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E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 2
Raíces de ecuaciones• Motivación:
• Los valores calculados mediante la fórmula cuadrática se les llama raíces de la ecuación, y son los valores de x que hacen que la ecuación sea igual a cero.
• El problema surge de que hay muchas funciones diferentes que no tienen una solución directa como la anterior, y hay que recurrir a métodos numéricos. (Ejemplo Tsunami)
• Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas, normalmente las raíces complejas sólo son importantes para polinomios, así pues los métodos para encontrar raíces se pueden dividir en dos:
0cx*bx*a)x(f 2 =++=
a2ac4bbx
2 −±−=
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Raíces de ecuaciones– Raíces reales de ecuaciones algebraicas y
trascendentales, que calculan el valor de una raíz simple conociendo una estimación previa aproximada.
– Raíces reales y complejas de polinomios, que determinan todas las raíces de un polinomio.
• Una función algebraica es del tipo:
• Una función trascendental es una que no es algebraica, incluye funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas y otras menos familiares.
0fyfyfyf 0n
11n
1nn
n =++++ −− K
donde:i
ii2
i2i1i0i xaxaxaaf ++++= K
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Métodos que usan intervalos• Métodos gráficos:
– Determinar el coeficiente de rozamiento c necesario para que un paracaidista de masa 68.1 kg tenga una velocidad de 40 m/seg a los 10 segundos.
– Reorganizando.
– Dibujando
4 8 12 16 20-20
0
20
40
f(c)
c
Raíz
Ejemplo 3
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Métodos que usan intervalos– Los métodos gráficos tienen un valor práctico limitado,
ya que son imprecisos. Pero se pueden usar como aproximación para otros métodos.
– Además las interpretaciones gráficas son herramientas importantes en la comprensión de las propiedades de las funciones.
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Métodos que usan intervalosf(x)
f(x)
f(x)
f(x)
xl xu
a)
b)
c)
d)
x
x
x
x
En la figura a) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen el mismo signo, y no hay raíz en el intervalo (xl,xu).
En la figura b) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen distinto signo, y hay una raíz en el intervalo (xl,xu).
En la figura c) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen el mismo signo, y hay un número par de raíces.
En la figura d) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen distinto signo, y hay un número impar de raíces.
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Métodos que usan intervalos• Aunque las generalizaciones anteriores son usualmente
verdaderas, hay casos en los que no se cumplen.
En la figura a) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen distinto signo, pero hay una raíz doble.
f(x)
f(x)
f(x)
xl xu
a)
b)
c)
x
x
x
En la figura b) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen distinto signo, pero hay dos discontinuidades.
En la figura c) tenemos el caso en el que f(xl) y f(xu) tienen el mismo signo, pero hay una raíz triple.
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Métodos que usan intervalos• Método de la bisección: también conocido como de
corte binario, de partición en dos intervalos iguales o deBolzano, es un método de búsqueda incremental que aprovecha el cambio de signo a ambos lados de una raíz y en el que el intervalo se divide siempre en dos.
f(x)
xxl
xu
xr
∆X/2 ∆X/2
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Métodos que usan intervalos• Paso 1: Se eligen los valores inferior xl y superior xu
de forma que la función cambie de signo en el intervalo. f(xl)*f(xu)<0.
• Paso 2: La primera aproximación de la raíz se toma.
• Paso 3:Se determina el subintervalo en el que está la raíz.– Si f(xl)*f(xr)<0, está en el subintervalo inferior. Se toma
xu=xr, y se continúa en el paso 2.– Si f(xl)*f(xr) >0, está en el subintervalo superior. Se toma
xl=xr, y se continúa en el paso 2.• Paso 4: Si f(xl)*f(xr) =0, la raiz es xr; se termina el
cálculo.
2xxx lu
r+=
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Métodos que usan intervalos• Criterio de parada y errores:
– Se puede utilizar como criterio de parada el error relativo aproximado, asi pues cuando este valor sea menor que un valor previamente prefijado, pararemos.
– Observese que en este método se cumple
%100X
XXnuevor
anteriorr
nuevor
a−=ε
2xxXX luanterior
rnuevor
−=−It. anterior
It. nueva
anteriorr
nuevor XX −
nuevorX
anteriorrX
2/X∆
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Métodos que usan intervalos– Un beneficio de este método es que se puede calcular a
priori el número de iteraciones necesarias para obtener un error absoluto predefinido.
