VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚBRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍFACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING

ÚSTAV MATEMATIKYINSTITUTE OF MATHEMATICS

ANALÝZA MOŽNOSTÍ ANALYTICKÉHO ZPŮSOBUŘEŠENÍ DEFORMAČNĚ NAPĚŤOVÝCH STAVŮIDEALIZOVANÝCH TVARŮ TEPENANALYSIS OF POSSIBILITIES OF ANALYTICAL APPROACHES SUITABLE FOR EVALUATING OF STRESS-STRAIN STATES OF IDEALIZED AORTIC SHAPES

BAKALÁŘSKÁ PRÁCEBACHELOR'S THESIS

AUTOR PRÁCEAUTHOR

Michaela Daňková

VEDOUCÍ PRÁCESUPERVISOR

Ing. Kamil Novák

BRNO 2016

Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně / Technická 2896/2 / 616 69 / Brno

Zadání bakalářské práceÚstav: Ústav matematiky

Studentka: Michaela Daňková

Studijní program: Aplikované vědy v inženýrství

Studijní obor: Matematické inženýrství

Vedoucí práce: Ing. Kamil Novák

Akademický rok: 2015/16 Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijníma zkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma bakalářské práce:

Analýza možností analytického způsobu řešení deformačně napěťovýchstavů idealizovaných tvarů tepen

Stručná charakteristika problematiky úkolu:

Analytický popis deformačně-napěťových stavů idealizovaných tvarů tepen je možný jen tehdy, pokudje zvládnuta teorie kontinua, teorie velkých deformací a případně i diferenciální geometrie. Jen zatěchto podmínek je možné porozumět složité mechanice velkých vratných deformací a analyzovat D-Nstavy idealizovaných tvarů tepen pomocí teorií pro válcové tělesa známé z lineární teorie.

Cíle bakalářské práce:

Seznámit se s lékařským minimem a velkými deformaceProvést D-N analýzu idealizovaného tvaru tepny pomocí analytického přístupuProvést D-N analýzu idealizovaného tvaru tepny pomocí numerického přístupuPosoudit vhodnost zvolených přístupů / použitých modelů.

Seznam literatury:

Elger, D.F, Blackketter, D.M., Budwig R.S., Johansen, K.H. (1996): The influence of shape on thestresses in model abdominal aortic aneurysms, ASME J. Biomech. Eng., vol 118, pp. 326-332

Humphrey, J.D. (2002): Cardiovascular Solid Mechanics: Cells, Tissues, and Organs. Springer-Verlag,New York.

Humphrey J.D., Delange, S.L. (2004): An Introduction to Biomechanics: Solids and Fluids, Analysisand Design. Springer-Verlag, New York

Fakulta strojního inženýrství, Vysoké učení technické v Brně / Technická 2896/2 / 616 69 / Brno

Termín odevzdání bakalářské práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2015/16

V Brně, dne

L. S.

prof. RNDr. Josef Šlapal, CSc.

ředitel ústavu

doc. Ing. Jaroslav Katolický, Ph.D.děkan fakulty

ABSTRAKTBakalarska prace pojednava o moznostech analytickeho zpusobu resenı deformacne

napet’ovych stavu tepen. Prace se nejprve zabyva priblızenım pojmu kardio-

vaskularnıho systemu a pojmu z mechaniky kontinua. Vypocet byl proveden jak

analyticky, tak numericky v programu ANSYS. Byly vyuzity prıstupy nelinearnı te-

orie tenkostennych a silnostennych nadob se zahrnutım zbytkoveho napetı pomocı

metody fiktivnı teploty. Dale byla provedena analyza resenı aneurysmat brisnı aorty

pomocı linearnı teorie. Soucastı prace je strucny popis dalsıch metod z linearnı teorie

a metod o zahrnutı zbytkoveho napetı.

KLICOVA SLOVAAorta, stena tepny, deformacne napet’ova analyza, nelinearnı teorie, zbytkove napetı,

aneurysma brisnı aorty.

ABSTRACTThe bachelor’s thesis deals with possibilities of analytical solution of stress-strain sta-

tes of arteries. The first part of the thesis gives an information about cardiovascular

system and continuum mechanics. The calculation was performed analytically and

also numerically using ANSYS program. The analytical calculation was carried out

considering non-linear theory of thin and thick-walled vessels involving the residual

stress and fictitious temperature approach. Furthermore, the analysis of solutions of

abdominal aortic aneurysms was done based on linear theory. Description of other

methods of linear theory and techniques of calculating with residual stress are briefly

summarized.

KEYWORDSAorta, arterial wall, stress-strain analysis, nonlinear theory, residual stress, abdomi-

nal aortic aneurysm.

DANKOVA, Michaela Analyza moznostı analytickeho zpusobu resenı deformacne

napet’ovych stavu idealizovanych tvaru tepen: bakalarska prace. Brno: Vysoke ucenı

technicke v Brne, Fakulta strojnıho inzenyrstvı, Ustav matematiky, 2016. 58 s. Ve-

doucı prace Ing. Kamil Novak

PROHLASENI

Prohlasuji, ze svou bakalarskou praci na tema”Analyza moznostı analytickeho

zpusobu resenı deformacne napet’ovych stavu idealizovanych tvaru tepen“ jsem vy-

pracovala samostatne pod vedenım vedoucıho bakalarske prace a s pouzitım odborne

literatury a dalsıch informacnıch zdroju, ktere jsou vsechny citovany v praci a uve-

deny v seznamu literatury na konci prace.

Brno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(podpis autora)

PODEKOVANI

Rada bych podekovala svemu vedoucımu Ing. Kamilu Novakovi za odborne vedenı,

cenne rady, cas, potrebnou motivaci a podklady, ktere mi venoval.

Dale bych chtela podekovat svemu prıteli Igorovi za velkou podporu, pomoc

a trpelivost, kterou se mnou mel nejen pri psanı teto prace.

V neposlednı rade bych rada podekovala svym rodicum a rodine za podporu po dobu

celeho studia.

Nakonec dekuji svym spoluzakum a pratelum za pomoc behem studia a potrebne

odreagovanı.

Michaela Dankova

OBSAH

Uvod 10

1 Cıle Prace 11

2 Lekarske minimum 12

2.1 Obehova soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Srdce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Aorta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Stavba steny tepny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Krev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Krevnı tlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Vazby k okolı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Vliv zbytkoveho napetı ve stenach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Patologie cev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.1 Vydut’ (Aneurysma) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Matematicka propedeutika 21

3.1 Deformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Tenzory deformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Napetı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.1 Tenzory napetı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Konstitutivnı rovnice a nestlacitelnost . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Konfigurace steny tepny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Moznosti analytickeho zpusobu resenı D-N stavu tepen 25

4.1 Linearnı teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.1 Laplaceova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.1.2 Silnostenne nadoby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1.3 Srovnanı tenkostennych a silnostennych nadob . . . . . . . . . 29

4.2 Zahrnutı zbytkovych napetı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.1 Uzavrenı prstence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2.2 Metoda fiktivnı teploty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2.3 Presah dvou valcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Nelinearnı teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.1 Silnostenna simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.3.2 Tenkostenna simulace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Prakticka ukazka vypoctu 41

5.1 Nelinearnı teorie silnostennych nadob . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.1 Vstupnı veliciny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.1.2 Vyhodnocenı napetı bez uvazovanı zbytkoveho napetı . . . . . 42

5.1.3 Vyhodnocenı napetı se zbytkovym napetım . . . . . . . . . . . 43

5.2 Nelinearnı teorie tenkostennych nadob . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6 Srovnavacı analyza pomocı MKP 46

7 Resenı AAA pomocı linearnı teorie 48

7.1 Napet’ova analyza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7.2 Modely tvaru AAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2.1 Kosinove–exponencialnı AAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2.2 Exponencialnı AAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.2.3 Parabolicky–exponencialnı AAA . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

7.3 Shrnutı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Zaver 54

Seznam pouzitych zdroju 55

Seznam zratek a pouzitych symbolu 58

UVOD

Kardiovaskularnı system a jeho spravna funkce jsou dulezitymi prvky naseho orga-

nismu. Jeho onemocnenı patrı v dnesnı dobe k nejcastejsım duvodum umrtı. Prıcinou

vetsiny patologickych stavu je spatna zivotosprava (napr. nezdrava strava, malo po-

hybu, alkohol, kourenı, obezita, stres). Podıl na vzniku ma vsak i vek a dedicnost.

Mezi nejcastejsı onemocnenı patrı srdecnı infarkt, arterioskleroza, disekce, porusenı

steny tepny atd.

Dalsım ze zavaznych onemocnenı tepen je vydut’ (aneurysma). Nejdulezitejsım

momentem v lecbe je spravne nacasovanı chirurgickeho zakroku pred protrzenım

aneurysmatu. Rizika jsou vsak i pres vcasnost lecby nezanedbatelna. Z techto duvodu

je velmi dulezite se tomuto tematu venovat a snazit se o zlepsenı prevence, diagnos-

tiky a nasledne terapie.

Pro zkoumanı mechanickych vlastnostı zdrave nebo nemocne tepny se vyuzıva

vypoctove modelovanı. Pro spravne vytvorenı modelu je nutne porozumet anatomii

a funkci cev, abychom byli schopni urcit podstatne veliciny, ktere ovlivnujı prubeh

napetı.

Prvnımi z nich jsou materialove charakteristiky, ktere jsou stanovene experi-

mentalne a do vypoctu jsou zahrnuty pomocı vhodneho konstitutivnıho modelu.

Dalsı podstatnou velicinou, kterou je potreba zahrnout do vypoctu je zbytkova na-

pjatost, ktera se projevuje zrovnomernenım napetı ve stene cevy. Analyzy linearnıch

a nelinearnıch teoriı jsou odvozeny ve ctvrte kapitole spolu s metodami pro zahrnutı

zbytkove napjatosti. Pata kapitola je venovana vypoctum a ukazce srovnanı napetı

bez a s uvazovanı zbytkoveho napetı, pomocı metody fiktivnı teploty. Spravnost

vypoctu je overena v seste kapitole pomocı softwaru ANSYS a metody konecnych

prvku. Poslednı kapitola se zabyva resenım aneurysmat pomocı linearnı teorie, ktera

se zameruje na jejich krivost (tvar).

10

1 CILE PRACE

Cıle bakalarske prace byly stanoveny vedoucım prace v nasledujıcım znenı:

1. Seznamit se s lekarskym minimem a velkymi deformacemi.

2. Provest deformacne napet’ovou analyzu (dale jen D-N) analyzu idealizovaneho

tvaru tepny pomocı analytickeho prıstupu.

3. Provest D-N analyzu idealizovaneho tvaru tepny pomocı numerickeho prıstupu.

4. Posoudit vhodnost zvolenych prıstupu / pouzitych modelu.

Prace byla dale rozsırena o kapitolu:

Analyticky vypocet napetı u idealizovanych tvaru aneurysmatu brisnı aorty (dale

jen AAA).

11

2 LEKARSKE MINIMUM

V teto kapitole budou priblızeny pojmy, zakladnı termıny a funkce jednotlivych castı

srdecne cevnı soustavy. Dale se zde budeme vıce venovat pojmu aortalnı aneurysma.

Vetsina informacı byla prevzata z [1], [2], [3] a [4].

