repetitorij- trigonometrijske funkcije, skalarne i vektorske veličine, operacije sa vektorima

7/24/2019 Repetitorij- Trigonometrijske Funkcije, Skalarne i Vektorske Veliine, Operacije Sa Vektorima

1/28

Repetitorij- trigonometrijske funkcije, skalarne i

vektorske veliine, operacije sa vektorima.

b

atg

c

bcos

c

a

sin

=

=

=

=

=

=

tgba

coscb

sinca

Odrediti visinu nebodera ako se zna

duina njegove sjenke i kut pod kojim se vidi

Sunce.

m0.0!".!m#.$%&0tgm#.$%tgba

'b

'a

a

o

====

=

=


2/28

Skalarne veliine- (a odre)ivanje ovi' veliinadovoljno je znati samo nji'ov iznos mjeren u odgovaraju*im

jedinicama.

+rimjeri masa, vrijeme, gustina, energija, snaga,duina,...Vektorske veliine- (a odre)ivanje ovi' veliinapotrebno je osim iznosaznati i nji'ov smijer.

+rimjeri pomak tijela, sila, brzina, ubrzanje, impuls,...

ektori se predstav-ljaju orjentiranim

duima. uina je

proporcionalna

iznosu vektora, a

smijer orjentirane

dui je i smjer

vektora.


3/28

(brajanje vektora / pravilo trokuta 1ail to 2ead3 .

R=A+BR4#%&m5!#&m4600m

R=A+B

m70#3m!#&3m#%&89R #### =+=+=

Op*i sluaj

va vektora se zbrajaju po pravilu trokuta tako da se poetak drugog vektora postavi u vr'

+rvoga, a zatim se spoje poetak prvog i vr' prvoga i tako dobije rezultiraju*i vektor.

Pravilo trokuta


4/28

:omponente vektora ektori x i y su ; komponenta i < komponentavektora pomaka r. +o konstrukciji, ; i Vektor #omaka ektor pomaka je vektor koji ima smijer od poetnog poloaja

estice prema njenom konanom poloaju. ?jegov iznos jednak je udaljenosti izme)u

poetnog i konanog poloaja.

SB jedinica za pomak je metar !m

x=x)+x

x=x>x)

+x

:))m

9))m

C;4;-;045&00m3-5#00m345700m


8/28

Vektor srednje brine!

t

;

tt

;;v

0

0

=

=

+x

+x

SI jedini4a! ms

-rijeme

+omakbrzinaSrednja =

Primjer! Andy Creen (00> svjetski rekord u automobiluD8rust SS%

Prva vo3nja! sDm&.77"s%6.6

m!$0"

t

;v +=

+=

=

ru$a vo3nja! mDs%.76#s$"&.6

m!$0"

t

;v =

=

=

t

;limv

0t

=


9/28

Vektor ubranja

t

v

tt

vva

Vrijeme

brzineomjenaPrubrzanjeSrednja

=

=

=

0

0

v)

a

v

SI jedini4a! ms9

a=9.:ms

Primjer! Avion #olai i stanja mirovanjat)=)& ? i #oslije t=90.)s dosti3ebrinu od +9*)km8 . "drediti srednje

ubranje aviona.

0v0 =

Prvo 6to treba uraditi je #revestijedini4e u one i SI sistema.

sDm%#s7$00

m!000#$0

'

km#$0v =

==

+x

#

0

0

sDm&.#s0s#"

sDm0sDm%#

tt

vv

a +=

+=

=


10/28

Primjer! ra$ster #rolai liniju 4ilja i voa dra$ ra4er? u#trebljava #adobran da bi se austavio. Voilo #oinje koiti u trenutku t)=0.)s kada je nje$ova brina bila v)=+9'ms.

/ trenutku t=(9.)s& brina voila se smanjila na v=(E.)ms. "drediti srednje ubranje dra$stera.

Srednje ubrzanje dragstera je

#

0

0 sDm0.&s0."s0.!#

3sDm#sDm!7

tt

vva =

+=

=

Drenutno ubranje!

t

vlima

0t

=

,ada ak4elera4ija i brina

imaju raliite smjerove&nji8ove kom#onente imajusu#rotne #rednake&tijelo us#orava& de4elerira.

Ako se ubranje tijela ne mijenja u toku kretanja& ostaje konstantno&

takvo kretanje se ove jednoliko ubrano kretanje.


11/28

,inematike jednad3be jednoliko$ #ravolinijsko$ kretanja

Eednadba x a v v0 t

- 5 5 5 5

5 - 5 5 5

5 5 - 5 5

5 5 5 5 -

tavv += 0

t)vv(x += 0#

!

#

#

0

tatvx

+=

xavv += ##0#

; a v v0 t

a bi se #roblem jednoliko$#ravolinijsko$ kretanja mo$ao rije6itiF"RA@/ biti #onate bar DRIkinematike varijable.

