VJEZBE IZ ELEKTRODINAMIKE

Pregled formula

Velimir LabinacOdsjek za fiziku, Filozofski fakultet-Rijeka

E-mail: velimir.labinac@ri.t-com.hrWWW: free-ri.t-com.hr/velimirlabinac

10. studenog 2006.

Sadrzaj

I ELEKTROSTATIKA 4

1 Coulombov zakon. Princip superpozicije 41.1 Sila izmedu dva tockasta naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Princip superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 41.3 Elektricno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Elektricni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Linijska gustoca naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Plosna gustoca naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Prostorna gustoca naboja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Gaussov zakon 82.1 Integralni oblik Gaussova zakona . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 82.2 Diferencijalni oblik Gaussova zakona . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 82.3 Rotor elektricnog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Osnovni zakoni elektrostatike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 92.5 Poissonova i Laplaceova jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 9

3 Rad i energija u elektrostatici. Vodici 103.1 Rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103.2 Elektrostatska potencijalna energija skupa tockastih naboja . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Energija kontinuirane raspodjele naboja . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 103.4 Vodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.5 Sila na vodic u elektricnom polju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II METODE ZA PRORA CUN POTENCIJALA 12

4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika 124.1 Rubni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 12

4.1.1 Dirichletov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 124.1.2 Neumannov problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

4.2 Rubni uvjeti u elektrostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 134.3 Metoda slika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 13

4.3.1 Tockasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine . . . . . . . . . .. . . . . . . 134.3.2 Tockasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 144.3.3 Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra. . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadzba u Kartezijevim koordinatama 165.1 Metoda separacije varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 165.2 Potpun i ortogonalan skup funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 16

5.2.1 Ortogonalne funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 165.2.2 Potpun skup funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17

5.3 Relacija potpunosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 175.4 Funkcije dvije i tri varijable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 17

1

6 Laplaceova jednadzba u sfernim koordinatama 186.1 Opce rjesenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.2 Rjesenje za unutrasnjost i vanjstinu sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 Rjesenja sa azimutalnom simetrijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 19

7 Laplaceova jednadzba u cilindri cnim koordinatama 207.1 Dvodimenzionalni problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 20

7.1.1 Problemi sa simetrijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 207.2 Konacni cilindar: plast na potencijalu nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.3 Konacni cilindar: baze na potencijalu nula . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 21

8 Multipolni razvoj potencijala 238.1 Adicijski teorem za sferne harmonike . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 238.2 Razvoj funkcije 1/ |r − r ′| u red po sfernim harmonicima . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.3 Multipolni momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 238.4 Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 24

8.4.1 Ukupni naboj raspodjele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 248.4.2 Elektricni dipolni moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4.3 Tenzor elektricnog kvadrupolnog momenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.4.4 Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordinatama . . . . . . . . . . . . 25

8.5 Fizikalna interpretacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 258.6 Elektricni dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.6.1 Elektricni potencijal i polje tockastog dipola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.6.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom elektricnom polju . 26

III ELEKTRI CNO POLJE U TVARIMA 27

9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednadzbe elektrostatike 279.1 Izolatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 279.2 Elektricni potencijal polarizirane tvari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 279.3 Makroskopske jednadzbe elektrostatike . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 289.4 Rubni uvjeti u sredstvima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 289.5 Dielektrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 299.6 Clausius-Mossottijeva relacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 29

10 Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima 3010.1 Poissonova i Laplaceova jednadzba . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 3010.2 Rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 30

IV MAGNETOSTATIKA 31

11 Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon 3111.1 Struja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3111.2 Plosna gustoca struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.3 Prostorna gustoca struje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3111.4 Lorenzova sila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3111.5 Jednadzba kontinuiteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3211.6 Ohmov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3211.7 Biot-Savartov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 32

2

12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio) 3312.1 Magnetski vektorski potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3312.2 Tok magnetskog polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 34

13 Magnetski vektorski potencijal (II dio) 3513.1 Jednadzbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama . . . . . . . . . . . . . . . . 3513.2 Jednadzbe za vektorski potencijal u cilindricnim koordinatama . . . . . . . . . . . . . . 3513.3 Rubni uvjeti u magnetostatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 35

V MAGNETSKO POLJE U TVARIMA 37

14 Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadzbe magnetostatike 3714.1 Magnetski dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 37

14.1.1 Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola . . . . . . . . . . . . 3714.1.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju 37

14.2 Dijamagneti, paramagneti i feromagneti . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3814.3 Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 3814.4 Makroskopske jednadzbe magnetostatike . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3914.5 Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 39

15 Rubni problemi s magnetskim sredstvima 4015.1 Linearna magnetska sredstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 4015.2 Magnetski skalarni potencijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 40

15.2.1 Linearna sredstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 4015.2.2 Tvrdi feromagneti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 40

15.3 Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstva . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 41

VI PRILOZI 42

16 Diracova delta-funkcija 42

17 Legendrovi polinomi 43

18 Pridru zene Legendrove funkcije i sferni harmonici 44

19 Besselove funkcije 45

20 Modificirane Besselove funkcije 46

21 Vektorska analiza 47

LITERATURA 52

3

I ELEKTROSTATIKA

1 Coulombov zakon. Princip superpozicije

1.1 Sila izmedu dva tockasta naboja

r1

r2

q1

q2

O

Slika 1.1

Neka se dva tockasta nabojaq1, q2 nalaze na polozajimar1, r2. Coulombska silaF izmedu njih je

F =1

4πǫ0

q1q2

|r1 − r2|2r1 − r2

|r1 − r2|(1.1)

1.2 Princip superpozicije

r

ri

qi

Q

O

Slika 1.2

Promotrimo tockaste nabojeq1, q2, ..., qk na polozajimar1, r2, ..., rk i test-nabojQ na polozajur . Ukupnasila kojom naboji djeluju naQ je prema principu superpozicije jednaka vektorskom zbrojusila izmedunabojaqi i Q

FQ = F1 + F2 + ... + Fk =

k∑

i=1

Fi =1

4πǫ0

k∑

i=1

qiQ

|r − r i|2r − r i|r − r i|

(1.2)

4

1.3 Elektri cno polje

r

ri

qi

O

Slika 1.3

Ako jednakost (1.2) podijelimo saQ dobivamo izraz za elektricno poljeEQ u tocki r

FQ

Q≡ EQ = E1 + E2 + ... + Ek =

k∑

i=1

Ei =1

4πǫ0

k∑

i=1

qi

|r − r i|2r − r i|r − r i|

(1.3)

1.4 Elektri cni potencijal

U izrazu (1.3) poljaEi mozemo napisati u obliku

Ei (r ) ∝r i − r

|r i − r |3= −∇

(1

|r − r i|

)

(1.4)

Uvodimo novu, skalarnu fizikalnu velicinu, elektricni potencijal

Φ (r ) =1

4πǫ0

k∑

i=1

qi

|r − r i|(1.5)

takvu da vrijediE (r ) ≡ −∇Φ (r ) (1.6)

1.5 Linijska gustoca naboja

r

r'

O

Dl'

Slika 1.4

Potencijal i elektricno polje linijske gustoce nabojaλ (r ′) dobivamo iz (1.3) i (1.5) zamjenama

q → ∆q = λ(r ′)∆l′

∑

i

→∫

∆q (1.7)

5

Imamo∣∣dr ′

∣∣ = dl′

Φ (r ) =1

4πǫ0

∫λ (r ′) dl′

|r − r ′|

E (r ) =1

4πǫ0

∫(r − r ′)

|r − r ′|3λ(r ′)

dl′ (1.8)

1.6 Plosna gustoca naboja

r

r'

O

DS'

Slika 1.5

Potencijal i elektricno polje plosne gustoce nabojaσ (r ′) uz zamjene

q → ∆q = σ(r ′)∆S′

∑

i

→∫

∆q (1.9)

postaju

Φ (r ) =1

4πǫ0

∫σ (r ′) dS′

|r − r ′|

E (r ) =1

4πǫ0

∫(r − r ′)

|r − r ′|3σ(r ′)

dS′ (1.10)

1.7 Prostorna gustoca naboja

r

r'

O

DV'

Slika 1.6

6

Potencijal i elektricno polje prostorne gustoce nabojaσ (r ′) uz zamjene

q → ∆q = ρ(r ′)∆V ′

∑

i

→∫

∆q (1.11)

postaju

Φ (r ) =1

4πǫ0

∫ρ (r ′) dV ′

|r − r ′|

E (r ) =1

4πǫ0

∫(r − r ′)

|r − r ′|3ρ(r ′)

dV ′ (1.12)

Napomena: umjesto oznake dV cesto se upotrebljava oznaka d3r.

7

2 Gaussov zakon

2.1 Integralni oblik Gaussova zakona

qin

S

O

r

n

qout

E E E= +in out

Slika 2.1

Integralni oblik Gaussova zakona glasi ∮

S

E · dS=qin

ǫ0(2.1)

gdje jeqin ukupni naboj koji se nalazi unutar zatvorene ploheS. Vektor n je normala na plohu, a dS =

ndS. Plosni integral na lijevoj strani jednakosti (2.1) naziva se tok (fluks) elektricnog polja krozS.Primijetimo da je tok elektricnog poljaEout nabojaqout kroz plohuS jednak nuli, dok je ukupno polje utocki r na plohiS po principu superpozicije jednakoE = Ein + Eout (Slika 2.1).

Integralni oblik Gaussova zakona osobito je pogodan za racunanje elektricnog polja simetricnih ras-podjela naboja. To su, uobicajno, raspodjele sa sfernom, cilindricnom (azimutalnom) ili ravninskomsimetrijom. Simetrija naboja ukazuje na simetriju elektricnog polja, a time dobivamo informaciju osmjeru polja i njegovoj ovisnosti o pojedinim koordinatama. U skladu s informacijama o elektricnompolju, biramo plohuS u Gaussovu zakonu.

2.2 Diferencijalni oblik Gaussova zakona

Uvedemo li gustocu nabojaρ (r ), integralni oblik Gaussova zakona mozemo promijeniti u diferencijalnioblik

∇ · E =ρ

ǫ0(2.2)

koji vrijedi u tocki prostora.

2.3 Rotor elektricnog polja

E

C

d = dl t l

Slika 2.2

8

JednakostE = −∇Φ (2.3)

ekvivalentna je tvrdnji da rotor elektrostatskog poljeE iscezava

∇ × E = 0 (2.4)

Upotrebom Stokesovog teorema, iz jednadzbe (2.4) zakljucujemo da je krivuljni integral elekrostatskogpolja jednak nuli ∮

C

E · dl = 0 (2.5)

gdje je dl = tdl. Ovdje je dl diferencijal duljina luka krivuljeC, a t tangenta (Slika 2.2). Iz (2.3) mozemoizracunati potencijal ako je poznato elektricno polje

Φ (r2) −Φ (r1) = −∫ r2

r1

E · dl (2.6)

2.4 Osnovni zakoni elektrostatike

Integralne jednakosti∮

S

E · dS=q

ǫ0∮

C

E · dl = 0 (2.7)

ili diferencijalne jednakosti

∇ · E =ρ

ǫ0

∇ × E = 0 (2.8)

osnovni su zakoni elektrostatike. Njima je elektrostatskopolje jednoznacno odredeno.

