosi

1

21

1

21

1 T

TT

Q

QQ

Q

W $#

$##. (17.5)

Cykl Carnota mo"na prowadzi% w kierunku przeciwnym (maszyna ch!odz ca).

17.4.3 Druga zasada termodynamiki

Zwró%my jeszcze raz uwag# na to, "e w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego

cz#$% pobieranego ciep!a by!a oddawana do zbiornika o ni"szej temperaturze i w konse-

kwencji ta ilo$% ciep!a nie by!a zamieniana na prac#. Powstaje pytanie, czy mo"na

skonstruowa% urz dzenie, które pobiera!oby ciep!o i w ca!o$ci zamienia!oby je na pra-

c#? Mogliby$my wtedy wykorzysta% ogromne (z naszego punktu widzenia niesko'czo-

ne) ilo$ci ciep!a zgromadzone w oceanach, które by!yby stale uzupe!niane poprzez

promieniowanie s!oneczne.

Negatywna, niestety, odpowied( na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie ter-

modynamiki. Poni"ej podane zosta!y równowa"ne sformu!owania tej zasady

1) Nie mo"na zbudowa% perpetum mobile drugiego rodzaju.

2) Gdy dwa cia!a o ró"nych temperaturach znajd si# w kontakcie termicznym, wów-

czas ciep!o b#dzie przep!ywa!o z cieplejszego do ch!odniejszego.

17-5


3) )adna cykliczna maszyna cieplna pracuj ca pomi#dzy temperaturami T1 i T2 nie mo-

"e mie% sprawno$ci wi#kszej ni" (T1 - T2)/T1.

4) W uk!adzie zamkni#tym entropia nie mo"e male%.

Rozpatrzmy nast#puj cy schemat (pokazany na rysunku poni"ej),w którym super

silnik o sprawno$ci wi#kszej od silnika Carnota nap#dza ten silnik. Efektem ko'cowym

jest przeniesienie dwóch jednostek ciep!a z zimniejszego do cieplejszego zbiornika.

T1 (gor¹ cy zbiornik)

Q1=4 Q1'=6

Silnik

Carnota

. =0.5

Super

silnik

.S=0.75

W=3

Q2=1 Q2'=3

T2 (zimny zbiornik)

17.4.4 Termodynamiczna skala temperatur

Pokazali$my wi#c, "e sprawno$% silnika Carnota jest równa

1

21

1

21

1 T

TT

Q

QQ

Q

W $#

$##.

Wynika st d, "e

T1/T2 = Q1/Q2

Zatem stosunek temperatur dowolnych zbiorników ciep!a mo"na wyznaczy% mierz c

przenoszenie ciep!a podczas jednego cyklu Carnota. Powy"szy wzór stanowi definicj#

termodynamicznej skali temperatur.

17.4.5 Entropia

/0 Zerowa zasada termodynamiki wi "e si# z poj#ciem temperatury

/0 Pierwsza zasada termodynamiki wi "e si# z poj#ciem energii wewn$trznej

/0 Druga zasada termodynamiki wi "e si# z poj#ciem entropii

17-6


Entropia jest miar& nieuporz&dkowania uk!adu cz stek. Im wi#kszy jest stan niepo-

rz dku po!o"e' i pr#dko$ci w uk!adzie tym wi#ksze prawdopodobie'stwo, "e uk!ad b#-

dzie w tym stanie.

Przyk!ady sytuacji gdy nieuporz dkowanie ro$nie bo tracimy cz#$% zdolno$ci do klasy-

fikacji cz stek.

/0 Rozpr#"anie swobodne

/0 Przep!yw ciep!a do wyrównania temperatur

Z definicji entropia S uk!adu jest równa

S = kln1 (17.6)

gdzie k - sta!a Boltzmana, 1 - prawdopodobie'stwo, "e uk!ad jest w danym stanie

(w odniesieniu do wszystkich pozosta!ych stanów).

Zgodnie z definicj prawdopodobie'stwa uk!ad cz#$ciej b#dzie w stanie o wi#kszym

prawdopodobie'stwie ni" w stanie o mniejszym prawdopodobie'stwie. Uk!ad wi#c

"poszukuje" stanów o wi#kszym prawdopodobie'stwie, a w miar# wzrostu 1 ro$nie

równie" S. St d

2S 3 0

To jest czwarte sformu!owanie drugiej zasady termodynamiki. Poka"my, "e pozosta!e

sformu!owania s mu równowa"ne.

2S = S2 $ S1 = kln12 $ kln11

2S = kln(12/11)

Rozpatrzmy teraz swobodne rozpr#"anie gazu od obj#to$ci V1 do obj#to$ci ko'cowej

V2.

Wzgl#dne prawdopodobie'stwo znalezienia jednej cz stki w V1 w porównaniu do V2

jest

2

1

.12

1

V

V

cz

#%%&

'(()

*

11

Dla N cz stek stosunek prawdopodobie'stw

N

NczV

V%%&

'(()

*#%%

&

'(()

*

2

1

.2

1

11

Otrzymujemy wi#c

2S =Nkln(V2/V1)

Podzielmy i pomó"my równanie przez T; otrzymamy wtedy

17-7


T

V

VNkT

S 1

2ln

#2

Wyra"enie w liczniku jest równe ilo$ci ciep!a 2Q dostarczonego do uk!adu aby ten

przeszed! do stanu ko'cowego w sposób odwracalny (rozpr#"anie izotermiczne).

T

QS

T

QS

d

ddlub #

2#2 (17.7)

wi#c ostatecznie

+# T

QS

d (17.8)

gdzie dQ jest ciep!em dostarczanym do uk!adu w procesie odwracalnym.

Entropia S jest termodynamiczn& funkcj& zale'n& tylko od pocz&tkowego i ko%cowego

stanu uk"adu, a nie od drogi przej!cia pomi$dzy tymi stanami (termodynamiczna defini-

cja entropii).

Z tego punktu widzenia szczególnie interesuj ce s procesy adiabatyczne nie zwi -

zane z przep!ywem ciep!a pomi#dzy uk!adem i otoczeniem. W procesie adiabatycznym

dQ = 0, wi#c dla procesu odwracalnego dS = 0 na podstawie równania (17.8).

Oznacza to, "e entropia uk"adu izolowanego adiabatycznie, w którym zachodz& pro-

cesy odwracalne, jest sta"a. Jednocze$nie mo"na pokaza%, "e dla procesu adiabatyczne-

go nieodwracalnego, entropia uk"adu ro!nie.

Mo"na uogólni% zasad# wzrostu entropii na uk!ady nieizolowane adiabatycznie tzn.

takie, które wymieniaj ciep!o z otoczeniem. Traktujemy wtedy nasz uk!ad i otoczenie

razem jako jeden "wi#kszy" uk!ad ponownie izolowany adiabatycznie. Wtedy

0dd 3- oSS

gdzie dSo jest zmian entropii otoczenia. Zmienia si# wi#c entropia naszego uk!adu i

otoczenia. Je"eli proces jest odwracalny to podczas przenoszenia ciep!a dQ z otoczenia

do naszego uk!adu entropia otoczenia maleje o dQ/T, a entropia uk!adu ro$nie o t# sam

warto$% dQ/T, wi#c ca!kowita zmiana entropii jest równa zeru.

Zatem pos!uguj c si# entropi (zgodnie z drug zasad termodynamiki) mo"emy

stwierdzi% czy dany proces mo'e zachodzi# w przyrodzie.

Przyk!ad

Stosuj c wzór (17.8) mo"na pokaza%, np. "e ciep!o przep!ywa z cia!a gor cego do zim-

nego, a nie odwrotnie. Dwa identyczne cia!a o T1 i T2 kontaktujemy termicznie. Po

chwili temperatury wynosz odpowiednio T1 - dT1, T2 + dT2 wskutek przep!ywu ciep!a:

dQ1 = -mcdT1 i dQ2 = mcdT2

17-8


Poniewa" dQ1 = – dQ2 wi#c dT1 = – dT2 = dT

Zmiana entropii ka"dego z cia! jest równa

dS1 = – mcdT/T1 i dS2 = mcdT/T2

Wypadkowa zmiana entropii wynosi

dS = mcdT(1/T2 – 1/T1)

sk d zmiana temperatury

%%&

'(()

*

$#

21

21 dd

TT

S

mc

TTT

dS jest dodatnia wi#c dT ma taki sam znak jak (T1 – T2). Tak wi#c je"eli T1 > T2 to cie-

p!o przep!ywa z cia!a o T1 do cia!a o T2.

Przypu$%my, "e ten strumie' ciep!a dQ1 zosta! u"yty do nap#dzania silnika Carnota pra-

cuj cego pomi#dzy T1 i T2. Wówczas zgodnie z wyra"eniem na sprawno$%

1

21

1d

d

T

TT

Q

W $#

mo"na uzyska% prac# mechaniczn

STTT

QTW d11

dd 2

12

12 #%%&

'(()

*$#

Mo"na pokaza% ca!kiem ogólnie, "e je"eli w uk"adzie zamkni$tym zawieraj cym cia!a

o ró"nych temperaturach nast#puje wzrost entropii dS to towarzyszy temu strata energii

mechanicznej dW równa iloczynowi dS i temperatury najch!odniejszego cia!a.

Uwaga: mo"liwe jest lokalne zmniejszenie entropii, kiedy jednak bierze si# pod uwag#

wszystkie cz#$ci uk!adu (uk!ad zamkni#ty) to wypadkowa zmiana entropii b#dzie równa

zeru lub b#dzie dodatnia.

17.5 Stan równowagi, zjawiska transportu

17.5.1 Stan równowagi

Stan równowagi uk!adu to taki stan, w którym "aden z parametrów potrzebnych do

makroskopowego opisu uk!adu nie zale"y od czasu. Dla uk!adu jednorodnego (np. ga-

zu) w stanie równowagi wystarcza znajomo$% dwu podstawowych parametrów stanu

np. ci$nienie i obj#to$%.

Opis komplikuje si# gdy mamy uk!ad niejednorodny np. ciecz w równowadze z par .

Dla danej temperatury stan równowagi tego uk!adu jest mo"liwy przy ró"nych obj#to-

$ciach uk!adu (od obj#to$ci zale"y ilo$% fazy ciek!ej i gazowej). Natomiast temperatura i

17-9


ci$nienie przestaj by% niezale"ne. W ka"dej temperaturze równowaga jest mo'liwa tyl-

ko przy okre!lonym ci!nieniu (pary nasyconej). Przy wy"szym istnieje tylko ciecz, przy

ni"szym para. Podobnie ciecz i cia!o sta!e mog istnie% w równowadze tylko w tempera-

turze topnienia, która jest funkcj ci$nienia. Wreszcie cia!o sta!e wspó!istnieje w rów-

nowadze z par nasycon , której ci$nienie jest funkcj temperatury. Krzywe równowagi

pokazane na rysunku poni"ej.

Liter a oznaczona jest krzywa równowagi cia!o sta!e - ciecz (zwi zek temperatury top-

nienia z ci$nieniem). Krzywa a' przedstawia t# zale"no$% dla kilku nietypowych sub-

stancji, które przy topnieniu zmniejszaj obj#to$% np. lód.

p

T

aa'

b

b'

K

P

I II III

Krzywa b + b' pokazuje zale"no$% ci$nienia pary nasyconej od temperatury. Punkt P

nazywamy punktem potrójnym. Odcinek b' to krzywa równowagi cia!o sta!e – para, a

odcinek b krzywa równowagi ciecz – para. W punkcie potrójnym mog istnie% wszyst-

kie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to ci$nieniu p = 4.57 mm Hg, T = 273.16

K (O 4C). Krzywa b ko'czy si# w punkcie krytycznym K powy"ej którego nie istnieje

ró"nica pomi#dzy gazem i ciecz . Dlatego "eby skropli% gaz trzeba obni"y% temperatur#

poni"ej temperatury krytycznej.

17.5.2 Zjawiska transportu

Dotychczas zajmowali$my si# w!a$nie uk!adami w stanie równowagi. Teraz zapo-

znamy si# z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodz gdy uk!ad d "y do

takiego stanu. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem (trans-

portem):

/0 materii

/0 energii

/0 p#du

/0 !adunku elektrycznego

Wszystkie te zjawiska transportu opisujemy w pierwszym przybli"eniu za pomoc rów-

nania ró"niczkowego, które przedstawia propagacj$ pewnej wielko!ci fizycznej 5 maj&-

c& na celu osi&gni$cie równowagi

x

Kj665

$# (17.8)

gdzie j jest g#sto$ci strumienia wielko$ci 5 (g#sto$% pr du), K jest sta! charakteryzu-

j c dan sytuacj# fizyczn . Sta! K wi "emy z w!a$ciwo$ciami mikroskopowymi rozpa-

17-10


trywanego uk!adu statystycznego, z tzw. wspó"czynnikami transportu. Wi " si# one

z no$nikami np. cz steczkami gazu, elektronami w metalu.

/0 Dyfuzja w gazie czyli przenoszenie cz stek w kierunku obszarów o mniejszej kon-

centracji n (d&'enie do wyrównania koncentracji). Równanie dyfuzji

gradnDx

nDjD $#$#66

gdzie jD g#sto$% strumienia cz stek, n - koncentracja cz stek. Równanie to znane jest

pod nazw prawa Ficka.

Wspó!czynnik dyfuzji (dla rozrzedzonego gazu)

"v3

1#D

/0 Przewodnictwo cieplne czyli transport energii, wskutek ruchu cz stek w kierunku

obszaru o ni"szej T (d&'enie do wyrównania temperatury).

Równanie (prawo Fouriera) ma posta%

gradTx

TjQ 7

66

7 $#$#

gdzie jQ jest g#sto$ci strumienia ciep!a, 7 jest wspó"czynnikiem przewodnictwa ciepl-

nego. Dla rozrzedzonego gazu

"7 Vcnv3

1#

/0 Lepko!# gazu polegaj ca na przenoszeniu p#du mi#dzy warstwami gazu o ró"nych

pr#dko$ciach (d&'enie do wyrównania pr$dko!ci).

Równanie (prawo Newtona) ma posta%

gradux

uj p .

66

. $#$#

gdzie u jest pr#dko$ci (unoszenia) warstwy. Wspó"czynnik lepko!ci dla rozrzedzonego

gazu wynosi

". mnv3

1#

/0 Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie !adunku elektrycznego w wyniku ru-

chu elektronów (d&'enie do wyrównania potencja"ów elektrycznych). Równanie (prawo

Ohma) ma posta%

17-11


gradV 8

$### EEj1

gdzie przewodno!# elektryczna jest dana wyra"eniem

vm

nq

m

nq "9

22

##

Uwaga: wszystkie wspó!czynniki transportu zale" od temperatury (poprzez pr#dko$%

$redni , $redni drog# swobodn itd.)

17-12


Wyk ad 18

18. Si a elektrostatyczna

18.1 Wst p

Oddzia!ywanie elektromagnetyczne - chyba najwa"niejsze w fizyce. Pozwala wyja-#ni$ nie tylko zjawiska elektryczne ale te" si!y zespalaj ce materi% na poziomie ato-mów, cz steczek. Przewodniki i izolatory. Do#wiadczenie z na!adowaniem pr%ta meta-lowego i pr%ta szklanego. Zdolno#$ izolacyjna stopionego kwarcu jest 1025 razy wi%ksza ni" miedzi.

18.2 !adunek elektryczny

Porównajmy si!% grawitacyjn pomi%dzy elektronem i protonem w atomie wodoru F = 3.61·10-47 N z si!a elektryczn pomi%dzy nimi w tym samym atomie F = 2.27·10-8 N. To, "e si!y grawitacyjne dla "du"ych" cia! dominuj wynika st d, "e liczby protonów i

elektronów s równe.

Nie istnieje, "aden zwi zek mi%dzy mas i !adunkiem.

W przeciwie&stwie do masy !adunki "+" lub "-".

18.2.1 Kwantyzacja adunku

'adunek elementarny e = 1.6·10-19

C. Wszystkie adunki s! wielokrotno"ci! e.

18.2.2 Zachowanie adunku

Zasada zachowania !adunku - B. Franklin. Wypadkowy adunek w uk adzie zamkni#-

tym jest sta y.

18.3 Prawo Coulomba

Si!a oddzia!ywania dwóch !adunków q1 i q2

2

21

r

qqkF (18.1)

gdzie sta!a 04

1

!" k . Wspó!czynnik "0 = 8.854·10

-12 C

2/(Nm

2) nosi nazw% przenikalno-

"ci elektrycznej pró$ni. W uk!adzie cgs k = 1.

18.3.1 Zasada superpozycji

Si # wypadkow! (tak jak w grawitacji) obliczamy dodaj!c wektorowo si y dwucia o-

we.

Przyk ad 1

18-1


Dipol elektryczny sk!ada si% z dwóch !adunków oddalonych od siebie l. Jaka si!a

jest wywierana na !adunek q umieszczony tak jak na rysunku?

+Q -Q l

q F

F2

F1

r r

Z podobie&stwa trójk tów

r

l

F

F

1

St d

3321r

pqk

r

Qlqk

r

Qqk

r

lF

r

lF #

$

%&'

(

gdzie p = Ql jest momentem dipolowym.

18.4 Pole elektryczne

W wyk!adzie 6 zdefiniowali#my nat%"enie pola grawitacyjnego w dowolnym punk-

cie przestrzeni jako si!% grawitacyjn dzia!aj ca na mas% m umieszczon w tym punkcie

przestrzeni podzielon przez t% mas%.

Analogicznie definiujemy nat#$enie pola elektrycznego jako si # dzia aj!c! na adunek

próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzielon! przez ten adunek.

Aby zmierzy$ nat%"enie pola elektrycznego E w dowolnym punkcie P, nale"y w tym

punkcie umie#ci$ !adunek próbny i zmierzy$ wypadkow si!% elektryczn F dzia!aj c

na ten !adunek. Nale"y upewni$ si% czy obecno#$ !adunku q nie zmienia po!o"e& innych

!adunków. Wtedy

q

FE (18.2)

'adunek próbny jest dodatni (umowa). Kierunek E jest taki sam jak F (na !adunek do-

datni).

Przyk ad 2

Ten sam uk!ad co poprzednio tylko w punkcie P nie ma "jakiego#" !adunku tylko

tam umie#cimy !adunek próbny. Korzystaj c z otrzymanej zale"no#ci obliczamy E

3

3

r

pk

q

r

pkq

E #$

%&'

(

18-2


Pole E w punkcie P jest skierowane w prawo.

+Q -Q l

F

F2

F1

r r

P

Pole E w odleg!o#ci r od !adunku punktowego Q jest równe

rr

Qkr

r

Qqk

qqˆˆ

1122

#$

%&'

( FE

Pole elektryczne od n !adunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elek-

trycznych

)

n

i

i

i

i rr

Qk

12

ˆE

Przyk ad 3

Ca!kowity !adunek na!adowanego pier#cienia o promieniu R wynosi Q. Jakie jest

pole elektryczne na osi pier#cienia w odleg!o#ci x0 od #rodka?

R

x0

r

P

dE

dEx

*

Pole wytwarzane przez element dl pier#cienia jest równe

dEx = dE(cos*)

cos* = x0/r

Je"eli + = Q/2!R jest liniow g%sto#ci !adunku to

2

dd

r

lkE+

oraz

r

x

r

lkEx

0

2

dd

+

18-3


St d

2

3

22

0

0

3

0

3

0

)(

)2(d

Rx

QkxR

r

xkl

r

xkEE x

,

- !++

Zwró$my uwag%, "e w #rodku pier#cienia (x0 = 0) E = 0, a dla x0 >> R pole E . kQ/x02

i jest takie samo jak pole !adunku punktowego w tej odleg!o#ci.

Jedn z zalet pos!ugiwania si% poj%ciem pola elektrycznego jest to, "e nie musimy

zajmowa$ si% szczegó!ami (ród!a pola. Np. pole E = kQ/r2 mo"e pochodzi$ od wielu

(róde!.

18.4.1 Linie si

Kierunek pola E w przestrzeni mo"na przedstawi$ za pomoc tzw. linii si . Linie nie

tylko pokazuj kierunek E ale te" jego warto#$ (liczba linii na jednostk% powierzchni).

Je"eli liczb% linii przechodz cych przez powierzchni% /S oznaczymy /0 to wówczas

/0 = E /S = E/S cos*

gdzie * jest k tem pomi%dzy wektorem powierzchni /S i wektorem E.

W ogólno#ci wi%c

d0 = dE ds (18.3)

i jest to definicja strumienia elektrycznego.

Ca!kowity strumie& przechodz cy przez powierzchni% S mo"na obliczy$ jako sum%

przyczynków od elementów powierzchni

) / iapowierzchn

SE0

Suma ta przedstawia ca!k% powierzchniow

- S

SE d0 (18.4)

Obliczmy teraz strumie& dla !adunku punktowego w odleg!o#ci r od niego.

W tym celu rysujemy kul% o promieniu r wokó! !adunku Q i liczymy strumie& (liczb%

linii przez powierzchni%).

0

2

2

2 4)4()4("

!!!0Q

kQrr

QkrE #

$

%&'

( (18.5)

Otrzymany strumie& nie zale"y od r, a zatem strumie& jest jednakowy dla wszystkich r.

Ca!kowita liczba linii wychodz cych od !adunku jest równa Q/"0 i linie te ci gn si% do

niesko&czono#ci.

18-4


Poniewa" pokazali#my, "e strumie& jest taki sam przez ka"d powierzchni% niezale"nie

od r wi%c jest to prawd dla zamkni%tej powierzchni o dowolnym kszta!cie (która ota-

cza !adunek Q).

Taka powierzchnia nazywa si% powierzchni! Gaussa.

18.5 Prawo Gaussa.

Niech zamkni%ta powierzchnia obejmuje dwa !adunki Q1 i Q2. Ca!kowita liczba linii

si! przecinaj ca powierzchni% zamkni%t wokó! !adunków Q1 i Q2 jest równa

-- - - , , SESESEESE ddd)(d 1121µ kca0

gdzie E1 jest wytwarzane przez Q1, a E2 przez Q2. Powo!uj c si% na wcze#niejszy wynik

otrzymujemy

0ca k = (Q1/"0) + (Q2/"0) = (Q1 + Q2)/"0

Ca!kowita liczba linii si! jest równa ca kowitemu adunkowi podzielonemu przez "0. Po-

dobnie mo"na pokaza$ dla dowolnej liczby n !adunków.

Otrzymujemy wi%c prawo Gaussa

0

..4d

"! wewn

wewn

QkQ - SE (18.6)

Strumie& pola wychodz cy z na!adowanego cia!a jest równa wypadkowemu !adunkowi

podzielonemu przez "0. Je"eli Q jest ujemne strumie& wp!ywa do cia!a.

Linie mog zaczyna$ si% i ko&czy$ tylko na !adunkach a wsz%dzie indziej s ci g!e.

A co w sytuacji gdy na zewn trz zamkni%tej powierzchni s !adunki?

Rozwa"my zamkni%t powierzchni% (rysunek) wewn trz której Qwewn. = 0, a linie si!

pochodz od !adunku na zewn trz.

c

b

a

d

18-5


Ca!kowity strumie& dzielimy na cz%#ci

0ca k = 0ab + 0bc + 0cd + 0da

Z rysunku wida$, "e 0ab = +2, 0bc = +3, 0cd = -7, 0da = +2. Tak wi%c

0ca k = +2 + 3 - 7 + 2 = 0

Na nast%pnym wyk!adzie zastosujemy prawo Gaussa do obliczania E dla ró"nych na!a-

dowanych cia!.

18-6


Wyk ad 19

19. Elektrostatyka I

19.1 Wst p

Wi"kszo#$ cia! sta!ych mo%na podzieli$ na przewodniki i izolatory. W izolatorze nadmiarowy !adunek mo%e by$ rozmieszczony w ca!ej obj"to#ci natomiast w przewod-nikach swobodne elektrony b"d si" zbiera!y na powierzchni dopóty, dopóki nie wy-tworzy si" pole równowa% ce pole zewn"trzne. Rozpatrzmy dowolny w kszta!cie przewodnik. Wybierzmy powierzchni" zamkni"t tu% poni%ej powierzchni przewodnika.

S

Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni

0

.d wewnQ

!" SE

Wewn trz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi by$ równe zeru, bo inaczej elektrony porusza!yby si" czyli

0d !" SE

Zatem 0 = Qwewn./ 0

St d Qwewn. = 0

Tak wi"c !adunek wewn trz dowolnej zamkni"tej powierzchni (przewodnika) musi by$ równy zeru; ca!y !adunek gromadzi si" na powierzchni.

19-1


19.2 Kuliste rozk!ady !adunków

19.2.1 Jednorodnie na adowana sfera

Rozpatrzmy jednorodnie na!adowan powierzchni" kulist .

r

R

+Q

W dowolnym punkcie sfery E ## S (prostopad!e do powierzchni) wi"c

" ! )4(d 2rE $SE

Zgodnie z prawem Gaussa:

E(4$r2) = Q/ 0

czyli

2204

1

r

Qk

r

QE !!

$ (19.1)

dla r > R (tak jakby ca!y !adunek skupiony by! w #rodku sfery). Dla r < R, E = 0.

19.2.2 Jednorodnie na adowana kula

Przewodniki - równowa%ne sferze bo !adunek na powierzchni. Izolator - równowa%ny szeregowi wspó!#rodkowych sfer.

2.

r

QkE wewn!

gdzie Qwewn. = Q(r3/R3) (stosunek obj"to#ci kuli o promieniu r do obj"to#ci kuli o pro-mieniu R, rysunek).

R

r

Q

Qwewn

19-2


%%&

'##(

)!

3

32 4)4(

R

rQkrE $$

Czyli

rR

QkE

3! (19.2)

Wykres E w funkcji odleg!o#ci od #rodka jednorodnie na!adowanej kuli jest pokazany poni%ej.

kQ2/R

2

R

E

r

Przyk ad 1

Atom wodoru traktujemy jako sztywn jednorodnie na!adowan kul" o promieniu R = 10-10 m, ca!kowitym !adunku Q = e = -1.6·10-19 C i masie me = 9.1·10-31 kg. Proton znajduj cy si" w #rodku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemiesz-czony o ma! odleg!o#$ x0 i puszczony swobodnie. Jaka b"dzie cz"stotliwo#$ drga& ja-kie elektron i proton b"d wykonywa!y wokó! ich po!o%e& równowagi?

R

x0

chmura

elektronowa

proton

Si!a przywracaj ca proton do po!o%enia równowagi F = eE czyli

xR

ekF

3

2

*!

lub

xR

ek

t

xme 3

2

2

2

d

d*!

19-3


Powinni#my si" pos!ugiwa$ raczej mas zredukowan + =Mpme/(MP + me) ale me << Mp wi"c + , me. Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego

3

2

Rm

ke

e

!-

$-2

!f = 2.5·1015 Hz

Ta cz"stotliwo#$ jest bliska promieniowaniu wysy!anemu przez atom wodoru w pierw-szym stanie wzbudzonym czyli, %e taki model jest uzasadniony.

19.2.3 Liniowe rozk ady adunków

Liczymy pole E w odleg!o#ci r od jednorodnie na!adowanego pr"ta (drutu) o d!ugo-#ci l >> r.

L

r

+ + +

Wprowadzamy liniow g"sto#$ !adunku . (!adunek na jednostk" d!ugo#ci). Jako powierzchni" Gaussa wybieramy walec (mo%emy wybiera$ dowolnie). Z prawa Gaussa

" !! )(4d0

LkL

.$ .

SE

E jest równoleg!e do wektora S i ma tak sam warto#$ w ka%dym punkcie powierzchni wi"c

2$rLE = 4$kL.

rr

kE

02

2

$ ..

!! (19.3)

Teraz pole wewn trz. Wybieramy powierzchni" Gaussa o promieniu r < R. 'adunek wewn trz powierzchni Gaussa Qwewn. = /$r

2L, gdzie / - g"sto#$ obj"to#ciowa

!adunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy

E(2$rL) = 4$k(/$r2L)

19-4


E = 2k/$r

poniewa% . = /$R

2 wi"c

rR

rR

kE

20

2 2

2

$ ..

!! (19.4)

19.2.4 P askie rozk ady adunków

Obliczamy pole od niesko&czonej jednorodnie na!adowanej p!aszczyzny.

E E

'adunek otoczony przez powierzchni" Gaussa jest równy Qwewn. = 0S, gdzie 0 jest g"-sto#ci powierzchniow , a S powierzchni podstawy walca. Z prawa Gaussa

2ES = 0S/ 0 gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca. Ostatecznie otrzymujemy E = 0/2 0 (19.5) Wiele zastosowa& dotyczy uk!adu dwóch, p!askich równoleg!ych p!yt (kondensator p!a-ski).

Pole wytwarzane przez p!yt" "po lewej stronie" (rysunek poni%ej) jest równe Eminus = 0/2 0 i skierowane ku p!ycie. Pole wytwarzane przez p!yt" po prawej Eplus = 0/ 0 i skierowane jest od p!yty.

19-5


+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

-

-

-

I II III

Zatem w obszarze I

EI = 0/2 0 + (– 0/2 0) = 0

w obszarze II

EII = –0/2 0 + (– 0/2 0) = –0/ 0

w obszarze III

EIII = (– 0/2 0) + 0/2 0 = 0

19.2.5 Powierzchnia przewodnika

Je%eli przedstawiona na rysunku na!adowana powierzchnia stanowi cz"#$ po-

wierzchni przewodnika to poniewa% ca!y !adunek gromadzi si" na zewn"trznej po-

wierzchni to wewn trz E = 0. Co wi"cej E musi by$ prostopad!e do powierzchni (rów-

noleg!e do S) bo gdyby istnia!a sk!adowa styczna to elektrony porusza!yby si".

Z prawa Gaussa wynika, %e

ES = (0S)/ 0

wi"c

E = 0/ 0 (19.6)

na powierzchni przewodnika.

19.3 Potencja! elektryczny

Zgodnie z naszymi rozwa%aniami ró%nica energii potencjalnych jest dana przez

"*!*B

A

pApB EE rF d

co dla pola elektrycznego daje

"" *!*!*B

A

B

A

pApB qEE rErF dd (19.7)

Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej mo%emy zdefiniowa$ punkt zerowej

energii potencjalnej dla cia!a znajduj cego si" w niesko&czono#ci. Wtedy

19-6


"1

*!r

p qrE rE d)(

Je%eli przenosimy !adunek q z niesko&czono#ci do punktu odleg!ego o r od innego !a-

dunku punktowego Q, to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile

elektrycznej, czyli

"1 1

1 23

456

7**!*!!r r

rpr

qQkrr

QkqWrE

1d)(

2

r

qQkrE p !)( (19.8)

jest energi! potencjaln! !adunków q i Q.

Potencja elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna na jednostkowy adu-

nek

q

W

q

rErV rp 1!!

)()( (19.9)

Dla !adunku punktowego

r

QkV ! (19.10)

Potencja = praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego !adunku z niesko&czono#ci

do r od !adunku punktowego Q.

Ró"nica potencja ów czyli napi#cie U pomi"dzy dwoma punktami = praca na przenie-

sienie !adunku jednostkowego mi"dzy tymi punktami

"*!!!*B

A

ABAB WUVV rE d (19.11)

19-7


Wyk ad 20

20. Elektrostatyka II

20.1 Obliczanie potencja u

Rozwa"my np. ró"nic# potencja!ów (napi#cie) pomi#dzy $rodkiem i powierzchni

na!adowanej pow!oki kulistej.

Poniewa" E = 0 (wzd!u" drogi ca!kowania) wi#c tzn. w $rodku

i na powierzchni jest ten sam potencja!.

0d ! ! "B

A

AB VV rE

Z powy"szego wzoru wynika, "e

r

VE

d

d! (20.1)

Przyk ad 1

Obliczy% potencja! V i pole E w odleg!o$ci r od dipola ustawionego wzd!u" osi x.

Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L.

L

-q +q

#

r

P y

x

Je"eli r >> L to punkt P jest odleg!y od !adunku +q o:

r – (1/2)Lcos#

oraz od –q o:

r + (1/2)Lcos#

Ca!kowity potencja! jest sum

#

#

## 22

2 cos4

cos

cos2

1

)(

cos2

1 Lr

qLk

Lr

qk

Lr

qkV

!

$

!$

!

20-1


Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie

32

cos

r

xkp

r

pkV %

#

)1cos3( 2

3! ! #

&&

r

kp

x

VEx

##&&

sincos33r

kp

y

VE y !

Teraz rozpatrzmy pole i ró"nic# potencja!ów dla dwóch przeciwnie na!adowanych p!yt

o polu powierzchni S znajduj cych si# w odleg!o$ci d od siebie. Je"eli !adunki na p!y-

tach wynosz odpowiednio +Q i –Q to g#sto$ci !adunków wynosz Q/S i –Q/S.

'V = – Ed

Zgodnie z naszymi obliczeniami

'V = (d/)0

S

QdV

0) ' (20.2)

Na zako&czenie zaznaczmy, "e powierzchnia ka"dego przewodnika jest powierzchni

sta!ego potencja!u (powierzchni! ekwipotencjaln!).

20.2 Pojemno!"

Kondensator - uk!ad przewodników, który mo"e gromadzi% !adunek elektryczny.

Definicja pojemno"ci

U

Q

V

QC

' (20.3)

Jednostka farad. 1F = 1C/1V.

Powszechnie stosuje si# *F, nF, pF.

Dla kondensatora p!askiego na podstawie (20.3) i (20.2)

d

S

U

QC 0) (20.4)

20-2


20.3 Energia pola elektrycznego

Pocz tkowo nie na!adowany kondensator !aduje si# od 0 do napi#cia U. Wtedy !a-

dunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.

Praca zu"yta na przeniesienie !adunku dq z ok!adki "–" na "+" wynosi

dW = Udq

Ca!kowita praca wynosi wi#c

C

Qq

C

qqUW

QQ 2

002

1dd +,

-./

0 "" (20.5)

Dla kondensatora p!askiego

ESQczyliS

QE 0

0

, ))

Podstawiamy to do wzoru na energi# i otrzymujemy

1 2C

ESW

2

2

0)

Podstawiaj c wyra"enie na C dostajemy

SdE

W2

2

0)

Sd - obj#to$% kondensatora, wi#c g#sto"$ energii w = W/Sd

2

02

1Ew ) (20.6)

Je%eli w jakim" punkcie przestrzeni jest pole E to mo%emy uwa%a$, %e jest tam zmagazy-

nowana energia w ilo"ci2

02

1E) na jednostk# obj#to"ci.

20.4 Dielektryki

Rozwa"ali$my pole elektryczne od przewodników w pró"ni.

Stwierdzamy, "e umieszczenie materia!u nieprzewodz!cego (dielektryka) mi#dzy ok!ad-

kami kondensatora powoduje zwi#kszenie pojemno$ci od warto$ci C do warto$ci C'.

C

C ' 3

gdzie 3 jest wzgl#dn! przenikalno"ci! elektryczn! (sta! dielektryczn ).

20-3


20.4.1 Dielektryki, pogl!d atomistyczny

Dwie mo"liwo$ci:

45 cz steczki polarne np. H2O maj ce trwa!e momenty dipolowe p

45 cz steczki (atomy) maj indukowany (przez zewn#trzne pole E) moment dipolowy

(przyk!ad z atomem wodoru - Wyk!ad 19).

Przyk ad 2

Atom wodoru umieszczony w zewn#trznym polu E0.

Si!a F = – eE0 przesuwa chmur# elektronow o x0 wzgl#dem rdzenia (protonu). Wów-

czas atom ma moment indukowany p = ex0.

Pole w miejscu protonu

E = E0 + Echmura

030 xR

keEE !

Poniewa" proton (rdze&) w po!o"eniu równowagi wi#c E = 0, sk d dostajemy

0

3

0 Eek

Rx

Indukowany moment dipolowy jest zatem równy

0

3

0 Ek

Rexp

Elektryczne momenty dipolowe p d " do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a

momenty indukowane s równoleg!e do pola. Materia! w polu E zostaje spolaryzowany

(rysunek).

- + - + - + - +

- + - + - + - +

- + - + - + - +

- + - + - + - +

- + - + - + - +

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

+

+

+

+

W rezultacie dodatni !adunek gromadzi si# na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni

dielektryka. Wewn trz nie pojawia si# "aden !adunek. Indukowany adunek powierzch-

20-4


niowy q' pojawia si# wi#c gdy dielektryk umie$cimy w polu elektrycznym.

Wybieramy powierzchni# Gaussa (linia przerywana).

ES=(q – q')/)0

E = (q – q')/()0S)

Pojemno$% takiego kondensatora

Cqq

q

d

S

qq

q

Ed

q

V

qC

''' 0

!

!

)

Dziel c przez C otrzymamy

'

'

qq

q

C

C

! 3

20.4.2 Dielektryki - rozwa"ania ilo#ciowe.

Je"eli ka"da cz steczka ma $redni moment dipolowy p skierowany zgodnie z po-

lem E i je"eli w dielektryku jest N cz steczek to ca!kowity moment dipolowy pca k =

N p

Z drugiej strony !adunek (indukowany) jest na powierzchni wi#c

pca k = q'd

' cz c te wyra"enia

q'd = N p

q'd = (nSd) p

gdzie n jest ilo$ci cz steczek w jednostce obj#to$ci.

q' = nS p

Podstawiamy to do wzoru na 3

pnSq

q

qq

q

!

!

'3

Obliczyli$my, "e

0

3

0 Ek

Rexp

20-5


Podstawiaj c E = (q – q')/()0S)

S

qqR

S

qq

k

Rp

'4

)'( 3

0

3 !

! 6

)

Wstawiaj c to do wyra"enia na 3

3666

31

41

1

'41

1

'4 333 nR

q

qqnRS

S

qqnRq

q

!

!!

!

!

Obliczamy 3

3 = 1 + 46nR3

20.5 Trzy wektory elektryczne

Przypomnijmy, "e: E0 = q/)0S

Pokazali$my, "e wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany

!adunek daje pole przeciwne do E0)

E = (q – q')/()0S) lub E = E0/3 = q/()0S3)

' cz c te równania dostajemy

S

q

S

q

S

q

000

'

))3)!

Mno" c przez )0 i przenosz c wyrazy otrzymujemy

S

q

S

q

S

q '

0

0 $ 3)

)

Przepisujemy to równanie w postaci

D = )0E + P (20.8)

D, E, P s wektorami odpowiednio: indukcji elektrycznej, nat#%enia pola, polaryzacji.

Na rysunku pokazane s odpowiednie wektory.

D - !adunek swobodny

)0E - wszystkie !adunki

P - !adunek polaryzacyjny

20-6


+ + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + +

D )0E P

20-7


Wyk ad 21

21. Pr!d elektryczny i pole magnetyczne

21.1 Pr d elektryczny

Nat !enie pr"du elektrycznego

t

QI (21.1)

Jednostka: 1 amper, 1A.

G sto#$ pr"du elektrycznego

S

Ij (21.2)

W nieobecno"ci zewn#trznego pola elektrycznego elektrony poruszaj si# chaotycz-

nie we wszystkich kierunkach. W zewn#trznym polu E uzyskuj wypadkow (sta! z

za!o$enia) pr dko#$ unoszenia vu.

Je$eli n jest koncentracj elektronów to ilo"% !adunku Q jaka przep!ywa przez przewod-

nik o d!ugo"ci l w czasie t = l/vu wynosi

Q = nSle

l

S

Tak wi#c nat#$enie pr du wynosi

u

u

nSel

nSle

t

QI v

v

(21.3)

a g#sto"% pr du

uuneS

Ij vv ! (21.4)

gdzie ! jest g#sto"ci !adunku.

UMOWA: kierunek pr du = kierunek ruchu !adunków dodatnich.

21-1


Przyk%ad 1

Pr d o nat#$eniu 1A p!ynie w drucie miedzianym o przekroju 1 mm2. Jaka jest "rednia

pr#dko"% unoszenia elektronów przewodnictwa ? Masa atomowa miedzi " = 63.8

g/mol, a g#sto"% ! = 8.9 g/cm3.

