wiskunde – semester 2 theorie hoofdstuk 1 getallenrijen · 1 wiskunde – semester 2 theorie...
TRANSCRIPT
1
Wiskunde–Semester2TheorieHoofdstuk1GetallenrijenBewijzen: pag.3+5+10+111.1GetallenrijenGetallenrij Eengeordende(oneindige)verzamelingvangetallen.
Notatie:{un}staatvooru1,u2,u3,…un,..un=dealgemenetermvandegetallenrij(vaakindevormvaneen‘formule’)
Constantegetallenrij
Wanneerdealgemenetermeenconstanteis(bijv.un=5)
Partieelsom Den-departieelsomvaneengetallenrijisdesomvandeeerstenelementenvaneengetallenrij.Notatie:𝑆" = (𝑢')"
')* = 𝑢* + 𝑢, + ⋯+ 𝑢"Reekssom Delimietvoorngaandenaar+∞vanden-departieelsom.
Notatie:𝑆 = lim"→23
𝑆" = (𝑢')3')* = 𝑢* + 𝑢, + 𝑢4 + ⋯
1.2SpecialegetallenrijenPartieelsomconstanteg.r.
𝑆" = 𝑛 ∙ 𝑢*
Rekenkundigegetallenrij
Hetverschiltussenopeenvolgendeelementenvanderij=constantd=notatievoorditverschil(kanooknegatiefgetalzijn!)Algemeneterm:𝑢" = 𝑢* + 𝑛 − 1 𝑑indiend=0àconstanteg.r.
Partieelsomrekenkundigerij
𝑆" = :;(𝑢* +𝑢")+ziebewijsp.3
Meetkundigegetallenrij
Deverhoudingtussenopeenvolgendeelementenvanderij=constantq=notatievoordezeverhouding=derede(kanookbreukzijn!)Algemeneterm:𝑢" = 𝑢* ∙ 𝑞"=*indienq=1àconstanteg.r
Partieelsommeetkundigerij
𝑆" = 𝑢* ∙*=>:
*=>+ziebewijsp.5
Hyperharmonischegetallenrij
Elkelementvanderijiseenvastenegatievemachtvandeindex.Algemeneterm:𝑢" = 𝑛=? =
*"@, 𝑚𝑒𝑡𝑝 > 0
1.3Annuïteiten Basisbegrippen A=startkapitaal
r=jaarlijkseinterestvoetEnkelvoudigeinterest
Naeenperiodevannjaarishetkapitaalaangegroeidtotdeeindwaarde:𝑆 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑛 ∙ 𝑟)(alleenhetstartkapitaalbrengtwinstop)
Samengesteldeinterest
Naeenperiodevannjaarishetkapitaalaangegroeidtotdeeindwaarde:𝑆 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑟)"(ookdeuitgekeerdeinterestbrengtwinstop,naasthetstartkapitaal)
ð makenwijsteedsgebruikvanKapitalisatie EindbedragwanneerjeAgedurendenjaarbelegtaaneenjaarlijkser:
𝑆 = 𝐴 ∙ (1 + 𝑟)" = 𝐴 ∙ 𝑢"=gekapitaliseerdebedrag
2
𝑢 = 1 + 𝑟=kapitalisatiefactorMerkup:u>1voorpositieveinterestvoeten
Actualisatie StartkapitaalomnaeenbelegginggedurendenjaaraaneenjaarlijksereeneindbedragStebereiken:𝐴 = 𝑆 ∙ (1 + 𝑟)=" = 𝑆 ∙ 𝑣"=geactualiseerdebedrag𝑣 = *
*2K= *
L=actualisatiefactor
Merkop:v<1voorpositieveinterestvoetenAnnuïteit Eenseriegelijkblijvendebetalingenopvastetijdstippen.
(bijv.omteberekenhoejeeenschuldofgeleendbedragkanaflosseninperiodiekebetalingentegeneenbepaaldeinterestvoet)R=degelijkejaarlijksebetalingen(telkensopheteindevandeperiode)r=jaarlijkseinterestvoet&n=aantalbetalingen
Slotwaarde/eindwaarde
Dewaardevanallebetalingensamenopheteindevandelaatsteperiode.
𝑆 = 𝑅 ∙𝑢" − 1𝑟
,𝑚𝑒𝑡𝑢 = 1 + 𝑟+ziebewijsp.10(belangrijk!)
Aanvangswaarde/beginwaarde
Dewaardevanallebetalensamenbijhetbeginvandeeersteperiode.
𝐴 = 𝑅 ∙1 − 𝑣"
𝑟,𝑚𝑒𝑡𝑣 =
1𝑢=
11 + 𝑟
+ziebewijsp.11(belangrijk!)
Aanvangswaardeversusslotwaarde
Altijdgeldt:𝑆 = 𝐴 ∙ 𝑢"(deslotwaardeishetgekapitaliseerdebedragvandeaanvangswaarde)𝐴 = 𝑆 ∙ 𝑣"(deaanvangswaardeishetgeactualiseerdebedragvandeslotwaarde)Verdergeldtsteeds:𝐴 < 𝑛 ∙ 𝑅 < 𝑆
3
Hoofdstuk2Taylor-enMacLaurinbenaderingenBestudeervoordithoofdstukookdeafgeleidenuitboek1.2.1FunctiesvanéénveranderlijkeMacLaurinontwikkeling(=oneindigesom)
Alsalleafleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanvoorx=0dangeldt
𝑓 𝑥 = 𝑓 0 + 𝑓S 0 𝑥 +𝑓"(0)2
𝑥, + 𝑓′′′(0)6
𝑥4 + ⋯+𝑓 " 0𝑛!
𝑥" + ⋯
𝑜𝑓𝑓 𝑥 =𝑓 Z (0)𝑘!
3
Z)\
𝑥Z
Voorxindeomgevingvan0𝑓 \ 𝑥 = 𝑓(𝑥)Taylorontwikkeling(=oneindigesom)
Alsalleafleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanvoorx=x0dangeldt
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥\ + 𝑓S 𝑥\ 𝑥 − 𝑥\ + 𝑓"(𝑥\)2
𝑥 − 𝑥\ , + …
+𝑓 " 𝑥\
𝑛!𝑥 − 𝑥\ " + ⋯
𝑜𝑓𝑓 𝑥 =𝑓 Z (𝑥\)
𝑘!
3
Z)\
𝑥 − 𝑥\ Z
Voorxindeomgevingvanx0Benaderingen
WanneerjeeenTaylor-ofMacLaurinontwikkelingvaneenfunctieafbreektnaeenaantaltermen,krijgjeeenbenaderingvandezefunctie.
MacLaurinbenadering(=eindigesom)
Alsdeeerstenafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanvoorx=0
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 0 + 𝑓S 0 𝑥 +𝑓"(0)2
𝑥, + 𝑓′′′(0)6
𝑥4 + ⋯+𝑓 " 0𝑛!
𝑥"
𝑜𝑓𝑓 𝑥 ≈𝑓 Z (0)𝑘!
"
Z)\
𝑥Z
Taylorbenadering(=eindigesom)
Alsdeeerstenafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanvoorx=x0
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥\ + 𝑓S 𝑥\ 𝑥 −𝑥\ + 𝑓"(𝑥\)2
𝑥 − 𝑥\ , + …+𝑓 " 𝑥\
𝑛!𝑥 −𝑥\ "
𝑜𝑓𝑓 𝑥 ≈𝑓 Z (𝑥\)
𝑘!
"
Z)\
𝑥 − 𝑥\ Z
Opmerkingen o n=1àlineairbenadering(boek1)o n=2àkwadratischebenaderingo n=3àkubischebenaderingBenaderingbeterals:o Hogereorde(hoemeertermenjemeeneemt)o MacLaurinbenadering:naarmatedewaardexdichterbij0ligtTaylorbenadering:naarmatedewaardexdichterbijx0ligt
2.2FunctiesvantweeveranderlijkenMacLaurinbenaderingvanorde1
Alsdeeersteordepartiëleafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanencontinuzijnvoor(x,y)=(0,0),dankandefunctiewaardevooreenwaardevan(x,y)indebuurtvan(0,0)benaderdwordenals
𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 0,0 +𝜕𝑓𝜕𝑥
0,0 𝑥 +𝜕𝑓𝜕𝑦
0,0 𝑦
4
MacLaurinbenaderingvanorde2
Alsdeeersteentweedeordepartiëleafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanencontinuzijnvoor(x,y)=(0,0),dankandefunctiewaardevooreenwaardevan(x,y)indebuurtvan(0,0)benaderdwordenals
𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 0,0 +𝜕𝑓𝜕𝑥
0,0 𝑥 +𝜕𝑓𝜕𝑦
0,0 𝑦
+12𝜕,𝑓𝜕𝑥,
0,0 𝑥, + 2𝜕,𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦
0,0 𝑥𝑦 +𝜕,𝑓𝜕𝑦,
0,0 𝑦,
Taylorbenaderingvanorde1
Alsdeeersteordepartiëleafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanencontinuzijnvoor(x,y)=(x0,y0),dankandefunctiewaardevooreenwaardevan(x,y)indebuurtvan(x0,y0)benaderdwordenals
𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 𝑥\, 𝑦\ +𝜕𝑓𝜕𝑥
𝑥\, 𝑦\ (𝑥 − 𝑥\) +𝜕𝑓𝜕𝑦
𝑥\, 𝑦\ (𝑦 − 𝑦\)
Taylorbenaderingvanorde2
Alsdeeersteentweedeordepartiëleafgeleidenvaneenfunctief:ℝ→ℝbestaanencontinuzijnvoor(x,y)=(x0,y0),dankandefunctiewaardevooreenwaardevan(x,y)indebuurtvan(x0,y0)benaderdwordenals
𝑓 𝑥, 𝑦 ≈ 𝑓 𝑥\, 𝑦\ +𝜕𝑓𝜕𝑥
𝑥\, 𝑦\ (𝑥 − 𝑥\) +𝜕𝑓𝜕𝑦
𝑥\, 𝑦\ (𝑦 − 𝑦\)
+12𝜕,𝑓𝜕𝑥,
𝑥\, 𝑦\ (𝑥 − 𝑥\), + 2𝜕,𝑓𝜕𝑥𝜕𝑦
𝑥\, 𝑦\ 𝑥 − 𝑥\ (𝑦 − 𝑦\)
+𝜕,𝑓𝜕𝑦,
𝑥\, 𝑦\ (𝑦 − 𝑦\),
5
Hoofdstuk3MatricesBewijzen: pag.32+34+35+37+38+393.1DefinitiesMatrix Eenmatrixvanordemxn(m,n∈ℕ0)iseenblokreëlewaardenmet:
mrijenennkolommen.
𝐀 = (𝑎'f)')*,…,g;f)*,...," =
𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"𝑎,* 𝑎,, ⋯ 𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎g* 𝑎g, ⋯ 𝑎g"
Elementaijbevindtzichinrijienkolomji=rij-indexenj=kolomindex
Vierkantematrix Heeftevenveelrijenalskolommen.Deordeisnxn(n∈ℕ0)àmatrixheeftorden/isvann-deorde(eenmatrixvanorde1x1iseengetal)
Hoofddiagonaal Deelementenvaneenvierkantematrixwaarbijrij-enkolomindexaanelkaargelijkzijn,dusdeelementen𝑎iimet1≤i ≤n
Nevendiagonaal Deelementenvaneenvierkantematrixa1n,a2,n-1,…,an1,
dusdeelementen𝑎i,n+1–imet1≤i ≤n
Spoor Desomvandehoofddiagonaalelementen(vaneenvierkantematrix)Kolommatrix=kolom=kolomvector
Eenmatrixmetordemx1(m∈ℕ0)𝑎*𝑎,⋮𝑎g
nulkolom=nulvector=kolommetallemaalnullen
Rijmatrix=rij=rijvector
Eenmatrixmetorde1xn(n∈ℕ0)𝑎* 𝑎, ⋯ 𝑎"
Diagonaalmatrix Eenvierkantenxnmatrixwaarinaldeelementendienietopdehoofddiagonaalstaan,gelijkzijnaannul.
𝐀 =
𝑎** 0 ⋯ 00 𝑎,, ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 𝑎""
Scalairematrix Eendiagonaalmatrixwaarinallehoofddiagonaalelementengelijkzijnaaneenzelfdegetala
𝐀 =
𝑎 0 ⋯ 00 𝑎 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 𝑎
Eenheidsmatrix I" →Eenscalairematrixwaarbija=1Nulmatrix O" →Eenscalairematrixwaarbija=0,
ofweleenmxnmatrixmetallemaalnullen
6
Triangulairematrix/driehoeksmatrix
Eenmatrixwaarbijalleelementenaaneenzelfdekantvandehoofddiagonaalnulzijn.
Ondertriangulairematrix/benedendriehoeksmatrix
Alleelementenbovendehoofddiagonaalzijnnul.
𝑎ij = 0alsi <j Boventriangulairematrix/bovendriehoeksmatrix
Alleelementenonderdehoofddiagonaalzijnnul.
