7. Alternatyvų ekonominė analizė

Atliekant investicinių projektų ekonominę analizę, bendru atveju tarpusavyje lyginamos dvi ar daugiau alternatyvų. Jų realizavimas tęsiasi bei rezultatai reiškiasi ilgiau nei vienerius metus, dažnai apimdami gana ilgą laikotarpį. Numatomi projektų kapitalo kaštai bei būsimosios įplaukos dažniausiai įvertinamos nustatant nagrinėjamų projektų pinigų srautus (Cash flow). Palyginant alternatyvas tarpusavyje, svarbu atsižvelgti ne tik į projektų pinigų srautų dydžius, bet ir į laiko momentus, kuriais jie yra gaunami. Todėl šiame skyriuje remsimės laiko veiksnio įvertinimu, kur pinigų sumai vienu laiko momentu gali būti ekvivalentiška suma kitu laiko momentu.

Investicinių projektų įvertinimui naudojama keletas metodų. Tai esamosios vertės, būsimosios vertės, vidutinės metinės vertės, vidutinės pelno normos, atsipirkimo periodo, naudos-kaštų santykio metodai. Visi jie plačiai taikomi praktikoje. Šiame skyriuje apžvelgsime paminėtus metodus, parodysime jų privalumus ir trūkumus.

7.1. Alternatyvų įvertinimo metodai

Esamosios vertės metodasEsamosios vertės metodas (Present value) yra vienas iš plačiausiai taikomų. Jį naudojant, visi

būsimieji pinigų srautai, susiję su tam tikra alternatyva, paverčiami į ekvivalentišką piniginių vienetų kiekį dabartiniu laiko momentu. O tai leidžia kiekvienam, net mažai susipažinusiam su ekonomine analize, lengvai pastebėti vienos alternatyvos ekonominį pranašumą lyginant su viena ar keletu kitų alternatyvų.

Taikant šį metodą, kiekvienai alternatyvai apskaičiuojama esamoji vertė, diskontuojant visus laukiamus pinigų srautus iš šio investicinio projekto. Jeigu visi pinigų srautai yra diskretiški dydžiai CFt, o diskonto norma per periodą yra k, tai esamoji vertė išreiškiama formule:

nPV= ( Cft )/ (1+k)t. (7.1) t=0

Jeigu tarsim, kad tarp alternatyvų nėra kitokių skirtumų, tai, palyginę esamąsias vertes, pranašiausia laikysime tą alternatyvą, kurios esamoji vertė bus didžiausia. (Čia kapitalo įdėjimai bus įvertinti su minuso ženklu, o įplaukos- su pliuso ženklu).

Atliekant analizę esamosios vertės metodu, remiamės prielaida, kad bet kurios lėšos, gaunamos iš investicinio projekto, yra tuoj pat reinvestuojamos su palūkanų norma, kuri savo dydžiu lygi diskonto normai, naudotai skaičiuojant esamąją vertę.

Pavyzdys.Naudodami esamosios vertės metodą palyginkite įrengimus, kurių tarnavimo laikas yra vienodas.

Diskonto norma k=10% per metus. Įrengimai A Įrengimai B

Įrengimų kaina, p.v. 2500 3500Metinės eksploatavimo išlaidos, p.v. 900 700Likvidacinė vertė, p.v. 200 350Tarnavimo laikas, metais 5 5 Sprendimas.Kiekvieno iš įrengimų esamoji vertė nustatoma taip: 5

PVA=2500+ 900× (1/(1+0,1)t)- 200× (1/(1+0,1)5)=5788 p.v. t=1 5

PVB=3500+ 700×(1/(1+0,1)t)- 350×(1/(1+0,1)5)=5936 p.v.Kadangi įrengimų A kaštai yra žemesni nei įrengimų B, tai reikia pasirinkti įrengimus A.Šio metodo laikymas duos teisingą rezultatą tik tuo atveju, jei lyginamų tarpusavyje alternatyvų

gyvavimo trukmės bus vienodos. Priešingu atveju, pagal esamosios vertės kriterijų bus parenkama ta alternatyva, kurios gyvavimo trukmė bus mažiausia.

Vidutinės metinės vertės metodasPagal vidutinės metinės vertės metodą ( Uniform annual value) visi su investiciniu projektu susiję

pinigų srautai yra transformuojami į ekvivalentinę metinę vertę, kurios dydis kiekvienais metais yra vienodas.

Jeigu pinigų srautai kiekvieno periodo t pabaigoje yra CF t, diskonto norma per periodą yra k, tai vidutinė metinė vertė gali būti apskaičiuota pagal formulę:

nAV= CFt × (1/(1+k)t) × (k(1+k)n)/((1+k)n-1) . (7.2) t=0

Taikant šį metodą, pirmiausia apskaičiuojama kiekvienos alternatyvos vidutinė metinė vertė, diskontuojant visus pinigų srautus to paties dydžio norma. Po to alternatyvos išdėstomos vidutinės metinės vertės mažėjimo tvarka. Jei tarp alternatyvų nėra kitokių skirtumų, tai parinkti turime tokią, kurios vidutinė metinė vertė yra didžiausia.

Pavyzdys.Nustatykite, kokia bus investicijos į naujus įrengimus vidutinė metinė vertė. Įrengimai kainuoja

12000 p.v. Jų tarnavimo laikas lygus 6 metams. Metinės eksploatavimo išlaidos kiekvienų metų pabaigoje sudarys 6000 p.v. Likvidacinė vertė šeštų metų pabaigoje bus lygi 3000 p.v. Diskonto norma lygi 12% per metus.

Sprendimas.AV= 1200×(0,12(1+0,12)6/ ((1+0,12)6-1)) + 6000-3000×(0,12/((1+0,12)6-1))=8549 p.v.

Pagrindinis šio metodo privalumas yra tas, kad jis leidžia tiesiogiai palyginti alternatyvas su skirtingomis gyvavimo trukmėmis. Vidutinė metinė vertė apskaičiuojama per visą projekto gyvavimo trukmę. Todėl nesvarbu, kiek kartų dar būtų kartojamas projektas, - šios vertės dydis nepasikeis. Kiekvienos alternatyvos vidutinė metinė vertė bus apskaičiuojama tik per vieną gyvavimo ciklą.

Taikant vidutinės metinės vertės metodą taip pat remiamasi prielaida, kad visos lėšos, gaunamos iš projekto, yra tuoj pat reinvestuojamos su palūkanų norma, savo dydžiu lygiu skaičiavimuose taikytai diskonto normai.

Būsimosios vertės metodas Palyginant alternatyvas būsimosios vertės metodu (Future value),apskaičiuojamas ekvivalentiškas

pinigų srauto dydis tam tikru laiko momentu ateityje. Investicinio projekto būsimoji vertė po n metų nuo dabartinio momento, kai diskonto norma k, apskaičiuojama pagal formulę:

nFV= CF+(1+k)n-t. (7.3) t=0

Būsimąją vertę galima nustatyti ir kitu metodu. Tada pirmiausia nustatoma investicinio projekto pinigų srautų esamoji vertė, o po to surandamas ekvivalentiškas jai dydis po n metų nuo dabartinio momento. Šiuo atveju būsimoji vertė bus išreiškiama formule:

FV= PV×(1+k)n.Matome, kad, kai duotos baigtinės k ir n reikšmės, būsimoji vertė lygi esamajai vertei, padaugintai

iš konstantos. Todėl tol, kol k ir n nesikeičia, lygindami alternatyvas tiek būsimosios vertės, tiek esamosios vertės metodu, gautume tokį patį rezultatą.

Ir esamoji vertė, ir būsimoji vertė, ir vidutinė metinė vertė yra ekvivalentiškumo matas. Šios vertės skiriasi tik laiko momentu, kuriam yra nustatomos. Kiekviena iš jų gali būti paimta pagrindu, parenkant investicinį projektą iš keleto alternatyvų, o rezultatas nuo to nesikeis.

Vidinės pelno normos metodasRemiantis vidinės pelno normos metodu (Internal rate of return) apskaičiuojama investicinio

projekto pelno norma yra sutapatinama su diskonto norma, prie kurios visų iš projekto gaunamų pinigų srautų esamoji vertė prilygsta nuliui. Matematiškai išreiškus, ši IRR reikšmė tenkina lygybę:

nPV= CFt×(1/(1+IRR)t)=0 (7.4)

t=0čia CFt- pinigų srautai kiekvieno periodo t pabaigoje.

Pelno norma čia dar gali būti apibudinama kaip tokia diskonto norma, prie kurios visų būsimų pinigų srautų esamoji vertė yra lygi pradiniai investicijai į projektą. Jei pradinė investicija I= -CF0, tai pelno norma bus apskaičiuojama pagal formulę:

nPV= CF0+ CFt×(1/(1+IRR)t)=0

t=1 n

Iš čia P= CFt×(1/(1+ IRR)t) (7.5) t=0

Be to, pelno norma gali būti apibrėžiama kaip tokia diskonto norma, prie kurios visų teigiamų pinigų srautų (įplaukų iš projekto) esamoji vertė lygi visų neigiamų pinigų srautų (įdėjimų į projektą) esamajai vertei. Jei CFt= Rt-Ct, kur Rt ir Ct atitinkamai įplaukos ir įdėjimai per periodą t, tai formulė įgaus tokį pavidalą:

nPV= (Rt-Ct) ×(1/ (1+ IRR)t)=0

t=0 n narba Rt × (1/(1+ IRR)t)= Ct×(1/ (1+ IRR)t) (7.6)

t=0 t=0

Jei projekto pelno norma tenkina pastarąją lygybę, tai reiškia, kad visi teigiami pinigų srautai yra reinvestuojami pagal šią pelno normą. Tam tikra prasme ji yra projekto pelningumo matas ir neįvertina išorinių projektui ekonominių veiksnių. Todėl ši norma vadinama vidine pelno norma.

Vidinė pelno norma išreiškiama procentais per laikotarpį ir yra teigiamas dydis, jei projekto bendrų įplaukų suma viršija bendrą įdėjimų sumą, pvz., IRR=10% per metus.

Įvertinant investicinį projektą pelno normos metodu, iš pradžių apskaičiuojama šio projekto vidinė pelno norma. Kadangi pateiktas lygybes algebriškai išspręsti gan sudėtinga, vidinė pelno norma dažniausiai randama bandymų ir klaidų metodu. Toliau, norint nustatyti, ar investicija priimtina, ar ne- rastas pelno normos dydis lyginamas su tam tikra pelno norma, kuri gali būti gauta, jei siūlomas projektas būtų atmestas ir lėšos būtų investuotos kitur. Tokia reinvesticijos pelno norma literatūroje dažnai vadinama minimaliai priimtina pelno norma (Minimum attractive rate of return - MARR) arba alternatyviniais kaštais, arba galimybių (reinvestuoti kitur) kaštais. Jeigu apskaičiuotas dydis viršija minimalią priimtiną pelno normą MARR, tai investuoti į nagrinėjamą projektą yra geriau, nei realizuoti alternatyvą taip vadinamą "niekur neinvestuoti" (Do nothing alternative).

Pavyzdys.Tarkim, kad dabar investuojame į paprastąsias akcijas, kurios duos 100 p.v. pajamų per metus 10

metų laikotarpiu ir 7000 p.v. pajamų 10 metų pabaigoje. Kokia yra šios investicijos pelno norma?Sprendimas. Vidinei pelno normai rasti sudarome lygybę: n

0= -5000+ 100 ×(1/(1+ IRR)t) + 7000×(1/(1+IRR)10) t=1

Sprendžiame bandymų ir klaidų metodu.Kai IRR=5%, tai gauname 0 69,46 p.v.Kai IRR=6, tai gauname 0 -355,19 p.v.

Vidinė pelno norma turi būti žemesnė nei 6, bet aukštesnė nei 5, todėl interpoliuojame:c= a/b= (69,46-0)/ ( 69,46-(-355,19))= (1,0)=0,16IRR 5,00+0,16=5,16

Paprastame uždavinyje duotai pinigų srautų eilei galiojo vienintelė pelno normos reikšmė. Taip yra tada, kai grynų pinigų srautų ženklai keičiasi vieną kartą. Vidinės pelno normos metodą taikyti labai sunku, kai pinigų srautų eilė nėra įprastinė- grynųjų pinigų srautų ženklas keičiasi kelis kartus. Tokiu atveju gaunamos kelios vidinės pelno normos reikšmės, tenkinančios pateiktas lygybes.

Pavyzdys.Tarkim, įmonė planuoja dabar investuoti į projektą 1600 p.v. Po metų iš projekto bus gauta 10000

p.v. dydžio įdėjimų. Nustatyti projekto vidinę pelno normą.Sprendimas.Laukiamus projekto pinigų srautus galima surašyti į lentelę:

Metų Pinigų srautas (CFt)

0 -16001 100002 -10000

Vidinę pelno normą apskaičiuojame iš lygybės:0= -1600/((1+ IRR)0) + 10000/((1+IRR)1) +(-10000)/((1+IRR)2).

Ją išsprendus gauname 2 vidinės pelno normos reikšmes IRR=25 ir IRR=400. Pav. 7.1 grafiškai parodyta priklausomybė tarp esamosios vertės ir vidinės pelno normos.

Daugeliu atveju gautos kelios vidinės pelno normos reikšmės gali atrodyti keistos, nes būna per didelės arba per mažos (neigiamos). Pavyzdžiui, 10, 150 ir 750 pinigų srautų eilei, kai ženklas keičiasi tris kartus. Labai dažnai į dideles reikšmes neatsižvelgiama arba jos tiesiog neskaičiuojamos.

Tarkim, kad išspręstame pavyzdyje minimali priimtina pelno norma lygi 30. Ar reikia tokiu atveju investuoti į šį projektą? Vienas iš galimų atsakymo ieškojimo būdų yra naudoti modifikuotą vidinės pelno normos metodą (Modificate IRR-MIRR). Jis išreiškiamas lygybę:

n Ct+(1/ (1+k)t)= ( Rt×(1+k)n-t)/ ((1+MIRR)n), t=0t=0

Taikant, šį metodą apskaičiuojama visų įdėjimų į projektą Ct vertė laikotarpio pradžiai ir visų įplaukų iš projekto Rt vertė laikotarpio pabaigai, naudojant tą pačią reinvesticijos pelno normą. Toliau randama modifikuota vidinė pelno norma MIRR, kaip tokia diskonto norma, prie kurios apskaičiuotų dydžių esamosios vertės yra lygios.

7.1 pav. Esamosios vertės ir vidinės pelno normos tarpusavio priklausomybė, kai gaunamos dvi projekto vidinės pelno normos reikšmės.

Atsipirkimo periodo metodas.Atsipirkimo periodo metodas (Payback period) yra vienas iš plačiausiai taikomų ekonominės

analizės praktikoje. Jo populiarumą nulėmė itin paprasti skaičiavimai ir lengvai suvokiama šio metodo esmė.

Atsipirkimo periodo metodas parodo santykinį investicinio pasiūlymo patrauklumą. Jis nustato, koks bus periodų, reikalingų pradiniai investicijai padengti, skaičius. Kitaip tariant, jis nustato, kiek reikės periodų, kad kumuliatyvinis investicinio projekto naudingumas susilygintų su kumuliatyviniais jo kaštais. Tiek naudingumas, tiek kaštai paprastai išreiškiami pinigų srautais. Kiekvienai iš alternatyvų apskaičiuojamas atsipirkimo periodas ir gautos reikšmės tarpusavyje palyginamos. Kuo atsipirkimo periodas trumpesnis, tuo projektas yra geresnis.

Jei P yra pradinė investicija, CFt- pinigų srautas periodu t, tai atsipirkimo periodas n yra toks dydis, kuris tenkina sąlygą:

n,

P= CFt. (7.7) t=1

Pavyzdys.Tarkim, lyginame tarpusavyje du projektus. Pradinė investicija į pirmąjį projektą lygi 10000 p.v., o

į antrąjį- 9000 p.v. Pirmojo projekto pinigų srautai bus lygūs 2000 p.v. per metus 10 metų laikotarpiui, o antrojo 1500 p.v. per metus 7 metų laikotarpiu. Kurį iš šių projektų reikia priimti, jei naudosime atsipirkimo periodo kriterijų?

Sprendimas.Pirmojo projekto atsipirkimo periodas lygus 10000 p.v./2000 p.v. per metus= 5 metams.Periodų skaičius antrojo projekto pradinei investicijai padengti lygus 9000 p.v./1500 p.v. per

metus= 6 metams.Pirmoji alternatyva bus pranašesnė už antrąją, kadangi jos pradinė investicija bus greičiau padengta.Atsipirkimo periodo metodas turi akivaizdų trūkumų- neįvertina pinigų vertės kitimo laike, kurį

atspindi diskonto norma k. Šią problemą galima išspręsti diskontuojant projekto pinigų srautus, o tik po to apskaičiuojant atsipirkimo periodą.

Kai CFt- pinigų srautas periodo t pabaigoje, k- galiojanti diskonto arba palūkanų norma per periodą, tai atsipirkimo periodas n, nustatomas iš priklausomybės:

n,

P= CFt×(1/(1+k)t). (7.8) t=1

Vidinė pelno norma, %

Esamoji vertė, p.v.

-1,0

-0,5

0

0,5

1,0

100 200 300 400

Pavyzdys. Tarkim, įmonė įsigijo įrengimus už 18000 p.v. Juos naudodama ji tikisi gauti 3000 p.v. įplaukų kasmet. Įrengimus galima būtų naudoti 10 metų, o likvidacinė jų vertė sudarytų 3000 p.v. bet kuriuo šio periodo momentu. Nustatyti atsipirkimo periodą, jei pageidaujama pelno norma sudaro 15% per metus.

Sprendimas.Atsipirkimo periodas nustatomas iš lygybės: n,

0= -18000+ 3000×(1/(1+0,15)t)+ 3000×(1/(1+0,15)n ). t=1n’ =15,3 metų.

Kadangi planinis laikotarpis sudaro 10 metų, tai šių įrengimų naudojimas neleis gauti pageidaujamos 15% pelno normos per metus.

Naudojant vien tik atsipirkimo periodo metodą, daroma keletas teorinių klaidų. Pirmoji klaida daroma tuo atveju, jei pinigų srautai skaičiavimuose nediskontuojami. Antroji klaida yra tada, kai atsipirkimo periodas ilgesnis už projekto gyvavimo trukmę, t.y. į ją skaičiavimuose neatsižvelgiama. Trečioji klaida yra ta, kad šiuo metodu neįvertinamos ekonominės pasekmės, pasireiškiančios pasibaigus atsipirkimo periodui.

Tačiau, kadangi šis metodas duoda tokią svarbią informaciją kaip pradinės investicijos padengimo greitis, tai jo naudojimas gali būti pateisinamas, kai tenkinamos tam tikros sąlygos. Nagrinėjamų alternatyvų gyvavimo trukmės turi būti vienodos bei vienodi metiniai pinigų srautai (išskyrus pradinę investiciją).

Atsipirkimo periodo metodas naudingas tuo atveju, kai būsimosios investicinio projekto pasekmės yra itin neaiškios, o vadovai nori kuo greičiau padengti pradinius įdėjimus. Kitu atveju atsipirkimo periodo metodas naudingas, kai ribota firmos turimo kapitalo apimtis ir prognozuojamas pinigų srautų dydis rodo, kad tokia situacija išsilaikys artimiausiu laiku. Be to, firma gali tikėtis nepaprastai pelningų galimybių investuoti artimiausioje ateityje ir nori kuo greičiau padengti įdėtą kapitalą. Tačiau bet kuriuo atveju atsipirkimo periodo metodas turi būti taikomas greta kitų jau aptartų teoriškai teisingų metodų reikalingai papildomai informacijai gauti.

Naudos- kaštų santykio metodas.Naudos- kaštų santykio (Benefit- cost) analizės metodas pagrįstas tuo, kad nustatomas santykis tarp

projekto naudos ir su juo susijusių kaštų. Projektas laikomas priimtinu, jei jo realizavimo nauda viršija kaštus. Ir nauda, ir kaštai turi būti išmatuoti tuo pačiu laiko momentu.

Jei nauda viršija kaštus, tai, taikant šį metodą, projektas bus priimtinas, kai B:C >1, čia B- nauda, o C- kaštai.

Apskaičiuojant B:C santykį dažniausiai įvertinamas tiek naudos pokytis, tiek ir kaštų pokytis. Kai, projektą realizuojant, kaštai sumažėja, gaunamas neigiamas kaštų pokytis. Atitinkamai galima gauti neigiamą naudos pokytį, kai ,realizuojant projektą , ji mažėja. Todėl, įvertinant projektus naudos ir kaštus santykio metodu, pastarasis turi būti tiksliai apibrėžtas:

visiems C 0, kai B:C 1, projektą priimti, jei ne- atmesti;visiems C 0, kai B:C 1, projektą priimti, jei ne- atmesti.

Tuo atveju, kai B:C= 1, neturi reikšmės, ar projektas priimamas, ar atmetamas.Pavyzdys.Palyginkite tarpusavyje alternatyvas T ir U, jei duota:

Alternatyva Nauda, B Kaštai, C T 7 p.v. 2 p.v. U 12 p.v. 6 p.v.

Sprendimas.Alternatyvos T- B:C=3,5. Tai reiškia, kad ji pranašesnė už alternatyvą "niekur neinvestuoti".

Alternatyvos U- B:C=2,0. Ši alternatyva taip pat yra pranašesnė už alternatyvą "niekur neinvestuoti". Nustatome naudos ir kaštų pokyčius, lyginant alternatyvą U su T.

Naudos pokytis Kaštų pokytis B:C

12 p.v.- 7 p.v.= 5 p.v. 6 p.v.- 2 p.v.= 4 p.v. 5 p.v./ 4 p.v.=1,25Kadangi B:C= 1,25> 1, tai galima teigti, kad alternatyva U yra pranašesnė už alternatyvą T.Iš pateikto pavyzdžio matyti, kad B:C santykio nustatymas kiekvienai alternatyvai reiškia tik tai,

kad, jei B:C> 1, tai duota alternatyva yra pranašesnė už alternatyvą "niekur neinvestuoti". Tam, kad palygintume tarpusavyje dvi alternatyvas, reikia atsižvelgti į tai, kaip pasikeis pasekmės, pasirinkus vieną iš jų. Po to apskaičiuotas B:C santykis rodys, kuri alternatyva priimtina. Naudojantis išspręsto pavyzdžio žymėjimais, jei:

(BU-BT)/ (CU-CT) 1, tai alternatyvai bus suteikta pirmenybė, net jei būtų( B/C ) (U) ( B/C) (T).

Pastarasis reikalavimas buvo nustatytas dėl pastebėto esminio naudos ir kaštų santykio metodo trūkumo. Atliekant projektų analizę paaiškėjo, kad naudos ir kaštų santykio dydis priklauso nuo to ar konkrečios ekonominės pasekmės bus įvertintos skaitiklyje kaip nauda, ar vardiklyje kaip kaštai.

Be to, kai kuriuos investicinių projektų rezultatus išreikšti piniginiu dydžiu sudėtinga. Todėl, priimant sprendimą, reikia atsižvelgti ne tik į siūlomo analizės metodo rezultatus, bet ir į veiksnius, kurie kiekybiškai neišreiškiami.

Projekto balansas.Anksčiau aptartais metodais investicinio projekto pinigų srautai, gaunami įvairiais laiko momentais,

apjungiami tam tikru vienu dydžiu (indeksu), kuris ir yra projekto įvertinimo kriterijus. Skirtingai nuo šių metodų, projekto balanse (Project balance) pateikiami pinigų srautams ekvivalentiški nuostoliai ar pelnas, kaip laiko funkcija. Projekto balanso diagrama parodo, koks grynųjų pinigų kiekis yra susietas su duotu investiciniu projektu kiekvienu laiko momentu per projekto gyvavimo trukmę. Jei projekto pinigų srautai netikėtai baigiasi t momentu, tai projekto balansas parodys, kokio dydžio tuo laiko momentu bus ekvivalentiški nuostoliai ar pelnas.

Projekto balanso diagramoje atsispindi 4 svarbiausios investicijos charakteristikos: investicijos būsimoji vertė, diskontuotas atsipirkimo periodas, nuostolių rizika bei potencialus pelnas.