)2log()E/xlog(
n
2xE
2xE
xxxE
d,a0
n
0na
01a
00l
0u
0a
∆=
∆=
∆=
∆=−=
M
Ejemplo 4
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Métodos que usan intervalos
Iteración xl xu xr Eaproximado Ereal1 2.000000 30.000000 16.000000 1.000000 0.0749292 2.000000 16.000000 9.000000 0.777778 0.6445713 9.000000 16.000000 12.500000 0.280000 0.1840914 12.500000 16.000000 14.250000 0.122807 0.0386765 14.250000 16.000000 15.125000 0.057851 0.0214136 14.250000 15.125000 14.687500 0.029787 0.0077377 14.687500 15.125000 14.906250 0.014675 0.0070528 14.687500 14.906250 14.796875 0.007392 0.0002889 14.796875 14.906250 14.851563 0.003682 0.003395
10 14.796875 14.851563 14.824219 0.001845 0.00155711 14.796875 14.824219 14.810547 0.000923 0.000635
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Métodos que usan intervalos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Error aproximado
Error real
Iteraciones
Erro
r re l
ativ
o
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Métodos que usan intervalos
0 10 20 300123456789
101112
c
Itera
cion
es
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Métodos que usan intervalos• Método de la falsa posición: también conocido como
método de la interpolación lineal, “regula falsi”. Es un método parecido a la bisección, pero que no toma el punto medio como supuesta raíz, sino que usa una interpolación lineal.
f(x)
xxl
xu
xr
f(xu)
f(xl)
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Métodos que usan intervalos• Usando triángulos semejantes, la intersección de la
línea recta con el eje de las x se estima como:
• Pasemos ahora a calcular el ejercicio anterior pero con el método de la falsa posición.
Ejemplo 5
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Métodos que usan intervalos
Iteración xl xu xr Eaproximado Ereal1 2.000000 30.000000 21.999877 1.000000 0.3272172 2.000000 21.999877 18.119606 0.214148 0.1831423 2.000000 18.119606 16.305469 0.111259 0.0922594 2.000000 16.305469 15.477101 0.053522 0.0436755 2.000000 15.477101 15.103591 0.024730 0.0200256 2.000000 15.103591 14.936201 0.011207 0.0090437 2.000000 14.936201 14.861398 0.005033 0.0040558 2.000000 14.861398 14.828012 0.002252 0.0018139 2.000000 14.828012 14.813120 0.001005 0.00080910 2.000000 14.813120 14.806479 0.000449 0.000361
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Métodos que usan intervalos
0 2 4 6 8 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Error aproximado
Error real
Iteraciones
Erro
r re l
ativ
o
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Métodos que usan intervalos
0 10 20 30
123456789
10
c
Itera
cion
es
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Métodos que usan intervalos• El método de la falsa posición es más eficiente que la
bisección, ya que converge más rápidamente hacia la solución.
0 2 4 6 8 10 120
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Bisección
Falsa posición
Iteración
Err
or u
nita
rio
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Métodos que usan intervalos• Pero hay ciertos casos en los que el método de la
falsa posición funciona deficientemente, y es mejor usar la bisección.
x
f(x)
1x)x(f 10 −=
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Métodos abiertos• Hasta ahora, los métodos estudiados usaban
intervalos en los que sabíamos que se encontraba la raíz. Estos métodos se denominan convergentes, porque se van acercando a la raíz a medida que avanza el cálculo.
• En contraste, tenemos los métodos abiertos, requieren sólo un valor de inicio, y como tales unas veces divergen alejándose de la raíz verdadera. Sin embargo cuando convergen, generalmente lo hacen más rápidamente que los métodos de intervalos.
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Métodos abiertos• Iteración simple de punto fijo, también conocido
como iteración de un punto o sustitución sucesiva. Estos métodos lo que hacen es utilizar una fórmula de predicción de la raíz, rearreglando la ecuación f(x)=0, de forma que la x quede despejada en un lado de la misma.
