WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jaros ława Dąbrowskiego

ZAKŁAD AWIONIKI I UZBROJENIA LOTNICZEGO

Przedmiot:

PODSTAWY AUTOMATYKI (studia stacjonarne I stopnia)

ĆWICZENIE RACHUNKOWE Nr 2

OPIS WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH LINIOWYCH UKŁADÓW CIĄGŁYCH

Warszawa 2013

2

ĆWICZENIE RACHUNKOWE NR 2

Temat: Opis własności dynamicznych liniowych układów ciągłych

Podczas ćwiczenia poruszane będą następujące zagadnienia:

zapis równań „wejście-wyjście” dla prostych układów dynamicznych;

przykładowe obliczanie transformat i oryginałów funkcji zgodnie z prostym przekształceniem Laplace’a;

wyznaczanie transmitancji operatorowej i widmowej; zapisu modelu obiektu w postaci równań stanu i równania

wyjścia. 1. Przekształcenie Laplace’a 1.1. Wprowadzenie

Rachunek operatorowy jest metodą rozwiązywania niektórych równań i układów równań różniczkowych i pokrewnych, polegająca na całkowitej lub częściowej „algebraizacji” rozwiązywanego równania lub układu równań.

Istota algebraizacji polega na tym, że rozwiązując za pomocą rachunku operatorowego dane równanie, np. równanie różniczkowe zwyczajne, wyznaczamy najpierw tzw. równanie operatorowe będące równaniem algebraicznym. W zasadzie rachunek operatorowy jest metodą rozwiązywania równań liniowych. Jego zastosowania w zakresie równań nieliniowych są jednak dotąd znikome i ograniczają się do niewielkiej liczby szczególnych przypadków. Dzięki swej prostocie i efektywności, a także ze względu na inne zalety w porównaniu ze znanymi metodami, stał się ogólną metodą badania dynamiki układów liniowych, niezależnie od ich charakteru fizycznego. Rachunek operatorowy okazał się szczególnie dogodny w zakresie teorii obwodów elektrycznych i teorii automatycznej regulacji – w tych dziedzinach znalazł najpełniejsze i najbardziej wszechstronne zastosowanie.

Metody operatorowe można podzielić na trzy zasadnicze grup: metody oparte na pojęciu operatora różniczkowania i operatora

całkowania (metoda operatorów Heaviside’a); metody oparte na przekształceniach całkowych (metoda

przekształcenia Lapalce’a); metody oparte na pojęciach algebry wyższej i analizy

funkcjonalnej (metoda operatorów Mikusińskiego).

Rozdprzeksztprzekszt

Prze

która transformzmiennastronie w

Orygzmienne

Licz

spełnionwykładnfunkcji t

dział ten wtałceniu tałceniem Fekształcenie

funkcji f(matę F(s),a s odgrywwzoru (1) bginałem nej rzeczywis

f(t) = 0 dlf(t) jest wwraz z pof(t) jest fui m > 0 nierównoś

zbę m0 0 na dla m = nikiem wzratypu wykład

Rys1

w całości poLaplace’a

Fouriera. e Laplace’a

)(tfL

(t) zmienn będącą f

wa w całkoędziemy nanazywamy stej t, spełnia t < 0;

w przedzialchodnymi d

unkcją rzędutakie, że

ść:

taką, że m0 + , a n

astania funkdniczego.

. Wykres fun

oświęcony jz uwz

określone j

0)( etf st

nej rzeczyfunkcją zmowaniu rolęazywać całk

funkcję iającą nastę

le (-, +)do rzędu n –u wykładnic

dla wszy

mMetf )(

dla każdegnie jest spełkcji f(t). Na

nkcji typu wy

jest metodzzględnieniem

est zależnoś

)(sFdtt

ywistej tmienną zespę parametruką Lapalce’a

zespolonąępujące waru

) funkcję p– tego; czego, jeśli ystkich wa

mt

go > 0 nłniona dla ma rys.1. prz

ykładniczego

zie operatorm powią

ścią:

przyporząpolonej s =u. Całkę poa funkcji f(t)ą f(t) = u(unki:

przedziałam

istnieją stałartości t z

nierówność m=m0-, nazedstawiono

(m>0)

3

rowej na ązań z

(1)

ądkowuje = u + j; o prawej t). (t) +j(t)

mi ciągła

ałe M > 0 zachodzi

(2)