2.1 Obehova soustava

Obehova soustava je uzavreny system kanalu, kterym proudı kapalina, zprostredku-

jıcı latkove premeny v tkanıch. Cevy se delı na tri typy: tepny, ktere vedou krev ze

srdce, zıly, ktere vedou krev od srdce a vlasecnice, ktere je spojujı. Rozlisujı se dva

obehy:

• Obeh velky (telnı): usek krevnıho obehu, kterym je krev rozvadena z leve

predsıne do leve komory srdecnı a odtud aortou do celeho tela. Zpet se vracı

dutymi zilami do prave predsıne.

• Obeh maly (plicnı): usek krevnıho obehu vedoucı z prave komory srdecnı

do plic a odtud do leve predsıne srdce.

Hlava a pazeZilky Tepenky

Aorta

Tepna

Plicnı zıla

PlıcePlıce

Vnitrnı organy a nohy

Zilky Tepenky

Dolnı duta zıla Brisnı aorta

Plicnı tepna

Hornı duta zıla

Obr. 2.1: Velky a maly krevnı obeh. Prevzato a upraveno z [5].

12

2.1.1 Srdce

Srdce (cor) je duty svalovy organ ulozeny ve vazivovem vaku, neboli osrdecnıku.

Z mechanickeho hlediska se jedna o pumpu, ktera pohanı krev tım, ze se rytmicky

smrst’uje (systola) a ochabuje (diastola). Lidske srdce ma ctyri dutiny: dve sıne

(atria) a dve komory (ventriculi). Mezi pravou sını a komorou je trojcıpa chlopen,

mezi levou sını a komorou je dvojcıpa chlopen. Chlopne zabranujı zpetnemu chodu

krve.

Prava sın

Polomesıcita chlopen

Trojcıpa chlopen

Prava komora

Leva komora

Dvojcıpa chlopen

Aortalnı chlopen

Leva sın

Obr. 2.2: Anatomie srdce. [6]

2.1.2 Aorta

Aorta (srdecnice) se sklada z aortalnıho oblouku a z hrudnı a brisnı aorty. V nası

praci se budeme venovat prevazne brisnı aorte, ktera je i oblastı zajmu na Ustavu

mechaniky teles, mechatroniky a biomechaniky (UMTBM).

Brisnı aorta (aorta abdominalis) saha od pruchodu branicı na urovni 12. hrudnıho

obratle az po rozdvojenı (bifurkaci) aorty na urovni 4. bedernıho obratle. Zde se delı

na dve spolecne kycelnı tepny (aa. iliacae communes), ktere jsou 5–7 cm dlouhe

a kazda z nich se delı na vnitrnı a vnejsı vetev (aa. iliaca externa/interna). Aorta

je opredena sıtı nervovych vlaken a jejı vetve zasobujı krvı i organy brisnı dutiny,

tj. organy travicıho systemu, slezinu, ledviny, pohlavnı organy.

Studie [8] prezentuje vysledky prumeru brisnı aorty, ktery je prumerne 2, 0 ±0, 3 cm. Strednı hodnota tloust’ky se udava jako 1, 2 mm. Respektive, u cloveka

mladsıho 35 let byla zjistena tloust’ka steny 1, 3 mm a u starsıho nez 35 let 1, 18 mm.

13

Coz naznacuje pokles s vekem zvlaste u brisnı aorty. [9] Musıme zde ale i uvazovat

prıpadne nehomogenity v podobe promenne tloust’ky steny tepny.

Obr. 2.3: Brisnı aorta znazornena zelene. [7]

2.2 Stavba steny tepny

Tepny se v jednotlivych usecıch lisı stavbou a tım i vlastnostmi a propustnostı svych

sten. Delı se na tepny svaloveho (napr. koronarnı tepny) a elastickeho typu (napr.

aorta a jejı hlavnı vetve).

Steny tepen muzeme uvazovat na nekolika ruznych urovnıch.

• Stena jako celek.

• Stena rozdelena na tri zakladnı vrstvy.

Stena jako celek znamena bez rozdelenı na jednotlive casti. Tedy, ve vypoctovem

modelu stenu tepny povazujeme za rotacne symetrickou, valcovou trubici, ktera ma

konstantnı tloust’ku a homogennı material.

Stena rozdelena na tri vrstvy: tunica intima, tunica media a tunica adventitia.

U tepen svaloveho typu muzeme na obrazku 2.4 videt, ze v tunica media prevazujı

bunky hladkeho svalstva nad strukturou elastickeho vaziva. Vasa vasorum nazyvame

sıt’ krevnıch kanalku, ktere pomahajı vyzivovat stenu tepny.

1. Tunica intima

Vnitrnı vrstva, ktera se sklada z plochych endotelovych bunek, ktere svojı

stavbou zajist’ujı hladky a nesmacivy vnitrnı povrch. Endotelove bunky jsou

zarovnany ve smeru proudenı krve. Pokud zde nastane turbulentnı proudenı,

stena je vıce nachylna k rozrusenı tesneho usporadanı a take k ukladanı tu-

kovych bunek. Vznika tzv. arterioskleroza. [10]

14

U vetsıch tepen (napr. aorta) je zde jeste vazivova vrstvicka (membrana elas-

tica interna), s jemnymi elastickymi a kolagennımi vlakny a vazivovymi bun-

kami, ktera oddeluje intimu a medii.

2. Tunica media

Strednı a nejsilnejsı slozka tepenne steny. Sklada se jednak z bunek hladkeho

svalstva, usporadanych kruhovite nebo spiralne, a jednak z tesne usporadanych

laminarnıch jednotek (Medial Lamelar Unit – MLU) [10]. MLU jsou slozeny

z bunek hladkeho svalstva, kolagenu a elastinu. Vrstva hladke svaloviny u-

moznuje zmenu prusvitu cev, regulaci krevnıho tlaku a dodava cevnı stene

pruznost. Na vnejsı strane se ve vetsine prıpadu vyskytuje shluk vazivovych

elementu, tzv. membrana elastica externa, ktera oddeluje mediu a adventitiu.

3. Tunica adventitia

Je vnejsı vazivovy obal cev. Sklada se prevazne z fibroblastu, fibrocytu a z tu-

hych svazku kolagennıch vlaken. Za normalnıch okolnostı jsou kolagennı vlakna

zvlnena a nenesou zadne zatızenı. Hlavnı nositelkou se stavajı az v prıpade, kdy

selhava tunica media, napr. pri patologii (Abdominal Aortic Aneurysm – AAA)

nebo pri pretızenı (vysokem krevnım tlaku) [11]. Tloust’ka vrstvy je zavisla

na fyziologicke funkci steny a na typu steny (elasticka, svalova) (obrazek 2.4).

Vazivo je zaroven tkanı, ve ktere probıhajı nervy pro hladkou svalovinu cev. Ve

vazivu je velke mnozstvı elastickych vlaken, zvysujıcıch pruznost cevnı steny.

a) b)

5 5

4 3 2 1 4 7 3 6 2 1

Obr. 2.4: Prurez tepenne steny: a) tepna elastickeho typu, b) tepna svaloveho typu.

1 – endotel, 2 – intima, 3 – media, 4 – adventicia, 5 – vasa vasorum, 6 – membrana

elastica interna, 7 – membrana elastica externa. Prevzato z [1].

15

Tepny a zıly velkeho prusvitu (5–15 mm) majı vsechny tri vrstvy dobre diferen-

covany. U tepen je svalova vrstva vzdy silnejsı. Kapilary, jejichz prusvit se pohybuje

v rozmezı 7–50µm, majı zcela redukovanou strednı a zevnı vrstvu a jejich stenu

tvorı pouze endotel, ktery je pro radu latek dobre propustny. [1]

Kolagen

Tvorı cca 47 % z celkoveho objemu vzorku. Kolagen se muze vyskytovat po jednot-

livych vlaknech nebo po svazcıch nejen v tkanıch, ale i v kostech, slachach, chru-

pavkach nebo kuzi. Celkove je znamo asi pres 28 druhu kolagenu. Ve stene tepny

se vyskytuje prevazne kolagen typu I a III, ktere tvorı az 90 % celkoveho kolagenu.

[10]

Kolagen predstavuje dominantnı slozku zatızenı, poskytuje stene jejı pevnost

a schopnost odolavat vyssım zatızenım. [10] Z mechanickeho hlediska vykazuje uzkou

hystereznı smycku, taznost 4–10 %, pevnost 90–130 MPa, modul pruznosti E = 100–

2000 MPa a vyraznejsı relaxaci. [2]

Elastin

Tvorı cca 29 % z celkoveho objemu vzorku. Ma tri zakladnı formy:

• lamely,

• interlaminarnı elasticka vlakna,

• radialnı vzpery.

Telo produkuje elastin pouze do dospelosti. Polocas rozpadu je priblizne 50–70

let, pricemz k jeho rychlejsı degradaci prispıva kourenı, nedostatek pohybu, nezdrava

strava.

Mezi mechanicke vlastnosti patrı velmi uzka hystereznı smycka, zanedbatelna

relaxace, taznost az 130 % a modul pruznosti E = 200–400 kPa. [2]

Bunky hladkeho svalstva

Jejich zakladnı tvar je elipticky. Tvorı az 24 % celkoveho objemu vzorku. Skladajı

se z jadra a z cytoplazmy, ktera ho obklopuje.

Mezi mechanicke vlastnosti patrı siroka hystereznı smycka a velmi vyrazna rela-

xace. Modul pruznosti E = 15–25 kPa. [2]

2.3 Krev

Krev je cervena, nepruhledna kapalina, ktera ma transportnı a specificke funkce.

Transportnı funkce zahrnujı rozvod dychacıch plynu, zivin, vitamınu, hormonu a zplo-

16

din jejich rozpadu. Mezi specificke funkce patrı schopnost krve udrzovat stale vnitrnı

prostredı (pH, osmoticky tlak apod.) a zajistenı ochrany proti vniknutı cizıch vyso-

komolekularnıch latek (napr. infekcnıch mikroorganismu) do tela.

Je to ne-newtonska kapalina, protoze se nerıdı Newtonovym zakonem viskozity,

takze s rustem smykove rychlosti neroste odpor linearne. Jedna se tedy o neidealnı

viskoznı tekutinu, spıse suspenzi, pricemz viskozita se muze v dosti sirokem rozsahu

i casovem rozmezı menit.

Sklada se z krevnı plazmy (55 %) a krevnıch bunek (cervene a bıle krvinky, krevnı

desticky).

2.4 Krevnı tlak

Zatızenı je uskutecnovano krevnım tlakem. Obvykle jım rozumıme tlak na stenu

tepny, ktery zavisı na vykonu srdce, odporu cevnıho reciste a mnozstvı cirkulujıcı

krve. Systolicky krevnı tlak zdraveho, dospeleho cloveka je do 140 mmHg a diasto-

licky krevnı tlak je do 90 mmHg. Pritom platı 1 mmHg.= 133, 322 Pa.

Strednı arterialnı tlak (Mean arterial blood pressure) je strednı hodnota krevnıho

tlaku behem jednoho srdecnıho cyklu. Zjednodusene se pocıta jako soucet dvou tretin

hodnoty tlaku diastolickeho a jedne tretiny hodnoty tlaku systolickeho.

Hodnota tlaku [mmHg] Hodnota tlaku [kPa]

Vysoky krevnı tlak > 140/90 ≈ 18, 7/12

Normalnı krevnı tlak ≈ 120/80 ≈ 16/10

Nızky krevnı tlak < 90/60 ≈ 12/8

Cılova hodnota krevnıho tlaku je v praxi ovlivnovana vekem, onemocnenım

cloveka nebo prıpadne vrozenou anomaliı.