Jeigu projekto gyvavimo trukmė yra n, laiko momentas, kuriuo projekto balansas tampa teigiamas, yra n , tai projekto balansas bus atvaizduojamas diagramoje 7.2 paveiksle PB(k)T. Kiekvieno investicinio projekto atveju šio grafiko pavidalas pasikeis priklausomai nuo to, kokio dydžio kiekvienu laiko momentu bus jo pinigų srautai.

PB(k)T

+

0 n n T

-

7.2. pav. Projekto balanso diagrama

Diskontuotas atsipirkimo periodas

Esamoji vertė, PB (k)n

Projekto balansas kiekvienu laiko momentu T, kai duota diskonto arba palūkanų norma k ir pinigų srautas CFt (įplaukos grynais pinigais su pliuso ženklu arba įdėjimai grynais pinigais su minuso ženklu), apskaičiuojamas:

TPB(k)T= CFt×(1+k)T-t; (7.9) t=0čia T= 0,1,2,..., n.

Investicinio projekto balanse parodyta būsimoji vertė PB(k)n yra lygi skirtumui tarp projekto įplaukų būsimosios vertės ir įdėjimų į projektą būsimosios vertės, apskaičiuotų, kai diskonto arba palūkanų norma yra k dydžio. Šis dydis alternatyvų analizėje naudojamas lygiai taip pat, kaip esamoji vertė ar vidutinė metinė vertė.

Diskontuotas atsipirkimo periodas ir nurodo laiko momentą t= n, kai projekto balansas PB(k)t

tampa neneigiamu (pelningu), ir kuriuo pradedant laikoma, kad nebėra rizikos investicijai būti nuostolinga. Bendru atveju, jei projektas baigiamas po n, tai ekonominių nuostolių negauname. Tuo atveju, kai vienam projektui būdingos kelios n reikšmės, projekto balanso diagramoje akivaizdžiai matyti, kokiu momentu reiktų atsisakyti projekto realizavimo.

Projekto balansas taip pat parodo, kokio dydžio įdėtu kapitalu rizikuojama patirti nuostolius, jei projektas baigtųsi iki n’ momento. Kadangi iki n’ imame gauti įplaukas, tai , pradedant pradiniu momentu, galimų nuostolių dydis nuolatos mažėja. Grafiškai aiškiai matomi ir tempai, kuriais mažinama nuostolių rizika. Kai tik inovacija tampa pelninga, projekto balansas parodo, koks yra potencialus pelnas. Iš grafiko matome pelno dydį, kurio reikia laukti, pereinant nuo vieno periodo prie kito, bei tempus, kuriais jis bus akumuliuojamas.Tokia informacija yra itin naudinga sprendžiant, kokiu momentu reikia atsisakyti projekto realizavimo. Dėl išdėstytų ypatumų, naudojantis projekto balansu, galima giliau išanalizuoti nagrinėjamų investicinių alternatyvų rezultatus.Pavyzdys. Projekto pinigų srautai parodyti lentelėje:

Metų pabaiga Pinigų srautai, CBt

0 - 10.000 p.v.1 1.000 p.v.2 5.000 p.v.3 8.000 p.v.4 6.000 p.v.5 3.000 p.v.

Palūkanų norma lygi 20%. Sudarykite projekto balansą ir pavaizduokite jį grafiškai. Sprendimas. Jeigu projekto realizavimas baigtųsi iki 1.000 p.v. įplaukų gavimo laiko momentu t=1, tai nuostoliai prilygtų tik pradinei investicijai. Projekto balansas tada būtų:

PB (20)0= - 10.000 p.v.PB (20)1= - 10.000 (1.20) + 1.000 = - 11.000 p.v.PB (20)2= - 11.000 (1.20) + 5.000 = - 8.200 p.v.PB (20)3= -8.200 (1.20) + 8.000 = -1.840 p.v.PB (20)4= -1.840 (1.20) + 6.000 = 3.792 p.v.PB (20)5= 3.792 (1.20) + 3.000 = 7.550 p.v.

Jei investicinis projektas realizuojamas iki galo (t=5), tai galutinė projekto balanso vertė PB (20)5 bus lygi visų projekto pinigų srautų būsimajai vertei.

FV = - 10.000 (1 + 0.20)5 + 1.000 (1 + 0.20)4 + 5.000(1 + 0.20)3 + 8.000(1 + +0.20)2 + 6.000(1 + 0.20)1 + 3.000 = 7.550 p.v.

Projekto balanso grafikas parodytas 7.3 paveiksle.

PB(20)

PB (20)5= 7550 p.v.

- PB (20)4= 3792 p.v.

0 1 2 3 4 5 T

7.3 pav. Nagrinėjamo investicinio projekto balanso diagrama

Iš jo matyti, kad projektas taps pelningu ketvirtais jo realizavimo metais.

7.2. Sprendimų priėmimas, palyginant alternatyvinius investicinių projektų variantus Praėjusiame skyriuje išnagrinėjome keletą metodų, skirtų investicinių projektų ekonominių pasėkmių vertinimui.Jie yra tarpusavyje ekvivalentiški,kadangi, teisingai naudojant, leidžia nuosekliai parinkti tas pačias alternatyvas arba išdėstyti jas tuo pačiu eiliškumu. Parodėme, kaip nustatomas atskiro investicinio projekto ekonominis priimtinumas, lyginant su alternatyva “niekur neinvestuoti”. Tačiau praktikoje dažniausiai susiduriame su uždaviniu, kaip, esant ribotai kapitalo įdėjimų apimčiai, parinkti vieną ar daugiau alternatyvų iš daugelio jų skaičiaus. Šiame skyriuje išsiaiškinsime, kaip reikia spręsti tokias problemas.

Investicinių projektų grupės

Bendriausiu atveju alternatyvų ekonominėje analizėje susiduriame su būtinumu įvertinti daugiau kaip dvi alternatyvas. Visas jas galima suskirstyti į dvi grupes:

1. Tarpusavyje nepriklausomos alternatyvos;2. Abipusiškai nesuderinamos alternatyvos.

Kai iš eilės galimų alternatyvų galima parinkti daugiau kaip vieną, tai tokios alternatyvos vadinamos tarpusavyje nepriklausomomis. Pavyzdžiui, investuotojas nori įsigyti visas paprastas akcijas, kurių laukiama pelno norma yra nemažesnė nei 25% per metus. Kai iš eilės galimų alternatyvų turi būti parinkta viena pati geriausia alternatyva, tai turime abipusiškai nesuderinamas alternatyvas. Pavyzdžiui, įmonė norinti įsigyti įrengimus, galės rinktis iš keleto įvairių įmonių leidžiamų modelių, bet pasirinks tik vienerius įrengimus Tarpusavyje nepriklausomos alternatyvos paprastai įvertinamos, remiantis tam tikru numatytu dydžiu (pavyzdžiui, minimalia priimtina pelno norma MARR). Tada vienos iš jų parinkimas neturės įtakos kitų parinkimui. Vienos geriausios alternatyvos parinkimas iš eilės abipusiškai nesuderinamų alternatyvų reiškia, kad likusios bus atmestos ir jų realizuoti nebus galima. Tokiai analizei atlikti geriausia naudotis esamos, būsimos ar vidutinės metinės vertės metodais. Vidinės pelno normos metodą taikyti ir interpretuoti yra sunkiau. Atskirą grupę sudaro tokios alternatyvos, kurių realizavimas reikalauja vykdyti tam tikras kitas alternatyvas. Tačiau apjungus kelias tokias alternatyvas galima suformuoti abipusiškai suderinamas.

PB (20)3= -1840 p.v.

PB (20)2= -8200 p.v.

PB (20)0= -10000 p.v.

PB (20)1= -11000 p.v.

Dar vieną alternatyvų grupę sudaro projektai, kurių realizavimas priklauso nuo finansinių apribojimų, pavyzdžiui, turimos sumos nepakanka galimai investicijai arba pradiniai visų galimų projektų kaštai viršija investicijai skirtą sumą. Ekonominės analizės pagrindą sudaro abipusiškai nesuderinamų alternatyvų įvertinimas.

Projekto gyvavimo trukmės įvertinimas

Kai, analizuojant įvairias alternatyvas, skiriasi įvertinimo planinio periodo trukmės, galima gauti ne tik neteisingus, bet dažnai ir absurdiškus rezultatus.Šios klaidos išvengsime, taikant vidutinė metinės trukmės metodą. Tačiau, skaičiuojant projekto esamąją vertę ir lyginant ją su kitomis alternatyvomis, pirmenybė visada bus suteikta projektui, kurio gyvavimo trukmė bus trumpesnė. Net jei šis projektas bus ne pats ekonomiškiausiais, jo esamoji vertė gali būti aukštesnė, nes pinigų srautai apima mažesnį periodų skaičių. Todėl analizuojant alternatyvas būtina, kad, jas lyginant, periodų skaičius sutaptų, t.y. lyginamų projektų gyvavimo trukmės būtų vienodos. Šį reikalavimą galima patenkinti dviem metodais:

1. Palyginti alternatyvas naudojantis vieningu planiniu periodu, kuris neatsižvelgia į atskirų alternatyvų gyvavimo trukmes;

2. Alternatyvoms paliginti naudotis vieningu laikotarpiu,kuris lygus mažiausiam bendram jų gyvavimo trukmių daugikliui.

Pirmuoju metodu ekonominei analizei atlikti pasirenkamas tam tikras planinis periodas. Tik šiame periode gaunami pinigų srautai laikomi svarbiais. Tie pinigų srautai, kurie gaunami po planinio periodo, analizėje neįvertinami. Planinio periodo trukmė pasirenkama priklausomai nuo to, kokie yra investicijos tikslai – trumpalaikiai ar ilgalaikiai. Po to alternatyvos palyginamos esamosios arba būsimosios vertės metodu. Antruoju metodu vienoda alternatyvų gyvavimo trukmė gaunama suradus bendrą mažiausią daugiklį (kartotinį). Kiekvienos alternatyvos pinigų srautų ciklas kartojamas tiek kartų, kol projektų trukmės susilygina. Pavyzdžiui, jeigu lyginamos alternatyvos, kurių gyvavimo trukmės atitinkamai 3 ir 2 metai, tai analizuojamas bus 6 metų periodas. Norint taikyti šį metodą, būtina, kad:1. Poreikis analizuojamoms alternatyvoms išliktų iki pat bendro periodo pabaigos;2. Vėlesniuose gyvavimo cikluose alternatyvų pinigų srautai išliktų tokie patys, kaip ir pirmame.

Pavyzdys Įmonės vadovai turi nuspręsti ar investuoti į įrengimus A, ar į įrengimus B.

Įrengimai A Įrengimai BĮrengimų kaina, p.v. 11.000 18.000Metinės eksploatavimo išlaidos, p.v. 3.500 3.100Likvidacinė vertė, p.v. 1.000 2.000Tarnavimo laikas, metais 6 9

Nustatyti:a) kuriuos įrengimus reiktų įsigyti, remiantis esamosios vertės kriterijumi, kai palūkanų norma

15% per metus;b) kuri alternatyva bus pasirinkta, jei bus nustatytas 5 metų planinis periodas, o likvidacinė vertė

nesikeis ?Sprendimas.

a) Šiuo atveju bendra alternatyvų realizavimo trukmė sudaro 18 metų. Jeigu kaštus pateiksime su pliuso ženklu, tai:

1 1PVA = 11.000 + 11.000 (1+0.15)6 - 1.000 (1+0.15)6 + 1 1 + 11.000 (1+0.15)12 -1.000 (1+0.15)12 -

1 18 1 - 1.000 (1+0.15)12 + ∑ 35.000 (1+0.15) t = 38.559 p.v. t=1 1 1PVB = 18.000 + 18.000 (1+0.15)9 - 2.000 (1+0.15)9 - 1 18 1 - 2.000 (1+0.15)18 + ∑ 31.000 (1+0.15) t = 41.384 p.v.

Kadangi PVA< PVB , tai reikia pasirinkti įrengimus A.

Alternatyvų palyginimas pagal ekvivalentiniųverčių skaitines reikšmes

Nagrinėsime alternatyvas, kurios tenkina sąlygas:1. Jos yra abipusiškai suderinamos;2. Alternatyvos apima visus galimus atvejus, išskyrus alternatyvą “niekur neinvestuoti”;3. Tik ekonominiai veiksniai turi įtakos sprendimo priėmimui.

Kai galimos alternatyvos lyginamos esamosios vertės metodu, tai kiekvienai jų apskaičiuojamos esamosios vertės reikšmės, naudojantis atitinkama diskonto norma. Šios reikšmės lyginamos su alternatyvos “niekur neinvestuoti” reikšme PV (0) = 0 ir tarpusavyje. Kai PV (x) > PV (y), tai reiškia, kad alternatyva X yra pranašesnė už alternatyvą Y. Po to alternatyvos išdėstomos esamosios vertės dydžio mažėjimo tvarka. Analogiškai galimos alternatyvos lyginamos vidutinės metinės vertės metodu. Čia apskaičiuota kiekvienos alternatyvos vidutinė metinė vertė lyginama su alternatyvos “niekur neinvestuoti” vidutinė metinė vertė ir tarpusavyje. Toliau alternatyvos išdėstomos vidutinės metinės vertės mažėjimo eiliškumu.

Pavyzdys. Analizuojamos keturios abipusiškai suderinamos alternatyvos, kurių pinigų srautai parodyti lentelėje:

Pinigų srautai CFt

Periodo pabaiga AlternatyvaI

AlternatyvaII

AlternatyvaIII

AlternatyvaIV

0 - 1.000 - 1.000 - 1.100 - 2.0001 - 10 0 300 320 550

10 4.000 0 0 0

Diskonto norma (minimali priimtina pelno norma MARR) sudaro 20% per periodą. Išdėstykite alternatyvas esamosios ir vidutinės metinės vertės mažėjimo eiliškumu.

Sprendimas.PV (I) = - 1.000×1,000 + 0×4,192 + 4.000×0,162 = 354 p.v.PV (II) = - 1.000×1,000 + 300×4,192 + 0×0,162 = 258 p.v.PV (III) = - 1.100×1,000 + 320×4,192 + 0×0,162 = 241 p.v.PV (IV) = - 2.000×1,000 + 550×4,192 + 0×0,162 = 305 p.v.PV (IV) > PV (II) >PV (III) > PV (0) > PV (I),

Tai altennatyva IV>II>III>0>I.AV (I) = 4.000×0,039 – 1.000×0,239 = -85 p.v.AV (II) = 300 – 1.000×0,239 = 61 p.v.AV (III) = 320 – 1.100×0,239 = 57 p.v.AV (IV) = 550 – 2.000×0,239 = 73 p.v.

Kadangi AV (I) > AV (II) > AV (III) > AV (0) > AV(I),

Tai alternatyva IV>II>III>>I.

Alternatyvų palyginimas, įvertinant pinigų srautų pokyčius

Aptardami vidinės pelno normos metodo naudojimą alternatyvų analizėje pabrėžėme, kad siūlomas investicinis projektas bus ekonomiškai priimtinas tik tuo atveju, kai projekto vidinė pelno norma viršys minimalios priimtinos pelno normos MARR dydį. Tačiau tai nereiškia, kad skirtingas alternatyvas galime palyginti tarpusavyje pagal jų vidinės pelno normos reikšmes. Tam, kad išdėstytume galimas abipusiškai suderinamas alternatyvas tokiu eiliškumu, kuris rodytų kiekvienos jų pranašumą prieš kitą, reikia papildomos analizės. Jos esmė išdėstyta toliau. Lyginant tarpusavyje alternatyvų poras, randami pinigų srautų skirtumai kiekvienu laiko momentu per visą alternatyvų gyvavimo trukmę.Šių pokyčių pagrindu apskaičiuojamas pelno normos dydis lyginamas su minimalia pageidaujama pelno norma. Jei gautas dydis yra mažesnis, tai pirmoji alternatyva yra nepateisinama lyginant su antrąja ir atvirkščiai. Taip palyginami tarpusavyje visi galimų alternatyvų variantai. Gaunamas alternatyvų eiliškumas visada sutampa su rezultatais, naudojantis esamosios ir vidutinės metinės vertės metodais.

Pavyzdys. Išdėstykite alternatyvas priimtinumo tvarka, naudodami vidinės pelno normos metodą. Alternatyvų pinigų srautai parodyti aukščiau išnagrinėto pavyzdžio lentelėje.

Sprendimas. 1

PV (I) = - 1.000 + 4.000 (1 + IRR)10 = 0 ;IRR (I) = 0,15 < 0,20. Ši alternatyva nepriimtina. 10 1PV (II) = - 1.000 + ∑ 3.000 (1 + IRR)t = 0 ; t=1IRR (II) = 0,275 > 0,20. 10 1PV (III) = - 1.100 + ∑ 320 (1 + IRR)t = 0 ; t=1IRR (III) = 0,286 > 0,20. 10 1PV (IV) = - 2.000 + ∑ 550 (1 + IRR)t = 0 ; t=1IRR (IV) = 0,245 > 0,20.

Alternatyvos II, III, IV yra pranašesnės už alternatyva “niekur neinvestuoti”. Lyginame jas tarpusavyje.

Pinigų srautai, CFt

Periodo pabaiga

AlternatyvaII

AlternatyvaIII

PokytisIII - II

0 - 1.000 - 1.100 - 1001 –10 300 320 20

10 1PV (III - II) = - 100 + ∑ 20 (1 + IRR)t = 0 ; t=1IRR (III - II) = 0,15 < 0,20. Todėl alternatyva III nėra pranašesnė už alternatyvą II.

Pinigų srautai, CFt

Periodo pabaiga

AlternatyvaII

AlternatyvaIV

PokytisIV - II

0 - 1.000 - 2.000 - 10001 –10 300 550 250

10 1PV (IV - II) = - 1000 + ∑ 250 (1 + IRR)t = 0 ; t=1IRR (IV - II) = 0,21 > 0,20. Todėl alternatyva IV yra pranašesnė už alternatyvą II.

Todėl alternatyvų eiliškumas bus toks:IV > II > III > 0 > I.

Ribotos kapitalo įdėjimų apimties įvertinimas.

Iki šiol nagrinėdami galimus investicinius projektus rėmėmės prielaida, kad turimo kapitalo pakanka visiems priimtiniems projektams finansuoti. Tačiau praktikoje daugelio įmonių investuojamo kapitalo dydis yra ribotas, todėl kapitalo kaštų ( įdėjimų ) sąmata apribojama tik keleto iš priimtinų projektų finansavimu. Norint priimti sprendimą, kai kapitalo apimtis yra ribota, pradžioje iš visų galimų projektų suformuojamos abipusiškai suderinamos alternatyvos. Alternatyvos tarpusavyje palyginamos naudojantis esamosios vertės, vidutinės metinės vertės ar vidinės pelno normos metodais. Po to jos išdėstomos mažėjančio priimtinumo eiliškumu. Iš visų projektų atmetami tie, kurių pradiniai kaštai ( investicijos ) viršija investicijoms skirto kapitalo dydį. Galiausiai į kapitalo kaštų ( įdėjimų ) sąmatą įtraukiami tie pirmieji projektai, kurių pradinių kaštų ( investicijos ) suma neviršija turimo kapitalo apimties.

Kontroliniai klausimai

1. Kokie yra pagrindiniai investicinių projektų įvertinimo metodai ?2. Kaip parenkama viena iš dviejų alternatyvų naudojantis esamosios vertės, būsimosios vertės ir

vidutinės metinės vertės metodais ?3. Kaip parenkama esamosios vertės metodu viena iš dviejų alternatyvų su skirtingomis gyvavimo

trukmėmis ?4. Kodėl, lyginant investicinius projektus su skirtingomis gyvavimo trukmėmis, projekto vidutinė metinė

vertė apskaičiuojama tik vienam jo ciklui ?5. Kas yra projekto pelno norma ?6. Kokiu atveju projektas gali turėti kelias vidines pelno normas ?7. Kokia esmine prielaida skiriasi esamosios vertės ir vidinės pelno normos metodai ?8. Kuo modifikuotos vidinės pelno normos metodas yra pranašesnis už vidinės pelno normos metodą ?9. Kokie yra atsipirkimo periodo metodo trukmės ? Kokiais atvejais šio metodo naudojomas yra

pateisinamas ?10. Kodėl palyginant projektus naudos – kaštų santykio metodu nepakanka nustatyti kiekvieno iš jų

naudos ir kaštų santykį ?11. Ką parodo projekto balansas ?12. Kuo skiriasi tarpusavyje nepriklausomos ir abipusiškai nesuderinamos alternatyvos ?13. Kaip parenkama viena iš kelių abipusiškai nesuderinamų alternatyvų ?

14. Kodėl, lyginant vidinės pelno normos metodu keletą tarpusavyje nesuderinamų alternatyvų, reikia įvertinti jų pinigų srautų pokyčius ?

8.TURTO ( ĮRENGIMŲ ) ATNAUJINIMO ALTERNATYVŲ ĮVERTINIMAS

8.1.Atnaujinimo būtinumas ir priežastys

Gamybos ir aptarnavimo procese tenka naudoti didelį kiekį turto – pastatų, įrengimų, prietaisų, įrankių, inventoriaus. Jie sunaudojami, nusidėvi fiziškai ir moraliai, todėl po tam tikro laiko keičiami. Šis procesas vadinamas turto atnaujinimu ( renovacija ). Turto atnaujinimo sprendimus būtų lengva priimti, jeigu galėtume tiksliai prognozuoti ateitį. Tada pasirinkimą tarp esamo ir naujo turto lemtų būsimų pajamų ir numatomų atnaujinimo išlaidų skirtumų analizė. Deja, nėra tokių metodų, kurie pateiktų tikslią informaciją apie ateitį. Vadinasi, kiekviena situacija turi būti įvertinta pagal sukauptą patirtį ir einamuoju momentu turimas žinias, kai tenka priimti tokio pobūdžio sprendimus.Geriausiai turto atnaujinimo sprendimus gali priimti inžinieriai. Tai garantuoja jų išsilavinimas, kvalifikacija, įrengimų pasiūlos analizė, profesinis suinteresuotumas būti objektyviais. Kadangi įmonės sėkmė priklauso nuo jos gaunamo pelno. Todėl įrengimų ar kito turto pakeitimai turi būti grindžiami atnaujinimo operacijų ekonomiškumu. Nors gamybos svarbiausia sąlyga yra gaminti su galimai mažiausiais kaštais, bet gamybinio turto pakeitimo analizėje dažnai naudojami anaiptol ne ekonominiai motyvai. Daugelis laikosi klaidingos nuomonės, kad turtą reikia keisti tada, kai jis visiškai nusidėvi, o ne tada, kai tai labiausiai ekonomiškai tikslinga. Tokią nuomonę lemia žmonių pripratimas prie esamo turto, pasitikėjimas juo, daugeliui būdingas pasikeitimų ir papildomų rūpesčių vengimas, inertiškumas. Keičiant funkcionaliai efektyvus, bet moraliai pasenusius gamybinius įrengimus, sutaupomas darbo laikas, energija, medžiagos, pasiekiama aukštesnė produkcijos kokybė. Keitimo analizėje reikia įvertinti ne tik pačio naujo įrengimo kainą, bet ir visus kaštus susijusius su jo įvedimu į eksploataciją. Tai gali būti transportavimo, montavimo, derinimo, seno įrengimo demontavimo, grindų ir pamatų keitimo, energijos ir vamzdyno privedimo – keitimo kaštai. Iš visų šių kaštų sumos reikia išskaičiuoti senų įrengimų realizavimo arba likvidacinę vertę. Yra dvi pagrindinės turto keitimo priežastys – tai fizinis ir moralinis jo nusidėvėjimas. Pirmas yra susijęs su fizinėmis pačio turto funkcionavimo sąlygomis, antras – technine pažanga ir kitais išorinės aplinkos pasikeitimais. Fizinis nusidėvėjimas gali sumažinti teikiamos paslaugos vertę, padidinti eksploatavimo kaštus. Pavyzdžiui, buldozeriui tai gali sumažinti jo pajėgumą perstumti žemes ir tuo pačiu jo teikiamos paslaugos vertę. Padidėjus kuro sunaudojimui ir remonto išlaidoms – išaugo eksploatavimo kaštai. Moralinis nusidėvėjimas pasireiškia pastovaus gamybos priemonių tobulėjimo pasekoje. Dažnai tobulėjimo greitis yra labai didelis, vienok keisti esamą turtą, o ypač įrengimus naujais yra žymiai ekonomiškiau, negu eksploatuoti moraliai pasenusius.

