wiederholung und vertiefung von grundkenntnissen aus algebra … · 2016-01-28 · wiederholung und...

Wiederholung und Vertiefung

von

Grundkenntnissen

aus

Algebra und Geometrie

Klasse 7b

A Formelsammlung für Flächen

a

a

² 4A a a a U a= ⋅ = = ⋅

Quadrat

b

a

2 2A a b U a b= ⋅ = +

Rechteck

h

g

2

g hA g Grundseite h Höhe⋅= = =

Dreieck

h

g

A g h= ⋅Parallelogramm

f

e

fe

Raute oder Rhombus

Drachen

2

e fA e und f Diagonalen⋅= =

c

h

a

2

a cA h a und c Grundseiten+= ⋅ =

Trapez

r

r r2

² 2

3,14A r U d

d Durchmesserr Radius

π ππ

rπ= ⋅ = ⋅ == ==

Kreis⋅

VOLUMEN B

aa

a

³V a=Würfel

ab

c

V a b c= ⋅ ⋅Quader

ab

h

3

a b hV ⋅ ⋅=Pyramide

h

r

²V r hπ= ⋅ ⋅Zylinder

r

h

²3r hV π ⋅ ⋅

=Kegel

4 ³3

rV π⋅ ⋅=Kugel

UMRECHNUNGEN C

LÄNGEN FLÄCHEN VOLUMEN GEWICHTE

UMRECHNUNGEN C

LÄNGEN

101010

1000

1 m1 km 1 dm 1 cm 1 mm

FAKTOR 10 FLÄCHEN

10 000

100 100 100 100100100

1m² 1dm² 1cm² 1mm²1a1ha1km²

FAKTOR 100 VOLUMEN

100

100010001000

1 ml1 Liter100 l

1 mm³1 cm³1 dm³1 m³ 1 hl

FAKTOR 1000 GEWICHTE 100010001000

1 mg1 g1 kg1 t

FAKTOR 1000 1 50Ztr kg=

BRÜCHE und DEZIMALZAHLEN D

BRÜCHE und PROZENTE

12= 3

2= 1 %

2=

13= 2

3= 1 %

3=

14= 3

4= 1 %

4=

15= 3

5= 1 %

5=

18= 5

8= 1 %

8=

110

= 710

= 1 %10

=

120

= 320

= 1 %20

=

150

= 1250

= 1 %50

=

1100

= 17100

= 1 %100

=

11000

= 2181000

= 1 %1000

=

110000

= 2710000

= 1 %10000

=

BRÜCHE und DEZIMALZAHLEN D

BRÜCHE und PROZENTE

12= 0,5 3

2= 1,5 1

2= 50 %

13=0,33 2

3= 0,66 1 33 %

3=

14= 0,25 3

4= 0,75 1 25 %

4=

15=0,2 3

5=0,6 1 20 %

5=

18=0,125 5

8=0,625 1 12,5 %

8=

110

= 0,1 710

= 0,7 1 10 %10

=

120

= 0,05 320

= 0,15 1 5 %20

=

150

= 0,02 1250

= 0,24 1 2 %50

=

1100

= 0,01 17100

= 0,17 1 1%100

=

11000

= 0,001 2181000

= 0,218 1 0,1 %1000

=

110000

= 0,0001 2710000

= 0,0027 1 0,01%10000

=

QUADRATISCHE SÄULE und PYRAMIDE E

1. Konstruiere ein Schrägbild einer quadratischen Säule mit a = 5 cm und h = 6 cm.

Berechne das Volumen.

