tankonyvtar.hu · web viewaz is elképzelhető volna, hogy az említett 1, 4, 2-höz hasonló...

Irodalom

Irodalom

MATEMATIKA DIDAKTIKUSAN

Pálfalvi, Józsefné


Pálfalvi, Józsefné

A mű digitális megjelenítése az Oktatási Minisztérium támogatásával, a Felsőoktatási Tankönyv- és Szakkönyvtámogatási Pályázat keretében történt.

Szerzői jog © 2000 Pálfalvi Józsefné, Szendrei Julianna, Varga Tamás jogutódja, Typotex Kiadó

Minden jog fenntartva. Jelen könyvet, ill. annak részeit tilos reprodukálni, adatrögzítő rendszerben tárolni, bármilyen formában vagy eszközzel elektronikus úton vagy más módon közölni a kiadók engedélye nélkül.

www.typotex.hu

Created by XMLmind XSL-FO Converter.



Tartalom

Előszó 0

1. HALMAZOK, LOGIKA 0

1. Az alaphalmaz szerepe 0

1.1. Annak eldöntése, hogy két állítás egyező jelentésű-e az alaphalmaz változtatásával 0

1.2. Az ábrázolás szerepe állítások értelmezésében 0

1.3. Állítások megfordítása 0

1.4. Az „implikáció” szó többféle jelentése 0

1.5. Az implikáció alaki fogalom, így a megfordítás is az 0

2. SZÁMTAN, ALGEBRA 0

1. Számelméleti alapismeretek, természetes számok 0

1.1. Számok osztói 0

1.2. Prímszám, összetett szám 0

1.3. Megfigyelések az osztók számával kapcsolatban 0

1.4. Példa matematikai modell keresésére: rabok szabadulása 0

2. Műveletek a racionális számkörben 0

2.1. Törtek és tizedes törtek összeadása és kivonása 0

2.2. Utak a tört számmal való szorzás felé 0

2.2.1. a) Természetes számok szorzása 0

2.2.2. b) Másféle számok szorzása természetes számmal 0

2.2.3. c) Ár kiszámítása, ha nem egész számú mennyiséget vásárolunk 0

2.2.4. d) Ugyanaz, kisebb egységre térve 0

2.2.5. e) Megtett út kiszámítása 0

2.2.6. f) Szorzás törttel, ha a tört egész szám 0

2.2.7. Közbevetőleg: Tört rész és törtrész 0

2.2.8. g) Téglalap területe 0

2.2.9. h) A szorzás általános értelmezése 0

2.3. Szorzás tizedes törttel 0

2.4. Százalék kiszámítása 0

2.5. Tört részből szám keresése. Osztás törttel 0

2.6. Mivel szorzunk? Hányszorosa? 0

2.7. A számolási eljárások 0

2.8. Kapcsolat a geometriával 0

2.9. Negatív szám szorzása pozitív tört számmal 0

2.10. Szorzás negatív egész számmal 0

2.11. Szorzás negatív tört számmal 0

2.12. A szorzás általános értelmezése, ha a szorzó negatív 0

2.13. Osztás negatív számmal 0

2.14. Reciprok 0

2.15. Osztás helyett szorzás 0

3. A számolási készség fejlesztése érdekes feladatokon át 0

3.1. Osztók keresése és törtek egyszerűsítése zsebszámológéppel 0

4. Végtelen tizedes törtek 0

4.1. Egész számok osztásakor keletkező végtelen tizedes törtek 0

4.2. Valós számok mint végtelen tizedes törtek 0

3. FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK 0

1. A függvények mint információfeldolgozó gépek 0

1.1. Többváltozós függvények 0

1.2. Sorozatok, táblázatok, halmazok mint bemenő és kijövő adatok 0

1.3. Tapasztalati függvények, véletlen adatsorozatok 0

2. Relációk 0

2.1. A relációk mint speciális függvények 0

2.2. A függvények mint speciális relációk 0

3. Sorozatok 0

3.1. Sorozatok szabályai 0

3.2. Függvények szabályai 0

3.3. Algebrai átalakítások tanulása függvények szabályain keresztül 0

3.4. Alkalmazások 0

3.5. Függvények és számológépek 0

4. GEOMETRIA, MÉRÉSEK 0

1. A szög szó különféle jelentései 0

2. Egyszerű sokszögek belső szögeinek összege 0

3. Ellenpélda: szögek a gömbfelületen 0

4. Szabályos sokszögek 0

5. Szabályos poliéderek 0

5.1. Megfigyelések egyéb poliédereken. Euler poliédertétele 0

5.2. Lapszög 0

5.3. Távolság 0

6. Területszámítás 0

7. Koordináták a síkban, a térben, a gömbfelületen 0

7.1. Derékszögű koordináták a síkban és a térben 0

7.2. Polárkoordináták a síkban 0

7.3. Hengerkoordináták, térbeli polárkoordináták 0

8. Pitagorasz tétele 0

8.1. A tétel jelentősége 0

8.2. A tétel bizonyításaihoz szükséges geometriai előismeretek 0

8.3. Rácsnégyzet rajzolása 0

8.4. Pitagorasz tétele mint távolságok közti összefüggés 0

8.5. Mit mond ki Pitagorasz tétele? 0

8.6. A halastó megkétszerezése és néhány más alkalmazás 0

8.7. Barátkozás Pitagorasz tételével: rácspontok távolsága 0

8.8. Barátkozás Pitagorasz tételével: téglalapok és téglatestek átlói 0

9. A transzformációk mint függvények 0

5. KOMBINATORIKA, VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA 0

1. A kombinatorikus gondolkozásmód fejlesztésének lépcsőfokai 0

1.1. Néhány példa a kombinatorikus gondolkozásmód fejlesztésére 0

2. A felismert kombinatorikus összefüggések bizonyítása, kiterjesztése 0

3. A Pascal-háromszög szimmetriája 0

3.1. A Pascal-háromszög néhány más tulajdonsága 0

4. A valószínűségi gondolkozásmód fejlesztésének lépcsőfokai 0

4.1. Kimenetel, esemény 0

4.2. Végtelen sok lehetséges kimenetel (nem véges eseménytér) 0

5. Egyenlően valószínű elemi események feltételezése 0

5.1. Várható értékek, valóságos eredmények (Mit várhatunk a valószínűségi kísérletektől?) 0

5.2. Példák független és nem független eseményekre 0

5.3. A feltételes valószínűség és a függetlenség matematikai értelme 0

A. FÜGGELÉK 0

1. Varga Tamás komplex matematikájától a NAT-ig 0

1.1. A komplex matematikatanítás anyaga 0

1.2. Az 1978-as tanterv néhány jellegzetessége 0

1.3. A komplex matematikai kísérlet és az 1978-as tanterv hatása a NAT-ra 0

2. A számfogalom fejlesztéséhez kapcsolható függvények értelmezése 0

2.1. Műveletek 0

2.2. Szorzás 0

2.3. Szorzás törttel 0

2.4. Osztás 0

2.5. A maradékos osztás 0

2.6. Osztás törttel 0

2.7. Osztás állandó osztandó esetén a pozitív egész számok halmazán 0

2.8. Érdekes függvények. Az egészrész függvény 0

2.9. A törtrész függvény 0

2.10. Kerekítés. Kerekítés egészekre 0

2.11. Az előjel vagy szignum függvény 0

2.11.1. Példák 0

2.11.2. Példák 0

3. Feladatmegoldás számkártyákkal 0

4. Régi feladat – új gondolatok 0

Irodalom 0






Előszó

A tantárgypedagógia oktatása a szaktanárképzésben meghatározó, hiszen döntő szerepe van a tanárjelöltek szemléletének alakításában, a szaktárgy tanításáról vallott nézetek megalapozásában. A tárgy fontosságához képest, azonban nem kielégítő a jelöltek felkészülését segítő egyetemi és főiskolai tankönyvek, jegyzetek, illetve a kapcsolódó szakirodalom választéka.

A kilencvenes évek társadalmi változásai magukkal hozták az iskolarendszer változásait is. Megjelentek a 6–8 osztályos gimnáziumok, létrejöttek az egyházi és a különböző alternatív iskolák, elburjánzott a tankönyvpiac, megszületett a NAT és fellángoltak a hozzá kötődő viták, mindez egyre inkább szükségessé teszi, hogy minél több olyan szakanyagot tudjunk a tanárképzésben felhasználni, amelyek segítenek a tanárjelölteknek az eligazodásban. Fogódzókat kell biztosítanunk, ahhoz, hogy az éppen aktuális tanterv, tankönyv használatában saját belső szilárd meggyőződésük és ismereteik legyenek az irányadók.

A 60-as, 70-es években Magyarországon a matematika tanításában alapvető változások mentek végbe, ezek nem elszigetelten, hanem az egész világot átfogó reformmozgalmakkal egyidejűleg történtek, bizonyos területeken a magyar matematikatanítás új elvei külföldön is elismerést arattak. A korabeli oktatási kísérletek közül kiemelkedett a VARGA TAMÁS vezette KOMPLEX matematikatanítási kísérlet, melynek tapasztalataira támaszkodva született meg az 1978-ban bevezetett általános iskolai új matematika tanterv. Ez a tanterv a korábbi számtan és mértan tanításával szemben az alsófokú oktatásban is „igazi” matematika tanítását írta elő egy sor új témakör bevezetésével és a korábban megszokottól jelentősen eltérő módszertani szemlélettel. A tantervhez új tankönyvsorozat jelent meg, mindegyik osztályhoz tanári kézikönyvvel együtt, melyek részletes és konkrét eligazítást adtak a könyvek használatához.

Ezek mellett a 6., a 7. és a 8. osztályos matematika anyaghoz „Tantervi útmutató” címmel segédkönyvek jelentek meg, ezek szerzői Varga Tamás és Radnainé Szendrei Julianna az Országos Pedagógiai Intézet munkatársai voltak. Ezek a könyvek a tantervi anyag mélyebb megvilágítását adták, matematikai háttér anyaggal kiegészítve, az új módszertani alapelveket bemutató példákkal, a tanítás megújítását szolgáló újszerű ötletek, eljárások, eszközök leírásával.

Bár az 1978-as tanterv nem valósult meg maradéktalanul, az ott megfogalmazott tartalmi és módszertani alapelvek beépültek a későbbi tantervekbe és az ezekhez megjelenő újabb dokumentumokba. Az 1978-as tantervben testet öltött matematikatanítási reform alapelvei a bírálatok és a támadások ellenére is fokozatosan formálták, alakították a tanárok szemléletét és ma a NAT-ban is és a helyi és kerettantervekben is világosan fellelhetők.

A matematikatanítás átalakulásával párhuzamosan megindult a tanárképzés megújítása is, a korszerű alapelvek lassacskán bekerültek az oktatott anyagba, a szaktárgyakba és a módszertani tárgyakba egyaránt. A viszonylag gyors változásokhoz képest a szakmódszertani tankönyvek, jegyzetek mennyisége és minősége és a szakmódszertan oktatása nehézkesen, lassabban fejlődött, kevésbé fogadta be a korszerű szemléletet. A tanárjelöltek oktatásában fontos szerepe van a szembenálló nézetek ütköztetésének, ez azonban csak akkor eredményes, ha a hallgatónak alkalma van a felfogásbeli különbségek megértésére, az elméletek alapos megismerésére. A főiskolai hallgatók számára a közelmúltban elérhető szakmódszertani dokumentumok ebből a szempontból nem kielégítőek, általában éppen a 60-as, 70-es évek matematikatanítási reformjáról és annak napjainkig érvényes hatásairól nyújtanak a szükségesnél kevesebbet, pedig ezekre az ismeretekre a kezdő tanárnak a valóságos iskolai munkában igen nagy szüksége van.

