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Redaktor prowadzący: Małgorzata Kulik

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ISBN: 978-83-283-5058-8

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Spis tre ciWst p ............................................................................................ 13

Rozdzia 1. Powtórka z matematyki .................................................................. 15Pot gowanie i pierwiastkowanie .................................................................................... 15

Pot gowanie ............................................................................................................ 15Pierwiastkowanie .................................................................................................... 16

Logarytmy ...................................................................................................................... 16Logarytm logab ........................................................................................................ 16Logarytm naturalny lna ........................................................................................... 17Logarytm dziesi tny log10a albo lga ....................................................................... 17Przeliczanie logarytmów ......................................................................................... 17Logarytmy w JavaScript ......................................................................................... 18

Trygonometria ................................................................................................................ 18Miary k ta ............................................................................................................... 19Przeliczanie stopni na radiany i radianów na stopnie .............................................. 21Funkcje trygonometryczne k ta pe nego ................................................................. 21Funkcje cyklometryczne ......................................................................................... 23Funkcje hiperboliczne ............................................................................................. 25Uk ad wspó rz dnych w JavaScript ........................................................................ 25Inne ......................................................................................................................... 25

Rozdzia 2. Teoria informacji — podstawowe poj cia ........................................ 27Ró norodno ................................................................................................................. 27Prawdopodobie stwo ...................................................................................................... 29Entropia .......................................................................................................................... 30

Rozdzia 3. Spójniki logiczne i logika zda ........................................................ 33Wprowadzenie ................................................................................................................ 33Spójniki jednoargumentowe ........................................................................................... 34

verum ...................................................................................................................... 34falsum ...................................................................................................................... 35assert ....................................................................................................................... 35! ............................................................................................................................... 36

Spójniki dwuargumentowe ............................................................................................. 37&& .......................................................................................................................... 37|| ............................................................................................................................... 39NAND ..................................................................................................................... 39NOR ........................................................................................................................ 40XOR ........................................................................................................................ 40NXOR ..................................................................................................................... 41IMP ......................................................................................................................... 42IMPR ....................................................................................................................... 42

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4 Matematyka dla programistów JavaScript

Inne spójniki ................................................................................................................... 43activ ......................................................................................................................... 43deactiv ..................................................................................................................... 44

Rozdzia 4. Logiki trójwarto ciowe ................................................................... 45Przyk ady u ycia ............................................................................................................ 49

Koniunkcja .............................................................................................................. 49Alternatywa ............................................................................................................. 49

Rozdzia 5. Operatory i obliczenia binarne ......................................................... 51Liczby binarne ................................................................................................................ 51Operatory binarne ........................................................................................................... 53

Operator iloczynu bitowego & ................................................................................ 53Operator sumy bitowej | .......................................................................................... 54Operator bitowej ró nicy symetrycznej ^ ................................................................ 55Operator negacji bitowej ~ ...................................................................................... 55Operator przesuni cia bitowego w lewo << ............................................................ 56Operator przesuni cia bitowego w prawo >> .......................................................... 56Operator przesuni cia bitowego w prawo z uzupe nieniem zerami >>> ................. 57

Zastosowania operacji binarnych .................................................................................... 58Sprawdzanie parzysto ci ......................................................................................... 58Maskowanie binarne ............................................................................................... 58W czanie bitów ...................................................................................................... 59Wy czanie bitów .................................................................................................... 59Odwracanie bitów ................................................................................................... 60Sprawdzanie warto ci bitu ...................................................................................... 60Wycinanie bitów ..................................................................................................... 60Flagi binarne ........................................................................................................... 61

Zegar binarny ................................................................................................................. 63Kod BCD ................................................................................................................ 63Zapis czasu .............................................................................................................. 63Przyk ad .................................................................................................................. 65

Rozdzia 6. Liczby heksadecymalne i kolory ...................................................... 67Liczby heksadecymalne .................................................................................................. 67Kolory RGB i RGBA ..................................................................................................... 69Kolory HSL .................................................................................................................... 71Przyk ady ........................................................................................................................ 72

Rozdzia 7. Rachunek zbiorów i kompozycja kolorów ......................................... 73Zbiór ............................................................................................................................... 73Operacje na zbiorach ...................................................................................................... 74

Dope nienie zbioru .................................................................................................. 74Suma zbiorów ......................................................................................................... 74Iloczyn zbiorów ....................................................................................................... 75Ró nica zbiorów ..................................................................................................... 75Ró nica symetryczna zbiorów ................................................................................ 75Zawieranie si zbiorów ........................................................................................... 76

Kompozycja kolorów ..................................................................................................... 77Obliczenia ............................................................................................................... 79

Regu y Portera-Duffa ..................................................................................................... 81copy ......................................................................................................................... 81destination-atop ....................................................................................................... 81destination-in ........................................................................................................... 82destination-out ......................................................................................................... 82destination-over ....................................................................................................... 83




Spis tre ci 5

lighter ...................................................................................................................... 83source-atop .............................................................................................................. 84source-in .................................................................................................................. 84source-out ................................................................................................................ 85source-over .............................................................................................................. 85xor ........................................................................................................................... 86

Rozdzia 8. Liczby pierwsze .............................................................................. 87Generowanie liczb pierwszych ....................................................................................... 87

Liczba pierwsza wi ksza od n ................................................................................. 87Liczba pierwsza Eulera ........................................................................................... 88Liczba pierwsza Mersenne’a ................................................................................... 88Liczby pierwsze w podanym zakresie ..................................................................... 89

Testy pierwszo ci ........................................................................................................... 90Ma e liczby .............................................................................................................. 90Du e liczby ............................................................................................................. 90

Faktoryzacja ................................................................................................................... 91Dodatki ........................................................................................................................... 92

Rozdzia 9. Liczby i ci g Fibonacciego .............................................................. 93Liczba ......................................................................................................................... 93Ci g Fibonacciego .......................................................................................................... 94

Definicja .................................................................................................................. 94Granica .................................................................................................................... 94Wzór Bineta ............................................................................................................ 95Algorytmy ............................................................................................................... 96Powtórka z matematyki ........................................................................................... 97W a ciwo ci .......................................................................................................... 101

Zastosowania i wyst powanie ...................................................................................... 107Muzyka ................................................................................................................. 107Literatura ............................................................................................................... 107Ekonomia .............................................................................................................. 107Informatyka ........................................................................................................... 108Dodatki .................................................................................................................. 108

Rozdzia 10. Kombinatoryka ............................................................................. 109Silnia ............................................................................................................................ 109Rozk ad dwumianowy .................................................................................................. 109

