podstawy mechaniki pękania

POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Kociuszki

JANUSZ GERMAN

PODSTAWY

MECHANIKI PKANIA

Krakw 2011

Janusz German: Podstawy mechaniki pkania 3

SPIS TRECI

WANIEJSZE OZNACZENIA 7

OD AUTORA 11

1 WPROWADZENIE 13

2 POLE NAPRE W LINIOWO SPRYSTYM ORODKU ZE SZCZELIN 23

2.1 Podstawowe rwnania teorii sprystoci 23

2.2 Podstawy rachunku zmiennych zespolonych 26

2.3 Funkcja napre dla dwuwymiarowych zagadnie teorii sprystoci 28

2.4 Zastosowanie funkcji napre westergaarda do analizy stanu naprenia i przemieszcze w pobliu wierzchoka szczeliny 33

2.4.1 Szczelina w I typie obcienia w pamie nieskoczonym. 33

2.4.2 Szczelina w II typie obcienia w pamie nieskoczonym. 39

2.4.3 Szczelina w III typie obcienia w pamie nieskoczonym. 40

2.5 Funkcje napre i wspczynniki intensywnoci napre dla rnych przypadkw szczelin w i typie obcienia 41

2.6 Wpyw skoczonych wymiarw ciaa na wartoci wspczynnikw intensywnoci napre 47

2.7 Wykorzystanie zasady superpozycji do wyznaczania wspczynnikw intensywnoci napre. 50

2.8 Szczeliny eliptyczne i koowe 53

2.9 Przykady 56

3 UPLASTYCZNIENIE W POBLIU WIERZCHOKA SZCZELINY 77

3.1 Sprysto-plastyczne pole napre w pobliu wierzchoka szczeliny 77

3.1.1 Model Irwina 78

3.1.2 Efektywny wspczynnik intensywnoci napre 81

3.1.3 Model Dugdalea 83

4 Spis treci

3.2 Ksztat stref plastycznych 87

3.2.1 Grubo ciaa, a ksztat strefy plastycznej 91

3.3 Przykady 96

4 ENERGETYCZNY OPIS SZCZELINY 105

4.1 Bilans energetyczny ciaa ze szczelin 105

4.1.1 Energia dla ciaa sprysto-kruchego - teoria Griffitha 107

4.1.2 Warunek staych uchwytw 108

4.1.3 Warunek staej siy 109

4.1.4 Oglna zaleno sia-przemieszczenie 111

4.1.5 Obcienie krytyczne 113

4.1.6 Obcienie krytyczne dla materiaw quasi-kruchych 115

4.2 Zwizek prdkoci uwalniania energii ze wspczynnikiem intensywnoci napre 116

4.3 Podatno ciaa ze szczelin 120

5 SIOWE KRYTERIUM PKANIA 125

5.1 Obcienie krytyczne 125

5.2 Zaleno parametru Kc od gruboci ciaa 126

5.2.1 Analiza ilociowa wpywu gruboci na odporno na pkanie 130

5.3 Wyznaczanie odpornoci na pkanie w paskim stanie odksztacenia 136

5.3.1 Prbki testowe 137

5.3.2 Przygotowanie prbek do bada 139

5.3.3 Procedura przeprowadzenia prby 141

5.3.4 Wyznaczanie wartoci K I c z wykresu P - u 141

5.3.5 Uwagi kocowe 143

5.4 Wyznaczanie odpornoci na pkanie w paskim stanie naprenia i zakresie przejciowym 145

5.4.1 Metoda Federsena 147

5.4.2 Metoda krzywych R 151

5.5 Przykady 158

6 KRYTERIA PKANIA W ZAKRESIE SPRYSTO- PLASTYCZNYM 161

6.1 Koncepcja caki J 161

6.1.1 Podstawy teoretyczne 161

6.1.2 Definicja caki J 163

6.1.3 Caka J dla ciaa ze szczelin 165


6.1.4 Energetyczna interpretacja caki J 166

6.1.5 Caka J jako charakterystyka pola napre w orodku nieliniowo sprystym ze szczelin 169

6.1.6 Zwizek caki J z rozwarciem w wierzchoku szczeliny 171

6.1.7 Caka J w warunkach staych uchwytw i staego obcienia 173

6.1.8 Caka J jako miara odpornoci materiau na pkanie 175

6.2 Dowiadczalne wyznaczanie caki J oraz JIc 178

6.2.1 Dowiadczalne wyznaczanie caki J metod wielu prbek. 178

6.2.2 Dowiadczalne wyznaczanie caki J metod jednej prbki 180

6.2.3 Metoda normowa wyznaczania caki J i JIc 184

6.3 Kryterium pkania oparte na krytycznym rozwarciu szczeliny 186

6.3.1 Podstawy teoretyczne 186

6.3.2 Teoretyczna krzywa COD 188

6.3.3 Podstawowe informacje nt. normowej prby wyznaczania rozwarcia krytycznego 191

7 WZROST SZCZELIN ZMCZENIOWYCH 195

7.1 Szczelina zmczeniowa przy obcieniu cyklicznym o staej amplitudzie 197

7.1.1 Krzywa prdkoci wzrostu szczeliny zmczeniowej 199

7.1.2 Rwnania prdkoci propagacji szczeliny zmczeniowej 205

7.1.3 Czas ycia elementu ze szczelin zmczeniow 210

7.2 Szczelina zmczeniowa przy obcieniu cyklicznym o zmiennej amplitudzie 212

7.3 Wpyw rodowiska na proces pkania 216

7.4 Przykady 219

CYTOWANE PRACE 247


WANIEJSZE OZNACZENIA

A powierzchnia szczeliny

B, b, W, S wymiary prbek

c, c* stae materiaowe zalene od PSN i PSO

COD przemieszczenie rozwarcie szczeliny

CT prbka kompaktowa (compact tension specimen)

CTOD efektywne rozwarcie w wierzchoku szczeliny pierwotnej

E modu sprystoci (modu Younga)

E prdko zmian energii wewntrznej ciaa

G prdko uwalniania energii

G modu cinania (modu Kirchhoffa)

J caka Ricea

JIc krytyczna warto caki J

KI, KII, KIII wspczynniki intensywnoci napre dla I, II i III typu szczeliny

K I c odporno materiau na pkanie w warunkach paskiego stanu odksztacenia

K prdko zmian energii kinetycznej ciaa

IK efektywny wspczynnik intensywnoci napre w modelu Irwina

L moc obcienia zewntrznego

L dugo szczeliny fikcyjnej w modelu Dugdalea

l, a dugo szczeliny

lef efektywna dugo szczeliny zastpczej Irwina

lkr krytyczna dugo szczeliny dla danego obcienia

M moment zginajcy

mF, CF stae w rwnaniu Formana

mp, Cp stae w rwnaniu Parisa

8 Waniejsze oznaczenia

N liczba cykli w prbie zmczenia

Nf liczba cykli do zniszczenia elementu (czas ycia elementu)

P sia skupiona obciajca prbk

PSN paski stan naprenia

PSO paski stan odksztacenia

R wspczynnik asymetrii cyklu zmczeniowego

Rc odpornoci na pkanie

Re granica plastycznoci

rp dugo strefy plastycznej w pobliu wierzchoka szczeliny

SENB prbka do trjpunktowego zginania (single edge notched bend specimen)

T wektor si powierzchniowych

Ue energia odksztacenia sprystego

Up praca odksztace plastycznych

ui wsprzdne wektora przemieszczenia

W energia powierzchniowa

WIN wspczynnik intensywnoci napre

zakres zmiennoci naprenia w prbie zmczenia

pierwsze przyblienie dugoci strefy plastycznej w modelu Irwina

c, u, i, m rozwarcia szczeliny w normowej prbie wyznaczania krytycznej

wartoci COD

t efektywne rozwarcie w wierzchoku szczeliny pierwotnej

te, tp cz spryst i plastyczna rozwarcia w wierzchoku szczeliny w

normowej prbie wyznaczania krytycznej wartoci COD

ij, skadowe stanu odksztacenia

o, o, , n stae materiaowe w rwnaniu Ramberga-Osgooda

kontur ograniczajcy obszar ciaa w definicji caki J

gsto energii powierzchniowej (napicie powierzchniowe)

gsto energii wewntrznej w cace J

A funkcja napre Airy'ego

e caka eliptyczna drugiego rodzaju


I zespolona funkcja napre Westergaarda

poprawka dugoci strefy plastycznej w modelu Irwina

wspczynnik Poissona

energia potencjalna ciaa przy nieskoczenie maym przyrocie dugoci szczeliny

ij skadowe stanu naprenia

k r obcienie krytyczne dla danej dugoci szczeliny

ys granica plastycznoci

, r wsprzdne biegunowe w ukadzie o pocztku umieszczonym w wierzchoku szczeliny


Moim dzieciom

OD AUTORA

Wiele osb uwaa, e tradycyjny w wyszych szkoach technicznych przedmiot pod nazw wytrzymao materiaw to dyscyplina z zamierzchej epoki, a jej rozwj zakoczy si wraz z kocem XIX wieku. I rzeczywicie, jeli poprzesta na tym, co zaproponowali autorzy obowizujcego od 2007 roku standardu ksztacenia dla budownictwa, trudno z takim pogldem si nie zgodzi. Jest jednak i inne spojrzenie na wytrzymao materiaw, a mianowicie takie, w ktrym dostrzega si nowsze osignicia w tym zakresie. Mechanika kompozytw, mechanika uszkodze, mechanika pkania i in. dziay nauk technicznych s w istocie czci wytrzymaoci, cho stanowi obecnie dobrze rozwinite i w peni uksztatowane, autonomiczne dyscypliny. Nadal s take intensywnie rozwijane, cho nie wszdzie w rwnie dobrym stopniu.

Rozwj nauki zawsze stanowi i stanowi asumpt do rozwijania take dydaktyki w danym obszarze. Nie inaczej jest z mechanik pkania. W wielu krajach stanowi ona obecnie standardowy przedmiot, traktowany na rwni z klasyczn wytrzymaoci materiaw. W Polsce sytuacja jest inna jedynie nieliczne wydziay politechniczne maja w swoich programach ten przedmiot, w kilku innych wybrane zagadnienia pkania wchodz w zakres wytrzymaoci materiaw.

Podstawowymi motywami, ktre skoniy Autora do napisania tego podrcznika byy: jego gbokie przekonanie o koniecznoci poszerzenia wiedzy studentw o podstawy mechaniki pkania, ograniczony dostp do odpowiedniej literatury polskojzycznej, a take ch autora uporzdkowania notatek czynionych od wielu lat i udostpnienie ich w formie podrcznika studentom i wszystkim zainteresowanym poruszon w nim tematyk. Warto w tym miejscu wspomnie, e pierwsza i jak dotd jedyna polskojzyczna obszerna monografia dotyczca mechaniki pkania, autorstwa A. Neimitza, zostaa wydana dopiero w 1998 roku. Liczba polskich skryptw, a take podrcznikw jest bardzo skromna i dalece niewystarczajca. Pewien wkad w ten dorobek ma rwnie Autor, ktry wyda kilka lat temu wraz z dr M. Biel-Goask ksik pt. Podstawy i zastosowanie mechaniki pkania w zagadnieniach inynierskich. Obecna praca Autora jest

12 Od Autora

znacznie rozszerzon wersj poprzedniej, w tej czci, ktra bya jego wycznego autorstwa.

Niniejszy podrcznik stanowi w pewnej mierze odzwierciedlenie wykadu z mechaniki pkania, prowadzonego na Wydziale Inynierii Ldowej Politechniki Krakowskiej na niestety - nieistniejcej ju specjalnoci Mechanika Komputerowa. Obecnie mechanika pkania wczana jest do programu studiw w ramach wytrzymaoci materiaw na obu stopniach studiw, cho w bardzo ograniczonym wymiarze. Autor wyraa jednak nadziej, e w niezbyt odlegej przyszoci ten stan si poprawi i mechanika pkania, jeeli nie jako oddzielny przedmiot, to z pewnoci jako integralna cz wykadu z wytrzymaoci materiaw bdzie przybliana studentom, zwaszcza na drugim, magisterskim stopniu studiw.

Jakkolwiek podrcznik jest przeznaczony dla studentw, to zdaniem autora moe on by przydatny take dla innych osb, ktre w swej praktyce zetkn si z zagadnieniami pkania, a nie dysponuj odpowiedni wiedz na ich temat, bowiem jego zawarto pozwala na podjcie samodzielnych studiw w tym zakresie.

