Úvod do logiky (pl): negace a ekvivalence vět mimo logický ......tedy: všechna lichá čísla...

Jiří Raclavský (2014): Úvod do logiky (PL)

1

Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro

mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK)

Úvod do logiky (PL): negace a ekvivalence vět mimo logický

čtverec (cvičení)

doc. PhDr. Jiří Raclavský, Ph.D.

([email protected])


2

8. Negace a ekvivalence formulí, které nespadají pod logický

čtverec – cvičení

8.1 Příklady – negace vět, které nespadají pod logický čtverec

Následující věty převeďte do predikátové logiky a sestavte její negaci, tu převeďte na

ekvivalentní formuli a slovně vyjádřete:

1)

Všichni bohatí lidé jsou šťastní.

Formalizace:

∀x ( (B(x)∧L(x)) → Š(x)) )

Negace:

¬∀x ( (B(x)∧L(x)) → Š(x)) )

Ekvivalenty negace:

↔ ∃x ¬( (B(x)∧L(x)) → Š(x)) ) DM zákon pro kvantifikátory

↔ ∃x ( (B(x)∧L(x)) ∧ ¬Š(x)) ) taut. VL (negovaná → je ∧ negace)

Tedy: Někteří bohatí lidé nejsou šťastní.

2)

Někteří šťastní lidé nejsou bohatí.

(=Existují šťastní lidé, kteří nejsou bohatí.)

Formalizace:

∃x ( (Š(x)∧L(x)) ∧ ¬B(x)) )

Negace:

¬∃x ( (Š(x)∧L(x)) ∧ ¬B(x)) )

Ekvivalenty negace:

↔ ∀x ¬( (Š(x)∧L(x)) ∧ ¬B(x)) ) DM zákon pro kvantifikátory

↔ ∀x ( ¬(Š(x)∧L(x)) ∨ ¬¬B(x)) ) taut. VL (negovaná ∨ je ∧ negací)

↔ ∀x ( ¬(Š(x)∧L(x)) ∨ B(x)) ) taut. VL (zákon dvojí negace)

↔ ∀x ( (Š(x)∧L(x)) → B(x)) ) taut. VL (převod ∨ na →)


3

Tedy: Všichni šťastní lidé jsou bohatí.

3)

Žádné sudé číslo není dělitelné třemi a pěti.

Formalizace:

∀x ( (Č(x)∧S(x)) → ¬((Děl(x,3)∧Děl(x,5)) )

Negace:

¬∀x ( (Č(x)∧S(x)) → ¬((Děl(x,3)∧Děl(x,5)) )

Ekvivalenty negace:

↔ ∃x ¬( (Č(x)∧S(x)) → ¬((Děl(x,3)∧Děl(x,5)) ) DM zákon pro kvantifikátory

↔ ∃x ( (Č(x)∧S(x)) ∧ ¬¬((Děl(x,3)∧Děl(x,5)) ) taut. VL (převod → na ∧)

↔ ∃x ( (Č(x)∧S(x)) ∧ ((Děl(x,3)∧Děl(x,5)) ) taut. VL (zákon dvojí negace)

Tedy: Některá sudá čísla jsou dělitelná třemi a pěti.

4)

Některá lichá čísla jsou dělitelná dvěma.

Formalizace:

∃x ( (Č(x)∧L(x)) ∧ Děl(x,2) )

Negace:

¬∃x ( ((Č(x)∧L(x)) ∧ Děl(x,2) )

Ekvivalenty negace:

↔ ∀x ¬( ((Č(x)∧L(x)) ∧ Děl(x,2) ) DM zákon pro kvantifikátory

↔ ∀x ( ¬((Č(x)∧L(x)) ∨ ¬Děl(x,2) ) DM z VL

↔ ∀x ( ((Č(x)∧L(x)) → ¬Děl(x,2) ) taut. VL (převod ∨ na →)

Tedy: Všechna lichá čísla jsou dělitelná 2.

5)

Vyjádřete v symbolismu predikátové logiky negaci věty:

Všechny ženy jsou krásné právě tehdy, když některé děti zlobí.