2.5 Vazby k okolı

Perivaskularnı (tukova) tkan, take znama jako Virchowuv-Robinuv prostor, je lym-

faticky prostor, ktery obklopuje cevy. Vysledky studie [12] ukazujı, ze lidske brisnı

tukove tkane pod kvazi-statickym a dynamickym vıceosym zatızenım, lze charakte-

rizovat jako nelinearnı, anizotropnı a viskoelasticky mekky biologicky material.

17

2.6 Vliv zbytkoveho napetı ve stenach

Zbytkova napetı jsou definovana jako napetı, ktera se vyskytujı v materialu bez

pusobenı vnejsıch sil. Prıtomnost zbytkoveho napetı se projevuje zrovnomernenım

napetı a poklesem spicek napetı na vnitrnı strane steny tepny. Toto napetı lze zahr-

nout do vypoctu nekolika zpusoby (fiktivnı teplotou, presahem, zavıranım otevrene

tepny, atd.).

Chovanı zbytkoveho napetı predstavuje jednoduchy experiment, kde z cevy od-

rızneme tenky valcovy vzorek (viz obr. 2.5 a)), ktery vlozıme do misky s fyziolo-

gickym roztokem a podelne ho rozrızneme. Vzorek se zacne rozevırat, dokud vsechna

zbytkova napetı nevymizı (viz obr. 2.5 b)). [13] Zbytkove napetı je charakterizovano

uhlem rozevrenı β (anglicky opening angle), ktery zavisı na veku jednotlivce, druhu

tepny, jeho umıstenı atd. Detailnı popis teto problematiky je zpracovan v [13].

a) b)

Obr. 2.5: Ukazka experimentu vymizenı zbytkovych napetı ve stene tepny. [9]

2.7 Patologie cev

Patologie (onemocnenı) tohoto systemu se nejcasteji projevuje ve ctyrech podobach:

• zuzenım az uzaverem (arterioskleroza),

• disekcı,

• porusenım v dusledku urazu ci onemocnenı,

• vydutı.

2.7.1 Vydut’ (Aneurysma)

Je to lokalnı, progresivnı, permanentnı rozsırenı tepny, ohrozujıcı zivot pacienta vzni-

kem ruptury (prasknutım). V teto praci se opet omezıme na aneurysma abdominalnı

(brisnı) aorty (AAA). Za AAA povazujeme zvetseny prumer brisnı aorty o vıce nez

50 %, tedy zhruba nad 3 cm. Na rozdıl od arteriosklerozy, je dulezitym faktorem

18

k jeho vytvorenı vysoky krevnı tlak, kourenı, vek, pohlavı, chronicke onemocnenı

tepen, cholesterol, nadvaha atd. [14]

Podle tvaru rozeznavame AAA vakovita (sakularnı) a vretenovita (fusiformnı).

Obr. 2.6: Model aneurysmatu vytvoreny z CT snımku na UMTMB.

Intraluminalnı trombus (ILT)

ILT je slozen ze sıte kanalku, cervenych krvinek, krevnıch desticek a jinych bunek.

Vyskytuje se zhruba u 75 % AAA a vznika prevazne proto, aby zabranil zmene

charakteru proudenı z laminarnıho na turbulentnı. Podle clanku [15] muze snizovat

napetı ve stene AAA a tım i riziko protrzenı.

Novejsı studie ale tvrdı, ze jeho uloha pri prasknutı je velmi sporna a ne zcela

pochopena. ILT muze posilovat cevnı stenu, umoznovat prenasenı tlaku krve a tım

snizovat napetı u steny. Jeho role ale muze byt i opacna. Muze snizovat tloust’ku

steny tepny, coz vede ke zmensenı pevnosti. [16]

Diagnostika a riziko ruptury

Pro diagnostiku AAA se vyuzıvajı ruzne metody, napr. vysetrenı nativnım rentge-

novym snımkem, magneticka rezonance, pocıtacova tomografie – angiografie a dalsı.

Podle literatury [17] se aneurysmata delı na mala a velka (rizikova). Za velka, tedy

rizikova AAA, se povazuje hodnota prumeru 55 mm u muzu a 50 mm u zen. Prumer

je nutne merit vzdy kolmo ke strednici (proudnici) AAA. Za dalsı rizikovy faktor je

povazovana rychlost rustu AAA. Za rizikove zvetsenı se povazuje 10 mm/rok nebo

5 mm/pul rok. U velkych AAA je nebezpecne jakekoliv zvetsovanı.

K rupture dochazı, kdyz napetı prekrocı mez pevnosti materialu jak u AAA, tak

u zdrave aorty. [16]

19

Umrtnost pri prasklem AAA

V USA je prasknutı AAA trinactou nejcastejsı prıcinou umrtı a tretı prıcinou nahle

smrti u muzu starsıch 65 let.

Podle studie [18] z dat shromazdenych mezi lety 1970 a 2003 vyplyva vazeny

prumer celkove umrtnosti 48,5 %. Dulezitym vystupem z teto prace je to, ze v pru-

behu 15 let nebyly zaznamenany zadne vyznamne zmeny nebo zlepsenı, i kdyz je

k dispozici lepsı vybavenı, diagnostika, anestezie, apod.

20

3 MATEMATICKA PROPEDEUTIKA

V teto kapitole si zavedeme nove matematicke pojmy, pojmy z mechaniky velkych

deformacı a mechaniky kontinua. Studovany problem je geometricky nelinearnı, tzn.

ze musıme brat v uvahu tvarove zmeny, posunutı, popr. rotace prvku. K tomu po-

slouzı definice tenzoru napetı a pretvorenı. Jelikoz spolu musı splnovat konstitutivnı

zakony, predvedeme si i takto spjatou dvojici.

Hlavnı zdroje, ktere jsou vyuzity pri tvorbe teto kapitoly, jsou [13],[19] a [20].

3.1 Deformace

Deformace je zobrazenı, ktere prevadı materialove body z prostoru referencnı konfi-

gurace do prostoru prubezne konfigurace (X→ x). Homogennı deformace znamena,

ze se zachovava geometricka podobnost telesa.

x3, X3

x2, X2

x1, X1

λ2

λ1

λ3

e3, E3

e2, E2

e1, E1

Obr. 3.1: Homogennı deformace. Upraveno z [13].

Deformacnı gradient F prevadı referencnı diferencialnı vektor na zdeformo-

vany diferencialnı vektor, vyjadruje tak derivaci dx/dX:

dx = FdX . (3.1)

F = F11 e1 × E1 + F12 e1 × E2 + . . .+ F32 e3 × E2 + F33 e3 × E3 , (3.2)

kde ei × Ei jsou jednotkove vektory. Zapis bazı muzeme vynechat a napsat:

F =

F11 F12 F13

F21 F22 F23

F31 F32 F33

=

∂x1∂X1

∂x1∂X2

∂x1∂X3

∂x2∂X1

∂x2∂X2

∂x2∂X3

∂x3∂X1

∂x3∂X2

∂x3∂X3

. (3.3)

21

Obecne pro homogennı deformaci muzeme rıct:

x1 = λ1X1, x2 = λ2X2, x3 = λ3X3 , (3.4)

F11 =∂x1∂X1

, F22 =∂x2∂X2

, F33 =∂x3∂X3

, (3.5)

F12 = F13 = F21 = F31 = F23 = F32 = 0 , (3.6)

F =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

. (3.7)

Mezi hlavnı dva prıstupy popisujıcı kinematiku velkych deformacı patrı Lagrangeuv

(referencnı) a Euleruv (prostorovy) prıstup. Jejich hlavnı rozdıl je v nezavisle

promenne. Lagrangeuv prıstup za ni povazuje nedeformovanou geometrii (pocatecnı

poloha a cas), na druhe strane Euleruv za ni povazuje geometrii deformovanou (ne-

boli souradnice okamziteho stavu). Abychom mohli popsat tyto konecne deformace,

musıme nejprve zavest vztahy pro nekolik ruznych tenzoru pretvorenı.

3.1.1 Tenzory deformace

Nebudeme se zde zabyvat jejich odvozenım, predvedeme jen konecne vztahy a jejich

rozdıly.

• Smluvnı pretvorenı, ktere je odvozeno v [21].

εi = λi − 1 (3.8)

• Green–Lagrangeovo pretvorenı, ktere vychazı z Lagrangeova pojetı.

ELi =

∂ui∂Xi

+1

2

(∂ui∂Xi

)2

=1

2

(λ2i − 1

)(3.9)

• Almansi–Hamelovo pretvorenı, ktere vychazı z Eulerova pojetı a pouzıva

se v oblasti popisu pohybu plynu a kapalin.

EAi =

∂ui∂Xi

− 1

2

(∂ui∂Xi

)2

=1

2

(1− λ−2i

)(3.10)

• Cauchyho logaritmicke pretvorenı, ktere oproti predeslym, dokaze vzta-

hnout infinitezimalnı zmenu geometrie ke geometrii aktualnı.

ECi =

∫ xi

Xi

dx

x= ln

(xiXi

)= lnλi (3.11)

22

3.2 Napetı

3.2.1 Tenzory napetı

• Cauchyho tenzor skutecnych napetı je vztazen k okamzite sıle a k okam-

zite deformovane konfiguraci. Tento tenzor prirazujeme k Almansi–Hamelovu

tenzoru pretvorenı.

σij =dFidsj

(3.12)

• I. Piola–Kirchhoffuv tenzor pridruzujeme ke Green–Lagrangeovu tenzoru

pretvorenı. Sılu vztahujeme k plose vychozı geometricke konfigurace. Jeho

nevyhoda je, ze je nesymetricky, takze se v praxi prılis nevyuzıva.

τij =dFidSj

(3.13)

• II. Piola–Kirchhoffuv tenzor, ktery take muzeme kombinovat s Green–

Lagrangeovym tenzorem pretvorenı. Ma neprımy fyzikalnı vyznam, je nesy-

metricky a pouzıva fiktivnı sılu, ktera je vztazena k plose konfigurace pred

deformacı.

Sij =dFidSj

(3.14)

3.3 Konstitutivnı rovnice a nestlacitelnost

Abychom mohli k materialu prirovnat vhodny konstitutivnı model, musıme zohled-

nit hyperelasticitu materialu. Hyperelasticita je schopnost materialu se vratit po

velke (konecne) deformaci do zakladnıho stavu, aniz by byla porusena jeho vnitrnı

struktura. Modely muzeme rozdelit podle nekolika ruznych vlastnostı, napr. podle

smerovych vlastnostı, matematicke formulace, uplatnovaneho tenzoru apod. Hustota

deformacnı energie velmi zjednodusuje praci s nelinearnı materialovou zavislostı.

V praci jsme se zamerili na izotropnı konstitutivnı model redukovaneho

polynomu 5. radu typu Yeoh:

W =5∑i=1

ci (I1 − 3)i = c1 (I1 − 3)+c2 (I1 − 3)2+c3 (I1 − 3)3+c4 (I1 − 3)4+c5 (I1 − 3)5,

(3.15)

kde I1 = λ2r + λ2t + λ2z je prvnı modifikovany invariant a c1, c2, c3, c4 a c5 jsou

materialove konstanty.

Vyhodou modelu je moznost pouzitı na mekke tkane a implementace do vypoctu

konecnoprvkovym systemem Ansys.

23

Nestlacitelnost znamena nulovou zmenu objemu behem deformace. Autori ze

studie [22] dokazali, ze stena tepny vykazuje mırnou stlacitelnost na jednoose tlakove

zkousce kralicı aorty, presto se predpoklad nestlacitelnosti stale pouzıva a je hojne

rozsıren. Ma za nasledek vyrazne zrychlenı celeho vypoctu, jak uz analytickeho, tak

numerickeho. Jedna se o isochoricky dej.

