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Cap 2: Cap 2: Ecuaciones No-LinealesEcuaciones No-Linealesy raices polinomialesy raices polinomiales

Prof: J. Solano2018-I

Universidad Nacional de IngenieríaFacultad de Ciencias

Cálculo Numérico 1IF321

Cálculo Numérico 1 - IF321

INTRODUCCIONINTRODUCCION

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En Física a menudo nos encontramos con el problema de determinar la raíz de una función f (x). Sobre todo, es posible que necesitemos resolver ecuaciones no lineales de una variable.

Tales ecuaciones son generalmente divididas en dos clases: ecuaciones algebraicas que involucran raíces de los polinomios y ecuaciones trascendentales.

Cuando sólo hay una variable independiente, el problema es 1D, es decir, encontrar la raíz o raíces de una función.

Salvo en los problemas lineales, la búsqueda de raíces siempre se procede por iteración, y esto es igualmente cierto en una o en muchas dimensiones.

Esto significa que a mano no podemos resolver exactamente las ecuaciones.

Empezamos con alguna solución aproximada de prueba. El algoritmo elegido, a su vez mejorara la solución hasta que cierto determinado criterio de convergencia es satisfecho.

Los algoritmos que comentamos a continuación tratan de implementar esta estrategia. Nos ocuparemos principalmente de problemas 1D.


Ecuación de Schrodinger (ES)Ecuación de Schrodinger (ES)

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Ejemplos de ecuaciones trascendentales al resolver la Ecuacion de Schrodinger (ES) para un particula en una caja de potencial. La ES 1D para una particula de masa m es:

Estados ligados corresponden a energia negativa E y estados de scattering a energias positivas.



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Si vemos los estados límite E < 0 e implementamos las CF en la función de onda se obtiene:

Por continuidad de funcion de onda en r = a se obtiene la ec. trascendental

Este tipo de ecs. puede resolverse por los metodos de Biseccion, de Secante, Falsa posicion y metodos de Brent, metodo de Newton-Raphson.

La estrategia consiste en hallar las raices de f(E)=0



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Plot f(E) vs |E| en MeV. f(E) tiene dimension MeV. E es para estados ligados.

V0=20 MeV, a=2 fm, m =938MeV.

Del plot vemos que solucion es cerca de |E|~2.2MeV (energia enlace deuteron)


Métodos de IteraciónMétodos de Iteración

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Resolver f(x)=0 es hallar los números s tq f(s)=0. Procuramos un x0 (dentro de

tolerancia ), que es solución de f(s) = 0 si

Podemos usar otro criterio como y |f(x0)|< ó combinación de ellos.

Eso no asegura la convergencia => criterio de Lipschitz: si la funcion f, definida en [a,b] satisface para todo x

1 y x

2, de dicho intervalo, la condicion

f es continuo en [a,b], => la secante da

con x1 , x

2 , dentro de [a,b].

Entonces tenemos:

Condic.convergencia: f definido en [a,b] y satisface condición de Lipschitz con k<1

Si xn es valor de x después de n iteraciones:


Métodos de IteraciónMétodos de Iteración

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Numéricamente es difícil hallar el punto exacto donde f(s)=0, por lo que en esta solución numérica se implementan tres tests del tipo:

1. |xn – s| <

2. |f(s)| <

3. un número máximo de iteraciones Nmax-iter


Métodos de BisecciónMétodos de Bisección

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Este método es extremadamente simple de codificar. Puede explicarse mejor mediante la elección de una región (por ej. en fig. anterior) cerca de donde f(E)=0. En nuestro caso |E|~2.2.

Elegir un región [a,b] de modo que a=1.5 y b=3. Esto debe abarcar el punto donde f=0.

Definir entonces el punto c =(a+b)/2 y calcule f(c).

Si f(a)f(c)<0, la solucion cae en la region [a,(a+b)/2]. Cambia b←c y calcula un nuevo valor de c.

Si f(a)f(c)>0, la solucion cae en la region [(a+b)/2,b]. Cambia a←c y calcula un nuevo valor de c.

Se continua dividiendo el intervalo por la mitad en cada iteracion hasta alcanzar un c tal que f(c)~0, dentro de una precision numerica dada.



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El método de biseccion es una prueba del metodo iteractivo, aunque converge lentamente. Despues de n divisiones por 2 tenemos una posible solucion en el intervalo

y si tenemos que x0=(a+b)/2 y x

n el punto medio en el intervalo despues de n iteraciones

ya que el n-simo intervalo tiene longitud |b-a|/2n. Este criterio de convergencia es independiente de f(x).

Ejemplo: suponga que queremos saber cuantas iteraciones se necesitan para obtener una precision relativa de 10-12 para x

n en el intervalo [50,63].

En nuestro caso es suficiente estudiar s≥50, que resulta en

Con lo que obtenemos dando n ≥ 37



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Iteración de punto fijoIteración de punto fijo

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Un número p es un punto fijo para una función g si f(p)=p . Aquí veremos el caso de hallar soluciones a problemas de punto fijo y su relación con problemas para hallar la raíz.

Problemas para hallar la raíz y problemas de punto fijo son clases equivalentes en este sentido:

Dado el problema para hallar la raíz f(p)=0, podemos definir funciones g con un punto fijo p en diferentes maneras, ej: g(x)=x-f(x) ó g(x)=x+3f(x).

Ó inversamente, si la función g tiene un punto fijo p, entonces la función definida por f(x)=x-g(x) tiene un zero en p.

Por ejemplo: la función g(x) = x2 − 2, for −2 ≤ x ≤ 3, tiene puntos fijos x =−1 y x = 2 dado que g(−1) = (−1)2 − 2 =−1 y g(2) = 22 − 2 = 2.


Iteración de punto fijoIteración de punto fijo

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Existe teorema que da las condiciones suficientes de existencia y unicidad de punto fijo.


Método (abierto) de Newton-RaphsonMétodo (abierto) de Newton-Raphson

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f(x) en serie de Taylor

Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en xn+1

:

Si además se acepta que tiende a la raíz, se ha de cumplir que , luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.

Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación f(x)=0, se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:

Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:

Entonces:

Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:

Por tanto, imponiendo subíndices:



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Método de la secanteMétodo de la secante

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Cuando la funcion f(x) es “smooth” cerca de la raiz, los metodos de la Secante y de Posicion falsa (regula falsi) en general convergen mas rapido que el metodo de biseccion pero menos rapido que el de Newton-Raphson

De la definicion de derivada

y el metodo de Newton-Raphson

obtenemos



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