Politechnika Opolska | Opole University of Technology | www.po.opole.pl

Wydział Inżynierii Produkcji i Logistyki | Faculty of Production Engineering and Logistics | www.wipil.po.opole.pl

Wykłady z fizyki

FIZYKA II dr Barbara Klimesz

POLITECHNIKA OPOLSKA

WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I LOGISTYKI

Instytut Matematyki i Fizyki

Katedra Fizyki

SPRAWY ORGANIZACYJNE Warunki ogólne zaliczenia zajęć (RSPO):

1) warunkiem przystąpienia studenta do zaliczenia zajęć i

egzaminu jest figurowanie jego nazwiska na protokołach

zaliczeniowych i egzaminacyjnych oraz posiadanie dokumentu

potwierdzającego tożsamość (§18 pkt.1 RSPO);

2) zaliczenie przedmiotu nieobjętego egzaminem dokonywane jest

na podstawie zaliczenia wszystkich form zajęć prowadzonych

w ramach tego przedmiotu (§19 pkt.2 RSPO);

3) zaliczenie zajęć dydaktycznych dokonywane jest na podstawie

weryfikacji efektów uczenia się w formie: prac kontrolnych,

sprawdzianów, projektów, referatów oraz innych form

sprawdzania wiedzy, umiejętności i kompetencji społecznych

studentów, a także obecności na zajęciach, za wyjątkiem

wykładów (§19 pkt.4 RSPO).

ocena słowna skrót zapis liczbowy

bardzo dobry bdb 5,0

dobry plus db plus 4,5

dobry db 4,0

dostateczny plus dst plus 3,5

dostateczny dst 3,0

niedostateczny nd 2,0

SPRAWY ORGANIZACYJNE Formalnym potwierdzeniem zaliczenia poszczególnych

form zajęć jest wpis oceny do protokołu elektronicznego, z zastosowaniem poniższej skali ocen (§19 pkt.6 RSPO):

Zaliczenie wykładu:

1) zaliczenia niższych form zajęć dydaktycznych oraz

wykładów nieobjętych egzaminem dokonują

prowadzący te zajęcia, przed rozpoczęciem sesji egzaminacyjnej (§19 pkt.3 RSPO), tj. przed 16 czerwca

2020 r. (sem. letni roku akademickiego 2019/2020)

2) kolokwium zaliczeniowe w formie pisemnej:

14.06.2020 r. (niedziela ) , s. Oz.207-208

Materiały dydaktyczne dotyczące wykładów:

http://www.b.klimesz.po.opole.pl/...

SPRAWY ORGANIZACYJNE

EFEKTY KSZTAŁCENIA

(WIEDZA)

student ma podstawową wiedzę w zakresie fizyki,

obejmującą fizykę atomową, w tym wiedzę niezbędną do

zrozumienia fizycznych podstaw kluczowych zagadnień

z zakresu studiowanego kierunku studiów (w, l ) ;

student ma elementarną wiedzę na temat planowania i

wykonywania eksperymentów fizycznych, zna i rozumie

metody pomiaru podstawowych wielkości fizycznych

oraz szacowania niepewności pomiarowych (l ) .

EFEKTY KSZTAŁCENIA

(UMIEJĘTNOŚCI)

student potrafi pozyskiwać informacje z literatury i innych źródeł,

integrować uzyskane informacje, dokonywać ich interpretacji, a

także wyciągać wnioski oraz formułować i uzasadniać opinie (w, l ) ;

student potrafi zaplanować i przeprowadzić eksperymenty fizyczne,

opracować i interpretować uzyskane wyniki, wyciągać i formułować

właściwe wnioski, uzasadniać opinie oraz opracować dane w postaci

zwięzłego sprawozdania (l ) ;

student potrafi pracować indywidualnie i w zespole, stosować

zasady bezpieczeństwa i higieny pracy oraz oszacować czas

potrzebny na realizację zleconego zadania zapewniający

dotrzymanie terminów ( l ) .

EFEKTY KSZTAŁCENIA

(KOMPETENCJE SPOŁECZNE)

student ma świadomość odpowiedzialności za pracę

własną oraz gotowość podporządkowania się zasadom

pracy w zespole i ponoszenia odpowiedzialności za

wspólnie realizowane zadania ( l ) ;

student ma świadomość ważności przestrzegania zasad

etyki zawodowej i społecznej, poszanowania

różnorodności poglądów oraz jest świadom ważności

postępowania zgodnego z duchem profesjonalizmu ( l ) .

ZALECANA LITERATURA R. Resnick, D. Halliday: FIZYKA (tom 1 i 2), PWN

Warszawa;

J. Massalski, M. Massalska: FIZYKA DLA INŻYNIERÓW

(część 1 i 2), WNT Warszawa;

J. Orear: FIZYKA (tom 1 i 2), WNT Warszawa;

Cz. Bobrowski: FIZYKA - KRÓTKI KURS, WNT

Warszawa;

M. Skorko: FIZYKA, PWN Warszawa;

A. Sukiennicki, A. Zagórski: FIZYKA CIAŁA STAŁEGO,

WNT Warszawa;

B. N. Buszmanow, J. A. Chromow: FIZYKA CIAŁA

STAŁEGO, WNT Warszawa.