J =dv

dV= detF = 1 , det

λr 0 0

0 λθ 0

0 0 λz

= λrλθλz = 1 , λr =1

λθλz.

(3.16)

3.4 Konfigurace steny tepny

Pro pouzitı konstitutivnıch rovnic a stanovenı D-N analyzy je nutne zavest referencnı

stav. Je to tzv. beznapet’ovy stav, ve kterem je nulove napetı. Vyznacuje se uhlem

rozevrenı β. Dalsım stavem je nezatızeny stav, ktery uz zahrnuje zbytkova napetı.

Konecny je zatızeny stav, ktery predstavuje natlakovanou trubici na napr. hodnotu

systolickeho tlaku krve.

R

R2

R1

r

r2

r1p

ββ β

β

ρ2ρ

ρ1

b)a) c)

Obr. 3.2: Stav: a) beznapet’ovy, b) nezatızeny, c) zatızeny. Prekresleno z [13].

24

4 MOZNOSTI ANALYTICKEHO ZPUSOBU RE-

SENI D-N STAVU TEPEN

Informace pri tvorbe teto kapitoly byly cerpany z [13], [20] a [21].

4.1 Linearnı teorie

4.1.1 Laplaceova rovnice

Tato teorie je znama take jako tenkostenna nadoba nebo rotacnı bezmomento-

va skorepina. Strednicova plocha skorepiny vznika rotacı meridianove krivky kolem

jejı osy. Aby se nebortily hrany pri deformaci, musıme zachovat prave uhly. Dıky

tomu jsou vsechna uhlova pretvorenı γ nulova. Delkova pretvorenı ε jsou nenulova.

dφt/2

σt σt

r

σt cos dφt/2

σt sin dφt/2 σt sin dφt/2

σt cos dφt/2

p

rm

h

rt

σm σt

dφt

dφmOt

Om

Obr. 4.1: Uvolnenı tenkostenneho telesa. Upraveno z [21].

Z obrazku 4.1 uvolneneho prvku urcıme rovnici rovnovahy v radialnım smeru,

neboli Laplaceovu rovnici (4.1):

p · rt · rm · dφt · dφm − σt · rm · h · dφt · dφm − σm · rt · h · dφt · dφm = 0 , (4.1)

σmrm

+σtrt

=p

h, (4.2)

kde h je tloust’ka, p je vnitrnı tlak, σm a σt jsou osova napetı a rm a rt jsou

polomery krivosti.

Radialnı a obvodove napetı zıskame vhodnou volbou okrajovych podmınek. Pro

zjednoduseny model valcove trubice bez dna, kde okrajove podmınky jsou: rt = R

25

a rm =∞, platı rovnice:

σt =p ·Rh

, (4.3)

σm = 0 . (4.4)

Pro kouli a tudız i pro vypocet sakularnıho (kuloviteho) AAA (rm = rt = R),

platı:

σt = σm =p ·R2h

. (4.5)

Z vysledne rovnice (4.5) je patrne, ze napetı nenı zavisle na materialu a je funkcı

pouze geometrie (R, h) a tlaku (p). Klasicka linearnı teorie predpoklada, ze rozdıl

mezi deformovanou a nedeformovanou konfiguracı valcove nadoby je zanedbatelny

a proto se zpravidla dosazujı hodnoty R a h z nedeformovaneho stavu.

Jiny stav nastava v prıpade zatızenı steny tepny. Zde je rozdıl mezi deformo-

vanou a nedeformovanou konfiguracı znacny (viz obrazek 3.2). Do rovnice (4.5) je

tedy nutne dosazovat ty hodnoty R a h, ktere pochazejı z deformovane konfigurace.

Hodnoty z deformovane konfigurace se dajı prakticky urcit lekarem z pocıtacove

tomografie – angiografie nebo z MKP analyzy.

I pres svoji jednoduchost umoznuje tento vztah urcit strednı hodnotu napetı.

V soucasne dobe se pouzıva spıse ke kontrolnım vypoctum. Da se take dokazat,

ze pokud bychom integrovali skutecny prubeh napetı pres tloust’ku steny tepny,

obdrzıme stejnou hodnotu napetı jako v prıpade pouzitı Laplaceovy rovnice.

26

4.1.2 Silnostenne nadoby

Charakteristicky elementarnı typ telesa je rotacne soumerne valcove teleso. Vstupy

jsou geometrie, zatızenı a vazby. Vystupy jsou deformace a trojosa napjatost. Obe

pretvorenı majı stejne predpoklady, jako u tenkostenne nadoby.

z0

z

dφ

r

dr

σt

σz

σr + dσr

σr

dφ/2

σr + dσr

σrσt σt

r

σt cos dφ/2

σt sin dφ/2 σt sin dφ/2

σt cos dφ/2

Obr. 4.2: Uvolnenı silnostenneho valcoveho telesa. Upraveno z [21].

Podle obrazku 4.2 muzeme sestavit nasledujıcı rovnice pro radialnı a osovy smer.

Pro obvodovy smer nemusıme sestavovat rovnici rovnovahy, protoze je identicky

splnena.∑Fr = 0 : (σr + dσr) (r + dr) z0 dφ− σrrz0 dφ− 2σt sin

dφ

2z0 dφ = 0 (4.6)∑

Fz = 0 : rσz dφ dr − rpz dφ dr = 0 . (4.7)

Jelikoz je uhel dφ/2 tak maly, ze:

sindφ

2≈ dφ

2, (4.8)

upravou zıskame tyto rovnice rovnovahy:

σr − σt + rdσrdr

= 0 , (4.9)

σz = pz . (4.10)

Upravou prvnı rovnice rovnovahy pomocı zobecneneho Hookova zakona (4.11)

s pouzitım geometrickych vztahu (4.12) odvodıme konecne vztahy pro jednotliva

napetı. Ty pote upravujeme pomocı vhodnych okrajovych podmınek.

σt = 2Gεt + λe , σr = 2Gεr + λe , σz = 2Gεz + λe , (4.11)

27

kde e = εt + εr + εz je zmena objemu prvku.

εr =du

dr, εt =

u

r, εz =

dw

dz(4.12)

σt = A+B

r2+ λεz

σr = A− B

r2+ λεz (4.13)

σz = 2µA+ (2G+ λ) εz

Mezi pouzıvane parametry patrı modul pruznosti ve smyku G [Pa], Lameho kon-

stanta λ [Pa], Poissonova konstanta µ [-] a Younguv modul pruznosti v tahu E [Pa].

G =E

(1 + µ) 2, λ =

µ · E(1 + µ) (1− 2µ)

, E =σ

ε(4.14)

Z predchozıch vztahu vyplyva zavislost posunutı na materialovem parametru E:

u = εr · r =r

E[σr − µ (σt + σz)] . (4.15)

Pro valcovou nadobu bez dna zatızenou vnitrnım tlakem p, platı:

σt = A+B

r2,

σr = A− B

r2, (4.16)

σz = 0 ,

kde z okrajovych podmınek pro r = r1 vyplyva σr = −p a pro r = r2 σr = 0,

dokazeme urcit konstanty A a B:

A =pr21

r22 − r21, (4.17)

B =pr21r

22

r22 − r21. (4.18)

28

4.1.3 Srovnanı tenkostennych a silnostennych nadob

Nastava otazka, do jake tloust’ky muzeme nadobu povazovat za tenkostennou? V li-

terature zabyvajıcı se pruznostı a pevnostı [23] byl odvozen vztah R/h ≥ 20. Tento

vztah byl definovan na zaklade nekolika predpokladu:

• jednalo se o valcovou nadobu se dny (σm 6= 0),

• byla pripustena odchylka v jednotlivych slozkach napetı cca 5 %.

Pro zjednodusenı byla odchylka zavedena jako α = r2/r1. Stejna hodnota pomeru

R/h se vyskytuje i v literature [24].

p p

σtσt

a) b)

Obr. 4.3: Srovnanı rozdelenı napetı po cele tloust’ce steny mezi silnostennou a ten-

kostennou nadobou.

σt

σr

σt,L

r

+σ

−σ

p

Obr. 4.4: Srovnanı prubehu napetı, kde σt a σr jsou slozky napetı podle silnostenne

teorie a σt,L je obvodove napetı podle Laplaceovy teorie. Jak je patrne, pri linearnı

teorii zıskame pomocı Laplaceovy rovnice vzdy hornı hodnotu obvodoveho napetı.

Prekresleno z [21].

29

4.2 Zahrnutı zbytkovych napetı

Vliv zbytkoveho napetı byl predstaven v kapitole 2.6. Nynı si predstavıme zakladnı

metody zahrnutı zbytkoveho napetı do vypoctu.

4.2.1 Uzavrenı prstence

Jedna se o nejstarsı metodu, pri ktere muze byt vyuzita i teorie prutu – silne a slabe

zakrivenych. Modeluje se experiment, ktery byl popsan v kapitole 2.6. Z experi-

mentu zname jak stav nezatızeny, tak stav beznapet’ovy (charakterizovany zmenou

krivosti a uhlem rozevrenı β). Cılem je urcit ohybovy moment, ktery vyvolava zmenu

krivosti. Pri vypoctu vyuzıvame tyto dve rovnice (o zachovanı delky strednice (4.19)

a o zachovanı objemu (4.20)):

(ρ1 + ρ2)

2(2π − 2β) =

2π (R1 +R2)

2, (4.19)

(π − β)(ρ21 − ρ22

)= π

(R2

1 −R22

). (4.20)

β je uhel rozevrenı, ρ1 a ρ2 jsou polomery krivostı pred uzavrenım prstence a R1

a R2 jsou polomery po uzavrenı prstence.

R2

RR1

ρ1ρρ2

Moy

Obr. 4.5: Schema geometrie. Prekresleno z [13].

Pro teorii slabe zakriveneho prutu uvazujeme nezatızenou konfiguraci. Dıky

tomu muzeme rıct, ze normalova sılaN je nulova, a kvuli symetrii je nulova i posuvna

sıla T . Jedinym nenulovym vnitrnım ucinkem je ohybovy moment Mo, ktery je

konstantnı. Napetı stanovıme podle nasledujıcıho vztahu:

σx(z) =Mo

Jy· z , (4.21)

30

kde Jy je osovy kvadraticky moment prurezu. Pri zobecnenı, kde na vnitrnı povrchu

je tlakove napetı (-) a na vnejsım napetı tahove (+), zıskame:

σ1,2 =±Mo

Wo

, (4.22)

kde Wo je modul prurezu.

U teorie silne zakriveneho prutu, namahaneho ohybem, musıme pocıtat s po-

sunutou neutralnı osou. Napetı je po prurezu rozlozeno hyperbolicky a je popsano

vztahem:

σx(z) =Mo

S · ez

r − z′ , (4.23)

kde r vyjadruje polohu neutralnı osy a e je excentricita. Extremnı napetı (tahove

σex,1 (+) a tlakove σex,2 (-)) vznika v mıste prusecıku obrysu prvku s osou symetrie

prvku:

σex,1,2 =±Mo

S · eh1,2R1,2

. (4.24)

Neznamy parametr Mo urcıme ze zmeny krivosti podle vztahu:

|Mo| = EJy

(1

R− 1

ρ

). (4.25)

a)

b)

[kPa]

6556115675244804373933503062632191751328845

Obr. 4.6: Za statickeho tlaku 16 kPa byl zatızen polovicnı model bifurkace. Na

obrazku je znazorneno maximalnı hlavnı napetı: a) bez zahrnuteho zbytkoveho

napetı, b) se zahrnutym zbytkovym napetım. Upraveno z [25].

