xử lý tín hiệu số - vũ văn Điền

8/18/2019 Xử Lý Tín Hiệu Số - Vũ Văn Điền

1/113

1

MỤC LỤC

CHƯƠ NG 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜ I RẠC .......................................................... 4

1.1 Mở đầu .............................................................................................................................. 4

1.1.1 Phân loại tín hiệu........................................................................................................ 4

1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)................................................... 71.2 Tín hiệu rờ i rạc.................................................................................................................. 7

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rờ i rạc............................................................................................ 7

1.2.2 Các tín hiệu rờ i rạc..................................................................................................... 9

1.2.3 Các phép toán vớ i tín hiệu rờ i rạc ............................................................................ 13

1.3 Hê thống tuyến tính bất biến ........................................................................................... 18

1.3.1 Hệ thống tuyến tính.................................................................................................. 19

1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến .................................................................................... 21

1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả................................................................ 261.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả ổn định ....................................................... 29

1.4 Phươ ng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng .................................................................. 31

1.4.1 Phươ ng trình sai phân tuyến tính ............................................................................. 31

1.4.2 Phươ ng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng ........................................................... 32

1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra).......................................................... 35

1.4.4 Hệ thống số không đệ quy........................................................................................ 35

1.4.5 Các phần tử thực hiện hệ thống bất biến.................................................................. 36

1.5 Tươ ng quan chéo của các tín hiệu................................................................................... 38

1.5.1 Tươ ng quan chéo...................................................................................................... 38

1.5.2 Hàm tự tươ ng quan .................................................................................................. 39

CHƯƠ NG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜ I RẠC.................................... 40

TRONG MIỀN Z..................................................................................................................... 42

2.1 Mở đầu ............................................................................................................................ 42

2.2 Biến đổi Z (ZT) ............................................................................................................... 42

2.2.1 Định ngh ĩ a................................................................................................................ 42

2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z........................................................................................... 43

2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng................................................................................. 48

2.3 Biến đổi Z ngượ c............................................................................................................. 48

2.3.1 Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư ..................................................... 48

2.3.2 Phươ ng pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa .......................................................... 50

2.3.3 Phươ ng pháp khai triển thành tổng của các phân thức tối giản................................ 51


2/113


3/113

3

3.2.7 Quan hệ Parseval...................................................................................................... 81

3.2.8 Tích của hai dãy ....................................................................................................... 82

3.2.9 Vi phân trong miền tần số ........................................................................................ 83

3.2.10 Tính chất đảo biến số ............................................................................................. 83

3.3 So sánh biến đổi Fourier và biến đổi Z ........................................................................... 843.3.1 Quan hệ giữa biến đổi Fourier và biến đổi Z ........................................................... 84

3.3.2 Đánh giá hình học X(e jw) trên mặt phẳng Z ............................................................. 85

3.4 Biểu diễn hệ thống rờ i rạc trong miền tần số liên tục ..................................................... 86

3.4.1 Đáp ứng tần số ......................................................................................................... 86

3.4.2 Các bộ lọc số lý tưở ng.............................................................................................. 87

3.5 Lấy mẫu tín hiệu.............................................................................................................. 91

3.5.1 Định lý lấy mẫu........................................................................................................ 91

3.5.2 Tần số Nyquist ......................................................................................................... 93

CHƯƠ NG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜ I RẠC.................................... 94

TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜ I RẠC....................................................................................... 95

4.1 Mở đầu ............................................................................................................................ 95

4.2 Biến đổi Fourier rờ i rạc đối vớ i các tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ N .............................. 95

4.2.1 Các định ngh ĩ a ......................................................................................................... 95

4.2.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rờ i rạc đối vớ i các dãy tuần hoàn...................... 97

có chu kỳ N ....................................................................................................................... 97

4.3 Biến đổi Fourier rờ i rạc đối vớ i các dãy không tuần hoàn có chiều dài.......................... 99

hữu hạn.................................................................................................................................. 99

4.3.1 Các định ngh ĩ a ......................................................................................................... 99

4.3.2 Các tính chất của biến đổi Fourier rờ i rạc đối vớ i các dãy có chiều ...................... 100

dài hữu hạn...................................................................................................................... 100

4.3.3 Khôi phục biến đổi Z và biến đổi Fourier từ DFT ................................................. 102

4.4 Biến đổi nhanh Fourier rờ i rạc (FFT)............................................................................ 103

4.4.1 Mở đầu ................................................................................................................... 103

4.4.2 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo thờ i gian................................................... 106

4.4.3 Thuật toán FFT cơ số 2 phân chia theo tần số ....................................................... 1104.4.4 Tình FFT ngượ c ..................................................................................................... 111


4/113

4

CHƯƠ NG 1 : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜ I RẠC

1.1 Mở đầu

1.1.1 Phân loại tín hiệu

1.1.1.1 Định ngh ĩ a tín hiệu

Tín hiệu là biểu diễn vật lý của thông tin hay là một biểu hiện của tin tức.

Ví dụ:

- Các tín hiệu nhìn thấy là các sóng ánh sáng mang thông tin tớ i mắt chúng ta.

- Các tín hiệu nghe thấy là các sự biến đổi của áp suất không khí truyền thông

tin tớ i tai chúng ta.

1.1.1.2 Biểu diễn toán học của tín hiệu

Về mặt toán học, tín hiệu đượ c biểu diễn bở i hàm của một hoặc nhiều biến số

độc lập.

Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) đượ c biểu diễn trên hình 1.1

Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu microphone Sa(t)

Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) là hàm một biến số, biến số này là thờ i gian t. Vì là hàmcủa một biến nên ta còn gọi là tín hiệu một chiều.

Sa(t)

0

t


5/113

5

1.1.1.3 Phân loại tín hiệu

Chúng ta chia tín hiệu ra làm hai nhóm lớ n: Tín hiệu liên tục và tín hiệu rờ i rạc.

1.1.1.3.1 Định ngh ĩ a tín hiệu liên tục

Nếu biến độc lập của sự biến đổi toán học của một tín hiệu là liên tục, thì tín

hiệu đó đượ c gọi là tín hiệu liên tục.

Như vậy theo định ngh ĩ a tín hiệu liên tục, thì từ liên tục ở đây đượ c hiểu là liên

tục theo biến số.

Nếu dựa vào hàm số, chúng ta có thể phân loại tín hiệu liên tục ra làm hai loại:

- Tín hiệu tươ ng tự

- Tín hiệu lượ ng tử hóa.

*) Tín hiệu đượ c gọi là tín hiệu tươ ng tự nếu hàm của tín hiệu liên tục là liên tục.

*) Tín hiệu đượ c gọi là tín hiệu lượ ng tử hóa nếu hàm của tín hiệu liên tục là rờ irạc.

Mỗi mức lượ ng tử đượ c chỉ định một giá trị số 8 bit, kết hợ p 8 bit có 256 mức

hay giá trị. Qui ướ c bit đầu tiên dùng để đánh dấu giá trị âm hoặc dươ ng cho mẫu.

Bảy bít còn lại biểu diễn cho độ lớ n; bit đầu tiên chỉ nửa trên hay nửa dướ i của dãy,

bit thứ hai chỉ phần tư trên hay dướ i, bit thứ 3 chỉ phần tám trên hay dướ i và cứ thế.

Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số là thờ i gian t đượ c biểu diễn trên

hình 1.2a là tín hiệu tươ ng tự và hình 1.2b là tín hiệu lượ ng tử hóa.

(a) (b)

Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn tín hiệu tươ ng tự và tín hiệu lượ ng tử hóa

69

59

49

39

29

19

9t t

xa(t) xa(t)


6/113

6

1.1.1.3.2 Định ngh ĩ a tín hiệu rờ i rạc

Nếu tín hiệu đượ c biểu diễn bở i hàm của các biến rờ i rạc, thì tín hiệu đó đượ c

gọi là tín hiệu rờ i rạc.

Theo định ngh ĩ a thì từ rờ i rạc ở đây đượ c hiểu là rờ i rạc theo biến số.

Nếu dựa vào biên độ, chúng ta cũng có thể phân loại tín hiệu rờ i rạc ra làm hai

loại :

- Tín hiệu lấy mẫu

-

Tín hiệu số

Tín hiệu đượ c gọi là tín hiệu lấy mẫu nếu hàm của tín hiệu rờ i rạc là liên tục

(không đượ c lượ ng tử hóa)

Tín hiệu đượ c gọi là tín hiệu số nếu hàm của tín hiệu rờ i rạc là rờ i rạc. Như vậy

tín hiệu số đượ c gọi là tín hiệu rờ i rạc hóa cả về biến số và biên độ. Còn tín hiệutươ ng tự là tín hiệu liên tục cả về biến số và biên độ.

Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rờ i rạc có biến số là thờ i gian t đượ c biểu diễn trên

hình 1.3, thờ i gian t đượ c rờ i rạc hóa vớ i chu kỳ Ts. Hình 1.3 (a) là tín hiệu lấy mẫu

và (b) là tín hiệu số.

(a)

(b)Hình 1.3 Đồ thị biểu diễn tín hiệu lấy mẫu và tín hiệu số

n.Tsn.Ts

xs(n.Ts)xd(n.Ts)


7/113

7

1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing)

Ta có sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4):

Hình 1.4 Sơ đồ tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu

Trong đó:

-

LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thông thấp).

- S&H: Sample And Hold (lấy và giữ mẫu)

- ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tươ ng tự - số)

- DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu sô – tươ ng tự)

* Nhận xét:

- Tín hiệu tươ ng tự ở đầu vào đượ c chuyển sang dạng số nhờ một hệ biến đổi tươ ng

tự - số ADC.

- Tín hiệu tươ ng tự ở đầu ra đượ c thiết lập lại nhờ hệ biến đổi số - tươ ng tự DAC.Như vậy, tín hiệu của bộ biến đổi ADC là tín hiệu số Xd(n), đó là tín hiệu của hệ

thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số Xd(n) và đưa ra tín

hiệu số Yd(n).

1.2 Tín hiệu rờ i rạc

1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rờ i rạc

Tín hiệu rờ i rạc có hai loại :

- Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu là xs(nTs)- Tín hiệu số, ký hiệu là xs(nTs)

Ký hiệu chung : x(nTs)

Xa(t)LPFĐưa qua S&H ADC

DSPDACLPFYa(t)

Xd(t)

Yd(t)

x(n)x(n)


8/113

8

Có ba cách biểu diễn tín hiệu rờ i rạc hay dùng là :

- Biểu diễn bằng biểu thức toán học

- Biểu diễn bằng đồ thị

- Biểu diễn bằng liệt kê các phần tử.