Protiv $lavobolje!

>/ #rvom koraku treba odreditismjer #oitivne ose + ?.>Pa3ljivo itati #roblem i akljuiti

radi li se radi o us#orenomkretanju. Ako da& ubranje seuima sa ne$ativnim #rednakom.

GAF"7HA DAB5A


12/28

Primjer

;m3 amDs#

3 vmDs3 v0mDs3 t s3

5#!&000 -!0.0 F 7#&0mDs

Svemirski brod kre2e se brinom od +E9:)ms. / jednom trenutku #ali retro rakete i brod se #oinjeus#oravati konstantnim ubranjem inosa ().)ms. "drediti brinu broda kada je #omak broda u odnosu namjesto $dje su u#aljene rerorakete +9(: km.

>Poitivan smjer neka je smjer kretanja broda utrenutku #aljenja retroraketa.

>Brod se kre2e us#oreno #a je ubranje ne$ativno> 7a raunanje brine naj#rikladnijom se ini

etvrta Jormula i tabele.

s/m)s/m(v

s/m

m)s/m()m(axvv

#&00$#$#&00

$#$#&00

#!&000!0#7#&0#

#

##

###0

#

=

=

+=+=

Poma3e li vam slika da raumijete 6to nae dvijemo$u2e vrijednosti brine broda sile koje djeluju na daljinu-Padobrana4 #ada #rivuen silom 7emljine te3e

-jelovanje naelektriirani8 tijela ili ma$neta jedan na dru$i-Privlana sila imeu Fjese4a i 7emlje #lima i oseka?Heke osobine sila-Sila je vektorska veliina-Sile mo$u deJormirati tijelo

-Sile mo$u tijelu dati ubranje-Sile se uvijek javljaju u #aru. Ako tijelo A djeluje silom na tijelo B&

tada 2e tijelo B djelovati silom na tijelo A.ru$o i tre2e svojstvo sila daje nam mo$u2nost mjeriti inos sile.


14/28

HeKtonovi akoni me8anike

inamika je oblast Jiike koja se bavi o#isom interak4ija imeu tijela.

Demelje dinamike dao je Sir Isaa4 HeKton (*M9.>(9.? u knjiiPhilosophiae Naturalis Principia MathematicaFatematiki #rin4i#i #rirodne JilooJije?inamika se temelji na tri HeKtonova akona.-Prvi HeKtonov akon akon iner4ije-ru$i HeKtonov akon akon sile-Dre2i HeKtonov akon akon ak4ije i reak4ije


15/28

Tijelo zadrava stanje mirovanja ili stanje jednolikog pravolinijskog

kretanja sve dok vanjska sila to stanje ne promijeni.

>Prvi HeKtonov akon utvruje da su stanje mirovanja i stanje jednoliko$#ravolinijsko$ kretanja ekvivalentni istonani& isti? u smislu da a nji8ovoodr3avanje nije #otrebna sila.>/ iskau #rvo$ HeKtonovo$ akona koristimo ira Nvanjska silaO. Ako na tijelo ne djeluje vanjska sila& to mo3e naiti sljede2e!

-Na tijelo ne djeluje nikakva sila. Ono je potpuno izolirano od okoline. Kaemo da je tijelo slobodno.

>Na tijelo djeluju vanjske sile ali je rezultiraju!a sila koja na njega djeluje jednaka nuli.

Kaemo da se tijelo nalazi u stanju ravnotee.

Prvi HeKtonov akon

ks#erimenti #okauju da ni$dje u svemiru nema slobodno$ tijela. 7ato seu #rvom HeKtonovom akonu #od #ojmom Nvanjska silaO #o #ravilu#odraumijeva reultiraju2a vanjska sila.Vanjska reultiraju2a sila ne odr3avastanja mirovanja ili jednoliko$#ravolinijsko$ kretanja& ona i8 mijenja.


16/28

Iska3imo #rvi HeKtonov akon koriste2i u iskau reultiraju2u silu!

-Dijelo koje miruje ostaje u stanju mirovanja sve dok je vanjska reultiraju2a silakoja na nje$a djeluje jednaka nuli.

-Dijelo koje se kre2e jednoliko #ravolinijski nastavlja se tako kretati sve dok jevanjska reultiraju2a sila koja na nje$a djeluje jednaka nuli.

Fatematiki a#is #rvo$ HeKtonovo$ akona

GR=)& v=4onst& a=) / trenutku kada jesnimljena ova slika&reultiraju2a silakoja djeluje na ovo$

s#orta6a jednaka jenuli.


