wybrane zagadnienia z mechaniki płynów - w. sobieski
DESCRIPTION
Wybrane zagadnienia z Mechaniki PłynówTRANSCRIPT
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
1/32
Wybrane zagadnienia
z Mechaniki Płynów
Wojciech Sobieski Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
Wydział Nauk Technicznych Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn
10-957 Olsztyn, ul. M. Oczapowskiego 11. tel.: (89) 5-23-32-40 fax: (89) 5-23-32-55
Niniejszy dokument moŜe być dowolnie kopiowany, udostępniany rozprowadzany w wersji oryginalnej. Autor nie zezwala na zmianę treści dokumentu ani na jego modyfikacje.
Olsztyn 2001
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
2/32
S P I S T R E Ś C I
1. PODSTAWOWE WIADOMOŚCI O PŁYNACH...................................................... 3
2. PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI PŁYNÓW.......................................................... 6
3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY................................................................................. 8
4. PŁYWANIE CIAŁ .................................................................................................... 10
5. PRAWO EULERA .................................................................................................... 11
6. PRAWO PASCALA.................................................................................................. 12
7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE....................................................... 13
8. KINEMATYCZNY WARUNEK CIĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU ŚCIŚLIWEGO W
PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH........................................................................... 15
9. RÓWNANIE BERNOULIEGO ................................................................................ 18
10. RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A ................................................................... 19
11. RUCH ELEMENTU PŁYNU ...................................................................................27
12. GRADIENT SKALARA ........................................................................................... 31
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
3/32
1. PODSTAWOWE WIADOMO ŚCI O PŁYNACH
Dwóm stanom materii – cieczom i gazom - moŜna przypisać cechy płynności i ciągłości.
JeŜeli w określonych warunkach cechy te są moŜliwe do zaakceptowania, to zarówno
ciecz jak i gaz będziemy nazywali płynami.
Z punktu widzenia molekularnej teorii budowy materii zarówno ciecz jak i gaz jest
zbiorowiskiem chaotycznie poruszających się molekuł, pomiędzy cieczą a gazem istnieją
jednak pewne róŜnice (rys. 1.).
Rys. 1. Ruch molekuł w cieczy (z lewej) i w gazie (z prawej).
Ciecz – ruch molekuł jest ruchem drgającym dookoła średniego połoŜenia oraz ruchem
przeskoku molekuł w coraz to nowe miejsce „Ŝycia osiadłego” τ0. Przyjmijmy, Ŝe średnia
droga przeskoku wynosi l0.
Gaz – ruch molekuł jest ruchem chaotycznym, bez moŜliwości „Ŝycia osiadłego”.
W ruchu chaotycznym molekuły zderzają się, zmieniając w ten sposób swoją prędkość.
Drogi pomiędzy kolejnymi zderzeniami są róŜne – jednak średnia droga l0 pomiędzy
kolejnymi zderzeniami jest znacznie dłuŜsza od średniej drogi przeskoku w stanie
ciekłym.
Charakterystyczne wymiary liniowe odnoszące się do molekuł moŜna zdefiniować
następująco:
dla stanu ciekłego dla stanu gazowego • wymiar charakteryzujący wielkość
molekuły • średnia odległość między molekułami • średnia amplituda drgań • średnia droga przeskoku
• wymiar charakteryzujący wielkość molekuły
• średnia odległość między molekułami • średnia droga swobodna
Inne cechy
• zachowuje kształt naczynia • mało ściśliwy
• nie zachowuje kształtu • bardzo ściśliwy
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
4/32
Płynność. Gdy czas działania t siły odkształcającej jest bardzo długi w porównaniu z
czasem Ŝycia osiadłego τ0, wtedy odkształcenie jest moŜliwe dzięki wymuszonej przez tę
siłę zmianie układu molekuł w przestrzeni. MoŜna się spodziewać proporcjonalności
między działającą siłą a odkształceniem – nawet mała siła odkształcająca wywołuje
skończoną prędkość odkształcenia. JeŜeli czas działania siły jest porównywalny bądź teŜ
krótszy od Ŝycia osiadłego molekuł, nie zdąŜą się one dostosować do sił deformujących
(zjawisko takie zachodzi np. podczas szybkiego odkształcania smoły - τ0 ≈ 1 s – ulega
ona wówczas pękaniu, jak ciało stałe).
Proporcjonalność pomiędzy prędkością odkształcenia (płynięciem) a siłą odkształcającą
jest cechą określoną jako płynność. Z powyŜszego rozumowania wynika ograniczenie tej
cechy. JeŜeli
0τt
>>1,
to cieczom moŜna przypisać cechę płynności. JeŜeli zaś
0τt
<1,
to mamy sytuację podobną do tej, jaka panuje w ciele stałym.
Jest rzeczą oczywistą, Ŝe w gazach, dla których τ0 = 0, cecha płynności nie ulega
ograniczeniom.
Ciągłość. Jest to cecha oznaczająca moŜliwość traktowania materii jako ośrodka
wypełniającego przestrzeń w sposób ciągły. Jest to moŜliwe tylko wtedy, gdy wymiary
liniowe L ciał opływanych cieczą lub gazem są znacznie większe od l0. Tak więc i tu
pojawia się ograniczenie tej cechy. JeŜeli
0l
L>>1,
to cieczom i gazom moŜna przypisać cechę ciągłości. JeŜeli zaś
0l
L<1,
to załoŜenie ciągłości nie stanowi dobrego modelu fizycznego.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
5/32
PoniewaŜ wartość l0 jest znacznie większa dla gazów, moŜna oczekiwać naruszenia tej
cechy przede wszystkim w gazach. Istotnie, gazy rozrzedzone dla wymiarów ciał
porównywalnych z l0 nie mogą być rozpatrywane jako ośrodek ciągły.