1.2.1.1 Biểu diễn toán học

Biểu diễn toán học vớ i N1 ≤ n ≤ N2

x(n) =

0 vớ i n < 0

Vớ i: n, N1, N2 là nguyên (còn các giá trị không nguyên, ta không xét)

Ví dụ: Hãy cho cách biểu diễn toán học của một tín hiệu rờ i rạc nào đó.

1

vớ i 0 ≤ n ≤ 3x(n) =

0 vớ i n còn lại

Ở đây N1 = 0, N2 = 3

Biểu thức toán học ở đây là 1

1.2.1.2 Biểu diễn bằng đồ thị

Để tiện minh họa một cách trực quan, trong nhiều trườ ng hợ p chúng ta dùng đồ thị để biểu diễn tín hiệu.

Ví dụ: Hãy vẽ đồ thị tín hiệu rờ i rạc trong ví dụ trên

1 vớ i 0 ≤ n ≤ 3

x(n) =


Hình 1.5 Biểu diễn tín hiệu bằng đồ thị

31 2

1

40-1

x(n)

n


9/113

9

1.2.1.3 Biểu diễn bằng dãy số

Chúng ta biểu diễn bằng cách liệt kê các giá trị của x(n) thành một dãy số như

sau :

x(n)={…, x(n-1), x(n), x(n-1), …}

n

Để chỉ ra các giá trị của x(n) tại vị trí thứ n, ta dùng kí hiệu n , bở i vì khi dùng

biểu diễn này ta không biết đâu là x(n).

Ví dụ: Biểu diễn dãy sau bằng cách liệt kê các phần tử

1 vớ i 0 ≤ n ≤ 3

x(n) =


Giải :x(n) = {…, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0,…}

0

0 : ngụ ý rằng x0 = 1

1.2.2 Các tín hiệu rờ i rạc

1.2.2.1 Dãy xung đơ n vị

Kí hiệu: δ (n) (n là số nguyên )Trong miền n, dãy xung đơ n vị đượ c định ngh ĩ a như sau :

≠

==

00

01)(

nKhi

nKhinδ

Ví dụ : Biểu diễn δ (n) δ (n-5) bằng đồ thị

Giải :

- Vớ i δ (n):

- Vớ i δ (n-5): 21

1

-1-2 0

n


10/113

10

Hình 1.6 Biểu diễn δ (n) và δ (n-5) bằng đồ thị

Mở rộng có dãy xung đơ n vị δ (n - k) , vớ i k là hằng số nguyên dươ ng hoặc âm :

≠

==−

k nKhi

k nKhik n

0

1)(δ

Trên hình 1.6 là đồ thị của các dãy xung đơ n vị δ (n - 5)

1.2.2.2 Dãy nhảy đơ n vị

Dãy nhảy đơ n vị đượ c định ngh ĩ a như sau trong miền n :

<

≥=

00

01)(

nKhi

nKhinu

Đồ thị của dãy u(n) có dạng như hình vẽ sau :

Hình 1.7 biểu diễn u(n) bằng đồ thị

Tổng quát, ta có:

<

≥=−

k nKhi

k nKhik nu

0

1)(

<

≥=+

−

k nKhi

nKhik nu

k

0

1)(

3-1 21

. . . .

. . . .

∞0

1

u(n)

n


11/113

11

Ví dụ : Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị

Hình 1.8 Biểu diễn u(n-2) và u(n+2) bằng đồ thị

1.2.2.3 Dãy chữ nhật

Trong miền n, dãy chữ nhật đượ c định ngh ĩ a như sau:

≠

−≤≤=

n

N n

nrect N 0

1 10

)(

Đồ thị của rectN(n) có dạng như hình bên :

Mở rộng có dãy chữ nhật rectN(n-k) vớ i k là số nguyên dươ ng hoặc âm.

≠

−+≤≤=−

n

k N nk k nrect

N 0

1 1)(

≠

−−≤≤−=+

n

k N nk k nrect

N

0

1 1)(

Ví dụ : Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị

Hình 1.9 Biểu diễn rectN(n-2) và rectN(n+2) bằng đồ thị.

0 1 2

1

-1 43 5 0 1-3

1

-2 -1

. . . .

∞ ∞. . . .

. . . .

. . . .

n n

-1

. . . .

1

. . . .210 (N-1)

n

1 1

650 0-2 -13 32 -3 241 1-4-1


12/113

12

1.2.2.4 Dãy mũ thự c

Dãy hàm mũ thực đượ c định ngh ĩ a như sau trong miền n :

an vớ i n ≥ 0

e(n) =

0 vớ i n < 0

Dãy này tăng hay giảm phụ thuộc vào tham số a lớ n hơ n hay nhỏ hơ n 1 như trên

hình 1.10 (a) và (b) trong ví dụ dướ i đây :

Hình 1.10 Dãy mũ thực.

Ta thấy, vớ i a > 1 thì hàm e(n) đồng biến, còn vớ i 0


13/113

13

1.2.3 Các phép toán vớ i tín hiệu rờ i rạc

1.2.3.1 Định ngh ĩ a dãy tuần hoàn (dãy chu kì)

Một dãy x(n) đượ c gọi là tuần hoàn vớ i chu kì N nếu :

x(n) = x(n+N) = x(n+kN) vớ i n, k, N nguyên, N: chu kỳ tuần hoàn.

Ta kí kiệu dãy tuần hoàn như sau : xp(n)

Ví dụ: Hãy vẽ một dãy tuần hoàn vớ i chu kỳ N=4

Giải :

Dãy xp(n) cho trên hình 1.11

Hình 1.11 Biểu diễn dãy tuần hoàn bằng đồ thị.

1.2.3.2 Định ngh ĩ a dãy có chiều dài hữ u hạn

Một dãy x(n) xác định vớ i một số hữu hạn mẫu thì đượ c gọi là dãy có chiều dài

hữu hạn (chiều dài của dãy tính bằng số mẫu có giá trị khác 0)

Ví dụ: Tính chiều dài của các dãy số (hay các tín hiệu rờ i rạc)

- L[δ (n)] = 1

- L[u(n)] = [0,+ ∞] = ∞

- L[rectN(n)] = [0,N-1] = N

- L[x(n)] = [-∞,+∞] = ∞

- L[e(n)] = ∞

xp(n)

n

0


14/113

14

1.2.3.3 Năng lượ ng và công suất của dãy

1.2.3.3.1 Năng lượ ng của dãy

- Đối vớ i tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N :

∑

−

=

=1

0

2)(

N

n x

n x E

- Đối vớ i tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2 N + 1):

∑−=

= N

N n

x n x E 2

)(

- Đối vớ i tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:

∑∞

=

=0

2)(

n

x n x E

- Đối vớ i tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:

∑∞

−∞=

=n

x n x E 2

)(

Ví dụ 1: Tính năng lượ ng của các dãy sau:

a.x1(n) = rect3(n)

b. )(2

1)(

2 nun

n

x

=

Giải: a. Ta có:

3111)()(2

0

22

3

2

11 1 =++==== ∑∑∑=

∞

−∞=

∞

−∞= nnn

x nn x rect E

b. Ta có:

( )11 1:

3

4

41

1

1)(

2

1)(

0

0 0

22

2

22

41

21

<−

=

=

−

===

==

∑

∑ ∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

∞

−∞=

∞

−∞=

aa

vì

n

nun x

n

n

n

n nn

n

n

x

a

E


15/113

15

1.2.3.3.2 Công suất trung bình của dãy

Công suất trung bình P x của tín hiệu số x(n) đượ c tính như sau:

- Đối vớ i tín hiệu số x(n) một phía hữu hạn có độ dài N :

∑

−

====

1

0

22

)()(1 N

n

x n xn x N N

x E

P

- Đối vớ i tín hiệu số x(n) hai phía hữu hạn có độ dài (2 N + 1):

∑−=

=+

=+

= N

N n

x x n xn x

N N

E P )()(

)()(22

12

1

12

- Đối vớ i tín hiệu số x(n) một phía vô hạn:

∑−

=∞→∞→

===1

0

22 )()(1 N

n N N x n xn x Lim Lim

N N

x E P

- Đối vớ i tín hiệu số x(n) hai phía vô hạn:

∑−=∞→∞→

=+

=+

= N

N n N

x

N x n xn x Lim Lim

N N

E P )()(

)()(22

12

1

12

Ví dụ: Tính năng lượ ng và công suất trung bình của các dãy tín hiệu sau:

a. )1(2)(1

−= nun n

x

b. )()3()3()( 32 nrect nunun x ++−−=

Giải:a.Năng lượ ng và công suất trung bình của dãy tín hiệu x1(n) đượ c tính như sau:

∞==−== ∑ ∑∑ ∞

−∞=

∞

=

∞

−∞= n n

nn

n

x nun x E

1

22

11 4|)1(2|)(

∞=−

−=

=

−

−

+

=

+

=

=+

=+

=

∞→

∞→=∞→

−=∞→∞→

∑

∑

6

4ln*4lim

41

41

1*2

1lim4

1*2

1lim

)(1*2

1lim

1*2lim

1

2

11

1

N

N

N

N

N

n

n

N

N

N n N

x

N x

N N

n x N N

E P


16/113

16

b. Ta có: )()3()()3()3()( 3632 nrect nrect nrect nunun x ++=++−−=

Năng lượ ng và công suất trung bình của dãy tín hiệu x2(n) là:

∑

∑∑

−=

∞

−∞=

∞

−∞=

=+++++=++=

=++==

2

3

2222222

36

236222

15222111)()3(

|)()3(|)(

n

nn

x

nrect nrect

nrect nrect n x E

01*2

15lim

1*22lim

2 =

+∞→=

+∞→=

N N N

E x

N xP

1.2.3.4 Các phép toán đối vớ i tín hiệu rờ i

1.2.3.4.1 Phép cộng hai tín hiệu

Tổng của hai dãy thu đượ c là một dãy bằng cách cộng đôi một giá trị mẫu của

các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.

