vektorske funkcije i polja - vježbe - personal.unizd.hrpersonal.unizd.hr/~makosor/mat3/vektorska...
TRANSCRIPT
1 / 23
Vektorske funkcije i polja - vježbe
Mate Kosor
10.12.2009.
Uvodne napomene
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
2 / 23
Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti cedostupna na webu. Isti format vježbi ocekujte do kraja semestra.Plan:
� 10.12. -> analiza vektorskih funkcija i polja
� 17.12. -> krivuljni integral
� 7.1. -> plošni integral
� 14.1. ->
� ! treci kolokvij ! (može biti izostavljen)
� uvod u laplace tranformaciju
� 21.1. -> Rješavanje ODJ pomocu laplace transormacije
� 28.1. -> cetvrti kolokvij
Plan današnjeg rada
3 / 23
� Danas vrlo brzi ritam!
� knjiga prof. Uglešica: str. 287–309
� možete pogledati web sadržaje na http://lavica.fesb.hr/mat3/
� podsjetnik i priprema za ono što slijedi. . .
Sadržaj:Vektorske funkcije
Polja
Vektorske funkcije
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Vektorska funkcija
Skalarna funkcija
Neprekidnost
Diferencijal skalarne funkcije
Diferencijal vektorske funkcije
Diferencijal (zadatak)
Integral
Polja
4 / 23
Vektorska funkcija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Vektorska funkcija
Skalarna funkcija
Neprekidnost
Diferencijal skalarne funkcije
Diferencijal vektorske funkcije
Diferencijal (zadatak)
Integral
Polja
5 / 23
Vektorska funkcija je opcenito
f : X ⊆ Rm → R
n .
Primjer.
g : R2 → R4
g(x, y) = (x, y, ex, sin(x+ y)) ⇐⇒ g(
[
x
y
]
) =
x
y
ex
sin(x+ y)
Skalarna funkcija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Vektorska funkcija
Skalarna funkcija
Neprekidnost
Diferencijal skalarne funkcije
Diferencijal vektorske funkcije
Diferencijal (zadatak)
Integral
Polja
6 / 23
Izraz skalarna funkcija odnosi se na
f : X ⊆ Rm → R ,
tako da se vrlo cesto iz pojma vektorska funkcija izuzimaju skalarne funkcije, daklevektorska funkcija u užem smislu podrazumijeva n > 2.Vektorske funkcije možemo razumijeti kao ”vektor skalarnih funkcija”.Primjer
g : R2 → R4,
g(x, y) = (x, y, ex, sin(x+ y)) ⇐⇒ g(x, y) =
g1(x, y)g2(x, y)g3(x, y)g4(x, y)
,
g1 : R2 → R, g2 : R2 → R, g3 : R2 → R, g4 : R2 → R,
g1(x, y) = x, g2(x, y) = y, g3(x, y) = ex, g4(x, y) = sin(x+ y)
Neprekidnost
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Vektorska funkcija
Skalarna funkcija
Neprekidnost
Diferencijal skalarne funkcije
Diferencijal vektorske funkcije
Diferencijal (zadatak)
Integral
Polja
7 / 23
Neke pojmove dovoljno je definirati na skalarnim funkcijama:–> isti pojam na vektorsku funkciju prenosi se po elementima (koordinatama).Primjer: Neprekidnost.
f(x, y) =
sin (x+ y)x
y5
Dovoljno je ispitati neprekidnost za svaku skalarnu funkciju posebno:
1. f1(x, y) = sin (x+ y). . . "neprekidna
2. f2(x, y) =x
y. . . $
3. f3(x, y) = 5 . . . nije potrebno ispitivati
=⇒ f nije neprekidna jer nisu neprekidne sve njene komponente.
Diferencijal skalarne funkcije
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Vektorska funkcija
Skalarna funkcija
Neprekidnost
Diferencijal skalarne funkcije
Diferencijal vektorske funkcije
Diferencijal (zadatak)
Integral
Polja
8 / 23
Definirati za skalarnu f , zatim na vektorsku f po koordinatama.Za skalarnu funkciju f : X ⊆ R
m → R diferencijal je funkcija
df =
[
∂f
∂x1. . .
∂f
∂xm
]
.
