wykład 2 modele wszechświata - wydział fizyki ...wosinska/wyk2_modele.pdf · ogólna teoria...

Ewolucja Wszechświata

Wykład 2

Modele Wszechświata

Krystyna Wosińska, WF PW

Równanie Friedmana

2r

GMmF r

GMmEp

Jeśli materia rozłożona jest sferycznie

symetrycznie, wypadkowa siła grawitacji

działająca na ciało w odległości r od

centrum pochodzi tylko od materii

położonej wewnątrz sfery o promieniu r.

r

•

•

M

Obserwator znajduje się w jednorodnym,

rozszerzającym się ośrodku o gęstości .

Zasada kosmologiczna – za środek można uznać dowolny punkt.

m

Siła grawitacji Grawitacyjna energia

potencjalna


Newtonowska teoria grawitacji

r

•

•

M

3

42

rmG

r

GMmF

3

4 3rM

Zasada zachowania energii: constEEU pk

3

4 2mrG

rGMmEp

energia potencjalna:

2

2rmEk

energia kinetyczna:


Równanie Friedmana

mrGrmU 22

3

4

2

1

Przechodzimy do współrzędnych

współporuszających się, które są

unoszone przez rozszerzający się

Wszechświat.

czas

xtar

W układzie wsp. x

galaktyki mają stałe

w czasie położenia.


Równanie Friedmana

a(t) – czynnik skali Wszechświata (miara tempa ekspansji).

Mnożymy obie strony przez 22

2

xma

G

a

a

xma

U

3

822

2

22

22

22

3

8

amx

UG

a

a

i porządkujemy:

mrGrmU 22

3

4

2

1

mxaGxamU 2222

3

4

2

1

xtar

-kc2

2

22

3

8

a

kcG

a

a

22

2

xmc

Uk

stała w przestrzeni i

czasie


2

22

3

8

a

kcGH

H - stała Hubble’a

G – stała grawitacji

- gęstość materii Wszechświata

c – prędkość światła

k = -2U/mc2x2

a – czynnik skali – mierzy średnie oddalenie

dwóch punktów (np. gromad galaktyk)

Co się rozszerza?Czy przestrzeń może rozszerzać się z

prędkością > c?

2

2

3

8

a

kGH

gdy c = 1:

ra

ar

ax

xar

r

rv

H(t) maleje w czasie – ekspansja coraz

wolniejsza z powodu przyciągania

grawitacyjnego.

rHra

a

Prawo Hubble’a:

Ha

a


c

vz

Charakterystyczne linie widmowe pierwiastków pochodzące ze źródła

oddalającego się są przesunięte ku czerwieni.

em

emobsz

Przesunięcie ku czerwieni z:

Ekspansja i przesunięcie ku czerwieni

Długość fali obserwowanej

Długość fali emitowanej

Prędkość oddalania

Prędkość światła

Prawo Dopplera:



fotonA B

dr

Względna prędkość obiektów A i B: dra

aHdrdv

Zmiana długości fali: emobsd

c

dvd

em

Z prawa Dopplera:

a

da

c

dr

dt

da

acdr

a

ad

em

11

dt - czas trwania ruchu światła



a

dad

em

Po scałkowaniu: consta lnln

consta

ln

consta

Długość fali wprost proporcjonalna do rozmiarów

Wszechświata

em

obs

em

obs

a

az

1

Przesunięcie ku czerwieni z oznacza, ze fala

była wyemitowana, gdy Wszechświat był z+1

razy mniejszy.


Równanie cieczy

2

2

3

8

a

kGH

Aby rozwiązać równanie Friedmana trzeba wiedzieć, jak zmienia się w

czasie gęstość i ciśnienie p materii Wszechświata.