Ví dụ: Cho hai dãy x1(n) = rect3(n-1) và x2(n) = rect2(n-2)

Tìm và vẽ x3(n) = x1(n)+x2(n)

Giải :

- Vẽ x1(n) :

- Vẽ x2(n) :

1

0

x(n)

n

1 2 3


17/113

17

Vẽ x3(n) :

Hình 1.12 Đồ thị biểu diễn các tín hiệu x1(n), x2(n) và x3(n)

1.2.3.4.2 Phép nhân hai tín hiệu

Tích của hai dãy thu đượ c là một dãy thu đượ c bằng cách đem nhân tươ ng ứng

các phần tử có cùng trị số của biến độc lập.Ví dụ : Cho hai dãy số x1(n) và x2(n) như ví dụ trên

Tính x3(n) = x1(n).x2(n)

Giải : Vẽ x3(n)

Hình 1.13 Đồ thị biểu diễn x3(n)

x3(n)

n

1 2 3

1

2

1 2 3

1

0

x(n)

n

1

x(n)

n

1 2 3


18/113

18

1.2.3.4.3 Phép nhân tín hiệu vớ i một hằng số

Tích của một dãy vớ i một hằng số là một dãy nhận đượ c bằng cách nhân tất cả

các giá trị mẫu của dãy vớ i chính một hằng số đó.

Ví dụ: cho x1(n) = rect3(n-1), tìm x2(n) = 2.x1(n)

Giải :

1 vớ i 1 3≤≤ n

x1(n) = rect3(n-1) =


2 vớ i 1 3≤≤ n

⇒ x2(n) = 2.x1(n) = 2.rect3(n-1) =0 vớ i n còn lại

1.2.3.4.4 Phép trễ (dịch)

Dãy y(n) đượ c gọi là trễ dịch lặp lại của x(n) nếu y(n) = x(n-n0) vớ i mọi n, n0

nguyên.

Ví dụ :

1-4

n vớ i 1 3≤≤ n

Cho x1(n) =


Tìm y(n) = x(n-2) = ?

Giải :

≠

≤≤−

−=−=

n

nn

n xn y

0

534

21

)2((

*)Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy, khi tín hiệu x(n) bị trễ đi 2 mẫu trong miền thờ i

gian thì đồ thị của hàm y(n) = x(n-2) sẽ dịch chuyển sang phải 2 mẫu. Tổng quát, ta

có khi tín hiệu bị trễ đi n0(n0>0) mẫu trong miền thờ i gian thì đồ thị của nó bị dịch

sang phải n0 mẫu, nếu n0 < 0 thì đồ thị của nó lại dịch chuyển sang trái đi n0 mẫu.


19/113

19

1.3 Hê thống tuyến tính bất biến

1.3.1 Hệ thống tuyến tính

1.3.1.1 Định ngh ĩ a

Ký hiệu hệ thống:

- Dãy vào đượ c gọi là dãy kích thích (hoặc kích thích).

- Dãy ra đượ c gọi là dãy đáp ứng.

1.3.1.2 Đặc trư ng của hệ thống

Một hệ thống xử lý số đượ c đặc trưng bở i toán tử T, toán tử T làm nhiệm vụ

biến đổi dãy vào thành dãy ra.

Ký hiệu: T[x(n)] = y(n) hoặc x(n) y(n)

Ta có thể biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ :

1.3.1.3 Hệ thống tuyến tính

Một hệ thống đượ c gọi là tuyến tính nếu toán tử T của nó thỏa mãn nguyên lýxếp chồng, tức là :

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] = a.y1(n) + b.y2(n)

Vớ i mọi a,b là hằng số.

Trong đó: - y1(n) là đáp ứng của kích thích x1(n)

- y2(n) là đáp ứng của kích thích x2(n)

Ta xét 2 trườ ng hợ p:

+Nếu a = b = 1 thì T[x1(n) + x

2(n)] = T[x

1(n)] + T[x

2(n)] = y

1(n) + y

2(n)

=>Hệ thống tuyến tính có tính tổ hợ p

+Nếu b = 0 thì T[a.x1(n)] = a.T[x1(n)] = a. y1(n)

=>Hệ thống tuyến tính có tính tỉ lệ.

Vậy hệ thống tuyến tính vừa có tính tổ hợ p, vừa có tính tỉ lệ.

Dãy raDãy vào

Hệ thốngy(n)

x(n)

T

T x(n) y(n)


20/113

20

Ví dụ : Kiểm tra tính chất tuyến tính của các hệ thống sau :

a. T[x(n)] = 2. x(n)

b. T[x(n)] = x2(n)

c. T[x(n)] = n.x(n)

d. T[x(n)] = 4.x(n) + 3

Giải:

a. T[x(n)] = 2. x(n)

⇔ T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2(a.x1(n) +b.x2(n)) = a.2.x1(n) + b.2.x2(n)

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)

Vậy hệ thống là tuyến tính

b. T[x(n)] = x2(n)

Ta có: T[a.x(n) + b.x(n)] = [a.x1(n) + b.x2(n)]2

= a2.x21(n) + b2.x22

(n) + 2.a.x1(n).b.x2(n)

≠ a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]

(không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)

Vậy hệ thống không phải là hệ thống tuyến tính.

c. T[x(n)] = n.x(n)

Ta có: T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.(a.x1(n)+b.x2(n)) = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)](thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)

Vậy hệ thống đã cho là hệ thống tuyến tính.

d. T[x(n)] = 4.x(n) + 3

Ta có: T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 4.(a.x1(n) + b.x2(n)) + 3

= 4.a.x1(n) + 3.a +4.b.x2(n) + 3.b +3 – 3.a – 3.b

= a.( 4.x1(n) + 3) + b.( 4.x2(n) + 3) + 3 - 3.a – 3.b

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] + 3 – 3.a -3.b

≠ a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (vớ i a = 1, b = 1 chẳng hạn)

(Không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)

Vậy hệ thống đã cho không phải là hệ thống tuyến tính.


21/113

21

1.3.1.4 Đáp ứ ng xung của hệ thống tuyến tính

Một dãy bất kỳ x(n) có thể đượ c biểu diễn tổng quát như sau :

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính đượ c đặc trưng bở i toán tử T (T thỏa mãn

nguyên lý xếp chồng), ta có thể viết :

y(n) = T[x(n)] = T

−∑

∞

−∞=k

k nk x )().( δ = ∑∞

−∞=

−k

k nk xT )]().([ δ

= ∑∞

−∞=

−k

k nT k x )]([).( δ (vì x(k) độc lập vớ i n)

Đặt h(n-k) = hk(n) = T[ )( k n −δ ]

Chúng ta có : y(n) = ∑∞

−∞=

−k

k nhk x )().(

Đáp ứng hk(n) đượ c gọi là đáp ứng xung của hệ thống. Và hk(n) đặc trưng hoàn

toàn cho một hệ thống tuyến tính.

1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến

1.3.2.1 Định ngh ĩ a :

Một hệ thống đượ c gọi là bất biến theo thờ i gian nếu các tác động vào, ra của nó

không thay đổi theo thờ i gian.

Một hệ thống là một hệ thống tuyến tính bất biến nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :

- Hệ thống là tuyến tính.

- Nếu lối vào của hệ thống là x(n), ta đượ c lối ra là y(n) thì vớ i lối vào là x(n-k),

ta thu đượ c lối ra là y(n-k), hay T[x(n-k)] = y(n-k) nếu T[x(n)] = y(n)

Ví dụ: Hãy xét các hệ thống sau có phải là tuyến tính,bất biến theo n hay không ?

1.T[x(n)] = 2.x(n)

2. T[x(n)] = n.x(n) (vớ i n∈z)

Giải :

1.T[x(n)] = 2.x(n)

- Kiểm tra tính chất tuyến tính:

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = 2.[a.x1(n) + b.x2(n)] = a.2.x1(n) +b.2.x2(n)


22/113

22

= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)] (thỏa mãn nguyên lý xếp chồng)

⇒ Hệ thống là tuyến tính.

- Kiểm tra tính chất bất biến:

Ta có: y(n) = T[x(n)] = 2.x(n)

⇒ y(n-k) = 2.x(n-k)

Mà T[x(n-k)] = 2.x(n-k)

⇒ y(n-k) = T[x(n-k)]

⇒ Hệ thống đã cho là hệ thống bất biến.

Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến.

2. T[x(n)] = n.x(n)

- Kiểm tra tính chất tuyến tính:

T[a.x1(n) + b.x2(n)] = n.[a.x1(n) +b.x2(n)] = a.n.x1(n) + b.n.x2(n)= a.T[x1(n)] + b.T[x2(n)]

⇒ Hệ thống là tuyến tính.

- Kiểm tra tính chất bất biến:

Ta có: y(n) = T[x(n)] = n.x(n)

y(n-k) = (n-k).x(n-k)

mà T[x(n-k)] = n.x(n-k)

⇒ y(n-k) # T[x(n-k)]⇒ Hệ thống không phải là hệ thống bất biến.

Vậy hệ thống đã cho là hệ thống tuyến tính nhưng không bất biến.

1.3.2.2 Công thứ c tính tích chập

Khi hệ thống của chúng ta là hệ thống tuyến tính và bất biến, thì ta có quan hệ :

T[ )(nδ ] = h(n)

⇒ T[ )( k n −δ ] = h(n-k) =hk(n)

⇒ y(n) = ∑∞

−∞=

−k

k nhk x )().(

Như vậy, hk(n) là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính. Còn h(n) là đáp ứng

xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Lúc này, h(n) sẽ không phụ thuộc vào k, tức

là nếu biến là thờ i gian thì ở mọi thờ i điểm khác nhau, đáp ứng xung của hệ thống


23/113

23

tuyến tính bất biến luôn là h(n). Đến đây thì ta có thể nói rằng đáp ứng xung h(n) sẽ

đặc trưng hoàn toàn cho một hệ thống tuyến tính bất biến

Và ta có quan hệ : y(n) = ∑∞

−∞=

−k

k nhk x )().( = x(n)*h(n) (1)

(1) là công thức tính tích chập của x(n) và h(n), tích chập đượ c ký hiệu bằng dấu ‘*’

* Chú ý: Tích chập này chỉ đúng vớ i hệ thống tuyến tính bất biến, vì nó đượ c định

ngh ĩ a chỉ cho hệ thống này.

Ví dụ: Cho hệ thống tuyến tính bất biến có: x(n) = rect3(n) và

≠

≤≤−=

n

nnnh

0

202

1)(

Tìm đáp ứng ra y(n) của hệ thống trên.