(2) jest azywamy o wykres

4

Jeśli funkcja f(t) jest oryginałem o wykładniku wzrastania m0, to: całka po prawej stronie wzoru (1) jest jednostronnie zbieżna w

półpłaszczyźnie Re s > m0; funkcja F(s) określona wzorem (1) jest funkcją analityczną w

półpłaszczyźnie Re s > m0; 0lim

Re

sF

s;

Funkcję F(s) nazywamy transformatą (obrazem) oryginału f(t), co zapisujemy:

tfLsF (3) 1.2. Własności przekształcenia Laplace’a

Praktyczne zastosowanie przekształcenia Lapalce’a polega na tym, że prowadzimy obliczenia nie na danych funkcjach, lecz na ich obrazach. Podobnie, gdy mamy do wykonania operację mnożenia, to korzystamy z logarytmów, gdyż to sprowadza się do prostych operacji dodawania. Proces odwzorowania można uważać za coś w rodzaju przekładu z jednego języka na inny, każdemu słowu odpowiada inne słowo. W transformacji Laplace’a każdej funkcji (oryginałowi) odpowiada inna funkcja (transformata, obraz).

Najważniejsze właściwości przekształcenia Laplace’a mające zasadnicze znaczenie dla praktyki i zastosowań, zostaną ujęte w postaci kilku prostych wzorów i reguł, stanowiących w pewnym sensie gramatykę rachunku operatorowego. Na nich oparta jest technika stosowania metody operatorowej w konkretnych problemach:

Liniowość - przekształcenie Laplace’a jest przekształceniem liniowym, tzn. ma następującą własność: jeśli

)()(),()( 2211 sFtfLsFtfL (4) to

)()()()()()( 221122112211 sFcsFctfcLtfcLtfctfcL (5) gdzie: c1, c2 są dowolnymi liczbami.

twierdzenie o podobieństwie:

)(1

)(a

sF

aatfL (6)

5

lub

)(1

a

tf

aLasF (7)

transformata pochodnej funkcji:

)0()()(

fssFdt

tdfL

(8)

transformata całki funkcji (>0):

s

f

s

sFdfL

)0()()(

)1(

(9)

przesunięcie w czasie:

sFeTtTtfL sT 1)( (10)

wartość początkowa:

0lim ( ) limt s

f t sF s

(11)

wartość końcowa, – jeżeli funkcja wymierna sF(s) ma bieguny

leżące wyłącznie w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s, to:

ssFtf

st 0lim)(lim

(12)

mnożenie przez czas:

ds

sdFttfL

)( (13)

zmiana skali czasu:

tfLsFgdziea

sF

aatfL

,

1 (14)

zmiana częstotliwości:

6

tfLsFgdzieasFtfeL at , (15) funkcje okresowe, – jeżeli f(t) jest funkcją okresową o okresie T,

wtedy transformata Laplace’a jest dana jako:

sTe

sFtfL

1

1 (16)

gdzie: F1(s) = L{f1(t)} jest transformatą funkcji f(t) w pierwszym okresie

twierdzenie o pochodnej ilorazu funkcji, – jeżeli funkcje L(x) i

M(x) są różniczkowalne oraz funkcja M(x) jest w danym punkcie różna od 0, wówczas tymże punkcie istnieje pochodna iloraz funkcji L(x) i M(x) i wyraża się wzorem

2)(

)()()(

)(

)(

xM

xLxMxMxL

xM

xL

(17)

2. Transmitancja operatorowa układu.

W układach liniowych wyróżnić można następujące rodzaje elementów podstawowych:

elementy powodujące straty energii rozpraszanej na energię cieplną – tracie, oporność czynna w układach elektrycznych, opór przepływu gazów i cieczy;

elementy magazynujące energię w postaci kinetycznej – masa, indukcyjność w układach elektrycznych, bezwładność gazów i cieczy.

W dalszej części opiszemy szczegółowo równania opisujące własności dynamiczne przedstawionych elementów. Założymy przy tym, że ograniczamy się tylko do liniowego zakresu pracy, np. przyjmiemy, że w układach elektrycznych wartości oporności, indukcyjności i pojemności są stałe, niezależne od prądu i napięcia.

O układach mechanicznych załóżmy, że składają się z ciał idealnie twardych i sprężyn idealnych o znikomo małej masie i że siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości w pierwszej potędze (tarcie lepkie).