Rzut jedn monet ................................................................................................. 109Rzut dwiema monetami ......................................................................................... 110Rzut trzema monetami .......................................................................................... 111Rzut czterema monetami ....................................................................................... 111Rzut n monetami ................................................................................................... 111

Trójk t Pascala ............................................................................................................. 112Prawdopodobie stwo wyrzucenia ......................................................................... 113

Symbol Newtona .......................................................................................................... 114Dwumian Newtona ....................................................................................................... 114Kombinacje .................................................................................................................. 115

Kombinacje bez powtórze ................................................................................... 115Kombinacje z powtórzeniami ................................................................................ 116

Wariacje ....................................................................................................................... 117Wariacje bez powtórze ........................................................................................ 117Wariacje z powtórzeniami ..................................................................................... 118

Permutacje .................................................................................................................... 119Permutacje bez powtórze .................................................................................... 119Permutacje z powtórzeniami ................................................................................. 120





Co wybra ? ................................................................................................................... 121Przyk ad 1. ............................................................................................................ 121Przyk ad 2. ............................................................................................................ 121Przyk ad 3. ............................................................................................................ 122Przyk ad 4. ............................................................................................................ 122

Liczby Stirlinga II rodzaju (dla podzbiorów) ............................................................... 122Rozmieszczenie kul w urnach ............................................................................... 124

Inwersje (permutacje bez punktów sta ych) .................................................................. 134Liczby Catalana ............................................................................................................ 135

czenie nawiasami ...................................................................................................... 136Liczby Bella ................................................................................................................. 136Tworzenie niepustych podzbiorów ............................................................................... 137Dodatki ......................................................................................................................... 138

Rozdzia 11. Statystyka — praca z danymi ....................................................... 139Dane ............................................................................................................................. 139

D ugo ................................................................................................................. 139Waga ..................................................................................................................... 139

Porz dkowanie danych ................................................................................................. 140Szereg rozdzielczy jednostopniowy ...................................................................... 140Szereg rozdzielczy wielostopniowy ...................................................................... 141

Wykresy danych ........................................................................................................... 143Histogram .............................................................................................................. 143Wykres ko owy ..................................................................................................... 145Wykres liniowy ..................................................................................................... 148

Porównanie danych ...................................................................................................... 148D ugo samic ....................................................................................................... 148D ugo samców ................................................................................................... 149Waga samic ........................................................................................................... 149Waga samców ....................................................................................................... 149

Ocena danych ............................................................................................................... 149Min, max, rozst p .................................................................................................. 150Suma ..................................................................................................................... 151Wska nik struktury ............................................................................................... 152Wska nik nat enia ............................................................................................... 152

rednia arytmetyczna ............................................................................................ 153Dominanta ............................................................................................................. 154Percentyle .............................................................................................................. 154Wariancja .............................................................................................................. 156Odchylenie standardowe ....................................................................................... 158Wspó czynnik zmienno ci .................................................................................... 159Momenty redniej ................................................................................................. 159Inne wspó czynniki ............................................................................................... 162

Materia y dodatkowe .................................................................................................... 162

Rozdzia 12. Wska niki ró norodno ci i podobie stwa ....................................... 163Wska nik Margalefa ..................................................................................................... 163Wska nik Simpsona ..................................................................................................... 164Wska nik Shannona-Wienera ....................................................................................... 165Wska nik Pielou ........................................................................................................... 166Wska nik Jaccarda ....................................................................................................... 167Wska nik Sorensona .................................................................................................... 168

Wersja 1. ............................................................................................................... 168Wersja 2. ............................................................................................................... 169

Wska nik Euklidesa ..................................................................................................... 170




Spis tre ci 7

Rozdzia 13. Równania prostej ......................................................................... 171Posta ogólna ................................................................................................................ 171Posta kierunkowa ........................................................................................................ 173Praca z obiektem Line .................................................................................................. 174Równoleg o prostych ................................................................................................. 177Odleg o prostych równoleg ych ................................................................................ 178Prostopad o prostych ................................................................................................. 178K t mi dzy prostymi .................................................................................................... 180Punkt przeci cia prostych ............................................................................................. 181Odleg o punktu od prostej ......................................................................................... 181Prosta prostopad a do danej prostej przechodz ca przez punkt .................................... 182Wyznaczanie punktów na prostej ................................................................................. 185

Rozdzia 14. Wektory ....................................................................................... 187Skalary .......................................................................................................................... 187Wektory dwuwymiarowe 2d ......................................................................................... 187

Wspó rz dne kartezja skie a biegunowe ............................................................... 188D ugo wektora ................................................................................................... 188K t wektora ........................................................................................................... 189Dodawanie wektorów ............................................................................................ 190Odejmowanie wektorów ....................................................................................... 191Skalowanie wektora .............................................................................................. 191Normalizacja wektora ........................................................................................... 192Iloczyn skalarny wektorów ................................................................................... 192Normalna wektora ................................................................................................. 193K t mi dzy wektorami .......................................................................................... 194Iloczyn wektorowy ................................................................................................ 195

Wektory 3d ................................................................................................................... 195

Rozdzia 15. Macierze ...................................................................................... 197Klasa Matrix ................................................................................................................. 197

U ycie konstruktorów ........................................................................................... 198Zerowanie macierzy .............................................................................................. 199

Typy macierzy .............................................................................................................. 199Macierz jednostkowa ............................................................................................ 199Macierze wektorowe ............................................................................................. 200Macierz kwadratowa ............................................................................................. 200

Operacje na macierzach ................................................................................................ 201Sprawdzanie równo ci macierzy ........................................................................... 201Dodawanie macierzy ............................................................................................. 201Odejmowanie macierzy ......................................................................................... 202Mno enie skalarne ................................................................................................ 202Mno enie macierzy ............................................................................................... 203Obliczanie wyznacznika macierzy ........................................................................ 205Transpozycja macierzy .......................................................................................... 209Dzielenie macierzy ................................................................................................ 210Macierz odwrotna ................................................................................................. 210Rozwi zanie prostego równania ............................................................................ 214

Rozdzia 16. Przekszta cenia afiniczne .............................................................. 217Translacja ..................................................................................................................... 217Skalowanie ................................................................................................................... 219Obrót ............................................................................................................................. 220

Obrót wzgl dem punktu (0,0) ............................................................................... 220Odbicie ......................................................................................................................... 222

Wzgl dem osi X .................................................................................................... 222Wzgl dem osi Y .................................................................................................... 223





Wzgl dem osi X i osi Y ........................................................................................ 223Wzgl dem prostej przechodz cej przez P(0,0) ...................................................... 225

Przekrzywienie (pochylenie) ........................................................................................ 226Przekrzywienie wzd u osi X ................................................................................ 226Przekrzywienie wzd u osi Y ................................................................................ 226

