vibra2 uni 2014-3

Elaborado por: Jos Martn Casado Mrquez

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA FACULTAD DE INGENIERA MECNICA DEPARTAMENTO ACADMICO DE INGENIERA APLICADA

Unidad 3 Vibraciones Amortiguadas

Anteriormente consideramos que los sistemas vibratorios conservan su energa de vibracin. En realidad, todas las vibraciones son afectadas por fuerzas disipativas, las cuales hacen que su amplitud disminuya. En el curso nos ocupa-remos de las fuerzas de amortiguamiento viscoso, las cuales en forma emprica y con bastante aproxima-cin son proporcionales a la velocidad de la masa oscilante; es decir:

= =

siendo c el coeficiente de amortiguamiento del elemento disipador, expresado en N.s/m en kg/s. Conocer su valor es muy importante; de l se determinar si el sistema vibrar o no. En otras palabras, habr un valor crtico de c con el cual el sistema podr iniciar su vibracin. Suponga usted que en el recipiente de la fig. 25 hubiera grasa en lugar de aceite viscoso. Vibrar el pistn?.

3.1. Modelo elemental de una vibracin amortiguada

Figura 27. Dispositivo fsico para un oscilador amortiguado. El movimiento del pistn se amortigua por la accin del mbolo sumergido en el lquido.

Figura 28. Para amortiguar las vibra-ciones de la camioneta se utilizan los amortiguadores (cilindros amarillos)para que absorban los impactos.

Fig. 26. En otras circunstancias, el amortiguador puede sustituirse por una superficie rugosa.


Previo al estudio de las oscilaciones amortiguadas, es indispensable que el estudiante conozca cmo se obtiene el valor del coeficiente de amortiguamiento c de un amortiguador, asumiendo que la sustancia viscosa mantiene constante su temperatura durante su operacin (*). Para este fin debemos conocer los siguientes parmetros indispensables de trabajo del amortiguador (figura 29a):

= Viscosidad absoluta de la sustancia amortiguadora.

D = Dimetro del pistn.

L = Longitud del pistn.

e = Huelgo (espacio libre) entre el pistn y el cilindro del amortiguador. Sea P la fuerza en el pistn cuando ste se desplaza a la velocidad es v0, tal que P = cv0. Si se asume que la sustancia amortiguadora es newtoniana, es decir, soporta un esfuerzo cortante segn la Ley de Viscosidad de Newton, se cumple la relacin: =

Figura 29a Figura 29b

Luego de la demostracin correspondiente (ver la fuente), se obtiene: = 34 1 + 2

Es muy importante tener en cuenta el orden de los valores de a temperatura ambiente usual (20C). Como datos referenciales tenemos los siguientes:

SUSTANCIA (Pa.s a 20C) Gasolina refinada 3.10-4

Kerosene 2.10-3

Petrleo refinado 8.10-3

Aceite lubricante 0,80


En consecuencia, la viscosidad de las sustancias amortiguadoras debe estar en el orden mostrado, con excepcin de los aceites, cuya viscosidad disminuye notablemente al aumentar la temperatura.

3.2. Tipos de Vibraciones Amortiguadas

3.2.1. Vibracin sub-amortiguada.- Es aquella cuya amplitud dis-minuye con el tiempo por accin de una fuerza amor-tiguadora.

3.2.2. Vibracin crticamente amor-

tiguada.- Es la que se carac-teriza porque el sistema vuelve a su posicin inicial en el tiempo ms breve posible, pero sin vibrar.

3.2.3. Vibracin sobreamortiguada.-

Es aquella que se caracteriza porque al pretender iniciar la vibracin, el sistema vuelve a su posicin inicial muy lentamente sin vibrar, o en el peor de los casos, queda totalmente estancado.

3.3. Anlisis del Movimiento

Para determinar la ecuacin diferencial (ED) del movimiento vibra-torio (si existe), recurriremos al DCL de la fig. 31. El bloque es desplazado una distancia x en direccin positiva. Tanto la fuerza recuperadora del resorte (kx) como la fuerza de amortiguamiento (cx) se dirigen hacia la P.E. Al aplicar la 2da Ley de Newton se tiene: = =

+ !"# + $"# = % (3.1)

Este es el formato de ED que el estudiante debe obtener obligatoriamente para poder evaluar si hay vibracin o no.