O układach pneumatycznych załóżmy, że ciecze są nieściśliwe, a spadek ciśnienia na oporach przepływu jest proporcjonalny do wielkości tego przepływu, czyli że opory przepływu mają wartości stałe, niezależnie od przepływu ani ciśnienia. Transmitancją operatorową G(s) jednowymiarowego układu liniowego stacjonarnego nazywamy wielkość określoną jako stosunek

7

transformaty Laplace’a odpowiedzi Y(s) do transformaty Laplace’a wymuszenia U(s) tego układu przy zerowych warunkach początkowych.

Liniowy stacjonarny układ dynamiczny można opisać liniowym różniczkowym równaniem wejścia-wyjścia.

)()(

...)()(

)()(

...)()(

011

1

1

011

1

1

tubdt

tdub

dt

tudb

dt

tudb

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyda

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

(18)

lub transmitancją operatorową w dziedzinie zmiennej zespolonej s.

Założywszy w poprzednim równaniu zerowe warunki początkowe oraz stosując transformatę Laplace’a:

)()(

...)()(

)()(

...)()(

011

1

1

011

1

1

tubdt

tdub

dt

tudb

dt

tudbL

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tydaL

m

m

mm

m

m

n

n

nn

n

n

(19)

czyli

)()(00

sUsbsYsam

j

jj

n

i

ii

(20)

gdzie: U(s)=L{u(t)}, Y(s)=L{y(t)}.

można otrzymać wymierną funkcje zmiennej zespolonej s, nazywaną transmitancją operatorową:

.)(

)()(

0

0

n

i

ii

m

j

jj

sa

sb

sU

sYsG (21)

3. Transmitancji widmowa układu. Transmitancją widmową G(j) liniowego układu stacjonarnego nazywamy wielkość określoną jako stosunek wartości zespolonej

składowdo warto

Tran

częstotliukładu u(t)=A1sprocesu częstotli

Prze

przedsta

Ry Char

przy zmstosunekprzesuniczęstotli

Tranpo podst

wej wymuszości zespolo

nsmitancja iwości. Dla

liniowegosint. W t

przejściowiwości, ale o

echodzenie awia rys.2.

ys.2. Przecho

rakterystykimianie częstok amplitudięcie fazowiwości. nsmitancję wtawieniu w

onej Y(j) onej tego wy

G(

widmowa a analizy pro wprowtakim przywego, ustalo innej amp

2y t A

sygnału

odzenie sygna

i częstotliwotliwości (pdy sygnałuwe między

widmową umiejsce op

( )G j

wywołanejwymuszenia

jU

jYj )(

opisuje dyrzyjmuje si

wadza się ypadku na li się sygnplitudzie i fa

2 ( ) sin t

sinusoidaln

ału sinusoidal

wościowe opulsacji) u wyjściowy wyjściem

uzyskuje sięeratora s op

Y jG

U j

j wymuszenU(j):

j

ynamikę ukę, że na we

wymuszjego wyjśc

nał sinusoiazie niż wym

t

nego przez

lnego przez e

określa zachw zakresie

wego do m, a wejśc

ę z transmiperatora j:

s j

G s

niem sinuso

kładu w dzejście elemenie sinuciu, po zandalny o temuszenie o

z element

element liniow

howanie sięod 0 do ,wejścioweg

ciem jako

itancji oper

8

oidalnym

(22)

ziedzinie mentu lub usoidalne niknięciu ej samej postaci:

(23)

liniowy

wy.

ę układu , podając go oraz

funkcję

ratorowej

(24)

9

Transmitancja widmowa jest zespoloną funkcją pulsacji i może być przedstawiona:

w postaci wykładniczej - podstawiając za U(j) i Y(j) parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej:

1 2( ) ( ) ; ( ) ( ) ;j tj tU j A e Y j A e (25)

wówczas transmitancję widmowa w postaci wykładniczej przedstawia zależność:

2 ( ) ( )2 2

1 1 1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

j t jj tj j

j t j t

AA e A e eG j e G j e

A e A e A

(26) w postaci zespolonej (części rzeczywistej P() i części urojonej

Q()): )()()( jQPjG (27)

gdzie: )(Re)( jGP

)(Im)( jGQ Związek między postacią wykładniczą, a zespoloną określają następujące zależności:

2 22

1

( )( ) ( )

( )

AG j P Q

A

(28)

P

Qarctg (29)

Z powyższych zależności wynika, że moduł transmitancji widmowej

|G(j)| określa stosunek amplitudy sygnału wyjściowego A2() do wejściowego A1(), natomiast argument transmitancji () określa przesunięcie fazowe między sygnałem wyjściowym i wejściowym.

