Modelación de la ISE considerando el suelo como un apoyo continuo.Modeling of the ISE considering soil as a continuous support

Héctor MORENO1 y Mario LOPEZ1

1Petróleos Mexicanos

RESUMEN: La interacción suelo-estructura en cimentaciones se resuelve mediante modelación numérica, considerando sus dos componentes: i) la estructural, empleando el método de rigideces, incluyendo las propiedades geométricas y mecánicas de la cimentación; existencia o no de restricciones de giro y desplazamientos de los apoyos; los sistemas de cargas actuantes y, ii) el suelo, incorporado en los modelos de solución aplicando, entre otras, la metodología del Dr. Leonardo Zeevaert para generar la Ecuación Matricial de Asentamientos (EMA). La matriz de rigidez de los elementos supone que estos se apoyan en sus extremos, vinculándose con la componente ii) el suelo, por medio de un elemento elástico en los apoyos, representado como resorte.

Un elemento estructural apoyado de manera continua en un medio elástico, se comporta diferente a uno apoyado únicamente en sus extremos, en el presente trabajo se determina la matriz de rigidez de un elemento, incluyendo el suelo como apoyo continuo, modificándose la relación entre las componentes, pues el resorte se substituye por el parámetro definido como módulo de reacción del suelo.

Concluyendo, incorporar el concepto de apoyo continuo desde la solución estructural y replanteando la relación entre ambas componentes, genera una modelación que representa con mayor aproximación el problema estudiado.

ABSTRACT: Interaction soil-structure foundations is solved by numerical modeling, considering its two components: i) the structural, using the method of rigidities, including the geometric and mechanical properties of the Foundation; existence or not of turn restrictions and displacements of supports; (the acting loads systems and, ii) soil, incorporate into models of solution by applying, among others, the methodology of Dr. Leonardo Zeevaert to generate the matrix equation of settlements (EMA). Elements stiffness matrix assumes that these are supported at its ends, linking with the component ii) soil, by means of an elastic element in props, represented as spring.

A structural element supported continuously in an elastic medium, it behaves different from one supported only at its ends, in the present work is determined the array of rigidity of an element, including the ground as continued support, changing the relationship between the components, as spring is replaced with the parameter defined as a module of soil reaction.

Concluding, incorporate the concept of continued support from the structural solution and rethinking the relationship between both components, it generates a modeling representing with greater approximation the studied problem

1 INTRODUCCIÓN

Se presenta la solución matemática desarrollada para evaluar la iteración estática suelo-estructura (ISE) de una cimentación apoyada de manera continua, la solución obtenida se implementó en un programa de cómputo, el cual originalmente resuelve estructuras modeladas mediante elementos tipo barra y apoyos que pueden presentar o no condiciones de restricción a los desplazamiento o giros; con el programa modificado, además, se genera la Ecuación Matricial de Asentamientos (EMA).

El proceso de cálculo es iterativo debido a que el módulo de reacción del suelo se recalcula conforme

los esfuerzos y deformaciones determinados en cada iteración.

2 SOLUCIONES ACTUALES.

2.1 Solución estructuralEs práctica común obtener la solución estructural empleando el método de rigideces, cuyo desarrollo se basa en considerar que los elementos tipo barra de una estructura presentan en sus extremos los desplazamientos y giros indicados en la figura 1, (véanse las figuras después del texto), de esta manera, para un elemento tipo barra, la matriz de rigidez con las consideraciones anteriores, es la siguiente:

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2 Título del trabajo

k e=EIL3 (

12 6 L6 L 4 L2

−12 6 L−6 L 2 L2

−12 −6 L6L 2L2

12 −6 L−6 L 4 L2

) (1)

donde: ke = matriz de rigidez de un elemento sin apoyo continuo; E = módulo de elasticidad; I= momento de inercia y L = longitud del elemento.