Fale elektromagnetyczne. Promieniowanie widzialne.

Dyspersja, interferencja i polaryzacja światła.

Holografia. Źródła światła.

Światło a zjawiska kwantowo - optyczne.

Pole elektryczne i magnetyczne. - ruch cząstek

naładowanych, wykorzystanie w nauce i technice.

Dualizm korpuskularno - falowy światła.

Budowa atomu, liczby kwantowe, zakaz Pauliego.

Układ okresowy pierwiastków, promieniowanie RTG.

Lasery. Podstawy krystalografii, defekty struktury.

TEMATYKA WYKŁADÓW

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU W roku 1995 Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna (ISO) w

porozumieniu z szeregiem światowych organizacji

naukowo - technicznych uzgodniła międzynarodowe normy dotyczące

terminologii i sposobu określenia niepewności pomiarowych („Guide to

Expression of Uncertainty in Measurement”, International Organization

for Standarization (ISO), Geneva 1995):

a) rozróżnienie niepewności pomiarowych od błędów pomiarowych;

b)przyjęcie jako miary niepewności „niepewności standardowej”, która

odpowiada odchyleniu standardowemu w rozkładzie normalnym;

c) rozróżnienie oceny niepewności wyników pomiarowych opartych ściśle

na rozkładzie normalnym (metody typu A) od innych metod oceny

(metody typu B);

d) inna klasyfikacja błędów w pomiarach;

e) rozróżnienie pomiarów nieskorelowanych i skorelowanych w pomiarach

złożonych;

f) wprowadzenie nowej wielkości: „niepewności rozszerzonej”;

g)określenie sposobu zapisu wyników pomiarowych i ich niepewności.

EKSPERYMENT FIZYCZNY Pomiary fizyczne są dokonywane tylko ze skończoną dokładnością.

Im doskonalsze jest doświadczenie, tym mniejsze są niepewności

pomiarowe.

Rozbieżności pomiędzy teorią a eksperymentem zależą od:

a) niedoskonałość przyrządów pomiarowych;

b)niedoskonałości eksperymentatora (nieprecyzyjność zmysłów osoby

dokonującej pomiaru);

c) niedoskonałości obiektów mierzonych;

Każdą mierzalną własność zjawiska lub substancji nazywamy wielkością

fizyczną.

Zbiór wielkości fizycznych występujących w danej dziedzinie wiedzy

nazywamy układem wielkości:

a) wielkości podstawowe - umownie przyjęte wielkości wyrażające prawa

przyrody i definiujące inne wielkości fizyczne danego układu (nie mogą

być określone za pomocą równań definicyjnych);

b) wielkości pochodne - wielkości definiowane za pomocą wielkości

podstawowych.

EKSPERYMENT FIZYCZNY (c.d.) Pomiar wielkości fizycznej polega na wyznaczeniu liczbowego stosunku

danej wielkości do wielkości tego samego rodzaju, przyjętej za jednostkę:

a) pomiar bezpośredni (np. t, l, m, I, itp.…),

b)pomiar pośredni (np. R, T, g, itp.…).

W fizyce istnieje kilka układów jednostek różniących się wyborem

wielkości podstawowych i ich jednostek (CGS, CGEES, CGSEM, układ

Gaussa - mieszany).

Od lat sześćdziesiątych zaleca się powszechne i ustawowe stosowanie

układu jednostek SI (System International d’Unites):

a) jednostki podstawowe (7),

b) jednostki uzupełniające (2).

Oprócz jednostek podstawowych i pochodnych można używać jednostek

wtórnych, które są ich wielokrotnościami lub podwielokrotnościami.

Jednostki wtórne wyraża się przez dodanie do nazwy jednostki

podstawowej odpowiedniego przedrostka, co jest równoważne

pomnożeniu jednostki przez czynnik równy pewnej potędze liczby 10.

UKŁAD JEDNOSTEK SI Lp. nazwa jednostka wielkość fizyczna

1. metr m długość

2. kilogram kg masa

3. sekunda s czas

4. amper A natężenie prądu elektrycznego

5. kelwin K temperatura

6. kandela cd natężenie światła

7. mol mol ilość materii

8. radian rad kąt płaski

9. steradian sr kąt bryłowy

JEDNOSTKI WTÓRNE przedrostek oznaczenie mnożnik

eksa E 1018

penta P 1015

tera T 1012

giga G 109

mega M 106

kilo k 103

hekto h 102

deka da 101

- - 100

decy d 10-1

centy c 10-2

mili m 10-3

mikro μ 10-6

nano n 10-9

piko p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

PODSTAWOWE POJĘCIA Każda wielkość fizyczna jest wielkością rzeczywistą, tzn. posiada wartość

rzeczywistą zwaną wartością prawdziwą.

Niepewność pomiaru jest związanym z wynikiem pomiaru parametrem,

charakteryzującym rozrzut wartości wyników pomiarów, które można w

uzasadniony sposób przypisać wartości mierzonej.

Niepewność występująca w pomiarze naukowym oznacza niemożliwy do

uniknięcia czynnik nierozerwalnie związany z istotą samego pomiaru.