Przekszta cenia z o one ................................................................................................ 227Obrót wzgl dem punktu, który nie jest punktem P(0,0) ........................................ 228Obrót w miejscu .................................................................................................... 229Skalowanie w miejscu ........................................................................................... 230Odbicie wzgl dem prostej nieprzechodz cej przez punkt P(0,0) .......................... 233Przekrzywienie wzgl dem rodka ci ko ci figury ............................................... 234

Sk adanie macierzy przekszta ce ................................................................................ 237

Rozdzia 17. Liczby zespolone .......................................................................... 241Równo liczb zespolonych .......................................................................................... 242Posta algebraiczna ...................................................................................................... 242

Dodawanie ............................................................................................................ 243Odejmowanie ........................................................................................................ 243Mno enie .............................................................................................................. 244Sprz enie ............................................................................................................. 245Dzielenie ............................................................................................................... 246Modu .................................................................................................................... 246Argument .............................................................................................................. 247

Posta trygonometryczna .............................................................................................. 248Mno enie .............................................................................................................. 249Dzielenie ............................................................................................................... 249Pot gowanie .......................................................................................................... 250Pierwiastkowanie .................................................................................................. 252Odwrotno 1/n ..................................................................................................... 252

Reprezentacja macierzowa ........................................................................................... 253Dodawanie ............................................................................................................ 254Odejmowanie ........................................................................................................ 254Mno enie .............................................................................................................. 254Transpozycja, sprz enie ...................................................................................... 254Wyznacznik macierzy, modu liczby .................................................................... 255Argument .............................................................................................................. 255Wektory w asne macierzy ..................................................................................... 255Interpretacja transformacyjna ................................................................................ 255

Rozdzia 18. Wykresy niektórych krzywych ....................................................... 257Asteroida ...................................................................................................................... 257Rozeta czterolistna ........................................................................................................ 259Spirala Archimedesa ..................................................................................................... 260Kardioida ...................................................................................................................... 261Krzywe Lissajous ......................................................................................................... 261Epicykloida ................................................................................................................... 262Hipocykloida ................................................................................................................ 266Elipsa ............................................................................................................................ 269Inne krzywe .................................................................................................................. 270

Rozdzia 19. Krzywe Béziera ............................................................................. 271Wielomiany Bernsteina ................................................................................................ 271

Definicja ................................................................................................................ 271Obliczenia ............................................................................................................. 271Algorytm ............................................................................................................... 275W a ciwo ci .......................................................................................................... 276




Spis tre ci 9

Inne sposoby obliczania ........................................................................................ 276Pochodne ............................................................................................................... 277

Krzywa Béziera 1. stopnia ............................................................................................ 278Krzywa Béziera 2. stopnia ............................................................................................ 279

Tworzenie krzywej ................................................................................................ 279Obliczenia ............................................................................................................. 280Algorytm ............................................................................................................... 280Posta macierzowa ................................................................................................ 281Inna definicja ........................................................................................................ 282

Krzywa Béziera 3. stopnia ............................................................................................ 284Obliczenia ............................................................................................................. 284Algorytm ............................................................................................................... 285Posta macierzowa ................................................................................................ 285Inna definicja ........................................................................................................ 287

Wykresy krzywych Béziera 2. i 3. stopnia .................................................................... 288Krzywa 2. stopnia ................................................................................................. 288Krzywa 3. stopnia ................................................................................................. 289

Krzywe Béziera wy szych stopni ................................................................................. 291Algorytm ............................................................................................................... 291Wykres .................................................................................................................. 292

Podwy szanie stopnia krzywej ..................................................................................... 293Algorytm ............................................................................................................... 293Wykres .................................................................................................................. 293

W a ciwo ci krzywych Béziera .................................................................................... 294W a ciwo 1. ....................................................................................................... 294W a ciwo 2. ....................................................................................................... 294W a ciwo 3. ....................................................................................................... 294W a ciwo 4. ....................................................................................................... 294W a ciwo 5. ....................................................................................................... 295W a ciwo 6. ....................................................................................................... 295W a ciwo 7. ....................................................................................................... 296W a ciwo 8. ....................................................................................................... 302W a ciwo 9. ....................................................................................................... 302W a ciwo 10. ..................................................................................................... 302W a ciwo 11. ..................................................................................................... 302W a ciwo 12. ..................................................................................................... 302

Algorytm de Casteljau .................................................................................................. 303Obliczenie po o enia punktu na krzywej dla danego t .......................................... 303Podzia krzywej na dwie krzywe ........................................................................... 306G adkie po czenie dwóch krzywych .................................................................... 307

Wymierne krzywe Béziera ........................................................................................... 309Definicja ................................................................................................................ 309Funkcje bazowe wymiernych krzywych Béziera .................................................. 309

Wymierne krzywe Béziera 2. stopnia ........................................................................... 312Algorytm ............................................................................................................... 312Wykresy ................................................................................................................ 313

Wymierne krzywe Béziera 3. stopnia ........................................................................... 315Algorytm ............................................................................................................... 315Wykres .................................................................................................................. 316

Wymierne krzywe Béziera n-tego stopnia .................................................................... 316Algorytm ............................................................................................................... 316Wykres .................................................................................................................. 317

W a ciwo ci wymiernych krzywych Béziera ............................................................... 317W a ciwo 1. ....................................................................................................... 317W a ciwo 2. ....................................................................................................... 317





W a ciwo 3. ....................................................................................................... 318W a ciwo 4. ....................................................................................................... 318W a ciwo 5. ....................................................................................................... 318W a ciwo 6. ....................................................................................................... 318W a ciwo 7. ....................................................................................................... 318W a ciwo 8. ....................................................................................................... 318W a ciwo 9. ....................................................................................................... 318W a ciwo 10. ..................................................................................................... 318W a ciwo 11. ..................................................................................................... 318W a ciwo 12. ..................................................................................................... 319W a ciwo 13. ..................................................................................................... 319W a ciwo 14. ..................................................................................................... 319

Rozdzia 20. Teoria gier ................................................................................... 321Podstawowe poj cia ..................................................................................................... 321

Teoria gier ............................................................................................................. 321Gracz ..................................................................................................................... 321Gra ........................................................................................................................ 321Strategia ................................................................................................................ 321Decyzja ................................................................................................................. 322Wyp ata ................................................................................................................. 322Macierz wyp at ...................................................................................................... 323

Gra o sumie zerowej ..................................................................................................... 324Punkt siod owy ...................................................................................................... 324Strategia czysta ..................................................................................................... 327Strategia mieszana ................................................................................................. 327Strategia dominuj ca ............................................................................................. 329Podgra ................................................................................................................... 330Cena gry ................................................................................................................ 332