2.5 Poissonova i Laplaceova jednadzba

Uvrstimo li (2.3) u (2.2) dobijemo Poissonovu jednadzbu

∇2Φ = − ρ

ǫ0(2.9)

Pomocu Poissonove jednazbe koja je skalarna, parcijalna, diferencijalna jednadzba drugog reda racunamopotencijalΦ. Ovu je jednadzbu lakse rijesiti nego sistem vektorskih jednadzbi (2.8), a nakonsto smoizracunali potencijal, elektricno polje dobivamo pomocu (2.3).

Partikularno rjesenje jednadzbe (2.9) nam je vec poznato

Φ (r ) =1

4πǫ0

∫

V

ρ (r ′) dV ′

|r − r ′| (2.10)

Zaρ = 0 Poissonova jednadzba prelazi u Laplaceovu

∇2Φ = 0 (2.11)

9

3 Rad i energija u elektrostatici. Vodici

3.1 Rad

Rad sile, po iznosu jednake elektricnoj, ali suprotnog smjera, kojeg izvrsimo pomicanjem nabojaQ uelektricnom poljuE, od r1 do r2 je

W =

∫ r2

r1

F · dl = −Q∫ r2

r1

E · dl = Q [Φ (r2) − Φ (r1)] (3.1)

Elektricna sila je konzervativna: rad elektricne sile ne ovisi o putanji po kojoj se naboj giba. Ako zareferentni potencijal u beskonacnosti odaberemoV (r1 = ∞) = 0 tada je rad jednak

W = QΦ (r2) (3.2)

Zato potencijalnu energiju elektricnog polja mozemo definirati kao rad potreban za dovodenje naboja izbeskonacnosti u konacnu tocku.

3.2 Elektrostatska potencijalna energija skupa tockastih naboja

Za tockaste nabojeq1, q2, ..., qk na polozajimar1, r2, ..., rk elektrostatska potencijalna energija skupatockastih naboja jednaka je radu potrebnom da se naboji iz beskonacnosti dovedu u konacan volumen

W =1

8πǫ0

k∑

i=1

k∑

j=1i 6=j

qiqj∣∣r i − r j

∣∣

(3.3)

3.3 Energija kontinuirane raspodjele naboja

Za zadanu kontinuiranu raspodjelu nabojaρ (r ) elektrostatska potencijalna energija glasi

W =12

∫

V

ρΦdV

=ǫ0

2

∫

po cijelomprostoru

E2dV (3.4)

3.4 Vodici

Savrseni vodici su materijali sa neogranicenim brojem slobodnih elektrona. Sljedece tvrdnje vrijede zasavrsene vodice:

• Unutar vodica elektricno polje jednako je nuli. Ako izolirani, savrseni vodic stavimo u elek-tricno polje po njegovoj povrsini inducira se jednaka kolicina pozitivnog i negativnog naboja.Takva plosna raspodjela naboja stvara elektricno polje koje ponistava vanjsko polje u unutrasnjostivodica.

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

E = 0

E 0¹

10

Slika 3.1

• Iz Gaussovog zakona iE = 0 slijedi

ρ

ǫ0= ∇ · E = 0

⇒ ρ = 0 (3.5)

unutar vodica. Visak naboja, odnosno naboj koji ne pripada vodicu, a kojeg ubacimo u vodic,gotovo trenutno otece na povrsinu.

r ¹ 0 r = 0

Slika 3.2

• Povrsina vodica je ekvipotencijalna povrsina.

F = konst.

E n= E

Slika 3.3

• Elektricno polje na povrsini vodica ima smjer normale.

3.5 Sila na vodic u elektricnom polju

Stavimo vodic (nabijen ili nenabijen) u elektricno polje. Po povrsini vodica inducira se plosna raspodjelanaboja. Pretpostavimo da je ukupna raspodjela naboja po povrsini vodica jednakaσ. Sila na vodic je

F =1

2ǫ0

∫

S

σ2ndS (3.6)

11

II METODE ZA PRORACUNPOTENCIJALA

4 Rubni problemi u elektrostatici. Metoda slika

4.1 Rubni problem

Rubni problem zadan je obicnom ili parcijalnom diferencijalnom jednadzbom i rubnimuvjetom. U elek-trostatici rjesava se Poissonova i Laplaceova jednadzba koje su parcijalne diferencijalne jednadzbe dru-gog reda za elektricni potencijalΦ. Zadatak je elektrostatike naci rjesenje tih jednadzbi u promatranompodrucju P tako da su zadovoljeni unaprijed postavljeni uvjeti za potencijal na rubnoj plohiS.

4.1.1 Dirichletov problem

Ako su zadane vrijednosti potencijalaΦ na rubuS govorimo o Dirichletovom rubnom problemu.

S

V( )r

P

Ñ2F = r/e0

Slika 4.1

Oznacimo vrijednosti potencijala na rubu saV (r ). Dirichletov rubni problem zadan je jednadzbama

∇2Φ = − ρ

ǫ0

(ili ∇2

Φ = 0)

Φ|S = V (r ) (4.1)

4.1.2 Neumannov problem

Ako su zadane vrijednosti normalne derivacije potencijalana rubnoj plohiS govorimo o Neumannovomproblemu.

S

g( )r

P

Ñ2F = r/e0

n

Slika 4.2

12

Oznacimo vrijednosti normalne derivacije na rubuS sag (r ) . Neumannov rubni problem zadan je jed-nadzbama

∇2Φ = − ρ

ǫ0

(ili ∇2

Φ = 0)

∂Φ

∂n

∣∣∣∣S

= ∇Φ · n|S = g(r ) (4.2)

gdje jen normala na plohuS na polozajur .

4.2 Rubni uvjeti u elektrostatici

n

E1

E2

rubna ploha

1

2

Slika 4.3

Pri prijelazu iz jednog dijela prostora u drugi, normalna komponenta elektricnog polja je diskontinuiranaako se po rubnoj plohi koja razdvaja prostore nalazi plosna gustoca nabojaσ (r )

n · (E2 − E1)|na rubu=σ

ǫ0(4.3)

Ovdje jen normala na rubnu plohu koja je usmjerena iz dijela 1 u dio 2. Tangencijalna komponentaelektricnog polja uvijek je kontinuirana

n × (E2 − E1)|na rubu= 0 (4.4)

U svim zadacima kojecemo rjesavati umjesto uvjeta (4.4), moze se upotrijebiti uvjet

(Φ1 − Φ2)|na rubu= 0 (4.5)

4.3 Metoda slika

4.3.1 Tockasti naboj blizu vodljive, uzemljene ravnine

q

z = Rz = R-

r

d'd z

F = 0

q' q= -

Slika 4.4

13

Nabojq postavimo na udaljenostz = R od vodljive i uzemljene ravnine. Rjesavamo rubni problem

∇2Φ = − 1

ǫ0qδ (x) δ (y) δ (z −R)

Φ|z=0 = 0 (4.6)

u podrucju z > 0. Postavljamo naboj slikeq′ = −q u tocku z = −R. Rjesenje problema glasi

Φ (r ) =1

4πǫ0

q

|r − d| +1

4πǫ0

q′

|r − d′|

=q

4πǫ0

(1

√x2 + y2 + (z −R)2

− 1√x2 + y2 + (z +R)2

)

(4.7)

4.3.2 Tockasti naboj blizu vodljive, uzemljene sfere

q

a q

r

d' d

z

F = 0

q' qa/d= -

Slika 4.5

Trazimo rjesenje za potencijal u problemu tockastog naboja blizu vodljive i uzemljene sfere u podrucjur ≥ a. Rubni problem glasi

∇2Φ = − 1

ǫ0

q

2πr2 sinθδ (θ) δ (r − d)

Φ|r=a = 0 (4.8)

Naboj slikeq′ = −qa/d postavljamo u tocku d′= (a2/d)ez. Rjesenje glasi

Φ (r, θ) =1

4πǫ0

q

|r − d| +1

4πǫ0

q′

|r − d′|

=q

4πǫ0

(1

√r2 + d2 − 2rd cosθ

− a

d

1√r2 + a4/d2 − 2r(a2/d) cosθ

)

(4.9)

14

4.3.3 Linijski naboj blizu vodljivog, uzmeljenog cilindra

tt = -t'

b j

r

d' d

x

y

F = 0

x R=

Slika 4.6

Trazimo rjesenje za potencijal u problemu linijskog naboja jednolike gustoceτ blizu beskonacnog, vod-ljivog i uzemljenog cilindra u podrucju ρ ≥ b. Linijski naboj paralelan je s osi cilindra i nalazi se napolozajud = Rex. Rubni problem glasi

∇2Φ = − 1

ǫ0

τ

ρδ (ϕ) δ (ρ − R)

Φ|ρ=b = 0 (4.10)

Naboj slikeτ′ = −τ postavljamo u tocku d′= (b2/R)ex. Rjesenje glasi

Φ (ρ, ϕ) =τ

2πǫ0ln

(b

R

√ρ2 + R2 − 2ρR cosϕ

ρ2 + b4/R2 − 2ρ(b2/R

)cosϕ

)

(4.11)

15

5 Metoda separacije varijabli. Laplaceova jednadzba u Kartezijevim ko-ordinatama

5.1 Metoda separacije varijabli

Rubni problem s Laplaceovom jednadzbom glasi

∇2Φ = 0

+ rubni uvjet (Dirichlet, Neumann) (5.1)

Ovisno o obliku rubnih ploha odabratcemo koordinate (pravokutne, sferne, cilindricne,...). Laplaceovujednadzbu rjesavatcemo metodom separacije varijabli. Osnovna ideja te metodeje da se rjesenje napisekao produkt funkcija tako da svaka od njih ovisi samo o jednojkoordinati. Na primjer, ako su koordinate(η1, η2, η3) rjesenje trazimo u obliku

Φ (η1, η2, η3) = U (η1) V (η2) Z (η3) (5.2)

i nadamo se da se tada Laplaceova jednadzba moze separirati po varijablama (η1, η2, η3) . Za svaku odfunkcijaU, V,Z dobijemo obicnu diferencijalnu jednadzbu drugog reda.

5.2 Potpun i ortogonalan skup funkcija

Ovisno o odabranim koodinatama, tijekom rjesavanja Laplaceove jednadzbe metodom separacije varija-bli, javit ce se potpuni i ortogonalni skupovi funkcija. Na primjer, ako rjesavamo Laplaceovu jednadzbuu pravokutnim koordinatama javitce se skup trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus. Ako rjesavamoLaplaceovu jednadzbu u sfernim koordinatama javitce se Legendrovi polinomi i sferni harmonici, a kodcilndricnih koordinata javitce se Besselove funkcije. Svi ti skupovi funkcija imaju dva vazna svojstva:potpunost i ortogonalnost.