31

Jak jiz bylo napsano drıve, jedna se o nejstarsı metodu zalozenou na experimentu

”rozevrenı”aortalnıho prstence. Tato metoda byla vyuzıvana spıse v pocatcıch mo-

delovanı zbytkove napjatosti a je aplikovatelna pouze na idealizovane tvary steny

tepny, prıpadne casti bifurkace (viz obr. 4.6), jak bylo dokazano v [25]. Pro mode-

lovanı zbytkove napjatosti v realnych modelech AAA nenasla sve uplatnenı.

4.2.2 Metoda fiktivnı teploty

Metoda fiktivnı teploty je alternativou uzavrenı prstence pro vypocet zbytkoveho

napetı. Byla navrhnuta na ustavu UMTMB prof. Bursou [26].

R2

RR1

ρ1 ρρ2

+T

−T

Obr. 4.7: Schema vypoctoveho modelu s definicı okrajovych podmınek. Prekresleno

z [13].

Opet zde vychazıme z rovnice zachovanı delky strednice a rovnice zachovanı

objemu. Hlavnı myslenkou je pridanı kladne teploty na vnitrnı povrch (zpusobuje

roztazenı) a zaporne teploty na vnejsı povrch (zpusobuje smrstenı) do vychozı ne-

zatızene (uzavrene) konfigurace. Nynı provedeme vypocet bud’ soucinitele delkove

roztaznosti α pri dane zmene teploty, nebo stanovıme zmenu teploty pri konstantnı

α, viz vztah (4.26).

εT = α ·∆T , (4.26)

kde εT je teplotnı pretvorenı [-].

Deformovane konfiguraci nynı predepıseme nulovou deformaci a posuvy – vy-

volanı zbytkoveho napetı.

32

Stanovenı zmeny teploty ∆T , resp. soucinitele delkove roztaznosti α

Zatızenı teplotou je linearnı:

T (z) = A+Bz . (4.27)

Zavedenım okrajovych podmınek z = 0 → T = 0 a z = h/2 → T = T dostaneme:

T (z) =2 · Th· z . (4.28)

Pro posuv u a deformaci ε ve smeru osy x (axialnı smer) platı:

u (x, z) = f0(x) + zf1(x) , (4.29)

εx =∂u

∂x=∂f0∂x

+ z∂f1∂x

= f ′0(x) + zf ′1(x) . (4.30)

Podle rozsıreneho Hookova zakona platı:

εx =σxE

+ αT (x, z) , (4.31)

σx = Eεx − EαT (x, z) = E [f ′0(x) + zf ′1(x)− αT (x, z)] . (4.32)

Nasledujıcı rovnice plynou z podmınek staticke rovnovahy, kde vysledna sıla ve

smeru osy x musı byt nulova a vysledne momenty vzhledem k osam y a z musı byt

take nulove: ∫S

σx dS = 0 ,

∫S

σxy dS = 0 ,

∫S

σxz dS = 0 . (4.33)

Dosazenım z rovnice (4.32) do rovnic (4.33) a upravou na castecne integraly

zıskame:

Ef ′0(x) + Ef ′1(x)

∫S

z dS −∫S

EαT (x, z) dS = 0 , (4.34)

Ef ′0(x)

∫S

y dS + Ef ′1(x)

∫S

yz dS −∫S

EαT (x, z)y dS = 0 , (4.35)

Ef ′0(x)

∫S

z dS + Ef ′1(x)

∫S

z2 dS −∫S

EαT (x, z)z dS = 0 , (4.36)

kde Jy =∫Sz2 dS je osovy kvadraticky moment.

Predpokladejme, ze osy y a z jsou osy hlavnı, a ze jejich linearnı momenty budou

rovny nule, stejne tak jako deviacnı kvadraticky moment.

Uy = Uz =

∫S

y dS =

∫S

z dS = 0 , Jyz =

∫yz dS = 0 . (4.37)

Dale oznacıme teplotnı sılu a teplotnı moment nasledovne:

FT =

∫S

EαT (x, z) dS , (4.38)

33

MT =

∫S

EαT (x, z)z dS . (4.39)

Nynı pomocı zpetneho dosazenı vyjadrıme nezname parametry a vysledne napetı:

f ′0(x) =1

ESFT , (4.40)

f ′1(x) =1

EJyMT , (4.41)

σx(x, z) =1

SFT +

z

JyMT − αET (x, z) . (4.42)

Vysledny osovy posuv u vyjadrıme integracı εx:

u(x, z) =1

E

∫ x

0

σx dx =1

E

∫ x

0

[FTS

+MT

Jyz − αET (x, z)

]dx . (4.43)

Natocenı dφ stanovıme jako:

dφ =1

z

[(∂u

∂x

)x=x,z=z

−(∂u

∂x

)x=x,z=0

]dx =

1

z

MT

EJyz dx . (4.44)

Vyslednou krivost stanovıme z natocenı dφ takto:

1

ρ=

dφ

dx=MT

EJy=

±w′′(1 + w′2)3/2

= −d2w

dx2. (4.45)

Takze z rozdılu krivostı muzeme vyjadrit potrebnou velikost soucinitele delkove

roztaznosti α nebo zmenu teploty ∆T :

1

R− 1

ρ=

∣∣∣∣MT

EJy

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣Eα

2∆T

HJy

EJy

∣∣∣∣∣∣∣ , (4.46)

|α| = H

2∆T

(1

R− 1

ρ

), (4.47)

|∆T | = H

2α

(1

R− 1

ρ

). (4.48)

Tato metoda nenı zavisla na materialu a jejı zobecnena forma, resp. metoda ob-

jemoveho rustu se vyuzıva pri vypoctech deformacne napet’ove analyzy aneurysmat

brisnı aorty na UMTMB [27].

34

4.2.3 Presah dvou valcu

Tuto teorii, ktera vychazı ze znalostı obecne pruznosti a pevnosti, odvodil na

UMTMB, Ing. Stanislav Polzer, Ph.D. Teorii predstavil ve svem clanku [28], ze

ktereho zde vychazıme, a pote byla predvedena v bakalarske praci [29], ktera vznikla

pod jeho vedenım.

Idealizovany model tepny se sklada ze dvou valcu ulozenych s presahem. Tyto

valce symbolizujı dve nejvyznamnejsı vrstvy steny, medii a adventitiu, ktere majı

ruzne konstitutivnı parametry. Interference mezi stenami je pozitivnı, neboli tahova,

na vnejsı strane a negativnı, tedy tlakova, na vnitrnı strane, coz zajist’uje zredu-

kovanı maximalnıho, resp. minimalnıho napetı na vnitrnı, resp. vnejsı strane tepny.

Cılem je zıskat co nejrovnomernejsı rozlozenı obvodoveho napetı pomocı vhodne

volby presahu.

r11r12

r21r22

∆

r11

r12r21r22

u1

u2

Obr. 4.8: Znazornenı deformacnı podmınky ∆ = |u1|+u2 = r21−r12 dvou valcovych

teles s presahem. Prekresleno z [29].

V pocatecnım kroku byla stanovena deformacnı podmınka pro presah (viz obr.

4.8) a urcenı znamych parametru. Dale byly odvozeny jednotlive posuvy u vnitrnı

a vnejsı trubky pomocı okrajovych podmınek a deformacnıch vztahu. Dıky vhodne

volbe presahu bylo dosazeno zrovnomernenı obvodoveho prubehu napetı po tloust’ce

steny tepny.

Vyhodou teto metody je myslenka samotneho rozdelenı do vıce vrstev. Zde je

tepna rozdelena na dve vrstvy, ty ale muzeme znovu rozdelit na vıce podvrstev,

kterym predepıseme stejne vlastnosti materialu. Dıky tomu dosahneme jeste vetsıho

zrovnomernenı napetı. Dalsı vyhodou je jejı numericka stabilita. Metoda se da apli-

kovat i na nesymetricke geometrie jako je napr. bifurkace nebo AAA, avsak cely

proces musıme rıdit lokalne.

35

4.3 Nelinearnı teorie

Nelinearnı teorie kombinuje nelinearnı mechaniku a linearnı teorie, ktere jsme si

predstavili v kapitole 4.1. Uzıvame zde linearnı elasticke rovnice, ktere jsme upravili

pro pouzitı u velkych deformacı. Dale se seznamıme s hustotou deformacnı energie W

(z anglictiny Strain Energy Density Function – SEDF ). Pro odvozenı v nasledujıcı

kapitole jsme pouzili literaturu [24] a [30].

4.3.1 Silnostenna simulace

Formalnı konstitutivnı rovnice je ve tvaru:

σ = F∂W (F)

∂F− pI , (4.49)

kde F je deformacnı gradient, I je jednotkovy tenzor 2. radu a p je hydrostaticka

slozka napetı vznikla reakcı na omezenı stlacitelnosti. Slozky napetı se rıdı podle

vztahu:

σr = λr∂W

∂λr− p , σθ = λθ

∂W

∂λθ− p , σz = λz

∂W

∂λz− p , (4.50)

ze kterych je potreba eliminovat neznamy parametr p.

z

θ

r

σz

σθ

σr

dλz

dλr dλθ

λθ

λr

λz

Obr. 4.9: Znazornenı deformace na jednotkove krychli. Upraveno z [13].

Dale uvazujeme jednotkovou krychli, na kterou pusobı napetı σr, σθ a σz, ktera ji

zdeformujı na kvadr o hranach λr, λθ a λz. Prırustek deformacnı energie dW o dλr

(tj. napr. λr → λr + dλr) je:

dW = λrλzσθdλθ + λθλzσrdλr + λrλθσzdλz . (4.51)

Pro nestlacitelny material derivovanım:

λrλzλθ = 1 , (4.52)

36

platı:

λθλzdλr + λrλzdλθ + λrλθdλz = 0 . (4.53)

Jestlize dosadıme ze vztahu (4.53) do vztahu (4.51), dostaneme:

dW = λrλz (σθ − σr) dλθ + λrλθ (σz − σr) dλz , (4.54)

pak dale predpokladame, ze nestlacitelnost eliminuje jednu promennou na vztah:

dW =∂W

∂λθdλθ +

∂W

∂λzdλz . (4.55)

Porovnanım a upravou vyrazu pro dW obdrzıme:

σθ − σr = λθ∂W

∂λθ, σz − σr = λz

∂W

∂λz. (4.56)

Odvozenı rovnic rovnovahy pro silnostennou konstrukci

Uvazujme infinitezimalnı elementarnı prvek steny cevy podle obr. 4.10.

dθ

dθ/2

dθ/2

σθ

σθ

σr

σr + dσr

Obr. 4.10: Elementarnı prvek steny tepny.

Rovnice pro radialnı sılu je:

(r + dr) (σr + dσr) dθ − rσrdθ = 2σθ sindθ

2dr . (4.57)

Predpokladejme, ze uhel dθ/2 je tak maly, ze:

sindθ

2≈ dθ

2. (4.58)

Upravami zıskame:

σr − σθr

+dσrdr

= 0 , (4.59)

dσr(r) =σθ − σr

rdr . (4.60)

37

Integrovanım s vedomım, ze σr(r0) = 0 zıskame:∫ σr(r0)

σr(r)

dσr(r) = σr(r0)− σr(r) =

∫ r0

r

σθ − σrr

dr , (4.61)

σr(r) = −∫ r0

r

σθ − σrr

dr . (4.62)

Dosazenım z rovnice (4.56) dostaneme rovnice rovnovahy:

σr(r) = −∫ r0

r

λθ∂W

∂λθ· 1

rdr ,

σθ = λθ∂W

∂λθ+ σr(r) , (4.63)

σz = λz∂W

∂λz+ σr(r) .