Powstanie niniejszej pracy nie byoby moliwe, gdyby nie tradycja w zakresie publikowania skryptw i podrcznikw, jaka od wielu lat obowizuje w Zakadzie (kiedy Katedrze) Wytrzymaoci Materiaw Wydziau Inynierii Ldowej Politechniki Krakowskiej. Rozpocz j wieloletni szef Katedry prof. S. Piechnik piszc znakomite podrczniki wytrzymaoci materiaw i teorii prtw cienkociennych, a kontynuowali prof. M. Chrzanowski wraz ze wsppracowni-kami (nowoczesne podrczniki nt. reologii cia staych), nieyjcy ju dr A. Bodnar (doskonay podrcznik wytrzymaoci materiaw), a take Autor niniejszej pracy, ktry opublikowa obszerny skrypt powicony mechanice kompozytw wknistych. Mam nadziej, e podrcznik przekazany wanie do dyspozycji czytelnikw bdzie stanowi kontynuacj tego cyklu wydawniczego, ktrego celem jest stworzenie bazy wiedzy dotyczcej wytrzymaoci materiaw, ktr absolwenci politechniki bd mogli wykorzysta w przyszej praktyce inynierskiej.

Z nadziej na yczliwy odbir ksiki

Autor

Krakw, padziernik 2010

ROZDZIA 1

1 WPROWADZENIE

Podstawowym zadaniem inynierii jest ocena zdolnoci konstrukcji do przenoszenia obcie. Nie jest ona moliwa bez znajomoci charakterystyk wytrzymaociowych materiau, z ktrego konstrukcja jest wykonana. Mog one by wyznaczone dowiadczalnie lub okrelone na podstawie analizy budowy wewntrznej materiau. Pierwszy z tych sposobw jest podejciem czysto empirycznym, a wic i obarczonym bdami zwizanymi z warunkami w jakich przeprowadzany jest eksperyment. Mimo to jest to sposb stosowany najczciej przede wszystkim ze wzgldu na stosunkowo proste sposoby okrelania charakterystyk wytrzymaociowych, za bdy pomiarowe mona zminimalizowa poprzez odpowiedni obrbk statystyczna wynikw dowiadczalnych.

Drugi sposb wydaje si by bardziej "naukowy" i jest zazwyczaj niezwykle mudny, jeli wemiemy pod uwag ca zoono budowy materii. Moe on jednak dawa oglny pogld na charakterystyki materiau bdce przedmiotem zainteresowania. Niech za prosty przykad posuy tu analiza si pomidzy dwoma tylko atomami (Rys. 1.1) przytoczona za [1.2].

Rys. 1.1. Rwnowaga ukadu dwch atomw

a.

Fr Fa Fr Fa

so

Fr Fa F Fr Fa F

s=so+ b.

14 Wprowadzenie

Na taki ukad atomw dziaaj zarwno siy przycigajce Fa i odpychajce Fr , ktre malej wraz ze wzrostem odlegoci midzy atomami:

aa n

CF

s r

r m

CF

s (1.1)

przy czym m >n (typowe wartoci to: n =5, m =10). W pooeniu rwnowagi (Rys. 1.1a) mamy s =so i Fa =Fr skd otrzymujemy zaleno:

1

r m no

a

Cs

C

(1.2)

Jeli ukad ten obciymy ukadem dwu si F (Rys. 1.1b) to z warunku rwnowagi si, tzn. F = Fa Fr i po wykorzystaniu (1.1) i (1.2) otrzymamy:

n m

a o o

n

o

C s sF

s s s

(1.3)

Wprowadzajc oznaczenie:

os s

mamy:

1 1

n m

a

n

o o o

CF

s s s

(1.4)

Wykres zalenoci F - pokazano na Rys. 1.2. W istocie, wida, e dla maych

/so otrzymujemy:

1

1 ... 1 ...a a

n n

o o o o

C CF n m n

s s s s

(1.5)

a wic wykres ten mona (dla maych /so) przybliy prost, podobnie jak to

obserwujemy w przypadku rozcigania wikszoci materiaw konstrukcyjnych.

Krzywa F - ma maksimum w punkcie = o , ktry wyznaczamy przez przyrwnanie do zera pochodnej z wyraenia (1.4):


1

1m n

o o

ms

n

(1.6)

Warto siy odpowiadajca temu przemieszczeniu wynosi:

max

n m

m n m na

n

o

C m mF

s n n

(1.7)

Rys. 1.2. Zaleno siy od odlegoci midzy dwoma atomami

Jest ona, jak wykazuj dowiadczenia, znacznie wiksza od si rzeczywistych,

jakie mog by przeniesione przez materiau. Tym niemniej, charakter wykresu F - odpowiada dobrze charakterowi wykresu rozcigania i nawet powysza prosta analiza dobrze oddaje jakociowy zwizek sia-przemieszczenie. Jeli wic wprowadzi umowne definicje naprenia i odksztacenia:

def F

A ;

defo

o o

s s

s s

to wykres na Rys. 1.2 mona teraz aproksymowa sinusoid (Rys. 1.3):

sin 2R (1.8)

gdzie:

R jest najwikszym napreniem jakie moe materia przenie, a wic

jego wytrzymaoci.

Fm

F

R

A

B

16 Wprowadzenie

Traktujc nachylenie stycznej do tego wykresu w punkcie =0 jako modu Younga:

0

0

2 cos2 2R R

dE

d

otrzymujemy nastpujce oszacowanie wytrzymaoci materiau:

2

R

E

(1.9)

z ktrego wynika, e o jest ona tylko o jeden rzd nisza od wartoci moduu Younga. W materiaach rzeczywistych jednak rnica ta wynosi dwa do trzech

rzdw wielkoci (R 0.001 0.01E).

Rys. 1.3. Aproksymacja zwizku -

Rwnie warto odksztacenia R =1/4 w chwili osignicia wytrzymaoci jest znacznie wiksza od odksztacenia dla wikszoci materiaw, ktre nie przekracza kilku procent. Tym niemniej i ten wykres jest dobrym przyblieniem - w sensie jakociowym - rzeczywistych procesw i moe na przykad by wykorzystany do

obliczenia energii (na jednostk objtoci) uwalniajcej si w procesie zniszczenia (rozumianego jako spadek napre po osigniciu przez nie wartoci maksymalnej). Energia ta jest reprezentowana na Rys. 1.3 przez zakreskowan

powierzchni wykresu - , ktr atwo w przyblieniu obliczy:

1/4

R

aproksymacja

F

FM


1 4 1 4

1 4 0 0

sin 22

R

Rd d d

(1.10)

Tak wic zmniejszenie wytrzymaoci materiau w stosunku do wytrzymaoci teoretycznej jest zwizane z obecnoci - w zasadzie nieuniknion - rnorakich defektw, ktre Yokobori [1.5] dzieli na defekty I i II rodzaju. Defekty I rodzaju to w jego rozumieniu wszelkiego typu koncentratory napre w postaci ostrych szczelin, bd wyci (karbw) o dowolnym ksztacie - s to zatem defekty o charakterze geometrycznym, niezwizane ze struktur i budow materiau. Przez defekty II rodzaju rozumie si koncentratory napre w formie dyslokacji, pustek rozlokowanych wzdu granic ssiednich ziaren, wtrce obcego materiau (np. wgiel w metalach) wywoujcych naprenia kontaktowe oraz wszystkie inne defekty wewntrznej budowy materiau.

Defekty I rodzaju, ktre mona nazwa makroskopowymi stanowi przedmiot zainteresowania teoretykw, jak i praktykw od lat dwudziestych naszego stulecia. Cho ju wczeniej zdawano sobie spraw z faktu wystpowania koncentracji napre wok otworw czy karbw, to jednak rozwizania teorii sprystoci prowadziy do absurdalnych wnioskw jeli geometria tych makroskopowych defektw stawaa si osobliwa w tym sensie, e promie krzywizny wycicia czy karbu zmierza do zera ("ostra szczelina"). W takim bowiem przypadku wartoci napre, wyznaczone metodami teorii sprystoci, zmierzay do nieskoczonoci niezalenie od wartoci przyoonego obcienia; tak wic dowolnie mae obcienie konstrukcji zawierajcej szczelin mogo spowodowa przekroczenie wytrzymaoci materiau i zniszczenie. W rzeczywistoci jednak wiadomo byo, e konstrukcje mog zawiera szczeliny o dugoci mniejszej od pewnej dugoci krytycznej zalenej od obcienia.

Za pocztek analizy cia z defektami makroskopowymi uwaa si publikacj Griffith'a [1.1] z roku 1920, opierajc si na wczeniejszej analitycznej pracy Inglisa [1.3] dotyczcej obcienia krytycznego dla pasma sprystego osabionego otworem eliptycznym, poddanego jednoosiowemu rwnomiernemu rozciganiu (Rys. 1.4).

Dla b0 maksymalne naprenia y wystpuj na brzegu otworu (x=l) i wynosz:

1 2y

l

b

(1.11)

18 Wprowadzenie

Rys. 1.4. Rozcigane pasmo z otworem eliptycznym

Jeli b 0, to y : przypadek ten odpowiada wystpowaniu w ciele szczeliny, ktra w sposb formalny jest zdefiniowana w mechanice ciaa staego jako powierzchnia, na ktrej wystpuje niecigo przemieszcze. W istocie, dla

b=0 paszczyzn tak jest paszczyzna szczeliny (-l x l, y = 0, -t z t, gdzie t jest gruboci rozciganego pasma) i dla niej zachodzi warunek:

def def

( 0 ) ( 0 )v y dy v v y dy v

gdzie:

v jest przemieszczeniem wzdu osi y. W drugim skrajnym przypadku b=l otrzymujemy:

3y

co jest znanym wzorem Kirscha [1.4] okrelajcym koncentracj napre w rozciganym pamie zawierajcym otwr koowy.

Wzory otrzymane przez Inglisa dla naprenia y i przemieszczenia v dla b=0 oraz x=0 (a wic w paszczynie szczeliny) maj posta:

2 2 2

1 , =0 dla

1 2 1

yv x l

x x x

l l l

(1.12a)

2 2 22 10 , dla x

y

pv l x l

E

(1.12b)

2 l

2b

y

x

y


Podstaw rozumowania Griffith'a jest bilans energetyczny, zgodnie z ktrym praca zwizana z rozwarciem szczeliny (tosama ze zmniejszaniem si energii potencjalnej przy nieskoczenie maym przyrocie dugoci pknicia, a zatem w

momencie inicjacji) wynosi:

1

22

l

l

v dx

(1.13)

lub po podstawieniu (1.12b) i wycakowaniu:

2 2

21l

E

(1.14)

gdzie:

mnonik 2 jest zwizany z prac wykonan na przemieszczeniu obu brzegw szczeliny, za mnonik 1/2 wynika ze sprystego zachowania si materiau.

Praca jest rwnowaona przez prac W niezbdn do utworzenia si wewntrz ciaa swobodnej powierzchni:

4W l (1.15)

gdzie:

jest energi potrzebn do utworzenia jednostki swobodnej powierzchni, a mnonik 4l wynika z faktu, e szczelina ma dwie jednostkowe powierzchnie 2l.

Bilans energetyczny ilustruje Rys. 1.5, na ktrym pokazano te wykres cakowitej energii W:

s

U W (1.16)

Wida, e funkcja W(l) osiga maksimum dla pewnej wartoci lkr , ktr wyznaczy mona z warunku:

0

k rl l

dU

d l

(1.17)

lub po uwzgldnieniu (1.16):

k r k rl l l l

d W d

d l d l

(1.18)

Warunek ten po uwzgldnieniu (1.14) i (1.15) przyjmuje posta:

20 Wprowadzenie

2

22

1 4k r

l

E

(1.19)

skd otrzymujemy krytyczn dugo szczeliny dla zadanego obcienia :

2 2

2

1k r

El

(1.20)

Wzr ten moe posuy rwnie do wyznaczenia krytycznego obcienia k r dla zadanej dugoci szczeliny l :

22

1k r

E

l

(1.21)

Rys. 1.5. Bilans energetyczny rozwarcia szczeliny wg Griffith'a

Oba powysze wzory wyraaj podstawow ide Griffith'a, a mianowicie t, e propagacja szczeliny nastpuje gdy speniony jest warunek:

W

U

-

+

energia

potencjalna

energia

cakowita

energia

G

R=2

prdko uwalniania energii potencjalnej

prdko

energii

lkr dugo szczeliny l

prdko zmiany energii powierzchniowej

dugo szczeliny l

energia

powierzchniowa


c

l K (1.22)

gdzie:

2

2

1c

EK

(1.23)

jest sta materiaow i nazywa si odpornoci materiau na pkanie. Tak wic teoria Griffith'a jest oparta na koncepcji wprowadzenia nowej staej

materiaowej, charakteryzujcej wytrzymao materiau. Na koniec zauwamy, e teoria Griffith'a opisuje lawinowy wzrost szczeliny po

przekroczeniu przez obcienie wartoci krytycznej. W istocie - ze wzoru (1.21) wida, e wraz ze wzrostem dugoci szczeliny maleje warto obcienia krytycznego, a wic potrzebnego do jej propagacji. Tak wic jeli tylko obcienie osignie warto krytyczn, zostanie zapocztkowany lawinowy ruch szczeliny.