2.2 Asentamiento del suelo.Los desplazamientos verticales del suelo como componente de la ISE, se obtienen definiendo la Ecuación Matricial de Asentamientos (EMA), aplicando la metodología propuesta, Zeevaert (1973), con la siguiente variante, como se está analizando el fenómeno en el plano, la reacción del suelo se modelará como una carga lineal distribuida en la superficie del suelo, figura 2, extendiendo la solución de Boussinesq para una carga puntual:

σ z=q2 π

yz2

(x2+z2 )1

√ x2+ y2+z2 (1

x2+ y2+z2+ 2x2+z2 )

(2)

donde: x, y, z = coordenadas en el sistema cartesiano y q = carga distribuida linealmente.

Para x = 0.0, considerando la figura 3 y el centro de cada estrato de suelo como coordenada z, se calculan los elementos de la EMA. Aplicando el principio de superposición, con y = y1 + y0, se calcula z

T, con y = y1, se calcula zP, finalmente el

incremento de z en el punto “j” por la carga “i” será z

íj = zT - z

P, siendo z el incremento de esfuerzo vertical para cada condición de carga analizada.

2.3 Presentación del modelo completo.La matriz ke, ecuación 1, se calcula considerando que en toda su longitud, el elemento no presenta ningún apoyo.

Como la matriz ke no modela estructuras con apoyo continuo, es necesario incluir en la matriz de rigidez de un elemento viga la componente de apoyo continuo elástico, figura 4; en el Numeral 7, se expone el desarrollo matemático para obtener dicha componente.

La componente de la matriz de rigidez de un elemento viga con apoyo continuo elástico es la siguiente:

k s=Ss L420 ( 15622L54−13L

22 L4 L2

13 L−3 L2

5413 L156

−22 L

−13L−3 L2

−22L4 L2

) (3)

donde: ks = matriz de rigidez de un elemento con apoyo continuo; L = Longitud del elemento y Ss =

Módulo de reacción del suelo.

De esta manera, la matriz que representa la rigidez de un elemento barra con apoyo continuo, kc, es la suma de ambas matrices:

k c=ke+k s (4)

3 VALIDACIÓN DEL MODELO

Con el objeto de validar el modelo completo propuesto, se comparan sus resultados y los obtenidos con una solución analítica.

El problema de una viga con apoyo elástico continuo fue analizado, con base en la Teoría de la Elasticidad, por Timoshenko (1957), proponiendo soluciones para diferentes condiciones geométricas y de cargas. La ecuación de una viga con apoyo continuo es la siguiente:

EI xd4 ydz4

=−ky (5)

Peschard (1983), resuelve la ecuación 5, asumiendo que se trata de una viga de longitud finita, apoyada de manera continua en un medio elástico, y el perfil de la carga distribuida actuando en la viga, es semejante a la elástica misma, la carga distribuida es la reacción del suelo (p), dependiente de la deformación total del suelo (y) y de una constante k, el módulo de reacción del suelo, el desarrollo de la solución matemática se basa en la transformada de Laplace, aplicando la función Heaviside y la función de impulso o Dirac delta.

3.1 Soluciones analíticas sencillasEn las figuras 5 y 6, se presentan los datos y los resultados obtenidos con método analítico, Peschard (1983), para las vigas mostradas.

Los datos están en el sistema de unidades de los ejemplos originales con el objeto de no alterar los resultados reportados en las figuras 5 y 6.

Para ambos casos, la estructura es una viga de concreto reforzado de sección constante y longitud L

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(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 3

apoyada en un medio elástico, con los siguientes valores: Ec=2x106 t/m2, Ix=0.078 m4, L=8 m, F=60 t, Ss=1000 t/m2 (valor supuesto).

La viga de la figura 5 está sometida a una carga concentrada F en la mitad del claro; para el caso de la figura 6, las cargas son simétricas aplicadas a 2 m de los extremos.

Debido a que en la solución matemática el valor de Ss es considerada como una constante, la comparación de resultados se realizará con los obtenidos en la iteración 1 del programa implementado.

3.2 Soluciones numéricas con el modelo propuestoEn las tablas 1 y 2 se presentan los resultados obtenidos para las vigas de las figuras 5 y 6 respectivamente.