Giải :

Ta có: y(n) = x(n)*h(n) = ∑∞

−∞=

−k

k nhk x )().(

x(k) = rect3(k) =

≠

≤≤

k

k

0

201

⇒ y(n) = ∑=

−2

0

)(k

k nh = h(n) + h(n-1) + h(n-2)

Mà:

≠

≤≤≤≤⇔+≤≤⇔≤−≤−

−=−

n

k nk nk k nk n

k nh

0

)20(402202

1)(

Vớ i n < 0 hoặc n > 4 thì h(n - k) = 0 (0 ≤ k ≤ 2) ⇒ y(n) = 0Ta chỉ cần tính y(n) vớ i 0 ≤ n ≤ 4

+ Vớ i n = 0 thì y(0) = ∑=

−2

0

)(k

k h = h(0) + h(-1) + h(-2) =1 + 0 + 0 = 1

+ Vớ i n = 1 thì y(1) = h(-1) + h(0) + h(1) = 0 + 1 +1/2 = 3/2

h(n) x(n) y(n)


24/113

24

+ Vớ i n = 2 thì y(2) = h(2) + h(1) + h(0) = 3/2

+ Vớ i n = 3 thì y(3) = h(3) +h(2) + h(1) =1/2

+Vớ i n = 4 thì y(4) = 0

Vậy y(n) = )3().2

1()2().

2

3()1().

2

3()( −+−+−+ nnnn δ δ δ δ

1.3.2.3 Các tính chất của tích chập

Tích chập có các tính chất như sau:

- Tính chất giao hoán :

y(n) =x(n) * h(n)

Chứng minh:

Ta có : x(n) * h(n) = ∑∞

−∞=

−k

k nhk x )().(

Đặt m = n – k mnk −=⇔

Vớ i k = - +∞→⇒∞ m

Vớ i k = + −∞→⇒∞ m

⇒x(n) * h(n) = )(*)()().()().( n xnhmn xmhmhmn x mm

=−=−

∑∑

∞

−∞=

∞

−∞=

Vậy y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n)

-Tính chất kết hợ p:

y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)

Chứng minh :

y(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)] = ∑∞

−∞=

−−k

k nhk nhk x )](1*)(2).[(

h(n) x(n) y(n) x(n)h(n) y(n) ≡

≡ h1(n) h2(n) h1(n)*h2(n)

y(n)

x(n)y(n)y1x(n)


25/113

25

= ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−k l

lk nhlhk x ])(1).(2).[( = ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−−l k

lhlk nhk x )(2].)(1).([

= ∑∞

−∞=

−−l

lhlnhln x )(2)].(*)([ = ∑∞

−∞=

−−l

lnhln xh )](1*)(.[2

= h2(n) * [x(n) * h1(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) * h2(n)] = [x(n) * h1(n)] * h2(n)

Ngoài ra, theo hình vẽ ta có :

y1 = x(n) * h1(n)

y(n) = y1 * h2(n) =[x(n) * h1(n)] * h2(n)

= x(n) * [h1(n) * h2(n)] = x(n) * h(n)

⇒ h(n) = h1(n) * h2(n) = h2(n) * h1(n)

Từ đó ta có nhận xét: Khi mắc nối tiếp hai hệ thống có đáp ứng xung là h1(n) vàh2(n) thì ta đượ c một hệ thống tươ ng đươ ng có đáp ứng xung là h(n) = h1(n)*h2(n)

-Tính chất phân phối:

y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = x(n) * h1(n) + x(n) * h2(n)

Chứng minh :

Ta có : y(n) = x(n) * [h1(n) + h2(n)] = ∑∞

−∞=

−+−k

k nhk nhk x )](2)(1).[(

= ∑∞

−∞=

−+−k

k nhk xk nhk x )](2).()(1).([

= ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

−+−

k k

k nhk xk nhk x )(2).()(1).(

= x(n) *h1(n) + x(n) * h2(n)

Vậy y(n) = x(n) * [h1(n) +h2(n)] = x(n) *h1(n) + x(n) * h(n)

Khi mắc nối song song hai hệ thống có đáp ứng xung là h1(n) và h2(n) thì ta

đượ c một hệ thống tươ ng đươ ng có đáp ứng xung là h(n)= h1(n)+h2(n)

h1(n)

h2(n)

+

x(n) y(n)≡ h1(n)+h2(n)

x(n) y(n)


26/113

26

Ví dụ: Giả sử, ta có hai hệ thống có đáp ứng xung lần lượ t là h1(n) và h2(n) mắc nối

tiếp vớ i nhau vớ i: h1(n) = u(n), h2(n) = rect4(n).

Tìm đáp ứng xung h(n) của hệ thống tổng quát.

Giải:

Vì hai hệ thống có đáp ứng xung lần lượ t là h1(n) và h2(n) mắc nối tiếp vớ i nhau

nên: ∑∞

−∞=

−==∗=k

k nhk hnhnhnhnhnh )().()(*)()()()( 121221

Mà: ( )

≠

≤≤==

k

k k rect k h

0

301)(42

≠

≥

=

=

=

=

−+−+−+=

−+−+−+=−=⇒ ∑=

n

n

n

n

n

nunununu

nhnhnhnhk nhnhk

0

34

23

1201

)3()2()1()(

)3()2()1()()()( 11113

01

1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến và nhân quả


Một hệ thống tuyến tính bất biến đượ c gọi là nhân quả nếu đáp ứng ra của nó ở

thờ i điểm bất kỳ n = n0 hoàn toàn độc lập vớ i kích thích của nó ở các thờ i điểm là

n > n0 (ở tươ ng lai).

Hệ thống nhân quả luôn thỏa mãn điều kiện :

Nếu : Kích thích x(n) = 0 vớ i mọi n < k

Thì : Đáp ứng y(n) = 0 vớ i mọi n < k

1.3.3.2 Đáp ứ ng xung của hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả

Định lý : Một hệ thống tuyến tính bất biến đượ c gọi là nhân quả khi và chỉ khi

đáp ứng xung h(n) của nó thỏa mãn điều kiện sau :h(n) = 0 vớ i 0


27/113

27

x1(n) và x2(n).

Vớ i giả thiết rằng: x1(n) = x2(n) vớ i ∀ n < n0 (n0 là một hằng số) và

x1(n) # x2(n) vớ i ∀ n ≥ n0

Hai đáp ứng ra của hệ thống tuyến tính bất biến :

y1(n) = ∑∑∑ ∞

=

−

−∞=

∞

−∞=

−+−=−0

10

)().(1)().(1)().(1nk

n

k k

k nhk xk nhk xk nhk x

y2(n) = ∑∑∑ ∞

=

−

−∞=

∞

−∞=

−+−=−0

10

)().(2)().(2)().(2nk

n

k k

k nhk xk nhk xk nhk x

y(n) = y1(n) –y2(n) = ∑∑ ∞

=

−

−∞=

−−+−−0

10

)()].(2)(1[)(.)](2)(1[nk

n

k

k nhk xk xk nhk xk x

Vì x1(n) = x2(n) vớ i mọi n < n0, nên [x1(k) – x2(k)] = 0 vớ i mọi k < n0

Nên y(n) = y1(n) – y2(n) = ∑

∞

=−−

021 )()].()([

nk k nhk xk x (1.2)

Do hệ thống là nhân quả , nên nếu x1(n) – x2(n) = 0 vớ i mọi n < n0

Thì ta có : y(n) = y1(n) – y2(n) = 0 vớ i mọi n < n0 (1.3)

Vì x1(k) ≠ x2(k) vớ i mọi k 0n≥ nên (1.2) chỉ đúng vớ i (1.3) nếu :

h(n - k) = 0 vớ i mọi k 0n≥ (1.4)

Đặt m = n – k, khi đó vớ i ∀ k ≥ n0 và ∀ n < n0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể

viết (1.4) dướ i dạng : h(m) = 0 vớ i ∀ m < 0

Vì m cũng là số nguyên nên có thể đổi lại biến m thành biến n :

h(n) = 0 vớ i ∀ n < 0.

Đây cũng chính là (1.4), điều kiện cần của định lý đã đượ c chứng minh.

- Chứng minh điều kiện đủ : Ta cần chứng minh, nếu hệ thống là tuyến tính bất

biến có đáp ứng xung h(n) = 0 vớ i mọi n < 0, thì hệ thống đó là nhân quả.

Vì đáp ứng xung h(n) = 0 vớ i mọi n < 0 nên đáp ứng ra của hệ thống là y(n) =

h(n) * x(n) = 0 vớ i mọi n < 0. Nếu chứng minh đượ c x(n) = 0 vớ i mọi n < 0, thì theo

điều kiện (3) hệ thống tuyến tính bất biến là nhân quả.Vì h(k) = 0 vớ i mọi k < 0 nên ta có :

y(n) = ∑∑ ∞

=

∞

−∞=

−=−0

)().()().(k k

k n xk hk n xk h (1.5)


28/113

28

Vì đã có y(n) = 0 vớ i mọi n < 0, trong khi h(k) ≠ 0 vớ i mọi k ≥ 0, nên (1.5) chỉ

đúng nếu x(n - k) = 0 vớ i mọi n < 0 và mọi k ≥ 0 (1.6)

Đặt m = n – k, khi đó vớ i mọi n < 0 và k ≥ 0, thì m = n – k < 0, nên ta có thể

viết lại (1.6) dướ i dạng : x(m) = 0 vớ i mọi m < 0

Vì m cũng là số nguyên nên ta có thể đổi lại biến m thành n :

x(n) = 0 vớ i mọi n < 0

Điều kiện đủ của định lý đã đượ c chứng mịnh.

Như vậy, định lý đã đượ c chứng minh.

Ví dụ : Cho hai hệ thống

y1(n) = T[x(n)] = x(n+1) + x(n) + x(n-1)

y2(n) = T[x(n)] = x(n) + x(n-1)

Xét tính chất nhân quả của hai hệ thống tuyến tính bất biến trên.Giải :

h(n) là lối ra của hệ thống khi lối vào là dãy xung đơ n vị )(nδ

Ta có : h1(n) = T[ )(nδ ] = )1()()1( −+++ nnn δ δ δ

Do h1(-1) = 1 ≠ 0 nên hệ thống tuyến tính bất biến không nhân quả

h2(n) = T2[ )(nδ ] = )1()( −+ nn δ δ

Do h2(n) = 0 vớ i mọi n < 0. Vậy hệ thống là tuyến tính bất biến, nhân quả.