Níže uvedené odsazené formule v bodech a)-g) jsou navzájem ekvivalentní, přičemž:

A = ∀x(Ž(x) → K(x)) (= „Všechny ženy jsou krásné“)


4

B = ∃x(D(x)∧(Z(x)) (= „Některé děti zlobí“)

a) Daná věta je tvaru ekvivalence a tu převedeme např. na:

((A → B) ∧ (B → A))

b) Pokud z toho vyjdeme, negujeme celou tuto formuli:

¬( (A → B) ∧ (B → A) )

c) Užijeme tautologii výrokové logiky „negovaná konjunkce je disjunkce negací“ (De

Morganův zákon), načež:

¬(A → B) ∨ ¬(B → A)

d) Dále užijeme na každé straně disjunkce zákon „negovaná implikace je konjunkce negace

(( (¬(A → B) ↔ (A ∧ ¬B) ) získáme:

( (A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬A) )

e) Teď už si dosadíme za A a B:

( ( ∀x(Ž(x)→K(x)) ∧ ¬∃x(D(x)∧(Z(x)) ) ∨ ( ∃x(D(x)∧(Z(x)) ∧ ¬∀x(Z(x)→K(x)) ) )

f) Stranou uděláme ekvivalentní vyjádření negovaných podformulí s kvantifikátorem:

¬∃x(D(x)∧(Z(x)) ↔ ∀x(D(x)→¬Z(x))

(DeMorganův zákon pro převod kvantifikátorů a tautologie výrokové logiky „negovaná

konjunkce je implikace negace“)

¬∀x(Ž(x)→K(x)) ↔ ∃x¬(Ž(x)→K(x)) ↔ ∃x(Ž(x)∧¬K(x))

(DeMorganův zákon pro převod kvantifikátorů a tautologie výrokové logiky „negovaná

implikace je konjunkce negace“)

g) Dosadíme ony negace z bodu f):

( ( ∀x(Ž(x)→K(x)) ∧ ∀x(D(x)→¬Z(x)) ) ∨ ( ∃x(D(x)∧(Z(x)) ∧ ∃x(Ž(x)∧¬K(x)) ) )

Hlouběji už negace nezanoříme – máme je teď jen před atomickými formulemi (tj. formulemi

tvaru P(x)).

8.2 Cvičení – negace vět, které nespadají pod logický čtverec


5

Následující věty převeďte do predikátové logiky a sestavte její negaci, tu převeďte na

ekvivalentní formuli a slovně vyjádřete:

1)

Některá přirozená čísla jsou sudá.

Formalizace:

∃x ((P(x)∧Č(x))∧S(x))

Negace:

¬∃x ((P(x)∧Č(x))∧S(x))

Ekvivalenty negace:

↔ ∀x ¬((P(x)∧Č(x))∧S(x)) DM z PL

↔ ∀x (¬(P(x)∧Č(x))∨¬S(x)) DM z VL

↔ ∀x ((¬P(x)∨¬Č(x))∨¬S(x)) DM z VL

Slovně: Pro všechna x platí, že není přirozené nebo není číslo nebo není sudé.

2)

Někteří lidé jsou moudří, ale ne vychytralí.

Formalizace:

∃x ( (L(x)∧M(x)) ∧ ¬V(x) )

Negace:

¬∃x ( (L(x)∧M(x)) ∧ ¬V(x) )

Ekvivalenty negace:

↔ ∀x ¬( (L(x)∧M(x)) ∧ ¬V(x) ) DM zákon pro kvantifikátory

↔ ∀x ( (L(x)∧M(x)) → ¬¬V(x) ) taut. VL (převod ∧ na →)

↔ ∀x ( (L(x)∧M(x)) → V(x) ) taut. VL (zákon dvojí negace)

Tedy: Všichni moudří lidé jsou vychytralí.

3)

Některá prvočísla jsou dělitelná dvěma a pěti.