𝑎ij = 0alsi >j 3.2BewerkingenGelijkheid(definitie) Tweematrices𝐀en𝐁zijngelijkals
1) Dezematricesdezelfdeordehebben2) Allegelijkstandigeelementenaanelkaargelijkzijn:∀𝑖, ∀𝑗 ∶ 𝑎'f = 𝑏'f
Productvaneenmatrixmeteengetal
Eenmatrix𝐴 = (𝑎'f)')*,…,g;f)*,...,"vermenigvuldigenmeteenreëelgetalα=elkelementvandematrixmetdatgetalvermenigvuldigenDeordeblijftonveranderd.
𝛼 ∙ 𝐀 = 𝐀 ∙ 𝛼 =
𝛼 ∙ 𝑎** 𝛼 ∙ 𝑎*, ⋯ 𝛼 ∙ 𝑎*"𝛼 ∙ 𝑎,* 𝛼 ∙ 𝑎,, ⋯ 𝛼 ∙ 𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝛼 ∙ 𝑎g* 𝛼 ∙ 𝑎g, ⋯ 𝛼 ∙ 𝑎g"
Tegensteldematrix–A:dezebekomjevoorα=–1
−𝐀 = (−1) ∙ 𝐀 = 𝐀 ∙ −1 =
−𝑎** −𝑎*, ⋯ −𝑎*"−𝑎,* −𝑎,, ⋯ −𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮
−𝑎g* −𝑎g, ⋯ −𝑎g"
Somenverschilvantweematrices
Tweematricesvandezelfdeordekunnenbijelkaaropgeteld(resp.vanelkaarafgetrokken)wordendoorallegelijkstandigeelementenbijelkaaroptetellen(resp.vanelkaaraftetrekken)
𝑨 + 𝑩 = 𝑪 ⇔ ∀𝑖, ∀𝑗 ∶ 𝑎'f + 𝑏'f = 𝑐'f 𝑨 − 𝑩 = 𝑪 ⇔ ∀𝑖, ∀𝑗 ∶ 𝑎'f − 𝑏'f = 𝑐'f
Commutatieveoptelling
Deoptellingvanmatricesiscommutatief(=verwisselbaar)𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨
VW1:ordevanA+B=ordevanB+A(definitiev/dsom)VW2:Elementoprijienkolomjà𝑎'f + 𝑏'f = 𝑏'f + 𝑎'f
Kenmerken VoortweereëlegetallenαenβentweematricesAenBvandezelfdeorde:𝛼 ∙ 𝑨 + 𝑩 = 𝛼 ∙ 𝑨 + 𝛼 ∙ 𝑩𝛼 + 𝛽 ∙ 𝑨 = 𝛼 ∙ 𝑨 + 𝛽 ∙ 𝑨𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑨 = 𝛽 ∙ 𝛼 ∙ 𝑨 = 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝑨+bewijzenkennen(m.b.v.definitiegelijkheid)
Productvantweematrices
Eenmatrixvanordemxkeneenmatrixvanordekxnkunnenmetelkaarvermenigvuldigdwordenalsvolgt:
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑪 ⇔ 𝑐'f = 𝑎'ℓ ∙ 𝑏ℓf, 𝑚𝑒𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛Z
ℓ)*
DematrixCheeftordemxn.ð Hetelement𝑐'f vindjedoorde𝑖-derijvandematrixAte
vermenigvuldigenmetde𝑗–dekolomvandematrixB.
7
Letop:devermenigvuldigingvanmatricesisnietcommutatiefInhetalgemeengeldtdat𝑨 ∙ 𝑩 ≠ 𝑩 ∙ 𝑨
Specialeproducten § Eenuitvoerbaarproductvaneenrijmeteenmatrix=terugeenrij1𝑥𝑘 ∙ 𝑘𝑥𝑛 = 1𝑥𝑛
§ Eenuitvoerbaarproductvaneenmatrixmeteenkolom=terugeenkolom𝑚𝑥𝑘 ∙ 𝑘𝑥1 = 𝑚𝑥1
§ Eenuitvoerbaarproductvaneenrijmeteenkolom=eengetal1𝑥𝑘 ∙ 𝑘𝑥1 = 1𝑥1
§ Eenproductvaneenkolommeteenrij=eenmatrix(luktaltijd!)𝑚𝑥1 ∙ 1𝑥𝑛 = 𝑚𝑥𝑛
Machtvaneenmatrix
Dek-demachtvaneenvierkantematrixAwordtgedefinieerdals𝑨Z = 𝑨 ∙ 𝑨 ∙ … ∙ 𝑨
Letop:dusnietgewoondatkwadraatbijelkelementzetten(behalvebijdiagonaalmatrix)
Machtvaneendiagonaalmatrix
Dek-demachtvaneendiagonaalmatrixisopnieuwdediagonaalmatrixmetalshoofddiagonaalelementendek-demachtvandeoriginelehoofddiagonaalelementen
Hetisnietzodatallerekenregelsdiegeldenvoorreëlegetallen,ookzullengeldenvoormatrices(wantmatrixvermenigvuldigingisniet-commutatief)3.3EigenschappenAssociatieveoptelling
Hetoptellenvanmatricesisassociatief:𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪
Letop:devolgordeblijftduswelgelijk!Associatievevermenigvuldiging
Hetvermenigvuldigenvanmatricesisassociatief:𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩 ∙ 𝑪
Letop:devolgordeblijftduswelgelijk!Distributiviteit Hetvermenigvuldigenvanmatricesisdistributieft.o.v.deoptelling:
Linksedistributiviteit:𝑨 ∙ 𝑩 + 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑩 + 𝑨 ∙ 𝑪Rechtsedistributiviteit: 𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑪 = 𝑨 ∙ 𝑪 + 𝑩 ∙ 𝑪
Vermenigvuldigenmetnulmatrixofeenheidsmatrix
Vermenigvuldigenmetdenulmatrixgeeftdenulmatrix:𝑨 ∙ 𝑶 = 𝑶 = 𝑶 ∙ 𝑨
Vermenigvuldigenmetdeeenheidsmatrixgeeftdeoriginelematrix:𝑨 ∙ 𝑰 = 𝑨 = 𝑰 ∙ 𝑨
Nuldelers MennoemttweevermenigvuldigbarematricesAenBnuldelersindiengeldt:𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑶𝒎𝒆𝒕𝑨 ≠ 𝑶𝒆𝒏𝑩 ≠ 𝑶
Dusuiteenuitdrukking𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑂kanjenietbesluitendatA=OofB=OBeideledenvoor-ofnavermenigvuldigen
Uitdegelijkheid𝑨 = 𝑩volgtdateengelijkheidbehoudenblijftindien:𝑪 ∙ 𝑨 = 𝑪 ∙ 𝑩jebeideledenlinksvermenigvuldigtmetC𝑨 ∙ 𝑪 = 𝑩 ∙ 𝑪jebeideledenrechtsvermenigvuldigtmetCLetop:hetisbelangrijkdatjebeideledenvaneengelijkheidaandezelfdezijdevermenigvuldigt!Uit𝐴 = 𝐵volgtnietnoodzakelijkdat𝐶 ∙ 𝐴 = 𝐵 ∙ 𝐶ofdat𝐴 ∙ 𝐶 = 𝐶 ∙ 𝐵
Rekenenmetmatrices
WatNIETgeldt𝑨 ∙ 𝑩 ≠ 𝑩 ∙ 𝑨
𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑨 ∙ 𝑪 ⤇≠ 𝑩 = 𝑪𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑨 − 𝑩 ≠ 𝑨𝟐 − 𝑩𝟐
8
WatWELgeldt𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑨 ∙ 𝑪 ⤇ 𝑨 ∙ 𝑩 − 𝑪 = 𝟎
(AenB-Ckunnennuldelerszijn→B–Ckan≠0zijn)𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑨 − 𝑨 + 𝑩 ∙ 𝑩 = 𝑨𝟐 + 𝑩 ∙ 𝑨 − 𝑨 ∙ 𝑩 − 𝑩𝟐
3.4TransponerenTransponeren Degetransponeerdematrixvaneenmatrixvanordemxniseenmatrixvan
ordenxmdiebestaatuitdeelementenvandeoorspronkelijkematrixwaarbijrijenenkolommenwerdenomgewisseld.Notatie:𝑨′of𝑨�
Getransponeerdev/egetransponeerde
(𝑨�)� = 𝑨(bewijssteuntopdegelijkheidvantweematrices)
Getransponeerdev/eveelvoud
(𝛼 ∙ 𝑨)� = 𝛼 ∙ 𝑨� (bewijssteuntopdegelijkheidvantweematrices)
Getransponeerdev/esom
VoormatricesAenBvangelijkeordegeldt:(𝑨 + 𝑩)� = 𝑨� + 𝑩� (bewijssteuntopdegelijkheidvantweematrices)
Getransponeerdev/esom
VoorvermenigvuldigbarematricesAenBgeldt:(𝑨 ∙ 𝑩)� = 𝑩� ∙ 𝑨� (bewijssteuntopdegelijkheidvantweematrices)
9
Hoofdstuk4DeterminantenBewijzen: pag.47+53+BB4.1DefinitieDeterminant AssocieerteengetalmetelkevierkantematrixDeterminantvanmatrixv.orde1x1
Dedeterminantvaneenvierkantematrix𝑨 = (𝑎**)vanorde1x1is:det𝐀 = 𝐀 = 𝑎**
Determinantvanmatrixv.orde2x2
Dedeterminantvaneenvierkantematrix𝑨 = 𝑎** 𝑎*,𝑎,* 𝑎,, vanorde2x2
is:det𝐀 = 𝐀 = 𝑎** ∙ 𝑎,, − 𝑎*, ∙ 𝑎,*ofwel:producthoofddiagonaal–productnevendiagonaal
RegelvanSarrus(matrixv.orde3x3) Dedeterminantv/evierkantematrix𝑨 =
𝑎** 𝑎*, 𝑎*4𝑎,* 𝑎,, 𝑎,4𝑎4* 𝑎4, 𝑎44
vanorde3x
3is:det 𝐀 = 𝐀 = 𝑎** ∙ 𝑎,, ∙ 𝑎44 + 𝑎*, ∙ 𝑎,4 ∙ 𝑎4* + 𝑎*4 ∙ 𝑎,* ∙ 𝑎4,−𝑎*4 ∙ 𝑎,, ∙ 𝑎4* − 𝑎** ∙ 𝑎,4 ∙ 𝑎4, − 𝑎*, ∙ 𝑎,* ∙ 𝑎44Ofwel:desomvandeproductenv/delementenopde“positieve”diagonalenwordenverminderdmetdesomvandeproductenv/delementenopde“negatieve”diagonalen.
Minor Eenmatrix𝐀vanordenxneneenelement𝑎'f 𝑚𝑒𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
Deminor𝐀'f =dematrixvanorde(n–1)x(n–1)diejeverkrijgtdoordeindematrix𝐀dei-derijendej-dekolomwegteschrappen.
Cofactor Eenmatrix𝐀vanordenxneneenelement𝑎'f 𝑚𝑒𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
Decofactor𝑐'f =dedeterminantv/dminorindiendesomvanrij-enkolomindexevenis&denegatievedeterminantv/dminorindiendezesomonevenis.𝑐'f = (−1)'2f ∙ det(𝐀'f)
10
Ontwikkelingsmethode(matrixv.orde>3x3)
Kieseenwillekeurigeriji ofkolom j(𝑚𝑒𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛)Dedeterminantvaneenvierkantematrix𝐀vanordenxnkanberekendwordendoorteontwikkelennaardei-derij:
det𝐀 = 𝐀 = 𝑎'* ∙ 𝑐'* + 𝑎', ∙ 𝑐', + ⋯+ 𝑎'" ∙ 𝑐'" = 𝑎'ℓ ∙ 𝑐'ℓ
"
ℓ)*
ofnaardej-dekolom:
det𝐀 = 𝐀 = 𝑎*f ∙ 𝑐*f + 𝑎,f ∙ 𝑐,f + ⋯+ 𝑎"f ∙ 𝑐"f = 𝑎ℓf ∙ 𝑐ℓf
"
ℓ)*
ð Wezullensteedsverkiezenteontwikkelennaareenrijofnaareenkolommetzoveelmogelijknullenin(=minderrekenwerk)
Determinantv/dgetransponeerde
Dedeterminantv/evierkantematrixisgelijkaandedeterminantv/dgetransponeerdevandiematrix:det 𝐀𝐓 = det(𝐀)
Reguliere&singulierematrices
Regulierevierkantmatrix⤇determinant≠0Singulierevierkantematrix⤇determinant=0
4.2Eigenschappen(wegaansteedsuitvaneenvierkantematrix,zodatdedeterminantberekendkanworden)Determinantvanmatrixmetnulrij
Dedeterminantvaneenmatrixmetminstenséénnulrijofminstenséénnulkolomisgelijkaan0.