1.3.3.3 Dãy nhân quả Dãy x(n) đượ c gọi là nhân quả, nếu x(n) = 0 vớ i mọi n < 0

Giả sử ta có một hệ thống tuyến tính nhân quả và lối vào x(n) là một dãy nhân

quả thì đầu ra đượ c tính như sau :

y(n) = x(n) * h(n) = ∑∑ ∞

−∞=

∞

−∞=

−=−k k

k n xk hk nhk x )().()().(

Do x(k) = 0 vớ i mọi k < 0

Nên y(n) = ∑

∞

−∞=−

k k nhk x )().( , mà h(n - k) = 0 khi n – k < 0 ⇔ k > n

Vậy ta có công thức tính : y(n) = ∑=

−n

k

k nhk x0

)().( =∑=

−n

k

k n xk h0

)().(

Ví dụ: cho hệ thống tuyến tính bất biến có h(n) và x(n) như sau:


29/113

29

≠

≥

=

n

nnh

n

0

021

)(

≠

≥=

n

nn x

n

0

02)(

Tính y(n) = ?

Giải:Vì x(n) và h(n) đều là nhân quả, nên ta có:

( )

)0(41

41

2

1

421

21

.2)().()(

1

0 0 0

≥−

−

=

=

=−=

+

= = =

−

∑ ∑ ∑

n

k nhk xn y

nn

n

k

n

k

n

k

k

nk n

k

1.3.3.4 Tín hiệu và hệ thống phản nhân quả

Một hệ thống đượ c gọi là phản nhân quả nếu h(n) của nó thỏa mãn h(n) = 0 vớ i

mọi n > 0.

Một dãy x(n) đượ c gọi là phản nhân quả nếu x(n) = 0 vớ i mọi n > 0

Ví dụ : Hệ thống nào là phản nhân quả trong các hệ thống có h(n) dướ i đây:

(1) h1(n) = )3()2()1( +++++ nnn δ δ δ

( 2) h2(n) = )()1()2( nnn δ δ δ +−+−

Giải:

(1) h1(n) = 0 vớ i mọi n > 0, nên hệ thống là phản nhân quả.

(2) h2(n) = 0 vớ i mọi n < 0, nên hệ thống là nhân quả.

1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân quả ổn định


Một hệ thống đượ c gọi là ổn định nếu ứng vớ i dãy vào giớ i hạn, ta có dãy ra giớ i

hạn, ngh ĩ a là :

|x(n)| < ∞ vớ i mọi n thì |y(n)| < ∞ vớ i mọi n.

Ví dụ: Cho hai hệ thống : h1(n) = rect4(n), h2(n) = u(n), giả sử lối vào của hai hệ

thống là x(n) = u(n). Hãy xét sự ổn định của hai hệ thống trên.

Giải:

Ta có:

x(n) = u(n) =

≠

≥

n

n

0

01


30/113

30

⇒ |x(n)| < ∞ vớ i mọi n (vì x(n) = 0 hoặc n = 1)

Ta sẽ tìm lối ra của h1(n), h2(n) rồi dựa vào định ngh ĩ a để kết luận

Ta có : y1(n) = x(n) * h1(n) = ∑∞

−∞=

−k

k nhk x )().( 1

= ∑∑==

−=−3

0

3

01 )()().(

k k

k n xk n xk h

= x(n) + x(n - 1) + x(n - 2) + x(n - 3)

= u(n) + u(n-1) + u(n-2) + u(n-3)

y1(-1) = x(-1) + x(-2) + x(-3) + x(-4) = 0

y1(0) = x(0) + x(-1) + x(-2) + x(-3) = 1

y1(1) = x(1) + x(0) + x(-1) + x(-2) = 2

y1(2) = 3y1(3) = 4

y1(n) = 4 vớ i mọi n ≥ 4

Như vậy : |y(n)| < ∞ vớ i mọi n

⇒ h1(n) = rect4(n) là đáp ứng xung của một thống ổn định.

Vớ i h2(n) = u(n), ta thấy x(n) nhân quả, chiều dài vô hạn và h2(n) nhân quả chiều

dài vô hạn.

⇒ y2(n) = x(n) * h2(n) = ∑= −n

k k nhk x0

2 )().( = n + 1

⇒ y2(n) ∞→ khi n ∞→

Vậy ứng vớ i x(n) giớ i hạn, ta có y2(n) không giớ i hạn ⇒ Hệ thống không ổn định.

1.3.4.2 Định lý

Một hệ thống tuyến tính bất biến là ổn định khi và chỉ khi đáp ứng xung h(n) của

nó có S = ∑∞

−∞=n

nh |)(| < ∞

Ví dụ: Cho một hệ thống có h(n) = 3.u(n). Hãy xét sự ổn định của hệ thống .Giải:

Ta có: S = ∑∑∑ ∞

=

∞

−∞=

∞

−∞=

==0

|3||)(.3||)(|nnn

nunh = ∞

⇒ Hệ thống là không ổn định.


31/113

31

1.4 Phươ ng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

1.4.1 Phươ ng trình sai phân tuyến tính

Ta có thể biểu diễn một hệ thống tuyến tính bằng phươ ng trình sai phân tuyến

tính . Phươ ng trình này thể hiện mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào hay

mối quan hệ giữa dãy vào và dãy ra. Dạng tổng quát của phươ ng trình sai phân

tuyến tính:

∑=

N

k 0

ak.y(n - k) =∑=

M

r 0

br.x(n - r)

Trong đó: - ak = ak(n)

- br = br(n)

- N, M là các số nguyên dươ ng.

- N: là bậc của phươ ng trình sai phân.Phươ ng trình sai phân tuyến tính đượ c viết dướ i dạng khác như sau:

y(n) = ∑=

M

r 0

(br /a0).x(n - r) - ∑=

N

k 0

(ak /a0).y(n – k)

Ví dụ: Cho hệ thống đượ c đặc trưng bở i phươ ng trình sai phân tuyến tính sau:

(1) y(n) + y(n - 1) = x(n) + 2.x(n - 1) + x(n - 3)

(2) y(n) = x(n) + x(n - 3)

(3) y(n) = n.x(n)

Xác định : bậc, các hệ số ak, br của hai hệ thống trên.

Giải :

(1) Có bậc là 1, các hệ số a0 = 1, a1 = 1, b0 = 1, b1 = 2, b2 = 1

(2) Có bậc là 0, các hệ số a0 = 1, b0 = 1, b1 = 1

(3) Có bậc là 0, hệ số a0 = n

*) Nhận xét:

Hệ thống (1), (2), (3) đều là hệ thống tuyến tính, nhưng (3) không phải là hệ

thống bất biến vì hệ số của nó không phải là hằng số, và phươ ng trình y(n) không

phải là phươ ng trình sai phân hệ số hằng. Còn hệ thống (1), (2) là bất biến vì hệ số

của nó là hằng số, và các phươ ng trình (1), (2) là phươ ng trình sai phân hệ số hằng.


32/113

32

1.4.2 Phươ ng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng

Dạng tổng quát: ∑=

N

k 0

ak.y(n - k) =∑=

M

r 0

br.x(n - r)

Vớ i ak, br là các hằng số.

*) Cách giải phươ ng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng: Gồm 4 bướ c:

- Bướ c 1: Tìm nghiệm tổng quát của phươ ng trình thuần nhất (là phươ ng trình chỉ

có một thành phần): ∑=

N

k 0

ak.y(n - k) = 0

Nghiệm này ký hiệu là y0(n), y0(n) có dạng là hàm mũ α n

Tìm α rồi ta sẽ tính đượ c y0(n)

Để tìm đượ c α , ta thay y(n) = α n vào phươ ng trình thuần nhất ∑=

N

k 0

ak.y(n - k) = 0

⇔ a0.α n + a1. α

n-1 + a2. α n-2 +…+ aN. α

n-N = 0

⇔ α n-N(a0.α

n + a1. α n-1 +…+ aN) = 0

⇔ a0.α n + a1. α

n-1 +…+ aN = 0 (Đây là phươ ng trình đặc trưng của hệ thống).

Phươ ng trình này sẽ có N nghiệm: thực, đơ n, phức.

+ Nếu tất cả các nghiệm đều là nghiệm đơ n (α 1, α 2, …, α N )

⇒ y0(n) = A1. α 1n + A2. α 2

n +…+ α n

n ==

n

k 1

Ak.α kn

Dựa vào điều kiện ban đầu ta sẽ tìm đượ c Ak

+ Nếu có nghiệm bội

Giả sử α 2 là nghiệm bội bậc l, các nghiệm khác là đơ n (N - l)

⇒ y0(n) = A1. α 1n +(A20. α 2

n + A21. n.α 2n + A22. n

2. α 2n +…+A2.(l -1). n

l-1.α 2n)

+ AN. α Nn

- Bướ c 2: Tìm nghiệm riêng của phươ ng trình đầy đủ hai thành phần

Phươ ng trình đầy đủ hai thành phần là phươ ng trình ứng vớ i đầu vào x(n) ≠ 0, có

dạng tổng quát như sau : ∑=

N

k 0

ak.y(n - k) =∑=

M

r 0

br.x(n - r)

Nghiệm riêng này, ta ký hiệu là yp(n)

Thông thườ ng dạng của xp(n) đượ c chọn giống dạng của x(n).


33/113

33

- Bướ c 3: Tìm nghiệm tổng quát của phươ ng trình sai phân tuyến tính

Ký hiệu : y(n) = y0(n) + yp(n)

- Bướ c 4: Tìm các hệ số bằng cách dựa vào điều kiện ban đầu

*) Chú ý: Nếu tìm đượ c yp(n) là một thành phần của y0(n) thì ta sẽ xử lý giống như

trườ ng hợ p gặp nghiệm bội.