• Esta transformación se consigue con simples manipulaciones algebraicas:
23xx;03x2x
22 +==+−
)3/xtgh(*)x(sinxx;0)3/xtgh(*)x(sin 22 +==
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Métodos abiertos• De esta forma conseguimos la fórmula que nos
permite predecir un valor a partir de otro.
• Con estas fórmulas, el error aproximado es fácil de obtener.
• Vamos a usar la iteración simple de punto fijo para localizar la raíz de:
)x(gx i1i =+
%100x
xx1ii1i
a+
+ −=ε
Ejemplo 60xex;xe)x(f 0
x1i
x i ==−= −+
−
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Métodos abiertosIteración xr Error aproximado Error real
1 1.0000 1.0000 0.43292 0.3679 1.7183 0.54173 0.6922 0.4685 0.18074 0.5005 0.3831 0.13325 0.6062 0.1745 0.06456 0.5454 0.1116 0.03997 0.5796 0.0590 0.02158 0.5601 0.0348 0.01259 0.5711 0.0193 0.007010 0.5649 0.0111 0.004011 0.5684 0.0062 0.002312 0.5664 0.0036 0.001313 0.5676 0.0020 0.000714 0.5669 0.0011 0.000415 0.5673 0.0006 0.0002
0 5 10 150
0.5
1
1.5
2
Error aproximado
Error real
Iteración
Err
or re
lativ
o
Valor exacto=0.56714329
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Métodos abiertos• Obsérvese que el error relativo verdadero es casi
proporcional al error de la iteración anterior, a esta propiedad se la conoce como convergencia lineal.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
5
10
15
x
Itera
ción
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Métodos abiertos
0 0.5 1 1.5 20
0.5
1
1.5
2
0 0.5 1 1.5 2-2
-1
0
1f(x)
f(x)
x
x
xe)x(f x −= −
x2 e)x(f −=
x)x(f1 =
Raiz
Raiz
• Un planteamiento gráfico alterno para comprender el funcionamiento del método y la convergencia es separar la función en dos partes.
)x(fy)x(fy)x(f)x(f
22
11
21
=
==
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Métodos abiertos
x
y xy1 =
)x(gy2 =
0x1x2x x
xy1 =
)x(gy2 =
0x1x 2x
x
xy1 =)x(gy2 =
0x 1x 2x x
xy1 =)x(gy2 =
0x1x
y
yy
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 29
Métodos abiertos• Analizando las figuras anteriores se observa que la
convergencia ocurre si la magnitud de la pendiente de g(x) es menor que la de f(x)=x.
)x(gx i1i =+ supuesta la solución verdadera )x(gx rr =
restando )x(g)x(gxx ir1ir −=− +
por el teorema del valor medio )('g)xx()x(g)x(g irir ξ−=−
sustituyendo )('g)xx(xx ir1ir ξ−=− +
definiendo el error verdadero en la iteración i: iri,t xxE −=
)('gEE i,t1i,t ξ=+
Si los errores disminuyen1)('g <ξ
Si los errores aumentan1)('g >ξ
Si los errores son positivos0)('g >ξ
Si los errores oscilarán0)('g <ξ
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Métodos abiertos• Método de Newton-Raphson, quizás este sea el
método más usado de localización de raíces. Basado en el polinomio de Taylor de primer orden.
x
f(x)
ix1ix +
)x(f i
)x(f i
1ii xx +−
Pendiente = )x('f i
1iii
i xx)x(f)x('f+−
=
)x('f)x(fxxii
i1i −=+
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Métodos abiertos• El error aproximado como en los casos anteriores es:
• Vamos a usar el método de Newton-Raphson para localizar la raíz de:
%100x
xx1ii1i
a+
+ −=ε
0xex;xe)x(f 0x
1ix i ==−= −
+−
Ejemplo 7
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Métodos abiertosIteración xr Error aproximado Error real
1 0.500000 1.000000 0.1342872 0.566311 0.117093 0.0014703 0.567143 0.001467 0.0000004 0.567143 2.210639E-07 7.225352E-10
1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Iteración
Err
or re
lativ
o
Error aproximado
Error real
Valor exacto=0.56714329
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Métodos abiertos• Obsérvese que en este método el error es casi
proporcional al cuadrado del error en la iteración anterior.
x
Itera
ción
0 0.2 0.4 0.6 0.81
1.5
2
2.5
3
3.5
4
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Métodos abiertos• Análisis del error:
• El error es casi proporcional al cuadrado del error anterior. Tiene una convergencia cuadrática.