Los datos empleados en el programa son los indicados en el inciso 3.1 considerando que el suelo es un estrato de 10 m de espesor, asignándole valor unitario al módulo de variación volumétrica (mvz), la viga se divide en ocho elementos de 1 m de longitud.

4 COMPARACIÓN DE RESULTADOS

Al comparar de las tablas 1 y 2, iteración 1 del modelo completo, los valores numéricos para los desplazamientos de los nodos en cada viga y los elementos mecánicos, Cortante y Momentos Flexionantes con lo reportado en las figuras 5 y 6, para los mismas variables, se constata que con metodologías diferentes se obtiene resultados iguales.

Lo anterior se debe a que el modelo completo propuesto representa la solución a la fase estructural de la ISE, porque incorpora la condición de apoyo continuo, al momento de calcular su deformación.

La segunda componente, el suelo, no se analiza con los ejemplos de las figuras 5 y 6, porque, los análisis y las propuestas de solución se desarrollaron asumiendo como una propiedad constante el módulo de reacción del suelo, k en la ecuación 5 y Ss en las ecuaciones, A.32 y A.33.

No obstante, de las tablas 1 y 2 se constata que dicho parámetro se va actualizando en cada iteración, conforme los cortantes en la estructura y asentamientos en el suelo se calculan en cada iteración.

5 CONCLUSIONES

El modelo completo propuesto involucra la condición de apoyo continuo, situación que propicia una solución más aproximada a la ISE.

Al estar desarrollado de manera matricial, es posible su implementación en un programa de cómputo con facilidad.

La EMA, cumple con la condición de simetría establecida en la metodología desarrollada por el Dr Zeevaert, y los desplazamientos y elementos mecánicos obtenidos corresponden a las condiciones de los sistemas de cargas de ambos casos estudiados, además de comprobar el equilibrio entre el sistema de cargas y reacciones.

6 NUEVAS TAREAS

Derivado de la modelación propuesta, hay nuevas tareas por cumplir, entre las que se pueden mencionar las siguientes: i) reanalizar casos reales resueltos con otras metodologías, para sensibilizarse en el manejo de los programas que se desarrollen y en la interpretación de los resultados, ii) extender la modelación al campo tridimensional, de manera que sea posible resolver casos con vigas en tres dimensiones, como son los sistemas de retículas y iii) documentar el desarrollo del modelo para elementos placa con apoyo continuo, para modelar y analizar losas de cimentación.

7 ELEMENTO VIGA CON APOYO CONTINUO

Se determina la matriz de rigidez [ke] de un elemento barra en el plano X-Y, sin considerar el apoyo continuo elástico, posteriormente, con la misma metodología, se define la matriz de rigidez [kss] de un elemento viga con apoyo continuo elástico.

Etapa 1Identificacion del problema, definiendo los arreglos de fuerzas (Fe) y desplazamientos (Ue)

F e={Fy iMziFy j

Mz j} (A.1)

U e={V i

θiV j

θ j} (A.2)

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4 Título del trabajo

Etapa 2El desplazamiento vertical a lo largo del elemento se modela considerando que varía de acurdo con una ley de tipo polinomial.

V=∝1+∝2 x+∝3 x2+∝4 x3 (A.3)

Ademas, como θ=dVdX

,

θ=0+∝2+2∝3 x+3∝4 x2 (A.4)

A lo largo del elemento, los desplazamientos son:

{U xe }={Vθ }=[10 x1 x22 x x3

3 x2]{∝1∝2∝3∝4} (A.5)

Etapa 3Se establece una relacion entre desplazamientos generales y nodales con las condiciones de frontera.

Nodo i, x = 0.0; Vi =1; i= 2

Nodo j, x = L; V j=∝1+∝2 L+∝3 L2+∝4L3;

θ j=0+∝2+2∝3 L+3∝4L2.

