yunimatematika09.files.wordpress.com€¦ · web viewbatasan masalah. dalam makalah ini, masalah...
TRANSCRIPT
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Sebagai seorang manusia kita tidak tahu apa yang akan terjadi di masa yang akan
datang, oleh karena itu terkadang kita membuat suatu peramalan untuk menentukan apa yang
akan terjadi di kemudian hari.
Peramalan yang baik adalah peramalan yang di dasarkan pada beberapa metode,
salahsatunya adalah peramalan dengan menggunakan metode runtun waktu.
Biasanya metode peramalan runtun waktu menggunakan metode Box Jenkins. Metode
ini digunakan untuk data univariat (tunggal) yang di dalamnya diperlukan konsep
kestasioneran dan ketakstasioneran data, autokovarians, operator backshift dan operator
differensi, autokorelasi, serta autokorelasi parsial. Dalam metode ini dikenal proses
autoregressive (AR), proses moving average (MA), proses campuran atau autoregressive
moving average (ARMA). Sedangkan untuk data runtun waktu nonstasioner dikenal proses
integrated autoregressive moving average (ARIMA).
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah
ini adalah sebagai berikut :
1. Bagaimana cara untuk mengidentifikasi suatu model?
2. Bagaimana mengestimasi parameter dalam suatu model?
3. Bagaimana cara untuk memverifikasi suatu model?
4. Bagaimana meramalkan data dari model?
C. Batasan MasalahDalam makalah ini, masalah yang dibahas akan dibatasi untuk metode peramalan
univariat Box Jenkins, baik itu model AR, MA, ARMA, ataupun ARIMA.
D. Tujuan Penelitian
Secara umum, penelitian ini bertujuan untuk mempelajari tahap-tahap peramalan dari
data runtun waktu yang telah diperoleh, yaitu :
1. Mampu mengidentifikasi model dari data runtun waktu.
1
2. Mampu mengestimasi parameter yang ada dalam model.
3. Mampu memverifikasi suatu model.
4. Mampu meramalkan data runtun waktu untuk beberapa periode waktu yang akan datang.
Secara khusus, penelitian ini bertujuan untuk meramalkan angka kematian balita di
Indonesia untuk 5 bulan kedepan.
E. Manfaat yang Diharapkan
Makalah penelitian ini tentunya akan memberikan banyak manfaat, baik bagi
mahasiswa maupun bagi kalangan lainnya. Bagi mahasiswa, makalah penelitian ini merupakan
media untuk menambah pengetahuan baru serta pengalaman dalam hal penelitian. Sedangkan
untuk kalangan lainnya, bisa menjadi sumber rujukan maupun bacaan untuk meningkatkan
kemampuan diri dalam menggali dan menumbuhkembangkan ilmu, serta memberikan motivasi
untuk melakukan penelitian, khususnya di bidang statistika.
F. Metode Penelitian
Metode yang dipergunakan dalam penelitian ini adalah mencari data runtun waktu
dan mengolahnya dengan menggunakan software Minitab versi 16.
2
BAB II
STUDI PUSTAKA
A. Metode Runtun Waktu
Runtun waktu adalah susunan observasi berurut menurut waktu. Suatu runtun waktu
dapat dipandang sebagai suatu realisasi dari proses stokastik (statistik). Jika fkp gabungan
dari runtun waktu tidak dipengaruhi oleh perubahan waktu maka runtun
waktu tersebut disebut stasioner. Jika tidak demikian maka disebut runtun waktu
nonstasioner. Untuk runtun waktu stasioner berlaku:
1) (mean proses)
2) (Autokovarian pada lag ke-k)
B. Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
Dalam metode runtun waktu, alat utama untuk mengidentifikasi model dari data yang ingin
kita ramalkan adalah menggunakan fungsi autokorelasi (fak) dan fungsi autokorelasi parsial
(fakp).
1. Fungsi Autokorelasi (fak)
Fungsi autokorelasi adalah himpunan semua autokorelasi untuk berbagai lag, ditulis
ρk (k=1 , 2 ,…) dengan ρ0=1.
