vene bogoslavov - homotetija i slicnost
DESCRIPTION
Vene Bogoslavov - homotetija i sličnostTRANSCRIPT
1007.*
1008.*
Odrediti realan broj m tako da razlomak
X l - mx' - 3(3 - m) X - I . ___ :::....,_=_-=.~-;;-~..:.--.:..-::--- Ima konslantnll vrednosl (m-8)x J +3(10-m)x'-18x+8-m
za svako x.
Ako je -.!. + -.!. + ~ = 0, dokazati da je (1007-1008): abc
b+c c +a a+b --+--+--=-3. abc
abc a'+b ' + c ' --+--+--=------b + c a + c a + b abc
2 :2 '2 . mnp.x Y Z d '
1009.* Akoje -=-=-1-+ -+-, = I, ta aje x Y z a' b' c'
m2 n2 p2 m2 + n2 + p2 . - , + - , + - , = , 2 ' • Dokazatl. a' b' c' X + Y + z·
112
VII G L A V A
7. HOMOTETIJA J SLlCNOST
7.1. Proporcionalnost velicina. Talesova teoTerna
Talesova teorerna. Neka su a i b dye prave koje se seku u tacki S, p prava koja ih sece redom u tackarna A i B, q prava koja ih sece u lackama A' i B'. Tadajc'
AB SA SB p ll q~ A'B' = SA' = SB"
gde je k koefieijent proporeionalnosti.
1010. Datu duz AB podel iti na Iri dela proporeiona lna duzima clje su duzine m, 17 i p.
lOll. Konstruisati tacke koje dele datu duz AB u datorn odnosu Ill : n, gdc su m i 17 date dllzi.
1012. Na poillpravoj Ax dala je tacka B. Konslruisali na ovoj polupravoj
C k . AB 5
tackll , ta 0 daje - =-. AC 8
1013. Datu dlli AB podeliti na 5 jednakih delova.
1014. Ako Sll date duii cije su duzine a i b, konstruisati duz cijaje duiina: , b'
a e a - b,. d) a -a) a . b', b) - ' ) b' a+ b a
lOIS. Ako su date duzi cija je duzi na a, b i c, konstrui ali duz cija je
duZina:
1016.
1017.
1018.
1019.
a·b a+b a+b a)-; b)--; e)--.
c c a - c
Tacka C deli duz AB u odnosu AC : CB = 2 : 3. Duzina duzi AC JC 4,8 em. Odrediti duiinu duzi AB i CB. Data je dui AB = 12 em. Odrediti spolja~nju lacku C(A - B - C). tako da je AC :BC = 5 : 2.
Tacka C deli duz AB u odnosu A C : BC = 3 : 2. Odredili odnose
AC: AB i AB :CB. Kraei ugla MON preseceni su paralelnirn pravarna ,/A , i B~I (A i B su tacke oajedoorn kraku A, i B, oa drugorn). lzracunall duilOu duZl OA ako su OB + OA = 14 m i OB , : OA , = 4: 3.
113
1020. Neka je T teziste trougla ABC. Konstruisane su prave koje sadrie tacku T i patalelne su sa AB i AC, i koje seku stranicu BC u tackal113 DiE. a) Odrediti odnose BD :BC i EC : BC; b) Dokazat, da su duzi BD, DE i EC jednake.
1021. Na jednom kraku ugla MON , pocevsi od tell1ena. konstrui su se duzi OA, AB i BC, koje stoje u odnosu I : 2 : 3. Na drllgOll1 kraku konSlruisana je dui OA, = 5cll1.Vazi i BB, II AA , i CC, II AA ,. Odrediti duzinu odsecaka A, B, i B,C,.
1022. Dat je trollgao ABC. Na pravoj BC dat je l1lspored tacaka 0 - B -- C - E tako da je BD = BC = CE o Neka je OF li B i EF IIC, a presek pravih FA i BC je tacka M. Dokazati da je: a) MB :BD = = MC : CE; b) jednakost MB = MC; c) tacka A teZiste tTougla DEF.
1023. Simetrala unutrasnjeg llgla trollgla ABC deli stranicu naspram lemena iz kojeg polazi na dva odsecka koji su proporeionalni sa ostalim dvema stranieama trougla . Dokazati .
1024. Simetrala spoljalinjeg ugla tTougla ABC deli stranieu naspram temen a iz kojeg polazi na dva odsecka, koji Sll proporeionalni sa ostalim dvema stranieama. Dokazati.