Formalizace:

∃x ( P(x) ∧ ((Děl(x,2)∧Děl(x,5)) )

Negace:


6

¬∃x ( P(x) ∧ ((Děl(x,2)∧Děl(x,5)) )

Ekvivalenty negace:

↔ ∀x ¬( P(x) ∧ ((Děl(x,2)∧Děl(x,5)) ) DM zákon pro kvantifikátory

↔ ∀x ( P(x) → ¬((Děl(x,2)∧Děl(x,5)) ) taut. VL (převod ∧ na →)

Tedy: Žádné prvočíslo není dělitelné dvěma a pěti.

(Kvůli přirozenosti jazykového vyjádření nepostupujeme až k formuli

∀x ( P(x) → ((Děl(x,2)→¬Děl(x,5)) ).)

Jiná varianta:

¬∃x ( P(x) ∧ ((Děl(x,2)∧Děl(x,5)) )

↔ ∀x ¬( P(x) ∧ ((Děl(x,2)∧Děl(x,5)) ) DM zákon pro kvantifikátory

↔ ∀x ( ¬P(x) ∨ ¬((Děl(x,2)∧Děl(x,5)) ) taut. VL (negovaná ∧ je ∨ negací)

↔ ∀x ( P(x) → ¬(Děl(x,2)∨¬Děl(x,5)) ) taut. VL (převod ∨ na →)

4)

Všichni přítomní jsou starší než někteří členové klubu

Formalizace:

∀x(P(x) → ∃y (K(y)∧S(x,y)))

Negace:

¬∀x(P(x) → ∃y (K(y)∧S(x,y)))

Ekvivalenty negace:

↔ ∃x ¬(P(x) → ∃y (K(y)∧S(x,y))) DM

↔ ∃x (P(x) ∧ ¬∃y (K(y)∧S(x,y))) tautologie VL (převod → na ∧)

↔ ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬(K(y)∧S(x,y))) DM

↔ ∃x(P(x) ∧ ∀y (K(y)→¬S(x,y))) tautologie VL

Slovně:

Existují přítomní takoví, že nejsou starší než jacíkoli členové klubu.

5)

Jaroslav Hašek napsal v novinách větu:

Někteří národně-socialističtí poslanci jsou lumpové.


7

Byl žalován a odsouzen k omluvě. Napsal tedy do novin:

Někteří národně-socialističtí poslanci nejsou lumpové.

Uveďte, jaký výrok měl správně užít k vyvrácení původního výroku:

a) Omlouvám se národně socialistickým poslancům za větu, kterou jsem uveřejnil

v novinách.

b) Část, menší část národně socialistických poslanců jsou lumpové.

c) Všichni národně socialističtí poslanci jsou řádní a poctiví lidé.

d) Žádní národně-socialističtí poslanci nejsou lumpové.

e) Mnozí národně socialističtí poslanci nejsou lumpové.

8.3 Příklady – negace a ekvivalence formulí

Následující formule nejprve negujte a poté proveďte ekvivalentní transformace tak, se

negátory vyskytovaly jen před predikátovými symboly. (Opakovaně uplatňujte zejména De

Morganovy zákony (jak z PL, tak z VL).

1)

∃x∀y (P(x)∧Q(x,y))

Negace:

¬∃x∀y (P(x)∧Q(x,y))

Ekvivalenty negace:

↔ ∀x¬∀y (P(x)∧Q(x,y)) DM na první kvantifikátor

↔ ∀x∃y ¬(P(x)∧Q(x,y)) DM na druhý kvantifikátor

↔ ∀x∃y (P(x)→¬Q(x,y)) taut. VL (negovaná ∧ je → negace)

2)

∃x ((P)x)∧Q(x)) ∨ R(x))

Negace:

¬∃x ((P)x)∧Q(x)) ∨ R(x))

Ekvivalenty negace:

↔ ∀x ¬ ((P(x)∧Q(x)) ∨ R(x)) DM zákon pro kvantifikátory


8

↔ ∀x (¬(P(x)∧Q(x)) ∧ ¬R(x)) tautologie VL (negovaná ∨ je ∧ negací)