Rachunek niepewności jest nieodłącznym składnikiem opracowania

danych pomiarowych, którego zadaniem jest choćby przybliżone

oszacowanie rozrzutu wyników pomiarów.

„Niepewność” a błąd pomiaru:

a) błąd pomiaru (błąd bezwzględny pomiaru) - liczba losowa, której

wartości przewidzieć się nie da (różnica między wynikiem pomiaru xi a

wartością „umownie” prawdziwą x0)

b)niepewność standardowa - miara dokładności pomiaru, czyli

oszacowanie odchylenia standardowego (ozn. u, u(x), u(stężenie NaCl)).

0ii xx)(x

PODSTAWOWE POJĘCIA (c.d.) Rozróżniamy:

a) błędy przypadkowe - rozłożone statystycznie i rozumiane jako różnica

między danym wynikiem pomiaru a średnią z nieskończonej ich liczby;

b)błędy grube - dające się eliminować (łatwo zauważalne), powstają

wskutek fałszywego odczytu przyrządu lub ewidentnej pomyłki

mierzącego;

c) błędy systematyczne - wynikające z wadliwego działania przyrządu

pomiarowego lub źle zaprojektowanego doświadczenia, możliwe do

skorygowania (stała, co do znaku, różnica między wartościami

zmierzonymi a wartością prawdziwą).

Wymiar niepewności standardowej u(x) jest taki sam jak wymiar

wielkości mierzonej, zaś wymagany przed symbolem niepewności znak ±

mieści się w jej definicji i dlatego jest pomijany w zapisie.

Niepewność standardowa względna, czyli iloraz niepewności

standardowej i wielkości mierzonej jest wielkością bezwymiarową, często

wyrażaną w procentach: 100%

x

u(x)(x)[%]ur

NIEPEWNOŚĆ POMIARU Istnieje wiele źródeł niepewności pomiaru:

a) niepełna definicja wielkości mierzonej (określenie danej wielkości

fizycznej ulega zmianie wraz z rozwojem nauki);

b) fakt, że przyrząd, miernik, wzorzec nie jest idealną realizacją definicji

wielkości fizycznej (np. ściśle związany z prędkością światła w próżni

wzorzec czasu, którego wartość wielokrotnie zmieniano na skutek

rozwoju coraz dokładniejszych metod pomiarowych);

c) niereprezentatywność serii wyników pomiarów (np. zbyt mała liczba);

d)niedokładna znajomość czynników zewnętrznych mających wpływ na

pomiar (np. dryft temperatury, niestabilne zasilanie);

e) błędy obserwatora podczas odczytów wskazań przyrządów;

f) skończona zdolność rozdzielcza przyrządów stosowanych w pomiarach;

g)niedokładność stosowanych wzorców i materiałów odniesienia;

h)niedokładne wartości stałych lub parametrów pochodzących z innych

źródeł;

i) przybliżenia upraszczające przyjęte w procedurze pomiarowej;

j) zmiany kolejnych wyników pomiarów wielkości mierzonej w pozornie

identycznych warunkach.

OCENA NIEPEWNOŚCI

POMIARÓW Metoda typu A:

• opiera się na statystycznej analizie serii pomiarów bezpośrednich (np.

rozkład prawdopodobieństwa Gaussa);

• wymaga odpowiednio dużej liczby powtórzeń pomiaru (warunki

pomiaru lub mierzony obiekt mogą ulegać zmianom podczas trwania

eksperymentu);

• ma zastosowanie głównie do błędów przypadkowych.

Metoda typu B:

• opiera się na naukowym osądzie eksperymentatora wykorzystującym

wszystkie informacje o pomiarze i źródłach jego niepewności (rozkład

prawdopodobieństwa przyjętego przez obserwatora);

• stosuje się gdy statystyczna analiza nie jest możliwa (dostępny jest tylko

jeden wynik pomiaru lub seria wyników nie wykazuje rozrzutu);

• ma zastosowanie głównie do błędu systematycznego.

METODA TYPU A W metodzie typu A dobrym oszacowaniem (estymatorem) wartości

„umownie” prawdziwej x0 (w rzeczywistości nie znamy prawdziwej

wartości mierzonej) serii pomiarów x1, x2, ..., xn (gdzie n jest liczbą

pomiarów) jest średnia arytmetyczna:

* teoretycznie, jeżeli metoda pomiarowa pozbawiona jest wpływów błędów

systematycznych dla n→∞ średnia arytmetyczna staje się wartością prawdziwą;

Wartość eksperymentalnego odchylenia standardowego (dla pojedynczego

pomiaru) charakteryzującego rozrzut wyników serii n pomiarów tej samej

wielkości mierzonej:

Niepewność standardowa wyniku (odchylenie standardowe

eksperymentalne średniej arytmetycznej):

* dokładność 20-30% (5-10 pomiarów)

nxxn

1i

i

1n)x(x)s(xn

1i

2

ii

1)n(n)x(xn)s(x)x(un

1i

2

iiA

x

f(x)

ROZKŁAD NORMALNY GAUSSA

Rozkład ten określa funkcja gęstości

prawdopodobieństwa f(x):

(wartość oczekiwana)

(odchylenie standardowe)

Jeżeli wyniki serii pomiarów są otrzymane w sposób niezależny i w

warunkach zapewniających taką samą dokładność pomiaru, a także jeżeli

liczba pomiarów staje się znacząco duża (w praktyce wystarcza n 20-30)

to zmienna losowa jaką jest wynik pomiaru x podlega tzw. rozkładowi

normalnemu (Gaussa).

