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Escola Secundária de Fontes Pereira de Melo - 401780"Escola em processo de mudança"
Ano Lectivo2011/20
12
FICHA DE REVISÃO PARA A FICHA DE AVALIAÇÃOMatemática A
11º12-03-2012
Grupo I
1. A equação do plano representado na figura é:(A) x+ y+z=4(B) x− y+2 z+4=0(C) x− y+2 z=4(D) x+ y+z+4=0
2. Seja t uma reta de inclinação θ = 135º.
Um vetor diretor de t pode ter de coordenadas:(A) (-2, 2) (B) (1, 1)(C) (2 ,1) (D) (1, 2)
3. Na figura seguinte está representado um retângulo [ABCD] inscrito numa circunferência de centro O e diâmetro 1.
Indique, das seguintes expressões, aquela que traduz a área, em função de , do retângulo [ABCD].
(A) sen2 γ (B) tg γ
(C) senγ ×cosγ (D) 1−tg γ
4. Para certos valores de a Є IR, e b Є IR, a expressão f ( x )=a+ 1x−b
define uma função f. Ao lado, esta uma representação gráfica de f.Os pontos A e D pertencem ao gráfico da função e são vértices de um retângulo de lados paralelos aos eixos coordenados. As abcissas de A e D são, respetivamente, 4 e 7.
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Qual a área do retângulo?(A) 6,75 (B) 2,25 (C) 3 (D) 2,8
5. Na figura está representado um triângulo [ABC ]com dois ângulos de
amplitude α e um ângulo de amplitude β.
Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?
(A) cos β=sen (2α ) (B) cos β=cos¿¿)
(C) cos β=−sen2α (D) cos β=−cos¿
6. Considera uma função h com as seguintes características: h (0 )=0;
h é estritamente crescente no intervalo [0,2 ] h é uma função par.
Indica qual é a única afirmação verdadeira.(A) A função h tem um máximo relativo para x=0.
(B) h (−1 )<0
(C) A função h é estritamente decrescente no intervalo [−1,0 ].
(D) h (−2 )+h (2 )=0
7. Num certo problema de Programação Linear, pretende-se maximizar a função objectivo, a qual é definida por L=3 x+ yNa figura está representada a região admissível.
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Qual é a solução do problema?
(A) x=6 e y=3 (B) x=4 e y=2
(C) x=4 e y=3 (D) x=6 e y=2
8. Considere a função f definida, em R, por f ( x )=−√3+2sin (2 x )Relativamente a esta função podemos afirmar que:
(A) f ( π6 )=2√3 (B) π3 é um zero de f (C) D' f= [−√3 ,√3 ] (D)
f (π )> f ( π2 )
9. Na figura está representada a região admissível de um problema de programação linear. Esta região corresponde ao seguinte sistemas:
{x≥0y ≥0x≤5y ≤6
2x+ y ≤12
Qual é o valor máximo que a função objectivo, definida por z=x+ y, pode alcançar nesta região?
(A) 7 (B) 9 (C) 11 (D) 13
Grupo II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.
Atenção: quando para um resultado não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.
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1. Seja f (t )=9−t 2 a expressão que define, em função do tempo t (em segundos), a distância ao solo de um móvel que é lançado de uma altura de 9 metros.1.1 Calcula a TMV entre o 1º e o 2º segundo e indica qual a
interpretação geométrica do valor encontrado.1.2 Defina a função derivada da função f (t ).1.3 Qual é a velocidade da bola no instante 3? Interpreta o
resultado no contexto do problema.1.4 Determine uma equação da reta tangente ao gráfico de f no
ponto de abcissa 1.
2. Pretende-se vedar um terreno rectângular que está junto ao rio.Cada metro de vedação do lado do rio custa 10€ e a vedação de cada um dos outros lados custa 2€ o metro.Determine a área máxima de terreno que é possível vedar com 4800€ sabendo que um dos lados maiores do terreno está voltado para o rio.
3. Considere a função definida por f ( x )=x2
3.1 Determine a taxa média de variação no intervalo [1,2 ]3.2 Determine, usando a definição, a derivada da função no ponto
2.3.3 Determine uma equação da recta tangente ao gráfico no
ponto 3.