Ví dụ 1: Giải phươ ng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau:

y(n) = x(n) +2.y(n - 1)

vớ i kích thích x(n) = u(n) và điều kiện ban đầu y(-1) = 1

Giải:

- Bướ c 1: Phươ ng trình thuần nhất có dạng: y(n) – 2.y(n-1) = 0 (1)

Chọn dạng y0(n) là α n (α≠0), thay vào phươ ng trình (1) ta có:

α n – 2.α n-1 = 0⇔ α

n-1(α - 2) = 0 ⇔ α = 2

Nghiệm tổng quát của phươ ng trình thuần nhất là: y(n) = A1.2n

- Bướ c 2: Tìm nghiệm riêng yp(n)

Ta sẽ cho yp(n) giống dạng x(n)

yp(n) = B.u(n) + C

Để tìm B, C ta thay y(n) = yp(n), x(n) = u(n) vào phươ ng trình sai phân

B.u(n) + C = u(n) + 2.(B.u( n - 1 ) + C)⇔ B.u(n) + C = u(n) + 2.B.u(n - 1) +2.C (2)

Đồng nhất hai vế của phươ ng trình (2) ta có:

B = 1

C = 2.B.u(n - 1) +2.C = -2.u(n - 1)

⇒ yp(n) = u(n) - 2.u(n - 1)

- Bướ c 3: Tìm nghiệm tổng quát:

y(n) = y0(n) + yp(n) = A1.2n + u(n) - 2.u(n - 1)

- Bướ c 4: Tìm hằng số A1

Ta có: y(-1) = 1 ⇔ A1.2-1 + u(-1) - 2.u(-2) = 1 ⇔ A1 = 2

Vậy: y(n) = 2.2n + u(n) + 2.u(n - 1)


34/113

34

Ví dụ 2: Hãy giải phươ ng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau đây:

y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = x(n) – x(n-1) (1)

vớ i điều kiện đầu: y(n) = 0 (n < 0), x(n) = 4n

Giải:

-Bướ c 1: Tìm nghiệm tổng quát của phươ ng trình của phươ ng trình thuần nhất

y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = 0 (2)

Chọn dạng nghiệm của phươ ng trình thuần nhất là: y0(n) = αn (α≠0)

Thay y0(n) = αn vào phươ ng trình 2 ta đượ c:

αn – 3. αn-1 + 2. αn-2 = 0

⇔ αn-2.( α2 – 3. α + 2) = 0

⇔ α2 – 3. α + 2 = 0 ⇔

=

=⇔

2

1

2

1

α

α

Nghiệm tổng quát của phươ ng trình thuần nhất là: y0(n) = A1 + A2.2n

-Bướ c 2: Tìm nghiệm riêng của phươ ng trình có đầy đủ 2 thành phần yp(n)

y(n) – 3.y(n - 1) + 2.y(n - 2) = x(n) – x(n-1)

Chọn dạng nghiệm của yp(n) có dạng giống x(n), tức là: y(n) = B.4n

Thay y(n) = B.4n vào (1) ta đượ c:

B.4n – 3.B.4n-1 +2.B.4n-2 = 4n – 4n-1

⇔ B.4n

−=

+− 4114162431

n

⇔4

3.4

8

3.4. nn B =

Đồng nhất hệ số ta đượ c: B = 2

Nên nghiệm riêng của phươ ng trình (1) là: y(n) = 2.4n

-Bướ c 3: Tìm nghiệm tổng quát y(n) của phươ ng trình (1)

y(n) = y0(n) + yp(n) = A1 + A2.2n + 2.4n

-Bướ c 4: Tìm các hệ số dựa vào điều kiện ban đầu

y(-1) = y(-2) = 0 ⇔

=++=−

=++=−

016

2

4)2(

04

2

2)1(

21

21

A A y

A A y


35/113

35

−=

=

⇔

23

41

2

1

A

A

Vậy nghiệm của phươ ng trình sai phân là:

≠

≥+−=

n

nn y

nn

004.22.2

3

4

1

)(

1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối ra có các lối ra)

Là hệ thống mà lối ra của nó phụ thuộc vào lối vào ở hiện tại, quá khứ, và các

lối ra ở quá khứ.

y(n) = F[x(n); x(n - 1);…; x(n – M); y(n - 1);…; y(n - N))]

Hoặc y(n) = ∑=

M

r 0

br.x(n - r) - ∑=

N

k 1

ak.y(n - k) (N > 0)

⇒ Hệ thống số đệ quy là hệ thống mà phươ ng trình sai phân đặc trưng cho nó có

bậc N > 0

Ví dụ: y(n) = y(n - 1) + x(n) là hệ thống đệ quy (có bậc là 1)

*) Nhận xét:

- Hệ thống đệ quy có đáp ứng xung có chiều dài vô hạn.

- Ta luôn phải xét tính ổn định của hệ thống này.

- Hệ thống còn có tên gọi là IIR (Infinite duration Impulse Response System – Hệ

thống đáp ứng xung chiều dài vô hạn ).

1.4.4 Hệ thống số không đệ quy

Là hệ thống mà lối ra của nó không phụ thuộc vào các lối ra ở quá khứ.

y(n) = F[x(n), x(n - 1),…, x(n - M)]

⇒ Hệ thống số không đệ quy đượ c đặc trưng bở i phươ ng trình sai phân có bậc N= 0

y(n) =

∑=

M

r 0

br.x(n - r)

*) Nhận xét:

Giả sử, hệ thống có đáp ứng xung là h(n)

⇒ y(n) = x(n) * h(n) = h(n) * x(n) = ∑∞

−∞=

−k

k n xk h )().(


36/113

36

Mà y(n) = ∑=

M

r 0

br.x(n - r) = ∑=

M

k 0

bk.x(n - k)

bk vớ i 0 M k ≤≤

⇒ h(k) =

0 vớ i k còn lại

⇒ L[h(k)] = L[h(n)] = M + 1 < ∞

⇒ Hệ thống không đệ quy có đáp ứng xung chiều dài hữu hạn. Nó còn có tên goi

khác là hệ thống FIR (Finite Duration Impulse Response System – Hệ thống đáp

ứng xung chiều dài hữu hạn).

1.4.5 Các phần tử thự c hiện hệ thống bất biến

1.4.5.1 Phần tử cộng : Phần tử cộng dùng để cộng hai hay nhiều tín hiệu số, nó làphần tử không nhớ và đượ c ký hiệu như trên hình 1.14:

y(n) = x1(n) + x2(n) y(n) = ∑=

M

i 1xi(n)

Hình 1.14 Ký hiệu phần tử cộng

1.4.5.2 Phần tử nhân : Phần tử nhân dùng để nhân hai hay nhiều tín hiệu số, nó là

phần tử không nhớ và đượ c ký hiệu như trên hình 1.15.

y(n) = x1(n) * x2(n) y(n) = ∏=

M

i 1

xi(n)

Hình 1.15 Ký hiệu phần tử nhân.

+ + y(n) y(n) x1(n)

x2(n)

x1(n)

x2(n)

xi(n)

xM(n)

X X y(n) y(n) x1(n)

x2(n)

x1(n)

x2(n)

xi(n)

xM(n)


37/113

37

1.4.5.3 Phần tử nhân vớ i hằng số : Phần tử nhân vớ i hằng số dùng để nhân một tín

hiệu số vớ i một hằng số, nó là phần tử không nhớ và đượ c ký hiệu như trên hình

1.16.

Hình 1.16 Ký hiệu một phần tử nhân vớ i hằng số.

Để nhân tín hiệu số x(n) vớ i hằng số a, sử dụng bộ nhân hai số vớ i một đầu vào là

tín hiệu số x(n), còn đầu vào kia là giá trị mã của a.

1.4.5.4 Phần tử trễ đơ n vị : Phần tử trễ đơ n vị dùng để giữ trễ tín hiệu số x(n) một

mẫu, nó là phần tử có nhớ và đượ c ký hiệu như ở hình 1.17

Hình 1.17 Ký hiệu phần tử trễ.

Đối vớ i mạch phần cứng, để thực hiện giữ trễ tín hiệu số x(n), ngườ i ta sử dụng

bộ ghi dịch, thanh ghi chốt hoặc bộ nhớ , chúng thườ ng đượ c sản xuất dướ i dạng vi

mạch số 4 bit hoặc 8 bit.

Ví dụ: Vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống có phươ ng trình sai phân như sau:

y(n) =2.x(n) + 3.x(n - 1)

Giải:

Hình 1.18 Sơ đồ thực hiện hệ thống y(n) =2.x(n) + 3.x(n - 1).

x(n) y(n) = a.x(n)

a

x(n) y(n) = x(n - 1) D

x(n) y(n)

3

2

2. x(n)

x(n - 1) D 3.x(n - 1)

+


38/113

38

1.5 Tươ ng quan chéo của các tín hiệu

1.5.1 Tươ ng quan chéo

Hàm tươ ng quan chéo của hai dãy tín hiêu x(n), y(n) là một dãy đượ c xác định

như sau:

rxy(n) = ∑∞

−∞=

−m

nm ym x )().( (n là số nguyên)

*) Chú ý: Một trong hai dãy x(n) hoặc y(n) phải có năng lượ ng hữu hạn.

Ví dụ: Cho x(n) = (1 –2n

).rect3(n), y(n) = rect3(n)

Tìm rxy(n) = ?

Giải:

Ta có: 1- n/2 vớ i 0 2≤≤

n x(n) = (1 – n/2).rect3(n) =


1 vớ i 0 2≤≤ n

Và: y(n) =


Ta có:

rxy(n) = ∑∑=

∞

−∞=

−=−2

0

)().()().(mm

nm ym xnm ym x

(do

≠

≤≤−=

m

mm

m x

0

202

1)( )

⇒ rxy(0) = ∑=

2

0

)().(m

m ym x = x(0).y(0) + x(1)y(1) + x(2).y(2)

= 1 + 1/2 + 0 =3/2

rxy(1) = ∑=

−2

0

)1().(m

m ym x = x(0).y(-1) + x(1).y(0) +x(2).y(1)

= 0 + 1/2 + 0 = 1/2


39/113

39

rxy(2) = ∑=

−2

0

)2().(m

m ym x = x(0).y(-2) + x(1).y(-1) + x(2).y(0)

= 0 + 0 + 0 = 0

Vớ i n ≠ thì rxy(n) = 0

Vậy rxy(n) = (3/2). )1().2 / 1()( −+ nn δ δ 1.5.2 Hàm tự tươ ng quan

Trong định ngh ĩ a tươ ng quan chéo, nếu ta có x(n) ≡ y(n) thì ta có định ngh ĩ a tự

tươ ng quan.

Vậy hàm tự tươ ng quan đượ c định ngh ĩ a như sau:

rxx = ∑∞

−∞=

−m

nm xm x )().(

rxx(n) là hàm tự tươ ng quan của dãy x(n).


40/113

40

BÀI TẬP CHƯƠ NG 1

Bài tập 1.1:

Tìm quan hệ giữa dãy xung đơ n vị và dãy nhảy đơ n vị.

Bài tập 1.2:

Hãy tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơ n vị và dãy chữ nhật.