2i,t1i,t E
)x('f2)(''fE ξ−=+
suponiendo que xi+1 es la raiz, y con la fórmula de Newton-Rapson
Sustituyendo el valor de f(xi) y suponiendo que iri,t xxE −=
Partiendo del desarrollo de Taylor2
i1ii1iii1i )xx(!2)(''f)xx)(x('f)x(f)x(f −ξ+−+= +++
)x('f)x(fxxii
i1i −=+
2iririi )xx(
!2)(''f)xx)(x('f)x(f0 −ξ+−+=
)x(f)x('f)xx( iii1i =−− +
2iririi1ii )xx(
!2)(''f)xx)(x('f)xx)(x('f0 −ξ+−+−−= +
1ir1i,t xxE ++ −=
2i,t1i,ti E
!2)(''fE)x('f0 ξ+= +
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 35
Métodos abiertos• Desventajas del método:
– Hay casos en los que no se comporta eficientemente, y converge muy lentamente.
– Tiene problemas con las raíces múltiples.– Se precisa conocer la derivada de la función.
• Criterios de convergencia:– No hay un criterio general de convergencia, ya que
ésta depende no sólo de la naturaleza de la función, sino también del punto inicial que tomemos.
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 36
Métodos abiertos
f(x)
x0x
1x 2x
a)
a) Punto de inflexión en la vecindad de una raíz.
x0x 1x2x
f(x)
b)3x
b) Oscilación en torno a un máximo o un mínimo.
f(x)
x0x1x2xc)
c) Saltos en funciones con varias raíces.
f(x)
x0x 1x d)
d) Existencia de una derivada nula.
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 37
Métodos abiertos• Método de la secante, implementación del método
de Newton-Raphson, pero sustituyendo el valor de la derivada por una aproximación.
x
f(x)
ix1ix −
)x(f i
)x(f 1i−
Pendiente = )x('f i
1ix +
i1ii1i
i xx)x(f)x(f)x('f
−−≅
−
−
)x(f)x(f)xx)(x(fxxi1ii1ii
i1i −−−=
−
−+
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 38
Métodos abiertos• El error aproximado como en los casos anteriores es:
• Vamos a usar método de la secante para localizar la raíz de:
%100x
xx1ii1i
a+
+ −=ε
0xex;xe)x(f 0x
1ix i ==−= −
+−
Ejemplo 8
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 39
Métodos abiertos
Valor exacto=0.56714329
Iteración xr Error aproximado Error real1 0.612700 0.632121 0.0743542 0.563838 0.086659 0.0058613 0.567170 0.005875 0.0000484 0.567143 0.000048 2.927825E-08
Iteración
Err
or re
lativ
o Error aproximado
Error real
1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 40
Métodos abiertos
0 5 10 150
0.5
1
1.5
2Iteración simple de pto. fijo
Bisección
Secante
Falsa posición
Newton Raphson
Iteraciones
Err
or a
prox
imad
o
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 41
Métodos abiertos• Diferencias entre el método de la secante y la
falsa posición.– Obsérvese que ambos métodos son muy similares.
– En ambos casos se usa una aproximación de la pendiente de la función.
– Pero en la falsa posición, la última aproximación de la raíz reemplaza a alguno de los valores extremos, por tanto los nuevos valores siempre encierran a la raíz, y siempre convergen.
Falsa posición Secante
)x(f)x(f)xx)(x(fxxi1ii1ii
i1i −−−=
−
−+
)uf(x)lf(x)lxu)(xuf(x
uxrx −−
+=
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 42
Métodos abiertos– En el caso de la secante no ocurre así, los valores se
reemplazan en una secuencia estricta, xi+1 a xi, y éste a xi-1. Por eso los nuevos valores pueden caer al mismo lado de la raíz, y a veces divergen.
rx
)uf(x
)lf(x
f(x) f(x)
f(x) f(x)
x x
x xrx
)uf(x
)lf(x
rx)1i-f(x
)if(x
)1i-f(x
rx
)if(x
Falsa posición Secante
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 43
Métodos abiertos• Método de la secante modificado, este método al
igual que el método de la secante ya estudiado, hace una estimación de la derivada pero con una pequeña perturbación fraccionaria.