Az elmúlt évek tapasztalatai bebizonyították, hogy a „Tantervi útmutatók” egyes fejezetei a mai kor számára is képesek újat mondani, a tanárjelöltek módszertani ismereteit gazdagítani a matematika tanítását hatékonyan fejleszteni. Sajnos az új tantervek és a tankönyvek megjelenésével megszűnt ezeknek a könyveknek a kiadása, így a kereskedelemben egyáltalán nem, de még a könyvtárakban is alig érhetők el.

Egy új tantárgypedagógiai könyv nem nélkülözheti azokat az ismereteket, amelyeket e könyvsorozat tartalmaz, ezért a „Matematika didaktikusan” című könyvünket úgy állítottuk össze, hogy a Varga Tamás és Radnainé Szendrei Júlia Tantervi útmutatóinak anyagát felhasználtuk. Egyes fejezeteket, részleteket eredetiben idézve nemcsak a tartalmat közvetíthetjük, hanem a szerzők világos, magávalragadó stílusával is megismertethetjük az olvasót. Az adott korhoz és a kapcsolódó tankönyvcsaládhoz szorosan és konkrétan kötődő részeket kihagytuk, illetve a mához igazítottuk. Az útmutatókban fellelhető ötletek, példák továbbgondolásra, ösztönöztek, így több új téma kidolgozásával egészítettük ki a régi anyagokat (Függelék).

Ez a könyv a módszertani tárgyak tanulásához kíván segítséget nyújtani a tanárjelölteknek. Tárgyalja a mai általános iskolai matematika főbb témaköreinek tanításához kapcsolódó legfontosabb kérdéseket, ráirányítja a figyelmet a felmerülő tanítási nehézségekre, módszertani javaslatokat ad, példákkal megvilágítva. A tanárjelöltek mellett haszonnal forgathatják gyakorló tanárok is és felhasználhatják a tanártovábbképzések anyagához is.

Budapest, 1999. szeptember

Pálfalvi Józsefné

Előszó

Előszó




1. fejezet - HALMAZOK, LOGIKA

1. Az alaphalmaz szerepe

„Gondoltam két számot. Az összegük 10, a különbségük 3. Mi ez a két szám?”

Aki csak egész számokra gondol – „szám” csak egész számot vagy csak természetes számot jelent neki –, az a fenti feladatnak nem találja megoldását. Ennek a feladatnak pedig: „Gondoltam egy számot, megszoroztam önmagával, az eredmény 1000. Mi ez a szám?”, még a racionális számok körében sem találja megoldását – pontosabban olyan számot, amely eleget tesz neki – pedig egy bővebb számkörben, a valós számok körében két megoldása is van, és .

Egy egészen másfajta példa az alaphalmaz szerepére:

Kössük össze ezt a 9 pontot 4 szakaszból álló töröttvonallal!

Ennek a megoldásával sokan azért próbálkoznak sokáig sikertelenül, mert a szóba jöhető töröttvonalak halmazát túl szűken értelmezik: anélkül, hogy ezt megfogalmaznák maguknak, próbálkozásaik közben sohasem lépnek ki a ponthalmaz konvex burkából (abból a négyzetből, amelyet a pontok köré kívülről tekert fonal határol). Lehet, hogy próbálkozásaik közben még ennél is szűkebbre veszik az alaphalmazt, és csupa olyan töröttvonallal próbálkoznak, amely a pontok között húzható legrövidebb szakaszokból tevődik össze (vagyis nem gondolnak ferde szakaszokra); rajzunk két ilyen próbálkozást mutat.

a)

b)

c)

Utóbbi példánk túlmutat a halmaznak azon a nagyon szűken értelmezett fogalmán, ami sok tanulóban esetleg még a 7. osztályban is él, amely a karikákkal körülvett pontok – Venn-diagramok – félreértésén alapul. Ezek a diagramok alkalmasak bármiféle halmazok körében az olyan fogalmak szemléltetésére, mint metszet, unió, bővebb és szűkebb halmaz stb., de aki nem tud elszakadni a konkrét szemlélettől, azt félre is vezethetik. Például a c) ábrarészlet nagyon szemléletesen mutatja, hogy túlnyúlik a halmazon, bővebb nála, de félrevezető lehet annak a számára, aki a szemlélethez kötődve nem jut el a bővebb halmaznak ahhoz az absztrakt fogalmához, amit és esetében így fogalmazhatnánk meg: -nek minden eleme -nek is eleme, de -nek van olyan eleme, amely -nek nem eleme. (Vagy ha a halmazok elemeinek jellemző tulajdonságait is ezekkel a betűkkel jelöljük: minden , de nem minden .) A konvex burkon túlnyúló töröttvonalak bővebb halmazt alkotnak a konvex burokban maradóknál.

Itt kilépünk a konvex burokból…

… de itt miből lépünk ki?

Bővíteni lehet a halmazt úgy is, hogy nem lépünk ugyan túl a konvex burkon, de megengedünk ferde (nem a legközelebbi pontokat összekötő) szakaszokat. Példánkban csak az talál megoldást, aki mindkét tekintetben kibővíti a halmazt: a konvex burkon túlnyúló és ferde szakaszokat is tartalmazó töröttvonalakat egyaránt figyelembe vesz. A feladat fogalmazása ezt mind megengedi: a feladat megoldásához olyan fogalmakra, mint szűkebb halmaz, bővebb halmaz nincs is szükség. De ha azt akarjuk, hogy a fogalmak rendszerezésében, logikai összefüggések áttekintésében a Venn- vagy egyéb diagramokkal való szemléltetés segítség legyen és ne akadály, akkor el kell érnünk, hogy a tanulók a „bővítés” szó konkrét értelmétől eljussanak az átvitt értelemben vett bővítéshez (egy halmaz akkor bővebb egy halmaznál, ha hozzátartozik minden eleme, de nemcsak azok). Tisztában kell lenniük azzal, hogy amit egy ponttal ábrázolunk a Venn-diagramon, az lehet, hogy egy töröttvonal, egy egyenes, egy sík vagy valami nem geometriai fogalom is. A halmazfogalom olyan kitágítása, hogy nemcsak egyedi dolgok – számok, pontok, tárgyak, élőlények stb. – lehetnek a halmaz elemei, hanem akár egymást metsző halmazok is, nagy lépést jelent előre, és ne csodálkozzunk, ha pszichológiai akadályokba ütközik. A fogalomnak ilyen kitágítása nem a 7. osztályban kezdődik – de az sem valószínű, hogy itt befejeződhet.

1.1. Annak eldöntése, hogy két állítás egyező jelentésű-e az alaphalmaz változtatásával

Ha két különböző jelentésű állítás közös alaphalmazát változtatjuk, akkor elérhetjük, hogy az egyik igaz legyen, a másik ne legyen igaz. Egyező jelentésű állítások közül persze sohasem lehet az egyik igaz, a másik nem, akárhogy változtatjuk közös alaphalmazukat.

Elvileg lehetetlenség minden alaphalmazt végigpróbálni, hogy eldöntsük a két állításról, egyező jelentésűek-e. Nem is ilyenféle eldöntő eljárásra utal ez a címszó. Nézzük ezt példák kapcsán. Mielőtt számhalmazokon kipróbálnánk, már sejtjük, hogy a következő állítások közt vannak egyező, de vannak különböző jelentésűek is:

: Minden páros szám nagyobb 20-nál.

: Van olyan páros szám, amely nagyobb 20-nál.

: Csak 20-nál nagyobb páros számok vannak.

: Nincs 20-nál kisebb páros szám.

: A 20-nál nem nagyobb számok közt nincs páros.

: Ha páros, akkor 20-nál nagyobb.

Próbáljuk az egyezéseket és a különbségeket úgy ellenőrizni, hogy összeválogatunk néhány számot, és megnézzük, hogy ezekre a számokra melyik állítások igazak, melyek nem. Ügyes változtatásokkal elérhetjük, hogy a különböző jelentésűek igazságértéke különböző lesz.

Számhalmazok

Igazak rajtuk

Nem igazak rajtuk

3; 4; 25

–

3; 4; 25; 40

3; 24; 25; 40

–

3; 20; 25; 40

Nem volt nehéz olyan halmazt keresni, hogy a külön csoportba kerüljön a többitől (más legyen az igazságértéke). Érezzük is, hogy mást jelent, mint a többi, akkor is, ha némelyik számhalmaz nem mutatja ki ezt a különbséget. Becsapósabb a ; első pillanatra könnyű összetéveszteni például -vel. De a negyedszerre talált halmaz világosan mutatja, hogy különbözik a jelentésük, mert ezen a halmazon igaz, de nem. Viszont akárhogy változtatjuk a halmazt, , , és mindig együtt marad: vagy mind igaz, vagy egyik sem. Ez megerősíti azt a sejtést – bár a próbálgatás természetesen nem bizonyító erejű –, hogy , , és ugyanazt jelenti.

Már a próbálgatás közben is ügyelni kell azonban arra, hogy tisztázzuk a szavak jelentését. Például egy kicsit szokatlan azt mondani a számhalmazra, hogy itt van olyan páros szám, amely nagyobb 20-nál, hiszen látható, hogy itt minden páros szám nagyobb 20-nál. A matematikában a „van” szó szerint értendő. Csak annyit jelent, hogy van, azt már nem jelenti, amit néha kimondatlanul hozzágondolunk, hogy „de nem mind”. Ha ezt mégis hozzágondoljuk, akkor viszont hozzá is mondjuk. Ezzel azonban megváltoztatjuk az állítást.

Még jobban eltér a köznapitól a minden szó használata. A közbeszédben két dologra sem nagyon szoktuk használni; mindkettőt, mind a kettőt mondunk helyette. Egy dologra még szokatlanabb. A matematikai szóhasználatban mégis igaznak tekintjük ezt: a halmazon minden páros szám nagyobb 20-nál. A halmazon ugyanez az állítás nem igaz, mert van ellenpélda: a 4 páros és mégsem nagyobb 20-nál. A halmazon azért tekintjük igaznak ezt az állítást, mert nincs ellenpélda. A „minden ” állítások igazságát tehát azon mérjük le, hogy található-e ellenpélda, vagyis olyan , amely nem . Ha nincs olyan , amely nem , akkor igaznak mondjuk azt, hogy minden , különben nem mondjuk igaznak. Az -ek és -ok számával nem törődünk. A „van” a példa (vagy ellenpélda) létezését jelenti; a „nincs” a hiányát, a „minden” jelentését ezekre tudjuk visszavezetni. Így aztán matematikailag nemcsak két vagy egy esetre használhatjuk a minden szót, hanem sehány (vagyis nulla) esetre is. Például a 3; 25 halmazon is igaz az, hogy minden páros szám nagyobb 20-nál, mert ezek közt nincs olyan páros szám, amely nem nagyobb 20-nál, és kétes esetben az utóbbi formájú állítással döntjük el az előbbi állítás igaz voltát is. (Pontosan ezt jelenti az ellenpélda keresése: ha van ellenpélda – olyan , amely nem –, akkor nem igaz a „minden ”, de ha nincs ellenpélda, akkor igaznak tekintjük.)

1.2. Az ábrázolás szerepe állítások értelmezésében

A halmazokon való kipróbálás és a szokottól eltérő szóhasználat tisztázása mellett nagy szerepe van állítások értelmezésében a különféle ábrázolásoknak is. Az ábrázolási módok közt válogatni lehet: az egyéntől is függ, hogy melyiket tudja jobban áttekinteni, de a feladattípustól is függhet, hogy melyik fajta ábrázolás célszerűbb. A „Minden ” (például Minden páros szám nagyobb 20-nál) állítás háromféle ábrázolási módja:

A lényeg mindhárom esetben az, hogy -nek az -on kívüli része üres. Ezt az első esetben a karikák elhelyezése biztosítja, a másik két esetben az, hogy töröltük – a vonalkázás itt törlést jelent! – -nek az -on kívüli (nem -ba tartozó) részét. Látható, hogy a törlés folytán a másik két esetben is benne van az – ami belőle megmarad – az -ban.