Odvozenı axialnı sıly Fz

Tato sıla zpusobuje axialnı predepnutı steny tepny a musı byt ve staticke rov-

novaze (pusobı proti axialnımu napetı σz). Zahrnutım pusobıcıho vnitrnıho tlaku

krve mame:

Fz = −πri2P + 2π

∫ r0

ri

σzr dr . (4.64)

Rovnici si rozdelıme na dve casti, ktere pote jen zpet dosadıme a upravıme. Nejprve

upravıme cast tykajıcı se tlaku a pote cast obsahujıcı axialnı napetı. Pripomenme

si, ze:

σr(r0) = 0 , σr(ri) = −p , (4.65)

potom, pro prvnı cast rovnice platı:

− πri2P = −π[r2σr(r)

]rori

= −π[(r20σr(r0)

)−(r2i σr(ri)

)]= −πr2i p . (4.66)

Druhou cast rovnice upravıme na:

2π

∫ r0

ri

σzr dr =2π

∫ r0

ri

(λz∂W

∂λz+ σr

)r dr =

2π

∫ r0

ri

λz∂W

∂λzr dr + 2π

∫ r0

ri

σrr dr =

2π

∫ r0

ri

λz∂W

∂λzr dr + π

∫ r0

ri

σr2r dr =

2π

∫ r0

ri

λz∂W

∂λzr dr + π

∫ r0

ri

σrd (r2)

drdr . (4.67)

38

Axialnı sılu Fz muzeme napsat jako:

Fz =− π[r2σr(r)

]rori

+ π

∫ r0

ri

σrd (r2)

drdr + 2π

∫ r0

ri

λz∂W

∂λzr dr =

− π∫ r0

ri

dσrdr

r2 dr + 2π

∫ r0

ri

λz∂W

∂λzr dr , (4.68)

protoze:

−π∫ r0

ri

dσrdr

r2 dr =

∣∣∣∣∣∣∣u = r2 u′ =

d (r2)

dr

v′ =dσrdr

v = σr

∣∣∣∣∣∣∣ = −π([r2σr(r)

]rori−∫ r0

ri

σrd (r2)

drdr

).

(4.69)

Dalsım dosazenım z (4.60) a z (4.56) dostavame vysledny vztah:

Fz = −π∫ r0

ri

λθ∂W

∂λθr dr + 2π

∫ r0

ri

λz∂W

∂λzr dr . (4.70)

39

4.3.2 Tenkostenna simulace

Formalnı konstituvnı rovnice je ve stejnem tvaru jako u silnostenne simulace:

σ = F∂W (F)

∂F− pI , (4.71)

σr = λr∂W

∂λr− p , (4.72)

σθ = λθ∂W

∂λθ− p , (4.73)

σz = λz∂W

∂λz− p . (4.74)

Pouzijeme zde, v predchozı kapitole zmıneny, model Yeoh (viz vztah (3.15)).

Jelikoz se vse odehrava jen na urovni strednı plochy, musıme modifikovat tenzor

deformace:

h = λrH , r = λθR , z = λzZ . (4.75)

F =∂x

∂X=

∂h

∂H0 0

0∂r

∂R0

0 0∂z

∂Z

=

λr 0 0

0 λθ 0

0 0 λz

=

h

H0 0

0r

R0

0 0z

Z

(4.76)

Finalnı soustava elastostatickych rovnic se zohlednenymi okrajovymi podmınkami

je: ∑Fr : λr

∂W

∂λr− p = −P

2,∑

Fθ : λθ∂W

∂λθ− p =

rP

h, (4.77)∑

Fz : λz∂W

∂λz− p =

Fz2πrh

+rP

2h.

Dosazenım hustoty deformacnı energie W do soustavy elastostatickych rovnic (4.77),

muzeme z prvnı rovnice pro radialnı napetı vyjadrit neznamy parametr p. Nynı

eliminujeme jednu promennou (λr) pomocı nestlacitelnosti. Ted’ je uz prvnı rovnice

nadbytecna, do zbylych dvou dosadıme ze vztahu (4.75). Vznikly dve rovnice pro

dve natazenı, dve sıly, nebo dva geometricke parametry, pokud zname materialove

konstanty c1, c2, c3, c4 a c5 z konstituvnıho modelu.

40

5 PRAKTICKA UKAZKA VYPOCTU

Z uloh pruznosti a pevnosti zname dva problemy: prımy a neprımy. V nasem prıpade

se jedna o problem prımy. Zname vstupnı veliciny (geometrie, zatızenı, materialove

charakteristiky) a hledame veliciny vystupnı (deformace, napetı).

Vypocet provadıme v matematickem softwaru Maple 12, dıky kteremu zıskame

grafy prubehu napetı. Pote provedeme srovnanı se zıskanym numerickym vypoctem.

5.1 Nelinearnı teorie silnostennych nadob

Pro srovnanı uvedeme vypocty pro dva konstitutivnı modely. Prvnı model jsme

zmınili v kapitole (3.3) v rovnici (3.15). Je to model petiparametricky a obsahuje

pet materialovych konstant. Jeho prednostı je mensı tuhost, takze muzeme lepe

videt prubeh obvodoveho napetı po stene tepny. Druhy model je dvouparametricky,

takze:

W =2∑i=1

ci (I1 − 3)i = c1 (I1 − 3) + c2 (I1 − 3)2 , (5.1)

kde I1 = λ2r + λ2t + λ2z je opet prvnı modifikovany invariant a c1, c2 jsou materialove

konstanty.

5.1.1 Vstupnı veliciny

Vnitrnı prumer: R1 = 8, 5 mm

Vnejsı prumer: R2 = 10 mm

Tloust’ka: h = 1, 5 mm

Zatızenı: p = 0, 016 MPa

Axialnı predepnutı: λz = 1

Petiparametricky model:

Materialove charakteristiky: c1 = 0, 005 MPa,

c2 = c3 = 0 MPa,

c4 = 2, 2 MPa,

c5 = 13, 741 MPa.

Dvouparametricky model:

Materialove charakteristiky: c1 = 0, 177 MPa,

c2 = 1, 881 MPa.

41

5.1.2 Vyhodnocenı napetı bez uvazovanı zbytkoveho napetı

Nez se zamerıme na prubehy napetı, je treba si zvazit postup naseho algoritmu.

Nejprve nadefinujeme nezatızenou konfiguraci pomocı rovnic rovnovahy

(4.63), hustoty deformacnı energie (3.15), nestlacitelnosti (3.16) a rovnice pro za-

chovanı objemu (4.20). Po vyhodnocenı prubehu tlaku najdeme hodnotu r0 =

10 mm, ve ktere je P = 0 a hodnotu r0,16 = 11, 8591 mm, ve ktere je P = 16 kPa.

Hodnota r0,16 se stava vnejsım polomerem zatızene konfigurace. Pomocı upravy

rovnice zachovanı objemu zıskame hodnotu vnitrnıho polomeru ri,16 = 10, 6249 mm.

Nynı uz jsme schopni zıskat predpokladane prubehy napetı.

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0

11,811,611,411,211,010,8

Polomer [mm]

Nap

etı

[MP

a]

Radialnı napetı Obvodove napetı Axialnı napetı

Napetı von Mises Laplaceovo pravidlo

Obr. 5.1: Graf porovnanı jednotlivych napetı pro petiparametricky konstitutivnı mo-

del.

Na obrazku 5.1 muzeme videt, ze jsme zde zahrnuli napetı von Mises a strednı

hodnotu napetı podle Laplaceovy rovnice viz vztah (4.3). Napetı von Mises je napetı

redukovane podle pevnostnı podmınky plasticity HMH (Huber, von Mises, Hencky):

σred,HMH =

√1

2

((σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2

), (5.2)

kde σ1 = σθ, σ2 = σz a σ3 = σr.

σL = 137739 Pa , (5.3)

je vysledne Laplaceovo napetı.

42

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0

10,410,210,09,89,49,2

Polomer [mm]

Nap

etı

[MP

a]

Radialnı napetı Obvodove napetı Axialnı napetı

Napetı von Mises Laplaceovo pravidlo

9,6

Obr. 5.2: Graf porovnanı jednotlivych napetı pro dvouparametricky konstitutivnı

model.

5.1.3 Vyhodnocenı napetı se zbytkovym napetım

Zacatek algoritmu je stejny jako u predchozıho. Pote si vyjadrıme nove referencnı

polomery ρi = 12, 0577 mm a ρ0 = 13, 5568 mm (tzn. vychozı je konfigurace

beznapet’ova) z predstavy, ze pri uzavıranı prstence dochazı k zachovanı objemu

a delky strednice. Pouzili jsme zde petiparametricky konstitutivnı model.

Prvnı prechod uskutecnıme z konfigurace beznapet’ove na konfiguraci neza-

tızenou. Druhy prechod je na konfiguraci zatızenou. Oba prechody znazornujı

nasledujıcı tenzory deformace:

F1 =

∂R(ρ)

∂ρ0 0

0πR

(π − β) ρ0

0 0 δ

, (5.4)

kde ρ zıskame z podmınky zachovanı objemu:

ρ =

√ρ20 −

π

π − βλz (r20 − r2) . (5.5)

F2 =

∂r(R)

∂R0 0

0r

R0

0 0 λ

(5.6)

43

F = F2 · F1 =

∂r

∂ρ0 0

0πr

(π − β) ρ0

0 0 λδ

=

λrρ 0 0

0 λθψ 0

0 0 λzξ

(5.7)

Druhy prechod je stejny jako u predchozıho. Pro P = 0 jsme zıskali hodnotu r0 =

10, 0059 mm a pro P = 16 kPa jsme zıskali r0,16 = 11, 9084 mm a ri,16 = 10, 6799 mm.

Predpokladane prubehy napetı, ktere jsme opet doplnili o redukovane napetı von

Mises a napetı podle Laplaceovy teorie, muzeme videt na obrazku 5.3. Jako uhel

rozevrenı jsme volili β = 56◦, kdy se zrovnomernenı napetı jevilo nejvetsı (krivky

pro obvodove napetı a napetı podle Laplaceovy teorie splyvajı). Prubehy napetı pro

dalsı uhly rozevrenı jsou znazorneny na zjednodusenych grafech na obrazku 5.4.

Vysledne Laplaceovo napetı vyslo:

σL = 138389 Pa . (5.8)

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0

10,9 11,911,711,511,311,110,7

Polomer [mm]

Nap

etı

[MP

a]

Radialnı napetı Obvodove napetı Axialnı napetı

Napetı von Mises Laplaceovo pravidlo

Obr. 5.3: Graf porovnanı jednotlivych napetı se zahrnutım zbytkovych napetı se

zvolenym uhlem rozevrenı β = 56◦.

44

c)

a) b)

d)

Obr. 5.4: Porovnanı s dalsımi uhly rozevrenı: a) β = 50◦, b) β = 55◦, c) β = 57◦, d)

β = 60◦. Pro vetsı prehlednost jsem vynechala popisky a hodnoty, ktere jsou stejne

jako v predchozım grafu.