8.2.Atnaujinimo alternatyvų aprašymas

Esamas ir naujas turtas, kuriuo galvojama pakeisti, turi būti įvertinti numatomo keitimo momentui. Esamą ir naują turtą galima išreikšti būsimų pajamų ir išlaidų pinigų srautais pagal aukščiau aprašytą metodiką. Tačiau atnaujinimo analizėje lyginamos seno esamo turto ir naujo numatomo įsigyti alternatyvos, todėl šio tipo analizė turi kai kurių ypatumų. Paprastai pinigų srautų trukmė ir dydis senam ir naujam turtui labai skiriasi. Naujam turtui charakteringi aukšti kapitalo kaštai ir žemi eksploatavimo kaštai. Senam turtui dažniausiai kapitalo kaštai dėl nusidėvėjimo žemi, o eksploatavimo – aukšti ir pastoviai augantys. Be to, seno turto likęs tarnavimo laikas trumpesnis ir jo pinigų srautus galima pakankamai tiksliai nustatyti. Sprendimą šiuo metu nekeisti turtą galima peržiūrėti bet kuriuo momentu ateityje, remiantis sekančių metų duomenimis. Analizėje negalima vertinti seno turto nusidėvėjusių kaštų.

Taigi, tyrime naudojama esamo seno turto vertė turi būti ta, kurią mes gautume analizės metu jį pardavę. Pamėginsime tai iliustruoti šiuo pavyzdžiu. Tarkime, kad įrengimas A buvo nupirktas prieš 4 metus už 2.200 p.v., žinota, kad jis tarnaus 10 metų ir turės 200 p.v. likvidacinę vertę. Jo eksploatavimo išlaidos yra 700 p.v. per metus ir, atrodo, kad jis tarnaus patenkinamai įvertintos trukmės likutį. Šiuo metu siūloma pirkti įrengimą B už 2400 p.v. Jo tarnavimo trukmė 10 metų, likvidacinė vertė 300 p.v., eksploatavimo kaštai – 400 p.v. per metus.Įmonės MARR lygi 15%. Įrengimą A dabar galima parduoti už 600 p.v. Tam, kad tinkamai palyginti šias alternatyvas,analizė turi būti atlikta žmogui, kuriam reikalinga įrengimo A arba B paslauga ir kuris nei vieno iš jų neturi. Jis gali pirkti įrengimą A už 600 p.v. arba įrengimą B už 2.400 p.v. Šiuo požiūriu įvertinami tik esami ir būsimi pinigų srautai. Buvę pinigų srautai, susiję su nuvertėjusiais kaštais, ignoruojami. Šis požiūris vadinamas autsaiderio požiūriu. Analizėje priimamas 6 metų tiriamas laikotarpis lygus įrengimo A likusiam (10–4) tarnavimo laikui. Apskaičiuosime metinius ekvivalentinius kaštus ( Equivalent annual cost – EAC ) dirbant su įrengimu A 6 metus:

Metinis kapitalo padengimas su pelnu ( Annual capital recovery withreturn – ACRWR ) : A/P 15,6

(600 – 200) × (0,2642) + 200 (0,15) = 136

Metiniai eksloatavimo kaštai (Annual operating cost – AOC) 700 Metiniai ekvivalentiniai kaštai (EAC) 836 p.v. Apskaičiuojame įrengimo B pirkimo ir jo naudojimo 10 metų laikotarpiu metinius ekvivalentinius kaštus:

A/P 15,10 ACRWR, (2.400 – 300) × (0,1993) + 300 (0,15) = 464AOC, 400EAC, 864 p.v.

Jei priimama alternatyva tęsti darbą su įrengimu A, tai metinės sutaupymo perspektyvos 6 metams yra: 864 – 836 = 28 p.v. Sekantiems keturiems metams sutaupymo suma priklausys nuo charakteristikų įrengimo, kurį galima bus nupirkti po 6 metų, keičiant įrengimą A.Autsaiderio požiūris gali būti panaudojamas ir kitų tipų alternatyvų parinkimams.

8.3. Atnaujinimo analizė esant skirtingiems tarnavimo laikams

Tiksliam alternatyvų palyginimui teoriškai būtina išnagrinėti visus jų būsimus pinigų srautus už periodą nuo “dabar” iki “ateities laiko”, kuriame jų veiksmas tampa vienodas. Praktiškai retai galima peržvelgti visas grandis ateities įvykių grandinėje. Taip pat sunku surasti “ateities tašką”, kuriame vienos alternatyvos parinkimas dabar turėtų tokį pat veiksmą kaip ir kitos. Toliau pateiksime bendrą alternatyvų tyrimo periodo parinkimo metodą. Pagal šį metodą alternatyvų palyginimas vykdomas remiantis kaštais ir pajamomis per parinktą periodą. Pinigų srautų poveikis už tiriamą periodą yra pašalinamas atitinkamais skaičiavimais. Tiriami periodai visoms palyginamoms alternatyvoms turi būti vienodi. Parinkto tiriamo periodo panaudojimo iliustracijai panagrinėsime sekantį pavyzdį. Tam tikros operacijos vykdomos su įrengimu E, kurio dabartinė likutinė vertė yra 2.000 p.v., būsimas tarnavimo laikas – 5 metai, kurio pabaigoje likutinė vertė lygi 0. Eksploatavimo kaštai dirbant su įrengimu Ė yra 1.200 p.v. per metus. Laukiama, kad po 5 metų įrengimas Ė bus pakeistas įrengimu F, kurio pradiniai kaštai yra 10.000 p.v., tarnavimo laikas 15 metų, likutinė vertė 0 p.v. ir metiniai eksploatavimo kaštai 600 p.v. Reikia suprasti, kad įvertinimai liečiantys įrengimą F gali būti klaidingi. Tiriamas tikslingumas pakeisti Ė įrengimą į G, kurio pradiniai kaštai 8.000 p.v., tarnavimo laikas 15 metų, likutinė vertė 0 p.v., eksploatavimo kaštai 900 p.v. Detalūs duomenys pateikti 8.1 lentelėje. Analizė pagrįsta parinktu tyrimu periodu.

8.1 lentelė

Metų pabaigaI planas

Investicija į įrengimus, p.v.

Eksploatavimo kaštai, p.v.

II planasInvesticija į

įrengimus, p.v.Eksploatavimo

kaštai, p.v.0 Įrengimas Ė

2.000 -Įrengimas G

8.000 -1 1.200 9002 1.200 9003 1.200 9004 1.200 9005 1.200 9006 Įrengimas F

10.000600 900

7 600 9008 600 9009 600 90010 600 90011 600 90012 600 90013 600 90014 600 90015 600 90016 60017 60018 60019 60020 600

1.Analizė pagrįsta 15 metų tiriamu periodu pripažįstant likusią nepanaudotą vertę. Parenkamas tyrimo periodas sutampantis su įrengimo G tarnavimo laiku. Toks parinkimas reikalauja skaičiavimų, privedančių abu planus prie vieno stovio 15 metų gale. Pagal I planą tyrimo periodas apima įrengimo Ė 5 metų tarnavimą ir įrengimo F 10 metų tarnavimą, kurio naudingas tarnavimo laikas prasitęsia 5 metus už tiriamo periodo ribų. Todėl teisingas kaštų paskirstymas, susijęs su įrengimu F, turi būti atliktas visam jo tarnavimo periodui. Priėmė, kad metiniai ekvivalentiniai kaštai, susiję su šiuo įrengimų, yra pastovūs per visą jo tarnavimo laiką, gauname:

A/P 10,15EAC (10)F 10.000 (0,1315) + 600 1915 p.v.

Esamos vertės kaštai per 15 tarnavimo metų tiriamame periode yra lygūs:

P/A 10,5 P/A 10,10 P/F 10,5PV (10)I 2.000 + 200 (3,791) + 1915 (6,144) × (0,6209) 13856 p.v.

Šioje bazėje vertė likusi įrengime F tiriamo periodo pabaigoje gali būti apskaičiuojama: A/P 10,15 P/A 10,5

FV 1.000 (0,1315) × (3,791) 4985 p.v. Pagal II planą įrengimo G tarnavimo laikas sutampa su tiriamu periodu. Esamos vertės kaštai per 15 metų jo tarnavimo laiko yra:

P/A 10,15PV (10)II 8.000 + 900 (7,606) 14.845 p.v.

Esamos vertė kaštų bazėje 15 metų tiriamame periode turi būti parinktas I planas.

2.Analizė pagrįsta 15 metų tiriamu periodu, nepripažįstant likusios nepanaudotos vertės. Vertės, likusios turte parinkto tiriamo periodo pabaigoje, kartais yra ignoruojamos tam, kad supaprastinti palyginimui reikalingus skaičiavimus. Priimama, kad tiriamo periodo pabaigoje turtas bus likviduojamas. Šios prielaidos bazėje I planas skaičiuojamas šia tvarka. Metiniai ekvivalentiniai įrengimo F kaštai:

A/P 10,10EAC (10)F 10.000 (0,1628) + 600 2228 p.v.

Esamos vertės kaštai per 15 tarnavimo metų: P/A 10,5 P/A 10,10 P/F 10,5

PV (10)I 2.000 + 200 (3,791) + 2.228 (6,144) × (0,6209) 15.049 p.v. Rezultatai žymiai skiriasi nuo ankstesnio, kuriame pripažįstama likusi nepanaudota vertė. Kadangi ankstesnis metodas duoda tikslesnius rezultatus, ji ir tikslinga naudoti alternatyvų palyginimuose.

3.Analizė pagrįsta penkių metų tiriamu periodu. Informacijos trūkumas dažnai priverčia pasirinkti trumpesnį tyrimo periodą. Pavyzdžiui, įrengimo F charakteristikos lentelėje gali būti neaiškios. Tuo atveju gali būti parinktas 5 metų tyrimo periodas, sutampantis su įrengimo Ė nurašymo data. Metiniai ekvivalentiniai kaštai įrengimo Ė per penkis sekančius metus bus:

A/P 10,5EAC (10)Ė 2.000 (0,2638) + 1.200 1.728 p.v.

EAC įrengimui G pagrįsti 15 metų tarnavimo laiku:A/P 10,15

EAC (10)G 8.000 (0,1315) + 800 1.952 p.v.

Šiuo atveju įrengimas Ė pranašesnis už įrengimą G: 1.952 – 1.728 224 p.v. per metus.

8.4. Ekonomiška turto tarnavimo trukmė

Ekonomiška turto (įrengimų) tarnavimo trukmė yra laiko intervalas, kuris minimizuoja bendrus turto metinius ekvivalentinius kaštus (Total equivalent annual costs – TEAC) arba maksimizuoja grynąsias metines ekvivalentines pajamas (Equivalent annual net income – EANI). Todėl ji yra minimalių kaštų turto tarnavimo laikas arba optimalaus atnaujinimo intervalo laikas. Tais atvejais, kai turto eksploatavimo kaštai pastoviai auga, ekonomišką turto tarnavimo trukmę n galima nustatyti pagal formulę:

n 2P/m , (8.1)čia P – pradiniai turto kaštai; m – kasmetinis eksploatavimo kaštų padidėjimas.

Bendru atveju ekonomiška turto tarnavimo trukmė surandama kasmet skaičiuojant bendrus metinius ekvivalentinius kaštus (TEAC), o minimali jų trukmė parodo tuos metus, kuriais ekonomiškai tikslinga turtą nurašyti.

8.5. Atnaujinimo analizė, pagrįsta ekonomiška turto tarnavimo trukme

Turto (įrengimų) atnaujinimo tyrimuose reikia įvertinti šiuos pagrindinius momentus:1. Ignoruojami nuvertėję kaštai ir nustatomi gerų progų kaštai (autsaiderio požiūris);2. Surandami ekonomiški tiriamo turto tarnavimo laikai (parenkami palankiausi kiekvienam turtui):

a) jei metiniai kaštai pastovūs, būsimos likutinės vertės vienodos – parenkama ilgiausia galimo tarnavimo trukmė;

b) jei metiniai kaštai didėjantys, o būsimos likutinės vertės lygios – parenkama galimai trumpiausia tarnavimo trukmė.

3. Palyginamos atnaujinimo alternatyvos, naudojant turto su skirtingais tarnavimo laikais palyginimo periodą.

Analizę atliksime šiuo pavyzdžiu. Prieš 3 metus cheminė gamykla įrengė sistemą kainavusią 20.000 p.v., pašalinančią teršalus iš nutekamų vandenų, išmetamų į šalia esančią upę. Ši sena sistema neturi esamos likutinės vertės, o jos eksploatavimas sekančiais metais kainuos 14.500 p.v. su laukiamu 500 p.v. padidėjimu kasmet. Suprojektuota nauja sistema senos pakeitimui. Jos įrengimo kaštai numatomi 10.000 p.v. Pirmų metų eksploatavimas kaštai bus 9.000 p.v. ir kasmet didės po 1.000 p.v. per visą 12 metų naudingą tarnavimo laiką. Kadangi abi sistemos yra specialiai projektuotos šiam cheminiam procesui, tai jų likutinės vertės bet kuriuo būsimu laiku bus lygios 0. Ar gamyklai tikslinga pakeisti esančią sistemą prie savo MARR ? Visų pirma, senos sistemos 20.000 p.v. pradiniai kaštai ignoruojami kaip prarasti kaštai. Po to surandama senos sistemos ekonomiška tarnavimo trukmė. Tačiau, kadangi esama ir būsima senos sistemos likutinė vertė lygi 0, tai gali būti panaudotas sutrumpintas metodas. Visi metiniai ekvivalentiniai kaštai senai sistemai lygūs:

TEAC CRWR + AOC arba A/P 12,nTEAC n metams (P – F) × ( ) + F (0,12) + 14.500 + A/P 12,n+ 500 ( )

Kadangi P F 0, tai CRWR kiekvienam n yra lygūs 0. Metiniai eksploatavimo kaštai didėja kiekvienais papildomais senos sistemos eksploatavimo metais. Ir šiuo didėjančių kaštų modeliu tarnavimo trukmė, kuriai TEAC minimizuota, yra trumpiausiai galima – vieneri metai. TEAC senai sistemai išlakyti vienerius metus yra 14.500 p.v. Po to būtina rasti naujos sistemos ekonomišką tarnavimo trukmę. Šiuo atveju TEAC skaičiuojami pirmiems 6 metams, kaip parodyta lentelėje. Šie kaštai toliau augs, jei nauja sistema bus eksploatuojama ilgiau kaip 6 metai.

8.2 lentelėNaujas sistemos TEAC skaičiavimas.

n Kapitalo padengimas su pelnu CRWR

Metiniai eksploatavimo

kaštai AOC

Bendri metiniai ekvivalentiniai kaštai TEAC

1 11200 9000 202002 5917 9470 153873 4164 9920 140844 3292 10360 136525x 2774 10770 13544 x

6 2432 11170 13602X ekonomiškas tarnavimo laikas.

Ekonomiškas naujos sistemos tarnavimo laikas yra 5 metai, o jį atitinkantis TEAC=13544 p.v. Šios alternatyvos dabar gali būti palyginamos labiausiai palankiose kiekvienai bazėse. Tam turi būti pritaikytas turto (įrengimų) alternatyvų su skirtingais tarnavimo laikais parinkimo metodas, pateiktas

anksčiau. Remdamiesi šia metodika, galime daryti išvadą, kad nauja sistema, jei eksploatuosime per jos ekonomišką tarnavimo trukmę, bus geresnė už senos sistemos eksploatavimą dar vienus metus.

Kontroliniai klausimai

1. Kokios pagrindinės turto (įrengimų) atnaujinimo priežastys? 2. Kaip pasireiškia fizinis turto nusidėvėjimas?3. Kaip pasireiškia moralinis turto nusidėvėjimas?4. Kokiam momentui įvertinamas numatomas keisti turtas (įrengimai)?5. Kuo išreiškiamas turto įvertinamas?6. Kokios savybės būdingos senam ir naujam turtui?7. Kokie pinigų srautai įvertinami ir kokie neįvertinami atnaujinimo alternatyvose?8. Kokių kaštų negalima vertinti turto (įrengimų) atnaujinimo analizėje?9. Kodėl atnaujinimo alternatyvos lyginamos vienodame laikotarpyje?10. Kaip vykdomas atnaujinimo alternatyvų palyginimas, esant skirtingiems turto (įrengimų) tarnavimo

laikams?11. Kodėl atnaujinimo analizėje kartais ignoruojama turto likusi vertė už tiriamo periodo ribų?12. Kodėl analizėje tenka pasirinkti trumpesnius tyrimo periodus?13. Kas yra ekonomiška turto tarnavimo trukmė?14. Kaip ji nustatoma, kai turto (įrengimų) eksploatavimo kaštai pastoviai didėja?15. Kaip bendru atveju nustatoma ekonomiška turto tarnavimo trukmė?16. Kaip apskaičiuojami bendri metiniai ekvivalentiniai kaštai (TEAC)?17. Kokių nuoseklumu vykdoma atnaujinimo analizė, pagrįsta ekonomiška turto tarnavimo trukme?

9. VISUOMENINĖS (VALSTYBINĖS) VEIKLOS ĮVERTINIMAS

9.1. Valstybinė veikla ir inžinerija

Principai, kuriais privačios įmonės įvertina savo veiklą, žymiai skiriasi nuo visuomeninės (valstybinės) veiklos įvertinime. Jei privačios įmonės savo veiklą vertina gautu pelnu, tai visuomeninė veikla vertinama pasiekta bendra gerove. Sąvoka “visuomeninė veikla” čia atitinka valstybės ir rėmėjų finansuojamus projektus, kurių įgyvendinimo tikslas – padidinti bendrą piliečių gerovę. Tai kelių, geležinkelių tiesimas, uostų, naftos terminalų statyba, gynybos, švietimo, sveikatos apsaugos paskirties objektų statyba, įvairiausių gamtosaugos, buitinės kanalizacijos, valymo įrengimų, projektų realizavimas. Tokių projektų rėmėjais be valstybės gali būti užsienio organizacijos, privatūs asmenys ir firmos. Valstybės organizacijų fondai šiems tikslams formuojami iš įmonių ir fizinių asmenų mokamų mokesčių. Daugelis visuomeninės veiklos projektų šiais laikais yra ypač aukšto techninio -–technologinio lygio. Jų realizavimas reikalauja tokių inžinerinių procesų, kaip tikslų nustatymas, strateginių faktorių identifikavimas, techninių – organizacinių priemonių parinkimas, inžinierinių pasiūlymų įvertinimas, konsultacinė pagalba, priimant sprendimus. Reikia pažymėti, kad visuomeninės veiklos įvertinimas bendros gerovės labui apima priemones duodamą naudą ir jos realizavimui reikalingus kaštus.

9.2. Naudos – kaštų analizė

Inžinerijos ekonomikos tyrimai nukreipti į visuomeninius projektus pirmiausia nustato naudą, gaunamą realizavus projektą. Kaip visuomeninis projektas yra vertinamas, pagrindinis sprendžiamas klausimas yra: ar jo rezultatai duos didžiausią galimą bendros gerovės padidėjimą, išreikštą ekonominių, socialinių, kultūrinių ir kitų visuomenės poreikių geresniu patenkinimu. Antru visuomeninio projekto vertinimo žingsniu analizuojami jo kaštai. Labiausiai paplitęs projekte kaštų nustatymo metodas yra projekto realizavimo konkurso paskelbimas. Žemiausia pasiūlyta statybos kaina, įvertinus siūlytojo galimybes laiku ir gerai atlikti darbus, apsprendžia projekto realizavimo kaštus.

Populiarus visuomeninių (valstybinių) projektų ekonominio pagrindimo metodas yra naudos – kaštų (Benefit – cost – BC) santykio apskaičiavimas. Šis santykis gali būti išreikštas:

nauda visuomeneiBC (i)= vyriausybės kaštai (9.1.)

Čia nauda ir kaštai pateikti ekvivalentinėmis metinėmis apimtimis, išreikštomis piniginiais vienetais. Todėl BC santykis atspindi vartotojų naudą ekvivalentiniais piniginiais vienetais ir analogiškai išreikštus rėmėjų kaštus. Nauda – tai visi pranašumai kartu minusuojant nepatogumus vartotojui. Kaštai – tai visos rėmėjų išlaidos. Todėl BC santykis dažnai išreiškiamas:

ekvivalentinė nauda BC(i)= ekvivalentiniai kaštai (9.2.)

Arba BBC(i)= I+C (9.3.)

Čia I – sponsoriaus investuotas ekvivalentinis kapitalas; C – grynieji ekvivalentiniai metiniai sponsoriaus kaštai; B – ekvivalentinė nauda vartotojui.Bet kuriam projektui BC santykis turi viršyti vienetą. Projektai su mažesniu už vienetą santykiu atmetami.

BC(i)>1, tada >1 arba

B – (I+C)>0.Alternatyvinis metodas naudojamas naudos – kaštų analizėje yra:

BC(i)= ; (9.4.)

Prie BC(i)>1, gauname >1

Arba B – (I+C)>0.BC analizės pavyzdžiu panagrinėkime tokią situaciją. Nelaimingi atsitikimai viename plente buvo

tiriami eilę metų. Jų kaštų apskaičiavimas apima prarastus uždarbius, medicinines išlaidas ir turto nuostolius. Vienam mirties atvejui vidutiniškai teko 35 sužeidimai ir 240 turto nuostolių. Vidutinė ekvivalentinė šių trijų nelaimingų atsitikimų klasių esama vertė yra:

asmens žuvimas – 900000 p.v.sužeidimas - 10000 p.v. turto nuostoliai - 1800 p.v.

Bendri vieno mirties atvejo nelaiminguose atsitikimuose kaštai yra:asmens žuvimas - 900000 p.v.sužeidimai 1000,35 - 350000turto nuostoliai 1800,240 - 43200

viso 1682000 p.v.

Mirtingumas plente buvo 8 atvejai šimtui milijonų automobilio mylių. Svarstomas pasiūlymas nutiesti 3 plento juostą. Tai kainuos 1,5*106 p.v. už mylią, tarnaus 30 metų, metiniai eksploataciniai kaštai 3% nuo pradinių statybos kaštų. Eismo tankumas plente yra 10000 mašinų per dieną. Palūkanų norma 7%. Apskaičiuota ,kad mirtingumas sumažės iki 4 šimtui milijonų automobilių mylių. Nors iš plento platinimo bus gaunama ir kita nauda, abejojama, kad nelaimingų atsitikimų sumažinimas yra pakankamas pateisinti išlaidas.

Plento platinimo projekto ekonominio pageidautinumo patikrinimui apskaičiuojame ekvivalentinę metinę naudą už mylią visuomenei:

B= =245572 p.v.

Ekvivalentiniai metiniai kaštai už mylią valstybei:A/P 7,30

C=1,5×106(0,0806)+1,5×106×0,03=165900 p.v.

Naudos – kaštų santykis:

BC(7) = =1,48

Tokiu būdu plento platinimas pateisinamas jau vien iš naudos gautos dėl nelaimingų atsitikimų sumažėjimo. Kita nauda, kaip kelionės laiko sumažinimas, dar padidintų santykį.

Skaičiuodami alternatyviniu metodu gauname:

BC(7) = =1,66

Rezultatas rodo, kad iš plento platinimo projekto bus gautas grynas sutaupymas 1,66 p.v. už kiekvieną investuotą p.v. Abu santykiai rodo, kad iš tokio kapitalo panaudojimo bus gaunama žymi nauda.

Kontroliniai klausimai

1. Kokių projektų vertinimai naudojama naudos – kaštų analizė?2. Kaip suprantama nauda BC analizėje?3. Kaip suprantami kaštai BC analizėje?4. Kaip išreiškiamas BC santykis?5. Kaip išreiškiamas BC santykis alternatyviniu metodu?6. Koks turi būti BC santykis, kad projektą galima būtų priimti?7. Kokie BC santykio projektai atmetami?

