Wykład 12

Informatyka Stosowana

7 stycznia 2019Magdalena Alama-Bucko

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 1 / 22

Niech x0 ∈ R oraz f bedzie okreslona przynajmniej na otoczeniuO(x0, r), r > 0.

Definicja: Pochodna funkcji w punkcieJezeli istnieje granica

lim∆x→0

f (x0 + ∆x)− f (x0)

∆x

i jest liczba, to nazywamy ja pochodna funkcji f (x) w punkcie x0

i oznaczamy f ′(x0).

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 2 / 22

DefinicjaWyrazenie

f (x0 + ∆x)− f (x0)

∆xnazywamy ilorazem róznicowym f w punkcie x0.

Iloraz róznicowy jest współczynnikiem kierunkowym siecznejprzechodzacej przez punkty

(x0, f (x0)), (x0 + ∆x , f (x0 + ∆x)).

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 3 / 22

WniosekGdy ∆x → 0, to sieczne przechodzace przez

(x0, f (x0)) i (x0 + ∆x , f (x0 + ∆x))

zmierzaja do stycznej do f w punkcie (x0, f (x0)), którejwspółczynnik kierunkowy wynosi f ′(x0).

Równanie stycznej do f w punkcie (x0, f (x0)):

y = f ′(x0)(x − x0) + f (x0).

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 4 / 22

Pochodne z funkcji elementarnych

c′ = 0

(xn)′ = nxn−1

(ax )′ = ax ln a,

(ex )′ = ex

(loga x)′ =1

x ln a,

(ln x)′ =1x

(sin x)′ = cos x

(cos x)′ = − sin x

(tg x)′ =1

cos2 x

(ctg x)′ = − 1sin2 x

(arc sin x)′ =1√

1− x2

(arc cos x)′ = − 1√1− x2

(arc tg x)′ =1

1 + x2

(arc ctg x)′ = − 11 + x2

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 5 / 22

Pochodne z działan na funkcjach

(cf (x))′ = c f ′(x)

(f (x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x)

(f (x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f (x) · g′(x)

(f (x)

g(x)

)′=

f ′(x) · g(x)− f (x) · g′(x)

g2(x)

(f (g(x)))′ = f ′(g(x)) · g′(x)

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 6 / 22

DefinicjaFunkcja f (x) jest rózniczkowalna w przedziale (a,b), jesli f ′(x)istnieje dla kazdego x ∈ (a,b).

TwierdzenieJezeli f jest rózniczkowalna w punkcie x0, to jest w nim ciagła.

Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa, tzn. funkcja ciagła wpunkcie x0 nie musi byc funkcja rózniczkowalna.

Przykład Funkcja f (x) = |x | jest ciagła w x0 = 0, ale nie jestrózniczkowalna w x0 = 0 (czyli f ′(0) nie istnieje).

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 7 / 22

Zatem funkcja f (x) ma w x0 pochodna, czyli f ′(x0) jesli:f (x) jest ciagła w x0

f ′(x0−) = f ′(x0+)

Zadanie 3 Zbadac, czy istnieja pochodne podanych funkcji:

a) f (x) =

{ √x − 1, x > 1

12x(x − 1), x < 1. , x0 = 1 b) f (x) = x3 + |x |, x0 = 0

Zadanie 4 Dobrac parametry a,b i c tak, aby funkcja f miałapochodna na R.

f (x) =

−1 , x < 0a · sin x + b · cos x + c , 0 6 x 6 π1 , x > π.

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 8 / 22

Obliczenia przyblizone (rózniczka funkcji)

Jezeli f ma pochodna w punkcie x0, to

f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f ′(x0)∆x .

W praktyce:

jako x0 przyjmujemy taki punkt, w którym ”łatwo” obliczycwartosc funkcji f i pochodnej f ′

∆x to pewna niewielka liczba (dodatnia albo ujemna)

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 9 / 22

Jezeli f ma pochodna w punkcie x0, to

f (x0 + ∆x) ≈ f (x0) + f ′(x0)∆x .

Zadanie 5 Wyznaczyc przyblizona wartosc funkcji:

a) 1√3.98

b) e−0.07

c) ln 0.9993.d) 49π

100 · cos( π100).

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 10 / 22

Pochodne wyzszych rzedów

Pochodna n-tego rzedu funkcji f okreslamy wzorem

f (n)(x) = (f (n−1)(x))′

czyli jest to pochodna z pochodnej rzedu (n − 1).

Zatem

f′′(x) = (f

′(x))

′- druga pochodna jest pochodna z pierwszej pochodnej

f′′′

(x) = f (3)(x) = (f′′(x))

′

- trzecia pochodna jest pochodna z drugiej pochodnej

. . .

f (n)(x) = (f (n−1)(x))′

- n-ta pochodna jest pochodna z (n-1)-szej pochodnej

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 11 / 22

Zauwazmy, ze aby wyliczyc wartosc f (n)(x), musimy znacwszystkie pochodne do pochodnej rzedu n − 1 włacznie, czyli

f′(x), f

′′(x), . . . , f (n−1)(x).

