Repaso Temas 9 y 10 (limites y derivadas de funciones)

Ejercicio nº 1.-

Halla el límite cuando x →+∞ y cuando x →−∞∞ de la siguiente función y representalos resultados que obtengas:

Solución:

Ejercicio nº 2.-

Estudia la continuidad de la función:

Solución:

Si x ≠0 la función es continua.

Ejercicio nº 3.-

Halla las asíntotas de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

Solución:

La función no tiene asíntotas verticales porque Dom f  R

La función tiene una asíntota oblicua, y  5x 1, porque

Estudiamos la posición de la curva respecto a la asíntota oblicua

Por tanto, la posición de la curva respecto a las asíntotas es

Ejercicio nº 4.-

Halla el valor de a y b para que las rectas x  2, y  5 sean asíntotas de la función:

Solución:

El denominador de f(x) se anula en

Para que x  2 pueda ser asíntota vertical de f x, debe ser:

Para que y  5 sea asíntota horizontal de f x debe ser

(Observamos que para x  2 se anula el denominador, pero no el numerador; luego, x  2 es una asíntota vertical de f x

Ejercicio nº 5.-

Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:

Solución:

Ejercicio nº 6.-

Calcula a para que la función fx sea continua en x  1:

Solución:

Ejercicio nº 7.-

Halla las asíntotas de la siguiente función y sitúa la curva respecto a ellas:

Solución:

La función tiene asíntotas verticales en x  2 y x  2 Estudiamos la posición de la curva respecto a ella

La función tiene asíntota oblicua y  2x porque

Estudiamos la posición de la curva respecto a la asíntota oblicua

Por tanto, la posición de la curva respecto a las asíntotas es

Ejercicio nº 8.-

Calcula la derivada de las funciones siguientes:

Solución:

Ejercicio nº 9.-

Halla f´(x) para la función:

Solución:

Ejercicio nº 10.-

Halla los puntos de tangente horizontal de la siguiente función y, con ayuda de las ramas infinitas, decide si son máximos o mínimos:

f(x)  x3  6x2  15x

Solución:

Máximo en (5, 100) y mínimo en (1,  8).

Ejercicio nº 11.-

Estudia dónde crece y dónde decrece la función:

Solución:

Como f 'x < 0 siempre, la función es decreciente.

Ejercicio nº 12.-

Representa gráficamente una función f(x), de la que conocemos lo siguiente:

 Su derivada se anula en (1, 4) y en (1, 4)

· No corta a los ejes.

· Tiene una asíntota oblicua, que es y  2x. Además:

Solución:

Ejercicio nº 13.-

Estudia y representa la función: f(x)  x 4  2x 2  1

Solución:

· Puntos de corte con los ejes:

· Puntos singulares:

· Gráfica:

Ejercicio nº 14.-

Estudia y representa la función:

Solución:

· Dominio  R  {1, 1}

· Puntos de corte con los ejes:

· Asíntotas verticales: x  1, x  1

Asíntota horizontal: y  1

· Puntos singulares:

· Gráfica:

Ejercicio nº 15.-

Estudia y representa la siguiente función:

Solución:

· Dominio  R

· Puntos de corte con los ejes:

· Asíntotas verticales: No tiene

Asíntota oblicua:

.

· Puntos singulares:

· Gráfica:

Ejercicio nº 16.-

Dada la función

estudia sus aspectos más relevantes y represéntala gráficamente.

Solución:

· Dominio  R  {0}

· Puntos de corte con los ejes:

Con el eje Y  No corta el eje Y porque x  0, no está en el dominio.

· Asíntota vertical: x  0

Rama parabólica pues el grado del numerador es dos unidades mayor que el del denominador.

· Puntos singulares:

· Gráfica:

Ejercicio nº 17.-

Deriva las siguientes funciones:

a f (x)  arctg x2  3x  1

c f (x)  3 sen2 x  2

Solución:

c f ´(x)  6sen x  2 cos x 2