2. Opisi ope

ZestawidziedzinLp. Na

1. Re

2. Ko

3. Ce

Właściw

rw

rr

p

s

p

r

s podstaeratorowej

enie opisunie operatorazwa elementu

ezystor

ondensator

ewka

wości układórezystancja wynosi:

rezystancja równolegle

pojemność szeregowo w

11

C

pojemność równolegle

awowych .

u elementówrowej. u Zapis w

uR

tuc

uL

ów elektryczastępcza d

R

zastępczwynosi:

1

11

RRRz

zastępczawynosi:

1

11

CCz

zastępczawynosi:

C

elementów

w elektryc

w dziedzinie c

tiRtR

tiC

0

1

dt

tdiLt

cznych: dwóch rezys

1 RRRz za dwóch

2

1R

R

a dwóch

2

11

C

a dwóch

1 CCCz

w w d

cznych dzie

czasu

dt

storów połą

2R

h rezystor

21

21

RR

RRRz

kondensato

1

1

C

CCz

kondensato

2C

dziedzinie

edzinie cza

Zapis w dzieoperatorow

RsU R

sC

sU c

1

sLsU L

ączonych sz

rów połą

2

orów połą

2

2

C

C

orów połą

10

czasu

asu i w

edzinie wej

sIR

sIs

)(ssI

zeregowo

ączonych

ączonych

ączonych

Lp

1.

2.

3.

4.

ZestawiLp.

N

1. Rez

2. Opópost

3. Opóobro

4. Opó

Zestawikinetycz

p. Nazwa

Cewka el

Ciało twam wpostępow

Ciało twaobrotowy

Bezwładncieczy

enie opisu eNazwa elemen

zystor

ór tarcia w rutępowym

ór tarcia w ruotowym

ór przepływu

enie opisuznej.

a elementu

lektryczna

arde o masie w ruchu

wym

arde w ruchu ym

ność gazów i

elementów ptu Zapis

u

uchu

f

uchu

rf

1p t

u elementó

Zapis w d

tuL

f t

rf t

1p t p

powodującys w dziedzinie

tiRtuR

mt R v

rt R

2p t R

ów magazy

dziedzinie cza

dt

tdiL

dv tm

dt

r

d tM

dt

2 pp t m

ych straty (oczasu

t

t

t F

p pR i t 1P

ynujących

su Zapis

F

pdi

dt 1P s

opory). Zapis w dzied

operatorow

RsU R

mF s R

r rF s R

2s P s

energię w

s w dziedzinie

LsU L

F s m

r rF s M

2s P s

11

edzinie wej

sIR

V s

s

p pR I s

postaci

e operatorowe

)(ssIL

sV s

s s

p pm sI s

ej

ZestawipotencjaLp.

N

1. Kon

2. Elemukłamecpost

3. Elemukłamecobro

4. Sprękompneu

5. Napciecukłahyd

3. Opis

Linirównanirównań wykorzyo wiel

enie opisualnej. Nazwa eleme

ndensator

ment sprężyadach chanicznych tępowym

ment sprężyadach chanicznych otowym

ężystość gamorze umatycznej

pełnianie zbczą nieściśliwadach raulicznych

układów w

owy, stacjoia różniczk

stanu. ystujących plu zaletac

u elementó

ntu Z

sty w

ruchu

f

sty w

ruchu

rf

zu w

p

iornika wą w

p

w przestrzen

onarny obiekowego, tran

Opis pojęcie zmi

ch. Opisuj

ów magazy

Zapis w dziedz

C

tuc 1

0

1 t

m

tC

0

1 t

r

tC

0

1 t

p

t iC

0

1 t

h

t iC

ni stanu

kt może byćnsmitancjiwłasności iennych staje zarówn

ynujących

zinie czasu

dtti

0

(v t dt f

rt dt f

(pi t dt p

(pi t dt p

ć opisany zaoperatorow

układówanu, jest nono układy

energię w

Zapis w doperato

C

sU c

0 F sC

(0 rF sC

(0 P sC

0 P sC

a pomocą liwej oraz za w dynam

woczesnymy jedno-,

12

postaci

dziedzinie orowej

sIsC

1

1

m

V sC s

1

r

sC s

1p

p

I sC s

1p

h

I sC s

iniowego pomocą

micznych, m opisem

jak i

13

wielowymiarowe, przy czym jego postać w obu przypadkach jest taka sama.