10. APSKAITA, NUSIDĖVĖJIMAS, MOKESČIAI

10.1 Apskaitos samprata ir funkcijos

Šiuolaikinę apskaitą (Accouting) galima apibrėžti kaip informacinę sistemą, kurios dėka matuojama, apdorojama ir perduodama finansinė informacija apie tam tikrą ekonominį subjektą.

Požiūris į apskaitą, kaip į informacinę sistemą, parodytas pav. Kaip matome iš šio paveikslo, apskaita, kaip grįžtamas ryšys, jungia ūkinę veiklą ir asmenis, priimančius sprendimus. Būtent apskaita duoda reikalingą informaciją sprendimams priimti. Apskaitą sudaro šie trys pagrindiniai elementai:1. Matavimas – atliekamas registruojant visas finansines operacijas (transakcijas);2. Apdorojimas –atliekamas saugant duomenis apie finansines operacijas ir juos apdorojant; 3. Perdavimas – atliekamas ruošiant finansines ataskaitas asmenims, priimantiems sprendimus.

SPRENDIMAI

INFORMACINIAI INFORMACIJA

POREIKIAI

DUOMENYS

10.1. pav. Apskaita kaip informacinė sistema.

Apskaitos vartotojai. Visus apskaitos sistemos vartotojus galima suskirstyti į 3 pagrindines grupes:1. Įmonės valdymo personalas, kuris tiesiogiai yra atsakingas už įmonės veiklą ir jos tikslų realizavimą.

Pagrindiniai tikslai yra įmonės rentabilumo ir likvidumo užtikrinimas. Šia tikslai negali būti pasiekti be nuolatinio sprendimų priėmimo, kuris savo ruožtu reikalauja išsamios ir patikimos informacijos apie įmonės veiklą. Būtent todėl valdymo personalas yra pagrindinis apskaitos sistemos vartotojas;

2. Išoriniai vartotojai, turintys tiesioginį finansinį interesą įmonės veikloje. Šios grupės pagrindą sudaro potencialūs ir esami investitoriai, o taip pat kreditoriai. Pirmieji kruopščiai tyrinėja įmonės finansines ataskaitas, kadangi suinteresuoti užtikrinti savo investicijų pelningumą. Kreditoriai (skolintojai) suinteresuoti jų suteiktų įmonei visų rūšių paskolų grąžinimu;

3. Išoriniai vartotojai, turintys netiesioginį finansinį interesą įmonės veikloje. Prie šios grupės galima priskirti visas valstybines įstaigas, susietas su finansine kontrole, ekonomikos planavimu ir reguliavimu. Pvz., mokesčių inspekcija per finansines ataskaitas tikrina mokesčių mokėjimo taisyklingumą. Prie šios grupės taip pat priskiriami ir kiti vartotojai (įmonės darbuotojai ir profesinės sąjungos, įmonės klientai ir visuomenė aplamai).Finansinė apskaitomybė (Financial statements) apibūdina organizacijos finansinę būklę. Finansinę

atskaitomybę sudaro finansinės ataskaitos, iš kurių pagrindinės yra balansas, pelno ataskaita ir finansinės būklės pakitimų ataskaita.

Sąskaityba – tai kasdieninių operacijų (transakcijų) atlikimas. Sąskaitybos funkcija – atlikti visą apskaitai reikalingą techninį darbą.

Finansinės atskaitomybės patikimumas yra pasiekiamas audito pagalba. Auditas yra formalus įmonės finansinių įrašų patikrinimas, kurį atlieka nepriklausomi apskaitininkai (auditoriai). Kreditoriai arba investitoriai reikalauja patvirtinimo, kad finansinės ataskaitos buvo teisingai paruoštos ir atitiktų firmos būklę. Tokį patvirtinimą daro asmenys, turintys teisę atlikinėti auditą. Tam tikslui, patikrinus apskaitininko išsilavinimą ir patyrimą, jam išduodamas specialus leidimas užsiiminėti auditu.

Apskaitos lygtis. Organizacijos disponuojami ekonominiai resursai sudaro jos turtą (Assets). Prie įmonės turto priskiriami pinigai, prekių ar žaliavų atsargos, įranga, nekilnojamas turtas ir pan. Iš kitos pusės, viskas, ką įmonė skolinga kitiems, vadinama įsipareigojimais (Liability). Iš viso firmos turto atėmus visus įsipareigojimus, gauname nuosavybę (Equity):

Turtas – Įsipareigojimai = NuosavybėIr įsipareigojimus, ir nuosavybę apskaitininkai laiko teisėmis į įmonės turtą, todėl ši formulė,

vadinama apskaitos lygtimi (Accounting equation), pertvarkoma sekančiai:Turtas = Įsipareigojimai + Nuosavybė

ŪKINĖ VEIKLA

PRIIMANTYS SPRENDIMUS ASMENYS

APSKAITA

MATA-VIMAS

APDORO-JIMAS

PERDA-VIMAS

Dvejybinė (dviguba) apskaitos sistema. Tam, kad galima būtų sistematizuoti apskaitos duomenis, naudojama sąskaitos sąvoka. Sąskaita yra pagrindinis elementas duomenų saugojimui apskaitos sistemoje. Kiekviena apskaitos sistema turi atskiras sąskaitas kiekvienai turto, nuosavybės ir įsipareigojimo komponentei. Tam tikroje įmonėje naudojama sąskaitų visuma sudaro sąskaitų planą.

Apskaitos lygtis yra dvejybinės sistemos (Double – entry bookkeeping), kurioje kiekviena operacija įrašoma mažiausiai į dvi skirtingas sąskaitas, pagrindas. Kaip ir matematikoje, taip ir apskaitoje viena lygties pusė turi būti lygi kitai. Todėl padidėjimas ar sumažėjimas vienoje sąskaitoje reikalauja atitinkamo pokyčio kitoje sąskaitoje.

Apskaitos periodas (Accounting period) yra tam tikras pastovus laiko tarpas, pavyzdžiui, metai, kuriam pasibaigus įmonė ruošia finansines ataskaitas. Daugelis įmonių ruošia pusmetines ir ketvirtines ataskaitas.

Po to, kai apskaitininkai užbaigia finansines ataskaitas, ataskaitos apimamo apskaitos periodo sąskaitos yra uždaromos. Taip įplaukų ir išlaidų sąskaitos yra grąžinamos į nulinę poziciją, pervedant jų balansą į nuosavybę.

Finansinės atskaitomybės pagrindinės formos

Įmonės balansas

Įmonės balansas (Balance sheet) apibendrina jos finansinę būseną apskaitos periodo gale. Balansas yra apskaitos lygties išreiškimo būdas (žr. 10.1. pav.).

Turtas. Kairėje balanso pusėje mažėjimo tvarka išvardintos turto sąskaitos pagal likvidumą (Liquidity), t.y. pagal tai, kaip lengvai ir greitai turtas, atitinkantis kiekvieną sąskaitą, gali būti paverstas pinigais.

ĮMONĖS BALANSAS

TURTAS ĮSIPAREIGOJIMAI IR AKCINISKAPITALAS

Pinigai ir rinkos vertybiniai popieriai Kreditinis įsiskolinimasDebitinis įsiskolinimas Įsiskolinimas pagal vekselius bankuiAtsargos Įsiskolinimas pagal darbo užmokestį

ir mokesčių mokėjimą

Iš anksto apmokėtos išlaidosKitas apyvartinis turtas Kiti trumpalaikiai įsipareigojimai

IŠ VISO APYVARTINIO TURTO IŠ VISO TRUMPALAIKIŲ ĮSIPAREIGOJIMŲ

Bendra pagrindinė priemonių suma ILGALAIKĖS PASKOLOSNusidėvėjimas (-)GRYNOSIOS PAGRINDINĖS PRIEMONĖS

Privilegijuotos akcijosBendrasis akcinis kapitalas:Paprastosios akcijosNepaskirstytas pelnas

NEMATERIALUS TURTAS IŠ VISO BENDROJO AKCINIO KAPITALO IŠ VISO TURTO IŠ VISO ĮSIPAREIGOJIMŲ IR AKCINIO

KAPITALO

10.1. pav. Įmonės balansas

Apyvartinis (trumpalaikis) turtas. Pinigai ir kitas turtas, kuris bus sunaudotas ar paverstas pinigais metų laikotarpyje vadinamas apyvartiniu turtu (Current assets).

Pinigai apima tiek turimus grynuosius pinigus, tiek pinigus banko sąskaitose. Rinkos vertybiniai popieriai (Marketable seorities) yra tokie, kuriuos galima paversti pinigais per keletą dienų. Bet kurie vertybiniai popieriai, kuriais prekiaujama biržoje yra rinkos.

Debitinis įsiskolinimas (Accounts receivable) yra tam tikra suma, kurią klientai yra skolingi įmonei. Kai kurios debitinio įsiskolinimo sąskaitos gali tapti abejotinomis, t.y. kai debitinio įsiskolinimo neįmanoma susigrąžinti. Debitiniai pakvitavimai (Notes receivable) yra formalūs, pasirašyti pasižadėjimai sumokėti tam tikrą kiekį tam tikru metu. Pakvitavimai dažniausiai yra apmokami per ilgesnį laiko tarpą negu debitiniai įsiskolinimai, kurie kaip įprasta, apmokami per 30 dienų.

Prie atsargų (Inventory) priskiriamos prekės, kurias firma turi pardavimui, žaliavos bei pusfabrikačiai.Paskutinė apyvartinio turto rūšis yra iš anksto apmokėtos (būsimosios) išlaidos (Prepaid expenses) t.y.

jau apmokėtos, bet dar nepanaudotos paslaugos, pvz., draudimo įnašai.Pagrindinės priemonės. Materialų ir apčiuopiamą turtą, vadinama pagrindinėmis priemonėmis (Fixed

assets), įmonė naudoja daugiau kaip metus. Pagrindinės priemonės, išskyrus žemę, per tam tikrą laiką nusidėvi. Kompiuteris, automobilis ar staklės yra naudingi tam tikrą ribotą laikotarpį. Finansinėse ataskaitose įmonės tai įvertina per nusidėvėjimą (Depreciation). Laikoma, kad kiekvienais metais tam tikra turto vertės dalis yra prarandama ir apskaitoje parodoma kaip išlaidos. Tuo pačiu turto vertės dalis yra sumažinama atitinkama suma.

Nematerialus turtas. Ilgalaikis turtas, kuris nėra fiziškai apčiuopiamas , bet turi vertę, pagrįsta teisėmis ar privilegijomis vadinamas nematerialiu turtu (Intangible assets). Patentai, autorinės teisės, nuomos sutartys, bei franšizes taipogi yra nematerialus turtas. Kai ši turto rūšis turi ribotą gyvavimo laiką, pavyzdžiui, patentas ar nuomos sutartis, apskaitininkai įvertina jo vertės mažėjimą per amortizaciją (Amortization), t.y. procesą panašų į nusidėvėjimą.

Turtas, kuris būna apskaitomas daugelio įmonių balansuose, - įmonės geras vardas (Goodwill) – papildoma įmonės pajamų galia, lydinant su kitomis tos pačios srities įmonėmis. Tai gali būti ir patogi geografinė vieta, ir geras įmonės valdymas. Kol įmonė yra jos pradinių savininkų rankose, įmonės geras vardas nėra įtraukiamas į balansą. Kai įmonė parduodama, pirkėjai dažniausiai moka daugiau už įmonės turto vertę. Šis papildomas mokestis mokamas už įmonės gerą vardą, todėl jis įrašomas būtent į šią sąskaitą.

Įsipareigojimai. Balanse įsipareigojimai surašyti pagal datas, kada jie turi būti apmokėti. Kaip ir turtas, įsipareigojimai klasifikuojami į trumpalaikius ir ilgalaikius.

Trumpalaikiai įsipareigojimai. Skolos, kurias reikės apmokėti per sekančius 12 mėnesių yra trumpalaikiai įsipareigojimai (Currant liabilities). Kreditinis įsiskolinimas (Accuonts payable) susideda pirmiausia iš skolų prekių ir paslaugų tiekėjams. Iš esmės tai priešingybė debitiniam įsiskolinimui. Įsiskolinimas pagal vekselius (Notes payable) yra priešingybė debitiniams pakvitavimams.

Priskaičiuotas įsiskolinimas (Accrued expenses) apima įvairias įsipareigojimų, sukauptų per apskaitos periodą, rūšis, tačiau iš tikrųjų dar nelaikomas skola. Jis apima darbuotojų atlyginimus, kuriuos jie uždirbo, bet dar neatėjo mokėjimo laikas, mokesčius, kuriuos reikės sumokėti, palūkanos už banko paskolas ir pan. Visos šios išlaidos turi būti balanse, kad atspindėtų tikrą situaciją įmonėje.

Ilgalaikiai įsipareigojimai. Skolos, kurias reikės apmokėti vėliau negu po metų nuo balanso sudarymo dienos, vadinamos ilgalaikiais įsipareigojimais (Long – term liabilities). Ji apima ipotekas, obligacijas, ilgalaikius vekselius.

Nuosavybė. Nuosavybės skiltis balanse skiriasi priklausomai nuo įmonės tipo. Privačios įmonės nuosavybė paprasčiausiai atspindi tik skirtumą tarp turto ir įsipareigojimų. Bendrai paėmus, balansas neišskiria savininko pradinio investavimą nuo tolimesnio pelno. Panašiai ir su bendrijos nuosavybės skiltimi. Skirtumas tik tame, kad nuosavybė yra paskirstoma tarp partnerių. Akcinės bendrovės balansas išskiria akcinį kapitalą ir nepaskirstytą pelną (Retained earninges), tai yra versle panaudojamą pelną po to, kai išmokėti dividendai. Dažniausiai nepaskirstytą pelną naudoja gamybos plėtimo finansavimui ar kitokiam ilgalaikiam kapitalo investavimui.

Pelno ataskaita

Kaip jau minėta, balansuose aprašo įmonės finansinę situaciją tam tikru momentu. Pelno ataskaita (Income statement) apibendrina įmonės įplaukas ir kaštus per apskaitomąjį laikotarpį (žr. 10.2. pav.). Pirmiausia joje parodomos įplaukos (Revenus), t.y viso įmonės veiklos metu uždirbti pinigai. Tada atimami kaštai ir gaunamas įmonės pelnas duotu laikotarpiu. Pagrindinė formulė atrodo taip:

Įplaukos – (Realizuojamų prekių kaštai Bendra gamykliniai kaštai) =grynasis pelnas (Net income)Įplaukas ir kaštus galima registruoti dviem būdais: apskritimo būdu (Accrual basis), kai sąskaitininkas

pažymi įplaukas ir kaštus būtent tai dienai, kai tai ir įvyksta, nepriklausomai nuo to, ar iš karto buvo atsiskaityta pinigais. Grynųjų pinigų būdu (On cash basis), priešingai įplaukos iš pardavimo ir kaštai įrašomi tada, kai atsiskaitoma. Tačiau pažymima, kad apskaitymo būdas tiksliau atspindi įmonės tikriausias pajamas.

Įplaukos. Įplaukos yra gaunamos, pardavus prekes ar atlikus paslaugas. Tačiau į šią kategoriją įtraukiamos ir pajamos gaunamos pardavus ar išnuomavus turtą, taip pat mokesčiai už patentų ar prekės ženklų panaudojimą bei investicijų palūkanos ar dividendai.

Pirmiausia pelno ataskaitos įplaukų skyriuje įrašoma bendra pardavimo (realizacijos) apimtis – (Gross sales), t.y. suminė visų parduotų per apskaitos periodą prekių ir paslaugų vertė. Grįžtamoji pardavimo apimtis (Sales returns) yra pinigų grąžinimas klientams už grąžintas prekes. Jei prekės yra su nežymiais defektais, tai jos parduodamos sumažintomis kainomis, taip vadinamomis kainomis su nuolaida (Allownces). Nuolaidos grynais pinigais (Cash diccountis) suteikiamos pirkėjui, jei jis sąskaitą apmoka iš karto arba per sutartą laiką.

Iš bendros pardavimų apimties (Gross sales) atėmus minėtas nuolaidas, gaunama grynoji pardavimų apimtis (Net sales).

Realizuotos produkcijos kaštai. Pinigų kiekis, kurį įmonė išleido parduodamų prekių gamybai per apskaitos periodą, vadinamas realizuotos produkcijos kaštais (Costs). Realizuotos produkcijos kaštų skaičiavimas priklauso nuo to, kokia prekių inventorizacijos sistema naudojama įmonėje. Nuolatinė atsargų apskaitos sistema (Perpetual inventory system) apskaito kiekvieną kaštų pasikeitimą, kai tik jis įvyksta. Periodinė inventorizacijos sistema (Periodic inventory system), priešingai, skaičiuoja pardavimo ir atsargų santykį tik apskaitos periodo pabaigoje.

Nuolatinė atsargų apsakaitos sistema (Perpetual inventory). Pagrindinis jos privalumas tas, kad ji iš karto parodo tikslią turimų prekių vertę. Tačiau pagrindinis šios sistemos trūkumas – tai žymiai didesni jos kaštai. Ši sistema gerai funkcionuoja įmonės, kurios parduoda palyginti nedaug, tačiau brangių produktų. Be to, ši sistema supaprastina pelno ataskaitos paruošimą.

Periodinė inventorizacija.Įmonės naudojančios šį metodą, savo prekių atsargas apskaito lygindamos atsargų pasikeitimus per apskaitos periodą. Prie atsargų periodo pradžioje, t.y. kas perkeliama iš ankstesnio apskaitos periodo, pridedami pirkimai (Purchases) per nagrinėjamą apskaitos periodą. Kadangi įmonė gali gauti nuolaidas, tai grynoji pirkimų apimtis (Net purchases) yra gaunama iš pirkimų apimties atimant nuolaidas. Atsargų periodo pradžioje ir grynosios pirkimų apimties suma periodo pardavimui skirtų (pagamintų) prekių kaštus. Kadangi per apskaitos periodą gali būti parduotos ne visos prekės, todėl parduotų prekių kaštai gaunami, iš pardavimui skirtų (pagamintų) prekių kaštų atėmus apskaitos periodo pabaigoje likusių atsargų kaštus.

FIFO ir LIFO. Pelno skaičiavimuose yra susiduriama su sudėtingu klausimu – kaip įvertinti atsargų kainą apskaitos periodo pabaigoje, jei jų kainos keitėsi per šį periodą?

Firmos, naudojančios nuolatinę atsargų apskaitos sistemą, kiekvienam medžiagų pirkiniui priskirsto jo vertę ir neturi jokių problemų. Tačiau firmos su palyginti greita prekių apyvarta turi pasirinkti prekių kaštus apibendrinančius metodus. Du dažniausiai naudojami metodai yra FIFO ir LIFO. FIFO (First In, First Out – pirmas įeina, pirmas išeina) sistemoje priimama, kad pirmas patekęs į atsargas, pirmuoju ir bus parduotas. Kylant kainoms, FIFO minimizuoja parduotų prekių kaštus, ir maksimizuoja suminį pelną. Todėl atrodo, kad įmonei geriau einasi negu iš tikro yra. Tačiau dėl infliacijos poveikio pelnui, padidėja ir mokesčiai. Be to, ši sistema iškraipo įmonės finansinį paveikslą, nepakankamai įvertindama realizuotos produkcijos kaštus ir, tuo pačiu, sudarydama neteisingą vaizdą, kiek kainuotų prekių atsargų pakeitimas.

Dėl šių priežasčių daugumas apskaitininkų teikia pirmenybę LIFO (Last In, First Out – paskutinis įeina, pirmas išeina) sistemai, pagal kurią prekės, patekusios į atsargas paskutinėmis, yra parduodamos pirmos. Kylant kainoms, LIFO nepilnai įvertina pelną ir minimizuoja mokesčius, tačiau, kas svarbiausia – tiksliau atspindi keičiamų prekių atsargų atsinaujinimo dabartinius kaštus. Krentant kainoms, LIFO pervertina pelną, nepakankamai įvertina parduotų prekių kaštus ir maksimizuoja mokesčius.

PAJAMŲ ATASKAITA

Bendra pardavimų apimtis (įplaukos)Grįžtamoji pardavimų apimtis (-)Pardavimų nuolaidos (-)Nuolaidos grynais pinigais (-)

Grynoji pardavimo apimtisRealizuotos produkcijos kaštai (-)

Gatavos produkcijos atsargų pasikeitimas per apskaitos periodąTiesioginis darbo užmokestisTiesioginiai medžiagų kaštai

Atsargų pasikeitimas per apskaitos periodąGrynosios pirkimų apimtys

Gamybinės pridėtinės išlaidosBendrasis pelnas

Bendragamyklinės išlaidos (-)Pardavimo išlaidos Bendrosios išlaidos

Pajamos iki palūkanų ir mokesčių išskaitymoIšlaidos palūkanoms mokėti (-)

Pajamos iki mokesčių išskaitymoMokesčių suma (-)

Grynosios pajamos

10.2. pav. Pelno ataskaita

Bendrasis pelnas. Iš grynųjų pardavimo apimčių (Net sales), atimant realizuojamų prekių kaštus, gaunamas bendrasis pelnas (Gross profit). Šį skaičių naudoja, kad palygintų dabartinį pardavimą su pardavimo apimtimi apskaitos periodu. Suminio pardavimo vertė yra geras matas, norint palyginti su kitų įmonių veikla.

Bendragamyklinės išlaidos. Trečioji įplaukų ataskaitos sekcija, bendragamyklinės išlaidos (Operating expenses), apima visus veiklos kaštus, išskyrus parduotų prekių kaštus. Įplaukų ataskaitoje šios išlaidos dažniausiai yra padalintos į dvi kategorijas. Pardavimo išlaidos (Salling expenses) yra visi tiesioginiai su prekės ar paslaugos pardavimu klientui susieti kaštai. Administracinės išlaidos (Administrative expenses) dažnai vadinamos bendrosiomis išlaidomis (General expenses) yra visi likę kaštai, susiję su firmos veikla.

Grynosios pajamos. Iš bendrojo pelno atėmus bendragamyklines išlaidas, gauname grynąsias pajamas, t.y. pelną, kurį organizacija uždirbo per apskaitos periodą. Kadangi pajamų mokestis sumažina grynąsias pajamas, todėl paskutinėje pelno apskaitos eilutėje nurodytos grynosios pajamos, sumokėjus mokesčius.

Finansinių ataskaitų interpretavimas

Finansiniai santykiniai rodikliai (Financial Ratios). Apskaitininkai, valdymo personalas bei investitoriai ataskaitas analizuoja taikydami finansinius santykinius rodiklius.

Grynosios pardavimų apimties (Net sale) procentas. Pelno ataskaitos elementus dažniausiai tikrina nustatant grynosios pardavimų apimties (Net sales) procentą, tenkantį kiekvienam iš jų. Tokia analizė atskleidžia, ar kaštai yra neįprastai dideli, ar maži.

Pelningumo santykiniai rodikliai. Nors pelno ataskaitos paskutinė eilutė ir parodo tikrą pelną, tačiau ji nepasako, ar šis pelno lygis yra pakankamas duotai įmonei. Didelės įmonės dažniausiai gauna didesnį pelną. Kai kuriose pramonės šakose uždirbamas labai didelis pelnas, tuo tarpu kitose sunku jį ir parodyti. Sprendžiant, ar įmonė gauna pakankamą pelną, naudojami šie pelningumo santykiniai rodikliai.

Grynojo pelno marža (Net profit margin arba Return on sales) parodo, kiek pelno tenka kiekvienam pardavimo p.v.

Akcinio kapitalo pelno norma (Return on equity) parodo, kiek įmonė uždirba iš kiekvieno savininko ar akcininko investuoto p.v.

Uždarbio, tenkančio vienai akcijai, santykinis rodiklis parodo pelną, tenkantį kiekvienai išleistai akcijai. Šis pelnas gali būti paskirstytas akcininkams kaip dividendai arba išlaikytas firmoje kaip nepaskirstytas pelnas (Retained earnings).