Z równania na nat#$enie pr du otrzymujemy

nSe

Iu v

Zak!adamy, $e na jeden atom przypada 1 elektron przewodnictwa (Cu+1

). Mo$emy wi#c

obliczy% koncentracj# no"ników

"! AvN

n

n = 8.4·1028

atom/m3

Wstawiaj c do równania na pr#dko"% otrzymujemy

vu = 7.4·10-5

m/s = 0.074 mm/s

Pr dy mog te$ p!yn % w gazach i cieczach. Lampy jarzeniowe s przyk!adem wyko-

rzystania przep!ywu pr du w gazach. W gazach pr d jest wynikiem ruchu nie tylko

elektronów ale i jonów dodatnich. Jednak l$ejsze elektrony s znacznie szybsze i ich

wk!ad do pr du jest dominuj cy. W zderzeniu elektronu z jonem lub atomem gazu

energia mo$e zosta% zaabsorbowana przez atom, a nast#pnie wypromieniowana w po-

staci promieniowania elektromagnetycznego w tym równie$ widzialnego.

21.2 Prawo Ohma

Je$eli do przewodnika przy!o$ymy ró$nic# potencja!ów V, to przez przewodnik p!ynie

pr d I. Na pocz tku XIX wieku Ohm zdefiniowa! opór przewodnika jako napi#cie po-

dzielone przez nat#$enie pr du

I

U

I

VR

# (21.5)

Jest to definicja oporu. Ten stosunek jest sta!y pod warunkiem, $e utrzymuje si# sta%"

temperatur .

Jednostk" oporu (SI) jest 1 (Ohm) 1$.

21.2.1 Wyprowadzenie prawa Ohma

Bez pola elektrycznego pr#dko"% ruchu chaotycznego u (nie powoduje przep!ywu

pr du). Pr#dko"% u jest zwi zana ze "redni drog swobodn % i "rednim czasem po-

mi#dzy zderzeniami #t zale$no"ci : u = %/#t.

21-2


Je$eli przy!o$ymy napi#cie to na ka$dy elektron b#dzie dzia!a!a si!a F = eE i po czasie

#t ka$dy elektron osi gnie pr#dko"% unoszenia vu = #u dan II zasad Newtona

eEt

um ##

St d

m

teEu u

# # v

Podstawiaj c #t = %/u otrzymujemy

mu

Eeu

% v (21.6)

Pr#dko"% unoszenia ma ten sam kierunek (przeciwny do E) dla wszystkich elektronów.

Przy ka$dym zderzeniu elektron traci pr#dko"% unoszenia.

&rednia droga swobodna % jest tak ma!a, $e vu jest zawsze mniejsza od u.

Obliczamy teraz nat#$enie pr du wstawiaj c wyra$enie na vu do wyra$enia (21.3) na

nat#$enie I.

mu

SEnenSeI u

%2

v

Dla elementu przewodnika o d!ugo"ci l (rysunek) obliczymy opór korzystaj c z faktu,

$e napi#cie U = El.

Z prawa Ohma

Sne

mul

I

El

I

UR

%2 (21.7)

R jest proporcjonalny do d!ugo"ci przewodnika i odwrotnie proporcjonalny do przekro-

ju. Zauwa$my, $e R pozostaje sta!y tak d!ugo jak d!ugo u jest sta!e, a u zale$y tylko od

temperatury (patrz wyk!ad 15).

Równanie (21.7) przepiszmy w postaci

S

lR ! (21.8)

Sta! ! nazywamy oporem w%a#ciwym.

Typowa zale$no"% oporu od temperatury dla przewodników metalicznych jest poka-

zana na rysunku na nast#pnej stronie.

Z dobrym przybli$eniem jest to zale$no"% liniowa ! ~ T za wyj tkiem temperatur bli-

skich zera bezwzgl#dnego. Wtedy zaczyna odgrywa% rol# tzw. opór resztkowy !0 za-

le$ny w du$ym stopniu od czysto"ci metalu. Istniej jednak metale i stopy, dla których

obserwujemy w dostatecznie niskich temperaturach ca!kowity zanik oporu. Zjawisko to

nosi nazw# nadprzewodnictwa.

21-3


!0

0T

!

Pr dy wzbudzone w stanie nadprzewodz cym utrzymuj si# w obwodzie bez zasilania

zewn#trznego. Ta mo$liwo"% utrzymania stale p!yn cego pr du rokuje du$e nadzieje na

zastosowania techniczne, które znacznie wzros!y po odkryciu w 1987 r materia!ów

przechodz cych w stan nadprzewodz cy w stosunkowo wysokich temperaturach, oko!o

100 K. Materia!y te nosz nazw# wysokotemperaturowych nadprzewodników a ich od-

krywcy Bednorz i Müller zostali wyró$nieni Nagrod Nobla.

21.3 Straty cieplne

Gdy elektron zderza si# z atomem traci nadwy$k# energii, któr uzyska! w polu

elektrycznym. Poniewa$ energia kinetyczna nie wzrasta, ca!a energia stracona przez

elektrony daje

dEcieplna = Udq

gdzie dq jest !adunkiem przep!ywaj cym(elektronów przewodnictwa).

Dziel c obie strony przez dt otrzymujemy

UIt

qU

t

E aciep d

d

d

d ln

P = UI (21.8)

przedstawia straty mocy elektrycznej.

21.3.1 Si a elektromotoryczna

Aby utrzyma% pr d potrzeba 'ród!a energii elektrycznej. Np. baterie, generatory.

Nazywamy je 'ród!ami si%y elektromotorycznej SEM. W takich 'ród!ach jeden rodzaj

energii jest zamieniany na drugi. SEM oznaczamy & i definiujemy

21-4


q

W & (21.9)

gdzie W jest energi elektryczn przekazywan !adunkowi q, gdy przechodzi on przez

'ród!o SEM.

21.4 Obwody pr du sta!ego

( czenie oporów:

'( szeregowe (ten sam pr d przez oporniki) Rz = R1 + R2 + .....

'( równoleg!e (to samo napi#cie na opornikach) 1/Rz = 1/R1 + 1/R2 + .....

21.4.1 Prawa Kirchoffa

'( Twierdzenie o obwodzie zamkni#tym: algebraiczna suma przyrostów napi $ w do-

wolnym obwodzie zamkni tym jest równa zeru. (Spadek napi#cia jest przyrostem

ujemnym napi#cia).

'( Twierdzenie o punkcie rozga!#zienia: algebraiczna suma nat !e& pr"dów przep%y-

waj"cych przez punkt rozga% zienia jest równa zeru.

Twierdzenie o obwodzie zamkni#tym jest wynikiem prawa zachowania energii, a twier-

dzenie o punkcie rozga!#zienia wynika z prawa zachowania !adunku.

Przyk%ad 2

Regulator napi#cia (rysunek).

I2

R2

&2

&1 R1

I1

I3

Opornik R1 ma napi#cie okre"lone przez &1 a pr d pobiera z &2.

W ka$dej ga!#zi obwodu trzeba z osobna przyj % kierunek pr du i jego nat#$enie.

Prawdziwy kierunek rozpoznamy po znaku obliczonego nat#$enia. Spadek napi#cia po-

jawia si# przy przej"ciu przez ka$dy opornik w kierunku zgodnym z pr dem. Przyrost

napi#cia pojawia si# przy przej"ciu przez 'ród!o od ")" do "+".

Zastosowanie I prawa Kirhoffa do "du$ej" p#tli daje

&2 – I2R2 – I3R1 = 0

21-5


a dla "ma!ej" p#tli

&1 – I3R1 = 0

Po odj#ciu stronami otrzymamy

&2 – &1 – I2R2 = 0

2

122

RI

&& )

Dla w#z!a

I1 + I2 – I3 = 0

sk d

2

2

21

1

2

12

1

1231

11

RRRRRIII

&&

&&&)**

+

,--.

/0

)) )

Zauwa$my, $e gdy dobra% warunki tak aby

2

2

21

1

11 R

RR

&&

**+

,--.

/0

to I1 = 0 i &1 nie daje $adnego pr du. Taki uk!ad ma wa$ne zastosowanie praktyczne.

Napi#cie 1& mo$e by% niskopr dowym ogniwem wzorcowym, mimo $e R1 mo$e pobie-

ra% du$y pr d (g!ównie z &2).

21.5 Pole magnetyczne

Do"wiadczalnie stwierdzamy, $e wyst#puje oddzia!ywanie:

'( magnesów naturalnych (Fe3O4)

'( oddzia!ywanie przewodników z pr dem na !adunki w ruchu (kineskop)

'( oddzia!ywanie przewodników z pr dem na siebie

'( magnesem jest sama Ziemia. Jej dzia!anie na ig!# kompasu jest znane od Staro$ytno-

"ci.

Te oddzia!ywania opisujemy wprowadzaj c poj#cie pola magnetycznego.

21.5.1 Si a magnetyczna

Pole grawitacyjne (nat#$enie) m

Fg

graw

Pole elektryczne (nat#$enie) q

FE elekt

Pole magnetyczne (indukcja) vq

FB

magn

(Si!a dzia!a na !adunki w ruchu i jest proporcjonalna do qv).

Jednostk B jest tesla; 1T = N/(Am)

21-6


Powy$szy wzór jest prawdziwy dla ruchu !adunku prostopadle do B ale si!a Fmagn

(si%a Lorentza) zale$y od kierunku v. Ta zale$no"% od kierunku jest zapisana poprzez

równanie wektorowe

BF 1 vqmagn (21.10)

gdzie kierunek definiuje si# z regu!y "ruby prawoskr#tnej (iloczyn wektorowy).

Zauwa$my, $e Fmagn jest zawsze prostopad%e do v. Zatem, zgodnie z twierdzeniem

o pracy i energii Fmagn nie mo$e zmieni% energii kinetycznej poruszaj cego si# !adunku

i !adunek kr $y po okr#gu. St d

BqR

m vv

2

qB

mR

v

jest promieniem okr#gu.

Si!a dzia!a na !adunki w ruchu wi#c dzia!a na ca!y przewodnik z pr dem.

F = evuB

BnSe

IeF

W przewodniku o d!ugo"ci l znajduje si# nSl elektronów, wi#c ca!kowita si!a

lBIBnS

IlnSF

Równanie w ogólnym przypadku ma posta%

BlF 1 I (21.11)

21.5.2 Dzia anie pola magnetycznego na obwód z pr!dem

Rozwa$ymy teraz dzia!anie pola magnetycznego na zamkni#ty obwód z pr dem.

Prostok tn ramk# o bokach a i b umieszczamy w jednorodnym polu magnetycznym

o indukcji B. Przez ramk# p!ynie pr d o nat#$eniu I, a normalna do p!aszczyzny ramki

tworzy k t 2 z polem B (rysunek).

Rozpatrujemy si!# dzia!aj c na ka$dy z boków. Si!y Fb dzia!aj ce na odcinki b zno-

sz si# wzajemnie. Si!y Fa dzia!aj ce na odcinki a te$ si# znosz ale tworz par# si! da-

j c wypadkowy moment si!y

21-7


2223 sinsinsin bFb

Fb

F aaa 0 22

lub wektorowo (na podstawie definicji iloczynu wektorowego)

bFô 1 a

Si!a Fa wynosi

IaBFa

wi#c

223 sinsin ISBIabB (21.12)

gdzie S = ab jest powierzchni ramki. Równanie (21.12) mo$emy zapisa% w postaci

wektorowej

BS" 1 I (21.13)

gdzie S jest wektorem powierzchni.

Wielko"%

Sì I (21.14)

nazywamy magnetycznym momentem dipolowym. Pole magnetyczne dzia!a wi#c na

ramk# z pr dem (dipol magnetyczny) momentem skr#caj cym obracaj"c j". Po!o$enie

równowagi ramki (dipola magnetycznego) wyst#puje dla 2 = 0 tj. gdy ramka jest usta-

wiona prostopadle do pola B. Przyk!adem dipola magnetycznego jest ig!a kompasu, któ-

ra umieszczona w polu magnetycznym obraca si# ustawiaj c zgodnie z polem.

Tak "ko!ow ramk z pr dem" jest równie$ elektron kr $ cy po orbicie w atomie.

Moment dipolowy elektronu kr $ cego po orbicie o promieniu r wynosi

21-8


)( 2rIe 4"

Nat#$enie pr du wytwarzanego przez elektron o !adunku e przebiegaj cy orbit# w cza-

sie T (okres obiegu) wynosi

r

e

T

e

t

qI

42v

gdzie v jest pr dko!ci" elektronu. St"d

Lm

erm

m

erer

r

ee

2)(

22)(

2

2 vvv

!!

"

gdzie L = mvr jest momentem p du elektronu. Elektron, kr"#"cy po orbicie jest wi c

elementarnym dipolem magnetycznym. W$asno!ci magnetyczne cia$ s" w$a!nie okre-

!lone przez zachowanie si tych elementarnych dipoli w polu magnetycznym. W$asno-

!ci te omówimy na dalszych wyk$adach.

Z momentem si$y dzia$aj"cym na dipol zwi"zana jest tzw. energia magnetyczna di-

pola Mo#na równie# pokaza%, #e ta energia wyra#a si wzorem

Em = - "B = - "Bcos#$$ (21.15)

$Zauwa#my, #e minimum energii odpowiada ustawieniu dipola w kierunku równoleg$ym

do pola magnetycznego B (# = 0).

21.5.3 Efekt Halla

Je#eli p$ytk metalu (lub pó$przewodnika) umie!cimy w polu magnetycznym, pro-

stopad$ym do kierunku przep$ywu pr"du, to na $adunki b dzie dzia$a$a si$a odchylaj"ca

powoduj"ca zakrzywienie torów $adunków w kierunku jednej ze !cianek bocznych

p$ytki. Niezale#nie czy pr"d jest zwi"zany z ruchem $adunków dodatnich czy ujemnych

mamy do czynienia z odchylaniem $adunków w kierunku jednej kraw dzi.

I y x

B

vu

vu

F

F

d

Przesuni cie $adunków powoduje powstanie poprzecznego pola elektrycznego Halla EH.

To pole przeciwdzia$a dalszemu przesuwaniu $adunków. Pole Halla jest dane wzorem

21-9

Z. K"kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki

d

UE

xy

H

W stanie równowagi odchylaj"ce pole magnetyczne jest równowa#one przez pole elek-

tryczne

qEH + q(vu % B) = 0

St"d

EH = – vu % B

Wynika st"d, #e je#eli zmierzymy EH i B to mo#emy znale&% vu.

Gdy vu i B s" prostopad$e to

EH = vuB

Poniewa#:

vu = j/ne

wi c

EH = (jB)/(ne) lub n = (jB)/(eEH)

Mo#emy wyznaczy% n.

Mo#na te# wykorzysta% ten efekt do pomiaru pola magnetycznego.

21-10


Wyk ad 22

22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna

22.1 Prawo Ampera

Chcemy teraz znale"# pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie wyst$puj -

ce rozk!ady pr dów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.

Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysuj c tzw. linie pola magnetycznego

czyli linie wektora indukcji magnetycznej. Na rysunku pokazane s linie pola magne-

tycznego wokó! prostoliniowego przewodnika z pr dem. Wektor B jest styczny do tych

linii pola w ka%dym punkcie.

Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik s zamkni tymi wspó!&rodkowymi

okr$gami w p!aszczy"nie prostopad!ej do przewodnika. To, !e linie pola B s" zamkni te

stanowi fundamentaln" ró!nic mi dzy polem magnetycznym i elektrycznym, którego

linie zaczynaj" si i ko#cz" na $adunkach.

Zwrot wektora indukcji B wokó! przewodnika wyznaczamy stosuj c nast$puj c za-

sad$: Je%li kciuk prawej r ki wskazuje kierunek pr"du I, to zgi te palce wskazuj" kieru-

nek B (linie pola B kr % wokó! pr du).

'eby obliczy# pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.

Zwi zek mi$dzy pr dem i polem B jest wyra%ony poprzez prawo Ampera.

Zamiast sumowania (ca!ki) E po zamkni$tej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy

(ca!kujemy) po zamkni$tym konturze (ca!k$ krzywoliniow ). Taka ca!ka dla pola E

równa!a si$ wypadkowemu !adunkowi wewn trz powierzchni, a w przypadku pola B

jest równa ca!kowitemu pr dowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy

! I0d "lB (22.1)

22-1


gdzie "0 = 4#·10-7

Tm/A, jest przenikalno%ci" magnetyczn" pró!ni. Tak jak w przypad-

ku prawa Gaussa wynik by! prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkni$tej tak dla

prawa Ampera wynik nie zale%y od kszta!tu konturu zamkni$tego

Przyk$ad 1

Obliczmy pole wokó! niesko(czenie d!ugiego prostoliniowego przewodnika w odleg!o-

&ci r od niego.

I

r

Z prawa Ampera wynika, %e dla konturu ko!owego

B2#r = "0I

St d

r

IB

#"2

0! (22.2)

22.2 Strumie magnetyczny

Tak jak liczyli&my strumie( dla pola E (liczb$ linii przechodz cych przez po-

wierzchni$ S) tak te% obliczamy strumie( pola B

!S

B sB d$ (22.3)

Poniewa! linie pola B s" zamkni te wi c strumie# przez zamkni t" powierzchni musi

by& równy zeru (tyle samo linii wchodzi co wychodzi).

!S

0d sB

22-2


22.3 Przyk!adowe rozk!ady pr"dów

22.3.1 Pr!t (przewodnik)

Na zewn trz pr$ta (r > R) znamy ju% pole B.

I

r

R

r

IB

#"2

0!

Pole to jest takie jakby ca!y pr d p!yn ! przez &rodek pr$ta (analogie do rozk!adu !adun-

ków).

Je%eli chcemy obliczy# pole wewn trz pr$ta to wybieramy kontur ko!owy o r < R.

Wewn trz konturu przep!ywa pr d i b$d cy tylko cz$&ci ca!kowitego pr du I

2

2

R

rIi

##

!

St d

B2#r = "0i

2

2

02R

rIrB

##

"# !

Czyli

2

0

2 R

IrB

#"

!

22.3.2 Cewka (solenoid)

Solenoidem nazywamy cewk$ sk!adaj c si$ z du%ej liczby zwojów. Linie pola ma-

gnetycznego solenoidu s pokazane schematycznie na rysunku poni%ej. Jak wida# pole

wewn trz solenoidu jest jednorodne, a na zewn trz praktycznie równe zeru.

22-3


Je%eli zwoje solenoidu stykaj si$ ze sob wówczas mo%emy rozpatrywa# solenoid jako

uk!ad po! czonych szeregowo pr dów ko!owych (rysunek).

Do obliczenia pola wytwarzanego przez solenoid zastosujemy prawo Ampera, dla kon-

turu pokazanego na rysunku poni%ej.

a b

c d

B

Ca!k$ po konturze zamknietym lB d przedstawimy jako sum$ czterech ca!ek

%%%!a

d

d

c

c

b

b

a

lBlBlBlBlB ddddd

Druga i czwarta ca!ka s równe zeru bo B & l. Trzecia ca!ka jest te% równa zero ale to

dlatego, %e B = 0 na zewn trz solenoidu. Tak wi$c niezerowa jest tylko ca!ka pierwsza

i równa

!b

a

hBlB d

gdzie h jest d!ugo&ci odcinka ab.

Teraz obliczmy pr d obejmowany przez kontur.

Je%eli cewka ma n zwojów na jednostk$ d!ugo&ci to wewn trz konturu jest nh zwojów

czyli ca!kowity pr d przez kontur wynosi:

I = I0nh

gdzie I0 jest pr dem przep!ywaj cym przez cewk$ (przez pojedynczy zwój).

22-4


Z prawa Ampera otrzymujemy wi$c:

Bh = "0I0nh

czyli

B = "0I0n (22.4)

22.3.3 Dwa przewodniki równoleg e

Dwa przewodniki równoleg!e umieszczone w odleg!o&ci d. P!yn w nich pr dy Ia i Ib

odpowiednio.

d

ia ib

F

Ba

l

a b

Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu pole

d

IB a

a #"2

0!

W tym polu znajduje si$ przewodnik b, w którym przep!ywa pr d Ib. Na odcinek l tego

przewodnika dzia!a si!a

d

IIllBIF ba

abb #"

2

0!! (22.5)

Zwrot si!y wida# na rysunku.

To rozumowanie mo%na "odwróci#" zaczynaj c od przewodnika b. Wynik jest ten sam.

Fakt oddzia!ywania przewodników równoleg!ych wykorzystano przy definicji am-

pera. Za!ó%my, %e d = 1m oraz, %e Ia = Ib = I. Je%eli dobierzemy tak pr d aby si!a przy-

ci gania przewodników, na 1 m ich d!ugo&ci, wynosi!a 2·10-7

N to mówimy, %e nat$%e-

nie pr du jest równe 1 amperowi.

22-5


22.4 Prawo Biota-Savarta

Istnieje inne równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczy# B

z rozk!adu pr du. Oczywi&cie to prawo i prawo Ampera musz by# matematycznie rów-

nowa%ne. Prawo Ampera jest jednak "!atwe" w stosowaniu tylko gdy rozk!ady pr dów

s na tyle symetryczne, %e obliczenie odpowiedniej ca!ki nie jest trudne. Gdy rozk!ad

pr dów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy pr dy na nie-

sko(czenie ma!e elementy (rysunek) i stosuj c prawo Biota-Savarta obliczamy pole od

takich elementów, a nast$pnie sumujemy je (ca!kujemy) %eby uzyska# wypadkowy

wektor B.

r

dl

I

'

dB

Warto&# liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta wynosi

2

0 sind

4d

r

lIB

'#

"!

a zapisane w postaci wektorowej

3

0 d

4d

r

I rlB

(!

#"

(22.6)

Przyk$ad 2

Obliczmy pole B na osi ko!owego przewodnika z pr dem.

dB&

dBII

d

R x

r

)

I

Z prawa B -S otrzymujemy

2

0 90sind

4d

r

lIB

o

#"

!

oraz

22-6


)cosdd BBII !

Z tych równa( otrzymujemy

2

0

4

dcosd

r

lIBII #

)"!

Ponadto 22 xRr %!

oraz

22cos

xR

R

r

R

%!!)

Podstawiaj c otrzymujemy

lxR

IRBII d

)(4d

2322

0

%!

#"

Zauwa%my, %e wielko&ci I, R, x s takie same dla wszystkich elementów pr du.

Ca!kujemy, %eby obliczy# B (wy! czaj c sta!e czynniki przed znak ca!ki)

2322

2

0

2322

0

2322

0

)(2)2(

)(4d

)(4d

xR

IRR

xR

IRl

xR

IRBB II %

!%

!%

!! "

##

"#

"

Dla x >> R dostajemy

3

2

0

2x

IRB

"!

22.5 Indukcja elektromagnetyczna

22.5.1 Prawo Faradaya

Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu pr dów elektrycz-

nych w zamkni$tym obwodzie podczas przemieszczania si$ wzgl$dem siebie "ród!a po-

la magnetycznego i tego zamkni$tego obwodu. Mówimy, %e w obwodzie jest induko-

wana si$a elektromotoryczna (SEM indukcji), która wywo!uje przep!yw pr"du indukcyj-

nego.

Prawo indukcji Faradaya stosuje si$ do trzech ró%nych sytuacji fizycznych:

*+ Nieruchoma p$tla, wzgl$dem której porusza si$ "ród!o pola magnetycznego (mamy

tzw. elektryczn SEM).

*+ Przewód w kszta!cie p$tli porusza si$ w obszarze pola magnetycznego (magnetycz-

na SEM).

*+ Nieruchoma p$tla i nieruchome "ród!o pola magnetycznego lecz zmienia si$ pr d,

który jest "ród!em pola magnetycznego (tak%e elektryczna SEM).

Na podstawie obserwacji Faraday doszed! do wniosku, %e czynnikiem decyduj cym jest

szybko%& zmian strumienia magnetycznego $B. Ilo&ciowy zwi zek przedstawia prawo

Faradaya

22-7


t

B

d

d$, -! (22.7)

Je%eli mamy obwód z!o%ony z N zwojów to

tN B

d

d$, -!

22.5.2 Regu a Lenza

Pr d indukowany ma taki kierunek, %e przeciwstawia si$ zmianie, która go wywo!a-

!a. Kierunek pr du indukowanego w p$tli (rysunek) zale%y od tego czy strumie( ro&nie

czy maleje (zbli%amy czy oddalamy magnes). Ta regu!a dotyczy pr dów indukowanych.

S N

v

I

S N

v

I

22-8


Wyk ad 23

23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego

23.1 Indukcyjno !

23.1.1 Transformator

Gdy dwie cewki s nawini"te na tym samym rdzeniu (cz"sto jedna na drugiej) to pr d zmienny w jednej wywo!uje SEM indukcji w drugiej. N1 - liczba zwojów w cewce pierwotnej, N2 - liczba zwojów w cewce wtórnej

tNU B

d

d22

!"

oraz

tNU B

d

d11

!"

Stosunek napi"#

1

2

1

2

N

N

U

U" (23.1)

Wida#, $e reguluj c ilo%# zwojów w cewkach mo$emy zamienia# ma!e napi"cia na du$e i odwrotnie. Przyk ad 1

Obliczmy straty mocy w linii przesy!owej o oporze 10 # przesy!anej z generatora 10 MW gdy napi"cie wynosi 1.5·104 oraz 105 V. P = IU

Pstrat = I2 R = (P/U)

2 R

Pstrat1 = 4.4 MW (44%) Pstrat2 = 0.1 MW (1%)

23.1.2 Indukcyjno!" w asna

Gdy nat"$enie pr du przep!ywaj cego przez cewk" zmienia si" to zmienia si" te$ strumie& przez ka$dy zwój tej cewki wi"c zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-je si" SEM. T" si!" elektromotoryczn nazywamy si ! elektromotoryczn! samoindukcji.

t

Nd

d $ !" (23.2)

Wielko%# N jest ca!kowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazw" strumie-

nia skojarzonego. Strumie& skojarzony jest proporcjonalny do pr du p!yn cego przez cewk". N = LI (23.3)

23-1


Sta!a proporcjonalno%ci L = N /I (23.4) nazywana jest indukcyjno"ci!. Zró$niczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje

t

IL

tN

d

d

d

d"

St d

t

IL

d

d!"$ (23.5)

Jednostk L jest henr. 1 H = 1 Vs/A Jako przyk!ad obliczmy indukcyjno%# cewki o d!ugo%ci l0 i N zwojach. Strumie& przez ka$dy zwój wynosi

= BS

gdzie B dla cewki wynosi B = %0nI = %0I(N/l0)

Zatem

Il

NS

00% "

Indukcyjno%# L otrzymujemy mno$ c strumie& przez N/I

0

2

0l

SNL %" (23.6)

Zauwa$my, $e L zale$y tylko od geometrii.

23.1.3 Indukcja wzajemna

Omawiaj c transformator pokazywali%my, $e dwie cewki mog oddzia!ywa# na sie-bie. Pr d zmienny w jednej wywo!ywa! SEM w drugiej. Tym razem strumie& przecho-dz cy przez cewk" 2 jest proporcjonalny do pr du p!yn cego przez cewk" 1.

N2 21 = M21I1 Sta! proporcjonalno%ci M21 nazywamy indukcj! wzajemn!. Ró$niczkuj c to równanie otrzymujemy

t

IM

tN

d

d

d

d 121

212 "

St d

23-2


t

IM

d

d 1212 !"$

Je$eli zmieniamy pr d I2 to analogicznie

t

IM

d

d 2121 !"$

Mo$na pokaza# (ale w skomplikowany sposób), $e

M12 = M21 = M Podobnie jak L tak samo M zale$y tylko od geometrii uk adu. 23.2 Obwody RC i RL, sta"e czasowe

Zaczniemy teraz zajmowa# si" pr dami zmieniaj cymi si" w czasie.

23.2.1 Obwód RC

Rozpatrzmy jaki pr d pop!ynie w obwodzie po zamkni"ciu wy! cznika do pozy-

cji (a).

$

R

C

a

b

Korzystamy z prawa Kirchoffa.

C

qIR &"$ (23.7)

W równaniu tym s dwie niewiadome I oraz q. Ale mo$emy skorzysta# ze zwi zku I = dq/dt. Otrzymujemy równanie ró$niczkowe

C

qR

t

q&"

d

d$

Szukamy rozwi zania q(t). Ma ono posta#

)1( / RCteCq !!" $ (23.8)

23-3


Mo$emy sprawdzi# czy funkcja ta jest rozwi zaniem równania ró$niczkowego poprzez jej podstawienie do tego równania. Pr d obliczamy ró$niczkuj c dq/dt

RCteRt

qI /

d

d !""$

Rysunki przedstawiaj zale$no%# q(t) oraz I(t).

q

t

C$

I

$/R

t

Je$eli teraz prze! czymy wy! cznik do pozycji (b) to b"dziemy roz!adowywa# konden-sator. Teraz w obwodzie nie ma $ i prawo Kirchoffa przyjmuje posta#

0"&C

qIR czyli 0

d

d"&

C

q

t

qR

Rozwi zanie ma posta#

RCteqq /0

!" (23.9)

gdzie q0 jest !adunkiem pocz tkowym na kondensatorze. Nat"$enie pr du przy roz!adowaniu wynosi

RCteRC

q

t

qI /0

d

d !!""

W równaniach opisuj cych !adowanie i roz!adowanie kondensatora wielko%# RC ma wymiar czasu i jest nazywana sta ! czasow! obwodu. Opisuje ona fakt, $e !adunek na kondensatorze nie osi ga od razu warto%ci ko&cowej lecz zbli$a si" do niej wyk!adni-czo. Podobnie przy roz!adowaniu.

23.2.2 Obwód RL

Analogicznie opó'nienie w narastaniu i zanikaniu pr du pojawia si" w obwodzie RL przy w! czaniu lub wy! czaniu 'ród!a SEM.

23-4


$

R

L

a

b

Gdyby nie by!o cewki pr d osi gn !by natychmiast warto%# $/R. Dzi"ki cewce w obwo-dzie pojawia si" dodatkowo SEM samoindukcji $L, która zgodnie z regu! Lenza prze-ciwdzia!a wzrostowi pr du (po w! czeniu) co oznacza, $e jej zwrot jest przeciwny do $. Z prawa Kirchoffa otrzymujemy

0d

"!!t

LIR$d I

(23.10)

oszukujemy rozwi zania tego równania ró$niczkowego w postaci I(t). P

Ma ono posta#

)1( / LRteR

I !" !$ (23.11)

prawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napi"cie na oporniku i cewce pokaza-S

ne jest na rysunkach poni$ej.

V

t

$

R

V

$

t

L

arastanie pr du w obwodzie jest opisane sta! czasow 'L = L/R. i otrzymamy

NJe$eli prze! cznik ustawimy w pozycji (b) to wy! czmy 'ród!o SEM

0d

"& IRt

Ld I

(23.12)

rozwi zaniem z

LRteR

I /!"$

(23.12)

23-5


23.3 Energia, a pole magnetyczne

awa Kirchoffa otrzymali%my Pozosta&my przy obwodzie RL. Z pr

td Mno$ c to równanie przez I dostajem

ILIR

d&"$

y

t

ILIRI

d

d2 &

"puj ca:

( lewa strona równania przedstawia szybko%# (moc = $I tj $dq/dt) z jak 'ród!o prze-

tycznym.

I "$

Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest nast)

kazuje do obwodu energi" $q. )( pierwszy wyraz po prawej stronie to szybko%# (moc) wydzielania ciep!a na oporze

R. )( drugi wyraz po prawej stronie to szybko%# z jak energia gromadzi si" w polu ma-

gneTo ostatnie mo$emy zapisa# jako

t

ILI

t

WB

d

d

d

d"

czyli

ILIdWB d"

Po sca!kowaniu otrzymujemy

2

2

1dd LIILIWBB """ ** W (23.13)

ównanie okre%la ca kowit!

rzez, któr p!ynie pr d I.

R w cewce o indukcyjno%ci L energi# magnetyczn! zawart pPorównajmy to z energi na!adowanego kondensatora

C

C 2

qW

21"

(23.14)

3.4 G#sto ! energii a pole magnetyczne

Rozpatrzmy solenoid o d!ugo%ci l i powierzchni przekroju S czyli o obj"to%ci lS.

2

Tak wi"c g"sto%# energii

23-6


lS

Ww B

B "

Poniewa$ 21

LIW "2B

wi"c LI

w21

"lS2B

Przypomnijmy, $e

l

SNL

2

0%" oraz l

NIInB 00 %% ""

co w po! czeniu daje wyra$enie

02 %

21 BwB " (23.15)

opisuj ce g#sto"$ energii zawartej w ka punkcie przestrzeni w której jest indukcja agnetyczna B.

$dym

mPrzyk ad 2

D!ugi koncentryczny kabel sk!ada si" z cylindrycznych przewodników o promieniach my energi" zawart w polu magnetycznym kabla na odcinku o d!ugo%ci l0 a i b. Oblicz

oraz jego indukcyjno%#.

-

+

a

b

r

dr

pera dla przestrzeni pomi"dzy cylindrami otrzym Stosuj c prawo Am amy

zyli

IrB 02 %+ "

c

r+2 G"sto%# energii w punktach pomi" i

IB

%0"

dzy przewodam

23-7


22

20 I

wB

%",-""

Rozpatrzmy teraz cienk i. Obj"to%# tej warstewki

ynosi:

dla odcinka kabla o d!ugo%ci l0. nergia w tej obj"to%ci wynosi wi"c

2

02 11 IB % ./

00 8222 rr ++%% 01

(dr) warstewk" pomi"dzy cylindramw

dV = 2+rdrl0

E

rr 48+

c) po ca!ej obj"to%ci obliczamy ca!kowit energi"

rlIrlr

IVwW B

dd2dd 0

20

022

20

+%

+%

"""

Sumuj c (ca!kuj W

ara

44 ++

y z zale$no%ci

blIrlIb d 0

200

20 %%

WW lnd ** """

Indukcyjno%# znajdziem

21LIU "

2 czyli

2

2

I

UL "

a

blL ln

200

+%

"

L zale$y tylko od czynników geometrycznych.

23-8


Wyk ad 24

24. Drgania elektromagnetyczne

24.1 Wst p

Przypomnienie: masa M na spr"#ynie, bez oporów. Równanie ruchu

kxt

xM !

2

2

d

d

Rozwi zania

x = Acos"t

v = dx/dt = A"sin"t

a = d2

x/dt2 = – A"2

cos"t

przy warunku " = (k/M)1/2

.

24.2 Obwód LC

Rozpatrzmy obwód z!o#ony z szeregowo po! czonych indukcyjno$ci L i pojemno$ci

C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Za!ó#my, #e w chwili pocz tkowej na

kondensatorze C jest nagromadzony !adunek qm, a pr d przez cewk" jest równy zeru.

Energia zawarta w kondensatorze

WC = qm2/(2C) (24.1)

jest maksymalna, a energia w cewce

WL = LI2/2 (24.2)

jest równa zeru.

Po zamkni"ciu obwodu, kondensator roz!adowuje si" przez cewk". W obwodzie p!ynie

pr d I = dq/dt. W miar" jak maleje !adunek na kondensatorze maleje te# energia zawarta

w polu elektrycznym kondensatora, a ro$nie energia pola magnetycznego, które pojawia

si" w cewce w miar" narastania w niej pr du.

Wreszcie gdy !adunek spadnie do zera ca!a energia jest przekazana do pola

magnetycznego cewki. Pr d w cewce indukcyjnej ma maksymaln warto$%. Ten pr d

!aduje kondensator (przeciwnie) wi"c energia jest ponownie przekazywana do

kondensatora. Stan ko&cowy jest taki jak pocz tkowy tylko kondensator jest

na!adowany odwrotnie. Sytuacja powtarza si". Mamy wi"c do czynienia z oscylacjami

!adunku (pr du).

24-1


Opis ilo!ciowy

Z prawa Kirchoffa

UL + UC = 0

0d

d!#

C

q

t

IL (24.3)

Poniewa# I = dq/dt wi"c

C

q

t

qL !

2

2

d

d (24.4)

To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla spr"#yny, przy czym

nast"puj ce wielko$ci s analogiczne

q $ x, L $ M, 1/C $ k

Tak wi"c mo#emy napisa% rozwi zanie tego równania

q = qmcos"t

I = dq/dt = qm"sin"t = Imsin"t

" = (1/LC)1/2

(24.5)

gdzie Im = qm"

UL = - LdI/dt = – LIm"cos"t

UC = q/c = (qm/C)cos"t

Poniewa#

LIm" = Lqm"2 = Lqm(1/LC) = qm/C

wida%, #e amplitudy napi"% s takie same.

24.3 Obwód szeregowy RLC

Dotychczas rozwa#ali$my obwód zwieraj cy indukcyjno$% L oraz pojemno$% C.

Tymczasem ka#dy obwód ma pewien opór R, przyk!adowo jest to opór drutu z którego

nawini"to cewk". Obecno$% oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci

wydzielaj cego si" ciep!a. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania

t umione analogiczne do drga& t!umionych spr"#yny opisanych w wyk!adzie 12, przy

czym wspó!czynnik t!umienia 1/2% jest równy R/2L.

Drgania w obwodzie RLC mo#na podtrzyma% je#eli obwód b"dziemy zasila%

napi"ciem sinusoidalnie zmiennym

tUtU "sin)( 0!

24-2


Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawieraj cego elementy R, L, C oraz 'ród!o SEM ma

posta%

tUC

qRI

t

IL "sin

d

d0!## (24.6)

ró#niczkuj c po dt

tUC

I

t

IR

t

IL "" cos

d

d

d

d02

2

!## (24.7)

albo

tL

U

LC

I

t

I

L

R

t

I"

"cos

d

d

d

d 0

2

2

!## (24.8)

To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L $

1/%, 1/LC $ "02 oraz "U0/L $ &0.

Rozwi zanie ma wi"c analogiczn posta% . )sin(0 '" ! tII

Amplituda wynosi wi"c

2

2

00

1()

*+,

- #

!

CLR

VI

""

(24.9)

a mi"dzy napi"ciem i nat"#eniem pr du istnieje ró#nica faz, dana równaniem

R

CL

""

'

1

!tg (24.10)

Wyra#enie (24.9) ma posta% prawa Ohma przy czym sta!a proporcjonalno$ci pomi"dzy

U0 i I0

2

2 1()

*+,

- #!C

LRZ"

" (24.11)

pe!ni analogiczn rol" jak opór R w prawie Ohma. Wielko$% Z nazywamy impedancj!

(zawad!) obwodu.

Gdy zmienne sinusoidalne napi"cie przy!o#ymy do kondensatora to C

q!U

St d

C

I

t

U!

d

d

24-3


co dla U=U0sin"t daje

C

ItU !"" cos0

St d

)90sin(cos 00

#!! tCUtCUI """"

Wida%, #e pr!d wyprzedza napi"cie na kondensatorze o 90.. Maksymalny pr d I0 = U0/("C) a sta!a proporcjonalno$ci 1/"C pe!ni ca rol"

analogiczn do oporu w obwodzie pr du sta!ego nazywamy reaktancj! pojemno#ciow!.

XC = 1/"C (24.12)

Je#eli generator pr du zmiennego pod! czymy do cewki indukcyjnej to analogicznie

mo#na pokaza%, #e

)90sin(cos 00 ! ! tL

Ut

L

UI "

""

"

Pr d pozostaje za napi"ciem o 90., a reaktancja indukcyjna ma warto$%

XL = "L (24.12)

Zauwa#my, #e w obwodzie RLC, pomimo po! czenia szeregowego oporów omowego,

pojemno$ciowego i indukcyjnego ich opór zast"pczy (zawada) nie jest prost sum tych

oporów. Wynika to w!a$nie z przesuni"$ fazowych.

Trzeba je uwzgl"dni% przy dodawaniu napi"%.

U = UR + UC + UL

czyli

U = I0Rsin"t - XCI0cos"t + XLI0cos"t

(na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I)

St d

tXXtRI

UCL "" cos)(sin

0

0 #!

Mamy teraz doda% sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku.

Mo#emy przy tym skorzysta% z wyra#enia (24.10) wed!ug, którego tg' = (XL - XC)/R

.Relacja ta jest pokazana na rysunku poni#ej

Zauwa#my, ze przeciwprostok tna trójk ta na rysunku jest równa zawadzie

Z = (R2 + (XL - XC)

2)

1/2.

24-4


R

(XL - XC)

Z

'

24.3.1 Rezonans

Drgania !adunku, pr du i napi"cia w obwodzie odbywaj si" z cz"sto$ci zasilania

". Amplituda tych drga& zale#y od " i osi ga maksimum dla pewnej charakterystycznej

warto$ci tej cz"sto$ci. Przypomnijmy, #e zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla

ma!ego oporu R czyli dla ma!ego t!umienia warunek rezonansu jest spe!niony gdy

LC

10 !!"" (24.13)

Nat"#enie pr du osi ga wtedy warto$% maksymaln równ

R

UI 0

0 ! (24.14)

Widzimy, #e nat"#enie pr du w obwodzie jest takie, jak gdyby nie by!o w nim ani

pojemno$ci ani indukcyjno$ci, a zawada wynosi!a R.