Determinantvandriehoeksmatrix
Dedeterminantv/edriehoeksmatrix=productv/dhoofddiagonaalelementen.ð Bijgevolggeldt:determinantv/ediagonaalmatrix=productvande
hoofddiagonaalelementenð &determinantv/deenheidsmatrix=1
𝑑𝑒𝑡𝑎** 𝑎*, 𝑎*40 𝑎,, 𝑎,40 0 𝑎44
= 𝑎** ∙ 𝑎,, ∙ 𝑎44&𝑑𝑒𝑡𝑎** 0 00 𝑎,, 00 0 𝑎44
= 𝑎** ∙ 𝑎,, ∙ 𝑎44
Tweerijen/kolommenwisselen
Dedeterminantvaneenmatrixverandertvantekenwanneertweerijenoftweekolommenomgewisseldworden.
Tweegelijkerijen/kolommen
Dedeterminantvaneenmatrixmettweegelijkerijenoftweegelijkekolommenisgelijkaannul.
Rijofkolomvermenigvuldigenmeteenreëelgetal
Wanneermenineenmatrixeenrijofkolomvermenigvuldigtmeteenreëelgetal,danwordtookdedeterminantvermenigvuldigtmetditreëelgetal.
𝑑𝑒𝑡𝜶 ∙ 𝑎** 𝜶 ∙ 𝑎*, 𝜶 ∙ 𝑎*4𝑎,* 𝑎,, 𝑎,4𝑎4* 𝑎4, 𝑎44
= 𝜶 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝑎** 𝑎*, 𝑎*4𝑎,* 𝑎,, 𝑎,4𝑎4* 𝑎4, 𝑎44
(dezeeigenschapkunjebv.gebruikenalserveelbreukenineenbepaalderij/kolomstaan)+ziebewijsopBB
Matrixvermenigvuldigenmeteenreëelgetal
Wanneermenineennxnmatrixalleelementenvermenigvuldigtmeteenreëelgetalα,danwordtdedeterminantvermenigvuldigdmetαn.
𝑑𝑒𝑡𝜶 ∙ 𝑎** 𝜶 ∙ 𝑎*, 𝜶 ∙ 𝑎*4𝜶 ∙ 𝑎,* 𝜶 ∙ 𝑎,, 𝜶 ∙ 𝑎,4𝜶 ∙ 𝑎4* 𝜶 ∙ 𝑎4, 𝜶 ∙ 𝑎44
= 𝜶𝒏 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝑎** 𝑎*, 𝑎*4𝑎,* 𝑎,, 𝑎,4𝑎4* 𝑎4, 𝑎44
Tipvoorhandiggebruik:𝑑𝑒𝑡 −𝐀 = (−1)" ∙ 𝑑𝑒𝑡 𝐀 =..Alsn=even:𝑑𝑒𝑡 −𝐀 = 𝑑𝑒𝑡 𝐀 Alsn=oneven:𝑑𝑒𝑡 −𝐀 = −𝑑𝑒𝑡 𝐀
Algemeengeldig Inhetalgemeengeldtdat:det 𝐀 + 𝐁 ≠ det 𝐀 + det(𝐁)
11
Determinantopsplitsenvolgensrijofkolom
Wanneerineenmatrixeenrijgelijkisaandesomvantweerijen,dankandedeterminantopgesplitstwordenvolgensdierij.(analogewerkwijzevooreenkolom)Beschouwmatrix𝐀waarindei-derijteschrijvenisalsdesomvantweerijen:
𝑎'* 𝑎', ⋯ 𝑎'" = 𝑏* 𝑏, ⋯ 𝑏" + 𝑐* 𝑐, ⋯ 𝑐" Dangeldt:
det 𝐀 = det
𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎'=*,* 𝑎'=*,, ⋯ 𝑎'=*,"𝑏* 𝑏, ⋯ 𝑏"
𝑎'2*,* 𝑎'2*,, ⋯ 𝑎'2*,"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""
+ det
𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎'=*,* 𝑎'=*,, ⋯ 𝑎'=*,"𝑐* 𝑐, ⋯ 𝑐"
𝑎'2*,* 𝑎'2*,, ⋯ 𝑎'2*,"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""
(dezeeigenschapkunjebv.gebruikenomeenmatrixtevereenvoudigen)+ziebewijsopBB
Bijeenrij/kolomeenveelvoudvaneenandererij/kolomoptellen
Dedeterminantvaneenmatrixwijzigtnietwanneermenbijeenrijeenveelvoudvaneenandererijoptelt(hetzelfdegeldtvooreenkolom).
det 𝐀 = det
𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎'* 𝑎', ⋯ 𝑎'"𝑎f* 𝑎f, ⋯ 𝑎f"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""
= det
𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑎'* + 𝛼 ∙ 𝑎f* 𝑎', + 𝛼 ∙ 𝑎f, ⋯ 𝑎'" + 𝛼 ∙ 𝑎f"𝑎f* 𝑎f, ⋯ 𝑎f"⋮ ⋮ ⋮ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""
Tipvoorhandiggebruik:omdeteontwikkelenmatrixtevereenvoudigen.
Determinantvaneenproduct
Dedeterminantvaneenproductvantweematricesisgelijkaanhetproductvandeafzonderlijkedeterminanten.
det 𝐀 ∙ 𝐁 = det 𝐀 ∙ det 𝐁 = det(𝐁 ∙ 𝐀)Merkopdatinhetalgemeen
𝑨 ∙ 𝑩 ≠ 𝑩 ∙ 𝑨Letop:ditgeldtnietvoordesomA+B!
Tip:gebruikdeeigenschappenvandeterminantenomzoveelmogelijknullentecreërenindete-ontwikkelen-matrix(voornamelijk“bijeenrij/kolomeenveelvoudvaneenandererij/kolomoptellen”)
12
Hoofdstuk5Kwadratischevormen5.1Symmetrischematrices Symmetrischematrix
Eenvierkantematrixdiegelijkisaanzijngetransponeerde:𝐀 = 𝐀�
Dedriehoekenbovenenonderdehoofddiagonaalzijnelkaarsspiegelbeeld.Hetelementoprijienkolomjisgelijkaanhetelementoprijjenkolomi.
Eigenschap Vooreenwillekeurigemxnmatrix𝐀geldtdat𝐀 ∙ 𝐀�steedssymmetrischisendat𝐀� ∙ 𝐀steedssymmetrischis.Dus𝐀 ∙ 𝐀� = (𝐀 ∙ 𝐀�)�en𝐀� ∙ 𝐀 = (𝐀� ∙ 𝐀)�
5.2Definitiematrices(jegaathieruitvansymmetrischematrices)Definietematrix Vooreensymmetrischematrix𝐀vanordenxn&elkekolomx≠0geldt:
Positiefdefiniet:𝐱� ∙ 𝐀 ∙ 𝐱 > 0Negatiefdefiniet:𝐱� ∙ 𝐀 ∙ 𝐱 < 0Non-definiet:indien𝐀nietpositiefdefinietennietnegatiefdefinietis(elkekolomx≠0metnelementen)
Kwadratischevorm
q 𝐱 = 𝐱� ∙ 𝐀 ∙ 𝐱
𝑞 𝑥 = 𝑥* 𝑥, ⋯ 𝑥" ∙
𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"𝑎,* 𝑎,, ⋯ 𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎"* 𝑎", ⋯ 𝑎""
∙
𝑥*𝑥,⋮𝑥"
𝑞 𝑥 = 𝑥* 𝑥, ⋯ 𝑥" ∙
𝑎** ∙ 𝑥* + 𝑎*, ∙ 𝑥, + ⋯+ 𝑎*" ∙ 𝑥"𝑎,* ∙ 𝑥* + 𝑎,, ∙ 𝑥, + ⋯+ 𝑎," ∙ 𝑥"
⋮𝑎"* ∙ 𝑥* + 𝑎", ∙ 𝑥, + ⋯+ 𝑎"" ∙ 𝑥"
= 𝑎**𝑥*, + 𝑎,,𝑥,, + ⋯+𝑎""𝑥", + 2𝑎*,𝑥*𝑥, + 2𝑎*4𝑥*𝑥4 + ⋯+ 2𝑎"=*,"𝑥"=*𝑥"Kwaadraattermen:determen𝑥',Producttermen:determen𝑥'𝑥f(𝑖 ≠ 𝑗)Hoofddiagonaalelementenvan𝐀⤇decoëfficiëntenv/dkwadraattermenAndereelementenvan𝐀⤇dehalvecoëfficiëntenv/dproducttermen(optellen)
Definietematricesvanorde2x2
Eensymmetrischematrix𝐀 = 𝑎 𝑏𝑏 𝑐 is
Positiefdefiniet:indien𝒂 > 0en det 𝐀 > 0 Negatiefdefiniet:indien𝒂 < 0en det 𝐀 > 0Non-definiet:inalleanderegevallen
Definietematricesvanorde3x3 Eensymmetrischematrix𝐀 =
𝑎 𝑏 𝑐𝑏 𝑑 𝑒𝑐 𝑒 𝑓
is
Positiefdefiniet:indien𝒂 > 0𝑒𝑛 det 𝑎 𝑏𝑏 𝑑 > 0𝑒𝑛 det 𝐀 > 0
Negatiefdefiniet:indien𝒂 < 0𝑒𝑛 det 𝑎 𝑏𝑏 𝑑 > 0𝑒𝑛 det 𝐀 < 0
Non-definiet:inalleanderegevallen
13
Hoofdstuk6Afleidenvanennaarmatrices–Hessiaansematrix6.1AfleidenvaneenmatrixAlsdemxn-matrix𝐀afleidbarefunctiesbevatmetalsonafhankelijkeveranderlijket,danwordtdeafgeleidevan𝐀naartgedefinieerdealsdemxn-matrixbestaandeuitalleafgeleidefuncties:
d𝐀d𝑡
=dd𝑡
𝑎**(𝑡) 𝑎*,(𝑡) ⋯ 𝑎*"(𝑡)𝑎,*(𝑡) 𝑎,,(𝑡) ⋯ 𝑎,"(𝑡)⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎g*(𝑡) 𝑎g,(𝑡) ⋯ 𝑎g"(𝑡)
=
d𝑎**(𝑡)d𝑡
d𝑎*,(𝑡)d𝑡
⋯d𝑎*"(𝑡)d𝑡
d𝑎,*(𝑡)d𝑡
d𝑎,,(𝑡)d𝑡
⋯d𝑎,"(𝑡)d𝑡
⋮ ⋮ ⋱ ⋮d𝑎g*(𝑡)d𝑡
d𝑎g,(𝑡)d𝑡
⋯d𝑎g"(𝑡)
d𝑡
6.2AfleidenvaneenfunctienaareenmatrixAfgeleidevaneenfunctienaareenkolom
Webekomeneenkolommetdaarinalleeersteordepartiëleafgeleidenvandefunctief⤇gradiëntvan fAls𝑦 = 𝑓(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")eenpartieelafleidbarefunctieisvannonafhankelijkeveranderlijken𝑥',dandefinieertmen
deafgeleidevanynaardekolom𝐱 =
𝑥*𝑥,⋮𝑥"
𝑎𝑙𝑠d𝑦d𝐱
=
𝜕𝑓𝜕𝑥*𝜕𝑓𝜕𝑥,⋮𝜕𝑓𝜕𝑥"
Afgeleidevaneenfunctienaareenrij
Webekomeneenrijmetdaarinalleeersteordepartiëleafgeleidenv/dfunctiefAls𝑦 = 𝑓(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")eenpartieelafleidbarefunctieisvannonafhankelijkeveranderlijken𝑥',dandefinieertmen
deafgeleidevanynaarderij𝐱� = 𝑥* 𝑥, ⋯ 𝑥"
𝑎𝑙𝑠d𝑦d𝐱�
=𝜕𝑓𝜕𝑥*
𝜕𝑓𝜕𝑥,
⋯𝜕𝑓𝜕𝑥"
Eigenschap(vandeafgeleidenvaneenfunctienaareenrij/kolom)
Deafgeleidevaneenfunctie𝑦 = 𝑓(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")naareenkolom𝐱 =
𝑥*𝑥,⋮𝑥"
isdegetransponeerdevandeafgeleidevandefunctienaarderij𝐱�.Afgeleidevaneenfunctienaareenmatrix
Webekomeneenmatrixmetdaarinalleeersteordepartiëleafgeleidenv/dfunctief.Als𝑦 = 𝑓(𝑥**, 𝑥*,, … , 𝑥g")eenpartieelafleidbarefunctieisvanmxnonafhankelijkeveranderlijken𝑥'f,dandefinieertmen
deafgeleidevanynaardematrix𝐱 =
𝑥** 𝑥*, ⋯ 𝑥*"𝑥,* 𝑥,, ⋯ 𝑥,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑥g* 𝑥g, ⋯ 𝑥g"
𝑎𝑙𝑠
14
d𝑦d𝐱�
=
𝜕𝑓𝜕𝑥**
𝜕𝑓𝜕𝑥*,
⋯𝜕𝑓𝜕𝑥*"
𝜕𝑓𝜕𝑥,*
𝜕𝑓𝜕𝑥,,
⋯𝜕𝑓𝜕𝑥,"
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓𝜕𝑥g*
𝜕𝑓𝜕𝑥g,
⋯𝜕𝑓𝜕𝑥g"
6.3Afleidenvaneenrijnaareenkolom/afgeleidevaneenkolomnaareenrij(nooitrijnaarrijofkolomnaarkolom)Beschouwmpartieelafleidbarefuncties𝑓*, … , 𝑓g.Elkefunctie𝑓f (met1≤j≤m)iseenfunctievannonafhankelijkeveranderlijken𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥":
𝑓f:ℝ" → ℝ: 𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥" ↦ 𝑓f: 𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥" Afgeleidevaneenrijnaareenkolom(rijmetfunctieswordtafgeleidnaareenkolommetdaarindeonafhankelijkeveranderlijken)
Webekomeneennxm-matrixmetalleeersteordepartiëleafgeleidenvandefuncties𝑓f.Hetelementopplaats(i,j)isdepartiëleafgeleidevandej-defunctienaardei-deveranderlijke.Als𝐲� = (𝑦* 𝑦, ⋯ 𝑦g),waarbijdeelementen𝑦f = 𝑓f(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")
dandefinieertmendeafgeleidevan𝐲�naardekolom𝐱 =
𝑥*𝑥,⋮𝑥"
𝑎𝑙𝑠
d𝐲�
d𝐱=
𝜕𝑓*𝜕𝑥*
𝜕𝑓,𝜕𝑥*
⋯𝜕𝑓g𝜕𝑥*
𝜕𝑓*𝜕𝑥,
𝜕𝑓,𝜕𝑥,
⋯𝜕𝑓g𝜕𝑥,
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓*𝜕𝑥"
𝜕𝑓,𝜕𝑥"
⋯𝜕𝑓g𝜕𝑥"
Afgeleidevaneenkolomnaareenrij(kolommetfunctieswordtafgeleidnaareenrijmetdaarindeonafhankelijkeveranderlijken)
Webekomeneenmxn-matrixmetalleeersteordepartiëleafgeleidenvandefuncties𝑓f.Hetelementopplaats(j,i)isdepartiëleafgeleidevandej-defunctienaardei-deveranderlijke.=Jacobiaansematrixvan𝑓*, … , 𝑓g
Als𝐲 =
𝑦*𝑦,⋮𝑦g
,waarbijdeelementen𝑦f = 𝑓f(𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥")dan
definieertmendeafgeleidevan𝐲naarderij𝐱� = (𝑥* 𝑥, ⋯ 𝑥")𝑎𝑙𝑠
d𝐲d𝐱�
=
𝜕𝑓*𝜕𝑥*
𝜕𝑓*𝜕𝑥,
⋯𝜕𝑓*𝜕𝑥"
𝜕𝑓,𝜕𝑥*
𝜕𝑓,𝜕𝑥,
⋯𝜕𝑓,𝜕𝑥"
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕𝑓g𝜕𝑥*
𝜕𝑓g𝜕𝑥,
⋯𝜕𝑓g𝜕𝑥"
Eigenschap Deafgeleidevaneenrij𝐲�naareenkolom𝐱isdegetransponeerdevandeafgeleidevandekolom𝐲naarderij𝐱�.
