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VIBROACOUSTIQUE DES
STRUCTURES PLANES
3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE
PLAQUE INFINIE
4 - RAYONNEMENT D'UNE PLAQUE RECTANGULAIRE
5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE
Transparence acoustique:CAS D'UNE PLAQUE INFINIE
� Rayonnement acoustique
��Transparence acoustiqueTransparence acoustique
milieu 2milieu 2
Plaque mince
milieu 1milieu 1
z
( )yxw ,
( )zyxp ,,2( )zyxp ,,1
111 ,, kcρ 222 ,, kcρ
( ) ( )+− == 0,,0,, 21 yxuvyxu zz
Transparence acoustique d’une plaque infinie
Milieu 1 : ondes acoustiques
Interface milieu 1 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires
Plaque : déplacement du aux ondes de flexion
Milieu 2 : ondes acoustiques
( ) ( ) 0,,,, 1211
2 =+∇ zyxpkzyxp
( )( )yxw
z
zyxp
z
,,,
12
0
1 ρω=∂
∂
=
Interface milieu 2 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires
( ) ( ) ( ) ( )0,,0,,,, 2124 yxpyxpyxwhyxwD −=−∇ ρω
( )( )yxw
z
zyxp
z
,,,
22
0
2 ρω=∂
∂
=
( ) ( ) 0,,,, 2222
2 =+∇ zyxpkzyxp
Transparence acoustique d’une plaque infinie
Milieu 1 : ondes acoustiques
Onde plane incidente : angles et
( ) ( ) 0,,,, 1211
2 =+∇ zyxpkzyxp
( )
( ) θ
θφθφθ ω
cos
coscossinsinsininc
,
,,,
jkz
jkzjkyjkx
eyxp
ckePzyxp
−
−−−
=
==
ϕθ
Ondes planes incidente + réfléchie
( ) ( ) [ ]θθ coscos1 ,,, jkzjkz
eReyxpzyxp += −
Continuité des vitesses …. ( ) ( ) zjkzeTyxpzyxp−=⇒ ,,,2
( ) θ222222 sinkkkkkk tyxtz −=+−=t
tc
kω
=
Transparence acoustique d’une plaque infinie
Toujours propagative
kkt =θθ =t
Onde transmiseOnde transmise)( cckk tt ==
ttkk θθ sinsin =c
c
k
k t
k
t
θθθ
sinarcsin
sinarcsin ==
Transparence acoustique d’une plaque infinie
Onde transmiseOnde transmise
ttkk θθ sinsin =c
c
k
k t
k
t
θθθ
sinarcsin
sinarcsin ==
Toujours propagative
max0 θθ ≤≤ t
c
c
k
k t
t
arcsinarcsinmax ==θ
)( cckk tt <>
tk
k
Transparence acoustique d’une plaque infinie
Onde transmiseOnde transmise
ttkk θθ sinsin =c
c
k
k t
k
t
θθθ
sinarcsin
sinarcsin ==
Evanescente Evanescente )sin( θkk t <
Propagative )sin( θkk t >
ktk
)( cckk tt ><
20
πθ ≤≤ t
t
t
LIMc
c
k
karcsinarcsin ==θ
VIBROACOUSTIQUE DES
STRUCTURES PLANES
3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE
PLAQUE INFINIE
4 - RAYONNEMENT D'UNE PLAQUE RECTANGULAIRE
5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE
CAS D'UNE PLAQUE FINIE
� Rayonnement acoustiqueRayonnement acoustique
�Transparence acoustique
milieu 2milieu 2
Plaque mince
milieu 1milieu 1
z
( )yxw ,
( )zyxp ,,2( )zyxp ,,1
111 ,, kcρ 222 ,, kcρ