2

2

2σ

μ)(x

e2πσ

1f(x)

n

n

)xu(

x

* Prawdopodobieństwo uzyskania wyników:

• w przedziale ( ) → ok. 68,27 % ( 68,3 );

• w przedziale ( ) → ok. 95,45 %;

• w przedziale ( ) → ok. 99,73 %;

• poza przedziałem ( ) → jest nieistotne (mniejsze od 0,3 %).

PRZYKŁAD 1

6,360(58)x

0,058109

0,304

1)-n(n

)x(x

)x(u

n

1i

2

i

A

W wyniku przeprowadzenia serii niezależnych pomiarów pewnej

wielkości fizycznej xi otrzymano następujące wyniki: x1 = 6,2 , x2 = 6,4 ,

x3 = 6,0 , x4 = 6,4 , x5 = 6,6 , x6 = 6,4 , x7 = 6,2 , x8 = 6,6 , x9 = 6,4 ,

x10 = 6,4 i x11 = 4,6. Podaj najlepsze przybliżenia wykonanego pomiaru i

jego niepewność standardową.

Za wynik pomiaru przyjmujemy wartość liczbową estymatora wartości

oczekiwanej, czyli wartość średniej arytmetycznej wyników ( ), a

niepewność standardową liczymy następująco:

* Decyzja, gdzie wyznaczyć granice

„absurdalnego nieprawdopodobieństwa”

(odrzucenia danych pomiarowych) zależy

od eksperymentatora.

6,36x

i xi

1 6,2 -0,16 0,0256

2 6,4 0,04 0,0016

3 6,0 -0,36 0,1296

4 6,4 0,04 0,0016

5 6,6 0,24 0,0576

6 6,4 0,04 0,0016

7 6,2 -0,16 0,0256

8 6,6 0,24 0,0576

9 6,4 0,04 0,0016

10 6,4 0,04 0,0016

xxi 2

i)x(x

10

1i

2

i)x(x 0,304

10

1ii

x 3,66

METODA STUDENTA

x

Do określenia niepewności małej liczby pomiarów tzw. próbki losowej

(np. n < 5) stosujemy metodę studenta.

Obliczamy wartość średnią , eksperymentalne odchylenie standardowe

s(xi) oraz odchylenie standardowe eksperymentalne średniej arytmetycznej

i określamy na ile należy rozszerzyć przedział u(x), aby

prawdopodobieństwo znalezienia wartości rzeczywistej w rozszerzonym

przedziale było równe prawdopodobieństwu znalezienia wartości

rzeczywistej w przedziale określonym dla bardzo dużej liczby pomiarów.

)]xu(α)t(n,x[

t (n, α) - współczynnik studenta,

n - liczba pomiarów,

α - postulowany poziom ufności.

)xu(

n = 0,5 = 0,68 = 0,95 = 0,99

2 1,00 2,0 12,7 636,6

3 0,82 1,3 4,3 31,6

4 0,77 1,3 3,2 12,9

5 0,74 1,2 2,8 8,6

10 0,70 1,1 2,3 4,8

120 0,68 1,0 2,0 3,3

0,674 1,036 1,960 3,291

METODA TYPU B Najważniejszym zadaniem oceny typu B jest określenie niepewności

wynikających ze skończonej dokładności przyrządów pomiarowych

wśród, których możemy wyróżnić dwie grupy:

a) przyrządy proste (różnego rodzaju przymiary, suwmiarki, śruby

mikrometryczne, klasyczne stopery, termometry, wagi szalkowe oraz

wskazówkowe mierniki wielkości elektrycznych) - niepewność

wzorcowania dx (bliżej niesprecyzowana „dokładność”) stosowanego

przyrządu jest równa wartości jego działki elementarnej;

* zwiększenie lub zmniejszenie wartość niepewności wzorcowania poza wartość

najmniejszej działki (np. ½, ¼ lub jej wielokrotność) zależy wyłącznie od intuicji

eksperymentatora

(klasa dokładności miernika analogowego)

b)elektroniczne mierniki cyfrowe (np. mierniki elektryczne, wagi

elektroniczne, stopery) - podawana z reguły przez producenta

rzeczywista niepewność pomiaru jest nieco większa niż odpowiadająca

zmianie ostatniej cyfry wartość „najmniejszej działki”

21d CxCxΔ

100

zakresklasaxΔd

C1 - ułamek wielkości mierzonej (klasa miernika, knp.r.= 3); C2 - ułamek zakresu.

METODA TYPU B (c.d.) Znając wartość niepewności wzorcowania dx możemy wyznaczyć

niepewność standardową u(x) wielkości mierzonej bezpośrednio metodą

typu B: (jednostajny rozkład prostokątny)

(symetryczny rozkład trójkątny)

Drugim przyczynkiem niepewności pomiarów nie wykazujących rozrzutu

jest niepewność eksperymentatora ex spowodowana przyczynami

znanymi eksperymentatorowi i od niego niezależnymi (np. refleks,

podzielność uwagi, zdolność do koncentracji czy mentalność).