15
6.4HessiaansematrixVooreenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ" → ℝ: 𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥" ↦ 𝑦 = 𝑓: 𝑥*, 𝑥,, … , 𝑥" geldt
Hessiaan/Hessiaansematrix=detweedeafgeleidevandefunctie𝑓naardekolom𝐱 =
𝑥*𝑥,⋮𝑥"
𝐻¤ =d,𝑓dx,
=dd𝐱
d𝑓d𝐱
�
=dd𝐱
𝜕𝑓𝜕𝑥*
𝜕𝑓𝜕𝑥,
⋯𝜕𝑓𝜕𝑥"
=
𝜕,𝑓𝜕𝑥*,
𝜕,𝑓𝜕𝑥,𝜕𝑥*
⋯𝜕,𝑓
𝜕𝑥*𝜕𝑥"𝜕,𝑓
𝜕𝑥,𝜕𝑥*𝜕,𝑓𝜕𝑥,,
⋯𝜕,𝑓
𝜕𝑥,𝜕𝑥"⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜕,𝑓𝜕𝑥"𝜕𝑥*
𝜕,𝑓𝜕𝑥"𝜕𝑥,
⋯𝜕,𝑓𝜕𝑥",
Of:
𝐻¤ 𝑥*, … , 𝑥" =
𝑓**SS 𝑥*, … , 𝑥" 𝑓*,SS 𝑥*, … , 𝑥" ⋯ 𝑓*"SS 𝑥*, … , 𝑥"𝑓,*SS 𝑥*, … , 𝑥" 𝑓,,SS 𝑥*, … , 𝑥" ⋯ 𝑓,"SS 𝑥*, … , 𝑥"
⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑓"*SS 𝑥*, … , 𝑥" 𝑓",SS 𝑥*, … , 𝑥" ⋯ 𝑓""SS 𝑥*, … , 𝑥"
Webekomendematrixbestaandeuitallepartiëleafgeleidenvandetweedeorde.
Merkop:voorfunctiesmetcontinuepartiëleafgeleidenzaldeHessiaanaltijdeensymmetrischematrixzijn.
16
Hoofdstuk7Vrijeextrema–ExtremazondernevenvoorwaardenBewijzen: pag.767.1Vrijextrema–tweeveranderlijkenLokaleextrema Eenfunctie𝑓:ℝ, → ℝbereiktinhetpunt(𝑥\, 𝑦\)een:
(indienvoorelkpunt(𝑥, 𝑦)indebuurtvanhetpunt(𝑥\, 𝑦\)geldtdat)Lokaalmaximum:𝑓(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑓(𝑥\, 𝑦\)Lokaalminimum:𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓(𝑥\, 𝑦\)
Lokaleextrema–eersteordevoorwaarde
Eenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ, → ℝkanenkeleenlokaalextremumbereikeninhetpunt 𝑥\, 𝑦\ ,alsditpunteenstationairofkritischpuntis:
𝑓¦S 𝑥\, 𝑦\ = 0𝑓§S 𝑥\, 𝑦\ = 0
ð Noodzakelijkvoorwaarde,maargeenvoldoendevoorwaardeHessiaaninpunt–2veranderlijken
Vooreenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ, → ℝ: 𝑥, 𝑦 ↦ 𝑓: 𝑥, 𝑦 wordtdeHessiaanofHessiaansematrixineenpunt(𝑥\, 𝑦\)gedefinieerdals
𝐻¤ 𝑥\, 𝑦\ =𝑓¦¦SS (𝑥\, 𝑦\) 𝑓¦§SS (𝑥\, 𝑦\)𝑓§¦SS (𝑥\, 𝑦\) 𝑓§§SS (𝑥\, 𝑦\)
TekenHessiaan DeHessiaansematrix𝐻¤ 𝑥\, 𝑦\ is
Positiefdefiniet:indien𝑓¦¦SS 𝑥\, 𝑦\ > 0𝑒𝑛 det 𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ > 0Negatiefdefiniet:indien𝑓¦¦SS 𝑥\, 𝑦\ < 0𝑒𝑛 det 𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ > 0Non-definiet:inalleanderegevallen
Lokaleextrema–tweedeordevoorwaarde
Beschouweenpartieelafleidbarefunctie𝑓metcontinupartiëleafgeleideneneenstationairpunt(𝑥\, 𝑦\)->LokaalextremumindiendeHessiaan𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ positiefofnegatiefdefinietis.Lokaalmaximum:𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑡Lokaalminimum:𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡Zadelpunt:𝐻¤ 𝑥\, 𝑦"\ = 𝑛𝑜𝑛 − 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡
Opmerkingenvoorberekeningen
- Mogelijkkomteruitde1eordevoorwaardemeerdanéénstationairpunt–>benaderdezedanapartviade2eordevoorwaarde.
- Eenmaaljehebtbeslotenwateenfunctiebereiktineenstationairpunt 𝑥\, 𝑦\ ,berekendanookdefunctiewaardeinditpuntdoor𝑥\, 𝑦\ intevullenindeorigineleformule.
7.2WinstmaximalisatieBeschouweenmonopolistdietweegoederenproduceert:Hoeveelheden=q1enq2 & Prijzen=p1enp2Vraagfuncties: 𝐷*:ℝ2×ℝ2 → ℝ2: 𝑝*, 𝑝, ↦ 𝑞* = 𝐷* 𝑝*, 𝑝, 𝐷,:ℝ2×ℝ2 → ℝ2: 𝑝*, 𝑝, ↦ 𝑞, = 𝐷, 𝑝*, 𝑝,
ð m.a.w.dehoeveelhedenq1enq2zijnallebeiafhankelijkvandeprijzenp1enp2.Winst=hetverschiltussenopbrengstenenkostenà2manierenomteberekenen.(uitgedruktinfunctievandegeproduceerdehoeveelhedenq1enq2ofinfunctievanderespectievelijkeprijzenp1enp2)
17
Winstuitgedruktinfunctiev/dprijzenp1enp2(ofwelviadevraagfuncties).𝑊 𝑝*, 𝑝, = 𝑅 𝑝*, 𝑝, − 𝐾 𝑝*, 𝑝, , waarbij𝑅 𝑝*, 𝑝, = 𝑝* ∙ 𝐷* 𝑝*, 𝑝, + 𝑝, ∙ 𝐷, 𝑝*, 𝑝,
Eersteordevoorwaarde: ZoekdestationairepuntenvanW,ofwelallecombinaties𝑝*\𝑒𝑛𝑝,\
𝜕𝑊𝜕𝑝*
𝑝*\, 𝑝,\ = 0
𝜕𝑊𝜕𝑝,
𝑝*\, 𝑝,\ = 0
Tweedeordevoorwaarde: Eenstationairpunt 𝑝*\, 𝑝,\ zalzorgenvoormaximalewinstenindien:
𝐻¯ 𝑝*\, 𝑝,\ =
𝜕,𝑊𝜕𝑝*,
𝑝*\, 𝑝,\𝜕,𝑊𝜕𝑝*𝜕𝑝,
𝑝*\, 𝑝,\
𝜕,𝑊𝜕𝑝*𝜕𝑝,
𝑝*\, 𝑝,\𝜕,𝑊𝜕𝑝,,
𝑝*\, 𝑝,\𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡𝑖𝑠
Tip:antwoordbijeenverhaaltjesopgavemeteenmooieconclusiezin.7.3Vrijextrema–nveranderlijken(erganaloogaandefinitieseneigenschappeninpar1)Lokaleextrema Eenfunctie𝑓:ℝ" → ℝbereiktinhetpunt(𝑥*\, … , 𝑥"\)een:
(indienvoorelkpunt(𝑥*, … , 𝑥")indebuurtvanhetpunt(𝑥10,… , 𝑥𝑛0)geldtdat)Lokaalmaximum:𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ≤ 𝑓(𝑥10, … , 𝑥𝑛0)Lokaalminimum:𝑓(𝑥*, … , 𝑥") ≥ 𝑓(𝑥*\, … , 𝑥"\)
Lokaleextrema–eersteordevoorwaarde
Eenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ" → ℝkanenkeleenlokaalextremumbereikeninhetpunt 𝑥*\, … , 𝑥"\ ,alsditpunteenstationairofkritischpuntis:
𝑓*S 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 0⋮
𝑓"S 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 0
ð Noodzakelijkvoorwaarde,maargeenvoldoendevoorwaardeHessiaaninpunt–2veranderlijken
Vooreenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ" → ℝwordtdeHessiaanofHessiaansematrixineenpunt(𝑥*\, … , 𝑥"\)gedefinieerdals
𝐻¤ 𝑥*\, … , 𝑥"\ =
𝑓**SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ 𝑓*,SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ ⋯ 𝑓*"SS 𝑥*\, … , 𝑥"\
𝑓,*SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ 𝑓,,SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ ⋯ 𝑓,"SS 𝑥*\, … , 𝑥"\⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑓"*SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ 𝑓",SS 𝑥*\, … , 𝑥"\ ⋯ 𝑓""SS 𝑥*\, … , 𝑥"\
Lokaleextrema–tweedeordevoorwaarde
Beschouweenpartieelafleidbarefunctie𝑓metcontinupartiëleafgeleideneneenstationairpunt(𝑥10,… ,𝑥𝑛0)Lokaalmaximum:𝐻¤ 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑡Lokaalminimum:𝐻¤ 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑒𝑓𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡Geenextrema:𝐻¤ 𝑥*\, … , 𝑥"\ = 𝑛𝑜𝑛 − 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑡
Inhetalgemeengeldt:1eordeVW= Zoekstationairepunten2eordeVW= Gavoorelkstationairpuntnaofheteenlokaalminimum,minimumofzadelpuntis.
18
Hoofdstuk8Gebondenextrema–ExtremamétnevenvoorwaardenKijkgoednaardeformulering:jemoetzelfbepalenofersprakeisvaneennevenvoorwaarde.8.1Gebondenextrema–tweeveranderlijkenGebondenextremum–probleemtweeveranderlijken
Bijeengebondenextremum-probleemzoekenwedeextremav/efunctie𝑓:ℝ, → ℝ: 𝑥, 𝑦 ↦ 𝑓: 𝑥, 𝑦
ondereenvoorwaarde(nevenwaarde)𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐶.