1025. U trouglu ABC konstruisanaje simetrala ugla A. Straniea AB = 8 cI11, AC= 14 em, a odsecak BD je za 3 em manji od odsecka DC(B- D-C). Izracunati stranieu BC.
1026. U jednakokrakom trouglu krakje dodimom tackom upisane kruznice podeljen u razmeri 7: 5 (racunajuci od vrha) . Odrediti odnos kraka i osnoviee.
1027. Straniee trougla ABC su a, b, c. Nekaje BD simetrala ugla B, 0 presek simetrala uglova B i C. Odrediti odnos 00: OB.
7.2. Homotctija
Ako je 0 data tacka a k dati realan broj razlicit od nule. Preslikavanje u oznaci ho figureF na figuruF' pri kojem svakoj tacki M figureF pridruzuje tackll M' figure F' tako da je
OM' =kOM, naziva se homotetija. Tacka 0 je eentat homotetije, k je koefieijent homotetije. Simbolicki:
'*f. -ho(F) = F' ~ OM' = k OM.
114
1028. Konstruisati h01l10leticnu sliku za datu pravu (ugao_ trougao, kruzniea) ako Je data tatka ° centar hOll1otetije i ako jc:
I I
1029.
1030.
1031.
1032.
1033.
1034.
1035.
\036.
1037.*
1038.*
1039.
1040.
a)k= 2'; b) k=- 2': e)k= 2; d)k=-2.
Konstruisati h0l110teticnu sli ku datog cetvorougla ABCD ako Je:
I ... k 3 a) A eentar 10l110tet'Je, =-; 2
b) S eentar b0l110tetije i k = - I, gde je S srediste jedne straniee cetvorougla.
Primenom homotetij e, datu duz AB podeliti na : a) tri odsecka, koj i su proporeionaln i datil11 odseccima III. n, p; b) pet jednakih delova.
U dati ostrougli /:; ABC upisati jednakostranican tTougao MNP.
Konstruisati kruinieu koja dodiruje krake datog ugla xSy i sadrii datu lackll A.
H0l11010gne simetrale uglova dva homoteticna trougla paralelnc su Dokazali .
Date su dYe kruzniee K(O) i K,(O , ), tako daje K n K, = {MI i dYe pravc p, q, tako da je pn 'I = {M) . Ako je K n pt A. MI. K,flp={M, B), Kflq={C,M} i K , nq={M.DI. lada JC AC II BD . Dokazati .
Date su dYe kruznice. U jednu je upisan cetvorollgao. a u drugu treba upisati cetvorougao sli can prvom.
U dati trougao upisati trougao cij e su stranice paralelne trima dalim neparalelnim pravama.
Konstruisati trapez, ako se duZa osnoviea, jedan krak i visina odnose kao III : n : p i ako Sll dati ostar ugao izmedll duze osnOVlce , drugog kraka, kao i dijagonala koja sadrii teme datog ugla.
Konstruisati jednakokraki trapez date visine ako se krak. razlika osnoyiea i dijagonala odnose kao Ill: n : p.
Konstruisati paralelogram ako su dati odnos dijagonala. ugao izmedu dijagonala i vis ina koja odgovara JednoJ stran,cl. ..
. . I I k su dati odnos nJegovlh U dati trougao up,sat' para e ogral11 a 0 . . .. d I I . 'edna straDlea kOJa pnpa a straniea, ostar ugao jednak ug u troug a I J
bilo kojoj straniei trougla.
115
1041. U dati krui:ni odsecak llpisati pravollgaon ik ako j e odnos dijagonale i jeclne straniee In : n, a duza strana pripada tetivi kruznog odsecka.
1042. U dati konveksni kruzni isecak lIpisati : a) kruznieu; b) pravougaonik cije straniee stoj e u odnosu III : 11; c) kvadral.
1043.* Date su tacke A i B i prava p kojoj ne pripadaj u date tacke. Konstru i· sati krufuieu koja sadrZi date tacke i dod iruj e da tu pravu .
1044.* Data je tacka A i prave p i I. Konstruisati kruznieu koja sadrZi tacku A i dodiruj e pravu p, a eentar joj pripada pravoj I.
7.3. Slicnost trouglova
Stavovi 0 slicnosti trouglova. Uocimo trouglove /';. ABC i /';. A'B 'C'.
1°. Ako je oa primer L A = L A' /I LB = L B ' tada j e /';. ABC - /';. A'B 'C'.
20 Ak " AB AC · o je oa pnmer LA = L A' /I -- = -- tadaj'e /';. ABC - /';. A'B'C'. A'B' A'B '
30 Ak' . AB AC BC · o jeoa pnOler-- = --=-- tada j·e/';.ABC - /';.A 'B'C'
A'B' A'C' B 'C' .