Rozwi zywanie gier 2 × 2 ............................................................................................ 334Przyk ad ................................................................................................................ 334Program do oblicze ............................................................................................. 336

Rozwi zywanie gier 2 × m i n × 2 ................................................................................ 336Przyk ad 1. ............................................................................................................ 337Przyk ad 2. ............................................................................................................ 339

Graficzne rozwi zywanie gier 2 × m i n × 2 ................................................................. 342Przyk ad 1. ............................................................................................................ 343Przyk ad 2. ............................................................................................................ 344

Rozwi zywanie gier m × n ........................................................................................... 345Gry z natur .................................................................................................................. 345

Sformu owanie problemu ...................................................................................... 345Gdy znamy prawdopodobie stwa stanów natury .................................................. 346Gdy nie znamy prawdopodobie stw stanów natury .............................................. 347

Rozdzia 21. Automaty komórkowe .................................................................. 351Automaty komórkowe 1-wymiarowe ........................................................................... 351

Ewolucja w czasie ................................................................................................. 354Automaty komórkowe 2-wymiarowe ........................................................................... 357

S siedztwo von Neumanna ................................................................................... 357S siedztwo Moore’a .............................................................................................. 357Warunki brzegowe ................................................................................................ 358Gra „Life” Conwaya ............................................................................................. 358

Mrówka Langtona ........................................................................................................ 362Cechy szczególne .................................................................................................. 362Inne warianty ........................................................................................................ 363

„Ruch drogowy” Nagela-Schreckenberga .................................................................... 363




Spis tre ci 11

Rozdzia 22. Chaos i fraktale ........................................................................... 365Typy fraktali ................................................................................................................. 365Samopodobie stwo ....................................................................................................... 366Wymiar topologiczny ................................................................................................... 366Wymiar podobie stwa .................................................................................................. 367

Wymiar podobie stwa figur p askich .................................................................... 367Wymiar podobie stwa bry ................................................................................... 367Wymiar podobie stwa obiektów n-wymiarowych ................................................ 367

Wymiar fraktalny .......................................................................................................... 368Wymiar Minkowskiego ................................................................................................ 368

Odcinek ................................................................................................................. 368Kwadrat ................................................................................................................. 369

Inne wymiary ................................................................................................................ 370Zbiór Cantora ............................................................................................................... 370

Opis algorytmu ...................................................................................................... 370Kod ....................................................................................................................... 370Obraz ..................................................................................................................... 371Wymiar Minkowskiego ......................................................................................... 371Wymiar fraktalny .................................................................................................. 371

Krzywa Kocha .............................................................................................................. 372Opis algorytmu ...................................................................................................... 372Kod ....................................................................................................................... 372Obraz ..................................................................................................................... 372Wymiar Minkowskiego ......................................................................................... 373Wymiar fraktalny .................................................................................................. 374P atek Kocha ......................................................................................................... 374

Smok Heighwaya .......................................................................................................... 374Opis algorytmu ...................................................................................................... 374Kod ....................................................................................................................... 375Wymiar Minkowskiego ......................................................................................... 376Supersmok ............................................................................................................. 376

Trójk t Sierpi skiego ................................................................................................... 377Opis algorytmu ...................................................................................................... 377Kod i obraz ............................................................................................................ 377Wymiar Minkowskiego ......................................................................................... 378Wymiar fraktalny .................................................................................................. 379

Trójk t Sierpi skiego metod losow ........................................................................... 379Opis algorytmu ...................................................................................................... 379Kod ....................................................................................................................... 379Obraz ..................................................................................................................... 380

Papro Barnsleya .......................................................................................................... 380Opis algorytmu ...................................................................................................... 380Kod ....................................................................................................................... 381Obraz ..................................................................................................................... 381

Fraktal Julii ................................................................................................................... 382Opis ....................................................................................................................... 382Kod ....................................................................................................................... 382Obraz ..................................................................................................................... 382

Fraktal Mandelbrota ..................................................................................................... 384Opis ....................................................................................................................... 384Kod i obraz ............................................................................................................ 384

P on cy statek ............................................................................................................... 385Opis ....................................................................................................................... 385Kod i obraz ............................................................................................................ 385





L-system ....................................................................................................................... 386Opis ....................................................................................................................... 386Algorytm ............................................................................................................... 388Przyk ady .............................................................................................................. 390

Fraktale w przyrodzie ................................................................................................... 395Zastosowania wymiaru Minkowskiego ........................................................................ 396

Mierzenie kszta tów .............................................................................................. 396Wymiar Minkowskiego ......................................................................................... 398Równania regresji na podstawie próby .................................................................. 398

Atraktor Lorenza .......................................................................................................... 400Opis ....................................................................................................................... 400Kod ....................................................................................................................... 401Obraz ..................................................................................................................... 401

Fraktale Lapunowa ....................................................................................................... 402Równanie Malthusa ............................................................................................... 402Analogowe równanie logistyczne (model Verhulsta) ............................................ 404Dyskretne równanie logistyczne ........................................................................... 408Drzewo Feigenbauma ............................................................................................ 409Wyk adnik Lapunowa ........................................................................................... 410Fraktale Lapunowa ................................................................................................ 411

Rozdzia 23. Odkrywanie prawdy o wiecie ....................................................... 417Ile wody mie ci o „morze” Salomona? ......................................................................... 417Rachunek prawdopodobie stwa ................................................................................... 419

Rozmieszczenie R111 ............................................................................................. 419Rozmieszczenie R011 ............................................................................................. 420Rozmieszczenie R101 ............................................................................................. 422Rozmieszczenie R001 ............................................................................................. 423

Entropia ........................................................................................................................ 423Stan wyj ciowy ..................................................................................................... 424Gdy urna mo e pomie ci tylko jedn kul ........................................................... 428Gdy urna mo e pomie ci co najwy ej r kul ......................................................... 430

Rozdzia 24. Paradoksy .................................................................................... 433Paradoks Russella: Golibroda ....................................................................................... 433

Sformu owanie problemu ...................................................................................... 433Rozwi zanie problemu .......................................................................................... 434

Paradoks: Jestem k amc .............................................................................................. 435Sformu owanie problemu ...................................................................................... 435Rozwi zanie .......................................................................................................... 435

Paradoks: Pan Bóg i kamie ......................................................................................... 436Sformu owanie problemu ...................................................................................... 436Rozwi zanie .......................................................................................................... 436

Paradoks z sakiewkami ................................................................................................. 437Sformu owanie problemu ...................................................................................... 437Rozwi zanie .......................................................................................................... 439

Paradoks Monty’ego Halla ........................................................................................... 439Sformu owanie problemu ...................................................................................... 439Rozwi zanie 1. (b dne) ........................................................................................ 441Rozwi zanie 2. (prawid owe) ................................................................................ 441

Paradoks Gibbsa ........................................................................................................... 443Sformu owanie problemu ...................................................................................... 443Rozwi zanie problemu .......................................................................................... 446

Skorowidz .................................................................................... 449




Rozdzia 18.