Doelfunctie=defunctie𝑓Toegelaten/bruikbarepunten=punten 𝑥, 𝑦 dievoldoenaandevoorwaarde
ð Wezoekenonderalletoegelatenpunten(=depuntendievoldoenaandevoorwaarde),naardiepuntenwaar𝑓invergelijkingmetdefunctiewaardeinanderetoegelatenpunteneen(lokaal)maximumofminimumbereikt.
Gebondenextrema–eersteordevoorwaarde
Eenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ, → ℝkanenkeleenextremumbereikeninhetpunt 𝑥\, 𝑦\ ,onderdevoorwaarde𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐶,alsditpuntdeeluitmaaktvaneenstationairpuntvoordeLagrange-functie
𝐿 𝑥, 𝑦, λ = 𝑓 𝑥, 𝑦 − λ(g x, y − C)i.e.alsereenwaardeλ\bestaatwaarvoor
𝐿¦S 𝑥\, 𝑦\, λ\ = 0𝐿§S 𝑥\, 𝑦\, λ\ = 0𝐿³S 𝑥\, 𝑦\, λ\ = 0
(dezederdeisgelijkaandenevenvoorwaarde)of
𝑓¦S 𝑥\, 𝑦\) − λ\𝑔¦S 𝑥\, 𝑦\ = 0
𝑓§S 𝑥\, 𝑦\) − λ\𝑔§S 𝑥\, 𝑦\ = 0𝑔 𝑥\, 𝑦\ = 𝐶
BetekenisLagrange-multiplicator
DeLagrange-multiplicator𝜆\geeftaanhoedeoptimalewaardev/ddoelfunctiezalveranderenwanneerdewaardevanCindenevenvoorwaardewordtgewijzigd:
𝑓\ 𝐶 + 1 ≈ 𝑓\ 𝐶 + λ\Ofook:alsdewaardevanCvarieert,danzalookhetoptimumvariëren,dus𝑥\ = 𝑥\ 𝐶 , 𝑦\ = 𝑦\ 𝐶 en𝑓\ = 𝑓\ 𝐶 = 𝑓(𝑥\ 𝐶 , 𝑦\ 𝐶 )
ergeldtλ\ =d𝑓\d𝐶
𝐶 .
GerandeHessiaan VooreenLagrange-functie𝐿:ℝ4 → ℝ: 𝑥, 𝑦, λ ↦ 𝐿 𝑥, 𝑦, λ = 𝑓 𝑥, 𝑦 − λ(𝑔 𝑥, 𝑦 − 𝐶)wordtdegerandeHessiaanineenpunt 𝑥\, 𝑦\, λ\ gedefinieerdals
𝐻¤,µ 𝑥\, 𝑦\, λ\ = −0 𝑔¦S (𝑥\, 𝑦\) 𝑔§S (𝑥\, 𝑦\)
𝑔¦S (𝑥\, 𝑦\) 𝐿¦¦SS (𝑥\, 𝑦\, λ\) 𝐿¦§SS (𝑥\, 𝑦\, λ\)𝑔§S (𝑥\, 𝑦\) 𝐿§¦SS (𝑥\, 𝑦\, λ\) 𝐿§§SS (𝑥\, 𝑦\, λ\)
19
Gebondenextrema–tweedeordevoorwaarde
Beschouwpartieelafleidbarefuncties𝑓en𝑔eneenstationairpunt 𝑥\, 𝑦\, λ\ voorhetgebondenextremum-probleem:bepaaldeextremavanfonderdevoorwaarde𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝐶.AlsdedeterminantvandegerandeHessiaan𝐻¤,µ 𝑥\, 𝑦\, λ\ verschiltvannul,danbereiktdefunctie𝑓in(𝑥\, 𝑦\)eengebondenextremum.
• Indiendet 𝐻¤,µ 𝑥\, 𝑦\, λ\ < 0danbereikt𝑓eengebondenmaximumin(𝑥\, 𝑦\)
• Indiendet 𝐻¤,µ 𝑥\, 𝑦\, λ\ > 0danbereikt𝑓eengebondenminimumin(𝑥\, 𝑦\)
8.2Optimaliserenmetrestricties–nutsfunctieWezoekentussenalletoegelatenpunten(=tussenallecombinatiesvan𝑞*en𝑞,dievoldoenaandebudgetrestrictie)naardecombinatiediehetgrootstenutoplevert.Nutsfunctie: 𝑈:ℝ2×ℝ2 → ℝ: 𝑞*, 𝑞, ↦ 𝑈 𝑞*, 𝑞, =doelfunctieBudgetvoorwaarde: 𝑝*𝑞* + 𝑝,𝑞, = 𝐵 =nevenvoorwaardeLagrange-functie: 𝐿 𝑞*, 𝑞,, λ = 𝑈 𝑞*, 𝑞, − λ(𝑝*𝑞* + 𝑝,𝑞, − B)Noteereenstationairpuntv/dLangrange-functieals(𝑞*\, 𝑞,\, λ\)àmetbehulpvandegerandeHessiaankannagegaanwordenof(𝑞*\, 𝑞,\)effectiefzorgtvooreengebondenmaximumvoorU.Langrange-multiplicator𝜆\: Dezewaardeinhetoptimalepuntzalaangevenmetwelkewaarde
hetmaximalenut𝑈\ 𝐵 = 𝑈(𝑞*\ 𝐵 , 𝑞,\ 𝐵 )benaderdzaltoenemenindienhetbudgetmetééneenheidwordtverhoogd.
8.3Optimaliserenmetrestricties–productieProductieproceswaarbijdeproductiehoeveelhedenbepaaldwordendoorarbeid(A)enkapitaal(K).Productiefunctie: 𝑞 = 𝑃(𝐴, 𝐾)Budgetfunctie: 𝑏 = 𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º Tweeverschillendeproblemen
ð KijkdusgoedwatdeNVWisenwatdedoelfunctie!(welkewiljezoklein/grootmogelijk)Budgetrestrictie(=maximaleproductiegroottezoeken)
§ Maximaliseerdeproductiehoeveelheidondereenbudgetrestrictie.§ GanavoorwelkekeuzevanAenKdetotaleproductiezogrootmogelijkis,alsdewaarde
vanhettotalebudgetvastligt.§ Ofwel:wezoekentussenalletoegelatenpunten(=allecombinatiesvan𝐴en𝐾dievoldoen
aandebudgetrestrictie)naardecombinatiediedegrootsteproductiehoeveelheidoplevert.Wezoekennaarhetmaximumvandedoelfunctie 𝑞 = (𝐴, 𝐾)onderdevoorwaarde(budgetligtvast) 𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º = 𝐵Lagrange-functiekangeschrevenwordenals: 𝐿 𝐴, 𝐾, λ = 𝑃 𝐴, 𝐾 − λ(𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º − B)Noteereenstationairpuntv/dLangrange-functieals(𝐴\, 𝐾\, λ\)àmetbehulpvandegerandeHessiaankannagegaanwordenof(𝐴\, 𝐾\)effectiefzorgtvooreengebondenmaximumvoorP.BetekenisvanLagrange-multiplicator𝜆\⤇𝑞\ 𝐵 + 1 ≈ 𝑞\ 𝐵 + λ\
20
Productierestrictie§ Minimaliseerhetbudgetondereenproductierestrictie§ GanavoorwelkekeuzevanAenKhettotalebudgetzolaagmogelijkisalsereenbepaalde
productiegroottemoetwordengerealiseerd§ Ofwel:wezoekentussenalletoegelatenpunten(=allecombinatiesvan𝐴en𝐾dievoldoen
aandegevraagdeproductie)naardecombinatiediehetkleinstebudgetvereist.Wezoekennaarhetminimumvandedoelfunctie 𝑏(𝐴, 𝐾) = 𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º onderdevoorwaarde(productieligtvast) 𝑃 𝐴, 𝐾 = 𝑄Lagrange-functiekangeschrevenwordenals: 𝐿 𝐴, 𝐾, λ = 𝐴𝑝¹ + 𝐾𝑝º − λ(𝑃 𝐴, 𝐾 − Q)Noteereenstationairpuntv/dLangrange-functieals(𝐴\, 𝐾\, λ\)àmetbehulpvandegerandeHessiaankannagegaanwordenof(𝐴\, 𝐾\)effectiefzorgtvooreengebondenminimumvoorb.BetekenisvanLagrange-multiplicator𝜆\⤇𝑏\ 𝑄 + 1 ≈ 𝑏\ 𝑄 + λ\8.4Gebondenextrema–nveranderlijkenVoorfunctiesvanmeerdantweeveranderlijkenbetekentditdatgezochtwordtnaarextremawaarbijmoetvoldaanwordenaanéénofmeerbijkomendevoorwaarden.Gebondenextremum-probleemnveranderlijken
Bepaaldeextremavandefunctie𝑓:ℝ" → ℝ: 𝑥*, … , 𝑥" ↦ 𝑓: 𝑥*, … , 𝑥" onderdevoorwaarden(𝑚 < 𝑛)
𝑔* 𝑥*, … , 𝑥" = 𝐶*𝑔, 𝑥*, … , 𝑥" = 𝐶,
⋮𝑔g 𝑥*, … , 𝑥" = 𝐶g
Lagrange-functie Voorhetbepalenvandeextremavan𝑓onder𝑚voorwaarden𝑔*tot𝑔g:
𝐿 𝑥*, … , 𝑥", λ*, … , λg = 𝑓 𝑥*, … , 𝑥" − λZ(𝑔Z 𝑥*, … , 𝑥" − 𝐶Z)g
Z)*
variabelenλ*, … , λ½ =Lagrange-multiplicatorenGebondenextrema–eersteordevoorwaarde
Eenpartieelafleidbarefunctie𝑓:ℝ" → ℝkanenkeleenextremumbereikeninhetpunt 𝑥*\, … , 𝑥"\ ,onderdevoorwaarden𝑔Z 𝑥*, … , 𝑥" = 𝐶Z,alsditpuntdeeluitmaaktvaneenstationairpuntvoordeLagrange-functie
𝐿 𝑥*, … , 𝑥", λ*, … , λg = 𝑓 𝑥*, … , 𝑥" − λZ(𝑔Z 𝑥*, … , 𝑥" − 𝐶Z)gZ)*
i.e.alserwaardenλ*\, … , λg\ bestaanwaarvoor
𝐿¦*S 𝑥*\, … , 𝑥"\, λ*\, … , λg\ = 0⋮
𝐿¦"S 𝑥*\, … , 𝑥"\, λ*\, … , λg\ = 0𝐿¾*S 𝑥*\, … , 𝑥"\, λ*\, … , λg\ = 0
⋮𝐿¾gS 𝑥*\, … , 𝑥"\, λ*\, … , λg\ = 0
Lagrange-multiplicatoren
=devariabelenλ*\, … , λg\ Dezewaardenzullenaangevenhoedeoptimalewaardevandedoelfunctiezalveranderenwanneerdewaardenvan𝐶*, … , 𝐶gindenevenvoorwaardenwordengewijzigd.
21
Hoofdstuk9ElementairerijoperatiesHetuitvoerenvaneenrijoperatieopdematrix𝐀isequivalentmethetvoorvermenigvuldigenvan𝐀meteenelementairematrix(𝐄-matrix).𝐀=mxnmatrix Indithfst.geldteven𝑝=1en𝑞=2𝐄=vierkantematrixvanm-deordeMet𝒆?en𝒆> verwijzenwenaarde𝑝-dekolomen𝑞-dekolomvandemxm-eenheidsmatrix.(𝒆?isbijgevolgeenmx1-matrixmetm–1nullenenéén1opde𝑝-deplaats)9.1OmwisselenvantweerijenElementairematrixv/deerstesoort: 𝐄?> = 𝐈g + (𝒆? − 𝒆>)(𝒆> − 𝒆?)�Eenmatrixvoorvermenigvuldigenmeteenelementairematrix𝐄𝒑𝒒leidttoteenmatrixwaarinde𝒑-deende𝒒-derijvanplaatsgewisseldwerden.
ð Inplaatsvandematrixvermenigvuldiginguittevoeren,zullenwesimpelwegderijoperatiezelftoepassenop𝐀.
Notatie:𝐀 =𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖
Ä@Å𝑑 𝑒 𝑓𝑎 𝑏 𝑐𝑔 ℎ 𝑖
DeterminantHettekenvandedeterminantvaneenmatrixzalveranderenwanneeropdematrixeenelementairerijoperatiev/deerstesoortuitgevoerdwordt.Dedeterminantvaneenelementairematrixv/deerstesoortisnamelijkgelijkaan–1,immers:
det 𝑬?> = det 𝐄?>𝐈 = −det 𝐈 = −19.2.EenrijvermenigvuldigenmeteengetalElementairematrixv/deerstesoort: 𝐄?(Ç) = 𝐈g + 𝛼 − 1 𝒆?𝒆?�𝑚𝑒𝑡𝛼 ≠ 0Hetlinksvermenigvuldigenvan𝐀meteen𝑬-matrixv/dtweedesoortkomtneerophetvermenigvuldigenvandeoorspronkelijkeelementenvande𝒑-derijvanAmeteenreëelgetalα.