Przytoczone tutaj rozwizanie Griffith'a (podane powyej wzory obowizuj dla paskiego stanu odksztacenia, dla paskiego stanu naprenia naley w nich

pomin mnonik (1-2)) ma obecnie znaczenie tylko historyczne, tym niemniej zawiera wszystkie elementy wspczesnej teorii zniszczenia cia idealnie sprystych (jest to tzw. liniowo-sprysta mechanika pkania), omwionej w rozdz. 2. W szczeglnoci wynika z niego, e pomimo osobliwoci w wierzchoku szczeliny typu x

-1/2, mona zdefiniowa kryterium pkania, okrelajce warunki, przy ktrych nie nastpi zniszczenie konstrukcji w wyniku propagacji szczeliny, a wic mona zaprojektowa j w sposb bezpieczny.

Mechanika pkania wyrnia 3 moliwe typy obcienia szczelin (niekiedy mwi si niezupenie poprawnie o typach szczelin), w zalenoci od sposobu w jaki przemieszczaj si brzegi szczeliny na skutek dziaajcego obcienia - przedstawiono je na Rys. 1.7.

Rys. 1.6. Typy obcienia szczelin

TYP I TYP II TYP III

22 Wprowadzenie

Typy obcienia szczelin pokazane na Rys. 1.6 nosz nastpujce nazwy: typ I - rozrywanie; powierzchnie szczeliny rozchodz si w kierunku

prostopadym do frontu szczeliny. typ II - poprzeczne cinanie; powierzchnie szczeliny lizgaj si po sobie w

kierunku prostopadym do frontu szczeliny. typ III - podune cinanie; powierzchnie szczeliny przesuwaj si po sobie w

kierunku rwnolegym do frontu szczeliny. Kademu z typw obcienia szczeliny odpowiada pole napre w postaci:

, ,2

TT T

i j i j

Kf T I II III

r

(1.24)

gdzie:

r i s wsprzdnymi biegunowymi o pocztku umieszczonym w wierzchoku szczeliny, za KT nosi nazw wspczynnika intensywnoci napre (WIN) dla danego typu obcienia szczeliny.

ROZDZIA 2

2 POLE NAPRE W LINIOWO SPRYSTYM ORODKU ZE SZCZELIN

2.1 PODSTAWOWE RWNANIA TEORII SPRYSTOCI

W celu atwiejszego zrozumienia treci niniejszego rozdziau, celowe jest zdaniem autora przypomnienie czytelnikom podstawowego kompletu rwna rzdzcych zagadnieniem brzegowym liniowej teorii sprystoci, wykorzystywanego oczywicie rwnie w zagadnieniach mechaniki pkania.

Lokalne rwnania rwnowagi (rw. Naviera):

11 ,1 12 , 2 13 , 3 10X

21 ,1 22 , 2 23 , 3 20X

31 ,1 32 , 2 33 , 3 30X

gdzie:

11, 22, 33 - naprenia normalne, pozostae to naprenia styczne.

Symbol ij,j oznacza pochodn czstkow naprenia ij wzgldem zmiennej xj. Wsprzdne wektora si masowych oznaczono jako X1, X2 i X3.

Liniowe rwnania geometryczne (rw. Cauchyego).

11 1,1 22 2,2 33 3,3u u u

12 1,2 2,11

2u u

24 Pole napre w liniowo sprystym orodku ze szczelin

13 1,3 3,11

2 u u

23 2,3 3,21

2u u

gdzie:

11, 22, 33 odksztacenia liniowe, pozostae to odksztacenia ktowe. Wielkoci ui oznaczaj wsprzdne wektora przemieszczenia. Symbol ui,j oznacza pochodn czstkow przemieszczenia ui wzgldem zmiennej xj.

Rwnania fizyczne liniowej teorii sprystoci (rw. Hookea)

U podstaw konstrukcji rwna liniowej teorii sprystoci ley jawna zaleno odksztace od napre, liniowy zwizek midzy odksztaceniami i napreniami oraz znikanie odksztace po usuniciu obcienia zewntrznego. Uwzgldniajc ponadto jednorodno i izotropi materiau (tzn. identyczne wasnoci materiau w kadym punkcie i w kadym kierunku) rwnania fizyczne mona zapisa nastpujco:

11 11 11 22 331

1E

22 22 11 22 331

1E

33 33 11 22 331

1E

12 12

1

E

13 13

1

E

23 23

1

E

lub te po odwrceniu powyszych relacji w postaci:

11 11 11 22 332 G

22 22 11 22 332 G


33 33 11 22 332 G

12 122G

13 132 G

23 232 G

gdzie:

G - modu cinania, E - modu Younga, - wspczynnik Poissona, - staa Lamego.

Paski stan naprenia (PSN)

Paski stan naprenia to taki stan, dla ktrego wszystkie jego skadowe le w jednej paszczynie, np. (x1, x2). PSN wystpuje zawsze na powierzchni ciaa, a take w elementach, ktrych grubo jest znacznie mniejsza od pozostaych dwch jego wymiarw (np. blachy).

Czstym przypadkiem jest rwnie tzw. pseudopaski stan naprenia, w ktrym dodatkowo niezerowe jest naprenie normalne

33, prostopade do paszczyzny (x1, x2).

Paski stan odksztacenia (PSO)

Paski stan odksztacenia (PSO) to taki stan, w ktrym wszystkie jego skadowe le w jednej paszczynie, np. (x1, x2). Niezerowe s wwczas jedynie skadowe

11, 22 i 12. PSO wystpuje z reguy w ciaach, ktrych grubo jest porwnywalna z pozostaymi wymiarami.

Czstym przypadkiem jest rwnie tzw. pseudopaski stan odksztacenia,

w ktrym dodatkowo niezerowe jest odksztacenie liniowe 33. Paskiemu stanowi naprenia odpowiada pseudopaski stan odksztacenia

i odwrotnie - paskiemu stanowi odksztacenia odpowiada pseudopaski stan naprenia.

Przykadowo - dla PSO zachodz warunki 33=0, 13=0, 23=0. Z rwna Hookea otrzymujemy wwczas:

33 11 22 13 0 23 0

a zatem pseudopaski stan naprenia. Przypadki PSO i PSN nosz cznie nazw dwuwymiarowych zagadnie teorii

sprystoci.

22 21

11

12 11

12

21 22

x2

x1


2.2 PODSTAWY RACHUNKU ZMIENNYCH ZESPOLONYCH

Wyznaczenie pl napre, odksztace i przemieszcze wok wierzchoka szczeliny matematycznej (tj. powierzchni, na ktrej wystpuje niecigo funkcji przemieszcze) jest zadaniem trudnym, wymagajcym stosowania zaawansowanych metod matematycznych. Jedn z nich jest teoria zmiennych zespolonych uyta w zagadnieniach mechaniki pkania przez Muskheliszwili'ego [2.7] i Westergaarda [2.12, 2.13]. Poniej naszkicujemy podstawy tej metody, rozpoczynajc od krtkiego wprowadzania do rachunku zmiennych zespolonych.

Zmienn zespolon z zmiennych rzeczywistych x1, x2 nazywamy zmienn w postaci:

1 2

z x i x (2.1)

gdzie:

x1 oznacza cz rzeczywist, x2 cz urojon zmiennej zespolonej z, za i jednostk urojon, okrelon jako:

1def

i (2.2)

Zmienn z mona take - korzystajc ze wsprzdnych biegunowych (r, ) - zapisa w tzw. postaci trygonometrycznej:

iz r e (2.3)

Niech f(z) oznacza dowoln funkcj analityczn zmiennej z. Pochodne czstkowe tej funkcji wzgldem zmiennych rzeczywistych x1, x2 wynosz:

1 1 1 1

f z z df z f f z

x z x x x d z

(2.4)

2 2 2

f z zf z f i f z

x z x x

(2.5)

Zapiszmy funkcj f(z) w nastpujcej postaci:

f z i (2.6)

gdzie:

i s funkcjami rzeczywistymi zmiennych rzeczywistych x1, x2, przy czym:


Re f z (2.7)

Im f z (2.8)

Pochodne (2.4) i (2.5) po wykorzystaniu (2.6) przyjmuj postaci:

1 1 1

f z i f zx x x

(2.9)

2 2 2

f i i f zx x x

z (2.10)

Wstawiajc rw. (2.9) do (2.10) i porwnujc czci rzeczywiste oraz urojone otrzymanej rwnoci, otrzymujemy nastpujce zalenoci:

2 1 2 1

Re Imf fx x x x

(2.11)

1 2 1 2

Re Imf fx x x x

(2.12)

Rwnania (2.11) I (2.12) nosz nazw warunkw Cauchy'ego - Riemanna. Elementarne przeksztacenia tych warunkw prowadz do nastpujcych rwna:

2 2

2

2 2

1 2

0 0x x

(2.13a)

2 2

2

2 2

1 2

0 0x x

(2.13b)

Tak wic zarwno cz rzeczywista , jak i urojona dowolnej funkcji analitycznej musz by funkcjami harmonicznymi; nosz one nazw sprzonych funkcji harmonicznych. Ta wasno funkcji analitycznej odgrywa podstawow rol przy wyznaczaniu pola napre w pobliu wierzchoka szczeliny metod Westergaarda, bazujc na funkcjach napre Airy'ego.


2.3 FUNKCJA NAPRE DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIE TEORII SPRYSTOCI

W dwuwymiarowych zagadnieniach teorii sprystoci czsto stosowan metod okrelania stanu naprenia jest metoda oparta na funkcji napre

Airy'ego1 , zwizanej ze skadowymi stanu naprenia zalenociami :

11 22

,

22 11

, (2.14)

12 12

,

Mona wykaza (dowd pozostawiamy czytelnikowi), e warunkiem koniecznym aby dowolna funkcja bya funkcj napre musi ona spenia rwnanie biharmoniczne:

4 0 (2.15)

ktre jest rwnaniem nierozdzielnoci odksztace wyraonym poprzez naprenia w postaci (2.14). Spenione musz by ponadto rwnania rwnowagi (Naviera) oraz warunki brzegowe odpowiednie dla danego zagadnienia.

Twierdzenie 1 Kada funkcja postaci:

1 1 2 2 3

x x (2.16)

jest funkcj napre, jeeli 1, 2, 3 s funkcjami harmonicznymi.

Dowd:

Namy na funkcj x1 2 operator Laplace'a. Otrzymamy wwczas po prostych

przeksztaceniach i wykorzystaniu zaoenia o harmonicznoci funkcji 2 nastpujce rwnanie:

1 Pod pojciem dwuwymiarowych zagadnie teorii sprystoci rozumie si zagadnienie paskiego stanu naprenia lub paskiego stanu odksztacenia. Funkcja napre Airy'ego dotyczy zasadniczo PSN, jednake moe take by wykorzystana w warunkach PSO. Zakadajc dla przykadu, e

odksztacenia zachodz jedynie w paszczynie (x1,x2) mamy 13=23=33=0. Korzystajc z prawa

Hooke'a otrzymujemy zerowe naprenia styczne 13 i 23, za naprenie normalne 33= (11+22) (z tego powodu stan naprenia odpowiadajcy PSO okrela si mianem pseudopaskiego stanu

naprenia). Tak wic nawet w warunkach PSO znajomo napre 11, 22 i 12 - moliwych do uzyskania poprzez funkcj Airy'ego - jest wystarczajca do penego opisu stanu naprenia stanu naprenia lub paskiego stanu odksztacenia.


2 2

2 2

1 2 2 1 1 2,12 2

1 2 1 1 2 2

2x x xx x x x x x

(2.17)

Ponowne uycie laplasjanu na rw. (2.17) prowadzi do zalenoci:

2 2

4 22

1 2 22 2

1 2 1 1

2 2 0xx x x x

(2.18)

Wykazalimy zatem, e funkcja x1 2 spenia rwnanie biharmoniczne, moe tym samym by funkcj napre. W analogiczny sposb dowodzi si, e funkcj

napre moe by funkcja x2 3.