Wykresyniektórych krzywych

AsteroidaJest szczególnym przypadkiem hipocykloidy, gdy m, czyli liczba ostrzy, równa si 4.Asteroida wyra ona jest równaniem parametrycznym:

3cosx A3siny A

gdzieA i s wspó rz dnymi biegunowymi punktu.

Asteroid mo emy wykre li , u ywaj c funkcji asteroida (listing 18.1, scripts/curves.js).Listing 18.1. Funkcja asteroida

var asteroida = function(r, points, strokeStyle) { ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.translate(w / 2, h / 2); ctx.strokeStyle = strokeStyle; var x1 = r; var y1 = 0; var x2; var y2; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * Math.PI / 360.0; x2 = r * Math.pow(Math.cos(t), 3); y2 = r * Math.pow(Math.sin(t), 3); ctx.moveTo(x1, y1); ctx.lineTo(x2, y2); x1 = x2; y1 = y2; }





ctx.stroke(); ctx.restore();};

Po zastosowaniu algorytmu otrzymujemy wykres krzywej (rysunek 18.1, curve/curves01.html).

Rysunek 18.1.Asteroida wykre lonaodcinkami linii

Asteroid mo emy te wykre li , u ywaj c funkcji asteroida2 (listing 18.2, scripts/curves.js).

Listing 18.2. Funkcja asteroida2

var asteroida2 = function(r, points) { var x2; var y2; var img1 = ctx.getImageData(0, 0, w, h); var idata = img1.data; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * Math.PI / 360.0; x2 = r * Math.pow(Math.cos(t), 3) + w / 2; y2 = r * Math.pow(Math.sin(t), 3) + h / 2; var j = 4 * index(Math.floor(x2), Math.floor(y2), w); idata[j] = 0; idata[j + 1] = 0; idata[j + 2] = 255; idata[j + 3] = 255; } ctx.putImageData(img1, 0, 0);};

Po zastosowaniu algorytmu otrzymujemy wykres (rysunek 18.2, curves/curve02.html).Jak widzimy, jako wykresu jest zdecydowanie gorsza. Musieliby my u y algorytmuBresenhama lub innego, aby wyg adzi krzyw .




Rozdzia 18. Wykresy niektórych krzywych 259

Rysunek 18.2.Asteroida wykre lonapikselami z macierzydanych

Rozeta czterolistnaRozeta czterolistna jest okre lona równaniem parametrycznym:

2cossin2ax

cossin2 2ay

Krzyw mo emy wykre li , u ywaj c funkcji rozeta4listna (listing 18.3, scripts/curves.js).

Listing 18.3. Funkcja rozeta4listna

var rozeta4listna = function(size, points, strokeStyle) { ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.strokeStyle = strokeStyle; ctx.translate(w / 2, h / 2); var x1 = 0; var y1 = 0; var x2; var y2; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * Math.PI / 360; x2 = 2 * size * Math.sin(t) * Math.pow(Math.cos(t), 2); y2 = 2 * size * Math.cos(t) * Math.pow(Math.sin(t), 2); ctx.moveTo(Math.floor(x1), Math.floor(y1)); ctx.lineTo(Math.floor(x2), Math.floor(y2)); x1 = x2; y1 = y2; }





ctx.stroke(); ctx.restore();};

Po u yciu algorytmu otrzymujemy wykres (rysunek 18.3, curves/curve03.html).Rysunek 18.3.Rozeta czterolistna

Spirala ArchimedesaKrzywa okre lona przez równanie parametryczne:

cosaxsinay

Do wykre lenia mo emy u y funkcji spiralaArchimedesa (listing 18.4, scripts/curves.js).

Listing 18.4. Funkcja spiralaArchimedesa

var spiralaArchimedesa = function(dlugosc, ciasnosc, points, strokeStyle) { ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.strokeStyle = strokeStyle; ctx.translate(w / 2, h / 2); var x1 = 0; var y1 = 0; var x2; var y2; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * dlugosc * Math.PI / points; x2 = ciasnosc * t * Math.cos(t); y2 = ciasnosc * t * Math.sin(t); ctx.moveTo(Math.floor(x1), Math.floor(y1)); ctx.lineTo(Math.floor(x2), Math.floor(y2)); x1 = x2; y1 = y2; } ctx.stroke(); ctx.restore();};

Po u yciu algorytmu otrzymujemy wykres krzywej (rysunek 18.4, curves/curve04.html).





Rysunek 18.4.Spirala Archimedesa

KardioidaKardioida jest opisana równaniem parametrycznym:

)2coscos2( ttax)2sinsin2( ttay

Do wykre lenia funkcji mo emy u y funkcji kardioida (listing 18.5, scripts/curves.js).

Listing 18.5. Funkcja kardioida

var kardioida = function(a, points, strokeStyle) { ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.strokeStyle = strokeStyle; ctx.translate(w / 2, h / 2); var x2; var y2; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * Math.PI / 360; x2 = a * (2 * Math.cos(t) - Math.cos(2 * t)); y2 = a * (2 * Math.sin(t) - Math.sin(2 * t)); ctx.lineTo(Math.floor(x2), Math.floor(y2)); } ctx.stroke(); ctx.restore();};

Po u yciu algorytmu otrzymujemy wykres krzywej (rysunek 18.5, curves/curve05.html).

Krzywe LissajousKrzywa parametryczna zakre lana przez punkt wykonuj cy niezale ne ruchy harmo-niczne w dwóch p aszczyznach wzajemnie prostopad ych. Krzywe s opisane równa-niem parametrycznym:

)cos( 111 tAx)cos( 222 tAy





Rysunek 18.5.Kardioida

Stosunek 21 / , je eli jest wymierny, okre la stosunek zetkni z poziomymi bokamiprostok ta. Wielko tego prostok ta okre laj zmienne 1A i 2A . Kszta t krzywych zale yte od )( 21 .

Krzyw mo emy wykre li przy u yciu funkcji lissajous (listing 18.6, scripts/curves.js).

Listing 18.6. Funkcja lissajous

var lissajous = function(A1, A2, w1, w2, fi1, fi2, points, strokeStyle) { ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.strokeStyle = strokeStyle; ctx.translate(w / 2, h / 2); var x2; var y2; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * Math.PI / 360; x2 = A1 * Math.cos(w1 * t + fi1); y2 = A2 * Math.cos(w2 * t + fi2); ctx.lineTo(Math.floor(x2), Math.floor(y2)); } ctx.stroke(); ctx.restore();};

Krzyw mo emy wykre li (rysunek 18.6, curves/curve06.html).