2. Konstruiere ein Schrägbild einer quadratischen Pyramide mit a = 6 cm und h = 7 cm.


QUADRATISCHE SÄULE und PYRAMIDE E

1. Konstruiere ein Schrägbild einer quadratischen Säule mit a = 5 cm und h = 6 cm.


a = 5 cm

a (verkürzt)

h = 6 cm

2 25 6 25 6 150 ³V a h cm= ⋅ = ⋅ = ⋅ =

2. Konstruiere ein Schrägbild einer quadratischen Pyramide mit a = 6 cm und h = 7 cm.


a = 6 cm

a

h = 7cm

² 6² 7 36 7 12 7 84 ³3 3 3

a hV c⋅ ⋅ ⋅= = = = ⋅ = m

WINKEL F

Vollwinkel

Gestreckter Winkel

Rechter Winkel

Spitzer Winkel

Stumpfer Winkel

WINKELSUMME im DREIECK

WINKEL F

Vollwinkel 360°

Gestreckter Winkel 180°

Rechter Winkel 90°

αSpitzer Winkel 0 90α< < °

βStumpfer Winkel 90 180α°< < °

Parallele

γβ

β

α

α

WINKELSUMME im DREIECK

180α β γ+ + = °

MITTELLOTE und UMKREISMITTELPUNKT G

Konstruiere ein Dreieck mit der Basis c = 10 cm und den Winkeln 50 65undα β= ° = ° .

Anschließend konstruiere die drei Mittellote, welche sich im Mittelpunkt des Umkreises

treffen. Zeichen den Umkreis des Dreiecks.

MITTELLOTE und UMKREISMITTELPUNKT G

Konstruiere ein Dreieck mit der Basis c = 10 cm und den Winkeln 50 65undα β= ° = ° .

Anschließend konstruiere die drei Mittellote, welche sich im Mittelpunkt des Umkreises

treffen. Zeichen den Umkreis des Dreiecks.

c

b

a

r

r

r

Umkreis

M

C

A B

GESETZ: Die Mittellote (Mittelsenkrechten) in Dreieck schneiden sich in einem Punkt M.

M ist der Mittelpunkt des Umkreises.

01

HS 1990 Pflichtteil

Löse die folgenden Aufgaben ohne TR und ohne Formelsammlung.

Jede richtig und vollständig gelöste Aufgabe zählt 10%.

Jedes Ergebnis muss doppelt unterstrichen werden und die richtige Benennung erhalten.

1. = 11.408,29 2.823,01 352,4 75,8 2.138,12− + − +

[Addiere alle positiven Zahlen, addiere alle negativen Zahlen, dann subtrahiere die

beiden Ergebnisse.]

2. 272,7 : 6,75 =

[Verschiebe zuerst bei beiden Zahlen das Komma um 2 Stellen nach rechts, dann

dividiere die beiden Zahlen.]

3. ( )1 12 48 7, 25 : 2+ =

[Verwandle zuerst die Brüche in eine Dezimalzahl, berechne den Inhalt der Klammer,

dann dividiere.]

4. = 24,5 2450m mm−

Gib das Ergebnis in Zentimeter (cm) an.

[Verwandle die Meter in Zentimeter, ebenso die Millimeter in Zentimeter, dann

subtrahiere die beiden Zahlen und gib das Ergebnis in cm an.]

5. . Berechne x. 2,5 (12 16) 25 25x x⋅ − = −

[Löse zuerst die Klammer auf.]

6. Wie viel Prozent der rechteckigen

Fläche sind schraffiert?

100: AnteilVerwende die Formel pGrundwert

⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

7. Im Oktober 1989 kostete 1 Dollar 1,90 DM. Wie viel Dollar bekam man für 950 DM?

01

HS 1990

10 cm

20 cm

20 cm

8. Ein Sparguthaben von 325 € bringt in einem Jahr 11,70 € Zinsen. Mit welchem

Zinssatz wurde das Sparguthaben verzinst?

100: ZinsenVerwende die Formel pKapital

⎡ ⎤⋅=⎢ ⎥

⎣ ⎦

9. Berechne den Flächeninhalt der grauen Fläche.

[Berechne 2 Flächen und subtrahiere sie.]

10. Ein Aquarium ist 60 cm lang und 50 cm breit.

Das Wasser steht 40 cm hoch. Wie viel Liter

sind in dem Aquarium?

[Verwandle die Längen in dm und berechne das Volumen in dm³.

Beachte 1dm³ = 1Liter.]