Liczba Knudsena. Aby ocenić stopień zgodności przyjętego modelu płynu (ciągły -
nieciągły) wprowadzono parametr zwany liczbą Knudsena
L
lKn 0= .
Dla liczb Knudsena < 0,01 przyjmuje się model ośrodka ciągłego.
Płyn doskonały (idealny) – płyn, który jest nieściśliwy, nielepki, nie ulega
rozszerzalności termicznej, nie „poddaje się” rozciąganiu, ściskaniu, ścinaniu.
Płyn rzeczywisty – powyŜsze załoŜenia nie obowiązują.
Modele płynów. W zaleŜności od związków pomiędzy prędkością deformacji a
napręŜeniami stycznymi, przyjmuje się róŜne modele płynów rzeczywistych:
płyn Newtona – płyn, w którym napręŜenie styczne jest proporcjonalne do
prędkości deformacji (woda. powietrze, olej, benzyna, itp)
płyn Binghama – płyn, w którym napręŜenie styczne jest niejednorodną funkcją
deformacji (pasty, zaprawy)
płyn pseudoplastyczny – płyn, w którym napręŜenie styczne maleje wraz z prędkością
deformacji (ciekły kauczuk, roztwory mydlane)
płyn tiksotropowy – płyn, w którym przy stałej prędkości deformacji, napręŜenia
styczne maleją w czasie (farby, lakiery)
płyn Hooke’a – płyn, który ulega tylko odkształceniu objętościowemu (???)
płyn z pamięcią – ??? (farma emulsyjna)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
6/32
2. PODSTAWOWE WŁA ŚCIWO ŚCI PŁYNÓW 1. Ciśnienie.
dA
dP
A
Pp
A=
∆∆=
→∆ 0lim
2m
N
2. Gęstość.
dV
dm
V
mV
=
∆∆=
→∆ 0limρ
3m
kg ρ =
m
V
3. CięŜar właściwy.
dV
dG
V
GV
=
∆∆=
→∆ 0limγ
3m
N γ =
G
V γ ρ= ⋅g
4. Objętość właściwa.
ρ1
v =
kg
m3
5. Rozszerzalność objętościowa.
dT
dV
V
1 ⋅=α 1
K
T10
T ∆+=
αρρ ( )TVV ∆+= α112 TVV 1 ∆=∆ α
6. Ściśliwość.
dp
dV
V
1B ⋅−=
N
m2
pB1
0p ∆−
=ρρ ( )pB1VV 12 ∆−= pBVV 1 ∆−=∆
7. Lepkość dynamiczna.
dn
dV⋅−= µτ dT = ± τ . dA
⋅=
sm
kgµ 1Pg
cm s=
⋅
8. Lepkość kinematyczna.
ρµν =
=
s
m2
υ
=
s
cmSt
2
1
9. Równanie stanu (tylko dla gazów idealnych).
mRTpV = lub RTp ρ=
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
7/32
Oznaczenia symboli: P – siła G - cięŜar m - masa V - objętość (prędkość w punkcie 7) v - objętość właściwa µ - dynamiczny współczynnik lepkości (czasami oznacza się η) ν − współczynnik lepkości kinematycznej P - Poise – jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cP = 1P.10-2 ) St – Stockes - jednostka lepkości ( jednostka mniejsza 1cSt = 1St . 10-2 ) B - współczynnik ściśliwości (B=1/E) E - moduł Younga R - indywidualna stała gazowa
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
8/32
3. NAPÓR HYDROSTATYCZNY
Siła naporu hydrostatycznego, wywieranego przez ciecz na płaską ścianę o dowolnym
konturze wynosi
P = ρ·g· z dAA
⋅∫ . ( 1 )
WyraŜenie
z dAA
⋅∫
jest momentem statycznym, zatem
z dAA
⋅∫ = zs·A,
gdzie zs oznacza głębokość zanurzenia środka geometrycznego ściany o polu
powierzchni równym A. Wobec tego napór cieczy na dowolną figurę płaską moŜna
wyrazić następującym wzorem:
P = ρ·g·zs·A = γ·zs·A. ( 2 )
JeŜeli na ciecz działa dodatkowo ciśnienie p., to
P = (p + γ·zs)·A ( 3 )
Współrzędne połoŜenia środka naporu, tj. punktu C, w którym przyłoŜony jest wektor
siły naporu, działającej na rozpatrywany wycinek ściany o polu powierzchni równym A,
wyznaczamy z następujących zaleŜności:
xc = xy
s
IA y⋅
yc = x
s
IA y⋅
= ys + 0xI
A ys⋅ ( 4 )
zc = zs + 0xI
A zs⋅·sin2α
ys, zs - współrzędne środka cięŜkości,
Ix - moment bezwładności względem osi x,
Ixy - moment dewiacyjny względem osi x i y,
Ixo - moment bezwładności względem osi x0 przechodzącej przez środek cięŜkości S.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
9/32
x0
x
xs
xc
y
y
y s
y c
dA
s
c
z
A
zzszc
PdP α
x
Dla ściany prostopadłej do zwierciadła cieczy α = 90°
zc = zs + 0xI
A zs⋅ ( 5 )
Ze wzorów ( 4 ) i ( 5 ) wynika, Ŝe środek naporu znajduje się zawsze poniŜej środka
cięŜkości. Punkty C i S pokrywają się tylko wówczas, gdy A jest wycinkiem ściany
płaskiej, równoległej do zwierciadła cieczy.
Wypadkowy napór hydrostatyczny cieczy na ściankę zakrzywioną
P = x zP P2 2+
Składowa pozioma Px równa jest parciu wywieranemu na rzut powierzchni zakrzywionej
na płaszczyznę prostopadłą do rozpatrywanego kierunku. Linia działania składowej
poziomej przechodzi przez środek naporu rzutu rozwaŜanej powierzchni.