( ) ( )+− == 0,,0,, 21 yxuvyxu zz
( ){ } 0,CL =yxwConditions aux limites
PLAQUE FINIE
Milieu 1 : ondes acoustiques
Interface milieu 1 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires
Plaque : déplacement du aux ondes de flexion
Milieu 2 : ondes acoustiques
( ) ( ) 0,,,, 1211
2 =+∇ zyxpkzyxp
( )( )
=∂
∂
= Syxwz
zyxp
z sur,
ailleurs0,,
12
0
1
ρω
Interface milieu 2 / plaque : continuité des vitesses acoustiques et vibratoires
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,,0,,,,, 2124
yxpyxpyxFyxwhyxwD −+=−∇ ρω
( ) ( ) 0,,,, 2222
2 =+∇ zyxpkzyxp
( )( )
=∂
∂
= Syxwz
zyxp
z sur,
ailleurs0,,
22
0
2
ρω
( ){ } 0,CL =yxw
Transformée de Fourier Spatiale
( ) ( ) ( )dydxeyxwkkW
ykxkj
yxyx∫∫
+∞
∞−
++∞
∞−
= ,,
Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS)
( ) ( ) ( )
ππ 22,, yxykxkj
yx
dkdkekkWyxw yx∫∫
+∞
∞−
+−+∞
∞−
=
analyse
synthèse
La TFS 2D permet de généraliser les résultats de la plaque infinie à
une structure plane quelconque :
� Pour une plaque infinie une composante de flexion est représentée
par un point sur le spectre des nombres d’onde
� Pour une plaque finie les multiples réflexions sur les bords
conduiront à de multiples points sur le spectre des nombres d’onde
Exemple
Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS)
( ) ( ) ( )
( )yxj
yyjk
yyxxjk
xx
yxykxkj
yx
xx
yx
yx
eW
dkek
dkekW
dkdkekkWyxw
γγ
π
πγδ
πγδ
ππ
+−
∞+
∞−
−∞+
∞−
−
+∞
∞−
+−+∞
∞−
=
−−=
=
∫∫
∫∫
20
0
4
2)(
2)(
22,,
=
=
ϕγγ
ϕγγ
sin
cos
y
xyk
xk
γ
ϕ
Si le spectre de nombre
d’onde est représentée par
)()(),( 0 yyxxyx kkWkkW γδγδ −−=
Plaque finie : solution générale
20222 et ,, ρρ ==== kkccppPour simplifier
Transformée de Fourier de l’équation de Helmholtz
( ) ( ) ( )dydxezyxpzkkP
ykxkj
yxyx∫∫
+∞
∞−
++∞
∞−
= ,,,,
Transformée de Fourier Spatiale 2D (TFS) de la pression
( ) ( ) ( )
ππ 22,,,, yxykxkj
yx
dkdkezkkPzyxp yx∫∫
+∞
∞−
+−+∞
∞−
=
analyse
synthèse
( ) ( ){ } ( ){ } ( ) 0,,,,,,,, 2222 =+∇=+∇ zkkPkzyxpTFSzyxpkzyxpTFS yx
Plaque finie : solution générale
donc
( ){ } ( ) ( ) ( ) ),,(,,,,
,, 222
2
2
22
zkkPkky
zyxp
x
zyxpTFSzyxpTFS yxyx +−=
∂
∂+
∂
∂=∇
Dérivée de la pression
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ππ
ππ
22,,
22,,
,,
yxykxkj
yxx
yxykxkj
yx
dkdkezkkPjk
dkdke
xzkkP
x
zyxp
yx
yx
∫∫
∫∫
∞+
∞−
+−∞+
∞−
+∞
∞−
+−+∞
∞−
−=
∂
∂=
∂
∂
( ) ( ) ( )
ππ 22,,,, yxykxkj
yx
dkdkezkkPzyxp yx∫∫
+∞
∞−
+−+∞
∞−
=
),,(),,(
zkkPjkx
zyxpTFS yxx−=
∂
∂( ) ),,(
),,(zkkPjk
x
zyxpTFS yx
n
xn
n
−=
∂
∂
( ) ( ) ),,(),,(
zkkPjkjkyx
zyxpTFS yx
n
y
m
xmm
nm
−−=
∂∂
∂ +
Plaque finie : solution générale