W celu określenia tej niepewności ex eksperymentator musi skorzystać

ze swojego doświadczenia i wiedzy, a wynikającą stąd niepewność

standardową wyznaczyć z wzoru:

Niepewnościami obarczone są również wyniki zaczerpnięte z literatury

tx (wartość prędkości dźwięku, prędkość światła, gęstość materiału, itp.):

6xΔ(x)u

xΔ0,583

xΔ(x)u

dB

dd

B

3xΔ(x)u eB

3xΔ(x)u tB

METODA TYPU B (c.d.) Jeżeli występują wszystkie wcześniej opisane niepewności razem, to

niepewność standardowa dana jest wzorem:

PRZYKŁAD 2 Woltomierzem wskazówkowym o zakresie pomiarowym z = 100 V zmierzono

napięcie U = 80 V. Wiedząc, że skala przyrządu posiada 100 działek, oblicz

niepewność standardową pomiaru uwzględniając niepewność eksperymentatora.

3

x)(Δx)(Δx)(Δ(x)u

2

t

2

e

2

dB

V0,653

1,25

3

0,51

3

U)(ΔU)(Δ(x)u

V0,5dz100

V100

2

1UΔi1VUΔ

222

e

2

dB

ed

METODY TYPU A i B Jeżeli występują obydwa typy niepewności A i B równocześnie, to należy

posłużyć się wzorem na niepewność standardową całkowitą:

PRZYKŁAD 3 Sekundomierzem o działce elementarnej równej 0,2 s zmierzono 5-krotnie czas

trwania pewnego zjawiska otrzymując następujące wyniki: t1 = 24,8 s, t2 = 25,0 s,

t3 = 25,2 s, t4 = 25,2 s, t5 = 25,4 s. Eksperymentator ocenił niepewność systematyczną

związaną z wyborem chwil włączenia i wyłączenia stopera na 0,4 s oraz dokładność

odczytu ze skali 0,2 s. Podaj najlepsze przybliżenie wyniku pomiaru i określ jego

niepewność.

(średnia arytmetyczna)

(odchylenie standardowe typu A)

3

x)(Δ

3

x)(Δ

3

x)(Δ

1)-n(n

)x(x

(x)u(x)u(x)u2

t

2

e

2

d

n

1i

2

i2

B

2

Ac

0,10s)t(t45

1)t(u

25,12s5tt

25

1iiA

5

1ii

25,12(37)st

0,37s(0,36)(0,10))t(u)t(u)t(u

0,36s3

0,2)(0,4(0,2)

3

t)Δt(Δt)(Δ)t(u

0,2stΔ

0,4stΔ

0,2stΔ

222

A

2

Ac

222

2e1e

2

dB

2e

1e

d

(niepewności typu B)

Odchylenie standardowe typu B:

Niepewność standardowa całkowita:

Ostateczny wynik pomiaru:

METODY TYPU A i B (c.d.)

Jeżeli y jest wielkością mierzoną pośrednio i zależy od k wielkości x

mierzonych bezpośrednio, to złożoną niepewność standardową uc(y)

wyznaczonej wielkości y = f(xk) lub y = f(x1, x2, x3,…, xk) obliczamy na

podstawie prawa przenoszenia (propagacji) niepewności.

Bardzo ważnym jest jednak w tym przypadku, rozróżnienie czy wielkości

były zmierzone bezpośrednio w pomiarach nieskorelowanych czy też w

pomiarach skorelowanych:

a) pomiary pośrednie nieskorelowane - każdą z wielkości {xk} mierzymy

niezależnie za pomocą innego przyrządu (każdą z wielkości możemy

mierzyć w innym czasie i przy zmianie istotnych czynników, ale

zachowując warunki odtwarzalności pomiarów);

b)pomiary pośrednie skorelowane - pomiar polega na odczytaniu wartości

wszystkich wielkości {xk} w tych samych warunkach, bez wprowadzenia

jakichkolwiek zmian w układzie pomiarowym i w tym samym czasie (w

warunkach gwarantujących powtarzalność wyników).

W przypadku pomiarów skorelowanych, dodatkowo możemy

przeprowadzić obliczenia ścisłe lub uproszczone.

PRAWO PRZENOSZENIA NIEPEWNOŚCI

))u(x(xuxx

y

x

y

xx

y)(xu

x

y(y)u

)u(xx

y(y)u

u(x)dx

dyu(y)

ji

2k

1i

k

1ij2

ji

3

i

2

ji

2

i

2k

1i

2

i

c

k

1i

2

i

i

c

Jeżeli znane są wyniki pomiarów określone w pojedynczym pomiarze lub

w serii pomiarów (w tym przypadku za wynik pomiaru należy przyjąć

wartość średniej arytmetycznej) oraz odpowiednie niepewności

standardowe u(x1), u(x2), u(x3),...u(xk) wyznaczone w taki sposób jak dla

pomiaru bezpośredniego (metodami typu A lub B), to niepewność złożoną

liczymy:

funkcja jednej zmiennej

f. wielu zmiennych (szereg Taylora uwzględniający tylko wyraz liniowy rozwinięcia)

f. nieliniowa (rozwinięcie w szereg Taylora uwzględniający wyrazy wyższego rzędu)