EpicykloidaJest to krzywa kre lona przez punkt M okr gu, który toczy si bez po lizgu pozewn trznej stronie okr gu nieruchomego ko a.





Rysunek 18.6.Krzywa Lissajous

Epicykloida wyra ona jest równaniem parametrycznym:

aaAaaAx coscos)(

aaAaaAy sinsin)(

gdzie:A — jest promieniem nieruchomego ko a,a — jest promieniem ruchomego ko a.

Kszta t krzywej zale y od stosunku aAm .

Gdy: m = 1, powstaje krzywa zwana kardioid ; m jest liczb ca kowit , epicykloida jest krzyw zamkni t , sk adaj c size sko czonej liczby uków;

m jest u amkiem, epicykloida sk ada si ze sko czonej liczby krzy uj cychsi uków, przy czym punkt bie cy wraca do punktu wyj ciowego;

m jest liczb niewymiern , uków jest niesko czenie wiele, a punkt M nie wracado po o enia wyj ciowego.

EpitrochoidaDo równania epicykloidy w drugim cz onie ka dego równania mo na wprowadzidodatkowy parametr .

aaAaaAx coscos)(

aaAaaAy sinsin)(

Je eli: 1 , jak w powy szych wzorach, otrzymujemy epicykloid ; 1, to otrzymujemy tzw. epicykloid wyd u on ; 1, to otrzymujemy tzw. epicykloid skrócon .

Wszystkie trzy epicykloidy nosz ogóln nazw epitrochoida.





Epicykloid mo emy wykre li , u ywaj c funkcji epicykloida (listing 18.7, scripts/curves.js).

Listing 18.7. Funkcja epicykloida

var epicykloida = function(AA, aa, lambda, points, strokeStyle) { ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.translate(w / 2, h / 2); ctx.strokeStyle = strokeStyle; var x1 = AA - (lambda - 1) * aa; var y1 = 0; var x2; var y2; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * Math.PI / 360.0; x2 = (AA + aa) * Math.cos(t) - lambda * aa * Math.cos((AA + aa) * t / aa); y2 = (AA + aa) * Math.sin(t) - lambda * aa * Math.sin((AA + aa) * t / aa); ctx.moveTo(Math.floor(x1), Math.floor(y1)); ctx.lineTo(Math.floor(x2), Math.floor(y2)); x1 = x2; y1 = y2; } ctx.stroke(); ctx.restore();};

Rysujemy epitrochoid dla ró nych zestawów parametrów (rysunki 18.7–18.14).

Rysunek 18.7.Epitrochoida dlam = 1 (A = 60, a = 60), = 1

(curves/curve07.html)





Rysunek 18.8.Epitrochoida dlam = 3 (A = 60, a = 20), = 1

(curves/curve08.html)

Rysunek 18.9.Epitrochoida dlam = 1.5 (A = 60,a = 40), = 1(curves/curve09.html)

Rysunek 18.10.Epitrochoida dlam = 3.3(333) (A = 100, a = 30), = 1(curves/curve10.html)





Rysunek 18.11.Epitrochoida dlam = 3 (A = 60,a = 20), = 1.5(curves/curve11.html)

Rysunek 18.12.Epitrochoida dla m = 3 (A = 60,a = 20), = 0.5(curves/curve12.html)

Rysunek 18.13.Epitrochoida dlam = –3 (A = 60,a = –20), = 1.5(curves/curve13.html)

Rysunek 18.14.Epitrochoida dlam = –3 (A = 60,a = –20), = 0.5(curves/curve14.html)

HipocykloidaJest to krzywa kre lona przez punkt M okr gu tocz cego si bez po lizgu po wewn trznejstronie okr gu nieruchomego ko a.

Hipocykloida wyra ona jest takim samym równaniem parametrycznym jak epicykloida,ale parametr a jest zamieniony na –a, a symbole s takie same jak przy epicykloidzie.





Kszta t krzywej zale y od stosunku aAm .

Gdy: m = 2, krzywa degeneruje do rednicy sta ego ko a; m = 3, hipocykloida ma 3 ostrza; m = 4, otrzymujemy hipocykloid o 4 ostrzach, nazywan asteroid .

HipotrochoidaDo równania hipocykloidy w drugim cz onie ka dego równania mo na wprowadzidodatkowy parametr .

Je eli: 1 , jak w powy szych wzorach, otrzymujemy hipocykloid ; > 0, to otrzymujemy tzw. hipocykloid wyd u on ; < 0, to otrzymujemy tzw. hipocykloid skrócon .

Wszystkie trzy hipocykloidy nosz ogóln nazw hipotrochoida.

W hipotrochoidach, gdy aA 2 , krzywa staje si elips , gdy aA , otrzymujemykonchoid , nazywan te limakiem Pascala.

Do wykre lania mo emy u y funkcji hipocykloida (listing 18.8, scripts/curves.js).

Listing 18.8. Funkcja hipocykloida

var hipocykloida = function(AA, aa, lambda, points, strokeStyle) { ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.strokeStyle = strokeStyle; ctx.translate(w / 2, h / 2); var x1 = AA + (lambda - 1) * aa; var y1 = 0; var x2; var y2; aa = -aa; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * Math.PI / 360; x2 = (AA + aa) * Math.cos(t) - lambda * aa * Math.cos((AA + aa) * t / aa); y2 = (AA + aa) * Math.sin(t) - lambda * aa * Math.sin((AA + aa) * t / aa); ctx.moveTo(Math.floor(x1), Math.floor(y1)); ctx.lineTo(Math.floor(x2), Math.floor(y2)); x1 = x2; y1 = y2; } ctx.stroke(); ctx.restore();};

A oto wykresy hipotrochoidy przy ró nych parametrach (rysunki 18.15–18.21).





Rysunek 18.15.Hipotrochoida przym = 3 (A = 60,a = 20), = 1(curves/curve15.html)

Rysunek 18.16.Hipotrochoida dla m = 4 (A = 60,a = 15), = 1(curves/curve16.html)

Rysunek 18.17.Hipotrochoida dlam = 5 (A = 60,a = 12), = 1(curves/curve17.html)

Rysunek 18.18.Hipotrochoida dlam = 4 (A = 100,a = 25), = 0.5(curves/curve18.html)






Rysunek 18.20.Hipotrochoida dla m = 4 (A = 100,a = –25), = 0.5(curves/curve20.html)


ElipsaElips mo na wykre li , korzystaj c z równania parametrycznego:

tax costby sin

gdzie:a — to du a o elipsy,b — to ma a o elipsy,t — zawiera si w przedziale )2,0 .