Transformée de Fourier de l’équation de Helmholtz
avec
devient
( )( ) ( ) 0,,
,,222
2
2
=−−+∂
∂zkkPkkk
z
zkkPyxyx
yx
avec pour solution
( ) ( ) ( ) zjkyx
zjkyxyx
zz ekkBekkAzkkP ,,,, += −
( ){ } ( ) 0,,,, 22 =+∇ zkkPkzyxpTFS yx
( ){ } ( ) ),,(,, 222 zkkPkkzyxpTFS yxyx +−=∇
Éliminé par la condition de Sommerfeld
Plaque finie : solution générale
relation de continuité
Pression rayonnée dans le domaine des nombres d’onde
et dans l’espace après TFS inverse
( ) ( )yx
z
yxkkW
z
zkkP,
,,0
2
0
ρω=∂
∂
=
( ) ( ) ( )dydxeyxwkkW
S
ykxkj
yxyx∫∫
+= ,,
( ) ( )yxzjk
z
yx kkWek
kcjzkkP z ,,, 0 −=
ρω
( ) ( ) ( )
ππ
ρω
22,,,
222
222
0 yxykxkj
yx
zkkkj
kkk
dkdkekkWe
ckjzyxp yxyx
yx
∫∫∞+
∞−
+−−−−
−−
∞+
∞−
=
Solution pour la pression en champ lointain
coordonnées sphériques
Quand méthode de la phase stationnaire
θ
φθ
φθ
cos
sinsin
cossin
Rz
Ry
Rx
=
=
=
( )( )
( )ππ
ρωφθθφθφθ
22,,,
cossinsincossin
0yx
yx
z
kkkjR dkdkkkW
k
ejRp
zyx ++−∞+
∞−
∞+
∞−∫∫=
1>>kR
( ) ( )φθφθρωφθ sinsin,cossin,, 02
kkWR
eRp
jkR−
−≈
φθφθ sinsinet cossin kkkk yx ==φ
k
Utilisation de la représentation modale
Conditions aux limites : 4 bords simplement supportés
Solution libre
Pulsation propres
Déformée modale
( )yx
mnL
yn
L
xmyx
ππφ sinsin, =
( ) [ ] ( )∑∑∞
=
∞
=
+=1 1
,cossin,,m
mn
n
mnmnmnmn yxtBtAtyxw φωω
h
D
L
n
L
m
yx
mnρ
πω
+
=
222
Plaque rectangulaire SS
Mode (1, 1) Mode (2, 1) Mode (1, 2) Mode (2, 2)
d’après Dan Russell, www. kettering.edu/~drussell/
( )yx,11φ
( )yx,21φ
( )yx,12φ
( )yx,22φ
Excitation forcée des plaques
Equation du déplacement
masse modale généralisée
force modale généralisée
( )[ ]
( )yxjM
eFyxw mn
m n mnmnmnmn
tj
mn ,2
,,22
φζωωωω
ωω
∑∑+−
=
( )∫ ∫=x yL L
mnmn dydxyxhM0 0
2 ,φρ
( ) ( )∫ ∫=x yL L
mnmn dydxyxyxfF0 0
,, φ
anti-résonance
ω
Cwlog20
ωlogCωB
ωA
ω
Bwlog20
Awlog20
wlog20
Pression sur la plaque
Pression pariétale
Utilisation de la base modaleUtilisation de la base modale
( )( ) ( )
ππ
ρω
22
,0,,
222
0 yxykxkj
yx
yx dkdke
kkk
kkWkcjyxp yx +−
∞+
∞−
∞+
∞−∫∫
−−=
( ) ( ) ( )yxayxw mn
nm
mn ,,,
φω∑∞
=
( ) ( )( ) ( )( ) ( )∫∫
≠
==
S
mn
klmnnmlk
nmlkNdydxyxyx
,, quand 0
,, quand ,, φφ
Objectif : exprimer le déplacement dans la base modale
pour la pression pariétale( ) ( ) ( )yxmn
nm
mnyx kkakkW ,,,
Φ=∑∞
ω
Pression sur la plaque
Pression pariétale s’écrit de deux façons différentes
… en exprimant la vitesse sur la basse modale
… en recherchant une décomposition de la pression pariétale sur la base des fonctions orthogonales
( ) ( )( ) ( )
ππωρω
22
,0,,
222,
0yx
yx
ykkj
yxmn
nm
mn