Trumpalaikiai finansiniai santykiniai rodikliai. Šie santykiniai rodikliai leidžia spręsti apie įmonės likvidumą. Jie taipogi suteikia svarbią informaciją apie įmonės sugebėjimą išmokėti skolas. Net labai pelningos įmonės gali sužlugti, jei jos neturi pakankamai pinigų tuo metu, kai reikia išmokėti skolas.

Apyvartinio turto (Working capital) rodiklis – skirtumas tarp esamo trumpalaikio turto ir esamų trumpalaikių įsipareigojimų – parodo, kiek turto įmonei liktų, panaudojus trumpalaikį turtą apmokėti įsiskolinimas;

Likvidumo santykinis rodiklis (Current ratio) naudoja tuos pačius elementus, tačiau šiuo atveju turtas yra padalinamas iš įsipareigojimų. Investitoriai dažniausiai ieško, kad šis santykinis rodiklis būtų 2:1 arba geresnis;

Keitimo įvertinimo santykinis rodiklis (Acid – test or quick ratio). Šis santykinis rodiklis neapima turto, kuris negali būti greitu laiku paverčiamas pinigais, todėl jis parodo žymiai geresnį paveikslą, kaip įmonė išgyvens trumpalaikės krizės metu.

Turto valdymo santykiniai rodikliai. Jie (Activity) parodo, kaip efektyviai įmonė naudoja savo resursus. Dažniausiai naudojamas šio tipo santykinis rodiklis matuoja atsargų apyvartumą, t.y. kiek kartu per apskaitos periodą atsargos gali būti parduotos ir pakeistos. Šis santykinis rodiklis naudojamas nustatant, kiek reikės laiko, kad atsargas paverstų pinigais.

Ilgalaikės skolos santykiniai rodikliai. Įmonės finansinė būklė priklauso ne tik nuo pelningumo ar sugebėjimo išmokėti trumpalaikius įsiskolinimus, bet ir nuo situacijos su ilgalaikėmis skolomis.

Skolos ir turto santykinis rodiklis parodo turto dalį, kuri gali būti sunaudota padengti ilgalaikėms skoloms. Šis santykinis rodiklis taip pat parodo, kiek firma yra finansuojama savininko, o kiek kreditorių.

Skolos ir akcinio kapitalo santykinis rodiklis taip pat parodo, kokia firmos veiklos dalis yra finansuojama kreditorių. Skolintojai dažniausiai siekia žemų šio tipo santykinių rodiklių.

Finansinių santykinių rodiklių taikymas. Šie santykiniai rodikliai nėra naudingi, imant juos izoliuotai. Atliekant analizę norima žinoti, ar įmonei sekasi geriau, ar blogiau negu vidutiniškai, ir ar ji efektyvesnė negu kitos to paties dydžio įmonės toje pačioje srityje, ar įmonė turi pakankamai lėšų, kad finansuotų plėtimąsi ir augimą, o taip pat, ar lėšų trūkumas negali įmonės sužlugdyti. Todėl minėti finansiniai santykiniai rodikliai lyginami arba su įmonės ankstesnės veiklos rezultatais, arba su kitų panašių įmonių rodikliais.

Kontroliniai klausimai

1. Kas yra apskaita?2. Kodėl į apskaitą yra žiūrima kaip į informacinę sistemą?3. Kokios yra pagrindinės apskaitos vartotojų grupės?4. Kas sudaro įmonės finansinę atskaitomybę?5. Kokias funkcijas atlieka sąskaityba?6. Kas yra auditas ir kokiais tikslais jis daromas?7. Kokios sudedamosios sudaro apskaitos lygtį?

8. Kas sudaro dvejybinės apskaitos sistemos pagrindą?9. Kokį laiko tarpą apima apskaitos periodas?10. Kokie pagrindiniai straipsniai yra parodomi įmonės balanso turto sudėtyje?11. Kokie pagrindiniai straipsniai yra parodomi įmonės balanso įsipareigojimų ir nuosavybės

sudėtyje?12. Kaip yra sudaroma pelno ataskaita?13. Kokios problemos atsiranda vertinant atsargų dydį ir kaip jos yra sprendžiamos?14. Kokie yra naudojami pagrindiniai finansiniai rodikliai analizuojant įmonės atskaitomybę?

10.2. Nusidėvėjimas

Nusidėvėjimo samprata

Nusidėvėjimas (Depreciation) suprantamas kaip turto vertės praradimas dėl fizinio arba funkcinio (moralinio) senėjimo proceso.

Fizinis nusidėvėjimas (Physicial depreciation) pasireiškia per tam tikro turto nesugebėjimą atlikti jam skirtas funkcijas dėl fizinių procesų poveikio, pvz., rūdijimo, metalo dilimo dirbant staklėmis ir pan.

Funkcinis nusidėvėjimas (Functional depreciation) pasireiškia tuo, kad keičiasi poreikis toms funkcijoms, kurioms atlikti yra skirtas šis turtas.

Šiuolaikinėje ekonominėje analizėje nusidėvėjimas yra tapęs grynai apskaitos koncepcija ir tiesiogiai nesusijęs su konkretaus turto vertės praradimu. Tai atsitiko todėl, kad vystantis ekonominei praktikai, nusidėvėjimo reguliavimas tapo vienu iš svarbiausiu valstybinio ekonomikos reguliavimo įrankiu ir dėl jo svarbos mokesčių skaičiavimas yra griežtai kontroliuojamas valstybės. Nusidėvėjimas priskiriamas produkto gamintojo gamybos kaštams ir todėl neapmokestinamas. Tam, kad užkirsti kelią piktnaudžiavimui, valstybė priversta kontroliuoti nusidėvėjimo skaičiavimą. Kita vertus, leisdama naudotis pagreitinto turto nusidėvėjimo skaičiavimo metodus, valstybė turi galimybę daryti įtaką bendram pagrindinių priemonių keitimo naujomis procesui šalies mastu.

Todėl toliau pagrindinis dėmesys bus skiriamas nusidėvėjimo skaičiavimui, o ne nusidėvėjimui kaip procesui.

Nusidėvėjimo skaičiavimas naudojamas materialaus turto; atėmus jo likvidacinę vertę, įsigijimo kaštų paskirstymui sistemingu ir racionaliu būdu per numatomą šio turto gyvavimą laiką. Todėl nusidėvėjimo skaičiavimas yra paskirstymo, o ne įvertinimo procesas.

Turtas, kuriam skaičiuojamas nusidėvėjimas, turi tenkinti šias 3 sąlygas:1. Jis turi būti naudojamas ūkinėje veikloje ir turi būti susijęs su įplaukų gavimu;2. Jo nustatomas naudingas gyvavimo laikas turi būti ne mažesnis nei vieneri metai;3. Viena iš jų savybių turi būti vertės praradimas dėl natūralių priežasčių.Panaudojus šias taisykles, nusidėvėjimas gali būti skaičiuojamas materialiam turtui, pvz. staklėms,

kompiuteriams, automobiliams ir pan., bet negali būti skaičiuojamas atsargoms, akcijoms. Negalima taip pat skaičiuoti nusidėvėjimą ir žemei (išskyrus jos pagerinimą). Nors žemė ir sudaro materialų turtą, bet jos gyvavimo laikas yra neapibrėžtas.

Išsivysčiusiose apskaitos sistemose nusidėvėjimą leidžiama skaičiuoti ir materialiam turtui su ribotu naudingo gyvavimo laiku, pvz., patentams, autorinėms teisėms, licenzijoms ir kontraktams. Tai vadinama amortizacijos procesu.

Nusidėvėjimo skaičiavimo pagrindas. Skaičiuojant nusidėvėjimą imami konkretaus turtu įsigijimo kaštai, pvz. pirkimo kaina. Prie šių kaštų taip pat leidžiama pridėti papildomus kaštus, kurie yra būtini šio turto naudojimui. Dažniausiai juos sudaro transportavimo ir montavimo (instaliavimo) kaštai. Pavyzdžiui, jei tam tikra įranga buvo įsigyta už 10000 p.v., bet jos transportavimas kainavo dar papildomai 500 p.v., o montavimas su specialių patalpų įrengimu dar 2000 p.v., tai pagrindas tolesniam nusidėvėjimo skaičiavimui sudarys iš viso 12500 p.v.

Likvidacinė vertė (Salvage value). Likvidacinė vertė – turto kaina, numatoma jo įsigijimo metu, už kurią šį turtą galima bus parduoti arba gauti šią sumą kitu disponavimo būdu po to, kai jis toliau bus naudojamas ūkinėje veikloje.

Ši vertė gali būti ir tokia maža, kad ji bus nereikšminga tolesnei analizei, ir pakankamai didelė. Jei likvidacinė vertė yra sumažinta iki turto demontavimo kaštų, tai ji vadinama grynąja likvidacinė vertė.

Likvidacinės vertės skaičiavimas dažniausiai yra susietas su visuotinai priimta apskaitos praktika ir todėl gali būti skirtingas.

Dauguma šiuolaikinių nusidėvėjimo skaičiavimo metodikų remiasi tuo, kad turto likvidacinė vertė bus lygi nuliui. Tačiau jei savininkas šį turtą parduos, tai jo gautos įplaukos bus apmokestinamos įprastiniu būdu.

Pagal kitą metodą, nustatoma tam tikra riba (pvz., 10% nuo nusidėvėjimo apskaičiavimo pagrindo), iki kurios savininkas gali sumažinti turto likvidacinę vertę. Jeigu ji iš tikrųjų numatoma dar mažesnė, ji laikoma lygi nuliui.

Turto vertės pasikeitimo funkcija. Tam, kad galima būtų teisingai apskaičiuoti nusidėvėjimą, reikia žinoti, kaip turto vertė keičiasi per visą naudingą šio turto naudojimo laiką. Tai daroma, panaudojant matematinį modelį, kuris funkcijos pavidalu rodo turto vertės pasikeitimą priklausomai nuo laiko. Viena iš tokių funkcijų yra pavaizduota 10.3.pav.

vertė

Pradinė turto vertė (P)

Likutinė turto vertė t metais (Bt)

Likvidacinė turto vertė (F)

0 1 2 3 …. n-1 n laikas

10.3. pav. Turto vertės pasikeitimo funkcija

Kaip matyti iš šio paveikslo, pradiniu laiko momentu turto vertė yra lygi pradinei vertei (First cost) – tai kurią mes imame už pagrindą nusidėvėjimui skaičiuoti. Tarnavimo periodo gale turto vertė nukrenta iki likvidacinės vertės. Panaudojant šią funkciją galima apskaičiuoti nusidėvėjimą ir bet kuriam kitam laiko momentui. Tuo atveju bus randama likutinė (balansinė) turto vertė (Book value).

Skaičiuojant nusidėvėjimą naudojami šie žymėjimai:P – turto pradinė vertė, p.v.;F – turto likvidacinė vertė, p.v.;Bt – turto likutinė vertė t metų pabaigoje, p.v.;Dt – nusidėvėjimas apskaičiuotas t metais, p.v.;n – numatomas turto naudingo tarnavimo laikas, metais.Priklausomybė tarp turto likutinės vertės sekančiais metais ir nusidėvėjimo gali būti išreikšta šia

formule:Bt =Bt-1 – Dt

Čia Bt – likutinė vertė t metų pabaigoje;Bt-1 – likutinė vertė t-1 metų pabaigoje;Dt – t metais apskaičiuotas nusidėvėjimas.

Nusidėvėjimui skaičiuoti pasaulyje plačiausiai naudojami 3 matematiniai modeliai, kurie ir sudaro atitinkamo nusidėvėjimo skaičiavimo metodo pagrindą:

1. Tiesinis (straight – line);2. Mažėjančio likučio (declining balance);

3. Tarnavimo metų sumos (Sum – of – the yers – digits).

Nusidėvėjimo skaičiavimo metodaiTiesinis metodas

Tiesinis metodas yra pats lengviausiais iš trijų minėtų metodų, todėl labai plačiai paplitęs. Pagal šį metodą kiekvienais tarnavimo metais nusidėvėjimas priskaičiuojamas to paties dydžio (žr. 10.1. lentelę).

10.1. lentelėTiesinis nusidėvėjimo skaičiavimo metodas

Turto pradinė vertė, p.v. 10000Likvidacinė vertė, p.v. 1000Tarnavimo periodas, metai 5

t metų pabaiga Nusidėvėjimas metais t Likutinė vertė t metų pabaigoje

0 100001 1800 82002 1800 64003 1800 46004 1800 28005 1800 1000

Nusidėvėjimą kiekvienais metais galima skaičiuoti, naudojant formulę:Dt=(P – F)/n, (10.2.)

O turto likutinę vertę t metais pagal formulę:Bt =P – t*((P – F)/ n). (10.3.)

Nusidėvėjimo koeficientas šiuo atveju yra lygus 1/n.

Mažėjančio likučio metodas

Mažėjančio likučio metodas yra vienas iš pagreitinto nusidėvėjimo skaičiavimo metodų. Sutinkamai su pagreitinto nusidėvėjimo koncepcija, turto nusidėvėjimą reikia parodyti kuo didesnį turto tarnavimo pradiniais metais, kas iš principo leidžia minimizuoti turto savininko galimus nuostolius dėl moralinio (funkcinio) nusidėvėjimo (žr. 10.2. lentelę).

10.2. lentelėMažėjančio likučio nusidėvėjimo skaičiavimo metodas

Turto pradinė vertė, p.v. 10000Tarnavimo periodas, metai 5Nusidėvėjimo koeficientas 30%

t metų pabaiga Nusidėvėjimas metais t Likutinė vertė t metų pabaigoje

0 100001 3000 70002 2100 49003 1470 34304 1029 24015 720,30 1680,70

Pagal šį metodą nusidėvėjimą kiekvienais metais galima skaičiuoti panaudojant formulę:Dt=a× (a-1)t-1×P, (10.4.)

Čia a – nusidėvėjimo koeficientas.Likutinė vertė t metais skaičiuojama pagal formulę:

Bt =(1 – a)t×P. (10.5.)

Matematinio modelio, naudojamo šiame metode, ypatumas pasireiškia tuo, kad likvidacinė turto vertė niekada nepasieks nulio. Todėl šį metodą dažniausiai taiko kartu su tiesiniu metodu (žr. 10.3. lentelę).

10.3. lentelėMažėjančio likučio su perėjimu į tiesinį nusidėvėjimo skaičiavimo metodas (MB TS)

Turto pradinė vertė, p.v. 10000Likutinė vertė, p.v. 0Tarnavimo periodas, metai 5Nusidėvėjimo koeficientas 30%

t metų pabaiga Nusidėvėjimas metais t Likutinė vertė t metų pabaigoje

0 100001 3000 MB 70002 2100 MB 49003 1633,33 TS 3266,674 1633,33 TS 1633,335 1633,33 TS 0

Pradiniais tarnavimo metais naudojamas mažėjančio likučio metodas, o paskui daromas perėjimas prie tiesinio nusidėvėjimo skaičiavimo metodo.Perjungimo taškas randamas panaudojant priklausomybę:

Nusidėvėjimas, apskaičiuotas pagal Nusidėvėjimas, apskaičiuotas pagalmažėjančio likučio metodą tiesinį metodą likutinei turto vertei

arba tą pačią nelygybę galima išreikšti formule:a*(Bt-1)< (Bt-1 – F)/(n – (t-1)). (10.6.)

Būtent tiesiniu ir mažėjančio likučio metodu derinimo pagrindu daugelyje pasaulio šalių yra sudarytos nusidėvėjimo koeficientų lentelės.

Kiti metodai

Tarnavimo metų sumos metodas. Pagal šį metodą nusidėvėjimo dydis kiekvienais metais skaičiuojamas proporcingai likusiam turto tarnavimo laikui ( žr. 10.4. lentelę)

10.4. lentelėNusidėvėjimo pagal tarnavimo metų sumą skaičiavimo metodas

Turto pradinė vertė, p.v. 10000Likvidacinė vertė, p.v. 1000Tarnavimo periodas, metai 5

t metų pabaiga Nusidėvėjimas metais t Likutinė vertė t metų pabaigoje

0 100001 3000 70002 2400 4600

3 1800 28004 1200 16005 600 1000

Jeigu numatomas tarnavimo laikas yra 5 metai, tai tarnavimo metų suma lygi:1+2+3+4+5=15.

Jei turto pradinė vertė 10000 p.v., likvidacinė – 1000 p.v., tai nusidėvėjimas pirmais metais bus lygus:(10000 – 1000) ×5/15=3000.

Nusidėvėjimą kiekvienais metais galima skaičiuoti panaudojant formulę:Dt= 2× (P – F) × (n – t +1)/(n× (n+1)), (10.7.)

o likutinė vertę t metais pagal formulę:Bt =(P – F) ×((n –t )/n)×((n – t+1)/(n+1))+F. (10.8.)

Kontroliniai klausimai 1. Kas yra nusidėvėjimas?2. Kas yra fizinis nusidėvėjimas?3. Kas yra funkcinis nusidėvėjimas?4. Kodėl nusidėvėjimo apskaičiavimai yra griežtai kontroliuojami valstybės?5. Kokias sąlygas turi tenkinti turtas, kad jam būtų galima skaičiuoti nusidėvėjimą?6. Kas laikoma pagrindu nusidėvėjimui apskaičiuoti?7. Kas yra turto likvidacinė vertė?8. Kas yra turto likutinė vertė?9. Kokie panaudojami pagrindiniai metodai nusidėvėjimui apskaičiuoti?10. Kaip apskaičiuojamas nusidėvėjimas pagal tiesinį metodą?11. Kaip apskaičiuojamas nusidėvėjimas pagal mažėjančio likučio metodą?12. Kaip apskaičiuojamas nusidėvėjimas pagal tarnavimo metų sumos metodą?

10.3. Mokesčiai

Mokesčių sistema

Kiekviena mokesčių sistema yra tam tikros valstybės raidos rezultatas.Nors kiekvienoje mokesčių sistemoje egzistuoja daug specifinių tik tam tikrai šaliai elementų, pagrindiniai apmokestinimo principai yra labai panašūs. Mokesčių politika yra tampriai susijusi su valstybės biudžetu ir socialine politika.

Mokesčių sistemos pagrindą sudaro juridinių ir fizinių asmenų pelno mokesčiai. Be pelno mokesčio yra daugybė kitų mokesčių, kurie labai skiriasi pagal savo prigimtį (akcizas ir priedėtos vertės mokesčiai, mokesčiai už aplinkos teršimą ir pan.).

Dažniausiai yra naudojami progresyviniai ir proporciniai mokesčių tarifai. Pagal progresinius mokesčių tarifus didesnis pelnas yra apmokestinamas didesniu tarifu (progresyviai). Tai yra atliekama, įvedus skirtingus intervalus (“mokesčių šakutė”). Kiekvienas intervalas turi savo mokesčių tarifą. Pagal proporcinius mokesčių tarifus mokestis skaičiuojamas pagal vieningą tarifą, nepriklausomai nuo gauto pelno dydžio.

Mokesčiai yra skaičiuojami nuo apmokestinamo pelno (pajamų iki mokesčių išskaitymo). Apmokestinamas pelnas yra nustatomas iš bendrųjų įplaukų atėmus kaštus, tenkančius realizuotai produkcijai, ir bendragamyklines išlaidas. Kaip taisyklė, yra neapmokestinami šie elementai:

materialinės sąnaudos;nusidėvėjimas;išlaidos darbo užmokesčiui;privalomo draudimo įmokos;

žemės ir pridėtos vertės mokesčiai;palūkanos už banko paskolas;išlaidos gamtos apsaugai.

Taip pat pilnai yra dalinai neapmokestinamos lėšos, skirtos:1. Labdarai, kultūrai, švietimui ir kitiems visuomenei naudingiems reikalams;2. Mokslinio tyrimo projektavimo, konstravimo darbams ir naujos technikos diegimui.Mokesčių lengvatų įvedimas turi skatinti tam tikras ūkinės veiklos sferas, pvz., smulkų verslą, žemės

ūkį arba vykdyti valstybės socialinę politiką, pvz., remti riboto darbingumo piliečius, šeimas su labai mažomis pajamomis ir pan.

Viena iš svarbesnių su pelno mokesčiais susietų problemų yra dividendų ir palūkanų apmokestinimas. Pvz., pagal JAV mokesčių sistemą yra apmokestinami dividendai (dvigubo apmokestinimo principas), pagal Lietuvos įstatymus dividendai ir palūkanos už akcijas, obligacijas dabar neįskaitomi į apmokestinamąjį pelną.

Mokesčių įvertinimas finansiniuose skaičiavimuose

Mokesčiai ir nusidėvėjimas. Jeigu nesikeičia mokesčių tarifai ir eksploatavimo išlaidos yra pastovios per visą turto gyvavimo laiką, tai suminis apmokestinamo pelno dydis nepriklausys nuo pasirinkto metodo nusidėvėjimui apskaičiuoti. Pagreitinto nusidėvėjimo apskaičiavimo metodai duoda tam tikrus privalumus mokesčių požiūriu dėl laiko faktoriaus įvertinimo.

Pavyzdys. Nupirktos ir instaliuotos įrangos vertė sudaro 2000 p.v., naudingas gyvavimo laikas yra lygus 10 metų. Laukiamos įplaukos dėl įrangos panaudojimo 400 p.v./metus. Mokesčių tarifas yra 29%, o palūkanų norma - 15%.

Reikia palyginti 2 alternatyvas:- “A” – apskaičiuoti nusidėvėjimą pagal tiesinį metodą;- “B” – apskaičiuoti nusidėvėjimą pagal mažėjančio likučio su perjungimu į tiesinį metodą.Šių alternatyvų palyginimas pateiktas 10.5. lentelėje. Iš patektų skaičiavimų matosi, kad, nors bendra

išmokėtų mokesčių suma yra ta pati “A” ir ”B” atveju (580 p.v.), esamosios pajamų mokesčių vertės skiriasi. Mažėjančio likučio su perjungimu į tiesinį metodą pelno mokesčių esamoji vertė yra mažesnė.

Pinigų srauto analizė, įvertinant mokesčius. Atliekant pinigų srauto analizę, stengiamasi įvertinti kuo daugiau faktorių, kurie gali turėti įtakos priimamiems sprendimams. Mokesčiai yra vienas iš tokių faktorių. Dėl to pradiniai pinigų srautai (iki mokesčių atskaitymo) transformuojami į pinigų srautus po mokesčių atsiskaitymo.

Pavyzdys. Pradinė turto vertė – 60000 p.v., likvidacinė vertė – 0, metinės įplaukos – 50000 p.v. Numatomas projekto gyvavimo laikas lygus 4 metams. Nusidėvėjimas apskaičiuojamas pagal tiesinį metodą, turto naudojimo laikas – 3 metai. Mokesčių tarifas – 29%. Metinės įplaukos ir kaštai sudaro 26000 p.v. ir 20000 atitinkamai.

10.6. lentelėje yra parodytas pinigų srautų apskaičiavimas, įvertinant mokesčius. Panaudojus vidines pelno normos (IRR) apskaičiavimo metodą, nesunku padaryti išvadą, kad dėl mokesčių žymiai sumažėjo šio projekto pelno norma.

Vidinė pelno norma (i*= 26,3%), pagal pinigų srautą iki mokesčių atskaitymo randama išsprendus lygtį:

0= - 60000+26000× (P/A i*,4). (10.9.)Vidinė pelno norma (i*=20,0%) pagal pinigų srautą po mokesčių atskaitymo randama išsprendus lygtį:

0= - 60000+24260× (P/A 1,3)+18460× (P/F i*,4). (10.10.)