40 Ak' . AB BC · ojena pnmer-- = - - /I LA = L A ' a uglovi C iC' su iIi oba ostra A'B ' B'C ' '
iIi oba tupa, tada je /';. ABC - /';. A'B'C'.
1045. Tacka D pripada straniei AB trougla ABC, duz DK paraleloa j e straniei AC, tacka K E BC. Odrediti duziou duzi BK ako je AD : DB = 5 : 6 i BC = 22.
1046. Ako su dva trougla slicoa, onda su ojihove medij ane proporeionalne odgovarajucirn straoiearna. Dokazati.
1047. Visine u j eclnom trouglu su obmuto proporeiooalne odgovarajucim slraoiearna. Dokazati.
1048. Proizvod bilo koje dye straniee trougla jednak je proizvodu visine kOja odgovara trecoj straoiei i precoika opisane kruzoiee oko trougla. Dokazati .
1049. Odsecak koji spaja podnozja bilo koje dye visine datog trougla odseea od njega trougao slican datom trouglu . Dokazati.
116
1050. Data su dva trougla /';. ABC i /';. A' B' C' Ako su od ' .. . . h' . ., b' . . , . govarajuee VIStne h I ,straillee a I a, 0 1011 S IS povrsine PiP' dokaza . . I'k .. , . , II Imp I aelje:
a) /';. ABC - /';. A'B'C' => ~ = !!.... h' " a
b) /';. ABC - /';. A'B'C' => ~ = :!... S' d'
c)/';. ABC- /';. A' B'C' =>.!-.-= a'. pi d 2
1051. Datje tToligao ABC straniea AB = 20cm,BC = 12em I CA = 16em Duz MN paralelna je straniei AB, gde M E BC, N E Ae. Odrediti dllz lvfN ako je elvl = 3 em.
1052. Odgovarajuce straniee dva sljcna trougla su 15 em i 6 em visina koj aodgovara vecoj strani ei je 8 em. 1zracunati visinu koja odgovara manjoj stramel.
1053. Straniea trougla AB = 8 em, a visina koja joj odgovara iznosi 6 em: na kom rastojanj ll od temena C treba konstruisati pravu paralelnu sa AB tako daje njen odsecak izrnedu dveju straniea trouglajednak 4 em?
1054. Dat je jednakokrak i trougao osnoviee 3 dm i kraka 6 dm. Odsecak prave, paralelne osnoviei izOledu krakova, jednak je odsecku kraka koji je blizi osnoviei. Odrediti odsecak prave izrnedll krakova.
lOSS. U trouglu ABC Sll strani ee AB = 15em i AC = IOem. Konstruisana j e simetrala AD ugla A, D E Be. Dliz DE II AB, E E Ae. Odrediti duzi AE, EC i DE .
1056. Straniee trougla su 26 em, 38 em i 46 em, a najmanja straniea njemu slicnog trougla iznosi 13 em. Odrediti ostale straniee drugog trougla.
1057. Straniee trougla su 27,2 1 i 18. Odrediti straniee njemu slicnog trougla ako je koefieij ent slicnosti 5 : 3 i konsrruisati ovaj trougao.
1058. Straniee trougla odnose se kao 3 : 6 : 5, a Ilajveca straniea sli cnog trougla iznos i 3,6 dm. Odrediti obim drugog trollgla.
1059. U trouglovima ABC i PQR L A = L Q, L C = L P, AB = 16 em. AC = 20 em , QR = 12 em i PQ je veca od BC za 13 em. Odredi ti 0 -
tale straniee oba trougla.
1060. Dva trougla su sliena. Zbir dye odgovarajuce visine je 121 cm. a koeficij ent slicnosti iznosi 1,75. Odrediti visine.
1061. U trouglu ABC dato je AC=30 em, BC=26 em i visina CH=24em. Odrediti poluprecnik opisane krufu iee.
1\7
1062. U kruznici poluprecnika 32,5 em upisan je lrollgao ABC Slrane AC = 60 cm i BC = 52 cm. Odrediti visinu CH trollgl a.
1063.* Vis ina CD jednakokrakog trougla ABC sa vrhom C secc opisanu kruznicu u tacki E. Dokazati sli cnost trollglova DBC i BCE i taenost jednakosti BC 2 = CD . CE .
1064. Krak jednakokrakog trougla je 12 cm, a visina koja odgovara osnovici je 8 cm. Odrediti polupreenik opisanc kruzniee.