Primjer. Izracunati diferencijal skalarne funkcije f(x, y) =y
x. . .
df = d(y
x
)
=
[
∂f
∂x
∂f
∂y
]
=
∂(y
x
)
∂x
∂f(y
x
)
∂y
=
[
− y
x2
1
x
]
Napomena: cesto se diferencijal oznacava sa velikim slovom
Df ≡ df .
Diferencijal vektorske funkcije
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Vektorska funkcija
Skalarna funkcija
Neprekidnost
Diferencijal skalarne funkcije
Diferencijal vektorske funkcije
Diferencijal (zadatak)
Integral
Polja
9 / 23
Za vektorsku funkciju f : X ⊆ Rm → R
n takvu da je f =
f1...fn
diferencijal je
funkcija u obliku matrice
df =
df1...
dfn
=
∂f1
∂x1· · · ∂f1
∂xm...
......
∂fn
∂x1· · · ∂fn
∂xm
.
Primjer. Izracunati diferencijal od f(x, y) =
sin (2x+ y)exy
5
. . .
df =
d (sin (2x+ y))d (exy)d (5)
=
2 cos (2x+ y) cos (2x+ y)yexy xexy
0 0
Diferencijal (zadatak)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Vektorska funkcija
Skalarna funkcija
Neprekidnost
Diferencijal skalarne funkcije
Diferencijal vektorske funkcije
Diferencijal (zadatak)
Integral
Polja
10 / 23
Zadatak. Izracunati diferencijal od f(x, y) =
[
cos (xy)x
y
]
. . .
Integral
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Vektorska funkcija
Skalarna funkcija
Neprekidnost
Diferencijal skalarne funkcije
Diferencijal vektorske funkcije
Diferencijal (zadatak)
Integral
Polja
11 / 23
Definirati za skalarnu f , zatim na vektorsku f po komponenatama.
1. Skalarna funkcija:∫
f =. . ." jednostruki ili višestruki integral
2. Za vektorsku funkciju f =
f1...fn
integral se može definirati po
komponentama
∫
f =
∫
f1...
∫
fn
.
Primjer. f(x, y) =
[
cos (xy)x
y
]
⇒∫
fdx =
[∫
cos (xy) dx∫ x
ydx
]
=
sin(xy)y
x2
2y
Polja
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
12 / 23
Pojmovi
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
13 / 23
Polja su poseban slucaj skalarnih i vektorskih funkcija.Skalarno polje: f : X ⊆ R
3 → R (n=3,m=1)Vektorsko polje: f : X ⊆ R
3 → R3 (n=3,m=3)
Podrazumijevamo euklidski prostor u kojem je definiran pravokutni koordinatni sustavsa koordinatnim vektorima i, j i k. Koordinate su uobicajeno x, y i z.Cesto pišemo
f(x, y, z) = fx(x, y, z)i+ fy(x, y, z)j+ fz(x, y, z)k
=
fx(x, y, z)fy(x, y, z)fz(x, y, z)
Motivacija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
14 / 23
Svijet u kojem sudjelujemo ima tri prostorne dimenzije, polja su funkcije kojima jedomena naš svijet.Primjer 1. -> skalarna polja
� temperatura u prostoru
� tlak zraka, mora . . .
Primjer 2. -> vektorska polja
� brzina vjetra, morske struje,
� fluid koji pod pritiskom struji u nekom crijevu
Uz prostorne dimenzije pridadaje se još vrijeme. . . o tome cemo šutjeti
Gradijent
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
15 / 23
Za skalarno polje f : X ⊆ R3 → R definiramo gradijent :
gradf =
∂f
∂x∂f
∂y∂f
∂z
Napomena: usporedi sa df =
[
∂f
∂x1. . .
∂f
∂xm
]
Primjer: gradijent za polje f =zy
x:
gradf =
−zy
x2z
xy
x
Usmjerena derivacija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
16 / 23
Usmjerena derivacija zove se još derivacija u smjeru vektora. Za zadani vektor a, cija
je duljina |a| sa a0 oznacimo jedinicni vektor a0 =a
|a| . Usmjerena derivacija polja
f : X ⊆ R3 → R u smjeru vektora a racuna se po formuli (gdje je · skalarno
množenje)∂f
∂a= a0 · gradf
Primjer. Derivacija u smjeru vektora l = (4, 4, 2) polja f (x, y, z) =zy
x. . .