Representando en forma matricial, los desplazamiento generales de la estructura:

{δ }={V i

θiV j

θ j}=[1010

01L1

00L2

2 L

00L3

3 L2]{∝1∝2∝3∝4} (A.6)

{U e}=[A ] {∝ } (A.7)

Despejando {∝ }:

{∝ }=[ A ]−1 {U xe } (A.8)

A−1=[10

−3L2

2L3

01

−2L1L2

003L2

−2L3

00

−1L1L2

] (A.9)

Etapa 4Relación entre desplazamientos (/U) y deformaciones ().

La deformación considerada es la curvatura, determinada de la siguiente manera:

ε x=−d2Vdx2

=−2∝3−6∝4 x (A.10)

ε x=[00−2−6 x ]{α1α2α3α 4} (A.11)

Susbtituyendo A.8 y A.9 en A.11, y desarrollando:

ε x=[00−2−6 x ] [10

−3L2

2L3

01

−2L1L2

003L2

−2L3

00

−1L1L2

]{V i

θiV j

θ j} (A.12)

εX=[ 6L2−12xL3 , 4L−6 x

L2,− 6

L2+ 12 x

L3, 2L−6 xL2 ]{V i

θiV j

θ j}

(A.13)

ε x=[B ] {U e } (A.14)

donde:

[B ]=[ 6L2− 12 xL3 , 4L− 6xL2

,− 6L2

+ 12xL3

, 2L−6 x

L2 ](A.15)

Etapa 5Relacion entre esfuerzos, deformaciones y desplazamientos.El Momento en un punto cualquiera del elemneto viga está determinado de la siguiente manera:

M x=−EI d2Vdx2

(A.16)

Considerando la ecuacion A.15,

M x= [EI ] [B ] {U e} (A.17)

Estableciendo [D] = [EI], como la matriz de propiedades del elemento.

Etapa 6

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(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 5

Relación entre cargas nodales y desplazamientos nodales.

Se recurre al teorema de los trabajos virtuales.Trabajo externo

W ext=(U ¿ e)T (F e ) (A.18)

donde; U*e vector de desplazamientos virtuales de los nodos del elemento.

El trabajo interno es, de acuerdo con la teoría de vigas:

W∫ ¿=∫

0

L

εx M x dx¿ (A.19)

Igualando las ecuaciones A.17 y A.18:

(U ¿ e)T (Fe )=∫0

L

ε x {U ¿ e} [D ] [B ] {U e }dx (A.20)

(U ¿ e)T (Fe )=∫0

L

{U ¿e }T [B ]T [D ] [B ] {U e }dx (A.21)

(Fe)=∫0

L

[B ]T [D ] [B ] {U e }dx (A.22)

(Fe)=[ke] {U e} (A.23)

donde; [k e]=∫0

L

[B ]T [D ] [B ]dx (A.24)

[k e]=∫0

L [6L2

−12 xL3

4L−6 x

L2

−6L2

+ 12xL3

2L−6 x

L2] [EI ] [ 6L2−12xL3 , 4

L−6 x

L2,− 6

L2+ 12 x

L3, 2L−6xL2 ]dx

(A.25)

Integrando cada elemento, se obtiene la siguiente matriz A.26 que corresponde con el arreglo (1):

[k e]=EIL3 [ 126 L−12

6 L

6 L4 L2

−6 L2L2

−12−6L12

−6L

6 L−2 L2

−6 L4 L2 ] (A.26)

De manera similar para un elemento con apoyo contino elástico se determinará la matriz [ks].

El desarrollo es similar, la diferencia se presenta al establecer la la relación entre desplazamientos /U) y deformaciones ).

La ecuación que modela la curvatura a lo largo del elemento en análisis, se asocia al tercer renglon de la matriz [A], ecuación A.6, de esta forma, la deformaciones ( se determina de la siguiente manera:

ε x=−d2Vdx2

=∝1+∝2 x+∝3 x2+∝4 x3 (A.27)

ε x=[1 x x2 x3 ] {α1α2α3α 4} (A.28)

Susbtituyendo A.8 y A.9, ahora en A.28, y desarrollando:

ε x=[1 x x2 x3 ] [10

−3L2

2L3

01

−2L1L2

003L2

−2L3

00

−1L1L2

]{V i

θiV j

θ j} (A.29)

εX=[1−6 x2L2 +2 x3

L3, x−2x

2

L+ x3

L2, 3 x

2

L2−2 x

3

L3,− x2

L+ x3

L2 ]{V i

θ i

V j

θ j}

(A.30)

El siguiente paso corresponde a la relacion de esfuerzos, defrormaciones y desplazamientos, los cuales están determinados por la deformabilidad del suelo.