5.2.1 Ortogonalne funkcije

Za dvije funkcijeum, un kazemo da su ortogonalne na intervalu (a, b) ako vrijedi

∫ b

a

u∗m (η) un (η) dη = 0 , m 6= n (5.3)

gdje ” * ” oznacava kompleksnu konjugaciju. Skup funkcija{um, m cijeli broj} je ortogonalan ako svoj-stvo (5.3) vrijedi za bilo koje dvije funkcije iz skupa. Ako za funkcije navedenog skupa vrijedi

∫ b

a

u∗mumdη =

∫ b

a

|um|2 dη = 1 (5.4)

tada kazemo da su{um} normalizirane. Svojstva (5.3) i (5.4) mogu se u jednoj jednakosti napisati kao

∫ b

a

um (η) un (η) dη = δmn (5.5)

pa govorimo o ortonormiranom skupu funkcija.

16

5.2.2 Potpun skup funkcija

Skup funkcija{um (η)} je potpun na intervalu (a, b) ako bilo koju funkcijuf (η) mozemo razviti u redpo skupu{um (η)}

f (η) =∑

n

anun (η) (5.6)

gdje suan konstantni koeficijenti reda funkcija. Ako je skup{um (η)} ortonormiran, koeficijentian moguse odrediti na sljedeci nacin:

f (η) =∑

n

anun (η)

∖

u∗m (η)

∖∫ b

a

dη

∫ b

a

u∗mfdη =

∑

n

an

∫ b

a

u∗mundη︸ ︷︷ ︸

δmn

= am (5.7)

Vidimo da su koeficijentian jednaki

an =

∫ b

a

u∗n (η) f (η) dη (5.8)

5.3 Relacija potpunosti

Svojstvo potpunosticesto izrice se relacijom

∑

n

u∗m(η′)un (η) = δ

(η′ − η

)(5.9)

5.4 Funkcije dvije i tri varijable

Zelimo funkcijuf (η, ξ) razviti u red po potpunom ortonormiranom skupu funkcija{um (η) , vn (ξ)} napodrucju (a, b) × (c, d), gdje je skup{um (η)} potpun i ortonormiran na (a, b), a{vn (ξ)} potpun i orto-normiran na (c, d). Analogno razmatranju za jednu varijablu imamo

f (η, ξ) =∑

m

∑

n

amnum (η) vn (ξ)

amn =

∫ b

a

dη∫d

c

dξu∗m (η) v∗n (ξ) f (η, ξ) (5.10)

Slicno, za funkciju tri varijableg (ζ, η, ξ) vrijedi razvoj po potpunom, ortonormiranom skupu funkcija{sl (ζ) , um (η) , vn (ξ)}

g (ζ, η, ξ) =∑

l

∑

m

∑

n

clmnsl (ζ) um (η) vn (ξ) (5.11)

gdje su koeficijenticlmn

clmn =

∫ b

a

dζ∫d

c

dη∫f

e

dξsl (ζ) um (η) vn (ξ) g (ζ, η, ξ) (5.12)

17

6 Laplaceova jednadzba u sfernim koordinatama

6.1 Opce rjesenje

x

q

j y

z

r

Sferne koordinateT

Slika 6.1

Laplaceova jednadzba∇2Φ = 0 u sfernim koordinatama ima oblik

1r

∂2

∂r2(rΦ) +

1

r2 sinθ

∂

∂θ

(

sinθ∂Φ

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂ϕ2= 0 (6.1)

Gornju jednadzbu rjesavamo metodom separacije varijabli, a za opce rjesenje dobivamo

Φ (r, θ, ϕ) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

(Almr

l+ Blmr

−(l+1)) Ylm (θ, ϕ) (6.2)

FunkcijeYlm (θ, ϕ) nazivaju se sferni harmonici ili kugline funkcije. KoeficijenteAlm, Blm odredujemopomocu rubnih uvjeta.

6.2 Rjesenje za unutrasnjost i vanjstinu sfere

x

y

z

R

Fout

Fin

F = V(q, j)

Slika 6.2

Zadana ploha je oblika sfere radijusaR po kojoj je specificiran potencijal ili gustoca naboja. RjesenjeLaplaceove jednadzbe za unutrasnjost sfere mora biti regularno u ishodistu, pa je u (6.2) koeficijentBlm = 0. U protivnom je rjesenje nefizikalno: potencijal je beskonacan u ishodistu. Zar ≤ R imamo

Φin (r, θ, ϕ) =∞∑

l=0

l∑

m=−lAlmr

lYlm (θ, ϕ) (6.3)

18

U podrucju r ≥ R, za r → ∞ potencijal je jednak nuli. Tada koeficijentAlm mora biti jednak nuli, arjesenje glasi

Φout (r, θ, ϕ) =∞∑

l=0

l∑

m=−lBlmr

−(l+1)Ylm (θ, ϕ) (6.4)

6.3 Rjesenja sa azimutalnom simetrijom

Pretpostavimo da je po sferir = R raspodjela potencijala ili gustoca naboja cilindricno-simetricna. Akose os cilindricne simetrije podudara saz-osi govorimo o azimutalnoj simetriji jer raspodjela ne ovisi okoordinatiϕ. Ocekujemo da ni potencijal nece ovisiti oϕ. Tada se rjesenja (6.3) i (6.4) pojednostavljuju:za fiksnil, ostaju samoclanovi sa indeksomm = 0. Za r ≤ R dobivamo

Φin (r, θ) =∞∑

l=0

AlrlPl (cosθ) (6.5)

a zar ≥ R

Φout (r, θ) =∞∑

l=0

Blr−(l+1)Pl (cosθ) (6.6)

FunkcijePl (cosθ) nazivaju se Legendrovi polinomi.

19

7 Laplaceova jednadzba u cilindri cnim koordinatama

7.1 Dvodimenzionalni problem

j

y

x

T

r

Polarne koordinate

Slika 7.1

Probleme u kojima potencijal ne ovisi od jedne, prostorne koordinate nazivamo dvodimenzionalnim pro-blemima. Kod cilindricnih rubnih ploha, dvodimenzionalan je problem u kojem potencijal ne ovisi oz-koordinati. Ako rjesenje za potencijalΦ trazimo metodom separacije varijable u polarnim koordina-tamaρ, ϕ u oblikuΦ (ρ, ϕ) = R (ρ) Ψ (ϕ), parcijalna diferencijalna jednadzba

1ρ

∂

∂ρ

(

ρ∂Φ

∂ρ

)

+1

ρ2

∂2Φ

∂ϕ2= 0 (7.1)

rastavlja se na dvije obicne diferencijalne jednadzbe zaR (ρ) i Ψ (ϕ) cija su rjesenja

R (ρ) =

{aρν + bρ−ν, ν 6= 0a0 + b0 ln ρ, ν = 0

Ψ (ϕ) =

{A sin (νϕ) + B cos (νϕ) , ν 6= 0A0 + B0ϕ, ν = 0

(7.2)

Ovdje jeν realan broj, a konstantea, b, a0, b0, A, B,A0, B0 odredujemo iz rubnih uvjeta. U posebnomslucaju, ako su rubne plohe takve da nema ogranicenja za kutϕ (drugim rijecima,ϕ je iz intervala 0 do2π) tada je opce rjesenje superpozicija rjesenja (7.2)

Φ (ρ, ϕ) = a0 + b0 ln ρ +

∞∑

n=1

[an sin (nϕ) + bn cos (nϕ)] ρn +∞∑

n=1

[cn sin (nϕ) + dn cos (nϕ)] ρ−n (7.3)

gdjeν = n postaje cijeli broj.

7.1.1 Problemi sa simetrijom

Kod zadataka koje rjesavamo na vjezbama, javljaju se problemi kod kojih je potencijal parna ili neparnafunkcija po varijabliϕ. Za parna rjesenja jednadzba (7.3) postaje

Φ (ρ, ϕ) = a0 + b0 ln ρ +

∞∑

n=1

anρn cos (nϕ) +

∞∑

n=1

bnρ−n cos (nϕ) (7.4)

a za neparna

Φ (ρ, ϕ) = a0 + b0 ln ρ +

∞∑

n=1

anρn sin (nϕ) +

∞∑

n=1

bnρ−n sin (nϕ) (7.5)

20

7.2 Konacni cilindar: pla st na potencijalu nula

x

j y

z

z

T

r

Cilindri ne koordinateè

Slika 7.2

Rjesenje Laplaceove jednadzbe u cilindricnim koordinatama (ρ, ϕ, z)

∂2Φ

∂ρ2+

1ρ

∂Φ

∂ρ+

1

ρ2

∂2Φ

∂ϕ2+

∂2Φ

∂z2= 0 (7.6)

za unutrasnjost kruznog, uspravnog cilindra duljineL i radijusaa kojemu su donja baza i plast na poten-cijalu nula, a gornja baza na potencijaluV (ρ, ϕ), jednako je

Φ (ρ, ϕ, z) =∞∑

m=0

∞∑

n=1

Jm (kmnρ) sinh (kmnz) (Amn sinmϕ + Bmn cosmϕ)

kmn =xmn

a; n = 1,2, ... (7.7)

gdje jexmn n-ta nula Besselove funkcije prve vrsteJm(x). KoeficijenteAmn i Bmn odredujemo iz vrijed-nosti potencijala na rubuz = L. Oni su jednaki

Amn =2

πa2 sinh (kmnL) J2m+1 (xmn)

∫2π

0dϕ∫a

0dρρJm (kmnρ) sin (mϕ) V (ρ, ϕ)

Bmn =2

πa2 sinh (kmnL) J2m+1 (xmn)

∫2π

0dϕ∫ a

0dρρJm (kmnρ) cos (mϕ) V (ρ, ϕ) , m 6= 0

B0n =1

πa2 sinh (k0nL) J21 (x0n)

∫2π

0dϕ∫ a

0dρρJ0 (k0nρ) V (ρ, ϕ) , m = 0 (7.8)

U slucaju da je gornja baza i plast na potencijalu nula, a donja baza na potencijalu razlicitom od nulerjesenje glasi

Φ (ρ, ϕ, z) =∞∑

m=0

∞∑

n=1

Jm (kmnρ) sinh [kmn(L − z)] (Amn sinmϕ + Bmn cosmϕ) (7.9)

7.3 Konacni cilindar: baze na potencijalu nula

Promatramo uspravni, kruzni cilindar duljineL i radijusaa kojemu su baze na potencijalu nula, a plastna potencijaluV (ϕ, z). Rjesenje za unutrasnjost cilindra glasi

Φ (ρ, ϕ, z) =∞∑

m=0

∞∑

p=1

Im(kpρ)

sin(kpz)

(Amp sinmϕ + Bmp cosmϕ)

kp =pπ

L, p = 1,2, ... (7.10)