Pod pojęciem zmiennych stanu rozumie się pewien minimalny zestaw zmiennych, tak zdefiniowanych dla danego układu, że znajomość zależności tych zmiennych od czasu określa jednoznacznie jego właściwości. Liczba zmiennych, wystarczająca do opisu układu jest zazwyczaj równa rzędowi równania różniczkowego, wiążącego sygnał wyjściowy z sygnałem wejściowym.

Jeżeli kolejne zmienne stanu są zdefiniowane w taki sposób, że każda następna jest równa pochodnej poprzedniej zmiennej, to takie zmienne są nazywane zmiennymi fazowymi. Przykładem zmiennych fazowych mogą być: droga, prędkość, przyspieszenie.

Zmienne stanu można przyjąć w taki sposób, aby były kombinacjami liniowymi zmiennych fazowych. Odpowiednie zdefiniowanie zmiennych stanu może prowadzić do uproszczenia obliczeń oraz łatwiejszych interpretacji fizycznych.

Przestrzenią stanu nazywamy prostokątny układ współrzędnych, na którego osiach odkładamy wartości zmiennych stanu. W miarę upływu czasu punkt, wyznaczony przez zmienne stanu, przesuwa się w tej przestrzeni wzdłuż linii nazywanej trajektorią. Jeżeli jako zmienne stanu wybierzemy zmienne stanu fazowe, to przestrzeń stanu nosi nazwę przestrzeni fazowej, a trajektoria jest nazywana trajektorią fazową.

Przebieg dowolnej wielkości fizycznej będącej nośnikiem informacji nazywać będziemy zmienną lub sygnałem. Wielkości oddziaływujące na układ u1(t), u2(t), …, up(t) nazywać będziemy wymuszeniami lub zmiennymi wejściowymi, a miejsca ich oddziaływania – wejściami układu. Wymuszenia przedstawiają wielkości generowane w innym układzie niż badany. Wśród wymuszeń wyróżniać będziemy wielkości reprezentujące oddziaływania celowe, zwane sterowaniami, oraz wielkości reprezentujące oddziaływania niepożądane, zwane zakłóceniami. Wielkości oddziaływujące na inne układy y1(t), y2(t),…,yq(t) nazywamy odpowiedziami lub zmiennymi wyjściowymi, a miejsca ich oddziaływania – wyjściami układu.

Przebieg procesu dynamicznego w czasie zależy nie tylko od wartości wymuszeń w danej chwili, ale również od wartości tych wymuszeń w przeszłości. Można, więc powiedzieć, że proces (układ) dynamiczny ma pamięć, w której są gromadzone skutki przeszłych oddziaływań.

Stanem procesu nazywać będziemy najmniejszy liczebnie zbiór wielkości x1(t), x2(t), …, xn(t), określających w pełni skutki przeszłych oddziaływań na proces, który jest wystarczający do przewidywania przebiegu procesu w przyszłości.

Wielbędzproc[t0, tproc

Liczwarunkórozwiąz

Rów

gdzie

Dla

B(t), C(przyporz

Ry Dla

od czasuW tym p

lkości x1(t)ziemy zmiencesu w chwt1] wystarczcesu w przed

zba zmiennów początkania równań

wnania układ

e: A(t) – maciwymiarze ntransmisyjn

układów li(t), D(t) są ządkować n

ys.4. Schemat

układów liu) elementyprzypadku p

, x2(t), …,nnymi (wsp

wili początkoza do okreśdziale [t0,t1)

Rys.3. Schem

nych stanu owych koniń opisującydu w przest

x t A

y t C

erz stanu ukłanxp, C(t) – maa o wymiarze

iniowych nfunkcjami

następujący

t blokowy ciąg

niowych sty macierzy powyższe ró

x t

y t

, xn(t) okrpółrzędnymi)kowej t0 oraślenia przeb).

mat układu dy

równa się iecznych do

ych układ. trzeni stanu

A t x t B

C t x t D

adu o wymiaracierz odpowi qxp.

niestacjonarczasu t. Pschemat bl

głego układu

tacjonarnychA, B, C, Dównania sta

Ax t B

Cx t D

reślające pri) stanu. Znaz wymuszebiegów odp

ynamicznego

liczbie lino wyznacze

mają ogóln

B t u t

D t u t

rze nxn, B(t) –iedzi o wymia

rnych elemePowyższym lokowy:

liniowego nie

h (o paramsą stałe i n

anu przyjmu

Bu t

Du t

roces nazynajomość steń w przedzowiedzi i st

niowo niezania jednozn

ną postać:

– macierz wymarze qxn, D(t)

enty macierrównaniom

estacjonarneg

etrach niezanie zależą oują postać:

14

ywać tanu ziale tanu

ależnych nacznego

(30)

muszenia o ) – macierz

rzy A(t), m można

go.

ależnych od czasu.