La matriz [B] queda conformada de la siguiente manera:

[B ]=[1−6 x2L2+ 2x

3

L3, x−2 x

2

L+ x3

L2, 3x

2

L2−2x

3

L3,− x2

L+ x3

L2 ](A.31)

El desarrollo es semejante a la etapa 6 del caso anterior, cambiando el valor de EI por el módulo de

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6 Título del trabajo

reacción del suelo, Ss en la matriz de propiedades [D].

[k s ]=∫0

L [1−6 x2

L2+ 2x

3

L3

x−2 x2

L+ x3

L2

3 x2

L2−2 x

3

L3

−x2

L+ x3

L2] [Ss ] [1−6 x2L2

+ 2x3

L3, x−2x

2

L+ x3

L2, 3 x

2

L2−2x

3

L3,− x2

L+ x3

L2 ]dx

(A.32)

Finalmente, integrando y factorizando:

[k s ]=Ss L420 [ 15622 L54−13 L

22 L4 L2

13 L−3L2

5413L156

−22L

−13 L−3 L2

−22 L4 L2 ] (A.33)

Figura 1. Elemento tipo barra con desplazamientos y giros en sus extremos.

Figura 2. Carga lineal distribuida en la superficie del suelo.

Figura 3. Determinación de los elementos de la matriz EMA, aplicando el principio de superposición.

Figura 5. Viga con apoyo continuo elástico y carga puntual al centro del claro.

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(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 7

Figura 4. Viga con apoyo continuo elástico.

Tabla 1.Resultados para la viga de la figura 5.

Tabla 1.Resultados para la viga de la figura 5.

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ECUACION MATRICIAL DE ASENTAMIENTO0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.0709846 0.0437566 0.0265853 0.0162624 0.01012910.1848763 0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.0709846 0.0437566 0.0265853 0.01626240.1534701 0.1848763 0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.0709846 0.0437566 0.02658530.1096106 0.1534701 0.1848763 0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.0709846 0.04375660.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763 0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.07098460.0437566 0.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763 0.1848763 0.1534701 0.10961060.0265854 0.0437566 0.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763 0.1848763 0.15347010.0162624 0.0265854 0.0437566 0.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763 0.18487630.0101291 0.0162624 0.0265854 0.0437566 0.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763

ITERACION No. 1

Modulo de reaccion promedio 1.00E+03

#Nodo Desplazamiento Rotacionm

1 -6.62E-03 -4.85E-042 -7.11E-03 -4.78E-043 -7.57E-03 -4.27E-044 -7.93E-03 -2.84E-045 -8.09E-03 -1.23E-096 -7.93E-03 2.84E-047 -7.57E-03 4.27E-048 -7.11E-03 4.78E-049 -6.62E-03 4.85E-04

ELEMENTOS MECANICOS EN LOS EXTREMOS DE CADA BARRABarra Cortante Momento

flexionanteCortante Momento

flexionante

t t-m t t-m t t/m21 -7.60E-05 -3.87E-05 -6.87E+00 3.39E+00 6.87E+00 1.31E+002 6.87E+00 -3.39E+00 -1.42E+01 1.39E+01 7.34E+00 1.14E+003 1.42E+01 -1.39E+01 -2.20E+01 3.20E+01 7.76E+00 1.05E+004 2.20E+01 -3.20E+01 -3.00E+01 5.79E+01 8.03E+00 1.03E+005 -3.00E+01 -5.79E+01 2.20E+01 3.20E+01 8.03E+00 1.03E+006 -2.20E+01 -3.20E+01 1.42E+01 1.39E+01 7.76E+00 1.05E+007 -1.42E+01 -1.39E+01 6.87E+00 3.39E+00 7.34E+00 1.14E+008 -6.87E+00 -3.39E+00 5.05E-05 5.42E-05 6.87E+00 1.31E+00

SUMATORIA 6.00E+01

8 Título del trabajo

Figura 6. Viga con apoyo continuo elástico y cargas puntuales simétricas.