La solucin de esta ecuacin es de la forma = &'(). Para resolverla, se hace la sustitucin: = '(). Luego, al reemplazar se obtiene:

Fig. 30b. Vibracin crticamente amortiguada

Fig. 30c. Vibracin sobreamortiguada

Fig. 30a. Vibracin sub-amortiguada

Fig. 31. Diagrama de cuerpo libre (DCL) de un cuerpo con vibracin amortiguada.


*+ , + , + = 0 Resolviendo la ecuacin entre parntesis se obtiene las soluciones 1 y 2.

,.; = 0 2 0# 30 (*)

Conforme a la definicin dada en 3.2.2, el coeficiente de amortiguamiento crtico (ccr) se obtiene haciendo c = ccr. Luego, en el sub-radical de (*) se tiene:

450# 30 = 0 !67 = 8$" = 8":; = !!67 (3.3)

El cual toma la siguiente gama de valores para determinar si existe vibracin o no:

a) Si 0 < < 1 Movimiento sub-amortiguado.

b) Si = 1 Movimiento crticamente amortiguado.

c) Si > 1 Movimiento sobreamortiguado.

Para determinar su magnitud en un sistema vibratorio real, se har el siguiente artificio:

? = @/0BCD@45/0BCD = @/0BCDE30/0FCD ? = @/0BCD@GHIJBCD (3.4)

Siendo c/m y K/ los coeficientes obtenidos en la ED del sistema cuya vibracin se supone que tiene lugar.

En (*), si c > ccr, 1 y 2 seran positivos, y por lo tanto el sistema vibrante jams volver a su posicin de equilibrio. En consecuencia, la nica posibilidad que cabe es que c < ccr, observndose que las soluciones que se obtienen son com-plejas y conjugadas. Luego, para que (*) se pueda resolver con coeficientes reales, se le da la siguiente forma: ,.; = 0 L230 0#, donde: L = 1

Cuya solucin es de la forma: @)B = &'(M) +N'(8)

Llamando: O = 230 0#, la solucin de (*) es: @B = P Q RSTUVG#+ + W Q RSTQVG#+ (**)


Frmula de Moivre: 'X:) = 6YZ:) + X Z[\:) Al sustituir en (**) y simplificar, se obtiene una solucin de la forma:

@B = PQ 0#+]^ cosO + b sinOe Que expresando en trminos de una sola funcin trigonomtrica, se tiene la solucin para la ecuacin de movimiento de una vibracin sub-amortiguada:

@)B = f'Q !8"#) 6YZ@:) + gB (3.5)

Los valores de A y se determinan a partir de las condiciones iniciales del movimiento. En la figura 32 se aprecia que la grfica de esta ecuacin consiste en la curva cosenoidal cuyo pico va atenundose, con la curva logartmica tangente a ella.

Velocidad de vibracin.- Derivando la relacin (3.5) se tiene: = = P hQ 0#+ . O sin@O + jB 2 Q 0#+cos@O + jBk

Factorizando y agrupando trminos se tiene:

= PQ 0#+ cos@O + jBlmmmmmmnmmmmmmop q 2 + O tan@O + jBt

Finalmente, y con el objeto de facilitar el clculo de la aceleracin, se obtiene:

Acos

u = 2/O u = 2/O

+PQ 0#+

PQ 0#+ Figura 32. Grfica de una vibracin amortiguada.


v = q !8" +:wx\@:) + gBt (3.6)

Aceleracin de vibracin y = v = q !8" +:wx\@:) + gBt ]:8 Z[6@:) + gBe (3.7)

Ntese que la aceleracin puede calcularse con facilidad luego que previamente se haya calculado la velocidad de vibracin. Asimismo, puede despejarse de la ecuacin (3.1).

