Verónica González Meza

Ambas bellas, fascinantes y anti-

quísimas: así son las matemáticas

y la música. Pero más allá de eso

(y de que ambas empiezan con

“m”), ¿qué otras relaciones existen entre

estas dos disciplinas? Lee este artículo y

descubre lo bien que suena este asunto.

Durante mucho tiempo se ha considerado

que las matemáticas y la música tienen cierta

similitud y comúnmente se dice que tienen, al

menos, cierta relación. Hay desde luego si-

militudes: ambas tienen algo de mágico, son

tan abstractas que parecen pertenecer a otro

mundo y, sin embargo, tienen gran poder en

nuestra vida diaria. La música cambia su tex-

tura y carácter según el lugar y la época; por

su parte, las matemáticas, aún cuando ge-

neran resultados contundentes y duraderos,

han visto variar su perspectiva y motivaciones

a lo largo de la historia.

La música se crea a partir de algo físico,

pues la producen instrumentos de todo tipo

de materiales; las matemáticas son abstrac-

ciones que pueden representarse muy bien

con ayuda de diversos medios, como regla

y compás o una hoja de cálculo electrónica.

Tanto el matemático como el músico se en-

cuentran ocupados resolviendo problemas

o componiendo o interpretando; ambas dis-

ciplinas han tenido un poder místico desde

la antigüedad. Las matemáticas nacen de

la necesidad práctica de registrar el paso

del tiempo, las observaciones del cielo y

la permanencia de la propiedad privada, y

consisten al principio solamente de números

y conteos; la música está motivada por el

deseo de protegerse de ciertos fenómenos

naturales, de alejar a los espíritus malig-

nos, de atraer la ayuda de los dioses y de

honrarlos mediante sus fiestas, así como de

celebrar el cambio de las estaciones.

González, V. (2012). Música y Matemáticas: vínculo de bien tono [Versión electrónica], Ciencia Compartida, 4, 19-24. Recuperado el (día) de (mes) de (año), de (dirección electrónica).

Armonía celestial

En la mitología griega, las Musas eran

nueve diosas hermanas protectoras de las

artes y las ciencias: Clío, Talía, Melpóme-

ne, Terpsícore, Erato, Polimnia, Calíope,

Urania -protectora de la astronomía- y Eu-

terpe, protectora de lo que hoy llamamos

música. Según esta perspectiva, la música

estaba hermanada con la astronomía. Qui-

zá a ello debamos que en alguna ocasión

un hombre se preguntara: si en la tierra el

movimiento de pequeños objetos producen

un sonido, ¿por qué no lo iba a producir el

movimiento de objetos tan grandes como

las estrellas, el sol y la luna? Y más aún: se

atrevió a asegurar que el sonido provenien-

te del movimiento circular de las estrellas

correspondía a una armonía y llamó a su

teoría “música de las esferas o armonía de

las esferas.”

Si hubiésemos interrogado a aquel maes-

tro -de nombre Pitágoras- sobre el porqué

dicha armonía de las esferas no se distingue

en el silencio, él quizá habría argumentado

que “al ser un sonido permanente desde el

mismo instante del nacimiento, no era distin-

guible del silencio”.

La teoría de la música de las esferas

sobrevivió casi 20 siglos, hasta la época

de Kepler, quien propuso que no era in-

verosímil la existencia de sonidos en la

materia interestelar del espacio exterior,

debido a que ésta forma una especie de

gas sumamente tenue. Sin embargo, la

gran diferencia de acústica entre ese gas

y la atmósfera terrestre “harían desprecia-

ble la energía acústica transmitida hacia

la superficie terrestre.”

Dividir suena bien

Los estudios de Pitágoras sobre aritmé-

tica, geometría y armónica, la naturaleza

de los sonidos musicales, el misticismo de

los números naturales -especialmente los

cuatro primeros, de donde surgía un arre-

glo llamado tetractys (véase la Figura 1)- y

la búsqueda por unificar los fenómenos del

mundo físico y espiritual en términos de

razones y proporciones de enteros lo lleva-

ron a descubrir que, al dividir una cuerda

considerando ciertas razones –como 1:2

(o un medio), 2:3 (o dos tercios) y 3:4 (o

tres cuartos)– se producen sonidos pla-

centeros al oído y construyó una escala a

partir de estas razones. A dichos intervalos

los llamó diapasón, diapente y diatesarón;

ahora los llamamos octava, quinta y cuarta

–respectivamente- porque corresponden a

esas notas de la escala pitagórica diatónica

(do, re, mi, fa, sol, la, si, do).

