Visualisation d’informationinteractive 5 : Graphes

Jean-Daniel FeketeINRIA Futurs/LRIProjet IN-SITU

Représenter un arbre par un arbre (vanWijk Infovis 2001)

Définition formelle

• Un graphe est défini par• Un ensemble de sommets S={si}

• Un ensemble d’arc ou arêtes A={aj} avec a=(sd,sa) ∈ SxS

• Lorsque qu’on prend en compte l’ordre des sommets dans A, alors le graphe est orienté, sinon il est non-orienté.

• C’est une application de S dans S• On définit des propriétés sur un graphe qui sont

à caractère topologique

Propriétés des graphes

• A partir d’un graphe, on peut calculer des propriétés:• Degré (entrant/sortant) d’un sommet• Distance entre des sommets (nombre de liens

min qui les sépare)• Composantes (fortement/faiblement) connexes• Diamètre du graphe• Centralité d’un nœud• Densité du graphe

Deux représentations classiques pour les Graphes

• Nœuds+Liens• Le nœud représente un

sommet• Le lien représente un

arc

• Matrices d’adjacence• Une ligne est un

sommet de départ• Une colonne est un

sommet d’arrivée• L’intersection visualise

l’existence d’un arc

AC

B D

A B C D

A X X X

B X

C X

D

Utilisation des graphes

• La modélisation de données par graphes est très (trop) flexible:• Le Web, le circuit routier, voies ferrées,

Internet, circuit de voyage, modules logiciels, réseaux sociaux (arbres généalogique), etc.

• Tout peut être modélisé comme un graphe… par toujours bien!

Exemples de tâchesdans les graphes

• Les principales tâches liées à la topologie sont:• Nœuds: degré, isolé (degré=0), source (pas de

lien entrant), collecteur (pas de lien sortant), voisins

• Chemins: Chemins (plus court, tous), cycles• Sous-Graphes: Composants connexes, etc.

• La liste est sans fin et chaque domaine d’application spécifique ajoute des tâches propres

Attributs dans les graphes

• La structure de graphe ne définit qu’une topologie

• On peut associer des attributs aux sommets ainsi qu’aux arcs (on parle alors de réseau)• Par exemple un nom, poids, taille, etc.

• On ajoute de nouveaux attributs calculables topologiquement :• Chemin du moindre coût, cycle contraint

• On ajoute des tâches liées aux attributs• Cycle le plus court passant par Paris, Lyon,

Marseille et Bordeaux

Les représentation Nœud-Lien

Chercher l’erreur

Problématiques

• Placement du graphe• Passage à l’échelle• Navigation

• Attention au plat de spaghettis !

Styles de liens

• Lignes droites

• Courbes

• Orthogonaux

Contraintes « Esthétiques »

• Minimiser les croisement• Minimiser la longueur des liens• Minimiser les changements de

direction• Maximiser les symétries• … mutuellement contradictoires

Critères complexes

• On veut maximiser la lisibilité et on ne sait pas la définir• Symétrie ?• Forme connue ?

Placement du graphe

• Trouver, pour chaque sommet, un position X,Y qui optimise une fonction « objectif »• plongement de la topologie dans un espace

métrique

• Contraintes « esthétiques »

• Hiérarchisation, clustering• Positionnement pas valeur d’attribut

Méthodes de placement

• Cinq grandes familles• 1) Placement a priori• 2) Placement par forces• 3) Placement algorithmique• 4) Placement par contraintes• 5) Placements ad-hoc

Placement a priori

• On dispose d’attributs de placement (réseau téléphonique)

• On place autour d’un ou plusieurs cercles concentriques

• Occlusion des liens, peut-on optimiser?

Placement par force

• Utiliser un modèle physique d’attraction/répulsion pour placer le graphe• Proposé dans Eades84

• Les sommets sont des masses et les arêtes sont des ressorts• Longueur naturelle• Rigidité k

• On place les nœuds aléatoirement

• On lâche• On ajoute de la friction• On attend que le système

se stabilise

Placement par force (2)

• Algorithme:• Initialiser les noeuds

• Position aléatoire, force nulle

• Tant Que l’énérgie potentielle > epsilon• Appliquer à chaque nœud une force de répulsion

proportionnelle à la distance de chaque autre nœud• Appliquer à chaque nœud la force d’attraction de ses

ressorts• Déplacer les nœuds suivant la force qui leur est

appliqué et de la friction

• Fin Tant Que

Placement par force (3)

• Avantages:• Simple à implémenter• Facile d’optimiser avec des heuristiques• Évolution continue, animable et incrémentale• Extensible à la 3D• Fait apparaître les symétries• Fonctionne bien pour les petits graphes

• Inconvénients:• Long (quadratique) mais s’optimise

Placement par force (4)

• Autres méthodes• [Kamada Kawai 89] Distance géométrique

= distance dans le graphe• [Fruchterman Reingold 90] corps célestes• [Davidson Harel 89] prise en compte de la

densité locale et méthode de recuit simulé• [Hall 70] Méthode spectrale

Matrices d’adjacence

Liens courbes