Ergebnisse: 1. 11.000

2. 40,4

3. 7

4. 2.205 cm

5. x = 3

6. 100 28 35 %80

p ⋅= =

7. 950 5001,90

Dollar=

8. 100 100 11,70 3,6 %325

ZpK⋅ ⋅

= = =

9. 400 ² 78,5 ² 321,5 ²A cm cm cm= − =

10. 6 5 4 120 ³ 120V dm dm dm dm Liter = ⋅ ⋅ = =

Gleichungen zur Wiederholung 02

1.

a) 5 2 11 1x − =

b) 6 83x+ =

c) 0 3 5 2x+ =

d) 12 164x+ =

e) 5 4 25 6x + =

f) 1 27x− =

g) 3 2 17 1x − =

h) 3 72x− =

BITTE nicht auf diesem Blatt rechnen!! 2.

a) 13 10x− =

b) 20 40x− =

c) 9 5x− = −

d) 20 3 5x− =

e) 32 13 6x− =

f) 24 2 14x− =

g) 3 3 7 2x− =

h) 5 10 20x+ =

i) 9 4 1 1x − =

j) 7 52x

− =

k) 11 103x

= +

3.

a) 6 7 3 4x x− = +

b) 20 15 12 1x x− = +

c) 11 42 2 100 5 22x x x+ − = + −

d) 10 5 14 2 3 24x x x+ + = + +

e) 92 8 11 8 1 4x x x x− + = + − +


Ergebnisse: 1.

a) 13

b) 6

c) 5

d) 16

e) 10

f) 21

g) 15

h) 20

2.

a) 3

b) -20

c) 14

d) 5

e) 2

f) 5

g) 10

h) 2

i) 5

j) 4

k) 3

3.

a) 3

b) 2

c) 9

d) 1

e) 2

03

HS 1991 Pflichtteil Löse die folgenden Grundaufgaben ohne TR und ohne Formelsammlung.



1. = 5.643,4 3.194,02 4.571,6 378,98 856,75− + + −

2. 708,4 : 5,75 =

3. ( )1 15 42 6,6+ ⋅ =

4. Wie viel Kubikzentimeter (cm³) sind 123 Liter?

5. . Berechne x. 7 (3 5) 13 4 1x x⋅ − − + =

6. Wie viel Prozent der quadratischen Fläche sind schraffiert?

100: AnteilVerwende die Formel pGrundwert

⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

7. Auf einer Mülldeponie werden jährlich 720.000 t Müll angeliefert. Davon sind 17,5%

Hausmüll. Wie viel Tonnen Hausmüll werden in einem Jahr angeliefert?

:100K pVerwende die Formel Z ⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

3,5 cm

6,6 cm

2,2 cm

8. Ein Kapital von 48.000 € wird zu 8% Zinsen angelegt. Wie viel € betragen die Zinsen

in 3 Monaten?

:100 12K p mMonatszinsen Z ⋅ ⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⋅⎣ ⎦

9. Berechne den Flächeninhalt des Trapezes.

:2

a cVerwende die Formel A h+⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

10. Ein Kegel hat einen Durchmesser von 10 cm und eine Höhe von 12 cm. Berechne das

Volumen des Kegels. ²:3r hVerwende die Formel V π ⋅ ⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

03

HS 1991 Ergebnisse:

1. 6543,21

2. 123,2

3. 2,2

4. 3.500 cm³

5. x = 4

6. 100 15 60 %25

p ⋅= =

7. 720.000 17,5 126.000100

Z t⋅= =

8. 48.000 8 3 960 €100 12 100 12K p mZ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =⋅ ⋅

9. 6,6 2,2 3,5 15,4 ²2

A c+= ⋅ = m

10. 2² 5 12 314 ³

3 3r hV cπ π⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = m


1.

a) 3 57x+ =

b) 1 36x− =

c) 10 82x

− =

d) 12 43x

− =

2.

a) 68 3 5x x− = +

b) 10 13 2 3x x− = +

c) 9 7 39 2 1x x− = −

d) 15 9 7 15x x− = +

3.

a) 11 42 2 100 9 22x x x+ − = − −

b) 10 7 13 5 24x x x+ + = + +

c) 2 8 11 8 1 4x x x− + = + − x

d) 96 18 2 34 13 50x x x− + = − +

e) 7 7 3 5 5 37x x x+ − = − +

4.

a) 8 ( 2) 6 26x x⋅ + = +

b) 5 ( 3) 2 27x x⋅ + = +

c) 3 ( 6) 30x x⋅ + = −

BITTE nicht auf diesem Blatt rechnen!!