1065_* Tackom K na precniku AB kruzniee konstrllisana je prava I , normalna na ovaj precnik . Proizvoljna tack a M krllznicc spojcna JC sa tackama A i B. Prave MA i MB sekll pravll I 1I odgovarajllcim tackama C i D. a) Dokazati jednakost KC . KD = AK . KB ; b) Tacka E simetricna je tacki B 1I odnosli na K. Dokazat i da je t!.KA C -t!.KDE.
1066.* U t!. ABC za lIglove a , f3 i straniee a, b i c vazi impli kaeija f3 = 2 a ~ b' = a(a + c). Dokazati .
1067. Stranice paralelograma su a i b, a veca visina jednaka je manjoj stranici. Odrediti drugu visinu.
1068_ Straniee paralelograma su 16 em i 12 em, a zbir njegovih vis ina je 24,5 cm. Izracunati visine.
1069. Visine paralelograma su 4 em i 6 em, a obim 30 cm. Izracunati stranice paralelograma.
1070.
I '
Prava p sadrii jedno teme romba i na produZeeima drugih dvejll straniea odseea odsecke. Dokazati da je straniea romba geometrij ska sredina ovih odsecaka.
107y* U trapezu ABCD L BCA = L CDA; dokazati da je dijagonala AC geometrijska sredina osnovica trapeza.
1072_ Dijagonale trapeza presecnom tackom podeljene Sll u odnosu m : n, a srednja linija trapeza je s. 1zracunati osnovice trapeza.
1073_ Osnoviee trapeza 5U a i b, a visina h. Odrediti rastojanj e presecne tacke dijagonala do vece osnoviee.
1074. Osnovice trapeza su a i b, a krak c. lzracunati pomocli njih duzinu x, za koju treba produziti krak c do preseka sa drugim krakom.
1075. Na geografskoj karti rastojanja izmedu tIi mesta su 6 cm, 5 em, i 4,5 em.
118
Najvece od ovih rastojanja u prirodi iznosi 15 km. Odrediti najmal~e rastojanje u prirodi i razmeru karte.
1076. Utvrdit i kada Sli sli cna: a) dva kvadrata: b) dva romba: e) dva pravougaoni ka: d) dva paralelograma; e) dva trapcza.
1077. Straniee petoug la su: 3,5 em; 1,4 em; 2.8 em; 2, I em i 4.2 em NaJmanJa stramea nJ emu siIcnog petougla Je 1,2 em; izratllnali ostale stranlee ovog pelOugla.
107S. Najveca straniea petougla iznos i 14 em. a ob im 46 em. Izracunall obim njemu slicnog petougla, ako je njegova najveca maniea 21 em.
1079. Dve odgovarajllce straniee slicnih mnogouglova 17.110Se 35 em i 14 cm a razlika njihovih obima je 60 em. Izracunat i njihovc obi me. '
10SO. U jednakokrakom trouglu osnovice 12 em i kraka 18 cm upisana je kntzniea i konstruisana je tangenta paralelna osnoviei . IzraClInalI duzinu odsecka tangente izmedu krakova trougla.
lOSt. StTaniee trougla odnose se kao 2 : 3 : 4. a obim njemll slicnog trougl" iZllosi 83,7 elll . Izraellnati straniee drugog Irougla.
IOS2. Straniee cetvorougla odnose se kao 20 : 15 : 9 . 8, a zbir dYe mllllje straniee njelllu slicnog eetvorougla je 25.5 em. Odredlti stramcc drugog cervorougla.
IOS3. KOl1strui sati t!. ABC akoje dalO:L II = a. L B = f3 i visinaCC I = h .
1084. Konstruisati jednakostranican trougao date visine h.
108S. Konstruisati trougao sliean dalOm ako mu je data tezisna duz.
IOS6. Konstruisati trougao sliean datom ali dva puta vecih slraniea.
1087.* Konstruisati trougao ako su data dva ugla i tezisna duz kOja odgovara straniei na kOJoj Sll nalegli dall uglovi.
108S.* KOl1stntisati trougao ako su dati jedna stranlea. jedan ugao na njOj I razmera dye druge straoiee.
1089.· Poluprecniei dveju kntzniea su R i r, a njihovo eemralno :astojanjc d (d > R + r ). lzraclInati rastojanje presccnc tacke zajedI1lck Ih unutrasnjih tangenata od srcdi ~ta datih krumiea.
1090 .• PIimenom slicnosti trouglova dokazati da teziste delI "aku tei!. nl! duz u odnosu 2 : I.
109\.· Dokazati da je konstaman proizvod odsecaka kOJe ortoeentar Irougla gradi na istoj vi ini.
