lmi

Rpublique Algrienne Dmocratique et Populaire Universit Mentouri, Constantine Dpartement dElectronique

MEMOIREN d'ordre : N de srie : Prsent en vu de lobtention du diplme de Magistre en Electronique

THEMEContrle Multiobjectif Via la Parametrisation de Youla et lOptimisation LMI

OPTION :

ContrlePrsent Par :

ZIANI SalimSOUTENU LE 28 / 11 / 2006

Devant le jury : Prsident Encadreur : Mr Belarbi Khaled : Mr Filali Salim Mr Benalla Hocine Professeur Professeur Professeur Professeur Univ. Constantine Univ. Constantine Univ. Constantine Univ. Constantine

Examinateurs : Mr Bennia Abdelhak

Contrle Multiobjectif via la parametrisation de Youla et loptimisation LMI

Sommaire


SOMMAIRE :INTRODUCTION CHAPITRE 01 : INTRODUCTION A LA SYNTHESE H2 ET HI. DEFINITION DES NORMES DES SYSTEMES LINEAIRES STATIONNAIRES... 04

01

a. La norme H2 1.1. Dfinition de la norme H2 dune matrice de transfert 1.2. Calcul de la norme H2 b. La norme H 2.1. Dfinition de la norme H dune matrice de transfert 2.1. Cas monovariable 2.2. Cas multivariable II. DESCRIPTION DES PERFORMANCES 1. Condition de stabilit 1. Les fonctions de sensibilits 2. Rgulation 3. Compromis performance/robustesse III. SYNTHESE ROBUSTE 1. Spcification de performance 2. La contrainte de stabilit robuste 3. La contrainte sur la commande 4. Le systme augment IV. SYNTHESE H a. Introduction b. Spcifications H c. Algorithme du correcteur H V. SYNTHESE H2 a. Introduction Sommaire

04 04 04 04 04 04 05 05 05 06 06 07 09 09 09 10 10 11 11 12 13 16 16


b. Algorithme du correcteur H2 VI. CONCLUSION

17 18

CHAPITRE 02 : PARAMETRISATION DE YOULAI. II. III. INTRODUCTION PRINCIPE DE LA PARAMETRISATION DE YOULA PROPRIETES a. b. c. d. IV. Proprit 01 : la relation bijective Proprit 02 : la reprsentation standard Proprit 03 : interprtation dans lespace dtat Proprit 04 : la convexit 20 21 23 23 23 24 25 25 25 27 27 27 28 28 30 30 31

INTERPRETATION PAR UN SYSTEME STABLE Correcteur un degr de libert

V.

SPECIFICATION EN BOUCLE FERMEE 1. 2. 3. 4. 5. 6. Motivation de la formulation des spcifications en boucle ferme . Contrainte et critre convexe Ensembles des transferts atteignable par des correcteurs stabilisant Contraintes temporelles Contraintes frquentielles Problme doptimisation avec le paramtre de Youla

VI.

CONCLUSION

CHAPITRE 03 : OBSERVATEUR / RETOUR DETATI. INTRODUCTION II. UTILISATION EN BOUCLE FERMEE III. REPRESENTATION DETAT DU SYSTEME EN BOUCLE FERMEE IV. V. VI. CAS REGULATEUR / OBSERVATEUR INTRODUCTION DE LA PARAMETRISATION DE YOULA AVEC REGULATEUR /OBSERVATEUR SYNTHESE Q-PARAMETRISATION ET REGULATEUR / OBSERVATEUR 33 33 34 34 35 36

Sommaire


CHAPITRE 04 : OPTIMISATION CONVEXE LMII. II. INTRODUCTION OPTIMISATION LMI a. dfinition des Ingalit Matricielle Affine b. Problme doptimisation sous contrainte LMI III. LES OUTILS TECHNIQUES POUR LA FORMULATION LMI 1. Lemme de Schur 2. Lemme dlimination 3. Lemme S-procdure 4. Corollaire de la S-procdure 5. Changement de variable de base 6. Variables Bidons 7. Modification par congruence IV. MISE SOUS FORME DOPTIMISATION LMI a. Problme de faisabilit b. Minimisation dune fonction de cot linaire c. Minimisation des valeurs propres gnralises V. FORMULATION DE QUELQUES CRITERE DOPTIMISATION a. H 1.1. Caractrisation matricielle 1.2. Synthse H 1.2.1. Synthse H par retour dtat 1.2.2. Synthse H par retour de sortie 1.2.3. Exemple de simulation b. H2 2.1. Caractrisation matricielle 2.2. Synthse H2 2.2.1. Synthse H2 par retour de sortie 2.2.2. Synthse H2 par retour dtat c. -stabilit 3.1. Dfinition 3.2. Caractrisation matricielle 3.3. Synthse -stabilit Sommaire 40 40 40 41 42 42 43 43 44 44 44 44 44 45 46 46 47 47 47 48 48 48 50 52 52 53 53 54 55 55 56 57


3.3.1. Synthse -stabilit par retour dtat 3.3.2. Synthse -stabilit par retour de sortie VI. CONCLUSION

57 58 59

CHAPITRE 05 : SYNTHESE MULTIOBJECTIVE / APPLICATIONI. II. INTRODUCTION PROBLEME MULTICRITERE a. CRITERE ||T1||0} est convexe ce qui nous amne considrer une contrainte LMI comme une contrainte convexe Un systme de plusieurs LMIs est une LMI : Soient : C1={xRm , / Q(x)>0} C2={xRm , / P(x)>0} etQ(x)>0 P(x)>0 Q(x) 0 >0 0 P(x)

(4.3)

Alors lintersection de deux domaines de contraintes est dfinit par : C12 =xR n /Q(x) 0 >0 0 P(x) 6. Corollaire : Cette proprit dcoule du fait que les valeurs propres dune matrice diagonale par bloc sont constituent par les valeurs propres des matrices sur la diagonale.