Elips mo na wykre li , u ywaj c funkcji drawOval (listing 18.9, scripts/curves.js).

Listing 18.9. Funkcja drawOval

var drawOval = function(x, y, w, h, points, strokeStyle) { var a = w / 2; var b = h / 2; ctx.save(); ctx.beginPath(); ctx.strokeStyle = strokeStyle; ctx.translate(x + a, y + b); var x2; var y2; for (var i = 0; i < points; i++) { var t = i * Math.PI / 360; x2 = a * Math.cos(t); y2 = b * Math.sin(t); ctx.lineTo(Math.floor(x2), Math.floor(y2));





} ctx.stroke(); ctx.restore();};

Po u yciu algorytmu otrzymujemy krzyw (rysunek 18.22, curves/curve22.html).Rysunek 18.22.Elipsa

Inne krzyweZe wzgl du na szczup o miejsca nie mam mo liwo ci dok adniejszego omawianianiektórych ciekawych krzywych. Sposoby ich wykre lania poda em w materia ach.Dost pne krzywe to:

rozety Grandiego (curves/curve23.html), strza ka (curves/curve24.html), jin-jang (curves/curve25.html), rotuj cy jin-jang (curves/curve26.html), szachownica (curves/curve27.html), spirala kwadratowa (curves/curve28.html), kwadraty wpisane w kwadraty (curves/curve29.html), spirala logarytmiczna Pascala (curves/curve30.html), z ota spirala (curves/curve31.html), kwadraty i spirala Fibonacciego (curves/curve32.html).




Skorowidz&&, 37||, 39

Aactiv, 43algorytm de Casteljau, 303alternatywa, 39, 49

wy czaj ca, 40assert, 35asteroida, 257atraktor Lorenza, 400automaty komórkowe

1-wymiarowe, 3512-wymiarowe, 357ewolucja w czasie, 354gra „Life” Conwaya, 358mrówka Langtona, 362ruch drogowy, 363s siedztwo von Neumanna, 357

BBCD, Binary-Coded Decimal, 63bity

odwracanie, 60sprawdzanie warto ci, 60w czanie, 59wycinanie, 60wy czanie, 59

Cci g Fibonacciego, 94

algorytmy, 96w a ciwo ci, 101wyst powanie, 107zastosowania, 107

czaszapis BCD, 64zapis binarny, 64

Ddane

max, 150ocena, 149porównanie, 148rozst p, 150

deactiv, 44d ugo

przedzia u klasowego, 141wektora, 188

dodawanieliczb zespolonych, 243macierzy, 201wektorów, 190

dominanta, 154dope nienie algebraiczne, 212drzewo Feigenbauma, 409du e liczby, 90dwumian Newtona, 114dzielenie

liczb zespolonych, 246macierzy, 210

Eelipsa, 269entropia, 30, 423epicykloida, 262ewolucja w czasie, 354





Ffaktoryzacja, 91falsum, 35flagi binarne, 61fraktal

drzewo Feigenbauma, 409ga zka, 392, 394Julii, 382krzywa

Hilberta, 392Kocha, 372, 391

Lapunowa, 402, 411L-system, 386Mandelbrota, 384papro Barnsleya, 380pentadendryt, 393p atek Kocha, 374, 390p on cy statek, 385samopodobie stwo, 366smok

Heighwaya, 374Levy’ego, 392

supersmok, 376trójk t Sierpi skiego, 377, 379, 391typy, 365w przyrodzie, 395wyk adnik Lapunowa, 410wymiar

fraktalny, 368Minkowskiego, 368, 371–378, 396, 398podobie stwa bry , 367topologiczny, 366

zbiór Cantora, 370bazowe wymiernych krzywych Béziera, 309funkcje

cyklometryczne, 23hiperboliczne, 25trygonometryczne, 21

Gga zka, 392generowanie liczb pierwszych, 87gra „Life” Conwaya, 358granica, 94gry, Patrz teoria gier

Hhipocykloida, 266histogram, 143HSL, 71

Iiloczyn

skalarny wektorów, 192wektorowy, 195zbiorów, 75

IMP, 42implikacja, 42

odwrotna, 42IMPR, 42inwersje, 134

Kkardioida, 261k t mi dzy wektorami, 189, 194klasa Matrix, 197

konstruktory, 198kod BCD, 63kolory, 77

modelHSL, 71RGB, 69RGBA, 69

obliczenie, 80przezroczysto , 77sk adanie, 77, 79t a, 77zasady Portera-Duffa, 78

kombinacjebez powtórze , 115z powtórzeniami, 116

kombinatoryka, 109koniunkcja, 37, 39, 49krzywa, 257, 270

Béziera, 2711. stopnia, 2782. stopnia, 279, 2883. stopnia, 284, 289algorytm de Casteljau, 303podwy szanie stopnia, 293w a ciwo ci, 294, 317wymierne, 309, 312–316wy szych stopni, 291

Hilberta, 392Kocha, 372, 391Lissajous, 261

kurtoza, 161kwadrat, 369kwartyl

dolny, 155górny, 155rodkowy, 155




Skorowidz 451

Lliczba

przedzia ów klasowych, 141, 93

liczbyBella, 136binarne, 51Catalana, 135heksadecymalne, 67pierwsze, 87

Eulera, 88generowanie, 87Mersenne’a, 88w podanym zakresie, 89wi ksze od n, 87

Stirlinga II rodzaju, 122zespolone, 241

argument, 247dodawanie, 243dzielenie, 246mno enie, 244modu , 246odejmowanie, 243posta algebraiczna, 242posta trygonometryczna, 248reprezentacja macierzowa, 253równo , 242sprz enie, 245

logarytmy, 16dziesi tne, 17naturalne, 17przeliczanie, 17w JavaScript, 18

logikaBochvara, 46Heytinga, 47Kleene’ego, 46

ukasiewicza, 46Reichenbacha, 47

l-system, 386

czenie nawiasami, 136

Mmacierz, 197

jednostkowa, 199kwadratowa, 200przekszta ce , 238wektorowa, 200

macierzedodawanie, 201dope nienie algebraiczne, 212dzielenie, 210klasa Matrix, 197krzywa Béziera, 281, 285liczby zespolone, 253minor, 211mno enie, 203mno enie skalarne, 202odejmowanie, 202odwrotne, 210, 213podmacierz, 211sprawdzanie równo ci, 201transpozycja, 209, 213wyznacznik, 205zerowanie, 199

ma e liczby, 90maskowanie binarne, 58miara ró norodno ci, 27miary k ta, 19

radiany, 21stopnie, 21

mierzenie kszta tów, 396minor, 211mno enie

liczb zespolonych, 244macierzy, 203skalarne, 202

model Verhulsta, 404modu liczb zespolonych, 246modyfikacja krzywej Kocha, 393momenty redniej, 159mrówka Langtona, 362