Hoy sabemos que el motivo por el cual en-

contramos estos intervalos más agradables

que otros tiene que ver con la física de la

cuerda tocada. Cuando una cuerda de 36

cm. se rasga, no sólo se produce una onda

de 36 cm., sino que, además, se forman dos

ondas de 18 cm., tres de 12 cm., cuatro de

9 cm. y así sucesivamente. La cuerda vibra

en mitades, tercios, cuartos, etcétera, y cada

vibración produce “armónicos” y estas lon-

gitudes de onda producen una secuencia

de armónicos de la longitud de la cuerda.

Los sonidos son más agudos y mucho más

suaves que el sonido de la cuerda completa

(llamada “la fundamental”) y generalmente

no se perciben, pero son los que hacen que

los instrumentos musicales suenen diferen-

tes entre sí. La regla que establece que la fre-

cuencia está relacionada con la longitud de

la cuerda fue formulada hasta el siglo XVII,

cuando el franciscano Fray Marín Mersenne

definió algunas reglas sobre la frecuencia de

una cuerda que vibra.

Muchos fueron los interesados en los estu-

dios de Pitágoras en relación con la música.

Arquitas, uno de los más brillantes pitagóri-

cos, escribió tratados de geometría sólida y

también es autor de un texto titulado Sobre

la música. Nicómaco, quien escribió Intro-

ducción a las matemáticas e Introducción

a la geometría, así como Introducción a la

música y un texto sobre armonía, definió la

aritmética como cantidad absoluta y la mú-

sica como cantidad relativa; también habló

de la importancia de las razones de enteros

en su Teoría de la música. Severino Boecio,

filósofo y matemático romano, fue el princi-

pal traductor de la teoría de la música en la

Edad Media; escribió Principios de la músi-

ca, interpretando los trabajos de Nicómaco,

Figura 1: Tetractys, un triángulo de cuatro hileras al

que se le puede asociar una equivalencia geométrica

moderna: el 1 representa el punto; el 2, la línea; el 3,

al plano; y el 4, a los sólidos.

Ptolomeo y Euclides.

Figuras, números, notas…

Muchas composiciones musicales están

íntimamente relacionadas con las transforma-

ciones isométricas básicas que son la traslación,

la reflexión y la inversión (véase el Recuadro 1).

Una transformación de este tipo recoloca una fi-

gura geométrica rígida en el plano, preservando

su forma y tamaño, es decir, la forma original no

se distorsiona con la manipulación.

Podemos hallar el equivalente a las rotacio-

nes, traslaciones y reflexiones en la mayoría

de las melodías populares y el análisis de las

obras maestras musicales también nos llevará

a encontrarlas, no hay una que no las tenga. Ya

sea en las obras de Bach o en las de Mozart,

Haydn, Beethoven, etcétera, incluyendo temas

de los Beatles o cualquier canción de moda,

este es un recurso muy utilizado aunque nor-

malmente no lo asociamos con matemáticas.

Un buen ejemplo de la utilización de ma-

temáticas en la música lo tenemos la quinta

sinfonía de Beethoven, en la que se utiliza lo

que matemáticamente llamamos sucesión de

Fibonacci. Se trata de una secuencia infinita;

el primer número es 1 y cada número sub-

secuente es la suma de los dos anteriores.

Como el primero es 1 y antes no hay nada,

el segundo es 1 (1+0), el tercero es 1+1=2, el

cuarto es 1+ 2=3 y así sucesivamente, de tal

manera que nos queda lo siguiente:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,…

No se sabe si el uso de dichos términos

es deliberado o no; tal vez el compositor

la usa sin saber, sólo porque se oye bien.

Beethoven la emplea en el transcurso de

la obra, la cual está separada por un nú-

mero de compases que pertenecen a la

secuencia. El compositor húngaro Béla

Bartok utilizó frecuentemente la sucesión

de Fibonacci para el diseño de sus com-

posiciones y desarrolló una escala que

denominó “escala Fibonacci”.

Cuando Mozart tenía 22 años -en 1777-

propuso la siguiente idea musical: un vals

de 16 compases que tituló “Juego de da-

dos musical para escribir valses con la

ayuda de dos dados sin ser músico ni sa-

ber nada de composición”, en la que cada

uno de los compases se escoge lanzando

dos dados y anotando la suma del resul-

tado (tenemos 11 resultados posibles, del

2 al 12).