Przyk ad

Drgania wymuszone w obwodzie mo#na tak#e wywo!a% bez w! czania bezpo$redniego

'ród!a SEM w postaci generatora. Przyk!adem mo#e by% uk!ad RLC w obwodzie

wej$ciowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poni#ej. Uk!ad ten jest

zasilany sygna!em z anteny.

W uk!adzie dostrojenie do cz"stotliwo$ci danej radiostacji jest osi gane przez dobranie

pojemno$ci. W ten sposób jest spe!niony warunek rezonansu dla tej cz"stotliwo$ci.

24-5


Przyjmijmy, #e w pokazanym uk!adzie R = 10 /, a L = 1 0H. Sprawd'my, jaka

powinna by% pojemno$% C aby uzyska% dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji

"Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na cz"stotliwo$ci 101 MHz? Korzystaj c z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF.

W warunkach rezonansu napi"cie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe

C

L

R

U

CR

UXIU CrezC

0

0

00,

1!!!

"

Je#eli sygna! wej$ciowy z anteny ma amplitud" 100 0V to napi"cie na kondensatorze przy cz"stotliwo$ci rezonansowej ma warto$% 6.35 mV. Dla porównania napi"cie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie ale o cz"stotliwo$ci 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.

24.3.2 Moc w obwodzie pr"du zmiennego

W obwodzie pr du przemiennego moc dana analogicznym wyra#eniem jak dla pr du sta!ego )()()( tItUtP ! (24.15)

ale warto$% jej zmienia si" bo zmienne jest napi"cie i nat"#enie pr du. Dlatego te# w przypadku pr du zmiennego pos!ugujemy si" warto#ciami #rednimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi

)sin(sin)()()( 00 '"" !! ttIUtItUtP

Korzystaj c ze wzoru na sinus ró#nicy k tów otrzymujemy

)sin2sin2

1cos(sin)sincoscos(sinsin)( 2

0000 '"'"'"'"" ttIUtttIUtP ! !

gdzie skorzystali$my z relacji 22 ttt """ sincos !sin . Moc $rednia jest wi"c dana

wyra#eniem

)sin2sin2

1cossin( 2

00 '"'" ttIUP !

Poniewa# to 122 !# tt "" cossin 2122 !! tt "" cossin (wykresy sinus i cosinus s

takie same, jedynie przesuni"te o 1/2). Ponadto 0!2 t"sin bo funkcja sinus jest na

przemian dodatnia i ujemna. Uwzgl"dniaj c, ponadto #e U0 = ZI0 oraz, #e (zgodnie z rysunkiem na stronie 24-4) ZR!'cos otrzymujemy wyra#enie na moc $redni

22

)(cos

2

200000 RI

Z

RIZIIUP !!! ' (24.16)

24-6


Jak widzimy, $rednia moc zale#y od przesuni"cia faz. Przypomnijmy, #e dla pr du sta!ego P = I

2R. Z porównania tych dwóch wyra#e& dochodzimy do wniosku, #e moc

$rednia wydzielana przy przep!ywie pr du zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama jak pr du sta!ego o nat"#eniu

20I

I sk ! (24.17)

T" wielko$% nazywamy warto#ci! skuteczn! pr!du zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczn! warto#ci! napi"cia pr!du zmiennego

2

20U

U sk ! (24.18)2

Mierniki pr du zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytuj w!a$nie warto$ci skuteczne. Warto$% napi"cia 220 V w naszej sieci domowej to warto$% skuteczna. Obliczyli$my moc $redni wydzielan w ca!ym obwodzie. Porównajmy j teraz ze $redni moc tracon na oporze R

2

2022

02 RI

RtIRtIPR !!! "sin)(

Widzimy, #e ca a moc wydziela si" na oporze R, a to oznacza, #e na kondensatorze i

cewce nie ma strat mocy. Zwró%my uwag", #e ten wniosek pozostaje w zgodno$ci z naszymi wcze$niejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje si" tylko pojemno$% lub indukcyjno$% (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe 1/2, a poniewa# cos(1/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) $rednia moc jest równa zeru. Jednocze$nie zauwa#my, #e moc chwilowa zmienia si" z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do uk!adu).2

Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowi!y odr"bne cz"$ci nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które maj z!o#one w!asno$ci. Przyk!adem mo#e tu by% cewka, która oprócz indukcyjno$ci L ma zawsze opór R oraz pojemno$% mi"dzyzwojow C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach roz o%onych.

24-7


Wyk ad 25

25. Równania Maxwella

25.1 Podstawowe równania elektromagnetyzmu

Poszukiwali"my zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równa# pozwala-

j cego na pe!ne opisanie przedmiotu zainteresowa#.

W mechanice - trzy zasady dynamiki

W termodynamice - trzy zasady termodynamiki

Teraz chcemy zrobi$ to samo dla elektromagnetyzmu.

Zacznijmy od poznanych ju% równa#.

Nazwa Równanie

1

2

3

4

prawo Gaussa dla elektryczno"ci

prawo Gaussa dla magnetyzmu

prawo indukcji Faradaya

prawo Ampera

! 0/d "qSE

! 0dSB

#!!t

B

d

dd

$" lE

! I0d %lB

Te równania jak si& oka%e s niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jed-

nego dodatkowego wyrazu do równania 4.

Pozwala on w szczególno"ci na udowodnienie, %e pr&dko"$ "wiat!a w pró%ni c, jest

zwi zana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielko"ciami.

Prze"led'my powy%sz tabel& z punktu widzenia symetrii.

Zwró$my uwag&, %e w tych rozwa%aniach sta!e %0 i "0 nie s istotne bo mo%emy wybra$

uk!ad jednostek, w którym b&d te sta!e równe 1. Wtedy zauwa%amy pe!n symetri& le-

wych stron równa#. Prawe strony NIE s symetryczne.

Przyczyn& niesymetrii dla równa# 1 i 2 znamy. Wiemy, %e istniej izolowane centra

!adunku (np. elektron, proton) ale nie istniej izolowane centra magnetyczne (pojedyn-

cze bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia si& q, a w 2 zero.

Z tego powodu mamy w równaniu 4 pr d I = dq/dt, a nie mamy pr du monopoli (!adun-

m – d$B/dt w równaniu 3. Sens tego prawa

wrotna:

ków magnetycznych) w równaniu 3.

Drugi rodzaj asymetrii wi %e si& z wyraze

jest nast&puj cy: zmieniaj ce si" pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.

Korzystaj c z zasad symetrii mo%na przypuszcza$, %e obowi zuje zale%no"$ od

zmieniaj c pole elektryczne (d$E/dt) wytwarzamy pole magnetyczne )d( lB .

25.2 Indukowane pole magnetyczne

Oczywi"cie do"wiadczenie daje przyk!ady: w kondensatorze (cylindrycznym) pole

elektryczne wzrasta (kondensator !aduje si&) z pr&dko"ci dE/dt co oznacza, %e do ok!a-

dek dop!ywa !adunek.

25-1


Do"wiadczenie pokazuje, %e powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmienia-

j ce si" pole elektryczne.

x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x

i i

E

E

R

r

B

B B

B

Trzeba to uwzgl&dni$ w naszych równaniach. Jeszcze raz rozpatrzmy cylindryczny kon-

densator i obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie P (rysunek poni%ej).

S

S'

E

i

i

r

P

Wybieramy kontur obejmuj cy p!ask powierzchni& S, która zawiera pr d I oraz prze-

chodzi przez punkt P (w odleg!o"ci r) ( ). Z prawa Ampera otrzymujemy !S

ISjd

!Skontur

I0d %lB

St d

B2&r=%0I

Czyli

r

IB

&%2

0!

Prawo Ampera obowi zuje dla dowolnego konturu. Wybieramy wi&c kontur ko!owy na

którym rozpi&ta jest zakrzywiona powierzchnia S'. (aden pr d nie przechodzi przez t&

powierzchni& wi&c tym razem kontur nie obejmuje pr du i mamy ! 0dlB co jest

sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieci g!o"ci pr du, który nie p!ynie

pomi&dzy ok!adkami kondensatora. (eby usun $ t& niespójno"$ Maxwell zaproponowa!

dodanie nowego cz!onu do prawa Ampera.

Przez analogi& do prawa indukcji Faradaya mo%emy napisa$

25-2


!t

E

d

dd 00

$"%lB (25.1)

Tak wi&c prawo Ampera po modyfikacji ma posta$

'! It

E000

d

dd %

$"%lB (25.2)

Tak wi&c pole magnetyczne jest wytwarzane przez przep!yw pr du ale te# przez zmie-

niaj ce si" pole elektryczne.

Sprawd'my czy stosuj c t& modyfikacj& uzyskamy teraz poprawny wynik na pole B w

punkcie P (przyk!ad powy%ej). W cz&"ci powierzchni krzywoliniowej S' pomi&dzy

ok!adkami kondensatora z prawa Gaussa wynika, %e

$E = ESC = q/"0

gdzie SC jest powierzchni ok!adek kondensatora. Ró%niczkuj c po dt mamy

00 d

d1

d

d

""$ I

t

q

t

E !!

Przypomnijmy, %e

! I0d %lB

Podstawiaj c za I otrzymujemy

!t

E

d

dd 00

$"%lB

czyli dodany wyraz do prawa Ampera.

25.3 Pr d przesuni!cia

Z poprzedniego równania wida$, %e wyraz "0d$E/dt ma wymiar pr du. Mimo, %e

nie mamy tu do czynienia z ruchem !adunków, to wyraz ten nazywamy pr dem przesu-

ni"cia. Mówimy, %e pole B mo%e by$ wytworzone przez pr d przewodzenia I lub przez

pr d przesuni&cia IP.

'! )(d 0 II P%lB (25.3)

Koncepcja pr du przesuni&cia pozwala na zachowanie ci g!o$ci pr du w przestrzeni

gdzie nie jest przenoszony !adunek (np. mi&dzy ok!adkami kondensatora).

Przyk!ad 1

Obliczy$ indukowane pole magnetyczne w !adowanym kondensatorze cylindrycznym

w odleg!o"ci r od osi (rysunek na stronie 2).

Z równania

25-3


!t

E

d

dd 00

$"%lB

otrzymujemy

t

Er

t

rErB

d

d

d

)(d2 2

00

2

00 &"%&

"%& !!

St d

Rrt

ErB (! dla,

d

d

2

100"%

dla r = R = 5cm oraz dE/dt = 1012

V/ms otrzymujemy B = 0.0028 Gs czyli o dwa rz&dy

mniej ni% pole ziemskie.

Natomiast pr d przesuni&cia

t

ER

tI E

Pd

d

d

d 2

00 &"$

" !!

ma ca!kiem spor warto"$ IP = 70 mA. Powodem, %e B jest tak ma!e jest to, %e ten pr d

(umowny) jest roz!o%ony na bardzo du%ej powierzchni ok!adki kondensatora podczas

gdy pr d przewodzenia jest "skupiony" w przewodniku.

25.4 Równania Maxwella

Prawo Równanie Czego dotyczy Do"wiadczenie

1 Gaussa dla

elektryczno"ci ! 0/d "qSE !adunek i pole

elektryczne

Przyci ganie, odpychanie

!adunków (1/r2).

)adunki gromadz si& na

powierzchni metalu

2 Gaussa dla

magnetyzmu ! 0dSB pole magnetyczne nie stwierdzono istnienia

monopola magnetycznego

3 indukcji Fara-

daya #!t

B

d

dd

$lE

efekt elektryczny

zmieniaj cego si&

pola magnetycz-

nego

indukowanie SEM w obwo-

dzie przez przesuwany ma-

gnes

4 Ampera (roz-

szerzone przez

Maxwella)

!t

E

d

dd 00

$"%lB

I0%'

00

1

%"!c

efekt m

ny zmieniaj ce

si& pola elek-

tryczn

agnetycz-

go

ego

ytwa-

yczne

t!a mo%na wy-

pr d w przewodniku w

rza wokó! pole magnet

pr&dko"$ "wia

liczy$ z pomiarów EM

25-4


Wyk ad 26

26. Fale elektromagnetyczne

Maxwell nie tylko wyja"ni! zjawiska elektryczne za pomoc czterech równa#, ale

wyci gn ! z nich wnioski, których nie kojarzono przed nim z elektryczno"ci . W 1864 r

pokaza!, $e przyspieszony !adunek musi promieniowa% pole elektryczne i magnetyczne,

a nast&pnie, $e pola te s do siebie prostopad!e i tworz k t prosty z kierunkiem rozcho-

dzenia si& fali. Pr&dko"% fal elektromagnetycznych w pró$ni

00

1

!"c (26.1)

Znany nam obecnie zakres widma fal elektromagnetycznych przedstawia rysunek poni-

$ej.

10

1 10

2 10

3 10

4 10

5 10

6 10

7 10

8 10

9 10

10

10

11

10

12

10

13

10

14

10

15

10

16

10

17

10

18

10

19

fale d!ugie

pasmo TV

mikrofale

podczerwie#

ultrafiolet

prom. #

fale "rednie

"wiat!o

widzialne

prom. X

(Omówienie 'róde! promieniowania).

26.1 Równanie falowe

Przypominamy równanie falowe dla struny

2

2

22

2 1

t

y

ux

y

$$

$$

"

Przez analogi& równanie falowe dla fali EM (bez wyprowadzenia)

2

2

22

21

t

B

cx

B zz

$

$

$

$" (26.2)

26-1


26.2 Linie transmisyjne

Dotyczy problemu przenoszenia fal EM pomi&dzy dwoma punktami.

26.2.1 Kabel koncentryczny

Je$eli prze! cznik S (rysunek poni$ej) jest po! czony z punktem b to przewodni-

ki s na tym samym potencjale.

a b

s

Je$eli prze! czymy go do pozycji a to mi&dzy przewodnikami pojawi si& ró$nica poten-

cja!ów U. Ta ró$nica nie wyst pi w ca!ym kablu ale b&dzie si& przenosi% wzd!u$ kabla

ze sko#czon pr&dko"ci , która dla linii doskonale przewodz cej jest równa pr&dko"ci

"wiat!a c. Na rysunku (a) przedstawiono zale$no"% czasow napi&cia mi&dzy kablami w

punkcie odleg!ym o l od 'ród!a. Impuls w kablu w dowolnej chwili t jest pokazany na

rysunku (b).

a)

U

t

x = l

t = l/c

b)

U

x

x = ct

Na rysunku (c) pokazany jest kszta!t fali otrzymanej przy periodycznym przerzucaniu

prze! cznika mi&dzy punktami a i b, a na rysunku (d) kszta!t fali po zast pieniu prze-

! cznika oscylatorem sinusoidalnym.

c)

U

x

d)

U

t

Oczywi"cie takie zmiany rejestruje si& dopiero dla odpowiednich cz&sto"ci. Dla cz&sto-

"ci np. 50 Hz, % = c/v = 6·106 m = 6000 km oczywi"cie nie wida% w liniach transmisyj-

26-2


nych sygna!ów przypominaj cych fale. Ale ju$ dla cz&sto"ci mikrofalowych rz&du 10

GHz % = 3 cm.

26.2.2 Pola i pr!dy w kablu koncentrycznym

Na rysunku ( poni$ej) pokazany jest rozk!ad pola elektrycznego i magnetycznego w ka-

blu koncentrycznym.

c

c

E BE

B

%

pr dprzewodzenia

pr dprzesuni!cia

Pole elektryczne jest radialne, a pole magnetyczne tworzy wspó!osiowe ko!a wokó! wewn&trznego przewodnika.

Linia transmisyjna ma zerowy opór tzn. pole E nie ma sk!adowej stycznej w dowolnym

punkcie powierzchni przewodz cej. To s tzw. warunki brzegowe.

Mamy tu do czynienia z fal bie$ c . Rysunek to tylko jedna z mo$liwych konfiguracji

pól (fali EM) bo & mo$e si& zmienia% w sposób ci g!y. Na rysunku dolnym pokazane s

pr dy (przewodzenia i przesuni&cia). Tworz zamkni&te p&tle - ci g!o"% pr du.

26.2.3 Falowód

Istnieje mo$liwo"% przesy!ania fal EM przez pust rur& metalow (bez przewodnika

wewn&trznego). (ciany tej rury (falowodu) maj oporno"% zerow . Jej przekrój jest pro-

stok tem. Je$eli do ko#ca falowodu przy!o$ymy generator mikrofalowy (klistron) to

przez falowód przechodzi fala o rozk!adzie pól E, B pokazanym na rysunku poni$ej.

Falowód z liniami pola E widzianymi z boku (rys. a), liniami B widzianymi z góry (rys.

b), i liniami E widzianymi z przodu (rys c). Dla polepszenia czytelno"ci na rysunku (a)

pomini&to linie B, a na rysunku (b) linie E.

26-3


EVf

Vf

B

E

a)

b)

c)

%

Pole E nie ma sk!adowej stycznej w $adnym punkcie wewn&trznej powierzchni falowo-

du. Typ transmisji czyli rozk!ad pól (typ fali) w falowodzie zale$y od jego rozmiarów.

Ten podstawowy, dla prostok tnego falowodu, rozk!ad pól b&dzie przesy!any pod wa-

runkiem, $e cz&sto"% & b&dzie wi&ksza od tzw. cz&sto"ci odci&cia (granicznej) &0. )eby

wyeliminowa% inne rozk!ady (nak!adanie si& ich) wybieramy & wi&ksze od &0 dla typu

podstawowego, a mniejsze od cz&stotliwo"ci odci&cia dla innych typów. Wtedy pod-

stawowy typ transmisji jest jedynym. Zwró%my uwag&, $e rozk!ad nie musi by% sinuso-

idalnie zmienny.

26.3 Wn ki rezonansowe

Omawiali"my fale EM bie$ ce w liniach transmisyjnych. Mo$liwe jest, podobnie

jak dla fal akustycznych, wytworzenie fal EM stoj cych. Taka fala czyli zespó! doscylu-

j cych pól B i E mo$e powsta% np. w zamkni&tym cylindrze wykonanym z dobrego

przewodnika (rysunek poni$ej). Doprowadzenie fali (z generatora), czyli sprz&$enie z

lini transmisyjn mo$e by% zrealizowane przez ma!y otwór lub anten& (ma!y pr&t). Po-

dobnie jak dla rezonatora akustycznego (piszcza!ka organowa, struna) mo$liwe jest

wiele rodzajów drga# z ró$nymi cz&stotliwo"ciami.

E

B

h

ar

r

Formalne potraktowanie drga# we wn&ce powinno wyj"% od równa# Maxwella i ko#-

czy% na wzorach opisuj cych rozk!ady pól we wn&ce w zale$no"ci od czasu i miejsca

26-4


we wn&ce. My ograniczymy si& do drga# podstawowych i poka$emy, $e s one zgodne

z równaniami Maxwella.

Przerywany okr g przedstawia drog& ca!kowania przy obliczaniu pola B z prawa Ampe-

ra, a przerywany prostok t drog& ca!kowania przy wyliczaniu E z prawa Faradaya.

Na rysunku wida% pole E oraz B. W tej sytuacji za!ó$my, $e pole B maleje, a pole E

ro"nie. Zastosujmy, do prostok ta na rysunku, prawo Faradaya.

' ("t

B

d

dd

)lE

E równa si& zeru dla górnej drogi ca!kowania (w "cianie wn&ki) oraz dla dróg bocznych

bo tam E jest prostopad!e do dl. Tak wi&c

' " EhlEd

* cz c równania otrzymujemy:

thE B

d

d1 )("

E jest wi&c maksymalne gdy strumie# magnetyczny zmienia si& najszybciej. W przy-

padku zmian sinusoidalnych odpowiada to przej"ciu przez zero (zmianie znaku) B.

Wi&c E ma warto"% maksymaln gdy B ma warto"% zero w ca!ej wn&ce.

Teraz zastosujemy prawo Ampera dla linii pola B widocznych na przekroju (a) wn&ki

rezonansowej (dla konturu o promieniu r).

' *" It

E000

d

dd !

) !lB

Poniewa$ $aden !adunek nie przep!ywa przez kontur wi&c pr d przewodzenia I = 0. Ca!-ka po lewej stronie równania wynosi B2+r wi&c

trB E

d

d

2

00 )+ !

"

Pole B zale$y od szybko"ci zmian strumienia pola E. Tak jak poprzednio dla sinuso-

idalnych zmian E maksimum B otrzymamy gdy E zmienia znak.

Wida%, $e pola E i B podtrzymuj si& wzajemnie. Raz wzbudzone drgania trwaj przy

nieobecno"ci strat.

26.4 Promieniowanie

Elektromagnetyczna linia transmisyjna mo$e by% zako#czona na ró$ne sposoby np.

wn&k rezonansow . Mo$e te$ by% zako#czona w sposób umo$liwiaj cy wypromienio-

wanie energii elektromagnetycznej do otaczaj cej przestrzeni. Przyk!adem takiego za-

ko#czenia jest elektryczna antena dipolowa pokazana na rysunku poni$ej.

26-5


Ró$nica potencja!ów pomi&dzy mi&dzy drutami zmienia si& sinusoidalnie i efekt jest

taki jak w przypadku dipola elektrycznego o momencie dipolowym p zmieniaj cym si&

co do wielko"ci jak i kierunku. Na rysunku poni$ej pokazane jest pole E i B wytwarza-

ne przez taki dipol czyli te$ przez taka anten&. Fale rozchodz si& z pr&dko"ci c (w

pró$ni). Przedstawione s pola w du$ej odleg!o"ci od dipola.

P+

-

Fala elektromagnetyczna emitowana przez drgaj cy dipol elektryczny przechodz c

przez odleg!y punkt P jest fal p!ask . Przypomnijmy, $e pr&dko"% fali jest dana przez

znany wzór c = %v, lub inaczej c = & / k, gdzie & = 2+v oraz k = 2+/%.

26.5 Wektor Poyntinga

Jedn z wa$nych w!a"ciwo"ci fali elektromagnetycznej jest zdolno"% do przenosze-

nia energii od punktu do punktu. Szybko"% przep!ywu energii przez jednostkow po-

wierzchni& p!askiej fali elektromagnetycznej mo$na opisa% wektorem S zwanym wekto-

rem Poyntinga. Wektor S definiujemy za pomoc iloczynu wektorowego

BES ,"0

1

! (26.3)

W uk!adzie SI jest on wyra$ony w W/m2, kierunek S pokazuje kierunek przenoszenia

energii. Wektory E i B s chwilowymi warto"ciami pola elektromagnetycznego w roz-

patrywanym punkcie.

26-6


Wyk ad 27

27. Optyka geometryczna i falowa

27.1 Wst p

27.1.1 Odbicie i za amanie

Przypomnienie kilku podstawowych wiadomo"ci:

! wspó!czynnik za!amania; bezwzgl#dny i wzgl#dny

n = c/v, n2,1 = v1/v2 (27.1)

! prawo odbicia i za!amania: promie$ odbity i za!amany le% w jednej p!aszczy&nie

utworzonej przez promie$ padaj cy i prostopad! do powierzchni odbijaj cej w punkcie

padania (normalna padania) tzn. w p!aszczy&nie rysunku poni%ej.

normalna

Promie$ odbity

Promie$ za !amany

Promie$ padaj cy

"

1

"

1

’

"

2

Czo!o fali p!askiej

! dla odbicia "1 = "1’

! dla za!amania 1,2

2

1

sin

sinn#

"

"

Prawa te mo%na wyprowadzi' z równa$ Maxwella, ale jest to matematycznie zbyt trud-

ne. Jednak te prawa optyki mo%na wyprowadzi' w oparciu o prost (ale wa%n ) zasad#

odkryt w 1650 r przez Pierre Fermata.

27.1.2 Zasada Fermata

Zasad# t# formu!ujemy w nast#puj cy sposób:

Promie !wietlny biegn"cy z jednego punktu do drugiego przebywa drog#, na której

przebycie trzeba zu$y% w porównaniu z innymi, s"siednimi drogami, minimum albo

maksimum czasu.

Np. najkrótszy czas mi#dzy dwoma punktami w pró%ni - linia prosta.

27-1


Z tej zasady mo%na wyprowadzi' prawa odbicia i za!amania.

Na rysunku s przedstawione dwa punkty A i B oraz ! cz cy je promie$ APB.

A

B

d-x x

P

d

a b "1’

"1’ "1

"1

Ca!kowita d!ugo"' drogi promienia wynosi

2222 )( xdbxal $%%%#

gdzie x jest zmienn zale%n od po!o%enia punktu P (punkt odbicia promienia).

Zgodnie z zasad Fermata punkt P (zmienn x) wybieramy tak, %eby czas przebycia

drogi APB by! minimalny (lub maksymalny, lub niezmieniony). Matematycznie ozna-

cza to warunek

0d

d#

x

l

czyli

0)1)((2])([2

12)(

2

1

d

d 2/1222/122#$$$%%%#

$$ xdxdbxxax

l

lub przekszta!caj c

2222 )( xdb

xd

xa

x

$%

$#

%

Porównuj c z rysunkiem widzimy, %e jest to równowa%ne zapisowi

sin" = sin"’

czyli

" = "’

co jest prawem odbicia.

Podobnie post#pujemy w celu wyprowadzenia prawa za!amania. Rozpatrzmy sytuacj#

przedstawion na rysunku poni%ej.

27-2


A

B

P

d

v2

v1

n2

n1 x d-x

l1

l2

"1 "1

"2 "2

a

b

Czas t, przelotu "wiat!a, z A do B dany jest wzorem

2

2

1

1

vv

llt %#

Uwzgl#dniaj c n = c/v mo%emy przepisa' to równanie w postaci

c

l

c

lnlnt #

%#

2211

Wielko"' l = n1l1 + n2l2 nazywamy drog" optyczn" promienia (nie myli' z drog geo-

metryczn równ l1 + l2). Ponownie dobieramy x (punkt P), aby droga l by!a minimalna

czyli, aby dl/dx = 0. Poniewa% droga optyczna wynosi

22

2

22

12211 )( xdbnxanlnlnl $%%%#%#

otrzymujemy

0)1)((2])([2

12)(

2

1

d

d 2/122

2

2/122

1 #$$$%%%#$$ xdxdbnxxan

x

l

lub po przekszta!ceniu

222221

)( xdb

xdn

xa

xn

$%

$#

%

Porównuj c to z rysunkiem otrzymujemy

n1sin"1 = n2sin"2

co jest prawem za!amania.

W omawianych obu przypadkach czas (i droga) by! minimalny.

27-3


27.2 Warunki stosowalno!ci optyki geometrycznej

Omawiaj c odbicie i za!amanie fal (p!askich) pos!ugiwali"my si# poj#ciem promie-

nia. Ta wygodna konstrukcja my"lowa przydatna do opisu tych zjawisk nie jest pomoc-

na przy opisie ugi#cia !wiat&a (fal) gdy% niemo%liwe jest wydzielenie pojedynczego

promienia z padaj cej fali p!askiej. (eby to sprawdzi' prze"led&my zachowanie fali p!a-

skiej padaj cej na szczeliny o ró%nej szeroko"ci. To zachowanie jest przedstawione

schematycznie na rysunku poni%ej dla szczelin o szeroko"ci a = 5&, a = 3& oraz a = &.

a=5&

a=3&

a=&

Widzimy, %e ugi#cie staje si# coraz bardziej wyra&ne gdy a/& ' 0.

To ugi#cie jest charakterystyczne dla wszystkich rodzajów fal. Dzi#ki temu mo%emy np.

s!ysze' fale g!osowe znajduj c si# za za!omem muru.

Ugi#cie fal na szczelinie (albo przeszkodzie) wynika z zasady Huyghensa.

27.2.1 Zasada Huyghensa

W tej teorii "wiat!a podanej przez Christiana Huyghensa w 1678 r. zak!ada si#, %e

"wiat!o jest fal ( a nie strumieniem cz stek). Nie wspomina ona o elektromagnetycz-

nym charakterze "wiat!a ani nie wyja"nia, %e "wiat!o jest fal poprzeczn . Teoria Huy-

ghensa oparta jest na konstrukcji geometrycznej (zwanej zasad Huyghensa), która po-

zwala przewidzie' gdzie znajdzie si# czo!o fali w dowolnej chwili w przysz!o"ci, je%eli

znamy jej obecne po!o%enie. Zasada ta g!osi, %e wszystkie punkty czo&a fali mo$na uwa-

27-4


$a% za 'ród&a nowych fal kulistych. Po&o$enie czo&a fali po czasie t b#dzie dane przez

powierzchni# styczn" do tych fal kulistych. Poni%ej przedstawiony jest na rysunku ele-

mentarny przyk!ad obrazuj cy, za pomoc elementarnych fal Huyghensa, rozchodzenie

si# fali p!askiej w pró%ni.

ct

czo o fali w chwili t = 0

nowe po o!enie czo a fali

Dane jest czo!o fali p!askiej w pró%ni. Zgodnie z zasad Huyghensa kilka dowolnie wy-

branych punktów na tej powierzchni traktujemy jako &ród!a fal kulistych. Po czasie t

promienie tych kul b#d równe ct, gdzie c jest pr#dko"ci "wiat!a. Powierzchnia styczna

do tych kul po czasie t jest now powierzchni falow . Oczywi"cie powierzchnia falo-

wa fali p!askiej jest p!aszczyzn rozchodz c si# z pr#dko"ci c.

Uwaga: Mo%na by oczekiwa' ( w oparciu o t# zasad#), %e wbrew obserwacji fala Huy-

ghensa mo%e si# rozchodzi' zarówno do ty!u jak i do przodu. T# „trudno"'” w modelu

eliminuje si# poprzez za!o%enie, %e nat#%enie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia si#

w sposób ci g!y od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla kierunku „w ty!”.

Metoda Huyghensa daje si# zastosowa' jako"ciowo do wszelkich zjawisk falowych.

Mo%na przedstawi' za pomoc fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie fal jak

i ich za!amanie.

My zastosujemy je do wyja"nienia ugi#cia fal na szczelinie (przeszkodzie).

Rozpatrzmy czo!o fali dochodz cej do szczeliny. Ka%dy jej punkt mo%emy potraktowa'

jako &ród!o fal kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelin# przechodzi tylko cz#"' fal.

Fale le% ce poza brzegami szczeliny zostaj wyeliminowane i z tym jest zwi zane zagi-

nanie wi zki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegó!y dotycz ce fal ugi#tych

zostan przedstawione dok!adnie w dalszych wyk!adach. Tutaj zwró'my jedynie uwag#

na to, %e gdy szeroko"' szczeliny staje si# du%a (w stosunku do d!ugo"ci fali) a >> & to

ugi#cie mo%na zaniedba'. Wydaje si#, %e "wiat!o rozchodzi si# po liniach prostych co

27-5


mo%na przedstawi' w postaci promieni podlegaj cych prawom odbicia i za!amania.

Mówimy, %e mamy do czynienia z optyk" geometryczn".

Warunkiem stosowalno"ci optyki geometrycznej jest wi#c aby wymiary liniowe

wszystkich obiektów (soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) by!y o wiele wi#ksze od d!u-

go"ci fali.

Je%eli tak nie jest to nie mo%emy przy opisie "wiat!a pos!ugiwa' si# promieniami, lecz

trzeba wzi ' pod uwag# falowy charakter !wiat&a. Wida' jak znacz ce jest ugi#cie fali

gdy szczelina ma rozmiar porównywalny z d!ugo"ci fali.

Mamy wtedy do czynienia z optyk" falow".

Optyka geometryczna jest wi#c szczególnym (granicznym) przypadkiem optyki falo-

wej.

Zajmiemy si# teraz w!a"nie optyk falow .

27-6


Wyk ad 28

28. Interferencja

28.1 Do wiadczenie Younga

Na wyk!adzie dotycz cym fal w o"rodkach spr#$ystych omawiane by!o nak adanie

si! fal. Wykazanie, przez Thomasa Younga (w 1801 r.) istnienia takiej interferencji dla

"wiat a by o pierwszym eksperymentem wskazuj#cym na falowy charakter "wiat a.

Young o"wietli! "wiat!em s!onecznym ekran, w którym by! zrobiony ma!y otwór S0.

Przechodz ce "wiat!o pada!o nast#pnie na drugi ekran z dwoma otworami S1 i S2 i roz-

chodz si# dalej dwie, nak!adaj ce si# fale kuliste tak jak na rysunku. Warunki stoso-

walno"ci optyki geometrycznej nie s spe!nione i na szczelinach nast#puje ugi#cie fal.

Mamy do czynienia z optyk falow . Je$eli umie"cimy ekran w jakimkolwiek miejscu,

tak aby przecina! on nak!adaj ce si# na siebie fale to mo$emy oczekiwa% pojawienia si#

na nim ciemnych i jasnych plam nast#puj cych po sobie kolejno.

S0 S2

S1

Przeanalizujmy teraz do"wiadczenie Younga ilo"ciowo.

Zak!adamy, e "wiat!o padaj ce zawiera tylko jedn d!ugo"% fali (jest monochroma-

tyczne). Na rysunku poni$ej punkt P jest dowolnym punktem na ekranie, odleg!ym o r1

i r2 od w skich szczelin S1 i S2.

$

Linia S2b zosta!a poprowadzona tak, aby PS2 = Pb. Trzeba zwróci% uwag#, $e stosunek

d/D przedstawiony na rysunku jest dla wi#kszej jasno"ci przesadnie du$y. Naprawd#

d << D i wtedy k t S1S2b jest równy z du$ dok!adno"ci .

28-1


S1

S2

d

D

y

P

r1

r2

Ob

Oba promienie wychodz ce ze szczelin S1 i S2 s zgodne w fazie, gdy$ pochodz z tego

samego czo!a fali p!askiej. Jednak drogi, po których docieraj do punktu P s ró$ne

wi#c i ich fazy mog by% ró$ne. Odcinki Pb i PS2 s identyczne (tak to skonstruowali-

"my) wi#c o ró$nicy faz decyduje ró$nica dróg optycznych tj. odcinek S1b. Aby w

punkcie P by!o maksimum to odcinek S1b musi zawiera% ca!kowit liczb# d!ugo"ci fal.

Jest tak dlatego, $e po przebyciu odcinka równego ! faza fali powtarza si# wi#c dla dro-

gi m! fala ma faz# tak jak na pocz tku tej drogi; odcinek S1b nie wp!ywa na ró$nic#

faz a poniewa$ fale by!y zgodne w &ródle (szczeliny S1 i S2) wi#c b#d zgodne w fazie

w punkcie P. Warunek ten mo$emy zapisa% w postaci

S1b = m!, m = 0, 1, 2, ......,

lub

dsin = m!, m = 0, 1, 2, ......, (maksima) (28.1)

Zauwa$my, $e ka$demu maksimum powy$ej punktu O odpowiada po!o$one symetrycz-

nie maksimum poni$ej punktu O. Istnieje te$ centralne maksimum opisywane przez

m = 0.

Dla uzyskania minimum w punkcie P, odcinek S1b musi zawiera% po!ówkow liczb#

d!ugo"ci fal, to jest:

S1b = (m+1/2) !, m = 0,1,2,....,

Lub

dsin = (m+1/2) !, m = 0, 1, 2, ......, (minima)

inaczej

dsin = (2m+1)!/2, m = 0, 1, 2, ......, (minima) (28.2)

Przyk ad 1

28-2


Dwie szczeliny odleg!e od siebie o 1 mm o"wietlono "wiat!em zielonym (linia zielona

lampy rt#ciowej) o d!ugo"ci ! = 546 nm. Jaka jest odleg!o"% mi#dzy s siednimi pr $-

kami interferencyjnymi obserwowanymi na ekranie umieszczonym w odleg!o"ci 1 m od

szczelin?

Najpierw sprawd&my po!o$enie k towe np. pierwszego maksimum.

Dla m = 1 otrzymujemy: dsin = !

sk d

sin = !/d = (546·10-9

m)/(10-3

m) = 0.000546

co daje

" 0.03#

Dla tak ma!ych k tów dobrym jest przybli$enie

sin " tg "

Z rysunku wida%, $e tg = y/D. Podstawiaj c to wyra$enie zamiast sin w równaniu na

maksimum interferencyjne otrzymujemy dla m-tego pr $ka

d

Dmym

!$

a dla nast#pnego

d

Dmym

!)1(1 %$%

Odleg!o"% mi#dzy nimi wynosi wi#c

mm546.0m10

)m1()m10546(3

9

1 $&

$$'$('

'

%d

Dyyy mm

!

Uwaga: Je$eli jest ma!e to odleg!o"% mi#dzy pr $kami nie zale$y od m, czyli pr $ki s

rozmieszczone równomiernie. Je$eli mamy wi#cej ni$ jedn ! to powstan oddzielne

uk!ady pr $ków (dla ka$dej z d!ugo"ci fal) o ró$nym odst#pie mi#dzy pr $kami.

Równanie opisuj ce po!o$enie k towe maksimów mo$e pos!u$y% do wyznaczenia d!u-

go"ci fali

m

d !

sin$

Z tej relacji T. Young wyznaczy! d!ugo"ci fal "wiat!a widzialnego.

28-3


28.2 Koherencja

Podstawowym warunkiem powstania dobrze okre"lonego obrazu interferencyjnego

jest, aby fale "wietlne które przybywaj z punktów S1 i S2 mia!y dok adnie okre"lon#

ró$nic! faz ) sta # w czasie. (Przypomnienie: faza jako okre"lony stan fali w danym

miejscu i czasie, patrz równanie opisuj ce fal# E = Emsin(kx-*t)). Np. jest miejsce na

ekranie, dla którego ró$nica faz wynosi + co oznacza fizycznie, $e fale docieraj ce tam

wygaszaj si# (przy za!o$eniu tej samej amplitudy); mamy ciemny pr $ek. I tak jest

zawsze o ile ró$nica faz si# nie zmieni. Gdyby taka zmiana nast pi!a to w tym miejscu

nat#$enie "wiat!a nie b#dzie ju$ równe zeru. Warunkiem stabilno"ci obrazu jest wi#c

sta!o"% w czasie ró$nicy faz fal wychodz cych ze &róde! S1 i S2. Mówimy, $e te &ród!a

s koherentne czyli spójne.

Je$eli szczeliny S1 i S2 zast pimy przez dwa niezale$ne &ród!a fal (np. $arówki) to nie

otrzymamy pr $ków interferencyjnych, ekran b#dzie o"wietlony prawie równomiernie.

Interpretujemy to w ten sposób, $e ró$nica faz dla fal pochodz cych z niezale$nych &ró-

de! zmienia si# w czasie w sposób nieuporz dkowany.

W krótkim czasie s spe!nione warunki dla maksimum, a za chwile (b. krótk np. 10-8

s)

dla minimum, a jeszcze za chwil# warunki po"rednie. I tak dla ka$dego punktu na ekra-

nie. Nat#$enie (w danym punkcie) jest wi#c sum nat#$e' od poszczególnych &róde!.

Mówimy, $e te &ród!a s niespójne, niekoherentne.

Podsumujmy wi#c podstawow ró$nic# w opisie, podyktowan# oczywi"cie przez fakty

do"wiadczalne:

,- dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy (uwzgl#dniaj c sta!a ró$nic# faz),

a potem celem obliczenia nat#$enia podnosimy otrzyman amplitud# wypadkow

do kwadratu (przypomnienie dla ruchu harmonicznego: Energia . A2).

,- dla fal niespójnych najpierw podnosimy do kwadratu amplitudy, $eby otrzyma% na-

t#$enia poszczególnych fal a potem dopiero sumujemy te nat#$enia.

Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzy% "wiat!o spójne. Na tym etapie zapami#tajmy

tylko, $e zwyk!e &ród!a "wiat!a takie jak $arówki ($arz ce si# w!ókno) daj "wiat!o nie-

spójne dlatego, $e emituj ce atomy dzia!aj zupe!nie niezale$nie. Natomiast wspó!cze-

"nie szeroko stosowanymi &ród!ami "wiat!a spójnego s lasery.

Szczegó!y dotycz ce emisji "wiat!a przez lasery jak i zasad# dzia!ania lasera poznamy

na dalszych wyk!adach.

28.3 Nat!"enie w do wiadczeniu Younga

Za!ó$my, $e sk!adowe pola elektrycznego obu fal w punkcie P zmieniaj si# nast#puj -

co

E1 = E0 sin*t

E2 = E0 sin(*t+))

gdzie * = 2+v jest cz#sto"ci ko!ow fal, a ) ró$nic faz mi#dzy nimi.