119
1092.* Neka je E srediste straniee AB kvadrata ABCD. OW'editi u kojoj ra· zmeri duz DE deli dijagonalu AC.
1093.* Na osnoviei AB jednakokrakog trougla ABC data je tacka M, tako da je AM = k. Odrediti rastojanje tacke M od krakova ~ ABC u funkeiji a, b, k, gde je AB = a i AC = BC = b.
1094. U jednakokrakog trougla cija je osnoviea a i krak b, ugao na osnovici
72°. Dokazati da je b = ~a (a + b) .
1095. Data je kruznica k i tacka M van nje. Iz tacke M konstruisana je tan· genta ( i seciea s, tako da je s n k = {A, B} a Ink = {T} . Ako je MA = 4 em i ME = 9 em, izracunati MT.
1096. U jednakokrakom trouglu eentar upisane kruzniee deli visinu koja odgovara osnoviei u razmeri 12:5, krakje 60 em. Izracunati osno· vieu.
1097. Datje jednakokraki trougao ABC sa vrhom B, osnoviee b i krakoma. Ako su AN i CM simetrale uglova A i C, odrediti duz MN.
1098. U trouglu ABC prava CD je simetrala ugJa C, tacka E pripada stra· niei BC, B-E -G,DEIIAC, B -D - A. Ako jeBC =a, AC=b, izracunati DE.
1099. TaokaF E AD straniei paralelograma ABCD, A - D - F. BF sece di· jagonaJu AC u E i stranieuDC u G. Ako jeEF = 32 em, i GF =24 em, izracunati BE.
7.4. Primena slicnosti kod pravouglog trougla
Ako je trougao ABC pravougli L C = 90°, a i b katete, c hipotenuza, h hipo· tenuzina visina CC ', p i q duZine odsecaka Be'i AC' na hipotenuzi, tada vaZi: a' = pc, b' = cq, h' = pq, a' + b' = c'.
1100. Ako je ~ ABC pravougli trougao sa pravim uglom C, C/, b, c redom duZine straniea BC, CA, AB, h duZina vi sine CG', p i q i duzine odsecaka BG' i AG' na hipotenuzi, tada vazi: (1) t1 ACC' - t1 ABC, t1 CBC' - ~ ABC i 6. ACG' - t1 BCG' (2) a' = pc, b' = cq, h' = pq. Dokazati.
1101. Za svaki pravougli trougao vazi a ' + b' = c', gde su a i b duzine kateta, c duZina hipotenuze. Dokazati.
1102. Ako su a i b duzine kateta, h duzina visine, koja odgovara hipotenuzi,
d· I I 1
0k,
ta aJe-=-+-. 0 azaU. h' a' b'
120
1103. Kruzniee (0, R) i (0" r) su spoljaiinje sa zajednickom tatkom T. Konstruisana je spoljasnja zajednicka tangenta AB. Dokazau:
1° da je duzina I tangente AB geometrijska srcdina pre nika kruZniee: 2° da se duz AB vidi iz tacke T pod pravim uglom;
3° daje 00 , tangent a kruzniee precnika AB.
1104. U pravouglom trouglu katete su a i b, njihove projckcije na hipote. nuzi c su p i q hipotenuzi na visina h. Odrediti ostala cetiri elementa ako su data dva:
a)b= 156em,q= 144 cm;
b) p= 225em, q= 64em;
e)a= 136cm, h= 120cm;
d)a = 130 em. b= 312em;
e) p = 16 el11 , q = 9 em.
1105. Katete pravouglog trougla su 12 em i 35 em. Odrediti medijanu kOJa odgovara hipotenuzi.
1106. Oat je jednakokraki trougao osnoviee 36 dm i kraka 30 dm. Odredlli visinu koja odgovara osnoviei.
1107. U jednakokrakom tfOlIglu vis ina deli krak na odsecke duZine 7 em I
2 em, racunajuci od vrha. Odrediti osnovieu trougla.
1108. Obim romba iznosi 100 mm, jedna dijagonala 30 mrn. Izracunati drugu dijagonalll romba.
1109. Osnoviee jednakokrakog trapeza su 21 em i II em, a visina je 12 em. Odred iti krak.
1110. Dve kruznice, poluprecnika 15 em i 20 em. seku se .I.zracunou njihovu centralnu razdaljinu ako je duzina njihove Z3Jcdmcke tcll\e 24 em.