Bài tập 1.3:

Biểu diễn các dãy tín hiệu sau bằng cách liệt kê các phần tử của dãy:

a. )1(.1,0)(.2,0)1(.5,0)( 31 −−+−= nrect nunn x δ

b. )3(.2,0)1(.1,0)(.2,0)1(.5,0)( 332 −−−−++= nunrect nunrect n x

Bài tập 1.4

Tính năng lượ ng và công suất trung bình của các dãy tín hiệu sau:

a. )1()( 41 −= nrect n x

b. )(.21

)(2 nun xn

=

c. )1(.3.2)(3 −= nun x n

Bài tập 1.5

Kiểm tra tính chất tuyến tính, bất biến của các hệ thống sau:

a. )1().1()]([ −−= n xnn xT

b. 3)2(.2)]([ −−= n xn xT

Bài tập 1.6

Một hệ thống tuyến tính đượ c cho bở i sơ đồ sau:

Tìm đáp ứng ra y(n) của hệ thống vớ i:

a. x(n) = rect3(n), h(n) = rect5(n)

b. )()(),(.21

)( 4 nrect nhnun xn

=

=

h(n) x(n) y(n)


41/113

41

Bài tập 1.7

Hãy vẽ sơ đồ thực hiện của các hệ thống đượ c cho bở i các phươ ng trình sai phân

sau:

a.y(n) – 3.y(n-1) + 4y(n-2) = x(n) – x(n-1)

b.5.y(n) + 3.y(n-2) = -x(n) -3.x(n-2)

Các hệ thống này có phải là các hệ thống đệ quy không? Tại sao?

Bài tập 1.8

Hãy tìm đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng ra là:

...)(.21

...)1(.21

)()( +−

++−+= mn xn xn xn y

m

Nhận xét tính nhân quả và tính ổn định.

Bài tập 1.9Hãy giải phươ ng trình sai phân tuyến tính hệ số hằng say đây:

y(n) – 4.y(n-1) = x(n)

a.Vớ i điều kiện đầu: y(-1) = 0; x(n) = n2 + n + 2

b.Vớ i điều kiện đầu: y(n) = 0 (n < 0); x(n) = 4n

Bài tập 1.10

Tính tươ ng quan chéo của các dãy tín hiệu sau đây:

= → 1,3,2,1,1)(

0

n x

=→

3,2,1,1,1)(0

n y


42/113

42

CHƯƠ NG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ

TÍN HIỆU RỜ I RẠC TRONG MIỀN Z

2.1 Mở đầu

- Có nhiều cách để thể hiện một tín hiệu:

+ Biểu diễn nó trong miền thờ i gian n

+ Biểu diễn nó trong miền số phức (z)

+ Biểu diễn nó trong miền tần số liên tục (w)

+ Biểu diễn nó trong miền tần số rờ i rạc (k)

- Mỗi một cách biểu diễn có ưu, nhượ c điểm. Biểu diễn tín hiệu trong miền z thuận

lợ i cho việc khảo sát sự ổn định của hệ thống và triển khai hệ thống (hình 2.1).

ZT

IZT

Hình 2.1 Biểu diễn tín hiệu từ miền n sang miền Z và ngượ c lại.

Trong đó:

+ ZT: Z-Transform: Biến đổi Z

+ IZT: Inverse Z-Transform: Biến đổi Z ngượ c.

2.2 Biến đổi Z (ZT)

2.2.1 Định ngh ĩ a

2.2.1.1 Biến đổi Z hai phía, thườ ng nói là biến đổi Z

Biến đổi Z hai phía của dãy x(n) đượ c định ngh ĩ a như sau:

Ký hiệu: X(z) = ZT[x(n)] = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n (z là biến phức)

Ví dụ: Tìm biến đổi Z của các dãy sau:

a.x1(n) = )1()()1( +++− nnn δ δ δ

Miền n Miền Z


43/113

43

b. x(n) = en/2.u(n)

Giải:

a. Ta có: X1(z) = ZT[x1(n)] = ∑∞

−∞=n

x1(n).z-n

=∑−=

1

1n

( )1()()1( +++− nnn δ δ δ ).z-n

= 1.z1 + 1.z0 +1.z-1 = z + 1 + z

1 (vớ i mọi z ≠ 0)

b. Ta có: X2(z) = ZT[x2(n)] = ∑∞

−∞=n

x2(n).z-n = ∑

∞

=0n

en/2.z-n

= ∑∞

=0n

(e1/2.z-1)n = 1/(1 – e1/2.z-1) = z/(z – e1/2)

Để chuỗi hội tụ thì |e1/2.z-1| < 1 ⇔ z > e1/2

*) Nhận xét: Biến đổi z hai phía X(z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n là một chuỗi lũy thừa vô hạn, nó

tồn tại chỉ đối vớ i các giá trị của z mà tại đó chuỗi này hội tụ.

2.2.1.2 Biến đổi z một phía (dùng để giải phươ ng trình sai phân)

Biến đổi z một phía của dãy x(n) là:

X1(z) = ZT[x(n)] = ∑∞

=0n

x(n).z-n

*)Tính chất trễ của biến đổi Z 1 phía

Giả sử tồn tại biến đổi z một phía đối vớ i dãy tín hiệu x(n),

ZT1[x(n)] =X1(z), ta có:

ZT1[x(n-k)] = z-k ∑−

−=

−1

).(k l

l zl x + z-k. X1(z)

2.2.2 Sự tồn tại của biến đổi z

2.2.2.1 Mặt phẳng Z

- Ta có thể sử dụng mặt phẳng Z để biểu diễn miền hội tụ của biến đổi Z

- Z là một biến phức ⇒ z = Re(z) + j.Im(z)

- Ta có thể biểu diễn biến đổi z trên mặt phẳng gồm có hai trục (hình 2.2):

Trục thực để biểu diễn Re(z)


44/113

44

Trục ảo để biểu diễn Im(z)

Hình 2.2 Biểu diễn biến đổi Z trên mặt phẳng Z

Re[z] = r.cos(w)

Im[z] = r.sin(w)r = (Re(z) + Im(z))1/2

z = r.cos(w) + j.r.sin(w)

= r.(cos(w) + j.sin(w)) = r.e j.w

*) Chú ý: Trong mặt phẳng Z, có đườ ng tròn tâm O bán kính R = 1, z = r.e j.w

Đượ c gọi là vòng tròn đơ n vị, vòng tròn này có vai trò quan trọng trong việc đánh

giá một số tính chất của hệ thống như tính ổn định của hệ thống.

2.2.2.2 Tiêu chuẩn hội tụ CauchyDùng để xét sự hội tụ của một chuỗi (chuỗi lũy thừa). Một chuỗi có dạng là:

∑∞

=0

)(n

n x là hội tụ nếu lim |x(n)|1/n < 1

n ∞→

Ví dụ: Xét sự hội tụ của các dãy sau:

(1) ∑

∞

=0 )(n nu = 1 + 1 +…+ 1

(2) ∑∞

=0n

(2

1)n = 1 +

2

1 +…+ (

2

1)n + …

Giải:

(1) Ta có: lim |u(n)|1/n = lim |1|1/n = 1 vớ i mọi n ⇒ Chuỗi không hội tụ.

Im

Re

z

Re(z)

Im(z)

w

z


45/113

45

n ∞→ n ∞→

(2) Ta có: lim |x(n)|1/n = lim |(2

1)n|1/n = lim |

2

1| =

2

1 < 1 vớ i mọi n ⇒ Chuỗi hội tụ.

n ∞→ n ∞→ n ∞→

2.2.2.3 Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy để tìm miền hội tụ của biến đổi Z

Miền hội tụ của biến đổi Z là tất cả các giá trị của z để chuỗi X(z) hội tụ.

X(z) = ZT[x(n)] = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n =−

−=

1

n

x(n).z-n + ∑∞

=0n

x(n).z-n

Đặt: X2z) =−

−=

1

n

x(n).z-n và X1z) = ∑∞

=0n

x(n).z-n

- Tìm miền hội tụ của X1z)

X1z) hội tụ khi lim |x(n).z-n|1/n < 1

n ∞→

⇔ lim |x(n)|1/n.|z-n|1/n < 1

n ∞→

⇔ |z| > lim |x(n)|1/n = Rx-

n ∞→

- Tìm miền hội tụ của X2z)

X2z) =−

−=

1

n

x(n).z-n = ∑−∞=

0

n

x(n).z-n – x(0)

Đặt l =-n, ta đượ c:

X2z) = ∑∞

=0l

x(-l).zl – x(0)

Giả sử x(0) là hữu hạn

⇒ X2 (z) chỉ hội tụ khi và chỉ khi lim |x(-l).zl|1/l < 1

l ∞→

⇔ lim |x(-l)|1/l.z < 1 ⇔ z < 1/(lim |x(-l)|1/l) = Rx+

l ∞→ l ∞→

*) Kết luận về miền hội tụ (Region Convergence - RC)

+ Nếu Rx- ≥ Rx

+ thì miền hội tụ RC[X(z)] = φ


46/113

46

+ Nếu Rx- < Rx

+ thì RC[X(z)] = RC[X1(z)] ∩ RC[X2(z)]

*) Chú ý: Miền hội tụ của X(z) có thể rộng ra hay thu hẹp lại khi xuất hiện các

điểm không, các điểm không triệt tiêu các điểm cực trong quá trình tổ hợ p tuyến

tính.

Thông thườ ng X(z) thườ ng có dạng như sau:

X(z) =)(

)(

z D

z N , trong đó: N(z), D(z) là các đa thức của z.

- Điểm không : là những điểm tại đó X(z) = 0, ký hiệu là Zor

⇒ Điểm không chính là nghiệm của N(z)

- Điểm cực: là những điểm mà tại đó X(z) = ∞ , ký hiệu là Zpk

⇒Điểm cực chính là nghiệm của D(z)

Ví dụ 1: Tìm miền hội tụ X(z) của x(n) = ( 32 )|n|

vớ i mọi n.

Giải:

Ta có: X(z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n = ∑−

−∞=

1

n

x(n).z-n + ∑∞

=0n

x(n).z-n

+) Đặt X1z) = ∑∞

=0n

x(n).z-n = ∑∞

=0n

(3

2 )|n|.z-n =∑∞

=0n

[3

2 .z-1]n

X1(z) hội tụ khi và chỉ khi lim |[(3

2 ).z-1]n|1/n < 1

n ∞→

⇔ lim |(3

2 ).z-1| < 1 ⇔ |z| >3

2

n ∞→

+) Đặt X2(z) = ∑−

−∞=

1

n

x(n).z-n = ∑−

−∞=

1

n

(3

2 )|n|.z-n = ∑−∞=

0

n

(3

2 )|n|.z-n – 1

Đặt l = -n ⇒ X2(z) = ∑∞

=0l

(32 )l.zl – 1

X2(z) hội tụ ⇔ lim |(3

2 )l.zl|1/l < 1 ⇔ lim |(3

2 ).z| < 1 ⇔ z <2

3

l ∞→ l ∞→


47/113

47

⇒ X(z) = X1(z) + X2(z) = .