TdSpdVdE z I zasady termodynamiki :

23

22

3

4c

acVmcE

3

3

4aV


Równanie cieczy

23

3

4c

aE

2322

3

44 c

dt

da

dt

daca

dt

dE

3

3

4aV

dt

daa

dt

dV 24

TdSpdVdE Ekspansja odwracalna: dS = 0

043

44 22322 aapcaaca

23ca:


Równanie cieczy

043

44 22322 aapcaaca

23ca:

032

c

p

a

a

Na zmianę gęstości wpływają 2 człony:

1. rozrzedzenie materii na skutek wzrostu objętości

2. strata energii związana z wykonaniem pracy przez ciśnienie

w trakcie ekspansji – stracona energia zamieniona na

grawitacyjną energię potencjalnąKrystyna Wosińska, WF PW

Przyspieszenie ekspansji

2

22

3

8

a

kcG

a

a

Różniczkujemy względem czasu

3

2

2

2

23

82

a

akcG

a

aaa

a

a

032

c

p

a

a

Podstawiamy:

Ponownie korzystamy z równania Friedmana

2

2

2

2

4a

kc

c

pG

a

a

a

a


Przyspieszenie ekspansji

2

3

3

4

c

pG

a

a

Ciśnienie materii powoduje zwiększenie siły grawitacji i jeszcze

większe spowolnienie ekspansji.

Ujemny znak przyspieszenia – ekspansja zwalnia na skutek grawitacji

E = mc2

Ciśnienie związane z oddziaływaniem między

cząstkami – energii oddziaływania odpowiada masa


Rozwiązania równań

O ewolucji Wszechświata decyduje jego zawartość

Zależność (p) – równanie stanu.

1. Wszechświat jest wypełniony tylko materią nierelatywistyczną – nie ma

promieniowania.

Pył p = 0

Materia jest tak rozrzedzona, że nie dochodzi do zderzeń, więc ciśnienie

równe zeru.

Przykład : galaktyki to gaz bezzderzeniowy

Poszukamy rozwiązań dla 2 skrajnych sytuacji:

2. Wszechświat jest wypełniony tylko promieniowaniem.

Ciśnienie: p = ·c2/3


Pył

Pył: p = 0 - materia nierelatywistyczna

Szukamy rozwiązania dla k = 0

03 a

a 03 a

dt

d 3

1

a

Z równania cieczy: 032

c

p

a

a


Pył

3

0

a

Z równania Friedmana:

2

22

3

8

a

kcG

a

a

0k

a

Ga

1

3

8 02

Rozwiązanie:

3

2

0

t

tta

2

2

00

3

0

t

t

at


w chwili obecnej t = t0

0 1a

Promieniowanie

Promieniowanie: p = ·c2/3

04 a

a

4

1

a

Rozwiązanie równania Friedmana :

2

1

0

t

tta

2

2

00

4

0

t

t

at

Z równania cieczy: 032

c

p

a

a


Tempo ekspansji maleje z czasem

ta

aH

3

2

3

2

0

t

tta

czas

czyn

nik

sk

ali

2

2

00

3

0

t

t

at

czas

gęs

tość


2

1

0

t

tta

Wszechświat wypełniony promieniowaniem rozszerza

się wolniej niż wypełniony pyłem

Pył:ta

aH

2

1

Promieniowanie:

2

22

3

8

a

kcGH

Jeśli k < 0 , to H będzie zawsze

dodatnie.

Wszechświat zawsze

będzie się rozszerzał

Los Wszechświata

Czy możliwe będzie zatrzymanie się ekspansji Wszechświata?

0 Ha

aH

?

Jeśli k = 0 , to H będzie

asymptotycznie malało do zera

Wszechświat będzie się

rozszerzał, ale coraz

wolniej.

ta

aH

3

2


Jeśli k > 0:

2

22

3

8

a

kcGH

Gęstość odwrotnie proporcjonalna do objętości:3

1

a

3

1

a 2

1

a

Pierwszy wyraz maleje szybciej niż

drugi – początkowo H2 jest

dodatnie, ale w końcu spadnie do

zera.

Wszechświat przestanie

się rozszerzać i zacznie

się kurczyć.

Los Wszechświata


Koniec XIX wieku – (prawie) kompletny opis wszechświata

Hipoteza eteru – ośrodka, w którym rozchodzą się fale

elektromagnetyczne.

Doświadczenie Michelsona-Morleya (1887) - pomiar prędkości

światła.