1111. Precnik kruzniee upisane u jednakokrakom trapezll je gcometriJska sredina osnovica rrapcza. Dokazati.
1112. U jednakokrakom lrapezu osnoviea 16 em i 9 em upisnna JC kruiniea. [zracunali poluprecnik kruzniee.
1113. U svakom pravouglom trouglu zbir b teta jednak Je zbiru hlpolenuze i precnika upisane kruinice. Dokazall.
1114. Srednja linija jednakokrakog trapeza iznosi 4 dm. a visina 3 dm Izracunati dij agonalll trapeza.
121
1115. U pravouglom trapezu razlika kvadrata dijagona la jednaka je razlici Intadrata osnovica. Dokazat i.
1116. Konstruisati geometrijsku sredinu za dye date duzi a i b.
1117. Date su dYe duzi cij e su duzine a i b. Konstruisati duz duzine:
a)x = ~a' + b';
b) y =~a2 -b ' .
11IS. Konstruisati odsecak duzine x ako je x = a.Jk , gde je a duzina date duzi, a k pozitivan broj .
11l9.* Konstruisati odsecak x ako je x = ~ab + cd, gde Sll a, b, c, die date duzi. e
1120. Konstruisati duz cije su duzine redom fi , .fIi, 117 u odnosu na datu jedinicnu duz,
llit. Konstruisati duz cije Sll duzine redom:
a) x= ~4a 2 + b';
b) x =~9a 2 - 4b'; I I I
c)-=-+-; x2
02 b2
I I I d)-=---'
xl a 2 h2 '
e)x' =a' +ab;
f) X' = b' - ab;
gde Sll a i b (a < b) dui.ine datih duzi.
1I22. Konstruisati kvadrat jednak: a) zbiru dva data kvadrata; b) razlici dva data kvadrata.
1I23.* Konstruisati kvadrat jednak: a) zbiru dva data pravougaonika; b) razlici dva data pravougaolllka.
1124.* Odrediti stranicu pravilnog: a) osmougla i b) dvanaestougla u funkciji poluprecnika R opisane kruznice.
1125.* Konstruisati kvadrat jednak razlici dva data jednakostranicna trougla.
122
1126.-
1127.
112S.*
1129.
1130.-
Konstrllisati kvadrat jednak zbiru dva data rornba.
Ako su stranice trougla AS.C : a = 2pq, b = p ' - q', c = p ' + 1/ ' . gde su p I,q (p > q) rna kOJI celt brojevi , lada je !Tougao ABC pra. vougl !. DOKazat!. (TakvI trouglovl se nazlvaJu Pitagorini.)
~o S,lI a i b katete, a c hipotenllza pravouglog trollgla, tada je I,; + Ii. = 51; , gde su la ' I. I Ie teziSne duzi trougla. Dokll7.ati .
A~o su ;1 i b ?sno\ice, c i d kraci, a d, i d, dijagonale trapeza. tada JC d,- + di = c· + d' + 2ab. Dokazat!.
Prilllenolll Pitagorine teorellle i slicnosti trouglova dokazati da JC povrsina trollgla P:
I abc a)P=vs(s-a)(s-bj(s - c), b)P='4R' cJP=s·r.
gde Sll a, b i c stranice, s poluobim, i P povrsina lrougla. a R I r poillprecnici opisane i lIpisane kruznice trougla.
1131. Ako Sll a, b i c srranice trollg la ABC i ugao ri < 90°. lada je a' = b' + c' - 2cb, (Kamoov obrazac), gde je b, ortogonalna projekcija stranicc AC na stranicu AB. Dokazau.
1132.* Ako su a, b i c stranice trougla ABC i ugao A > 90°, onda JC a' = b ' + c' + 2cb" gde je h, ortogonalna projekciJa stranice riC na AB. Ookazati .
1133. Secice AB i CD krui nice k(O ,R ) seku se u tacki P. Tacke A, B. C, D pripadaju krui.nici k. Proizvod odsecaka PA i PB. odnosno PC ! PD. konstantan je. Ookazati.
1134. Ako se tetive AB i CD kruznice k(O,R) seku u tacki P, tada JC PA . PB = PC , PD. Dokazati .
1135. Ako se tetive AB i CD knlznice k(O,R) seku u tacki P. tada JC PA ' PB =PC · PD. Dokazati .
1136. Secica AB kruznice k(O. R) i tangenta ( konstruisana u taNI .111 krllznice k seku se u tacki P. Dokazati da je PM' = PA . PB.
1137.* Datu dui AB = a tackom M podeliti po zlamorn presekll (:;.:crio aweaJ.