– La elección del valor adecuado del incremento no es trivial, ya que si es demasiado pequeño pueden producirse errores de redondeo causado por la cancelación por resta del denominador de la última ecuación. Y si es muy grande puede ser lento e incluso divergente.
– Sin embargo puede ser adecuado cuando es complicado el cálculo de la derivada y la elección de dos valores iniciales es inconveniente.
f 0( xi) =f ( x i + ±xi) ° f ( x i)
±xixi+1 = xi °
f ( x i) ±xif ( x i + ±xi) ° f ( x i)
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 44
Raíces múltiples• Raíces múltiples, en estos puntos la función es
tangente al eje x, si la multiplicidad de la raíz es par, la función no cruza el eje, pero si es impar si lo hace.
• Éste tipo de raíces introducen dificultades a los métodos ya vistos:– No se pueden usar métodos de intervalos con las
raíces de multiplicidad par, porque no cambian de signo.
– Además, en estos casos no sólo f(x) se aproxima a cero, sino que también lo hace f’(x). Esto afecta tanto al método de Newton-Raphson como al de la secante.
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 45
Raíces múltiples– Estos últimos convergen de forma lineal, en vez de
cuadrática. Para solucionarlo Ralston y Rabinowitz proponen:
– Pero no se conoce de antemano la multiplicidad de la raíz.
– Otra alternativa es usar otra función auxiliar que tiene raíces en las mismas proporciones que la función original.
)i(xf')if(x
mix1ix −=+m=2 para raíz doblem=3 para raíz triple
)i(xf')if(x
xu =
llegando a
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 46
Raíces múltiples– Es fácil demostrar que cuando f(x) tiene una raíz de
multiplicidad n, f’(x) tiene una raíz de multiplicidad n-1 en ese punto.
– Por tanto f(x)/f’(x) sólo tiene una raíz simple en x=r.– Pero esta técnica funciona bien con polinomios
porque cuando hay funciones trascendentes se pueden producir discontinuidades en máximos y mínimos, y dificultar la convergencia.
0)r(F),x(F)rx()x(f n ≠−=
[ ])x('F)rx()x(nF)rx(n)x('F)rx()x(F)rx(n)x('f
1n
n1n
−+−=−+−=
−
−
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 47
Raíces de polinomios• En esta parte se tratarán las raíces de polinomios
con coeficientes reales de la forma:
• Las raíces de este tipo de polinomios cumplen:– Toda ecuación de orden n, tiene n raíces, reales o
complejas, y no necesariamente distintas.– Si n es impar, al menos hay una raíz real.– Si hay raíces complejas, existe un par conjugado
nn
2210n xaxaxaa)x(f ++++= K
ix
ix
1j
jµ−λ=
µ+λ=
+
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 48
Raíces de polinomios• Antes de comenzar con los métodos específicos de
localización de raíces se analizarán operaciones fundamentales que involucran polinomios.
• Evaluación y diferenciación– Una forma común de presentar un polinomio es
– evaluar este polinomio implica realizar n(n+1)/2 multiplicaciones y n sumas. Pero organizando el polinomio de la forma (Algoritmo de Horner)
– se realizan n multiplicaciones y n sumas, con lo que se reducen el número de operaciones y por tanto los errores de redondeo.
nn
22103 xaxaxaa)x(f ++++= K
))))x*aa(*x(*xa(*xa(*xa)x(f n1n2103 KK +++++= −
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 49
Raíces de polinomios– Veremos ahora el algoritmo de la división sintética,
que es un esquema para evaluar polinomios y derivadas (es equivalente al método de Horner).
03x3xx 23 =−−+Suponemos
2x0 = 1 1 -3 -3
2 6 6
1 3 3 3
2 10
1 5 13
)2(fsiduoRe =
)2('fsiduoReSegundo =
2x33x3x
2x3x3xx 2
23
−+++=
−−−+
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 50
Raíces de polinomios– La demostración es simpleDado un polinomio de grado n
011n
1nn
nn axaxaxa)x(P ++++= −− K
Al dividirlo entre (x-x1) tenemos
11n
1n
xxR)x(Q
xx)x(P
−+=
− − R)x(Q)xx()x( 1n1n +−= −reordenando P
obsérvese que en x=x1 RR)x(Q)xx()x(P 11n111n =+−= −
Teorema del residuo: el residuo de la división de un polinomio entre (x-x1) es el valor del polinomio en x=x1.