Westergaard [2.13] wprowadzi funkcj napre w oglnej postaci:

2Re Imz x z (2.19)

gdzie:

def defd d

z z dz zd z d z

(2.20 a, b)

def defd d

z z dz zd z d z

(2.21 a, b)

jest funkcj analityczn zmiennej zespolonej.

Korzystajc z tego, e funkcje , s rwnie funkcjami analitycznymi oraz z

wykazanej uprzednio harmonicznoci tak czci rzeczywistej, jak i urojonej funkcji analitycznej, stwierdzamy, e funkcja Westergaarda (2.19) jest zgodna z ogln postaci funkcji napre (2.16) - jest zatem take funkcj napre.

Mona to take wykaza bezporednio - wystarczy udowodni, e Re , Im

s funkcjami harmonicznymi. Korzystajc z warunkw Cauchy'ego - Riemanna otrzymujemy:

1 2

Re Im

x x


2 1

Re Im

x x

Rniczkujc pierwsze z rwna wzg. x1, a drugie wzg. x2 i dodajc stronami, otrzymamy:

2 Re 0

Zachodz take zwizki:

1 2

Re Im

x x

2 1

Re Im

x x

Rniczkujc pierwsze z rwna wzg. x2, a drugie wzg. x1 i odejmujc stronami, otrzymamy:

2 Im 0

Korzystajc z funkcji Westergaarda (2.19) wyznaczymy obecnie skadowe stanu naprenia w paszczynie (x

1, x

2), okrelone przez zwizki (2.14).

2

1

Re Imd

xx d z

(2.22)

2

22 22

1

Re Imd d

xx d z d z

(2.23)

2 22 2 1 1

Im ReRe Im Imx x

x x x x

(2.24)

2 2 2

Im Im Re Im Im Re Red d

x x xd z d z


2

11 2 2 22

2 2 2 1

Re ImRe Re Rex x x

x x x x

2 2

Re Im Re Imd

x xd z

(2.25)

2

12 2 2 2

1 2 1 1

ReRe Rex x x

x x x x

(2.26)

Tak wic ostatecznie skadowe stanu naprenia maj postaci:

11 2

Re Imx

22 2

Re Imx (2.27)

12 2

Rex

Tak okrelone naprenia speniaj nie tylko rwnanie nierozdzielnoci odksztace, ale rwnie rwnania rwnowagi (dowd pozostawiamy czytelnikowi).

Skadowe wektora przemieszczenia w paszczynie (x1, x2) zale od tego czy analizowany orodek znajduje si w PSO, czy te PSN. Rnice s jedynie ilociowe, a rwnania opisujce te skadowe mona zapisa formalnie we wsplnej postaci:

1 1 2 21

2 , Re Im2

G u x x z x z

(2.28)

2 1 2 21

2 , Im Re2

G u x x z x z

(2.29)

gdzie:

21

EG

;

3 4 dla PSO

3dla PSN

1

-

(2.30)

W celu uzyskania zalenoci (2.28) i (2.29) naley wykorzysta zwizki fizyczne liniowej teorii sprystoci (rw. Hooke'a) oraz liniowe rwnania geometryczne (rw. Cauchy'ego).


Dla zilustrowania metody wyznaczania przemieszcze zamy, e analizowany jest PSO i interesuje nas skadowa u1 wektora przemieszczenia. Z rwna fizycznych otrzymujemy dla PSO:

11 11 11 22 331

1E

33 33 11 220

11 11 221

12G

Do ostatniego rwnania podstawiamy naprenia (2.27) - otrzymujemy wwczas:

11 2 21

1 Re Im Re Im2

x xG

21

1 2 Re Im2

xG

Rwnanie Cauchy'ego ma posta:

1

11 1 11 1

1

uu dx

x

1 1 2 11

1 2 Re Im2

u dx x dxG

Uwzgldniajc zwizki (2.20) i (2.21) odpowiednie caki wynosz:

1 1

1

ReRe Redx dx

x

1 1

1

ImIm Imdx dx

x


Wykorzystujc powysze zalenoci przemieszczenie jest okrelone zwizkiem:

1 21

1 2 Re Im2

u xG

Z rw. (2.30) dla PSO dostajemy:

3

22

Ostatecznie zatem przemieszczenie u1 przyjmuje posta:

1 21

2 Re Im2

G u z x z

W analogiczny sposb otrzymuje si rw. (2.29).

2.4 ZASTOSOWANIE FUNKCJI NAPRE WESTERGAARDA DO ANALIZY STANU NAPRENIA I PRZEMIESZCZE W POBLIU WIERZCHOKA SZCZELINY

2.4.1 Szczelina w I typie obcienia w pamie nieskoczonym.

Uzyskane w poprzednim rozdziale rezultaty oparte na koncepcji funkcji

napre w postaci zaproponowanej przez Westergaarda zostan obecnie wykorzystane do wyznaczenia pola napre i przemieszcze wywoanych obecnoci szczeliny. Rozpatrywane jest zagadnienie paskiego ciaa o nieogra-niczonych wymiarach zawierajcego szczelin o dugoci 2l, poddanego dziaaniu

rwnomiernego dwuosiowego rozcigania obcieniem o staej wartoci , przyoonym w nieskoczonoci i lecym w paszczynie ciaa. Rozpatrywany jest wic I typ obcienia szczeliny, zwany "oderwaniem", bd "rozwarciem". Geometria zadania pokazana jest na Rys. 2.1.

Warunki brzegowe dla analizowanego zagadnienia szczeliny mona zapisa nastpujco:

1. 2 1 22 12

dla 0; 0 , 0x x l

2. 2 1 22

dla 0; x x l (2.31)


3. 2 1 22

dla 0; x x

Funkcj napre speniajc warunki (2.31) jest funkcja2:

2 2

z

z l

(2.32)

Spenienie warunkw 2 i 3 jest natychmiast widoczne. W celu sprawdzenia warunku 1 zapiszmy funkcj napre (dla x2 = 0) w postaci:

1 1 12 2 2 2 2 2

1 1 11

x x xi

x l l x l x

(2.33)

Rys. 2.1. Szczelina w nieograniczonym pamie, rozciganym w nieskoczonoci.

Funkcja w postaci (2.33) ma wic niezerow jedynie cz urojon (warunek 1

dotyczy punktw speniajcych zaleno x1< l ) . Naprenia okrelone przez

2 Paris i Sih [2.8] podaj, e dowoln funkcj Z, bdca funkcj analityczn w caej dziedzinie z wyjtkiem obszaru szczeliny okrelonego wsprzdnymi x2 = 0, -b x1 l , mona przedstawi w postaci:

( )

( )( )

g zZ

z b z l

W przypadku szczeliny wolnej od obcie dziaajcych na jej brzegu, dobierajc funkcj g(z) tak, e w obszarze szczeliny Im g(z) = 0, funkcja Z pozwala uzyska rozwizanie zadania szczeliny

take w jej obszarze. Dla b = l i g(z)= z - funkcja Z przyjmuje posta (2.32).

2 l x1

x2

r

11

21

11

22

22

12

21

12


(2.27) z wykorzystaniem (2.33) s zatem w obszarze szczeliny zerowe, a to oznacza spenienie warunku brzegowego 1.

Dalsze rozwaania ograniczymy do obszaru przywierzchokowego szczeliny. Jest to uzasadnione tym, e efekty wywoane obecnoci szczeliny (np. silny wzrost napre) maj charakter lokalny i koncentruj si w pobliu wierzchokw szczeliny.

Dokonajmy przesunicia ukadu wsprzdnych do wierzchoka szczeliny, jak pokazano na Rys. 2.2.

Rys. 2.2. Transformacja ukadu wsprzdnych do wierzchoka szczeliny.

Posta trygonometryczna zmiennej zespolonej , okrelajcej pooenie

dowolnego punktu P w ukadzie biegunowym (r, ) jest nastpujca:

2 2cos sin ;ir e r i r x y (2.35)

Funkcja napre (2.32) wyraona poprzez zmienn ma posta:

1

2

1 2l ll l

(2.36)

Warunek geometryczny ograniczajcy obszar analizy do ssiedztwa wierzchoka mona zapisa w postaci:

1

2 0

lim 0x l

xl

(2.37)

Tak wic "lokalna" funkcja napre (2.36) przyjmuje po prostych przeksztaceniach posta:

2 l

x1

x2

r

x

y P 1 2z x i x

x i y z l


2

IK

(2.38)

gdzie:

I

K l (2.39)

Po wykorzystaniu postaci trygonometrycznej (2.35) zmiennej , a take reguy pierwiastkowania liczby zespolonej3 i prostych przeksztaceniach - otrzymujemy:

cos sin2 22

IK

ir

(2.40)

W celu wyznaczenia napre obliczmy wyraenia wystpujce w (2.27),

poczynajc od pochodnej '. Po zrniczkowaniu funkcji (2.38), wykorzystaniu wzoru Moivre'a4 i po przeksztaceniach otrzymujemy:

3

1 3 3cos sin

2 2 22

IK

ir

(2.41)

Z zalenoci (2.40) i (2.41) wynikaj nastpujce rwnoci:

Re cos22

IK

r

(2.42)

2 3

1 3 3Im sin sin sin cos sin

2 2 2 2 222

I IK K

x rrr

(2.43)

2 31 3 3

Re sin cos sin cos cos2 2 2 2 222

I IK K

x rrr

(2.44)

Ostatecznie, z rwna (2.27) okrelajcych naprenia poprzez funkcj napre otrzymujemy:

3 cos sin cos sinn n n nz r i r n i n 4 cos sin cos sin

ni n i n


11

3cos 1 sin sin

2 2 22

IK

r

22

3cos 1 sin sin

2 2 22

IK

r

(2.45)

12

3sin cos cos

2 2 22

IK

r

33 11 22

0 dla PSN

2cos dla PSO

22

IK

r

Pole napre (2.45) mona wsplnie zapisa w postaci:

2

I

ij ij

Kf

r

(2.46)

Irwin wykaza, e stan naprenia opisany rwnaniem (2.46) odnosi si do dowolnej konfiguracji szczeliny w I typie obcienia i do dowolnego obcienia. Tym co uwzgldnia geometri ciaa ze szczelin, dugo szczeliny oraz rodzaj i sposb przyoenia obcienia jest wspczynnik K I , noszcy nazw wspczynnika intensywnoci napre (WIN). Tak wic znajomo tego wspczynnika jest wystarczajca do penego opisu stanu naprenia w pobliu wierzchoka szczeliny.

W celu wyznaczenia przemieszcze punktw pooonych w obszarze w pobliu wierzchoka szczeliny wykorzystamy rwnania (2.28) i (2.29). Wymagaj one znajomoci funkcji okrelonej zwizkiem (2.20 b). W wyniku scakowania

funkcji napre (2.38) otrzymujemy:

2

cos sin2 2

I

rK i

(2.47)

Ostatecznie, po do uciliwych przeksztaceniach otrzymujemy z rwna (2.28) i (2.29) przemieszczenia w postaci:


1 cos cos2 2 2

IK r

uG

(2.48)

2 sin cos2 2 2

IK r

uG

(2.49)

Wanym parametrem z punktu widzenia stosowanych w mechanice pkania kryteriw zniszczeniowych jest rozwarcie brzegw szczeliny. Przemieszczenie powierzchni szczeliny mona wyznaczy z oglnej postaci przemieszczenia u2 -

rw. (2.29). W obszarze szczeliny tzn. dla x2=0, -l x1 l funkcja napre ma posta (2.32). Funkcja otrzymana przez scakowanie (2.32) i zapisana dla

obszaru szczeliny przyjmuje posta:

2 2 2 21

z l i l x (2.50)

Korzystajc z (2.29) i (2.30), po prostych przeksztaceniach otrzymamy przemieszczenia brzegw szczeliny - Rys. 2.3 - w postaci:

2 22 1

u c l x (2.51)

gdzie:

c - staa materiaowa zalena od tego czy analizowany jest PSN, czy PSO. Staa ta wynosi:

22 1dla PSO

2 dla PSN

c E

E

(2.52)

Rys. 2.3. Rozwarcie brzegw szczeliny.

Rys. 2.3. Rozwarcie brzegw szczeliny.