,- ) zale$y od po!o$enia punktu P a tym samym od k ta

,- za!ó$my natomiast, $e E0 nie zale$y od (szczeliny s dostatecznie w skie, tak $e

"wiat!o ugi#te na ka$dej ze szczelin o"wietla "rodkow cz#"% ekranu równomiernie)

28-4


Wynika st d, $e wypadkowe pole elektryczne w punkcie P jest równe

E = E1 + E2

Uwaga: Mówimy o polu E, a nie polu B (fali EM) poniewa$ dzia!anie tego drugiego na

detektory "wiat!a (w tym oko ludzkie) jest znikome. Równanie powy$sze powinno by%

wektorowe ale w tych przypadkach wektory E s do siebie równoleg!e wi#c wystarczy

równanie algebraiczne.

Podstawiaj c równania dla obu fal obliczamy pole wypadkowe

E = E0sin(*t+)) + E0 sin*t = 2E0cos()/2) sin(*t+)/2)

Lub

E = E sin(*t+/)

gdzie / = )/2 oraz E = 2E0cos/

Teraz chcemy obliczy% nat#$enie fali wypadkowej

I . E 2

Obliczmy stosunek nat#$e' dwu fal: fali wypadkowej i fali pojedynczej

2

00001

2334

5$

E

E

I

I

czyli

// 22

0 coscos4 mIII $$ (28.3)

Nat#$enie zmienia si# od zera (dla punktów, w których ) = 2/ = +) do maksymalnego

(dla punktów, w których ) = 2/ = 0).

Ró$nica faz wi $e si# z ró$nic dróg S1b poprzez prost relacj#

ró$nica faz/2+ = ró$nica dróg/!-- (28.4)

czyli

!

+) sin

2

d$

St d

)sin(2

!+

) d$

lub

!+

/ sind

$

Poprzez to równanie mamy zale$no"% nat#$enia od k ta .

Narysujmy teraz rozk!ad nat#$e' dla interferencji przy dwóch szczelinach (rysunek po-

ni$ej) porównuj c z wynikiem dla pojedynczego &ród!a jak i dla &róde! niespójnych.

28-5


4I0 ród!a

spójne

I0 jedno

ród!o

2I0 ród!a

niespójne

2!/d !/d 2!/d!/d0

sin

na

t"#en

ie

Aby wyliczy% wypadkowe nat#$enie "wiat!a w do"wiadczeniu Younga dodawali"my

dwa zaburzenia falowe postaci E1 = E0sin*t, E2 = E0sin(*t+)), które mia!y t# sam

cz#sto"% i amplitud#, a ró$ni!y si# faz ). Wynik uzyskany zosta! algebraicznie na

podstawie prostych wzorów trygonometrycznych. Jednak metody analityczne staj si#

znacznie trudniejsze gdy dodajemy wi#cej zaburze' falowych (funkcji typu sin, cos)

i dlatego wprowadzimy (g!ównie z my"l o nast#pnych wyk!adach) prost metod# gra-

ficzn .

Sinusoidalne zaburzenie falowe mo$e by% przedstawione graficznie jako obracaj cy si#

wektor, którego d!ugo"% reprezentuje amplitud#. Taki wektor b#dziemy nazywa% strza -

k# fazow# (wskazem). Zmienne zaburzenie falowe E1 w chwili t przedstawione jest

przez rzut tej „strza!ki” na o" pionow (odpowiada to pomno$eniu E0 przez sin*t).

Drugie zaburzenie falowe E2, o tej samej amplitudzie E0, ró$ni si# od E1 faz ). Znajdu-

jemy je podobnie jako rzut „strza!ki” na o" pionow . Teraz wystarczy doda% E1 i E2 $e-

by otrzyma% wypadkowe zaburzenie.

E2

E1 E1

E0

E0 E0

*t *t

)

Wida% to jeszcze lepiej gdy umie"ci si# pocz tek jednej strza!ki na ko'cu poprzedniej

zachowuj c ró$nic# faz (rysunek poni$ej).

28-6


E2

E1

E0

E0

*t

) E

Przyk ad 2

Znajd&my wypadkow nast#puj cych zaburze' falowych: E1 = 2sin*t,

E2 = 2sin(*t+30#), E3 = 2sin(*t+60#), E4 = 2sin(*t+90#). Je$eli przyjmiemy np., $e *t = 15# to EM = 6.7, E = 5.8 (rysunek poni$ej).

)

)

)

*t

E

EM

E0

E0

E0

E0

Na kolejnym rysunku pokazane s strza!ki fazowe dla interferencji Younga (w chwili

t = 0).

E0

E0

/

/

)

E

E = 2E0cos/ = EMcos/

Suma k tów w trójk cie wynosi 180# st d wynika, $e: 2/ = ) (taki sam wynik jaki

otrzymali"my algebraicznie).

28-7


Maksimum amplitudy otrzymamy jak wida% dla ) = 0 (wektory równoleg!e), a mini-

mum dla ) = + (wektory antyrównoleg!e).

28.4 Interferencja w cienkich b#onkach

Barwy cienkich b!onek, baniek mydlanych, plam np. oleju na wodzie s wynikiem

interferencji. Na rysunku pokazana jest warstwa o grubo"ci d i wspó!czynniku za!ama-

nia n.

oko

d

S

powietrze

powietrze

warstwa na

Warstwa jest o"wietlona przez rozci g!e &ród!o "wiat!a monochromatycznego. W &ródle

istnieje taki punkt S, $e dwa promienie wychodz ce z tego punktu mog dotrze% do oka

po przej"ciu przez punkt a. Promienie te przebiegaj ró$ne drogi gdy$ jeden odbija si#

od górnej, a drugi od dolnej powierzchni b!onki. To czy punkt a b#dzie jasny czy ciem-

ny zale$y od wyniku interferencji fal w punkcie a. Fale te s spójne, bo pochodz z tego

samego punktu &ród!a "wiat!a. Je$eli "wiat!o pada prawie prostopadle to geometryczna

ró$nica dróg pomi#dzy obu promieniami wynosi prawie 2d. Mo$na wi#c oczekiwa%, $e

maksimum interferencyjne (punkt a jasny) wyst pi gdy odleg!o"% 2d b#dzie ca!kowit

wielokrotno"ci d!ugo"ci fali. Okazuje si#, $e tak nie jest z dwu powodów

,- d!ugo"% fali odnosi si# do d!ugo"ci fali w b!once !n a nie do jej d!ugo"ci w powietrzu

k

v = !v

oraz, $e przy przej"ciu do innego o"rodka zmienia si! pr!dko"% i d ugo"% fali, a cz!-

v = c/n

to d!ugo"% fali te$ maleje n razy

!n = !/n

!. Oznacza to, $e musimy rozwa$a% drogi optyczne, a nie geometryczne (patrz wy-

!ad 26 - zasada Fermata). Przypomnijmy, $e pr#dko"% fali jest zwi zana z cz#stotli-

wo"ci (barw ) i d!ugo"ci fali

stotliwo"% pozostaje bez zmiany. Poniewa$ przy przej"ciu z powietrza do materia!u o

wspó!czynniku za!amania n pr#dko"% maleje n razy

28-8


,- okazuje si# ponadto, $e fala odbijaj c si# od o"rodka optycznie g#stszego (wi#ksze n)

o$emy teraz uwzgl#dni% oba czynniki tj. ró$nice dróg optycznych oraz zmiany faz

mieni pokazanych na rysunku warunek na maksimum ma posta%

2d = m!n + !n/2, m = 0, 1, 2, ....,

zynnik !n/2 opisuje zmian# fazy przy odbiciu (od górnej powierzchni) bo zmiana fazy

zmienia swoj# faz! o +. Natomiast gdy odbicie zachodzi od powierzchni o"rodka

rzadszego optycznie fala odbija si# bez zmiany fazy. Oznacza to, $e promie' odbity

od górnej powierzchni b!onki zmienia faz#, a promie' odbity od dolnej granicy nie.

M

przy odbiciu.

Dla dwóch pro

C

o 180# (+) jest równowa$na ró$nicy dróg równej po!owie d!ugo"ci fali (ró$nica

faz/2+ = ró$nica dróg/!6. Poniewa$ !n = !/n otrzymujemy wi#c

!02

35 %$

12 mdn , m = 0, 1, 2,..... (maksima)

nalogiczny warune posta%

!mdn $2 , m = 0, 1, 2,....(minimum)

ównania te s s!uszne je !czynnik za!amania b!onki jest wi#kszy lub mniejszy

14 2

k na minimum maA

R $eli wspó

od wspó!czynnika za!amania o"rodków po obu stronach b!onki.

Przyk ad 3

B!onka wodna (np. ba'ka mydlana, n = 1.33) znajduj ca si# w powietrzu ma grubo"%

mum obliczamy !

320 nm. Jaki kolor ma "wiat!o odbite, gdy b!onka jest o"wietlona "wiat!em bia!ym pada-

j cym prostopadle?

Z warunku na maksi

2

2

1

2

1

2

1%%% mmm

m:

nm85033.1nm3202$

&&$$

dn!

bliczamy ! dla kolejnych

sem widzialnym

zielona)

O

m = 0, ! = 1700 nm, poza zakre

m = 1, ! = 567 nm, w zakresie widzialnym ("ó#to

m = 2, ! = 340 nm, poza zakresem widzialnym

m = 3, 4, ...., poza zakresem widzialnym.

28-9


Wyk ad 29

29. Dyfrakcja

Zjawisko dyfrakcji (ugi"cia) odkry! Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu si"

promieni #wietlnych przechodz cych w pobli$u przeszkody (np. brzeg szczeliny).

Wyja#nienie dyfrakcji w oparciu o zasad" Huyghensa - Fresnel (prze!om XVIII i XIX

w). (W jego czasach wierzono, $e fale #wietlne s falami mechanicznymi w przenikaj -

cym wszech#wiat eterze. Dopiero Maxwell pokaza!, $e fale #wietlne s falami elektro-

magnetycznymi, a Einstein odrzuci! postulat konieczno#ci istnienia eteru).

Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.

S

B C

P a)

Fala ze %ród!a S pada na szczelin" B i przechodz ce przez otwór pada na ekran C. Nat"-

$enie w punkcie P mo$na obliczy& dodaj c do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj.

wektory E). Te zaburzenia falowe maj ró$ne amplitudy i fazy poniewa$:

! elementarne %ród!a Huyghensa (punkty w szczelinie) s w ró$nych odleg!o#ciach od

punktu P.

! #wiat!o opuszcza te punkty pod ró$nymi k tami.

Taka sytuacja gdy fale opuszczaj ce otwór nie s p!askie (promienie nie s równoleg!e)

pojawia si" gdy %ród!o fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajduj si" w sko'-

czonej odleg!o#ci od ekranu ze szczelin (B). Taki przypadek nosi nazw" dyfrakcji

Fresnela. Obliczenia nat"$e' #wiat!a s w tej sytuacji trudne.

Ca!o#& upraszcza si", gdy %ród!o S i ekran C odsuniemy na bardzo du$e odleg!o#ci od

otworu uginaj cego. Ten graniczny przypadek nazywamy dyfrakcj Fraunhofera. Czo!a

fal padaj cych jak i ugi"tych s p!aszczyznami (promienie s równoleg!e) tak jak to wi-

da& na rysunku (b).

do bardzo

odleg!ego

ekranu

z bardzo

odleg!"go

%ród!a

b)

"

B

29-1


Warunki do wyst pienia dyfrakcji Fraunhofera mo$na zrealizowa& w laboratorium za

pomoc dwu soczewek (rysunek c).

S

ff B

C

P

"

c)

Pierwsza soczewka zmienia fal" rozbie$n w równoleg!a, a druga skupia w punkcie P

fale p!askie opuszczaj ce otwór. Wszystkie promienie o#wietlaj ce punkt P opuszczaj

otwór równolegle do linii przerywanej (przechodz cej przez #rodek soczewki). Warunki

dyfrakcji Fraunhofera by!y z za!o$enia spe!nione w do#wiadczeniu Younga.

W dalszej cz"#ci wyk!adu b"dziemy zajmowa& si" tylko dyfrakcj Fraunhofera.

29.1 Pojedyncza szczelina

Rysunek pokazuje fal" p!ask padaj c prostopadle na szczelin" o szeroko#ci a.

Rozpatrzmy punkt #rodkowy P0 ekranu. Równoleg!e promienie przebywaj do tego

punktu te same drogi optyczne (ró$ne geometryczne) tzn. promienie zawieraj t" sam

ilo#& d!ugo#ci fal (soczewki cienkie). Poniewa$ w szczelinie promienie s zgodne w fa-

zie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostaj zgodne w fazie.

Dlatego w #rodkowym punkcie P0 b"dzie maksimum.

P0

f

B

a

C

Rozpatrzmy teraz inny punkt P1 na ekranie (rysunek poni$ej). Promienie docieraj ce do

P1 wychodz ze szczeliny pod k tem ". Jeden promie' ma pocz tek u góry szczeliny, a

drugi w jej #rodku. (Promie' xP1 przechodzi przez #rodek soczewki wi"c nie jest odchy-

lany).

29-2


a

"

"

b’

b

#/2

x

P1

P0

Je$eli wybierzemy punkt P1 tak, $eby ró$nica dróg bb’ wynosi!a #/2 to promienie zgod-

ne w fazie w szczelinie b"d mia!y w punkcie P1 fazy przeciwne i wygasz si". Podob-

nie ka$dy inny promie' wychodz cy z górnej po!owy szczeliny b"dzie si" wygasza! z

odpowiednim promieniem z dolnej po!ówki le$ cym w odleg!o#ci a/2 poni$ej. Punkt P1

b"dzie mia! nat"$enie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisuj cy to

minimum ma nast"puj c posta&

#"2

1sin

2

1$a

czyli

asin" = #

Uwaga: Gdyby szeroko#& szczeliny by!a równa # wtedy pierwsze minimum pojawi!oby

si" dla " = 90% czyli #rodkowe maksimum wype!ni!oby ca!y ekran. W miar" rozszerza-

nia szczeliny #rodkowe maksimum staje si" w"$sze. (Podobnie by!o dla interferencji

Younga w miar" zmiany odleg!o#ci mi"dzy szczelinami punktowymi). Podobne rozwa-

$ania mo$emy powtórzy& dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyra$enie

dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci

asin" = m#, m = 1, 2, 3,...... (minimum) (29.1)

Mniej wi"cej w po!owie mi"dzy ka$d para s siednich minimów wyst"puj oczywi#cie

maksima nat"$enia.

29.2 Pojedyncza szczelina, rozwa ania jako!ciowe

Teraz chcemy znale%& wyra$enie na rozk!ad nat"$enia w ca!ym obszarze dyfrakcyj-

nym w funkcji k ta ". Teraz zrobimy to jako#ciowo.

Wyobra%my sobie, $e szczelin" o szeroko#ci a dzielimy na N pasków o ma!ej szeroko-

#ci &x. Ka$dy pasek jest %ród!em fal kulistych Huyghensa, które wytwarzaj na ekranie

okre#lone zaburzenie falowe.

29-3


a "

"

&x sin"

B C

P

P0

Ró$nica dróg mi"dzy s siednimi paskami wynosi &xsin" st d ró$nica faz &' pomi"dzy

falami pochodz cymi z s siednich pasków wynosi

#"

(' sin

2

x&$

&

czyli

"#(

' sin2

x&$&

! Zak!adamy, $e paski s tak w skie, $e wszystkie punkty na danym pasku maj t" sa-

m drog" optyczn do punktu P (ca!e #wiat!o ma t" sam faz").

! Dla ma!ych k tów " amplitudy &E0 zaburze' falowych w punkcie P pochodz ce od

ró$nych pasków przyjmujemy za jednakowe.

Zatem w punkcie P dodaje si" N wektorów (pól elektrycznych E) o tej samej amplitu-

dzie &E0, tej samej cz"sto#ci i tej samej ró$nicy faz &' mi"dzy kolejnymi wektorami.

Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla ró$nych punktów P, tzn. dla ró$nych k -

tów ", tzn. dla ró$nych &'.

Poni$ej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku ró$nych

miejsc na ekranie.

! Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum #rodkowego (&'=0%). ! Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum

#rodkowego (&'=5%). ! Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (&'=30%). ! Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza #rodkowym)

(&'=42%).

29-4


E"!$!EM

E"E"

E"

E"!$!)a)

b)

c)

d)

Zwró&my uwag", $e d!ugo#& !uku jest zawsze równa EM ale amplituda E" jest ró$na.

Wektory na rysunku odpowiadaj amplitudom (a nie nat"$eniom). (eby otrzyma& nat"-

$enia trzeba je podnie#& do kwadratu. W przeciwie'stwie do obrazu interferencyjnego

nat!"enia kolejnych maksimów nie s jednakowe.

29.3 Pojedyncza szczelina, rozwa ania ilo!ciowe

Na rysunku poni$ej jest przedstawiona konstrukcja s!u$ ca do obliczenia nat"$enia

#wiat!a w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej

na poprzednim rysunku (b).

R

R

Em Em

E"

**'

'

Je$eli szczelin" podzielimy na niesko'czenie wiele ma!ych pasków o szeroko#ci dx to

!uk strza!ek b"dzie !ukiem ko!a o promieniu R. D!ugo#& !uku wynosi Em czyli równa jest

amplitudzie w #rodku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strza!ek).

K t ' w dolnej cz"#ci rysunku przedstawia ró$nic" fazy mi"dzy skrajnymi wektorami w

!uku tzn. ' jest ró$nic faz pomi"dzy promieniami wychodz cymi z góry i do!u szczeli-

ny.

29-5


Jak wida& z rysunku

2sin2 '"

$R

E

czyli

2

sin2'

" RE $ (29.2)

W mierze !ukowej

R

Em$'

St d

'mE

R $

Podstawiaj c do równania (29.2) otrzymamy

2sin

2

''"

mEE $

czyli

**" sinmE

E $ (29.3)

gdzie * = '/2.

Przypomnijmy, $e ' jest ró$nic faz dla promieni wychodz cych z kra'ców szczeliny.

Poniewa$ ró$nica dróg dla tych promieni wynosi asin" (a szeroko#& szczeliny) wi"c

mo$emy pos!u$y& si" znanym zwi zkiem

ró$nica faz/2( = ró$nica dróg/# !otrzymuj c

"#(

' sin2 a

$

lub

"#('

* sin2

a$$ (29.4)

Teraz mo$emy ju$ obliczy& nat"$enie #wiat!a dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.

Nat"$enie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy wi"c

29-6


2sin

+,

-./

0$**

" mII (29.5)

Wyra$enie na nat"$enie przyjmuje warto#& minimaln dla

* = m(, m = 1, 2, 3,....

Podstawiaj c do równania (29.4) otrzymujemy

asin" = m#, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)

Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozwa$ania jako#ciowe).

Obliczmy teraz wzgl"dne nat"$enia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych.

Maksima le$ w #rodku pomi"dzy minimami, a wi"c w punktach, dla których

* = (m+1/2)(, m = 1, 2, 3,.......

Podstawiaj c to do równania (29.5) na nat"$enie otrzymujemy

I"/Im = 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Wida&, $e nat!"enia kolejnych maksimów

bardzo szybko malej .

Na rysunku poni$ej przedstawiono krzywe I" dla ró$nych szeroko#ci szczeliny (w sto-

sunku do d!ugo#ci fali #) w funkcji po!o$enia na ekranie (k ta ").

a=10#

a=5#

a=#

10510 5

wzg

l dne n

at !enie

" (deg)

29-7


29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach

W do#wiadczeniu Younga szczeliny by!y w skie ( a << #) tak, $e ka$da ze szczelin

o#wietla!a równomiernie ekran. Je$eli takie fale (spójne) interferowa!y to otrzymywali-

#my pr "ki o jednakowym nat!"eniu.

Dla realnych szczelin trudno jest zrealizowa& warunek a << #. Oznacza to, $e pojedyn-

cza szczelina b"dzie dawa!a obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w któ-

rym nat"$enia pr $ków nie b"d sta!e (jak w do#wiadczeniu Younga) ale zale$ne od te-

go obrazu dyfrakcyjnego.

Odej#cie od za!o$enia a << # powoduje g!ównie zmian" nat"$enia pr $ków (ich po!o-

$enia pozostaj prawie nie zmienione).

Przypomnijmy, $e obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem

1"2

int,int, cosmII $

gdzie

"#(

1 sind

$

przy czym d jest odleg!o#ci mi"dzy szczelinami.

Natomiast nat"$enie fali ugi"tej na szczelinie jest dane równaniem

2

,,

sin+,

-./

0$**

" dyfmdyf II

gdzie

"#(

* sina

$

przy czym a jest szeroko#ci szczeliny.

Teraz chcemy otrzyma& ! czny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji sta! ampli-

tud" (dla w skich szczelin) zast"pujemy realnym nat"$eniem dyfrakcyjnym. Otrzymu-

jemy

2

2 sin)(cos +

,

-./

0$**

1" mII (29.6)

Ten wynik opisuje nast"puj ce fakty. W pewnym punkcie ekranu nat"$enie #wiat!a, z

ka$dej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dy-

frakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nak!adaj si" (fale interferuj ).

Rysunek poni$ej jest wykresem powy$szego równania dla d = 50# i trzech warto#ci sto-

sunku a/#.

29-8


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0 a = #

wzgl

dne n

at !enie

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 5#

wzgl

dne n

at !enie

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

a = 10#

1010 55

wzgl

dne n

at !enie

" (deg)

29-9


Obwiednie pr $ków interferencyjnych pokrywaj si" dok!adnie z obrazem dyfrakcyj-

nym. Obraz jest wi"c iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego (rysunek

poni$ej). Czynnik interferencyjny (cos21) jest pokazany na górnym wykresie, czynnik

dyfrakcyjny (sin*/*)2 na #rodkowym, a ich iloczyn na dolnym.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

wzgl

dne n

at !enie

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0w

zgl

dne n

at !enie

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1010 55 " (deg)

a = 5#

wzgl

dne n

at !enie

29-10


Wyk ad 30

30. Siatki dyfrakcyjne

30.1 Siatki dyfrakcyjne

Rozpatrzymy teraz przypadki gdy liczba centrów rozpraszania jest wi"ksza. Tzn. rozpatrzmy naturalne rozszerzenie do#wiadczenia Younga poprzez zwi"kszenie liczby szczelin od dwu do wi"kszej liczby N. Uk!ad zawieraj cy zespó! N równoleg!ych szczelin nazywamy siatk dyfrakcyjn (szczelin mo$e by% b. du$o np. 104/cm). Na rysunku poni$ej pokazany jest rozk!ad nat"$e& dla N = 5 szczelin.

e

d

c

b

a

N = 5

0.2

0.4

0.6

0.8

Dla przypomnienia poni$ej pokazano wynik w do#wiadczeniu Younga.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Z tych rysunków wida%, $e zwi"kszenie liczby szczelin ! nie zmienia odleg!o#ci pomi"dzy g!ównymi maksimami (przy sta!ych d i ") ! nast pi!o natomiast ich zw"$enie (wyostrzenie) ! pojawi!y si" wtórne maksima pomi"dzy maksimami bocznymi Maksima g!ówne wyst pi gdy spe!niony jest znany warunek

30-1


dsin# = m", m = 0, 1, 2, (maksima) (30.1) gdzie m nazywamy rz"dem widma, a d jest odleg!o#ci mi"dzy szczelinami (sta!a siatki dyfrakcyjnej). Uwaga: Po!o$enia maksimów g!ównych nie zale$ od N. Pochodzenia maksimów wtórnych mo$na wyja#ni% za pomoc metody strza!ek fazo-wych (wskazów).

a)

b)

c)

d)

e)

$!%!&

$!%!'()

$!%!**&)

$!%!*++)

$!%!*,&)

E#

E#!%!& E#

E#

E#!%!&

Siatki dyfrakcyjne s cz"sto stosowane do pomiarów d!ugo"ci fali i do bada# struktury i

nat$%enia linii widmowych. ! Poniewa$ sta! siatki dyfrakcyjnej mo$na zmierzy% dok!adnie pod mikroskopem to z

warunku na wyst"powanie g!ównych maksimów mo$emy wyznaczy% ". ! Z tego samego warunku wida%, $e fale o ró$nych " uginaj si" pod ró$nymi k tami

jest wi"c szansa na ich rozseparowanie. Przyk!ad 1

Siatka dyfrakcyjna ma 4000 naci"% na 1 cm. Pada na ni prostopadle #wiat!o $ó!te z lampy sodowej. W #wietle tym wyst"puj dwie fale o d!ugo#ciach 589.00 i 589.59 nm. Pod jakim k tem wyst"puje maksimum dla pierwszego rz"du dla 1 z tych linii? Jaka jest odleg!o#% k towa pomi"dzy maksimami pierwszego rz"du dla tych linii? Maksimum pierwszego rz"du otrzymujemy z warunku

dsin# = m" dla m = 1

sin# = "/d = 0.236

# = 13.6°

30-2


Najprostszym sposobem znalezienia odleg!o#ci k towej jest powtórzenie oblicze& dla " = 589.59 i odj"cie obliczonych k tów ale trzeba prowadzi% bardzo precyzyjne obli-czenia tzn. dla wielu liczb znacz cych (nie tak jak powy$ej). Powtarzamy obliczenia

dla " = 589.00 nm # = 13.6270° dla " = 589.59 nm # = 13.6409°

st d -# = 0.0139°

Mo$emy jednak przeprowadzi% bezpo#rednie obliczenia tej ró$nicy. W tym celu zró$niczkujemy nasze równanie

""

"

###

dd

dd

d

)(sind./

012

3

%d

m

Otrzymujemy wtedy

"## dcosd

md %

Poniewa$ d!ugo#ci fal ma!o si" ró$ni wi"c mo$emy zapisa%

"## -%-d

mcos

sk d mamy

#"

#cos

-%-

m

Oczywi#cie otrzymujemy ten sam wynik ale obliczenia wymagaj tylko 2 cyfr znacz -cych zamiast 5 (jak ").

Wielko#% #"

#cosd

d

d

mD %% jest nazywana dyspersj k tow siatki dyfrakcyjnej i in-

formuje o odleg!o#ci k towej (rozdzieleniu) dwóch fal o ma!o ró$ni cych si" d!ugo-#ciach.

30.2 Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni X)

Promienie X s falami elektromagnetycznymi o d!ugo#ciach fal rz"du 0.1 nm. (Dla przypomnienia #wiat!o $ó!te z przyk!adu 1 ma d!ugo#% równ 589 nm.) W 1912 r. Max von Laue zauwa$y!, $e cia!a sta!e zawieraj ce regularny uk!ad atomów mog stanowi% naturaln , trójwymiarow „siatk" dyfrakcyjn ” dla promieniowania X.

(Standardowe optyczne siatki dyfrakcyjne s bezu$yteczne bo " << d.).

Rysunek poni$ej pokazuje wi zk" promieni X, o widmie ci g!ym, padaj c na

kryszta!. Wi zki promieni powsta!e w wyniku interferencji fal ugi"tych na atomach pa-

30-3


daj na klisz" tworz c na niej charakterystyczny uk!ad punktów zwany obrazem Lau-

ego. Analiza po!o$e& i nat"$e& tych punktów pozwala na okre#lenie struktury kryszta!u.

wi¹ zka prom. X

kryszta³

wi¹ zki

ugiête obraz

Lauego

Na kolejnym rysunku pokazana jest komórka elementarna kryszta!u NaCl.

Ma!e kule przedstawiaj jony sodu, a du$e jony chloru.

Jest to najmniejsza jednostka, z której mo$na zbudowa% kryszta! (cegie!ka) poprzez do-

dawanie jej (powielanie) w trzech prostopad!ych kierunkach.

Ka$da komórka elementarna NaCl zawiera 4 jony sodu i cztery jony chloru czyli cztery

cz steczki NaCl (poza jonem w #rodku, pozosta!e nale$ te$ do komórek s siednich).

Dla NaCl d!ugo#% boku komórki elementarnej wynosi 0.562737 nm (porówna% z d!ugo-

#ci fali promieniowania X).

Nat"$enia linii siatki dyfrakcyjnej zale$ od geometrii pojedynczej szczeliny. W ideal-

nym przypadku zale$ od szeroko#ci szczeliny.

Tak samo nat"$enia wi zek rozproszonych na krysztale zale$ od geometrii pojedynczej

rozpraszaj cej komórki elementarnej.

30-4


30.3 Prawo Bragga

Prawo Bragga podaje warunki, w jakich jest mo$liwa dyfrakcja promieni Roentgena

krysztale. Rysunek poni$ej pokazuje ugi"cie wi zki promieni X na zespole równole-

g!ych p!aszczyzn (linie przerywane). Odleg!o#% mi"dzy p!aszczyznami wynosi d.

W krysztale mo$na wybra% wiele ró$nych rodzin p!aszczyzn o ró$nych odleg!o#ciach

mi"dzyp!aszczyznowych.

Rysunek (a) pokazuje fal" oddzia!uj c z rodzin p!aszczyzn, z których jedna jest poka-

zana na rysunku (b).

fala padaj ca fala

padaj ca

fala ugi!ta fala

ugi!ta

a a’

b’

b

4

#

d

a)

b)

Ugi"cie nast"puje na elementarnych centrach rozpraszania (komórki elementarne - od-

powiednik pojedynczej szczeliny).

Promienie ugi"te b"d si" sumowa% gdy ró$nica dróg b"dzie równa ca!kowitej wielo-

krotno#ci d!ugo#ci fali.

ab’ – a’b = ab(cos4 5 cos#) = k", k = 0, 1, 2,

Dla k = 0 otrzymujemy 4 = # tzn. p!aszczyzna wyznaczona przez atomy dzia!a jak

„zwierciad!o” odbijaj ce fal" padaj c (k t padania = k t odbicia) tzn. w tym kierunku

jest wzmocnienie promieniowania ugi"tego.

Je$eli chcemy otrzyma% wzmocnienie promieniowania odbitego od ca!ej rodziny p!asz-

czyzn dla kierunku okre#lonego przez k t # to musz si" wzmacnia% promienie odbite

od poszczególnych p!aszczyzn. Oznacza to, $e ró$nica dróg dla promieni odbitych od

s siednich p!aszczyzn musi by% równa ca!kowitej wielokrotno#ci ", tak wi"c

2dsin# = m", m = 1, 2, 3,....

Zale$no#% ta zosta!a podana przez W. L. Bragga i st d nazwa prawo Bragga.

W równaniu tym d oznacza odleg!o#% mi"dzy s siednimi p!aszczyznami.

St d wida%, $e dyfrakcja promieni X jest metod do#wiadczaln w badaniu rozmiesz-

czenia atomów w kryszta!ach.

Aby otrzyma% wyniki ilo#ciowe trzeba zna% d!ugo#% fali promieniowania X.

30-5


Wyk ad 31

31. Polaryzacja

Teoria przewiduje, "e #wiat!o podobnie jak ka"da fala elektromagnetyczna jest fal

poprzeczn . Kierunki drga$ wektorów E i B s prostopad!e do kierunku rozchodzenia

si% fali. Na rysunku poni"ej przedstawione fal% elektromagnetyczn , która ma jeszcze

dodatkowo pewn charakterystyczn w!asno#&:

wektory E s do siebie równoleg e we wszystkich punktach fali. Podobnie wektory B.

Mówimy, "e ta fala jest p asko spolaryzowana (spolaryzowana liniowo).

B

E

Drgaj cy wektor E tworzy z kierunkiem ruchu fali p!aszczyzn% zwan p aszczyzn!

drga".

W fali spolaryzowanej liniowo wszystkie takie p!aszczyzny s równoleg!e.

Z dotychczas opisanych do#wiadcze$ z interferencj i dyfrakcj nie mo"na wydeduko-

wa& poprzecznej natury fal #wietlnych poniewa" fale pod!u"ne te" interferuj i ulegaj

dyfrakcji.

Podstawy do#wiadczalne przynios!o nast%puj ce do#wiadczenie.

! W wyniku o#wietlenia kryszta!u kalcytu (CaCO3) z wi zki padaj cej mo"na uzyska&

dwie oddzielne wi zki (omówione w dalszej cz%#ci wyk!adu).

! Wi zki te chocia" oczywi#cie s spójne nie daj pr "ków interferencyjnych ale

równomierne o#wietlenie ekranu.

Young wywnioskowa! z tego faktu, "e #wiat!o jest fal poprzeczn i "e p!aszczyzny

drga$ w tych falach s prostopad!e wzgl%dem siebie.

Zauwa"my, "e chcemy doda& dwa zaburzenia falowe takie jak w do#wiadczeniu Youn-

ga tj. ale prostopad e do siebie.

E2

E1

31-1


Mo"na udowodni&, "e fale #wietlne spolaryzowane liniowo o równych amplitudach i

prostopad!ych kierunkach drga$ nie interferuj ze sob daj c jednakowe (niezale"nie od

ró"nicy faz) nat%"enie #wiat!a na ekranie. Tu tylko zauwa"my, "e te dwie fale nigdy si%

nie wygaszaj .

W fali poprzecznej, spolaryzowanej liniowo, nale"y okre#li& dwa kierunki:

! kierunek drgania (np. wektora E),

! kierunek rozchodzenia si% fali.

(Zauwa"my, "e w fali pod!u"nej te dwa kierunki si% pokrywaj .)

Przyk adem fal spolaryzowanych liniowo s fale elektromagnetyczne radiowe (oraz mi-

krofale) emitowane przez anten% dipolow .

W antenie takiej fale wytwarzane s przez !adunek elektryczny drgaj cy w gór% i w dó! anteny. Taka fala w du"ej odleg!o#ci od dipola, na osi prostopad!ej, ma wektor pola

elektrycznego równoleg!y do osi dipola (anteny) jest wi%c spolaryzowana liniowo. Kie-

dy taka fala pada na drugi dipol wówczas zmienne pole elektryczne (zmienny wektor E

fali) wywo!uje w antenie odbiorczej drgania elektronów do góry i w dó! (pr d zmien-

ny). Je"eli jednak obrócimy anten% o 90° wokó! kierunku padania fali, to wektor E b%-

dzie prostopad!y do anteny i nie wywo!a ruchu elektronów (antena nie odbiera sygna!u).

'ród!a #wiat!a widzialnego ró"ni si% od (róde! fal radiowych i mikrofal min. tym, "e

atomy (cz steczki) emituj ce #wiat!o dzia!aj niezale"nie.

W konsekwencji #wiat!o rozchodz ce si% w danym kierunku sk!ada si% z niezale#nych

ci!gów fal, których p!aszczyzny drga$ zorientowane s przypadkowo wokó! kierunku

ruchu fali (rysunek poni"ej). Takie #wiat!o chocia" jest fal poprzeczn jest niespolary-

zowane.

Rysunek poni"ej pokazuje ró"nic% mi%dzy fal poprzeczn spolaryzowan liniowo (a)

i fal poprzeczn niespolaryzowan (b). Rysunek (c) przedstawia inny równowa"ny

opis niespolaryzowanej fali poprzecznej; tutaj traktujemy j jako z!o"enie dwóch spola-

ryzowanych liniowo fal o przypadkowo zmiennej ró"nicy faz.

c)b)a)

Orientacja kierunków drga$ pól E wzgl%dem kierunku rozchodzenia si% fali jest te"

przypadkowa (ale prostopad!a).

Dla zbadania fal #wietlnych niespolaryzowanych potrzeba znale(& metod%, która po-

zwoli!aby rozdzieli& fale o ró"nych p!aszczyznach drga$.

31.1 P ytki polaryzuj!ce

Na rysunku (poni"ej) #wiat!o niespolaryzowane pada na p!ytk% z materia!u polary-

zuj cego, zwanego polaroidem.

31-2


W p!ytce istnieje pewien charakterystyczny kierunek polaryzacji zaznaczony liniami

równoleg!ymi. P!ytka przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drga$ wektora

elektrycznego s równoleg e do kierunku polaryzacji, a poch ania te fale, w których s

one prostopad e.

p ytkapolaryzuj!ca

Kierunek polaryzacji ustala si% w procesie produkcji:

! cz steczki o strukturze !a$cuchowej osadza si% na elastycznej warstwie plastycznej,

! warstw% rozci ga si% co powoduje równoleg!e u!o"enie cz steczek.

)eby zanalizowa& nat%"enie #wiat!a przechodz cego przez polaryzator rozpatrzmy ci g

fal padaj cy na polaroid tak, "e wektor E wyznaczaj cy p!aszczyzn% drga$ tworzy k t "

z kierunkiem polaryzacji p!ytki (rysunek).

Ey E

Ex

"

Ten ci g fal jest równowa"ny ci gom fal o sk!adowych Ex i Ey (sk!adowe wektora E).

Sk!adowa równoleg!a Ey = Ecos" jest przepuszczana podczas gdy sk!adowa prostopad!a

Ex = Esin" jest poch!aniana.

Postawmy teraz na drodze #wiat!a drug! p ytk$ polaryzuj!c! (tak zastosowan p!ytk%

nazywamy analizatorem). Je"eli p!ytk% drug (analizator) b%dziemy obraca& wokó! kie-

runku padania #wiat!a to nat%"enie #wiat!a przechodz cego przez obie p!ytki b%dzie si%

zmienia& osi gaj c minimum dla po!o"e$ ró"ni cych si% o 180° tj. przy prostopad!ych

kierunkach polaryzacji obu p!ytek.

31-3


p ytkapolaryzuj!ca

Je"eli amplituda pola elektrycznego fali padaj cej na analizator jest równa Em to ampli-

tuda fali wychodz cej z analizatora wynosi Emcos", gdzie " jest k tem pomi%dzy kie-

runkami polaryzacji obu p!ytek. Poniewa" nat%"enie #wiat!a jest proporcjonalne do

kwadratu amplitudy wi%c otrzymujemy

I = Imcos2" (30.1)

Zauwa"my, "e I ma maksimum dla " = 0° lub " = 180° a minimum dla " = 90° lub

" = 270°. Powy"sze równanie zwane jest prawem Malusa.

Znane s jeszcze inne sposoby otrzymywania #wiat!a spolaryzowanego. Niektóre omó-

wione s poni"ej.

31.2 Polaryzacja przez odbicie

W 1809 r. Malus odkry!, "e #wiat!o mo"e by& cz%#ciowo lub ca!kowicie spolaryzo-

wane przez odbicie. Rysunek przedstawia wi zk% niespolaryzowan padaj c na po-

wierzchni% szk!a.

# #

$

padaj ce !wiat"o niespolaryzowane

fala odbita

fala za"amana

sk"adowa %

sk"adowa &

powietrze

szk"o n = 1.5

Wektor E mo"na roz!o"y& na dwie sk!adowe:

31-4


! sk!adow & prostopad! do p!aszczyzny padania (p!aszczyzna rysunku),

! sk!adow % le" c w p!aszczy(nie padania.

Dla #wiat!a ca!kowicie niespolaryzowanego obie sk!adowe maja jednakowe amplitudy.

Stwierdzono do#wiadczalnie, "e dla szk!a (i innych materia!ów dielektrycznych) istnieje

pewien k t padania, nazywany k!tem ca kowitej polaryzacji #p, dla którego wspó!czyn-

nik odbicia sk!adowej % jest równy zero. Wtedy wi zka odbita jest spolaryzowana li-

niowo prostopadle do p!aszczyzny padania. Wi zka przechodz ca jest tylko cz%#ciowo

spolaryzowana (sk!adowa % jest ca!kowicie za!amana, a sk!adowa & tylko cz%#ciowo).

Zwró&my uwag%, "e wi zka za!amana ma wi%ksze nat%"enie od wi zki odbitej.

Do#wiadczalnie stwierdzono, "e gdy k t padania jest równy k towi ca!kowitej polary-

zacji to wówczas wi zka odbita i za!amana tworz k t prosty co oznacza "e

# + $ = 90°

Natomiast z prawa za!amania mamy

$# sinsin 21 nn '

Z obu tych równa$ otrzymujemy

### cos)90sin(sin 221 nnn '('

albo

nn

n''

1

2tg# (30.2)

przy czym promie$ pada z o#rodka 1 i za!amuje si% w o#rodku 2.

To ostatnie równanie jest nazywane prawem Brewstera.

Prawo to zosta!o znalezione do#wiadczalnie ale oczywi#cie mo"na je wyprowadzi& #ci-

#le przy pomocy równa$ Maxwella.

31.3 Za amanie podwójne

Dotychczas milcz co zak!adali#my, "e pr%dko#& #wiat!a, a wi%c i wspó!czynnik za-

!amania, nie zale#! od kierunku rozchodzenia si$ %wiat a w o%rodku ani od jego

polaryzacji. Cia!a spe!niaj ce te warunki nazywamy cia ami optycznie izotropowymi.