.3

21

1

z−

+

3

.21

1 z

−

Vớ i3

2 ⇔<

−=

−

=

=

= ∑ ∑

∞

=

∞

=

−

−

z z z

z

z

z z z X

n n

n

n

n

4

31

3

.4,

.43

.41

.43

3

1

3

.41

113.41.43.43)()1 0

02


48/113

48

2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng

Ta có một vài biến đổi Z thông dụng đượ c cung cấp trong bảng dướ i đây (hình 2.3):

Miền n Miền z Miền hội tụ

)(nδ 1 z∀ (n ≥ 0)

δ (n – n0) z-no

z∀ ≠ 0 hoặc z ≠ ∞

u(n) z/(z - 1) |z| > 1

-u(-n - 1) z/(z - 1) |z| < 1

an.u(n) z/(z - a) |z| > |a|

n.u(n) z/(z -1)2 |z| > 1

(cos w0n).u(n) (1 – z-1cos w0)/

(1 – 2.z-1.cos w0 + z-2)

|z| > 1

Hình 2.3: Bảng liệt kê một vài biến đổi Z thông dụng

2.3 Biến đổi Z ngượ c

Là quá trình tìm lại x(n) từ X(z) và miền hội tụ của nó.

Công thức tính biến đổi Z ngượ c như sau:

x(n) = ∫ΠC

j.2

1zn -1.x(z)dz (2.6)

C: là đườ ng cong khép kín và nó nằm trong miền hội tụ bao quanh gốc tọa độ,ngượ c chiều kim đồng hồ.

*) Các phươ ng pháp tìm biến đổi Z ngượ c

- Tính trực tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư

- Phươ ng pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa

- Phươ ng pháp khai triển thành tổng các phân thức tối giản

2.3.1 Tính trự c tiếp tích phân bằng lý thuyết thặng dư

*) Nội dung của phươ ng pháp

Biến x(n) = ∫ΠC

j.2

1zn -1.X(z)dz thành tổng ∑

K

Res[X(z).zn - 1]

Trong đó: Res[X(z).zn - 1] đượ c gọi là thặng dư của X(z).zn – 1

X(z).zn – 1 có bao nhiêu điểm cực (không kể đơ n, bội) thì có bấy nhiêu thặng dư.


49/113

49

Ta sẽ đi tìm Res[X(z).zn - 1] tại điểm cực z = zpk có bậc s (trong trườ ng hợ p có

nghiệm đơ n thì s = 1)

Đặt )( zψ = X(z).zn – 1(z - zpk)s

Khi đó: Res[X(z).zn - 1] pk z z=

=)!1(

1

−s(ds – 1 /d

z

s – 1)[ )( zψ ] pk z z=

Sau khi tính đượ c tất cả các thặng dư, đem cộng lại thì ta đượ c x(n)

Ở đây thì ds – 1 /dzs – 1 là đạo hàm bậc (s - 1) theo biến z.

Nếu s = 1 thì Res[X(z).zn - 1] ( z = zpk) = )( zψ ( z = zpk) = ψ (zpk)

Ví dụ: Tính biến đổi Z ngượ c của X(z) =

2

1− z

z ,|z| > 1

Giải:

Áp dụng công thức (2.6) : x(n) = ∫ΠC

j.2

1zn -1.x(z)dz

C là vòng tròn đơ n vị (C thuộc mền hội tụ)

Ta sẽ đi tìm các thặng dư của X(z).zn – 1 =

21

− z

z n, ta xét các trườ ng hợ p của n

*)Vớ i n ≥ 0

Ta có: X(z).zn – 1

= zn

/(z - 21

), có điểm cực là z = 1

ψ 1(z) = zn(z - 1)/(z - 1) = zn

⇒ x1(n) = Res[X(z).zn - 1]

2

1= z

= ψ 1(zpk)2

1= z

=n

21

*) Vớ i n < 0

Đặt: m = -n, ta đi tìm x(m)

x(m) = ∫Π C j..21

−

−

21 z

z m

.dz = ∫Π C j..21

−

21

1

z zm .dz

Như vậy: X(z).z-m-1 =

−

2

11

z zm

có hai cực là:


50/113

50

zp1 = 0 (nghiệm bội) và zp2 =2

1 (nghiệm đơ n).

Ta sẽ đi tìm hai thặng dư ứng vớ i hai cực trên

- Vớ i cực là z = 1, ta có: ψ 2(z) = 1/zm

Res[X(z).z-m-1]2

1= z

= ψ 2(z)|2

1= z

= 2m

- Vớ i cực là z = 0, ta có: ψ 3(z) = 1/(z -2

1)

⇒ Res[1/[zm.(z - 1)]] 0= z =)!1(

1

−m.dm – 1 /dz

m – 1[

2

11

− z

] 0= z

=)!1(

1

−m(-1)m-1(m - 1)!.(z -

21

)-m 0= z

= -2m

⇒ x(m) = Res[X(z).z-m-1]2

1= z

+ Res[1/[zm.(z - 1)]]2

1= z

=2m – 2m = 0

Vậy: x(n) = x1(n) + x(m) =n

21 .u(n)

2.3.2 Phươ ng pháp khai triển thành chuỗi lũy thừ a

*)Ý tưở ng: Xuất phát từ X(z) = ∑

∞

−∞=n x(n).z-n

Ta sẽ khai triển X(z) = ∑∞

−∞=n

x(n).z-n bằng cách lấy đa thức ở tử chia cho đa thức ở

mẫu của X(z), rồi tìm ra quy luật của dãy kết quả.

Cân bằng các hệ số thì ta suy ra đượ c x(n) = an

Ví dụ: Cho X(z) =2+ z

z

Tìm x(n) biết: a. |z| > 2 (dãy nhân quả)b. |z| < 2 (dãy phản nhân quả)


51/113

51

Giải:

a.

|z| > 2

Vớ i dãy nhân quả, ta triển khai X(z) thành chuỗi lũy thừa của z-1

( lấy z chia cho z - 2), ta đượ c:

X(z) = ∑∞

=0n

2n.z-n

⇒ x(n) = 2n.u(n)

b. |z| < 2

Vớ i dãy phản nhân quả, ta khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của Z

( Lấy z chia cho -2 + z), ta đượ c:

X(z) = - ∑−

−∞=

1

n

2n.z-n

⇒ x(n) = -2n.u(-n - 1)

2.3.3 Phươ ng pháp khai triển thành tổng của các phân thứ c tối giản

*) Ý tưở ng: Khai triển X(z) thành tổng của các phân thức tối giản. Sau đó tìm biến

đổi Z ngượ c của các phân thức tối giản, rồi đem cộng chúng lại ta đượ c x(n).

Một số biến đổi Z ngượ c của các phân thức tối giản (hình 2.4):

Miền Z Miền hội tụ Miền n

z/(z – a) |z| > |a| an.u(n)

z/(z – a) |z| < |a| -an.u(-n - 1)

1/(z – a) |z| > |a| an – 1.u(n - 1)

1)( +− ma z z |z| > |a|

!

)().1)...(1(m

nuamnnn mn−+−−

1)( +− ma z

z |z| < |a|

!

)1().1)...(1(

m

nuamnnn mn

−−+−−− −

Hình 2.4 Một số biến đổi Z ngượ c của các phân thức tối giản


52/113

52

*) Nội dung phươ ng pháp

Biểu diễn X(z) dướ i dạng: X(z) =)(

)(

z D

z N , trong đó: N(z) là đa thức bậc M của z, còn

D(z) là đa thức bậc N của đa thức.

Ta xét hai trườ ng hợ p liên quan đến bậc của đa thức:

(1) Nếu M > N thì X(z) = S(z) +)(

)(

zQ

zP

Trong đó: S(z) là đa thức bậc M – N, Q(z) = D(z) có bậc lớ n hơ n P(z)

(2) Nếu M ≤ N thì ta có:)(

)(

)(

)(

z D

z N

zQ

zP=

Ta sẽ khai triển)(

)(

zQ

zPthành tổng của các phân thức tối giản tươ ng ứng vớ i các

trườ ng hợ p sau:

*) Trườ ng hợ p 1: Q(z) có N nghiệm đơ n là z1, z2,…, zN

)(...

)()()(

)(

2

2

1

1

N

N

z z

A

z z

A

z z

A

zQ

zP

−++

−+

−= = ∑

= −

N

k k

k

z z

A

1

, trong đó:

Ak = pk z zk

z z zQ

zP=− )()(

)(

*)Trườ ng hợ p 2: Q(z) có nghiệm bội

Giả sử Q(z) có một nghiệm bội, nghiệm đó là nghiệm thứ l có bậc là s⇒ Còn lại N – s nghiệm đơ n

⇒ ∑∑=

−

≠= −+

−=

s

j j

pl

js N

lk k pk

k

z z

C

z z

A

zQ

zP

1,1 )()(

)(

Ta sẽ đi tìm Ak, C j

Ak = pk Z Z pk

z z zQ

zP=− )()(

)(

C j = )!(

1

js − ( ) pl z z

s

pl js z

js

z z zQ

zP

d

d

=−

−

−

)(

)(

Ví dụ 1 : Tìm biến đổi Z ngượ c của X(z), vớ i X(z) =)2).(1( −− z z

z |z| > 2

Giải:

Ta khai triển X(z) thành các phân thức tối giản như sau:


53/113

53

X(z) =)2).(1( −− z z

z = -

)2(

2

)1(

1

−+

− z z

⇒ x(n) = -u(n - 1) + 2n.u(n - 1)

Ví dụ 2: Tìm biến đổi Z ngượ c của X(z) sau:

1,)2.()1(

.2)(2

>−−

= z z z

z z X

Giải:

Ta có:2

212 )1(12)2.()1(

2)(

−+

−+

−=

−−=

z

C

z

C

z

A

z z z

z X

Vớ i:

22

2

2

)2(

2

2

2)1.(

)2.()1(

2

)!12(

1

2)1(

2)2(

)2.()1(

2

12

121

'

12

212

12

1

2222

−=

−=

−=

−

−=

−

=

xử lý tín hiệu số - vũ văn Điền

Documents