dkdk
kkk
ekkakcjyxp
yx
∫∫∑∞+
∞−
+−∞+
∞−
∞
−−
Φ=
( )yxpq ,φ
( ) ( )yxbyxp kl
lk
kl ,0,,,
φ∑∞
=
Pression sur la plaque
L’utilisation de la seconde expression pour la pression
conduit aux coefficients
En multipliant chaque terme par et en utilisant la relation d’orthogonalité
( ) ( ) ( ) ( ) pqpqpqkl
lk
klpq Nbdydxyxyxbdydxyxyxp == ∫ ∫∑∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
∞∞
∞−
∞
∞−
,,,0,,,
φφφ
( )yxpq ,φ
( )( )
( ) ( )
ππφω
ρω
22,
,
222,
0 yxykxkj
pq
yx
yxmn
nm
mn
pq
pq
dkdkdydxeyx
kkk
kka
N
kcjb yx +−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∞
∫∫∫∫∑−−
Φ=
( )yxpq kk −−Φ ,
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
= dydxyxyxpN
b pq
pq
pq ,0,,1
φ
Pression sur la plaque
Pression pariétale prend la forme
( ) ( )ωωω mnpq
nm
mnpq Zajb ∑∞
=,
La pression pariétale peut s’écrire sous la forme suivante
avec l’impédance de rayonnement
( ) ( ) ( )ππ
ρω
22,,
222
0 yxyxpqyxmn
yxpq
mnpq
dkdkkkkk
kkk
k
N
cZ −−ΦΦ
−−= ∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxbyxp pqmnpq
nm
mn
qp
pq
qp
pq ,,0,,,,,
φωωωφ ∑∑∑∞∞∞
==
Impédance de rayonnement
• les termes directs sont positifs avec une partie réelle qui
tend en hautes fréquences vers l'impédance caractéristique
• les termes croisés oscillent autour de zéro
Quantité complexe ( ) ( ) ( )ωωω mnpqmnpqmnpq IjRZ +=
f
c
Z
0
1111Reρ
c
Z
0
1111Imρ
0
1
f
4.0+
4.0−
c
Z
0
1113Reρ
d’après Sandman 1975
Réponse vibratoire couplée de la plaque
Les déformées modales satisfont les conditions aux limites et vérifient l’équation homogène
Equation dynamique (pression dans le demi espace z>0)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxF
yxahyxaD
pqklpq
qp
kl
lk
mn
nm
mnmn
nm
mn
,,
,,
,,
,
24
,
φωωω
φωρωφω
∑∑
∑∑∞∞
∞∞
−=
−∇
( ) ( ) ( ) ( )0,,,,, 24yxpyxFyxwhyxwD −=−∇ ρω
( ) ( ) 0,, 24 =−∇ yxhyxD mnmnmn φρωφ
Pulsation propre du mode (m,n)
Réponse vibratoire couplée de la plaque
Equation dynamique (pression dans le demi espace z>0)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxF
yxahyxaD
pqklpq
qp
kl
lk
mn
nm
mnmn
nm
mn
,,
,,
,,
,
24
,
φωωω
φωρωφω
∑∑
∑∑∞∞
∞∞
−=
−∇
module de Young complexe avec un facteur de perte
et
η( )ηωω jmnmn += 122 ( ) ( ) ( )yxhjyxD mnmnmn ,1, 24 φρηωφ +=∇
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) ( ) ( )yxZajyxF
yxjah
pqlkpq
qp
kl
kl
mnmn
nm
mn
,,
,1
,,
22
,
φωωω
φωηωωρ
∑∑
∑∞∞
∞
−=
−+
Réponse vibratoire couplée de la plaque
En réalisant l’opération
orthogonalité des déplacements modaux
( ) { } dydxyxs
rs Eq∫∫ ,φ
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) rsmnrs