Az első ábrázolás egyszerűbbnek tűnik, mert itt nincs szükség vonalkázásra. Van azonban egy hátránya, ami mindjárt kiderül, ha megfordítjuk az előbbi állítást és ezt ábrázoljuk: Minden .

Az elsőfajta ábrázolásban most az van az -en belül. Az ábrázolás úgy mutatja, mintha ez és az előbbi eset kizárnák egymást. Pedig előfordulhat, hogy „Minden ” és „Minden ” egyaránt igaz (megfordítható állítások), és akkor egyik sincs a másikon belül, a két tulajdonság ugyanaz, a két halmaz egyenlő:

Voltaképpen erre az esetre mindig tekintettel kellene lennünk már akkor is, amikor külön a „Minden ” vagy „Minden ” állítást ábrázoljuk, hacsak nem akarjuk kizárni a megfordíthatóságot. De ha kizárjuk, akkor már másik, erősebb (többet mondó) állításokhoz jutunk:

„Minden , de nem minden ”, illetve

„Minden , de nem minden ”.

Amikor az -et az -on belülre vagy az -t az -en belülre rajzoljuk, akkor igazában ezeket az erősebb állításokat ábrázoljuk. Az eredeti, gyengébb állítások ábrázolásakor úgy lehetünk tekintettel az esetleges megfordíthatóságra, hogy ezt rajzoljuk:

„Minden ”

vagy

illetve

„Minden ”

vagy

Kérdés, nem érvényes-e mindez a másik két ábrázolásra is.

Nem, ha megállapodunk abban: a vonalkázás törlést jelent (vagyis ürességet), de amelyik részt nem töröljük, arról nem állítjuk sem azt, hogy üres, sem azt, hogy nem üres. Ez és közös részére és a sem -hez, sem -hoz nem tartozó részre is vonatkozik.

Az elsőfajta ábrázolást ezek után jobb fenntartani arra az esetre, amikor pontosan tudjuk a halmazok közti kapcsolatot (például a négyzetek és a rombuszok kapcsolatát: minden négyzet rombusz, de nem minden rombusz négyzet). Amikor állításokat úgy ábrázolunk, hogy nem tudjuk eleve az ilyen kapcsolatokat, akkor a másik két ábrázolási mód célszerűbb. (A harmadik ábrázolási mód különösen akkor hasznos, ha nem akarjuk egyiket sem kiemelni és nem , illetve és nem közül a másikhoz képest.)

A „Van olyan , amely ” állítás ábrázolásakor az első módot nem is alkalmazzuk (bonyolult lenne az esetek megkülönböztetése többféle rajzzal), csak a másik kettőt.

Ahova a pontot tettük, az a rész nem üres, ott van elem; lehet, hogy csak egy, lehet, hogy több is. A többi három részről most sem mond semmit az állításunk. Lehet, hogy egyik sem üres, lehet, hogy egyik (akármelyik), lehet, hogy kettő (bármelyik kettő) és az is lehet, hogy mind a három üres. Ez mind összefér az állítással.

Hasonlóan ábrázolhatjuk ezt az állítást:

„Nem minden ."

Ez az először ábrázolt állításnak a tagadása. Egyértelmű ezzel:

„Van olyan , amely nem ."

Ebben a formában könnyebb rájönni, milyen ábrák felelnek meg neki:

Abba a részbe kerül pont (jelezve, hogy nem üres), amelyet a „Minden ” állítás ábrázolásakor töröltünk (jelezve, hogy üres). Ez összhangban van azzal, hogy a két állítás egymásnak tagadása.

Ugyanúgy, amikor a „Van olyan , amely ” állítás tagadását ábrázoljuk; a pont előbbi helyét töröljük:

„Nincs olyan , amely ."

Mindkét ábrázolás szemléletesen mutatja, hogy a „Van olyan , amely ” és „Nincs olyan , amely ” állításokban és sorrendje nem számít, felcserélésük nem változtat az állítások értelmén (nem úgy mint a „Minden ” állításokban, ahol a sorrend lényeges, és felcserélésével igazságértékük megváltozhat).

Lássuk most a

„Csak az -ek -ok"

alakú állításokat. Más fogalmazásban:

„Ami nem , az nem ”.

Vagyis -en kívüli dolgok nincsenek benne az -ban. Ábrán:

Ezekről az ábrákról két másik állítást is leolvashatunk (esetleg valakinek ábrák sem kellenek ahhoz, hogy az előbbivel egyező értelmüket észrevegye, de a rajzok azért segíthetnek ebben):

„Nincs olyan , amely ne lenne ” és

„Minden ."

Ha itt a 20-nál nagyobb számok, a páros számok halmazát jelenti, akkor a négy állítás közül három az előző fejezetben vizsgált , és állítás:

: Csak 20-nál nagyobb páros számok vannak.

: A 20-nál nem nagyobb számok közt nincs páros (vagy kissé átfogalmazva: Nincs olyan 20-nál nem nagyobb szám, amely páros).

: Minden páros szám nagyobb 20-nál.

(Ha el akarjuk kerülni azt, hogy a fogalmazásba bele lehessen érteni valamilyen tulajdonságú elemek létezését, akkor „Csak az -ek -ok” helyett ajánlatos ez az óvatosabb fogalmazás: „Csak lehet ”. Ez a fogalmazás megengedi, hogy -ek ne létezzenek, sőt esetleg -ok se, az előbbiben viszont az az határozott névelő azt sugallja, hogy léteznek.)

Gyerünk most vissza -nek az általános fogalmazásához:

„Ami nem , az nem ."

Erről azt találtuk, hogy ugyanazt jelenti, mint

„Minden ."

„Ha …, akkor … alakra hozva a két állítást:

„Ha valami nem , akkor az nem .” és

„Ha valami , akkor az .”

A logikában szokásos jelekkel (-szel jelölve azt az állítást, hogy „valami tulajdonságú”):

Bizonyos értelemben ez megfordítást jelent; de és felcserélése mellett mindkettőt tagadtuk is. Az így kapott állítás mindig egyértelmű az eredetivel. Példa: „Ha egy négyszög rombusz, akkor az átlói merőlegesek” egyértelmű azzal, hogy: „Ha egy négyszög átlói nem merőlegesek, akkor ez nem rombusz”. Egészen mást mond viszont – és nem is igaz – ez az állítás: „Ha egy négyszög átlói merőlegesek, akkor az a négyszög rombusz”. Ellenpélda erre bármely olyan deltoid, amely nem rombusz. (A négyzet persze nem ellenpélda, és az sem igaz, hogy a deltoid – minden megszorítás nélkül – ellenpélda volna.)

A fentiekben szándékosan egyszerűsítettük a jelölést és a fogalmazást azzal, hogy nem különböztettük,meg például az tulajdonságot, az tulajdonságú elemek halmazát és azt az állítást, hogy valami tulajdonságú. Pontos jelöléssel az előbbi implikációkat egy kicsit bonyolultabban kellene írni, például így:

1.3. Állítások megfordítása

„Minden melegvérű állat madár.” „Minden madár melegvérű állat.” Ez a két állítás nem ugyanazt jelenti. Nemcsak hogy nem ugyanazt jelentik, de nem is ugyanaz az igazságértékük: az első nem igaz, a második igaz. A két állítás egymásnak – bizonyos értelemben – megfordítása. Megkülönböztetni tudni állításokat és megfordításaikat egyaránt fontos a biológiában és a matematikában, más tudományokban és a mindennapi életben.

A fenti állítások ugyanarról a két halmazról szólnak (melegvérűek halmaza, ; madarak halmaza, ), és mindkét állítás azt mondja, hogy az egyik halmaz a másiknak részhalmaza, csak az első állítás szerint részhalmaza -nak, (ez nem igaz), a másik szerint részhalmaza -nek (ez igaz):

nem igaz

igaz

A következő két állítás szintén két-két halmazról szól:

„Ha egy háromszög derékszögű, akkor van olyan oldala, amelynek a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével.” „Ha egy háromszögnek van olyan oldala, amelynek a négyzete egyenlő a másik kettő négyzetének összegével, akkor az a háromszög derékszögű.”

Ez a két halmaz: a derékszögű háromszögek halmaza () és azoknak a háromszögeknek a halmaza, amelyeknek van olyan oldala, hogy annak az oldalnak a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének az összegével ( halmaz; mondhatjuk úgy is, hogy az tulajdonságú háromszögek halmaza, ha ezt úgy értjük, ahogy fent pontosabban megfogalmaztuk). Most is, mint az előbb, ugyanarról a két halmazról szól mindkét állítás. Most is mindkettő azt fejezi ki, hogy az egyik halmaz a másiknak részhalmaza, csak az első állítás szerint részhalmaza -nek, a második szerint viszont részhalmaza -nek. Példánk abban mégis eltér az előbbitől, hogy ott az egyik állítás igaz volt, a másik nem, most viszont mindkét állítás igaz: mindkét halmaz részhalmaza a másiknak. Ez azt jelenti, hogy a két halmaz megegyezik. Bár más-más tulajdonsággal adtuk meg őket, pontosan ugyanazok az elemeik. Ami eleme -nek, az eleme -nek is (ezt jelenti az, hogy részhalmaza -nek), ami eleme -nek, az eleme -nek is (ez a jelentése annak, hogy részhalmaza -nek). Érdemes így is megfogalmazni: egyiknek sincs olyan eleme, amely ne volna a másiknak is eleme. Ennek a két halmaznak az egymáshoz való viszonyát tehát ezzel az egyetlen ábrával is kifejezhetjük:

Az előbbi két ábra együtt fejezi ki azt, amit ez egymaga, pontosabban: az, hogy az előbbi két ábra egyaránt igazat mond, ugyanazt jelenti; mint az, hogy ez az egy ábra igazat mond.

Jelöljük az előbbi halmazok elemeit a megfelelő kisbetűkkel: a madarakat -val, a melegvérűeket -vel, a derékszögű háromszögeket -vel, az tulajdonságú háromszögeket -vel. Akkor a fenti állításokat így írhatjuk:

(1) Minden .

(2) Minden .

(3) Minden .

(4) Minden .

Vagy másképpen, részletesebben:

(1) Minden állatra igaz: ha , akkor .

(2) Minden állatra igaz: ha , akkor .

(3) Minden háromszögre igaz: ha , akkor .

(4) Minden háromszögre igaz: ha , akkor .

A részletesebb felírások hosszadalmasnak tűnnek, de vannak előnyeik:

egyrészt pontosan kifejezik, milyen alaphalmazon belül (állatok, illetve háromszögek halmaza) hasonlítunk össze két halmazt,

másrészt pontosan megmondhatjuk a segítségükkel, hogy mit jelent egy állítás megfordítása: csak implikációknak beszélhetünk a megfordításáról, és ezen azt az implikációt értjük, amelyet az előtag és az utótag (a „ha-rész” és az „akkor-rész”) felcserélésével kapunk.

Implikációkat ilyen módon – formálisan – mindig megfordíthatunk és így a megfordításukat kapjuk. De azt, hogy egy állítás megfordítható, csak olyankor szoktuk mondani, ha igaz állításról – például matematikai tételről – van szó, és úgy értjük, hogy az állításnak a megfordítása is igaz. (Amint mondtuk, ennek csak akkor van értelme, ha az az állítás implikáció.) Az, hogy minden madár melegvérű állat, egyrészt igaz, másrészt implikáció (ez kiderül, ha részletesebben leírjuk), formálisan meg is lehet fordítani, mégsem mondjuk megfordítható állításnak, mert a megfordítása nem igaz. Viszont az, hogy ha egy háromszög derékszögű, akkor tulajdonságú (vagyis van olyan oldala, amelynek a négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetének összegével) nemcsak igaz, nemcsak implikáció, hanem olyan igaz implikáció, amelynek a megfordítása igaz, vagyis megfordítható állítás.