Wynik: światło ma stałą

prędkość niezależną od

prędkości obserwatora!

Teoria względności


1905 – Szczególna Teoria Względności:

•Istotny jest tylko ruch względny

•Skoro nie można stwierdzić, że ktoś się porusza w

przestrzeni, to pojęcie eteru zbędne

•Prawa fizyki są jednakowe w każdym układzie

inercjalnym, w szczególności prędkość światła jest

stała


Konsekwencje tych założeń:

•Nie istnieje czas absolutny – każdy obserwator ma

swój własny czas

•Długość w kierunku ruchu ulega skróceniu:

•Czas w układzie poruszającym się ulega

wydłużeniu

2

2

0 1c

vll

2

2

0

1c

v

tt


•Masa ciała poruszającego się wzrasta:

•Masa i energia są równoważne:

•Żadne ciało o masie spoczynkowej większej od

zera nie może osiągnąć prędkości światła.

2

2

0

1c

v

mm

2mcE


Albert Einstein

1879 - 1955

Ogólna Teoria Względności (1915):

G = 8T

geometria materia

OTW wiąże geometrię czasoprzestrzeni

z rozkładem materii.


•Równoważność siły grawitacji i siły bezwładności w

układzie nieinercjalnym

•Pole grawitacyjne równoważne zakrzywieniu

czasoprzestrzeni

Przestrzeń i czas dotąd uważane za pasywną scenę zdarzeń

w istocie tworzą czasoprzestrzeń, która jest dynamicznym

uczestnikiem wszystkich procesów.

Ogólna Teoria Względności


Geometria Wszechświata

•Geometria płaska model: dwuwymiarowa

płaszczyzna

Suma kątów w trójkącie

równa jest 1800

Linie równoległe nie

przecinają się



•Geometria sferyczna model: powierzchnia kuli -

krzywizna dodatnia

Suma kątów w trójkącie jest

większa niż 1800

Linie równoległe przecinają się

(przykład: południki)



•Geometria hiperboliczna model: powierzchnia siodłowa-

krzywizna ujemna

Suma kątów w trójkącie jest

mniejsza niż 1800

Linie równoległe rozchodzą się


... i dodatniej

Dr. Stanisław Bajtlik demonstruje powierzchnię o krzywiźnie ujemnej

Zjazd Fizyków, PW, 2005


Zakrzywienie czasoprzestrzeni oznacza, że najkrótszą linią

łącząca dwa punkty jest linia krzywa – światło w pobliżu dużej

masy nie porusza się po prostej!

Doświadczalne potwierdzenie Ogólnej Teorii Względności:

W 1919 r. zaobserwowano w czasie zaćmienia Słońca ugięcie

promieni świetlnych biegnących od odległej gwiazdy.

Gwiazda

Słońce

Obserwator

Pozorne położenie gwiazdy


Geometria Wszechświatak < 0

k = 0

k > 0Wielkość k opisuje

krzywiznę Wszechświata

Krzywizna Geometria Suma

kątów w

trójkącie

Los Wszechświata

k > 0 sferyczna > 1800 Wielki Kolaps

k = 0 płaska = 1800 Wieczna ekspansja

k < 0 hiperboliczna < 1800 Wieczna ekspansja


Gęstość krytyczna k – odpowiada wartości k = 0

3

82 kGH

G

Hk

8

3 2

2

2

8

3

Ga

kck

Jeśli > k , to k > 0,

Jeśli < k , to k < 0,

Krzywizna zależy od gęstości Wszechświata

Równanie Friedmana można przekształcić do

postaci:2

22

3

8

a

kcGH


2

2

8

31

Ga

kck

Miara płaskości Wszechświata:

4

1

a

Gdy dominuje promieniowanie:

= /k - parametr gęstości

ta 2

Wartość rośnie w czasie

1

Wszechświat z czasem robi się coraz mniej płaski.


= /k - ten parametr wyznacza przyszłość Wszechświata

< 1

> 1

= 1

Jeśli wyznaczymy , odkryjemy przyszłość Wszechświata



Czy nasze istnienie byłoby możliwe we

Wszechświecie o dowolnej wartości ?