Tabla 2.Resultados para la viga de la figura 6.

REFERENCIAS

Brebbia C.A., Connor J. J., (1973), “Fundamentals of finite element techniques. For structural engineers”, London, Butterworth & Co.

Peschard E., (1983), “Resistencia de materiales” Vol. 2, México, D.F., Universidad Nacional Autónoma de México.

Timoshenko S. (1957) “Resistencia de materiales”,Madrid, España, Espasa-Calpe.

Weaver W., Johnston P. R., (1984), “Finite elements for structural analysis”, United States of America, Prentice-Hall Inc.

Zeevaert L. (1973), “Foundation Engineering for difficult subsoil conditions”, United States of America, Van Nostrand Reinhold Co.

Zeevaert L. (1980), "Interacción Suelo-Estructura de Cimentaciones Superficiales y Profundas Sujetas

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ECUACION MATRICIAL DE ASENTAMIENTO0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.0709846 0.0437566 0.0265853 0.0162624 0.01012910.1848763 0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.0709846 0.0437566 0.0265853 0.01626240.1534701 0.1848763 0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.0709846 0.0437566 0.02658530.1096106 0.1534701 0.1848763 0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.0709846 0.04375660.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763 0.1848763 0.1534701 0.1096106 0.07098460.0437566 0.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763 0.1848763 0.1534701 0.10961060.0265854 0.0437566 0.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763 0.1848763 0.15347010.0162624 0.0265854 0.0437566 0.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763 0.18487630.0101291 0.0162624 0.0265854 0.0437566 0.0709846 0.1096106 0.1534701 0.1848763

ITERACION No. 1

Modulo de reaccion promedio 1.00E+03

#Nodo Desplazamiento Rotacionm

1 -1.464E-02 -2.472E-042 -1.489E-02 -2.315E-043 -1.507E-02 -1.210E-044 -1.513E-02 -1.200E-055 -1.513E-02 6.459E-096 -1.513E-02 1.202E-057 -1.507E-02 1.210E-048 -1.489E-02 2.315E-049 -1.464E-02 2.472E-04

ELEMENTOS MECANICOS EN LOS EXTREMOS DE CADA BARRABarra Cortante Momento

flexionanteCortante Momento

flexionante

t t-m t t-m t t/m21 9.656E-05 -2.127E-04 -1.477E+01 7.363E+00 1.477E+01 1.402E+002 1.477E+01 -7.362E+00 -2.976E+01 2.961E+01 1.499E+01 1.163E+003 -3.025E+01 -2.961E+01 1.513E+01 6.915E+00 1.511E+01 1.037E+004 -1.513E+01 -6.917E+00 4.878E-04 -6.502E-01 1.513E+01 9.821E-015 -2.753E-03 6.477E-01 -1.513E+01 6.916E+00 1.513E+01 9.821E-016 1.514E+01 -6.917E+00 -3.025E+01 2.961E+01 1.511E+01 1.037E+007 -2.976E+01 -2.961E+01 1.477E+01 7.365E+00 1.499E+01 1.163E+008 -1.477E+01 -7.363E+00 1.967E-03 -1.796E-04 1.477E+01 1.402E+00

SUMATORIA 1.20E+02

(sólo poner primer autor, ver ejemplo) APELLIDO Inicial del nombre et al. 9

a Cargas Estáticas y Sísmicas”, México, D.F. LIMUSA.

8 AGRADECIMIENTO

Los autores agradecen a Petróleos Mexicanos la oportunidad para desarrollar las actividades que involucró este trabajo, así como su publicación y presentación en este foro.

SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA A.C.