Ergebnisse:

1.

a) 14

b) 24

c) 4

d) 24

2.

a) 3

b) 2

c) 4

d) 3

3.

a) 2

b) 1

c) 1

d) 4

e) 11

4.

a) 5

b) 4

c) 3

05




1. ,8 = 8.241,05 2.174,25 7.417 3.483− + −

2. :16,25916,5 =

[Zuerst die Kommas um zwei Stellen verschieben.]

3. ( ) 314 5 = 13,5 5 9+ ⋅

4. Wie viel Quadratmeter (m²) sind 25.000 (cm²)?

[Benutze die Umrechnungstabelle C.]

5. (15 )10 4 3x x⋅ − Berechne x. + =


Fläche sind schraffiert? 100AnteilpGrundwert

⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

7. Ein Flachbildfernseher kostet 2500 €. Wegen einer Beschädigung wird das Gerät für

1950 € verkauft. Wie viel Prozent beträgt der Preisnachlass? 100t

⋅ NachlasspGrundwer

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

8. Ein Darlehen von 240.000 € wird mit 8,5% verzinst. Wie viel € betragen die Zinsen in

3 Monaten? 100 12K p mMonatszinsen Z ⋅ ⋅ ⎡ ⎤=⎢ ⎥⋅⎣ ⎦

9. Berechne den Flächeninhalt der grauen Fläche.

2,5 cm

4,4 cm 4,4 cm5,6 cm

[Berechne 3 einzelne Flächen, dann addiere die Einzelflächen.]

10. Eine quadratische Säule ist 12,8 cm hoch. Die Länge der Grundkante beträgt 2,5 cm.

Wie groß ist das Volumen der Säule? [ ]V a a h= ⋅ ⋅

05

HS 1992 Ergebnisse:

1. 10.000

2. 56,4

3. 180

4. 2,5 m²

5. x = 5

6. 100 22 55 %40

p ⋅= =

7. 100 100 550 22 %2500

ZpK⋅ ⋅

= = =

8. 240.000 8,5 3 5100 €100 12 100 12K p mZ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = =⋅ ⋅

9. 14 ² 11 ² 25 ²A cm cm cm= + =

10. 2,5 2,5 12,8 80 ³V cm cm cm c= ⋅ ⋅ = m


1.

a) 1 7 3 1x − =

b) 5 2 5 1x + =

c) 9 12x− =

d) 3 53x+ =

e) 20 3 29x− =

f) 11 2x− = −

g) 80 795x

− =

h) 10 72x

− =

2.

a) 5 24x x= +

b) 12 33x x= +

c) 9 40x x= −

d) 7 32x x= −

e) 7 9 4x x= +

f) 12 18 3x x= +

g) 6 56 2x x= −

h) 72 5x x= −

3. a) 50 2 10 16 10 40 2x x x− + + = − + x

b) 78 12 3 16 2 20x x x− + + = + +

c) x 4 10 6 3 2 12 4 7x x x+ + + = + + −

d) 6 2 35 5 10 91 9x x x− + + = + − x

e) 10 12 25 2 100 5 15 15x x x− + + = − + + x

BITTE nicht auf diesem Blatt rechnen!!


Ergebnisse:

1.

a) 2

b) 5

c) 20

d) 6

e) -3

f) 13

g) 5

h) 6

2.

a) 6

b) 3

c) 4

d) 4

e) 3

f) 2

g) 7

h) 12

3.

a) 50x = −

b) 15x = −

c) 11x = −

d) 25x =

e) 4x = −

07


Du hast 45 Minuten Zeit.