21

KoeficijenteAmp i Bmp odredujemo iz relacija

Amp =2

πLIm(kpa)

∫2π

0dϕ∫L

0dz sin (mϕ) sin

(kpz)V (ρ, ϕ)

Bmp =2

πLIm(kpa)

∫2π

0dϕ∫L

0dz cos (mϕ) sin

(kpz)V (ρ, ϕ) , m 6= 0

B0p =1

πLI0(kpa)

∫2π

0dϕ∫L

0dz sin

(kpz)V (ρ, ϕ) (7.11)

22

8 Multipolni razvoj potencijala

8.1 Adicijski teorem za sferne harmonike

Zadana su dva vektora polozajar , r ′ u sfernim koordinatama (r, θ, ϕ) i (r′, θ′, ϕ′). Kut izmedu vektora jeγ. Adicijski teorem glasi

Pl (cosγ) =4π

2l + 1

l∑

m=−lY ∗lm

(θ′, ϕ′) Ylm (θ, ϕ) (8.1)

8.2 Razvoj funkcije 1/ |r − r ′| u red po sfernim harmonicima

Razvijmo, najprije, funkciju 1/ |r − r ′| u Taylorov red kad jer > r′

1|r − r ′|

=1

r

[

1+

(r′

r

)2

− 2r′

rcosγ

]1/2=

∑

l=0

r′l

rl+1Pl (cosγ) (8.2)

Za r < r′ dobivamo

1|r − r ′|

=1

r′[

1+

( r

r′

)2− 2

r

r′cosγ

]1/2=

∑

l=0

rl

r′l+1Pl (cosγ) (8.3)

Primijenimo adicioni teorem za sferne harmonike na funkciju Pl (cosγ). Obje formule mozemo zapisatiu jednoj kao

1|r − r ′|

=

∑

l=0

rl<

rl+1>

Pl (cosγ) =∑

l=0

l∑

m=−l

4π2l + 1

rl<

rl+1>

Y ∗lm

(θ′, ϕ′) Ylm (θ, ϕ) (8.4)

gdje jer< (r>) manja (veca) od varijablir, r′.

8.3 Multipolni momenti

Zadana je lokalizirana gustoca nabojaρ (r ) . Zatvorimo je u sferu radijusaR. Racunamo potencijal izvansfere, u podrucju gdje jer > R. Izraz za potencijal jednak je

Φ (r ) =1

4πǫ0

∫

V

ρ (r ′)|r − r ′|dV

′ (8.5)

Razvoj za funkciju 1/ |r − r ′| (8.4) uvrstimo u (8.5). Dobivamo

Φ (r ) =1

4πǫ0

∑

l=0

l∑

m=−l

4π2l + 1

Ylm (θ, ϕ)

rl+1qlm (8.6)

gdje suqlm multipolni momenti gustoce nabojaρ (r ) jednaki

qlm =

∫

V

Y ∗lm

(θ′, ϕ′) r′lρ

(r ′)

dV ′ (8.7)

Red (8.6) naziva se multipolni razvoj potencijala.

23

8.4 Multipolni momenti u Kartezijevim koordinatama

Ako u izrazu (8.6) prijedemo iz sfernih na Kartezijeve koordinate, fizikalna interpretacija multipolnihmomenata postatce jasnija.

8.4.1 Ukupni naboj raspodjele

Clan sa indeksimal = 0, m = 0 jednak je

q00 =1

√4π

q (8.8)

Ovdje jeq ukupni naboj gustoce nabojaρ (r ′) .

8.4.2 Elektricni dipolni moment

Promatramo multipolne momente sa indeksoml = 1

q1,−1 =

√3

8π

(px + ipy

)

q10 =

√3

4πpz

q11 = −√

38π

(px − ipy

)(8.9)

U navedenim izrazimapx, py, pz su komponente elektricnog dipolnog momenta (krace: dipolnog mo-menta) distribucijeρ (r ′)

p =

∫

r ′ρ(r ′)

dV ′ (8.10)

8.4.3 Tenzor elektricnog kvadrupolnog momenta

Promatramo multipolne momente sa indeksoml = 2

q2,−2 =112

√152π

(Q11 + 2iQ12 −Q22)

q2,−1 =13

√158π

(Q13 + iQ23)

q20 =12

√5

4πQ33

q21 = −13

√158π

(Q13 − iQ23)

q22 =112

√152π

(Q11 − 2iQ12 −Q22) (8.11)

VelicineQij su matricni elementi tenzora elektricnog kvadrupolnog momenta

Q =

Q11 Q12 Q13

Q21 Q22 Q23

Q31 Q32 Q33

(8.12)

gdje je

Qij =

∫(3x′ix

′j − r′2δij

)ρ(r ′)

dV ′ (8.13)

24

8.4.4 Multipolni razvoj potencijala u Kartezijevim koordi natama

Prva tri clana multipolnog razvoja potencijala u Kartezijevim koordinatama glase

Φ (r ) =1

4πǫ0

(q

r+

r · p

r3+

12

∑

ij

Qij

xixj

r5+ ...

)

(8.14)

8.5 Fizikalna interpretacija

Ako smo jako daleko od raspodjele nabojaρ (r ′) u multipolnom razvoju za potencijal (8.6) prevladavatce prvi neiscezavajuci clan.

• Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele razlicit od nuleq 6= 0. Tada jeq00 6= 0 i potencijal jezar → ∞ jednak

Φ (r ) → 14πǫ0

4πY00 (θ, ϕ)

rq00 =

14πǫ0

q

r(8.15)

Vidimo da se na velikim udaljenostima potencijal raspodjele naboja ponasa kao potencijal tockastognaboja.

• Pretpostavimo da je ukupni naboj raspodjele jednak nuli. Tada jeq00 = 0. Neka je barem jedna odtri komponente dipolnog momentapx, py, pz razlicita od nule. Tada je zar → ∞ prvi neisezavajuciclan oblika

Φ (r ) → 14πǫ0

r · pr3

(8.16)

Potencijal proizvoljne raspodjele kojoj je ukupni naboj nula, na velikim udaljenostima ponasa sekao potencijal tockastog dipola sa dipolnim momentomp.

8.6 Elektri cni dipol

Elektricni (fizikalni) dipol sastoji se od dva naboja+q,−q na razmakud. Ako potencijal ove raspo-djele promatramo na udaljenostimar ≫ d tada je on priblizno jednak prvom neiscezavajucem clanumultipolnog razvoja

Φ (r ) ≃ 14πǫ0

r · p

r3(8.17)

gdje jep = qd. U granicid → 0, q → ∞ dobivamo dipolni moment tockastog dipola

lim qd = p = konacno (8.18)

smjesten u ishodistu.

8.6.1 Elektricni potencijal i polje tockastog dipola

Potencijal tockastog dipola smjestenog na polozajur0 glasi

Φ (r ) =1

4πǫ0

n · p

|r − r0|2(8.19)

a elektricno polje zar 6= r0

E (r ) =1

4πǫ0

3n(p · n) − p

|r − r0|3(8.20)

25

U (8.19) i (8.20) jedinicni vektorn jednak je (r − r0) / |r − r0| . Ako je dipol smjesten u ishodistu, izraze(8.19) i (8.20) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama

Φ (r, θ) =1

4πǫ0

p cosθ

r2

E (r, θ) =1

4πǫ0

2p cosθ

r3er +

14πǫ0

p sinθ

r3eθ (8.21)

8.6.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom elektri cnom polju

Postavimo dipolni momentp u vanjsko, nehomogeno elektricno poljeE (r ) . Sila F na dipol i momentsile N jednaki su

F = ∇ (p · E)

N = p × E (8.22)

gdje su polje i njegova derivacija izracunati u tocki u kojoj je dipol smjesten.Potencijalna energija dipola u vanjskom elektricnom polju glasi

W = −p · E (8.23)

Energija interakcije dva dipola, odnosno potencijalna energija jednog dipola u elektricnom polju drugogiznosi

W12 = −p1 · E2 (r1)

=1

4πǫ0

p1 · p2 − 3(n · p1)(n · p2)

|r1 − r2|3(8.24)

gdje sur1, r2 polozaji na kojima su smjesteni dipoli, an = (r1 − r2) / |r1 − r2| .

26

III ELEKTRI CNO POLJE U TVARIMA

9 Vezani naboj i polarizacija. Makroskopske jednadzbe elektrostatike

9.1 Izolatori

Izolatori su tvari koje, za razliku od vodica, ne sadrze velik broj slobodnih naboja. Elektricni naboj uizolatorima vezan je uz atome ili molekule.

Kad izolator stavimo u elektrostatsko polje, stvara seelektricna polarizacijaP (r ) . Polarizacija jeprosjecni dipolni moment po jedinicnom volumenu.

Dva su osnovna nacina na koja nastaje polarizacija u izolatoru.

• Vanjsko elektricno polje mijenja raspodjelu naboja u atomima. Prvi neiscezavajuci clanovi u mul-tipolnom razvoju za potencijal u neutralnim atomima ili molekulama su dipolniclanovi. Dakle,atomi ili molekule u vanjskom polju postaju dipoli sa gotovojednakim smjerom po cijelom volu-menu izolatora.

• Vanjsko elektricno polje usmjerava vec postojece dipolne momente u molekulama. Takve izolatorenazivamo polarnim sredstvima. Najpoznatije polarno sredstvo je vodacije molekule imaju snazandipolni moment. Zbog toga je voda odlicno otapalo.

U oba slucaja pri iskljucivanju vanjskog polja, izolator se vraca u pocetno stanje u kojem je polari-zacija jednaka nuli.

Tvari koje imaju polarizaciju i u odsutstvu vanjskog polja nazivaju seferoelektrici. Kod rjesavanjazadataka pretpostavitcemo da vanjsko elektricno polje ne mijenja polarizaciju feroelektrika.

9.2 Elektri cni potencijal polarizirane tvari

Postavimo polariziranu tvar sa polarizacijomP u vakuum, daleko od rubnih ploha, naboja ili vanjskihelektricnih polja. Elektricni potencijal je

Φ (r ) =1

4πǫ0

∮

S

σbdS′

|r − r ′| +1

4πǫ0

∫

V

ρbdV ′

|r − r ′| (9.1)

gdje plohaS omeduje volumenV u kojem se nalazi polarizacija. Velicinu σb nazivamoplosna gustocavezanog (polariziranog) nabojai definiramo je relacijom

σb ≡ P · n (9.2)

gdje jen normala na plohuS. Velicinu ρb nazivamoprostorna gustoca vezanog (polariziranog) nabojai definiramo je kao

ρb ≡ −∇ · P (9.3)

Izraz (9.1) je rjesenje jednadzbe

∇2Φ = −ρb

ǫ0(9.3a)

Ako polarizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tadau prvom integralu u (9.1) mozemouzetiS → ∞ pa je taj integral jednak nuli.