3.4. Comparacin entre un MAS y una vibracin amortiguada

De O = 2 2#2, factorizamos 230, y se obtiene:

O = 230zGHIJ{1 /0K3/0lmnmo|

:x}Y7w = :;8 (3.8)

Asimismo, del periodo determinado para el MAS, se infiere que el periodo para una vibracin amortiguada ser:

u = ~G = ~:;8 u = HIJKMQ>8 (3.9) 3.5. Decremento logartmico ()

Viene a ser el logaritmo natural de la relacin de dos amplitudes consecutivas (las mismas que difieren en un periodo de vibracin T ( > 1)). = ln q @+B@+UBt P@ + uB = P@BQ

Deduccin de :

= ln PQ 0#+ cos@O + jBPQ 0#@+UB cos]O@ + uB + je Como la funcin coseno es peridica: cos]O@ + uB + je = cos]O + je. As entonces, al simplificar la expresin anterior, queda:

= ln h RSTk = 0 (3.10)

Si deseamos expresar en trminos de , empleamos la frmula (3.9), y as tenemos:


= /2 . 2OK1 ? = /2Olno| .2K1 ?

Ordenando queda: = 8>KMQ>8 (3.11)

3.6. Prdida de energa por ciclo de vibracin (E): Caso de oscilaciones horizontales

La energa se pierde slo por la accin de las fuerzas disipativas. En nuestro caso, el amortiguador produce dicha prdida. Se determinar una relacin para conocer E, considerando que en el instante t de la primera vibracin, el sistema alcanza su primera amplitud (A1), es decir, su energa es: @B = = 12P

Al transcurrir un periodo de vibracin, la nueva energa del sistema ser:

@ + uB = .P. = . EPQF @ + uB = Q Finalmente, la fraccin de energa perdida (fperd) por ciclo de vibracin es:

= || = SQ [7 = M 'Q8 (3.12)

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Determinar si el sistema mostrado oscila cuando se

le desplaza 10 cm a partir del reposo. Si as fuera, determinar:

a) Su factor de amortiguamiento. b) Su ecuacin de movimiento en funcin del tiempo. c) Su aceleracin inicial.

Solucin El sistema mostrado es similar al sistema elemental dado en 3.3. As entonces, su ED ser: + # + # = 0 + 21 + 196 = 0

Clculo del factor de amortiguamiento: ? = .. = 0,75 El sistema oscila (Rpta a)

Ya que el sistema oscila, su ecuacin de movimiento es de la forma dada en la ecuacin (3.5).

Aplicando la ecuacin (3.8) se obtiene: O = 14K1 0,75 = 9,26Q.

k = 392 N/m

c = 42 kg/s m = 2 kg

Figura 33


Para t = 0: De la ecuacin (3.6) obtenemos: tanj = 0G = ..,

= -0,848 rad Y en la ecuacin (3.5): Acos = 0,1 A = 0,151 2 m = 15,12 cm

Finalmente, la ecuacin de movimiento es: = %, MM8'QM%,) 6YZ@, 8) %, B (Rpta b) c) Aplicando la ecuacin (3.7), nos queda: = O secj Reemplazando datos y resultados se obtiene:

a = -12,964 m/s2 (Rpta c).

2. En la figura 34, el momento de inercia de la rueda homognea compuesta con respecto a su centro de masa es I. Si es el desplazamiento angular del disco respecto a su posicin de equilibrio, y se le suelta del reposo cuando = o, determinar:

a) La ecuacin diferencial del movimiento. b) El periodo de vibracin del disco. c) El coeficiente de amortiguamiento crtico. d) La aceleracin angular inicial del disco.

Solucin En este caso modificamos la coordenada x por en la ecuacin (3.5). Asimismo, en la ecuacin (3.6), la velocidad ser angular, y de la forma , y la aceleracin ser angular, de la forma . En el DCL del disco se aprecia en qu sentido producen rotacin las fuerzas causantes de la vibracin. As entonces, planteamos la 2da Ley para rotacin, consi-derando que es positiva en el sentido que se produce la deformacin. = = . 2 . =

@2B2 . = Simplificando y dando la forma de la ED (3.1) se tiene: + !8 # + $8 # = % (Rpta a)

b) Frecuencia natural: O = 23S S # = K16 @B

Figura 34

Fr = k = k(.2R) = =

Figura 35

O


Luego, el periodo ser: u = ~G = ~SK.3Q@BS = 8KM$Q@!B8 (Rpta b)

NOTA: El resultado es vlido siempre que > 0; es decir: < 3 . c) El coeficiente de amortiguamiento crtico tendr lugar cuando = 0. As entonces,

segn se indic en la nota anterior, se concluye: !67 = $ (Rpta c)

d) Clculo de : Al adecuar la ecuacin (3.6) a nuestro problema, y aplicarla con = 0, se tiene: tanj = RTG = RSSK.3Q@BS j = K.3Q@BS

Y al adecuar la ecuacin (3.7), con = 0, se tiene: = O secj.