10.5. lentelė

Pajamų mokesčių apskaičiavimas, panaudojant skirtingus nusidėvėjimo metodus

Alternatyva “A” – tiesinis nusidėvėjimo metodas

Metų pabaiga

Pradinė vertė

Įplaukos prieš mokesčius ir nusidėvėjimą

Metinis nusidėvėji-

mas

Apmokestinamas pelnas

Mokesčio tarifas

Pajamų mokestis

0 20001 400 200 200 0,29 582 400 200 200 0,29 583 400 200 200 0,29 584 400 200 200 0,29 585 400 200 200 0,29 586 400 200 200 0,29 587 400 200 200 0,29 588 400 200 200 0,29 589 400 200 200 0,29 5810 400 200 200 0,29 58

4000 2000 580Pajamų mokesčio esamoji vertė – 291 p.v.Alternatyva “B” – mažėjančiom likučio nusidėvėjimo metodas

Metų pabaiga

Pradinė vertė

Įplaukos prieš mokesčius ir nusidėvėjimą

Metinis nusidėvėji

mas

Apmokestinamas pelnas

Mokesčio tarifas

Pajamų mokestis

0 20001 400 160 240 0,29 702 400 280 120 0,29 353 400 240 160 0,29 464 400 200 200 0,29 585 400 200 200 0,29 586 400 200 200 0,29 587 400 180 220 0,29 648 400 180 220 0,29 649 400 180 220 0,29 6410 400 180 220 0,29 64

Pajamų mokesčio esamoji vertė – 283 p.v.10.6. lentelė

Pinigų srautų apskaičiavimas, įvertinant mokesčius

Metų pabaiga

Pinigų srautas iki mokesčių

Nusidėvėjimas

Apmokesti namas pelnas

Mokesčiai Pinigų srautas po mokesčių

0 -60000 -600001 26000 -20000 6000 -1740 242602 26000 -20000 6000 -1740 242603 26000 -20000 6000 -1740 242604 26000 0 26000 -7540 18460

i* iki mokesčių – 26,3%i* po mokesčių – 20,0%

Kontroliniai klausimai

1. Kokios yra mokesčių rūšys?

2. Kuo skiriasi progresyviniai ir proporciniai pelno mokesčių tarifai?3. Kokios išlaidos ir kokie kaštų elementai yra neapmokestinami?4. Kokiais tikslais yra įvedamos mokesčių lengvatos?5. Koks yra ryšys tarp mokesčių ir nusidėvėjimo?6. Kaip įvertinami mokesčiai pinigų srautų analizėje?

11. IŠANKSTINIAI ĮVERTINIMAI, RIZIKA IR NEAPIBRĖŽTUMAS

11.1. Išankstinis kaštų įvertinimas

Ekonominė analizė daugelyje atveju yra susieta su būtinumu iš anksto numatyti vieno arba kito rodiklio reikšmę ateityje. Tokiems uždaviniams spręsti ir naudojami išankstiniai įvertinimai.

Dažniausiai susiduriama su poreikiu numatyti kas gali būti sistemos išėjime (produkcija) arba jo įėjime (naudojamų išteklių kaštai).

Produkcijos vertinės išraiškos preliminariniai įvertinimai priklauso nuo 2 pagrindinių faktorių:- nuo produkcijos fizinės apimties;- nuo produkcijos vieneto kainos.Šio tipo įvertinimai dažniausiai atliekami marketingo tyrimo pagrindu arba pagal kontraktų sąlygas.Naudojamų išteklių kaštus paprastai sudaro šie atskiri elementai:1. Darbo užmokestis;2. Medžiagos ir energijos šaltiniai;3. Įranga;4. Žemė, pastatai ir t.t.;5. Piniginės lėšos (prie kaštų šiuo atveju priskiriamos palūkanos).Kaštų įvertinimo metodai. Būsimų kaštų įvertinimas yra viena iš pagrindinių problemų ekonominėje

analizėje. Šiai problemai spręsti naudojama daugelis formalių ir neformalių metodų.Kaštų įvertinimas inžinerinių skaičiavimų pagrindu. Naudojant šį metodą, kaštus bandoma vertinti

pagal produkcijos techninę dokumentaciją. Pagal dokumentaciją nustatomi visi reikalingi darbai tai produkcijai pagaminti, medžiagų poreikiai ir pan. Atliekant šį darbą plačiai taikomi įvairiausi normatyvai, pvz. projektavimo darbo imlumo normatyvai. Šie skaičiavimai atliekami labai detaliai ir sintezavus atskirus gautus rezultatus, gaunami bendri kaštai. Dėl būtinos detalizacijos šis metodas pasidaro labai darbo imlus. Kitas šiam metodui būdingas trūkumas yra tame, kad pagal techninę dokumentaciją labai sunku tiksliai numatyti pridėtines išlaidas. Taip pat, pastoviai atliekant produkcijos modernizaciją, reikalingi dideli perskaičiavimai.

Kaštų įvertinimas pagal analogiją. Pagal šį metodą reikia nustatyti analogiją (panašumo laipsnį) tarp produkcijos, kuriai atliekamas kaštų įvertinimas ir kitos produkcijos, kuri buvo gaminta anksčiau. Šitas metodas yra plačiai naudojamas ir duoda gerus rezultatus. Pagrindinė šio metodo problema -– analogijai nustatyti reikia turėti labai aukštos kvalifikacijos ekspertus.

Statistinis kaštų įvertinimo metodas. Čia kaštams nustatyti sudaroma funkcija, kuri susieja produkcijos kaštus su atskirais faktoriais, turinčiais įtaką produkcijos kaštams, pvz. yra nustatytas ryšys tarp variklio gamyklos kaštų ir jo galingumo. Šis metodas reikalauja atlikti nemažai papildomų tyrimų, bet ir laikomas kaip vienas iš geriausių. Šio metodo trūkumas glūdi tame, kad priklausomybė yra nustatoma pagal ankstesnius duomenis. Jeigu trūksta ankstesnių duomenų, arba, pavyzdžiui, dėl naujos gamybos technologijos jie yra nepritaikomi, šis metodas pasidaro nenaudotinas.

Visų minėtų metodų panaudojimas reikalauja tam tikros korekcijos. Pagrindinės priežastys, dėl kurių korekcija pasidaro būtina yra:

1. Bendras kainų lygio pasikeitimas (infliacija ir defliacija). Ši korekcija atliekama panaudojus oficialios statistikos duomenis bei makroekonomines prognozes;

2. Patirties pasikeitimas. Ateities pasikeitimas dažniausiai įvertinamas per eksperimentines kreives. Eksperimentinių kreivių pagrindą sudaro empiriniai pastebėjimai, kad kuo daugiau yra pagaminama tos pačios produkcijos, tuo mažesni kaštai tenka jos vienetui.

Netiesioginių kaštų ir pridėtinių išlaidų paskirstymui naudojami 3 metodai:1. Pagal tiesioginį gaminamos produkcijos darbo imlumą;2. Pagal tiesioginį darbo užmokestį;3. Pagal tiesioginius medžiagų kaštus.

11.2. Sprendimų priėmimas išankstinių įvertinimų pagrindu

Pagrindinė problema, priimant sprendimą pagal išankstinių įvertinimų duomenis, atsiranda dėl šių duomenų netikslumų. Tam, kad eliminuoti šias paklaidas, naudojami keli metodai.

Paklaidos įtakos mažinimas. Pagal šį metodą įvertinimas atliekamas nepalankių sąlygų atvejui arba kai projektui keliami labai aukšti reikalavimai. Pvz., naudojama labai aukšta norima pelno norma. Tai leidžia atrinkti labiausiai pelningus projektus, kurie šiuo atveju laikomi tinkamais įgyvendinimui.

Kelių įvertinimų naudojimas. Išankstiniai įvertindami iš karto atliekami kelioms galimoms būsimoms sąlygoms. Plačiausiai paplitęs trijų galimų situacijų įvertinimas:

1. Labiausiai galimos sąlygos. Tai sąlygos, kurios po atliktos analizės ekspertui atrodo labiausiai galimomis;

2. Blogiausios sąlygos – pati nepalankiausia projektui visų sąlygų kombinacija;3. Geriausios – pačios palankiausios projektui sąlygos.Jautrumo analizė. Dažniausiai asmuo priimantis sprendimą yra suinteresuotas išanalizuoti kuo plačiau

visas neigiamas pasekmes, kurios gali atsirasti dėl galimų netikslumų išankstiniuose įvertinimuose. Tokiais atvejais naudojama jautrumo analizė, kurios pagalba bandoma nustatyti, kiek galutinai rezultatai priklauso (yra jautrūs) nuo atskirų apskaičiuotų dydžių paklaidos.

Vienos alternatyvos jautrumo analizė. Šiuo atveju yra tik viena projekto realizavimo galimybė, kuri ir tyrinėjama.

Pavyzdys. Laukiama, kad 1000 p.v. dydžio investicija, padaryta šiuo momentu, po 6 metų duos 2000 p.v. dydžio pelno. Investitorius nori išsiaiškinti galimą pelno dydžio poveikį pelno normai.

Laukiama pelno norma šiuo atveju gali būti nustatyta, panaudojant būsimosios vertės formulę:FV=PV× (F/P k,n) arbaFV=PV× (1+k)n.Išsprendus lygtį k atžvilgiu, gauname

k= . (11.1.)Nesunku apskaičiuoti laukiamą pelno normą, kuri bus lygi

k= =1,1225-1=12,25%Panaudojus šias priklausomybes galima nustatyti, kaip keisis laukiama pelno norma, padidėjus arba

sumažėjus laukiamam pelnui (žr.11.1. lentelę).Pagal atliktą jautrumo analizę galima padaryti išvadas, kad projektas yra labai jautrus paklaidoms,

įvertinant FV, ir jautrumas yra žymiai didesnis tais atvejais, kai gaunamas pelnas mažesnis už laukiamą.Jautrumo analizė esant kelioms alternatyvoms. Jautrumo analizė pasidaro ypatingai svarbi tuo atveju,

jei priimant sprendimą, galima pasirinkti vieną iš kelių alternatyvų. Problemos čia atsiranda dėl to, kad kiekviena alternatyva gali turėti savo intervalą, kurio ribose ji geriausia.

11.1. lentelė

Laukiamos pelno normos jautrumo nuo laukiamo pelno analizė prie PV=1000 ir n=6 reikšmių

FV, p.v. k,% Pasikeitimas FV, % Pasikeitimas k %1600 8,15 -20 -33,51700 9,25 -15 -24,51800 10,29 -10 -16,01900 11,29 -5 -7,82000 12,25 0 02100 13,16 5 7,4220 14,04 10 14,2

2300 14,89 15 21,6

Pavyzdys. Reikia atlikti jautrumo analizę trijų galimų investicijų alternatyvų, kiekvienas iš kurių turi skirtingą pradinei investicijai poreikį ir būsimus pelno srautus (žr. 11.1. pav.).

Alternatyva ”A” reikalauja 1000 p.v. pradinių investicijų ir po to kasmet, pagal mažėjančią aritmetinę progresiją, bus gaunamas pelnas su pradine reikšme 1000 p.v. nuliniais metais. Metinis ekvivalentinis pelnas (AE), alternatyvai “A” gali būti apskaičiuotas pagal formulę:

AE(k)=-1000× (A/P k,n)+1000 – G× (A/G k,n), (11.2.)kur G – aritmetinės progresijos daugiklis.

Alternatyva “B” reikalauja 4000 p.v. pradinių investicijų ir numatomas pelnas kasmet bus lygus 1300 p.v. Metinis ekvivalentinis srautas apskaičiuojamas pagal formulę:

AE(k)=-4000× (A/P k,n)+1300. (11.3.)Alternatyva “C” reikalauja 5000 p.v. pradinių investicijų, o laukiamas pelnas augs kasmet pagal

aritmetinę progresiją, pradedant nuo 1000 p.v. Metinis ekvivalentinis srautas šiuo atveju lygusAE(k)=-5000× (A/P k,n)+1000 + G× (A/G k,n). (11.4.)

Šioms trims alternatyvoms jautrumo analizę galima atlikti, pavyzdžiui, 3 skirtingais būdais:1. Esant fiksuotai palūkanų normai (k=15%), fiksuotam laikui (n=10) ir keičiant aritmetinės

progresijos daugiklį G (žr. 11.2.A. pav.);2. Esant fiksuotam aritmetinės progresijos daugikliui (G=100), fiksuotam laikui (n=10) ir keičiant

palūkanų normą k (11.2.B. pav.);3. Esant fiksuotai palūkanų normai (k=15%), fiksuotam aritmetinės progresijos daugikliui (G=100) ir

keičiant alternatyvų gyvavimo laiką n (žr. 11.2.C. pav.).

A 1000 1000-G 1000-2G

1000-(n-1)G

0 1 2 3 n

1000

B

1300 1300 1300 1300

0 1 2 3 n

4000

C 1000 +(n-1)G

1000+2G 1000+G 1000

0 1 2 3 n

5000 11.1. pav. Alternatyvų pinigų srautai

Iš 11.2.A paveikslo matyti, kad pirmu atveju alternatyvos išsidėsto sekančiai:

Geriausia alternatyva G reikšmių intervalasA 0<=G<=88B 88<=G<=147C 147<=G

Iš 11.2.B paveikslo matyti, kad pirmu atveju alternatyvos išsidėsto jau kitaip:

Geriausia alternatyva k reikšmių intervalasA 0<=k<=4%B 4%<=k<=16%C 16%<=k<=30%

Jeigu mūsų laukiama pelno norma turėtų būti apie 10%, tai alternatyva “B” yra pranašiausia ir palyginti labai stabili.

Atliekant jautrumo analizę pagal alternatyvų gyvavimo laiką (11.2.C. pav.), matome, kad alternatyvos išsirikiuoja sekančiai:

Geriausia alternatyva n reikšmių intervalasA 0<=n<=9B 9<=n<=15C 15<=n<=20

Iš paskutinės lentelės galima padaryti išvadą, kad jeigu alternatyvų gyvavimo laikas neviršys 10 metų, tai alternatyva A yra pranašesnė už kitas.

AE, p.v.

1000

C 88 147

500 B

A

0 50 100 150 200 G

a)

AE, p.v.

1000 4%

16% 500 A

C B 0 5% 10% 15% 20% 25% 30% k

b)

15 C 800

9 B

300 A

0 n5 10 15 20

-200

-700

c)

11.2 pav. alternatyvų jautrumo analizė, esant:a) k = 15%; n = 10 ir keičiant G;b) G = 100; n = 10 ir keičiant k;c) k = 15%; G = 100 ir keičiant n.

11.3. Rizikos įvertinimas priimant sprendimus

Didelė rizika, atsirandanti dėl problemų būsimais ekonominės situacijos vertinimais, daro sprendimų priėmimą ypatingai sudėtingu. Tam, kad riziką formaliai būtų galima įtraukti į sprendimų priėmimą, naudojamasi tikimybių teorija.

Pavyzdys. Įmonė nori pradėti gaminti naują produkciją. Atlikus marketingo tyrimus paaiškėjo, kad, priklausomai nuo rinkos situacijos, (“A” – paklausa sumažės, “B” – paklausa nesikeis, “C” – paklausa padidės), galimi trys skirtingi pinigų srautai. Pagal makroekonominių prognozių duomenis ir turimą patirtį laukiama, kad situacijos “A” tikimybė – 0,1, “B” – 0,3 ir “C” – 0,6 (žr. 11.2 lentelę).

11.2 lentelė Pinigų srautai pagal skirtingas rinkos situacijas

Metai Tam tikros rinkos situacijos tikimybė

A (0,1) B (0,3) C (0,6)

0 - 30000 - 30000 - 30000

1 11000 11000 4000

2 10000 11000 7000

3 9000 11000 10000

4 8000 11000 13000

Įvertinus tai, kad laukiama pelno norma n sudaro 10% ir panaudojus esamosios vertės metodą, galima apskaičiuoti laukiamą esamą vertę (E) pagal formulę:

E PV(10) = (0,1) × PV (10)A + (0,3) × PV(10)B + 0,6 × PV(10)C = - 1001. (11.5)Kadangi laukiama esamoji vertė yra neigiama, planas gaminti naują produkciją, įvertinus rinkos

prognozes, bus atmestas.

11.4. Neapibrėžtumo įvertinimas priimant sprendimus

Priimant sprendimus neapibrėžtumo problema atsiranda tada, kai neįmanoma pagal turimą informaciją nustatyti, su kokia tikimybę, realizuojant alternatyvą, mes galime aptikti vieną arba kitą situaciją. Tokiu atveju sakoma, kad sprendimas priimamas neapibrėžtumo sąlygomis, o ekonominiuose skaičiavimuose šiuo atveju yra taikytini specialūs metodai ir taisyklės (plačiau bus nagrinėjama kitame skyriuje).

Priklausomai nuo būsimų įvykių, kiekvienas sprendimas gali duoti skirtingus rezultatus. Naudingumo (pelno) matricos (Payoff matrix) pagalbos kaip tik ir yra surišamos sprendimų alternatyvos ir būsimos sąlygos (aplinkos būsenos). Naudingumo matrica gali kiekybiškai arba kokybiškai įvertinti kiekvienos alternatyvos pasekmes prie kiekvienos būsimos sąlygos.

Pavyzdys. Įmonė gali gauti du skirtingus ir tarpusavyje nesusietus užsakymus. Įmonė gali gauti tik užsakymą X, tik užsakymą Y arba X ir Y kartu. Tokiu atveju mes turime tris galimas aplinkos būsenas.

Taip pat yra žinomos ir sprendimų alternatyvos:A1 – įmonė savo jėgomis atliks tik bendro vadovavimo darbus, o visa kitą paves atlikti savo

partneriams;A2 – įmonė tik gamins, o projektavimo darbus paves kitai;A3 – įmonė atliks tik projektavimą, o gamins kita;A4 – įmonė pati projektuos ir gamins;A5 – įmonė sudarys bendrą įmonę su kita, kuri turi naujausių idėjų toje srityje.Žinant būsenas ir alternatyvas galima sudaryti naudingumo (pelno) matricą, kuri yra pavaizduota

11.3 lentelėje.

11.3 lentelė Naudingumo (pelno) matrica, tūkst. p.v.

Alternatyvos Aplinkos būsenosX Y X ir Y

A1 - 4000 1000 2000A2 1000 1000 4000A3 - 2000 1500 6000A4 0 2000 5000A5 1000 3000 2000

Suderinus naudingumo matricą, ji yra patikrinama dominuojančių alternatyvų atžvilgiu. Jeigu viena alternatyva prie bet kurių aplinkos būsenų vertinama kaip pranašesnė (dominuojanti) prieš kitą, paskutinė gali būti pašalinta iš tolimesnės analizės. Mūsų atveju visos alternatyvos yra pranašesnės už A1, todėl naudingumo matrica yra supaprastinama (žr. 11.4 lentelę).

11.4 lentelė Supaprastinta naudingumo (pelno) matrica, tūkst. p.v.

Alternatyvos Aplinkos būsenosX Y X ir Y

A2 1000 1000 4000A3 - 2000 1500 6000A4 0 2000 5000A5 1000 3000 2000

Šios matricos pagalba paanalizuosime skirtingų taisyklių, priimant sprendimus neapibrėžtumo sąlygomis, ypatumus.

Laplaso (Laplace) taisyklė. Šios taisyklės pagrindą sudaro prielaida, kad aplinka yra indiferentiška, tai reiškia, kad ne viena iš galimų būsenų neturi privalumų prieš kitas.

Pagal Laplaso taisyklę gaunama, kad kiekviena iš būsenų turi tikimybę 1/n, kur n – būsenų skaičius. Tam, kad išrinkti geriausią alternatyvą, reikia pasirinkti tą, kuri turi didžiausią vidurkį (žr. 11.5 lentelę).

11.5 lentelė Vidutinės naudingumo reikšmės (pelno) apskaičiavimas, tūkst. p.v.

Alternatyvos

Vidutinė reikšmė

A2 (1000 + 1000 + 4000) / 3 = 2000A3 (-2000 + 1500 + 6000) / 3 = 1833A4 (0 + 2000 + 5000) / 3 = 2333A5 (1000 + 3000 + 2000) / 3 = 2000

Maximin ir Minimax taisyklės. Pirmosios taisyklės (Maximin) pagrindą sudaro labai pesimistinis aplinkos įvertinimas. Antros taisyklės (Minimax) pagrindą sudaro, atvirkščiai, labai optimistinis aplinkos įvertinimas.

Maximin taisyklė leidžia išrinkti patį geriausią iš visų blogiausių variantų pagal formulę:

(11.6)čia Pij – i-sios alternatyvos prie j- osios būsenos atsipirkimas.

Panaudojus šią taisyklę, nagrinėtoje matricoje kiekvienoje eilutėje reikia išrinkti mažiausią reikšmę ir po to gautame stulpelyje pasirinkti didžiausią reikšmę ir su ja siejamą alternatyvą (žr. 11.6 lentelę).

11.6 lentelė

Naudingumas (pelnas) pagal Maximin taisyklę, tūkst. p. v.Alternatyvos

A2A3A4A5

10002000

01000

Maximax taisyklė leidžia atrinkti patį geriausią iš visų geriausių variantų pagal formulę: (11.7)Panaudojus šią taisyklę, nagrinėtoje matricoje kiekvienoje eilutėje reikia išrinkti didžiausią

reikšmę ir po to gautame stulpelyje pasirinkti didžiausią reikšmę ir su ja siejamą alternatyvą (žr. 11.7 lentelę).

11.7 lentelėNaudingumas (pelnas) pagal Maximax taisyklę, tūkst. p.v.

Alternatyvos

A2A3A4A5

4000600050003000

Priimant sprendimus pagal Minimax ir Maximax taisykles, orientuojamasi į ekstremalias būsenas (labai optimistiškas arba labai pesimistiškas). Todėl jie yra labai tinkami įvertinant tam tikras neapibrėžtumo ribas.

Hurvico (Hirwicz) taisyklė. Šios taisyklės pagrindą sudaro siekimas rasti kompromisą tarp optimistinio ir pesimistinio požiūrio į aplinką. Balansas yra nustatomas per specialų koeficientą a (0< = a < = 1). a = 0 tuo atveju, kai asmuo, priimantis sprendimus, yra pesimistiškai nusiteikęs dėl būsimų aplinkos sąlygų. a = 1 – atvirkščiai, optimistiškai. Po to, kai yra parinktas koeficientas a, atliekami skaičiavimai pagal formulę:

(11.8)

Skaičiavimai, atlikti pagal šią formulę, pateikti lentelėje (a = 0,2).11.8 lentelė

Alternatyvos

A2A3A4A5

0,2 × 4000 + 0,8 × 1000 = 16000,2 × 6000 + 0,8 × (-2000) = -4000,2 × 5000 + 0,8 × 0 = 10000,2 × 3000 + 0,8 × 1000 = 1400

Analizuojant formulę (11.8), nesunku pastebėti, kad Maximin ir Maximax taisyklės iš tikrųjų yra tik atskiri Hurvico taisyklės atvejai. Prie a = 1 formulė (11.8) transformuojasi į Maximax formulę (11.7), o prie a = 0 – į Maximin formulę (11.6).

Minimax nuostolių taisyklė. Pasirenkant vieną arba kitą alternatyvą gali atsitikti taip, kad dėl neapibrėžtumo gaunami nuostoliai. Nuostoliai šiuo atveju įvertinami kaip skirtumas tarp būsenos galimos didžiausios reikšmės ir pasirinktos alternatyvos reikšmės. Pagal minimax taisyklę asmuo, priimantis sprendimą, stengiasi minimizuoti galimus maksimalius nuostolius. Šiuo atveju naudingumo matrica keičiama į galimų nuostolių matricą (žr. 11.9 lentelę).

Pakeitimo procesas atliekamas sekančiai. Pirmiausia randama didžiausia naudingumo reikšmė tam tikrai būsenai. Mūsų analizuojamoje matricoje būsenai X, Y, X ir Y šios reikšmės atitinkamai yra lygios 1000 p.v., 3000 p.v. ir 6000 p.v. Sekančiu žingsniu yra randami didžiausi galimi nuostoliai. Pvz., nuostoliai būsenai X bus lygūs:

11.9 lentelėNuostolių matrica, tūkst. p.v.

Alternatyvos Aplinkos būsenosX Y X ir Y

A2A3A4A5

030001000

0

200015001000

0

20000

10004000

1000 – 1000 = 0 p.v.;1000 – (- 2000) = 3000 p.v.;1000 – 0 = 1000 p.v.;1000 – 1000 = 0 p.v.