27

Ukupan vezani naboj u po volji uzetom volumenuV omedenom plohomS u mediju s polarizacijomP jednak nuli

∫

ρbdV = −∫

∇ · PdV = −∮

P · ndS = −∮

σbdS

⇒∫

ρbdV +

∮

σbdS = 0 (9.4)

9.3 Makroskopske jednadzbe elektrostatike

Osnovne jednadzbe elektrostatike u sredstvima ili makroskopske jednadzbe jesu:

∇ · D = ρf

∇ × E = 0 (9.5)

U jednadzbama (9.5) vektorE (r ) je prosjecno ili makroskopsko elektricno polje, a ρf (r ) gustocaslobodnog naboja.

Vektor elektricnog pomakaD (r ) definiran je pomocu jednakosti

D ≡ ǫ0E + P (9.6)

SI naziv za vektorD je gustoca elektricnog polja. Primijetimo da druga jednadzba u (9.5) dozvoljavauvodenje elektricnog potencijalaE = −∇Φ. U integralnom obliku jednadzbe (9.5) glase

∮

S

D · dS= qf∮

C

E · dl = 0 (9.7)

U (9.7) unutar zatvorene ploheS nalazi se slobodni nabojqf . Krivulja C je zatvorena.Jednadzbe (9.5) ili (9.7) dobivene su usrednjavanjem Maxwellovih jednadzbi za mikroskopska polja

i gustoce naboja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Za donju granicu takvogvolumena uzima se 10−24 m−3 koji jos uvijek sadrzi veliki broj molekula. Pri tom se pretpostavlja da suvaljane mikroskopske jednadzbe oblika (2.2) i (2.4).

9.4 Rubni uvjeti u sredstvima

Rubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase:

(D2 − D1) · n = σf

n × (E2 − E1) = 0 (9.8)

Normalan na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz(9.8) vidimo da je normalnakomponenta odD diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji plosna gustoca slobodnog nabojaσf .

Ako polarizacija ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tada vrijedi jednakost

−(P2 − P1) · n = σb (9.9)

gdje jeσb plosna gustoca vezanog naboja. Usporedimo li s formulom (9.2) vidimo da se dvije formulepoklapaju ako je izvan polarizirane tvari vakuum, odnosno,P2 = 0.

28

9.5 Dielektrici

Kod dielektrika su elektricno polje i polarizacija proporcionalni. U slucaju homogenog i izotropnogdielektrika vrijedi jednakost

P = ǫ0χeE (9.10)

Konstantaχe naziva seelektricna susceptibilnost. Uvrstavanjem (9.10) u (9.6) dobije se

D = ǫE (9.11)

gdje smo definiralidielektricnu konstantuǫ formulom

ǫ = ǫ0 (1+ χe) (9.12)

Ako je dielektrik nehomogen i anizotropan tada su elektricna susceptibilnost i dielektricna konstantatenzori drugog rangacije komponente ovise o vektoru polozaja. Relaciju (9.11)tada pisemo u obliku

Di = ǫijEj (9.13)

Relativna dielektricna konstantadefinirana je relacijom

ǫr ≡ǫ

ǫ0= 1+ χe (9.14)

9.6 Clausius-Mossottijeva relacija

Clausius-Mossottijevom relacijom dan je odnos izmedumolekularne polarizabilnostiγmol i dielektricnekonstanteǫ

γmol =3N

ǫ/ǫ0 − 1

ǫ/ǫ0 + 2(9.15)

Ovdje jeN gustoca (koncentracija) molekula.

29

10 Rubni problemi s dielektricima i feroelektricima

10.1 Poissonova i Laplaceova jednadzba

Uvrstimo (9.11) u (9.5) te upotrijebimoE = −∇Φ. Ako je dielektrik homogen i izotropan, dobijemoPoissonovu jednadzbu

∇2Φ = −

ρf

ǫ(10.1)

i posebno, zaρf = 0 Laplaceovu jednadzbu

∇2Φ = 0 (10.2)

Za proracun potencijala koristitcemo metode iz drugog poglavlja.

10.2 Rubni uvjeti

U dielektricima se rubni uvjeti (9.8) pojednostavljuju. Narubnoj plohiS pri prijelazu iz sredstva 1 u 2imamo

(ǫ2E2 − ǫ1E1) · n|S = σf

n × (E2 − E1)|S = 0 . (10.3)

gdje je normalan na plohuS usmjerena od sredstva 1 prema sredstvu 2. Drugi rubni uvjet u(10.3)smijemo zamijeniti jednostavnijim uvjetom

(Φ1 −Φ2)|S = 0 (10.4)

30

IV MAGNETOSTATIKA

11 Lorenzova sila. Bio-Savartov zakon

11.1 Struja

Struja je naboj po jedinici vremena koji prode kroz promatranu tocku. Ako je u toj tocki linijska gustocaλ, a brzina nabojav tada je struja

I =∆Q

∆tev = λv (11.1)

gdje jeev jednicni vektor u smjeru brzine.

11.2 Plosna gustoca struje

Plosna gustoca struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz crtusirine ∆l⊥ koja je okomita nastruju

K =∆I∆l⊥

= σv (11.2)

Ovdje jeσ plosna gustoca naboja, av brzina naboja u promatranoj tocki.

11.3 Prostorna gustoca struje

Gustoca struje je naboj po jednici vremena koji prode kroz plohu povrsine∆S⊥ s tim da je ploha okomitana struju

J =∆I∆S⊥

= ρv (11.3)

Ovdje jeρ gustoca naboja, av brzina naboja u promatranoj tocki.Napomena:relacije (11.1) do (11.3) odnose se nakonvekcijske struje(na primjer, gibanje elektrona

u vakuumskoj cijevi). Gornji izrazi, opcenito, ne vrijede zakondukcijske strujeu vodicima. Za takvestruje vrijedi Ohmov zakon (11.8).

11.4 Lorenzova sila

Lorenzova sila na nabojq u elektricnom i magnetskom polju postulirana je izrazom

F = q (E + v × B) (11.4)

gdje suE,B elektricno i magnetsko polje, av brzina naboja. Odgovarajuci izrazi kod kontinuiranihraspodjela struja u slucajuE = 0 glase

F =

∫

Idl × B

F =

∫

K × BdS

F =

∫

J × BdV (11.5)

31

11.5 Jednadzba kontinuiteta

Jednadzba kontinuiteta u klasicnoj elektrodinamici je matematicka formulacija zakona odrzanja naboja

∇ · J = −∂ρ

∂t(11.6)

U magnetostatici promatramo stacionarne struje koje imajukonstantnu vrijednost i smjer u vremenu upromatranoj tocki prostora. Magnetska polja takvih struja su konstantna uvremenu, odnosno magnetos-tatska. Kod stacionarnih struja, naboj koji ude u volumen∆V , mora biti jednak naboju koji je izasao iztog volumena, a tada je∂ρ/∂t = 0 u∆V. Jednadzba kontinuiteta postaje

∇ · J = 0 (11.7)

11.6 Ohmov zakon

U vodicima je gustoca struje proporcionalna elektricnom polju na velikom intervalu temperatura

J = σeE (11.8)

Ovaj se eksperimentalno dobiveni izraz naziva Ohmov zakon.Velicinaσe je elektricna provodnost.

11.7 Biot-Savartov zakon

Magnetsko poljeB stacionarnih struja je

B(r ) =µ0

4π

∫Idl′ × (r − r ′)

|r − r ′|3(11.9)

Vektor B naziva se jos i magnetska indukcija, a SI naziv jegustoca magnetskog toka.Konstantaµ0

naziva sepermeabilnostvakuuma i iznosi

µ0 = 4π · 10−7 N A−2 (11.10)

Za plosne i prostorne struje gornji se izraz mijenja

B(r ) =µ0

4π

∫K (r ′) × (r − r ′)

|r − r ′|3dS′

B(r ) =µ0

4π

∫J (r ′) × (r − r ′)

|r − r ′|3dV ′ (11.11)

32

12 Ampereov zakon. Magnetski vektorski potencijal (I dio)

Temeljne jednadzbe magnetostatike

Diferencijalne jednadzbe magnetostatike glase

∇ × B = µ0J

∇ · B = 0 (12.1)

Prva od jednadzbi u (12.1) koja povezuje magnetsko poljeB i gustocu strujeJ naziva se Ampereovzakon.

n

dl

C

S

dS

Slika 12.1

Integralni oblik gornjih jednadzbi je∮

C

B · dl = µ0

∫

S

J · dS∮

S

B · dS= 0 (12.2)

U prvoj jednadzbi zatvorena krivuljaC omeduje plohuS (slika 12-1), a u drugoj je plohaS zatvorena.Druga jednadzba je matematicka formulacijacinjenice da ne postoji magnetski naboj.

12.1 Magnetski vektorski potencijal

Zbog jednadzbe∇ · B = 0 mozemo uvesti vektorski potencijalA (r ) na sljedeci nacin

B ≡ ∇ × A (12.3)

Ako ovu jednadzbu uvrstimo u∇ × B = µ0J, uz Colombov izbor∇ · A = 0, dobivamo

∇2A = −µ0J (12.4)

U Kartezijevim koordinatama, gornja jednadzba predstavlja tri nezavisne, Poissonove jednadzbe zasvaku od komponenti vektorskog potencijala i struja

∇2Ax = −µ0Jx

∇2Ay = −µ0Jy

∇2Az = −µ0Jz (12.5)

Partikularno rjesenje jednadzbe (12.4) je oblika

A(r ) =µ0

4π

∫J (r ′)|r − r ′|dV

′ (12.6)

33

12.2 Tok magnetskog polja

Tok magnetskog poljaB kroz plohuS omedenu zatvorenom krivuljomC definiramo relacijom

F =

∫

S

B · dS=

∫

S

(∇ × A) · dS=

∮

C

A · dl (12.7)

U zadnjoj jednakosti u (12.7) upotrijebljen je Stokesov toerem.