Reemplazando datos y , la aceleracin inicial de la vibracin es finalmente:

= $ #8 %KM$ @!B8 (Rpta d) 3. La barra uniforme de masa m = 15 kg se

encuentra en equilibrio en la posicin horizontal. Si la constante elstica del resorte es k = 90 N/m, los coeficientes de amortiguamiento son c1 = 30 kg/s, c2 = 20 kg/s, y las amplitudes de vibracin son pequeas, determinar:

a) La ED del movimiento oscilatorio. b) El factor de amortiguamiento. c) El periodo de las oscilaciones. d) El coeficiente crtico de amortiguamiento.

Solucin En el DCL de la barra (fig. 36) se aprecia en qu sentido producen rotacin las fuerzas causantes de la vibracin. Sin embargo, en el estado de equilibrio ( = 0), cuando los amortiguadores no funcionan, se tiene: = 0 . = 0

mg = 2k0 (1)

As como en el problema anterior, planteamos la 2da Ley de Newton para rotacin:

Figura 36

= @ + B = .EF S = E/2F

mg

Figura 37


= . 2 S . 2 . . = 13

Reemplazando el valor de las fuerzas, simplificando L, y (1) en (2), queda: + 3 . + 14 + 3 = 0 Finalmente, reemplazando datos y simplificando se obtiene la siguiente ED: + 7 + 18 = 0 (Rpta a)

b) El factor de amortiguamiento ser: ? = . = 0,825 (Rpta b)

c) Frecuencia natural: O = OK1 ? = 18.K1 0,825 = 2,398 s-1 u = ~G = ~, T = 2,62 s (Rpta c) d) Adecuando la relacin (3.4) a nuestro problema, con m = 15 kg, y = 1: = 2O.

Reemplazando: = 2.1518 ccr = 127,28 N.s/m (Rpta d) OBSERVACIN: En el problema se puede observar que los amortiguadores conectados a la barra se encuentran en paralelo; sin embargo, el coeficiente de amortiguamiento equivalente del sistema no viene a ser igual a la suma de los coeficientes individuales, por tratarse de una vibracin angular. Dicha condicin es posible solo en el caso de una vibracin en movimiento de traslacin. Se invita al estudiante a verificar que, solo en el caso de traslacin, los coeficientes de amortiguamiento equivalentes vienen dados del siguiente modo: Coeficiente equivalente con amortiguadores en serie: 1 = 1V

V.

Coeficiente equivalente con amortiguadores en paralelo: = VV.

3.7. Vibraciones Crticamente Amortiguadas

Segn se vi en 3.3, al resolver la ED caracterstica obtenemos una raz doble , con = 2, dando como solucin:

,.; = 2 = = O

As entonces, la solucin de la ecuacin (3.1) ser de la forma: @B = QGHIJ+@. + B (**)


que aplicada a las siguientes condiciones iniciales: x(0) = x0; @0B , hacen que (**) sea expresada como:

@)B 'Q:;


Considerando como condiciones iniciales x0 y v0 en t = 0, x(t) resulta:

@B = Q|GHIJ+2K? 1 h O ? K? 1#k GHIJK|SQ.+ h K? 1 ?# Ok QGHIJK|SQ.+ Cuyo mximo valor tiene lugar en el siguiente instante:

) \ > K>8 M> K>8 M

v%:; K>8 M#v%:; K>8 M#8:;8 M A continuacin se muestra la grfica de la vibracin de un sistema sobre-amortiguado, en el que se plantea una sola deformacin inicial, pero dos velocidades distintas de lanzamiento, en el que se nota que es posible hallar las posiciones ms alejadas.

Fig. 39. Curva de movimiento de una vibracin sobreamortiguada

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