5.2 Nelinearnı teorie tenkostennych nadob

Pomocı postupu z predchozı kapitoly 4.3.2 si nejprve z prvnı rovnice pro radialnı

napetı vyjadrıme neznamy parametr p, eliminujeme promennou λr dıky predpokladu

nestlacitelnosti a dosadıme do zbylych dvou rovnic napetı vztahy (4.75). Nynı polo-

zıme P = 0, 016 MPa a z upravene rovnice obvodoveho napetı vypocıtame hodnotu

λθ. Tu dosadıme zpet do konstitutivnıch rovnic. Jednotliva napetı nam vysla ve

formach strednıch hodnot nasledovne:

σθ = 135024 Pa ,

σz = 49454 Pa , (5.9)

σr = −8006 Pa .

Porovnanım s predchozı teoriı je tak potvrzena spravnost realizovaneho vypoctu.

45

6 SROVNAVACI ANALYZA POMOCI MKP

Numericke resenı jsme provedli ve zmınenem softwaru ANSYS v prostredı Mecha-

nical APDL. Nejprve jsme si nadefinovali geometrii, kterou se pro nas stal prstenec

s rozmery z podkapitoly 5.1.1. Pro modelovanı jsme pouzili mene tuhy petiparamet-

ricky konstitutivnı model typu Yeoh.

Dıky grafu 6.1 jsme si overili spravnost vypoctu analytickeho resenı.

0,335

0,300

0,265

0,230

0,195

0,160

0,125

0,090

0,055

0,020

-0,1600 0,15 0,30 0,45 0,60 0,75 0,90 1,05 1,20 1,35 1,5

Tloust’ka [mm]

Nap

etı

[MP

a]

Radialnı napetı Obvodove napetı Axialnı napetı

Obr. 6.1: Graf napetı numerickeho resenı z programu ANSYS bez zahrnutı vlivu

zbytkoveho napetı.

Pri zahrnutı zbytkoveho napetı jsme pouzili metodu fiktivnı teploty a jejı odvo-

zenı z podkapitoly 4.2.2.

Nastavenı teplot vychozı (nezatızene konfigurace) jsme zvolili jako T+ = 39◦C

a T− = 35◦C. Tım jsme zarucili otevrenı prstence a nastavenı realne teploty 37◦C

uvnitr steny. Tyto teploty slouzı pouze k predstave, realne vypocet zahrnuje jen

zmenu teplot ∆T = 4◦C. Stejneho vysledku by tak bylo dosazeno i v prıpade defi-

novanı T+ = 2◦C a T− = −2◦C, aby uprostred byla teplota 0◦C a teplotnı rozdıl

byl stejny.

Po nadefinovanı jemnosti sıte, materialu a geometrie musıme znovu nacıst tep-

lotnı zatızenı. Nynı muzeme zabranit deformaci segmentu predepsanım nuloveho

posuvu ve smeru osy x a y. Tım vznikne zbytkove napetı a nezatızena konfigurace.

Pro vznik zatızene konfigurace musıme odstranit podmınku nuloveho posuvu ve

smeru osy y a vnitrnı povrch zatızit tlakem P = 16 kPa.

46

V tuto chvıli muzeme menit soucinitel delkove roztaznosti α a pozorovat tak

zmenu prubehu obvodoveho napetı pres tloust’ku steny idealizovane tepny az do

stavu uplneho zrovnomernenı napetı (viz obrazek 6.2).

0,3347090,3022390,269769

0,237299

0,204829

0,1723590,1398890,1074190,0749490,042479

Obvodove napetı [MPa]

Obr. 6.2: Ukazka homogenizace obvodoveho napetı pomocı postupneho zvysovanı

soucinitele delkove roztaznosti α.

47

7 RESENI AAA POMOCI LINEARNI TEORIE

Jak uz jsme zmınili v kapitole 2.7.1, jedna se o velice zavazne onemocnenı, proto je

prace rozsırena o analyzu podle studie Elgera a spol. [31]

Riziko prasknutı vydute je obvykle povazovano za funkci prumeru, v teto studii je

kladen duraz na tvar (krivost steny) AAA. Jelikoz je zakrivenı stejne dobre meritelne

jako prumer vydute, muze byt analyza velice prınosna pro klinickou praxi, ve ktere

je dulezite presne nacasovanı reparativnı operace, nez dojde k prasknutı.

7.1 Napet’ova analyza

Modely vychazı z obrazku 7.1, ve kterem muzete videt znazornenı podstatnych

velicin. Napetı Nφ, ktere pusobı ve smeru meridialnı krivky nazveme meridialnı

a napetı Nθ, ktere pusobı v obvodovem smeru nazveme obvodove. Charakter steny

zajist’ujı dva hlavnı polomery zakrivenı. Polomer r1 je kolmy k zatızenı a je zavisly

na tvaru meridialnı krivky y(x) nasledujıcım zpusobem:

r1 =

[1 +

(dy

dx

)2]3/2

−(

d2y

dx2

) . (7.1)

Polomer r2 poskytuje zakrivenı v ramci osove soumernosti:

r2 = y

(1 +

(d2y

dx2

))1/2

. (7.2)

Db = 2rb

rv

2L

T

y(x)y

x

Obr. 7.1: Prıklad modelu AAA. Upraveno z [31].

Rovnice rovnovahy vypadajı nasledovne:

Nφ

r1+Nθ

r2= p , (7.3)

48

Nφ =r2

2πy2[πp(y2 − r2v

)+ T (x)

]. (7.4)

Pro spravnost musıme cleny normalizovat:

N∗φ ≡Nφ

prv, N∗θ ≡

Nθ

prv, y∗ ≡ y

rv, r∗1 ≡

r1rv

atd. (7.5)

7.2 Modely tvaru AAA

Vydute mohou byt jakehokoliv tvaru a velikosti. Zabyvali jsme se nekolika z nich,

kterym jsme predepsali meridialnı krivku s prıslusnymi parametry. V modelech je

zajistena spojita prvnı i druha derivace meridialnıch krivek, aby singularity neo-

vlivnovaly prubehy napetı. Predpokladame konstantnı tloust’ku h, rovnomerne stale

zatızenı od tlaku krve p a posouvajıcı sılu T , ktera ztvarnuje predpetı. U vetsiny

modelu jsme pouzili polomer vydute rb = 25 mm (kriticky polomer, pri kterem se

zvazuje operace) a polomer tepny rv = 10 mm.

7.2.1 Kosinove–exponencialnı AAA

Meridialnı krivka a konstanty jsou:

y(x) = e−

∣∣∣∣∣∣C1x

rv

∣∣∣∣∣∣C2 [

(rb − rv)2

(cos

(πx

C3rv

)+ 1

)]+ rv , (7.6)

C1 = 0, 025 , C2 = 5, 440 , C3 = 5, 000 . (7.7)

Ze softwaru Maple 12 vysly prubehy napetı, viz obr. 7.2. Maximalnı obvodove

napetı je pri nejvetsı zmene krivosti, coz odpovıda predpokladu, ze zde bude zalezet

vıce na zakrivenı nez na velikosti prumeru vydute.

Vsimneme si, ze v inflexnım bode jde r1 → ∞, takze Nφ/r1 = 0. Tlak je vy-

rovnavan pouze obvodovou silou, proto maximalnı obvodove napetı je v blızkosti

inflexnıho bodu y(x).

Pro prvnı model jsme volili T = 0, nynı si ukazeme dalsı dva modely s jiz

zahrnutou podelnou silou neboli predpetım.

49

y(x)

Nθ

Nφ

y [mm]

x [mm]

30

20

10

−10

−20

−30

−40 −30 −20 −10 10 20 30

Obr. 7.2: Graf pro kosinove–exponencialnı AAA s prumerem Db = 50 mm.

y(x)

Nθ

Nφ

y [mm]

x [mm]

40

30

20

10

−10

−20

−30

−40

−40 −20 20 40

Obr. 7.3: Graf pro kosinove–exponencialnı AAA s prumerem Db = 70 mm a s kon-

stantami: C1 = 8, 780 · 10−4, C2 = 5, 868, C3 = 6, 000.

50

7.2.2 Exponencialnı AAA

y(x) = (rb − rv) e−

∣∣∣∣∣∣C1x

rv

∣∣∣∣∣∣C2

+ rv (7.8)

C1 = 0, 288 , C2 = 10, 000 , T = 0, 1 (7.9)

−40 −20

−10

−20

−30

10

20

30

40

20 40 x [mm]

y [mm]y(x)

Nθ

Nφ

Obr. 7.4: Graf pro exponencialnı AAA.

51

7.2.3 Parabolicky–exponencialnı AAA

y(x) = e−

∣∣∣∣∣∣C1x

rv

∣∣∣∣∣∣C2 [

(rb − rv)− C3

(x2

rv

)]+ rv (7.10)

C1 = 1, 380 · 10−10 , C2 = 17, 300 , C3 = 0, 094 , T = 1 (7.11)

y(x)

Nθ

Nφ

y [mm]

x [mm]

30

20

10

−10

−20

−30

−60 −40 −20 20 40

Obr. 7.5: Graf pro parabolicky–exponencialnı AAA. Vsimneme si, ze meridialnı

napetı ve zdrave casti aorty je nenulove, coz je zpusobeno axialnım predepnutım,

ktere jsme nastavili na hodnotu T = 1.

52

7.3 Shrnutı

Byla aplikovana linearnı teorie pro stanovenı prubehu napetı v jednotlivych mıstech

AAA od zdrave trubice k nejvetsımu prumeru Db. Vsechny idealizovane modely

ukazujı vysokou oscilaci napetı v mıste zmeny krivosti (prechodove oblasti – krcky).

Toto napetı je dokonce vyssı nez v mıste maximalnıho Db, coz nasvedcuje tomu, ze

samotna mısta zakrivenı jsou jiste koncentratory napetı.

Pomocı metody konecnych prvku byly zıskany kvalitativne stejne vysledky [32].

β = 1, 0 β = 0, 8

β = 0, 6 β = 0, 4 β = 0, 3

4,07,110,213,316,419,522,725,828,932,0

A

Obr. 7.6: Prvnı vysledky studie vydute rostoucı smerem do brisnı dutiny pomocı

MKP. Stena je povazovana za homogennı, izotropnı a nestlacitelnou. Nenı zde za-

hrnuto podelne predpetı ani zbytkove napetı. Pomer polomeru zdrave tepny a po-

lomeru vydute je dan konstantou β = rv/rb. Upraveno z [32].

53

8 ZAVER

Prace se zabyvala analyzou moznostı analytickych zpusobu resenı D-N stavu ideali-

zovanych tvaru tepen.

V resersnı casti byl sepsan podrobny uvod do lekarskeho minima a do proble-

matiky velkych deformacı. Dale zde byly odvozeny vztahy pro linearnı i nelinearnı

teorii a pro metody, ktere zahrnujı do vypoctoveho modelu zbytkove napetı.

V prakticke casti jsme se zabyvali pouze nelinearnı teoriı, jelikoz spojuje linearnı

teorii a mechaniku velkych deformacı. Z linearnı teorie jsme zmınili Laplaceovo

napetı ve forme strednı hodnoty, kterym jsme overili spravnost vypoctu. Vypocet

jsme provedli pro dva konstitutivnı modely, ktere se lisı svou tuhostı. Petiparamet-

ricky vypoctovy model teorie silnostennych nadob ukazal velkou zmenu prubehu

napetı po tloust’ce steny, dvouparametricky podstatne mensı. Poslednı vypoctovy

model, ktery rovnez vykazoval velkou presnost, byl vytvoren na zaklade nelinearnı

teorie tenkostennych nadob. Vypocet byl nasledovne overen s vyuzitım systemu AN-

SYS. Pro vyhodnocenı prubehu se zahrnutym zbytkovym napetım jsme pouzili me-

todu fiktivnı teploty. Tato metoda ma mnohe vyhody, hlavnı z nich jsou vyuzitelnost

pri resenı AAA, stejne jako jejı snadna implementovatelnost do MKP softwaru.