34

13 Magnetski vektorski potencijal (II dio)

13.1 Jednadzbe za vektorski potencijal u sfernim koordinatama

Pretpostavimo da je vektorski potencijal zadan u sfernim koordintamaA = A (r, θ, ϕ) . Laplace vektor-skog potencijala u sfernim koordintama glasi

∇2A =

{

∇2Ar −2

r2

[

Ar +1

sinθ∂

∂θ(sinθAθ) +

1sinθ

∂Aϕ

∂ϕ

]}

er

+

{

∇2Aθ +2

r2

[∂Ar

∂θ− Aθ

2 sin2 θ− cosθ

sin2 θ

∂Aϕ

∂ϕ

]}

eθ

+

{

∇2Aϕ +2

r2 sinθ

[∂Ar

∂ϕ− Aθ

2 sinθ+ cotθ

∂Aθ

∂ϕ

]}

eϕ (13.1)

Jednadzba∇2A = −µ0J po komponentama glasi

∇2Ar −2

r2

[

Ar +1

sinθ∂

∂θ(sinθAθ) +

1sinθ

∂Aϕ

∂ϕ

]

= µ0Jr

∇2Aθ +2

r2

[∂Ar

∂θ− Aθ

2 sin2 θ− cosθ

sin2 θ

∂Aϕ

∂ϕ

]

= µ0Jθ

∇2Aϕ +2

r2 sinθ

[∂Ar

∂ϕ− Aθ

2 sinθ+ cotθ

∂Aθ

∂ϕ

]

= µ0Jϕ (13.2)

13.2 Jednadzbe za vektorski potencijal u cilindricnim koordinatama

Ako vektorski potencijal racunamo u cilindricnim koordinatamaA = A (ρ, ϕ, z) , Laplace odA glasi

∇2A =

(

∇2Aρ −Aρ

ρ2− 2

ρ2

∂Aϕ

∂ϕ

)

eρ +(

∇2Aϕ −Aϕ

ρ2+

2

ρ2

∂Aρ

∂ϕ

)

eϕ + ∇2Azez (13.3)

Jednadzba∇2A = −µ0J po komponentama glasi

∇2Aρ −Aρ

ρ2− 2

ρ2

∂Aϕ

∂ϕ= µ0Jρ

∇2Aϕ −Aϕ

ρ2+

2

ρ2

∂Aρ

∂ϕ= µ0Jϕ

∇2Az = µ0Jz (13.4)

13.3 Rubni uvjeti u magnetostatici

n

B1

B2

rubna ploha

K

1

2

Slika 13.1

35

Rubni uvjeti u magnetostatici pri prijelazu iz prostora 1 u prostor 2 glase

(B2 − B1) · n = 0

n × (B2 − B1) = µ0K (13.5)

Normalna komponenta magnetskog polja je uvijek kontinuirana, dok tangencijalna ima prekid ako poplohi postoji plosna struja. U svim slucajevima kojecemo razmatrati umjesto prvog uvjeta smije seupotrebljavati uvjet kontinuiranosti vektorskog potencijala

A1 = A2 (13.6)

36

V MAGNETSKO POLJE U TVARIMA

14 Vezane struje i magnetizacija. Makroskopske jednadzbe magnetosta-tike

14.1 Magnetski dipol

Magnetski dipolni moment (krace: magnetski moment) raspodjele strujaJ definiramo relacijom

m =12

∫

r ′ × J(r ′)

dV ′ (14.1)

Ako vektorski potencijal ove raspodjele promatramo na udaljenostimar ≫ d gdje jed karakteristicnadimenzija lokalizirane raspodjele strujaJ tada je on priblizno jednak prvomclanu multipolnog razvojaza vektorski potencijal

A (r ) ≃ µ0

4πm × rr3

(14.2)

Jednostavan model magnetskog dipola predstavlja strujna petlja povrsineS koja lezi u jednoj ravnini ikroz koju protjece strujaI. Njezin magnetski moment jem = ISn, gdje jen normala na ravninu. UgraniciS → 0, I → ∞ dobivamo magnetski moment tockastog magnetskog dipola

lim ISn = m = konacno (14.3)

koji je smjesten u ishodistu.

14.1.1 Vektorski potencijal i magnetsko polje magnetskog dipola

Vektorski potencijal tockastog dipola smjestenog na polozajur0 glasi

A (r ) =µ0

4πm × (r − r0)

|r − r0|3(14.4)

a magnetsko polje zar 6= r0

B (r ) =µ0

4π3n(m · n) − m

|r − r0|3(14.5)

U (14.4) i (14.5) jedinicni vektorn jednak je (r − r0) / |r − r0| . Ako je dipol smjesten u ishodistu, izraze(14.4) i (14.5) pogodno je zapisati u sfernim koordinatama

A (r, θ) =µ0

4πm sinθ

r2eϕ

B (r, θ) =µ0

4π2m cosθ

r3er +

µ0

4πm sinθ

r3eθ (14.6)

14.1.2 Sila na dipol, moment sile i potencijalna energija u vanjskom magnetskom polju

Postavimo dipolni momentm u vanjsko, nehomogeno magnetsko poljeB (r ) . Sila F na dipol i momentsile N jednaki su

F = ∇ (m · B)

N = m × B (14.7)

37

gdje su polje i njegova derivacija izracunati u tocki u kojoj je dipol smjesten.Potencijalna energija dipola u vanjskom magnetskom polju glasi

W = −m · B (14.8)

Energija interakcije dva dipola iznosi

W12 = −m1 · B2 (r1)

=m1 · m2 − 3(n · m1)(n · m2)

|r1 − r2|3(14.9)

gdje sur1, r2 polozaji na kojima su smjesteni dipoli, an = (r1 − r2) / |r1 − r2| .

14.2 Dijamagneti, paramagneti i feromagneti

U vanjskom magnetskom polju, tvari postaju magnetizirane.Mikroskopske struje naboja u atomimai molekulama stvaraju dipolne momente, a njihov ukupan vektorski zbroj gleda u smjeru ili suprotnosmjeru vanjskog polja.

Magnetiziranost tvari opisujemo posebnom fizikalnom velicinom, magnetizacijomM (r ) koja je de-finirana kao magnetski dipolni moment po jednici volumena.

Razlikujemo dva osnovna nacina na koja moze nastati magnetizacija:

• Paramagnetizam - kod paramagneta, vanjsko polje usmjeravaspinove nesparenih elektrona u smjerupolja.

• Dijamagnetizam - kod dijamagneta, vanjsko polje mijenja brzinu gibanja elektrona oko jezge uatomu i time stvara dipolni momentciji je smjer suprotan vanjskom polju.

Iskljucivanjem vanjskog polja magnetizacija se vraca na pocetnu vrijednost nula.Tvari koje imaju magnetizaciju i bez ukljucivanja vanjskog polja nazivaju se feromagneti. Kod

rjesavanja zadataka pretpostavitcemo da vanjsko magnetsko polje ne mijenja magnetizaciju feromag-neta i tada govorimo o tvrdim feromagnetima.

14.3 Vektorski potencijal tvari s magnetizacijom

Postavimo magnetiziranu tvar s magnetizacijomM u vakuum, daleko od rubnih ploha, struja ili vanjskihmagnetskih polja. Vektorski potencijal je

A (r ) =µ0

4π

∮

S

K b (r ′) dS′

|r − r ′| +µ0

4π

∫

V

Jb (r ′) dV ′

|r − r ′| (14.10)

gdje plohaS omeduje volumenV u kojem se nalazi magnetizacija. VelicinuK b nazivamo plosna gustocastruje vezanog naboja (krace: vezana, plosna struja) i definiramo je relacijom

K b ≡ M × n (14.11)

gdje jen normala na plohuS. Velicinu Jb nazivamo prostorna gustoca struje vezanog naboja (krace:vezana struja) i definiramo je relacijom

Jb ≡ ∇ × M (14.12)

Ako magnetizacija na svom rubu kontinuirano pada na nulu tada za prvi integral u (14.10) mozemo uzetiS → ∞ pa je on jednak nuli.

38

14.4 Makroskopske jednadzbe magnetostatike

Osnovne jednadzbe magnetostatike u sredstvima ili makroskopske jednadzbe jesu:

∇ × H = Jf∇ · B = 0 . (14.13)

U jednadzbama (14.13) vektorB (r ) je prosjecno ili makroskopsko magnetsko polje, aJf (r ) strujaslobodnog naboja (krace: slobodna struja). Vektor poljaH (r ) (SI naziv: jakost magnetskog polja)definiran je pomocu jednakosti

H ≡ 1µ0

B − M (14.14)

Druga jednadzba u (14.13) dozvoljava uvodenje magnetskog vektorskog potencijalaA (r ) pomocu rela-cije B ≡ ∇ × A. U integralnom obliku jednadzbe (14.13) glase

∮

C

H · dl = If∮

S

B · dS= 0 (14.15)

U (14.15) strujaIf prolazi unutar zatvorene krivuljeC, a plohaS je zatvorena.Jednadzbe (14.13) ili (14.15) dobivene su usrednjavanjemMaxwellovih jednadzbi za mikroskop-

ska polja i gustoce struja po mikroskopski velikom, ali makroskopski malom volumenu. Pri tome sepretpostavlja da jednadzbe (12.1) valjano opisuju mikroskopska magnetska polja.

14.5 Rubni uvjeti u magnetskim sredstvima

Rubni uvjeti pri prijelazu iz sredstva 1 u sredstvo 2 glase:

n × (H2 − H1) = Kf

(B2 − B1) · n = 0 (14.16)

Normalan na rubnu plohu usmjerena je od sredstva 1 prema sredstvu 2. Iz(14.16) vidimo da je tangen-cijalna komponenta odH diskontinuirana ako na rubnoj plohi postoji slobodna plosna strujaKf .

Ako tangencijalna komponenta magnetizacije ima diskontinuitet pri prijelazu iz sredstva 1 u 2 tadavrijedi jednakost

n × (M2 − M1) = K b (14.17)

gdje jeK b vezana plosna struja.

39

15 Rubni problemi s magnetskim sredstvima

15.1 Linearna magnetska sredstva

Kod vecine paramagneta i dijamagneta magnetizacijaM proporcionalna je poljuH

M = χmH (15.1)

Konstantaχm naziva se magnetska susceptibilnost. Zbog relacije (15.1)kazemo da su takva sredstva li-nearna. U homogenim i izotropnim sredstvimaχm je konstanta proporcionalnosti. Opcenito, u nehomo-genim i anizotropnim magnetskim sredstvimaχm je tenzor i ovisi o vektoru polozaja. Kod paramagnetaje χm > 0, a kod dijamagnetaχm < 0.

Uvrstimo (15.1) u (14.14). DobijemoB = µH (15.2)

gdje smo definirali magnetsku permeabilnostµ izrazom

µ ≡ µ0 (1+ χm) (15.3)

Definicija relativne magnetske permeabilnosti glasi

µr ≡µ

µ0= 1+ χm (15.4)

15.2 Magnetski skalarni potencijal

U podrucju gdje je gustoca struje jednaka nuli, makroskopske jednadzbe dobivaju oblik

∇ × H = 0

∇ · B = 0 (15.5)

Na osnovi prve jednadzbe u (15.5) uvodimo magnetski skalarni potencijalΦM (r )

H ≡ −∇ΦM (15.6)

Napomena:defincija (15.6) odreduje magnetski skalarni potencijal kao jednoznacnu funkciju samo najednostruko povezanom podrucju. Ako je podrucje na kojem je definiran magnetski potencijal visestrukopovezano, tada je on viseznacan.

15.2.1 Linearna sredstva

Kod linearnih magnetskih sredstava, uvrstavanje (15.2) i (15.6) u drugu jedandzbu u (15.5) daje

∇2ΦM = 0 (15.7)

Ta je jednadzba Laplaceovog tipa i tehnike za njeno rjesavanje navedene su u drugom poglavlju.