POMIARY POŚREDNIE NIESKORELOWANE

PRZYKŁAD 4 Niech wielkość fizyczna y będzie funkcją wielkości x1 i x2, zmierzonych w

bezpośrednich pomiarach nieskorelowanych, zadaną wzorem:

gdzie a i b są wielkościami stałymi. Oblicz niepewność złożoną wielkości y

znając wartości zmierzone i , niepewności standardowe u(x1) i u(x2) oraz

stałe a i b.

pochodne cząstkowe y po zmiennych x1 i x2

niepewność złożona wielkości y (prawo przenoszenia niepewności)

)(xu)x(36b)(xu)x(4a

)(xux

y)(xu

x

y(y)u

6bxx

yi2ax

x

y

2bxaxy

2

24

2

2

1

22

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

c

2

2

2

1

1

3

2

2

1

21 xx

𝑢𝑟 𝑦 =𝑢𝑐 𝑦

𝑦=

𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑖∙

1

𝑦∙ 𝑢 𝑥𝑖

2𝑘

𝑖=1

𝑢𝑟 𝑦 = 𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑖∙𝑥𝑖

𝑦∙𝑢 𝑥𝑖

𝑥𝑖

2𝑘

𝑖=1

= 𝑤𝑖 ∙ 𝑢𝑖 𝑥𝑖 2

𝑘

𝑖=1

𝑤𝑖 =𝜕𝑦

𝜕𝑥𝑖∙𝑥𝑖

𝑦 , 𝑢𝑟 𝑥𝑖 =

𝑢 𝑥𝑖

𝑥𝑖

ZŁOŻONA NIEPEWNOŚĆ WZGLĘDNA Prawo przenoszenia niepewności możemy również zastosować do

obliczenia złożonej niepewności względnej ur(y):

bezwymiarowe wagi

zależne od postaci

funkcji y = f(xk)

niepewności względnych

wielkości mierzonych

bezpośrednio

NIEPEWNOŚĆ WZGLĘDNA (c.d.) Najprostszy i ważny w praktyce przypadek prawo przenoszenia

niepewności względnej zachodzi, gdy wielkość mierzoną pośrednio

można przedstawić w postaci iloczynu dowolnych potęg wielkości

mierzonych bezpośrednio.

gdzie A - oznacza stałą

a1, a2, …, ak - wykładniki potęgowe (dodatnie, ujemne lub potęgowe)

k321 a

k

a

3

a

2

a

1 x...xxxAy

k

1i

2

iri

k

1i

2

i

ii

cr )(xua

x

)u(xa

y

(y)u(y)u

Załóżmy, że wielkość fizyczną y można przedstawić w postaci wzoru:

gdzie x1, x2, x3 oznaczają wielkości wyznaczone w pomiarach

bezpośrednich (w pomiarze pojedynczym lub serii pomiarów), a A to

pewna stała. Oblicz względną złożoną niepewność standardową pomiaru.

UWAGA !!!

Niepewności standardowe u(x1), u(x2) i u(x3) obliczamy uprzednio opisanymi

metodami (np. dla serii pomiarów metodą typu A lub typu B dla pojedynczego

pomiaru).

W miejsce x1, x2, x3 dla pojedynczego pomiaru wstawiamy jego wartość, a dla

serii pomiarów - wartość ich średniej arytmetycznej.

2

3

3

2

2

2

2

1

1rc

3

3

2

1

1

2

1

x

xu3

x

xu

2

1

x

xu2

y

(y)u(y)u

x

xxAy

PRZYKŁAD 5

Obliczenia ścisłe przeprowadzamy w dwóch etapach:

a) etap pierwszy - postępujemy tak jak w przypadku pomiarów

nieskorelowanych (określamy niepewności standardowe u(xk) dla każdej

wielkości mierzonej bezpośrednio);

b)etap drugi - przy obliczaniu niepewności uc(y) uwzględniamy korelacje

między wynikami pomiarów wielkości mierzonych bezpośrednio,

korzystając (przy rozwinięciu w szereg Taylora) z rozszerzonego wzoru:

gdzie r(xi, xj) jest estymatorem współczynnika korelacji:

u(xi, xj) - estymator kowariancji (kowariancja eksperymentalna) wielkości xi, xj.