nm
mnrsrsmnrs NZajyxFjaNh ωωωωηωωρ ∑∞
−=−+,
22 ,1
avec la force modale généralisée appliquée au mode (r,s)
( ) ( ) dydxyxyxFjF rsS
rs ,, φω∫∫−=
( )rs
rs
nm
mnmnrsN
FaA =∑
∞
ω,
[ ] ( )ωωδδηωωωρ mnrsnsmrrsrsmnrs ZjjhA ++−= 222
Réponse vibratoire couplée de la plaque
L’expression
Peut se mettre sous forme matricielle en utilisant une base modale tronquée
indices i modes (r,s)
indices j modes (m,n)[ ] ijij faA =
faA =
⇒
⇒
( )ωmnj aa =rs
rsi
N
Ff =rsmnij AA =
( )rs
rs
nm
mnmnrsN
FaA =∑
∞
ω,
[ ] ( )ωωδδηωωωρ mnrsnsmrrsrsmnrs ZjjhA ++−= 222
éléments diagonaux
Réponse vibratoire couplée de la plaque
Détermination des coefficients en inversant la matrice associée à la base modale tronquée
( )ωmna
fAa1−=
( ) ( ) ( )yxayxw mn
N
nm
mn ,,,
φω∑=
( ) ( )yxAN
Fyxw mn
N
nm mnmnmn
mn ,,,
φ∑=
Pour les fluides légers (air), les termes non diagonaux
peuvent être négligés
VIBROACOUSTIQUE DES
STRUCTURES PLANES
3 - ANALYSE ET REPRESENTATION DANS LE CAS D'UNE
PLAQUE INFINIE
4 - RAYONNEMENT D'UNE PLAQUE RECTANGULAIRE
5 - PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE
PUISSANCE ACOUSTIQUE RAYONNEE
La puissance acoustique
facteur de rayonnement
Essentiellement deux approches :� calculer la pression pariétale en utilisant l’impédance modale de
rayonnement (méthode du champ proche)
� calculer la pression par l’intégrale de Rayleigh en champ lointain
{ } { } dSwZdSupdSS
r
S
n
S
∫∫∫ ==⋅=Π ∗ 22
Re2
Re2
1ˆ
ωnI
{ }
∫
∫=
S
Sr
dSw
dSwcZ
2
20Re ρ
σ
∫
Π=
S
dSwc 2
20
2ωρ
σ
Puissance rayonnée par une plaque finieméthode du champ lointain
Intensité radiale sur un hémisphère de rayon infini
conduit à la puissance acoustique rayonnée
Inconvénient: calcul long avec les expressions analytiques de
Autres solutions : calcul purement numérique en réalisant la transformée
de Fourier du champ vibratoire (Williams)
( )( )
c
RpRI r
0
2
2
,,,,
ρ
ϕθφθ ≈
( ) ( )∫∫=Π2
0
22
02
40 sin,
8
ππ
φθθπ
ωρω ddkkW
cyx
φθ cossin0kk x = φθ sinsin0kk y =
( ) ( ) ( )yxmn
nm
mnyx kkakkW ,,,
Φ=∑∞
ω
Puissance rayonnée par une plaque finieméthode du champ proche
Milieu 2
Relation d’orthogonalité
( ) ( ){ }∫∫∗=Π
sz dxdyyxuyxp 0,,0,,Re
2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) dydxyxyxaZa
dydxyxayxZa
rss
pq
sr
rsmnpqmn
qpnm
sqp sr
rsrspqmnpqmn
nm
,,Re2
,,Re2
,,,
2
, ,,
2
φφωωωω
φωφωωω
∫∫∑∑∑
∫∫ ∑ ∑∑
∞∗
∞∞
∞ ∞∗
∞
=
=Π
( ) ( ) ( )∫∫ =⇒=s
pqpq Ndxdyyxqpsr ,,, 2φ
( ) ( ) ( ){ } pq
qp
pqmnpqmn
nm
NaZa∑∑∞
∗∞
=Π,,
2
Re2
ωωωω
Puissance rayonnée par une plaque finie
fluide léger : seuls les termes diagonaux de sont