(31)

15

Dla układów dających się opisać za pomocą równań różniczkowych równanie stanu i równanie wyjścia można opisać równaniem:

,

,

x t F u t x t

y t G u t x t

(32)

Powyższe równanie stanu jest równaniem różniczkowym

pierwszego rzędu, w ogólnym przypadku nieliniowym i zależnym jawnie od czasu, a funkcja F jest n – elementową funkcją wektorową. Równanie to można, więc rozpisać szczegółowo:

11 1 2 1 2

22 1 2 1 2

1 2 1 2

, ,..., , , ,...,

, ,..., , , ,...,

, ,..., , , ,...,

n k

n k

nn n k

dx tf x x x u u u t

dtdx t

f x x x u u u tdt

dx tf x x x u u u t

dt

(33)

Równanie wyjścia układu jest równaniem algebraicznym, przy czym

G jest l-elementowa funkcją wektorową. Rozpisując to równanie otrzymamy:

1 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

, ,..., , , ,...,

, ,..., , , ,...,

, ,..., , , ,...,

n k

n k

n n n k

y t g x x x u u u t

y t g x x x u u u t

y t g x x x u u u t

(34)

Powyższe równania mogą być linearyzowane w otoczeniu punktu

wybranego stanu układ (punktu pracy). Często współrzędne wektora stanu x1, x2, x3, …, xn wybiera się w ten

sposób, aby:

12 1

23 2

1n

n n

dxx x

dtdx

x xdt

dxx x

dt

(35)

Tak fazowymfazowymwybranepołożenpo krzypoglądow układfazowymnazywa będziem

Na r

wejściowopis w p

Załóznaną, w

oraz

wielomiPodz

wprowa

G

Wpr

następuj

wybrane wmi, a wektom układu. ej chwili t je

nie punktu, ywej zwaneową, geomedzie. Rodzim układu,

się przestmy o płaszcz

Rys.5. Sche

rys.5 przedswym u(t) i przestrzeni sóżmy, że dlwymierną fu

sG

z, że stopieianu w mianzielmy lic

adźmy nowe

n

nmm

b

asa

sU

sYsG

1

rowadźmy jący sposób

współrzędneor x o sk

Współrzędednoznacznzwanego puej trajektoretryczną iluinę trajekt

natomiast trzenią fazzyźnie fazow

emat blokowy

stawiono blwyjściowy

stanu. la tego ukłunkcją oper

a

sU

sY

eń wielominowniku (mznik i m

e oznaczeni

n

nmm

nm

n

m

bs

sa

sb

a

11

11

...

.

1

sygnał pomb:

e stanu nazykładowych dne fazownie określająunktem fazorią fazową

ustrację prztorii fazowt powyższązową. W pwej.

jednowymiar

lokowo ukłaym y(t), dla

ładu transmratora s:

1

1

sbsb

sasan

nn

n

mm

m

ianu w licm < n). mianownik

a współczy

nn

n

n

n

nm

n

m

sbsb

sa

sb

b

sb

a

01

1

11

11

11

...

...

mocniczy

ywać będziex1, x2, x3,

we x1, x2, x3

ą w przestrzowym. Punk. Trajektorebiegu proc

wych nazyą n – wym

przypadku,

rowego układ

ad jednowya którego c

mitancja ope

11

11

...