Składowa pionowa naporu Pz równowaŜona jest cięŜarem „bryły ciekłej” ograniczonej
rozpatrywaną powierzchnią zakrzywioną i tworzącymi pionowymi, które łączą jej kontur
ze zwierciadłem cieczy. Kierunek działania naporu pionowego przechodzi przez środek
cięŜkości rozpatrywanej „bryły”. NatęŜenie składowej pionowej Pz nie zaleŜy przy tym
od tego, czy nad ścianą zakrzywioną wznosi się aŜ do zwierciadła realny słup cieczy, czy
teŜ nie.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
10/32
4. PŁYWANIE CIAŁ
Stateczność określa się na podstawie tzw. wysokości metacentrycznej z następujących
zaleŜności:
aV
Im
z
xx ±= - stateczność względem osi x,
aV
Im
z
yy ±= - stateczność względem osi y.
gdzie
Vz - objętość zanurzona,
Ix, Iy - momenty bezwładności pola przekroju pływania względem osi x i y,
a - odległość między środkiem cięŜkości ciała i środkiem wyporu (ujemna wartość a
występuje wówczas, gdy środek cięŜkości znajduje się powyŜej środka wyporu).
Do badania stateczności bierze się ten kierunek, dla którego wartość momentu
bezwładności jest mniejsza.
m > 0 - stateczność stała,
m < 0 - stateczność chwiejna,
m = 0 - stateczność obojętna.
x
y
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
11/32
5. PRAWO EULERA Prawo Eulera - wartość ciśnienia nie zaleŜy od orientacji (połoŜenia) elementu powierzchniowego, do którego „wektor” ciśnienia jest prostopadły.
P
x
z
y
px
py
pz.
α
β
γ
dx
dz
dy
dAx
dAz
dAy
Aby układ był w stanie równowagi: px
.dAx - p.dA.cosα = 0 py
.dAy - p.dA.cosβ = 0 (1)
pz.dAz - p
.dA.cosγ = 0 poniewaŜ dA.cosα = dAx
dA.cosβ = dAy
dA.cosγ = dAz
równanie (1) otrzyma postać px
.dAx - p.dAx = 0 py
.dAy - p.dAy = 0 (2)
pz.dAz - p
.dAz = 0 po uproszczeniu zaś px = p py = p (3 ) pz = p czyli px = py = pz = p. (4)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
12/32
6. PRAWO PASCALA Prawo Pascala - jeŜeli na płyn działają tylko siły powierzchniowe, to ciśnienie w kaŜdym punkcie płynu jest takie samo1.
P1
P2
α2
α1
z
dA1
dA2
dA
Aby układ był w stanie równowagi:
izP∑ = 0 czyli
1 1 1 2 2 2 0p dA p dA⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =cos cosα α (1) poniewaŜ
1 1dA dA⋅ =cosα 2 2dA dA⋅ =cosα
więc
1 2 0p dA p dA⋅ − ⋅ =
1 2 0p p− = (2 ) Ogólnie zaś
1 2p p pn= = =K . (3)
1 Prawo to nie uwzględnia ciśnienia słupa cieczy.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
13/32
7. RÓWNANIE EULERA W HYDROSTATYCE Pełna postać równania Eulera:
∂∂Vx
t +
∂∂Vx
x·Vx +
∂∂Vx
y·Vy +
∂∂Vx
z·Vz = X -
1
ρ·∂p
dx
∂∂Vy
t +
∂∂Vy
x·Vx +
∂∂Vy
y·Vy +
∂∂Vy
z·Vz = Y -
1
ρ·∂p
dy (1)
∂∂Vz
t +
∂∂Vz
x·Vx +
∂∂Vz
y·Vy +
∂∂Vz
z·Vz = Z -
1
ρ·∂p
dz
JeŜeli element płynu jest w stanie spoczynku, to w równaniu Eulera nie ma członu prędkości, przyjmie ono postać
X - 1
ρ·∂p
dx = 0
Y - 1
ρ·∂p
dy = 0 (2)
Z - 1
ρ·∂p
dz = 0
Lub we współrzędnych cylindrycznych
qr - 1
ρ·∂∂p
r = 0
qϑ - 1
ρ·
∂∂ϑp
r ⋅ = 0 (3)
qz - 1
ρ·∂∂p
z = 0
Zapis wektorowy równania ( 1.1 ) ma postać
rF gradp= ⋅1
ρ (4)
Równanie ( 1.1 ) moŜna przekształcić do innej postaci
X = 1
ρ·∂p
dx /·dx
Y = 1
ρ·∂p
dy /·dy
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
14/32
Z = 1
ρ·∂p
dz /·dz
X·dx = 1
ρ·∂p
dx·dx
Y·dy = 1
ρ·∂p
dy·dy (5)
Z·dz = 1
ρ·∂p
dz·dz
Dodając stronami równania ( 1.4 ) otrzymamy
X·dx + Y·dy + Z·dz = 1
ρ·(
∂p
dx·dx +
∂p
dy·dy +
∂p
dz·dz)
gdzie P = f(x, y, z)
dp = ∂p
dx·dx +
∂p
dy·dy +
∂p
dz·dz
więc
X·dx + Y·dy + Z·dz = 1
ρ·dp (6)
Równanie ( 1.4 ) stanowi drugą postać równania hydrodynamiki Eulera. Dla powierzchni ekwipotencjalnej dp = 0 wówczas X·dx + Y·dy + Z·dz = 0 (7) Równanie ( 1.4 ) moŜna zapisać w układzie współrzędnych cylindrycznych
qr·dr + qϑ·r·dϑ + qz·dz = 1
ρ·dp (8)
Równanie powierzchni ekwipotencjalnej we współrzędnych cylindrycznych qr·dr + qϑ·dϑ + qz·dz = 0. (9)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
15/32
8. KINEMATYCZNY WARUNEK CI ĄGŁOŚCI RUCHU PŁYNU ŚCIŚLIW EGO W PRZEPŁYWACH NIEUSTALONYCH
Przyjmijmy kontrolną objętość dx.dy.dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa
strumień płynu ściśliwego o gęstości ρ. W przypadku ruchu ustalonego, strumień masy
wpływający do objętości (zgodnie z warunkiem stałości ilości materii) musi być równy
strumieniowi wypływającemu, rozpatrywanemu w tej samej jednostce czasu (zerowy
przyrost masy).
