Tanulási folyamat tervezése

Koordinátageometria

11. évfolyam, emeltszint

Kerettanterv és érettségi követelményrendszer 2.Tanmenet-részlet 3.Fogalomtérkép 5. Óraterv 6.Dolgozat 12.

Tantárgy: Matematika tanítása 4G.

Készítette: Kapin Lilla, Miskei Ferenc, Szauer Csilla1

Kerettanterv

- Emelt szinten 28 óra biztosított- Ismeretekre vonatkozó követelmények: A Descartes-féle koordinátarendszer, helyvektor és a szabadvektor, vektor abszolútértékének

kiszámítása, két pont távolságának kiszámítása, két vektor hajlásszöge, szakasz osztópontjának koordinátái, a háromszög súlypontjának koordinátái, az egyenes helyzetét jellemző adatok: irányvektor, normálvektor, irányszög, iránytangens, az egyenes egyenletei, adott pontra illeszkedő, adott normálvektorú egyenes, illetve sík egyenlete, adott pontra illeszkedő, adott irányvektorú egyenes egyenlete síkban, egyenletrendszere térben, iránytényezős egyenlet, két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének a feltétele, két egyenes metszéspontja, két egyenes szöge.

- Nevelési, fejlesztési célok: Elemi geometriai ismeretek megközelítése új eszközzel. Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. Számítógép használat.

Érettségi követelmények

Közép EmeltTudja kiszámítani A⃗B vektor koordinátáit, abszolútértékétTudja kiszámítani két pont távolságát.Tudja kiszámítani szakasz felezőpontjának, harmadoló pontjainak koordinátáit, alkalmazza ezeket feladatokbanTudja felírni a háromszög súlypontjának koordinátáit, alkalmazza ezt feladatokbanTudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét.Tudja kiszámítani egyenesek metszéspontjának koordinátáit.Ismerje az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességénekkoordinátageometriai feltételeit.

Igazolja a szakasz felezőpontja és harmadoló pontjai koordinátáinak kiszámítására vonatkozó összefüggéseket.Tudja kiszámítani szakasz n: m arányú osztópontjának koordinátáit.Igazolja a háromszög súlypontjának koordinátáira vonatkozó összefüggést.Tudja levezetni az egyenes egyenletét a síkban különböző kiindulási adatokból.Tudja síkbeli egyenesek hajlásszögét meghatározni.

2

Tanmenet-részlet

Óra

Óra témája Ismeretanyag Megjegyzések

1. Vektorok helyvektor, szabadvektor, bázisvektor fogalma, két vektor összegének, különbségének koordinátái, vektor számszorosának koordinátái, vektor ellentettjének koordinátái, vektorok skaláris szorzata

Egyértelmű vektorfelbontási tétel

Ismétlő óra, a vektorokkal már foglalkoztunk a trigonometria témakörénél

Játékos óra: csapatverseny, a győztes csapat tagjai jutalmat kapnak

2. Két pont távolsága, két vektor hajlásszöge

Két pont távolsága egyenlő a két pont által meghatározott vektor abszolút értékével

Skalárszorzat kétféle definíciójának alkalmazása

Ismétlő óra

Geogebra használata 3. Szakasz

felezőpontjának, és harmadolópontjának a koordinátái

A felezési pont koordinátái a határoló pontok megfelelő koordinátáinak számtani közepével egyenlők

Közös bizonyítás

Következő órára lehet gondolkodni a háromszög súlypontjára vonatkozó állításon és tetszőleges osztópontok meghatározásán

4. Háromszög súlypontjának koordinátái

Szakasz osztópontjainak koordinátái

A háromszög súlypontjainak koordinátái a csúcsok megfelelő koordinátáinak számtani közepeként adódik

Visszavezetni a felezőpontra és harmadolópontra vonatkozó ismeretekre

Akinek sikerült a bizonyítás előadhatja

Geogebra használata

Házi feladat: Az eddigi órákhoz kapcsolódó feladatok készítése

5. Gyakorló, ismétlő óra

Az első 4 óra anyaga Páros munka, A tanulók által készített feladatok megoldása, legkreatívabb feladat készítőjének jutalom

6. Egyenest irányvektor, normálvektor, irányszög, iránytangens Geogebra használata3

meghatározó adatok a koordináta rendszerben

definíciói

Két egyenes merőlegességének és párhuzamosságának feltétetelei

Óra végén Kahoot-os összefoglaló a megtanult definíciók átismétlésére

7. Egyenes egyenlete I.

Egyenes normálvektoros egyenlete Az óra eleje röpdolgozattal kezdődik, mert az eddigiek szükségesek a következő anyagok megértéséhez