NNAND, 39nat enie, 152NOR, 40normalizacja wektora, 192normalna wektora, 193NXOR, 41

Oobiekt Line, 174obliczenia binarne, 51obrót, 221

w miejscu, 229ocena danych, 149





odbicie, 223wzgl dem prostej, 234

odchylenie standardowe, 158odcinek, 368odejmowanie

liczb zespolonych, 243macierzy, 202wektorów, 191

odst p mi dzykwartylowy, 155odwracanie bitów, 60operacje

binarne, 37na macierzach, 201na zbiorach, 74

operator binarny, 53bitowej ró nicy symetrycznej ^, 55iloczynu bitowego &, 53negacji bitowej ~, 55przesuni cia bitowego

w lewo <<, 56w prawo >>, 56w prawo z uzupe nieniem zerami >>>, 57

sumy bitowej |, 54

Ppapro Barnsleya, 380paradoks

Gibbsa, 443Jestem k amc , 435Monty'ego Halla, 439Pan Bóg i kamie , 436Russella Golibroda, 433z sakiewkami, 437

percentyle, 154permutacje

bez powtórze , 119bez punktów sta ych, 134z powtórzeniami, 120

pierwiastkowanie, 16p atek Kocha, 374, 390p on cy statek, 385pochylenie, Patrz przekrzywienie, 226, 235,

Patrz tak e przekszta cenia afinicznepodmacierz, 211podzbiory, 137porównanie danych, 148posta trygonometryczna liczb zespolonych, 248pot gowanie, 15prawdopodobie stwo, 29, 110, 113problem rozmieszczenia n kul, 124proste

k t mi dzy prostymi, 180obiekt Line, 174

odleg oprostych równoleg ych, 178punktu od prostej, 181

postakierunkowa, 173ogólna, 171

prostopad o , 178, 182punkt przeci cia, 181równoleg o , 177wyznaczanie punktów, 185

przedzia klasowy, 141d ugo , 141liczba, 141

przekrzywienie, 226wzgl dem rodka ci ko ci figury, 235

przekszta cenia afiniczne, 217macierz przekszta ce , 238obrót, 221odbicie, 223przekrzywienie, 226przekszta cenia z o one, 228skalowanie, 219translacja, 217

przekszta cenia z o one, 228przezroczysto , 77punkt siod owy, 324

Rrachunek prawdopodobie stwa, 419regresja, 398regu y Portera-Duffa, 81

copy, 81destination-atop, 81destination-in, 82destination-out, 82destination-over, 83lighter, 83source-atop, 84source-in, 84source-out, 85source-over, 85xor, 86

RGB, 69RGBA, 69rodzaje t a, 77rozeta czterolistna, 259rozk ad dwumianowy, 109rozst p badanej cechy, 141równania

logistyczne, 404logistyczne dyskretne, 408Malthusa, 402regresji, 398




Skorowidz 453

równanie prostej, Patrz tak e prosteposta kierunkowa, 173posta ogólna, 171

równowa no , 41ró nica

symetryczna zbiorów, 75zbiorów, 75

ró norodno , 27

Ssamopodobie stwo, 366s siedztwo von Neumanna, 357silnia, 97, 109skalary, 187skalowanie, 219

w miejscu, 230wektora, 191

sko no , 160smok

Heighwaya, 374Levy’ego, 392

spirala Archimedesa, 260spójniki, 43

dwuargumentowe, 37jednoargumentowe, 34

sprawdzanieparzysto ci, 58równo ci macierzy, 201warto ci bitu, 60

sprz enie liczb zespolonych, 245statystyka, 139

d ugo przedzia u klasowego, 141liczba przedzia ów klasowych, 141rozst p badanej cechy, 141szereg rozdzielczy

jednostopniowy, 140wielostopniowy, 141

wykresy danych, 143struktura, 152suma, 151

zbiorów, 74supersmok, 376symbol Newtona, 98, 114szereg rozdzielczy

jednostopniowy, 140wielostopniowy, 141

rednia arytmetyczna, 153

Tteoria gier, 321

cena gry, 332decyzja, 322gra, 321macierz wyp at, 323o sumie zerowej, 324podgra, 330punkt siod owy, 324rozwi zywanie

2 × m, 336graficzne, 342m × n, 345

strategia, 321czysta, 327dominuj ca, 329mieszana, 327

wyp ata, 322testy pierwszo ci, 90translacja, 217transpozycja macierzy, 209trójk t

Pascala, 99, 112Sierpi skiego, 377, 379, 391

trygonometria, 18tworzenie niepustych podzbiorów, 137

Uuk ad wspó rz dnych, 25

Wwariacje, 156

bez powtórze , 117z powtórzeniami, 118

wektory2d, 1873d, 195d ugo , 188dodawanie, 190iloczyn

skalarny, 192wektorowy, 195

k t, 189, 194normalizacja, 192normalna, 193odejmowanie, 191skalowanie, 191





wielomiany Bernsteina, 271algorytm, 275obliczenia, 271pochodne, 277w a ciwo ci, 276

w a ciwo ci krzywych Béziera, 294w czanie bitów, 59wska nik

Euklidesa, 170Jaccarda, 167Margalefa, 163Pielou, 166Shannona-Wienera, 165Simpsona, 164Sorensona, 168

wska nikinat enia, 152podobie stwa, 163ró norodno ci, 163struktury, 152

wspó czynnikasymetrii, 162asymetrii Pearsona, 162zmienno ci, 159

wspó rz dnebiegunowe, 188kartezja skie, 188

wycinanie bitów, 60wyk adnik Lapunowa, 410wykresy

danych, 143ko owe, 145krzywych, 257liniowe, 148

wy czanie bitów, 59wymiar

fraktalny, 368, 371, 374Minkowskiego, 368, 371–378, 396, 398podobie stwa

bry , 367figur p askich, 367obiektów n-wymiarowych, 367

wyznacznik macierzy, 205interpretacja geometryczna, 206w a ciwo ci, 208

wzór Bineta, 95

XXOR, 40

Zzapis czasu, 63zaprzeczenie

alternatywy, 40koniunkcji, 39

zasady Portera-Duffa, 78zawieranie si zbiorów, 76zbiory, 73

dope nienie, 74iloczyn, 75ró nica, 75ró nica symetryczna, 75suma, 74zawieranie si , 76

zbiór Cantora, 370, 391zerowanie macierzy, 199zmienno , 159




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