)u(x)u(x

)x,u(x)x,r(x

)x,r(x))u(xu(xx

y

x

y)(xu

x

y(y)u

ji

ji

ji

jiji

1-k

1i

k

1ij ji

i

2k

1i

2

i

c

POMIARY POŚREDNIE SKORELOWANE

POMIARY SKORELOWANE (c.d.)

n

1i

2

i

n

1ii

)y(y1)n(n

1u(y)

n

y

y

Ze względu na skomplikowany charakter obliczeń szczegółowych

(ścisłych) w pracowniach studenckich stosujemy obliczenia uproszczone:

a) korzystając z kompletu wyników pomiarów bezpośrednich k wielkości

uzyskanych w i-tym pomiarze obliczamy poszczególne wartości yi;

b)seria wyników yi uzyskanych w n pomiarach stanowi (podobnie jak w

pomiarach bezpośrednich) próbkę statystyczną;

c) za wynik pomiaru pośredniego przyjmuje się, zatem średnią

arytmetyczną, a „złożoną niepewność standardową” obliczmy np.

metodą typu A:

POMIARY PROMIENIOWANIA JĄDROWEGO

Podczas badania procesów przypadkowych i nieskorelowanych takich jak

rozpady jąder promieniotwórczych, czy promieniowanie kosmiczne

wyniki wielokrotnie powtarzanych pomiarów wykazują fluktuacje

statystyczne (są przypadkowe i w jednostkowym przedziale czasu mogą

różnić od oczekiwanej wartości średniej).

Mierząc wielokrotnie w małych przedziałach czasu tego typu wielkości,

otrzymujemy rozkład określony rozkładem Poissona:

gdzie w określonym przedziale czasu, n jest liczbą zliczeń, a - oczekiwaną średnią

liczbą zliczeń.

odchylenie standardowe (estymator niepewności standardowej wartości )

niepewność względna

nn

n

n

u(n)(n)u

nu(n)

en

nnp

r

nn

n

1

!)(

n

nn

NIEPEWNOŚĆ ROZSZRZONA Dla wielu praktycznych zastosowań zachodzi konieczność podania miary

niepewności, która określa przedział otaczający wynik pomiaru

zawierający dużą (z góry określoną) część wyników pomiarów, jest to

tzw. niepewność rozszerzona:

U(y) = k · uc(y)

* k - współczynnik rozszerzenia czyli tak wybrana, umownie przyjęta liczba, aby

w przedziale y u(y) znalazła się większość wyników pomiaru.

Zgodnie z międzynarodową praktyką do obliczenia U przyjmuje się

umowną wartość k = 2 (inne wartości k mogą być stosowane tylko w

przypadkach szczególnych i winny być podyktowane przez ustalone,

dobrze udokumentowane wymagania).

Wartości k = 2 odpowiada prawdopodobieństwo realizacji zmiennej

losowej w przedziale U równe 100 % (dla rozkładu jednostajnego) lub

95 % (dla rozkładu Gaussa) .

ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW OBLICZEŃ Dokonując obliczeń (np. wartości średniej czy niepewności

pomiaru) za pomocą kalkulatora lub komputera otrzymujemy liczby

wielocyfrowe:

xśr = 9,8689658790 ± 0,014567409,

w których wiarygodne są tylko niektóre cyfry nazywane cyframi

znaczącymi.

Cyfry znaczące – cyfry od 1 do 9 oraz 0, gdy znajduje się między

dwiema cyframi nie będącymi zerami lub na dowolnym miejscu po

cyfrze nie będącej zerem, ale zawartej w liczbie z przecinkiem (nie

jest cyfrą znaczącą, jeżeli w dowolnym miejscu liczby na lewo od

niego nie ma cyfry nie będącej zerem):

• 0,0506 - trzy cyfry znaczące,

• 5700 - cztery cyfry znaczące,

• 5,7103 - dwie cyfry znaczące.

ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW (c.d.) Z matematycznego punktu widzenia wszystkie wyniki pomiarów są

liczbami przybliżonymi, stąd stosowane do opracowania wyników

operacje (działania) matematyczne są rachunkami na liczbach

przybliżonych.

Jeśli nie znamy niepewności danej wielkości, to przyjmujemy

niepewność maksymalną (cyfrę najmniej znaczącą), równą 10

jednostkom miejsca dziesiętnego zajmowanego przez ostatnią cyfrę

znaczącą (np. maksymalna niepewność dla liczby 7142 to liczba 10,

a dla liczby 31,745 - liczba 0,010).

Z analizy funkcji rozkładu niepewności wynika, że istotne znaczenie

ma właściwie pierwsza cyfra znacząca niepewności, ale zalecane jest

podawanie niepewności do dwóch cyfr znaczących (maksymalna

niepewność zawiera się wówczas w przedziale od 5% do 0,5%

odpowiednio, dla cyfr 10 i 99).

ZAOKRĄGLANIE WYNIKÓW (c.d.) Zatem, zaokrąglenia dokonujemy zgodnie z następującymi zasadami:

a)niepewność:

• obliczamy do trzeciego miejsca znaczącego;

• zaokrąglamy zawsze w górę, do drugiej cyfry znaczącej

(ewentualnie możemy zaokrąglić wynik do jednego miejsca

znaczącego, jeśli nie zwiększy to niepewności o więcej niż 10 %).

b)wynik:

• obliczamy z dokładnością o jedno miejsce więcej, niż w

przypadku zaokrąglonej niepewności (zwykle najwyżej do

czterech miejsc znaczących);

• zaokrąglamy do tego samego miejsca, co w przypadku

niepewności;

• zaokrąglamy według normalnych zasad zaokrąglania:

- cyfry 1, 2, 3, 4 - w dół;

- cyfry 6, 7, 8, 9 - w górę;

- cyfrę 5 - w górę, jeśli poprzedza ją liczba nieparzysta i w dół,

jeśli jest poprzedzona cyfrą parzystą.

