wafylisibica – theorie 4. wafylisibica - mechanica.pdf · 2011-01-07 · wafylisibica – theorie...

WAFYLISIBICA – Theorie 4

2. Mechanica

De mechanica is het onderdeel van de natuurkunde dat over het algemeen het meest herkenbaar

is in het dagelijks leven. In dit hoofdstuk wordt in beknopte vorm een overzicht gegeven van de

(klassieke) mechanica. Zo zullen verschillende typen beweging, de krachten die deze beweging

veroorzaken en vormen van energie die daarbij van toepassing zijn aan bod komen.

2.1. Beweging Er wordt wel eens gezegd: “Panta rhei”, wat zoveel betekent als “Alles beweegt”. Als je

eens om je heen kijkt, blijkt deze stelling ook absoluut waar te zijn. Alles om je heen

verplaatst zich voortdurend. Natuurkundigen gaan bij dat om zich heen kijken echter een

stapje verder. Zij proberen te achterhalen hoe een waargenomen beweging exact

plaatsvindt en/of wat de oorzaak is van die beweging.

Om bewegingen te analyseren, zijn diverse grootheden aan de orde. Toch zijn er eigenlijk

slechts vier grootheden nodig om een beweging compleet vast te kunnen leggen: de tijd, de

plaats, de snelheid en de versnelling. De eenvoudigste van deze grootheden is de tijd

(symbool t). Deze behoort tot de zeven basisgrootheden en wordt standaard uitgedrukt in

de eenheid seconde (s).

De plaats is wat lastiger vast te leggen, afhankelijk van de gegeven situatie. Zo kan er

gekeken worden naar de positie van een voorwerp op een bepaald tijdstip. Deze positie

wordt ook echt de plaats (symbool x(t); de plaats x op tijdstip t) genoemd. Er kan echter

ook gesproken worden over de verplaatsing (s of ∆x). Dit is de afstand die een voorwerp

heeft afgelegd, gericht langs een rechte lijn. Tot slot kan er gekeken worden naar de

afgelegde weg (s), die de totaal afgelegde afstand aanduidt. Voor zowel de plaats, de

verplaatsing als de afgelegde weg geldt echter dat de eenheid de meter (m) is. In voorbeeld

2.1 wordt het verschil tussen plaats, verplaatsing en afgelegde weg verder toegelicht.

Voorbeeld 2.1 In figuur 2.1 staat een foto afgebeeld van “La

grande roue”, een groot reuzenrad. De straal van

dit reuzenrad bedraagt 20 m. Op de foto zijn twee

punten aangegeven, A en B, die exact tegenover

elkaar liggen op het rad.

De posities A en B zijn plaatsen. Door een (x,y)-

coördinatenstelsel vast te leggen, kunnen deze

posities eenvoudig met coördinaten worden

vastgelegd.

De getekende rechte pijl geeft een weergave van

de verplaatsing ∆x. De verplaatsing kan dus

eenvoudig berekend worden:

rx ⋅=∆ 2

40202 =⋅=∆x m

De afgelegde weg s bij verplaatsing van punt A naar punt B beschrijft een

cirkelboog, die in deze situatie bestaat uit een halve cirkel. Ook de afgelegde weg is

dan te berekenen:

rs ⋅⋅⋅= π22

1

6420 =⋅= πs m

Fig. 2.1: La grande roue

A

B s


De snelheid (v) die een bewegend voorwerp bezit, is een maat voor het tempo waarmee de

beweging plaatsvindt. De snelheid geeft daarbij niets meer aan dan de grootte van de

verplaatsing (of afgelegde weg) per tijdseenheid (dus per seconde). Aangezien

verplaatsingen standaard in meter worden uitgedrukt, leidt dit tot de standaardeenheid

“meter per seconde” (m/s) voor snelheid. Het zal je bekend zijn dat snelheid echter veel

vaker wordt uitgedrukt in “kilometer per uur” (km/uur). Uiteraard is dit toegestaan en in

veel situaties zelfs gewenst, maar in formules waarin een snelheid vermeld staat, dient deze

altijd te worden uitgedrukt in m/s.

In de praktijk bestaan er diverse typen bewegingen. Grofweg zijn deze in te delen in drie

categorieën: bewegingen met een constante snelheid, versnelde bewegingen (bewegingen

waarbij de snelheid in de loop van de tijd toeneemt) en vertraagde bewegingen

(bewegingen waarbij de snelheid in de loop van de tijd afneemt). Om aan te geven in

welke mate een beweging versneld of vertraagd is, heeft men het begrip versnelling

geïntroduceerd. Deze grootheid geeft aan met welke waarde de snelheid toeneemt of

afneemt per seconde. In formulevorm kan de definitie van versnelling als volgt worden

weergegeven:

t

va

∆

∆=

In deze formule staat a voor de versnelling (in m/s2), ∆v voor de snelheidsverandering (in

m/s) en ∆t voor het tijdsinterval waarin de snelheidsverandering plaatsvindt (in s). Hierbij

dient te worden opgemerkt dat de snelheidsverandering ∆v altijd bepaald wordt door de

eindsnelheid te verminderen met de beginsnelheid. Dit heeft tot gevolg dat de versnelling

een positieve waarde heeft als er sprake is van een versnelde beweging en een negatieve

waarde als er sprake is van een vertraagde beweging.

2.2. Eenparige beweging

De meest eenvoudige bewegingsvorm is wel de eenparige beweging. Dit is een beweging

die plaatsvindt met een constante snelheid. Een formule voor de plaats van een voorwerp

dat een eenparige beweging uitvoert, is redelijk eenvoudig op te stellen:

( ) ( )0xtvtx +⋅=

In deze formule is x(t) de plaats op een tijdstip t (in m), v de snelheid (in m/s), t de tijd (in

s) en x(0) de plaats van het voorwerp op tijdstip t = 0 s (de startpositie, in m). Vaak wordt

er echter voor gekozen de startpositie op 0 m te stellen. In plaats van de plaats kan dan

onmiddellijk de verplaatsing s(t) berekend worden. De formule krijgt dan de vorm:

( ) tvts ⋅=

In de bewegingsleer is het gebruikelijk om grafieken te tekenen waarin de, van belang

zijnde, grootheden (plaats, snelheid en later ook versnelling) staan uitgezet tegen de tijd.

Voor een eenparige beweging

zien deze diagrammen eruit

zoals weergegeven in figuur 2.2

((x,t)-diagram) en 2.3 ((v,t)-

diagram).

0 2 4 6 8 10 t (s)

0

1

2

3

v (

m/s

)

t (s)

v (m/s)

0 2 4 6 8 10 t (s)

0

10

20

30

x (

m)

t (s)

x (m)

Fig. 2.2: (x,t)-diagram voor een

eenparige beweging.

Fig. 2.3: (v,t)-diagram voor een

eenparige beweging.


2.3. Omgaan met bewegingsdiagrammen Zoals al aangegeven in paragraaf 2.2 is het in de bewegingsleer gebruikelijk om grafieken

(diagrammen) te tekenen waarin de, van belang zijnde, grootheden (plaats, snelheid en

versnelling) staan uitgezet tegen de tijd. Uit deze diagrammen is veel informatie af te

leiden. Niet alleen door de, op de assen uitgezette, grootheden direct af te lezen, maar ook

door de betreffende grafiek nog aan een nadere inspectie te onderwerpen.

In figuur 2.4 staat het (x,t)-diagram voor een

eenparige beweging nogmaals weergegeven. Door

waarden te verbinden aan de assen van de grafiek

kan worden achterhaald dat de grafiek steiler zal

verlopen als de snelheid groter wordt. De steilheid

van de grafiek is blijkbaar een maat voor de snelheid

van de beweging. Deze richtingscoëfficiënt kan

berekend worden door twee punten (A en B) op de

grafiek te kiezen en de desbetreffende verplaatsing

∆x en het tijdsinterval ∆t te bepalen. De snelheid

wordt dan berekend volgens de formule:

AB

AB

tt

xx

t

xv

−

−=

∆

∆=

In de praktijk is het echter niet altijd mogelijk de richtingscoëfficiënt van een grafieklijn

direct te bepalen. Als de grafiek immers geen rechte lijn beschrijft, is het niet mogelijk een

richtingscoëfficiënt direct te bepalen. Om de snelheid op een tijdstip te kunnen berekenen,

zal er een raaklijn moeten worden getekend aan de grafiek op het desbetreffende tijdstip.

Een raaklijn is een rechte lijn die raakt aan een punt van de grafiek en die de richting van

de grafiek in dat punt aangeeft.

Voorbeeld 2 In figuur 2.5 staat het (x,t)-

diagram weergegeven van een

bewegend voorwerp. Doel van

dit voorbeeld is het bepalen van

de snelheid van het bewegende

voorwerp op tijdstip t = 6,0 s.

Hiertoe dient er op het tijdstip

een raaklijn te worden

getekend, zie figuur 2.5. Op de

raaklijn kunnen vervolgens

twee punten worden gekozen,

waarmee de waarde voor de

verplaatsing ∆x en het

tijdsinterval ∆t bepaald kunnen

worden. De snelheid kan dan

worden berekend:

( ) 6,90,310

0670,6 =

−

−=

∆

∆=

t

xv m/s

Naast het bepalen van de richtingscoëfficiënt in een grafiek, is het tevens mogelijk om te

bekijken of het oppervlak onder de grafiek betekenis heeft.