ð Inplaatsvandematrixvermenigvuldiginguittevoeren,zullenwesimpelwegderijoperatiezelftoepassenop𝐀.
Notatie:𝐀 =𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖
Ä@(È)𝛼 ∙ 𝑎 𝛼 ∙ 𝑏 𝛼 ∙ 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖
DeterminantDedeterminantvaneenmatrixzalvermenigvuldigdwordenmetαwanneeropdematrixeenelementairerijoperatiev/dtweedesoortuitgevoerdwordt.Dedeterminantvaneenelementairematrixv/dtweedesoortisnamelijkgelijkaanα,immers:
det 𝐄?(Ç) = det 𝐄?(Ç)𝐈 = 𝛼 ∙ det 𝐈 = 𝛼
22
9.3.BijeenrijeenveelvoudvaneenandererijoptellenElementairematrixv/deerstesoort: 𝐄?>(Ç) = 𝐈g + 𝛼 ∙ 𝒆?𝒆>�𝑚𝑒𝑡𝛼 ≠ 0Dooreenmatrix𝐀linkstevermenigvuldigenmeteen𝑬-matrixv/dderdesoortwordtbijde𝒑-derijeenveelvoudvande𝒒-derijopgeteld.
ð Inplaatsvandematrixvermenigvuldiginguittevoeren,zullenwesimpelwegderijoperatiezelftoepassenop𝐀.
Notatie:𝐀 =𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖
Ä@Å(È)𝑎 + 𝛼 ∙ 𝑑 𝑏 + 𝛼 ∙ 𝑒 𝑐 + 𝛼 ∙ 𝑓
𝑑 𝑒 𝑓𝑔 ℎ 𝑖
DeterminantDedeterminantvaneenmatrixnietzalveranderenwanneeropdematrixeenelementairerijoperatiev/dderdesoortuitgevoerdwordt.Dedeterminantvaneenelementairematrixv/dderdesoortisnamelijkgelijkaan1,immers:
det 𝐄?>(Ç) = det 𝐄?>(Ç)𝐈 = det 𝐈 = 1
23
Hoofdstuk10InversevaneenmatrixBewijzen: pag.119+120+121+122Bewijzenvaneigenschappen:Detweebewijzenuitdedefinitiecontroleren⤇𝑨 ∙ 𝑩 = 𝑰"𝑒𝑛𝑩 ∙ 𝑨 = 𝑰"
Letop:𝐀=* ≠1𝐴(𝑛𝑜𝑜𝑖𝑡𝑑𝑒𝑙𝑒𝑛𝑑𝑜𝑜𝑟𝑒𝑒𝑛𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥)
10.1DefinitieeneigenschappenInverteerbaar–definitie
Devierkantematrix𝐀vann-deordeisinverteerbaaralsereenmatrix𝐁bestaat,zodat:
𝐀 ∙ 𝐁 = 𝐈"en𝐁 ∙ 𝐀 = 𝐈"𝐁=deinversevanA
Inverseisuniek Deinversev/dinverteerbarematrix𝐀isuniekenwordtaangeduidmet𝐀=*𝐀 ∙ 𝐀=* = 𝐈"en𝐀=* ∙ 𝐀 = 𝐈"
Inversevaneenveelvoud
Als𝐀eeninverteerbarematrixis,danisα ∙ 𝐀(metαeenreëelgetal≠0)ookinverteerbaaren
(𝛼 ∙ 𝐀)=* =1𝛼∙ 𝐀=*
Inversevaneeninverse
Deinversevan𝐀=*isopnieuw𝐀:(𝐀=*)=* = 𝐀
Inversevaneengetransponeerde
Debewerkingeninverterenentransponerenmogenomgewisseldworden:(𝐀�)=* = (𝐀=*)�
Inversevaneensymmetrischematrix
Indien𝐀eeninverteerbaresymmetrischematrixis,danis𝐀=*ooksymmetrisch.Symmetrisch⤇𝑨 = 𝑨�
Inversevaneendiagonaalmatrix
Zij𝐃eeninverteerbaren-deordediagonaalmatrix,danis𝐃=*ookeendiagonaalmatrix,metomgekeerdehoofddiagonaalelementen.(Merkopdat𝑑'' ≠ 0vooralle𝑖 = 1, . . , 𝑛indien𝑫inverteerbaaris)
Inversevaneenproduct
Zij𝐀en𝐁tweenxnmatricesdieinverteerbaarzijn.𝐀 ∙ 𝐁isookinverteerbaaren(𝐀 ∙ 𝐁)=* = 𝐁=* ∙ 𝐀=*
Inversevaneenmachtvaneenmatrix
Deinversevaneenmachtvan𝐀isgelijkaandiezelfdemachtvandeinversevan𝐀:
(𝐀Z)=* = (𝐀=*)Z Criterium:wanneerinverteerbaar
Eenvierkantematrix𝐀vann-deordeisinverteerbaaralsenslechtsalshijregulieris.Eenmatrixisregulieralsdet(𝐀) ≠ 0.Daaruitvolgt:
𝐀𝐢𝐬𝐢𝐧𝐯𝐞𝐧𝐭𝐞𝐞𝐫𝐛𝐚𝐚𝐫 ⇔ 𝐝𝐞𝐭(𝐀) ≠ 𝟎Determinantvaneeninversematrix
Dedeterminantvandeinversevan𝐀isgelijkaanhetomgekeerdevandedeterminantvan𝐀:
det 𝐀=* =1
det(𝐀)
24
Determinantvannuldelers
Tweevierkantenuldelershebbenaltijddeterminantnul.(dusnuldelerszijnnooitinverteerbaar)
10.2Deinverseberekenenm.b.v.cofactorenFormuleomdeinversevaneenregulierematrix𝐀teberekenen:
𝐀=* =1
det 𝐀adj(𝐀)
Waarin:adj(𝐀)=toegevoegde/adjunctematrix
adj 𝐀 = 𝐂�𝐂=cofactorenmatrixvan𝐀⤇elkelementindematrix𝐀vervangendoorzijncofactor.
𝑐'f = (−1)'2f ∙ det(𝐀'f)Inversevaneen2x2-matrix
Indienwedezemethodetoepassenopeen2x2-matrix𝐀 = 𝑎 𝑏𝑐 𝑑 ,danverkrijgenwedeformule:
𝑎 𝑏𝑐 𝑑
=*=
1det 𝐀
∙ 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎
10.3Deinverseberekenenm.b.v.rijoperaties
ð 2emethode,wantcofactorenvanalleelementenberekenkostveeltijd.WekunnendeinversevanAberekenendoordeeenheidsmatrixvoortevermenigvuldigenmetdematrix𝐄.Hetgeldtnamelijk: 𝐄 ∙ 𝐀 = 𝐈⇔𝐀=* = 𝐄 ⇔ 𝐀=* = 𝐄 ∙ 𝐈Weverkrijgendeinversevan𝐀dusdoordeelementairerijoperaties,dienodigzijnom𝐀omtevormentotdeeenheidsmatrix,ooktoetepassenopdeeenheidsmatrix(m.a.w.wezettendeeenheidsmatrixnaastdematrix𝑨envoerenelementairerijoperatiesuitzodat𝑨deeenheidsmatrixword.Waaroorspronkelijkdeeenheidsmatrixstond,staatdanuiteindelijk𝑨=*)Tip:stappenplanom𝐀omtezettenineeneenheidsmatrix
1) Beginbijkolom1:creëernullenindebenodigderijen(dusallerijenbehalvede1e)2) Doehetzelfdevooralleanderekolommen,indevolgordevankolom1t/mkolomm.3) Vermenigvuldignuiedererijmethetjuistegetal,omtezorgendatde
hoofddiagonaalelementengelijkwordenaan1.Letop: 𝐀 ∙ 𝐀=* = 𝐈𝑒𝑛𝐀=* ∙ 𝐀 = 𝐈,𝑚áá𝑟𝐀=* ∙ 𝑋 ∙ 𝐀 ≠
25
Hoofdstuk11LineairestelselsBewijzen: pag.135+136+137+140+141+11.1DefinitiesLineairstelsel 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛
𝑎**𝑥* + 𝑎*,𝑥* + ⋯+ 𝑎*"𝑥" = 𝑏*𝑎,*𝑥* + 𝑎,,𝑥* + ⋯+ 𝑎,"𝑥" = 𝑏,
⋯𝑎g*𝑥* + 𝑎g,𝑥* + ⋯+ 𝑎g"𝑥" = 𝑏g
Metmlineairevergelijkenennonbekenden,waarbij𝑎'f𝑒𝑛𝑏' reëlegetallenzijnen𝑥f deonbekenden(me𝑡1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚en1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛)
waarbij:
𝐀 =
𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*"𝑎,* 𝑎,, ⋯ 𝑎,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑎g* 𝑎g, ⋯ 𝑎g"
=demxn-coëfficiëntenmatrix
𝐱 =
𝑥*𝑥,⋮𝑥"
=denx1-kolommatrix
𝐛 =
𝑏*𝑏,⋮𝑏g
=demx1-kolommatrixmetderechterleden
Homogeenstelsel Indienallerechterledenuithetstelselgelijkzijnaannul(dus𝐛 = 𝟎)Niet-homogeenstelsel
Indienminstenséénrechterlidverschillendisvannul
Vierkantstelsel Indienhetaantalvergelijkingengelijkisaanhetaantalonbekenden(m = n)Strijdig/onoplosbaarstelsel
Indienergeenenkelekolom𝐱bestaatwaarvoorallevergelijkingenvoldaanzijn
Oplosbaarstelsel Indienerminstenséénkolom𝐱bestaatwaarvoorallevergelijkingenopgaanUitgebreidematrix Bijdeuitgebreidematrixwordtdekolomvanderechterledenalsextra
kolomachterdecoëfficiëntenmatrixgeplakt.𝐀Ûheeftordemx(n + 1).
𝐀Û = 𝐀 𝐛 =
𝑎** 𝑎*, ⋯ 𝑎*" ⃓ 𝑏*𝑎,* 𝑎,, ⋯ 𝑎," ⃓ 𝑏,⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⃓ ⋮
𝑎g* 𝑎g, ⋯ 𝑎g" ⃓ 𝑏g
(bijeenlineairstelsel𝑨 ∙ 𝒙 = 𝒃enmetdievoorwaardenetc.)
26
11.2StelselvanCramerStelselvanCramer =EenvierkantstelselmetprecieséénoplossingStelselvanCrameroplossenm.b.v.inverse
BijeenstelselvanCramer𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛isdeuniekeoplossingtevindenals:𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝐛
Want:𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛 ⇔ 𝐀=* ∙ 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝐛 ⇔ 𝐈 ∙ 𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝐛 ⇔ 𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝐛Wanneer𝐀inverteerbaaris,bekomenweinderdaadéénuniekeoplossing(wantdeinverse𝐀=*isuniek)
ð OmnategaanofeenvierkantstelseleenstelselvanCrameris,gaanwenadat:𝒅𝒆𝒕(𝑨) ≠ 𝟎
HomogeenstelselvanCramer
Eenhomogeenstelsel(dus𝐛 = 𝟎)vanCramerheeftalsuniekeoplossingdenuloplossing.Want:𝐀 ∙ 𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐀=* ∙ 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐀=* ∙ 𝟎 ⇔ 𝐈 ∙ 𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐱 = 𝟎
ð Merkop:eenhomogeenstelselkannooitstrijdigzijn,omdatdenuloplossingaltijdeenoplossingis.
MethodevanGauss
BijdemethodevanGausswordenelementairerijoperatiestoegepastopdeuitgebreidematrixtotdatnullengecreëerdwerdenonderallehoofddiagonaalelementen.Achterwaartsesubstitutielevertdegezochteuniekeoplossing.
ð Bijdezemethodewordthetstelsel‘gemakkelijker’gemaaktdoorervoortezorgendatindeonderstevergelijkingenkeldecoëfficiëntvan𝑥"verschillendisvannul;dezevergelijkinggeeftdeoplossingvoor𝑥".Indevoorlaatstevergelijkingzullenenkeldecoëfficiëntenvan𝑥"=*envan𝑥"verschillendzijnvannul.Aangezien𝑥"reedsberekendwerduitdelaatstevergelijking,levertdevoorlaatstevergelijkingonsdewaardevan𝑥"=*.Voortzettenvandezewerkwijzezorgtervoordatweuitdeeerstevergelijkingtenslotte𝑥*kunnenberekenen.
MethodevanGauss-Jordan
BijdemethodevanGausswordenelementairerijoperatiestoegepastopdeuitgebreidezodatdecoëfficiëntenmatrix𝐀omgevormdwordttotdeeenheidsmatrix.Delaatstekolomlevertuiteindelijkdegezochteoplossing.Praktischbetekentditdatwedeelementairerijoperatiestoepassenpdeuitgebreidematrix.