Maksymalne rozwarcie szczeliny COD (ang. Crack Opening Displacement) -

Rys.2.3 - wystpuje w poowie dugoci szczeliny (x1=0) i wynosi:

COD u2

x2

x1


2COD c l (2.53)

Zwrmy jeszcze uwag na ksztat brzegu rozwartej szczeliny. Zwizek (2.51) mona atwo przeksztaci do rwnania:

2 2

2 1

2 21

u x

C l (2.54)

ktre wiadczy, e brzeg szczeliny przyjmuje ksztat elipsy.

2.4.2 Szczelina w II typie obcienia w pamie nieskoczonym.

Rozwizanie dla szczeliny w II typie obcienia - Rys. 2.4 - w tarczy o nieskoczonych wymiarach mona uzyska w analogiczny sposb jak dla I typu, korzystajc z funkcji napre w postaci:

2 2

zi

z l

(2.55)

Rys. 2.4. Szczelina II typu w pamie nieskoczonym.

Stan naprenia w pobliu wierzchoka szczeliny opisuj zwizki:

11

3sin 2 cos cos

2 2 22

IIK

r

2 l x1

x2

r

11

21

11

22

22

12

21

12


22

3sin cos cos

2 2 22

IIK

r

(2.56)

12

3cos 1 sin sin

2 2 22

IIK

r

33 11 22

0 dla PSN

2sin dla PSO

22

IIK

r

Przemieszczenia punktw pooonych w obszarze w pobliu wierzchoka szczeliny wyraaj si zwizkami w postaci:

1 sin 2 cos2 2 2

IIK r

uG

(2.57)

2 cos 2 cos2 2 2

IIK r

uG

Wspczynnik intensywnoci napre ma posta:

II

K l (2.58)

2.4.3 Szczelina w III typie obcienia w pamie nieskoczonym.

Szczelin w III typie obcienia w nieskoczonym pamie sprystym przedstawiono na Rys. 2.5. Szczegy rozwizania tego zadania mona znale np. w monografii Gdoutosa [2.3] (patrz take Przykad 1). Tutaj ograniczymy si jedynie do zacytowania rozwizania.

Niezerowe skadowe stanu naprenia i przemieszczenia w pobliu wierzchoka szczeliny opisuj zwizki:

13

sin22

IIIK

r

(2.59)


23

cos22

IIIK

r

3

2sin

2 2

IIIK r

uG

(2.60)

III

K l (2.61)

Rys. 2.5. Szczelina III typu w pamie nieskoczonym.

2.5 FUNKCJE NAPRE I WSPCZYNNIKI INTENSYWNOCI NAPRE DLA RNYCH PRZYPADKW SZCZELIN W I TYPIE OBCIENIA

Funkcje napre znane s dla wielu konfiguracji szczelina-ciao-obcienie. Uzyskano je metod Westergaarda lub met. Muskheliszwilego-Koosowa bazujc na oglnej postaci funkcji napre odmiennej od tej stosowanej przez Westergaarda (rw. (2.19)). Szczegy metody Muskheliszwilego-Koosowa mona znale w pracach [2.5], [2.7].

Uwzgldniajc, e rozkady napre w pobliu wierzchoka szczeliny opisane s w kadym przypadku t sam zalenoci:

( )2

I

ij ij

Kf

r

(2.62)

oraz to, e rni si w zalenoci od zadania tylko postaci wspczynnika intensywnoci napre KI, dochodzimy do wniosku, e wystarczy zna zwizek

2 l x1

x2

r


funkcji napre ze wspczynnikiem intensywnoci napre aby w peni opisa stan naprenia.

Funkcj napre I w pobliu wierzchoka szczeliny I typu (indeks przy funkcji napre oznacza typ szczeliny) zawsze mona przedstawi w oglnej postaci :

( )

I

f

(2.63)

Uprzednio wykazalimy, e dla szczeliny w nieskoczonym pamie przyjmuje ona posta (patrz rw. (2.38)):

0

2

I

I

K

(2.64)

ktra jest szczeglnym przypadkiem rwnania (2.63). Z zalenoci (2.64) otrzymu-jemy zatem formu okrelajc wspczynnik intensywnoci napre w postaci:

0

lim 2I I

K

(2.65)

Poniej podane bd funkcje napre i wspczynniki intensywnoci napre dla rnych konfiguracji szczelin i obcienia - czytelnik moe potraktowa sprawdzenie poprawnoci tych relacji (przypomnijmy, e w przypadku funkcji napre musz by spenione rwnania rwnowagi, rwnanie nierozdzielnoci

4 0I

oraz warunki brzegowe, a w przypadku K I rw. (2.65)) jako zadanie do

samodzielnego rozwizania.

Nieskoczone pasmo z nieskoczonym szeregiem szczelin kolinearnych,

obcione rwnomiernym obcieniem o wartoci

2 l

b b

x2

2 l

x1

b b

2 l

b b


2 2

sin2

sin sin2 2

I

z

b

z l

b b

(2.66)

2

tan2

I

b lK l

l b

(2.67)

Nieskoczone pasmo z nieskoczonym szeregiem szczelin kolinearnych, obcione siami skupionymi P* przyoonymi do powierzchni szczelin w poowie ich dugoci

1/22

2

sin sin2 2

1

sin2 sin 22

I

l lP

b b

zzb bb

(2.68)

sin2

I

PK

lb

b

(2.69)

* We wszystkich przykadach, w ktrych wystpuje obcienie w postaci siy skupionej P przyjmuje

si, e jest to sia na jednostk szerokoci, tzn. jej wymiar jest [N/m], chyba e wyranie zazanaczono i P ma wymiar [N].

2 l

b b

x2

2 l

x1

b b

2 l

b b

P P P

P P P


Nieskoczone pasmo ze szczelin, ktrej powierzchnia jest obciona siami skupionymi P przyoonymi w odlegoci b od wierzchoka

2 2

2 2I

P l b

z b z l

(2.70)

AI

P l bK

l bl

(2.71)

BI

P l bK

l bl

(2.72)

W przypadku gdy sia P przyoona jest w poowie dugoci szczeliny tzn. b = 0, otrzymujemy:

2 2I

P l

z z l

(2.73)

I

PK

l

(2.74)

Zauwamy, e w tym ostatnim przypadku wspczynnik intensywnoci napre maleje wraz ze wzrostem dugoci szczeliny. Zakadajc, e dla danej dugoci lkr wspczynnik KI osiga warto KIc, przy ktrej nastpuje propagacja szczeliny, a wic i wzrost jej dugoci, dochodzimy do wniosku, e warto KI musi wwczas zmale. Gdy osignie warto mniejsz od KIc - propagacja szczeliny musi usta; nastpuje zatem samoistne zahamowanie ruchu szczeliny.

Nieskoczone pasmo ze szczelin, ktrej powierzchnia jest obciona dwiema parami si skupionych P przyoonymi w odlegoci b od wierzchokw szczeliny

b P

P l

x2

A B

x1

l


2 2

2 22 2

2I

P z l b

z lz b

(2.75)

2 2

2I

P lK

l b

(2.76)

Nieskoczone pasmo ze szczelin, ktrej powierzchnia jest obciona

obcieniem cigym przyoonym na odcinkach b x1 l; x2=0

2 2

2 22 2

2arccos arcctg

I

z b b z l

l z l bz l

(2.77)

2 arcsinI

l bK

l

(2.78)

b P

P l

x2

x1

l

P

P

b

b

l

x2

l

b

x1


Nieskoczone, rozcigane pasmo ze szczelin nachylon pod ktem do kierunku obcienia

2sinI

K l (2.79)

sin cosI I

K l (2.8)

Szczelina (lub szczeliny) wychodzce z brzegu otworu koowego w pamie nieskoczonym, rozciganym rwnomiernie (jednoosiowo lub dwuosiowo)

I

lK l F

r

(2.81)

Wartoci funkcji F otrzymane przez Bowie'go [2.1] zestawiono w poniszej tabeli.

l

l

x2

x1

2 R l l


F( l / r ) dla jednej szczeliny F(l / r ) dla dwch szczelin

l/r rozc. w kierunku

x2

rozc. w kier. x1 i

x2

rozc. w kierunku

x2

rozc. w kier. x1 i

x2

0 3.39 2.26 3.39 2.26

0.1 2.73 1.98 2.73 1.98

0.2 2.30 1.82 2.41 1.83

0.3 2.04 1.67 2.15 1.70

0.4 1.86 1.58 1.96 1.61

0.5 1.73 1.49 1.83 1.57

0.6 1.64 1.42 1.71 1.52

0.8 1.47 1.32 1.58 1.43

1.0 1.37 1.22 1.45 1.38

1.5 1.18 1.06 1.29 1.26

2.0 1.06 1.01 1.21 1.20

3.0 0.94 0.93 1.14 1.13

5.0 0.81 0.81 1.07 1.06

10.0 0.75 0.75 1.03 1.03

0.707 0.707 1.00 1.00

Wiele innych rozwiza mona znale w tablicach wspczynnikw intensywnoci napre (np. Sih [2.9], Murakami [2.6]).

2.6 WPYW SKOCZONYCH WYMIARW CIAA NA WARTOCI WSPCZYNNIKW INTENSYWNOCI NAPRE

Zagadnienie ciaa o skoczonych wymiarach o rnych konfiguracjach ukadu ciao-szczelina-obcienie - z punktu widzenia zastosowa praktycznych - jest oczywicie waniejsze od zadania ciaa nieograniczonego ze szczelin. Uzyskanie rozwiza w formie zamknitej jest jednak niemoliwe, tote wszystkie istniejce rozwizania zawieraj pewne mnoniki liczbowe uwzgldniajce skoczone wymiary ciaa, najczciej przedstawiane w formie tabel lub wykresw, rzadziej podawane jako zalenoci funkcyjne. Poniej zestawiono wartoci wspczynnikw intensywnoci napre dla najczciej spotykanych konfiguracji szczelin i obcienia. W kilku przypadkach podano dwie zalenoci, z ktrych jedna stosowana jest w badaniach prowadzonych na prbkach normowych.


Szczelina centralna w pamie rozciganym

sec2

I

lK l

b

(2.82)

2 3

1 0.128 0.288 1.523I

l l lK l

b b b

(2.83)

Szczelina krawdziowa w pamie rozciganym

2 3 4

1.12 0.23 10.55 21.72 30.39I

l l l lK l

b b b b

(2.84)

1.12I

K l dla maych l/b (2.85)

2 b

2 l

l

b


Dwie szczeliny krawdziowe w pamie rozciganym

2 3

1.12 0.2 1.2 1.93I

l l lK l

b b b

(2.86)

1.12I

K l dla maych l/b (2.87)

Belka trjpunktowo zginana si skupion P [N] ze szczelin krawdziow

1 3 5 7 9

2 2 2 2 2

3 22.9 4.6 21.8 37.6 38.7

I

P S l l l l lK

BW W W W W W

(2.88)

Belka zginana o skoczonej szerokoci ze szczelin krawdziow

l

2b

l

l

S

B

P

W

l

S

W

B

M M


2 3 4

2

61.12 1.40 7.33 13.08 14.0

I

M l l l lK l

BW W W W W

(2.89)

Tarcza o skoczonej szerokoci ze szczelin boczn, rozcigana siami skupionymi P[N]

1 2 3 2

1 229.6 185.5

I

P l lK

B W W W

5 2 7 2 9 2

655.7 1017 63.9l l l

W W W

(2.90)

2.7 WYKORZYSTANIE ZASADY SUPERPOZYCJI DO WYZNACZANIA WSPCZYNNIKW INTENSYWNOCI NAPRE.

Wspomniano ju, e rozkady napre dla danego typu szczeliny maj identyczn form - s niezalene od konfiguracji ukadu ciao-szczelina-obcienie, a tym co je rnicuje jest jedynie posta wspczynnika intensywnoci napre. Dziki temu, w przypadku gdy mamy do czynienia z kombinacj rnych obcie, ale w obrbie tego samego typu szczeliny, wspczynnik ten moe by wyznaczony z zasady superpozycji. Prawdziwa jest zatem zaleno:

p q r ...... , ,T T T TK K K K T I II III (2.91)

gdzie:

p, q i r oznaczaj rne obcienia zewntrzne dziaajce na ciao ze szczelin.

l

b

P

B

P


Zasada superpozycji jest w wielu przypadkach bardzo uytecznym narzdziem przy wyznaczaniu wspczynnikw intensywnoci napre. Zilustrujemy to na dwch przykadach.

Szczelina, ktrej powierzchnie s obcione cinieniem wewntrznym.