1.4. Az „implikáció” szó többféle jelentése

1. Eredeti jelentése: „ha , akkor ” alakú állítás, ahol és maguk kijelentések (határozott logikai értékű állítások, mint például ). Ilyen értelemben implikáció például ez az állítás: ha , akkor .

2. Ahogy egy számtani művelet – például a szorzás – két számhoz rendel egy harmadikat; a szorzatukat:

ahhoz hasonlóan rendel két állításhoz egy harmadikat egy logikai művelet, például

(Más szóval: a két állításból egy harmadikat csináltunk egy logikai művelet segítségével.) A harmadik állítás az első kettőből alkotott implikáció. De implikációnak nevezzük azt a logikai műveletet is, amelynek a segítségével az első kettőből a harmadikat alkotjuk. Ez olyan, mint pl. a halmazműveletek körében a metszet szó: metszetnek nevezzük a műveletet is – bár mondhatjuk helyette azt is, hogy metszetképzés – és az eredményét is. (A számtani műveletek eredményét – pl. összeg – elnevezésben mindig megkülönböztetjük magától a művelettől, nem mondunk összeadás helyett összeget, sem összeg helyett összeadást).

3. „Ha , akkor ” nemcsak akkor implikáció, ha megmondjuk, milyen kijelentést jelent , illetve , hanem akkor is, ha nem mondjuk meg, nyitva hagyjuk, változónak hagyjuk ezeket a betűket, akár az egyiket, akár mindkettőt.

4. „Ha , akkor ” akkor is implikáció, ha és nem változók ugyan, de nyitott mondatok, változóktól függő állítások, mint például „” és „”. Ha ezeket , illetve helyébe írjuk, ezt az implikációt kapjuk: „Ha , akkor ”. Ez maga is nyitott mondat, függ -től is, -tól is:

5. Nyitott mondatokból kijelentéseket (határozott logikai értékű állításokat) kaphatunk helyettesítéssel, lezárással vagy ezek kombinálásával. Helyettesítéssel kaphatjuk az előbbi nyitott implikációból pl. az 1. pontban említett implikációt: ha , akkor . Lezárással pedig – például – ezt kaphatjuk belőle: „minden -re és -ra, ha , akkor ”. Ez már nem függ sem -től, sem -tól. Függ még attól a két halmaztól, amelyből az és az változó elemeit vehetjük. Ha pl. mindkét változó alaphalmazának az összes valós számot választjuk, akkor a kapott kijelentés nem igaz. (Ellenpélda: „ha , akkor ” nem igaz.) Ha mindkét változó csak a pozitív számok körében mozoghat, akkor igaz a kijelentés. Ha egy implikáció alakú nyitott mondat összes változóját „minden”-nel lezárjuk („minden -re és minden -ra ”), akkor az így kapott kijelentést szintén implikációnak nevezzük. Ebben az értelemben implikáció az az állítás, hogy minden melegvérű állat madár vagy az, hogy minden derékszögű háromszög tulajdonságú.

1.5. Az implikáció alaki fogalom, így a megfordítás is az

Egy és ugyanazt a számot sokféleképpen föl lehet írni. Az, hogy pozitív-e a szám vagy negatív, nem függ a felírásmódtól, nem változhat meg, ha másképp írjuk a számot; az sem, hogy egész-e vagy nem, osztható-e 3-mal, prímszám-e stb. Az viszont igen, hogy van-e számlálója és nevezője, ha igen, mekkora az összegük, mekkorák külön-külön, hány jegyű a szám (ha helyi értékes alakban írtuk, de esetleg más számrendszerben) stb. Hasonlóan a kijelentéseket is sokféle alakban lehet felírni. Az, hogy igaz-e egy kijelentés vagy nem, független az alakjától: attól, hogy másképp írjuk, átalakítjuk, nem válhat igazból tévessé, sem fordítva. Az viszont függ a kijelentés alakjától, hogy mi a megfordítása. Egy és ugyanazt a kijelentést többféleképpen fel lehet írni implikációként, ilyen alakban megfordítani – vagyis felcserélni az elő- és az utótagját – és a választott alaktól függően más-más megfordításokat kapunk. Lehet, hogy egy igaz kijelentés megfordítható (igaz a megfordítása is), ha az egyik alakjából indulunk ki, de nem megfordítható, ha a másikból.

Például igaz ez a kijelentés:

Amelyik szám osztható 2-vel és osztható 3-mal, az osztható 6-tal. Implikációalakban fogalmazva és ugyanazt képlettel is leírva:

Minden számra: ha osztható 2-vel és osztható 3-mal, akkor osztható 6-tal.

Megfordítását az elő- és az utótag felcserélésével kapjuk:

Minden számra: ha osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel és osztható 3-mal.

Ez is igaz.

Az eredeti kijelentést felírhatjuk azonban másféle implikáció alakjában is. Az átalakítás nem változtatja meg az állítás értelmét és így igazságértékét sem (vagyis igaz marad, mert más ugyan az alakja, de ugyanazt jelenti):

Minden számra: ha osztható 2-vel, akkor amennyiben 3-mal osztható, akkor 6-tal is osztható.

Alakítsuk itt a második implikációt diszjunkcióvá:

Minden számra: ha osztható 2-vel, akkor 3-mal nem osztható vagy 6-tal osztható.

Ebben a formában fordítsuk meg az állítást (cseréljük fel az implikáció elő- és utótagját):

Minden számra: ha nem osztható 3-mal vagy osztható 6-tal, akkor osztható 2-vel.

Igaz-e ez? Jelentését így tehetjük át a halmazok nyelvére: a 3-mal nem osztható számok és a 6-tal osztható számok halmazának az uniója a páros számok halmazának részhalmaza. Ez azonban nem igaz, mert a 3-mal nem osztható, vagy 6-tal osztható számok közé tartozik 1, 5, 7, 11 is, és ezek nem párosak.

Ezt a példát ebben a megfogalmazásban, ezekkel a jelölésekkel nem az általános iskolás diákoknak szánjuk. Köztük legföljebb kivételképpen lehetnek olyanok, akik ezt követni tudják. Tanáraiknak azonban tisztában kell lenniük a logikából annyival, hogy ilyen példák kapcsán tisztán lássák a következőket:

1. Megfordítani csak implikációt lehet. (Akár két kijelentésből, akár két nyitott mondatból alkotott implikációt; az utóbbit akár kvantor nélkül, akár úgy, hogy egy vagy több változója „minden” kvantorral le van kötve. Ha olyan állítás megfordításáról beszélünk, amelyről nem látható azonnal, hogy implikáció, akkor is mindig úgy képzeljük a megfordítást, hogy implikációalakra hozzuk.)

2. Egy implikáció megfordítása elő- és utótagjának a felcserélését jelenti.

3. Egy és ugyanazt az állítást általában többféleképpen is meg lehet fogalmazni implikációként. Megfordítása más és más lehet aszerint, hogy melyik implikációalakból indulunk ki. Lehet ezek közül némelyik igaz, más viszont hamis. (Igaz vagy hamis persze csak kijelentés lehet, nyitott mondat nem.)

4. Megfordíthatónak akkor mondunk egy kijelentést – pontosabban: egy kijelentésnek egy implikációalakját –, ha maga a kijelentés is igaz és szóban forgó implikációalakjának a megfordítása is igaz.

Annak, hogy mégis állítások megfordításáról, nem pedig állítások meghatározott alakjának a megfordításáról szokás beszélni a matematikában, az a magyarázata, hogy a matematikai állításoknak rendszerint van egy „természetes” implikációalakja, és erre vonatkoztatjuk a megfordítást.

Mit kell mindebből látni a tanulóknak? Azt, hogy sok matematikai állítást meg lehet fogalmazni implikáció- („ha …, akkor …”) alakban, és el lehet képzelni úgy, hogy az implikáció azt fejezi ki: egy halmaz egy halmaznak részhalmaza. A megfordítás ebben az esetben azt jelenti, hogy a halmaz az halmaznak részhalmaza. Ha egy állítás megfordítható, akkor mindkettő részhalmaza a másiknak. Ez pedig azt jelenti, hogy és ugyanaz a halmaz. Például a 2-vel és 3-mal is osztható (más szóval: a 3-mal osztható páros) számok halmaza ugyanaz, mint a 6-tal osztható számok halmaza.

HALMAZOK, LOGIKA

HALMAZOK, LOGIKA




2. fejezet - SZÁMTAN, ALGEBRA

1. Számelméleti alapismeretek, természetes számok

1.1. Számok osztói

Az osztó fogalma – számelméleti értelemben – a munkaeszközök használata közben már akkor kezdett kialakulni a gyermekekben, amikor még nem is nevezték nevén. Az osztással való ismerkedés előtt is oldottak meg olyan feladatokat, hogy rakjanak ki valamilyen rudat csupa egyenlő színűekkel. Az ábrán a fehér az 1, ennek megfelelően írtuk be a számokat. A feladat megoldása elvezeti a tanulókat arra a felismerésre, hogy – amint majd később megfogalmazzák – a 6-ban ezek a számok vannak meg maradék nélkül: 1, 2, 3 és 6. Ezek 6-nak az osztói. Sok más tapasztalat is ide vezet. Például 6 gyerek hányasával mehet úgy, hogy minden sorban ugyanannyian legyenek? 1-esével (ekkor 1 gyerek alkot egy sort és 6 sor van), 2-esével, 3-asával és 6-osával. Szöges táblán könnyebben, gyorsabban meg lehet oldani ilyen feladatokat, mint valóságos sorakozással. Még később szöges táblára sincs szükség, ilyen tapasztalatok járnak a fejükben akkor is, amikor papíron osztanak el számokat. De ha nincs elég ilyen tapasztalatuk, akkor nem elevenednek meg előttük a számok, nem látják az osztó szemléletes fogalmát, a számolás technikai része elhomályosítja a lényeges gondolatokat.

6 osztóinak felismerése lehet tapasztalatok útján.

Az ábra megmutatja az összekötő kapcsot is az előbb említett kétféle tapasztalat – egyenlő színű rudakkal való kirakások és sorakozás – közt: téglalapok kirakása színes rudakkal.

Az ilyen feladatok megoldásakor – és általában a számelmélet tanulásakor – megmaradunk a természetes számok körében. Némelyik fogalmat ki lehet terjeszteni negatív egész számokra is, de ezt általában elkerüljük.

A számelméleti ismeretek más matematikai fogalmakhoz is kapcsolódtak. Például felismerték a tanulók, hogy „osztója”, ez két szám közt fejez ki kapcsolatot, és természetes számokból álló halmazokon foglalkozni lehet az „osztója” relációval, például nyilakat húzni mindegyik számtól az osztói felé. Az inverz reláció, amelyet a nyilak megfordításával kapunk, a „többszöröse” szóval fejezhető ki. Ez szinte még egyszerűbb fogalom, mint az, hogy osztója: egy szám többszörösei a természetes számmal való szorzás útján kapott számok. Például 6 többszörösei: 0, 6, 12, 18, … (a 0-szorosa, 1-szerese, 2-szerese, 3-szorosa, …). Nehézséget inkább csak az elnevezés okoz, a gyerekek a 0-szorost és az 1-szerest nem szívesen fogadjál el többszörösnek. De a matematikában – és másutt is – meg kell tanulniuk, hogy a szavak nem mindig azt jelentik, amit első pillanatban gondolnánk a hallatukra. (Még élesebben: a matematikában mi mondjuk meg, mit jelentenek a szavak.)