Fig. 2.4: (x,t)-diagram voor een eenparige

beweging.

0 2 4 6 8 10 t (s)

0

10

20

30

x (

m)

t (s)

x (m)

∆t

∆x

A

B

0 2 4 6 8 10 t (s)

0

20

40

60

80

x (

m)

Fig. 2.5: (x,t)-diagram van een bewegend voorwerp.

∆x

∆t


In figuur 2.6 staat het (v,t)-diagram voor een

eenparige beweging nogmaals weergegeven. De

grafiek laat duidelijk zien dat de snelheid constant is.

Het oppervlak onder het diagram kan berekend

worden door de snelheid v te vermenigvuldigen met

het tijdsinterval ∆t. Een snelheid vermenigvuldigt

met een tijd leidt tot de verplaatsing. Uit de definitie

van snelheid kan immers worden afgeleid:

t

xv

∆

∆= → tvx ∆⋅=∆

Het oppervlak onder een (v,t)-diagram stelt dus de

verplaatsing voor.

Zowel de richtingscoëfficiënt als het oppervlak kan worden afgeleid voor zowel een (x,t)-,

een (v,t)- als een (a,t)-diagram. De resultaten hiervan staan weergegeven in tabel 2.1.

(x,t)-diagram (v,t)-diagram (a,t)-diagram

richtingscoëfficiënt snelheid v versnelling a geen betekenis

oppervlak geen betekenis verplaatsing ∆x snelheidsverandering

∆v

2.4. Eenparig versnelde beweging

In paragraaf 2.2. is de eenparige beweging aan bod gekomen. Dit is een beweging die

plaatsvindt met een constante snelheid. Een ander bewegingstype waar redelijk eenvoudig

aan te rekenen is, is de eenparig versnelde beweging. Dit is een beweging die plaatsvindt

met een constante versnelling. In de praktijk betekent dit dat de snelheid in de loop van de

tijd voortdurend toeneemt (versnelling is positief) of afneemt (versnelling is negatief) met

een constante waarde. Voor een eenparig versnelde beweging hebben de bewegings-

diagrammen standaard de vorm zoals weergegeven in figuur 2.7 ((s,t)-diagram), 2.8 ((v,t)-

diagram) en 2.9 ((a,t)-diagram). Uit bovenstaande grafieken zijn formules op te stellen

voor de eenparig versnelde beweging.

De snelheidsfunctie voor een eenparig versnelde beweging luidt:

( ) ( )0vtatv +⋅=

In deze formule staat v(t) voor de snelheid op een tijdstip t (in m/s), a voor de versnelling

(in m/s2), t voor de tijd (in s) en v(0) voor de snelheid op het tijdstip t = 0 s (de

beginsnelheid, in m/s). De verplaatsingsfunctie (in de meeste gevallen wordt er bij

0 2 4 6 8 10 t (s)

0

1

2

3

v (

m/s

)

t (s)

v (m/s)


eenparige beweging.

∆t

v

Tabel 2.1: Mogelijkheden met mechanica-diagrammen.

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10

t (s)

a (m/s2)

t (s)

v (m/s)


eenparig versnelde beweging.

Fig. 2.9: (a,t)-diagram voor een


0 2 4 6 8 10

0

20

40

60

80

100s (m)

t (s)

Fig. 2.7: (s,t)-diagram voor een



versnelde bewegingen slechts gewerkt met de verplaatsing en niet met de plaats) voor een

eenparig versnelde beweging luidt:

( ) ( ) tvtats ⋅+⋅⋅= 02

1 2

In deze formule staat s(t) voor de verplaatsing op een tijdstip t (in m), a voor de versnelling

(in m/s2), t voor de tijd (in s) en v(0) voor de snelheid op het tijdstip t = 0 s (de

beginsnelheid, in m/s). Er moet nadrukkelijk worden opgemerkt dat, in de meeste

praktijksituaties, beide vergelijkingen nodig zijn om een probleem op te lossen, zoals ook

wordt toegelicht in voorbeeld 3.

Voorbeeld 3 In figuur 2.10 staat een gedeelte van de baan

weergegeven van de Goliath. Het treintje

wordt langs de baan aan de rechterzijde van de

foto opgehesen en stort zich vervolgens langs

een steile helling naar beneden. Op de baan

zijn twee punten (A en B) aangegeven die op

een afstand van 26 m van elkaar liggen. In

punt A staat het treintje nagenoeg stil, terwijl

het in punt B een snelheid heeft van 58

km/uur. De beweging van het treintje is

eenparig versneld.

Bereken de versnelling van het treintje op dit

gedeelte van de baan.

Bij dit soort opgaven is het zaak een goed beeld te krijgen van de gegeven situatie en

waarden die gegeven zijn. Een duidelijke weergave van de situatie staat in figuur

2.10 (maar een schematische tekening kan ook gewenst zijn). Verder is bekend:

− de verplaatsing tussen de punten A en B bedraagt 26 m: ( ) 26=ts m

− de snelheid in punt A (de beginsnelheid) bedraagt 0 m/s: ( ) 00 =v m/s

− de snelheid in punt B bedraagt 58 km/uur: ( ) 58=tv km/uur = 16,1 m/s

Deze gegevens kunnen worden ingevuld in de formules voor de eenparige beweging:

( ) ( ) tvtats ⋅+⋅⋅= 02

1 2 → 2

2

126 ta ⋅⋅=

( ) ( )0vtatv +⋅= → ta ⋅=1,16

Er is nu een situatie ontstaan met twee vergelijkingen, waarin twee onbekenden te

herkennen zijn (de versnelling a en de tijd t). Dit probleem kan worden opgelost door

een van de vergelijkingen dusdanig om te schrijven dat hij kan worden ingevuld in

de andere vergelijking:

ttata ⋅⋅⋅=⋅⋅=2

1

2

126 2

ta ⋅=1,16

t⋅⋅= 1,162

126 → 2,3

05,8

26==t s

Dit tijdstip kan vervolgens worden ingevuld: ( ) 2,31,162,3 ⋅== av → 0,5=a m/s2

A

B

Fig. 2.10: Een deel van de baan van Goliath.

invullen


Op het moment dat een voorwerp valt en dus alleen onderhevig is aan de zwaartekracht en

er verder geen (of nauwelijks) sprake is van luchtweerstand, zal de versnelling van het

vallende voorwerp een constante waarde hebben. Het voorwerp voert derhalve een

eenparig versnelde beweging uit met een versnelling van 9,81 m/s2. Deze versnelling wordt

de valversnelling g genoemd. De vergelijkingen voor de eenparig versnelde beweging

kunnen dan geschreven worden als:

( ) ( ) tvtgty ⋅+⋅⋅= 02

1 2

( ) ( )0vtgtv +⋅=

Daarbij moet worden opgemerkt dat de verplaatsing hier y(t) wordt genoemd omdat er

sprake is van een verticale beweging en dat de beginsnelheid v(0) gelijk is aan 0 m/s als er

sprake is van een valbeweging. Is er bijvoorbeeld sprake van een lancering (in verticale

richting) dan is er echter wel sprake van een beginsnelheid.

2.5. Horizontale worp

Wanneer een voorwerp in horizontale richting gelanceerd wordt en vervolgens uitsluitend

onderhevig is aan de zwaartekracht, is er sprake van een bijzondere bewegingsvorm die

men de horizontale worp noemt. De baan die het voorwerp doorloopt, beschrijft een halve

parabool, zoals weergegeven in figuur 2.11.

Analyse van deze twee-dimensionale

bewegingsvorm levert op dat de horizontale

component van de beweging eenparig is en

dat de verticale beweging een valbeweging

betreft. In figuur 2.11 is dit te zien doordat

de vector voor de horizontale component

van de snelheid (vx) een constante grootte

heeft, terwijl de vector voor de verticale

component van de snelheid (vy) groter

wordt in de loop van de tijd. De formules

die de horizontale worp beschrijven luiden:

( ) tvts xx ⋅=

( ) 2

2

1tgtsy ⋅⋅=

( ) tgtvy ⋅=

In deze formules staat sx(t) voor de verplaatsing in horizontale richting (in m), sy(t) voor de

verplaatsing in verticale richting (in m), vx voor de horizontale component van de snelheid

(in m/s), vy voor de verticale component van de snelheid (in m/s), g voor de valversnelling

(= 9,81 m/s2) en t voor de tijd (in s).

2.6. Krachten

Het begrip kracht wordt veelvuldig gebruikt in het dagelijks taalgebruik. Een kracht in de

natuurkunde is echter een nauwkeurig omschreven grootheid. Krachten zijn niet te zien.

Alleen hun gevolgen zijn waarneembaar. Een gevolg van krachtwerking kan een

vervorming van een voorwerp zijn en/of een snelheidsverandering van een voorwerp. De

definitie van kracht kan worden omschreven als de eigenschap die het ene voorwerp

Figuur 2.11: Een bal die in horizontale richting wordt weg geschoten

beschrijft een horizontale worp.


uitoefent op een ander voorwerp. Hoewel deze definitie erg vaag is, staan er toch een

aantal interessante veronderstellingen in. Zo kan er uit geconcludeerd worden dat er voor

krachtwerking altijd twee objecten nodig zijn. Een object dat de kracht uitoefent en een

object dat de kracht ondervindt.