conservés
Facteur de rayonnement
( )ωmnpqZ
( ) ( ){ } mnmnmn
nm
mn NZa ωωω
Re2 ,
22
∑∞
=Π
( )∫∫
Π=
Sdydxyxw
c 22
0 ,2
ωρσ
( ) ( )rs
sr
rsS
Nadydxyxw2
,
2, ∑∫∫ = ω
( ) ( ){ }
( )
( ){ }c
Z
Nac
NZa
mnmn
mnmn
mnmnmnmn
mn
0
22
0
22
Re2
Re2
ρ
ω
ωωρ
ωωω
σ
=
=
Facteur de rayonnement modal
Wallace (1972) obtient une expression du facteur de rayonnement pour les modes à partir d’une expression analytique de la pression en champ lointain
pour une une plaque rectangulaire simplement supportée
( )qp,
( )( ) ( )
dydxR
eLyqLxparp
yxL jkR
yx
L
pq
∫∫−−
=00
02 sinsin
2,,
ππ
π
ρωφθ
( ) ( ) ( )yxpqpq LyqLxpayxw ππ sinsin, =
Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire
Sans introduire tout de suite la notion de mode (th. Parseval)
En exprimant
( ) ( ){ } ( ) ( ){ }ππ 22
0,,0,,Re2
10,,0,,Re
2
1 yxyxzyx
sz
dkdkkkUkkPdydxyxuyxp ∫∫∫∫
+∞
∞−
∗+∞
∞−
∗ =
( ) ( )
( )∫∫
∫∫
∞+
∞−
∞+
∞−
∞+
∞−
∗∞+
∞−
−−=
−−=Π
ππ
ωρ
ππ
ρω
22
,Re
2
22
,,Re
2
222
22
0
222
02
yx
yx
yx
yx
yx
yxyx
dkdk
kkk
kkWkc
dkdk
kkk
kkWkkWck
( ) ( )0,,et0,, yxzyx kkUkkP∗
Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire
quatre bords simplement supportés
( )
=
b
yq
a
xpyxpq
ππφ sinsin,
( ) ( ) ( )yxyx qppq φφφ =,
Simplification : la dimension y est supposée infinie
( ) ( )∫+
− −
Φ=Π
k
k
x
x
yxpp dk
kk
kkkac
π
ωωρ
2
,
2 22
222
0
{ ( ) ( ) } ( ) ( ) ( )( )
222
2
2sinsin
−
−=Φ⇒=
π
πππφ
pak
pakpakaxpxTF
x
xxpp
Puissance rayonnée par une plaque
quatre bords simplement supportés
( ) ( )∫+
− −
Φ=Π
k
k
x
x
yxpp dk
kk
kkkac
π
ωωρ
2
,
2 22
222
0 ( ) ( )( )
( )
222
2
2sin
−
−=Φ
π
ππ
pak
pakpak
x
xxp
( )xp k2Φ + +
xk
yk
Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire
quatre bords simplement supportés
valeurs maximales du spectre quadratique de nombre
d'onde
xk
yk
bqk
apk
y
x
π
π
±=
±=
Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire
quatre bords simplement supportés
Mode de bord
xk
yk
bqk π<
apk π>
Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire
quatre bords simplement supportés
Mode de bord
xk
yk
bqk π>
apk π<
Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire
quatre bords simplement supportés
Mode de coin
xk
yk
bqk π>
apk π<
Puissance rayonnée par une plaque rectangulaire
quatre bords simplement supportés Modes de coin
Modes de bord
Modes de bord
Facteur de rayonnement approché pour une plaque rectangulaire
Formule de Mainanik
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
>−
≈+
<++
=−
cc
cc
ccc
ffff
ffra
ffgargar
,1
,11
,122
21
212
λ
αλαλ
σ
bar = cc fc=λ ( ) Dhcf c ρπ22=
