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Ahlem ALIA, H. Sadok, M. Souli
Simulation numérique des problèmes d’acoustique et de vibroacoustique: Application de CMRH
Université des Sciences et Technologies de Lille
Laboratoire de Mécanique de Lille
GDR-IFS 3-4/06/2010, Compiègne
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Techniques Analytiques
Formes géométriques simples
Méthode des Eléments Finis (FEM)
Discrétisation de tout le volume du domaine
Méthode des Eléments Finis de Surface (BEM)
Discrétisation de la surface du domaine
Collocation
Variationnelle
Introduction
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• BEM– La discrétisation de la surface du domaine acoustique– Prise en compte du rayonnement en champs libre
Introduction
BEMMEF
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BEM
Théorème de Green
n S
12
2n2 v,p
1n1 v,p
SV
0pkp 2
VIBEM (BEM variationnelle indirecte)
S
n dSnG
pGviPpPC
Equation intégrale
Equation d’Helmholtz
Condition de Neumann
r4
erG
ikr
bAx
x yx S S
xyyxyx
y2
S
xxn dSdSrµrµnn
r,rGdSrµVi
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• Matrices BEM– Complexes (fonction de Green)
– Pleines (interaction de chaque nœud avec tous les nœuds du maillage)
– Mémoire
• Temps CPU– Construction de la matrice (Intégration double)
– Résolution du système linéaire
– Analyse multi-fréquentielle
VIBEM (BEM variationnelle indirecte)
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Système linéaire
Généralement, Gmres (Generalized Minimal Residual Method) est la méthode itérative la plus utilisée (Marburg et al. (Performance of iterative solvers for acoustic problem, 2003))
Gmres (en plus de la matrice BEM, stockage de la matrice d’Hessenberg, vecteurs de Krylov)
Besoin d’une méthode itérative plus économique en terme de mémoire
Cmrh (Changing Minimal Residual method based on Hessenberg process ) développée par Pr. H. Sadok
Méthode d’Hessenberg
Résolution d’un problème de moindres carrés
La matrice A sert d’espace de stockage pour CMRH
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Processus d’Hessenberg: matrice trapézoïdale unitaire
Ses colonnes sont des vecteurs de base de l’espace de Krylov
Orthogonal aux vecteurs ek(n)=(0,…, 0,1,0,…,0)T.
hj,k sont déterminés tq: lk+1┴ e1,e2,…,ek et (lk+1)k+1=1
(i-1) composantes de li sont nulles et (li)i=1
Méthodes itérative: CMRH
m21m l,...,l,lL
)A,r(K 0m
k
1j
jk,jk1kk,1k
001
m,...,1koùlhAllh
1roù/rlkk kAL L H 1
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end
h/ul
u)u,e(h
end
lhuu
u)u,e(h
k,...,1jpour
Alu
m,..,1kpour
)r,e/(rl
k,1k1k
1k1kk,1k
jk,j
jjk,j
k
0101
Méthodes itérative: CMRH
end
u/uq
uh
end
qhuu
)u,q(h
k,...,1jpour
Aqu
m,..,1kpour
r/rq
21k
2k,1k
jk,j
jk,j
k
001
Hessenberg Arnoldi
- Produit A par une matrice trapézoïdale
- Produit A q
- Produit scalaire
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Méthodes itérative: CMRH
Lk
kH
A
Stockage de Lk et Hk dans A
A l’étape k, Lk est trapézoïdale inférieure
u=Alk, (k-1) premières colonnes de A ne sont pas utilisées
n
1kj
)j(k,j
)k(k
)n()2()1(
alaAl
aaaA
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• Performance de CMRH en comparaison avec GMRES (sans l’option: restart)
• Applications numériques – Sphère pulsante– Rayonnement d’un ventilateur excité avec ses
modes propres
Applications numériques
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• Une sphère de rayon 1m excitée par une vitesse de 7mm/s entourée par l’air.
• Deux maillages: 21602 noeuds et 7352 noeuds• Performance de CMRH: le vecteur b est choisi de
telle sorte que la solution exact x* soit connue. Ce qui permet de bien calculer ||res=b-Ax|| et l’erreur ||err=x-x*||
• Un critère d’arrêt de 10-9.
Sphère pulsante
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Sphère pulsante
Figure(1): Variation de la norme du résidu et de l’erreur en fonction du nombre des itérations ( maillage 7352 nœuds )
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Sphère pulsante
Figure(2): Variation de la norme du résidu et de l’erreur en fonction du nombre des itérations ( maillage 21602 nœuds )
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• Une sphère de rayon 1m excitée par une vitesse de 7mm/s entourée par l’air.
• Maillage 7352 nœuds
• Pression au centre de la sphère
• Un critère d’arrêt de 10-9 pour les deux méthodes
Sphère pulsante
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Sphère pulsante
Figure(3): Variation de la pression au centre de la sphère pulsante en fonction de la fréquence( maillage 7352 nœuds )
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Sphère pulsante
Figure(4): Variation du nombre des itérations en fonction de la fréquence ( maillage 7352 nœuds )
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• Rayonnement des pales d’un ventilateur comprenant des bords libres
• Excitations aux modes propres du ventilateur• Maillage (5407 nœuds)• Analyse modale pour des fréquences <1000Hz• 3 modes propres à 399.31, 462.15 et 999.15 Hz• Pression rayonnée sur un plan distant de 0.3m du
ventilateur
Rayonnement d’un ventilateur
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Figure(5): Variation du nombre des itérations en fonction de la fréquence ( maillage 7352 nœuds )
Rayonnement d’un ventilateur
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Figure(6): Vitesse à la fréquence propre 399.31Hz, 462.15Hz et 999.15Hz
Rayonnement d’un ventilateur
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Figure(9): Pression acoustique rayonnée dans le plan d’observation
Rayonnement d’un ventilateur
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• Performance de GMRES et CMRH– Cmrh demande 3 fois moins de mémoire que
Gmres
Rayonnement d’un ventilateur
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Conclusion
Analyse de la performance de Cmrh appliquée pour des problèmes d’acoustique simulés par la BEM.
Cette analyse a été faite par comparaison avec Gmres
Elle a montré que Cmrh a le même comportement de Gmres mais demande moins de mémoire
Cmrh peut être utilisée comme une bonne alternative de Gmres pour les problèmes de très grande taille
En perspective, cette méthode sera testée avec un préconditionnement