Vysledky MKP simulace byly shodne s vysledky zıskanymi na zaklade analytickeho

resenı.

V poslednı casti prace byla provedena analyza resenı AAA pomocı linearnı teorie,

ktera prokazala zasadnı vliv zmeny krivosti na potencialnı rupturu aneurysmatu.

54

SEZNAM POUZITYCH ZDROJU

[1] KRAJICEK, M.:Chirurgicka a intervencnı lecba cevnıch onemocnenı. Grada,

2007. ISBN 978-80-247-0607-8.

[2] BURSA, J.: Studijnı opory - Biomechanika III [online]. [cit. 2016-

02-16]. Dostupne z: http://www.umt.fme.vutbr.cz/cz/studium/

studijni-materialy.html.

[3] DYLEVSKY, I.: Somatologie. Epava, 2000. ISBN 80-86297-05-5.

[4] BOROVANSKY, L.: Soustavna anatomie cloveka II. Avicenum, 1976.

[5] Urgo Medical: The venous system within the cardiovascular system [online].

[cit. 2016-03-20]. Dostupne z: http://www.urgo.co.uk/uploaded-files/img/

images/venous-system-big-01.jpg.

[6] Tlukot srdce: Plicnı hypertenze: kdyz onemocnı plicnı cevy [online]. [cit.

2016-04-12]. Dostupne z: http://www.tlukotsrdce.cz/tinymce/uploaded/

anatomie_srdce.jpg.

[7] Kenhub: Aorta [online]. [cit. 2016-04-14]. Dostupne z: https://www.kenhub.

com/en/library/anatomy/aorta.

[8] LEDERLE, F. A., JOHNSON, G. R., WILSON, S. E. et al.: Relationship of

age, gender, race, and body size to infrarenal aortic diameter. Journal of vascu-

lar surgery, 1997, roc. 26, c. 4, s. 595–601. doi:10.1016/S0741-5214(97)

70057-0.

[9] LABROSSE, M. R., BELLER, C. J., MESANA, T., VEINOT J. P.: Mechani-

cal behavior of human aortas: Experiments, material constants and 3-D finite

element modeling including residual stress. Journal of Biomechanics, 2009,

roc. 42, c. 8, s. 996–1004. doi:10.1016/j.jbiomech.2009.02.009.

[10] NOVAK, K.: Analyza vlivu usporadanı kolagenu na mechanicke vlastnosti tepen

[Teze dizertacnı prace], Brno: Vysoke ucenı technicke v Brne, 2015.

[11] ALEXANDER, J. J.: The pathobiology of aortic aneurysms. Journal of Surgical

Research, 2004, roc. 117, c. 1, s. 163–175. doi:10.1016/j.jss.2003.11.011.

[12] SOMMER, G., EDER, M., KOVACS, L. et al.: Multiaxial mechanical properties

and constitutive modeling of human adipose tissue: A basis for preoperative

simulations in plastic and reconstructive surgery. Acta Biomaterialia, 2013,

roc. 9, c. 11, s. 9036–9048. doi:10.1016/j.actbio.2013.06.011.

55

[13] NOVAK, K.: Analyza zbytkovych napetı ve stene tepny. [Diplomova prace],

Brno: Vysoke ucenı technicke v Brne, 2013.

[14] KENT, K. C., ZWOLAK, R. M., EGOROVA, N. N. et al.: Analysis of risk

factors for abdominal aortic aneurysm in a cohort of more than 3 million

individuals. Journal of Vascular Surgery, 2010, roc. 52, c. 3, s. 539–548.

doi:10.1016/j.jvs.2010.05.090.

[15] HUA, J., MOWER, W. R.: Simple geometric characteristics fail to reliably

predict abdominal aortic aneurysm wall stresses. Journal of Vascular Surgery,

2001, roc. 34, c. 2, s. 308–315. doi:10.1067/mva.2001.114815.

[16] O’LEARY, S. A., KAVANAGH, E. G., GRACE, P. A. et al.: The biaxial

mechanical behaviour of abdominal aortic aneurysm intraluminal thrombus:

Classification of morphology and the determination of layer and region spe-

cific properties. Journal of Biomechanics, 2014, roc. 47, c. 6, s. 1430–1437.

doi:10.1016/j.jbiomech.2014.01.041.

[17] MOLL, F. L., POWELL, J. T., FRAEDRICH, G. et al.: Management of ab-

dominal aortic aneurysms clinical practice guidelines of the European society

for vascular surgery. European Journal of Vascular and Endovascular Surgery,

2011, roc. 41, c. SUPPL. 1, s. S1–S58. doi:10.1016/j.ejvs.2010.09.011.

[18] HOORNWEG, L. L., STORM-VERSLOOT, M. N., UBBINK, D. T. et al.:

Meta Analysis on Mortality of Ruptured Abdominal Aortic Aneurysms. Euro-

pean Journal of Vascular and Endovascular Surgery 2008, roc. 35, c. 5, s. 558–

570. doi:10.1016/j.ejvs.2007.11.019.

[19] BRDICKA, M., SAMEK, L., SOPKO, B.: Mechanika kontinua. Academia,

2011. ISBN 978-80-200-2039-0.

[20] HORNY, L.: Osobnı stranky Lukas Horny [online]. [cit. 2016-03-28]. Dostupne

z: http://users.fs.cvut.cz/~hornyluk/home.

[21] ONDRACEK, E., VRBKA, J., JANICEK, P. et al.: Mechanika teles: Pruznost

a pevnost II. Brno: Vysoke ucenı technicke v Brne, 2006. ISBN 80-214-3260-8.

[22] CHUONG, C. J., FUNG, Y. C.: Compressibility and constitutive equation of

arterial wall in radial compression experiments. Journal of Biomechanics, 1984,

roc. 17, c. 1, s. 35–40. doi:10.1016/0021-9290(84)90077-0.

[23] REZNICEK, J., REZNICKOVA, J.: Pruznost a pevnost v technicke praxi:

prıklady II. Praha: Nakladatelstvı CVUT, 2006. ISBN 80-01-03584-0.

56

[24] HUMPHREY, J.: Cardiovascular solid mechanics: cells, tissues, and organs,

Springer-Verlag New York, 2002. ISBN 978-0-387-21576-1. doi:10.1007/

978-0-387-21576-1.

[25] DELFINO, A., STERGIOPULOS, N., MOORE, J. E. et al.: Residual strain

effects on the stress field in a thick wall finite element model of the human

carotid bifurcation. Journal of biomechanics, 1997, roc. 30, c. 8, s. 777–786.

doi:10.1016/s0021-9290(97)00025-0.

[26] BURSA, J.: Vypoctove modelovanı zbytkove napjatosti v tepnach pomocı fik-

tivnı teploty. Narodnı konference s mezinarodnı ucastı Inzenyrska Mechanika

’99, 1999. s. 487–492. ISBN 978-80-214-1325-2.

[27] POLZER, S., BURSA, J., GASSER, T., STAFFA, R., VLACHOVSKY, R:

A numerical implementation to predict residual strains from the homogene-

ous stress hypothesis with application to abdominal aortic aneurysms. Annals

of Biomedical Engineering, 2013, roc. 41, c. 7, s. 1516–1527. doi:10.1007/

s10439-013-0749-y.

[28] POLZER, S., BURSA, J.: Simulation of residual stresses (strains) in arteries. In

IFMBE Proceedings, Volume 37. Budapest: Springer, 2012. s. 454-457. ISBN:

978-3-642-23507-8. doi:10.1007/978-3-642-23508-5_118.

[29] LERCH, O.: Zbytkova napjatost ve stene tepny - reserse. [Bakalarska prace],

Brno: Vysoke ucenı technicke v Brne, 2011.

[30] HUMPHREY, J. D., DELANGE, S. L.: An Introduction to Biomechanics: So-

lids and Fluids, Analysis and Design, Springer-Verlag New York 2009. ISBN

978-1-4899-0325-9. doi:10.1007/978-1-4899-0325-9.

[31] ELGER, D. F., BLACKKETTER, D. M.; BUDWIG, R. S., JOHANSEN, K. H.:

The influence of shape on the stresses in model abdominal aortic aneurysms.

Journal of biomechanical engineering, 1996, roc. 118, c. 3, s. 326–332. doi:

10.1115/1.2796014.

[32] VORP, D. A., RAGHAVAN, M. L., WEBSTER, M. W.: Mechanical wall

stress in abdominal aortic aneurysm: Influence of diameter and asymmetry.

Journal of Vascular Surgery, 1998, roc. 27, c. 4, s. 632–639. doi:10.1016/

S0741-5214(98)70227-7.

57

SEZNAM ZKRATEK A POUZITYCH SYMBOLU

AAA [-] Aneurysma brisnı aorty – Abdominal Aortic Aneurysm

CT [-] Pocıtacova tomografie – Computed Tomography

D-N [-] Deformacne napet’ovy stav

HMH [-] Pevnostnı podmınka plasticity – Hubert, von Mises, Hencky

ILT [-] Intraluminalnı trombus

MKP [-] Metoda konecnych prvku – Finite element method

MLU [-] Laminarnı jednotka – Medial Lamelar Unit

UMTMB [-] Ustav mechaniky teles, mechatroniky a biomechaniky

α [1/◦C] Soucinitel delkove roztaznosti

β [◦] Uhel rozevrenı

ci [Pa] Materialove konstanty

dX [-] Diferencialnı vektor konfigurace prubezne

dx [-] Diferencialnı vektor konfigurace vychozı

E [Pa] Modul pruznosti v tahu

EAi [-] Almansi - Hameluv tenzor deformace

ECi [-] Cauchyho logaritmicky tenzor deformace

ELi [-] Green - Lagrangeuv tenzor deformace

E1, E2, E3 [-] Bazove vektory konfigurace prubezne

e1, e2, e3 [-] Bazove vektory konfigurace vychozı

ε [-] Delkova pretvorenı

F [-] Deformacnı gradient

FT [N] Teplotnı sıla

G [Pa] Modul pruznosti ve smyku

γ [-] Uhlova pretvorenı

I1 [-] Prvnı modifikovany invariant

Jy [-] Osovy kvadraticky moment

λ [Pa] Lameho konstanta

λ1, λ2, λ3 [-] Hlavnı pomerne protazenı

λr, λθ, λz [-] Pomerne protazenı v radialnım, obvodovem a axialnıch smeru

Moy [Nm] Ohybovy moment

MT [Nm] Teplotnı moment

µ [-] Poissonova konstanta

Nθ, Nφ [Pa] Obvodove a meridianove napetı

R1, R, R2 [mm] Polomery krivosti nezatızene konfigurace

r1, r, r2 [mm] Polomery krivosti zatızene konfigurace

ρ1, ρ, ρ2 [mm] Polomery krivosti beznapet’ove konfigurace

58

Sij [-] II. Piola - Kirchhoffuv tenzor napetı

σij [-] Cauchyho tenzor skutecnych napetı

T , ∆T [◦C/N, ◦C] Teplota/axialnı sıla u AAA, zmena teploty

τij [-] I. Piola - Kirchhoffuv tenzor napetı

W [-] Hustota deformacnı energie

Wo [m3] Modul prurezu

w, w′, w′′ [m, ◦, Nm] Posuv, natocenı a moment

X1, X2, X3 [-] Hlavnı souradnice geometrie prubezne

x1, x2, x3 [-] Hlavnı souradnice geometrie vychozı

y(x) [-] Meridialnı krivka

59