W układzie nie mogą występować chwilowe lokalne zagęszczenia lub rozrzedzenia masy
(lokalne kompresje i ekspansje) – zjawisko takie stanowi właściwość przepływów
nieustalonych.
Rys. 1. Strumienie wpływający i wypływający do objętości dx.dy.dz w kierunku x
(w celu zwiększenia czytelności rysunku strumienie na kierunkach y i z nie są opisane).
W przypadku ruchu ustalonego całkowity przyrost masy płynu przepływającego przez
powierzchnie ograniczające objętość kontrolną dx.dy.dz moŜna zapisać jako
( )
( )
( )
=
∂∂+−+
+
∂∂
+−+
+
∂∂+−
0dxdydtdzz
VVdxdydtV
dxdzdtdyy
VVdxdzdtV
dydzdtdxx
VVdydzdtV
zzz
yyy
xxx
ρρρ
ρρρ
ρρρ
. (1)
Po uproszczeniu otrzymamy
( ) ( ) ( )0=
∂∂+
∂∂
+∂
∂dxdydzdt
z
Vdxdydzdt
y
Vdxdydzdt
x
V zyx ρρρ, (2)
x
z
y
ρ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Vx dy dx dt
( )ρ
∂ ρ∂
∂⋅ +⋅
⋅
⋅ ⋅ ⋅Vx
Vx
xx dy dx dt
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
16/32
W przypadku przepływu nieustalonego, w obszarze objętości kontrolnej, w czasie dt,
mogą pojawić się zmiany gęstości wywołane ściśliwością płynu. Konsekwencją tego
będzie niezerowa wartość przyrostu masy w obszarze rozpatrywanej objętości kontrolnej.
Ustalając, Ŝe strumień masy wypływającej z objętości ma znak dodatni (podczas
ekspansji), zaś wpływającej znak ujemny (podczas kompresji), przyrost ten będzie równy
- t∂
∂ρdxdydzdt. Formuła (2) przyjmie wówczas postać
( ) ( ) ( )
dxdydzdtt
dxdydzdtz
Vdxdydzdt
y
Vdxdydzdt
x
V zyx
∂∂−=
∂∂+
∂∂
+∂
∂ ρρρρ. (3)
W odniesieniu do jednostki objętości i czasu otrzymamy
( ) ( ) ( )
tz
V
y
V
x
V zyx
∂∂−=
∂∂+
∂∂
+∂
∂ ρρρρ, (4)
Lewa strona powyŜszego wyraŜenia stanowi dywergencję strumienia masy Vs
ρ ,
równanie (4) moŜna więc zapisać wektorowo
( ) 0=+∂∂
Vdivt
rρρ
, (5)
lub w ogólnej postaci kartezjańskiej jako
( ) 0=∂∂+
∂∂
iVit
ρρ, gdzie i = x, y, z. (6)
Rozwijając dalej równanie (5) otrzymamy
( )
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
=++∂∂=+
∂∂
z
w
y
v
x
u
zw
yv
xu
t
VdivgradVt
Vdivt
ρρρρρ
ρρρρρ rrr
. (7)
Wobec tego, iŜ
t
xu
∂∂= ,
t
yv
∂∂= ,
t
zw
∂∂= , (8)
pierwsze cztery człony równania stanowią pochodną zupełną (substancjonalną) gęstości
względem czasu, a suma pochodnych cząstkowych w nawiasie – dywergencję wektora
prędkości, otrzymamy
0=+ Vdivdt
dp rρ . (9)
Jest to inna forma równania ciągłości w najogólniejszym przypadku ruchu nieustalonego
płynu ściśliwego.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
17/32
Przypadki równania ciągłości:
- ruch nieustalony płynu ściśliwego
( ) 0=+∂∂
Vdivt
rρρ
; (10)
- ruch ustalony płynu ściśliwego
( ) 0=Vdivr
ρ ; (11)
- ruch ustalony płynu nieściśliwego
0=Vdivr
. (12)
Warto zwrócić uwagę, iŜ warunek (12) oznacza niezmienność objętości.
Równanie ciągłości obowiązuje zarówno dla płynów nielepkich jak i lepkich.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
18/32
9. RÓWNANIE BERNOULIEGO RozwaŜmy przepływ przez kanał o zmiennym przekroju elementu płynu o stałej masie m
i objętości V. Przez c oznaczmy prędkość średnią elementu płynu.
Całkowita energia zawarta w płynie nie moŜe ulec zmianie, mamy więc constEEE cakowita === 21 . (1) W układzie jak na rysunku mamy trzy rodzaje energii:
- energię kinetyczną 2
2mc;
- energię potencjalną mgh; - energię ciśnienia pV .