Autokorelasi lag ke-k didefinisikan oleh:
ρk=Cov (z t , zt−k)
√Var (zt)√Var ( zt −k)
Pada umumnya, μ dan γk ditaksir oleh :
μ= z= 1N ∑
t=1
N
zt dan γk=C k=∑t=1
N
(zt−z)(z t−k−z),
sedangkan autokorelasi lag ke-k ditaksir oleh ρk=rk=yk
y0=
Ck
C0.
Untuk runtun waktu stasioner yang normal, Bartlett menyatakan bahwa variansi dari rk
dirumuskan sebagai:
Var (rk ) ≈ 1N (1+2∑
i=1
k
ri2) , N ≥50
3
2. Fungsi Autokorelasi Parsial (fakp)
Matriks autokorelasi berukuran N didefinisikan oleh :
PN=[1ρ1
ρ1
1ρ2
ρ1
ρ3
ρ2
……
ρN −1
ρN −2
ρ2
ρ3
ρ1
ρ2
1ρ1
ρ1
1……
ρN −3
ρN−4
⋮ρN −1
⋮ρN−2
⋮ρN−3
⋮ρN −4
⋱…
⋮1
].Autokorelasi parsial lag ke-k dinotasikan oleh ϕkk yang didefinisikan oleh :
ϕkk=|Pk
¿||Pk|
, di mana Pk¿ adalah Pk dengan kolom terakhir diganti oleh [ ρ1
ρ2
⋮ρk
]. Fungsi
autokorelasi parsial (fakp) adalah himpunan autokorelasi parsial untuk berbagai lag, ditulis
{ϕkk , k=1 , 2, …}.
Untuk lag yang cukup besar, Quinouille menyatakan bahwa var (ϕkk)≈ 1N . Jika
|r k|<2 SE(rk) untuk k > K, maka fakp tidak berbeda secara signifikan dengan nol (terputus
setelah lag ke-K).
C. Model-model Runtun Waktu Box-Jenkins
1. Model untuk Data Stasioner
a. Proses Auto Regresive (AR)
Bentuk umum dari proses AR tingkat p, ditulis AR (p) adalah:
z t=ϕ1 z t−1+ϕ2 zt−2+…+ϕp z t− p+at atau π (B ) z t=at
dimana a t N (0 , σa2).
1) AR (1)
Bentuk umum dari proses AR (1) adalah z t=ϕ zt−1+at. Variansi dari z t adalah
σ z2=
σa2
1−ϕ2, sehingga daerah stasioneritas untuk proses AR (1) harus memenuhi
−1<ϕ<1. Adapun ciri dari proses AR (1) terdiri dari :
4
Fak untuk AR (1) adalah ρk=ϕk. Pada selang 0<ϕ<1, fak turun secara
eksponensial menuju nol sedangkan pada selang −1<ϕ<0, fak turun secara
eksponensial menuju nol sambil bergantian tanda.
Fakp terputus setelah lag ke-1 ( ϕ11=ρ1=ϕ,ϕkk=0 , k ≥2 ).
2) AR (2)
Bentuk umum dari proses AR (2) adalah z t=ϕ1 zt−1+ϕ2 zt−2+at . Variansi dari
adalah σ z2=
(1−ϕ2 ) σ a2
( 1+ϕ2 ) (1−ϕ1−ϕ2 ) (1+ϕ1−ϕ2) sehingga daerah stasioneritas untuk proses
AR (2) harus memenuhi −1<ϕ2, ϕ1+ϕ2<1, dan −ϕ1+ϕ2<1. Adapun ciri dari proses
AR (2) terdiri dari :
Fak untuk proses AR (2) adalah ρk=ϕ1 ρ k−1+ϕ2 ρk−2, turun secara eksponensial
menuju nol.
Fakp terputus setelah lag ke-2 (ϕ11=ϕ1
1−ϕ2, ϕ22=ϕ2 , ϕkk=0 , k≥ 3)
Secara umum, ciri teoretik proses AR (p) terdiri dari :
Fak turun secara eksponensial menuju nol.
