WYKŁAD 5. Skojarzenia – ciąg dalszy

• Skojarzenie w grafie G to niezależny zbiór krawędzi (rozłączne, bez wspólnych końców).

• α’(G) – moc największego skojarzenia w G.• Skojarzenie M w grafie G nazywamy

doskonałym, gdy |M|=|V(G)|/2.

Tw. Tutte’a

Niech q(G) będzie liczbą nieparzystych składowych grafu G.Tutte (1947) G ma skojarzenie doskonałe

wgdy zachodzi warunek Tutte’a:

|| : )( SSGqGVS

Pokrycia wierzchołkowe Podzbiór U zbioru V(G) nazywamy

pokryciem wierzchołkowym (krawędzi), jeśli każda krawędź grafu G ma przynajmniej jeden koniec w U.

Moc najmniejszego pokrycia - β(G). Trywialnie, )('2)()(' GGG

Skojarzenia w grafach 2-dzielnych – tw. Königa

Twierdzenie (König, 1931) Dla grafów dwudzielnych

α’(G)= β(G).

Dowód tw. Königa (1)• Niech M będzie największym skojarzeniem w grafie 2-

dzielnym G o dwupodziale (A,B).• Wystarczy pokazać, że istnieje pokrycie U mocy |M|.• Ścieżka M-naprzemienna ma jeden koniec w A-V(M),

drugi w B i co drugą krawędź w M .• Konstrukcja zbioru U: do U zaliczamy po 1 końcu

każdej krawędzi M, wybierając koniec w B, gdy kończy się w nim jakaś M-naprzemienna ścieżka, a koniec w A – w przeciwnym razie.

• Zatem U zawiera końce wszystkich M-naprzemiennych ścieżek (bo są M-nasycone).

Ilustracja dowodu Tw. Königa

A B

U

U

Dowód tw. Königa (2)

• Niech ab będzie krawędzią (a z A, a b z B).• Pokażemy, że a lub b jest w U.• Tak jest, gdy ab jest krawędzią skojarzenia M

lub b jest końcem M-naprzemiennej ścieżki.• W przeciwnym razie a jest M-nasycony

(bo M jest maksymalne).• Niech ab’ należy do M.

Dowód tw. Königa (3)

• Jeśli a nie jest w U, to b’ jest, tzn. b’ jest końcem M-naprzemiennej ścieżki, która omija a i b.

•Przedłużając tę ścieżkę o krawędzie b’a i ab, otrzymujemy M-naprzemienną ścieżkę kończącą się w b.

• Zatem b należy do U. �

Warunek (konieczny) Halla na istnienie skojarzenia zawierającego (nasycającego) zbiór A

|||)(:| SSNAS

A

B

Tw. Halla

Tw. Halla (1935) Dwudzielny graf G o dwupodziale (A,B) posiada skojarzenie nasycające A wgdy zachodzi warunek Halla:

|||)(:| SSNAS

1. dowód Tw. Halla

• U – minimalne pokrycie E(G)• Jeśli G nie ma skojarzenia nasycającego A,

to z Tw. Königa: |U|= β(G) = α’(G )<|A|• Nie ma krawędzi miedzy A-U i B-U. Zatem

|||||)(| UAUBUAN

i warunek Halla nie zachodzi dla S=A-U.

Ilustracja 1. dowodu Tw. Halla

A B

U

U

2. dowód Tw. Halla

• Indukcja względem |A|; prawda dla |A|=1.• Niech |A|>1 i załóżmy prawdziwość dla <|A|.

Dwa przypadki • I. Warunek Halla zachodzi z nadmiarem, tzn.

1|||)(:| SSNAS• Usuńmy końce dowolnej krawędzi ab: G’=G-{a,b}• G’ wciąż spełnia warunek Halla i z założenia ind. ma

skojarzenie nasycające A-{a}, które wraz z krawędzią ab tworzy skojarzenie nasycające A.

2. dowód Tw. Halla –Przypadek II:

• Z założenia ind. podgraf G’ indukowany w G przez S’ i N(S’) ma skojarzenie nas. S’.

• Ale podgraf G’’=G-V(G’) też spełnia warunek Halla i z zał. ind. ma skojarzenie nas. A-S’.

• Rzeczywiście, gdyby istniał podzbiór S’’ w A-S’, dla którego |N(S’’)|<|S’’|, to

|'||)'(:|' SSNAS

|'||''||)'(||)''(||)'''(| ''' SSSNSNSSN GG

-- sprzeczność. �

IlustracjaS’

N(S’)

G’’

S’’

N(S’’)

3. dowód Tw. Halla

• Prosty wniosek z Tw. Tutte’a (do samodzielnego zastanowienia się)

? ??

?

Tw.Gallai’a

• Przypomnijmy: α(G), α’(G), β(G).• Podzbiór F zbioru E(G) nazywamy pokryciem

krawędziowym (wierzchołków), jeśli każdy wierzchołek jest końcem przynajmniej jednej krawędzi z F.

• β’(G) – moc minimalnego pokrycia• Tw. (Gallai ,1959) Jeśli G nie ma wierzchołków

izolowanych, to α’(G) + β’(G) =|V(G)|.

Ilustracja Tw. Gallai’a

3+6=9

Dowód Tw. Gallai’a

• Niech M będzie skojarzeniem, |M|= α’ .• U=V(G)-V(M) jest zbiorem niezależnym.• Dla każdego u w U, weźmy krawędź o

końcu w u.• Te krawędzie wraz z M tworzą pokrycie.• Zatem

')'2('|U||M|' nn

Ilustracja

UM

Dowód Tw. Gallai’a – c.d.

• Niech L będzie pokryciem, |L|= β’.• Niech M będzie największym skojarzeniem

w H=G[L]=(V(G),L), a U=V(G)-V(M).• U jest zbiorem niezależnym w H, więc

||2|||||| MnUML

a stąd

nLM ||||''

Ilustracja

Tw. dualne do Tw. Königa

• Łatwo pokazać, że α(G) + β(G) =|V(G)| dla każdego grafu G (ćwiczenia).

• Wniosek. Dla każdego grafu dwudzielnego bez wierzchołków izolowanych α(G) = β’(G).

• Dowód: Z tw. Gallai’a i powyższego ćwiczenia α’(G) + β’(G) =α(G) + β(G), a na podstawie Tw. Königa, α’(G) = β(G) . �

Skojarzenia ułamkowe

• Skojarzenie ułamkowe to funkcja w:E [0,1] taka, że dla każdego wierzchołka v

ev

ew 1)(• Suma wszystkich wag w(e) nie przekracza n/2. • Jeśli suma wag jest równa n/2, to mówimy, że w

jest doskonałym skojarzeniem ułamkowym.

Ilustracja

0.4

0.6

0.3

0.1 0.50.2

Suma = 2.1

0.5

0.5

0

0.5 01

Suma = 2.5