Primcdba. _ Ako je neka dllz podeljena na dva nejednaka dela tako da je \ ~c. dec geometrij ska sredina cele duii i manjeg dela. kaie se da Je la duz podelj ena po zlatnom preseku.
113S. Iz spoljaSnje taake P kruznice k( 0, R) konstruisane su m?gcnma dll.l x i secica s, koja sa kruinicom k ob~7.uje odsecke kOjl tOJ~ u ra· zmeri 11/ : n. Ako je duZin8 telive nB setle! Q, odrcdltltangenmu dUL T
1139. lz spolj asnje tacke P kruzlliee k(O , R) konstruisana je seciea s cij a je spolja~nja dliZina a. Tangentna duz konstruisana iz iste tacke je duzine 2a. [zracunati duzinu tetive x koja pripada seciei s.
1140. Straniee tTougla ABC su: BC = 15 em, lie = 13 em i AB = 4 em. Odrediti oblik trougla i izracunati visinu koja odgovara straniei AB.
1141:* Dve dijagonale pravilnog petougla sekll se u tacki M . Dokazati da su obe dijagonale tackom M podeljene po zlatnom preseku.
1142.* Dal je pravougaon ik ABCD, gde je AB = 2AD. Lz temena A konstruisana je noml ala na dijagonalu BD, koja sece str~ nieu CD u
I tacki E. Tada j e duz DE = - DC. Dokazati .
4
11 43.* Dat je paralelogram ABCD. Prava p sadrii terne C i sece dijagonalu BD u tacki F, a stranieu AD u tacki E, tako da je BF = 4DE. Dokazati da je AE = 3DE.
1144. Date su dYe kruZnice k(O, r) i k, (0,,1',), koje se seku u tackama A i B. Tangentne duz i konstruisane iz ma koje tacke P prave AB na krumice k i k, jednake suo Dokazati .
1145. Ako je u jednakokrakom trouglu osnoviea jednaka visini koja joj odgovara, ~. a = lIa = 8 em. Izracunati poluprecnik opisane kntmiee.
1146. U trougao date straniee 30 em i odgovarajuce visine 10 em, upisan je jednakokrako pravougli trougao. tako da je hipotenuza paralelna datoj straniei, a teme pravog ugla pripada datoj straniei . Iz racunati hipotenuzu.
1147.* Dat je pravougaonik ABCD. Iz jednog temena konslruisana je normala na jednu dijagonalu, koja deli pray lIgao u razmeri 3 : I. Izracunati ugao izmedu ove norma Ie i druge dijagonale.
1148. U jednakokraki trougao osnoviee 18 em i kraka 27 em upisana je kruinica. Izracunati rastojanje dodimih tacaka na kraeima.
1149. U kruznieu poluprecnika r upisan je jedna\(okraki trougao, kod koga je zbir osnoviee i visine jednak precniku kruzniee. Izracunati visinu.
1150. U trougao os novice 12 em i odgovarajuce visine 9 em upisan je polukrug. Precnik polukruga paralelan je datoj straniei, krajnje tacke precnika pripadaju drugim dvema stranieama trougla. Polukrug dodiruje datu stranicu. Odrediti poluprecnik polukruga.
1151. Poluprecnik kruznog isecka je r, a njegova najveca tetiva a, Izracunati poluprecnik kruzniee upisane u kruzni isecak.
1152.
1153.
J 154.*
1155.*
1156.*
1157.
Iz ma koje tacke van kruzniee konstruisane su t"nge t . X' • . u n a I se~lea na kruznleu, tako da medusobno obrawju pray ugao. Tangenlna duz je 12 dm, a tetlva Je 10 dm. izracllnatl poluprecni k kruzniee .
Poluprecnik kruzniee je 8 dm, teti va AB J'e 12 dm U tae'k' I k '" . I I on-strUlsan~ Je ta.ngenta IZ tacke B tetiva BC paralelna sa tangentom. Odredltl raslOJanJe tangente i tetive BC.
Teti ve AB i Ae kruga k su jednake, a tetiva AD sece BC 1I tacki E. Ako Je AC ~ 12 I AE = 8, izracunati AD. (prij emni ispit IZ malematlke za UPIS na Beogradski univerzitel, juna 1992),
Ako je u trouglu ABC lIgao kod temena A dvapul veci ad lIgla kod temena B, a srramea AC = 2, AB = 3, izracunari stranicu Be. (prijernni ispit iz matcmatike za upis na Beogradski uni verzilet, septembra 199 1, god.).