A 6. osztályban ilyen előzményekre építve adhatjuk a gyerekeknek azt a feladatot, hogy keressék meg az első valahány szám összes osztóját. Ilyenféle táblázatot készíthetnek a számok osztóiról és arról, hogy melyiknek hány osztója van:

Szám

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

Osztók

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

3

2

5

2

7

2

3

2

11

2

13

2

3

2

17

2

19

2

3

2

23

4

3

4

9

5

3

7

5

4

3

4

7

11

6

8

10

4

14

15

8

6

5

21

22

6

16

9

10

12

18

20

Hány osztója van?

1

2

2

3

2

4

2

4

3

4

2

6

2

4

4

5

2

6

2

6

4

4

2

1.2. Prímszám, összetett szám

Sok mindent megfigyelhetnek a számok osztóinak táblázatában a tanulók.

Abban semmiféle rendszer nem találnak, ahogy az egymás után következő számok osztóinak száma változik. De azt látják, hogy csak az 1-nek van egy osztója, a többinek legalább kettő. Akármilyen messze mennek el a számsorban, mindig találnak olyan számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van. Olyanokat is, amelyeknek három osztójuk van. De abban, hogy az ilyen számok mikor következnek, hány szám van közben, nincs semmi szabályosság.

Azokat a számokat, amelyeknek pontosan két osztójuk van, prímszámoknak nevezzük; azokat, amelyeknek kettőnél több osztójuk van, összetett számoknak. Az első néhány prímszám: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. Az 1-nek egyetlen osztója van, önmaga, ezért az 1 nem prímszám, de nem is összetett szám.

1.3. Megfigyelések az osztók számával kapcsolatban

Megfigyelhetik a tanulók, hogy miféle számoknak van három osztójuk. Például ezeknek: 4, 9, 25, 49. Ez éppen az első négy prímszám négyzete (, , , ).

Egy ezzel összefüggő megfigyelés: az osztók száma többnyire páros szám. Mikor páratlan mégis? Akkor, ha a szám négyzetszám. Fejlesztő hatásúak az ilyen kérdések, megfigyelések, feltételezések, megerősítésük újabb példákkal, megcáfolásuk ellenpéldával, magyarázatok keresése, még akkor is, ha egyelőre nem találnak magyarázatot. Az ilyen tevékenység logikai megkülönböztetések kialakításához és elmélyítéséhez is vezet. (Például minden ilyen számnak három osztója van? Csak ilyen számoknak van három osztója? Pontosan ezeknek a számoknak van három osztójuk?)

1.4. Példa matematikai modell keresésére: rabok szabadulása

A török szultánt rábeszéli legkedvesebb felesége, hogy születésnapja alkalmával minden rabot engedjen ki börtönéből. Száz rab ül egy-egy cellában. A cellák 1-től 100-ig meg vannak számozva. Minden cellán olyan zár van, hogy egyszer meg kell forgatni, akkor kinyílik, ha megint megforgatják, újra bezárul, és így tovább. El is küldi a szultán egy emberét, az minden zárat megforgat – eddig minden cella zárva volt, most mind nyitva van –, de a fegyveres őrök még ott vannak a cellák előtt, a rabok csak akkor jöhetnek ki, ha eldördül az ünnepi sortűz. Meghallja ezt a szultán második számú felesége, és gondolkozóba esik. „Ha ez a sok rabló és gyilkos rászabadul az országra, abból nagy baj lesz!” Rábeszélésére a szultán elküld egy másik embert, aki minden második záron forgat egyet. Így ezek a cellák – a második, negyedik stb. – megint bezárulnak, a többi nyitva marad. A szultán harmadik feleségének így sem tetszik a dolog. Elküldet a szultánnal egy harmadik embert, aki minden harmadik záron fordít egyet. És így tovább, egészen a századik feleségig. A századik küldönc is fordít még egyet a 100-as cella zárján, ekkor megszólalnak az ágyúk, és amelyik rabnak nyitva van a cellája, az kijöhet. Hányan szabadulnak ki? Milyen sorszámúak? (Arthur Engel feladata.)

Bármiféle matematikai vagy matematikán kívüli feladat elé állítja a tanulókat később az élet, a megoldás kulcsát aligha fogják ott keresni, hogy „Mit is tanultunk mostanában? Minek a gyakorlására való ez a feladat?” Az iskolára és nem az életre neveljük őket, ha iskolai feladataik megoldásakor viszont szinte mindig itt keresik a kulcsot. Egy-egy adott témát gyakoroltató feladatokra is szükség van azért, az ilyeneket nem akarjuk egészen kiküszöbölni, de jó, ha bőven adunk másféle, nem az éppen tanultakhoz kapcsolódó feladatokat is. Különösen értékesek ezek közül az olyanok, amelyeket nem matematikai alakban adunk meg, a tanulóknak kell őket matematizálniuk, vagyis megkeresniük a megoldásukhoz szükséges matematikai eszközöket, matematikai modellt. Erre példa a fenti feladat.

Az életben ilyen helyzet elé nem kerülnek a tanulók; gyakorlatinak semmiképpen sem nevezhető a feladat. De a matematikai modell keresése olyan tevékenység, amiben nemcsak gyakorlati feladatokon keresztül lehet jártasságot szerezni. Az elképzelt szituációknak, mesés feladatoknak előnye is, hátránya is a sokrétű valóság bonyodalmainak elkerülése, a zavaró-mozzanatok hiánya. A bennük leírt idealizált helyzettől könnyebb eljutni a matematikai modellhez. (De még mindig éppen elég nehéz, sokféle matematikai képességet kíván és fejleszt az útnak ez a szakasza is.)

Már bizonyára elgondolkoztak a feladaton. Ha önállóan oldják meg, akkor jobban bele tudják majd képzelni magukat diákjaik helyzetébe, akiket szintén ajánlatos lesz minden segítség nélkül állítani a feladat elé: Bizonyára leszek, akik néhány számról (az 1, 2, …, 100 számok – a cellák sorszámai – közül) hamar megmondják, kiszabadulnak-e vagy benn maradnak az ott ülő rabok. Az első néhány ilyen részeredmény után pedig elkezdenek találgatni, sejtéseket mondanak ki, ezeket megpróbálják más számokkal megerősíteni vagy megcáfolni stb. Érdemes a feladatot nyitva hagyni, következő órára vagy még későbbre halasztani, különösen, ha sikerült felkelteni az érdeklődést iránta, és várható, hogy többen is eljutnak majd valamilyen megoldásig. Többféle szinten lehet megoldani a feladatot:

a) végigpróbálgatni mind a száz számot (hosszadalmas, de próbálgatás közben jöhet olyan ötlet, amely feleslegessé is teszi az út végigjárását),

b) meggondolni – konkrét példák kapcsán, aztán általánosan is –, hogy milyen tulajdonságú számok vannak a szerencsés rabok celláin (osztókról tanultak, most derül ki, hogy meg is emésztették-e, amit tanultak róluk),

c) ráismerni a szerencsés számoknak valami más – nem az osztóik számával kapcsolatos – tulajdonságára,

d) belátni, hogy ez a két tulajdonság – amire a b) pontban és amire a c) pontban utaltunk – ekvivalens, vagyis pontosan azok a számok ilyenek, amelyek olyanok. A két tulajdonság ugyanazt a számhalmazt jellemzi. (Mégpedig nem is csak az 1-től 100-ig terjedő számok körében.)

(E témához kapcsolódik a Függelékben a Régi feladat – új gondolatok című fejezet.)

2. Műveletek a racionális számkörben

2.1. Törtek és tizedes törtek összeadása és kivonása

A gyakorlati alkalmazások szempontjából fontosabb a kerekített tizedes tört alak (például helyett 0,33), mint a kerekítés nélküli tört alak. A tananyagban mégis szerepel a számolási eljárás kialakítása törtekkel (vagyis tört alakban írt számokkal). Ez elsősorban nemcsak azért hasznos tudás, mert így kerekítés nélkül, pontosan is kiszámíthatjuk például és összegét. Sokkal inkább azért hasznos, mert a törtekkel való műveletek: számpéldákon végzett algebrai átalakítások. Általuk algebrát tanul és gyakorol a gyerek. Az összeadást nem lehet tizedes tört alakban „elvégezni” (polinomhányadossá alakítást jelent: ). Könnyebben megtanulja azonban a gyerek a hányadosok átalakításait számpéldákon, amelyeket el is lehet képzelni (esetleg tizedes tört alakban ellenőrizni), mint elvont formában, mindjárt betűkkel. Különösen akkor könnyű ez, ha kis nevezőjű, egyszerű törtekről van szó. Már az alsó osztályokban sok tapasztalatot szereztek kettedek, negyedek, nyolcadok, hatodok stb. összeadása és kivonása köréből. Ezeket az ismereteiket fejlesztik tovább az olyan feladatok, mint például

Itt még mindig találhatnak közös nevezőt, szinte csak ránézésre, kis gondolkozás és próbálgatás után. Semmiképpen se írjuk elő, hogy mindig a legkisebb közös nevezőt keressék. Jobb híján mindig megteszi a nevezők szorzata. Célszerű viszont megszokniuk, hogy a szorzásokat először csak jelöljék ki, abban a formában egyszerűsítsenek, és csak egyszerűsítések után végezzék el a megmaradó szorzásokat.

Például az előbbi feladatban is, bármilyen természetes és bizonyos értelemben legszebb összeadási mód az, hogy a 60-at választjuk közös nevezőnek, tökéletes és kifogástalannak tekintendő ez a megoldás is:

Egy másik példa:

Nem az a fontos itt, hogy megtakarítják a legkisebb közös többszörös keresését – azt akár észre is vehetik –, hanem az, hogy ne egyetlen megoldási menetet keressenek, hanem lássák, hogy sokféle van, és egyéni ízlésüknek is szerepe lehet abban, melyiket választják.

Közben érdemes felfigyelniük arra: szorzatot úgy oszthatunk, hogy egy tényezőjét osztjuk. Ezt szemléltetéssel, szöveges feladatokkal és számpéldákon át egyaránt érdemes körüljárni, kipróbálni, meggondolni. (A tárgyi feladatok és a geometriai szemlélet jobban sugallják azt, hogy általános összefüggésről van szó, mint akárhány számpélda; az utóbbiak mégis fontosak, hogy gyakorlatot szerezzenek abban, mit kezdjenek ilyen számkifejezésekkel, és ha kell, változókat tartalmazó kifejezésekkel is.)

Tizedes törtek összeadása és kivonása visszavezethető közönséges törtekére. Még jobb, ha emellett a különféle egységekben kifejezhető mértékekre is gondolhatnak és a helyi értékek jelentésén keresztül válik természetessé ez az egyszerű műveleti eljárás. (Ugyanaz a mennyiség kifejezhető egész számként is, tizedes törtként is, például .)

2.2. Utak a tört számmal való szorzás felé

2.2.1. a) Természetes számok szorzása

A szorzáshoz egyenlő számok összeadásán keresztül jutottak a tanulók másodikos korukban, és azóta is ehhez kapcsolódik gondolkozásukban a szorzás. Néhány szemléletes példa:

(Amit a bal oldali rajzok alá írtunk, azt odaírhattuk volna a jobb oldaliak alá is, de fordítva nem. A bal oldalon látszik a különbség szorzandó és szorzó közt, a jobb oldalon a tényezők egyenrangúak; például az utak felsorolását a jelű helyeken és a jelű helyeken is kezdhetjük.)

Az 1-gyel való szorzás különleges abban, hogy ilyenkor nincsenek egyenlő számok és összeadás sincs. Még különlegesebb a 0-val való szorzás, mert akkor a szám sincs. De a feladatoknak ilyenkor is van értelme. Aki kétszer kap 3 Ft-ot, az 6 Ft-ot (), aki egyszer, az csak hármat (), aki pedig egyszer sem kap 3 Ft-ot, az semmit sem kap (). A gyerekek nem sokat törődnek azzal, hogy az „egyenlő számok összeadása” matematikai fogalomkörébe nem illenek bele ezek az esetek; a feladatok értelmet adnak a szorzásnak ilyenkor is, és ez nekik elég. Ha bármit egyszer veszek (1-gyel szorzok), ugyanazt kapom; ha egyszer sem veszem (0-val szorzom), akkor semmit sem kapok, 0 az eredmény.