Pagal Minimax taisyklę geriausios alternatyvos parinkimas atliekamas panaudojant formulę:(11.9)

čia Rij – i – sios alternatyvos nuostoliai prie j – osios aplinkos būsenos.Skaičiavimai pagal formulę (11.9) yra pateikti 11.10 lentelėje. Pagal Minimax taisyklę turi būti

parinkta A4 alternatyva kaip turinti mažiausius nuostolius.11.10 lentelė

Nuostoliai pagal Minimax taisyklę, tūkst. p.v.Alternatyvos

A2A3A4A5

2000300010004000

Taisyklių palyginimas. Alternatyvos, kurios turi būti parinktos pagal kiekvieną taisyklę, yra pateiktos 11.11 lentelėje.

Kaip matyti iš paskutinės lentelės, skirtingos taisyklės duoda skirtingus rezultatus. Taisyklės parinkimas yra sąlygojamas subjektyvia asmens, priimančio sprendimą, nuomone, kaip pavyzdžiui, jo optimizmo laipsnis ir pan. Dėl to pilnas objektyvumas, priimant sprendimus, neapibrėžtumo sąlygomis yra neįmanomas.

11.11 lentelėAlternatyvos, parinktos pagal skirtingas sprendimo priėmimo taisykles

Taisyklė Parinkta alternatyvaLaplasoMaximinMaximxHurvico (a=0,2)Minimax

A4A2 arba A5

A3A2A4

Kontroliniai klausimai1. Kodėl naudojami išankstiniai įvertinimai?2. Kokie yra kaštų įvertinimo metodai?3. Kaip atliekamas kaštų įvertinimas, panaudojant inžinerinių skaičiavimų metodą?4. Kaip atliekamas kaštų įvertinimas, panaudojant analogijų metodą?5. Kaip atliekamas kaštų įvertinimas, panaudojant statistinį metodą?6. Kam naudojama jautrumo analizė?7. Kaip, priimant sprendimus, yra įvertinama rizika?8. Kada laikoma, kad sprendimas yra priimamas neapibrėžtumo sąlygomis?9. Kaip yra sudaroma naudingumo (pelno) matrica?10. Kaip yra parenkamos alternatyvos pagal Laplaso taisyklę?11. Kaip yra parenkamos alternatyvos pagal Maximin taisyklę?

12. Kaip yra parenkamos alternatyvos pagal Maximax taisyklę?13. Kaip yra parenkamos alternatyvos pagal Hurvico taisyklę?14. Kaip yra parenkamos alternatyvos pagal Minimax taisyklę?15. Nuo ko priklauso konkrečios taisyklės parinkimas, priimant sprendimą neapibrėžtumo sąlygomis?

12. Racionalių inžinerinių sprendinių išrinkimo matematiniai metodai

Inžinerinis sprendinys (Design) – tai techninės kūrybos arba projektavimo rezultatas, kuris gali būti įdaiktintas:

1. Pilnai užbaigtuose statiniuose, projektavimo ir gamybos sistemose, mašinose, prietaisuose, įrankiuose, medžiagose, technologijoje, projektavimo ir gamybos būduose;

2. Būti įvairiame baigtumo laipsnyje, kaip projektas, schema, brėžinys, technologinė, techninis ar organizacinis aprašymas ir kita dokumentacija.

Techninė kūryba (Creative work) arba projektavimas (Design) pagal J. Peidžą – tai “įkvėptas šuolis iš dabarties faktų į ateities galimybes”. Įvairių sričių mokslininkai techninės kūrybos ir projektavimo sąvokas apibrėžia gana skirtingai. Pateiksime keletą projektavimo sąvokos apibrėžimų:

1. Projektavimas – tai “gaminio atitikimo aplinkybėms užtikrinimas, maksimaliai įvertinant visus reikalavimus” (S. Gregori);

2. Projektavimas – tai “numatomų veiksmų modeliavimas, kuris vartojamas tol, kol tvirtai įsitikinama galutinius rezultatu” (P. Bukeris);

3. Projektavimas – tai “sprendimas neapibrėžtumo sąlygomis su sunkiomis pasekmėmis klaidos atveju” (M. Azimovas);

4. Projektavimas – tai “pakitimų žmogų supančioje dirbtinėje aplinkoje pradžia” (Dž. Džonsas).Iš šių apibrėžimų matosi, kad ruošiant inžinerinius sprendimus “reikia išsijoti pro sietą begales

galimybių ir nuspręsti, koks tas vienintelis bus tavo veidas” (K. Abe). Šis procesas vadinamas racionalaus inžinerinio sprendinio išrinkimo (Choise, Pich) procesu, o inžinerinių sprendinių įvairovė, siekiant vieno tikslo, vadinama alternatyviomis (alternatives). Terminas “išrinkimas” mūsų nuomone giliau atspindi inžinerinių sprendimų esmę ir lietuvių kalbos tradicijas, negu bendresnis ir plačiau valdymo teorijoje naudojamas terminas “sprendimo priėmimas” (Decision making).

Kadangi šiuolaikiniai projektavimo objektai gali būti labai sudėtingi, iš principo nauji, su griežtais reikalavimais projektavimo terminams ir kokybei, projektinių alternatyvų aibė pasidaro sunkiai aprėpiama ir tradiciniai (intuityvūs, patyriminiai, euristiniai) metodai nepadeda projektuotojui greitai ir patikimai išrinkti racionalų techninį sprendinį. Todėl, nors projektuotojai ir nemėgsta, tikslinga išsamiau susipažinti ir daugiau naudoti įvairius matematinius racionalių sprendinių išrinkimo metodus (Mathematical Methods). Matematinis metodas – tai būdas, priemonė ar operacijų seka tikslui pasiekti.

Matematiniai metodai padeda inžinieriui nustatyti preferencijos (lot. praeferre – pirmenybė) santykį tarp alternatyvių inžinerinių sprendinių, kuomet alternatyvų aibė yra didelė ir neapibrėžta, informacija sprendimui priimti nepilna ir neapibrėžta ir aplinkos poveikis, iššaukiantis riziką, nežinomas.

Preferencijos santykis aprašomas taip:

1. - x2 alternatyva nedominuoja x1 alternatyvos atžvilgiu;

2. - alternatyva dominuoja x2 alternatyvos atžvilgiu;3. - alternatyvos ekvivalentinės.

Kokį matematinį metodą pasirinkti ir naudoti konkrečiu atveju padeda nuspręsti racionalaus išrinkimo teorija.

12.1 Racionalaus išrinkimo teorija

nesileisdami į matematinius išvedžiojimus ir prielaidų aptarimą, pateiksime bendrus racionalaus išrinkimo teorijos postulatus:1. Jei preferencijos santykis patenkina natūralias ir logiškas alternatyvų išrinkimo prielaidas, tai

egzistuoja jį reprezentuojanti naudingumo (usefulness) funkcija. Taigi, racionalus inžinerinio sprendinio išrinkimo uždavinį iš esmės galima pakeisti naudingumo funkcijos įvertinimo ir optimizavimo uždaviniu;

2. Naudotini tokie bendri naudingumo siekimo principai: siekimas garantuoto naudingumo ir siekimas vidutinio naudingumo.

Garantuotas naudingumas – tai maksimumas minimalių naudingumo reikšmių, susiklosčius ekstremaliai nepalankioms sąlygoms:

max min Z (X,Y), (12.1)

čia X – techninių sprendinių vektoriaus x galimų reikšmių aibė; Y – sąlygų vektoriaus galimų reikšmių aibė; Z – naudingumo funkcijos išraiška.

Vidutinis naudingumas – tai maksimumas įvairių naudingumo reikšmių prie labiausiai tikėtinų, vidutinių sąlygų:

(12.2)

Garantuoto naudingumo yra siekiama projektuojant tokius objektus, kurių darbui sutrikus galimos sunkios katastrofiškos pasekmės.

Vidutinio naudingumo yra siekiama projektuojant ir gaminant masinio naudojimo gaminius.Sunkiausias uždavinys, išreiškiant racionalų techninį sprendinį, yra parinkti ir aprašyti

naudingumo funkciją. Bendru atveju naudingumas – tai prekės teikiamas pasitenkinimas vartotojui. Tačiau skirtingiems vartotojams naudingumo sąvoka nėra tapati. Todėl naudingumą ir jo funkciją konkrečiu atveju galima aprašyti tik atsižvelgus į tokias pagrindines techninio sprendinio ypatybes:1. Techninio sprendinio kūrėjo tikslus;2. Techninio sprendinio vartotojo poreikius;3. Informacijos gausą ir jos apibrėžtumą;4. Techninį sprendinį veikiančią aplinką ir riziką.

Šių ypatybių įvertinimas racionalaus inžinerinio sprendinio išrinkimo procese parodytas 12.1 paveiksle. Aptarsime jas plačiau.

Techninės kūrybos arba projektavimo pagrindinis stimulas yra vartotojo poreikiai, tačiau nemažą reikšmę turi ir techninio sprendinio kūrėjo tikslai. Jų abiejų bazėje yra parenkami techninio sprendinio naudingumo įvertinimo kriterijai. Jais gali būti techniniai sprendinio parametrai, gamybiniai, komerciniai arba vartojimo rodikliai. Jei kriterijai yra suformuoti iš vartojimo rodiklių, tai jie tiesiogiai parodo techninio sprendinio naudingumą. Jei kriterijai yra sudaryti iš techninių parametrų arba gamybinių bei komercinių rodiklių, tai jie netiesiogiai parodys techninio sprendinio naudingumą. Pavyzdžiui, jei gamintojas pardavęs gaminį pastoviai gauna pelną ir pelno norma dar didėja, tai rodo, kad gaminys naudingas, nors tikslūs vartojimo rodikliai ir neanalizuojami. Šiuo atveju gaminio naudingumą įvertiname ne pagal vartotojo poreikius ir jų tenkinimą, o pagal gamintojo tikslus ir jų pasiekimą, t.y. netiesiogiai.

Kokio tipo ir keliais kriterijais vertinti sprendinio naudingumą, nėra vieningos nuomonės. Mokslininkai rekomenduoja naudingumui vertinti net 32 kriterijus. Tyrimai atlikti 32 JAV firmose parodė, kad dažniausiai apsiribojama 6-7 kriterijais, o daugumai firmų bendri yra tik rinkos dydžio ir pelningumo kriterijai. Kiti dažniausiai pasitaikantys sprendinio įvertinimo kriterijai aprodyti 12.1 lentelėje.

Prob

lem

os

apra

šym

as

Vartotojo Kūrėjo Inžinerinio Pradinės Išrinkimo

poreikiai tikslai objekto informacijos uždavinio 1x

aprašymas aprašymas formulavimasSi

tuac

ijos

anal

izė

Inžinerinio Informacijos Pirminis Rizikos

objekto pa- neapibrėžtumo naudingumo aprašymas 2x

naudojimo įvertinimas funkcijos

aprašymas aprašymas

Info

rmac

ijos

anal

izė

Kriterijų Rizikos

Empirinis Prognozinis Kriterijų reikšmin- įvertinimas 3x

atranka gumo nu-

statymas

Mat

emat

inio

met

odo

parin

kim

as

Inžineriniai Tikimybi- Informaci- Galutinis Matematinio

sprendiniai nis jos gru- naudingumo metodo 4x

(alternatyvos) pavimas funkcijos parinkimas

aprašymas

Rac

iona

laus

spre

ndin

io

išrin

kim

as

Racionalaus

sprendimo 5x

išrinkimas

12.1 pav. Tipizuotas racionalaus inžinerinio sprendinio išrinkimo procesas. X – egzistuoja ir tarpusavio ryšiai tarp 1,2,3,4 ir 5 blokuose vykdomų

operacijų

12.1 lentelėTechninio sprendinio naudingumo įvertinimo kriterijai

Kriterijaus grupės pavadinimas Kriterijaus pavadinimas1. Techniniai

2. Gamybiniai

3. Komerciniai

4. Vartojimo

1.1. Projekto kaštai ir kaina1.2. Projektavimo laikas1.3. Techninis lygis (naujumas)1.4. Patentinis grynumas2.1. Gamybos kaštai2.2. Gaminio pelningumas2.3. Kapitalo poreikis2.4. Gamybos apimtis2.5. Gamybos efektyvumas3.1. Pardavimų apimtis3.2. Rinkos dalis3.3. Komerciniai kaštai3.4. Reklamos kaštai4.1. gaminio patikimumas4.2. Eksploatavimo kaštai4.3. Gaminio kaina4.4. Ekologinis saugumas4.5. Dizainas4.6. Aptarnavimas po pirkimo

Ryšium su tuo, kad kai kurie kriterijai yra prieštaringi, kai kurie ribojami, o kitus siekiama optimizuoti, techninio sprendinio kūrėjui yra sunku greitai ir kokybiškai parinkti vertinimo kriterijus. Šiam procesui pagreitinti galima panaudoti Isbikkaw’os diagramą. Jos esmė yra tame, kad pasirinkus pagrindinį kriterijų galima grafiškai parodyti jo priežastinius ryšius su kitais kriterijais (žr. 12.2 pav.). tuomet naudingumo funkciją galima aprašyti pagal vieną kriterijų ir, tik nesulaukus techninės ar komercinės sėkmės, ieškoti nesėkmės priežasčių, t.y. aprašyti naudingumo funkciją kaip daugiakriterinę.

Aprašant naudingumo funkciją pagal pasirinktus kriterijus, labai svarbu įvertinti informacijos gausą ir jos apibrėžtumą. Jeigu informacijos yra pakankamai ir ji kiekybiškai aprašyta, sunkumų neturėsime. Tačiau dažnai susiduriame su tokiomis problemomis:

12.2. pav. Sustambinta gaminio pardavimo apimties poslinkių priežastinių ryšių diagrama: ↑↓ sunkiai nusakomas ryšys, ↓ atvirkštinis ryšys, ↑ tiesinis

ryšys

Pard

avim

ų ap

imtis

aug

aPROJEKTAVIMAS KOMERCIJA

VARTOJIMAS GAMYBA

Projekto naujumas

Projektavimo laikas

Techninis lygis

Projekto sėkmės tikimybė

Projekto kaštai

Projekto kokybė

Ekonominiai privalumai

Projektuotojų motyvacija

Komerciniai kaštai

Pirmaujančios pozicijos

Rinkos dalis

Reklamos kaštai

Reklamos kokybė

duomenų paprasčiausiai nėra, duomenis surinkti sunku arba brangu, per projektavimo laiką , kuris dažnai ilgas, pasikeitė vertinimo kriterijai, kainos, medžiagos ir komplektuojami gaminiai, pasikeitė įtakingų žmonių sprendimai, vartotojų poreikiai, įvyko pasikeitimai gamtoje ir ją supančioje darbinėje aplinkoje. Todėl, kuo sudėtingesnis projektuojamas objektas, kuo tolesnėje ateityje jis bus realizuotas, tuo labiau intuityviai projektuotojas turės aprašyti įvairius pasirinktus kriterijus neapibrėžtumo sąlygomis. Tam jis turės panaudoti kiekybinius neapibrėžtumo matus ir parinkti matematinius metodus leidžiančius lyginti techninius sprendinius neapibrėžtumo sąlygomis. Dažniausiai informacija apie neapibrėžtumą išreiškiama tikimybinių duomenų pasiskirstymo tankiu (p). jis gali būti nustatytas empiriniu ir ekspertiniu būdais (žr. pav.)

Gyvenimiškoji patirtis ir teoriniai mokslininkų darbai rodo, kad daugumos techninių sprendimų realizavimas yra susietas su rizika. Jos atsiradimą apsprendžia:

1. Gamtos ir dirbtinės aplinkos pasikeitimai;2. Psichologinės preferencijos santykio savybės;3. Negalimumas tiksliai žinoti ir aprašyti naudingumą ir jo tikimybes neapibrėžtumo sąlygomis.Gamtos ir dirbtinės aplinkos pasikeitimai dažniausiai keičia mūsų norus arba poreikius ir techninio

sprendinio kūrėjai rizikuoja patirti nuostolius nesėkmės atvejais. Nuostolis šiuo atveju – negauta nauda. Netobuli techniniai sprendimai gali pažeisti gamtą, dirbtinę aplinką arba žmogų. Šiuo atveju nuostolius patiria visuomenė arba jos dalis ir jie vertinami, kaip padaryta žala materialinėms vertybėms, augalams, gyvūnams ir žmogui.

Psichologinių tyrimų rezultatai rodo, kad dauguma žmonių, rinkdami racionalius sprendinius neapibrėžtumo sąlygomis, net ir žinodami racionalaus išrinkimo teoriją, elgiasi neprotingai. Pavyzdžiui, realizuodami kokį nors sumanymą, jūs privalote pasirinkti vieną iš dviejų alternatyvų:

1. Garantuojančią 800 p.v. pelną;2. Su 0,85 tikimybe, garantuojančią 1000 p.v. pelną.Tikimybė, kad jokio pelno nebus, lygi 0,15.Teoriškai racionalaus išrinkimo teorija rekomenduoja antrąją alternatyvą, nes jos vidutinis pelnas

1000 0,85 = 850 p.v. didesnis už 800 p.v. Tačiau dauguma psichologinio eksperimento dalyvių pasirinko pirmąją alternatyvą. Vienas iš pasirinkimų toks: žmogus įvertina tą nemalonią psichologinę būseną, kurion pakliūtų, jei pasirinkęs antrąją alternatyvą nieko negautų.

Analogiškai išnagrinėkime tą patį pavyzdį, kai tenka išrinkti alternatyvą nuostolių atveju. Racionalus išrinkimo būdas rekomenduoja pirmąją alternatyvą, tačiau daugelis pasirenka antrąją. Taip atsitinka todėl, kad psichologiškai sunku susitaikyti su garantuotais 800 p.v. dydžio nuostoliais, negu bandyti jų išvengti.

Apibendrinant psichologinio eksperimento rezultatus buvo paruoštos tokios išvados: 1. Bendru atveju naudingumo funkcija turi S raidės pavidalą (kai galimi ir nuostoliai, ir pelnas);2. Neutralaus taško padėtis atskiriems sprendimams yra labai įvairi;3. Jei naudingumo funkcija įgaubta, tai racionaliam išrinkimui būdingas rizikos vengimas;4. Jei naudingumo funkcija iškili, racionaliam išrinkimui būdingas polinkis į riziką.Matematiniam rizikos įvertinimui yra siūlomi tokie būdai:1. Pelną sėkmės ir nuostolius nesėkmės atvejais subalansuoti taip, kad būtų išlaikytas rizikos

lygis, garantuojantis techninę pažangą;2. Riziką įvertinti sėkmės tikimybe;3. Riziką įvertinti žalos dydžio ir nesėkmės tikimybės sandauga.Plačiausiai paplitęs antras rizikos įvertinimo būdas, nes jis reikalauja mažiausiai informacijos, yra

greičiausiai nustatomas, o išlaiko tą patį subjektyvizmą, kaip ir kiti būdai.Išnagrinėjus pagrindines techninio sprendinio ypatybes, galima bandyti aprašyti naudingumo

funkciją. Tačiau konkrečių rekomendacijų, kokią funkcijos formą pasirinkti kokiam atvejui, šiandieną dar neturime. Todėl kiekvieno praktinio uždavinio sprendimas yra mokslas ir menas.

Iš pradžių teoriniais samprotavimais arba specialiais skaičiavimais pagrindžiama kokiai funkcijų klasei konkrečiu atveju turi priklausyti naudingumo funkcija, po to ji, naudojantis turima informacija, identifikuojama. Dažnai projektuotojai nesistengia aprašyti naudingumo funkciją, o, panaudodami vieną

kriterijų arba kriterijų rinkinius, iš karto renka racionalų variantą. Tokiu būdu išrinkti variantai yra labai vienareikšmiški. Todėl tikslinga racionalius sprendinių variantus rinkti, aprašant naudingumo funkciją, kurią po to galima optimizuoti, interpoliuoti, ekstrapoliuoti, atlikti regresinę, koreliacinę, dispersinę arba faktorinę analizę.

Rekomenduotume, renkantis techninio sprendinio naudingumo funkcijos klasę, atkreipti dėmesį į šiuos aspektus:

1. Jeigu naudingumas aprašytas vienu kriterijumi, esant pilnam kriterijaus apibrėžtumui, naudingumo funkcija nereikalinga;

2. Jeigu naudingumas aprašytas vienu kriterijumi neapibrėžtumo sąlygomis, tai naudingumo funkciją galima identifikuoti kaip įvairias klasikines trendo funkcijas – tiesines, hiperbolines, parabolines, laipsnines, eksponentines ir kt.;

3. Jeigu naudingumas aprašytas keliais apibrėžtais kriterijais, tai naudingumo funkcija gali būti šių kriterijų rinkinys (matematiškai neaprašoma) arba ji gali būti identifikuota įvairaus tipo vienmatėmis ir daugiamatėmis regresijos lygtimis ir matematiniais modeliais. Matematinis modelis (Mathematical Model) – tai simbolinis techninio sprendinio savybių ir charakteristikų aprašymas įvairių lygčių arba nelygybių sistemomis;

4. Jeigu naudingumas aprašytas keliais ar keliolika neapibrėžtų kriterijų, tai daugiakriterinis uždavinys keičiamas vienakriteriniu, naudojant tokius metodus, kaip: kriterijų kompozicijos, nuoseklios kriterijų analizės, Pareto aibės aproksimacijos ir kitus.

Aprašius naudingumo funkciją, galima rinktis matematinius metodus tolesniam uždavinio sprendimui. Mūsų nagrinėjamų uždavinių atveju bus reikalingi 2-jų tipų matematiniai metodai.

1. Matematiniai metodai, kurie padės optimizuoti, interpoliuoti arba ekstrapoliuoti identifikuotas klasikines matematines funkcijas, atlikti jų analizę ir nustatyti, ar jos atitinka rizikos vengimą ar polinkį į riziką. Be to, į šią grupę įeis metodai, kurie padės išspręsti lygčių arba nelygybių sistemas (pvz., mažiausių kvadratų, simpleksinis, Fogelio aproksimacijos ir kt.);

2. Matematiniai metodai, kurie padės išrinkti racionalų techninį sprendinį pagal rezultatus, gautus naudojant 1-os grupės metodus arba tais atvejais, kai sprendinio naudingumas buvo aprašytas ne naudingumo funkcija, o vienu kriterijumi arba kriterijų rinkiniu.

Šiame darbe pagrindinis dėmesys sutelktas 2-os grupės metodų analizei. Kadangi 1-os grupės metodai yra tradiciniai, nagrinėjami matematikos kurse, jie bus analizuojami tik tiek, kiek reikia, kad išrinkti racionalų techninį sprendinį, pagrįsti naudojimo sferą arba perėjimą prie 2-os grupės metodų naudojimo.

12.2. Matematinių metodų, naudojamųracionalių techninių sprendinių išrinkimui, klasifikavimas

Klasifikavimas atliktas tam, kad padėti projektuotojui greičiau ir kokybiškiau pasirinkti tinkamiausią matematinį metodą uždaviniui išspręsti. Šiuo klasifikavimu nesiekiama aprėpti visus matematinius metodus tinkamus racionaliam techniniam sprendimui išrinkti. Vykdant metodų atranką, vadovautasi tokiais principais:

1. Adekvatumas. Metodą galima vadinti tinkamu, jei jį naudodamas projektuotojas tiki, kad dirbama tikslingai, turima informacija naudojama racionaliai;

2. Naudojimo paprastumas. Metodą galima vadinti paprastu, jei be didelio teorinio matematinio pasiruošimo galima jį naudoti ir greitai gauti galutinius rezultatus;

3. Efektyvumas. Metodas pripažįstamas efektyviu, jei juo remiantis galima rasti geresnius arba ekvivalentiškus techninio sprendinio variantus, negu naudojant kitus metodus.

Klasifikavimo pagrindas – tai sprendžiamų uždavinių charakteristikos. Klasifikavimo rezultatai parodyti 12.2 lentelėje.

12.3. Vienakriteriniai racionalių techninių sprendinių išrinkimo matematiniai metodai

Vienakriteriniai racionalių techninių sprendinių išrinkimo metodai skiriasi pagal informacijos neapibrėžtumo ir rizikos laipsnius.