...

sb

san

m

czniku jest

transmitannników:

n

n

n

n

n

n

sa

b

bs

b

b

sb

a

0

11

11...

e(t) o tran

emy współr…, xn – w3, …, xn wzeni n - wymkt ten przesria fazowa cesu dynamwa się p

miarową prgdy n = 2

u liniowego.

miarowy, ochcemy wy

eratorowa G

0

0

b

as

niższy od

cji przez

n

n

n

n

n

sb

b

sb

a

0

0

nsformacie

16

rzędnymi wektorem

w każdej miarowej suwa się stanowi

micznego portretem rzestrzeń

2 mówić

o sygnale yznaczyć

G(s) jest

(36)

d stopnia

bn’sn i

(37)

E(s) w

17

sU

sE

sE

sY

sU

sYsG (38)

Transmitancję daną wzorem (38) możemy przedstawić jako iloczyn

dwóch następujących czynników:

nnn

n sbsbsbsU

sE

01

11

1 ...1

1 (39)

nnnmm

nmm sasasasa

sE

sY

01

11

1 ... (40)

Przekształcając wzory (39) i (40) można otrzymać następujące

zależności:

sEsbsEsbsEsbsUsE nnnn

0

11

11 ... (41)

sEsasEsasEsasEsasY nnnmm

nmm

01

11

1 ... (42)

Na rys.6. przedstawiono schemat blokowy, będący ilustracją równań

(41) i (42). Umieszczono na nim w postaci trójkątów n członów całkujących połączonych szeregowo. Transformatę Laplace’a sygnału wejściowego pierwszego z tych członów oznaczono E(s). Zgodnie z zasadą działania członu całkującego na jego wyjściu uzyskamy sygnał o transformacie s-1E(s). Na wyjściu ostatniego n - tego elementu całkującego otrzymamy sygnał o transformacie s-nE(s).

Jak widać z tego rysunku, sygnał o transformacie E(s) uzyskujemy z wyjścia pierwszego węzła sumacyjnego, do którego wejść doprowadzony sygnał u(t) układu przedstawionego na rys.6. oraz sygnały sprzężenia zwrotnego pobrane z wyjść odpowiednich członów całkujących poprzez elementy proporcjonalne, zgodnie z równaniem (41).

Wytworzenie sygnału wyjściowego y(t) układu z rys.6 wymaga, zgonie ze wzorem (42), zsumowania odpowiednich sygnałów wyjściowych członów całkujących, doprowadzonych do drugiego węzła sumacyjnego poprzez odpowiednie elementy proporcjonalne.

Ryss.6. Schemat bblokowy ilusttrujący sposóbb wyboru zmieennych fazow

18

wych

19

Zdefiniujemy obecnie fazowe zmienne stanu. Jako zmienną stanu x1(t) przyjmijmy sygnał wyjściowy ostatniego elementu całkującego. Jako drugą zmienna stanu x2(t) przyjmijmy sygnał wyjściowy przedostatniego elementu całkującego, który jako sygnał wejściowy ostatniego elementu całkującego może być pochodną poprzedniej zmiennej stanu. Ostatnia zmienną stanu jest xn(t), gdzie jak widać, sygnał wyjściowy pierwszego elementu całkującego i będzie równy pochodnej sygnału xn-1(t). Pochodna zmiennej stanu xn(t) jest równa sygnałowi pomocniczemu e(t).

Wykorzystując zdefiniowane zmienne stanu, można utworzyć następujący układ równań:

uxbxbxbxbx

xx

xx

xx

nnn

nn

1322110

1

32

21

(43)

Wprowadzając następujące oznaczenia macierzowe:

1

0

0

0

100000

000100

000010

;

123210

1

2

1

B

bbbbbb

A

x

x

x

x

x

nnn

n

(44)

można układ równań (43) zapisać w postaci macierzowej:

BuAxx (45) Po wprowadzeniu zmiennych stanu równanie (44) przyjmuje postać:

12110 ... mm xaxaxay (46)

którą dzięki oznaczeniu :

0010 maaac (47)

można przekształcić do postaci macierzowej:

Cxy (48)

Otrzw przest

który

5. Zada

PrzyWyzgdziwyjś

Zakł

zachowawynikaj

Tran

(zgodnieukład ró

Pods

operator

zymaliśmy trzeni stanu

y jest opisem

ania rachun

ykład 1. znaczyć tranie wielkościściową napi

ładając, żeanie omawącym z met

nsformują e z opisem

ównań:

stawiając prową układu

w ten spou:

m układu pr

nkowe.

nsmitancję cią wejściowięcie u2(t).