Dla połoŜeń 1 i 2 moŜemy więc zapisać
Vpmghmc
Vpmghmc
22
22
11
21
22++=++ . (2)
Równanie (2) moŜna przekształcić do postaci
m
Vpgh
c
m
Vpgh
c 22
221
1
21
22++=++
a następnie
g
V
mp
hg
c
gV
mp
hg
c 22
221
1
21
22++=++ . (3)
Uwzględniając, Ŝe ρ=V
m a γρ =g otrzymamy
γγ
22
221
1
21
22
ph
g
cph
g
c++=++ (4)
lub ogólnie
.2
2
constp
hg
c =++γ
(5)
Wzór (5) stanowi najbardziej znaną postać równania Bernouliego.
c
c
h
h
p
p
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
19/32
10. RÓWNANIE NAVIERA-STOCKES’A
Przyjmijmy kontrolną objętość dx.dy.dz w układzie kartezjańskim, przez którą przepływa
strumień płynu ściśliwego o gęstości ρ i lepkości µ.
z
x
y
P
P
P
PP
xdx+ ⋅∂
∂
PP
ydy+ ⋅∂
∂
PP
zdz+ ⋅∂
∂
Fx
Fy
Fz
Bx
By
Bz
Na element płynu działają następujące siły:
1. Siły wywołane ciśnieniem
Px = dxdydzx
pdydzdx
x
ppp
∂∂−=
∂∂−−
Py = dxdydzy
pdxdzdy
y
ppp
∂∂−=
∂∂−− (1)
Pz = dxdydzz
pdxdydz
z
ppp
∂∂−=
∂∂−−
2. Siły masowe
dxdydzXXdmFx ρ==
dxdydzYYdmFy ρ== (2)
dxdydzZZdmFz ρ==
3. Siły bezwładności – przy załoŜeniu, Ŝe element porusza się zgodnie z kierunkami osi
układu, wartość sił bezwładności będą miały znak ujemny
Bx = dxdydzdt
dVxdm
dt
dVx ρ−=−
By = dxdydzdt
dVydm
dt
dVy ρ−=− (3)
Bz = dxdydzdt
dVzdm
dt
dVz ρ−=−
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
20/32
4. Siły styczne – w znakowaniu pierwszy symbol oznacza oś, do której jest prostopadły
dany element powierzchni, drugi zaś kierunek składowej napręŜeń
dxdydzz
dxdzdyy
dydzdxx
ppp zx
zxzxyx
yxyxxx
xxxx
∂∂
++−+
∂∂
++−+
∂∂
−−τττ
τττ
dxdydzz
dxdzdyy
pppdydzdx
xzy
zyzyyy
yyyyxy
xyxy
∂∂
++−+
∂∂
−−+
∂∂
++−τ
τττ
ττ (4)
dxdydzz
pppdxdzdy
ydydzdx
xzz
zzzzyz
yzyzxz
xzxz
∂∂
−−−+
∂∂
++−+
∂∂
++−τ
τττττ
po uproszczeniu
dxdydzzyx
p zxyxxx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−ττ
dxdydzzy
p
xzyyyxy
∂∂
+∂
∂−
∂∂ ττ
(5)
dxdydzz
p
yxzzyzxz
∂∂
−∂
∂+
∂∂ ττ
Aby element płynu był w równowadze
ixP∑ = Px + Fx + Bx = 0
iyP∑ = Py + Fy + By = 0 (6)
izP∑ = Pz + Fz + Bz = 0
więc
dxdydzx
p
∂∂− + dxdydzXρ - dxdydz
dt
dVxρ + dxdydzzyx
p zxyxxx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−ττ
= 0
dxdydzy
p
∂∂− + dxdydzYρ - dxdydz
dt
dVyρ + dxdydzzy
p
xzyyyxy
∂∂
+∂
∂−
∂∂ ττ
= 0 (7)
dxdydzz
p
∂∂− + dxdydzZρ - dxdydz
dt
dVzρ + dxdydzz
p
yxzzyzxz
∂∂
−∂
∂+
∂∂ ττ
= 0
PoniewaŜ wektor ( )tzyxVV ,,,rr
= , to kaŜda ze składowych wektora Vr
teŜ jest funkcją tych
samych zmiennych:
( )tzyxVV xx ,,,rr
= , ( )tzyxVV yy ,,,rr
= , ( )tzyxVV zz ,,,rr
= (8)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
21/32
Funkcje te są ciągłe i róŜniczkowalne, moŜna więc róŜniczkę zupełną przedstawić w
postaci sumy róŜniczek cząstkowych:
dzz
Vdy
y
Vdx
x
Vdt
t
VdV xxxx
x ∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
dzz
Vdy
y
Vdx
x
Vdt
t
VdV yyyy
y ∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂= (9)
dzz
Vdy
y
Vdx
x
Vdt
t
VdV zzzz
z ∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
lub (po podzieleniu przez dt)
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
dV xxxxx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
dV yyyyy
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂= (9)
dt
dz
z
V
dt
dy
y
V
dt
dx
x
V
t
V
dt
dV zzzzz
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
PoniewaŜ
xVdt
dx = , yVdt
dy = , zVdt
dz = (10)
więc
zx
yx
xxxx V
z
VV
y
VV
x
V
t
V
dt
dV
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
zy
yy
xyyy V
z
VV
y
VV
x
V
t
V
dt
dV
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂= (11)
zz
yz
xzzz V
z
VV
y
VV
x
V
t
V
dt
dV
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂=
Wzór (11) przedstawia tzw. pochodne zupełne (substancjonalne) eulerowskiej metody
analizy lokalnej, składające się z dwu części: pochodnej lokalnej reprezentującej zmiany,
jakie zachodzą z upływem czasu dt w danym punkcie pola prędkości (w przepływach
ustalonych pochodna ta jest równa zeru) oraz pochodnej konwekcyjnej, obrazującej
zmiany, jakie zachodzą przy przesunięciu w czasie dt elementu płynu z punktu x, y, z do
nieskończenie blisko połoŜonego punktu x+dx, y+dy, z+dz.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