Fakp terputus setelah lag ke-p.
b. Proses Moving Average (MA)
Bentuk umum dari proses MA tingkat q, ditulis MA (q) adalah
z t=at+θ1 at−1+θ2 at−2+…+θq a t−q atau z t=θ (B )a t, di mana a t N (0 , σa2).
Jika q berhingga, maka runtun waktu tersebut selalu stasioner.
Bentuk z t=θ (B )a t dapat ditulis sebagai θ ( B )−1 z t=a t atau
(1−π 1 B−π2 B2−…) z t=at. Jika π1 , π2 , … merupakan deret yang konvergen, maka proses
MA (q) tersebut dikatakan invertibel (dapat dibalik).
Dengan kata lain, proses MA ekivalen dengan proses AR, yaitu :
MA (q) dengan model z t=θ (B )a t ekivalen dengan proses AR
π (B ) z t=at dengan orde .
AR (p) dengan model ekivalen dengan proses MA dengan
orde .
5
1) MA (1)
Bentuk umum dari proses MA (1) adalah .
Ciri dari proses MA (1) terdiri dari :
a) Fak terputus setelah lag ke-1 .
b) Fakp untuk proses MA (1) adalah , turun secara geometris
menuju nol.
c) Daerah invertibel memenuhi .
2) MA (2)
Bentuk umum dari proses MA (2) adalah .
Ciri dari proses MA (2) terdiri dari :
a) Fak terputus setelah lag ke-2
.
b) Fakp turun secara geometris menuju nol.
c) Daerah invertibel memenuhi , , dan .
Secara umum, ciri teoretik proses MA (q) terdiri dari :
Fakp turun secara eksponensial menuju nol.
Fak teputus setelah lag ke-q.
c. Proses Auto Regresive Moving Average (ARMA)
Bentuk umum dari proses ARMA (p,q) adalah
atau
.
Model ARMA dapat ditulis sebagai model MA, yaitu atau model AR, yaitu
, di mana dan . Adapun ciri teoretik
dari proses ARMA (p, q) adalah grafik dari fak dan fakpnya turun secara eksponensial
menuju nol.
2. Model untuk Data NonStasioner
Model ARIMA merupakan bentuk model untuk runtun waktu nonstasioner. Biasanya,
runtun waktu nonstasioner disebabkan karena runtun waktu mempunyai rata-rata yang tidak
6
tetap. Adapun runtun waktu nonstasioner homogen adalah runtun waktu yang walaupun
bergerak bebas pada suatu lokasi tetapi gerakannya pada lokasi lain pada dasarnya sama.
Runtun waktu ini ditandai oleh suatu runtun waktu di mana selisih data yang berurutannya
adalah stasioner.
Misalkan runtun waktu stasioner wt ARMA (p, q)
w t=ϕ1 wt−1+…+ϕ p wt−p+at +θ1 at−1+…+θq at−q dan misalkan data para wt diperoleh dari
selisih data para zt yang tidak stasioner (data mentah). Karena w t= zt−zt −1, maka persamaan
w t=ϕ1 wt−1+…+ϕ p wt−p+at +θ1 at−1+…+θq at−q dapat ditulis sebagai
z t=(1+ϕ1 ) zt−1+ (ϕ2−ϕ1 ) z t−2+…−ϕ p zt− p−1+at +θ1 at−1+…+θq a t−q. Persamaan terakhir
inilah yang disebut dengan persamaan differensi.
Dari bentuk w t= zt−z t−1, diperoleh z t=wt +zt−1, z t−1=wt −1+zt−2, z t−2=wt−2+z t−3, ...
sehingga z t=wt +w t−1+wt−2+….
Ini berarti bahwa zt dapat dinyatakan sebagai jumlah (integrasi) para wt. Akibatnya,
persamaan differensi disebut auto regresive integrated moving average (ARIMA (p, 1, q)).
Jika d menyatakan banyaknya penyelisihan yang dilakukan sampai runtun waktu menjadi
stasioner, maka runtun waktu nonstasioner dinyatakan dengan ARIMA (p, d, q). Artinya,
runtun waktu tersebut akan stasioner menjadi ARMA (p, q) setelah diselisihkan d kali.