Rys.7. Czw

e prąd obwianego czw

tody praw K

1u t

2u

powyższe elementów

1U s

2U

powyższe u otrzymam

osób macie

Cxy

BuAxx

rzedstawion

czwórnika pwą jest nap

wórnik elektr

bciążenia cwórnika moKirchoffa:

1Ri t

C

0

1 t

t i tC

równania w elektryczn

RI sC

2

1s I

Cs

równania my:

erzowy ukł

u

nego na rys

przedstawiopięcie u1(t)

ryczny typu R

czwórnika ożna opisa

0

t

i t dt

t dt

do dziednych) otrzy

1I s

Cs

s

do wzoru

ład równań

.5.

onego na ry), a wielko

RC.

jest równć układem

dziny operymamy oper

u na trans

20

ń układu

(49)

ys.7, ością

ny zeru, równań

ratorowej ratorowy

smitancję

Pods

transmit

PrzyWyzrys.8

Wid

Pods

otrzymu

W powyższmianowotrzyma

G j

UG s

U

sumowująctancja opera

ykład 2. znaczyć tran8, zarówno

dząc, że ukła

stawiając ujemy:

celu wyznzą transmi

wnika, czylamy:

1

1RCj

1

2

RIU s

U s

, czwórniatorowa czło

nsmitancję ww postaci w

Rys.8. Czw

ad ten opisa

G s

do powy

naczenia tritancję pomli: 1-RCj

1

1

RCj

RCj

G j

1

1

s I sCs

I sCs

ik przedstonu inercyj

widmową uwykładniczej

wórnik elektry

any jest tran

1

2

U s

U s R

yższej tra

ransmitancjmnożyć p. Dokonu

2

1

1

RCj

RC

1j

RCj

1

1

s RCs

Cs

tawiony nnego stałej

układu przedj, jak i zesp

ryczny typu RC

nsmitancją o

1

1RCs

ansmitancji

ji widmowprzez wartoując dalsz

2

2 2

Cjj

j

1

1

1RCs

na rys.7. czasowej T

dstawionegoolone.

C.

operatorową

zależność

wej układuość zespolzych przek

1

11

21

opisuje T=RC.

o na

ą:

ć s=j

u należy loną do kształceń

2 2

RCj

RC

22

Na podstawie powyższej postaci transmitancji widmowej wyznaczamy cześć rzeczywistą P() i część urojoną Q(), które przyjmują postać:

2 2

1

1P

RC

2 21

RCQ

RC

Przykład 3.

Dany jest układ o jednym wejściu i jednym wyjściu, opisany

transmitancją operatorową: 32

122

ss

s

sU

sYsG

W pierwszym korku licznik i mianownik dzielimy przez s2 i rozdzielamy na dwa czynniki:

2121

321

12

ssss

sU

sE

sE

sY

sU

sYsG

Z podziału tego wynika, że:

21

21

321

1;2

sssU

sEss

sE

sY

Przekształcające te zależności do postaci zgodnej z wzorami (41) i

(42) otrzymujemy:

sEssEssUsE 21 32

sEssEssY 222 Na podstawie tych równań można zbudować schemat blokowy,

przedstawiony na rys.6 w skład którego wchodzą dwa elementy całkujące. Sygnał na wyjściu drugiego elementu całkującego oznaczymy jako zmienną x1, a na wyjściu pierwszego elementu całkującego jako zmienną x2. Układamy następnie układ równań dla zmiennych stanu:

uxxx

xx

212

21

23

oraz

Rów

zapi

R

6. Liter

1. Zbig

EkspWar

2. JanuWydSygn

3. Tadei dys

4. DariI”, W

z równanie d

wnania te po

2

1

x

xx

sujemy w o

Rys.9. Mode

atura

gniew WAploatacja rszawa 1983usz KOWdawnictwa natura: 6037eusz Kaczoskretne”. Paiusz Horla „Wydawnictw

dla sygnału

y

o przyjęciu o

3

0;

A

ostatecznej p

el układu w sG

AŁACH „osprzętu”

3 WAL „Pod

Naukowo78 rek „Teoriaaństwowe W„Podstawy awo Politech

wyjścioweg

21 2xxy

oznaczeń:

;23

10

B

postaci:

Cxy

BuAxx

w przestrzen

2

22

s

s

sU

sY

„Cybernetyk”, Wydz

dstawy auo-Dydaktycz

a sterowaniaWydawnictwautomatyki.

hniki Poznań

go:

;1

0

CB

u

ni stanu o tr

32

1

s

ka technicział Wyd

utomatyki zne AGH

a. Tom I Ukwo Naukow Ćwiczeniańskiej, Pozn

21

ransmitancj

czna. Częśdawniczy

T1”, Uc, Kraków

kłady liniowwe, Warszaw

rachunkownań 2003.

23

cji

ść I – WAT,

czelniane w 2004,

we ciągłe wa 1977. we. Część