22/32
ZaleŜność (11) podstawiamy do równania (7)
dxdydzx
p
∂∂− + dxdydzXρ +
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−∂
∂− z
xy
xx
xx Vz
VV
y
VV
x
V
t
Vdxdydzρ +
dxdydzzyx
p zxyxxx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−ττ
=0
dxdydzy
p
∂∂− + dxdydzYρ +
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−∂
∂− z
yy
yx
yy Vz
VV
y
VV
x
V
t
Vdxdydzρ +
dxdydzzy
p
xzyyyxy
∂∂
+∂
∂−
∂∂ ττ
= 0
dxdydzz
p
∂∂− + dxdydzZρ +
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−∂
∂− z
zy
zx
zz Vz
VV
y
VV
x
V
t
Vdxdydzρ +
dxdydzz
p
yxzzyzxz
∂∂
−∂
∂+
∂∂ ττ
= 0
Po odniesieniu do jednostki objętości (dzieląc przez dxdydz) otrzymamy
x
p
∂∂− + ρX ρρρρ z
xy
xx
xx Vz
VV
y
VV
x
V
t
V
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−∂
∂− +
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−zyx
p zxyxxx ττ= 0
y
p
∂∂− + ρY ρρρρ z
yy
yx
yy Vz
VV
y
VV
x
V
t
V
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−∂
∂− +
∂∂
+∂
∂−
∂∂
zy
p
xzyyyxy ττ
= 0
(13)
z
p
∂∂− + ρZ ρρρρ z
zy
zx
zz Vz
VV
y
VV
x
V
t
V
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−∂
∂− +
∂∂
−∂
∂+
∂∂
z
p
yxzzyzxz
ττ= 0
lub przekształcając (przenosząc i dzieląc przez (–1))
ρρρρ zx
yx
xxx V
z
VV
y
VV
x
V
t
V
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂x
p
∂∂+ =
zyx
p zxyxxx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−ττ
+ ρX
ρρρρ zy
yy
xyy
Vz
VV
y
VV
x
V
t
V
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂y
p
∂∂+ =
zy
p
xzyyyxy
∂∂
+∂
∂−
∂∂ ττ
+ ρY
(14)
ρρρρ zz
yz
xzz V
z
VV
y
VV
x
V
t
V
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂z
p
∂∂+ =
z
p
yxzzyzxz
∂∂−
∂∂
+∂
∂ ττ + ρZ
Dla płynu ściśliwego gęstość ρ nie jest stałe, musi więc wejść pod znak róŜniczki
( ) ( ) ( ) ( )z
VV
y
VV
x
VV
t
V zxyxxxx
∂∂+
∂∂
+∂
∂+∂
∂ ρρρρx
p
∂∂+ =
zyx
p zxyxxx
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−ττ
+ ρX
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
23/32
( ) ( ) ( ) ( )z
VV
y
VV
x
VV
t
V zyyyxyy
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂ ρρρρy
p
∂∂+ =
zy
p
xzyyyxy
∂∂
+∂
∂−
∂∂ ττ
+ ρY
(15)
( ) ( ) ( ) ( )z
VV
y
VV
x
VV
t
V zzyzxzz
∂∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂ ρρρρ
z
p
∂∂+ =
z
p
yxzzyzxz
∂∂
−∂
∂+
∂∂ ττ
+ ρZ
Przyjmując odpowiednio, Ŝe
X = bx, Y = by, Z = bz (16)
oraz
pxx = τxx, pyy = τyy, pzz = τzz (17)
powyŜsze równania moŜna zapisać symbolicznie w postaci skróconej
ic
ijijjii bj
pVVj
Vt
ρτδρρ +∂∂=+
∂∂+
∂∂
)()()( (18)
gdzie i, j = x, y, z (dla jednego równania i jest stałe, zaś j przyjmuje wartości x, y, z).
W postaci wektorowej równanie (16) przyjmie postać
bdiv)IpVVdiv(Vt
cakowiterttrrr
ρτρρ∂∂ +=+⊗+ )()( . (19)
MoŜna wykazać, Ŝe w istocie stan napięcia w kaŜdym punkcie przestrzeni wypełnionej
płynem lepkim określony jest liczbową wartością, nie dziewięciu, a sześciu napręŜeń.
Równanie momentów względem osi x ma następującą postać (kierunek dodatni od osi y
do z)
02
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
=
∂∂
+−+
∂∂+−
−
∂∂
++−
∂∂
++
+
∂∂
++−
∂∂
+−
dxdydzdzz
dydxdypdydxdydzz
pp
dxdzdydyy
dzdxdzpdzdxdzdyy
pp
dydydzdxx
dydydzdzdydzdxx
dzdydz
zyzyzz
zzzz
yzyzyy
yyyy
xzxzxz
xyxyxy
ττ
ττ
ττττ
ττ
(20)
Po uproszczeniu i pominięciu małych czwartego rzędu
( ) 0=− dxdydzzyyz ττ
skąd
0=− zyyz ττ . (21)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
24/32
Podobnie
0=− xzzx ττ ,
0=− yxxy ττ .
Tak więc napręŜenia styczne zbieŜne na tej samej krawędzi są sobie równe (istnieje
symetria napręŜeń stycznych).
Podstawowym załoŜeniem, pozwalającym związać ilościowo stan napręŜeń
powierzchniowych z polem prędkości, jest załoŜenie proporcjonalności tych napręŜeń do
odkształceń. Wzór podany przez Newtona na napręŜenie styczne w przypadku przepływu
płaskiego stanowi najprostsze sformułowanie tego załoŜenia
n
V
∂∂= µτ . (22)
Współczynnik proporcjonalności µ wskazuje, jak duŜy będzie przyrost prędkości na
kierunku n, w jednostce czasu dt, w warstwach płynu oddalonych od siebie o odległość
dn (rys. 1.).
Rys. 1. Odkształcenie kątowe elementu płynu.