Runtun waktu nonstasioner dapat dinyatakan dalam bentuk,
z t=at+ψ1 at−1+ψ2a t−2+… yang diperoleh dari persamaan differensi dengan mensubstitusi
z t−1 , zt−2 , … atau dalam bentuk terbalik
z t=π 1 z t−1+π2 z t−2+…+at yang diperoleh dari persamaan differensi dengan mensubstitusi
a t−1 , at−2 , …. Adapun ciri untuk runtun waktu nonstasiner terdiri dari :
Plot data tidak berpluktuasi (memiliki trend untuk selang yang cukup lebar).
Fak turun secara lambat dan linear.
Pada grafik fakp, hanya ϕ11 yang nilainya mendekati satu, sedangkan yang lainnya tidak
berbeda secara signifikan dengan nol.
D. Pembentukan Model
Langkah-langkah dalam pembentukan model secara iteratif adalah sebagai berikut :
1. Identifikasi Model
Identifikasi model bertujuan untuk mengidentifikasi model yang merupakan representasi
data runtun waktu z1 , z2 ,…, zn. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai
berikut :
7
a. Menentukan mean dan variansi data runtun waktu.
b. Menentukan fak beserta 2SE ( ρk ) dari data runtun waktu.
c. Menentukan fakp beserta 2 SE ( ϕkk ) dari data runtun waktu.
d. Membandingkan fak dan fakp data runtun waktu dengan fak dan fakp teoretik.
Berikut ini adalah tabel pendekatan {r k } dan {ϕkk} untuk berbagai model.
pendekatan model
ϕkk N (0 , 1N ) , k> p AR (p)
rk N (0 , 1N (1+2∑
i=1
q
r i2)), k>q
MA (q)
Sebelum pemodelan dilakukan, hal berikut adalah mutlak diperlukan :
a. Plot data untuk melihat kestasioneran data.
b. Grafik dari distribusi frekuensi untuk melihat asumsi normalitas.
c. Informasi lain (kemiringan, keruncingan, dll).
Jika E ( zt )=z≠ 0, maka model dituliskan sebagai z t=zt−z sehingga perlu diuji apakah z=0.
Hipotesis yang harus diuji adalah
H 0 : z=0
H 0 : z=0
Jika |z|<2 SE ( z ), maka H0 diterima. Nilai pendekatan var ( z ) untuk proses ARMA (p, q),
dengan adalah sebagai berikut :
model pendekatan
AR (1) C0 (1+r1 )N (1−r1)
MA (1) C0 (1+2 r1 )N
AR (2) C0 (1+r1 ) (1−2r12+r2 )
N ( 1−r1 ) (1−r 2)
MA (2) C0 (1+2 r1+2r2 )N
8
ARMA (1, 1) C0
N (1+2r1
2
r1−r2)
2. Estimasi Parameter
Setelah beberapa model diidentifikasi, langkah selanjutnya adalah mengestimasi
parameter yang ada pada model. Estimasi yang efisien yaitu estimasi yang meminimumkan
kuadrat selisih antara nilai estimasi dengan nilai parameter sebenarnya. Untuk data yang
cukup banyak, estimasi yang efisien adalah estimasi yang memaksimumkan fungsi
Likelihood.
Diperlukan taksiran interval untuk estimasi parameter. Di sini perlu diuji apakah θ
atau ϕ berbeda secara signifikan dengan nol atau tidak.
Jika θ<2 SE ( θ ), maka θ tidak berbeda secara signifikan dengan nol. Begitu pula jika
ϕ<2SE ( ϕ ), maka ϕ tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
Variansi pendekatan untuk estimasi parameter berbagai model sederhana dapat pula
diperoleh dari rumus berikut :
model pendekatan
AR (1)var ( ϕ ) ≈ 1−ϕ2
N
MA (1)var (θ ) ≈ 1−θ2
N
AR (2)var ( ϕ1 ) , var ( ϕ2 )≈ 1−ϕ2
2
N
MA (2)var ( θ1 ) , var (θ2 )≈ 1−θ2
2
N
ARMA (1, 1)var ( ϕ )≈
(1−ϕ2 ) (1+θϕ )2
N ( ϕ+θ )2
var (θ )≈(1−θ2) (1+θϕ )2
N (ϕ+θ )2
3. Verifikasi Model
Verifikasi adalah pemeriksaan apakah model yang diestimasi cukup cocok dengan
data yang ada. Jika terjadi penyimpangan yang cukup serius, maka model yang baru harus
9
dirumuskan kembali. Langkah-langkah yang harus dilakukan pada tahap verifikasi ini
adalah sebagai berikut.