Dezetweemethodessteunenophetfeitdatjeeenequivalentstelselbekomtwanneerelementairerijoperatiesuitgevoerdwordenopdeuitgebreidematrix.11.3(On)afhankelijkheidvanrijenenkolommenDedefinitiesverlopenanaloogvoorrijen.Lineairecombinatie
Beschouwmx1–kolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕á.Eenlineairecombinatievandezekolommenisdanelkeuitdrukking
𝑘* ∙ 𝐕* + 𝑘, ∙ 𝐕, + ⋯+ 𝑘" ∙ 𝐕áwaarbij𝑘*, … , 𝑘"willekeurigereëlegetallenzijn.
ð Hierdoorkrijgenweeenextra/nieuwekolom.𝑘' =coëfficiëntvan𝐕â
Lineair(on)afhankelijkekolommen
Lineaironafhankelijk:alsdeenigelineairecombinatievandezekolommendiedenulkolomoplevert,juistdiecombinatieiswaarbijallecoëfficiëntennulzijn.∀𝑘*, 𝑘,, … , 𝑘" ∈ ℝ: 𝑘* ∙ 𝐕* + 𝑘, ∙ 𝐕, + ⋯+ 𝑘" ∙ 𝐕á = 0 ⇒ 𝑘* = 𝑘, = ⋯ = 𝑘" = 0
27
Lineairafhankelijk:indienminstens1v/dcoëfficiëntenverschillendisvannul
ð Berekendedeterminantvandecoëfficiëntenmatrix;indiendet(𝐀) ≠ 0àhomogeenstelselvanCrameràenkeldenuloplossing
Kenmerklineairafhankelijkekolommen
§ Alskolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕álineairafhankelijkzijn,daniserminstenséénkolomteschrijvenalslineairecombinatiev/doverigekolommen.
§ Alsbijnkolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕áminstenséénkolomteschrijvenisalslineairecombinatiev/doverigekolommen,danzijndezenkolommenlineairafhankelijk.
Bijtweestelsels(n=2,dus𝐕*en𝐕,)
Indienveelvoud:lineairafhankelijkIndiengéénveelvoud:lineaironafhankelijk
Inproduct Hetinproductvantweekolommen𝐕*en𝐕,isdematrixvermenigvuldiging𝐕*� ∙ 𝐕,
Dematrixvermenigvuldiginggeeftalsresultaateen1x1-matrix,duseengetal.Commutatief Hetinproductiscommutatief(=verwisselbaar):
𝐕*� ∙ 𝐕, = 𝐕,� ∙ 𝐕*
Orthogonalekolommen
Wenoemendevandenulkolomverschillendekolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕áonderlingorthogonaal,alsalleinproductenvan𝐕âen𝐕ämet𝑖 ≠ 𝑗gelijkzijnaannul:
∀1 ≤ 𝑖 ≠ 𝑗 ≤ 𝑛: 𝐕â� ∙ 𝐕ä = 0
ð Onderlingorthogonalekolommen𝐕*, 𝐕,, … , 𝐕á(allenverschillendvandenulkolom)zijnsteedslineaironafhankelijk.
11.4RangvaneenmatrixRangvaneenmatrix Derangvaneenmatrix=deordevaneenzogrootmogelijkereguliere
deelmatrix(vierkantmatrix⤇determinant≠0).ð Bijhetnagaanvanderangmoetenwesteedsvierkante
deelmatricesbeschouwen;dusderangzalsteedsmaximaalgelijkzijnaanhetminimumv/haantalrijenenhetaantalkolommen.
ð Volledigerang=alsderangookeffectiefgelijkisaanditminimumv/haantalrijenenhetaantalkolommen
Rangvaneenregulierematrix
Eenregulierematrixisvanvolledigerang.(aangeziendedeterminant≠0,isderanggelijkaandeordev/dmatrix)
Verbandtussenrang&aantallineaironafhankelijkekolommen/rijen
Derangvaneenmatrixisgelijkaanhetmaximumaantallineaironafhankelijkekolommenvandematrix&isookgelijkaanhetmaximumaantallineaironafhankelijkerijenvandematrix.
ð Indienditaantalvanderijen/ofkolomkleinerisdanhetaantalkolommen/rijendatdematrixheeft,danzijndekolommen/rijenvan𝐀lineairafhankelijk(ziepag.140onderaan)
Rangberekenenm.b.v.elementairerijoperatiesDerangvaneenmatrixverandertnietwanneeropdezematrixelementairerijoperatieswordenuitgevoerd.
– Mogelijkhedenbijelementairerijoperaties:tekenverandertofvermenigvuldigingmetα.– Alsdedeterminantvandedeelmatrixverschillendwasvannul,danblijftdieverschillendvan
nulnahetdoorvoerenvandeelementairerijoperatie.– Alsdedeterminantvandedeelmatrixgelijkwasaannul,danblijftdiegelijkaannulnahet
doorvoerenvandeelementairerijoperatie.
28
Derangvaneenmatrixisgelijkaanhetaantalniet-nulrijenvandegereduceerdematrix.Dezegereduceerdematrixwordtbekomendoorm.b.v.elementairerijoperatiesnullentecreërenonderhethoofdelementvanelkerij.Hoofdelementvaneenrij=hetmeestlinkseelementdatverschillendisvannul.(opdezemaniergajevoordekolommenvanlinksnaarrechts)Opmerking(overdematrixomzetteneenstelselvanvergelijkingen)Indienjeuitgaatvankolommen: Iedere𝐕âstaatvoordewaardenvanéén𝑥' Indienjeuitgaatvanrijen: Iedere𝐕âstaatvooréénvergelijking,dusmetdeverschillende𝑥'S𝑠11.5StrijdigeenoplosbarestelselsEenlineairstelsel𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛𝐢𝐬oplosbaar ⇔ rang 𝐀 = rang(𝐀Û)Bewijs:Bijeenoplosbaarstelselisdekolom𝐛teschrijvenalseenlineairecombinatievandekolommenvan𝐀.Ditbetekentdatdekolom𝐛lineairafhankelijkisvandekolommenvan𝐀.M.a.w.hetaantallineaironafhankelijkkolommenin𝐀isgelijkaanhetaantallineaironafhankelijkekolommenin𝐀Û.Derangvan𝐀zaldusgelijkmoetenzijnaandievan𝐀Û.Merkop: eenhomogeenstelselheeftaltijdeenoplossing!(nulkolomaltijdeenoplossing)11.6Aantaloplossingenvaneenlineairstelsel#oplossing 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝟎(homogeen)0 rang 𝐀 ≠ rang(𝐀Û) /1 rang 𝐀 = rang 𝐀Û = 𝑛 rang 𝐀 = 𝑛∞veel rang 𝐀 = rang 𝐀Û < 𝑛 rang 𝐀 < 𝑛
(geen𝑨çgebruikenbijhomogeenstelsel)
Laat𝐀eenmxn-matrixzijn,𝐱eennx1-kolommatrixmetonbekendenen𝐛eenmx1-kolommatrixmetrechterleden.Eenoplosbaarstelsel𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐛(dekolom𝐛isevt.denulkolom)heeftprecieséénoplossingindien
rang 𝐀 = 𝑛(bijeenhomogeenstelselisdezeuniekeoplossingdenulkolom)
Enhetheeftoneindigveeloplossingenindienrang 𝐀 < 𝑛
Vrijeparameters=𝑛 − rang 𝐀 =hetaantalonbekendendatvrijgekozenkanworden.Stappenplan
1. Ganaofhetstelseloplosbaaris:rang 𝐀 = rang(𝐀Û)(hieruitkunjeookafleidenhoeveeloplossingenenhoeveelvrijeparameterserzullenzijn)
2. Houddelineaironafhankelijkevergelijkingenoveràrijendieniet0zijn.=gereduceerdematrixR(𝐀Û)
3. Maakhetstelselvierkant&kiesdeparameter(s)4. LoshetstelselvanCramerop.
29
11.7Input-outputmodelInput-outputtabel= Eenschematischeenvereenvoudigdeweergavevandegoederenstroom
tussendeverschillendesectorenvandeeconomie.Intermediairevraag= Deoutputdiedeverschillendesectorenleven,diegebruiktkanwordenals
inputvoordeanderesectoren.Finalevraag= Demarktvraag(hiervoormoetdeoutputookvoldoendezijn)
Input Verbruikers TotaleproductieOutput Intermediairevraag
1 ⋯ 𝑗 ⋯ 𝑚Finalevraag
𝑞'
1 𝑥** ⋯ 𝑥*f ⋯ 𝑥*g 𝑞* 𝑥*Producerende ⋮ ⋮ ⋮ ⋮sectoren 𝑖 𝑥'* ⋯ 𝑥'f ⋯ 𝑥'g 𝑞' 𝑥' ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑚 𝑥g* ⋯ 𝑥gf ⋯ 𝑥gg 𝑞g 𝑥g
Voordegezochteoutputsmoetgelden:
𝑥' = 𝑥'f + 𝑞*(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚)g
f)*
Ofwel,detotaleproductievansector𝑖=somvandeintermediairevraag+finalevraagStatischeinput-outputmodel: wordtopgebouwdvanuitdeinput-outputtabel,rekeninghoudend
metdeassumptievanvasteproductiecoëfficiënten𝑎'f .
𝑎'f =𝑥'f𝑥f
𝑎'f isdusdehoeveelheidinputvansector𝑖nodigvoorééneenheidoutputvansector𝑗.Voordegezochteoutputsmoetdusgelden
𝑥' = 𝑎'f ∙ 𝑥f + 𝑞*(1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚)g
f)*
Wekrijgen:𝑥*⋮𝑥g
=𝑎** ⋯ 𝑎*g⋮ ⋱ ⋮
𝑎g* … 𝑎gg
𝑥*⋮𝑥g
+𝑞*⋮𝑞g
Of𝐱 = 𝐀 ∙ 𝐱 + 𝐪 ⇔ 𝐱 − 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐪
𝐀=input-outputmatrix/technologiematrix𝐪=dekolomvandefinalevraagWeverkrijgeneenniet-homogeenstelselmetalscoëfficiëntenmatrix𝐈 − 𝐀
𝐈 ∙ 𝐱 − 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐪⇔ 𝐈 − 𝐀 ∙ 𝐱 = 𝐪
OplossenvanditstelsellaattoedehoeveelheidproductieteberekenendienodigisomtevoldoenaandeintermediaireéndefinalevraagàmethodevanGaussgebruiken.Indematrix𝐀staathetelement𝑎'f voorhetaantaleenhedendatbedrijf𝑗nodigheeftuitbedrijf𝑖voordeproductievanééneenheid.𝐀 ∙ 𝐱=deproductieomtevoldoenaandeintermediairevraag.
30
Hoofdstuk12Diagonalisatie12.1DefinitieeigenwaardeneneigenvectorenBeschouweenvierkantematrix𝐀vann-deorde,eennx1-kolom𝐱,met𝐱 ≠ 𝟎,eneenreëelgetalλ.Danis𝐱eeneigenvectorvan𝐀enλeeneigenwaardevan𝐀alsgeldt:
𝐀 ∙ 𝐱 = λ ∙ 𝐱12.2BepalenvaneigenwaardenDegelijkheid𝐀 ∙ 𝐱 = λ ∙ 𝐱kanherschrevenwordentoteenhomogeenstelsel:
𝐀 ∙ 𝐱 = λ ∙ 𝐱 ⇔ 𝐀 ∙ 𝐱 − λ ∙ 𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐀 ∙ 𝐱 − λ ∙ 𝐈" ∙ 𝐱 = 𝟎 ⇔ 𝐀 − λ ∙ 𝐈" ∙ 𝐱 = 0Eeneigenvectorisperdefinitieverschillendvandenulkolom,dusmoetderangvandecoëfficiëntenmatrix𝐀 − λ ∙ 𝐈"kleinerzijndann(danhebje∞veeloplossingen)
ð 𝐀 − λ ∙ 𝐈"moetduseensingulierematrixzijn(wantgeenvolledigerangdusgeenregulierematrix,ziepar.11.4)
ð determinantvan𝐀 − λ ∙ 𝐈"moetgelijkzijnaan0.Deeigenwaardenvaneenmatrix𝐀zijnoplossingenvandekarakteristiekevergelijking
𝐝𝐞𝐭 𝐀 − 𝛌 ∙ 𝐈𝒏 = 𝟎Karakteristiekevergelijking= eenn-degraadsvergelijkingenzalhoogstensnreëleoplossingen
λ*, λ,, … , λ"hebben,waarvansommigeneventueelkunnensamenvallen.
Multipliciteit= Hetaantalkeerdateeneigenwaardevoorkomtalsoplossingvandekarakteristiekevergelijking.