Istnieje jednak szereg cia! anizotropowych (nie izotropowych).

Dotyczy to nie tylko w!asno#ci optycznych ale wielu innych. Np. pewne kryszta!y !ami

si% !atwo tylko w jednej p!aszczy(nie, opór elektryczny mierzony w ró"nych kierunkach

jest ró"ny. Kryszta!y !atwiej magnesuje si% w jednym kierunku ni" innych itd.

Uwaga: Cia!a polikrystaliczne (z!o"one z wielu ma!ych kryszta!ków) z powodu przy-

padkowej orientacji kryszta!ków mog wydawa& si% izotropowymi.

Na pocz tku wyk!adu wspomniany zosta! eksperyment z kryszta!em kalcytu.

Na rysunku poni"ej niespolaryzowana wi zka #wiat!a pada na kryszta! kalcytu prosto-

padle do jednej z jego #cian.

31-5


wi!zkapadaj!ca

kryszta CaCO3

e

o

Pojedyncza wi zka rozszczepia si% na powierzchni kryszta!u na dwie.

Mamy do czynienia z podwójnym za amaniem.

Mo"emy zanalizowa& obie wychodz ce wi zki za pomoc p!ytki polaryzuj cej.

Okazuje si%, "e obie wi zki s spolaryzowane liniowo, przy czym ich p!aszczyzny

drga$ s wzajemnie prostopad e. Wi zki te s oznaczone przez o i e.

Je"eli zmienimy k t padania to oka"e si%, "e jedna z wi zek tzw. promie" zwyczajny o

spe!nia prawo za!amania (tak jak dla o#rodka izotropowego) a druga wi zka tzw. pro-

mie" nadzwyczajny e nie spe!nia tego prawa.

Na rysunku k t padania jest równy zeru wi%c i k t za!amania te" powinien by& zerowy

i tak jest dla promienia o ale nie dla promienia e.

Ró"nic% t% mo"na wyja#ni& nast%puj co:

! promie$ o przechodzi przez kryszta! z jednakow pr%dko#ci we wszystkich kierun-

kach tzn. ma jeden wspó!czynnik za!amania n0 tak jak izotropowe cia!o sta!e.

! promie$ e ma pr%dko#& w krysztale zale"na od kierunku tzn. pr%dko#& zmienia si%

od v0 do ve a wspó!czynnik za!amania od no do ne. Dla kalcytu ne = 1.658, no =

1.486.

Wielko#ci ne i n0 nazywamy g ównymi wspó czynnikami za amania kryszta u.

Niektóre podwójnie za!amuj ce kryszta!y maj interesuj c w!asno#& nazywan dichro-

izmem, polegaj c na tym, "e jedna ze sk!adowych polaryzacji jest poch!aniana silniej

ni" druga. W!asno#& ta jest pokazana na rysunku na nast%pnej stronie. Na tej zasadzie

opiera si% dzia!anie szeroko stosowanych polaroidów.

Zamiast du"ej p!ytki wyci%tej z kryszta!u mo"na zastosowa& wiele ma!ych kryszta!ów

o osiach optycznych ustawionych równolegle do siebie.

31-6


!wiat"o niespolaryzowane

Niektóre przezroczyste cia!a bezpostaciowe jak szk!a czy tworzywa sztuczne optycznie

izotropowe pod wp!ywem przy!o"onych napr%"e$ mechanicznych staj si% optycznie

anizotropowe.

Fakt ten jest szeroko wykorzystywany w technice do badania napr%"e$ w ró"nych kon-

strukcjach i mechanizmach.

Napr%"enia mo"na wyznaczy& ilo#ciowo, buduj c model plastyczny urz dzenia, które

poddaje si% dzia!aniu ró"nych si!. Anizotropi% optyczn , jaka przy tym powstaje w mo-

delu, bada si% przy pomocy polaryzacji.

31-7


Wyk ad 32

32. !wiat o a fizyka kwantowa

32.1 ród!a "wiat!a

Najbardziej znanymi "ród!ami #wiat!a s rozgrzane cia!a sta!e i gazy, w których za-chodzi wy!adowanie elektryczne; np. ! wolframowe w!ókna $arówek ! jarzeniówki Promieniowanie wysy!ane przez ogrzane (do pewnej temperatury) cia!a nazywamy pro-mieniowaniem termicznym. Wszystkie cia!a emituj takie promieniowanie do otoczenia, a tak$e z tego otoczenia je absorbuj . Je$eli cia!o ma wy$sz temperatur% od otoczenia to b%dzie si% ozi%bia& poniewa$ szyb-ko#& promieniowania przewy$sza szybko#& absorpcji (ale oba procesy wyst!puj !!). Gdy osi gni%ta zostanie równowaga termodynamiczna wtedy te pr%dko#ci b%d równe. Za pomoc spektrometru mo$emy zanalizowa& #wiat!o emitowane przez te "ród!a tzn. dowiedzie& si% jak silnie i jakie d!ugo#ci fal wypromieniowuje. Dla przyk!adu, na rysunku poni$ej pokazane jest widmo promieniowania dla ta#my wolframowej ogrzanej do T = 2000 K.

0 1 2 3 4 5

zakres

widzialny

wolfram

T = 2000 K

cia o doskonale czarne

T = 2000 K

R"

" (#m)

Zanotujmy, $e: ! Widmo emitowane przez cia!a sta!e ma charakter ci g"y, ! Szczegó!y tego widma s prawie niezale$ne od rodzaju substancji, ! Widmo silnie zale$y od temperatury. Zwró&my uwag%, $e w zwyk!ych temperaturach wi%kszo#& cia! jest dla nas widoczna dlatego, $e odbijaj one (lub rozpraszaj ) #wiat!o, które na nie pada a nie dlatego, $e

32-1


cia!a te wysy!aj promieniowanie widzialne (#wiec ). Je$eli nie pada na nie #wiat!o (np. w nocy) to s one niewidoczne. Dopiero gdy cia!a maj wysok temperatur% wtedy #wiec w!asnym #wiat!em. Ale jak wida& z rysunku i tak wi%kszo#& emitowanego promieniowania jest niewidzialna bo przypada na zakres promieniowania cieplnego (podczerwie'). Dlatego cia!a, #wiec ce w!asnym #wiat!em s bardzo gor ce. Je$eli b%dziemy rozgrzewa& kawa!ek metalu to pocz tkowo chocia$ jest on gor cy to z jego wygl du nie mo$na tego stwierdzi& (bo nie #wieci); mo$na to tylko zrobi& doty-kiem. Emituje wi%c promieniowanie podczerwone (ciep!o). Ze wzrostem temperatury kawa!ek metalu staje si% pocz tkowo ciemno-czerwony, nast%pnie jasno-czerwony, a$ wreszcie #wieci #wiat!em niebiesko-bia!ym. Wielko#& R" przedstawiona na wykresie na osi pionowej nazywana jest widmow zdol-

no#ci emisyjn promieniowania i jest tak zdefiniowana, ze wielko#& R"d" oznacza szybko#&, z jak jednostkowy obszar powierzchni wypromieniowuje energi% odpowia-daj c d!ugo#ciom fal zawartym w przedziale ", "+d". Czasami chcemy rozpatrywa& ca!kowit energi% wysy!anego promieniowania w ca!ym zakresie d!ugo#ci fal. Wielko#& ta nazywana jest ca"kowit emisja energetyczna pro-

mieniowania R. Emisj% ca!kowit R mo$emy obliczy& sumuj c emisj% dla wszystkich d!ugo#ci fal tzn. ca!kuj c R" po wszystkich d!ugo#ciach fal.

$%

&0

""dRR

Oznacza to, $e mo$emy interpretowa& emisj% energetyczn promieniowania R jako po-wierzchni% pod wykresem R" od ". Ilo#ciowe interpretacje widm promieniowania przedstawiaj powa$ne trudno#ci. Dlatego pos!ugujemy si% wyidealizowanym obiektem (modelem), ogrzanym cia!em sta-!ym, zwanym cia"em doskonale czarnym. (Takie post%powali#my ju$ w przypadku ga-zów; rozwa$ali#my modelowy obiekt tzw. gaz doskona!y.) Przyk!adem takiego cia!a mo$e by& obiekt pokryty sadz (obiekt nie odbija #wiat!a, je-go powierzchnia absorbuje #wiat!o). My jednak omówimy inny przyk!ad.

32.2 Cia!o doskonale czarne

Rozwa$my trzy bloki metalowe posiadaj ce puste wn%ki wewn trz (takie jak na ry-sunku). W #ciankach tych bloków wywiercono otworki (do tych wn%k).

32-2


Promieniowanie pada na otwór z zewn trz i po wielokrotnych odbiciach od wewn%trz-nych #cian zostaje ca!kowicie poch!oni%te. Oczywi#cie #cianki wewn%trzne te$ emituj promieniowanie, które mo$e wyj#& na zewn trz przez otwór (przyk!ad - otwór okienny). Ka$dy z tych bloków (np. wolfram, tantal, molibden) ogrzewamy równomiernie do jed-nakowej temperatury np. 2000 K. Bloki znajduj si% w nieo#wietlonym pomieszczeniu, tak $e obserwujemy tylko #wiat!o wysy!ane przez nie. Pomiary wykonane pokazuj , $e: ! Promieniowanie wychodz ce z wn%trza bloków ma zawsze wi%ksze nat%$enie ni$

promieniowanie ze #cian bocznych (rysunek powy$ej), ! Dla danej temperatury emisja promieniowania wychodz cego z otworów jest iden-

tyczna dla wszystkich $róde" promieniowania, pomimo $e dla zewn%trznych po-wierzchni te warto#ci s ró$ne,

! Emisja energetyczna promieniowania cia!a doskonale czarnego (nie jego po-wierzchni) zmienia si% wraz z temperatur wed!ug prawa Stefana

4TRC '& (32.1)

gdzie ' jest uniwersaln sta! (sta!a Stefana-Boltzmana) równ 5.67·10-8 W/(m2K). Dla zewn%trznych powierzchni to empiryczne prawo ma posta&:

4TeRC '&

gdzie zdolno#& emisyjna e jest wielko#ci zale$n od substancji i, co jeszcze bardziej skomplikowane, od temperatury. R" dla cia!a doskonale czarnego zmienia si% z temperatur tak jak na rysunku poni$ej.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

T = 3000 K

T = 4000 K

T = 5000 K

T = 6000 K

obszar widzialnyklasyczna teoria

R"

" (#m)

D!ugo#& fali dla której przypada maksimum emisji jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury cia!a.

32-3


Uwaga: Krzywe te zale$ tylko od temperatury i s ca!kiem niezale$ne od materia!u oraz kszta!tu i wielko#ci cia!a czarnego. Rozpatrzmy teraz, pokazane na rysunku poni$ej, dwa cia!a doskonale czarne (dwie wn%ki).

RARB

T T

! Kszta!ty wn%k s dowolne, ! Temperatura #cianek obu wn%k jest jednakowa. Promieniowanie oznaczone RA przechodzi z wn%ki A do wn%ki B, a promieniowanie RB w odwrotnym kierunku. Je$eli te szybko#ci nie by!yby równe wówczas jeden z bloków ogrzewa!by si% a drugi styg!. Oznacza!oby to pogwa!cenie drugiej zasady termodyna-miki. Mamy wi%c

RA = RB = RC

gdzie RC opisuje ca!kowite promieniowanie dowolnej wn%ki. Nie tylko energia ca!kowita ale równie$ jej rozk!ad musi by& taki sam dla obu wn%k. Stosuj c to samo rozumowanie co poprzednio mo$na pokaza&, $e

R"A = R"B = R"C

gdzie R"C oznacza widmow zdolno#& emisyjn dowolnej wn%ki.

32.3 Teoria promieniowania we wn#ce, prawo Plancka

32.3.1 Rozwa"ania klasyczne

Na prze!omie ubieg!ego stulecia Rayleigh i Jeans wykonali obliczenia energii pro-mieniowania we wn%ce (czyli promieniowania cia!a doskonale czarnego). Najpierw zastosowali oni klasyczn teori% pola elektromagnetycznego do pokazania, $e promieniowanie wewn trz wn%ki ma charakter fal stoj cych (w%z!y na #ciankach wn%-ki). Zgodnie z fizyk klasyczn , energia ka%dej fali mo%e przyjmowa& dowoln warto#& od

zera do niesko'czono#ci, przy czym energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Nast%pnie Rayleigh i Jeans obliczyli warto#ci #redniej energii w oparciu o znane nam prawo ekwipartycji energii i w oparciu o ni znale"li widmow zdolno#& emisyjn . Uzyskany wynik jest pokazany na wykresie na stronie 3 (teoria klasyczna). Jak wida& rozbie$no#& mi%dzy wynikami do#wiadczalnymi i teori jest du$a. Dla fal d!ugich (ma-

32-4


!ych cz%stotliwo#ci) wyniki teoretyczne s bliskie krzywej do#wiadczalnej, ale dla wy$-szych cz%stotliwo#ci wyniki teoretyczne d $ do niesko'czono#ci podczas gdy g%sto#& energii zawsze pozostaje sko'czona. Ten sprzeczny z rzeczywisto#ci wynik rozwa$a' klasycznych nazywany jest „katastrof w nadfiolecie”.

32.3.2 Teoria Plancka promieniowania cia a doskonale czarnego

W 1900 roku Max Planck przedstawi! Berli'skiemu Towarzystwu Fizycznemu em-

piryczny wzór opisuj cy widmow zdolno#& emisyjn daj cy wyniki zgodne z do-

#wiadczeniem.

1

125

1

(&

Tce

cR

"" " (32.2)

Wzór ten stanowi! modyfikacj% znanego ju$ prawa Wiena i chocia$ wa$ny nie stanowi! sam nowej teorii (by! to wzór empiryczny).

Próbuj c znale"& tak teori% Planck za!o$y!, $e atomy #cian zachowuj si% jak oscylato-

ry elektromagnetyczne, które emituj (i absorbuj ) energi% do wn%ki, z których ka$dy

ma charakterystyczn cz%stotliwo#& drga'.

Rozumowanie Plancka doprowadzi!o do przyj%cia dwóch radykalnych za!o$e' dotycz -

cych tych oscylatorów atomowych:

1. Oscylator nie mo$e mie& dowolnej energii, lecz tylko energie dane wzorem

E = nhv (32.3)

gdzie v oznacza cz%sto#& oscylatora, h -sta! (zwan obecnie sta! Plancka),

n - pewn liczb% ca!kowit (zwan obecnie liczb kwantow ).

Z powy$szego wzoru wynika, $e energia jest skwantowana i mo$e przyjmowa& tyl-

ko #ci#le okre#lone warto#ci. Tu jest zasadnicza ró$nica bo teoria klasyczna zak!ada-

!a dowoln warto#& energii od zera do niesko'czono#ci.

2. Oscylatory nie wypromieniowuj energii w sposób ci g!y, lecz porcjami czyli

kwantami. Kwanty s emitowane gdy oscylator przechodzi z jednego stanu o danej

energii do drugiego o innej energii

)E = )nhv = hv

gdy n zmienia si% o jedno#&.

Dopóki oscylator pozostaje w jednym ze swoich stanów kwantowych (stany stacjonar-

ne) dopóty ani nie emituje ani nie absorbuje energii.

Sprawd"my czy ta hipoteza stosuje si% do znanych nam oscylatorów takich jak np. spr%-

$yna o masie m = 1 kg i sta!ej spr%$ysto#ci k = 20 N/m wykonuj ca drgania o amplitu-

dzie 1 cm. Dla takiej spr%$yny cz%stotliwo#& drga' w!asnych wynosi

Hzm

kv 71.0

2

1&&

*

32-5


Warto#& energii ca!kowitej (mechanicznej) tej spr%$yny wynosi

JkAE 32 1012

1 (+&&

Je$eli energia jest skwantowana to jej zmiany dokonuj si% skokowo przy czym

)E = hv. Wzgl%dna zmiana energii wynosi wi%c

)E/E = 4.7·10-31

W celu zaobserwowania (zarejestrowania) tych nieci g!ych zmian energii trzeba by

wykona& pomiar energii z dok!adno#ci przewy$szaj c wielokrotnie czu!o#& przyrz -

dów pomiarowych.

Tak wi%c dla „du$ych” oscylatorów natura kwantowa drga' nie jest widoczna podobnie

jak w uk!adach makroskopowych nie widzimy dyskretnej natury materii (cz steczek,

atomów, elektronów itp.).

Wnioskujemy, $e do#wiadczenia ze zwyk!ym wahad!em nie mog rozstrzygn & o s!usz-

no#ci postulatu Plancka.

Zanim przejdziemy do przedstawienia innych do#wiadcze' (zjawisko fotoelektryczne i

efekt Comptona) omówmy zastosowanie prawa promieniowania w termometrii.

32.3.3 Zastosowanie prawa promieniowania w termometrii

Promieniowanie emitowane przez gor ce cia!o mo$na wykorzysta& do wyznaczenia

jego temperatury. Je$eli mierzy si% ca!kowite promieniowanie, to mo$na zastosowa&

prawo Stefana-Boltzmana.

Przyk"ad 1

(rednia ilo#& energii (na jednostk% czasu) promieniowania s!onecznego padaj cego na

jednostk% powierzchni Ziemi wynosi 355 W/m2. Jak temperatur% b%dzie mia!a po-

wierzchnia Ziemi, je$eli przyj &, $e Ziemia jest cia!em doskonale czarnym, wypromie-

niowuj cym w przestrze' w!a#nie tyle energii na jednostk% powierzchni i czasu?

4TRC '&

C8K2814 &&&

'CR

T

(Wynik bardzo dobrze zgodny z do#wiadczeniem.)

Poniewa$ dla wi%kszo#ci "róde! trudno dokona& pomiaru ca!kowitego promieniowania

wi%c mierzy si% ich zdolno#& emisyjn dla wybranego zakresu d!ugo#ci fal. Z prawa

Plancka wynika, $e dla dwu cia! o temperaturach T1 i T2 stosunek nat%$e' promienio-

wania o d!ugo#ci fali " wynosi

1

12

1

2

1

(

(&

kThc

kThc

e

e

I

I"

"

32-6


Je$eli T1 przyjmiemy jako standardow temperatur% odniesienia to mo$emy wyznaczy&

T2 wyznaczaj c do#wiadczalnie I1/I2.

Do tego celu pos!ugujemy si% pirometrem (rysunek poni$ej).

A

!ród opromieniowania

w ókno pirometru

mikroskop

Obraz "ród!a (o nieznanej temperaturze) powstaje w miejscu gdzie znajduje si% w!ókno

$arowe pirometru. Dobieramy pr d $arzenia tak aby w!ókno sta!o si% niewidoczne na tle

"ród!a (#wieci tak samo jasno). Poniewa$ urz dzenie jest wyskalowane mo$emy teraz

odczyta& temperatur% "ród!a.

32.4 Zjawisko fotoelektryczne

Na rysunku przedstawiono aparatur% do badania zjawiska fotoelektrycznego. W

szklanej ba'ce, w której panuje wysoka pró$nia, znajduj si% dwie metalowe elektrody

A i B.

A B

GV

"wiat opadaj#ce

prze #cznik

! (wiat!o pada na metalow p!ytk% A i uwalnia z niej elektrony, które nazywamy fo-

toelektronami.

32-7


! Fotoelektrony mo$na zarejestrowa& jako pr d elektryczny p!yn cy mi%dzy p!ytk A

oraz elektrod zbieraj c B przy wytworzeniu mi%dzy nimi odpowiedniej ró$nicy

potencja!ów V (tak aby elektrony by!y przyci gane do B). Do pomiaru pr du stosu-

jemy czu!e galwanometry.

Poni$ej pokazana jest zale$no#& pr du fotoelektrycznego od przy!o$onego napi%cia

(ró$nicy potencja!ów V).

Ia

Ib

+ - V0 V

Gdy V jest dostatecznie du$e, wtedy pr d fotoelektryczny osi ga maksymaln warto#&

(pr d nasycenia). Wszystkie elektrony wybijane z p!ytki A docieraj do elektrody B.

Je$eli zmienimy znak napi%cia V, to pr d nie spada do zera natychmiast (przy V = 0

mamy niezerowy pr d).

Oznacza to, %e fotoelektrony emitowane z p"ytki A maj pewn energi! kinetyczn .

Nie wszystkie elektrony maj jednakowo du$a energi% kinetyczn bo tylko cz%#& z nich

dolatuje do elektrody B (pr d mniejszy od maksymalnego). Przy dostatecznie du$ym

napi%ciu (V0) zwanym napi!ciem hamowania pr d zanika. Ró$nica potencja!ów V0 po-

mno$ona przez !adunek elektronu e jest miar energii najszybszych elektronów (przy V0

nawet najszybsze elektrony s zahamowane, nie dochodz do B)

Ekmax = eV0 (32.4)

Krzywe a i b na rysunku ró$ni si% nat%$eniem padaj cego #wiat!a (Ib > Ia). Wida&

wi%c, $e Ekmax nie zale$y od nat%$enia #wiat!a. Zmienia si% tylko pr d nasycenia, a to

oznacza, $e wi zka o #wiat!a wi%kszym nat%$eniu wybija wi%cej elektronów (ale nie

szybszych).

Wynik innego do#wiadczenia pokazuje kolejny rysunek.

32-8


12 8 4 0

cz stotliwo ! (10 Hz)

Vh (V)

3

2

1

14

Pokazano tu zale no!" napi#cia hamowania od cz#stotliwo!ci !wiat$a padaj%cego dla sodu. (Millikan, Nobel w 1923). Zauwa my, e istnieje pewna warto!" progowa cz#stotliwo!ci, poni ej której zjawisko fotoelektryczne nie wyst#puje. Opisane zjawisko fotoelektryczne ma trzy cechy, których nie mo na wyja!ni" na grun-cie klasycznej falowej teorii !wiat$a: 1. Z teorii klasycznej wynika, e wi#ksze nat# enia !wiat$a oznacza wi#ksze pole elek-

tryczne E (I ~ E2). Poniewa si$a dzia$aj%ca na elektron wynosi eE wi#c gdy ro!nie

nat# enie !wiat$a to powinna rosn%" ta si$a, a w konsekwencji energia kinetyczna elektronów. Tymczasem stwierdzili!my, e Ekmax nie zale y od nat# enia !wiat$a. Zgodnie 2. z teori% falow% zjawisko fotoelektryczne powinno wyst#powa" dla ka dej

3. ron absorbuje

Ein $o eniu, e

E = hv (32.5)

cz#stotliwo!ci !wiat$a pod warunkiem dostatecznego nat# enia. Jednak dla ka dego materia$u istnieje progowa cz#stotliwo!" v0, poni ej której nie obserwujemy zjawi-ska fotoelektrycznego bez wzgl#du na jak silne jest o!wietlenie. Poniewa energia w fali jest „roz$o ona” w ca$ej przestrzeni to elekt

tylko niewielk% cz#!" energii z wi%zki (bo jest bardzo ma$y). Mo na wi#c spodzie-

wa" si# opó&nienia pomi#dzy pocz%tkiem o!wietlania, a chwil% uwolnienia elektro-

nu (elektron musi mie" czas na zgromadzenie dostatecznej energii). Jednak nigdy

nie stwierdzono adnego mierzalnego opó&nienia czasowego.

steinowi uda$o si# wyja!ni" efekt fotoelektryczny dzi#ki nowemu za

energia wi%zki !wietlnej rozchodzi si# w przestrzeni w postaci sko'czonych porcji

(kwantów) energii zwanych fotonami. Energia pojedynczego fotonu jest dana wzorem

Przypomnijmy sobie, e Planck utrzymywa$, e ród!o emituje "wiat!o w sposób nieci#-

fala ale jak

hv = W + Ekmax (32.6)

g!y ale w przestrzeni rozchodzi si$ ono jako fala elektromagnetyczna.

Hipoteza Einsteina sugeruje, e !wiat$o rozchodzi si# w przestrzeni nie jak

cz%stka. Stosuj%c t# hipotez# do efektu fotoelektrycznego otrzymamy

32-9

Z. K%kol-Notatki do Wyk$adu z Fizyki

gdzie hv oznacza energi# fotonu. Równanie to g$osi, e jeden foton dostarcza energii hv,

która w cz#!ci (W) zostaje zu yta na wyrwanie elektronu z materia$u (jego przej!cie

przez powierzchni#). Ewentualny nadmiar energii (hv – W) elektron otrzymuje w posta-

ci energii kinetycznej, przy czym cz#!" z niej mo e by" stracona w zderzeniach we-

wn#trznych (przed opuszczeniem materia$u).

Rozpatrzmy teraz ponownie (z nowego punktu widzenia) trzy cechy fotoefektu nie da-

j%ce si# wyja!ni" za pomoc% klasycznej teorii falowej.

1. Podwajaj%c nat# enie !wiat$a podwajamy liczb# fotonów a nie zmieniamy ich ener-

gii. Ulega wi#c podwojeniu fotopr%d a nie Ekmax, która nie zale y tym samym od na-

t# enia.

2. Je eli mamy tak% cz#stotliwo!", e hv0 = W to wtedy Ekmax = 0. Nie ma nadmiaru

energii. Wielko!" W nazywamy prac# wyj"cia dla danej substancji. Je eli v < v0 to

fotony niezale nie od ich liczby (nat# enia !wiat$a) nie maj% dosy" energii do wy-

wo$ania fotoemisji.

3. Dostarczana jest energia w postaci skupionej (kwant, porcja) a nie roz$o onej (fala).

Mo emy przepisa" równanie dla fotoefektu w postaci

e

Wv

e

hV !0 (32.7)

Wida", e teoria przewiduje liniow% zale no!" pomi#dzy napi#ciem hamowania, a cz#-

stotliwo!ci%, co jest ca$kowicie zgodne z do!wiadczeniem.

Teoria fotonowa ca$kowicie potwierdza wi#c fakty zwi%zane ze zjawiskiem fotoelek-

trycznym, wydaje si# jednak by" sprzeczna z teori% falow%, która te potwierdzona zo-

sta$a do!wiadczalnie (np. dyfrakcja).

Nasz obecny punkt widzenia na natur# !wiat$a jest taki, e ma ono dwoisty charakter,

tzn. w pewnych warunkach zachowuje si# jak fala, a w innych jak cz%stka, czyli foton.

Ta dwoista natura b#dzie jeszcze omawiana na dalszych wyk$adach.

32.5 Efekt Comptona

Do!wiadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako sko'czonej porcji energii zosta$o

dostarczone prze Comptona w 1923 r (Nobel w 1927).

Wi%zka promieni X o dok$adnie okre!lonej d$ugo!ci fali pada na blok grafitowy (rysu-

nek poni ej).

32-10


"ród#o promieni

grafitowy blok rozpraszaj$cy

szczeliny kolimuj$ce

detektor

kryszta# grafitu

"

Compton mierzy$ nat# enie wi%zki rozproszonej pod ró nymi k%tami jako funkcj# #.

Wyniki pokazane s% na nast#pnej stronie. Wida", e chocia wi%zka padaj%ca na grafit

ma jedn% d$ugo!" fali to rozproszone promienie X maj% maksimum dla dwóch d$ugo!ci

fali. Jedna z nich jest identyczna jak # fali padaj%cej, druga #' jest wi#ksza (d$u sza) o

$#. To tzw. przesuni$cie Comptona zmienia si# z k%tem obserwacji rozproszonego

promieniowania X (czyli #' zmienia si# z k%tem).

Je eli padaj%ce promieniowanie potraktujemy jako fal# to pojawienie si# fali rozproszo-

nej o d$ugo!ci #' nie da si# wyja!ni".

32-11


" = 45°

" = 90°

" = 135°

°A

0.7500.700

" = 0°

# ,

Compton potrafi$ wyja!ni" swoje wyniki przyjmuj%c, e wi%zka promieni X nie jest fa-

l%, a strumieniem fotonów o energii hv. Za$o y$ on, e fotony (jak cz%stki) ulegaj% zde-

rzeniu z elektronami swobodnymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderze-

niach (np. kule bilardowe) zmienia si# kierunek poruszania si# fotonu oraz jego energia

(cz#!" energii przekazana elektronowi). To ostatnie oznacza zmian# cz#stotliwo!ci i

zarazem d$ugo!ci fali. Sytuacja ta jest schematycznie pokazana na rysunku poni ej.

foton

foton #'

#

elektron

elektron

v=0

v

"

%

Stosuj%c zasad# zachowania p#du oraz zasad# zachowania energii (stosujemy wyra enia

relatywistyczne) otrzymamy ostatecznie wynik

32-12


)cos1(0

"### ! &!$cm

h (32.8)

gdzie m0 jest mas% elektronu (spoczynkow%).

Tak wi#c przesuni#cie Comptona zale y tylko od k%ta rozproszenia.

Pozostaje tylko wyja!ni" wyst#powanie maksimum dla nie zmienionej #. Za ten efekt

odpowiedzialne s% zderzenia z elektronami rdzenia jonowego. W zderzeniu odrzutowi

ulega ca$y jon o masie M. Dla w#gla (grafitu) M = 22000 m0 wi#c otrzymujemy niemie-

rzalnie ma$e przesuni#cie Comptona.

32-13

Z. K kol-Notatki do Wyk!adu z Komputeryzacji

Wyk ad 33

33. Model atomu Bohra

33.1 Wst p

Do roku 1910 znano wiele wyników eksperymentalnych, które wskazywa!y na to, "e

atomy zawieraj elektrony (np. zjawisko fotoelektryczne).

Poniewa" w normalnych warunkach atomy s elektrycznie oboj#tne, a zatem musz one

mie$ !adunek dodatni równy ujemnemu.

Poniewa" masa elektronów jest bardzo ma!a w porównaniu z mas najl"ejszych nawet

atomów oznacza!o ponadto, "e !adunki dodatnie zwi zane s ze znaczn mas .

Tego typu rozwa"ania prowadzi!y do pytania, jak wygl da rozk!ad !adunków dodatnich

i ujemnych w atomie.

J. J. Thomson zaproponowa! model budowy atomu, zgodnie z którym ujemnie na!ado-

wane elektrony znajduj si# wewn trz pewnego obszaru wype!nionego w sposób ci g!y

!adunkiem dodatnim („ciasto z rodzynkami”).

%adunek dodatni tworzy! kul# o promieniu rz#du 10

-10 m. W tej kuli !adunki ujemne

by!yby roz!o"one równomiernie (w wyniku si! odpychania).

W atomie znajduj cym si# w stanie o najni"szej energii elektrony by!y nieruchome. Na-

tomiast w atomach o wy"szej energii, tzn. w atomach wzbudzonych (np. w wysokiej

temperaturze) elektrony wykonywa!yby drgania wokó! po!o"e& równowagi.

Uwaga: Zgodnie z prawami elektrodynamiki klasycznej ka de na!adowane cia!o poru-

szaj"ce si# ruchem przyspieszonym wysy!a promieniowanie elektromagnetyczne. Do-

wód wykracza poza ramy tego wyk!adu ale przypomnijmy sobie jeszcze raz anten# di-

polow . Zmienne pole elektryczne w antenie wywo!uje drgania !adunku (pr d zmienny)

i antena emituje fal# elektromagnetyczn .

Tak wi#c drgaj cy elektron wysy!a!by promieniowanie i w ten sposób model Thomsona

wyja'nia! zjawisko emisji promieniowania przez wzbudzone atomy.

Jednak zgodno'ci ilo'ciowej z do'wiadczeniem nie uzyskano.

Ostateczny dowód nieadekwatno'ci modelu Thomsona otrzyma! w 1911 r. jego ucze&

E. Rutherford analizuj c wyniki rozpraszania cz stek na atomach.

Z przeprowadzonej przez Rutherforda analizy wynika!o, "e !adunek dodatni nie jest roz-

!o"ony równomiernie wewn trz atomu, ale skupiony w ma!ym obszarze zwanym j"-

drem (o rozmiarze 10-14

m) le" cym w 'rodku atomu.

Model j drowy atomu zaproponowany przez Rutherforda znalaz! potwierdzenie w sze-

regu do'wiadcze&.

Zgodnie z tym modelem:

33-1


!" W 'rodku atomu znajduje si# j dro o masie w przybli"eniu równej masie ca!ego

atomu,

!" %adunek j dra jest równy iloczynowi liczby atomowej Z i !adunku e,

!" Wokó! j dra znajduje si# Z elektronów, tak "e ca!y atom jest oboj#tny.

Wa"nym problemem pozostaje wyja'nienie zagadnienia stabilno'ci takiego atomu.

Elektrony nie mog by$ nieruchome bo w wyniku przyci gania z dodatnim j drem zo-

sta!yby do niego przyci gni#te i wtedy „wróciliby'my” do modelu Thomsona. Je"eli

dopu'cimy ruch elektronów wokó! j dra (tak jak planety wokó! S!o&ca w uk!adzie s!o-

necznym) to te" natrafiamy na trudno'$ interpretacyjn . Kr " cy elektron doznaje stale

przyspieszenia (do'rodkowego) i zgodnie z elektrodynamik klasyczn wysy!a energi#

kosztem swojej energii mechanicznej. Oznacza!oby to, "e porusza!by si# po spirali osta-

tecznie spadaj c na j dro (model Thomsona).

Problem stabilno'ci atomów doprowadzi! do powstania nowego modelu zaproponowa-

nego przez N. Bohra. Podstawow cech tego modelu by!o to, "e umo"liwia! przewi-

dywanie widm promieniowania wysy!anego przez atomy.

Najpierw omówimy wi#c podstawowe cechy tych widm.

33.2 Widma atomowe

Na rysunku przedstawiony jest typowy uk!ad do pomiaru widm atomowych.

(ród!em promieniowania jest jednoatomowy gaz pobudzony do 'wiecenia metod wy-

!adowania elektrycznego. Promieniowanie przechodzi przez szczelin# kolimuj c , a na-

st#pnie pada na pryzmat (lub siatk# dyfrakcyjn ), który rozk!ada promieniowanie na

sk!adowe o ró"nych d!ugo'ciach fal.

Na kliszy fotograficznej uwidacznia si# cecha szczególna obserwowanych widm.

W przeciwie&stwie do widma ci g!ego emitowanego np. przez powierzchnie cia! ogrza-

nych do wysokich temperatur, promieniowanie wysy!ane przez swobodne atomy zawie-

ra tylko pewn liczb# d!ugo'ci fal. Ka"da z takich sk!adowych d!ugo'ci fal nazywana

jest lini (bo taki jest obraz szczeliny).

Na rysunku na nast#pnej stronie pokazana jest widzialna cz#'$ widma atomu wodoru.

33-2


360 400 440 480 520 560 600 640 680

# (nm)

To w!a'nie badanie widma wodoru doprowadzi!o Bohra do sformu!owania nowego mo-

delu atomu. Model ten chocia" posiada pewne braki to ilustruje id# kwantowania w spo-

sób prosty matematycznie.

33.3 Model Bohra atomu wodoru

Jak ju" mówili'my fizyka klasyczna przewidywa!a, "e atom kr " cy po orbicie b#-

dzie wypromieniowywa! energi#, tak "e cz#sto'$ elektronu a za tym tak"e cz#sto'$ wy-

sy!anego promieniowania b#dzie si# zmienia$ w sposób ci g!y. Tymczasem obserwu-

jemy bardzo ostre linie widmowe o 'ci'le okre'lonej cz#stotliwo'ci (d!ugo'ci fali).

Bohr unikn ! tej trudno'ci zak!adaj c, "e podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo

Ek – Ej = hv (33.1)

atom wodoru mo"e znajdowa$ si# w 'ci'le okre'lonych stanach energetycznych, w któ-

rych nie wypromieniowuje energii. Emisja nast#puje tylko wtedy gdy atom przechodzi

z jednego stanu o energii Ek do stanu o ni"szej energii Ej. Ujmuj c to w postaci równa-

nia

gdzie hv oznacza kwant energii niesionej przez foton, który zostaje w trakcie przej'cia

energii stanów stacjonarnych i wtedy obliczaj c mo"-

porusza si# po orbitach ko!owych o promieniu r ze 'rodkiem w miejscu j -

!" (pojedynczy proton) jest tak ci#"kie, "e 'rodek masy pokrywa si# ze 'rodkiem

orzystaj c z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy

F = ma

albo

wypromieniowany przez atom.

Teraz konieczna jest znajomo'$liwe ró"nice energii b#dziemy mogli przewidzie$ wygl d widma promieniowania emi-

towanego przez atom.

Za!o"enia:

!" elektron

dra,

j dro

protonu.

K

rm

r

e 2

2

2

04

1 v$

%& (33.2)

33-3


wzgl#dnili'my tylko przyci gani

ym elektronem zaniedbuj c oddzia !usznie?

U pomi#dzy dodatnim j drem i ujem-e elektrostatyczne

!ywanie grawitacyjne. Czy sn

Przyk!ad 1

Obliczy$ stosunek si! przyci gania grawitacyjnego do elektrostatycznego dla protonu i

atomie wodoru. Masa elektronu me = 9.1·10-31

kg, masa protonu mp = -19 -11

elektronu w-27

1.7·10 kg, !adunek elementarny e = 1.6·10 C sta!a grawitacyjna G = 6.67·10

Nm2/kg

2, a sta!a w prawie Coulomba 1/4%&0 = 8.99·10

9 Nm

2/C

2.

202

2

0

21054

4'($$

mmG

rmGmF epepG %&%& 39)

eerFE

Si!a grawitacyjna jest ca!kowicie do zaniedbania.

Wzór (33.2) pozwala obliczy$ energi# kinetyczn

e

mEk

21$$ v

r0

2

82 %& (33.3)

nergia potencjalna uk!adu elektE równaniem ron - proton jest dana

e

E p )$ r0

2

4%&

C

(33.4)

a!kowita energia uk!adu wynosi

r

eEE pk

0

2

8%&)$*$ E (33.5)

oniewa", promie& orbity mo"y$ dowolna. Ze wzoru (33.3) m dko'$ liniow elektronu

P warto'$ wi#c i energia te" mo"e e przyjmowa$ dowoln

o"emy wyznaczy$ pr#b

e2

$v mr04%&

a nast#pnie cz#stotliwo'$

3

0

3

2

0162 mr

e

rv

&%%$$

v

P#d dany jest równaniem

33-4


r04%&

memp

2

$$ v

a moment p#du

04%&

2rmeprL $$ (33.6)

ak wi#c, je"eli jest dane r, to znane s

oraz L.

ku z tym wysun ! hipotez#, wed!ug której najprostsz jest kwantyzacja parame-

!owej pod wp!ywem przyci gania ku-

onem i j drem i ruch ten podlega prawom mechaniki

2.

tron mo"e porusza$ si# tylko po takich orbitach, dla których moment

T metry orbitalne: Ek, Ep, E, v, v0, p, równie" para

Je"eli jakakolwiek z tych wielko'ci jest skwantowana, to wszystkie musz by$ skwan-

towane.

Na tym etapie Bohr nie mia! "adnych zasad, którymi móg!by si# pos!u"y$.

W zwi z

trów orbity i zastosowa! j do momentu p#du L.

Postulaty Bohra by!y nast#puj ce:

1. Elektron w atomie porusza si# po orbicie ko

lombowskiego pomi#dzy elektr

klasycznej.

Zamiast niesko&czonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki kla-

sycznej, elek

p#du L jest równy ca!kowitej wielokrotno'ci sta!ej Plancka podzielonej przez 2%.

,.....3,2,1$$ nh

nL (33. 2%

kwantow . (Zwró$my u

7)

gdzie sta!a n oznacza liczb# wag#, "e ponownie tak jak przy

opisie cia!a doskonale czarnego, efektu fotoelektrycznego, efektu Comptona, poja-

3.

uje energii. A zatem jego ca!kowita energia pozostaje sta!a.

s

wia si# sta!a Plancka h.)

Pomimo, "e elektron doznaje przyspieszenia (poruszaj c si# po takiej orbicie), to

jednak nie wypromieniow

4. Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje tylko wys!ane gdy elektron poruszaj -

cy si# po orbicie o ca!kowitej energii Ej zmienia swój ruch skokowo, tak "e porusza

i# nast#pnie po orbicie o energii Ek. Cz#stotliwo'$ emitowanego promieniowania

jest równa

h

EEv

kj )$ (33.8)

Uwaga: To jest postulat Einsteina g #stotliwo'$ fotonu promieniowania

lektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez sta! Plancka.

z by$

skwantowane.