Kracht is een vectorgrootheid. Dat wil zeggen dat een kracht zowel een grootte als een

richting heeft, vergelijkbaar met grootheden als snelheid en versnelling. Verder bezit een

kracht drie eigenschappen die inzicht geven in een situatie. Op de eerste plaats is dit de

grootte van de kracht. Deze wordt uitgedrukt in Newton (N). Verder heeft een kracht een

richting. Tot slot heeft een kracht een aangrijpingspunt. Dit aangrijpingspunt bepaalt

voornamelijk op welk voorwerp de krachtwerking plaatsvindt.

Figuur 2.11 toont een gedeelte van de

helling waarlangs het treintje van de

Robin Hood (houten achtbaan) wordt

opgehesen. Op het treintje werken in

deze situatie vier krachten. Allereerst

is dit de zwaartekracht Fz, die

aangrijpt in het zwaartepunt (middel-

punt) van het treintje en loodrecht

naar beneden gericht is (naar het

middelpunt van de aarde). Ook de

helling oefent een kracht uit op het

treintje, anders zou het treintje door

de helling heen zakken. Deze kracht

wordt de normaalkracht Fn genoemd

en deze staat loodrecht op de helling

gericht. Verder is er een kabel aan het treintje bevestigd dat er voor zorgt dat het treintje

langs de helling naar boven beweegt. De kracht in de kabel wordt de spankracht Fspan

genoemd en staat langs de helling naar boven gericht. Tot slot is er sprake van een

wrijvingskracht Fw op het treintje. Een wrijvingskracht staat altijd gericht tegengesteld aan

de bewegingsrichting en is hier dus langs de helling naar beneden gericht.

In de situatie van figuur 2.11 zijn vier verschillende krachten aan bod geweest. In de

praktijk bestaan er echter nog meer krachten. Een aantal daarvan staan met hun

bijzonderheden weergegeven in tabel 2.2.

Kracht Symbool Bijzonderheden

Zwaartekracht Fz De zwaartekracht is de kracht die de aarde uitoefent op

ieder voorwerp dat zich op aarde bevindt. De

zwaartekracht grijpt aan in het zwaartepunt van een

voorwerp en is altijd loodrecht naar beneden gericht

(naar het middelpunt van de aarde). De zwaartekracht

kan berekend worden met de formule:

gmFz ⋅=

In deze formule staat Fz voor de zwaartekracht (in N), m

voor de massa (in kg) en g voor de valversnelling (=

9,81 m/s2).

Normaalkracht Fn De normaalkracht is een kracht die op een voorwerp

werkt wanneer er sprake is van een ondersteunend

oppervlak. De normaalkracht is altijd gericht loodrecht

op dit ondersteunende oppervlak.

Figuur 2.11: Krachtwerking tijden het ophijsen van de Robin Hood.

Fz

Fn

Fw

Fspan


Spierkracht Fspier De spierkracht is de kracht die uitgeoefend wordt door

mens of dier. De spierkracht is altijd gericht in de

richting waarin het voorwerp dat de kracht ondervindt,

beweegt of kan gaan bewegen.

Spankracht Fspan De spankracht is de kracht die werkt in touwen, koorden

of kabels. De spankracht is gericht in het verlengde van

het betreffende koord.

Veerkracht Fv De veerkracht is sterk vergelijkbaar met de spankracht.

In situaties waarin veerkrachten van toepassing zijn, is er

echter geen sprake van koorden maar van veren.

Belangrijk verschil hierbij is ook dat de veerkracht

toeneemt als de veer een grotere uitrekking vertoont. Dit

verschijnsel wordt weergegeven door de wet van Hooke:

uCFv ⋅=

In deze formule staat Fv voor de veerkracht (in N), C

voor de veerconstante (dit is een maat voor de stugheid

van de veer, in N/m) en u voor de uitrekking (in m).

Wrijvingskracht Fw De wrijvingskracht is een kracht die een beweging

tegenwerkt. De wrijvingskracht is dan ook altijd gericht

tegengesteld aan de bewegingsrichting of mogelijke

bewegingsrichting van een voorwerp. Er bestaan drie

vormen van wrijving:

− schuifwrijving, voor situaties waarin twee oppervlak-

ken over elkaar heen schuiven,

− rolwrijving, voor situaties waarin wielen van aan de

orde zijn,

− luchtweerstand, voor situaties waarin een voorwerp

zich door de lucht beweegt (in de praktijk dus

nagenoeg iedere situatie).

Onderscheid in de drie vormen van wrijving is in de

meeste situaties niet noodzakelijk. Daarom wordt er

meestal over slechts één wrijvingskracht gesproken.

In de meeste praktijksituaties, waarin krachten van toepassing zijn, werken meerdere

krachten op één voorwerp. Hierdoor is het van belang om van deze krachten de

resulterende kracht Fr te bepalen. Deze resulterende kracht, ook wel de somkracht

genoemd, geeft de optelling van de werkende krachten weer, zowel wat betreft grootte als

wat betreft richting. In voorbeeld 4 wordt een optelling van twee krachten weergegeven,

gebruik makend van de zogenaamde parallellogrammethode.

Voorbeeld 4

In figuur 2.12 is een punt P weergegeven

waarop twee krachten werken, F1 en F2. De

som van deze twee krachten kan verkregen

worden door lijnen te tekenen vanuit de kop

van de krachten F1 en F2 die evenwijdig

lopen aan beide krachten. Het snijpunt

bepaalt de kop van de resulterende kracht.

Tabel 2.2: Soorten krachten.

F1

F2

Fr

Figuur 2.12: De parallellogrammethode toegepast.

P


Het grote nadeel van de parallellogrammethode, zoals besproken in voorbeeld 4, is het

gegeven dat het in deze methode altijd om een benadering gaat. Er moeten krachten

getekend worden en de lengte van de krachtvectoren moet worden opgemeten en

gekoppeld aan een krachtenschaal. De nauwkeurigheid is bij deze methode niet altijd

voldoende. Daarom is het in de meeste situaties wenselijk om op een meer rekenkundige

wijze te werk te gaan. In paragraaf 2.7 wordt hierop nader ingegaan.

Het is echter zaak om bij een rekenkundige analyse van krachtwerking er voor te zorgen

dat alle krachten in gelijke of tegengestelde richtingen wijzen. Krachten die in dezelfde

richting werken, kunnen immers bij elkaar worden opgeteld en krachten die in een

tegengestelde richting werken, kunnen van elkaar worden afgetrokken. Om dit te

bewerkstelligen, dienen krachten ontbonden te worden.

Voor het ontbinden van een kracht dient er een assen-

stelsel te worden gedefinieerd. In figuur 2.13 is de x-as

horizontaal en de y-as verticaal gepositioneerd. In de

praktijk is dit echter niet nodig. Er bestaan situaties

waarin het handiger is de assen schuin te plaatsen. De

x- en de y-as dienen onderling echter wel loodrecht op

elkaar te staan. Op de assen ontstaan nu de x- en de y-

componenten van de kracht F. Bij nadere bestudering

blijkt dat de optelling van de krachten Fx en Fy weer tot

de oorspronkelijke kracht F leidt.

Zoals in figuur 2.13 te zien is, is de hoek tussen de kracht F en de x-as aangegeven. Aan de

hand van deze hoek kan de grootte van de x-component van de kracht Fx berekend worden:

F

Fx=αcos → αcos⋅= FFx

Op een zelfde manier kan ook de y-component van de kracht Fy berekend worden:

F

Fx=αsin → αsin⋅= FFx

Hierbij moet wel worden opgemerkt dat bovenstaande formules geen standaardformules

zijn. Ze gelden slechts in de situatie, zoals weergegeven in figuur 2.13. Mocht er een

andere hoek gegeven zijn, ontstaan er andere formules. De regels voor sinus en cosinus (en

eventueel tangens) zullen dus in iedere situatie apart bekeken moeten worden.

2.7 Krachtenevenwicht In paragraaf 2.6. zijn een aantal eigenschappen van krachten aan bod gekomen. In deze

paragraaf wordt voornamelijk gekeken naar voorwerpen die stilstaan of die bewegen met

een constante snelheid. In figuur 2.11 stond een gedeelte van de helling weergegeven

waarlangs het treintje van de Robin Hood wordt opgehesen. In de figuur is te zien dat er op

het treintje vier krachten werken: de zwaartekracht Fz, de normaalkracht Fn, de spankracht

Fspan en de wrijvingskracht Fw. Als er van wordt uitgegaan dat het treintje met een

constante snelheid de helling op wordt gehesen, dan zal de resulterende kracht op het

treintje 0 N bedragen. Voor je gevoel is dit waarschijnlijk moeilijk te bevatten, maar toch

is het zo. Later als de eerste wet van Newton besproken wordt, wordt hier op terug

gekomen.

Eenvoudiger te begrijpen is een situatie waarin een voorwerp stilstaat. Alle krachten die op

dat moment op het voorwerp werken, heffen elkaar op. De resulterende kracht zal hier dus

gelijk zijn aan 0 N. In formulevorm kan dit worden weergegeven door:

x

y F

α Fx

Fy

Figuur 2.13: Het ontbinden van een kracht.