Sposb wykorzystania zasady superpozycji pokazano szczegowo na Rys. 2.6. Wyjciowa konfiguracja "p" szczeliny obcionej cinieniem wewntrznym

powodujcym jej "rozwieranie" i przyoonym do jej powierzchni jest z oczywistych przyczyn przeciwna do konfiguracji "a". T z kolei mona przedstawi jako rnic dwu innych konfiguracji oznaczonych jako "b" i "c". Zachodzi zatem zaleno:

p a b cI I I IK K K K (2.92)

Zauwamy, e konfiguracja "b" moe by zastpiona konfiguracj "d", tzn. tarcz gadk poddan rwnomiernemu rozciganiu, jeeli tylko obcienie powierzchni szczeliny jest rwne napreniom wystpujcym w tarczy "d" w miejscu pooenia szczeliny.

Rys. 2.6. Ilustracja zastosowania zasady superpozycji

Taki przypadek ma miejsce w analizowanym zadaniu. Jest oczywiste, e dla tarczy gadkiej wspczynnik intensywnoci napre wynosi:

a

2 l

p

2 l

= -

a

2 l

=

d

c

2 l

b

2 l

-

=

c

2 l

-


d b d

0 0I I I

K K K (2.93)

Wykorzystujc (2.92) oraz uwzgldniajc (2.39) otrzymujemy:

p cI I

K K l (2.94)

Szczelina wychodzca z brzegu maego otworu koowego.

Rozwamy typowe zagadnienie praktyczne, a mianowicie poczenie rubowe lub nitowane, wymagajce wykonania otworw koowych w czonych elementach.

Dowolny otwr jest zawsze koncentratorem napre, sprzyja zatem powstawaniu szczelin wychodzcych z jego brzegu. Dla oceny bezpieczestwa poczenia znajomo wspczynnika intensywnoci napre w sytuacji, gdy szczelina ju powstaa ma podstawowe znaczenie. Wyznaczymy go, korzystajc z zasady superpozycji. Zamy, e promie otworu jest may w stosunku do dugoci szczeliny, tak, e mona go pomin. Przyjmujemy ponadto, e dugo szczeliny jest maa w stosunku do szerokoci 2b czonego elementu - mona wic przyj, e obowizuj rozwizania jak dla pasma nieograniczonego. Schemat wykorzystania zasady superpozycji pokazano na Rys. 2.7.

Rys. 2.7. Ilustracja zastosowania zasady superpozycji

= - +

c

2 l

P

P

b

2 l

d

2 l

P

a

P=2b

2 l

2 b

2 b


Z Rys. 2.7 wynika, e zachodzi nastpujcy zwizek:

a b c dI I I I

K K K K (2.95)

Z oczywistych powodw konfiguracje "a" i "d" s identyczne, czyli KIa=KId. Korzystajc z postaci wspczynnikw intensywnoci napre dla konfiguracji

'b" i "c" - odpowiednio rw. (2.39) i (2.74) - otrzymujemy poszukiwany wspczynnik dla konfiguracji "a" w postaci:

a b c1 1

2 2I I I

bK K K l

l

(2.96)

2.8 SZCZELINY ELIPTYCZNE I KOOWE

Dotychczasowe rozwaania dotyczyy szczelin w paskich pytach. Jakkolwiek szczeliny takie przechodz przez ca grubo pyty, maj zatem niezerow powierzchni, to jednak jedynym istotnym z punktu widzenia ich analizy jest wymiar liniowy, okrelajcy ich dugo. Z tego powodu szczeliny te mona okreli mianem liniowych. Propagacja takich szczelin zawsze zachodzi wzdu ich kierunku. W zagadnieniach praktycznych bardzo czsto mamy jednak do czynienia z defektami (niekiedy powstajcymi ju w fazie produkcji materiau, a wic defektami technologicznymi) przyjmujcymi form szczelin, w analizie ktrych konieczne jest uwzgldnienie ich ksztatu, a zatem i powierzchni wyznaczonej tym ksztatem - mona wic nazwa je szczelinami powierzchniowymi. Czsto s to defekty wewntrzne, niewidoczne przy obserwacji zewntrznych powierzchni ciaa. Mwic obrazowo mona powiedzie, e s one jakby "uwizione" w otaczajcym je materiale. Do kategorii defektw powierzchniowych nale take szczeliny wychodzce ze swobodnych brzegw ciaa lub jego naroy, propagujce si w gb materiau. Ksztat powierzchni ograniczajcej defekty typu powierzchniowego jest nieregularny, dla celw obliczeniowych przyjmuje si jednake, z wystarczajcym stopniem dokadnoci, e brzeg powierzchni szczeliny jest eliptyczny lub koowy. W przypadku szczelin naronych - brzeg aproksymuje si "wiartk" elipsy lub koa, a dla szczelin wychodzcych ze swobodnych brzegw przyjmuje si ksztat pelipsy lub pkola. Szczeliny powierzchniowe pokazano na Rys. 2.8.

Ze wzgldu na due znaczenie praktyczne - zagadnienie szczelin powierzchniowych jest przedmiotem licznych analiz od wielu lat. Tutaj

ograniczymy si do przedstawienia jedynie podstawowych informacji. Wspczynnik intensywnoci napre dla szczeliny powierzchniowej o

ksztacie koowym, znajdujcej si w nieograniczonym orodku sprystym, poddanym rozciganiu o kierunku prostopadym do powierzchni szczeliny - Rys. 2.9 - wynosi (Sneddon [2.10]):


Rys. 2.8. Rodzaje szczelin powierzchniowych.

Rys. 2.9. Szczelina eliptyczna w ciele nieograniczonym.

2

IK a

(2.97)

Rozwizanie dla szczeliny eliptycznej (Rys. 2.9) o posiach a i c, cakowicie "zanurzonej" w materiale uzyska Irwin [2.4] w postaci:

1 42

2 2

2sin cos

I

a aK

c

(2.98)

szczelina eliptyczna

lub koowa

szczelina peliptyczna lub pkoowa

szczelina wiereliptyczna lub wierkoowa

2 c

2 a c

a

B P

A


gdzie jest cak eliptyczn drugiego rodzaju o rwnaniu:

2 2

2 2

2

0

1 sin d ; 1a

k kc

(2.99)

Rwnanie (2.98) okrela warto wspczynnika w dowolnym punkcie P brzegu szczeliny. Warto caki (2.99) mona znale w tablicach matematycznych. Moliwe jest rwnie wykorzystanie jej rozwinicia w szereg o postaci:

22 2 2 2

2 2

1 31 .....

2 4 64

c a c a

c c

(2.100)

Trzeci wyraz szeregu stanowi mniej ni 5 procent wartoci cakowitej caki i

moe by pominity. Ostatecznie - i KI maj postaci:

2

38

a

c

(2.101)

1 42

2 2

22sin cos

38

I

a aK

ca

c

(2.102)

KI osiga warto maksymaln w punkcie kocowym B mniejszej osi elipsy, a minimaln w pkt. A - tzn. na kocu osi wikszej. Tak wic otrzymamy:

Im Ain I

a aK K

c

(2.103)

Im Bax I

aK K

(2.104)

W przypadku szczelin wiereliptycznych i peliptycznych wprowadza si do podanych relacji wspczynniki korekcyjne. Podobnie czyni si w przypadku ciaa o skoczonych wymiarach. Najczciej wspczynniki te podane s w postaci wykresw lub tabel, dostpnych w tablicach wspczynnikw intensywnoci napre oraz monografiach dot. mechaniki pkania (np. Broek [2.2]).


2.9 PRZYKADY

PRZYKAD 1

Dla prbki ze szczelin w III typie obcienia (podune cinanie) przyjto funkcj przemieszcze u3 w postaci:

3u w r f (2.1.1)

Korzystajc z tego wyraenia okreli skadowe stanu naprenia i przemieszczenia.

Rozwizanie:

Zanim przystpimy do rozwizywania przykadu, okrelmy najpierw funkcje przemieszcze, odksztace i napre dla zagadnienia szczeliny III typu - Rys. 2.10.

Rys. 2.10. Szczelina w III typie obcienia.

Funkcje przemieszcze maj posta:

1 2

0u u 3 1 2

( , )u w w x x (2.1.2)

Wsprzdne tensora odksztace wyznaczone z rwna Cauchy'ego wynosz zatem:

11 22 33 12 0 131

w

x

23

2

w

x

(2.1.3)

Wsprzdne tensora naprenia obliczone z rwna Hooke'a maj posta:

11 22 33 12 0 131

wG

x

23

2

wG

x

(2.1.4)

x2 x1

x3


Wstawiajc te wsprzdne do jedynego niespenionego tosamociowo rwnania rwnowagi otrzymujemy rwnanie rwnowagi w postaci:

2 0w (2.1.5)

Po podstawieniu (2.1.1) do (2.1.5) otrzymujemy:

2

2

20

d ff

d

(2.1.6)

Rozwizaniem tego rwnania jest funkcja:

sin cosf A B (2.1.7)

Czon Bcos naley wykluczy z rozwizania ze wzgldu na antysymetri

problemu w przypadku, gdy =0. Wtedy ostatnie rwnanie przyjmuje posta:

sinf A (2.1.8)

Warunek brzegowy wzdu powierzchni szczeliny ma we wsprzdnych

biegunowych (r, , z ; zx3 ) posta:

0 dlaz (2.1.9)

Biorc pod uwag rwnanie fizyczne, z ktrego wynika zwizek:

z

G w

r

(2.1.10)

otrzymujemy warunek:

cos 0 ; 1,3,5,...2

nn (2.1.11)

Ujemne wartoci n pomijamy, gdy prowadz one do nieskoczenie duych przemieszcze w wierzchoku szczeliny (r =0). Biorc n =1 otrzymujemy osobliwe skadowe stanu naprenia oraz skoczone przemieszczenia. Funkcja przemieszcze w przyjmuje dla n =1 posta:

1 2 sin2

w A r

(2.1.12)


Niezerowe naprenia wyraone we wsprzdnych biegunowych maj postaci:

,r z z

w G wG

r r

(2.1.13)

Po podstawieniu w otrzymujemy:

1 2 sin2 2

r z

GA r

(2.1.14)

1 2 cos2 2

z

GA r

(2.1.15)

Wprowadzajc oznaczenie:

2

IIIK

AG

(2.1.16)

otrzymujemy, e stan przemieszczenia i naprenia opisany jest rwnaniami:

2

sin2 2

IIIK r

wG

(2.1.17)

sin ; cos2 22 2

III III

r z z

K K

r r

(2.1.18)

Uzyskane rozwizanie w peni odpowiada podanym uprzednio rezultatom dla szczeliny w III typie obcienia, tzn. rw. (2.59) i (2.60).


PRZYKAD 2

Sprawdzi, e funkcja napre w postaci:

2 2I

P l

z z l

(2.2.1)

odpowiada przypadkowi szczeliny o dugoci 2l w orodku nieograniczonym, obcionej dwiema siami P przyoonymi do powierzchni szczeliny w pkt. (x1=x2=0) . Okreli wspczynnik intensywnoci naprenia KI.

Rozwizanie:

Warunki brzegowe dla analizowanego problemu dla punktw pooonych w nieskoczonoci mona zapisa nastpujco:

11 22 12

0 dla z (2.2.2)

W celu wykazania, e s one spenione wystarczy zauway i funkcja napre

dla z jest tosamociowo rwna zero. Z rwna (2.27) otrzymujemy:

11 2Re Imx

22 2Re Imx (2.2.3)

12 2 Rex

Wynika std natychmiast, e zeruj si wszystkie naprenia, a tym samym spenione s warunki (2.2.2).

Zapiszmy funkcj napre dla punktw lecych na osi x1 (tzn. x2=0) - ma ona wwczas posta:

P

P

x2

x1

2 l


12 2

1 1

,0I

P lx

x x l

(2.2.4)

Z rwnania (2.2.4) wida, e dla x2=0, x1l wielko 2 2

1x l jest rzeczywista (funkcja napre skada si

wycznie z czci rzeczywistej) i zgodnie z rw. (2.2.3) naprenie 22 jest okrelone wprost przez rw. (2.2.4). Rozkad tego naprenia pokazano na Rys. 2.11.

Rys. 2.11. Rozkad naprenia 2 2 dla ppaszczyzny x2 > 0.

Sia skupiona P2 przyoona w punkcie x1=0, x2=0 musi mie tak warto, aby speniona bya rwnowaga si dziaajcych wzdu osi x1 na ppaszczynie x2>0.

