OLYMPICTOÁNTITANVIETNAM 2019 – LỚP 8

VIETNAMTITANMATHEMATICALOLYMPIAD2019–GRADE8(VTMO)

HỌ và TÊN (Full name): ......................................................................

SỐ BÁO DANH (ID number): ..................................................................

Hướng dẫn (Instructions):

1. Thí sinh KHÔNG ĐƯỢC MỞ đề thi cho đến khi có hiệu lệnh làm bài. Please DO NOT OPEN the contest booklet until the Supervisory has given permission to start.

2. Thời gian làm bài: 120 phút. Time allowed: 120 minutes.

3. Đề thi gồm có: 17 câu hỏi, 8 trang. Phần 1: 10 câu trắc nghiệm, trả lời đúng được 4 điểm, không trả lời được 0 điểm, trả lời sai bị trừ 1 điểm.

Phần 2: 5 câu điền đáp số, trả lời đúng được 6 điểm, trả lời sai hoặc không trả lời được 0 điểm.

Phần 3: 2 câu hỏi tự luận, 15 điểm mỗi câu. Học sinh quốc tế trình bày lời giải bằng Tiếng Anh.

The Exam consists of 17 questions, 8 pages. Part 1. 10 questions, correct answer = 4 points; no answers = 0 points; wrong answer = minus 1 point.

Part 2. 5 questions, correct answer = 6 points, wrong answer or no answer = 0 points. Part 3. 2 written questions, 15 points for each correct answer. The international students must answer in English.

4. Thí sinh sử dụng bút chì 2B để làm bài thi. Student use 2B pencil to complete the test.

5. Giám thị canh thi không giải thích gì thêm trong suốt quá trình thí sinh làm bài thi. Supervisory: No one may help any student in any way during the contest.

6. Thí sinh không được phép sử dụng các thiết bị điện tử có thể lưu trữ và hiển thị thông tin. Student are not allowed to use electronic devices that can store and display information.

7. Không được phép sử dụng MÁY TÍNH trong khi làm bài thi. No calculators are allowed.

8. Thí sinh không được mang đề thi ra khỏi phòng thi. Student are not allowed to take the exam out of the examination room.

Page 1

PHẦN 1. TRẮC NGHIỆM (Trả lời đúng = 4 điểm; không trả lời = 0 điểm; trả lời sai =

trừ 1 điểm)

PART 1. Multiple Choice Questions (correct answer = 4 points; no answers = 0 points;

wrong answer = minus 1 point)

1. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 10 và ab + bc + ca = 15. Tính

giá trị của biểu thức A = a2 + b2 + c2.

Let a, b, c be real numbers that satisfy the conditions a + b + c = 10 and ab + bc + ca

= 15. Calculate the value of the expression A = a2 + b2 + c2.

(A) 70 (B) 65 (C) 60 (D) 75 (E) 85

2. Trên bàn có 50 đồng xu nằm sấp. Lần thứ nhất lật 25 đồng xu, lần thứ hai lật 29 đồng

xu, lần thứ ba lật 14 đồng xu thì nhận được tất cả đồng xu đều lật ngửa. Hỏi có bao nhiêu

đồng xu được lật 3 lần?

There are 50 coins are heads up on the table. For the first time, flip 25 coins. Second,

flip 29 coins and the third time, flip 14 coins, we see that all coins are tails up. How

many coins are flipped 3 times?

(A) 9 (B) 11 (C) 15 (D) 22 (E) 33

Page 2

3. Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Biết số đo của 3 góc

∠BIC, ∠CIA, ∠AIB có tỉ lệ là 8 : 9 : 13. Tính số đo của ∠A.

Given the triangle ABC with I is the intersection of the three internal bisectors. Knowing

that the measurements of 3 angles ∠BIC, ∠CIA, ∠AIB has a ratio of 8 : 9 : 13.

Calculating the measurement of ∠A.

(A) 10 (B) 36 (C) 32 (D) 12 (E) 18

4. Vào lúc 6 giờ sáng, xe thứ nhất xuất phát từ A đến B; cùng lúc đó xe thứ 2 đi từ B về A

với vận tốc không đổi. Lúc 7 giờ 12 phút sáng hai xe gặp nhau và tiếp tục di chuyển. Xe

thứ nhất đến B lúc 8 giờ sáng. Hỏi xe thứ hai đến A lúc mấy giờ?