0=rFr

N

Wellicht de eenvoudigste situatie waarbij krachtenevenwicht optreedt, is bij een boek dat

op tafel ligt. Op het boek zal de zwaartekracht werken en een normaalkracht die door de

tafel op het boek wordt uitgeoefend. Deze twee krachten zijn even groot en tegengesteld

gericht. Een lastiger situatie ontstaat als krachten niet in elkaars verlengde op een voorwerp

werken. In voorbeeld 5 wordt deze situatie besproken.

Voorbeeld 5 Op een punt P werken drie krachten. Twee van

deze krachten, F1 en F2, zijn getekend in

figuur 2.14. De grootte van kracht F1 bedraagt

60 N en de grootte van kracht F2 bedraagt 35

N. De richtingen van beide krachten zijn

aangegeven in figuur 2.14.

Bereken de grootte en de richting van de

kracht F3 die het geheel in evenwicht houdt.

In figuur 2.14 zijn de krachten F1 en F2

ontbonden in hun x- en y-componenten. De

grootte van deze componenten kan berekend

worden:

( )°⋅= 40cos1,1 FF x

( ) 0,4640cos60,1 =°⋅=xF N

( )°⋅= 40sin1,1 FF y

( ) 6,3840sin60,1 =°⋅=yF N

( )°⋅= 15sin2,2 FF x

( ) 1,915sin35,2 =°⋅=xF N

( )°⋅= 15cos2,2 FF y

( ) 8,3315cos35,2 =°⋅=yF N

Gegeven is dat punt P in rust is. De resulterende kracht op P is dus gelijk aan 0 N:

0=rFr

N

In de praktijk betekent dit dat zowel de in de x- als in de y-richting de resulterende

kracht gelijk is aan 0 N. Er wordt nu vanuit gegaan dat de kracht F3 gericht is naar

rechtsboven in figuur 2.14. Kracht F3 heeft dus een positieve x- en een positieve y-

component. Opstellen van een krachtenevenwicht leidt tot:

0, =xrF N

0,3,2,1 =+−+ xxx FFF N

01,90,46 ,3 =+−+ xF N → 9,36,3 −=xF N (dus gericht naar links)

0, =yrF N

0,3,2,1 =+−+ yyy FFF N

08,336,38 ,3 =+−+ xF N → 8,4,3 −=xF N (dus gericht naar beneden)

x

y

F1 = 60 N

F2 = 35 N F2,y

F2,x

F1,x

F1,y

Figuur 2.14: Krachtenevenwicht.

40°

15°

P


De aanname zei dat kracht naar rechtsboven gericht zou zijn (met een positieve x- en

y-component). Deze aanname blijkt dus onjuist te zijn. Kracht F3 is gericht naar

linksonder (met een negatieve x- en y-component).

De grootte van kracht F3 kan berekend worden met de stelling van Pythagoras:

2

,3

2

,3

2

3 yx FFF +=

( ) ( )222

3 8,49,36 −+−=F → ( ) ( ) 378,49,3622

3 =−+−=F N

De richting van kracht F3 kan het best worden aangegeven met behulp van een hoek.

Deze hoek is gedefinieerd ten opzichte van de (negatieve) x-as:

x

y

F

F

,3

,3tan =α

9,36

8,4tan =α → °= 4,7α

2.8. Wetten van Newton

De koppeling tussen beweging en krachtwerking werd voor het

eerst geformuleerd door Isaac Newton (1642 − 1727), zie figuur

2.15. Hij formuleerde drie wetten waarmee hij achtereenvolgens

verklaringen wist te geven voor bewegingen die plaatsvinden met

een constante snelheid, bewegingen die plaatsvinden met een

constante versnelling en de krachtwisselwerking tussen gekoppelde

objecten.

De eerste wet van Newton wordt ook wel de traagheidswet

genoemd. Deze wet luidt:

Als een voorwerp stilstaat of beweegt met een constante

snelheid, dan is de, op het voorwerp werkende, resulterende

kracht gelijk aan 0 N.

Deze wet is eigenlijk ook al aan de orde geweest in paragraaf 2.7. Daar werd immers een

situatie bekeken waarbij het voorwerp stilstond. Volgens de eerste wet van Newton blijkt

stilstaan, natuurkundig gezien (wat betreft krachtwerking), dus hetzelfde te zijn als

bewegen met een constante snelheid (eenparige beweging).

De tweede wet van Newton beschrijft situaties waarin er wel sprake is van een resulterende

kracht. Na onderzoek is gebleken dat een voorwerp waarop een constante resulterende

kracht werkt een eenparig versnelde beweging (constante versnelling) uitvoert. De tweede

wet van Newton kan worden samengevat aan de hand van de volgende formule:

amFr

rr⋅=

In deze formule geldt dat Fr staat voor de resulterende kracht (in N), m voor de massa (in

kg) en a voor de versnelling (in m/s2). De formule geeft tevens aan dat de richting van de

resulterende kracht gelijk is aan de richting van de versnelling. In de praktijk betekent dit

dat een voorwaarts gerichte kracht een versnelling teweeg brengt, terwijl een achterwaarts

gerichte kracht een vertraging (negatieve versnelling) tot gevolg heeft.

De tweede wet van Newton wordt in pretparkattracties veelvuldig toegepast. Krachten en

de versnellingen die deze tot gevolg hebben, zijn in een attractiepark immers aan de orde

van de dag. In voorbeeld 6 wordt een veel voorkomende situatie nader beschouwd.

Figuur 2.15: Isaac Newton


Voorbeeld 6 In figuur 2.16 staat een foto weergegeven

van een gedeelte van de baan van Goliath,

de hoogste achtbaan van Nederland. Het

gedeelte, omlijnd door een streepjeslijn, is

vergroot en schematisch weergegeven in

figuur 2.17. De lengte van het omlijnde

gedeelte van de baan bedraagt 35 m. Verder

is bekend dat de hellingshoek 60° bedraagt

en dat het treintje een massa heeft van 720

kg. In deze opgave worden wrijvings-

krachten verwaarloosd.

Bereken de snelheid die het treintje bereikt

als dit met een verwaarloosbare snelheid

boven op de top van de baan beweegt.

Bij dit soort opgaven is het eerst zaak een

schematische tekening te maken van de

gegeven situatie met de werkende krachten.

In figuur 2.17 is dit gedaan.

Het eerste dat berekend kan worden is de

zwaartekracht die op het treintje werkt:

gmFz ⋅=

706381,9720 =⋅=zF N

In figuur 2.17 is een x- en een y-richting

aangegeven. Hierbij is er voor gekozen de

x-richting langs de helling naar beneden te

kiezen.

Analyse van de figuur leidt tot een tweede plek waar hoek α optreedt, en wel tussen

de krachtvectoren Fz en Fz,y. Nu kunnen de componenten Fz,x en Fz,y van de

zwaartekracht berekend worden:

( )αsin, ⋅= zxz FF

( ) 611760sin7063, =°⋅=xzF N

( )αcos, ⋅= zyz FF

( ) 353260cos7063, =°⋅=yzF N

Het treintje beweegt langs de helling naar beneden. Het treintje beweegt dus in de x-

richting. Het treintje beweegt echter niet in de y-richting. Volgens de eerste wet van

Newton moet de resulterende kracht in de y-richting dan gelijk zijn aan 0 N. De

grootte van de normaalkracht kan dan worden afgeleid:

0, =yrF N → 3

, 105,3 ⋅== yzn FF N

Overigens is het berekenen van de normaalkracht niet van belang voor de verdere

oplossing van deze opgave. De enige kracht die in de bewegingsrichting werkt is de

x-component van de zwaartekracht Fz,x. Uit deze kracht kan de versnelling worden

berekend met behulp van de tweede wet van Newton:

amFr ⋅=

Figuur 2.16: De Goliath, het omlijnde gedeelte staat

schematisch weergegeven in figuur 2.17.

Fz

Fn

Fz,y

Fz,x

y

x

α

Figuur 2.17: Schematische weergave van het treintje

van de Goliath (blokje) dat een helling afrijdt.


amF xz ⋅=,

a⋅= 7206117 → 5,8720

6117==a m/s

2

Deze versnelling is constant omdat zowel de x-component van de zwaartekracht Fz,x

als de massa m gedurende de afdaling niet veranderen. Er is hier dus sprake van een

eenparig versnelde beweging. De verplaatsingsfunctie voor dit bewegingstype luidt:

( ) 2

2

1tats ⋅⋅=

25,82

135 t⋅⋅= → 87,2

25,4

35==t s

Met de snelheidsfunctie voor een eenparig versnelde beweging kan dan de snelheid

berekend worden:

( ) tatv ⋅=

( ) 2487,25,887,2 =⋅=v m/s

Omgerekend in km/uur bedraagt deze snelheid 88 km/uur.

Naast de eerste en de tweede wet bedacht Newton nog een derde wet, de derde wet van

Newton. Deze geeft de wisselwerking weer tussen twee objecten die onderling een kracht

op elkaar uitoefenen. De derde wet van Newton luidt:

Als een voorwerp A een kracht uitoefent op een voorwerp B, dan oefent voorwerp B

ook een kracht uit op voorwerk A. Beide krachten zijn even groot, maar tegengesteld

gericht.