2.2.2. b) Másféle számok szorzása természetes számmal

Az összeadás alapján olyan szorzásoknak is látják értelmét a tanulók, ahol csak a szorzó természetes szám.

Példák:

A jobb oldalon négy kifizetetlen számla van, mindegyik 20 Ft-ról szól. „Értékük” egyenként Ft, összesen Ft.

Ugyanígy akár negatív tört számokat is lehet természetes számmal szorozni. Ezekben az esetekben is lehet a szorzó 1 vagy 0 is; új gondolat nem kell hozzá.

2.2.3. c) Ár kiszámítása, ha nem egész számú mennyiséget vásárolunk

Ahogy az 1-gyel és a 0-val, úgy a tört számmal való szorzáshoz is leginkább konkrét feladatok útján juthatnak el. Ha az alma kilogrammja 8 Ft,[footnoteRef:1]1 akkor nemcsak 2 kg-ot vagy 3 kg-ot, hanem 2 és fél kg-ot is vásárolhatnak belőle; ekkor ugyan nem csupa egyenlő szám összeadásával lehet kiszámítani az árat, hanem így: [1: 1Az árak a 70-es évekből származnak]

de mi sem természetesebb, mint ilyenkor is szorzással írni le a műveletet:

Talán észreveszik a tanulók, hogy -nek a 8-szorosa egyébként is 20, vagyis összeadással is gondolkozhatunk, ha felcseréljük a tényezőket. Ez érdekes észrevétel, de mégis zsákutca azok között az utak között, amelyeken a tört számmal való szorzáshoz szeretnénk eljutni. Ugyanis csak félútig lehet eljutni rajta: természetes számnak tört számmal való szorzásáig. Ha az alma kilogrammja nem 8 Ft, hanem 8,40 Ft, akkor már nem megyünk vele semmire.

2.2.4. d) Ugyanaz, kisebb egységre térve

Ha valamilyen egységben kifejezve tört szám a szorzó, elég kisebb egységet választani, el tudjuk érni, hogy egész szám legyen. Például . Ha 1 kg alma ára 8 Ft, akkor 1 dkg-nak az ára 8 fillér, és 250 dkg-nak az ára fillér. Az eredmény így is 20 Ft.

A kisebb egység nemcsak az SI-mértékrendszer elfogadott vagy megtűrt egysége lehet, hanem olyasmi is, mint mondjuk fél kiló vagy negyed kiló. Úgy is lehet okoskodni, hogy ha az alma kilogrammja 8 Ft, akkor a fél kiló belőle 4 Ft, 2,5 kg pedig ennek ötszöröse:

2.2.5. e) Megtett út kiszámítása

Ha egyenletes sebességgel haladva

az 1 óra alatt megtett út 80 km, akkor

a 2 óra alatt megtett út ennek 2-szerese, 160 km,

a 3 óra alatt megtett út ennek 3-szorosa, 240 km,

az óra alatt megtett út ennek negyede, 20 km,

a óra alatt megtett út ennek része, 60 km stb.

Ha a 2, 3 stb. – egész számú – órák alatt megtett utat szorzással számíthatjuk ki, akkor természetes dolog olyankor is szorzásról beszélni, amikor nem egész órányi az út. Azt mondhatjuk tehát:

az óra alatt megtett út a 80 km-nek -szerese, (km),

a óra alatt megtett út a 80 km-nek -szerese, (km).

Ez a példa rávilágít a tört rész keresése és a tört számmal való szorzás közti kapcsolatra: egy szám -szeresét természetes dolog úgy érteni, hogy az a számnak a része.

Mit is jelent valaminek a része? Benne van a nevében: 3 negyedrésze. Vagyis először a negyedrészét veszem (elosztom 4-gyel), azután 3 ilyen részt veszek (mgszorzom 3-mal).

Ha a tört számmal való szorzáshoz tört rész keresése útján jutunk, akkor nem összeadásra vezetjük vissza a szorzást, hanem egy osztásra és egy szorzásra. (Jó, ha ezt mi végiggondoljuk, de a gyerekeknek persze nem érdemes ilyet tanítani.)

Mikor lehet a tört számmal való szorzásnak így – tört rész keresése útján – értelmet adni? Akkor, ha tört alakú: valahány valahányad. Ez nem jelent megszorítást, mert minden tört számnak van ilyen alakja. Például 2,5-et -nek is írhatjuk. Mondhatjuk tehát, hogy egy szám 2,5-szeresén a számnak az részét (a felének az ötszörösét) értjük. (Ha újra megnézzük a d) pontot, láthatjuk, hogy valójában ezt is tettük, amikor félkilós egységekben számítottuk ki 2,5 kg alma árát.)

2.2.6. f) Szorzás törttel, ha a tört egész szám

Minden tört számnak van tört alakja, de van minden egész számnak, köztük minden pozitív egész számnak is. Ilyen alakban a pozitív egész számmal való szorzást is visszavezethetjük tört rész keresésére. Újat ez nem ad, de ellenőrzésnek, megerősítésnek érdekes lehet. Példa:

Mennyi 60-nak a része? Az egyharmad része 20, tehát 15 harmadrésze 300.

Mennyi 60-nak a -szorosa? , tehát 60-nak az 5-szörösét keressük. Ez szintén 300.

Itt nem is csak célszerű megállapodás az, hogy a rész ugyanannyi, mint a -szoros. A -dal – mint bármely más természetes számmal – való szorzásnak már régóta van értelme, ismeretes a jelentése alakjától függetlenül. Most kiderült, hogy ez éppen annyi, mint a része. Osztás és szorzás útján ugyanarra az eredményre jutunk, mint ismételt összeadás útján (miután fölismerjük, hogy a természetes szám).

2.2.7. Közbevetőleg: Tört rész és törtrész

Tört rész kereséséről írtunk. Van értelme a törtrész keresésének is, csak más az értelme. Például 3,14-nak a törtrésze 0,14, 5/2-nek a törtrésze . Ugyanezeknek a számoknak az egészrésze 3, illetve 2. Minden szám a maga egészrészének és törtrészének az összege. Egész számok egészrésze maga a szám, törtrésze 0. Törtrész keresése: ez egyváltozós függvény. Úgy képzelhetjük, hogy bedobjuk a számot egy gépbe (például az -et) és kiesik a törtrésze (az ). Annak a kérdésnek, hogy „mennyi az tört része?”, így, két szóba írva, nincs értelme. Meg kell mondanunk, milyen tört részre gondolunk. Például a része . Mindig két számot „dobunk be”, azokból „csinál a gép egy számot” (itt az -ből és a -ből -ot). Tört rész keresése is függvény, de kétváltozós.

2.2.8. g) Téglalap területe

Pozitív egész számok szorzásához olyan példákon át is eljutottak a tanulók, amelyek sugallták a szorzás kommutativitását: mindkét tényezőnek ugyanaz volt a szerepe, mindegy volt, melyikkel szorozzuk meg a másikat. Az egyik ilyen példatípus, téglalapok területének kiszámítása, tört számok szorzását is segíti megérteni.

Ha pozitív egész számokkal fejezhetjük ki az oldalak hosszát valamilyen egységben, akkor a szomszédos oldalak mérőszámainak szorzata adja a területet (a hosszegységnek megfelelő területegységben). Ha két szomszédos oldal közül csak az egyik fejezhető ki egész számmal, akkor is (például egy csíkban 4,5 területegység van, 3 ilyen csík területe ennek a 3-szorosa). Ha egy csúcsban találkozó mindkét oldal mérőszáma tört számmal fejezhető ki, akkor is ki lehet okoskodni a területet, de ez a szokott értelemben nem szorzás, mert nem vezethető vissza összeadásra. Érdemes azonban azt, amit ezzel az okoskodással kihozunk, mégis a két mérőszám szorzatának nevezni. Ez nem új gondolat, hiszen itt is tört rész kereséséről van szó. Például:

A -nak a része .

Azt is mondhatjuk, hogy a -nek a része .

Mi dönthetjük el, melyik oldal mérőszámát tekintjük szorzandónak, melyikét szorzónak. Egyenrangú tényezők vannak a feladatban. (A „tényező” szót használjuk, ismerjék meg a tanulók, különböztessék meg a „tag”-tól.)

2.2.9. h) A szorzás általános értelmezése

Van a szorzásnak egy olyan jelentése, amely nemcsak a tört számmal, hanem bármiféle számmal való szorzásra vonatkozik, egyaránt értelmet ad nekik. Negatív számmal, bármilyen valós számmal, sőt még komplex számmal való szorzásra is ugyanúgy érvényes; ha a számnak van értelme, akkor a vele való szorzásnak is. Pozitív valós számok szorzásán mutatjuk meg. A valós számokat szakaszok hosszával adjuk meg, a megjelölt egységekhez viszonyítva:

Változtassuk meg az egységet: legyen az új egység a két szakasz közül az egyik, például . Keressük meg azt a szakaszt, amelynek a mérőszáma ehhez az új egységhez képest :

Az így kapott szakasz hossza a régi egységben kifejezve és mérőszámának a szorzata.

2.3. Szorzás tizedes törttel

Az eddigiekből is kiderült már, hogy nem a törttel (kijelölt hányadossal) való szorzás kíván új megállapodást, hanem a tört számmal (nem egész racionális – egyelőre pozitív racionális számmal) való szorzás. A jelölés másodrangú. Azért tudtunk a -dal való szorzásra úgy hivatkozni, mint ami már nem okoz gondot, mert alakjától függetlenül egész szám. Ha a tanulók megértik, hogy a tizedes törtek is tört számok, más alakban írva, mint a törtek, akkor kevésbé akadnak fenn azon, hogy ezekkel meg ugyan hogy is kell szorozni. A törtek és a tizedes törtek külön-külön való megtanítása – bármi volt is a sorrend – azzal a veszéllyel járt, hogy a formális szabályok megjegyzése háttérbe szorította a megértést. Sok tanulóban úgy is maradt meg, hogy a törtek és a tizedes törtek külön-külön számfajták, olyasféleképpen, mint a pozitív és a negatív számok. Így még az is külön nehézséget okoz, hogyan végezzék el a műveleteket, ha a „kétféle tört szám” vegyesen fordul elő. Csökkenthetjük a nehézségeket és a formalizmus veszélyét, ha a gyakori oda-vissza alakítgatással élményükké tesszük, hogy csak alaki a különbség. Ha már van értelme a tört számmal való szorzásnak, akkor ezt csak alkalmaznunk kell a tizedes tört alakra. Például az 1,5-del való szorzásnál gondolhatnak arra is; hogy ez , de arra is, hogy . Adhatunk erre is mértékekkel kapcsolatos példákat: Mekkora a téglalap területe, ha az oldalai 0,7 és 1,5 dm-esek? Számoljanak előbb cm és cm egységekben, aztán írják fel az eredményt dm és dm egységekben: . Példák kapcsán eljuthatnak az egyszerűen fogalmazható szabályra: „Úgy szorozzuk őket össze, mintha egész számok volnának, de végül elvágunk annyi tizedesjegyet, amennyi a tényezőkben együttesen van.” De ha nem a maguk erejéből jutnak el ide, csak „megtanulják” a szabályt, akkor minden iskolai szünet után mindent elölről kell kezdeni; és az egyre szaporodó szabályok közt évről évre nehezebben tudnak kiigazodni.