<< 1 gęstość Wszechświata zbyt mała, aby powstrzymać ekspansję.

Materia rozproszyłaby się, zanim mogłyby powstać gwiazdy i planety.

>> 1 gęstość Wszechświata tak duża, że ekspansja po krótkim czasie

zatrzymałaby się i na skutek kolapsu Wszechświat zakończyłby żywot. I w tym

przypadku nie zdążyłyby powstać gwiazdy i planety.

Zasada antropicznaKoncepcja filozoficzna, zgodnie z którą fundamentalne stałe fizyczne mają

dokładnie takie wartości, aby umożliwić powstanie życia.

http://www.staff.amu.edu.pl/~zbigonys/wszechswiat_na_miare.html

Ciekawy wykład prof. dr hab. Zbigniewa Jacyny-Onyszkiewicza:


Einstein dodał do równania stałą kosmologiczną , aby „ratować” płaski i

statyczny Wszechświat.

33

82

22

a

kcGH

- reprezentuje siłę odpychającą, równoważącą przyciąganie grawitacyjne – dzięki niej

pojawia się rozwiązanie równania opisujące statyczny Wszechświat.

W 1922 r. Aleksander Friedman znalazł wszystkie rozwiązania równania i wykazał, że

nawet dodanie stałej kosmologicznej nie zapewni stałości Wszechświata.

Einstein nazwał dodanie stałej kosmologicznej swoją największą pomyłką, jednak obecnie

wcale nie jest oczywiste, że wynosi ona zero!

Przez tysiące lat ludzie wierzyli, że Wszechświat jest statyczny.


Ekspansja Wszechświata przyspiesza!

Obserwacje supernowych

znajdujących się w odległości 3/4

drogi od krańca Wszechświata

udowodniły, że Wszechświat

rozszerzał się w różnym tempie

podczas swojej historii.

Saul Perlmutter

Brian P. Schmidt 2011

Adam G. Riess


W przyśpieszającym Wszechświecie galaktyka o danej prędkości

będzie znajdować się dalej, niż oczekujemy (a co za tym idzie –

będzie mniej jasna).

ŚN 3 - 2004


jasn

ość

ŚN 3 - 2004Krystyna Wosińska, WF PW

Poznamy dzieje Wszechświata, jeśli

wyznaczymy trzy parametry:

k

23 H

r

vH


Pomiar stałej Hubble’a

Supernowe typu 1A stanowią doskonałe obiekty do pomiaru

odległości galaktyk – „świece standardowe”

Znamy dokładnie ich

jasność absolutną.

Jasność obserwowana

wyznacza odległość.

Prędkość ucieczki galaktyk

wyznaczona z obserwowanego

przesunięcia linii widmowych

ku czerwieni.


Obecna wartość stałej Hubble’a:

)(71

MPcs

kmH

3

4


Stała Hubble’a


Pomiar gęstości materii Wszechświata

•Pomiar promieniowania świecących gwiazd i materii

międzygwiazdowej –materia świetlista

0050,lum

Od gęstości zależy krzywizna Wszechświata


Ωlum ~ 0.005

Pomiar gęstości materii Wszechświata

Od gęstości zależy krzywizna Wszechświata

30,dm

040,b

•Pomiar zawartości lekkich pierwiastków powstałych w pierwszych 3 minutach

po Wielkim Wybuchu - materia barionowa

•Pomiar oddziaływań grawitacyjnych – rotacja galaktyk - materia

grawitacyjna (ciemna materia)


Wszechświat jest płaski!

02,002,1 tot

Wynik badania promieniowania reliktowego (2003):


http://map.gsfc.nasa.gov/m_ig/030626/030626B_s.jpg

Los Wszechświata

k < 0

k = 0

k > 0

22

2

xmc

Uk

U > 0

U = 0

U < 0

pk EEU


wykład 2 modele wszechświata - wydział fizyki ...wosinska/wyk2_modele.pdf · ogólna teoria...

Documents