17/28

Iner4ija i iner4ijalni sistemi

Iner4ija je svojstvo tijela da nastoji adr3ati stanjemirovanja ili jednoliko$ #ravolinijsko$ kretanja.

a bi se iner4ijatijela mo$la kvantitativnoiraiti&uvodi se #ojammasetijela.SI jedini4a mase! (k$

Sistem reJeren4ije u kojem vrijedi #rvi HeKtonovakon ove se iner4ijalni reJerentni sistem.Cedankenex#eriment Fisaoni eks#eriment?sa #utnikom u va$onu i ku$li4om na stolu is#red nje$a.

7emlja je dobar iner4ijalni reJerentni sistem.


18/28

,oriste2i ve2 #onate #ojmove mase i brine& u dinami4i se uvodi jo6jedan #ojam& Jiika veliina koju ovemo im#uls.Im#uls esti4e jednak je #roivodu nje$ove mase i nje$ove brine!

SI jedini4a! k$ ms

>Im#uls ima smjer brine esti4e.>,ori6tenjem im#ulsa& #rvi HeKtonov akon mo3e se iskaati na sljede2i nain!

,ada je vanjska sila koja djeluje na tijelo jednaka nuli& im#uls esti4e ostaje sauvan!

Prvi HeKtonov akon& iskaan na ovaj nain a#ravo je iska akona osauvanju im#ulsa esti4e.

Im#uls tijela

vmp =

constvmp,FR === 0

Pokauje se da im#uls esti4e ima dublje naenje ne$o brinaili sama sila. Im#uls je jedna od najva3niji8 veliina u Jii4i& aakon o sauvanju im#ulsa jedan je od osnovni8& temeljni8akona u #rirodi.


19/28

ru$i HeKtonov akon

a G

a (m

,ada vanjska reultiraju2a sila djelujena tijelo mase m& ubranje tijela

#ro#or4ionalno je sili a obrnuto#ro#or4ionalno masi tijela./branje ima smjer vanjske reultiraju2esile

SI jedini4a!

amFilim

Fa R

R

==

)Neton(Ns/m!" !# =

Hi6ta bolje od dobro$ #rimjera-

va ovjeka $uraju auto. Prvi djeluje silomod 9: H a dru$i silom od E0: H u istomsmjeru. Dre2a sila inosa :*) H djeluje usu#rotnom smjeru. Fasa auta je (':) k$."drediti ubranje auta.

eJ! Sila ima inos od ( H ako tijelu mase( k$ daje ubranje od ( ms9


20/28

Gree>body dija$ramSlu3i da bi se$raJiki #redstavilesve sile koje djelujuna tijelo

Prema II H7 ubranje je jednako koliniku reultiraju2e vanjske sile i mase.a bi smo odredili reultiraju2u silu& koristimo tv. Gree> body dija$ram. Poitivni smjer ose xIabran je kao na sli4i.Radimo sa skalarnim kom#onentama sila. Skalarne kom#onente sila kojima ljudi $uraju auto suPoitivne& dok je skalarna kom#. Dre2e sile ne$ativna.

#

7#!

0&"0!&0

!!0!!0

&$07"%&

s

m#

!"

N

m

Fa

NF

)N()N()N(FFFF

R

R

R

+=+

==

+=

++++=++=

Poitivni #rednak nai da je ubranje ima smjer +x ose& dakle isti kao i sile kojima dva ovjeka$uraju auto.


21/28

Dre2i HeKtonov akon

G(9G9(

Covore2i o o#2im svojstvima sila&na#omenuli smo da se sile uvijek

javljaju u #arovima i da ioliranasila u Jii4i ne #ostoji.

Dre2i HeKtonov akon #oveuje ovaj#ar sila i ka3e vi6e o osobinama imeusobnom odnosu ti8 sila.

Dre2i HeKtonov akon esto ovu i akonom ak4ije ireak4ije./vjetno& silu kojom #rvo tijelo djeluje nadru$o tijelo ovemo silom ak4ije. Silu kojom dru$otijelo djeluje na #rvo tijelo& u tom sluaju& ovemo

silom reak4ije.

Sile kojima dva tijela

djeluju jedno na dru$o istesu #o inosu i #rav4u& asu#rotno$ su smjera.

Fatematiki!

#!!# FF =

Sile akcije i reakcije se ne

ponitavaju.

One ne djeluju na isto tijelo.

V A Q H "


22/28

Hi6ta bolje od dobro$ #rimjera.

Astronaut mase ma=09 kilo$rama djeluje silom P=+E*H na svemirsku sonduFase ms=(())) k$. "drediti ubranje astronauta i sonde.

Po tre2em HeKtonovom akonu& sonda djeluje naAstronauta silom jednako$ inteniteta a su#rotno$Smjera!>P=>E* H.Premda su sile ak4ije i reak4ije #o inosu jednake& oneo dru$om HeKtonovom akonu& tijelima na kojadjeluju ne daju isto ubranje.

/branje sonde je!

Ha isti nain se rauna ubranje astronauta!

#00770!!000

7$s/m#

!"