4. Resolve em R a equação
1x−1
+ 1x+1
= 2 x2
x2−1
5. Simplifica as seguintes frações:
5.1.3−xx2−9
5.2.−x2+3 x−22 x−x2
5.3.x3−4 x2+5 x−2
4−x2
6. Resolve, em R, cada uma das seguintes equações, começando por
representá-las na forma A (x )B ( x )
=0.
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6.1.2x−1x+2
=1
6.2.x2−4
−x2−2x−1x=0
6.3.x2=1
x
7. Resolve, em R, cada uma das seguintes inequações:
7.1.2x−12−x
≤1
7.2.x2−4 xx2+x
>0
7.3.x+ 5
x+2>4
8. Num referencial o.n. considere o ponto P(3,2,-1) e os planos , e definidos por:
α :2 x+2 y+z=9 ; β : x− y+z=0eγ : 3x+2 y+2 z=28.1 Averigue se o ponto P pertence ao plano α.8.2 Calcule, com aproximação à décima do grau, a amplitude do
ângulo que qualquer reta normal ao plano β faz com o eixo Ox.
8.3 Determine a intersecção do plano a com o eixo Oz.8.4 Escreva uma equação da reta perpendicular ao plano e que
passa pelo ponto P.8.5 Determine a intersecção dos 3 planos.
9. Na figura , está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico.Sabe-se que:• O ponto A tem coordenadas (1, 0) • O ponto B tem coordenadas (2, 0)Considere que um ponto P se move sobre a circunferência.
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Para cada posição do ponto P, seja d=PB e seja α∈¿a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta OP.Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.
9.1 Mostre que d2=5−4 cosαSugestão: Exprima as coordenadas do ponto P em função de e utilize a fórmula da distância entre dois pontos.
9.2 Resolva os dois itens seguintes tendo em conta que d2=5−4 cosα9.2.1. Determine os valores de α∈ ¿ para os quais d2=39.2.2. Para um certo valor de pertencente ao intervalo
[0 , π ], tem-se que tgα=−√15 9.3 Determine d, para esse valor de
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RESOLUÇÃO DA FICHA DE REVISÃO Matemática A
11ºA12-03-2012
Grupo I
1. O plano interseta os eixos nos pontos A(4,0,0), B(0,4,0) e C(0,0,4).
AB=B−A= (0,4,0 )−(4,0,0 )=(−4,4,0 )AC=C−A=(0,0,4 )−(4,0,0 )=(−4,0,4 )Um vetor n , normal ao plano é perpendicular a AB e AC , ou seja,
n× AB=0⋀ n× AC=0
{(a ,b , c ) . (−4,4,0 )=0(a ,b , c ) . (−4,0,4 )=0
⇔ {−4 a+4 b=0−4 a+4c=0⇔ {b=0c=0
Logo, n é da forma (a,a,a), a εR ¿{0 ¿}. Se por exemplo a=1, então n=(1,1,1) e a equação
do plano é:
1 ( x−4 )+1 ( y−0 )+1 ( z−0 )=0⟺x−4+ y+z=0⟺ x+ y+z=4
Resposta A
2. O declive da reta t é dado por : m=tg 135º=−1
O vetor (-2,2) é diretor de uma reta de declive m= 2−2
=−1, ou seja é diretor de t.
Resposta A
3. senγ=BC1
⟺BC=senγ
cosγ= AB1
⟺ AB=cosγ
A área do retângulo é dado por: senγcosγ
Resposta C
4. Por observação do gráfico conclui-se que a função em causa é dado por: f ( x )=2+ 1x−3
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Assim as coordenadas dos pontos A, B, C e D são:
A(4,f(4))= (4,3); B(7, f(4))=(7,3); c(4,f(7))=(4,9/4) e D(7,f(7))= (7,9/4)
Pelo que as dimensões do retângulo [ABCD] são:
7−4=3e3−94=34 e a sua área é: 3× 34
=94=2,25
Resposta B
5. Tem-se β+2α=π , ou seja, β=π−2α
Vem então cos β=cos (π−2α )=−cos (2α )
Resposta D
6. Por exemplo, o gráfico da função seguinte é um exemplo que satisfaz todas as condições
do enunciado. Daqui podes concluir que a única afirmação verdadeira é a C.