a. Uji Keberartian Koefisien (θ atau ϕ)
Hipotesis yang harus diuji adalah,
H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.
Adapun kriteria untuk uji keberartian koefisien adalah sebagai berikut :
Tolak H0 jika |koef|>2SE (koef )
Tolak H0 jika P .Value<∝=0,05
b. Nilai Variansi Sesatan
Pilih model yang mempunyai variansi sesatan terkecil. Nilai variansi sesatan bisa
langsung dilihat dari output Minitab 14 atau dihitung dengan menggunakan rumus
σ a2=SS−MS
DF , di mana
SS : Kuadrat jumlah (Sum Square)
MS : Kuadrat Rata-rata (Mean Square)
DF : Derajat Kebebasan (Degree Free)
c. Uji Kecocokan (lack of fit)
Hipotesis yang harus diuji adalah
H0 : model sesuai
H1 : model tidak sesuai
Adapun kriteria untuk uji kecocokan adalah sebagai berikut :
Tolak H0 jika χhit2 > χ tabel
2
Tolak H0 jika P .Value<0,05
Hal yang harus diperhatikan dalam tahap verifikasi adalah penggunaan prinsip
parsimony terhadap model yang sedang diuji.
4. Peramalan
Langkah terakhir dalam pembentukan model adalah melakukan peramalan beberapa
periode ke depan. Artinya, berdasarkan model yang paling sesuai, ingin ditentukan
distribusi bersyarat observasi yang akan datang berdasarkan pola data di masa lalu. Model
yang diturunkan dari data runtun waktu bukan merupakan model yang sebenarnya tetapi
hanya merupakan pendekatan saja. Ide dari permasalahan tersebut adalah bahwa harapan
10
bersyarat merupakan sebuah bilangan dengan sifat ”baik”, artinya merupakan ramalan
dengan sesatan kuadrat rata-rata minimum.
BAB III
STUDI KASUS
Berdasarkan data sekunder yang diperoleh dari www. bps.go . id , maka diperoleh data
sebagai berikut :
Angka Kematian Balita
dari tahun 1990 - 1995
di Indonesia
Tahun
Bulan 1990 1991 1992 1993 1994 1995
Januari 47 51 57 47 109 218
Februari 31 53 52 122 161 217
Maret 28 52 49 84 170 219
April 27 51 55 140 127 220
Mei 27 57 57 132 152 217
Juni 29 61 55 128 130 221
Juli 27 59 49 127 213 225
Agustus 31 59 56 119 179
September 30 31 147 124 228
Oktober 29 46 50 125 225
November 37 53 98 130 212
11
Desember 48 58 115 134 218
Agar kita dapat meramalkan angka kematian balita untuk 5 bulan ke depan, maka data
di atas perlu dimodelkan terlebih dahulu. Adapun untuk memudahkan proses pemodelan
tersebut, digunakanlah software Minitab 16. Berikut adalah output dari software Minitab 16
untuk data di atas.
A. Identifikasi Model
12
Berdasarkan ketiga sketsa grafik di atas, dapat dilihat bahwa runtun waktu di atas
merupakan non-stasioner, sebab memenuhi 3 ciri runtun waktu non-stasioner, yaitu:
a) grafik data runtun waktu menunjukkan tingkat dan lerengan serta mempunyai trend
b) grafik fak turun lambat (linear)
c) grafik fakp ditandai dengan .
Karena berupa runtun waktu non-stasioner, maka kita lakukan proses deferensing
(penyelisihan).