Al derivar Pn(x) se obtiene)x(Q)x('Q)xx()x('P 1n1n1n −− +−=
Al particularizar en x=x1 )x(Q)x('P 11n1n −=
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 51
Raíces de polinomios– A continuación se desarrolla el algoritmo de la división
sintética
– Al multiplicar e igualar coeficientes e x
R)bxbxb)(xx(R)x(Q)xx(
axaxaxa)x(P
011n
1n1
1n1
011n
1nn
nn
++++−=
+−=++++=
−−
−
−−
K
K
0100
1101
2n13n2n2n
1n12n1n1n
1nnn
bxRa:xbxba:x
bxba:xbxba:x
ba:x
−=
−=
−=
−=
=
−−−−
−−−−
−
M
010
1110
2n12n3n
1n11n2n
n1n
bxaRbxab
bxabbxab
ab
+=+=
+=+=
=
−−−
−−−
−
M
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 52
– Este último método se conoce como algoritmo deHorner.
– La derivada también es sencilla de evaluar, incluso se puede calcular a la vez.
p=0;
Do j=n,0,-1,
p=p*x+a(j);
end
p=0;df=0;
Do j=n,0,-1,
df=df*x+p;p=p*x+a(j);
end
df=0;
Do j=n,1,-1,
df=df*x+j*a(j);
end
Raíces de polinomios
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 53
Raíces de polinomios• Pasaremos a describir los métodos de obtención de raíces en
polinomios.– Si sólo existen raíces reales se pueden usar cualquiera de
los métodos vistos. Si bien es difícil encontrar valores iniciales, y los abiertos son susceptibles de divergencia.
– Con raíces complejas, los métodos de intervalos no se pueden usar.
– De los abiertos, el de Newton se puede usar para obtener raíces reales y complejas, pero es susceptible de problemas de convergencia.
– Por eso se describirán a continuación dos métodos especiales para encontrar tanto raíces reales como complejas.
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 54
Raíces de polinomios• Método de Muller. El método consiste en tomar una
parábola que pase por tres puntos y calcular sus raíces. Es similar al método de la secante pero usando una parábola en vez de una recta.
x
f(x)
0x1x
Raíz estimada
x
f(x)
0x 1x2x
Raíz estimada
Parábola
MullerSecante
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 55
Raíces de polinomios• La aproximación parabólica se consigue:
c)xx(b)xx(a)x(f 22
2 +−+−=
Como tiene que pasar por los puntos x0,x1 y x2
c)xx(b)xx(a)x(f
c)xx(b)xx(a)x(f
c)xx(b)xx(a)x(f
222
222
212
211
202
200
+−+−=
+−+−=
+−+−=
Operando
)xx(b)xx(a)x(f)x(f
)xx(b)xx(a)x(f)x(f
c)x(f
212
2121
202
2020
2
−+−=−
−+−=−
=Definiendo
1212
10101
0
121010
xx)x(f)x(f
xx)x(f)x(f
xxhxxh
−−=δ
−−=δ
−=−=
Sustituyendo
11211
11002
1010
hahbh
hha)hh(b)hh(
δ=−
δ+δ=−−−Operando
)x(fcahb
hha
2
11
0101
=δ+=
+δ−δ=
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 56
Raíces de polinomiosAplicando la fórmula cuadrática
ac4bb
c2xx223−±
−=−ac4bb
c2xx223−±
−=
Nótese que se usa una forma alternativa de la fórmula cuadrática para evitar problemas de redondeo. Además el empleo de esta fórmula permite calcular raíces reales y complejas.
Obtenemos dos raíces, nos quedaremos con el valor más cercano a x2, para ello el valor absoluto del cociente ha de ser máximo.