Resposta C
7. Das alternativas apresentadas, apenas a C e a D correspondem a pontos pertencentes à
fronteira da região admissível. Este facto permite excluir as alternativas A e B. Das
hipóteses C e D, aquela em que a função objectivo tem valor mais elevado é a D, pois
3×6+2>3×4+3
Resposta D
8. f ( x )=−√3+2sin (2 x )⇔−√3+2sin (2 x )=0
⇔2sin (2 x )=√3⇔ sin (2 x )=√32⇔sin (2 x )=sin( π3 )
⇔ sin (2x )=sin ( π3 )⇔2x= π3+2kπ ˅2x=π−π
3+2kπ , k∈R
⇔ x=π6
+2kπ ˅x=π3+2kπ , k∈R
k=0⇒ x=π6˅x= π
3Resposta B
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9. Vértice x y z=x+ yA(0; 6) 0 6 6B(3 ;6) 3 6 9C (5 ;1,2) 5 1,2 6,2D(5 ;0) 5 0 5
Resposta B
Grupo II
1. 1.1.
TMV [1,2 ]=f (2 )−f (1 )2−1
¿ 5−81
=−3
O valor -3 é o declive da recta secante ao gráfico de f que passa
nos pontos (1,8) e (2,5 )
1.2.
f ´ (t )=−2t f ´ (3 )=−2×3=−6
A velocidade da bola é de 6m /s. O valor da derivada é negativo uma vez que a bola no momento t=3 s está a descer
1.3.
f ´ (1 )=−2×1=−2
y=−2x+b
f (1 )=8
Determinação do b:
8=−2×1+b
b=10
Então, y=−2x+10
é a equação da recta tangente ao gráfico de f no ponto x=1.
2.
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Rio
10 x+2 ( x+2 y )=4800⇔10x+2 x+4 y=4800⇔4 y=4800−12 x
⇔ y=4800−12x4
⇔ y=1200−3 x
A=x (1200−3x )=1200 x−3 x2
A'=1200−3 x
A'=0⇔1200−3 x=0⇔x=200
x 0 200 +∞
A + 0 -
A' Máx
A área é máxima para x=200
A=1200×200−3×2002=120000
R:. A área máxima que é possível vedar com 4800€ é 120000m2
3.
3.1. tmv [1,2 ]=f (2 )−f (1)2−1
=22−12
2−1=33=1
3.2. f ' (2 )=lim ¿h→ 0( f (2+h )−f (2)h )=lim ¿h→0( (2+h )2−22
h )=lim ¿h→0( 4+4h+h2−4
h )¿¿¿
¿ lim ¿h→0( h (4+h )h )=lim ¿h→0 (4+h )=4+0=4¿¿
3.3. y=mx+b⇔ y=4 x+b⇔ 4=4×2+b⇔b=−4
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x
y
y=4 x−4
4. Resolve em R a equação1
x−1+ 1x+1
= 2 x2
x2−1
Falta correção desta
5.5.1.
3−xx2−9
= 3−x( x+3 ) ( x−3 )¿
−(x−3)x−3
= −1x−3
5.2. −x2+3 x−22 x−x2
=−( x−1 ) ( x−2 )
x (2−x )¿ x−1
x
5.3. x3−4 x2+5 x−2
4−x2=
(x−2 ) (x2−2 x+1 )− (x+2 )(x−2)
Regra do ruffini
x=2 é raiz do polinómio por isso x3−4 x2+5 x−2=( x−2 ) ( x2−2x+1 )
x2−2x+1−( x+2 )
=(x−2 )(x−2)
−( x+2 )=
(x−2)−1
=2−x
6.6.1.
2x−1x+2
=1⇔ 2 x−1−(x+2)x+2
=0
⇔ 2 x−1−x−2x+2
=0⇔ x−3x+2
=0⇔x−3=0∧ x+2≠0⇔
⇔x=3∧ x≠−2
C.S. {3 }
6.2. x2−4
−x2−2x−1x=0⇔ x2−4+ x+2
−x ( x+2 )=0⇔ x2+x−2
−x ( x+2 )=0
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⇔ x2+x−2−x ( x+2 )
=0⇔(x−1 ) ( x+2 )−x ( x+2 )
=0⇔ x−1−x
=0⇔
⇔x−1=0∧−x≠0⇔x=1∧ x≠0
C.S. {1 }
6.3.
x2=1x⇔x2−1
x=0⇔ x3−1
x=0
⇔x3−1=0∧ x ≠0⇔x=1∧ x≠0
C.S. {1 }
7.7.1.