Z rwnania rwnowagi otrzymujemy :

22 1 2

2 0l

d x P

(2.2.5)

122 2

1 1

2 0l

P l d xP

x x l

(2.2.6)

P

22=22 (x1)

x2

x1

2 l

x1= - l x1= l


Po obliczeniu wartoci caki (2.2.6) otrzymujemy5:

2

P P (2.2.7)

Poszukiwana sia skupiona dziaajca w punkcie x1=0, x2=0 wzdu kierunku x2

+ wynosi zatem P. Analogiczne rozumowanie dla ppaszczyzny x2


k odpowiednio wzdu kierunku x2 i x1 (Rys. 2.12). Wyprowadzi wzory na

naprenia 11, 22 oraz 12.

Rozwizanie:

W wyniku transformacji napre 11=k , 11=, otrzymujemy naprenia

11 , 22, 12 w ukadzie ( x1, x2) w postaci:

11

1 1cos 2

2 2

k k

22

1 1cos 2

2 2

k k (2.3.1)

12

1sin 2

2

k

Rys. 2.12. Nachylona szczelina w pamie nieograniczonym: a) dwuosiowe obcienie,

b) transformacja napre.

Obcienie ciaa ze szczelin, pokazane na Rys. 2.12, mona - korzystajc z zasady superpozycji - zastpi innym, rwnowanym, przedstawionym na Rys. 2.13.

Szczelina poddana jest zatem dziaaniu nastpujcych obcie:

a) dwuosiowemu rozciganiu 22,

b) jednoosiowemu rozciganiu (11- 22) wzdu osi x1,

c) obcieniu cinajcemu 12.

k k 2l

x1

x2

a

x2 x1

2l

x1

x2

b

x2 x1

22 21 12

11

22 21 12

11


Rys. 2.13. Zasada superpozycji dla obcie.

Mamy wic do czynienia z superpozycj obcienia 22 powodujcego

otwarcie szczeliny (I typ ) oraz 12powodujcego poprzeczne cinanie szczeliny

(II typ). Obcienie (11- 22) nie powoduje powstawania osobliwego pola

napre, ale musi by uwzgldnione w ostatecznej postaci naprenia *11 wzdu osi x1.

Z rwna (2.3.1) oraz rwna (2.45) i (2.56) otrzymujemy:

11

3 3cos 1 sin sin sin 2 cos cos

2 2 2 2 2 22 2

I IIK K

r r

( 1) cos 2k (2.3.2)

22

3 3cos 1 sin sin sin cos cos

2 2 2 2 2 22 2

I IIK K

r r

(2.3.3)

12

3 3cos sin cos cos 1 sin sin

2 2 2 2 2 22 2

I IIK K

r r

(2.3.4)

gdzie:

1

1 1 cos22

IK k k l (2.3.5)

1

sin 22

II

kK l

(2.3.6)

Zauwamy, e dla przypadku jednoosiowego rozcigania w kierunku osi x2, co jest rwnowane przyjciu k = 0, z zalenoci (2.3.5) i (2.3.6) otrzymujemy:

12

12

21

21

x2

x1

b 12

11

22 21

12

11

22 21

22 22

22

22

11-22

11-22 = + +


21

1 cos 2 sin2

IK l l (2.3.7)

1

sin 2 sin cos2

IIK l l (2.3.8)

Otrzymalimy zatem rozwizanie okrelajce wspczynniki intensywnoci

napre dla nieskoczonego pasma ze szczelin nachylon pod ktem do kierunku obcienia rozcigajcego, zacytowane ju wczeniej - patrz wzory (2.79) i (2.80).

PRZYKAD 4

Rozwamy krtkie pknicie o dugoci l wychodzce z brzegu otworu

koowego wzdu osi x1 w pycie poddanej jednoosiowemu rozciganiu wzdu osi x2 (Rys. 2.14) Okreli wspczynnik intensywnoci napre. Nastpnie rozway drugie pknicie o dugoci l rozprzestrzeniajce si z otworu wzdu osi x2 i okreli wspczynnik intensywnoci napre. Na koniec wyznaczy wspczynnik intensywnoci napre dla obu szczelin, gdy pyta poddana jest

dodatkowo obcieniu k wzdu osi x1. Wykorzysta rozwizanie Kirscha dla pasma z otworem koowym,

rozciganego wzdu kierunku x2 obcieniem , z ktrego wynika, e naprenia

obwodowe na brzegu otworu w punktach A i B wynosz odpowiednio 3 i - . Szczegy rozwizania mona znale np. w ksice Timoshenki i Goodiera [2.11].

Rozwizanie:

Jako pierwszy przeanalizujemy przypadek jednoosiowego rozcigania pyty wzdu osi x2 Rozwamy element materialny na obwodzie otworu w pobliu punktu A w pamie bez szczeliny. Zakadajc, e wymiary elementu s mae, mona przyj i na skutek koncentracji napre wywoanej otworem element

poddany jest dziaaniu staego naprenia rozcigajcego 3 wzdu osi x2; pozostae dwa naprenia s rwne - zgodnie z rozwizaniem Kirscha [1.4] - zero. Zakadajc, e szczelina jest bardzo krtka, mona w przyblieniu przyj konfiguracj szczelina-element-obcienie tak, jak na Rys. 2.14 a.

Wykorzystujc wzr (2.85) otrzymujemy dla krtkiej szczeliny bocznej "1" o dugoci l wspczynnik intensywnoci napre w postaci:

1 1.12 (3 ) 3.36I

K l l (2.4.1)

Analogiczne rozumowanie dla szczeliny "2" lecej wzdu osi x2 - Rys. 2.14 b - prowadzi do wspczynnika intensywnoci napre w postaci:


Rys. 2.14. Krtkie szczeliny wychodzce z otworu koowego przy dwuosiowym rozciganiu pasma nieograniczonego.

2 1.12I

K l (2.4.2)

Gdy pyta poddana jest dodatkowo dziaaniu obcienia wzdu osi x1, ktrego

warto wynosi k, moemy dokona superpozycji otrzymanych rezultatw. Otrzymamy wwczas:

1 3.36 1.12 1.12 3IK l k l k l (2.4.3)

dla szczeliny "1", oraz:

2 3.36 1.12 1.12 3 1IK k l l k l (2.4.4)

dla szczeliny "2".

Zauwamy, e dla k=1 wyraenia (2.4.3) i (2.4.4) upraszczaj si do tej samej postaci:

2.24I

K l (2.4.5)

Przywoajmy w tym miejscu zaleno (2.81) wraz z odpowiedni tabel.

a

b

k k

x1

x2

B

A l

l

szczelina 1

szczelina 2


Wida, e warto wspczynnika korekcyjnego dla jednej szczeliny, wychodzcej z brzegu otworu przy jednoosiowym rozciganiu wzdu osi x2 i dla bardzo krtkiej szczeliny (l / r=0 ) wynosi 3.39. W naszej przyblionej analizie analogicznego przypadku otrzymalimy (rw. (2.4.1)) warto bardzo zblion, a mianowicie 3.36. Dla przypadku dwuosiowego rozcigania i k=1, rozwizanie numeryczne podane we wspomnianej tabeli wynosi 2.26, za analiza przybliona (rw. (2.4.5)) daje rezultat 2.24. Tak wic uzyskane stosunkowo prostym sposobem wyniki dobrze odpowiadaj rezultatom numerycznym.

PRZYKAD 5

Zbiornik cinieniowy (powoka walcowa z zamknitymi kocami) o promieniu R

i gruboci t posiada skon szczelin o dugoci 2l nachylon pod ktem do kierunku obwodowego. Okreli wspczynniki intensywnoci napre w wierzchoku szczeliny przy obcieniu zbiornika cinieniem wewntrznym p - Rys. 2.15.

Rys. 2.15. Cienkocienny zbiornik cinieniowy ze szczelin.

Rozwizanie:

Naprenie obwodowe i podune z w zbiorniku otrzymujemy z warunkw rwnowagi si - Rys. 2.16.

Rwnowaga si wzdu osi zbiornika (kierunek poudnikowy) - Rys. 2.16 a - prowadzi do rwnania :

222

z z

R pR t R p

t (2.5.1)

W celu wyznaczenia naprenia obwodowego skorzystajmy z Rys. 2.16 b.

2l

z

z

z

R

t

p


Rys. 2.16. Rwnowaga si na kierunku: a) poudnikowym, b) rwnolenikowym (obwodowym) w cienkociennym zbiorniku cinieniowym.

Cinienie p dziaajce w dowolnym punkcie wewntrznego brzegu zbiornika -prostopadle do tego brzegu - mona rozoy na skadow poziom p2 i pionow p1. Ze wzgldu na antysymetri skadowych poziomych - wywoana nimi sia zeruje si. Rwnowaga si pionowych (Rys. 2.16 b) prowadzi do rwnania:

1

2 0s

p d s t

(2.5.2)

Caka wystpujca w (2.5.2) wynosi:

1

0

sin sin 2s s

p d s p d s p R d p R

(2.5.3)

Ostatecznie zatem rwnanie rwnowagi i wynikajce z niego naprenie obwodowe maj postaci:

2 2R p

t R pt

(2.5.4)

Zauwamy, e wprowadzajc oznaczenia:

1 2R p t k (2.5.5)

naprenia obwodowe i poudnikowe maj postaci:

z

k (2.5.6)

p

p1=p sin

p2=p cos

2R t

p

b

R

t

p

p

a


Obcienie elementu powierzchni zbiornika zawierajcego szczelin jest zatem identyczne jak to, ktre analizowano w przykadzie 3 (Rys. 2.12 a). Korzystajc z uzyskanych w tym przykadzie rozwiza (2.3.5) i (2.3.6), po wstawieniu do nich (2.5.6) i prostych przeksztaceniach, otrzymujemy dla niniejszego zadania nastpujce postaci wspczynnikw intensywnoci napre:

21 sin2

I

R pK l

t (2.5.7)

sin cos2

II

R pK l

t (2.5.8)

Na marginesie rozwizania tego zadania nasuwa si autorowi pewna dygresja, ktr uwaa za godn przedstawienia. Chcc przybliy ten przykad studentom, od wielu lat posuguj si w czasie wykadw z wytrzymaoci materiaw analogi cienkociennego zbiornika z zamknitymi denkami do parwki. I zadaj studentom pytanie, jak gotowana parwka (a zatem rozpychana od wewntrz cinieniem pochodzcym od pczniejcej zawartoci) pka. Wszyscy udzielaj prawidowej odpowiedzi, e zawsze wzdu. I wwczas wykorzystuj wiedz cis (ktra wiedzie do tej samej konkluzji), aby wykaza suchaczom, jak ycie codzienne jest bliskie nauk technicznych. W wielu przypadkach jak miaem okazj si przekona jest to jedyny przykad, ktry po wielu latach pamitaj byli studenci!

PRZYKAD 6

Obliczy dopuszczaln dugo szczeliny l umieszczonej centralnie w pamie o szerokoci 30 cm, poddanym rwnomiernemu rozciganiu cinieniem o wartoci 140 MPa. Krytyczna warto wspczynnika intensywnoci napre wynosi 55 MPa m

1/2, wytrzymao dorana na rozciganie ma warto 350 MPa.

b = 0,15 m

= 140 MPa

Rm = 350 MPa

KIc= 55 MPa m1/2

2 b

2 l


Rozwizanie:

Dopuszczaln dugo szczeliny wyznaczamy z warunku:

I I c

K K (2.6.1)

Wspczynnik intensywnoci napre dla analizowanej konfiguracji ma posta okrelon przez rwnanie (2.83), tzn.:

2 3

1 0.128 0.288 1.523I

K l l b l b l b

(2.6.2)

Rozwizanie zadania sprowadza si zatem do znalezienia pierwiastka nieliniowego rwnania algebraicznego o postaci:

2 331.03

1 0.853 12.8 451.26 0l l l l

(2.6.3)

Do jego rozwizania uyto programu Mathcad, przy czym obliczenia wykonano dla rnych wartoci obcienia, dziki czemu moliwe byo wyznaczenie krzywej nonoci pasma - tzn. krzywej pozwalajcej okreli dugo szczeliny dopuszczalnej przy dowolnym poziomie obcienia, bd alternatywnie okrelenie obcienia dopuszczalnego przy danej dugoci szczeliny. Wyniki oblicze przedstawiono na Rys. 2.17.