At 6 AM, the first car starts from A to B; at the same time, the second car goes from B

to A at constant speed. At 7:12 AM, the two cars meet each other and keep moving to

their destination. The first car reaches B at 8 AM. So, what time is the second car to A?

(A) 8:00 (B) 9:00 (C) 10:00 (D) 11:00 (E) 8:30

Page 3

5. Một dãy số bao gồm các chữ số 0 và 1 thỏa mãn điều kiện:

• Chữ số đầu và cuối của dãy đều là chữ số 0, • Chứa ít nhất 10 chữ số 1, • Trong bất kỳ 4 chữ số liên tiếp nào của dãy cũng có ít nhất một chữ số 0.

Hỏi dãy số này có ít nhất bao nhiêu chữ số?

A sequence of numbers consisting of digits 0 and 1 satisfying the condition:

• The first and last digits of the sequence are all digits 0, • Contains at least 10 digits 1, • In any 4 consecutive digits of the sequence there is at least one digit 0.

So, how many digits does this sequence have at least?

(A) 11 (B) 12 (C) 14 (D) 15 (E) 16

6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số có tính chất: bất kỳ 2 chữ số liền kề có hiệu không

vượt quá 1. Ví dụ: 123, 434, 987, 221, 555, ….

How many natural numbers have 3 digits with this property: the difference of any two

adjacent digits does not exceed 1. For example: 123, 434, 987, 221, 555, ....

(A) 75 (B) 60 (C) 90 (D) 80 (E) 35

Page 4

7. Cho a và b là 2 nghiệm thực phân biệt của đa thức P(x) = x2 – 10x + 2.

Biết a + b = 10, a.b = 2. Tính giá trị của biểu thức A = "#$%&#

+ "($%&(

.

Let a and b be two distinct real solutions of polynomials P(x) = x2 – 10x + 2.

Knowing that a + b = 10, a.b = 2. Calculate the value of expression A = "#$%&#

+ "($%&(

.

(A) 1 (B) 2 (C) "& (D) )

"& (E) "&

)

8. Cho tứ giác ABCD có AB = BD = BC, ∠DBC=760.Tínhsốđocủa∠DAC?

Giving a quadrilateral ABCD with AB = BD = BC, ∠DBC = 760. Calculate the

measurement of ∠DAC?

(A) 360 (B) 380 (C) 400 (D) 520 (E) 320

Page 5

9. Cho các số nguyên dương x, y. Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị x, y sao cho đẳng thức sau

đúng?

x + y + x.y = 63

Give positive integers x, y. How many pairs of values of x and y are there so that the

following expression is valid?

x + y + x.y = 63

(A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 1

10. Cho tập hợp S bao gồm đôi một các số nguyên dương khác nhau sao cho không có 2 số

phân biệt thuộc tập hợp đó mà số này gấp đôi số kia. Biết tập hợp S có phần tử nhỏ nhất

là 5 và phần tử lớn nhất là 1023, hỏi tập hợp S có tối đa bao nhiêu phần tử?

Given a set of S consisting of positive integers pairewise different such that there are no

two distinct numbers of that set, which is twice the other number. Knowing that the set

S has the smallest element 5 and the largest element is 1023. So, how many elements

does the set S have at most?

(A) 341 (B) 256 (C) 512 (D) 344 (E) 350

Page 6

PHẦN 2. ĐIỀN ĐÁP SỐ (Trả lời đúng = 6 điểm, trả lời sai hoặc không trả lời = 0 điểm)

PART 2. Open-ended Questions (Correct answer = 6 points, wrong answer or no answer =

0 points)

11. Gọi S là tập hợp tất cả các số hữu tỉ không nguyên. Hỏi có bao nhiêu số hữu tỉ q thuộc

S sao cho 20q là một số nguyên dương nhỏ hơn 170?

Let S be the set of all non-integer rational numbers. How many rational numbers q of S

such that 20q is a positive integer less than 170?

12. Biết n! = n × (n – 1) × … × 2 × 1. Gọi S(n + 1) là số chữ số 0 tận cùng của n!. Tìm giá

trị nhỏ nhất của n để:

S(n + 1) – S(n) = 5.