|l| =√42 + 42 + 22 = 6 . . . l0 =
(
23 ,
23 ,
13
)
. . .gradf =
∂f
∂a=
2
32
31
3
·
−zy
x2z
xy
x
=2
3
(
−zy
x2
)
+2
3
z
x+
1
3
y
x=
−2yz + 2xz + xy
3x2
Divergencija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
17 / 23
Divergenciju vektorskog polja g : X ⊆ R3 → R
3, g =
gxgygz
definiramo
div g =∂gx
∂x+
∂gy
∂y+
∂gy
∂z
Primjer. Izracunaj divergenciju za g =
1xyz
x2y2z2
:
div g =∂ (1)
∂x+
∂ (xyz)
∂y+
∂(
x2y2z2)
∂z
= 0 + xy + 2x2y2z
Rotacija
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
18 / 23
Rotaciju vektorskog polja g : X ⊆ R3 → R
3, g =
gxgygz
definiramo
rot g =
∂gz
∂y− ∂gy
∂z∂gx
∂z− ∂gz
∂x∂gy
∂x− ∂gx
∂y
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
gx gy gz
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
(
∂gz
∂y− ∂gy
∂z
)
i+
(
∂gx
∂z− ∂gz
∂x
)
j+
(
∂gy
∂x− ∂gx
∂y
)
k
Rotacija (primjer)
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
19 / 23
rot g =
(
∂gz
∂y− ∂gy
∂z
)
i+
(
∂gx
∂z− ∂gz
∂x
)
j+
(
∂gy
∂x− ∂gx
∂y
)
k
Primjer. Izracunaj rotaciju polja g = yz i+ xz j+ 1k. . .
rot g =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
yz xz 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∂1
∂y− ∂xz
∂z∂yz
∂z− ∂1
∂x∂xz
∂x− ∂yz
∂y
=
0− x
y − 0z − z
= −x i+ y j
Hamiltonijan
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
20 / 23
Hamiltonov diferencijalni operator ili nabla je formalni vektorski operator
∇ =
∂∂x∂∂y∂∂z
=∂
∂xi+
∂
∂yj+
∂
∂zk .
Vrijedi
∇f =
∂f∂x∂f∂y∂f∂z
= gradf
∇ · g =∂gx
∂x+
∂gy
∂y+
∂gy
∂z= div g
∇× g =
(
∂gz
∂y− ∂gy
∂z
)
i+
(
∂gx
∂z− ∂gz
∂x
)
j+
(
∂gy
∂x− ∂gx
∂y
)
k = rot g
Važno! Zapamtite nabla kao izraz i kako se koristi
Laplacijan
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
21 / 23
Laplaceov diferencijalni operator ili delta je formalni skalarni operator
4 =
(
∂
∂x
)2
+
(
∂
∂y
)2
+
(
∂
∂z
)2
= div grad = ∇2
Primjer. Za f =zy
xizracunaj 4. . .∇f =
− zyx2
zxyx
4f = ∇2 = ∇ · ∇f
=
∂f∂x∂f∂y∂f∂z
·
− zyx2
zxyx
=2zy
x3
Potencijalno polje
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
22 / 23
Vektorsko polje g : X ⊆ R3 → R
3, g =
gxgygz
je potencijalno (ili konzervativno)
ako postoji neko skalarno polje f : X ⊆ R3 → R takvo da vrijedi
g = −gradf
Napomena: u formuli predznak (−) zaista nije bitan. Definicija je takva zbogustaljenog znacenja u fizici.Zadatak. Provjeri da li je g = (y, x, 0) potencijalno polje. . . "
Zadatak. Provjeri da li je g = (x+ y, x+ y, 1) potencijalno polje? . . . "
Ovo je važno znati!
Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje
Uvodne napomene
Plan današnjeg rada
Vektorske funkcije
Polja
Pojmovi
Motivacija
Gradijent
Usmjerena derivacija
Divergencija
Rotacija
Rotacija (primjer)
Hamiltonijan
Laplacijan
Potencijalno polje
Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje
23 / 23
Promatramo vektorsko polje g : X ⊆ R3 → R
3. Kažemo da je g:
� bezvrtložno ako je rot g = 0 ,
� vrtložno ako nije bezvrtložno,
� solenoidalno ako je div g = 0.
Lako zapamtiti formulu: bez vrloga = bez rotacije = rotacija nula.Zadatak. Provjeri za g = (−2y, 2x, 0) gornja svojstva . . .