15.2.2 Tvrdi feromagneti

Iz jednadzbe∇ · B = 0 i definicijske jednadzbe (14.14) za poljeH slijedi

∇ · H = −∇ · M (15.8)

Definiramo li novu fizikalnu velicinu, efektivnu gustocu magnetskog nabojaρM (r )

ρM ≡ −∇ · M (15.9)

40

jednadzbe (15.5) mijenjaju se u

∇ × H = 0

∇ · H = ρM (15.10)

Te su jednadzbe po obliku jednake elektrostatskim jednadˇzbama (2.2) i (2.4), pa nije tesko zakljuciti dace za magnetski skalarni potencijal vrijediti jednadzba

∇2ΦM = −ρM (15.11)

slicna onoj iz elektrostatike. Takoder, na osnovi analogije sa elektrostatikom, mozemo zakljuciti da cerjesenje jednadzbe (15.11) u rubnom problemu bez rubnih plohaza lokaliziranu raspodjelu magnetiza-cije, opcenito glasiti

ΦM (r ) =1

4π

∫

V

ρM (r ′) dV ′

|r − r ′|+

14π

∫

S

σM (r ′) dS′

|r − r ′|(15.12)

Ovdje smo saσM oznacili efektivnu plosnu gustocu magnetskog naboja

σM ≡ M · n (15.13)

Napomenimo da su velicine (15.9) i (15.13) uvedene iskljucivo na temelju analogije sa elektrostatikomi nemaju nikakve fizikalne osnove: postojanje magnetskog naboja nije eksperimantalno potvrdeno.

Usporedimo rjesenja (15.12) za magnetski skalarni potencijal i (14.10) zamagnetski vektorski po-tencijal. Izraz (15.12) je rjesenje jednadzbe (15.11), a formula (14.10) je rjesenje jednadzbe

∇2A = −µ0JM (15.14)

za lokaliziranu raspodjelu magnetizacije u prostoru bez makroskopskih struja i rubnih ploha.

15.3 Rubni uvjeti za linearna magnetska sredstva

Na rubnoj plohi, pri prijelazu iz jednog linearnog sredstvau drugo poljeH zadovoljava sljedece uvjete:

(µ2H2 − µ1H1) · n|S = 0

n × (H2 − H1)|S = Kf (15.15)

gdje jeS rubna ploha. Ako jeKf = 0 umjesto drugog uvjeta u (15.15) smijemo upotrebljavati

Φ(1)M = Φ

(2)M (15.16)

na rubnoj plohi.

41

VI PRILOZI

16 Diracova delta-funkcija

Definicija

δ (x − a) = 0 , x 6= a∫

I

δ (x − a) dx =

{1 , a iz intervalaI0 , a nije iz I

(16.1)

Svojstva

1. ∫∞

−∞f (x) δ (x − a) dx = f (a) (16.2)

2. ∫∞

−∞f (x) δ′ (x − a) dx = −f ′ (a) (16.3)

3.

δ [f (x)] =∑

i

δ (x − xi)∣∣∣∣∣

dfdx

∣∣∣∣x=xi

∣∣∣∣∣

(16.4)

gdje suxi nule funkcijef (x) .

4.

δ (kx) =1|k|δ (x) (16.5)

5.δ (−x) = δ (x) (16.6)

6.xδ′ (x) = −δ (x) (16.7)

7.θ′ (x) = δ (x) (16.8)

gdje jeθ (x) step-funkcija definirana izrazom

θ (x) =

{1 , x > 00 , x ≤ 0

(16.9)

8. Diracova delta-funkcija u tri dimenzije definirana je izrazima

δ (r − R) = 0 , r 6= R∫

V

δ (r − R) dV =

{1 , R unutarV0 , R izvanV

(16.10)

gdje jeδ (r − R) = δ (x −X) δ (y − Y ) δ (z −Z) .

42

9. Skup tockastih naboja opisujemo gustocom naboja

ρ (x) =∑

i

qiδ (r − r i) (16.11)

10. U ortogonalnom koordinatnom sustavu (u, v, w) delta funkcija glasi

δ(r − r ′

)=

1∣∣∣∣J

(x, y, z

u, v, w

)∣∣∣∣

δ(u − u′

)δ(v − v′

)δ(w − w′) (16.12)

gdje jeJ( x,y,zu,v,w

)Jacobijan transformacije koordinatax = x (u, v, w) , y = y (u, v, w) , z = z (u, v, w) .

17 Legendrovi polinomi

Diferencijalna jednadzba

Legendrovi polinomiPl su rjesenja diferencijalne jednadzbe

ddx

[(1− x2) dPl (x)

dx

]

+ l (l + 1)Pl(x) = 0 (17.1)

Moze se pokazati da konacna rjesenja na intervalu [−1,1] (ukljucuje tockex = ±1) mozemo dobiti samoako je indeksl nenegativan cijeli broj

l = 0,1,2, ... (17.2)

a tada su funkcijeP (x) polinomi stupnjal. Obiljezavamo ih saPl (x).

Nekoliko prvih Legendrovih polinoma

l = 0, P0 = 1

l = 1, P1 = x

l = 2, P2 =12

(3x2 − 1

)

l = 3, P3 =12

(5x3 − 3x

)

(17.3)

Relacija ortogonalnosti

∫1

−1Pl′ (x) Pl (x) dx =

22l + 1

δl′l (17.4)

Zax = cosθ gornja relacija postaje∫π

0Pl′ (cosθ) Pl (cosθ) sinθdθ =

22l + 1

δl′l (17.5)

Potpunost skupa{Pl (x)}

Funkcije{Pl (x)} cine potpun, ortogonalan skup na intervalu [−1,1] . Zadanu funkcijuf (x) mozemorazviti u red po Legendrovim polinomima

f (x) =∞∑

l=0

alPl (x) (17.6)

gdje su

al =2l + 1

2

∫1

−1Pl (x) f (x) dx (17.7)

43

Vaznije relacije

Pl (x) =1

2ll!

dl

dxl(x2 − 1

)l(Rodriguesova formula)

dPl+1

dx− dPl−1

dx− (2l + 1)Pl = 0

(l + 1)Pl+1 − (2l + 1)xPl + lPl−1 = 0(x2 − 1

) dPl

dx− lxPl + lPl−1 = 0

Pl (1) = 1

Pl (−x) = (−1)l Pl (x) (17.8)

18 Pridruzene Legendrove funkcije i sferni harmonici

Diferencijalna jednadzba za pridruzene Legendrove funkcije

Pridruzene Legendrove funkcijePml rjesenja su diferencijalne jednadzbe

ddx

[(1− x2) dPm

l (x)

dx

]

+

[

l (l + 1)− m2

1− x2

]

Pml

(x) = 0 (18.1)

Primijetimo da je ova jednadzba slicna onoj za Legendrove polinome (17.1), s tim da imamo dodatniclanm2/

(1− x2

). Ova se diferencijalna jednadzba naziva generalizirana Legendrova jednadzba i ima

konacna rjesenja na intervalu [−1,1] samo ako je

l = 0,1,2,3, ...

m = 0,±1,±2, ...,±l (18.2)

Za fiksnil postoji (2l + 1) razlicitih, linearno nezavisnih pridruzenih Legendrovih funkcija.

Pridru zene Legendrove funkcije i Legendrovi polinomi

Zam ≥ 0 vrijede sljedece relacije

Pml

(x) = (−1)m(1− x2)m/2 dm

dxmPl (x)

P−ml (x) = (−1)m

(l − m)!(l + m)!

Pml (x) (18.3)

Zam = 0 pridruzene Legendrove funkcije prelaze u Legendrove polinome

Pm=0l

= Pl (18.4)

Relacija ortogonalnosti i potpunost

Pridruzene Legendrove funkcije ortogonalne su na intervalu [−1,1] po indeksul

∫1

−1Pml′ (x) Pm

l(x) dx =

22l + 1

(l − m)!(l + m)!

δl′l (18.5)

Skup funkcija{Pml

(x)}

je potpun na intervalu [−1,1].

44

Definicija sfernih harmonika

Sferni harmoniciYlm definirani su sljedecom relacijom

Ylm (θ, ϕ) =

√

2l + 14π

(l − m)!(l + m)!

Pml (cosθ) eimϕ (18.6)

Zam ≥ 0 vrijedi relacijaYl,−m = (−1)m Y ∗

lm(18.7)

Primijetimo da iz (18.4) i (18.7) slijedi

Yl0 (θ, ϕ) =

√2l + 1

4πPl (cosθ) (18.8)

Ortonormiranost i potpunost

Sferni harmonicicine potpun i ortonormiran skup funkcija na sferi sa radijusom jednakim 1. Relacijaortonormiranosti glasi

∫2π

0dϕ∫π

0dθ sinθY ∗

l′m′ (θ, ϕ) Ylm (θ, ϕ) = δl′lδm′m (18.9)

Relacija potpunosti jednaka je

∞∑

l=0

l∑

m=−lY ∗lm

(θ′, ϕ′) Ylm (θ, ϕ) = δ

(ϕ − ϕ′) δ

(cosθ − cosθ′

)(18.10)

Nekoliko prvih sfernih harmonika

l = 0, Y00 =1

√4π

l = 1,

Y11 = −√

38π sinθ eiϕ

Y10 =

√3

4π cosθ

Y1,−1 =

√3

8π sinθ e−iϕ

l = 2,

Y22 =14

√152π sin2 θ e2iϕ

Y21 = −√

158π sinθ cosθ eiϕ

Y20 =12

√5

4π

(3 cos2 θ − 1

)

Y2,−1 =

√158π sinθ cosθ e−iϕ

Y2,−2 =14

√152π sin2 θ e−2iϕ

(18.11)

19 Besselove funkcije

Diferencijalna jednadzba za Besselove funkcije

Opce rjesenje Besselove jednadzbe

d2F (x)

dx2+

1x

dF (x)dx

+

(

1− m2

x2

)

F (x) = 0 (19.1)

45

je oblikaF (x) = AJm(x) + BNm(x) (19.2)

FunkcijeJm(x) nazivaju se Besselove funkcije prve vrste. Drugo, linearno nezavisno rjesenje Besselovejednadzbe za cjelobrojnim je Besselova funkcija druge vrste, ili Neummanova funkcijaNm (x).

Potpunost i ortogonalnost

Besselove funkcije{Jν (xνnρ/a) , n = 1,2,3, ...} cine potpun i ortogonalan skup na intervalu [0, a] pricemu jexνn n-ta nula odJν(x). Po volji zadanu funkcijuf (ρ) mozemo razviti u Fourier-Besselov redoblika

f (ρ) =∞∑

n=1

AνnJν

(

xνnρ

a

)

Aνn =2

a2J2ν+1 (xνn)

∫ a

0ρf (ρ) Jν

(

xνnρ

a

)

dρ (19.3)

Relacija ortogonalnosti za navedeni skup funkcija glasi∫a

0ρJν

(

xνn′ρ

a

)

Jν

(

xνnρ

a

)

dρ =a2

2[Jν+1 (xνn)]

2 δnn′ (19.4)

Vaznija svojstva Besselovih funkcija

∫a

0xJν (kx) Jν

(k′x)

dx =1kδ(k′ − k

)

J−m(x) = (−1)mJm(x) (19.5)

Jν (x)x≪1−→ 1

Γ (ν + 1)

(x

2

)ν

Jν (x)x≫1−→

√2πx

cos(

x − νπ

2− π

4

)

Nν (x)x≪1−→

2π

[

ln(x

2

)

+ 0.5772...]