13
SELISIH 1
14
Berdasarkan sketsa grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa runtun waktu untuk angka
kematian balita merupakan runtun waktu yang stasioner karena memenuhi ciri berikut :
Plot data berpluktuasi (tidak ada trend untuk selang yang cukup lebar).
15
Fak turun secara eksponensial atau terputus setelah lag ke-1.
Fakp turun secara eksponensial atau terputus setelah lag ke-1.
Karena runtun waktu untuk angka kematian balita sudah stasioner, maka identifikasi model
yang mungkin adalah AR (1), MA (1), atau ARMA (1, 1).
B. Estimasi Parameter dan Verifikasi untuk model AR(1), MA(1) dan ARMA(1,1).
a) Model AR (1)
Berikut adalah output dari runtun waktu diatas dengan menggunakan Minitab versi 16.
Estimates at each iteration
Iteration SSE Parameters 0 61004,8 0,100 2,517 1 50469,3 -0,050 2,883 2 42335,6 -0,200 3,274 3 36603,2 -0,350 3,689 4 33271,9 -0,500 4,129 5 32330,5 -0,624 4,525 6 32326,3 -0,632 4,569 7 32326,3 -0,633 4,573
Relative change in each estimate less than 0,0010
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T PAR 1 -0,6331 0,0967 -6,55 0,000Constant 4,573 2,763 1,66 0,103Mean 2,800 1,692
Number of observations: 66Residuals: SS = 32241,4 (backforecasts excluded) MS = 503,8 DF = 64
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 48Chi-Square 14,0 30,7 35,2 36,5DF 10 22 34 46P-Value 0,173 0,103 0,411 0,841
Berikut adalah analisis dari output di atas:
Model AR (1) mempunyai bentuk. atau
16
Karena mean atau Wt=2,800 < 2SE(mean) = 2(1,692) =3,384 maka tak berbeda secara
signifikan dengan nol. Sehingga model yang digunakan adalah model bentuk pertama, yaitu:
w t=−0,6331 wt−1+at
Konstanta tidak berarti karena = 4,573 < 2SE = 2(2,763) = 5,526
Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model di atas, sebagai berikut:
(i) keberartian koefisien
H0 : koefisien tidak berarti
H1 : koefisien berarti (berpengaruh terhadap model)
ϕ=|0,6331|>2|0,0967|=0,1934maka H0 ditolak. Jadi, koefisien berarti secara
signifikan terhadap model.
(ii) variansi sesatan
Berdasarkan output Minitab versi 16, nilai variansi sesatan adalah
σ a2=( 495,9 )2.Ini berarti bahwa a t N (0 ; (495,9 )2 ).
Model AR (1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai
w t=−0,6331 wt−1+at, dengan a t N (0 ; (495,9 )2 ).
(iii) kecocokan model (lack of fit)
Hipotesis yang harus diuji adalah:
H0 : model sesuai
H1 : model tidak sesuai
Adapun kriteria untuk uji kecocokan adalah sebagai berikut:
TolakH 0 jika χhitung2 > χ tabel
2
TolakH 0 jika P .Value<α=0,05
TerimaH 0 jika P .Value>α=0,05
Berdasarkan output Minitab versi 16, diperoleh :
17
Lag P-Value Kesimpulan
12 0,173 Tolak H 0
24 0,103 Tolak H 0
36 0,411 Tolak H 0
48 0,841 Terima H 0
Artinya untuk sementara runtun waktu tidak cocok untuk dijadikan model AR(1).
b) Model MA (1)
Berikut adalah output dari runtun waktu diatas dengan menggunakan Minitab versi 16.
Estimates at each iteration
Iteration SSE Parameters 0 47653,6 0,100 2,797 1 40740,9 0,250 2,765 2 35848,9 0,400 2,766 3 32635,0 0,550 2,806 4 31247,0 0,700 2,919 5 31235,0 0,709 3,016 6 31234,9 0,709 3,024 7 31234,9 0,709 3,025
Relative change in each estimate less than 0,0010
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T PMA 1 0,7089 0,0874 8,11 0,000Constant 3,0246 0,8001 3,78 0,000Mean 3,0246 0,8001
Number of observations: 66Residuals: SS = 30849,4 (backforecasts excluded) MS = 482,0 DF = 64
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 48Chi-Square 15,8 34,4 41,2 42,8DF 10 22 34 46P-Value 0,104 0,045 0,183 0,608
Berdasarkan output di atas, maka model MA (1) yang mungkin adalah:
w t=at+θ at−1 atau ( wt−w )=a t+θ at−1. Karena rata-rata
|w|=|3,0246|>2SE ( w )=1,6002, maka w berbeda secara signifikan dengan nol. Akibatnya,
model yang dipilih adalah model dengan bentuk w t=ϕ wt−1+at.
Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model MA (1) di atas. Adapun langkah yang
dilakukan adalah sebagai berikut:
18
(i) keberartian koefisien
Hipotesis yang harus diuji adalah:
H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.
kriteria untuk uji keberartian koefisien adalah TolakH 0 jika |ϕ|>2 SE (ϕ ) .
Karena ϕ=|0,7089|>2|0,0874|=0,1748, maka H 0 ditolak. Ini berarti bahwa
koefisien ϕ berbeda secara signifikan dengan nol. Model AR (1) yang telah
diperoleh dapat dituliskan sebagai berikut:
w t=at+θ at−1
⟺w t=at+0,7089 a t−1
(ii) variansi sesatan
Berdasarkan output Minitab versi 16, nilai variansi sesatan adalah
σ a2=( 474,490 )2 .Ini berarti bahwa a t N (0 ; (474,490 )2 ).
Model AR (1) yang telah diperoleh dapat dituliskan sebagai
w t=at+0,7089 at−1, dengan a t N (0 ; (474,490 )2 ).
(iii) kecocokan model (lack of fit)
Hipotesis yang harus diuji adalah:
H0 : model sesuai
H1 : model tidak sesuai
Adapun kriteria untuk uji kecocokan adalah sebagai berikut:
TolakH 0 jika χhitung2 > χ tabel
2
TolakH 0 jika P .Value<α=0,05 TerimaH 0 jika P .Value>α=0,05
Berdasarkan output Minitab versi 16, diperoleh :
Lag P-Value Kesimpulan
12 0,104 Tolak H 0
24 0,045 Tolak H 0
36 0,183 Tolak H 0
48 0,608 Terima H 0
Artinya untuk sementara runtun waktu tidak cocok untuk dijadikan model MA (1).
19
c) Model ARMA (1,1)
Berikut adalah output dari runtun waktu diatas dengan menggunakan Minitab versi 16.
Estimates at each iteration
Iteration SSE Parameters 0 53714,6 0,100 0,100 2,517 1 38759,5 -0,050 0,250 2,849 2 34209,1 -0,058 0,400 2,905 3 30489,6 -0,208 0,444 3,398 4 29213,3 -0,358 0,464 3,916 5 29179,3 -0,382 0,470 4,017 6 29178,9 -0,383 0,472 4,028 7 29178,9 -0,383 0,472 4,029 8 29178,9 -0,383 0,473 4,029
Relative change in each estimate less than 0,0010
Final Estimates of Parameters
Type Coef SE Coef T PAR 1 -0,3826 0,1602 -2,39 0,020MA 1 0,4725 0,1529 3,09 0,003Constant 4,029 1,392 2,89 0,005Mean 2,914 1,007
Number of observations: 66Residuals: SS = 28940,9 (backforecasts excluded) MS = 459,4 DF = 63
Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic
Lag 12 24 36 48Chi-Square 8,0 25,9 32,9 35,2DF 9 21 33 45P-Value 0,529 0,209 0,473 0,851
Berdasarkan output di atas, maka model ARMA (1,1) yang mungkin adalah:
w t=ϕ wt−1+at+θ a t−1 atau ( wt−w )=ϕ (w t−1−w )+at+θ a t−1..
Karena rata-rata |w|=|2,914|>2 SE (w )=2,014, maka w tidak berbeda secara signifikan
dengan nol. Akibatnya, model yang dipilih adalah model dengan bentuk
w t=ϕ wt−1+at+θ a t−1.