Közös levezetés a táblánál először egy példával, majd általánosítás

8. Egyenes egyenlete II.

Pontjával és irányvektorával adott egyenes egyenlete

Pontjával és iránytangensével adott egyenes egyenlete

Közös levezetés a táblánál, mindkét esetben a normálvektoros egyenletre vezetjük vissza a problémát

9. Egyenes egyenlete III.

Két pontjával adott egyenes egyenlete

Egyenes egyenletének tengelymetszetes alakja

Közös levezetés a táblánál

10. Háromszög nevezetes vonalainak egyenlete

Egyenes egyenletének felírása megadott adatokból

Súlyvonal, magasságvonal definíciói

Cél: Gyakorló óra, előző órákon tanultak elmélyítése

Kiselőadás: Euler egyenes 11. Két egyenes

metszéspontjaKét síkbeli metsző egyenes metszéspontjának koordinátái a két egyenes egyenletéből álló egyenletrendszer megoldásai

Kétismeretes egyenletrendszer megoldási módjai

Háromszög nevezetes pontjainak kiszámítása különböző feladatokban

12. Két párhuzamos egyenes távolsága, pont és egyenes távolsága

Kétismeretlenes egyenletrendszer megoldási módjai

13. Egyenesek hajlásszöge

Két egyenes hajlásszöge megegyezik irányvektorainak szögével

4

14. Összefoglalás A tanult ismeretek rendszerezése, ismétlése Páros munka, Geogebra használata15. Dolgozat

Fogalomtérkép

5

Óraterv a 4. órához (szakasz harmadoló iletve n-edelőpontjainak koordinátái, háromszög súlypontjának koordinátái)

Előzetes ismeretek:

- Geometriai alapfogalmak: pontok, szakaszok, szakaszfelező, szakaszharmadoló pontok definíciója- Algebrai alapismeretek: Súlyozott számtani közép

Célok:

- Megértés szintjén: Vektorok konvex, affin kombinációja, az a :b arányú osztópont analógiája két tömegpontból álló rendszer tömegközéppontjával- Alkalmazás szintjén: Szakaszfelező, szakaszharmadoló pontok koordinátáinak meghatározása a szakasz végpontjaiból. Háromszög súlypontjának

meghatárpzása a csúcsok koordinátáiból.

Rész Idő Tartalom Cél Munkaforma Eszköz Megj.1. 00-

03Óra eleji teendők, admiisztráció

- - - -

2. 03-10

Házifeladat ellenőrzés, általános arányú osztópont koordinátáira von. Tétel biz.

Előző óra anyagának átismétléseBizonyítás igényének és készségének építéseA tétel állításának megismerése

Táblai munka T vagy egy D a táblánál

tábla, toll/kréta

A korábbi óra anyagának (szakaszfelező-pont koordinátának kiszámítása) felelevenítése – szükséges a továbbiakhozA feladott szorgalmi (mai anyag) megbeszélése, ha valaki(k)nek sikerült bebizonyítani, ha nem, akkor T előadja.

Kapcsolódás: Fizika: Két pontból álló rendszer tömegközéppontja3. 10-

18A fenti tétel alkalmazása feladatokban

Az újonnan megismert összefüggés alkalmazása konkrét esetekben,Képletbe helyettesítés készségének gyakorlása

Páros Munkafü-zet, füzet, íróeszköz

Sok gyakorlás nem szükséges, a felezőpontra vonatkozó azonosság után elég intuitív az összefüggés használata. Érdemes látni azt a használatát is, amikor a szakasz másik végpontját keressük egy osztópont ismeretébenFeladatok: MF (MOZAIK – Sokszínű matek 11. – 3596 b,c,-3597 a,; 3607) HF: 3608-as

4. 18-30

A felező-és harmadolópontos esetből a háromszög

Az újonnan megismert összefüggés alkalmazása egy fokkal absztraktabb esetben,Matematika felépülésének

Egyéni FüzetÍróeszköz

Először felelevenítendő, hogy a háromszög súlypontja a súlyvonalakat háromszög oldához közelebbi harmadolópontjában osztja. Ezek és egy ábra alapján le kéne tudniuk vezetni.Egyéni felfedezés, ellenőrzés közösen, lassan, hogy ha valakinek nem

6

súlypontjána alapelve, bizonyítás készségének fejlesztése

lett meg, az is közben rá tudjon jönni

5. 30-35

Gyakorló feladatok a háromszög súlypontjára vonatkozóan

Új ismeret alkalmazása konkrét esetben3603 b-ben gyökös kifejezések manipulálásának ismétlése

Egyéni Íróeszköz munkafü-zet, füzet

Unalmas lehet már, hogy megint képletbe helyettesítünk, nem célszerű sok feladatot adni, „csak essünk túl rajta”Feladatok: 3603 a,b, 3604 a,HF: 3603 c, 3604 b.