Recuadro 1

El término isometría proviene de dos vocablos griegos, isos (igual) y metron (medida), por lo que isometría viene a significar “de la misma medida”; así, una transformación isométrica se caracteriza por preservar las distancias (o las medidas). La traslación –que significa mover un objeto geométrico en el plano-, la rotación –que equivale a girar un ente geométrico en el plano- y la reflexión –que implica reflejar una figura plana con respecto a un eje- son transfor-maciones isométricas, pues ninguna de las tres altera la forma (medida) de la figura original, sólo su posición u orientación en el plano.

Al son de la matemática

Por su parte, Iannis Xenakis -arquitecto, ma-

temático y compositor- fundó en 1966 la es-

cuela de Música Matemática y Automatizada

en París y enseñó allí y en la Universidad de

Indiana, donde fundó un centro similar. Co-

menzó a aplicar a la música teorías de pro-

babilidad matemática, especialmente la “ley

de los grandes números” (véase el Recuadro

2) y ello derivó en el desarrollo de su “música

estocástica” (en griego significa ‘tendencia a

una meta’) que se caracteriza por masas de

sonido, “nubes”, “galaxias”, donde el número

de elementos es tan grande que la conducta

de un elemento individual no puede ser de-

terminada, pero sí la del todo.

La composición más famosa de Xenakis

fue su primera pieza estocástica, Metastatis,

de 1954. Esta obra sirvió como modelo para

la creación del Pabellón Philips que, junto con

Le Corbusier (arquitecto, pintor y diseñador

suizo), Xenakis construyó para la exposición

internacional de Bruselas de 1958 (ver Figura

2). En tal estructura no hay superficies planas

y de esta forma también se escapa de la cate-

goría lineal del pensamiento musical.

Xenakis fue un compositor prolífico y es-

cribió muchos artículos; en su libro Música

Formal describe sus métodos de composi-

ción y su filosofía. Su tesis doctoral en letras

y humanidades fue publicada con el título

Arte/Ciencia. Aliadas. Xenakis utilizó sobre

todo leyes de probabilidad como base de

sus composiciones, así como otras áreas de

las matemáticas.

En 1984 Julio Estrada, en colaboración

con Jorge Gil, publicó un libro en el cual se

aplica la teoría de grupos finitos y el álgebra

de Boole -que estudia la simetría de las for-

mas- para analizar la estructura de la música

y como una herramienta en la composición

dada la coincidencia de las estructuras

musicales con la simetría (retrogradación,

inversión y retrogradación de la inversión).

¿ÁGUILA O SOL?Todos sabemos que si se lanza una moneda, hay una probabilidad de 50% de salga “águila” y una probabilidad de 50% de que salga “sol”. Eso no significa que si usted lanza la moneda 10 veces van a salir 5 águi-las y 5 soles y esto es perfectamente com-probable. Pero si la lanza 1000 veces tal vez la cantidad real de oportunidades que salga águila o sol esté más cercana a ese 50%-50% puede intentarlo, pero dudo que logre exactamente 500 resultados de cada cara. Si hace la prueba un millón de veces, tampo-co va a obtener exactamente 500, 000 águi-las y 500,000 soles, pero el número se va a acercar mucho a esta proporción. Mientras mayor sea la cantidad de pruebas o eventos, mas nos acercaremos a esa proporción de 50/50%; a esa tendencia se le conoce como la ley de los grandes números.

Tan tan

Otro ejemplo de matemáticas en la música

es el piano, instrumento en el que las teclas

forman grupos de 12 (7 blancas y 5 negras)

y estos grupos se repiten de izquierda a de-

recha. Cada octava tecla blanca cierra un

grupo y abre el otro, y por eso la distancia

musical entre esas teclas se llama octava

(normalmente se llama octava también el

mismo grupo de 12 teclas), y su escala es

igual a 2:1, esto es, la frecuencia de la mis-

ma nota en la siguiente octava es el doble y

la de octava anterior es la mitad.

Así, lo que hoy conocemos sobre matemá-

ticas y su relación con la música, las escalas

y las técnicas de composición se deben a los

estudios y preguntas que generó un hombre

que hace mucho tiempo pensó en su “mú-

sica de las esferas”. Aun cuando su idea fue

equivocada, nos dejó notables aportaciones

sobre la música y con ello se cumple aquello

de que “hay que defender nuestro derecho a

pensar, porque incluso pensar erróneamen-

te es mejor que no pensar”.