Zadanie 6 Obliczyc f ′, f ′′

, f ′′′ dla podanych funkcji

a) f (x) = 3x8 + 4x3 + 5x2 − 2b) f (x) = x3 · ln x .

Zadanie 7 Podac wzór ogólny f (n), jesli

a) f (x) = ex

b) f (x) = sin 2x .

c) f (x) =xex .

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 12 / 22

Zadanie 7 a) f (x) = ex

f ′(x) = (ex )′ = ex

f ′′(x) = (f ′(x))′ = (ex )′ = ex

f (3)(x) = (f (2)(x))′ = (ex )′ = ex

...f n(x) = (f (n−1)(x))′ = (ex )′ = ex

Zatemf (n)(x) = ex dla kazdego n ∈ N

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 13 / 22

Zadanie 7 b) f (x) = sin 2x .

f ′(x) = (sin 2x)′ = cos 2x · 2 = 2 · cos 2xf ′′(x) = (f ′(x))′ = (2 ·cos 2x)′ = 2 ·(− sin 2x) ·2 = −22 ·sin 2xf (3)(x) = (−22 · sin 2x)′ = −22 · cos 2x · 2 = −23 · cos 2xf (4)(x) = (−23 · cos 2x)′ = −23 · (− sin 2x) · 2 = 24 · sin 2xf (5)(x) = (24 · sin 2x)′ = 24 · cos 2x · 2 = 25 · cos 2x

Zatem

f (n)(x) =

{(−1)k · 2n · cos 2x n = 2k + 1(−1)k · 2n · sin 2x n = 2k

dla kazdego k = 0,1,2, ...

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 14 / 22

Zadanie 7 c) f (x) =xex .

f ′(x) = (xex )′ =

1 · ex − x · ex

(ex )2 =ex · (1− x)

(ex )2 =1− x

ex

f ′′(x) = (f ′(x))′ = (1− x

ex )′ =−1 · ex − (1− x) · ex

(ex )2 =x − 2

ex

f (3)(x) = (x − 2

ex )′ =1 · ex − (x − 2) · ex

(ex )2 =3− x

ex

f (4)(x) = (3− x

ex )′ =−1 · ex − (3− x) · ex

(ex )2 =x − 4

ex

f (5)(x) = (x − 4

ex )′ =1 · ex − (x − 4) · ex

(ex )2 =5− x

ex

Zatem dla kazdego n = 0,1,2, ...

f (n)(x) =(−1)n · (x − n)

ex .

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 15 / 22

Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi

Twierdzenie Rolle’aJezeli funkcja f spełnia warunki:1◦ jest ciagła na [a,b]

2◦ f ′ istnieje na (a,b)3◦ f (a) = f (b),

to istnieje punkt c ∈ (a,b) taki, ze f ′(c) = 0.

Innymi słowy, dla funkcjispełniajacej warunki1◦ − 3◦ istnieje wprzedziale (a,b) punkt c,w którym styczna jestpozioma.

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 16 / 22

Twierdzenie Lagrange’aJezeli funkcja f spełnia warunki:1◦ jest ciagła na [a,b]

2◦ f ′ istnieje na (a,b)

to istnieje punkt c ∈ (a,b) taki, ze f ′(c) =f (b)− f (a)

b − a.

Innymi słowy, dla funkcjispełniajacej warunki1◦ − 2◦ istnieje wprzedziale (a,b) punkt c,w którym styczna dowykresu jest równoległado siecznej łaczacej jegokonce.

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 17 / 22

Reguła de L’Hospitala

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 18 / 22

Regułe de L’Hospitala stosujemy do liczenia pewnych granictypu

limx→x0

f (x)

g(x)albo lim

x→±∞

f (x)

g(x)

Zakładamy, ze f i g sa funkcjami rózniczkowalnymi.

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 19 / 22

Ponizej przez A oznaczamy liczbe albo ±∞.

Reguła de L’HospitalaJezeli funkcje f i g spełniaja warunki

1◦{

limx→A

f (x) = 0

limx→A

g(x) = 0 albo

{limx→A

f (x) = ±∞limx→A

g(x) = ±∞

oraz

2◦ limx→A

f ′(x)

g′(x)= k ,

to limx→A

f (x)

g(x)= k .

Zauwazmy, ze k moze przyjmowac równiez wartosci ±∞.

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 20 / 22

Krócej mozna to zapisac:

limx→A

f (x)

g(x)=

[00

albo∞∞

]H= lim

x→A

f ′(x)

g′(x),

co rozumiemy nastepujaco:

" jesli istnieje granica limx→A

f ′(x)g′(x)

i wynosi k, to granica limx→A

f (x)g(x)

równiez wynosi k."

Przykład

a) limx→∞

ln xx

b) limx→∞

x3−2x+14x3+2

c) limx→0

x cos xx5−3x3+2x

d) limx→1

(3x−1) ln xx4−3x2+2

e) limx→0

sin 5x−sin 2xcos 4x+2x−1

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 21 / 22

Dziekuje za uwage !

Informatyka Stosowana Wykład 12 07.01.2019, M.A-B 22 / 22