% cz c równanie (33.6) z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy

!osz cy, "e cz

e

Drugi postulat opisuje kwantyzacj# momentu p#du L. Ale jak ju" mówili'my je"eli ja-

kakolwiek z wielko'ci: Ek, Ep, E, v, v0, p, i L jest skwantowana, to wszystkie mus

33-5


20

22 $

h &,.........3,2,112

$$ nrnme

nr%

(33.9)

idzimy jak skwantowane jest "enia na energi#

a!kowit (33.5) daje

W r. Podstawienie tego równanie do wyra

c

.......,3,2,18 2222

$$)$ nnnh

E&

(33.10) 1

0

4 Eme

Z tego równania otrzym .

tan n = + odpowiada stanowi

atom.

a rysunku poni"ej s pokazane wybrane przeskoki mi#dzy ró"nymi stanami stacjonar-

ujemy warto$ci energii dozwolonych stanów stacjonarych

E = 0, w którym elektron jest cS a!kowicie usuni#ty poza

N

nymi.

n

3

2

1seria Lymana

seria Balmera

seria Paschena

gra

nic

a s

eri

i

gra

nic

a s

eri

i

dej ze strza!ek jest równa ró"nicy energii mi#dzy dwom

i czyli równa energii hv wypromieniowanego kwantu. Cz#stotliwo

ieniowania mo"na obliczy$ korzystaj c z postulatu Bohra dotycz

ieniowania emitowanego przez atom oraz ze wzoru na energi

+6

gra

nic

a s

eri

i

45

D!ugo'$ ka" a stanami stacjo-

narnym '$ emitowa-

nego prom cego cz#-

stotliwo'ci prom # (33.7)

,,-

.//0

1)$

2232

0

4 11

8 kjh

mev

& (33.11)

33-6


gdzie j, k s liczbami kwantowym szy i wy"szy stan stacjonarny.

a gruncie modelu Bohra mo"na

jednoelektronowych. Mo"na równie a absorpcyjne. Poniewa" elektron

usi mie$ w atomie energi# ca!kowit równ jednej z energii dozwolonych (stanu sta-

'lone

i opisuj cymi ni"!atwo zrozumie$ w!a" zrozumie$ widm

N sno'ci widm emisyjnych atomów

m

cjonarnego) wi#c z padaj cego promieniowania mo"e on absorbowa$ tylko okre

porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów hv musi by$ równa ró"nicy

pomi#dzy energiami dozwolonych stanów tak wi#c linie widma absorpcyjnego maj te

same cz#stotliwo'ci (d!ugo'ci fal) co linie widma emisyjnego.

Na pocz tku atom jest w stanie podstawowym n = 1 wi#c procesy absorpcji odpowiada-

j serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach atomy b#d ju" w stanie n = 2

i mo"emy obserwowa$ linie absorpcyjne serii Balmera (widzialne).

33-7


Wyk ad 34

34. Fale i cz!stki

34.1 Fale materii

Omawiane na poprzednich wyk!adach do"wiadczenia by!y interpretowane raz

w oparciu o obraz falowy (np. dyfrakcja) innym razem w oparciu o model cz steczko-

wy (np. efekt Comptona).

Je#eli "wiat!o ma dwoist falowo-cz steczkow natur$, to by% mo#e materia te# ma tak

dwoist natur$. Tak sugesti$ zaprezentowa! w 1924 L. de Broglie min. w oparciu ob-

serwacj$, #e Wszech"wiat sk!ada si$ wy! cznie ze "wiat!a i materii oraz #e pod wieloma

wzgl$dami przyroda jest zadziwiaj co symetryczna. Chocia# materi$ traktowano jako

cz stki de Broglie zasugerowa!, #e nale#y zbada% czy materia nie wykazuje równie#

w!asno"ci falowych.

De Broglie nie tylko zaproponowa! istnienie fal materii ale równie# przewidzia! ich

d!ugo"%. Za!o#y!, #e d!ugo"% przewidywanych fal materii jest okre"lona tym samym

zwi zkiem, który stosuje si$ do "wiat!a.

Analizuj c zderzenie fotonu z elektronem (efekt Comptona) zastosowano do tego

zderzenia zasad$ zachowania p$du. Do tych oblicze& potrzebne by!o wyra#enie na p d

fotonu.

h

c

hc

c

hv

c

Emcp f !!!!! (34.1)

Analogiczne wyra#enie zosta!o zaproponowane przez de Broglia dla fal materii

p

h! (34.2)

Wyra#enie to wi #e teraz p$d cz stki materialnej z d!ugo"ci przewidywanych fal mate-

rii.

Przyk!ad 1

Jak d!ugo"% fali przewiduje równanie (34.2) dla obiektów „masywnych” np. dla pi!ki,

o masie 1 kg, poruszaj cej si$ z pr$dko"ci 10 m/s, a jak dla „lekkich” np. elektronów

przyspieszonych napi$ciem 100 V?

Dla pi!ki p= mv = 1 kg·10 m/s = 10 kg m/s

St d d!ugo"% fali de Broglie’a

m106.6kgm/s10

Js106.6 3534

""

#!#

!!p

h

Ta wielko"% jest praktycznie równa zeru zw!aszcza w porównaniu z rozmiarami obiek-

tu. Do"wiadczenia prowadzone na takim obiekcie nie pozwalaj wi$c na rozstrzygni$cie

czy materia wykazuje w!asno"ci falowe ( zbyt ma!a). Przypomnijmy, #e falowy cha-

34-1


rakter "wiat!a przejawia si$ gdy wymiary liniowe obiektów s porównywalne z d!ugo-

"ci fali.

Natomiast elektrony przyspieszone napi$ciem 100 V uzyskuj energi$ kinetyczn

Ek = eU = 100 eV = 1.6·10-17

J

Pr$dko"% jak uzyskuj elektrony wynosi

sm109.5kg101.9

J106.122 6

31

17

#!#

##!!

"

"

m

Ekv

Odpowiednia d!ugo"% fali de Broglie’a wynosi

nm12.0m102.1smkg10*9.5101.9

Js106.6 10

631

34

!#!##

#!!! "

"

"

vm

h

p

h

Jest to wielko"% rz$du odleg!o"ci mi$dzy atomowych w cia!ach sta!ych.

Mo#na wi$c zbada% falow natur$ materii (tak jak promieni Roentgena) skierowuj c

wi zk$ elektronów, o odpowiedniej energii, na kryszta!. Takie do"wiadczenie przepro-

wadzili w 1961 roku Davisson i Germer w USA oraz Thomson w Szkocji. Na rysunku

przedstawiono schemat aparatury pomiarowej.

w ókno

wi!zka padaj!ca

wi!zka odbita kryszta

detektor

$

Elektrony emitowane z ogrzewanego w!ókna przyspieszane s regulowanym napi$ciem.

Wi zka zostaje skierowana na kryszta! niklu a detektor jest ustawiony pod pewnym

szczególnym k tem $. Nat$#enie wi zki ugi$tej na krysztale jest odczytywane przy

ró#nych napi$ciach przyspieszaj cych. Okazuje si$, #e pr d w detektorze ujawnia mak-

simum dyfrakcyjne przy k cie równym 50° dla U = 54 V.

Je#eli skorzystamy z prawa Bragga mo#emy obliczymy warto"% , dla której obserwu-

jemy maksimum w tych warunkach

% sin2d!

34-2


Dla niklu d = 0.091 nm. Poniewa# $ = 50° wi$c % = 90° - $/2 = 65° (rysunek).

$

%

d

D!ugo"% fali obliczona w oparciu o te dane wynosi:

= 2·0.091 nm·sin65° = 0.165 nm

Teraz w oparciu o znan energi$ elektronów (54 eV) obliczymy d!ugo"% fali de Bro-

glie’a analogicznie jak w przyk!adzie 1

nm165.0!!p

h

Ta doskona!a zgodno"% stanowi!a argument za tym, #e w pewnych okoliczno"ciach

elektrony wykazuj natur$ falow .

Dzisiaj wiemy, #e inne cz stki, zarówno na!adowane jak i niena!adowane, wykazuj

cechy charakterystyczne dla fal. Dyfrakcja neutronów jest powszechnie stosowan

technik eksperymentaln u#ywan do badania struktury cia! sta!ych.

Tak wi$c, zarówno dla materii, jak i dla "wiat!a, musimy przyj % istnienie dwoistego ich

charakteru.

34.2 Struktura atomu i fale stoj ce

Je#eli na ruch fali nie ma #adnych ogranicze& to fala mo#e mie% dowoln# d!ugo"%.

Inaczej sytuacja przedstawia si$ gdy ruch fal zostanie ograniczony przez na!o#enie

pewnych warunków fizycznych. Np. dla fal w strunie odpowiada to wyodr$bnieniu od-

cinka struny zamocowanego na obu ko&cach (np. struna w skrzypcach).

Wyst$puj wtedy dwie wa#ne ró#nice:

&' ruch jest teraz opisywany przez fal stoj#c# (a nie bie# c ),

&' mog wyst$powa% tylko pewne d!ugo"ci fal tzn. mamy do czynienia z kwantyzacj#

d!ugo"ci fali wynikaj c z ogranicze& na!o#onych na fal$ (rysunek poni#ej).

Na rysunku wida% trzy pierwsze stany kwantowe dla drgaj cej struny.

34-3


l0

n = 1

0 l

n = 3

0 l

n = 2

Je#eli wi$c ruch elektronów jest ograniczony w atomach to mo#emy si$ spodziewa%

przez analogi$, #e:

&' ruch elektronów mo#e by% opisany przez stoj#ce fale materii,

&' ruch ten zostaje skwantowany.

Rysunek poni#ej przedstawia stoj c fal$ materii zwi zan z orbit o promieniu r. D!u-

go"% fali de Broglie’a zosta!a dobrana tak, aby orbita o promieniu r zawiera!a ca!kowit

liczb$ n fal materii.

r

Wtedy otrzymujemy

( nr !2

czyli

p

hnr !(2

Prowadzi to natychmiast do

34-4


,....3,2,12

!!! nh

nprL(

Warunek kwantyzacji Bohra jest teraz konsekwencj# przyj$cia, #e elektron jest repre-

zentowany przez odpowiedni fal$ materii i zastosowania odpowiednich warunków

brzegowych.

34.3 Mechanika falowa

W 1926 roku E. Schrödinger sformu!owa! mechanik falow# (jedno ze sformu!owa&

fizyki kwantowej) min. w oparciu o za!o#enie, #e stacjonarne stany w atomach odpo-

wiadaj stoj#cym falom materii.

Dla fal w strunie zaburzenie mo#e by% opisane za pomoc poprzecznego wychylenia y,

dla fal elektromagnetycznych poprzez wektor nat$#enia pola elektrycznego E.

Analogiczn miar dla fal materii jest funkcja falowa ).

Teraz spróbujemy znale'% tak funkcj$ dla prostego zagadnienia ruchu cz stki o masie

m pomi$dzy sztywnymi "ciankami odleg!ymi o l.

Funkcj$ falow mo#na otrzyma% przez analogi$ do zagadnienia struny umocowanej na

obu ko&cach. Z warunków brzegowych wynika, #e na obu ko&cach struny musz wy-

st$powa% w$z!y. Oznacza to (przez to # danie) $e d!ugo"% fali jest skwantowana:

...,2,12

lub2

!!! nn

lnl

Zaburzenie falowe dla struny jest opisane przez fal$ stoj c (Wyk!ad 15)

y(x,t) = 2Asinkxcos*t

dla której rozk!ad przestrzenny (amplitudy) jest dany przez

y(x) = Asinkx

gdzie k = 2(/ . Poniewa# jest skwantowane to k te# jest skwantowane.

Prowadzi to do warunku

,......2,1,sin !! nl

xnAy

(

Wykres tej funkcji dla n =1, 2, 3 pokazany jest na stronie 34-4.

Rozwa#my teraz cz stk$ poruszaj c si$ pomi$dzy sztywnymi "ciankami (rysunek na

nast$pnej stronie)

Poniewa# "cianki s sztywne, cz stka nie mo#e przenikn % przez nie, tak wi$c stoj ca

fala materii opisuj ca t$ cz stk$ ma w$z!y na "ciankach. Inaczej mówi c funkcja falowa

) przyjmuje warto"% zero w punktach x = 0 i x = l.

34-5


l

m v

W konsekwencji dopuszczalne fale materii musz mie% d!ugo"% fal danych równaniem

...,2,1,2

lub2

!!! nn

lnl

Poniewa# mówimy o fali materii (reprezentuj cej cz stk$) to jest to po prostu fala de

Broglie’a, dla której mo#emy zast pi% przez h/p.

Prowadzi to do zwi zku

l

nhp

2!

Widzimy, #e p d cz#stki uwi zionej pomi dzy "ciankami jest skwantowany.

Dla cz stki p$d p jest zwi zany z energi kinetyczn Ek relacj

m

pmEk

22

22

!!v

Zestawienie tego równania z równaniem na p$d cz stki prowadzi do warunku kwanty-

zacji energii

......,2,1,8 2

22 !! n

ml

hnE

Cz stka nie mo#e mie% dowolnej energii (jak w obrazie klasycznym) ale "ci"le okre"lo-

ne warto"ci dane powy#szym równaniem.

Amplituda fal materii zmienia si$ tak samo jak amplituda dla fali stoj cej w strunie tzn.

jest dana analogicznym równaniem:

,......2,1,sin !! nl

xnA

() (34.3)

34.4 Znaczenie funkcji )

Funkcj$ ) skonstruowali"my przez analogi$ do funkcji opisuj cej amplitud$ fali sto-

j cej w strunie. Ale nie wyja"niony jest jeszcze sposób w jaki ) przedstawia ruch cz#st-

34-6


ki. Wiemy ju#, #e d!ugo"% fali materii (de Broglie’a) wi#$e si bezpo"rednio z p dem

cz#stki. Pozostaje wyja"ni% z czym wi #e si$ ).

Jako pierwszy fizyczn interpretacj$ funkcji falowej poda! Max Born. Zasugerowa!, #e

wielko"% )2 w dowolnym punkcie przedstawia miar prawdopodobie&stwa, $e cz#stka

znajdzie si w pobli$u tego punktu tzn. w jakim" obszarze wokó! tego punktu np. w prze-

dziale x, x+dx.

Ta interpretacja funkcji ) daje statystyczny zwi#zek pomi dzy fal# i zwi#zan# z ni#

cz#stk#. Nie mówimy gdzie cz#stka jest ale gdzie prawdopodobnie si znajdzie.

Tak wi$c dla cz stki poruszaj cej si$ pomi$dzy dwoma "ciankami odleg!ymi o l

,......2,1,sin 22 !! nl

xnA

() (34.4)

nie opisuje po!o#enia cz stki ale rozk!ad (g sto"%) prawdopodobie&stwa.

Na rysunku przedstawiona jest zale#no"% )2(x) dla trzech pierwszych stanów ruchu

cz stki.

)2

0 l

n = 2

E2 = 4E

1

X

0 l

n = 3

E3 = 9E

1

l0

n = 1

E1 = h2 / 8m

Zwró%my uwag$, #e przyk!adowo dla n = 1 cz steczka ma wi$ksz tendencj$ (prawdo-

podobie&stwo) do przebywania w "rodku ni# przy "ciankach. Jest to sprzeczne z fizyk

klasyczn , która przewiduje jednakowe prawdopodobie&stwo przebywania cz stki

gdziekolwiek pomi$dzy "ciankami (linie poziome na rysunku). Podobnie jest dla wy#-

szych n. Oczywi"cie ca!kowite prawdopodobie&stwo znalezienia cz stki pomi$dzy

"ciankami jest równe jedno"ci.

34-7


Zagadnienie cz stki poruszaj cej si$ pomi$dzy sztywnymi "ciankami ma ma!o realne

zastosowanie w fizyce. Dlatego poni#ej pokazane s wyniki zastosowania mechaniki

falowej do problemu atomu wodoru.

Sam problem jest trudny matematycznie. Dlatego pokazane s tylko wyniki zale#no"ci

)(r) dla n = 1, 2, 3 dla orbitalnej liczby kwantowej l = 0, (rozk!ad sferycznie syme-

tryczny).

n =1

0 5 10 15 20 25

r/rBohra

n = 3

n = 2

)(r

)2

Wida%, #e mamy ponownie do czynienia z rozk!adem prawdopodobie&stwa. Istnieje ob-

szar w którym elektron mo#e przebywa% (z niezerowym prawdopodobie&stwem). Mó-

wimy o orbitalach zamiast o orbitach.

Lini przerywan zaznaczono promienie orbit przewidywane w modelu Bohra.

S , jak wida% orbity dla których ta warto"% odpowiada maksimum prawdopodobie&stwa

znalezienia elektronu.

34.5 Zasada odpowiednio!ci

Chocia# teorie w fizyce maj ograniczenia to zazwyczaj w sposób ci g!y daj wyni-

ki coraz mniej zgodne od do"wiadczenia, tzn. nie „urywaj ” si$ nagle.

Np. mechanika Newtonowska staje si$ coraz mniej dok!adna gdy pr$dko"% zbli#a si$ do

pr$dko"ci "wiat!a.

Dla mechaniki kwantowej te# istnieje taka granica. Fizyka kwantowa przechodzi w fi-

zyk$ klasyczn dla du#ych liczb kwantowych. To twierdzenie nazywamy zasad# odpo-

wiednio"ci.

34-8


W przyk!adzie z wyk!adu 31 widzieli"my, #e dla makroskopowego wahad!a nie uwi-

dacznia si$ natura kwantowa podobnie jak w uk!adach makroskopowych nie widzimy

dyskretnej natury materii (cz steczek, atomów, elektronów itp.).

Wyliczona wtedy wzgl$dna zmiana energii wynios!a

+E/E = 4.7·10-31

= hv/nhv

St d otrzymujemy bardzo du# warto"% liczby kwantowej n , 2·1030

; mo#emy stosowa%

mechanik$ klasyczn .

34.6 Zasada nieoznaczono!ci

W poprzednim paragrafie najbardziej szczegó!ow informacj jak uda!o si$ uzy-

ska% o ruchu elektronów by!y krzywe prawdopodobie&stwa. Czy musimy zadowoli% si$

tak informacj czy te# jest mo#liwy pomiar, który da nam odpowied' na temat ewen-

tualnych orbit po których poruszaj si$ elektrony?

Obserwacje przedmiotów opieraj si$ na rejestrowaniu "wiat!a odbitego przez te przed-

mioty. (wiat!o w „zderzeniu” z przedmiotem o du#ej masie praktycznie nie zaburza je-

go ruchu, ale ca!kiem inn sytuacj$ mamy w przypadku elektronów. Tutaj te# spodzie-

wamy si$, #e zobaczymy elektron gdy odbijemy od niego "wiat!o (tak jak widzimy np.

stó! rejestruj c "wiat!o odbite od niego). W tym jednak przypadku elektron w zderzeniu

z fotonem dozna odrzutu, który ca!kowicie zmieni jego ruch (przypomnijmy sobie efekt

Comptona). Zmiany tej nie mo#na unikn % ani dok!adnie oceni%. Gdyby wi$c istnia!y

orbity to by!yby one ca!kowicie niszczone przy próbie pomiarów maj cych potwierdzi%

ich istnienie. Dlatego wolimy mówi% o prawdopodobie&stwie ni# o orbitach.

Aby przetestowa% nasze mo#liwo"ci pomiarowe rozwa#my wi zk$ elektronów pa-

daj cych z pr$dko"ci v0 na szczelin$ o szeroko"ci +y, tak jak na rysunku.

v0

+y

%

a

Je#eli elektron przechodzi przez otwór to znamy jego po!o#enie z dok!adno"ci +x.

Elektrony ulegaj ugi$ciu na szczelinie tak, #e na ekranie obserwujemy obraz dyfrak-

cyjny. Oznacza to, #e elektrony maj teraz oprócz pr$dko"ci poziomej tak#e sk!adow

w kierunku y (s odchylone). Spróbujmy oceni% t$ sk!adow pionow pr$dko"ci. Rozpa-

trzmy np. elektron padaj cy na ekran w miejscu pierwszego minimum dyfrakcyjnego

(punkt a na rysunku poni#ej). Pierwsze minimum jest dane równaniem

34-9


+ysin% =

a dla ma!ego k ta

+y % -

Aby elektron dolecia! do punkt a (1-sze minimum) musi mie% pr$dko"% pionow +vy

tak , #e

0

sinv

v y+!-%%

Korzystaj c z obu powy#szych równa& otrzymujemy

y

y

+!

+

0v

v

lub inaczej

+vy+y = v0

D!ugo"% fali wi zki elektronowej jest dana przez h/p czyli h/mv0. Podstawiaj c to do

ostatniego równania otrzymujemy

0

0

v

vv

m

hyy -++

co mo#na zapisa%

+py+y - h

Je#eli chcemy poprawi% pomiar y (zmniejszy% +y) to w wyniku zmniejszenia szeroko"ci

szczeliny otrzymujemy szersze widmo dyfrakcyjne (mocniejsze ugi$cie). Inaczej mó-

wi c zwi$kszone zosta!o +py. Równani to przedstawia ograniczenie na!o#one na do-

k!adno"% pomiarów przez przyrod$ (nie ma nic wspólnego z wadami aparatury pomia-

rowej).

Równanie to jest szczególnym przypadkiem ogólnej zasady podanej przez

W. Heisenberga znanej jako zasada nieoznaczono"ci.

W zastosowaniu do pomiaru p$du i po!o#enia g!osi ona, #e

hzp

hyp

hxp

z

y

x

.++

.++

.++

(34.5)

Tak wi$c #adna sk!adowa ruchu elektronu nie mo#e by% okre"lona z nieograniczon do-

k!adno"ci . Ta sama zasada obowi zuje w odniesieniu do energii i czasu.

34-10


Wyk ad 35

35. Lasery

35.1 Emisja spontaniczna

Jeden z postulatów Bohra mówi!, "e promieniowanie elektromagnetyczne zostaje

wys!ane tylko wtedy gdy elektron poruszaj cy si# po orbicie o ca!kowitej energii Ej

zmienia swój ruch skokowo, tak "e porusza si# nast#pnie po orbicie o energii Ek. W j#-

zyku mechaniki kwantowej mówimy, "e cz stka (elektron) przechodzi ze stanu wzbu-

dzonego (o wy"szej energii) do stanu podstawowego emituj c foton. Cz#stotliwo$% emi-

towanego promieniowania jest równa

h

EEv

kj !

Jak ju" widzieli$my &ród!em takiego promieniowania jest na przyk!ad jednoatomowy

gaz pobudzony do $wiecenia metod wy!adowania elektrycznego (widmo liniowe).

Teoria kwantowa przewiduje, "e elektron znajduj cy si# w stanie wzbudzonym samo-

istnie przejdzie do stanu podstawowego emituj c foton. Zjawisko takie jest nazywane

emisj spontaniczn .

Je"eli ró"nica energii wynosi kilka elektronowoltów (jak w atomie wodoru, gdzie

E1 = -13.6 eV) to czas charakterystyczny dla procesu emisji spontanicznej ma warto$%

rz#du 10-8

s.

35.2 Absorpcja

Na gruncie modelu Bohra mo"na !atwo zrozumie% w!asno$ci widm emisyjnych ato-

mów jednoelektronowych. Mo"na równie" zrozumie% widma absorpcyjne.

Poniewa" elektron musi mie% w atomie energi# ca!kowit równ jednej z energii do-

zwolonych (stanu stacjonarnego) wi#c z padaj cego promieniowania mo"e on absorbo-

wa% tylko okre$lone porcje (kwanty) energii. Energia absorbowanych kwantów h" musi

by% równa ró"nicy pomi#dzy energiami dozwolonych stanów tak wi#c linie widma ab-

sorpcyjnego maj te same cz#stotliwo$ci (d!ugo$ci fal) co linie widma emisyjnego.

Do$wiadczenie pokazuje, "e w ch!odnym gazie atomy s w stanie podstawowym n = 1

udzania atomów na wy"sze poziomy energetyczne przez ich o$wietlanie

35.3 Emisja wymuszona

Teoria kwantowa mówi tak"e, "e oprócz emisji spontanicznej oraz procesów ab-

sor

itowa% foton

o energii (Ej - Ek). Je"eli taki atom zostanie o$wietlony promieniowaniem, które zawiera

wi#c procesy absorpcji odpowiadaj serii Lymana. W bardzo wysokich temperaturach

atomy b#d ju" w stanie n = 2 i mo"emy obserwowa% linie absorpcyjne serii Balmera

(widzialne).

Procesy wzb

nosi nazw# pompowania optycznego.

pcji wyst#puje tak"e inny proces, nazywany emisj wymuszon .

Przypu$%my, "e atom znajduje si# w stanie wzbudzonym Ej i mo"e em

35-1


fotony o energii w!a$nie równej (Ej - Ek) to prawdopodobie!stwo wypromieniowania

przez atom energii wzro"nie.

Takie zjawisko przyspieszenia wypromieniowania energii przez o$wietlenie atomów

wzbudzonych odpowiednim promieniowaniem nazywane jest emisj wymuszon .

na stwarza szans# uzyskania promieniowania

obsadzaj ró"ne stany energetyczne tzn. ile jest w stanie podstawowym a ile

fizycznego z!o"onego z bardzo du"ej liczby elementów jest

bardzo skomplikowany np. próba opisu ruchu jednej cz stki gazu w uk!adzie zawieraj -

acje szczegó!owe s na ogó! niepotrzebne.

ych

rozk!adem Maxwella pr#dko$ci cz steczek gazu.

my obliczy% takie wielko$ci jak

ze T. By osi gn % ten stan równowagi cz stki musz wymie-

nergii ca!kowitej 3#E pomi#dzy te obiekty. Na ry-

dzy ró"nymi stanami. Przestawienia cz stek w tym samym stanie energetycznym nie

Uwaga: Foton wysy#any w procesie emisji wymuszonej ma tak sam faz$ oraz taki sam

kierunek ruchu jak foton wymuszaj cy.

W emisji spontanicznej mamy do czynienia z fotonami, których fazy i kierunki s roz-

!o"one przypadkowo. Emisja wymuszo

spójnego.

'eby móc przeanalizowa% mo"liwo$% takiej emisji musi wiedzie% jak atomy (cz stecz-

ki) uk!adu

w stanach wzbudzonych.

35.4 Rozk ad Boltzmana

Opis szczegó!owy uk!adu

cym 1023

cz stek (1 mol).

Na szcz#$cie do wyznaczenia podstawowych w!asno$ci uk!adu (wielko$ci mierzalnych)

takich jak temperatura, ci$nienie - inform

Je$li do uk!adu wielu cz stek zastosujemy ogólne zasady mechaniki (takie jak prawa

zachowania) to mo"emy zaniedba% szczegó!y ruchu czy oddzia!ywa( pojedyncz

cz stek i podstawowe w!asno$ci uk!adu wyprowadzi% z samych rozwa"a( statystycz-

nych.

Taki przyk!ad ju" poznali$my. Jest nim zwi zek pomi#dzy w!asno$ciami gazu klasycz-

nego i

Funkcja rozk!adu N(v) daje informacj# o prawdopodobie(stwie, "e cz steczka ma pr#d-

ko$% w przedziale v, v + d v. Znaj c funkcj# N(v) mo"e

$rednia pr#dko$% (p#d niesiony przez cz steczki), $redni kwadrat pr#dko$ci (energia ki-

netyczna) itp. a na ich podstawie obliczy% takie wielko$ci mierzalne jak ci$nienie

(zwi zane z p#dem) czy temperatur# (zwi zan z energi ).

Spróbujemy teraz znale&% rozk!ad prawdopodobie(stwa z jakim cz stki uk!adu zajmuj

ró"ne stany energetyczne.

W tym celu rozpatrzymy uk!ad zawieraj cy du" liczb# cz stek, które znajduj si# w

równowadze w temperatur

nia% energi# ze sob (poprzez zderzenia). Podczas tej wymiany ich energie b#d fluktu-

owa%, przyjmuj c warto$ci raz mniejsze raz wi#ksze od $redniej.

'eby to zilustrowa% rozwa"my uk!ad, w którym cz stki mog przyjmowa% jedn z na-

st#puj cych warto$ci energii E = 0, #E, 2#E, 3#E, 4#E..... .

Celem uproszczenia przyjmijmy, "e uk!ad ma zawiera tylko 4 cz stki oraz, "e energia

ca!kowita uk!adu ma warto$% 3#E.

Poniewa" te cztery cz stki mog wymienia% energi# mi#dzy sob , wi#c realizowany

mo"e by% ka"dy mo"liwy podzia! esunku poni"ej pokazane s wszystkie mo"liwe podzia!y, które numerujemy indeksem i.

Uwaga: Obliczaj c ilo$% sposobów realizacji danego podzia!u traktujemy jako rozró"-

nialny podzia!, który mo"na otrzyma% z danego w drodze przestawiania cz stek pomi#-

35-2


prowadz do nowych sposobów realizacji podzia!ów, bo nie mo"na eksperymentalnie

odró"ni% od siebie takich samych cz stek o tej samej energii. Wreszcie ostatnie za!o"e-

nie: wszystkie sposoby podzia!u energii mog wydarzy% si# z tym samym prawdopodo-

bie(stwem.

i E=0 E=#E E=2#E E=3#E E=4#E liczba sposobów Pi

realizacji podzia-

!u

1 1,2,3 4

1 1,2,4 3 4/20 4

2 1,2 3 4

2 1,2 4 3

3 1 2,3,4

3 2 1,3,4 4/ 4 20

(E) 0/2 24/20 /20 2 20

.

1 1,3,4 2

1 2,3,4 1

2 1,3 2 4

2 1,3 4 2

2 1,4 2 3

2 1,4 3 2 12 12/20

2 2,3 1 4

2 2,3 4 1

2 2,4 1 3

2 2,4 3 1

2 3,4 1 2

2 3,4 2 1

3 3 1,2,4

3 4 1,2,3

n 4 0 12 4/ 0 0/

Obliczamy nast#pnie n(E) czyli prawdopodobn ilo$% cz stek w danym stanie energe-

tycznym E

e&my stan E = 0.

.

amy 2 cz stki a prawdopodobie(stwo, "e taki podzia! ma miejsce

odzia!u i = 3 mamy 1 cz stk# a prawdopodobie(stwo, "e taki podzia! ma

odobna ilo$% obiektów w stanie E = 0 wynosi:

W

Dla podzia!u i = 1 mamy 3 cz stki a prawdopodobie(stwo, "e taki podzia! ma miejsce

wynosi 4/20

Dla podzia!u i = 2 m

wynosi 12/20.

Wreszcie dla p

miejsce wynosi 4/20.

Zatem prawdop

35-3


n(E) = 3 (4/20) + 2 (12/20) + 1 (4/20) = 40/20 = 2

Analogicznie obliczamy n(E) dla pozosta!ych warto$ci E (patrz ostatni wiersz tabeli).

auwa"my, "e suma tych liczb wynosi cztery, tak "e jest równa ca!kowitej liczbie cz -

stek we wszystkich

ykres zale"no$ci n(E) jest pokazany na rysunku poni"ej.

Z

stanach energetycznych.

W

n(E)

1

0 4#E 3#E 2#E #E

a krzywa na rysunku jest wykresem malej cej wyk!adniczo funkcji Ci g!

0)(E

E

AeEn

!

2

(35.1)

o"emy teraz bra% #E coraz mniejsze (zwi#kszaj c ilo$% dozwolonych stanów) przy tej

samej co poprzednio warto$ci ca! "e b#dziemy dodawa% co-

z wi#cej punktów do naszego wykresu, a

nkcji ci g!ej danej powy"szym równaniem.

M

kowitej energii. Oznacza to,

" w gra ranicy gdy #E $ 0 przejdziemy do

fu

Potrzebujemy jeszcze znale&% E0. Obliczenia te cho% proste wykraczaj poza ramy tego

wyk!adu. Wystarczy wi#c zapami#ta%, "e E0 = kT, tzn. jest równa $redniej energii uk!a-

du cz stek w temperaturze T.

Ostatecznie wi#c

kT

E

AeEn !)( (35.2)

st to rozk#ad Boltzmana, który mówi, "e prawdopodobna ilo$% cz stek uk!adu w rów-

nowadze w temperaturze T, znajduj w stanie o energii E jest proporcjonalna do

Je

cych si#

$ci A zalekT

E

. Sposób wyboru sta!ej proporcjonalno "y od tego jaki uk!ad rozwa"amy. e

Poni"ej pokazana jest zale"no$% n(E) dla trzech ró"nych temperatur i trzech odpowied-

nich warto$ci sta!ej A.

35-4


0 1 2 30

1

2

a - T = 1000 K

b - T = 5000 K

c - T = 10000 K

c

b

a

n (

E)

E (eV)

Widzimy, "e stany o ni"szej energii s obsadzane z wi#kszym prawdopodobie(stwem

ni" stany o wy"szym E.

35.5 Laser

Je"eli wi#c uk!ad b#d cy w stanie równowagi o$wietlimy odpowiednim promienio-

waniem to w takim uk!adzie absorpcja b$dzie przewa%a#a nad emisj wymuszon .

'eby przewa"a!a emisja wymuszona, to w wy"szym stanie energetycznym musi si#

znajdowa% wi#cej atomów (cz steczek) ni" w stanie ni"szym. Mówimy, "e rozk!ad musi

by% antyboltzmanowski.

Taki uk!ad mo"na przygotowa% na kilka sposobów min. za pomoc zderze( z innymi

atomami lub za pomoc pompowania optycznego.

Ten pierwszy sposób jest wykorzystywany w laserze helowo-neonowym.

Schemat poziomów energetycznych dla tego lasera jest pokazany na rysunku poni"ej.

10

20

eV

En’

En

h"=1.96 eV

% = 633 nm

E1

35-5


W tym laserze atomy neonu s wzbudzane do na poziom En’ w trakcie zderze( ze

wzbudzonymi atomami helu. Przej$cie na poziom En zachodzi wskutek emisji wymu-

szonej. Nast#pnie atomy neonu przechodz szybko do stanu podstawowego oddaj c

energi# w wyniku zderze( ze $ciankami. Emisja wymuszona w laserze przedstawiona

zosta!a na rysunkach poni"ej.

d)

c)

b)

a)

Na rysunku (a) foton zostaje „wprowadzony” do gazu. Foton wymusza emisj# drugiego

fotonu przez wzbudzony atom (b). Przez uk!ad poruszaj si# dwa fotony. Wymuszona

zostaje kolejna emisja i ju" trzy fotony o tej samej fazie poruszaj si# przez uk!ad (c).

Je"eli na ko(cach zbiornika znajduj si# lustra to ten proces b#dzie trwa! a" wszystkie

atomy wypromieniuj nadmiar energii. Je"eli jedno z tych zwierciade! b#dzie cz#$cio-

wo przepuszczaj ce to uk!ad b#dzie opuszcza!a wi zka spójna - wszystkie fotony b#d

mia!y t# sam faz#.

Inny sposób „odwrócenia” rozk!adu boltzmanowskiego jest wykorzystany w laserze

rubinowym. Laser zbudowany na ciele sta!ym sk!ada si# z pr#ta wykonanego z kryszta-

!u Al2O3, w którym jonami czynnymi s jony z grupy ziem rzadkich. Na ko(cach pr#ta

s naniesione zwierciad!a odbijaj ce. Promieniowanie pompuj ce jest wytwarzane

przez lamp# b!yskow umieszczon wokó! kryszta!u tak jak pokazano na rysunku poni-

"ej.

lampab yskowa

wi!zka "wiat alaserowego

kryszta

35-6


Od czasu uruchomienia pierwszego lasera tj. od 1960 roku technologia tych urz dze(

bardzo si# rozwin#!a. Obecnie dzia!aj zarówno lasery impulsowe jak i lasery o pracy

ci g!ej. O$rodkami czynnymi w laserach s gazy, cia!a sta!e i ciecze, a zakres d!ugo$ci

fal jest bardzo szeroki; od podczerwieni przez obszar widzialny a" do nadfioletu (ostat-

nio !!!).

Zastosowania laserów s wszechstronne. Przyk!adowo:

&' w odtwarzaczach i nagrywarkach (CD),

&' w dalmierzach, celownikach

&' przy obróbce mechanicznej

&' holografia

35-7


Wyk ad 36

36. Atomy wieloelektronowe, uk ad okresowy pierwiastków.

Fizycy badaj cy struktur" atomów wieloelektronowych starali si" odpowiedzie# na

fundamentalne pytanie, dlaczego wszystkie elektrony w atomie znajduj cym si" w sta-

nie podstawowym nie s zwi zane na najbardziej wewn!trznej pow"oce (orbicie).

Fizyka klasyczna nie wyja$nia tego problemu; dopiero mechanika kwantowa przynios!a

podstawy teoretyczne, na gruncie których mo%na przewidzie# w!asno$ci pierwiastków.

36.1 Liczby kwantowe

Na poprzednich wyk!adach przedstawione zosta!o wprowadzenie do $wiata fizyki

kwantowej. Poznali$my mi"dzy innymi jak ograniczenie ruchu cz stki do obszaru za-

wartego pomi"dzy sztywnymi $ciankami wp!ywa na prawdopodobie&stwo jej znalezie-

nia oraz jak wp!ywa na skwantowanie warto$ci energii

......,2,1,8 2

22 n

ml

hnE

Podobnie warto$ci energii elektronu w atomie wodoru zale% tylko od liczby kwanto-

wej n.

Inaczej jednak jest w przypadku odpowiedniej fali (stoj cej) materii. Funkcja falowa

zale%y od trzech liczb kwantowych co wynika z faktu, %e ruch w przestrzeni jest opisany

przez trzy niezale%ne zmienne; na ka%d wspó!rz"dn przestrzenn przypada jedna licz-

ba. Na rysunku obok pokazane s wspó!rz"dne prostok tne (x, y, z) i wspó!rz"dne sfe-

ryczne (r, !, ") punktu P.

x

y

z

x

y

z

P

r

!

"

Stosowanie wspó!rz"dnych sferycznych w zdecydowany sposób u!atwia obliczenia.

Wynika to z faktu, %e energia potencjalna oddzia!ywania elektronu z j drem

r

eU

0

2

4#$% jest funkcj tylko jednej zmiennej we wspó!rz"dnych sferycznych podczas

gdy we wspó!rz"dnych prostok tnych funkcj wszystkich trzech wspó!rz"dnych

222

0

2

4 zyx

eU

&&%

#$

36-1


Trzy liczby kwantowe n, l, ml spe!niaj nast"puj ce warunki

lmlllllllm

nlnl

n

ll ''%%%&%&%%

%''%

lub,1,2,.....,2,1,

10lub1,......,2,1,0

.....,3,2,1

(36.1)

Ze wzgl"du na rol" jak odgrywa liczba n w okre$leniu energii ca!kowitej atomu, jest

nazywana g"ówn liczb kwantow . Liczba l nosi nazw" azymutalnej liczby kwantowej,

a liczba ml nazywana jest magnetyczn liczb kwantow . Z warunków (36.1) wida#, $e

dla danej warto%ci n (danej energii) istnieje na ogó" kilka ró$nych mo$liwych warto%ci l,

ml.

36.2 Zasada Pauliego

W 1869 r. Mendelejew jako pierwszy zauwa%y!, %e wi"kszo$# w!asno$ci pierwiast-

ków chemicznych jest okresow funkcj liczby atomowej Z okre$laj cej liczb" elektro-

nów w atomie co najlepiej uwidacznia si" w odpowiednio skonstruowanym uk"adzie

okresowym pierwiastków. W!a$ciwo$ci chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzaj

si" je%eli zebra# je w grupy zawieraj ce 2, 8, 8, 18, 18, 32 elementów.

W 1925 r. Wolfgang Pauli poda! prost zasad", dzi"ki której automatycznie s genero-

wane grupy o liczebno$ci 2, 8,18,32. Pauli zapostulowa", $e na jednej orbicie mog

znajdowa# si! nie wi!cej ni$ dwa elektrony, czyli tylko dwa elektrony mog by# opisane

t sam fal stoj c materii.

Zatem na orbicie n = 1 b"d dwa elektrony bo mamy tylko jedn fal" stoj c , czyli je-

den orbital

(n, l, ml) = (1,0,0)

Dla n = 2 s cztery orbitale

(n, l, ml) = (2,0,0);

(2,1,1), (2,1,0), (2,1,–1)

St d wynika, %e w stanie n = 2 mo%e by# 8 elektronów (dwa na orbital).