Wartość n
V
∂∂
stanowi prędkość odkształcenia kątowego elementu dnds. NapręŜenia
powierzchniowe styczne mogą wystąpić tylko w przypadku odkształceń kątowych
elementu płynu.
dnn
VV
∂∂+
dndtn
V
∂∂
V s
n
ds
d dtn
V
∂∂
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
25/32
Rys. 2. Odkształcenia elementu płynu w układzie kartezjańskim na ściance dxdy.
W układzie kartezjańskim zaleŜności te przyjmą następującą formę (rys. 2):
∂∂+
∂∂==
∂∂
+∂∂==
∂∂+
∂∂
==
x
V
z
V
z
V
y
V
y
V
x
V
zxxzzx
yzzyyz
xyyxxy
µττ
µττ
µττ
, (23)
według której moŜna obliczyć pochodne cząstkowe poszczególnych składowych
napręŜeń
∂∂∂+
∂∂∂=
∂∂
∂∂∂+
∂∂∂
=∂
∂
∂∂∂+
∂∂∂
=∂
∂
xz
V
xx
V
x
zy
V
zz
V
z
xy
V
xx
V
x
xzxz
zyzy
xyxy
22
22
22
µτ
µτ
µτ
,
∂∂∂+
∂∂∂=
∂∂
∂∂∂
+∂∂
∂=∂
∂
∂∂∂
+∂∂
∂=∂
∂
zx
V
zz
V
z
yz
V
yy
V
y
yx
V
yy
V
y
zxzx
yzyz
yxyx
22
22
22
µτ
µτ
µτ
. (24)
Do dalszych rozwaŜań wykorzystane będzie równanie (14) z uwzględnieniem warunku
(17)
dty
Vd x
∂∂=β
dtx
Vd y
∂∂
=α x
y
ττττy
ττττx
ττττyx+dττττy
ττττxy+dττττx
y
V
x
V
dt
dd xy
∂∂+
∂∂
=+ βα
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
26/32
+∂
∂−∂
∂+
∂∂
=∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−∂
∂=
∂∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂−=
∂∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+∂
∂
ρττρρρρ
ρττ
ρρρρ
ρττρρρρ
Zz
p
yxz
pV
z
VV
y
VV
x
V
t
V
Yzy
p
xy
pV
z
VV
y
VV
x
V
t
V
Xzyx
p
x
pV
z
VV
y
VV
x
V
t
V
zzyzxzz
zy
zx
zz
zyyyxyz
yy
yx
yy
zxyxxxz
xy
xx
xx
(25)
lub krócej jako
∂∂−
∂∂
+∂
∂+=
∂∂+
∂∂
+∂
∂−
∂∂
+=∂∂+
∂∂
+∂
∂+
∂∂
−=∂∂+
z
p
yxZ
z
p
dt
dV
zy
p
xY
y
p
dt
dV
zyx
pX
x
p
dt
dV
zzyzxzz
zyyyxyy
zxyxxxx
ττρρ
ττρρ
ττρρ
(26)
Po podstawieniu odpowiednich róŜniczek cząstkowych wg zaleŜności (24) otrzymamy
∂∂
−
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
∂+=
∂∂+
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
−
∂∂∂
+∂∂
∂+=
∂∂+
∂∂∂+
∂∂∂
+
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
−=∂∂+
z
p
yz
V
yy
V
xz
V
xx
VZ
z
p
dt
dV
zy
V
zz
V
y
p
xy
V
xx
VY
y
p
dt
dV
zx
V
zz
V
yx
V
yy
V
x
pX
x
p
dt
dV
zzyzxzz
zyyyxyy
zxyxxxx
2222
2222
2222
µµρρ
µµρρ
µµρρ
Po przekształceniach
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
−=∂∂+
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
−=∂∂+
∂∂∂+
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
+∂
∂−=
∂∂+
yz
V
yy
V
xz
V
xx
V
z
pZ
z
p
dt
dV
zy
V
zz
V
xy
V
xx
V
y
pY
y
p
dt
dV
zx
V
zz
V
yx
V
yy
V
x
pX
x
p
dt
dV
yzxzzzz
zyxyyyy
zxyxxxx
2222
2222
2222
µρρ
µρρ
µρρ
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
27/32
11. RUCH ELEMENTU PŁYNU
Rozpatrzmy element płynu pozostający w ruchu, jak poglądowo pokazuje to rysunek.
Sytuacja pokazana jest w chwili ustalonej t0. Stąd wewnątrz elementu odległości od
punktu 0 (dowolnie obrany punkt) oznaczone będą symbolem r∂ . Punkt 0 nazwiemy
biegunem. Punkt A jest dowolnym punktem wewnątrz elementu, róŜnym od bieguna.
Mamy więc relację:
rrrA ∂+= 0 . (1)
JeŜeli powyŜszy związek zróŜniczkujemy względem czasu, to otrzymamy
( )dt
rd
dt
dr
dt
drA ∂+= 0 (2)
Relację tę moŜna zapisać
( )dt
rduuA
∂+= 0 (3)
Z drugiej strony, wektor prędkości w punkcie A moŜe być zapisany jako
uuuA ∂+= 0 . (4)
Stąd wynika, iŜ
( )
udt
rd∂=
∂. (5)
Związek między wektorami ∂u i ∂r moŜna zapisać jako
rr
uu ∂
∂∂=∂ . (6)
Podstawiając powyŜszą zaleŜność do wzoru (4) otrzymamy
rr
uuuA ∂
∂∂+= 0 (7)
∂u
u0
u0
r0
rA
0
A
∂r
uA
t0
x
y
z
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
28/32
Tensor ∂u/∂r moŜna przedstawić w postaci dwóch tensorów – symetrycznego D
i niesymetrycznego A - poprzez następujące przekształcenie:
+∂∂+
−∂∂=
∂∂
gradur
ugradu
r
u
r
u
2
1
2
1 (8)
lub
DAr
u +=∂∂
(9)
gdzie
−∂∂= gradur
uA
2
1 (10)
+∂∂= gradur
uD
2
1 (11)
PoniewaŜ
ukujuiu ∂+∂+∂=∂ , (12)
zkyjxir ∂+∂+∂=∂ .