U kruznom isecku poluprecnika R. upi sana je kruznica poluprecnika
T · , ' k ' 2 D k . d . 1 I I r. etlva tsec a Je a. 0 azall a Je - = - + - , r R a
U trouglu osnoviee a i vis ine II upi san j e pravougaonik obima 2s. cija dva temena pripadaju osnoviei rrougla, a dntga dva srran icama trougla. [zracunati straniee pravougaonika u funkeiji od a, h is.
1158. U trouglu straniea a = 13 em. b = 15 em i c = 14 em upisan je kvadrat, tako da mu dva temena pripadaju osnoviei c a preosta la dva stranieama a i b. lzracunati srranieu kvadrata.
1159. U trouglu straniea a = 30 em, b = 26 em i c = 28 em upisan je pravougaonik obima 50 em, tako da mu dva temena pripadaju 0 noviei c, a druga dva stranieama a i b. Izracunati stranice pravougaonika.
124 125
VIII GLAVA
8. TRlGONOMETRlJA PRA VOUGLOG TROUG LA
8.1. Trigonometrijske runkcije ostrog ugla. Osnovne trigonometrijske identicnosti.
Resavanje pravouglog trougla
Ako je trougao ABC pravougli LC = 90°, LA = a , LB = {J ,a i b kat etc c hipotenuza, tada vaze sledece definicije :
o . a 0 b 30 a i . sm a = -, 2 . cos a = - , . tg a = - • c c b
b 4°. ctg a = - ,
a
c c 5° seca=- 6°. coseca= - .
. b ' a
Osnovne trigonometrijske identicnosti:
1°. sin ' a + cos ' a = I,
sin a 2°. tga =--,
cosa cosa
3°. ctga = -.- , sma
4°. tg a ctg a = I ,
tg a 5°. sin a = --;0=====
~I + tg ' a I
6°. cos a = . ~I + tg 'a
1160. Date su katete pravouglog trougla : a = 8 cm i b = 6 cm. Odrediti vrednosti svih trigonometrijskih funkcija uglova a i {J .
1161. Date su stranice a = 4 cm i b = 3 cm pravougaonika ABCD. Odrediti odgovarajuce vrednosti svih trigonometrijskih funkcija ugla koji dijagonala obrazuje: a) sa vecom stranicom; b) sa manjom stranicom pravougaonika.
1162. Izracunati vrednosti trigonometrijskih funkcija nagibnog llgla dijagonaie kocke prema osoovi.
1163. Dati su hipotenuza c = 24 em pravouglog trougla i sin a = 0,8. Izracunati katete.
1164. Taogens jednog od ostrih uglova pravouglog trougla izoosi 0.75. a manja kateta je 18 em. Odrediti dmgu katetu i hipotenuzu.
126
1165.
1166.
1167.
1168.
1169.
1170.
1171.
t 172.
1173.
1174.
Proverit i taenost jcdnakosti: a) sin 54° = cos 36°; b) cos 75° 30' = sin 14° 30'; c) cos ( 30° - a) = sin (60° + a ). 0° < a < 30°.
Izracunati vrednost izraza: a) ( sin 60° + sin 30° )( sin 60° - si n 30° ); b) 4 sin 30° + 2 cos 30° - 3 tg 30°; c) 2 sin 60° + 4 cos 60° - tg 60°.
Ako je a = 30°, dokazati da je: 4 - sin a 25 2
, + = 0 I- sin a 4 cos - a I +sin a .
Ako je a = 30°, izraC llnati vrednost izraza:
a) cos 2 a + sin a; b) sin 2 a - cos a ;
c) tg 2 a - tg a; d) cotg 2 a + cotg a.
Dokazati implikacij u: IJ. ° sin a + cos {J
a + fJ = 90 "" = tg a. cos a + sin {J
. 9 sin a - 3 cos a . .. 00 90' Ako Je. = 2. odredltl 19a I ugao a ( < a < ).
2sm a + cosa
Odrediti vrednosti ostalih trigonomerrijskih funkcija ako je (1171 -1172):
a) sin a = 0,6;
a) tg a = 0,225;
a' - 4 b) ctg a=~.
6a b) cosa = -,--;
a- + 9
sin a + cos a Odrediti vrednosl izraza: 3 .
7 5cos a - sm a ako je sin a = - i 0° < a < 90°.
25
Dokazati sledece jednakosli (1174- 11 80):
sin'a + cos' a + sin ' a cos 'a = I.
,, ' - 9 c) sin a =-,
Cl · +
1175. sin ' x = cos' x - cos ' x + sin ' x.
1176. tg ' a - sin ' a = tg ' a ·sin ' a.
1177. cotg ' a - cos' a = cos ' a cOlg ' a .