, ν = 0

−Γ (ν)π

(2x

)ν

, ν 6= 0

Nν (x)x≫1−→

√2πx

sin(

x − νπ

2− π

4

)

(19.6)

20 Modificirane Besselove funkcije

Diferencijalna jednadzba

Diferencijalna jednadzba za modificirane Besselove funkcije je oblika

d2F (x)

dx2+

1x

dF (x)dx

−(

1+m2

x2

)

F (x) = 0 (20.1)

a opce rjesenjeF (x) = AIm(x) + BKm(x) (20.2)

FunkcijeIm (x) nazivaju se modificirane Besselove funkcije prve vrste, aKm (x) modificirane Besselovefunkcije druge vrste.

46

Vaznija svojstva

Iν (x) = i−νJν (ix)

Iν (x)x≪1−→ 1

Γ (ν + 1)

(x

2

)ν

Iν (x)x≫1−→ 1

√2πx

ex

Kν (x)x≪1−→

−[

ln(x

2

)

+ 0.5772...]

, ν = 0

Γ (ν)2

(2x

)ν

, ν 6= 0

Kν (x)x≫1−→

√π

2xe−x (20.3)

21 Vektorska analiza

Skalarni i vektorski produkt

Zadani su vektoria,b u ortogonalnim koordinatama (η1, η2, η3) . Skalrni produkt vektora definiran jerelacijom

a · b ≡ aη1bη1 + aη2bη2 + aη3bη3 , (21.1)

a vektorski produkt relacijom

a× b ≡(aη2bη3 − aη3bη2

)eη1 −

(aη1bη3 − aη3bη1

)eη2 +

(aη1bη2 − aη2bη1

)eη3 , (21.2)

gdje su(eη1,eη2,eη3

)jedinicni vektori za zadani ortogonalni sustav koordinata.

Zadani su vektoria,b, c,d. Vrijede jednakosti:

a · (b × c) = b · (c× a) = c · (a× b)

a× (b × c) = b(a · c) − (a · b)c

(a× b) · (c× d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c)

(a× b) × (c× d) = [a · (b × d)] c− [a · (b × c)] d = [a · (c× d)] b − [b · (c× d)] a . (21.3)

Diferencijalni identiteti

Zadana su skalarna poljaΦ (x) ,Ψ (x) i vektorska poljaA (x) ,B (x) ,C (x). Vrijede sljedece jednakosti:

∇ × ∇Φ = 0

∇ · (∇ × A) = 0

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2A (21.4)

∇(ΦΨ) = Ψ∇Φ + Φ∇Ψ∇ · (ΦA) = A · ∇Φ + Φ∇ · A

∇ × (ΦA) = ∇Φ × A + Φ∇ × A (21.5)

∇(A · B) = (A · ∇)B + (B · ∇)A + A × (∇ × B) + B × (∇ × A)

∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)

∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B (21.6)

47

(∇ · A)B = (A · ∇)B + B(∇ · A)

(A × ∇) × B) = (A · ∇)B + A × (∇ × B) − A(∇ · B)

(∇ × A) × B = A(∇ · B) − (A · ∇)B − A × (∇ × B) − B × (∇ × A) (21.7)

(C · ∇)(A · B) = A · (C · ∇)B + B · (C · ∇)A

(C · ∇)(A × B) = A × (C · ∇)B − B × (C · ∇)A

(A × B) · (∇ × C) = B · (A · ∇)C − A · (B · ∇)C . (21.8)

Integralni teoremi i identiteti

Neka je volumenV omeden plohomS, a normalan na plohuS usmjerena je prema vanjstini odV . Zaskalarna poljaΦ (x) ,Ψ (x) te vektorska poljaA (x) ,B (x) vrijede jednakosti:

∫

V

∇ · AdV =

∮

S

A · ndS (Teorem o divergenciji)∫

V

∇ΦdV =

∮

S

ΦndS (Teorem o gradijentu)∫

V

∇ × AdV =

∮

S

n × AdS (Teorem o rotaciji)∫

V

(Φ∇2Ψ +∇Φ · ∇Ψ)dV =

∮

S

Φ∇Ψ · ndS (Prvi Greenov identitet)∫

V

(Φ∇2Ψ − Ψ∇2

Φ)dV =

∮

S

(Φ∇Ψ − Ψ∇Φ) · ndS (Drugi Greenov identitet)

(21.9)

∫

V

{(∇ × A) · (∇ × B) − A · [∇ × (∇ × B)]} dV =

∮

S

[(A × (∇ × B)] · ndS∫

V

{A · [∇ × (∇ × B)] − B · [∇ × (∇ × A)]} dV =

∮

S

[(B × (∇ × A) − A × (∇ × B)] · ndS . (21.10)

Ako je Tij(x) tenzor ranga 2 vrijedi jednakost∫

V

∂Tij

∂xidV =

∮

S

TijdSi . (21.11)

Neka jef (a, x) skalarna funkcija za koju vrijedi

f (c1a1 + c2a2, x) = c1f (a1, x) + c2f (a2, x) , (21.12)

gdje suc1, c2 konstante. Vrijedi jednakost∫

V

f (∇, x)dV =

∮

S

f (n, x)ndS , (Generalizirani teorem o divergenciji)

(21.13)

gdje operator∇ djeluje nax i nalazi se lijevo od svih varijabli. Neka je plohaS omedena krivuljomC.Smjer normalen na plohuS odreden je pozitivnom orijentacijom krivuljeC i pravilom napredovanjadesnog vijka. Valjane su sljedece jednakosti

∫

S

(∇ × A) · ndS =

∮

C

A · dl (Stokesov teorem)∫

S

(n × ∇Φ)dS =

∮

C

Φdl . (21.14)

48

Operator ∇ u Kartezijevim koordinatama (x, y, z)

∇Φ =∂Φ

∂xex +

∂Φ

∂yey +

∂Φ

∂zez

∇ · A =∂Ax

∂x+

∂Ay

∂y+

∂Az

∂z

∇ × A =

(∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

)

ex +(∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

)

ey +(∂Ay

∂x− ∂Ax

∂y

)

ez

∇2Φ =

∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂y2+

∂2Φ

∂z2

∇2A = ex∇2Ax + ey∇2Ay + ez∇2Az (21.15)

Operator ∇ u sfernim koordinatama (r, θ, ϕ)

∇Φ =∂Φ

∂rer +

1r

∂Φ

∂θeθ +

1r sinθ

∂Φ

∂ϕeϕ

∇ · A =1

r2

∂

∂r(r2Ar) +

1r sinθ

∂

∂θ(sinθAθ) +

1r sinθ

∂Aϕ

∂ϕ

∇ × A =1

r sinθ

[∂

∂θ(sinθAϕ) − ∂Aθ

∂ϕ

]

er +[

1r sinθ

∂Ar

∂ϕ− 1

r

∂

∂r(rAϕ)

]

eθ +1r

[∂

∂r(rAθ) − ∂Ar

∂θ

]

eϕ

∇2Φ =

1

r2

∂

∂r

(

r2∂Φ

∂r

)

+1

r2 sinθ

∂

∂θ

(

sinθ∂Φ

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2Φ

∂ϕ2(21.16)

∇2A =

{

∇2Ar −2

r2

[

Ar +1

sinθ∂

∂θ(sinθAθ) +

1sinθ

∂Aϕ

∂ϕ

]}

er

+

{

∇2Aθ +2

r2

[∂Ar

∂θ− Aθ

2 sin2 θ− cosθ

sin2 θ

∂Aϕ

∂ϕ

]}

eθ

+

{

∇2Aϕ +2

r2 sinθ

[∂Ar

∂ϕ− Aθ

2 sinθ+ cotθ

∂Aθ

∂ϕ

]}

eϕ (21.17)

Operator ∇ u cilindri cnim koordinatama (ρ, ϕ, z)

∇Φ =∂Φ

∂ρeρ +

1ρ

∂Φ

∂ϕeϕ +

∂Φ

∂zez

∇ · A =1ρ

∂

∂ρ(ρAρ) +

1ρ

∂Aϕ

∂ϕ+

∂Az

∂z

∇ × A =

(1ρ

∂Az

∂ϕ−

∂Aϕ

∂z

)

eρ +(∂Aρ

∂z−

∂Az

∂ρ

)

eϕ +1ρ

(∂

∂ρ(ρAϕ) −

∂Aρ

∂ϕ

)

ez

∇2Φ =

1ρ

∂

∂ρ

(

ρ∂Φ

∂ρ

)

+1

ρ2

∂2Φ

∂ϕ2+

∂2Φ

∂z2

∇2A =

(

∇2Aρ −Aρ

ρ2− 2

ρ2

∂Aϕ

∂ϕ

)

eρ +(

∇2Aϕ −Aϕ

ρ2+

2

ρ2

∂Aρ

∂ϕ

)

eϕ + ∇2Azez (21.18)

49

Transformacije koordinata i jedini cnih vektora

Kartezijeve Cilindricne Sferne

x ρ cosϕ r sinθ cosϕy ρ sinϕ r sinθ sinϕz z r cosθex cosϕeρ − sinϕeϕ sinθ cosϕer + cosθ cosϕeθ − sinϕeϕey sinϕeρ + cosϕeϕ sinθ sinϕer + cosθ sinϕeθ − cosϕeϕez ez cosθer − sinθeθ

(21.19)

Cilindricne Sferne Kartezijeve

ρ r sinθ√x2 + y2

ϕ ϕ arctan(y

x

)

z r cosθ z

eρ sinθer + cosθeθxex + yey√x2 + y2

eϕ eϕ−yex + xey√x2 + y2

ez cosθer − sinθeθ ez

(21.20)

50

Sferne Kartezijeve Cilindricne

r√x2 + y2 + z2

√ρ2 + z2

θ arctan

(√x2 + y2

z

)

arctan

(ρ

z

)

ϕ arctan(y

x

)

ϕ

erxex + yey + zez√x2 + y2 + z2

sinθeρ + cosθez

eθz(x2

+ y2)−1/2 (

xex + yey)−(x2

+ y2)1/2

ez√x2 + y2 + z2

cosθeρ − sinρez

eϕ−yex + xey√x2 + y2

eϕ

(21.21)

51

LITERATURA

Griffiths D. J.,Introduction to Electrodyanmics, Prentice Hall, New Jersey, 1999.

Jackson J. D.,Classical Electrodyanmics, John Wiley, New York, 1999.

52