mamy więc
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
z
u
y
u
x
uz
u
y
u
x
uz
u
y
u
x
u
r
u
zzz
yyy
xxx
(13)
Gradient u moŜna otrzymać jako wynik iloczynu diadycznego gradientu i wektora u:
( )kujuiukz
jy
ix
gradu zyx ++
∂∂+
∂∂+
∂∂= , (14)
skąd po wykonaniu działań otrzymamy
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
z
u
z
u
z
uy
u
y
u
y
ux
u
x
u
x
u
gradu
zyx
zyx
zyx
. (15)
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
29/32
Na podstawie wzorów (12) i (15) moŜna obliczyć składowe tensorów A i D:
∂∂
−∂
∂
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−∂
∂
∂∂−
∂∂
∂∂
−∂
∂−
=
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
z
u
y
u
x
u
z
u
z
u
y
u
y
u
x
ux
u
z
u
y
u
x
u
A
yzzx
yzxy
zxxy
(16)
∂∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂+
∂∂
∂∂
+∂
∂∂
∂
=
z
u
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
z
u
y
u
x
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
x
u
D
zzyzx
zyyyx
zxyxx
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
(17)
Po uwzględnieniu rozbicia tensora ∂u/∂r wzór (7) otrzyma ostateczną postać
rDrAuuA ∂+∂+= 000 (18)
gdzie wszystkie pochodne w tensorach A i D są wyznaczane dla punktu 0, co zostało
oznaczone indeksami A0 i D0.
Wzór (18) stanowi zapis pierwszego twierdzeniu Helmholtza, które mówi, Ŝe prędkość
dowolnego punktu elementu płynu składa się z trzech prędkości:
- prędkości postępowej punktu obranego za biegun u0;
- prędkości obrotowej dookoła osi przechodzącej przez biegun z prędkością kątową
ω0, której wektor wyznacza oś obrotu;
- prędkości deformacji elementu płynu D0∂r.
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
30/32
Składowe tensora A stanowią wartości prędkości kątowych ω względem osi x, y, z
−−
−=
0
0
0
xy
xz
yz
A
ϖϖϖωωϖ
Tensor deformacji D moŜna rozłoŜyć na dwa tensory – tensor deformacji liniowych oraz
tensor deformacji kątowych:
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂
+∂
∂
∂∂+
∂∂
∂∂
+∂
∂
+
∂∂
∂∂
∂∂
=
02
1
2
1
2
10
2
1
2
1
2
10
00
00
00
y
u
z
u
x
u
z
u
y
u
z
u
x
u
y
u
x
u
z
u
x
u
y
u
z
uy
ux
u
D
zyzx
zyyx
zxyx
z
y
x
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
31/32
12. GRADIENT SKALARA
W polu skalarnym L = F(x,y,z,t), w załoŜeniu, Ŝe funkcja F jest ciągła i mająca pochodną
we wszystkich punktach pola, istnieją zawsze pewne powierzchnie (dla pola ustalonego
zawsze te same, dla pola nieustalonego – w danej chwili t) określone równaniem L =
F(x,y,z) = const, na których wartość danego skalara jest stała. Mogą to być powierzchnie
równych ciśnień, temperatur, gęstości, itd.
Istnieje pewna wielkość stanowiąca nowe pole, zaleŜne od danego pola skalarnego,
charakteryzująca zmienność skalara przy przejściu od jednej powierzchni stałej jego
wartości L = C1 do sąsiedniej L = C2.
Najkrótszą drogą przejścia od pewnego punktu A powierzchni L = C1 do powierzchni L
= C2 jest odcinek normalnej nr, poprowadzonej w punkcie A, zawarty między tymi
dwiema powierzchniami. WyraŜenie
dn
dL
AB
CC
AB
=−
→
12
)lim (1)
określa wielkość zwaną gradientem skalara. Gradient skalara jest wektorem, którego
kierunek w kaŜdym punkcie określa orientację elementu powierzchni L = const
obejmującego dany punkt. Wektor ten jest skierowany zgodnie z normalną
odpowiedniego elementu powierzchni L = const. Dodatni zwrot gradientu skalara
przyjmuje się zazwyczaj w stronę rosnących wartości skalara.
A
B
dn
L = C1
L = C2 C
ds
β
Wybrane zagadnienia z Mechaniki Płynów
32/32
Nowy wektor oznaczmy literą G
ndn
dFzyxgradFn
dn
dLgradLG
rrr==== ),,( (2)
Wartość pochodnej dn
dF
dn
dL = stanowi tutaj moduł gradientu G.
W polu ustalonym lub w danej chwili t w polu nieustalonym
dzz
Fdy
y
Fdx
x
FdFdL
∂∂+
∂∂+
∂∂== . (3)
JeŜeli dx, dy, dz oznaczają składowe dowolnego przesunięcia ds z danej powierzchni
L = C1 do powierzchni L = C2 (na przykład od punktu A do C, jeŜeli AC → 0), to
βcosds
dL
dn
dLG == (4)
skąd
βcosGds
dL = , (5)
βcosGdsdL = . (6)
Wzory (4-6) dowodzą, Ŝe róŜnica wartości pomiędzy dwiema powierzchniami o stałej
wartości pola L, nie zaleŜy od połoŜenia punktów na tych powierzchniach, a tylko od
odległości tych powierzchni.