1. , 4 = 16.387,9 5.033,7 677,44 9.563 6− + −

2. : ,1.437,5 6 25 =

3. ( ) 3,8 ⋅ = 25 46 2+

4. Wie viel Sekunden sind 141 Stunden? [1h = 60 min; 1min = 60 sec]

5. 4 2 (5 12) 2 4x x+ ⋅ − = − . Berechne x.

6. Berechne die Summe von 4 33 4und .

[ ] 4 33 3 3 3 3 4 4 4 4= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

7. Wie viel Prozent der quadratischen


100AnteilpGrundwert

⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

8. Im Bereich eines staatlichen Schulamtes gibt es 68 Grund- und Hauptschulen. Davon

haben sich 75% für den schulfreien Samstag entschieden. Wie viele Schulen sind das?

100Grundwert ProzentAnteil ⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⎣ ⎦

9. Berechne den Flächeninhalt der Figur. 9 m

5 m

10 m

10. Ein Quader ist 1,25 m lang, 5 dm breit und

80 cm hoch. Berechne sein Volumen in dm³.

[Verwandle zunächst alle Längen in dm. Dann berechne V.]

07

HS 1993 Ergebnisse:

1. 2.468

2. 230

3. 6,9

4. 4.500 sec

5. x = 2

6. 145

7. 100 10 40 %25

p ⋅= =

8. 68 75 51100

Z Schulen⋅= =

9. 50 ² 20 ² 70 ²A m cm= + = m

10. 12,5 5 8 500 ³V dm dm dm d= ⋅ ⋅ = m


1.

a) 3 3 17 1x − =

b) 2 5 2 1x + =

c) 3 42x− =

d) 9 133x+ =

e) 4 7x− =

f) 20 2 10x− =

g) 5 7 30x− + =

h) 25 2 15x− =

i) 32 3 11x− =

j) 13 4 3x− − =

2. BITTE nicht auf diesem Blatt rechnen!!

a) 2,5 (12 16) 25 25x x⋅ − = −

b) 7 (3 5) 13 4 1x x⋅ − − + =

c) 10 4 3 (15 )x x+ = ⋅ −

d) 4 2 (5 12) 2 4x x+ ⋅ − = −

e) (2 4) 6 2 (4 6)x x− ⋅ = ⋅ −

3.

a) 10 18 6 6x x− = +

b) 7 7 3 2x x− = +

c) 11 13 4 8x x+ = −

d) 20 3 25 8x x− = −

e) 7 7 11 4 12 25 17 17x x x x+ + − = + − +

f) 12 2 8 13 18 35 6 12x x x x+ + + = + − −

g) 2 3 4 5 6 7 20x x x x+ + + = − + −

h) 7 1 5 2 37 4 7x x x x+ − + = − + +

i) Ich denke mir eine Zahl (x), multipliziere sie mit 5, addiere 12, multipliziere das

Ergebnis mit 3 und erhalte 72. Wie heißt die gedachte Zahl? Stelle zunächst eine

Gleichung mit x auf. Anschließend löse die Gleichung.


x

Ergebnisse:

1.

a) 10

b) 2

c) 14

d) 12

e) -3

f) 5

g) 5

h) 5

i) 7

j) -4

2.

a) x = 3

b) x = 4

c) x = 5

d) x = 2

e) x = 3

3.

a) 6

b) 2

c) -3

d) 1

e) 3 3 18 42 5x x+ = − → =

f) 15 20 12 23 1x x x+ = + → =

g) 4 6 12 26 4x x x+ = − → =

h) 1 2 3 5 30 1x x x+ = − → =

i) (5 12) 3 72 2,4x x+ ⋅ = → =

09


Du hast 45 Minuten Zeit.


1. = 7086,04 1351,35 555 3598,14 1853,9− + − +

2. 5296,2 : 54,32 =

3. ( )1 24 52,5 3 6+ ⋅ =

4. Wie viel Kubikzentimeter sind 342 Liter ?

5. x . Berechne x. (2 4) 6 2 (4 6)x − ⋅ = ⋅ −



7. Ein Videorecorder kostet 515 €. Bei Barzahlung werden 2% Skonto gewährt. Wie hoch

ist der Preis nach dem Skontoabzug?