EigenwaardenvaneendriehoeksmatrixDeeigenwaardenvaneenbovendriehoeksmatrix,benedendriehoeksmatrixofeendiagonaalmatrixzijngelijkaandehoofddiagonaalelementen.12.3BepalenvaneigenvectorenVoorelkeeigenwaardeλ'(𝑖 = 1, … , 𝑛)kunnenwedebijhorendeeigenvectorenberekenenalsoplossingenvanhethomogenestelsel:
𝐀 − λ' ∙ 𝐈" ∙ 𝐱 = 0Omdatλ'eenoplossingisvandekarakteristiekevergelijking,isdecoëfficiëntenmatrixsingulier.Bijelkeeigenwaardehorendussteedsoneindigveeleigenvectoren.(hetaantalvrijtekiezenparametersisgelijkaan𝑛 − 𝑟𝑎𝑛𝑔 𝜆' ∙ 𝑰" − 𝑨 )Stappenplan:
1) Berekenderangvandecoëfficiëntenmatrix,ofwelvan 𝐀 − λ' ∙ 𝐈" 2) Houddelineaironafhankelijkevergelijkingenoveràrijendieniet0zijn.
=gereduceerdematrixR(𝐀Û)3) Maakhetstelselvierkant&kiesdeparameter(s)4) Loshetstelselop¬eerdeeigenvectorenhorendebijλ'
31
12.4EconomischetoepassingeigenwaardeneneigenvectorenZieuitleginhetboekoppagina154–155.
ð Uitdecontextkunjehalenvoorwelkeeigenvectorjethetmoetberekenen.Nietgewoonalleeigenvectorendoen->isnietnodig
12.5EigenvectorenbijverschillendeeigenwaardenEigenvectorengeassocieerdmetverschillendeeigenwaardenzijnlineaironafhankelijk.(=deenigecombinatievandezekolommendiedenulkolomoplevert,isdiecombinatiewaarbijallecoëfficiëntennulzijn->controlerenmetberekenenv/ddeterminant->det≠0isstelselvanCramer)12.6ModalematrixModalematrix: Eenmodalematrixvaneenvierkantematrix𝐀iseenmatrixvandezelfde
ordeals𝐀,waarvandekolommenlineaironafhankelijkeeigenvectorenvan𝐀zijn.
§ Indiennietdezelfdeorde:modalematrixbestaatniet§ Eenmodalematrixisinverteerbaar
o Bewijs:omdatallekolommenlineaironafhankelijkzijn,iseenmodalematrixsteedsvanvolledigerang(dusdet(M) ≠ 0)endussteedsinverteerbaar.
Eenmodalematrixisnooituniek:eenkolomkansteedsvervangenwordendooreenveelvoudervanen/ofdevolgordevandekolommenkanveranderdworden.12.7DiagonalisatieDiagonaliseerbarematrix
Eenvierkantematrix𝐀isdiagonaliseerbaarindienereenmodalematrixvoorbestaat.
Diagonalisatievaneenmatrix
Eendiagonaliseerbarematrix𝐀kangeschrevenwordenals:𝐀 = 𝐌 ∙ 𝐃 ∙ 𝐌=𝟏
𝐃 =diagonaalmatrixmetalshoofddiagonaalelementende𝑛eigenwaardenvan𝐀(eeneigenwaardemetmultipliciteit𝑚komt𝑚keervoor)
𝐃 =
λ* 0 ⋯ 00 λ, ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 ⋯ λ"
𝐌=eenmodalematrixvan𝐀meteigenvectorenindezelfdevolgordeals𝐃(de𝑖-dekolomvan𝐌iseeneigenvectorbijhet𝑖-dehoofddiagonaalelementvan𝐃)
𝐌 =
𝑚** 𝑚*, ⋯ 𝑚*"𝑚,* 𝑚,, ⋯ 𝑚,"⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝑚"* 𝑚", ⋯ 𝑚""
Multipliciteitversusaantallineaironafhankelijkeeigenvectoren
Hetmaximumaantallineaironafhankelijkeeigenvectorendathoortbijeeneigenwaardeλâ,issteedskleinerdanofgelijkaandemultipliciteitvandieeigenwaarde.Hetaantallineaironafhankelijkeeigenvectorenbijeigenwaarde𝜆' isgelijkaanhetaantalvrijeparametersuithetstelsel 𝐀 − λâ ∙ 𝐈 ∙ 𝐱 = 0
32
Aangeziendesomvanallemultipliciteitengelijkisaann,zaleenmatrixdiagonaliseerbaarzijnindienvoorelkeeigenwaardehetaantallineaironafhankelijkeeigenvectorengelijkisaandemultipliciteit.
– AlsalleEWverschillendzijn:𝐀iszekerdiagonaliseerbaar– AlsereenEWismeteenmultipliciteitgroterdanéén,danis𝐀niet
zekerdiagonaliseerbaar.
33
Hoofdstuk13Toepassingenvandiagonalisatie13.1EigenschappenvaneigenwaardeneneigenvectorenVerbandtussendeterminantenspooreneigenwaarden
HetproductvandeeigenwaardenisgelijkaandedeterminantDesomvandeeigenwaardenisgelijkaanhetspoor.(spoor=desomvandehoofddiagonaalelementen(vaneenvierkantematrix))
𝛌𝟏 ∙ 𝛌𝟐 = 𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒏𝒕𝛌𝟏 + 𝛌𝟐 = 𝒔𝒑𝒐𝒐𝒓
Eigenwaardenvaneenreguliere/singulierematrix
Eensingulierematrixheeftminstensééneigenwaardegelijkaannul;(determinant=0)Eenmatrixisregulierindienalleeigenwaardenverschillendzijnvannul.(determinant≠0)
Eigenwaardeneneigenvectorenvandegetransponeerdematrix
Wanneeraanmatrix𝐀eeneigenwaardeλheeft,danzaldegetransponeerdematrix𝐀�ookdezeeigenwaardehebben,maarmetmogelijkandereeigenvectoren.(want:det 𝐀� − λ ∙ 𝐈" = 0 ⇔ det 𝐀 − λ ∙ 𝐈" � = 0 ⇔ det 𝐀 − λ ∙ 𝐈" = 0)
Eigenwaardeneneigenvectorenv/eveelvoudv/ematrix
Wanneer𝐀eeneigenwaardeλheeft,danzaldematrixα ∙ 𝐀eeneigenwaardeα ∙ λhebben,metdezelfdeeigenvectoren.
13.2Machtberekenenm.b.v.diagonalisatieEigenwaardeneneigenvectorenv/emachtv/ematrix
Wanneer𝐀eeneigenwaardeλheeft,danzaldematrix𝐀Z(met𝑘 ∈ ℕ)eeneigenwaardeλZ hebben,metdezelfdeeigenvectoren(dusdezelfde𝑴).
𝐀Z ∙ 𝐱 = λZ ∙ 𝐱Diagonalisatiev/dmachtv/ematrix
Alseenmatrix𝐀gediagonaliseerdkanwordenals:𝐀 = 𝐌 ∙ 𝐃 ∙ 𝐌=𝟏
Dankande𝑘-demacht(met𝑘 ∈ ℕ)berekendwordenals:𝐀Z = 𝐌 ∙ 𝐃Z ∙ 𝐌=𝟏
Opmerking Voorhetberekenenvan𝐌=𝟏vooreen2x2-matrix,denkdanaan:
𝑎 𝑏𝑐 𝑑
=*=
1det 𝐀
∙ 𝑑 −𝑏−𝑐 𝑎
13.3Inverterenm.b.v.diagonalisatieEigenwaardeneneigenvectorenv/dinversematrix
Wanneereenregulierematrix𝐀eeneigenwaardeλheeft,danzaldeinverse
matrix𝐀=*eigenwaarde*¾hebben,metdezelfdeeigenvectoren.
(aangezien𝐀regulieris,bestaat𝐀=*enisgeenv/deigenwaardengelijkaan0)Diagonalisatiev/dinversev/ematrix
Deinversev/ediagonaliseerbareregulierematrix𝐀kanberekendwordenals:𝐀=* = 𝐌 ∙ 𝐃=* ∙ 𝐌=𝟏
Waarbij𝐃=* =eendiagonaalmatrixmetalshoofddiagonaalelementendeomgekeerdenvande𝑛eigenwaardenvan𝐀,ofwel *
¾ó
34
13.4Eigenwaardeneneigenvectorenvaneensymmetrischematrix§ Eigenvectorenbijverschillendeeigenwaardenvaneensymmetrischematrixzijnonderling
orthogonaal.o Dezeeigenvectorenzijndusooklineaironafhankelijk(zieeigenschap12.2)
§ Bijeensymmetrischematrix,waarvanalleeigenwaardenmultipliciteitéénhebben,zullendekolommenvaneenmodalematrixonderlingorthogonaalzijn.
13.5Optimaliserenm.b.v.eigenwaarden
ð Vooreenwillekeurigenx nmatrixð Jewilwetenofdematrixpositiefdefinitiefofnegatiefdefinitiefis
Zij𝐀decoëfficiëntenmatrixvaneenkwadratischevormq 𝐱 = 𝐱� ∙ 𝐀 ∙ 𝐱.Danis𝑞:
1. Positiefdefinietalsenslechtsalsλ' > 0vooralle𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛)2. Negatiefdefinietalsenslechtsalsλ' < 0vooralle𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛)
waarbijλ' deeigenwaardenzijnvan𝐀.13.6Transitiematrices(overgangsmatrices)Transitiematrix= Matrixwaarinderelatievecijfersdeovergangswaarschijnlijkhedenvormen.
=overgangsmatrixàdevoorwaardelijkekansendatconsumentenoverstappennaareenanderproductofbijhetzelfdeproductblijven
𝐏 =𝑝** 𝑝*, 𝑝*4𝑝,* 𝑝,, 𝑝,4𝑝4* 𝑝4, 𝑝44
§ Dediagonaalelementen𝑝'' gevendevoorwaardelijkekansenweerdatdeconsumentbijzijnkeuzeblijft.
§ Deniet-diagonaalelementen𝑝'f gevendevoorwaardelijkekansdateenconsumentoverschakeltvanmerk𝑗naarmerk𝑖.
Geslotensysteem= Markov-systeemàhettotaalaantalconsumentenblijftsteedsconstant.
𝑝'f = 14
')*
(1 ≤ 𝑗 ≤ 3)
HetaantalkopersvanmarkAinperiode𝑡 + 1is:
𝑥ö 𝑡 + 1 = 𝑝** ∙ 𝑥ö 𝑡 + 𝑝*, ∙ 𝑥÷ 𝑡 + 𝑝*4 ∙ 𝑥ø(𝑡)(analogeberedeneringvoordemerkenBenC)
Hierdoorgeldt:
𝐱 𝒕 + 𝟏 = 𝐏 ∙ 𝐱(𝒕)Met𝐱(𝑡)en𝐱 𝑡 + 1 kolommenmetconsumentenaantallen.
Overeenkomstigditmodelkunnendanvoorvolgendeperiodesdeconsumentenaantallenberekendworden.Merkop:desomvandeconsumentenaantallenblijftgelijk.
35
Evenwichtstoestand=situatiewaarbijdedrieproductensteedseenzelfdedeelvandemarktzoudenhebben,ondankshetfeitdatconsumentenvanhetenemerknaarhetandereoverstappen.Wezoekendusnaareenvectorzvanconsumentenaantallenwaarvoorgeldt:
𝐳 = 𝐏 ∙ 𝐳ofwel,𝐳 − 𝐏 ∙ 𝐳 = 𝟎 ⇔ 𝐈𝟑 ∙ 𝐳 − 𝐏 ∙ 𝐳 = 𝟎 ⇔ (𝐈𝟑 − 𝐏) ∙ 𝐳 = 𝟎
Hetprobleemherleidtzichdustothetoplossenv/estelselvan3vergelijkingenmet3onbekenden(par12.3).Letop:omhetvolledigestelseltebekomen,moeterrekeningwordengehoudenmethetgeslotensysteem.Dusweeisendatdesomv/dcomponentenv/dvector𝐳gelijkisaanhetconsumentenaantal.
𝑧ö + 𝑧÷ + 𝑧ø = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙Verdelingna𝒏periodenWekunnenberekenenhoeveelconsumententotelkegroepzullenbehorennaeenwillekeurigetijdspanne:
𝐱 𝒏 = 𝐏𝒏 ∙ 𝐱(𝟎)Gebruikmakenv/ddiagonalisatievan𝐏:
𝐱 𝒏 = 𝐌 ∙ 𝐃𝒏 ∙ 𝐌=𝟏 ∙ 𝐱(𝟎)Stappenplan:
1) Eigenwaardenvan𝐏berekenen(m.b.v.karakteristiekevergelijking)det 𝐀 − λ ∙ 𝐈" = 0
2) Webekomendaarmee𝐃enzoook𝐃𝒏3) Weberekenendeeigenvectorenhorendebijdeeigenwaardenλ' enverkrijgenzodemodale
matrix𝐌voor𝐏𝐀 − λ' ∙ 𝐈" ∙ 𝐱 = 0
4) Berekendeinversevandemodalematrix:𝐌=𝟏𝐀=* = 𝐄 ∙ 𝐈
5) Bijgevolgkunnenwe𝐏𝒏berekenen,endaarmee𝐱 𝒏 Wekunnenonsookafvragenhoeveelklantenerinelkegroepzittenwanneerde𝑛naaroneindiglatengaan⇒ lim
"→3𝐱 𝑛