2.4. Százalék kiszámítása

A tört és a tizedes tört alak mellett gyakran használjuk a százalék alakot is tört számok leírására. Egy szám 11 %-a a szám 11 századrészét jelenti. Írhatjuk így is részét, így is: 0,11 részét. Az írásmód mindegy, ugyanarról van szó itt is: tört rész kereséséről, törttel való szorzásról. Ha ebből külön kalkulust, „százalékszámítást csinálunk, akkor ismét csak a szabályok számát növeljük. Ennek az eredményeként ma az iskolázott lakosság jelentékeny része sem tud százalékot számolni, sőt még azt sem tudja, hogy a százalékszámítás nem külön tudomány. Ez nemcsak Magyarországon van így. A zsebszámológépek nagy részére is azért tesznek százalékgombot, és adják drágábban az ilyen gépeket, mert el lehet hitetni az emberekkel, hogy erre szükség van. A százalékgomb kezelését külön meg kell tanulni. Ezt is elkerülheti az, aki tudja, hogy „százalék” ugyanaz, mint „századrész”.

2.5. Tört részből szám keresése. Osztás törttel

Nézzük megint ezt a példát tört rész keresésére (törttel való szorzásra):

80-nak a része 60,

80-nak a -szerese 60.

Ennek a fordítottja – más szóval inverze – ez a feladat:

Ismerem a szám részét (vagy valami más tört részét), keresem a számot.

Például azt kérdezem, minek a része a 60. Szorzással kifejezve: minek a -szerese a 60. Az ilyen szám keresése a szorzás megfordítása; osztás.

Osztás mivel? Amivel szoroztunk, a -del (vagy más törttel, akár tört szám, akár nem). Rajzoljuk fel nyilakkal:

Az alsó nyílhoz csak műveletet írtunk, szöveget nem. Ha helyett 6-tal szoroztunk volna egy számot, például a 10-et; akkor szöveggel is fel lehetett volna írni a fordított műveletet:

De az, hogy „-edrésze” rosszul hangzik. (Így hangzik: háromnegyed-ed-része.) Ezt nem mondjuk, nem is írjuk. Azt viszont még kevésbé írhatjuk a visszafelé menő nyílhoz, hogy része, mert azt az odafelé (jobb felé) irányított nyílhoz írtuk. Az szorzást jelent, nem osztást.

2.6. Mivel szorzunk? Hányszorosa?

A kérdést csak szorzással fogalmaztuk, „rész keresésével” nem. Itt ugyanis zavarok szoktak lenni. Hogy ezt lássuk, menjünk vissza a 6-tal való szorzás példájához. Hogyan kérdezünk rá itt a fölső nyílra? Így: hányszorosa a 10-nek a 60? Hát az alsó, visszafelé irányított nyílra? Így: hányadrésze a 60-nak a 10? Figyeljük meg:

Most menjünk vissza a -hez. Hogyan kérdezünk a fölső nyílra? Ha szorzásra gondolunk, akkor így:

És ha tört rész keresésében gondolkozunk? Szokás ilyenkor így kérdezni:

Például hányadrésze a 80-nak a 60? része.

Ha így tesszük fel a kérdést, akkor ne csodáljuk, hogy a tanulók egy részének a fejében állandósul a zavar szorzás és osztás körül. Ezzel ugyanis osztásra kérdezünk szorzás helyett. Ezt elkerülhetjük azzal, hogy így kérdezünk rá a tört rész keresésére:

A „hányadrésze?” kérdést pedig tartsuk fenn arra az esetre, ha csakugyan osztásról van szó.

A hibás kérdés eredete az, hogy amikor kiszámítjuk egy számnak a részét – vagy valamilyen más tört részét –, akkor osztunk is és szorzunk is. Mégpedig általában először osztunk (4-gyel) és azután szorzunk (3-mal). A „hányadrésze?” kérdés e két művelet közül csak az elsőre, az osztásra, kérdez rá. Sajnos azonban, amikor ebből a két műveletből egyetlen művelet lesz, akkor az éppen nem osztás lesz, hanem szorzás (-del). Ha a kérdésben utalnánk szorzásra is, nemcsak osztásra, akkor logikailag elfogadható volna („HÁNY HÁNYADRÉSZE a 80-nak a 60?”), csak nyakatekert. Kifejezőbb az, hogy MEKKORA RÉSZE?, vagy a törtre utalva: MILYEN TÖRT RÉSZE? Még ennél is jobb, ha szorzásra fogalmazzuk át, mihelyt lehet: HÁNYSZOROSA? Példáinkban: hányszorosa a 10-nek a 60, vagy a 80-nak a 60? Általánosan:

Egyenlettel:

A megoldás mindig a második és az első szám hányadosa, ebben a sorrendben:

2.7. A számolási eljárások

Ahogy a tört rész keresése – törttel való szorzás – megértése után következhet ennek lefordítása a különféle jelölésmódokra és a célszerű számolási eljárások kialakítása, ugyanez áll az inverz műveletekre is. Mindkét inverz művelet osztás, mégis másféleképpen gondolkozunk, amikor az a kérdés, mi az a szám, aminek a része (-szerese, 0,75-szorosa, 75%-a) 60, és akkor, amikor azt kérdezzük, mekkora része (hányszorosa, hány százaléka) egy számnak a másik, például a 80-nak a 60. Amint a tanulók megértették ezeket a feladatokat, kialakíthatjuk velük a jelölésmódnak megfelelő számolási eljárásokat. Jó, ha ezek nem kötődnek túlságosan a szám alakjához, hanem inkább alaktól (leírásmódtól) független törvényszerűségek alkalmazásai egy-egy jelölésmódra. Lássunk erre néhány példát:

1. Az -kal növelt összeg 999,60 Ft. Mennyi volt az eredeti összeg?

a) Fejben. Az eredeti összeg 999,60 Ft-nál kb. 5%-kal kevesebb. (A gyerekek bizonyára azt hiszik, hogy pontosan annyival kevesebb. Ez ugyan nem igaz, de becslésnek – ezeknél az adatoknál – jó kiindulás.)

Kerekítve számolunk: Kb. 1000 Ft-ról van szó. Ennek a 10%-a 100 Ft, 5%-a 50 Ft. . Ez a becslésünk.

b) A számítás előkészítése. Ha 5%-kal növelünk egy összeget, a 105 százalékát kapjuk. Vagyis 105 századrészét, részét, 1,05 részét, 1,05-szorosát. (Fölösleges elsorolni a sokféle fogalmazást, mindenki kedve szerint válogathat köztük; van, akinek az egyik a kifejezőbb, van, akinek a másik.) Minek az 1,05-szorosa 999,60?

c) A számítás elvégzése írásban.

(Használhatják az jelölést is.)

(Mindegy, hogy így írják, vagy -nak vagy -nak stb.)

Érdemes a számlálót és a nevezőt (osztandót és osztót) ugyanazzal a számmal: 100-zal szorozni. Így az osztó egész szám lesz:

950 Ft volt a becslés, annak ez megfelel. Csak az gondolkoztat el, hogy 999,60 fölkerekített értékéből kaptuk fejben a 950-et, így a számítás eredményeként inkább 950-nél kevesebbet várhattunk, mégis többet kaptunk. Mi lehet az oka? Igen, az hogy az 5%-os csökkentés és az 5%-os növelés egymásnak nem inverzei, nem közömbösíti egymást. Nagyjából igen, és így az ellenőrzés helyénvaló volt. Pontosan azért nem, mert az 5%-os növelés 1,05-dal való szorzást, az 5%-os – vagyis 95%-ra való – csökkentés pedig 0,95-dal való szorzást jelent (szintén szorzást!); ezek egymásutánja: szorzás -dal, ami nem 1, hanem 0,9975.

Az ellenőrzést – vagy akár már a számítást is – elvégezhetjük számológéppel.

2. Ha óra alatt 77 km-t tettünk meg, mekkora volt ezen az úton az átlagsebességünk km/órában?

Szándékosan adtunk itt meg olyan adatokat, hogy ne legyen egyszerű a számítás. A tanulóknak bizonyára az a legtermészetesebb, hogy először kiszámítsák a negyedóra alatt, azután az 1 óra alatt megtett utat, vagyis előbb osszák el a 77-et 3-mal, azután szorozzák meg az eredményt 4-gyel.

Nem lehet-e fordított sorrendben számolni? De igen. Már a 4. osztályban találkozhattak azzal a gondolattal, hogy a nemcsak 3 negyedet jelent, hanem 3-nak a negyedét is. Kiszámíthatják tehát előbb a 3 óra alatt megtett utat (ez a 77-nek a 4-szerese lesz), és ennek vehetik a harmadát. Egyszerűbb lesz a számolás.

Ha számológéppel számolnak, akkor még értelmesebb ezzel az okoskodással készíteni elő a számítást: az 1 óra alatt megtett útnak része, vagyis -szerese, 0,75-szorosa a 77. A sebesség tehát (km/h). (A gépen 102,66666 látható, ezt kerekítettük egy tizedesjegyre. Nagyobb pontosságnak itt aligha van értelme.)

3. Hányszorosa (mekkora része, hány százaléka) a 8-nak a 9?

A kérdés ugyanaz a három változat szerint, legföljebb alakilag lesz más-más a válasz.

a) Hányszorosa? . (Számológéppel vagy írásban.) A 9-et osztottuk a 8-cal, mert a 9-ről kérdeztük meg, hányszorosa a 8-nak. (Ez az egészben a legfontosabb, egyben a legsúlyosabb hibák forrása is. Ha az osztó nagyobb az osztandónál, akkor meg különösen.) Helyes válasz lett volna már az is, ha megállunk a -nál. Ennyiszerese a 8-nak a 9. Ezt persze -nak, -nak is írhatjuk, és így már többen elfogadják helyesnek a választ: -szorosa. Pedig attól nem lett helyesebb, hogy másféle osztásjelet használunk. A tizedes tört alak mindenesetre szokottabb, könnyebb elképzelni.

b) Mekkora része? Most viszont alakban szokottabb a válasz. Pedig helyes így is: 1,125 része.

c) Hány százaléka? Ezt a tizedes tört alak kis átalakításával a legkönnyebb megmondani. . Ennyi százaléka. Ha másképpen nem, úgy mindig átláthatják: , tehát itt:

a számlálóba olyan számot kell írni, hogy igaz legyen, amit leírunk. De legjobb, ha nem írjuk elő nekik, milyen gondolatmenettel, milyen formában találják meg a helyes választ.

A számolási eljárások közé tartozik a törttel való osztásnak az a szokott szabálya, hogy a „fordított törttel szorzunk”. Ezt sem megtanítani való szabálynak tekintjük, hanem felfedeztetésre alkalmas összefüggésnek. Az egyik legfontosabb lépés e felé annak a szilárd ismerete, hogy ugyanazzal a számmal való szorzás és osztás egymás inverzei. Ezért például -nek a 7-szerese 5.

4. Általánosan: bármely tört nevezőszöröse a számláló. Egy másik fontos előismeret az, hogy a bővítés (számláló és nevező szorzása ugyanazzal a számmal) nem változtat a tört – vagyis a hányados – értékén. Tudniuk kell, hogy ez nemcsak akkor igaz, ha egész szám a számláló és a nevező (osztandó és osztó). Például ez a hányados:

ugyanakkora marad, ha a 3-at is és az -et is 7-tel szorozzuk:

Már meg is van az eredmény. Teljesen mindegy, így írjuk-e ezt vagy például így:

Ugyanennyi 3-nak a része, vagyis -szöröse is. Más számokkal számolva, betűkkel is ugyanilyen eredményre jutnak.

2.8. Kapcsolat a geometriával

Ábráink részben szakaszok nyújtásával–zsugorításával, részben síkidomok területével mutatnak be szorzásokat és osztásokat, összetételeiket, megfordításaikat. (Ezek már a végeredmények; a rajzokat a tanulók egészítgetik ki, kevés adatból kiindulva.)