15 cm

7,6 cm18,4 cm

8. Ein Sparguthaben von 555 € wird mit 4% verzinst. Wie viel Zinsen fallen in 4 Monaten

an? 100 12K p mZ ⋅ ⋅⎡ ⎤=⎢ ⎥⋅⎣ ⎦

9. Berechne den Flächeninhalt der Figur.

10. Ein Zylinder hat den Durchmesser von d = 6 cm und eine Höhe von h = 12 cm.

Berechne sein Volumen.

09

HS 1994 Ergebnisse:

1. 4545,45

2. 97,5

3. 36,8

4. 2750 cm³

5. x = 3

6. 20 100 25 %80

p ⋅= =

7. 515 98 504,70 €100

Z ⋅= =

8. 555 4 7,40 €100 3 100 3K pZ ⋅ ⋅

= = =⋅ ⋅

9. 15 26 15 13 195 ²2 2

e fA c⋅ ⋅= = = ⋅ = m

10. ² 3,14 9 12 339,12 ³V r h cmπ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

ÜBUNGEN zur GEOMETRIE 10

c

b a

γ1

β1

α1

γ

βαAB

C

1. Konstruiere ein Dreieck mit der

Grundseite c = 7cm und den Winkeln

α = 62° und β = 44°. Bestimme γ und die

Außenwinkel 1 1, , 1α β γ durch Rechnung.

Prüfe das Ergebnis durch Nachmessen.

2. Konstruiere ein Dreieck aus c = 9cm und den Winkeln α = 65° und γ = 86°. Wie lang ist

die Seite a? Bestimme a durch Messung.

3. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck aus c = 5,5cm und den Winkeln α = β = 67°.

Wie groß ist γ? Rechne und prüfe durch Nachmessen.

4. In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel γ = 50° bekannt. Wie groß sind die

Basiswinkel α und β? Zeichne das Dreieck für a = b = 7cm.

64° 140°

γ

βA B

C5.

Berechne β und γ.

24° β1A B

C

6.

Das Dreieck ist gleichschenklig. Berechne 1β .

γ

β

α

δ

95°

70°

55°

M

7. ZUSATZAUFGABE

Bestimme , , undα β γ δ durch Rechnung.

Prüfe die Ergebnisse durch möglichst

genaue Zeichnung. Wähle r = 5cm.


γ

βα

C

A B

Lösungen

1. 1 180 180 62 118α α= °− = °− ° = °

1 180 180 44 136β β= °− = °− ° = °

180 74γ α β= °− − = °

1 180 180 74 106γ γ= °− = °− ° = °

γ

βα

C

A B

2. Zuerst berechen 180 29β α β= °− − = °

Dann konstruiere das Dreieck.

Messung: 8, 2a c= m

γ

βα

C

A B

3. 180 2 67 46γ = °− ⋅ ° = °

50°

βαB

C

A

4. 180 50 130 2 130 65α α = ° ° − ° = ° → = ° →

5. 180 140 40β = °− ° = °

180 64 40 76γ = °− °− ° = °

6. 2 180 24 156 78β β= °− ° = ° → = °

1 180 180 78 102β β= °− = °− ° = °


7. ZUSATZAUFGABE

Bestimme , , undα β γ δ

β

γ

α

δ

95°

70°55°

M

durch Rechnung. Prüfe die Ergebnisse durch möglichst

genaue Zeichnung. Wähle r = 5cm.

1. Dreieck: (180 55 ) : 2 62,5Basiswinkel = °− ° = °



Restwinkel am Mittelpunkt 360 55 70 95 140° − °− °− ° = °

(180 140 ) : 2 20Basiswinkel = °− ° = 4. Dreieck: °

Außenwinkel: 180 20 62,5 97,5α = °− °− ° = °

180 62,5 55 62,5β = °− °− ° = °

180 55 42,5 82,5γ = ° − °− ° = °

180 42,5 20 117,5δ = °− °− ° = °

wiederholung und vertiefung von grundkenntnissen aus algebra … · 2016-01-28 · wiederholung und...

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