De krachtenkoppels die dus optreden volgens de derde wet van Newton bestaan uit twee

even grote, maar tegengesteld gerichte krachten. Vaak wordt er om deze reden gedacht dat

deze krachten elkaar op zullen heffen. Dit is echter zeker niet het geval omdat de

aangrijpingspunten van beide krachten op verschillende voorwerpen liggen.

Het beste voorbeeld van de derde wet van Newton is wellicht het krachtenkoppel van de

gewichtskracht en de normaalkracht. De gewichtskracht is de kracht die optreedt doordat

een voorwerp op een ondersteunend vlak ligt. De kracht wordt uitgeoefend door het

voorwerp en ondervonden door het ondersteunende oppervlak. Het treintje van de Goliath

uit voorbeeld 6 zal zo’n kracht uitoefenen op de rails. De richting van de gewichtskracht in

de situatie van figuur 2.17 is gelijk aan de richting van de y-component van de zwaarte-

kracht Fz,y, maar hij grijpt aan op de rails (de gewichtskracht is in figuur 2.17 niet

getekend). Ook de grootte van de gewichtskracht zal gelijk zijn aan de grootte van Fz,y.

Doordat het treintje tegen de rails drukt, zal de rails ook een kracht uitoefenen op het

treintje. Deze kracht wordt de normaalkracht genoemd.

2.9. G-kracht De term G-kracht wordt veel gebruikt om de sensatie van attracties aan te duiden. Hoe

groter de G-krachten, hoe sensationeler de attractie vaak ervaren wordt. Toch is de term G-

kracht erg misleidend. Het gaat hier namelijk niet om een kracht, maar om een

verhoudingsgetal tussen versnellingen of krachten.


Er bestaan twee definities waarmee de G-kracht kan worden vastgesteld. Er kan voor

gekozen worden uit te gaan van de werkzame versnellingen of er kan worden uitgegaan

van de krachten die in een bepaalde situatie van toepassing zijn. Wordt er uitgegaan van de

versnellingen, dan luidt de definitie van de G-kracht:

g

a=− krachtG

In deze formule staat a voor de versnelling (in m/s2) en g voor de valversnelling (= 9,81

m/s2).

Een andere definitie voor G-kracht wordt gevonden door de verhouding te bepalen tussen

de normaalkracht en de zwaartekracht in een bepaalde situatie. De definitie van G-kracht

luidt dan:

z

n

F

F=− krachtG

In deze formule staat Fn voor de normaalkracht (in N) en Fz voor de zwaartekracht (in N).

Voor beide definities geldt dat de G-kracht geen eenheid heeft.

Het verschil tussen de twee definities voor G-kracht is het best aan te duiden door een

situatie te bekijken waarin er geen sprake is van een versnelling, 0=a m/s2. De G-kracht,

zoals uitgedrukt als de verhouding tussen de versnellingen, zal dan ook gelijk zijn aan 0.

De G-kracht, zoals uitgedrukt als de verhouding tussen de normaalkracht en de

zwaartekracht, is nu echter gelijk aan 1. Als er geen sprake is van een versnelling (het

voorwerp staat dan dus stil of beweegt met een constante snelheid) geldt immers dat de

normaalkracht even groot is als de zwaartekracht.

De keuze voor een definitie van G-kracht hangt sterk af van de toegepaste meetapparatuur.

Het is in de praktijk echter niet eenvoudig om direct versnellingen te meten. Hier is vrij

specialistische apparatuur voor nodig. Krachten zijn over het algemeen veel eenvoudiger te

meten, waardoor de tweede definitie van G-kracht (als de verhouding tussen de

normaalkracht en de zwaartekracht) wellicht de voorkeur verdient.

2.10. Eenparige cirkelbeweging Lopende door een attractiepark valt al snel op dat er in allerlei attracties gebruik wordt

gemaakt van een draaibeweging. Met niet al te veel moeite kunnen op deze manier hoge

snelheden en dito (G-)krachten bereikt worden. De attracties voeren cirkelbewegingen uit.

Een cirkelbeweging vindt altijd plaats in een vlak, waardoor er altijd twee-dimensionale

situaties ontstaan. Dit in tegenstelling tot de, eerder besproken, eenparige beweging en

eenparig versnelde beweging die beiden rechtlijnig zijn (hoewel ze niet noodzakelijkerwijs

langs een rechte lijn plaatsvinden, dit kan ook een gebogen lijn zijn).

Vanwege het twee-dimensionale karakter van een cirkelbeweging is het enerzijds veel

lastiger de beweging vast te leggen en anderzijds juist eenvoudiger omdat de beweging

over het algemeen overzichtelijk is. De snelheid die optreedt bij een cirkelbeweging wordt

de baansnelheid genoemd. Deze kan berekend worden door de omtrek van één omloop te

delen door de tijd die nodig is om de omloop te doorlopen. In formulevorm wordt dit:

T

rv

⋅⋅=

π2

In deze formule staat v voor de baansnelheid (in m/s), r voor de straal van de cirkelbaan (in

m) en T voor de tijd die nodig is om één omloop te doorlopen (de omlooptijd, in s).


Er bestaat echter nog een tweede type snelheid dat ook kan worden toegepast om een

cirkelbeweging mee te analyseren. Deze snelheid wordt de hoeksnelheid genoemd. Hij kan

berekend worden door de doorlopen hoek tijdens één omloop te delen door de tijd die

nodig is voor de omloop. Hierbij is het wel gebruikelijk de hoek niet aan te duiden in

graden, maar in radialen. Een volledige cirkel omspant daarbij een hoek van 2π radialen (=

360°). De hoeksnelheid in formulevorm luidt:

T

πω

⋅=

2

In deze formule staat ω voor de hoeksnelheid (in rad/s) en T voor de omlooptijd (in s).

Nadere bestudering van de formules voor de baansnelheid en de hoeksnelheid leidt tot het

verband tussen deze twee snelheden:

rv ⋅= ω

Het verschil tussen baansnelheid en hoeksnelheid is niet bepaald eenvoudig. Daarom kan

het een en ander het best onthouden worden door de situatie bij een fietswiel in gedachten

te nemen. De spaken beschrijven hierbij de hoeksnelheid, terwijl het ventiel op het eerste

gezicht met de baansnelheid beweegt. In voorbeeld 7 wordt het een en ander geïllustreerd.

Voorbeeld 7 In figuur 2.18 staat een foto weergegeven

van de G-Force. In deze attractie neemt de

passagier plaats in een schuitje dat

bevestigd is aan een rad. Dit rad wordt in

beweging gebracht en langzaam verticaal

geplaatst. De straal van het rad bedraagt 8,2

m. De tijd die een schuitje nodig heeft om

één keer volledig rond te draaien bedraagt

3,9 s.

Zowel de baansnelheid als de hoeksnelheid

kunnen voor deze attractie eenvoudig

berekend worden. Voor de baansnelheid

geldt:

T

rv

⋅⋅=

π2

139,3

2,82=

⋅⋅=

πv m/s

De hoeksnelheid voor deze attractie bedraagt:

T

πω

⋅=

2

6,19,3

2=

⋅=

πω rad/s

De cirkelbeweging van de G-Force, zoals omschreven in voorbeeld 7, is een bijzondere

cirkelbeweging. Hij vindt namelijk plaats met een constante baansnelheid (en dus ook met

Figuur 2.18: De G-Force beschrijft een eenparige cirkel-

beweging.


een constante hoeksnelheid). Dit type cirkelbeweging wordt ook wel een eenparige

cirkelbeweging genoemd.

En toch kan gesteld worden dat een cirkelbeweging niet plaatsvindt met een constante

(baan)snelheid. De grootte van deze snelheid kan wel constant zijn, de richting is dat

uiteraard zeker niet. Aangezien snelheid een vectorgrootheid is, is er derhalve ook niet echt

sprake van een constante snelheid. Dit heeft tot gevolg dat er dus sprake moet zijn van een

versnelling. Een versnelling kan, volgens de tweede wet van Newton ( amFr

rr⋅= ), alleen

optreden als er een werkende resulterende kracht is.

In figuur 2.19 is een schematische weergave te zien van

een eenparige cirkelbeweging met een straal r. De

baansnelheid v is op drie posities getekend. Enig gevoel

leidt tot de richting van de resulterende kracht. Deze zal

voortdurend gericht zijn naar het middelpunt (M) van

de cirkelbaan. De resulterende kracht bij een

cirkelbeweging wordt ook wel de middelpuntzoekende

kracht genoemd. Deze kan berekend worden met de

formule:

r

vmFmpz

2⋅=

In deze formule staat Fmpz voor de middelpuntzoekende

kracht (in N), m voor de massa (in kg), v voor de

baansnelheid (in m/s) en r voor de straal van de

cirkelbaan (in m).