Know n! = n × (n - 1) × ... × 2 × 1. Calling S (n + 1) is the number of the last digits 0

of n!. Find the smallest value of n such that:

S(n + 1) – S(n) = 5.

Page 7

13. Bốn bạn A, B, C, D có tất cả 76 viên kẹo. Bốn bạn đồng thời chia số kẹo của mình cho

các bạn như sau:

• A giữ lại một viên kẹo và chia đều phần còn lại cho 3 bạn kia.

• B giữ lại hai viên kẹo và chia đều phần còn lại cho 3 bạn kia.

• C giữ lại ba viên kẹo và chia đều phần còn lại cho 3 bạn kia.

• D giữ lại bốn viên kẹo và chia đều phần còn lại cho 3 bạn kia.

Cuối cùng số kẹo của các bạn bằng nhau. Hỏi ban đầu A có bao nhiêu viên kẹo?

Four friends A, B, C, D have 76 candies. At the same time, the four friends share their

candies as follows:

• A keeps one candy and divides the rest for the other three friends.

• B holds two candies and evenly divides the rest for the other three.

• C holds three candies and divides the rest for the other three.

• D keeps four candies and divided the rest evenly for the other three.

Finally their candies are equal. How many candies does A have at the beginning?

14. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 7 cm và BC = 24 cm. Trên cạnh AC lấy lần lượt các

điểm E và F sao cho AE = CF = 10 cm. BE cắt cạnh AD tại G, BF cắt cạnh CD tại H.

Tính diện tích của tứ giác EFHG.

Give the rectangle ABCD with AB = 7 cm and BC = 24 cm. On the edge AC, take points

E and F respectively so that AE = CF = 10 cm. BE cuts edge AD at G, BF cuts CD at

H. Calculates the area of the quadrilateral EFHG.

Page 8

15. Cho tứ giác ABCD có ∠BCD = 900, ∠ABC = 1500, CD = AB. Gọi M và N lần lượt là

trung điểm của BC và AD. Tính số đo góc nhọn tạo bởi MN và BC.

Give a quadrilateral ABCD with ∠BCD = 900, ∠ABC = 1500 , CD = AB. Call M and N

respectively the midpoints of BC and AD. Calculates measurement of the sharp angle

created by MN and BC.

PHẦN 3. Tự luận, 15 điểm mỗi câu. Học sinh quốc tế trình bày lời giải bằng Tiếng Anh.

PART 3. Written questions, 15 points for each correct answer. The international students

must answer in English.

16.

a. Cho 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑏 ≠ 𝑐, 𝑐 ≠ 𝑎 và 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức E"#+ "

(+ "

FG, biết rằng

𝑎(𝑎 − 𝑏) = 𝑏(𝑏 − 𝑐) = 𝑐(𝑐 − 𝑎). b. Các số nguyên dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 thỏa mãn hệ thức 𝑎 + 𝑏 = 𝑏(𝑎– 𝑐) trong đó 𝑐 + 1 là bình

phương một số nguyên tố. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai số (𝑎 + 𝑏) hoặc 𝑎. 𝑏 là số chính phương.

a. Given 𝑎 ≠ 𝑏, 𝑏 ≠ 𝑐, 𝑐 ≠ 𝑎 và 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0.Calculate the value of the expression

E"#+ "

(+ "

FG, knowing that 𝑎(𝑎 − 𝑏) = 𝑏(𝑏 − 𝑐) = 𝑐(𝑐 − 𝑎).

b. Positive integers 𝑎, 𝑏, 𝑐 satisfy the equation 𝑎 + 𝑏 = 𝑏(𝑎– 𝑐), where 𝑐 + 1 is the square of a prime number. Prove that at least one number (𝑎 + 𝑏) or 𝑎. 𝑏 is a square number.

17. Cho tam giác ABC cân tại A có BD là phân giác góc ∠ABC, biết đường cao AH = ½

BD. Tính số đo góc ∠BAC.

Let ABC be an isocele triangle at A with BD is the angle bisector of∠ABC. Knowing that the height AH = ½ BD. Calculate the angle measure of ∠BAC.

Page 9

GỢI Ý ĐÁP ÁN – LỚP 8

PHẦN A

Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10

A A D B D A E B D A

PHẦN B

Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15

161 624 13 448/15 60