Si b>0 tomamos ac4bb 2 −+
Si b<0 tomamos ac4bb 2 −−
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 57
Métodos abiertos• El error aproximado como en los casos anteriores es:
• Vamos a usar método de la Muller para localizar las raíz de:
%100xxx323
a−=ε
i1x3x;5xx2x)x(f 0023 +=−=+−+=
Ejemplo 9-10 -5 0 5 10 15
-10
-5
0
5
10
15
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 58
Métodos abiertosIteración x0 x2 x1 xr Error aprox. Error real
1 -4.00000 -2.00000 0.00000 -2.71107 0.26228 0.079222 -4.00000 -2.71107 -2.00000 -2.91049 0.06852 0.005283 -4.00000 -2.91049 -2.71107 -2.92558 0.00516 0.000094 -4.00000 -2.92558 -2.91049 -2.92585 0.00009 0.00000
Valor exacto=-2.92585
1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Err
or re
lativ
o Error aproximado
Error real
Iteración
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 59
Métodos abiertos
x
Itera
ción
-4 -3 -2 -1 01
1.5
2
2.5
3
3.5
4
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 60
Raíces de polinomios• Método de Bairstow. Éste es un método iterativo
cuyas bases para determinar las raíces son:– Se supone un valor de la raíz, x=t.– Se divide el polinomio por (x-t).– Si el residuo es nulo, efectivamente el valor x=t es
una raíz. Si hay residuo se modifica el valor de x y se vuelve a hacer la comprobación del residuo.
• Para permitir la evaluación de raíces complejas, el método divide el polinomio original por un factor cuadrático (x2-rx-s). Una vez obtenidos los valores de r y s que anula el residuo, se obtienen las raíces mediante la fórmula cuadrática.
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 61
Raíces de polinomios• Partiendo de:
• Al multiplicar e igualar coeficientes01
232n
n2
2n2
011n
1nn
nn
b)rx(bRR)bxbxb)(srxx(
R)x(Q)srxx(axaxaxa)x(P
+−=++++−−=
+−−=
++++=
−−
−−
K
K
2100
3211
1n2n3n3n
n1n2n2n
n1n1n
nn
sbrbbasbrbba
sbrbbasbrbba
rbbaba
−−=−−=
−−=−−=
−==
−−−−
−−−
−−
M
2100
3211
1n2n3n3n
n1n2n2n
n1n1n
nn
sbrbabsbrbab
sbrbabsbrbab
rbabab
++=++=
++=++=
+==
−−−−
−−−
−−
M
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 62
Raíces de polinomios• Lógicamente es deseable que los valores de b1 y b0
sean nulos, porque así el residuo será nulo. Normalmente esto no sucede, y tengo que modificar tanto r como s. Como los valores de b1 y b0dependen de r y s los desarrollo como una serie de Taylor, y tomo los términos de primer orden.
• Nótese que igualo ambas expresiones a cero, porque mi objetivo es que al tomar los nuevos valores de r y s el residuo sea nulo.
0ssbr
rbb)ss,rr(b
0ssbr
rbb)ss,rr(b
0000
1111
=∆∂∂+∆
∂∂+=∆+∆+
=∆∂∂+∆
∂∂+=∆+∆+
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 63
Raíces de polinomios• Por tanto he de resolver el sistema.
• Si las derivadas parciales de las b se pueden determinar, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
• Bairstow demostró que las derivadas parciales requeridas pueden obtenerse a partir de las b por medio de una segunda división sintética entre el factor (x2-rx-s).