Zoals al eerder gememoreerd, kan een cirkelbeweging ook worden aangeduid met de

hoeksnelheid. Door de uitdrukking waarin de baansnelheid en hoeksnelheid met elkaar

verbonden zijn ( rv ⋅= ω ) in te vullen in de formule voor de middelpuntzoekende kracht,

ontstaat een nieuwe formule voor deze grootheid, met daarin de hoeksnelheid in plaats van

de baansnelheid:

rmFmpz ⋅⋅= 2ω

In de meeste situaties wordt er echter gebruik gemaakt van de uitdrukking voor de

middelpuntzoekende kracht waarin de baansnelheid v vermeld staat. Een aandachtspunt bij

de bestudering van de krachtwerking bij een cirkelbeweging is echter wel het gegeven dat

de middelpuntzoekende kracht géén kracht is, zoals bijvoorbeeld de zwaartekracht, de

normaalkracht of de wrijvingskracht dat zijn. De middelpuntzoekende kracht is de

benaming voor de resulterende kracht die optreedt bij een cirkelbeweging. De

middelpuntzoekende kracht wordt daarbij echter altijd geleverd door een andere kracht. In

voorbeeld 8 wordt dit verder geïllustreerd.

Voorbeeld 8 Bochten in achtbanen zijn vaak geconstrueerd

onder een bepaalde hoek. De reden hiervoor is de

hoge snelheid die het treintje van een achtbaan

vaak heeft in de bocht. Een vlakke bocht zou het

treintje niet in staat stellen de hoge snelheid te

bereiken en zou tevens als bijzonder onplezierig

worden ervaren door de passagiers. In figuur 2.20

staat een foto van een bocht van de Goliath.

v

v v

M

Fmpz

Fmpz

Fmpz

Figuur 2.19: Een cirkelbeweging, met daarin de

baansnelheid v en de middelpuntzoekende kracht

Fmpz aangegeven.

Figuur 2.20: Een bocht van Goliath.


Als het treintje door de bocht gaat, werken er

twee krachten op (wrijvingskrachten worden

buiten beschouwing gelaten), de zwaartekracht Fz

en de normaalkracht Fn. In figuur 2.21 zijn deze

krachten getekend en is de normaalkracht

ontbonden in een horizontale component Fn,x en

een verticale component Fn,y (dit in tegenstelling

tot de situatie die optrad in voorbeeld 6, het

treintje doorloopt nu immers een cirkelbaan in

een horizontaal vlak). In verticale richting

beweegt het treintje niet (het stijgt niet op en zakt

niet door de rails heen) en moet dus gelden dat de

resulterende kracht gelijk is aan 0 N:

0, =yrF N

gmFF zyn ⋅==,

In horizontale richting werkt er slechts één kracht, de x-component van de normaal-

kracht Fn,x. Deze kracht levert dus de middelpuntzoekende kracht. Er geldt:

mpzxn FF =,

De kracht Fn,x kan berekend worden met behulp van de y-component van de

normaalkracht Fn,y en de hellingshoek α. Deze hellingshoek komt in figuur 2.21

tevens terug tussen de krachtvectoren Fn en Fn,y. Er geldt:

yn

xn

F

F

,

,tan =α

Bekend is dat de y-component van de normaalkracht Fn,y gelijk is aan de zwaarte-

kracht. Dus kan bovenstaande uitdrukking ook worden genoteerd als:

αtan,, ⋅= ynxn FF

αtan, ⋅⋅= gmF xn

Er was al afgeleid dat Fn,x de middelpuntzoekende kracht levert:

r

vmgm

2

tan⋅

=⋅⋅ α

Aangezien in deze uitdrukking aan beide zijden van het =-teken de massa m staat,

kan deze factor worden weg gedeeld. Er ontstaat dan een uitdrukking voor de

snelheid v:

r

vg

2

tan =⋅ α → αtan2 ⋅⋅= grv

Als er van wordt uitgegaan dat de straal van de bocht 17 m bedraagt en dat de

hellingshoek 55° is, kan de maximale snelheid waarmee het treintje door de bocht

kan rijden, berekend worden:

( )°⋅⋅= 55tan81,9172v → 15=v m/s (= 56 km/uur)

y

x

Fz

α

Fn

Fn,x

Fn,y

α

Figuur 2.21: Schematische weergave van het

treintje van de Goliath (blokje) in een bocht.


2.11. Harmonische trilling Een trilling is een bijzondere bewegingsvorm. Een voorwerp dat trilt, herhaalt zijn

beweging voortdurend. Dat wil zeggen dat de beweging wordt uitgevoerd binnen een

bepaald tijdsbestek, de zogenaamde trillingstijd en dat de beweging vervolgens (exact)

gekopieerd wordt.

Een bekend voorbeeld van een trilling is de slingerbeweging,

zoals weergegeven in figuur 2.22. Hiertoe wordt een bepaalde

massa aan een koord bevestigd, waarna aan deze massa een

uitwijking gegeven wordt. Grootheden die bij het onderzoek aan

trillingen van belang zijn, zijn de uitwijking u (de afstand ten

opzichte van de evenwichtsstand, in m), de amplitudo A (de

maximale uitwijking, in m) en de trillingstijd T (de tijd nodig

voor één volledige trilling, in s). Bij een bekende trillingstijd

kan vervolgens de frequentie f berekend worden met behulp van

de formule:

T

f1

=

De frequentie wordt daarbij uitgedrukt in Hertz (Hz).

Een bijzondere trillingsvorm is de harmonische trilling. De grafiek die de uitwijking u

beschrijft als functie van de tijd, vertoont dan het verloop van een sinusoïde, zoals

weergegeven in figuur 2.23. Ook de snelheid v en de versnelling a kunnen als functie van

de tijd worden weergegeven voor een harmonische trilling. Ook deze diagrammem zijn

weergegeven in figuur 2.23. De diagrammen staan in nauw verband met elkaar.

Uit figuur 2.23 is op te maken dat de

snelheid van een (harmonisch)

trillend voorwerp maximaal is als de

uitwijking gelijk is aan 0 m. Het

voorwerp bevindt zich dan in de

evenwichtsstand. In de omkeerpunten

(daar waar de uitwijking gelijk is aan

de amplitudo), zal het voorwerp een

moment tot stilstand komen. De

snelheid is hier 0 m/s. De versnelling

daarentegen is maximaal als ook de

uitwijking maximaal is. De

versnelling is echter wel tegengesteld

gericht aan de uitwijking. Op de

momenten dat het voorwerp door de

evenwichtsstand schiet, zal de

versnelling gelijk zijn aan 0 m/s2.

Het (u,t)-diagram van een harmonische trilling kan ook worden weergegeven met behulp

van een formule. Deze luidt:

( ) ( )tfAtu ⋅⋅⋅⋅= π2sin

In deze formule geldt dat u(t) de uitwijking is op een tijdstip t (in m), A de amplitudo (in

m), f de frequentie (in Hz) en t de tijd (in s). Wel moet worden opgemerkt dat de

hoekeenheid die in deze vergelijking wordt toegepast de radiaal is.

Uit bovenstaande formule kan ook een formule worden afgeleid voor de maximale

snelheid waarmee een harmonisch trillend voorwerp beweegt. Deze snelheid is dus de

A

Figuur 2.22: Een slingerbeweging.

Figuur 2.23: Het (u,t)-diagram, (v,t)-diagram en (a,t)-diagram

van een harmonische trilling.


snelheid waarmee het (harmonisch) trillende voorwerp door de evenwichtsstand beweegt.

De formule voor de maximale snelheid luidt:

T

Av

⋅⋅=

π2max

In deze formule staat vmax voor de maximale snelheid (in m/s), A voor de amplitudo (in m)

en T voor de trillingstijd (in s). Het een en ander wordt toegepast in voorbeeld 9.

Voorbeeld 9 Gegeven is een harmonische trilling

waarvan het (u,t)-diagram gegeven is in

figuur 2.24. Uit dit diagram zijn de

trillingstijd T en de amplitudo A eenvoudig

af te lezen. Er geldt:

80,0=T s

4,1=A cm

Als de trillingstijd bekend is, kan ook de

frequentie berekend worden:

25,180,0

11===

Tf Hz

Met behulp van deze frequentie en de amplitudo kan de vergelijking bepaald worden

die het gedrag van de uitwijking voor deze harmonische trilling beschrijft:

( ) ( )tfAtu ⋅⋅⋅⋅= π2sin

( ) ( )ttu ⋅⋅⋅= π50,2sin4,1

Met behulp van deze formule kan dan bijvoorbeeld berekend worden op welk(e)

tijdstip(pen) de uitwijking +1,0 cm bedraagt. Door deze waarde in te vullen voor de

uitwijking, kan het eerste tijdstip waarop deze voorwaarde geldt, berekend worden:

( )150,2sin4,10,1 t⋅⋅⋅= π

→ 796,04,1

0,1sin50,2 1

1 =

=⋅⋅ −

tπ

→ 10,050,2

796,01 =

⋅=

πt s

Kijkende naar het (u,t)-diagram van figuur 2.24 kan echter herkend worden dat de

voorwaarde ( ) 0,1+=tu cm op meerdere tijdstippen voorkomt. Onder andere op:

30,010,080,02

1

2

112 =−⋅=−⋅= tTt s

90,010,080,013 =+=+= tTt s, enz.

Tot slot kan nog ook de maximale snelheid van dit harmonisch trillend voorwerp

berekend worden:

11,080,0

104,122 2

max =⋅⋅⋅

=⋅⋅

=−ππ

T

Av m/s

Figuur 2.24: Het (u,t)-diagram van een

harmonische trilling.


Zoals al eerder aangegeven is een trilling een beweging die zichzelf voortdurend herhaalt.

Dit is ook de reden dat het interessant kan zijn het aantal doorlopen trillingen aan te geven.