Nemcsak 1-et jelenthetnek a kis szakaszok és négyzetek, hanem bármely pozitív egész vagy tört számot. Érdemes választást engedni a tanulóknak, milyen számokkal próbálgatják végig ezeket a műveleteket, és milyen alakban írják ezeket a számokat. (Ha tizedes tört alakot választanak, akkor néha érdemes kerekíteniük.) Az a tanulságos, ha az ilyen ábrák a tanulók minél nagyobb mértékű közreműködésével alakulnak ki.

Rajzainkon sokféle nyíl és művelet látható. A tanulók talán nem találják meg mindazt, ami a rajzokon látható, viszont találhatnak egyebeket is. Például az első rajzon a középső nyíl 50%-kal való növelést is kifejez. Ha valaki ezt így írja: %, nem valami pontosan használja a jeleket, mert ez szoros értelemben azt jelentené, hogy -et adunk az első mennyiséghez, akármekkora is. Vizsgáltassuk meg a tanulókkal, mit jelent akkor a visszafelé irányított nyíl. Azt gondolnánk, hogy %. De kiderül, hogy nem % lesz, hanem (kerekítve) -a, mert a harmadát vesszük el a jobb oldali szakaszból, úgy kapjuk a bal oldalit. Erről a gondolatról már volt szó az 5%-os növelés és csökkentés kapcsán (lásd itt). Érdemes erre többször is visszatérni. Ehhez kapcsolódhat az a másik gondolat, hogy a százalékos növelések nem adódnak össze. Például % és % együtt nem %, mert , hanem (80%-os növelés).

Példáinkban szakaszok hosszának és síkidomok területének változásaival érzékeltettük a szorzásokat és osztásokat. Mélyebb geometriai gondolatokat érintünk akkor, ha síkidomokat vagy testeket lineárisan nagyítunk vagy kicsinyítünk meghatározott arányban; ilyen transzformációkat teszünk össze, keressük az inverzüket stb. Például a négyzetből mindig négyzet lesz, és azt írjuk a nyilakhoz, hogy milyen arányban változott egy-egy oldala, nem pedig a területének változásait. Így a hasonlóság geometriai fogalmát hozzuk kapcsolatba a számokkal: arányok egyenlőségét figyelhetjük meg és írhatjuk fel.

A szorzásnak és osztásnak geometriai transzformációkkal való szemléltetése több szempontból is hasznos.

1. Kiemeli azt, ami a különféle számokkal való szorzásban közös. Az 1-nél nagyobb tört számokkal (például 2,5-del) való szorzások természetesen illeszkednek az 1-nél nagyobb egész számokkal való szorzások közé. A 0 és 1 közötti számokkal való szorzás ugyan nem nagyítást jelent, hanem kicsinyítést, de például a „0,75 arányú nagyítás” éppúgy elfogadható, mint 2 kivonására az, hogy „-vel való növelés”.

2. Segíti annak a felismerését, hogy minden osztást szorzásnak is tekinthetünk, vagyis szorzás és osztás közt sincs lényegi különbség. Például a 2,5-del való szorzás megfordítása egyrészt osztás, 2,5-del (-del), másrészt azonban szorzás 0,4-del (-del):

A transzformációs szemléletet függvényszemléletnek is mondhatjuk: a nyilak elején vannak a bemenő, végüknél a kijövő adatok. Ha két nyilat eggyel helyettesítünk, akkor függvényeket teszünk össze („két gép helyett egy”, szoktuk mondani már az alsó tagozaton). Ábrázolhatjuk ezeket a függvényeket két párhuzamos számegyenessel. Szokottabb a derékszögű koordináta-rendszerben való ábrázolás. Ekkor a „számmal szorzás” vagy „számmal osztás” függvény grafikonja mindig egyenes; mégpedig a koordináta-rendszer kezdőpontján átmenő egyenes.

Példa:

Egyelőre csak pozitív tényezőkre gondolunk. Az ábra is ennek az esetnek felel meg.

Ez a függvény a lineáris függvény legegyszerűbb speciális esete: egyenes arányosság. Általánosan: ; nyíljelöléssel: .

2.9. Negatív szám szorzása pozitív tört számmal

Példáinkban a szorzandót szakasz hosszával, síkidom területével szemléltettük, és amikor másféle mennyiségről volt szó (például pénzről), akkor sem utaltunk arra, hogy ez negatív is lehet. Mégsem jelent külön nehézséget az az eset, amikor negatív számot kell szorozni pozitív számmal, még ha az tört szám is. Ahogy 8-nak a 4-gyel való szorzását összeadásra vezethetjük vissza:

ugyanúgy a 4-gyel való osztását is, hiszen ez olyan szám keresését jelenti, amelyből négy kell, hogy 8-at kapjunk:

Így azt is ki tudják következtetni a tanulók, hogy mennyi -nak a 3 negyedrésze, vagyis a -szerese:

Ez a példa túlságosan is egyszerű volt: csupa kis egész számokkal számoltunk. Lényegesen új gondolatot az az eset sem kíván, ha közben tört számokkal kell számolnunk, vagy akár az a szám is negatív tört szám, amelyet szoroznunk kell. Egy példa az utóbbira, ez is a legegyszerűbbjéből:

Az a szám, amit szoroztunk, -nek a negyede. A számegyenesen könnyű látni, hogy ez mínusz egynegyed (a 0-tól a -hez irányított nyíl negyede a 0-tól az -hez irányított nyíl, csak az iránya ellentétes):

Írhattuk volna tehát így is: . De egyszerűbb úgy írni, és érdemes megjegyezni, hogy a kétféle írásmód ugyanazt jelenti.

Hasznos megfigyelni, hogy mindazt, amit így kiokoskodunk, közvetlenül le lehet olvasni az egyenes arányosság grafikonjáról, csak meg kell hosszabbítani a megfelelő irányú egyenest a kezdőponton túl is:

A negatív számmal való szorzás mindenképpen új gondolatokat kíván. Lássuk előbb azt az esetét, amikor negatív egész számmal szorzunk.

2.10. Szorzás negatív egész számmal

3

2

1

0

3

9

6

3

0

2

6

4

2

0

1

3

2

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

2

3

0

2

4

6

0

3

6

9

A táblázatban csak a , , fejű oszlopról olvashatunk le negatív számmal való szorzást. A szabályszerűséget, amit itt látnak, például így foglalhatják szavakba: negatív számmal ugyanúgy szorzunk, mintha pozitív lenne, csak az eredmény előjelét kell ellenkezőjére változtatnunk. (Egy szám -szorosa csak előjelében különbözik a szám 3-szorosától stb.) Nem csoda, hogy így van, hiszen éppen abból indultunk ki: mínusz mindig valaminek az ellenkezőjét jelenti, akkor is, ha szorzásról van szó. Eljuthatnak persze más megfigyelésekhez is. (Például két egyező előjelű szám szorzata pozitív, két különböző előjelűé negatív.)

Ez kétbemenetű táblázat, kétváltozós függvény értéktáblázata. Mindkét tényező változik, a bemenő adat számpár, az első számot a vastag vonaltól balra levők közül, a másodikat a másik vastag vonal fölött levők közül választjuk ki. A táblázat belsejében találhatók a függvény értékei, a bemenő számpárokhoz tartozó kijövő adatok. Minden oszlopban más-más számmal való szorzás eredményei vannak, más-más egyváltozós függvény kijövő adatai. Ezeket külön-külön egy-egy egyenessel lehet ábrázolni, amint azt az ábra mutatja.

A szorzásnak negatív szorzóra való kiterjesztését is érdemes valami alkalmazási példával motiválni.

A vagyon-modell gondolatköréhez illeszkedik a következő példa:

Ha egy gazdasági társuláshoz újabb 10 tag csatlakozik úgy, hogy fejenként 5 millió Ft-ot hoznak be, akkor nyilván millió Ft-tal növekszik a közös vagyon, ha 10 fő kilép és elviszik a fejenként 5 millió részüket, akkor 50 millió Ft-tal csökken a közös vagyon: .

Ha az új tagoknak fejenként 5 millió Ft adósságuk van, és ezt a társaság átvállalja, akkor is 50 millió Ft-tal csökken a vagyon, .

A legérdekesebb az az eset, amikor 10 fő kilép, viszik magukkal a fejenkénti 5 millió Ft adósságukat, ez a társaság számára 50 millió Ft hasznot jelent:

Csekő Géza (1904–1984) tanár példája

2.11. Szorzás negatív tört számmal

Ehhez a szorzáshoz nem kell új gondolat. Kitölthetnek a 41. oldalon levőhöz hasonló táblázatot, például ilyen adatokkal:

0

1

0

Megoldhatnak és ábrázolhatnak hasonló hőmérséklet-emelkedési vagy egyéb feladatokat, amelyekben negatív tört számmal kell szorozni (pl. a hőmérséklet óránként 0,5 fokkal vagy 1,2 fokkal süllyed). Sok időt azonban nem érdemel ez a feladattípus, mert a negatív számmal való szorzás egyszerű előjelszabálya független attól, egész szám-e a szorzó vagy tört szám, a tört számmal való szorzás technikája pedig független attól, mi a szám előjele. Csupán azért érdemes mégis foglalkozni ilyen feladattal, hogy meggyőződjenek a tanulók arról: a nehézségek itt nem halmozódnak, ijedelemre nincs ok.

2.12. A szorzás általános értelmezése, ha a szorzó negatív

1. Először a szorzó legyen . Ehhez mint új egységhez képest keressük meg a számegyenesen a másik tényező (a szorzandó) helyét, azután nézzük meg, mi lesz ez a régi egységben kifejezve.

a) Ha a szorzandó () pozitív:

( helye az új egységhez képest).

Látni az ábráról, hogy -nak a -szerese a régi egységhez képest éppen .

b) Ha a szorzandó negatív (most is -val jelöljük!):

Most is -nak 0-ra vonatkozó tükörképe lesz a számegyenesen -nak a -szerese. Ezt szintén -val jelölhetjük. Ha például , akkor , vagyis .

c) Ha a szorzandó 0, akkor a -szerese is 0.

2. Legyen most a szorzó valami más negatív szám, például . (Amit leírunk és lerajzolunk, az értelemszerűen akkor is érvényes, ha a szorzó nem egész szám; eshet 0 és közé is.)

a) A szorzat helye az új egységhez, 2-höz képest a számegyenesnek 0-ra nézve ellenkező oldalán lesz, mégpedig kétszer akkora távolságban:

Vagyis -nak a -szerese -nak az ellentettje, . (Rajzunkon negatív, de amit mondtunk, az arra az esetre is érvényes, ha pozitív vagy 0.)

2.13. Osztás negatív számmal

Negatív számmal való osztásra vezet például ez a feladat:

Melyik az a szám, amelynek a -szerese (vagy stb.)?

Más szemlélet van mögötte, de szintén negatív számmal való osztásra vezet a következő feladat:

-nek hányszorosa (vagy stb.)?

Mindkét esetben egy szorzat ismeretlen tényezőjét keressük, mindkét esetben az (stb.) osztás adja meg a választ. (Nemcsak , hanem helyébe is képzelhetünk itt más számot, negatív egész, sőt negatív tört számot is.)

Ilyen példák megoldása elvezeti a tanulókat arra a felismerésre, hogy amikor egy számot negatív számmal osztunk, akkor pozitív számból negatívat, negatívból pozitívat kapunk; az osztás próbája, a szorzás, elárulja, hogy csak ilyen eredményt várhatunk.

A hányados – vagyis az ismeretlen tényező – abszolút értékét osztással tudják meghatározni: .

A legfontosabb megint az, hogy minél nagyobb önállósággal eljussanak a helyes megoldáshoz, a legkül

tankonyvtar.hu · web viewaz is elképzelhető volna, hogy az említett 1, 4, 2-höz hasonló...

Documents