↔ ∀x ((¬P(x)∨¬Q(x)) ∧ ¬R(x)) tautologie VL (negovaná ∧ je ∨ negací)

Jiná varianta:

¬∃x ((P)x)∧Q(x)) ∨ R(x))

↔ ∀x ¬ ((P(x)∧Q(x)) ∨ R(x)) DM zákon pro kvantifikátory

↔ ∀x ((P(x)∧Q(x)) → ¬R(x)) tautologie VL (převod ∨ na →)

3)

∀x (P(x) → ∃y (Q(x,y) ∧ ∃z(Q(y,z)) )

Negace:

¬∀x (P(x) → ∃y (Q(x,y) ∧ ∃z(Q(y,z)) )

Ekvivalenty negace:

↔ ∃x ¬(P(x) → ∃y (Q(x,y) ∧ ∃z(Q(y,z)) ) DM z PL na celou formuli

↔ ∃x (P(x) ∧ ¬∃y (Q(x,y) ∧ ∃z(Q(y,z)) ) taut. VL (negovaná → je ∧ negace)

↔ ∃x (P(x) ∧ ∀y ¬(Q(x,y) ∧ ∃z(Q(y,z)) ) DM z PL

↔ ∃x (P(x) ∧ ∀y (¬Q(x,y) ∨ ¬∃z(Q(y,z)) ) DM z VL

↔ ∃x (P(x) ∧ ∀y (¬Q(x,y) ∨ ∀z¬(Q(y,z)) ) DM z PL

8.4 Cvičení – ekvivalence vět s jedním binárním predikátem

Nechť binární predikátový symbol R znamená binární predikát „x rozumí y“. Větu

danou nyní zapište symbolismem predikátové logiky a poté tuto formuli transformujte

pomocí De Morganových zákonů a slovně ji vyjádřete:

1) Každý něčemu rozumí.

2) Všemu někdo nerozumí.

3) Každý něčemu nerozumí.

4) Všemu někdo rozumí.

5) Každý rozumí všemu.

6) Něčemu někdo nerozumí.


9

7) Každý nerozumí všemu.

8) Něčemu někdo rozumí.

8.4 Řešení – ekvivalence vět s jedním binárním predikátem

1) ∀x∃y R(x,y) ↔ ¬∃x¬∃y R(x,y) ↔ ¬∃x∀y ¬R(x,y);

Není pravda, že někdo všemu nerozumí.

2) ∀y∃x ¬R(x,y) ↔ ¬∃y¬∃x ¬R(x,y) ↔ ¬∃y∀x ¬¬R(x,y) ↔ ¬∃y∀x R(x,y);

Není pravda, že něčemu každý rozumí.

3) ∀x∃y ¬R(x,y) ↔ ¬∃x¬∃y ¬R(x,y) ↔¬∃x∀y R(x,y);

Není pravda, že někdo všemu rozumí.

4) ∀y∃x R(x,y) ↔ ¬∃y¬∃x R(x,y) ↔ ¬∃y∀x ¬R(x,y).

Není pravda, že něčemu všichni nerozumí.

5) ∀x∀y R(x,y) ↔ ¬∃x¬∀y R(x,y) ↔ ¬∃x∃y ¬R(x,y).

Není pravda, že někdo něčemu nerozumí.

6) ∃y∃x ¬R(x,y) ↔ ¬∀y¬∃x ¬R(x,y) ↔ ¬∀y∀x ¬¬R(x,y) ↔ ¬∀y∀x R(x,y).

Není pravda, že všemu každý rozumí.

7) ∀x∀y ¬R(x,y) ↔ ¬∃x¬∀y ¬R(x,y) ↔ ¬∃x∃y ¬¬R(x,y) ↔ ¬∃x∃y R(x,y).

Není pravda, že někdo něčemu rozumí.

8) ∃y∃x R(x,y) ↔ ¬∀y¬∃x R(x,y) ↔ ¬∀y∀x ¬R(x,y).

Není pravda, že všemu každý nerozumí.

Úvod do logiky (pl): negace a ekvivalence vět mimo logický ......tedy: všechna lichá čísla...

Documents