N

m

Pa

ss +=

+==

#7"0"#

7$s/m#

!"

N

m

Pa

aa =

=

=


23/28

Im#ulsne sile

/ #uno sluajeva sila koja djeluje na tijelo nije konstantna."na se mijenja kako #o inosu intenitetu?. Sile koje djelujuu kratkom vremenskom intarvalu ovu se im#ulsne sile.

7a im#ulsne sile #o$odno je uvestiHovu veliinu koja se ove im#ulssile i deJinira se na slijede2i nain!

SI jedini4a! HeKtons=H sIm#uls sile je vektor i ima smjersile.

tF$ =

Imeu momenta sile i im#ulstijela #ostoji vrlo va3na vea kojase mo3e ivesti i II HeKtonovo$akona.

t

pp

t

vmvm

t

vvmamF

%%%

00

=

=

==

0pptF % =

Primjer!:iGna kap mase 0.00!# kg pada na krov automobila brzinom od !&mDs.?akon udara o krov kapljica se se zaustavlja u vremenskom intervalu od 0.#s.

Odrediti silu kojom kapljica djeluje na krov automobila. Raun ponoviti za sluaj

kada umjesto kiGe pada tua a estice leda se odbiju od krova automobila pri emu

kontakt izme)u estice leda i auta traje isto vrijeme.


24/28

Heka je #oitivan smjer smjer #adanja ka#lji4e Dada je sila kojom krov djeluje na ka#lji4u!

,a#lji4a djeluje na krov silom isto$ inteniteta alisu#rotno$ smjera.

N#s#

)s/m(!"#

t

mvmvF

%"0

#0

!&00!#000=

+=

=

Postu#amo na isti nain. Sila kojom krov djeluje naesti4u leda je

N#s#

)s/m(!"#)s/m(!"#

t

mvmvF

%

!#0

!&00!#0!&00!#0

0

=+

=

=

,a#lji4a djeluje na krov silom isto$ inteniteta alisu#rotno$ smjera.

7ada2a! ,o6arka6 koji se kre2e brinom od 9ms udara $lavom u dovratak. Ako senje$ova $lava austavila a vrijeme ).Es& odrediti srednju silu kojom dovratak djelujena ko6arka6evu $lavu. Heka je masa $lave E k$.Savjet! / R A I D 7 A A /


25/28

7akon o sauvanju im#ulsa a vi6e tijela.

tijelodrugovmvmt"##$

tijeloprvovmvmt"##$

%&&&'&(&e)t&

%((('(&(e)t(

7brajanjem ovi8 jednad3bi dobije se!

%'e)t%'e)t&e)t(

%&&%((&'&('(&((&e)t&e)t(

PP%#PP##

vmvmvmvm"##$##

=

7akon o sauvanju im#ulsa.Ako je reultiraju2a vanjska sila koja djelujena sistem jenaka nuli& uku#ni im#uls sistema sene mijenja.

/eto je u obir da je suma unutra6nji8 silajednaka nuli

7akon o sauvanju im#ulsa jedan je odtemeljni8 akona u Jii4i.


26/28


27/28

pp%pp ksissisk

kp sisp

Heka je mmasa krvi koja #ri kontrak4iji sr4ano$misi4a ilai sr4a brinom od ).9:ms& aM masaovjeka i #okretno$ dijela uredjaja. Heka jeim#uls krvi a uku#ni im#uls 4ovjeka iureaja. ,ako je reultiraju2asila na sistem ovjek+balisto$raJ? jednaka nuli&vrijedi akon o sauvanju im#ulsa!

kp

sisp

jer je uku#ni im#uls sistema #rije kontrak4ijebio jednak nuli. /vr6tavju2i adane vrijednosti&

dobije se!

o

s*m%%(+,.%kg-

s*mkg(&.%v

s*mkg(&.%s*m.&kg%.%Mvp

sis

sissis

Balisto$raJ je u sustini jedna #okretna #latJorma

koja lebdi na ranom jastuku kako bi se ibje$lotrenje sa #odlo$om. ,ontrak4ijom srano$ mi6i2a"dreena koliina krvi se istisne i srane komore.,ori62enjem akona o sauvanju im#ulsa& mo$u2e jePoveati im#uls istisnute krvi i im#uls #latJorme.Fjeri se im#uls #latJorma& a na osnovu to$a seirauna im#uls istisnute krvi odakle se dobijuinJorma4ije o Junk4iji sr4a.

7ada2a! Ako se #ret#ostavi da kontrak4ija sr4a traje

).E s& odrediti srednju silu koja djeluje na sistemovjek>#latJorma. Primijenite ira a im#ulsnu silu-

Giike osnove balistokardio$raJije


28/28

repetitorij- trigonometrijske funkcije, skalarne i vektorske veličine, operacije sa vektorima

Documents