( ) ( )
>
<−
−
=
c
c
ff
ffg
5.00
5.01
2142
2
41 αα
α
πα ( )( )
( ) 232
2
221
21
1ln1
4
1
α
αα
αα
πα
−
+−
+−
=g
cff=α
Méthode simplifiée de Müller et al
Facteur de rayonnement pour une plaque finie
cf
dB/oct 15
dB/oct 5,1
dB/oct 6
a
b
σL
0
− 1
82
22
S
P
fS
c
c
S
c
2
log10λ
( ) baSbaPD
hcf
f
cc
c
c =+=== 22
2 ρ
πλ
Méthode modale – logiciel ADNR du GAUS
Facteur de rayonnement pour une plaque finie
en acier de 1 m x 0.8 m (amortissement 0.2%), force en 0.35 m x 0.35 m
2 mm
Expansion modale de 50
Müller fréquence critique : 5605 Hz
fréquence 1 : 12.5 Hz - L1 = -11.3 dB
Méthode modale – logiciel ADNR du GAUS
Facteur de rayonnement pour une plaque finie
en acier de 1 m x 0.8 m (amortissement 0.2%), force en 0.35 m x 0.35 m
Expansion modale de 50
1 mm
Müller fréquence critique : 11209 Hz
fréquence 1 : 6.3 Hz - L1 = -14.3 dB
Facteur de rayonnement pour une plaque finie
cf
a
b
σL
0
− 1
82
22
S
P
fS
c
c
S
c
2
log10λ
1h1 oct
1 oct
Influence de l’épaisseur
12 2hh =
12 2hh =
dB 6
Facteur de rayonnement pour une plaque finie
cf
a
b
σL
0
− 1
82
22
S
P
fS
c
c
1
2
2log10
S
cλ
1S
1 oct
Influence de la surface
12 2SS =
dB 3
1S
12 2SS =1
2
log10S
cλ
12 2SS =
Facteur de rayonnement pour une plaque raidie
10 mm
5 mm1 mm
non raidie
raidie
acier de 1 m x 0.8 m
(amortissement 0.2%),
Méthode modale
Plaque bafflée avec des conditions aux limites arbitraires
(méthode variationnelle et méthode de Rayleigh-Ritz,
Degeorges 1988, Berry et al 1990)
Influence des conditions aux limites résultats par mode
acier
0.55 m x 0.45 m
(r = 1.2),
épaisseur 1 mm,
fréquence critique 12 kHz
Le facteur de rayonnement d’une plaque
encastrée est pratiquement le double de
celui d’une plaque simplement supportée
encastrée
simplement supportée
Berry, Guyader, Nicolas, JASA 1990
Influence des conditions aux limites résultats globaux
acier
0.55 m x 0.45 m
(r = 1.2),
épaisseur 1 mm,
fréquence critique 12 kHz
amortissement 1%
Force ponctuelle au centre
encastrée
simplement supportée
Berry, Guyader, Nicolas, JASA 1990
Influence des conditions aux limites Plaque libre partiellement encastrée
acier
0.55 m x 0.45 m
(r = 1.2),
épaisseur 1 mm,
fréquence critique 12 kHz
amortissement 1%
Force ponctuelle au centre
Berry, Guyader, Nicolas, JASA 1990
Influence du baffle
Atalla, Nicolas, Gauthier JASA 1996
Plaque simplement supportée Plaque libre
bafflée
non bafflée
Influence de l’écoulement du fluide
Frampton, JASA 2003
Plaque simplement supportée
2222 2)1( zxx kMkkMkk ++−=
Nouvelle relation de dispersion
Mode (1, 1)