Hiertoe is de grootheid fase geïntroduceerd. De fase kan berekend worden met behulp van

de formule:

T

t=ϕ

In deze formule staat ϕ voor de fase (deze heeft geen eenheid), t voor de tijd (in s) en T

voor de trillingstijd (in s).

Het bestuderen van een trilling kan redelijk eenvoudig zijn. Bestudering van één periode

(één trillingstijd) geeft immers de volledige informatie over de trilling. Het kan daarom

interessant zijn, aan te duiden in welk deel van een periode het trillende object zich

bevindt. Hiertoe is het begrip gereduceerde fase geïntroduceerd. De fase wordt hierbij in

elke periode afzonderlijk gedefinieerd en zal daarom nooit groter worden dan 1. De

gereduceerde fase kan berekend worden met behulp van de formule:

nT

tr −=ϕ

In deze formule geldt dat ϕr staat voor de gereduceerde fase (ook deze heeft geen eenheid),

t voor de tijd (in s), T voor de trillingstijd en n voor het aantal volledig doorlopen

trillingen. Voor de gereduceerde fase geldt dus: 10 <≤ rϕ .

2.12. Energie, arbeid, vermogen en rendement Op voorwerpen kunnen allerlei krachten werken waardoor voorwerpen in beweging

komen. Allerhande bewegingstypen kunnen vervolgens aan de orde zijn: een eenparige

beweging, een eenparig versnelde beweging, een cirkelbeweging of een trilling. In de

situaties die ontstaan, kunnen voorwerpen diverse vormen van energie bezitten. Energie

wordt daarbij uitgedrukt in Joules (J).

De energievorm die het eenvoudigst te doorgronden en aan te voelen is, is de bewegings-

energie, ook wel kinetische energie genoemd. De kinetische energie hangt af van de massa

van een voorwerp en de snelheid waarmee dit voorwerp beweegt. Dit is in te zien door het

besef dat de gevolgen van bijvoorbeeld een botsing groter zullen zijn als de bewegende

voorwerpen een grotere massa hebben en/of een grotere snelheid bezitten. De kinetische

energie kan berekend worden met behulp van de formule:

2

2

1vmEkin ⋅⋅=

In deze formule staat Ekin voor de kinetische energie (in J), m voor de massa (in kg) en v

voor de snelheid (in m/s).

Een tweede vorm van energie is de zogenaamde zwaarte-energie. Een voorwerp dat zich

op een bepaalde hoogte bevindt, zal onder invloed van de zwaartekracht versneld naar

beneden bewegen. Bestudering van het moment waarop dit voorwerp de grond zal treffen

(en dus met de grond botst), leidt tot de veronderstelling dat de zwaarte-energie afhangt

van de massa van een voorwerp en de hoogte waarop dit voorwerp zich bevindt. Ook de

valversnelling (g) speelt hierbij een rol. De formule waarmee de zwaarte-energie berekend

kan worden, luidt:

hgmEz ⋅⋅=


In deze formule staat Ez voor de zwaarte-energie (in J), m voor de massa (in kg), g voor de

valversnelling (= 9,81 m/s2) en h voor de hoogte (in m).

Ook een gespannen veer bezit een bepaalde hoeveelheid energie, veerenergie. Dit is

eenvoudig in te zien omdat het moeite kost de veer een bepaalde uitrekking te geven.

Naarmate deze uitrekking groter wordt en/of de veer stugger is, zal de hoeveelheid, in de

veer opgesloten, energie ook groter worden. De veerenergie kan berekend worden met

behulp van de formule:

2

2

1uCEv ⋅⋅=

In deze formule geldt dat Ev staat voor de veerenergie (in J), C voor de veerconstante (een

constante die de stugheid van de veer aangeeft, in N/m) en u voor de uitrekking (in m).

Bovenstaande vormen van energie komen voor in gevallen die goed definieerbaar zijn.

Voor situaties waarin dit niet of veel lastiger het geval is, kan de koppeling gebruikt

worden tussen energie en krachtwerking. Hierbij gaat het om de arbeid. Deze kan

berekend worden met behulp van de volgende formule:

αcos⋅⋅= sFW

In deze formule staat W voor de arbeid (in J), F voor de kracht (in N), s voor de

verplaatsing (in m) en α voor de hoek tussen de kracht F en de verplaatsing s (in °).

Tevens kan het interessant zijn de hoeveelheid energie of arbeid te berekenen die verbruikt

wordt of vrijkomt per tijdseenheid (per seconde). De grootheid die de energie (of de

arbeid) verbindt aan de tijd wordt ook wel het vermogen genoemd. Het vermogen kan

berekend worden met behulp van de formule:

vFt

W

t

EP ⋅=

==

In deze formule staat P voor het vermogen (in J/s of Watt (W)), E voor de energie (in J), t

voor de tijd (in s), F voor de kracht (in N) en v voor de snelheid.

In de praktijk is het echter wel zo dat er bij een energie-omzetting altijd een hoeveelheid

energie verloren gaat. Het is onmogelijk om alle energie te gebruiken voor hetgeen deze

bedoeld is. Dit heeft tot gevolg dat er altijd sprake is van een rendement. Dit rendement

kan gedefinieerd worden als het percentage energie dat nuttig gebruikt wordt en kan

berekend worden met behulp van een formule waarin gewerkt wordt met de energie of met

behulp van een formule waarin gewerkt wordt met het vermogen:

%100⋅=in

nut

E

Eη of %100⋅=

in

nut

P

Pη

In deze formules staat η voor het rendement (in %), Enut voor de nuttig gebruikte energie

(in J), Ein voor de aan het proces toegevoerde energie (in J), Pnut voor het nuttig gebruikte

vermogen (in W), Pin voor de aan het proces toegevoerde vermogen (in W).

2.13. Wet van behoud van energie Verschillende vormen van energie kunnen in elkaar worden omgezet. Zo kan een voorwerp

op het ene moment kinetische energie bezitten en een moment later zwaarte-energie. Bij

energie-omzettingen geldt echter altijd de wet van behoud van energie. Deze zegt dat de

totale energie die een systeem bezit voortdurend constant blijft. De vorm waarin de energie

voorkomt kan daarbij wel variëren. Een en ander wordt geïllustreerd in voorbeeld 10.


Voorbeeld 10 De Goliath is de hoogste achtbaan van

Nederland. De eerste top (punt I), zie

figuur 2.25 ligt op een hoogte van 47 m.

Met behulp van de wet van behoud van

energie kan de snelheid berekend

worden die het treintje van de Goliath

bereikt in punt II als dit geen wrijving

zou ondervinden. Er geldt:

IItotItot EE ,, =

Nu geldt dat het treintje in punt I uitsluitend zwaarte-energie bezit (de snelheid van

het treintje is hier verwaarloosbaar klein ten opzichte van de snelheid in punt II),

terwijl het treintje in punt II uitsluitend kinetische energie bezit (de zwaarte-energie

is hier verwaarloosbaar klein ten opzichte van de zwaarte-energie in punt I): De wet

van behoud van energie wordt dan:

IIkIz EE ,, =

2

2

1III vmhgm ⋅⋅=⋅⋅

Hoewel de massa in bovenstaande vergelijking geen noodzakelijk gegeven is, kan

deze worden vastgesteld op 1800 kg. De snelheid in punt II kan nu berekend worden:

2

18002

14781,91800 IIv⋅⋅=⋅⋅ → 30

2=IIv m/s

In werkelijkheid ondervindt het treintje uiteraard wel wrijvingskrachten. Dit is goed

te zien aan de tweede top (punt III). Deze top ligt lager dan de eerste top omdat het

treintje onderweg energie is verloren. De hoogte van de tweede top bedraagt daarom

slechts 35 m. De afstand die het treintje aflegt van punt I naar punt III kan geschat

worden op 120 m. De gemiddelde waarde van de wrijvingskracht kan dan berekend

worden met behulp van de wet van behoud van energie. Er geldt:

IIItotItot EE ,, =

In zowel punt I als punt III bezit het treintje uitsluitend zwaarte-energie (de

kinetische energie kan verwaarloosd worden. Onderweg van punt I naar punt III

verricht de zwaartekracht arbeid Ww. De wet van behoud van energie wordt dan:

wIIIzIz WEE += ,,

De gegevens kunnen nu worden ingevuld, waarna de gemiddelde grootte van de

wrijvingskracht berekend kan worden:

sFhgmhgm wIIII ⋅+⋅⋅=⋅⋅

1203581,918004781,91800 ⋅+⋅⋅=⋅⋅ wF → 3108,1 ⋅=wF N

Ook bij een trilling gaat de wet van behoud van energie op. Een trilling is echter een

bijzonder bewegingstype. Door een object immers in trilling te brengen, wordt een

hoeveelheid energie aan het object toegevoerd. Deze hoeveelheid energie kan op diverse

Figuur 2.25: De twee eerste toppen van Goliath.

I

II

III


manieren tot uiting komen. In paragraaf 2.11 is de slingerbeweging aan bod gekomen. In

figuur 2.26 staat deze nogmaals weergegeven.