000
111
bssbr
rb
bssbr
rb
−=∆∂∂+∆
∂∂
−=∆∂∂+∆
∂∂
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 64
Raíces de polinomios
2301454n
n22
01232n
n2
011n
1nn
nn
c)rx(cb)rx(b)cxcxc)(srxx)(srxx(b)rx(b)bxbxb)(srxx(
axaxaxa)x(P
+−++−++++−−−−=
+−++++−−=
++++=
−
−
−−
K
K
K
24321321
22102
110
354324323211
33213
221
4322
1nn1n2nn1n2n
1n1n2n3n1n
2n2n3n
1n2n3n3n
n0n1n2n
1n1n1n2n
n1n2n2n
nn1nnnn
n1nn1n1n
nnnn
cscrcbcscrcb
bsbs
sbr
sb
rbsb
rbr
rb
cscrcbcscrcbscrcbc
bsbs
sbr
sb
rbsb
rbr
rbscrcbc
crcbcscrcb
bs
bss
brs
br
bsbr
brr
bscrcbc
bbsbs
sbr
sbcb
rbr
rbscrcbc
0sbr
sb
sbcbb
rbr
rbrcbc
0sb0
rbbc
=++==++=
+∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
++∂∂
=∂∂
=++==++=++=
+∂∂+
∂∂=
∂∂
∂∂++
∂∂=
∂∂++=
=+==++=
+∂
∂+
∂∂
=∂
∂∂
∂++
∂∂
=∂
∂++=
==∂∂
+∂
∂=
∂∂
=+∂
∂=
∂∂
++=
=∂∂+
∂∂=
∂∂==+
∂∂=
∂∂+=
=∂∂
=∂∂
=
−−−−−
−−−−−
−−−
−−−−
−−−−
−−−−−
−−−−
MMM
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 65
Raíces de polinomios• Veámoslo con un ejemplo, encontrar los factores
cuadráticos de03.3x5.0x3.2x1.1x 234 =+++− tomando 1sy2r −=−=
1s −=
1 -1.1 2.3 0.5 3.3
-2.0 6.2 -15 22.8
-1.0 3.1 -7.5
1 -3.1 7.5 -11.4 18.6
-2.0 10.2 -33.4
-1.0 5.1
1 -5.1 16.7 -39.7
1b
2r −=
0b
3c 2c 1c
4a 3a 2a 1a 0a
1x2x6.18)2x(4.115.7x1.3x
1x2x3.3x5.0x3.2x1.1x
22
2
234
++++−++−
=++
+++−
22
22
234
)1x2x(7.16)2x(1.51
)1x2x(3.3x5.0x3.2x1.1x
++++−+
=++
+++−
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 66
Raíces de polinomios• El sistema se transforma en.
• Resolviendo el sistema tenemos los incrementos de los valores iniciales de r y s.
• Los errores aproximados en r y s se pueden calcular como:
021
132bscrcbscrc
−=∆+∆
−=∆+∆
%100ss
%100rr
s,a
r,a
∆=ε
∆=ε
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 67
Raíces de polinomios• Cuando ambos errores son menores que uno dado,
se calculan las raíces mediante la fórmula cuadrática.
• En este punto hay tres posibilidades:– El cociente es un polinomio de tercer grado o mayor,
se vuelve a aplicar el método tomando como valores r y s los anteriores.
– Cociente cuadrático, se evalúan directamente las raíces.
– El cociente es un polinomio de primer orden, la raíz se evalúa como
2ac4rrx
2 −±=
rsx −=
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 68
Métodos abiertos• Vamos a usar método de Bairstow para localizar las
raíz de: %11sr;25.1x875.3x125.2x75.2x5.3x)x(f s
2345 =ε−==+−++−=
-2 -1 0 1 2 3-10
-5
0
5
10
i5.01xi5.01x
2x5.0x1x:Raíces
−=+=
==−=
Ejemplo 10
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 69
Métodos abiertos• Vamos a usar método de Bairstow para localizar las
raíz de: %11sr;25.1x875.3x125.2x75.2x5.3x)x(f s
2345 =ε−==+−++−=
-2 -1 0 1 2 3-10
-5
0
5
10
i5.01xi5.01x
2x5.0x1x:Raíces
−=+=
==−=
Ejemplo 10
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 70
Raíces de polinomios• Método de Laguerre.Sea
• Calculando la derivada de
• Calculando la segunda derivada de
• Sea x1 la raíz a determinar, se supone que las demás raíces están lejos de x1, y agrupadas en torno a x=X (hipótesis temeraria pero que funciona). Definiendo
ln
)xx()xx)(xx)(xx()x(P n321n −−−−= K
nP
∑= −
==n
1i in
n)xx(
1P'PA
nPln
∑= −
=−=n
1i2
i2n
nnnn)xx(
1P
'P'PP''PB
E. T. S. I. Caminos, Canales y Puertos 71
Raíces de polinomios
,b)1n(
a1B
,b)1n(
a1A
22−+=
−+=
• A partir de aquí se elimina b:
• donde se usa el signo “+” si A es positiva y menos si es negativa. Comenzamos con un valor de x0, calculamos a, y en la siguiente iteración usamos el punto x1=x0-a, y así sucesivamente hasta que a sea lo suficientemente pequeño.
,a)AnB)(1n(A
n2−−±
=