vektor dan sistem koordinat
DESCRIPTION
Fisika Matematika...TRANSCRIPT
Elektromagnetika I
Bab I: Analisis Vektor(Vektor dan Sistem Koordinat)
MMR/KRU
Aljabar Vektor
Skalar : Besaran yang hanya memiliki nilai
Contoh : Temperatur, laju, jarak, dll
Vektor : Besaran yangmemiliki nilai dan arah
Contoh : Medan listrik, medan magnet, Gaya, kecepatan, posisi, percepatan, dll
MMR/KRU
Aljabar Vektor
Notasi Vektor A ditulis dengan A atau
AAA ˆrr=
dengan
Ar adalah besar vektor A atau
panjang vektor A
A adalah unit vektor A atauvektor satuan searah A
Vektor satuan atau unit vektor menya-takan arah vektor, besarnya satu
MMR/KRU
Sistem Koordinat
Lebih mudah menuangkan konsepvektor menggunakan sistemkoordinatTiga sistem koordinat :
- Koordinat Cartesius- Koordinat Silinder- Koordinat Bola
MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Koordinat Cartesius tersusun atas tigasumbu koordinat yang saling tegak lurusmasing-masing sumbu x, y, dan z
adalah vektor satuan searahsumbu x, sumbu y, danSumbu z
zyx aaa ˆ,ˆ,ˆ
xa
za
y
x
z
ya
MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Dalam koord. Cartesiussembarang vektor Aditulis
Ax, Ay, Az adalah komponenvektor A dalam arah sb x, sb y, dan sb z
zzyyxx aAaAaAA ˆˆˆ ++=r
yA y
x
z
Ar
xA
zA
MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Besar vektor A ditulis
222zyx AAAA ++=
r
Unit vektor A atau vektor satuansearah A ditulis
222
ˆˆˆˆzyx
zzyyxx
AAA
aAaAaA
AAA
++
++== r
r
MMR/KRU
Contoh 1
Vektor A berpangkal di (0,0,0)dan memiliki komponen 2 ke arah x, 3 ke arah y, dan 4 ke arah z.Vektor A dapat ditulis:A = 2 ax + 3 ay + 4 az.
MMR/KRU
Contoh 2
Vektor B berpangkal di (3,0,0)dan memiliki komponen 1 ke arah x, -2 ke arah y, dan 4 ke arah z.Vektor B dapat ditulis:B = ax + -2 ay + 4 az.
MMR/KRU
x
y
z
2
4
3
A
A
B
MMR/KRU
Pada sistem koordinat kartesian, suatu vektor tidak tergantung titik pangkal dari vektor tersebut. Atau dengan kata lain, pada sistem koordinat kartesian, vektor adalah independen dengan titik pangkalnya.
MMR/KRU
Soal
Titik A terletak dalam koordinat Carte-sius (3,4,5), semua koordinat dalammeter.Tentukan :
Gambar vektor posisi APenulisan vektor posisi ABesar vektor AUnit vektor searah A
MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Elemen kecil perpindahan (displace-ment infinitesimal) :
zyx adzadyadxld ˆˆˆ ++=r
dxdy
x
y
zP2
P1
Lihat jarak P1 ke P2dz
MMR/KRU
Koordinat Cartesius
Elemen kecil luasElemen kecil luas dalam bidang yz
yy adxdzdS r=
xx adydzdS r=
Elemen kecil luas dalam bidang xz
Elemen kecil luas dalam bidang xy
zz adxdydS r=
Elemen kecil volumedxdydzdV =
MMR/KRU
Koordinat Silinder
ρ
z
ϕ
za
ρaϕa
Dalam koord. Silindersembarang vektor Aditulis
zzaAaAaAA ˆˆˆ ++= ϕϕρρ
r
Aρ, Aϕ, Az adalah kompo-nen vektor A dalam arahsb ρ , sb ϕ , dan sb z
MMR/KRU
Contoh
Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat silinder
A= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di M(2, 0, 0)B= 3aρ + 2aφ + az berpangkal di N(2, π/2, 0)
MMR/KRU
x
y
z
MN
3aρ
2aφ
az
3aρ
2aφaz
B
A
MMR/KRU
Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda.Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan 3ax+2ay + az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay + az.