2x−12−x
≤1⇔ 2x−1−(2−x)2−x
≤0⇔ 3 x−32−x
≤0
−∞ 1 2 +∞
3 x−3 −¿ 0 +¿ +¿ +¿
2−x −¿ −¿ −¿ 0 +¿
3x−32−x
+¿ 0 −¿ S.S. +¿
3x−32−x
≤0⇔x∈¿
7.2. x2−4 xx2+x
>0
−∞ -1 0 4 +∞
x2−4 x +¿ +¿ +¿ 0 −¿ 0 +¿
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x2+ x +¿ 0 −¿ 0 +¿ +¿ +¿
x2−4 xx2+x
+¿ S .S . −¿ S.S. −¿ 0 +¿
x2−4 xx2+x
>0⇔x∈ ¿−∞ ,−1[∪]4 ,+∞ ¿
7.3.
x+ 5x+2 >4⇔
x ( x+2 )+5−4(x+2)x+2 >0⇔
⇔ x2−2 x−3x+2
>0
−∞ -2 -1 3 +∞
x2−2 x−3 +¿ +¿ +¿ 0 −¿ 0 +¿
x+2 −¿ 0 +¿ +¿ +¿ +¿ +¿
x2−2x+3x+2
−¿ S .S . +¿ 0 −¿ 0 +¿
x2−2 x−3x+2
>0⇔x∈ ¿−2 ,−1 [∪ ]3 ,+∞¿
8.8.1. Substituindo as coordenadas do ponto P na equação do plano tem-se:
2×3+2×2−1=9⟺6+4=9⟺9=9Proposição verdadeira, logo P pertence ao plano.
8.2. Seja nβ=(1,−1,1 ) um vetor normal ao plano β e u=(1,0,0) um vetor com a direção do eixo Ox.
Se θ é a amplitude do ângulo formado por uma reta normal a β com o eixo Ox, então:
cosθ=|1+0+0|√3×1
= 1√3
logoθ=cos−1 (0,577 )⟺θ≃54,7 °
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8.3. A interseção do plano com o eixo Oz, obtém-se resolvendo o sistema:
{2x+2 y+z=9x=0y=0
⇔ {z=9x=0y=0
O ponto de interseção é I(0,0,9)
8.4. Um vetor normal do plano é: nγ= (3,2,2 )Se a reta é perpendicular ao plano, o vetor diretor da reta é colinear com o vetor normal ao plano. Usando o ponto P, obtém-se o pretendido.
( x , y , z )=(3,2 ,−1 )+k (3,2,2 ) , k∈Z
8.5. A interseção dos 3 planos obtém-se resolvendo o sistema:
{ 2 x+2 y+z=9x− y+z−3=03x+2 y+2 z=2
⇔ { z=9−2x−2 yx− y+9−2 x−2 y−3=03x+2 y+18−4 x−4 y=2
⟺{−¿−x−3 y+6=0−x−2 y+16=0
⟺{ −¿ x=−3 y+63 y−6−2 y+16=0
⟺ {−¿−¿ y=−10⟺ {z=−43x=36y=−10
Os planos intersetam-se no ponto (36,-10,-43)
9.9.1. O ponto P tem de coordenadas (cos, sen)
Como o ponto B tem coordenadas (2,0), tem-se d2=(cosα−2)2+(senα )2
d2=(cosα−2)2+(senα )2=cos2α−4 cosα+4+sen2α=cos2α+sen2α+4−4 cosα=1+4−4 cosα=5−4 cosα
9.2.1. d2=3⟺5−4 cosα=3⟺ cosα=1
2
cosα= 12⋀ αϵ ¿
9.2.2.
Como tgα=−√15e tg2α+1= 1cos2α
, tem-se:
(−√15)2+1= 1cos2α
⟺16= 1cos2α
⟺cos2α= 116
⟺ cosα= 14⋁ cosα=−1
43
Atendendo a que [0,π] e a que tg<0, pode concluir-se que αϵ ¿ π2, π ¿
Então, d2=5−4 (−14 )=6e , portanto ,d=√6
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