Punt A in figuur 2.26 is één van de omkeerpunten van de

slingerbeweging. Het balletje staat hier een moment stil en

bezit daarom geen kinetische energie. Het balletje bezit

echter wel zwaarte-energie omdat het zich niet in het laagste

punt van de beweging bevindt. In punt B, de evenwichts-

stand, is de situatie precies omgekeerd. Hier is er wel sprake

van het laagste punt, waardoor het balletje geen zwaarte-

energie bezit, maar wel kinetische energie. In punt C gelden

dezelfde voorwaarden als in punt A.

De totale energie die in een trilling wordt opgesloten, wordt

ook wel de trillingsenergie genoemd. Deze trillingsenergie

kan berekend worden door de situatie te beschouwen in de

evenwichtsstand (punt B) of in een uiterste stand (punt A of

C). De trillinsgenergie kan berekend worden met behulp van

de formules:

2

max

2

2

1

2

1vmACEtril ⋅⋅=⋅⋅=

In deze formules staat Etril voor de trillingsenergie (in J), C voor de krachtconstante (in

N/m, bij een slinger is de krachtconstante lastig te herkennen, maar als er sprake is van een

veer geldt dat C de veerconstante is), A voor de amplitudo (in m), m voor de massa (in m/s)

en vmax voor de snelheid waarmee het object door de evenwichtsstand beweegt (in m/s). De

maximale snelheid kan berekend worden met de eerder genoemde formule:

T

Av

⋅⋅=

π2max

In deze formule staat vmax voor de maximale snelheid (in m/s), A voor de amplitudo (in m)

en T voor de trillingstijd (in s).

2.14. Stoot In paragraaf 2.1 kwam de definitie van versnelling aan bod. De versnelling is de snelheids-

toename (snelheidsafname) ∆v die geldt per tijdseenheid ∆t. In formulevorm werd dit:

t

va

∆

∆=

In paragraaf 2.8 kwam vervolgens de tweede wet van Newton aan de orde. Deze luidde

voor een situatie waarin slechts één kracht F werkt:

amF ⋅=

Beide formules kunnen op een eenvoudige manier gecombineerd worden:

t

vmF

∆

∆⋅=

Als de tijdsfactor ∆t verschoven wordt naar de linker zijde van het =-teken, leidt dit tot:

vmtF ∆⋅=∆⋅

Figuur 2.26: Een slingerbeweging.

A

B

C


De factor ( )tF ∆⋅ die in deze vergelijking ontstaat wordt ook wel de krachtstoot (of

kortweg stoot) S genoemd. De formule kan daarom worden uitgebreid met een nieuwe

grootheid:

vmtFS ∆⋅=∆⋅=

In deze formule staat S voor de (kracht)stoot (in N⋅s), F voor de kracht (in N), ∆t voor het

tijdsinterval gedurende welk de kracht werkzaam is (in s), m voor de massa (in kg) en ∆v

voor de snelheidsverandering (in m/s). De stoot wordt voornamelijk toegepast in situaties

waarbij er sprake is van een kortdurende (maar vaak hevige) krachtwerking.

2.15. Impuls en impulsbehoud

In de definitie voor stoot in de vorige paragraaf is een factor ( )vm ∆⋅ te herkennen.

Onderzoek heeft uitgewezen dat ook deze factor, natuurkundig gezien, een betekenis heeft.

Er is hier sprake van een zogenaamde impulsverandering, die derhalve gekoppeld is aan de

grootheid impuls. De impuls kan berekend worden met behulp van de formule:

vmprr

⋅=

In deze formule geldt dat p de impuls (in kg⋅m/s), m de massa (in kg) en v de snelheid (in

m/s) is. Toepassingen van impuls zijn voornamelijk te vinden in situaties waarin er sprake

is van een botsing. Hier geldt de wet van behoud van impuls:

∑∑ = navoor pp

In woorden zegt deze wet dat de som van de impuls voor de botsing ( )∑ voorp gelijk is aan

de som van de impuls na de botsing ( )∑ nap .

In de praktijk gelden er twee typen botsingen, de volkomen inelastische botsing en de

volkomen elastische botsing. Een volkomen inelastische botsing beschrijft de situatie die

optreedt als de botsende objecten na de botsing gekoppeld aan elkaar verder bewegen of

wanneer er sprake is van een explosie. De volkomen elastische botsing komt in de praktijk

vaker voor en treedt bijvoorbeeld op bij botsende biljartballen. Voor een volkomen

elastische botsing geldt, naast de wet van behoud van impuls, tevens de wet van behoud

van kinetische energie:

∑∑ = nakvoork EE ,,

In woorden zegt deze wet dat de som van de kinetische energie voor de botsing ( )∑ voorkE ,

gelijk is aan de som van de kinetische energie na de botsing ( )∑ nakE , . In voorbeeld 11

wordt een volkomen elastische botsing doorgerekend.

Voorbeeld 11 In dit voorbeeld worden twee kogels beschouwd die naar elkaar toe bewegen en op

een gegeven ogenblik zullen botsen. De ene kogel (kogel A) heeft een massa van

0,50 kg en een snelheid van 6,5 m/s. De andere kogel (kogel B) heeft een massa van

1,5 kg en een snelheid van 8,5 m/s. Doel is te berekenen welke snelheden de kogels

zullen hebben na botsing. Deze botsing is volkomen elastisch.

Deze opgave kan opgelost worden door de wet van behoud van impuls en de wet van

behoud van kinetische energie los te laten op de gegeven situatie. Eerst is in figuur

2.27 de situatie voor de botsing schematisch weergegeven.


In figuur 2.27 is aangegeven dat snelheden die

gericht zijn naar rechts positief gerekend

worden. Snelheden die naar links gericht zijn,

worden dus als negatief gerekend. In de

uitwerking wordt er in eerste instantie van uit

gegaan dat de snelheden na de botsing positief

zijn.

Eerst kan de wet van behoud van impuls worden opgesteld voor de gegeven situatie:

∑∑ = navoor pp

naBBnaAAvoorBBvoorAA vmvmvmvm ,,,, ⋅+⋅+=⋅−⋅+

naBnaA vv ,, 5,150,05,85,15,650,0 ⋅+⋅+=⋅−⋅+

naBnaA vv ,, 5,150,05,9 ⋅+⋅+=−

Deze vergelijking is onoplosbaar. Er staan immers twee variabelen in, vA,na en vB,na.

De wet van behoud van kinetische energie kan voor deze situatie ook nog worden

opgesteld:

∑∑ = nakvoork EE ,,

2

,

2

,

2

,

2

,2

1

2

1

2

1

2

1naBBnaAAvoorBBvoorAA vmvmvmvm ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅

( ) ( ) 2

,

2

,

225,1

2

150,0

2

15,85,1

2

15,650,0

2

1naBnaA vv ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅

2

,

2

, 5,12

150,0

2

175,64 naBnaA vv ⋅⋅+⋅⋅=

Ook deze vergelijking is onoplosbaar. Er staan echter dezelfde twee variabelen in als

in de uitwerking van de wet van behoud van impuls, vA,na en vB,na. De situatie kan

worden opgelost door één van beide vergelijkingen dusdanig om te schrijven dat hij

ingevuld kan worden in de andere vergelijking. De wet van behoud van impuls kan

ook worden geschreven als:

naBnaA vv ,, 5,150,05,9 ⋅+⋅+=− → naBnaA vv ,, 0,319 ⋅−−=

Deze vergelijking kan nu worden ingevuld in de wet van behoud van kinetische

energie:

2

,

2

, 5,12

150,0

2

175,64 naBnaA vv ⋅⋅+⋅⋅=

( ) 2

,

2

, 5,12

10,31950,0

2

175,64 naBnaB vv ⋅⋅+⋅−−⋅⋅=

Uit deze vergelijking kan de snelheid van kogel B na de botsing, vB,na, worden

berekend:

( ) 2

,

2

, 75,00,31925,075,64 naBnaB vv ⋅+⋅−−⋅=

( ) 2

,

2

,, 75,00,911436125,075,64 naBnaBnaB vvv ⋅+⋅+⋅+⋅=

2

,

2

,, 75,025,25,2825,9075,64 naBnaBnaB vvv ⋅+⋅+⋅+=

→ 05,255,280,3 ,

2

, =+⋅+⋅ naBnaB vv

A B vA = 6,5 m/s

vB = 8,5 m/s

Figuur 2.27: Twee botsende kogels.

+


Er is nu een tweedegraads vergelijking ontstaan. Deze is op te lossen door gebruik te

maken van de abc-formule. Deze geeft als uitkomsten:

0,1, −=naBv m/s (of 5,8, −=naBv m/s)

De uitkomst ( 5,8, −=naBv m/s) komt daarbij te vervallen. De kogel zou in deze

situatie immers volledig ongehinderd verder bewegen en dit is zeker niet de praktijk.

De snelheid van kogel A na de botsing, vA,na, kan nu berekend worden door de

snelheid van kogel B na de botsing, vB,na, in te vullen in één van de vergelijkingen:

naBnaA vv ,, 0,319 ⋅−−=

( ) 160,10,319, −=−⋅−−=naAv m/s

Kogel A zal dus na de botsing een snelheid hebben van 16 m/s, gericht naar links.

Daarentegen zal kogel B een snelheid hebben van 1,0 m/s, ook gericht naar links.

wafylisibica – theorie 4. wafylisibica - mechanica.pdf · 2011-01-07 · wafylisibica – theorie...

Documents