MMR/KRU
Koordinat Silinder
dρ ρdϕ
dz
zadzadadld ˆˆˆ ++= ϕρ ϕρρ
Elemen kecil perpin-dahan :r
Elemen kecil volume
dzdddV ϕρρ=
MMR/KRU
Koordinat Silinder
Elemen kecil luas
ρρ ϕρ adzddS ˆ=
ϕϕ ρ adzddS ˆ=
zz adddS ˆϕρρ=
MMR/KRU
Koordinat Bola
x
y
z
θϕ
ϕara
θarr
Vektor A ditulis :
ϕϕθθ aAaAaAA rr ˆˆˆ ++=r
Ar, Aϕ, Aθ adalah kompo-nen vektor A dalam arahsb r , sb ϕ , dan sb θ
MMR/KRU
contoh
Gambarkan vektor berikut pada sistem koordinat bola
A= 3ar + aθ + 2aφberpangkal di M(2, π/2, 0) B= 3ar + aθ + 2aφberpangkal di N(2, π/2, π/2)
MMR/KRU
x
y
z
MN
B
3ar
aθ
2aϕ
2aϕ
3araθ
A
MMR/KRU
Meskipun vektor A dan B memiliki komponen yang sama, namun keduanya menunjuk ke arah berbeda karena titik pangkal yang berbeda.Dalam sistem koordinat kartesian, pembaca dengan mudah melihat bahwa vektor A ekivalen dengan: 3ax+2ay - az. Dan vektor B ekivalen dengan –2ax + 3ay - az.
MMR/KRU
Koordinat Bola
Elemen vektor perpindahan
Elemen volume
ϕθθ ddrdrdV sin2=
ϕθθ drrdrdld sin++=rr
MMR/KRU
Transformasi Koordinat
1. Kartesius (x,y,z) ke Silinder (ρ, ϕ ,z)
zzxy
yx
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
−1
22
tanϕ
ρ
zz
yx
yx
AA
AAA
AAA
=
+−=
+=
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ρ
cossin
sincos
MMR/KRU
Contoh
Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor B = xax+yay terletak pada bidang kartesian xy.Tentukan :
Koordinat titik P pada sistem koordinat SilinderVektor B dalam koord. SilinderBesar dan arah B pada titik x=3 dany=4
MMR/KRU
Transformasi Koordinat
2. Kartesius (x,y,z) ke Bola (r, θ, ϕ)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
++=
−
−
zyx
xy
zyxr
221
1
222
tan
tan
θ
ϕ
ϕϕ
θθϕθϕ
θθϕθϕ
ϕ
θ
cossin
sincossincoscos
cossinsinsincos
yx
zyx
zyxr
AAA
AAAA
AAAA
+−=
−+=
++=
MMR/KRU
Contoh
Titik P terletak pada koord. kartesian (3, 4, 5), dan Vektor E = (xax+yay+zaz)/(x2+y2+z2)3/2
Tentukan :Koordinat titik P pada sistem koordinat BolaVektor E dalam koord. Bola
MMR/KRU
Transformasi Koordinat
3. Silinder (ρ, ϕ ,z) ke Kartesius (x,y,z)
zzyx
=⋅=⋅=
ϕρϕρ
sincos 00 sincos ϕϕ ϕρ ⋅−⋅= AAAx
00 cossin ϕϕ ϕρ ⋅+⋅= AAAy
zz AA =
MMR/KRU
Contoh
Vektor A= 3aρ+4aϕ+5az beradapada sistem koordinat silinderdengan titik pangkal di (10,π/2,0)Tentukan penulisan vektor inipada sistem koordinat kartesian
MMR/KRU
Transformasi Koordinat
4. Bola ke Kartesius (x,y,z)
θϕθϕθ
cossinsincossin
⋅=⋅⋅=⋅⋅=
rzryrx
ϕθθϕϕϕθ coscos0sincossin 00 ⋅⋅+⋅−⋅⋅= AAArAx
00000 sincoscossinsin ϕθϕϕθ θϕ ⋅⋅+⋅+⋅⋅= AAAA ry
00 sincos θϕθ ⋅−⋅= AArAz
MMR/KRU
Contoh
Vektor A=3ar+5aθ+4aϕ berada pada sistem koordinat bola dengan titik pangkal di (10,π/2,0) Tentukan penulisan vektor ini pada sistem koordinat kartesian