20
Selanjutnya akan dilakukan verifikasi terhadap model ARMA (1,1) di atas. Adapun langkah
yang dilakukan adalah sebagai berikut:
(i) keberartian koefisien
Hipotesis yang harus diuji adalah:
H0 : koefisien tidak berbeda secara signifikan dengan nol.
H1 : koefisien berbeda secara signifikan dengan nol.
|ϕ|=|0,3826|<2|0,1602|=0,3204 , maka H 0 ditolak. Jadi, koefisien berbeda
secara signifikan terhadap model.
Karena |θ|=|0,4725|<2|0,1529|=0,3204, maka H 0 diterima. Jadi, koefisien θ tidak
berbeda secara signifikan terhadap model.
Karena koefisien θ tidak berbeda secara signifikan terhadap model, maka model ARMA
(1, 1) ini tidak sesuai dan mengarah pada bentuk AR (1), sehingga pengujian untuk model
ini tidak perlu dilanjutkan.
C. Peramalan
Setelah melakukan identifikasi, estimasi, dan verifikasi terhadap berbagai model,
diperoleh model AR (1) sebagai model yang paling sesuai untuk data runtun waktu angka
kematian balita, yaitu
w t=−0,6331 wt−1+at, dengan a t N (0 ; (495,9 )2 ).Berikut adalah ramalan untuk data ‘Angka Kematian Balita’ selama 5 bulan yang
akan datang dengan menggunakan software Minitab versi 16.
Forecasts from period 67
95% LimitsPeriod Forecast Lower Upper Actual 68 2,0407 -41,9601 46,0415 69 3,2811 -48,7959 55,3580 70 2,4958 -52,4859 57,4775 71 2,9929 -53,1107 59,0966 72 2,6782 -53,8688 59,2253
Berdasarkan output di atas, ramalan angka kematian balita di Indonesia untuk 5 bulan
yang akan datang adalah sebagai berikut,
21
Bulan Angka Kematian Balita
Agustus 2,0407
September 3,2811
Oktober 2,4958
November 2,9929
Desember 2,6782
BAB IVKESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
1. Metode peramalan runtun waktu dengan menggunakan metode Box Jenkins memiliki model
dasar, yaitu AR,MA,ARMA dan ARIMA.
2. Ciri teoritik model AR (p) yaitu grafik fak turun secara eksponensial menuju nol dan fakp
terputus setelah lag ke-p.
3. Ciri teoritik model MA (q) yaitu grafik fakp turun secara eksponensial menuju nol dan
grafik fak terputus setelah lag ke-q.
4. Ciri teoritik model ARMA (p,q) yaitu grafik fak dan fakpnya turun secara eksponensial
menuju nol.
Berdasarkan data runtun waktu untuk angka kematian balita di Indonesia, model yang paling
sesuai dengan data tersebut adalah model AR (1) yaitu w t=−0,6331 wt−1+at, dengan
a t N (0 ; (495,9 )2 ).
22
5. Hasil ramalan angka kematian balita di Indonesia untuk 5 bulan yang akan datang adalah
sebagai berikut,
Bulan Angka Kematian Balita
Agustus 2,0407
September 3,2811
Oktober 2,4958
November 2,9929
Desember 2,6782
B. Saran
1. Dalam memilih data sebaiknya kita lebih teliti, sehingga dapat memudahkan kita dalam
mengolah data tersebut.
2. Sebelum menganalisis data, sebaiknya perhatikan terlebih dahulu apakah data yang kita
punya berupa data musiman atau tidak.
3. Jangan mencari data yang dari sumber-sunber yang memiliki data musiman.
4. Jumlah data yang digunakan untuk peramalan sebaiknya lebih dari 60 buah, agar pada saat
menganalisis data lebih terlihat model mana yang sesuai dengan data yang dimiliki.
5. Perbanyak sumber pustaka agar diperoleh informasi yang lebih banyak dan lengkap
mengenai materi yang sedang dibahas.
Daftar Pustaka
Soejoeti, Ph.D, Zanzawi. Analisis Runtun Waktu. Karunia Jakarta Universitas
Terbuka. Jakarta : 1987.
http:// www.bps.go.id
23
24