Z wykresu wida, e czym wiksze obcienie tym mniejsza jest dugo

dopuszczalna szczeliny. Zauwamy, e dla szczelin bardzo krtkich ( 2 l 1.6 cm) obcienie niszczce wynikajce z rozwizania zgodnego z mechanik pkania jest wiksze ni wytrzymao dorana. Oznacza to, e pasmo ulegnie zniszczeniu nie wskutek obecnoci szczeliny, ale w wyniku przekroczenia wytrzymaoci (utrata nonoci). Szczelina nie powoduje w tym wypadku zmniejszenia nonoci pasma. Zwrmy take uwag na to, e dla szczelin o dugoci 2 l przekraczajcej 21 cm uzyskane rozwizanie jest wtpliwe, gdy wykorzystany w rozwizaniu wspczynnik intensywnoci napre obowizuje w zasadzie dla stosunku l/b nieprzekraczajcego wartoci 0.7.

Z Rys. 2.17 moemy odczyta rozwizanie naszego zadania. Dla obcienia 140 MPa dopuszczalna warto dugoci szczeliny wynosi 2 l = 8,88 cm.

Na Rys. 2.17 pokazano rwnie krzyw wytrzymaoci uzyskan na podstawie wspczynnika intensywnoci napre dla pasma o nieograniczonych wymiarach. Rwnanie tej krzywej ma posta

/Ic

K l (2.6.4)


Z porwnania obu krzywych na Rys. 2.17 wida, e w przypadku szczelin krtkich rnica midzy nimi jest znikomo maa. Wraz ze wzrostem dugoci szczeliny coraz silniejszy jest wpyw skoczonej szerokoci pasma, objawiajcy si tym, e dla ustalonej dugoci szczeliny wytrzymao takiego pasma jest mniejsza ni pasma nieskoczonego.

W analogiczny sposb do przedstawionego powyej mona wyznacza krzywe nonoci dla innych konfiguracji ciaa ze szczelin.

Rys. 2.17. Krzywe nonoci dla pasma ze szczelin centraln.

PRZYKAD 7

Obliczy dopuszczaln dugo centralnej szczeliny l1 , jak mona wprowadzi do rozciganego pasma o szerokoci 2b osabionego dwiema szczelinami krawdziowymi o dugoci l kada, nie zmniejszajc nonoci pasma.

Rozwizanie:

Zadanie rozwiemy przy zaoeniu, e szczelina centralna znajduje si dostatecznie daleko od szczelin krawdziowych, mona wic zaniedba interakcj szczelin.

Wspczynnik intensywnoci napre dla pasma ze szczelinami krawdziowymi opisuje rwnanie (2.86):

0,0

50,0

100,0

150,0

200,0

250,0

300,0

350,0

400,0

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0

dugo szczeliny l [cm]

ob

cie

nie

[M

Pa]

pasmo o skoczonej szerokoci

pasmo nieskoczone

l/b =0.7

140

4.44

wytrzymao dorana


2 3

1.12 0.2 1.2 1.93I

l l lK l

b b b

(2.7.1)

Obcienie krytyczne wynikajce z warunku KI =K Ic wyraa si zalenoci:

1 2.2379kr I c

K (2.7.2)

Dla szczeliny centralnej wspczynnik intensywnoci napre obliczamy z rwnania (2.83):

2 3

1 1 1

11 0.128 0.288 1.523

I

l l lK l

b b b

(2.7.3)

Obcienie krytyczne dla takiej szczeliny wyraa si zalenoci:

1

2 2 3

1 1 1 11.772 0.907 8.167 172.76

kr I cK l l l l

(2.7.4)

Z tematu zadania wynika, e wprowadzenie szczeliny centralnej do pasma ze szczelinami krawdziowymi nie moe zmniejsza jego nonoci - midzy obcieniami krytycznymi dla tych dwu sytuacji musi zachodzi zatem warunek:

1 2kr kr

(2.7.5)

Wstawiajc (2.7.2) i (2.7.4) do (2.7.5), po wykonaniu oblicze otrzymujemy dopuszczaln dugo szczeliny centralnej:

2b = 0 5 m

l = 0.05 m

2b

l l

l1


1

2 11.88 cml (2.7.6)

Zauwamy, e dugo szczeliny, jak mona wprowadzi do pasma bez zmniejszenia jego nonoci jest wiksza nie tylko od dugoci pojedynczej szczeliny krawdziowej (5 cm), ale nawet od sumy dugoci obu szczelin krawdziowych. wiadczy to o tym, e obnienie nonoci na skutek obecnoci szczeliny zaley nie tylko od jej dugoci, ale rwnie konfiguracji ciao-obcienie-szczelina, wyraonej postaci wspczynnika intensywnoci napre.

PRZYKAD 8

Porwna nono rozciganego pasma o szerokoci 2b w trzech przypadkach: 1) ze szczelin centraln 2l, 2) z jedn szczelin krawdziow l, 3) z dwiema szczelinami krawdziowymi o dugoci l kada.

Rozwizanie:

Wspczynniki intensywnoci napre dla rozwaanych konfiguracji maj postaci:

2 3

1 1 0.128 0.288 1.523I

l l lK l

b b b

(2.8.1)

2 3 4

2 1.12 0.23 10.55 21.72 30.39I

l l l lK l

b b b b

(2.8.2)

2 3

3 1.12 0.2 1.2 1.93I

l l lK l

b b b

(2.8.3)

1

2 l

2b=0.5 m

l

2b=0.5 m

2

l l

2b=0.5 m

3


Obcienie krytyczne k r , a zatem i nono, wynika z warunku K I=K Ic. Wyniki odpowiednich oblicze przedstawiono na Rys. 2.18.

Rys. 2.18. Obcienie krytyczne k r /K I c w funkcji bezwymiarowej dugoci szczeliny l/b.

Z Rys. 2.18 wida, e przy ustalonej dugoci szczeliny najmniejsz nono ma zawsze pasmo z jedn szczelin krawdziow, mimo e nominalna powierzchnia przekroju (tzn. powierzchnia cakowita pomniejszona o powierzchni szczeliny) w paszczynie szczeliny jest w tym przypadku najwiksza. Uoglniajc t obserwacj mona powiedzie, e niesymetryczne konfiguracje ciao-szczelina-obcienie s szczeglnie niebezpieczne, gdy najbardziej obniaj nono elementu konstrukcyjnego.

PRZYKAD 9

Porwna nono rozciganego pasma o szerokoci 2b ze szczelin centraln 2l stosujc met. mechaniki pkania oraz met. napre nominalnych.

Rozwizanie:

Klasyczny sposb wyznaczania nonoci rozciganego elementu osabionego otworem czy naciciem polega na wykorzystaniu przy obliczaniu naprenia tzw. przekroju nominalnego. Jego powierzchnia jest rwna powierzchni przekroju cakowitego pomniejszonej o powierzchni nacicia. Przekrj nominalny ma wic powierzchni rwn:

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

l / b

ob

c. k

ryty

czn

e /

KIc

[m

-1/2

]

szczelina centralna

szczelina boczna

2 szczeliny boczne


1nom szcz

lA A A A

b

(2.9.1)

gdzie: A = 2 b B.

Warunek rwnowagi si ma posta:

1

1nom nom nom

lA A

b

(2.9.2)

Korzystajc z warunku wytrzymaociowego nom


Rys. 2.19. Nono rozciganego pasma ze szczelin centraln.

Wida, e o nonoci elementu moe decydowa zarwno kryterium napre nominalnych, jak i kryterium mechaniki pkania - zalenie od stosunku dugoci szczeliny i szerokoci pasma. W analizowanym zadaniu tak wartoci graniczn

tego stosunku jest l/b0.02. Oznacza to, e dla szczelin o dugoci cakowitej 2l mniejszej od ok. 1 cm odpowiednie jest kryterium napre nominalnych (daje ono mniejsz nono elementu), a dla szczelin duszych od 1 cm naley posugiwa si metodami mechaniki pkania.

0

150

300

450

600

750

900

1050

0 50 100 150 200 250

b / l

ob

c. k

ryty

czn

e [M

Pa] mechanika pkania

naprenia nominalne

ROZDZIA 3

3 UPLASTYCZNIENIE W POBLIU WIERZCHOKA SZCZELINY

3.1 SPRYSTO-PLASTYCZNE POLE NAPRE W POBLIU WIERZCHOKA SZCZELINY

Obserwacje dowiadczalne rozciganych prbek metalowych ze szczelinami dowodz, e odksztacenia wystpujce w strefach przylegajcych do wierzchokw szczelin w wielu przypadkach s odksztaceniami plastycznymi, wykraczajcymi poza zakres odksztace, ktre mona opisa na gruncie liniowej teorii sprystoci. Rozwizania liniowo sprystej mechaniki pkania (LSMP) trac wic w tych obszarach, zwanych strefami plastycznymi, swoj wano.

Zwrmy w tym miejscu uwag na sprzeczno liniowo sprystego rozwizania zadania szczeliny, a w szczeglnoci sprystego rozkadu napre z wynikami obserwacji. Wynika z niego, e naprenie w wierzchoku szczeliny osiga warto nieskoczenie du przy dowolnie maym obcieniu, a mimo to nie wystpi odksztacenia plastyczne. Jest to jednak wycznie skutek stosowanego opisu matematycznego, a nie efekt znajdujcy uzasadnienie fizyczne - naprenie musi bowiem mie warto skoczon - np. w przypadku materiau idealnie sprysto-plastycznego nie wiksz ni granica plastycznoci. W sprystej analizie szczeliny fakt ten zupenie si ignoruje. Chcc zatem uwzgldni sprysto-plastyczne wasnoci materiau naleaoby zastosowa opis szczeliny na gruncie teorii plastycznoci. Pomijajc zwizane z tym trudnoci, bardzo dua ilo istniejcych rozwiza sprystych bya wystarczajco silnym powodem, aby poszukiwa takiego podejcia do uplastycznienia w ssiedztwie wierzchoka szczeliny, ktre pozwolioby wykorzysta te rozwizania, a jednoczenie w miar poprawnie opisywao efekt uplastycznienia strefy przywierzchokowej.

Okazuje si, e pod pewnymi warunkami rozwizania LSMP mog nadal by uyteczne przy analizie szczelin ze strefami plastycznymi. Zesp tych warunkw,

78 Uplastycznienie w pobliu wierzchoka szczeliny

do oglnie sformuowanych, prowadzi do pojcia tzw. uplastycznienia maego zasigu (UMZ). Uwaa si, e mamy do czynienia z UMZ, wwczas gdy strefa plastyczna wok wierzchoka jest wystarczajco maa w stosunku do dugoci szczeliny i innych wymiarw geometrycznych ciaa, tak e spryste pole napre wci moe stanowi dobre oszacowanie pola rzeczywistego. Jest to w pewnym sensie warunek "asymptotyczny", w tym znaczeniu, e wraz ze wzrostem obcienia (a zarazem z powikszaniem si strefy plastycznej) jest on coraz silniej zaburzony. Mwic w przyblieniu, zaoenie o UMZ jest tak dugo sensowne, jak obcienie zewntrzne jest stosunkowo mae - np. Hutchinson [3.2] twierdzi, e o UMZ mona mwi wwczas, gdy obcienie jest nie wiksze ni poowa obcienia wywoujcego pene uplastycznienie.

3.1.1 Model Irwina

W dalszej analizie ograniczymy si do szczeliny w I typie obcienia, dla ktrej

rozkad napre sprystych wzdu osi szczeliny(=0) ma przebieg jak na Rys. 3.1 a. Zakadajc, e materia jest idealnie sprysto-plastyczny naprenia nie

mog przekroczy wartoci granicy plastycznoci ys. Jest wic oczywiste, e rozkad napre musi by taki, aby w strefie przywierzchokowej naprenia w

punktach, w ktrych yys byy stae i rwne ys, a poza t stref malay wraz z oddalaniem si od wierzchoka szczeliny. Problem sprowadza si do wyznaczenia dugoci strefy plastycznej rp oraz rozkadu napre poza t strefa - Rys. 3.1 b.

Pierwsz historycznie, ale cigle majc znaczenie praktyczne, koncepcj uwzgldnienia uplastycznienia w strefie wierzchokowej bya koncepcja Irwina [3.3] bazujca na zaoeniu, e w rozkad ten moe by uzyskany w oparciu o osobliwy, sprysty rozkad napre poprzez "obcicie" wykresu tego rozkadu na

poziomie y=ys - Rys. 3.1 c. Jest to tzw. pierwsze przyblienie przyjmuje si, e strefa plastyczna ma

dugo , ktra wynika z warunku :

2

I

y s

K

podstawy mechaniki pękania

Documents