REGUŁY ARYTMETYKI LICZB PRZYBLIŻONUCH Przy odejmowaniu i dodawaniu zaokrąglanie przeprowadza się do rzędu o 1

mniejszego od rzędu najmniej dokładnej liczby, a w wyniku zachowujemy tylko

tyle znaków dziesiętnych, ile ich jest w liczbie o najmniejszej liczbie znaków

dziesiętnych:

0,232 + 5,338 + 43,2 = 0,23 + 5,34 + 43,2 = 48,77 = 48,8;

Przy mnożeniu i dzieleniu w wyniku zachowuje się tyle cyfr znaczących, ile

zawiera ich liczba o najmniejszej ilości cyfr znaczących:

56,9 : 2,41 = 23,610 = 23,6 i 51 2,434 = 124,134 =124;

Przy podnoszeniu do potęgi w wyniku zachowuje się tyle cyfr znaczących, ile ich

zawiera liczba podnoszona do potęgi:

(9,36)2 = 87,6096 = 87,6 i (0,68)3 = 0,3144 = 0,31;

Przy logarytmowaniu należy brać tylko tyle znaków, ile cyfr znaczących zawiera

liczba logarytmowana:

log 77,23 = 1,8878 = 1,888;

Przy pierwiastkowaniu wynik ma taką samą liczbę cyfr znaczących, jaką miała

liczba pierwiastkowana:

0,180,18470,0063i1,721,7232,97 3

ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW W zapisie wyniku obliczeń zaleca się stosowanie odpowiednich

przedrostków jednostek i wielokrotności potęgowe (tzw. zapis naukowy

→ 2,110-5) tak, aby niepewnością obarczone były miejsca dziesiętne i

setne (żeby pierwsza cyfra znacząca niepewności znalazła się na

pierwszym miejscu po przecinku).

PRZYKŁAD 6 W wyniku obliczeń otrzymaliśmy wartość: x = 41,284 i u(x) = 1,342. Zapisz

poprawnie wynik pomiaru.

przy zaokrągleniu do pierwszej cyfry znaczącej u(x) = 1 (niepewność ok. 25%)

przy zaokrągleniu do drugiej cyfry znaczącej u(x) = 1,3 (niepewność ok. 3%)

ostatecznie wynik zapisujemy: x = (4,13 ± 0,13) ·101

0,031,342

1,3421,3

0,251,342

1,3421

ZAPIS WYNIKÓW POMIARÓW (c.d.) Wynik pomiaru powinien zawierać wartość, niepewność pomiarową i

odpowiednią jednostkę:

a) niepewność standardowa

• długość drutu jest równa 36,43 cm z niepewnością standardową 0,25 cm

(zapis słowny);

• l = 36,43 cm; u(l) = 0,25 cm (zapis przy użyciu symboli);

• l = 36.43(0,25) cm = 36,43(25) 10-2 m (zapis skrócony).

b) niepewność rozszerzona

• długość drutu jest równa 36,43 cm z niepewnością standardową 0,50 cm

(zapis słowny);

• l = 36,43 cm; U(l) = 0,50 cm (zapis przy użyciu symboli);

• l = 36.43 ± 0,50 cm = (36,43 ± 0,50 ) 10-2 m (zapis skrócony).

Zasady zapisu wyników zalecane przez normy międzynarodowe:

a) niepewność zapisujemy z dokładnością dwu cyfr znaczących, a wartość

mierzoną zaokrąglamy do tego samego miejsca, co niepewność.

b) zapis z użyciem „” stosujemy do niepewności rozszerzonej i in.

przedziałów o wysokim poziomie ufności, zapis z użyciem nawiasów -

dla niepewności standardowej.

Bardzo często, mierzone wielkości fizyczne x i y związane są zależnością

liniową (np. zależność oporu elektrycznego metali od temperatury)

postaci:

y = a x + b

* gdzie współczynniki a i b można wyznaczyć bezpośrednio z wykresu lub

obliczyć metodą regresji liniowej (zw. metodą najmniejszych kwadratów).

REGRESJA LINIOWA

Współczynniki regresji liniowej a i b znajdujemy metodą najmniejszych

kwadratów (przy założeniu, żeby suma kwadratów odchyleń punktów

doświadczalnych od wykreślonej krzywej była jak najmniejsza).

Jeżeli y jest liniową funkcją wielkości x, to w wyniku przeprowadzenia

serii pomiarów i przy założeniu, że wielkości zmierzone obarczone są

tylko błędami przypadkowymi (tzw. regresja klasyczna) otrzymujemy

szereg par wielkości xi i yi (i = 1,2,3,…, n) dla których najlepszym

przybliżeniem są tzw. estymatory regresji liniowej:

gdzie:

REGRESJA LINIOWA (c.d.)

2n

ε

2n

b)ax(y

σixxnX

X

x

σSiX

1yxxyxb

X

nσSi

X

1yxyxna

n

1i

2

i

n

1i

2

ii2

n

1ii

n

1i

2

i

n

1i

2

i

b

n

1iii

n

1ii

n

1ii

n

1i

2

i

a

n

1ii

n

1ii

n

1iii