Podobnie dla n = 3 mamy 9 orbitali czyli 18 elektronów

(n, l, ml) = (3,0,0);

(3,1,1), (3,1,0), (3,1,–1);

(3,2,2), (3,2,1), (3,2,0), (3,2,–1), (3,2,–2)

Wida#, %e okresy 2, 8, 18 s konsekwencja zasady Pauliego i teorii kwantowej, z której

wynikaj warunki (36.1).

W czasie gdy Pauli poda! swoj zasad" by!a ona zasad ad hoc, nie mo%na by!o jej wy-

prowadzi# w ramach istniej cej teorii. Pozostawa!o wi"c pytanie: dlaczego akurat dwa

elektrony (a nie inna liczba) mog by# opisane t sam fal stoj c ?

36-2


36.2.1 Spin elektronu

W roku 1926 odkryto, %e wszystkie elektrony maj wewn"trzny moment p"du

Lwew = (1/2)(h/2#), który zosta! nazwany spinowym momentem p!du.

Elektron zachowuje si" tak, jakby by! kulk wiruj c wokó! pewnej osi obrotu (analo-

gicznie jak Ziemia obiegaj ca S!o&ce i obracaj ca si" wokó! swej osi).

Wewn"trzny moment p"du elektronu nigdy nie zwi"ksza si" ani te% nie maleje.

Okaza!o si" ponadto, %e dla danego stanu orbitalnego s mo%liwe dwa kierunki spinu.

Mamy wi"c inny sposób wyra%enia zasady Pauliego. Oznacza to, %e zasada Pauliego nie

by!a postulatem wprowadzona ad hoc.

Znajomo$# spinu jest niezb"dna do opisu stanu elektronu. Kiedy te stany s okre$lone to

zasada Pauliego, która w pierwotnym brzmieniu stwierdza!a, %e w danym stanie orbital-

nym nie mo%e by# wi"cej elektronów ni% dwa, oznacza teraz, %e w danym stanie

(z uwzgl!dnieniem spinu) mo$e znajdowa# si! tylko jeden elektron.

36.3 Atomy wieloelektronowe, uk ad okresowy pierwiastków

Pos!uguj c si" zasad Pauliego mo%na okre$li# jakie stany w atomie b"d obsadza-

ne.

Rozpatrzmy np. j dro neonu Z = 10. Je%eli w pobli%u j dra umie$cimy jeden elektron to

zajmie on orbital n = 1. Tak samo b"dzie z drugim elektronem (inny kierunek spinu). Te

dwa elektrony zape!ni orbit" n = 1. Pozosta!e 8 elektronów zape!ni orbit" o n = 2, czyli

cztery orbitale (l, ml) = (0,0), (1,1), (1,0), (1,–1). W ten sposób rozpatrzymy przewidy-

wan przez teori" kwantow struktur" niektórych pierwiastków.

Z = 1, Wodór

Jedyny elektron znajduje si" w stanie n = 1, o energii E = – 13.6 eV. Tak wi"c energia

wi zania czyli energia jonizacji atomu wodoru wynosi 13.6 eV. Oznacza to, %e mini-

malne napi"cie potrzebne do zjonizowania atomu wodoru wynosi 13.6 V. To minimalne

napi"cie nazywamy potencja"em jonizacyjnym.

Z = 2, Hel

Zacznijmy od jonu helu, He+, który sk!ada si" z j dra oraz jednego elektronu.

Mamy uk!ad podobny do wodoru tylko inna jest si!a elektrostatyczna dzia!aj ca na elek-

tron (wi"ksza o czynnik Z). Energia jest dana wzorem analogicznym jak w modelu

Bohra

eV6.138 2

2

2

2

1222

0

42

n

Z

n

ZE

nh

meZE % %

$ (36.2)

Ze wzgl"du na czynnik Z2 energia jonizacji He

+ wynosi 4·13.6 eV = 54.4 eV.

Warto$# ta zgadza si" ze zmierzonym potencja!em jonizacji.

Je%eli teraz dodamy drugi elektron na pow!ok" n = 1 to przez po!ow" czasu b"dzie on

bli%ej j dra ni% pierwszy i b"dzie „czu!” !adunek j dra Z, a przez po!ow" czasu b"dzie

dalej wi"c b"dzie „widzia!” j dro o !adunku Z i 1 elektron czyli „obiekt” o !adunku

(Z – 1). Prosta $rednia arytmetyczna tych dwóch warto$ci daje efektywny "adunek

Zef = 1.5e jaki „czuj ” elektrony w atomie helu. Mo%emy teraz uogólni# wzór (36.2) do

postaci

36-3


eV6.132

2

n

ZE

ef% (36.3)

Na podstawie tak oszacowanego !adunku efektywnego otrzymujemy potencja! jonizacji

równy oko!o (1.5)2·13.6 V = 30 V.

W rzeczywisto$ci elektrony nie tylko ekranuj !adunek j dra ale te% odpychaj si" na-

wzajem (dodatnia energia potencjalna), wi"c energia wi zania powinna by# mniejsza.

Wyznaczony do$wiadczalnie potencja! jonizacyjny helu wynosi 24.6 V i jest najwi"k-

szy dla wszystkich pierwiastków. 'adna si!a chemiczna nie mo%e dostarczy# takiej

energii, która jest potrzebna do utworzenia He+.

Gdyby$my spróbowali utworzy# ujemny jon He- to dodatkowy elektron obsadzi pow!o-

k" n = 2 o du%o wi"kszym promieniu ni% n = 1, na której s ju% dwa elektrony. (adunek

efektywny widziany przez ten elektron b"dzie wi"c równy zeru, nie dzia!a %adna si!a

mog ca przytrzyma# ten elektron. W rezultacie hel nie tworzy cz steczek z %adnym

pierwiastkiem. Hel i inne atomy o ca"kowicie wype"nionych pow"okach s nazywane

gazami szlachetnymi.

Z = 3, Lit

Dwukrotnie zjonizowany atom litu jest atomem wodoropodobnym przy czym energie

trzeba pomno%y# przez czynnik Z2 = 9.

Jednokrotnie zjonizowany atom litu ma energie podobne do atomu helu ale

Zef ( (3 – 1/2) zamiast (2 – 1/2), jak dla helu.

Trzeci elektron znajduje si" na pow!oce n = 2. Dla niego !adunek efektywny musi by#

w pobli%u (troch" wi"kszy) jedno$ci. Zatem nale%y oczekiwa#, %e potencja! jonizacji

litu b"dzie nieco wi"kszy ni% 13.6/n2 = 13.6/2

2 = 3.4 V. Warto$# zmierzona wynosi 5.4

V co odpowiada Zef = 1.25e.

Oderwanie drugiego elektronu wymaga potencja!u a% 75.6 V. Zatem w zwi zkach che-

micznych lit powinien zawsze wykazywa# warto$ciowo$# +1.

Z = 4, Beryl

Zgodnie z zasad Pauliego w stanie n = 2, l = 0 jest miejsce dla dwóch elektronów. Dla

berylu drugi potencja! jonizacyjny nie jest wi"c du%o wi"kszy od pierwszego i beryl w

zwi zkach chemicznych ma warto$ciowo$# +2.

Wprowad)my teraz do opisu konfiguracji nast"puj c konwencj": numer pow!oki (n)

piszemy cyfr , natomiast podpow!oki: l = 0, 1, 2, 3 4 oznaczmy literami s, p, d, f.

Wska)nik górny przy symbolu podpow!oki okre$la liczb" znajduj cych si" w niej elek-

tronów a wska)nik dolny przy symbolu chemicznym pierwiastka okre$la warto$# Z.

Tak wi"c konfiguracje dotychczas omawianych pierwiastków zapiszemy w postaci

1H : 1s1

2He : 1s2

3Li : 1s22s

1

4Be : 1s22s

2

Od Z = 5 (Boru) do Z = 10 (neonu)

W tych sze$ciu pierwiastkach elektrony zape!niaj podpow!ok" 2p (n = 2, l = 1)

5B : 1s22s

22p

1

36-4


10Ne : 1s22s

22p

6

W$ród tych pierwiastków znajduj si" fluor i tlen, którym do zape!nienia orbity p bra-

kuje odpowiednio 1 i 2 elektrony. Pierwiastki te wykazuj siln tendencj" do przy! cze-

nia dodatkowych elektronów tworz c trwa!e jony Fl– i O

– –. To zjawisko jest zwane po-

winowactwem elektronowym.

Kontynuuj c powy%szy schemat mo%na napisa# konfiguracj" elektronow dowolnego

atomu. Okazuje si" jednak, %e w niektórych przypadkach obserwowane konfiguracje nie

pokrywaj si" z obserwowanymi. Wnioskujemy, %e ró%nice energii pomi"dzy niektóry-

mi podpow!okami musz by# tak ma!e, %e w pewnych wypadkach mo%e zosta# odwró-

cona kolejno$# ich zape!niania. Mo%na to zobaczy# na rysunku poni%ej. Krzywe ko&cz

si" na Z = 80 (rt"#). Uwaga: skala energii nie jest liniowa.

0 20 40 60 80

energ

ia

5d4f

6s

5p4d5s

4p3d

4s

3p

3s

2p

2s

1s

Z

Zwró#my te% uwag", %e ka%da podpow!oka p ma wy%sz energi" od poprzedzaj cej j

pow!oki s. Natomiast ró%nice energii pomi"dzy ka%d podpow!ok s i poprzedzaj c j

pow!ok p s szczególnie du%e. W konsekwencji wzbudzenie elektronu w atomach

pierwiastków, w których zako&czy!o si" w!a$nie zape!nianie pow!oki p jest bardzo

trudne (gazy szlachetne).

W ten sposób na gruncie mechaniki kwantowej (z uwzgl"dnieniem spinu elektronu)

mo%na przeanalizowa# w!asno$ci wszystkich pierwiastków.

36.4 Promienie X

Wielokrotnie mówili$my o zastosowaniu promieniowania rentgenowskiego. Teraz

poznamy wi"cej szczegó!ów dotycz cych widma tego promieniowania.

Na rysunku poni%ej pokazana jest lampa rentgenowska.

Elektrony emitowane z katody K s przyspieszane przez napi"cie U rz"du 104 V (przy-

!o%one pomi"dzy katod i anod ) i wreszcie uderzaj w anod" (tarcz"). Elektrony s

hamowane w anodzie, a% do ich ca!kowitego zatrzymania.

36-5


K A

U

promieniowanie X

Zgodnie z fizyk klasyczn w wyniku tego hamowania ("adunek doznaj cy przyspiesze-

nia) powinna nast pi# emisja promieniowania elektromagnetycznego o widmie ci g"ym.

Przyk!adowy rozk!ad widmowy rentgenowski otrzymany dla wolframu jest pokazany

na wykresie poni%ej.

0.00 0.05 0.10 0.15

Na

t !e

nie

) (nm)

Najbardziej charakterystycznymi cechami obserwowanych rozk!adów widmowych pro-

mieniowania X s :

*+ charakterystyczne linie widmowe tj. maksima nat"%enia promieniowania wyst"puj -

ce dla $ci$le okre$lonych d!ugo$ci fal. Zaobserwowano, %e widmo liniowe zale%y od

materia!u (pierwiastka) anody.

*+ istnienie dobrze okre$lonej minimalnej d!ugo$ci fali )min widma ci g"ego. Stwier-

dzono, %e warto$# )min zale%y jedynie od napi"cia U i jest taka sama dla wszystkich

materia!ów, z jakich wykonana jest anoda.

Istnienie krótkofalowej granicy widma ci g!ego promieniowania X nie mo%e by# wyja-

$nione przez klasyczn teori" elektromagnetyzmu. W $wietle tej teorii nie istniej %adne

powody, aby z anody nie mog!y by# wys!ane fale o d!ugo$ci mniejszej od jakiej$ warto-

$ci granicznej.

36-6


Je%eli jednak potraktujemy promieniowanie rentgenowskie jako strumie& fotonów to

wyja$nienie obserwowanego zjawiska jest proste.

Elektron o pocz tkowej energii kinetycznej Ek (uzyskanej dzi"ki napi"ciu U) w wyniku

oddzia!ywania z ci"%kim j drem atomu tarczy jest hamowany i energia jak traci poja-

wia si" w formie kwantów (rysunek).

Ek

Ek'

j dro

foton

elektron

Energia powstaj cego fotonu jest dana wzorem:

hv = Ek - Ek'

gdzie Ek' jest energi elektronu po zderzeniu. Elektron w trakcie zderzenia przekazuje

j dru pewn energi" jednak ze wzgl"du na to, %e j dra tarczy s bardzo ci"%kie (w po-

równaniu do elektronu) mo%emy j zaniedba#.

D!ugo$# fali fotonu mo%na obliczy# z relacji

'

kk EEc

h % )

W wyniku zderze& elektrony trac ró%ne ilo$ci energii typowo elektron zostaje zatrzy-

many w wyniku wielu zderze& z j drami tarczy - otrzymujemy szereg fotonów o ró%-

nych energiach (ró%nych )). Wobec tego promieniowanie rentgenowskie wytwarzane

przez wiele elektronów b"dzie mia!o widmo ci g"e.

Powstaje wiele fotonów o d!ugo$ciach od )min do ) , -, co odpowiada ró%nym ener-

giom traconym w zderzeniach.

Foton o najmniejszej d!ugo$ci fali )min (maksymalnej energii) b"dzie emitowany wtedy

gdy elektron straci ca! energi" w jednym procesie zderzenia. Oznacza to, %e po tym

zderzeniu Ek' = 0 wi"c

kEc

h min)

(36.4)

Poniewa% energia kinetyczna jest równa eU (elektron przyspieszony napi"ciem U) wi"c

zachodzi relacja

eUc

h min)

czyli

eU

hc min) (36.5)

36-7


Tak wi"c minimalna d!ugo$# fali odpowiadaj ca ca!kowitej zamianie energii kinetycz-

nej elektronów na promieniowanie zale%y jedynie od U, a nie zale%y np. od materia!u z

jakiego zrobiono tarcz" (anod").

Podobnie na gruncie fizyki kwantowej mo%na wyja$ni# powstawanie widma liniowego

(charakterystycznego).

Elektron z wi zki padaj cej przelatuj c przez atom anody, niekiedy przechodzi w pobli-

%u elektronu podpow!oki wewn"trznej. W wyniku oddzia!ywania kulombowskiego

mi"dzy tymi elektronami mo%e doj$# do wybicia elektronu z podpow!oki poza atom.

Pozostawia to atom w stanie wysoko wzbudzonym poniewa% uby! elektron o du%ej

energii wi zania. Atom ostatecznie powróci do stanu podstawowego, emituj c seri" fo-

tonów wysokoenergetycznych.

Aby to szczegó!owo prze$ledzi# rozpatrzmy atom anody, z którego podpow!oki 1s zo-

sta! usuni"ty elektron. W pierwszym kroku powrotu atomu do stanu podstawowego

elektron z jednej z podpow!ok o mniej ujemnej (wy%szej) energii np. elektron 2p, prze-

chodzi na wolne miejsce w podpow!oce 1s. Pozostawia to dziur" w podpow!oce 2p.

Towarzyszy temu emisja fotonu o energii równej spadkowi energii wzbudzenia tj. ró%-

nicy energii atomu z brakuj cym elektronem 1s i atomu z brakuj cym elektronem 2p.

Oczywi$cie dziura w podpow!oce 2p mo%e by# zape!niona przez elektron 3d, a powsta!a

dziura w podpow!oce 3d przez elektron 4p itd.

Zazwyczaj proces powrotu atomu do stanu podstawowego sk!ada si" z kilku kroków.

W ka%dym kroku dziura przeskakuje do podpow!oki o mniej ujemnej energii, a% przej-

dzie do najbardziej zewn"trznej podpow!oki gdzie zostanie zaj"ta przez jaki$ elektron

b"d cy w pobli%u. Atom jest znowu w stanie podstawowym i jest oboj"tny elektrycznie.

Ka%demu przej$ciu dziury do stanu o mniej ujemnej energii towarzyszy emisja fotonu o

energii równej spadkowi energii wzbudzenia. W ten sposób powstaje widmo liniowe.

Poniewa% przej$cia odbywaj si" pomi"dzy podpow!okami atomu anody wi"c wysy!ane

promieniowanie X jest charakterystyczne dla atomów konkretnego pierwiastka anody.

Liniowe widma rentgenowskie s interesuj ce praktyczni ze wzgl"du na wiele u%ytecz-

nych zastosowa& w nauce i technice.

36-8


Wyk ad 37

37. Materia skondensowana

37.1 Wst p

Kiedy pierwiastek lub zwi zek chemiczny, b"d cy w stanie gazowym lub ciek!ym, zo-stanie dostatecznie och!odzony to kondensuje czyli przechodzi do stanu sta!ego. Wi"kszo#$ zwi zków ma struktur" krystaliczn . Atomy u!o%one s w powtarzaj cy si" regularny wzór zwany sieci krystaliczn . Np. ziarna soli kuchennej tworz sze#ciany oparte na powtarzaj cym si" elementarnym sze#cianie pokazanym na rysunku poni%ej. Pozycje atomów Na i Cl s zaznaczone odpowiednio ma!ymi i du%ymi kulami.

Wiele cia! sta!ych nie przypomina kryszta!ów ale jest zbudowana z bardzo wielu malut-kich kryszta!ków; mówimy, %e maj struktur" polikrystaliczn . Wreszcie w przyrodzie wyst"puj cia!a niekrystaliczne tzn. takie, w których uporz dkowanie atomowe nie roz-ci ga si" na du%e odleg!o#ci. W dalszej cz"#ci wyk!adu zajmiemy si" tylko cia!ami krystalicznymi. Klasyfikacje takich cia! prowadzi si" wed!ug dominuj cego rodzaju wi zania.

37.2 Rodzaje kryszta!ów (rodzaje wi"za#)

Ze wzgl"du na typy wi za& kryszta!y dzielimy na: ! Kryszta!y cz steczkowe (molekularne);

! Kryszta!y o wi zaniach wodorowych;

! Kryszta!y jonowe;

! Kryszta!y atomowe (kowalentne);

! Kryszta!y metaliczne.

37.2.1 Kryszta y cz!steczkowe

Sk!adaj si" ze stabilnych cz steczek, które zachowuj wiele swoich cech indywidu-alnych nawet przy zbli%aniu ich do siebie. ! Si!y wi % ce cz steczki s s!abym przyci ganiem van der Waalsa, takim jakie ist-

nieje pomi"dzy cz steczkami w fazie gazowej. Fizycznym mechanizmem odpowie-

37-1


dzialnym za to przyci ganie jest oddzia!ywanie pomi"dzy dipolami elektrycznymi (cz steczki zachowuj si" jak dipole elektryczne).

! Cia!a cz steczkowe tworzy wiele zwi zków organicznych a w stanie sta!ym gazy szlachetne i zwyk!e gazy, takie jak tlen, azot, wodór.

! Energia wi zania jest s!aba - rz"du 10-2 eV tj. 10-21 J. Dla porównania energia termiczna cz steczki (wp!ywaj ca na rozerwanie wi zania)

w temperaturze pokojowej (300 K) wynosi J1062

3 21"#$TkB .

Wida$, %e zestalenie mo%e mie$ miejsce dopiero w niskich i bardzo niskich temperaturach, gdzie efekty rozrywaj ce wi zanie, wynikaj ce z ruchu termicznego, s bardzo ma!e. Np. temperatura topnienia sta!ego wodoru wynosi 14 K (tj. -259 %C).

! Te kryszta!y s podatne na odkszta!cenia (s!abe wi zanie) oraz ze wzgl"du na brak elektronów swobodnych s bardzo z!ymi przewodnikami ciep!a i elektryczno#ci.

37.2.2 Kryszta y o wi!zaniach wodorowych

W pewnych warunkach atomy wodoru mog tworzy$ silne wi zania z atomami pierwiastków elektroujemnych takich jak np. tlen czy azot. Te wi zania zwane wodo-rowymi odgrywaj wa%n rol" min. w kryszta!ach ferroelektrycznych i w cz steczkach kwasu DNA (dezoksyrybonukleinowego).

37.2.3 Kryszta y jonowe

Np. chlorek sodu. Takie kryszta!y sk!adaj si" z trójwymiarowego naprzemiennego u!o%enia dodatnich i ujemnych jonów, o energii ni%szej ni% energia odosobnionego jo-nu. ! Energia wi zania wynika z wypadkowego przyci gania elektrostatycznego. Ta ener-

gia jest wi"ksza od energii zu%ytej na przeniesienie elektronów (utworzenie jonów).

Wi zanie jonowe nie ma wyró%nionego kierunku (sferycznie symetryczne zamkni"te pow!oki). Jony s u!o%one jak g"sto upakowane kulki. ! Nie ma swobodnych elektronów (które mog!yby przenosi$ !adunek lub energi")

wi"c kryszta!y jonowe s z!ymi przewodnikami elektryczno#ci i ciep!a. ! Ze wzgl"du na du%e si!y wi % ce kryszta!y jonowe s zazwyczaj twarde i maj wy-

sok temperatur" topnienia.

37.2.4 Kryszta y atomowe (kowalentne)

Np. German, Krzem. Sk!adaj si" z atomów po! czonych ze sob parami wspólnych elektronów walencyjnych. ! Wi zania maj kierunek i wyznaczaj u!o%enie atomów w strukturze krystalicznej. ! S niepodatne na odkszta!cenia i posiadaj wysok temperatur" topnienia. ! Brak elektronów swobodnych, wi"c cia!a atomowe nie s dobrymi przewodnikami

elektryczno#ci i ciep!a. Czasami jak w przypadku wymienionych Ge oraz Si s one pó!przewodnikami.

37-2


37.2.5 Cia a metaliczne

Wi zanie metaliczne mo%na sobie wyobrazi$ jako graniczny przypadek wi zania kowalentnego, w którym elektrony walencyjne s wspólne dla wszystkich jonów w krysztale a nie tylko dla jonów s siednich. ! Gdy w atomach, z których jest zbudowany kryszta!, elektrony na zewn"trznych po-

w!okach s s!abo zwi zane to mog one zosta$ uwolnione z tych atomów kosztem energii wi zania (bardzo ma!ej).

! Elektrony te poruszaj si" w ca!ym krysztale; s wi"c wspólne dla wszystkich jonów. Mówimy, %e te elektrony tworz gaz elektronowy wype!niaj cy przestrze& pomi"dzy dodatnimi jonami. Gaz elektronowy dzia!a na ka%dy jon si! przyci gania wi"ksz od odpychania pozo-sta!ych jonów - st d wi zanie. Wprawdzie w tych atomach na zewn"trznych podpow!okach s wolne miejsca ale jest za ma!o elektronów walencyjnych (na atom) aby utworzy$ wi zanie kowalentne.

! Poniewa% istnieje wiele nie obsadzonych stanów elektronowych (na zewn"trznych podpow!okach s wolne miejsca) to elektrony mog porusza$ si" swobodnie w krysztale od atomu do atomu - s wspólne dla ca!ego kryszta!u.

! Kryszta!y metaliczne s doskona!ymi przewodnikami elektryczno#ci i ciep!a. Wszystkie metale alkaliczne tworz kryszta!y metaliczne. W podsumowaniu nale%y zaznaczy$, %e istniej kryszta!y, w których wi zania musz by$ interpretowane jako mieszanina opisanych powy%ej g!ównych typów wi za&. Typ wi zania w poszczególnych kryszta!ach wyznacza si" do#wiadczalnie przez bada-nie: dyfrakcji promieni X, w!asno#ci dielektrycznych, widm optycznych itp..

37.3 Pasma energetyczne

W odró%nieniu od atomów (i cz steczek) gdzie ruch elektronów jest ograniczony do ma!ego obszaru przestrzeni, w cia!ach sta!ych elektrony walencyjne mog si" porusza$ w ca!ej obj"to#ci cia!a przechodz c od atomu do atomu. Ruch elektronów w kryszta!ach jest wi"c czym# po#rednim pomi"dzy ruchem we-wn trzatomowym a ruchem swobodnych elektronów w pró%ni. ! Energia elektronu w atomie mo%e przyjmowa$ tylko okre#lone warto#ci tworz c

zbiór dyskretnych poziomów energetycznych. ! Elektron swobodny mo%e porusza$ si" z dowoln energi , mamy wi"c do czynienia

z ci g!ym przedzia!em energii od zera do niesko&czono#ci. W kryszta!ach mamy sytuacje po#redni . Gdy du%a liczba atomów jest zbli%ana do sie-bie nast"puje poszerzenie atomowych poziomów energetycznych tworz si" tzw. pasma

energetyczne tak jak pokazano na rysunku na nast"pnej stronie. Silnie zwi zane elektrony wewn"trzne w atomie pozostaj zlokalizowane w atomach. Elektronom tym odpowiadaj najni%sze dyskretne (atomowe) poziomy energii. Energie elektronów walencyjnych uk!adaj si" w przedzia!y - pasma. Pasma s tym szersze im s!absza wi"' elektronów z j drami atomowymi (czyli im bardziej przypomi-naj elektrony swobodne). Pasma energetyczne s oddzielone obszarami wzbronionymi czyli przedzia!ami energii nie dost"pnych dla elektronów.

37-3


r

En

erg

ia e

lektr

on

u

r0

r0 - odleg!o#$ mi"dzyatomowa w krysztale. Pasmowa struktura widma energetycznego elektronów pozwoli!a wyja#ni$ wiele pod-stawowych w!a#ciwo#ci cia! sta!ych. Przede wszystkim pozwoli!a wyt!umaczy$ dlaczego, mimo %e odleg!o#ci mi"dzyato-mowe i energie oddzia!ywa& w metalach, pó!przewodnikach i dielektrykach s tego sa-mego rz"du to oporno#$ elektryczna tych substancji ró%ni si" o 25 rz"dów wielko#ci: od oko!o 10-6 w metalach do 1019 &cm w dielektrykach. ! Je%eli pasmo jest puste to nie mo%e wnosi$ wk!adu do przewodnictwa (nie ma elek-

tronów o energiach w takim przedziale). ! Tak%e pasmo ca!kowicie zape!nione nie bierze udzia!u w przewodnictwie. Je%eli

przyk!adamy napi"cie (aby pop!yn ! pr d) to w polu elektrycznym elektrony b"d przyspieszane, a to oznacza wzrost ich energii. Ale ten proces jest niemo%liwy bo nie ma wolnych (nie obsadzonych) energii w pa#mie.

! Takich ruch elektronów jest mo%liwy dopiero w pa#mie cz"#ciowo wype!nionym czyli takim, w którym s nie obsadzone stany energetyczne.

Substancje o cz"#ciowo wype!nionych pasmach s wi"c metalami a substancje, w któ-rych wyst"puj tylko ca!kowicie zape!nione lub puste stany energetyczne s dielektry-kami lub pó!przewodnikami (rysunek).

Ca!kowicie zape!nione pasma w kryszta!ach nazywamy pasmami walencyjnymi, a cz"-#ciowo zape!nione (lub puste) pasmami przewodnictwa.

37-4


Je%eli szeroko#$ obszaru oddzielaj cego najwy%sze pasmo walencyjne od pasma prze-wodnictwa (tzw. przerwa energetyczna lub pasmo wzbronione) jest du%a to materia! ten jest dielektrykiem we wszystkich temperaturach (a% do temperatury topnienia). Je%eli jednak przerwa jest dostatecznie w ska to w odpowiedniej temperaturze dzi"ki energii cieplnej cz"#$ elektronów mo%e zosta$ przeniesiona do pustego pasma. Kryszta!, który w T = 0 K by! izolatorem teraz b"dzie przewodzi! a jego przewodno#$ szybko ro-#nie (opór spada) wraz z temperatur . Je%eli przerwa jest mniejsza ni% 1 eV to przewod-nictwo staje si" wyra'ne ju% w temperaturze pokojowej. Substancje z tak przerw nazywamy pó!przewodnikami.

37.4 Fizyka pó!przewodników

W tym punkcie przedstawione zostan podstawowe w!a#ciwo#ci pó!przewodników oraz ich zastosowania. Materia!y te zrewolucjonizowa!y elektronik" i wspó!czesn technologi" dlatego zosta!y wybrane do omówienia. Gdy elektron znajduj cy si" w pa#mie walencyjnym np. Ge zostanie wzbudzony ter-micznie, wówczas powstaje w tym pa#mie miejsce wolne, a zostaje zape!niony stan w pa#mie przewodnictwa. Pusty stan w pa#mie walencyjnym nazywany jest dziur . Na rysunku zaznaczono symbolicznie t" sytuacj".

elektron przewodnictwa

Eprzerwy

Ge Ge

Ge

Ge Ge

elektron przewodnictwa

dziura

wi zanie (elektrony walencyjne)

Ge Ge

dziura

W obecno#ci zewn"trznego pola elektrycznego inny elektron walencyjny, s siaduj cy z dziur mo%e zaj $ jej miejsce, pozostawiaj c po sobie now dziur", która zostanie za-pe!niona przez kolejny elektron itd. Zatem dziura przemieszcza si" w kierunku prze-ciwnym ni% elektron i zachowuje jak no#nik !adunku dodatniego (dodatni elektron). Liczba dziur jest równa liczbie elektronów przewodnictwa. Takie pó!przewodniki na-zywamy samoistnymi.

37.4.1 Domieszkowanie pó przewodników

Je%eli w trakcie wzrostu kryszta!ów do roztopionego germanu dodamy niewielk ilo#$ arsenu (grupa 5 uk!adu okresowego) to arsen wbudowa! si" w struktur" germanu wykorzystuj c cztery spo#ród pi"ciu elektronów walencyjnych. Pozosta!y elektron nie bierze udzia!u w wi zaniu i !atwo staje si" elektronem przewodnictwa. Dzi"ki temu w

37-5


pa#mie przewodnictwa jest prawie tyle elektronów ile atomów arsenu (domieszki). Za-zwyczaj liczba ta jest wi"ksza ni% liczba elektronów wzbudzonych termicznie z pasma walencyjnego. Taki pó!przewodnik nazywany jest pó!przewodnikiem typu n (negative). German mo%na te% domieszkowa$ galem (grupa 3 uk!adu okresowego). W takim przy-padku atom galu b"dzie mia! tendencj" do wychwytywania elektronu z s siedniego atomu germanu aby uzupe!ni$ cztery wi zania kowalencyjne. Zatem atom galu wpro-wadza dziur" i mamy pó!przewodnik typu p (positive).

37.5 Zastosowania pó!przewodników

37.5.1 Termistor

W miar" wzrostu temperatury obserwujemy szybki wzrost przewodno#ci (spadek oporu) pó!przewodników. Np. przewodno#$ czystego krzemu zwi"ksza si" a% dwukrot-nie przy wzro#cie temperatury od 0% C do 10% C. Dlatego czysty krzem mo%e by$ sto-sowany w czu!ych miernikach temperatury. Taki przyrz d (wykonany z czystego pó!-przewodnika) jest nazywany termistorem.

37.5.2 Z !cze p - n

Je%eli pó!przewodnik typu n i pó!przewodnik typu p zostan ze sob zetkni"te to cz"#$ elektronów z obszaru typu n b"dzie przep!ywa!a do obszaru typu p, a dziury b"d prze-p!ywa!y z obszaru typu p do obszaru typu n. W wyniku tego obszar p na!aduje si" ujemnie (dodatkowymi elektronami) a obszar typu n dodatnio. Powstaje kontaktowa ró%nica potencja!ów pokazana na rysunku poni%ej.

V0

X

V

Typ p

Typ n

Je%eli do takiego z! cza p - n przy!o%ymy zewn"trzny potencja! to wielko#$ pr du p!y-n cego przez z! cze zale%y od kierunku i warto#ci tego napi"cia tak jak pokazano na wykresie poni%ej. Dla dodatniego napi"cia pr d jest zazwyczaj wielokrotnie wi"kszy od I0 podczas gdy dla ujemnego napi"cia (napi"cie zaporowe) maksymalna warto#$ pr du wynosi I0. To urz dzenie jest nazywane diod p - n. Jednym z jego zastosowa& s detektory radiood-biorników o modulacji amplitudowej.

37-6


V

I

I0

37.5.3 Baterie s oneczne

Je%eli o#wietlimy obszar przej#ciowy z! cza p - n to elektrony z pasma walencyjne-go zostan wzbudzone do pasma przewodnictwa (tak samo jak energi ciepln ). Ka%dy poch!oni"ty foton kreuje par" elektron - dziura. Powsta!e dziury s wci gane do obszaru p, a elektrony do obszaru n. Je%eli mamy za-mkni"ty obwód to p!ynie w nim pr d. W ten sposób mo%na zamieni$ #wiat!o bezpo#rednio na energi" elektryczn .

37.5.4 Fotodiody

Gdy do baterii s!onecznej przy!o%ymy napi"cie zaporowe to pr d I0 wzro#nie wielo-krotnie dzi"ki dodatkowym no#nikom wytworzonym przez padaj ce #wiat!o. Fotopr d jest proporcjonalny do szybko#ci padania fotonów. Urz dzenie jest bardzo czu!e i znalaz!o zastosowanie np. jako detektor zmian nat"%enia #wiat!a.

37.5.5 Diody "wiec!ce

Diody #wiec ce s zasilane napi"ciem w kierunku przewodzenia na tyle du%ym, %e przyspieszane elektrony w trakcie zderze& wytwarzaj pary elektron - dziura. Tym pro-cesom tworzenia par elektron - dziura towarzysz procesy odwrotne (tzw. rekombina-cja), w których elektrony mog ponownie obsadzi$ dziur". Ka%demu aktowi rekombi-nacji towarzyszy emisja fotonu o energii hv $ Eprzerw . Tak wi"c cz"stotliwo#$ (barwa) emitowanego #wiat!a zale%y od przerwy energetycznej, która jest charakterystyczna dla danego materia!u pó!przewodnikowego.

37.5.6 Tranzystor

Schemat tranzystora pnp jest pokazany na rysunku na nast"pnej stronie. Mo%na sobie wyobrazi$, %e tranzystor jest diod , do której do! czono dodatkowy obszar p (kolektor).

37-7


Vk

Vb

p p n

emiter

kolektor

baza

Ike

Ibe

dioda

V0

Vb

Vk

V

p p n

Do „diody” jest przy!o%one napi"cie w kierunku przewodzenia wi"c p!ynie du%y pr d

(dziurowy) z emitera do bazy. Baza jest na tyle cienka, %e wi"kszo#$ dziur dyfunduje do

kolektora, a tylko niewielka cz"#$ (1%) wyp!ywa z bazy (Ibe).

Pozosta!y pr d (99%) wyp!ywa przez kolektor. Kolektor jest na bardziej ujemnym po-

tencjale ni% baza by dodatnie dziury !atwiej mog!y do niego przechodzi!y. Stosunek pr -

du kolektora do pr du bazy nazywamy wspó!czynnikiem wzmocnienia pr du: be

ke

I

I'( .

Dla typowego tranzystora ( = 100 tzn. s!aby pr d wej#ciowy bazy Ibe mo%e kontrolo-

wa$ 100 razy wi"kszy pr d wyj#ciowy kolektora Ike.

Np. Ibe jest s!abym sygna!em antenowym. Wówczas pr d Ike jest takim samym przebie-

giem ale o warto#ci 100 razy wi"kszej.

Charakterystyki tranzystorów npn s takie same.

37.5.7 Inne urz!dzenia

Istnieje jeszcze wiele innych urz dze& pó!przewodnikowych. Z konieczno#ci ograni-

czymy si" tylko do wymienienia najwa%niejszych: uk!ady scalone du%ej skali integracji;

diody tunelowe; diody Zenera; tyrystory; tranzystory polowe; lasery pó!przewodniko-

we.

37.6 W!asno$ci magnetyczne cia! sta!ych

Ze zjawiskami magnetycznymi spotykamy si" na co dzie&. Najcz"#ciej mamy do

czynienia z magnesami sta!ymi poniewa% s one powszechnie wykorzystywane we

wszelkich urz dzeniach technicznych.

Omówienie w!asno#ci magnetycznych rozpoczniemy od przypomnienia oblicze&,

z Wyk!adu 21. Pokazali#my tam, %e elektron kr % cy w odleg!o#ci r wokó! j dra w

atomie posiada magnetyczny moment dipolowy Le

' zwm2

e) i zany z orbitalnym mo-

mentem p"du L. Podobnie jak z orbitalnym momentem p"du elektronu równie% z jego

spinem zwi zany jest moment magnetyczny tzw. spinowy moment magnetyczny.

W!asno#ci magnetyczne cia! s okre#lone przez zachowanie si" tych elementarnych

momentów (dipoli) magnetycznych w polu magnetycznym.

37-8


Przy opisie w!asno#ci magnetycznych cia! pos!ugujemy si" poj"ciem wektora pola-

ryzacji magnetycznej M nazywanej te% namagnesowaniem lub magnetyzacj . Wektor

ten okre#la sum" wszystkich momentów magnetycznych, czyli wypadkowy moment

magnetyczny jednostki obj"to#ci. Je%eli próbk" zawieraj c elementarne dipole magne-

tyczne umie#cimy w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B0 to pole to d %y do

ustawienia dipoli w kierunku pola i w efekcie powstaje w próbce wypadkowe pole o

indukcji

00 BMBB r)'*' (35.1)

Wzgl"dn przenikalno#ci magnetyczn o#rodka )r mo%na na podstawie wzoru (35.1)

zapisa$ jako

+) *'*' 110B

Mr (35.2)

!

gdzie wielko#$ + nazywana jest podatno#ci magnetyczn .

W zale%no#ci od wielko#ci i znaku podatno#ci magnetycznej + , dzielimy cia!a na

nast"puj ce trzy grupy:

! + < 0, cia!a diamagnetyczne;

! + > 0, cia!a paramagnetyczne;

! + >> 0, cia!a ferromagnetyczne.

37.6.1 Diamagnetyzm

Diamagnetyzm jest zwi zany ze zmian orbitalnego momentu p"du elektronów wy-

wo!an zewn"trznym polem magnetycznym. Oznacza to, %e diamagnetyzm wyst"puje w

ka$dym materiale umieszczonym w polu magnetycznym (w ka%dym materiale s elek-

trony). Jednak do#wiadczalnie jest on obserwowany tylko w cia!ach, w których momen-

ty magnetyczne elektronów wchodz cych w sk!ad danego atomu znosz si" wzajemnie

(kompensuj ) tak, %e moment magnetyczny atomu jest równy zeru. W innym przypadku

efekt ten jest maskowany przez wypadkowy moment magnetyczny atomów. Diamagne-

tykami s na przyk!ad te cia!a, których atomy lub jony posiadaj wype!nione pow!oki

elektronowe.

Je%eli atom diamagnetyczny umie#cimy w zewn"trznym polu magnetycznym to na

elektrony dzia!a si!a magnetyczna F = -ev B, która powoduje zmian si!y do"rodkowej dzia!aj#cej na elektron i zmienia pr dko"$ k#tow# elektronów. Zmiana ta zale%y od kie-runku ruchu elektronu wzgl dem pola B i dlatego nie jest jednakowa dla wszystkich elektronów. Oznacza to, %e momenty magnetyczne elektronów przesta!y si kompen-sowa$. W zewn trznym polu magnetycznym B zosta! wyindukowany moment magne-tyczny, o kierunku przeciwnym do B. W efekcie próbka diamagnetyczna jest odpychana od bieguna silnego magnesu, a jej podatno"$ magnetyczna ! jest ujemna.

37-9

Z. K#kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki

37.6.2 Paramagnetyzm

Paramagnetykami s# cia!a, których atomy posiadaj# wypadkowy moment magne-tyczny ró%ny od zera. Przyk!adem mog# by$ atomy o nieparzystej liczbie elektronów, w których wypadkowy spin elektronów b dzie zawsze wi kszy od zera. Podatno"$ para-magnetyków ma warto"$ nieznacznie wi ksz# od zera. W zewn trznym polu magne-tycznym atomowe dipole magnetyczne d#%# do ustawienia równoleg!ego do kierunku pola. Jednak ten proces jest silnie zak!ócany przez energi drga& termicznych (energi ciepln#) tak, %e efektywny moment magnetyczny jest du%o mniejszy od maksymalnego, mo%liwego do uzyskania. Te ruchy cieplne s# odpowiedzialne za to, %e po usuni ciu pola magnetycznego znika namagnesowanie i momenty dipolowe paramagnetyka s# ca!kowicie nieuporz#dkowane.

Dla paramagnetyków (nie zawieraj#cych elektronów swobodnych) podatno"$ ma-gnetyczna zale%y od temperatury zgodnie z prawem Curie

T

C"! (35.3)

gdzie C jest sta ! Curie.