III. LES OUTILS TECHNIQUES POUR LA FORLMULATION LMI :

Ces outils permettent dexprimer des problmes danalyse ou de commande de systme doptimisation sous contraintes LMI. En effet la mise sous forme LMI dun problme doptimisation consiste dans un premier temps traduire les contraintes par des ingalit matricielles que lon tente en suite de rendre affine en fonction des variables doptimisations. [7, 18, 19, 20, 21, 22]

1. Lemme de Schur : Le complment de Schur ou le Lemme de Schur est outil fondamental dans le maniement des ingalits matricielles ; en effet, il permet dans certain cas de mettre sous forme LMI des contraintes non linaires.

Dfinition : Soient les matrices symtriques (Q,S) RnxnxRnxm et RRnxm 42

Chapitre 4

LMI (Linear Matrix Inequality)

Alors les deux propositions sont quivalentes : Q>0 et S(x)-R(x)TA(x)-1R(x)>0 (4.4) Q(x) R(x) >0 RT (x)S(x)

2. Lemme dlimination : Dfinition : Soient trois matrices GRnxn URnxp VRnxq alors les trois problmes suivants sont quivalant : KRpxq, G+UKVT+VKTUT0

(4.7)

5. Changement de variable sur x

6. Introduction des variables supplmentaires (ou variables bidons)

7. Modification par congruence :

Soient les deux matrices ACnxn and Cnxm si A>0 alors TA >0 Un exemple sur ce critre est dfinit dans .II. chapitre dapplication.

(4.8)

IV. MISE SOUS FORME DE PROBLEME DOPTIMISATION LMI :[17]

Un LMI est une contrainte daffinage sur les variables de conception. Des caractristiques attnuation telles que le placement de rgional de ples , la stabilit robuste, lexcution LQG, ou de RMS gain peuvent tre exprim comme LMIs. Par exemple une ingalit de Lyapunov est un LMI exprimant la stabilit. Combinant ces caractristiques dfinit un problme multiobjectif de conception qui peut tre rsolu numriquement par lintermdiaire de loptimisation convexe .

Pour rsoudre un problme doptimisation convexe sous contrainte LMI, on se ramne un des trois problmes suivant :

44

Chapitre 4


1. Problme de faisabilit : Dfinition :

Trouver xCRn tel que F(x)>0 (4.9)

Le problme est faisable si C0 il existe un ensemble non vide des x vrifiant lingalit F(x)>0. [21]Note.Sous Matlab, la recherche dune solution globale ( une tolrance bien dtermine) est

assure par la fonction feasp.Note importante :

Il est difficile dtablir un compromis entre les demandes (le cahier charge de lautomaticien), il est souhaitable de pouvoir : Poser un cahier de charge faisable Chiffrer les limites de performance atteignable par le systme Analyser la faisabilit dun cahier de charge donn Etudier les performances entre les diffrentes demandes Optimiser les performance On conclut cette spcification par ce organigramme

Spcifications

Systme

non

Analyse de faisabilit

oui Solution

Fig.IV.1. Organigramme de teste de faisabilit

45

Chapitre 4


2. La minimisation dune fonction de cot linaire : Dfinition :

On cherche minimiser un objectif linaire sous contraintes LMI min CTx xRm / F(x)>0 O CT est un vecteur ligne donn. [17, 21]Note.Sous Matlab, la recherche dune solution globale ( une tolrance bien dtermine) est

(4.10)

assure par la fonction mincx

3. Minimisation de valeur propre gnralis Dfinition :

On cherche minimiser la plus grande valeur propre gnralise du systme (P(x),Q(x)) sous la contrainte LMI R(x)>0 , c..d. minimiser pour R, xRm contraint par P(x) - Q(x) > 0 Px) > 0 Q(x) > 0 Autre criture du problme : minimiser max[P(x), Q(x)] pour R, xRm contraint par Px) > 0 Q(x) > 0 (4.12) (4.11)

Proprit :

C'est un problme d'optimisation quasi convexe car on cherche le minimum d'une fonction de cot quasi convexe (f(x)= max(P(x), Q(x))) pour la variable de dcision x

appartenant un ensemble convexe dfini par les contraintes P(x) > 0 et Q(x)>0. [7, 17, 21]

Note.Sous Matlab, la recherche dune solution globale est assure par la fonction gevp. 46

Chapitre 4


On peut tirer daprs les trois cas de rsolution par LMI la conclusion suivantes : la solution par la minimisation dune fonction cot donne une solution globale par contre les deux autres solutions sont des solutions locales.

V. FORMULATION DE QUELQUES CRITERE :[2, 7, 17, 18, 19, 20, 21, 22] 1. Formulation de la nome H 1.1. Caractrisation matricielle :

Un systme discret (A, B, C, D) est stable et admet une norme H infrieure un niveau >0 ssi P=PT>0 telle que : P 1 A B 0 AT P 0 C T C(zI A)1B+ D

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