Ieškant racionalių techninių sprendinių pilno neapibrėžtumo sąlygomis, kuomet negalime nustatyti tikimybinio duomenų pasiskirstymo tankio, gali būti naudojami tokie metodai:

1. Maksimino taisyklė (Maximin rule);2. Maksimakso taisyklė (Maximax rule);3. Hurvico taisyklė (Hurwicz rule);4. Minimakso taisyklė (Minimax rule);5. Laplaso taisyklė (Laplace rule);6. Sevidžo taisyklė (Sevidge rule).1, 2, 3, 4 ir 5 taisyklių matematinis aprašymas ir pavyzdžiai pateikti 14-153 psl. Čia akcentuosime

tik kai kuriuos momentus.12.2 lentelė

Matematinių metodų, tinkamų racionalių techninių sprendiniųIšrinkimui, klasifikavimas

Uždavinio charakteristika

Naudingumo funkcijos forma

Matematiniai metodai 1-a grupė

Matematiniai metodai 2-a grupė

Vienakriteriniai 1.1. Apibrėžtumo sąlygomis

Kriterijaus reikšmės

- Intuityvūs, patyriminiai

1.2. Neapibrėžtumo sąlygomis

Kriterijaus reikšmės

Klasikinės trendo funkcijos

-

Mažiausių kvadratų, polinomų

Maksimino, maksimakso, Hurvico, minimakso,Laplaso, Sevidžo, Bajeso-Laplaso, raudingumo(pelno), matrica

Trendo analizė1.3. Su rizika Kriterijaus

reikšmės

Klasikinės trendo funkcijos

-

Mažiausių kvadratų, polinomų

Tikimybių teorija, sprendimų medis, grafų teorija, žaidimų teoriją

Trendo analizė1.4. Neapibrėžtumo sąlygomis ir su rizika

Kriterijaus reikšmės

Klasikinės trendo funkcijos

-

Mažiausių kvadratų, polinomų

Bajeso rizikos kriterijai

Trendo analizė

2. Daugiakriteriniai2.1. Apibrėžtumo sąlygomis

Kriterijų rinkinių reikšmės

Vienafaktorinės ir daugiafaktorinės regresijos lygtys

Matematiniai modeliai

-

Mažiausių kvadratų, Brandono

Simpleksinis, Fogelio aproksimacija

Matematinis prioritetas, Pareto optimumas

Regresinė, koreliacinė, faktorinė, lūžio taško, sąnaudų minimumo analizė

Masinio aptarnavimo teorija

2.2. Neapibrėžtumo sąlygomis ir su rizika

Keičiami vienakriteriniais uždaviniais, panaudojant specialius matematinius metodus: kriterijų kompozicijos, nuoseklios kriterijų analizės, Pareto aibės aproksimacijos

Maksimino taisyklė yra naudojama, jeigu aplinkos sąlygos yra neigiamai ekstremalios. Matematiškai gautas rezultatas vadinamas pesimistiniu.Sunkiausia, sprendžiant šios grupės uždavinius, yra nustatyti minimalias laukiamas pelno arba kitokio naudingumo kriterijaus reikšmes prie įvairių aplinkos sąlygų įvairioms techninio sprendinio alternatyvoms. Tai dažniausiai atliekama naudojant įvairius ekspertinius metodus, t.y. subjektyviai, įvertinant turimą informaciją.Maksimakso taisyklė yra naudojama, jei projektuotojas tiki, kad aplinkos sąlygos bus jam labai palankios. Matematiškai gautas rezultatas yra vadinamas optimistiniu. Sprendžiant šio tipo uždavinius, pirmiausia ekspertiniu būdu nustatomos maksimalios naudingumo kriterijaus reikšmės atskiroms alternatyvoms prie labiausiai projektuotojui palankių aplinkos sąlygų, o po to išrenkama maksimalią naudą teikianti alternatyva.Hurvico taisyklė ypatinga tuo, kad ji apjungia pirmųjų dviejų taisyklių puses, t.y. vietoj kraštutinių pesimizmo ar optimizmo reikšmių siūlo naudoti jų linijinę kombinaciją. Įrodyta, kad optimizmo laipsnis labai priklauso nuo atsakomybės laipsnio valdymo sprendimų hierarchijoje. Kaip veikia “a” renkant racionalų sprendinį parodyta 12.3 lentelėje.

12.3 lentelėOptimizmo laipsnio įtaka renkant racionalų sprendinį pagal Hurvico taisyklęAlternatyvos Optimizmo laipsnis

0 0,2 0,3 0,346 0,4 0,6 0,8 1A1 -30 -4 9 15x 22x 48x 74x 100x

A2 15x 15x 15x 15x 15 15 15 15X pažymėti racionalūs sprendiniai prie įvairių optimizmo laipsnių.Iš lentelės duomenų matyti, kad prie a = 0,346, abi alternatyvos vienodai efektyvios. Matematiškai neutralią optimizmo ribą galima išskaičiuoti, sulyginant alternatyvų kraštines reikšmes:a×100 + (1-a)(-30) = a×15 + (1-a) ×15a = 0.346Minimakso taisyklė – tai santykinio pesimizmo taisyklė. Ji leidžia užsitikrinti ne mažesnį kaip yMM

rezultatą, jeigu įvyks kai kurie nelabai laukiami neigiami aplinkos pasikeitimai. Projektuotojai, psichologiškai jausdami didelę savo darbo atsakomybę, mėgsta naudoti šią taisyklę.Laplaso taisyklė naudojama, jei projektuotojai mano, kad visos aplinkos būklės vienodai tikėtinos ir gali būti įvertintos pagal tikimybę. Laplaso taisyklė racionaliu rekomenduoja laikyti sprendinį, prie kurio laukiamos vienodai tikėtinas naudingumas yra maksimalus.

Labiausiai matematiškai sudėtingas, bet kartu patikimiausias esant pilnam informacijos neapibrėžtumui yra Sevidžo kriterijus. Jo formavimo bazė – galimi nuostoliai, jeigu išrinksime I-tąjį variantą, gauti palyginus I-tojo varianto naudą su maksimalia nauda lyginamoje variantų aibėje. Jis vadinamas minimakso apgailestavimo metodu.Racionalią techninių sprendinių atranką dalinio neapibrėžtumo sąlygomis galima atlikti naudojant Bajeso-Laplaso kriterijų, kuris amerikietiškoje literatūroje vadinamas naudingumo matrica. Šio metodo pagrindą sudaro matematinė naudingumo tikimybė ir racionalus variantas išrenkamas pagal vidutinės naudos maksimumą. Tam, kad galėtų taikyti šį metodą, projektuotojas turi turėti daugiau informacijos apie techninį sprendinį supančią aplinką ir sugebėti nustatyti tikimybinį atskirų aplinkos būklių pasiskirstymo tankį. Jei racionalūs techniniai sprendiniai renkami esant rizikai, tai jai įvertinti naudojami tokie metodai:1. Tikimybių teorija2. Sprendimų medis3. Grafų teorija4. Žaidimų teorija arba Monte Karlo analizėTikimybių teorijos pagrindinės aksiomos padeda nustatyti kiekvienos alternatyvos įvykimo tikimybę ir yra pagrindas spręsti visiems kitiems šios grupės uždaviniams. Detaliau nenagrinėjant šių aksiomų, užrašome tik pagrindines tikimybines priklausomybes tarp A ir B alternatyvų:

P(A/B) = = = P(A)

Sprendimų medis – tai labiausiai paplitęs grafinis racionalių sprendinių išrinkimo metodas. Jo esmė yra tame, kad nustatoma visų alternatyvų tikėtinas naudingumas ir jų bazėje išrenkama racionaliausia alternatyva.Tikėtinas naudingumas arba tikėtina vartė apskaičiuojama pagal formulę:E(X)=X×p(X)

čia X – naudingumą aprašančio kriterijaus reikšmė. Ji gali būti abstrakti laiko atžvilgiu, esamoji vertė arba būsimoji vertė;P(X) – sėkmės tikimybė.Uždavinio sprendimas atliekamas tokiu nuoseklumu: identifikuojamos visos alternatyvos ir jas charakterizuojantys įvykiai, įvertinami ryšiai ir sudaroma medžio diagrama, nustatoma pagal tikimybių teoriją visų įvykių įvykimo tikimybės, nustatoma pagal pasirinktą kriterijų visų įvykių įvykimo nauda, apskaičiuojamas tikėtinas alternatyvų naudingumas, atliekama medžio analizė ir, palaipsniui einant prie medžio viršūnės, renkami racionalūs sprendiniai ir priimami sprendimai. Apibendrintas sprendimo medžio pavyzdys parodytas 12.3 paveiksle.Racionaliausio kelio tikėtinas naudingumas bus apskaičiuotas taip:2/3×1400+1/3×600=1133 p.v.3/5×1133+2/5×900=1040 p.v.Kelias praeis per apatines grafiko šakas.Jeigu alternatyvos yra apibrėžiamos dideliu įvykių skaičiumi ir labai svarbu sprendinio išrinkime ryšiai tarp įvykių, sprendiniui išrinkti naudojama grafų teorija. Grafų sistemos esmė yra tame, kad kiekvienam techniniam objektui sudaromas grafas susidedantis iš viršūnių ir kraštinių. Kiekviena kraštinė turi savo charakteristiką ir mūsų atveju tai gali būti parinktas naudingumo kriterijus absoliutine arba tikėtina prasme (pelnas, pajėgumas, laikas ir kt.). sudarius ir apskaičiavus įvairių alternatyvų grafus, galime išrinkti geriausią alternatyvą. Be to, vidinė grafo analizė leis nustatyti, kas techniniame sprendinyje neatitinka priimtos grafo formos ir yra taisytina.Jeigu mes negalime nustatyti sėkmės tikimybės ir esame optimistai, galime naudoti žaidimų teoriją. Šis metodas padeda greitai išrinkti geriausią sprendinį esant konfliktinių iššauktai rizikai. Žaidimo esmė yra taisyklių sistema, kurios vienareikšmiai apsprendžia žaidėjo elgseną su kiekvienu žaidimo ėjimu besikeičiančia situacija. Ši metodą galima naudoti vedant komercines derybas.

P(AB)P(B) =

P(A) ×P(B)

P(B)

(12.3)

(12.4)

B

S

12.3 pav. Apibendrintas sprendinių medisdaugiakampis – sprendimas, apskritimas – įvykis

1 1040 p.v.

L2 900 p.v.

L2 600 p.v.

H2 1400p.v.

L2 -2200 p.v.

H2 2400 p.v.

L2 300 p.v.

H2 3000 p.v.

H1

L1 2/5

3/5

860 p.v.

1/3

2/3

2100 p.v.

867 p.v.

2/3

1/3

2/3

1/3

L2 -1000 p.v.

3/5

L1 2/5

H1

1040 p.v.

2 1133p.v.

1133p.v.

E

D

Pagrindinės žaidimo taisyklės aprašomos tokiomis formulėmis:E = max(I) min(j) Xij,E = min(j) max(I) Xij.

Pavyzdys. Tegul techninių sprendinių alternatyvos pagal jų naudingumą aprašytos projektuotojo atžvilgiu ir pavaizduotos ij matricoje:2 10 3 14 58 9 5 6 710 8 4 8 12išrinkti racionaliausią alternatyvą projektuotojui.Sprendimas:1. išrenkame minimumus pagal eilutes1 = min(2, 10, 3, 14, 5) =22 = min(8, 9, 5, 6, 7)=53 = min(10, 8, 4, 8, 12)=42. išrenkame maksimumus pagal stulpelius3. Apatinė naudingumo riba bus:E=max(I) I = max(2,5,4) = 54. viršutinė naudingumo riba bus:E = min(j)Bj = min(10,10,5,14,12) =5.Atsakymas: Racionalus sprendinys yra (2,3) taške. Jį parinkus, projektuotojas turės ne mažiau kaip 5 sąlyginių vienetų naudingumą, o vartotojas praloš ne daugiau kaip 5 sąlyginius vienetus.Jeigu racionalų techninų sprendimų reikės išrinkti dalinio apibrėžtumo sąlygomis esant rizikai, dažniausiai naudojamas Bajeso rizikos kriterijus. Jo esmė yra ta, kad naudingumo funkcija keičiama rizikos funkcija ir į ją įvedami koeficientai, įvertinantys informacijos neapibrėžtumą ir rizikos laipsnį. Rizikos funkcija aprašoma tokiomis formulėmis:Ri,e = E(X(e,il) ×Q(il,I),Čia E(X(e,il) yra nuostolių matricos elementai, gaunami naudingumo kriterijų matricą padauginus iš –1;X(e,il) – alternatyvų matrica;Q(il,I) – sąlyginių tikslo pasiekimų tikimybių matrica, nustatyta pagal informacijos neapibrėžtumo laipsnį.Rizikos laipsnis įvertinamas apriorinėmis tikslo pasiekimo tikimybėmis ir, jas įvedus į rizikos funkcijos formulę, apskaičiuojami Bajeso rizikos koeficientai:RB(l) R(I,l) ×P(I),Čia P(I) – apiorinės tikslo pasiekimo tikimybės.Apskaičiuotu koeficientų pagrindu yra renkamas racionalus techninis sprendinys. Racionaliausias variantas turi mažiausią Bajeso rizikos koeficientą.Vienakriterinių metodų grupei dar galime priskirti klasikines Trendo funkcijas, kurios gali būti naudojamos visų vienakriterinių uždavinių gilesnei analizei. Trendo funkcijų taikymas mūsų nagrinėjamiems uždaviniams spręsti yra modifikuoti, t.y. trendo laiko intervalas yra pakeistas į atskirų alternatyvų intervalą.. išnagrinėkime paprasčiausią atvejį, įrodantį trendinės analizės būtinumą ir galimumą.Pavyzdys. Tegul projektinės alternatyvos apibūdinamos vieninteliu kriterijumi – pelnu. Kadangi variantą galima sutapatinti su jį atitinkančiu pelnu, tai alternatyvų aibė yra neneigiamų skaičių intervalas. Aišku, kad didėjant pelnui, naudingumas mažėja, todėl trendinė funkcija yra didėjanti. Tačiau pelno prieaugiui, sakykime, 10p.v., suteikiama nevienoda reikšmė, nes ji priklauso nuo to, koks buvo pradinis pelnas: 100 ar 1000 p.v. antruoju atveju prieaugis paprastai vertinamas, kaip žymiai mažiau naudingas. Tokią naudingumo funkciją galima aproksimuoti eksponentine funkcija:Z(X) a+bexp(ex).Galimos ir kitos funkcijų formos: tiesinės, parabolinės, hiperparabolinės ir kitos.Nustačius naudingumo funkcijos kitimo trendinę formą ir apskaičiavus naudingumo prieaugį gali pasirodyti, kad nagrinėjamos alternatyvos santykinai visos vienodai naudingos ir visai nereikia ieškoti naudingumo kriterijų reikšmių maksimumo arba minimumo.

Apibendrinant vienakriterinius racionalių techninių sprendinių išrinkimo metodus galima konstatuoti, kad jų naudojimas nėra labai sudėtingas ir darbaimlus, todėl ekonomiškai tikslinga kuo daugiau juos naudoti. Tačiau dėl to, kad vertinimas sprendinių pagal vieną kriterijų nėra patikimas, reikia susipažinti ir su daugiakriteriniais uždaviniais.

12.4. daugiakriteriniai racionalių techniniųsprendimų išrinkimo metodai

šie uždaviniai dažniausiai neapibrėžti ir jų sprendimas gana arba ypač sudėtingas. Todėl labai dažnai projektuotojai juos sprendžia apibrėžtais ir jų sprendimui naudodami tiesioginio ir netiesioginio išrinkimo metodus.Tiesioginio išrinkimo metodams priklauso:1. matematinio prioriteto metodas2. Pareto optimumo metodas.Netiesioginio išrinkimo metodams priklauso:1. vienfaktorinė ir daugiafaktorinė regresinė analizė2. įvairūs matematiniai metodai: tiesinio ir netiesinio programavimo, masinio aptarnavimo teorija.Gauti matematiniai rezultatai kartais leidžia tuoj pat išrinkti racionalų sprendinį, kartais jo išrinkimui reikia naudoti 1-os grupės metodui, o kartais reikia taikyti specialius metodus, tokius kaip:1. Lūžio taško analizė2. Sąnaudų minimumo analizė3. Tiesinį lūžio taško modelį4. Netiesinį lūžio taško modelį.Panagrinėkime kai kuriuos iš jų smulkiau.Apskaičiuojant alternatyvų preferencijos santykį matematinio prioriteto metodu, naudojamasi tokiomis formulėmis:Fk×qk

Fk=pi/pj

Fk=pj/pi

Fk=ln(pi max/pi min)/ln(pj max/pj min)Čia - alternatyvios preferencijos santykis;n- kriterijų, pagal kuriuos nustatoma vienos alternatyvos dominavimas kitų alternatyvų atžvilgiu, skaičius;Fk - k-ojo kriterijaus kitimą įvertinantis koeficientas;pI -k-ojo kriterijaus reikšmė dominuojančioje alternatyvoje;pj - k-ojo kriterijaus reikšmė lyginamojoje alternatyvojeqk - k-ojo kriterijaus reikšmingumo visoje parinktoje alternatyvų aibėje koeficientas, nustatomas eksperimentiniu būdu.(2), (3), (4) formulių naudojimo sąlygos tokios:- (2) formulė naudojama, jei, kriterijaus skaitinei reikšmei didėjant, techninis, gamybinis ar vartojimo

rodiklis gerėja- (3) formulė naudojama, jei, kriterijaus skaitinei reikšmei didėjant, techninis, gamybinis ar vartojimo

rodiklis blogėja;- (4) formulė naudojama, jei, kriterijaus reikšmė yra ne vienas skaitinis dydis, o dydžių diapazonas.Pareto optimumo metodas turi geometrinę ir algebrinę interpretaciją. Geometrinė interpretacija naudojama, jei alternatyvų preferancijos santykis analizuojamas pagal du naudingumo kriterijus. Panagrinėsime Pareto optimumo metodo esmę jo geometrinės interpretacijos bazėje (12.4,5pav). Taškai iš kurių negalima pajudėti, pagerinus abu analizuojamus kriterijus, sudaro Pareto arba kompromiso taškų aibę. Ši aibė brėžinyje yra užbrūkšniuota.Pareto aibės aproksimaciją galima atlikti ekspertiniu būdu arba naudojant specialius matematinius metodus. Optimalia pagal Paretą laikoma tokia alternatyva iš kompromisų aibės, kuomet visi kiti ekspertai galvoja, kad ji geresnė už kitas alternatyvas, esančias kompromisų aibėje.Pareto optimumo algebrinė interpretacija išreiškiama tokiomis formulėmis

1- max((F(XiXj)-F(XjXi))F (XiXj) min(F1(XiXj, F2(XiXj), …, Fn(XiXj)), (12.10)F (XiXj) Fk(XiXj) ×qk,Čia F1(XiXj, F2(XiXj), …, Fn(XiXj) – pirmumo pagal visus lyginamuosius kriterijus matricos ir suminė pirmumo matrica;XiXj – lyginamų alternatyvų poros.(2) formulė naudojama, jei manoma, kad visi lyginamieji kriterijai vienodai reikšmingi sprendimui priimti. Jei ne, tai naudojamasi (3) formule ir atsižvelgiama į kiekvieno kriterijaus reikšmingumą.Matematinio prioriteto ir Pareto optimumo metodų taikymo sritys yra tos pačios, skaičiavimai vienodo sudėtingumo ir rezultatai panašaus tikslumo. Tačiau jei naudojami kriterijai labiau apibrėžti ir turi savo skaitines reikšmes, racionaliau taikyti matematinio prioriteto metodą.Netiesioginio sprendinių išrinkimo metodų detaliai nenagrinėsime, nes jie aprašyti beveik visuose matematikos vadovėliuose. Priminsime, kad tiesinio programavimo metodas remiasi naudingumo funkcijos optimizavimu prie ją ribojančių sąlygų ir aprašomas:EEjXjaijXj bi i1,2,…,m (12.11)Xj>0 j1,2,…,n.Vienfaktorinės ir daugiafaktorinės regresijos lygtis atspindi, kaip eilė naudingumo kriterijų veikia į galutinį reziumuojantį kriterijų.

Masinio aptarnavimo teorija – tikimybinis matematinis modelis, leidžiantis analizuoti sistemas, kuriose iš vienos pusės yra masiniai užsakymai atlikti kažkokius darbus, o iš kitos pusės yra sistemos pajėgumas. Modeliavimas atliekamas nustatant sistemos pajėgumą prie įvairių užduoties atlikimo tikimybių. Gauti rezultatai gali padėti išrinkti racionalią sistemą.Jeigu naudingumo funkcija aprašyta vienfaktorine regresijos lygtimi arba įvairiomis tradicinėmis ekonominėmis formulėmis, racionaliam variantui išsirinkti galime naudoti įvairių modifikacijų lūžio taško ir sąnaudų minimumo metodus. Lūžio taško metodas leidžia surasti tą padėtį, kai keičiasi analizuojamų alternatyvų naudingumas. Lūžio taško modelis leidžia giliau išanalizuoti atskiros alternatyvos naudingumo kitimo veiksnius.Sąnaudų minimumo metodas, taip pat leidžia išsirinkti alternatyvas pagal sąnaudų minimumo reikšmes. Šių metodų ir modelių naudojimo pavyzdžiai parodyti 12.6,7,8 pav.Lūžio taško reikšmė matematiškai surandama laikant, kad naudingumo funkcija lygi (Y1 Y2).Sąnaudų minimumo reikšmė surandama diferencijuojant naudingumo funkciją ir gautą lygybę prilyginant 0.Dy/dx0.Analizei atlikti, naudojant lūžio taškų grafikus, galime naudoti tokias formules:N F/(R-V),Įstačius šią išraišką į I RN arba TC F+VN formules gautume:I R(F/(R-V))TC F+VF/(R-V)Naudingumas P prie įvairių N galės būti nustatytas:PI-TCRN – (F+VN)(R-V)N – F.daugiakriteriniai racionalių techninių sprendinių išrinkimo uždaviniai, esant neapibrėžtumui ir rizikai, dažniausiai keičiami vienakriteriniais, panaudojant specialius matematinius metodus:1. Kriterijų kompozicijos2. Nuoseklios kriterijų analizės3. Pareto aibės aproksimacijos.Kriterijų kompozicija gali būti atlikta tokiais būdais: svertinio sumavimo, kriterijų sandaugos, “silpniausios grandinės stiprinimo” ir tikslo programavimo. Jų matematinės formulės eilės tvarka yra šios:F(x)ai×fi(x); ai 1;

F(x)f1(x)×f2(x)…fm(x),F(x)min(I)aifi(x),Minr(Fx,F(x),X priklauso XFx –tikslo vektorius;r – atstumų funkcija (Fx ,F)nuosekli kriterijų analizė gali būti atlikta:1. Leksikografiniu;2. Pagrindinio maksimizuojamo kriterijaus;3. Nuoseklių nuolaidų būdais.Leksikografinis optimizavimo uždavinys gali būti sprendžiamas, nuosekliai maksimizuojant kriterijus siaurėjančiuose leistinos aibės poaibiuose. Šiuo metodu gyvenime dažniausiai išaiškinami įvairių varžybų čempionai.Išskyrę pagrindinį maksimizuojamą kriterijų, visus kitus galime aprašyti kaip apribojimus ir gausime įprastą matematinio programavimo uždavinį.Nuoseklių nuolaidų metodas – tai žingsninis optimizavimo uždavinių sprendimas, einant nuo svarbiausio kriterijaus prie mažiau svarbių kriterijų. Išspręstus kriterijus gautomis reikšmėmis vėliau įvedame į uždavinį.Pareto aibės aproksimacijos uždaviniai yra sudėtingi optimizavimo uždaviniai, todėl jų detaliau nenagrinėsime. Paprasta Pareto aibės aproksimacija buvo išnagrinėta ankstesniame skyrelyje.Apibendrinant matematinių metodų naudojimą, išrenkant racionalius techninius sprendinius, norėtųsi pabrėžti, kad nereikia šių metodų taikyti panacėja ir taikyti, kur reikia ir nereikia. Visuomet reikia logiškai įvertinti jų taikymo galimybes, būtinumą ir parinkti siekiamiems tikslams įgyvendinti tinkamą, racionalų matematinį metodą.