6. 35-45

Levezető „mese” a térbeli koordinátageomet-riáról

Óra végi „levezetés”Az analitikus geometria felé kitekintésMatematika néhány gyakorlati alkalmazásának megemlítése

Frontális - A háromdimenziós tér koordinátázása, gyakorlati alkalmazások (pl GPS, fizika) – Kiselőadás téma valamikorra?

Szorgalminak meggondolható a tetraéder súlypontjára vonatkozó képlet, felhasználva, hogy a súlypontja a súlyvonalait 1:3 arányban osztja.

Házi feladat: 3608, 3603 c, 3604 b.

7

8

Dolgozat

1. Adott az ABC háromszög csúcsainak koordinátái: A(2; 3); B(13; 4); C(6; 9). Határozzuk mega) az α (A csúcsnál lévő) szög nagyságát; (5p)b) az ABC háromszög területét! (3p)

megoldás:

1-1p a két vektor hossza

1p az egyenlet

1p az átrendezés

1p a megoldás

2p a képlet, 1p a megoldás

2. Adott az A(2; 3) és B(10; 6) pont. Hol vannak a síkban azok a P pontok, amelyekre teljesül az AP2 − BP2 = 20 összefüggés? (6p)

megoldás:9

A P(x; y) pontra a feltétel akkor és csak akkor teljesül, ha: (x − 2)2 + (y − 3)2 − (x − 10)2 − (y − 6)2 = 20 (3p)Az egyenletet rendezve egy egyenes egyenletét kapjuk: e: 16x + 6y = 143 (1p)

Az e egyenes normálvektora ne = (8; 3); az AB = (8; 3). Az e egyenes normálvektora megegyezik az AB egyenes irányvektorával, tehát a keresett ponthalmaz az AB szakaszra merőleges egyenes. (2p)

3. A PQR háromszög csúcsai: P -6; -1 , Q 6; -6 és R 2; 5 . a) Írja fel a háromszög P csúcsához tartozó súlyvonal egyenesének egyenletét! (5p)b) Számítsa ki a háromszög P csúcsnál lévő belső szögének nagyságát! (5p)

megoldás:a) A kérdéses súlyvonalra a P csúcs és a vele szemközti oldal felezőpontja illeszkedik. (1p)

A QR szakasz felezőpontja F 4; -0,5. (1p)A súlyvonal egy irányvektora: PF 10; 0,5. (1p)

10

A súlyvonal egyenlete: x – 20y = 14. (2p)b) (A kérdéses szöget a háromszög oldalvektorai skalárszorzatának segítségével lehet meghatározni.) Az oldalvektorok PQ 12; -5

és PR 8; 6. (2p a két vektor)A két vektor skalárszorzata a koordinátákból: PQ · PR 12 · 8 + 5 · 6 = 66. (1p)Az oldalvektorok hossza PQ 13 és PR 10 A két vektor skalárszorzata a definíció szerint: PQ · PR 66 13 10 cos ,

(1p)ahol a két vektor által bezárt szöget jelöli. Innen 59,5° (mivel 0 180 ) (1p)

4. Egy háromszög súlypontja S(1; 3), az AB oldal felezőpontja F(1/2; 3/2) és egyik csúcsa B(4; 2). Határozd meg a hiányzó csúcsokat és az AC oldal felezőpontjának koordinátáit! (6p)

megoldás:

F és B-ből A könnyen megkapható: A(a1; a2), 12=a1+4

2→a1=−3 ; 3

2=a2+2

2→a2=1 tehát A(-3; 1) (2p)

A, B és S ismeretében C(c1; c2): 1=−3+4+c1

3→c1=2 ;3=

1+2+c2

3→c2=6 tehát C(2; 6) (2p)

AC oldal felezőpontja: E(e1; e2): e1=−3+2

2=−1

2;e2=

1+62

=72 tehát E(-1/2; 7/2) (2p)

5. Egy háromszög csúcspontjai: A(-2; -1) , B(4; -3) és C(4; 5). Számítsd ki a b oldal és az mb magasságvonal metszéspontját! Milyen távol van ez a pont a B csúcstól? (10p)

megoldás:b oldalegyenesének egy pontja: A(-2; -1); irányvektora: AC(6; 6) = (1; 1). (1p)Ebből az egyenes egyenlete:

11

1 ∙ x−1 ∙ y=1∙ (−2 )−1∙ (−1 )→ y=x+1 (2p)mb magasságvonal normálvektora AC (1; 1); (1p)egy pontja B(4; -3). Ebből az egyenes egyenlete: 1 ∙ x+1∙ y=1 ∙4+1∙ (−3 )→y=−x+1 (2p)A két egyenes metszéspontja: y=x+1és y=−x+1→M (0 ;1) (2p)

MB(4; -4) szakasz hossza: d=√42+(−4 )2=4 √2 (2p)

Pontozás:összesen: 40p0-15: 116-21: 222-27: 328-33: 434-40: 5

12