37.6.3 Ferromagnetyzm

Istniej# pierwiastki takie jak Fe, Co, Ni oraz wiele ró%nych stopów, w których ob-serwujemy uporz#dkowanie magnetyczne pomimo, przeciwdzia!aj#cych temu, ruchów termicznych atomów. Substancje te zwane ferromagnetykami charakteryzuj# si du%# podatno"ci#, przy czym wielko"$ namagnesowania zale%y zarówno od pola magnesuj#-cego jak i od tego czy by!y one magnesowane wcze"niej. Jest to zwi#zane z silnym od-

dzia ywaniem wymiennym jakie wyst puje pomi dzy spinowymi momentami magne-tycznymi atomów. Ferromagnetyzm jest wi"c w asno#ci! kryszta ów, a nie pojedyn-

czych atomów. Poszczególne atomy (tak jak w paramagnetyku) posiadaj# momenty ma-gnetyczne, które podczas krystalizacji, w wyniku oddzia!ywania wymiennego, ustawia-j# si równolegle do siebie w du%ych obszarach kryszta!u zwanych domenami. Ka%da domena jest wi c ca!kowicie magnetycznie uporz#dkowana. Natomiast kierunki mo-mentów magnetycznych poszczególnych domen s# ró%ne i próbka jako ca!o"$ mo%e nie mie$ wypadkowego namagnesowania. Na rysunku poni%ej po lewej stronie pokazano fragment nienamagnesowanego ferromagnetyka.

37-10

Z. K#kol-Notatki do Wyk!adu z Fizyki

Linie pokazuj# granice domen, a strza!ki oznaczaj# kierunek momentu magnetycznego w domenie. Je%eli taki materia! ferromagnetyczny umie"cimy w zewn trznym polu magnetycz-nym zaobserwujemy, %e próbka uzyskuje du%e namagnesowanie w relatywnie niskim polu magnetycznym. Dzieje si tak dlatego, %e momenty magnetyczne atomów we-wn#trz domen d#%# do ustawienia si zgodnie z polem oraz, %e przesuwaj# si "ciany domen: domeny zorientowane zgodnie z polem rosn# kosztem domen o innej orientacji. Ten proces nie jest ca kowicie odwracalny. Po usuni ciu pola granice domen nie wraca-j# do po!o%e& pocz#tkowych i materia! pozostaje namagnesowany trwale. Zjawisko to nazywamy histerez! magnetyczn!. Na rysunku, poni%ej prawej pokazana jest krzywa (ab) namagnesowania ferromagnetyka (pocz#tkowo nienamagnesowanego) i towarzy-sz#ca jej p tla histerezy (bcdeb).

Nienamagnesowany (punkt a) materia! ferromagnetyczny magnesujemy zewn trz-nym polem magnetycznym B0 a% do warto"ci odpowiadaj#cej punktowi b. Nast pnie zmniejszamy pole magnesuj#ce do zera. Namagnesowanie materia!u maleje ale nie zni-ka ca!kowicie (punkt c); materia! zosta! namagnesowany trwale. Namagnesowanie w punkcie c nosi nazw pozosta o#ci magnetycznej. Nast pnie, ponownie zwi kszamy po-le magnesuj#ce ale w kierunku przeciwnym do namagnesowania. Trwa!e namagneso-wanie ferromagnetyka zostaje usuni te dopiero po osi#gni ciu warto"ci pola magne-tycznego nazywanego polem koercji (punkt d). Dalsze zwi kszanie pola magnesuj#cego pozwala ponownie namagnesowa$ materia! ale w nowym kierunku (punkt e). Mo%emy teraz powtórzy$ post powanie opisane powy%ej i w efekcie powróci$ do punktu b. Krzywa (bcdeb) nosi nazw p tli histerezy. Pozosta!o"$ magnetyczna i pole koercji s# parametrami, które decyduj# o przydatno-"ci danego materia!u jako magnesu trwa!ego. Du%a pozosta!o"$ magnetyczna gwarantu-je, %e b dziemy mieli silny magnes, a du%e pole koercji, %e b dzie on trwa!y (nie zosta-nie !atwo rozmagnesowany). Materia!ami, które posiadaj# najlepsze warto"ci tych pa-rametrów s# obecnie SmCo5 i Nd2Fe14B. O przydatno"ci ferromagnetyka jako magnesu trwa!ego decyduje równie% zale%no"$ jego podatno"ci od temperatury bo powy%ej pewnej charakterystycznej temperatury TC ferromagnetyk staje si paramagnetykiem. Temperatur TC nazywamy temperatur! Cu-

rie. Z punktu widzenia zastosowa& istotne jest aby materia! ferromagnetyczny mia! mo%liwie wysok# temperatur przej"cia w stan paramagnetyczny.

37-11


Wyk ad 38

38. Fizyka j!drowa

38.1 Wst p

Ka"de j dro atomowe sk!ada si# z protonów i neutronów wi zanych si ami j!dro-

wymi, niezale"nymi od !adunku. Poniewa" neutron i proton maj prawie tak sam mas# i bardzo zbli"one inne w!asno-$ci, wi#c obydwa okre$la si# wspóln nazw nukleon. Nazwa nuklid jest u"ywana zamiennie z terminem j dro. Nuklidy o tej samej liczbie protonów, ró"ni ce si# liczb neutronów nazywamy izoto-

pami. % czn liczb# protonów i neutronów w j drze nazywamy liczb! masow! j dra i ozna-czamy liter A. Liczba neutronów jest dana równaniem A - Z, gdzie Z jest liczb proto-nów zwan liczb! atomow!. Warto$& liczby A dla j dra atomowego jest bardzo bliska masie odpowiadaj cego mu atomu.

38.2 Rozmiary j!der

Wi zka wysokoenergetycznych protonów lub neutronów mo"e zosta& rozproszona wskutek dyfrakcji na j drze o promieniu R. Analizuj c powsta!y obraz dyfrakcyjny (po-!o"enie maksimów) mo"na wyznaczy& ten promie'. Wyniki pomiarów (równie" innymi technikami) pokazuj , "e $redni promie' dla wszystkich j der oprócz najmniejszych jest dany wzorem:

R (1.2·10-15 m) A1/3 W fizyce j drowej i cz stek elementarnych wielko$& 10-15 pojawia si# cz#sto i dlatego wprowadzono dla niej osobn nazw# fermi. 1 fermi = 1 fm = 10-15 m. Przyk ad 1 Jaka jest g#sto$& masy i g#sto$& cz steczek w materii j drowej ? Dla j dra o promieniu R i liczbie masowej A liczba cz stek na jednostk# obj#to$ci wy-nosi

331153 ])102.1[(3

4

3

4Am

A

R

AN

!"##

$$

sk d N = 1.38·1044 nukleonów/m3

G#sto$& masy to iloczyn tej liczby N i masy nukleonu

38-1


% = N Mp = (1.38·1044) (1.67·10-27) kg/m3 = 2.3·1017 kg/m3 Odpowiada to masie oko!o 230 milionów ton dla 1 cm3. G#sto$& materii j drowej nie zale"y od rozmiarów j dra, poniewa" jego obj#to$& jest proporcjonalna do liczby masowej A.

38.3 Oddzia"ywanie nukleon-nukleon

Dotychczas poznane oddzia!ywania (grawitacyjne, elektromagnetyczne) nie pozwa-laj na wyja$nienie struktury j dra atomowego. Aby wyja$ni& co tak silnie wi "e nukle-ony w j drach atomowych trzeba wprowadzi& nowe oddzia!ywanie. Ta si!a wi " ca musi by& wi#ksza ni" si!a odpychania elektrostatycznego wyst#puj ca pomi#dzy proto-nami. Okre$lamy j mianem si y j!drowej lub oddzia ywania silnego. Potencja! opisuj cy to oddzia!ywanie jest o rz d wielko$ci wi#kszy ni" energia poten-cjalna elektrostatycznego odpychania proton - proton. Sytuacja ta jest pokazana na ry-sunku poni"ej.

1 2 3

-30

-20

-10

0

10

20

30

ke2/r

przyci ganie

odpychanie

U (

MeV

)

r (fm)

Oddzia!ywanie proton - proton, proton - neutron i neutron - neutron jest identyczne (je-"eli zaniedbamy relatywnie ma!e efekty odpychania elektrostatycznego) i nazywamy go oddzia!ywaniem nukleon - nukleon. Masy atomowe i energie wi za' mo"na wyznaczy& do$wiadczalnie w oparciu o spek-

troskopi" masow! lub bilans energii w reakcjach j!drowych. W tabeli na nast#pnej stronie zestawione s masy atomowe i energie wi za' j der &E dla atomów wybranych pierwiastków. Masa jest podana w jednostkach masy atomowej (u). Za wzorzec przyjmuje si# 1/12 masy atomowej w#gla 12 . 6 C

38-2


Z A Masa (u) &E (MeV)

&E/A

01n 0 1 1.0086654 --- ---

11 H 1 1 1.0078252 --- ---

12 H 1 2 2.0141022 2.22 1.11

13 H 1 3 3.0160500 8.47 2.83

23 He 2 3 3.0160299 7.72 2.57

24 He 2 4 4.0026033 28.3 7.07

49 Be 4 9 9.0121858 58.0 6.45

612 C 6 12 12.0000000 92.2 7.68

816 O 8 16 15.994915 127.5 7.97

2963Cu 29 63 62.929594 552 8.50

50120Sn 50 120 119.9021 1020 8.02

74184 W 74 184 183.9510 1476 8.02

92238 U 92 238 238.05076 1803 7.58

W oparciu o dane zestawione w tabeli mo"na uzyska& dalsze informacje o j drach ato-mowych. Dla przyk!adu porównajmy mas# atomu z sum mas jego sk!adników. 2

4 He

M( ) = 4.0026033 u 2

4 He

Ca!kowita masa jego sk!adników równa jest sumie mas dwu atomów 1

1 i dwu neutro-

nów tzn.

H

2M( 1

1 ) + 2M( ) = 2·1.0078252 u + 2·1.0086654 u = 4.0329812 u H 01n

Uwaga: zarówno w sk!ad masy helu jak i dwu mas wodoru wchodz masy dwu elektro-nów. Wynik: masa helu jest mniejsza od masy sk!adników o warto$& 0.0303779 u. Dla ka"dego atomu analogiczny rachunek pokaza!by, "e masa atomu jest mniejsza od masy jego sk!adników o wielko$& &M zwan niedoborem masy. Wynik ten jest $wiadectwem energii wi zania j der jak i równowa"no$ci masy i energii. Je"eli rozwa"ymy dowolny sk!adnik j dra helu to skoro jest on zwi zany z j drem to ma ujemn energi# E < 0 (rysunek na stronie 3). Innymi s!owy, "eby taki nukleon przy-by! z odleg!o$ci r ' (E = 0) i móg! z innym nukleonami utworzy& j dro, jego energia musi ulec zmniejszeniu. To samo dotyczy ka"dego z pozosta!ych nukleonów w j drze. Oznacza to, "e gdy uk!ad oddzielnych swobodnych nukleonów ! czy si# w j dro ener-gia uk!adu musi zmniejszy& o warto$& &E energii wi!zania j!dra.

38-3


Zmniejszeniu o &E ca!kowitej energii uk!adu musi towarzyszy&, zgodnie z teori wzgl#dno$ci, zmniejszenie masy uk!adu o &M, gdzie &M c

2 = &E. Dla niedobór masy wynosi &M = 0.0303779 u, wi#c energia wi zania jest równa

&E = &M c

24 He

2 = 28.3 MeV. W ostatniej kolumnie tabeli podana jest wielko$& energii wi zania na nukleon w j drze. Jest to jedna z najwa"niejszych cech charakteryzuj cych j dro. Zauwa"my, "e pocz tkowo &E/A wzrasta ze wzrostem A, ale potem przybiera w przy-bli"eniu sta! warto$& oko!o 8 MeV. Wyniki $redniej energii wi zania na nukleon w funkcji liczby masowej j dra A s pokazane na rysunku poni"ej.

0 50 100 150 200 2500

2

4

6

8

238U

184W

120Sn

63Cu

16O

7Li

12C

9Be

4He

3H

2H

&E

/A

Liczba masowa A

Gdyby ka"dy nukleon w j drze przyci ga! jednakowo ka"dy z pozosta!ych nukleonów to energia wi zania na nukleon by!aby proporcjonalna do A. Fakt, "e &E/A nie jest proporcjonalne do A wynika g!ownie z krótkiego zasi#gu si! j -drowych. Wida&, "e najsilniej s wi zane nukleony w j drach pierwiastków ze $rodko-wej cz#$ci uk!adu okresowego.

38.4 Rozpady j!drowe i reakcje j!drowe

38.4.1 Rozpad alfa

Rozpady j drowe zachodz zawsze (pr#dzej czy pó(niej) je$li j dro o pewnej liczbie nukleonów znajdzie si# w stanie energetycznym, nie b#d cym najni"szym mo"liwym dla uk!adu o tej liczbie nukleonów. Takie nietrwa!e (w stanach niestabilnych) j dra powstaj w wyniku reakcji j drowych. Niektóre reakcje s wynikiem dzia!a' laboratoryjnych, inne dokona!y si# za spraw przyrody podczas powstawania naszej cz#$ci Wszech$wiata. J dra nietrwa!e pochodze-nia naturalnego s nazywane promieniotwórczymi, a ich rozpady nosz nazw# rozpa-

dów promieniotwórczych (promieniotwórczo$ci).

38-4


Rozpady promieniotwórcze dostarczaj wielu informacji o samych j drach atomowych (budowie, stanach energetycznych, oddzia!ywaniach) ale równie" wielu zasadniczych informacji o pochodzeniu Wszech$wiata. Szczególnie wa"nym rozpadem promieniotwórczym jest rozpad alfa (() wyst#puj cy zazwyczaj w j drach o Z ) 82. Z przyczyn historycznych j dro 4He jest nazywane cz st-k (. Rozpad ( polega na przemianie niestabilnego j dra w nowe j dro przy emisji j -dra 4He tzn. cz stki (. Proces zachodzi samorzutnie bo jest korzystny energetycznie. Energia wyzwolona w czasie rozpadu (energetyczny równowa"nik niedoboru masy) jest unoszona przez cz stk# ( w postaci energii kinetycznej. Przyk!adowa reakcja dla j dra uranu wygl da nast#puj co

238U 234Th + 4He + 4.2 MeV Rozpatrzmy teraz uk!ad zawieraj cy w chwili pocz tkowej wiele j der tego samego ro-dzaju. J dra te podlegaj rozpadowi ( (równie dobrze rozpadowi *) z cz#sto$ci rozpa-dów +. Chcemy znale(& liczb# j der, która nie uleg!a rozpadowi po czasie t od chwili pocz tkowej. Oznaczamy przez N liczb# j der. Wtedy dN (<0) oznacza liczb# j der, które rozpadaj si# w czasie dt. Spodziewana liczba rozpadów (liczba j der, które si# rozpadn ) w czasie dt tzn. (t, t + dt) jest dana wyra"eniem

dN = – N+dt

gdzie znak minus wskazuje, "e dN jest liczb ujemn czyli, "e N maleje z czasem.

Mo"emy rozdzieli& zmienne i sca!kowa& równanie obustronnie

tN

Nd

d+!#

,, !#ttN

N

tN

N

0

)(

)0(

dd

+

tN

tNNtN +!##!

)0(

)(ln)0(ln)(ln

czyli

teN

tN +!#)0(

)(

sk d

teNtN +!# )0()( (38.1)

N(0) jest liczb j der w chwili t = 0, a N(t) liczb j der po czasie t.

Powy"szy wzór nazywamy wyk adniczym prawem rozpadu.

38-5


Cz#sto wyra"a si# N(t) poprzez $redni czas "ycia j der, który z definicji jest równy od-

wrotno$ci cz#sto$ci rozpadów; - = 1/+.

Prawo rozpadu przyjmuje wtedy posta&

N = N0e-t/-

(38.2)

Do scharakteryzowania szybko$ci rozpadu u"ywa si# czasu po owicznego rozpadu (za-

niku) T1/2. Jest to taki czas, po którym liczba j der danego rodzaju maleje do polowy

tzn. N = (1/2) N0. Wstawiaj c to do równania (38.2), otrzymujemy

-21

002

1 TeNN #

czyli -212

Te#

sk d

T1/2 = 0.693 - (38.3)

Przyk!adowo dla 238

U czas po!owicznego zaniku wynosi 4.5·109 lat, a dla

212Po jest rz#-

du 10-6

s.

38.4.2 Promieniowanie .

Je$li j dro jest wzbudzone do wy"szego stanu energetycznego, to mo"e nast pi& sa-

moczynna emisja fotonu i przej$cie do ni"szego stanu energetycznego. Poniewa" odle-

g!o$ci mi#dzy poziomami energetycznymi w j drach s rz#du MeV wi#c fotony emito-

wane przez j dra maj energi# tysi ce razy wi#ksz od energii fotonów wysy!anych

przez atomy. Takie wysokoenergetyczne fotony emitowane przez j dra nazywamy

promieniowaniem .. J dra w stanie wzbudzonym mo"na !atwo otrzyma& u"ywaj c neutronów o ma!ej ener-

gii. Je"eli taki powolny neutron przechodzi np. przez bry!k# uranu 238

U to zawsze gdy

znajdzie si# blisko j dra dzia!a na niego si!a przyci gaj ca wywo!ana przez oddzia!y-

wanie j drowe. Dlatego jest bardzo prawdopodobne, "e taki neutron zostanie wychwy-

cony i powstanie j dro 239

U* w stanie wzbudzonym (oznaczone *). Takie j dro prze-

chodzi do stanu podstawowego emituj c jeden lub kilka kwantów .. Proces ten opisuj

nast#puj ce reakcje j drowe:

n + 238

U 239

U*

239U

*

239U + .

38.4.3 Rozpad beta

Badaj c w!asno$ci promieniotwórczo$ci stwierdzono, "e istniej trzy rodzaje pro-

mieniowania (, *, .. Po dalszych badaniach stwierdzono, "e ( to j dra helu, promienie

. to fotony, a promienie * to elektrony lub pozytony (cz stka elementarna dodatnia o

masie równej masie elektronu).

38-6


J dra, których ilo$& protonów Z ró"ni si# od warto$ci odpowiadaj cej stabilnym j drom

o tej samej liczbie masowej A, mog zmienia& Z w kierunku j der stabilnych poprzez

rozpad *. Wspó!czesna teoria rozpadów * zosta!a rozwini#ta przez Fermiego w 1931 r.

Najprostszym przyk!adem rozpadu * jest rozpad swobodnego neutronu zachodz cy z

czasem po!owicznego zaniku 12 minut

vepn //0

Neutron rozpada si# na proton, elektron i antyneutrino (cz stka elementarna o zerowym

!adunku i zerowej masie spoczynkowej).

Inny przyk!ad to omawiany ju" uran 239

U; rozpad zachodzi z czasem po!owicznego za-

niku 24 minuty

veNpU //0239239

Powsta!y izotop te" nie jest trwa!y i podlega rozpadowi *

vePuNp //0239239

z czasem po!owicznego zaniku 2.35 dnia.

W takim procesie liczba Z wzrasta o jeden a liczba A pozostaje bez zmiany.

Innym rozpadem *, jest proces, w którym j dra emituj pozytony, a towarzyszy te-

mu zawsze emisja neutrina. W tym procesie liczba Z maleje o jeden, a liczba A pozosta-

je bez zmiany.

38.4.4 Rozszczepienie j!der atomowych

Jak widzieli$my w punkcie 38.3 energia wi zania na jeden nukleon wzrasta z liczb

masow a" do A 50. Jednak powy"ej tej warto$ci ta energia maleje. Dzieje si# tak dla-

tego, "e si!y j drowe maj krótki zasi#g i dla dwóch protonów oddalonych o wi#cej ni"

2.5·10-15

m ich oddzia!ywanie jest raczej odpychaj ce ni" przyci gaj ce (rysunek na

stronie 38-2).

Konsekwencj tego jest wyst#powanie zjawisk rozszczepienia i syntezy j drowej. Je"eli

ci#"kie j dro rozdzielimy na dwa mniejsze, te dwie cz#$ci mog mie& mas# mniejsz

ni" masa j dra wyj$ciowego nawet o dziesi te cz#$ci procenta. Dlatego ci#"kie j dra

maj tendencj# do rozpadania si# na dwa mniejsze z wydzieleniem energii.

Energia w bombie atomowej i reaktorach j drowych jest wydzielana w procesach roz-

szczepienia j drowego.

Spontaniczne rozszczepienie j dra jest dozwolone przez zasad# zachowania energii.

Jednak w naturalnych j drach prawdopodobie'stwo rozszczepienia j dra jest mniejsze

ni" prawdopodobie'stwo rozpadu (. Prawdopodobie'stwo rozszczepienia mo"na wy-

datnie zwi#kszy& bombarduj c j dra neutronami. Tak dzieje si# np. gdy j dro 235

U lub 239

Pu wychwyci powolny neutron.

Ró"nica pomi#dzy mas j dra uranu a sum mas produktów rozszczepienia jest taka, "e

w przeci#tnej reakcji wydziela si# 200 MeV energii co stanowi równowa"nik 0.1% ma-sy uranu. Oznacza to, "e z 1g uranu otrzymujemy energi# równ : E = 0.001·mc

2 =

38-7


9·1010 J. Jest to oko!o 3 miliony razy wi#cej ni" energia wydzielana przy spalaniu 1g w#gla. Z drugiej strony nale"y uwzgl#dni& fakt, "e uran jest du"o dro"szy od w#gla i "e instalacje w elektrownii j drowej s te" du"o dro"sze ni" w konwencjonalnej. Ci gle jednak energia j drowa jest znacznie ta'sza ni" z paliw tradycyjnych. Rozszczepienie j drowe mo"e w reakcji !a'cuchowej sta& si# procesem samopodtrzy-muj cym si#. W ka"dej reakcji rozszczepienia powstaj dwa lub trzy neutrony. Je"eli przynajmniej jeden z nich wywo!a kolejne rozszczepienie to proces b#dzie sam si# pod-trzymywa!. Ilo$& materia!u powy"ej, której jest spe!niony powy"szy warunek nazywa-my mas! krytyczn!. Po raz pierwszy reakcj# rozszczepienia przeprowadzono (Enrico Fermi) na Uniwersytecie Chicago w 1942 r. Masa 235U i 239Pu mo"e by& te" nadkrytyczna. Wtedy neutrony z jednego rozszczepienia wywo!uj wi#cej ni" jedn reakcj# wtórn (reakcja lawinowa). Ca!a masa nadkrytyczna mo"e by& zu"yta (eksplodowa&) w czasie t < 0.001 s ze wzgl#du na du" szybko$& neu-tronów (3·108 cm/s). Tak eksploduje bomba atomowa. Najcz#$ciej kul# o masie nadkry-tycznej ale rozrzedzonej otacza si# klasycznymi !adunkami wybuchowymi. Ich detona-cja wywo!uje wzrost ci$nienia zewn#trznego i gwa!townie zmniejsza obj#to$& kuli. Oczywi$cie w elektrowniach j drowych spalanie paliwa odbywa si# bardzo powoli.

38.4.5 Reakcja syntezy j!drowej

W tabeli na stronie 38-3 widzimy, "e masa dwóch lekkich j der jest wi#ksza ni" ma-sa j

mog si# po! czy& tworz c j dro helu przy czym 0.6% masy zosta-

reakcji syntezy j drowej jest prowadzenie

wania reaktora termoj drowego. Podstawowym pro-

reakcji ter-moj drowej. Eksperci uwa"aj jednak, "e jest to kwestia najbli"szych lat.

Wymaga to spowalniania neutronów i doboru warunków stacjonarnej pracy reaktora.

dra powstaj cego po ich po! czeniu. Je"eli takie j dra zbli"ymy do siebie na dosta-tecznie ma! odleg!o$&, to przy powstawaniu nowego j dra wydzieli si# energia zwi za-na z ró"nic mas. Np. dwa deuteronynie zamienione na energi#. Wida&, "e ta metoda by!aby sze$& razy wydajniejsza od omówionego rozszczepiania j der uranu (0.1%). Poza tym mamy nieograniczone (ród!o deuteru w wodzie mórz i oceanów. Przeszkod w otrzymywaniu energii t metod jest odpychanie kulombowskie, które nie pozwala zbli"y& si# deuteronom na odleg!o$& po-równywaln z zasi#giem przyci gaj cych si! j drowych. Reakcja ta by!aby mo"liwa gdyby deuter móg! by& ogrzany do temperatury oko!o 5·107 K. Reakcje, które wymaga-j takich temperatur nazywamy reakcjami termoj drowymi. Temperatury osi gane pod-czas wybuchu bomby atomowej s wystarczaj ce do zapocz tkowania takiej reakcji. Raz zapocz tkowana reakcja termoj drowa wytwarza dostateczn ilo$& energii do utrzymania wysokiej temperatury dopóki materia! (wi#kszo$&) nie zostanie spalony. Jest to mechanizm dzia!ania bomby wodorowej. Warunkiem uzyskania u"ytecznej energii z reakcji w sposób kontrolowany. Prowadzone s próby skonstruoblemem jest utrzymanie gazu o tak wysokiej temperaturze w ograniczonym obszarze przez dostatecznie d!ugi czas aby wytworzona energia by!a wi#ksza od energii zu"ytej na uruchomienie reaktora. Stwarza to wiele problemów technicznych. Np. trzeba zapo-biec stopieniu $cian pojemnika z gazem (plazm ). U"ywa si# bardzo silnych pól magne-tycznych próbuj c nie dopu$ci& do zetkni#cia gazu (plazmy) ze $ciankami. Jak dot d nie uda!o si# przeprowadzi& zako'czonej sukcesem kontrolowanej

38-8


W przyrodzie obserwuje si# ci g!e wytwarzanie energii termoj drowej: procesy termo-j drowe s (ród!em energii gwiazd a wi#c i „naszego” s!o'ca.

38.5 Cykl #ycia s"o$ca

Na rysunku poni"ej s przedstawione podstawowe fazy cyklu "ycia S!o'ca.

chmura

zapadanie zapadanie zapadanie

zapadanie

globula protogwiazda

S o!ce

S o!ce

stabilne ~ 10 bilionów lat

czerwonyolbrzym

bia ykarze

czarny karze

gwiazda neutronowa

czarna dziura ekspansja

Uwaga na rysunku nie jest zachowana skala. Je eli przyj!" #rednic$ „naszego” S%o&ca

za 1 to np. #rednica bia%ego kar%a wynosi ~0.009, a #rednica protogwiazdy jest równa

ura

ii kosmologicznych za przodka gwiazd i planet uwa a gaz, którego

sk%adnikiem by% wodór.

!

ów/cm3 czyli doskona%a pró nia (powietrze w warunkach nor-

! o nietrwa%ej równowagi i najmniejsze zaburzenie

m przyci!gania grawitacyjnego.

mas$ równ! wielokrotno#ci masy S%o&ca;

! dalej s! bardzo rzadkie ze wzgl$du na rozmiar " 100·#rednica uk%adu s%onecznego;

ia).

t

oko%o 106.

38.5.1 Chm

Wi$kszo#" teor

#rednica chmury - kilkadziesi!t lat #wietlnych;

! g$sto#" < 1000 atom

malnych ~ 2.7·1019

atomów/cm3);

! temperatura oko%o -230° C (nie promieniuje).

Chmura znajduje si$ w stanie bardz

powoduje, e zaczyna si$ kurczy" pod wp%ywe

! W miar$ zbli ania si$ atomów wodoru ich energia potencjalna (grawitacyjna) male-

je, a ro#nie energia kinetyczna czyli temperatura gazu.

! Tworz! si$ lokalne zag$szczenia materii zwane globulami.

38.5.2 Globule

! zawieraj! one

! temperatura wy sza " -200° C (dalej brak promieniowan

Dalej trwa zag$szczanie materii pod wp%ywem grawitacji, czemu towarzyszy wzros

temperatury a osi!gni$te zostaje stadium protogwiazdy.

38-9


38.5.3 Protogwiazda

! stabilny rdze&;

dwukrotnie wi$kszy od uk%adu s%onecznego (1 milionowa po-

! C, a powierzchni 1650° C;

grawitacyjne;

d%em tej energii jest

t

Jed

dals rotogwiazdy a do pojawienia si$ nowego 'ród%a energii, które

o!ce

ania o S%o&cu rozpocznijmy od obliczenia promienia S%o&ca w funkcji

Zak

przy powierzchni). Masa S%o&ca MS = 2·10 kg.

drowych wyrówna ci#nie-

dzie g r jest warto#ci! #redni! przyspieszenia równ! g/2; g jest

dobrze wykszta%cony

! pocz!tkowo rozmiar

cz!tkowego rozmiaru chmury);

! w wyniku dalszego zapadania si$ #rednica " #rednicy orbity Marsa;

temperatura wn$trza oko%o 56000°

! nagrzana masa gazu osi!ga ci#nienie, które hamuje dalsze zapadanie

! przy tej temperaturze #wieci (wypromieniowuje energi$); 'ró

zapadanie si$ grawitacyjne a nie reakcja syntezy j!drowej, wi$c to jeszcze nie jes

gwiazda (S%o&ce);

nak gdy energia gazu zmniejszy si$ przez promieniowanie elektromagnetyczne trwa

ze zapadanie si$ p

mo e temu przeciwdzia%a". Tym nowym 'ród%em s! reakcje termoj!drowe - powstaje

S%o&ce.

38.5.4 S

Nasze rozwa

jego masy.

%adamy sta%! g$sto#" wewn!trz S%o&ca (w rzeczywisto#ci rdze& ma wi$ksz! g$sto#"

ni warstwy30

Zapadanie si$ tej masy gazu wodorowego zostanie zatrzymane gdy ci#nienie termiczne

wywo%ane ogrzewaniem gazu przez energi$ z reakcji termoj!

nie grawitacyjne.

Ci#nienie grawitacyjne wewn!trz jednorodnej kuli o promieniu R, mo emy wyznaczy"

z równania: p = #g rh, g

przyspieszeniem na powierzchni kuli (w #rodku przyspieszenie jest równe zeru). St!d

gRPg #1

$ 2

gdzie 2R

GMg S$ . Ostatecznie

R

MGP S

g #2

1$

Ci#nienie term %ego) wynosi iczne gazu (na podstawie równania stanu gazu doskona

pM

gdzie Mp jest mas! protonu (masa cz! asa atomu wodoru).

orównanie tych dwóch ci#nie& daje

t

kTP

#$

steczki gazu = m

P

38-10


RM

S

p 2$

GMkT 1

lub

kTR

pS

2$

MGM

eraz oce&my jaka jest najni sza temperatura potrzebna do zbli enia dwóch protonów

jest równa 3kT. Musi to równowa y" energi$ odpychania elektrostatycznego

T

na odleg%o#" 5·10-15

m. Ka dy proton ma energi$ (3/2)kT, wi$c energia kinetyczna pary

R04%&

e21

9

We wn$trzu g

,

st!d T = 1.1·10 K.

y wystarczy temperatura o jeden lub nawet dwa rz$dy wielko#ci

akcje termoj!drowe jest rz$du

a jest wi$ksza ni 0.08 masy S%o&ca, to osi!-

p + p D + e+ + v

p + D 3He + '

3He +

3He

4He + p + p

en ci!g reakcji termoj!drowych pokazany na rysunku poni ej jest znany jako cykl wo-

wiazd

ni sza, bo zawsze znajdzie si$ wystarczaj!ca ilo#" protonów o pr$dko#ciach wi$kszych

od #redniej (rozk%ad pr$dko#ci) aby podtrzyma" reakcj$.

Tak wi$c temperatura, dla której zaczynaj! zachodzi" re

107 K. Dla tych danych otrzymujemy warto#" promienia S%o&ca R = 7·10

8 m, co jest

warto#ci! dobrze zgodn! z obserwowan!.

Mo na pokaza", e je eli masa pocz!tkow

gni$ta temperatura b$dzie dostatecznie wysoka, aby wywo%a" nast$puj!ce reakcje ter-

moj!drowe

T

dorowy.

wyniku cyklu wodorowego 4 protony s! zu yte do wytworzenia cz!stki (W , 2 pozyto-

nów, 2 neutrin i 2 fotonów '. Masa j!dra helu stanowi 99.3% masy czterech protonów.

Wydziela si$ energia zwi!zana z ró nic! mas.

38-11


Cykl wodorowy jest g%ównym mechanizmem produkcji energii przez S%o&ce i inne

gwiazdy bogate w wodór.

Energia wytwarzana przez S%o&ce jest ogromna. W ci!gu sekundy 592 miliony ton wo-

ocy oko%o 4·1026

W.

doru jest zamieniane na 587.9 milionów ton helu. Ró nica tj. 4.1 miliony ton jest za-

mieniana na energi$ (w ci!gu sekundy). Odpowiada to m

Przyk!ad 1

Obliczmy po jakim czasie wypali%oby si$ S%o&ce tj. gdyby ca%y wodór zamieni% si$ w

hel. Energia wytwarzana w cyklu wodorowym 2·1030

kg otrzymujemy

E = 0.007·Mc2 = 1.3·10

45 J

St!d

t = E/P = (1.3·1045

J) / (4·1026

W) = 1011

lat

oko%o 20 razy wi$cej ni dotychczasowy wiek S%o&ca.

iedy ca%e paliwo wodorowe w rdzeniu wypali si$ to rdze& gwiazdy zacznie zapada"

spalanie wodoru). Jednak

o#" ciep%a wytworzona z energii grawitacyjnej, przewy sza nawet ilo#" energii pocho-

o oko%o 100 mln °K, co umo liwia przemian$ helu w w$giel i tlen. Zapale-

%townie.

Gwiazdy o ma%ych masach nie zapalaj! helu w rdzeniu lecz ewoluuj! w stron$ mg%awic

pla

ko zapada" przechodz!c do fazy bia%ego

ich g$sto#ciach; np. masa 1 cm3 materii tej gwiazdy dochodzi do kilkudziesi$-

3aterii ziemskiej wynosi #rednio kilka g).

Gwiazdy te dalej #wiec! dzi$ki emisji energii grawitacyjnej uwalnianej przy kurczeniu

si$.

#cia w procesie krystalizacji materii bia%ych

dzo niskich temperatur (obiekt nie #wieci).

Jest to

K

si$ pod wp%ywem grawitacji (w zewn$trznej warstwie nadal

il

dz!cej z reakcji termoj!drowej. To ciep%o powoduje, e zewn$trzne warstwy zaczynaj!

si$ rozszerza". Zaczyna si$ ekspansja, S%o&ce staje si$ czerwonym olbrzymem.

38.5.5 Czerwony olbrzym

Gdy masa rdzenia osi!gnie warto#" oko%o 0.5 masy S%o&ca, temperatura we wn$trzu

podnosi si$ d

nie helu przebiega bardzo gwa

netarnych.

Je eli gwiazda wypali hel w rdzeniu to przy braku promieniowania podtrzymuj!cego

warstw$ zewn$trzn! gwiazda zaczyna si$ szyb

kar%a.

38.5.6 Bia e kar y

Bia%e kar%y s! gwiazdami o ma%ych rozmiarach (zbli onych do rozmiarów Ziemi) i

olbrzym

ciu ton (masa 1 cm m

Proces ten mo e by" bardzo d%ugotrwa%y.

Dalsza ewolucja zale y od masy gwiazdy.

Produktem stygni$cia bia%ych kar%ów o ma%ej masie s! czarne kar%y.

38.5.7 Czarne kar y

Czarne kar%y powstaj! w wyniku przej

kar%ów do stanu sta%ego. Towarzyszy temu szybkie ostygni$cie ca%ego obiektu do bar-

38-12


Je eli w wyniku spalania helu masa rdzenia w$glowo-tlenowego wzro#nie powy ej

warto#ci oko%o 1.4 masy S%o&ca to w centrum nast!pi zapalenie w$gla. Proces ten jest

bar

zwanym odwrotnym rozpadem ) protony zaczynaj! przechodzi" w neutrony

wed%ug nast$puj!cej reakcji:

e- + p n + v

uj!, e przy g$sto#ciach 1011

g/cm3 neutrony s! znacznie

czniejsze ni protony. St!d nazwa „gwiazda neutronowa”. Takie g$sto#ci s! osi!gane

gdy gwiazda kurczy si$ do rozmiar km.

wiazda neutronowa mo e wirowa" wykonuj!c dziesi!tki obrotów na sekund$. Np.

&ca to spalanie w$gla prze-

buchu jest prawdopodobnie czarna dziura.

iemo liwia

wysy%anie w przestrze& jakichkolwiek informacji tzn. nie jest mo liwe komunikowanie

rawitacyjne „przytrzymuje” nawet #wiat%o tzn. fotony nie mo-

g! uciec z gwiazdy i zawsze „spadaj!” na jej powierzchni$. Cho" obserwacja czarnych

dzi

dzo gwa%towny i nazywany wybuchem supernowej.

Otoczka gwiazdy rozprasza si$ w przestrzeni, a centrum zapada tworz!c gwiazd$ neu-

tronow!.

38.5.8 Gwiazda neutronowa

W wyniku zapadania si$ centrum gwiazdy energie elektronów staj! si$ tak du e, e

w procesie

Dok%adne procesy przemiany materii zwyk%ej w materi$ bogat! w neutrony s! skompli-

kowane, ale obliczenia pokaz

li

ów rz$du dziesi!tek

G

gwiazda w centrum Mg%awicy Kraba jest tak! gwiazd! wiruj!c! 30 razy na sekund$.

Gwiazdy neutronowe mog! wysy%a" regularne promieniowanie (sygna%y radiowe wyso-

kiej cz$sto#ci). Taka gwiazda nazywa si$ pulsarem. Pierwszy pulsar odkryto w 1967 r.

Je eli gwiazda ma mas$ pocz!tkow! wi$ksz! ni 8 mas S%o

biega w ich centrum spokojnie.

Nast$pne fazy przebiegaj! bardzo szybko. Po wyczerpaniu w$gla zapalaj! si$ kolejno:

tlen, neon, magnez, krzem, nikiel. Ko&cowym produktem jest j!dro elazne, które wo-

bec braku dalszych 'róde% energii gwa%townie zapada si$.

Implozji centrum towarzyszy eksplozja otoczki prowadz!ca do wybuchu bardzo jasnej

supernowej. Pozosta%o#ci! po wy

38.5.9 Czarna dziura

Czarna dziura jest obiektem astronomicznym, który nie mo e by" bezpo#rednio ob-

serwowany, gdy bardzo silne pole grawitacyjne, którego jest 'ród%em, un

si$ z reszt! #wiata. Pole g

ur nie jest mo liwa to mo na obserwowa" procesy zachodz!ce w polu grawitacyj-

nym w otoczeniu czarnej dziury. Wci! jest to kontrowersyjny mechanizm opisuj!cy

„katastrofalne” zapadanie si$ gwiazd. Mo na jednak wyznaczy" warunki na mas$ i

promie&.

Graniczny promie& poni ej, którego nie mo emy ju zobaczy" gwiazdy (tzw. promie&

Schwartzschilda) jest dany wyra eniem

2GM20R $

c

38-13


Dla masy j!dra ( elaznego) równej masie S%o&ca otrzymujemy R0 = 3 km.

38-14

Spis tresci.txte-fizyka – podstawy - Zbigniew KąkolZbiór wykładów w PDF gotowych do wydrukowania.

1. Wprowadzenie2. Ruch jednowymiarowy 3. Ruch na płaszczyźnie4. Dynamika punktu materialnego 5. Dynamika punktu materialnego II6. CiąŜenie powszechne (grawitacja) 7. Praca i energia8. Zasada zachowania energii 9. Zasada zachowania pędu10. Zasada zachowania pędu II 11. Elementy szczególnej teorii względności12. Ruch obrotowy 13. Ruch drgający14. Statyka i dynamika płynów 15. Fale w ośrodkach spręŜystych16. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I 17. Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II18. Siła elektrostatyczna 19. Elektrostatyka I20. Elektrostatyka II 21. Prąd elektryczny i pole magnetyczne22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna 23. Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego24. Drgania elektromagnetyczne 25. Równania Maxwella26. Fale elektromagnetyczne 27. Optyka geometryczna i falowa28. Interferencja 29. Dyfrakcja30. Siatki dyfrakcyjne 31. Polaryzacja32. Światło a fizyka kwantowa 33. Model atomu Bohra34. Fale i cząstki 35. Lasery36. Atomy wieloelektronowe, układ okresowy pierwiastków 37. Materia skondensowana38. Fizyka jądrowa

Strona 1

wykłady z fizyki - kąkol

Documents